Kapitel 2: Indizes2.1 Gitterpunkte - Gittergeraden - Netzebenen

2.2 Millersche Indizes

2.3 Rationalitätsprinzip

2.4 Zonen

Koordinatentripel:

Beispiele:

• uvw • 100110111

Gitterpunkte

ab

c

Gittergeraden

Geradenindizes:

Beispiele:

[uvw]

[100] [010]

[001] [111]

ab

c

GittergeradenGeradenindizes:

Beispiele:

<uvw>Schar äquivalenter Gittergeraden

<310> [3-10]

ab

NetzebenenMillersche Indizes: (hkl);

sie sind als das kleinste ganzzahlige Vielfache der reziproken Achsenabschnitte definiert.

ab

cBeispiel:(525)

NetzebenenRichtungskosinus: cos a=OM/OA, analog cos b,c

cos a: cos b: cos c = 1/OA : 1/OB : 1/0C = 1/ma : 1/nb : 1/pcm, n, p: Achsenabschnitte

Ersetzung: 1/m=h, 1/n=k, 1/p=l

ab

c

A B

C

M

Beispiel:(525)

O

Millersche Indizes sind ganzzahlig und teilerfremd.

Netzebenencos a: cos b: cos c = h/a : k/b : l/c

Mit den Richtungskosinussen, d.h. mit Winkelmessungen, kann das Längenverhältnis der Gitterkonstanten ermittelt werden.

ab

c

A B

C

M

Beispiel:(525)

Netzebenen

a

b

Die Millerschen Indizes (hkl) geben nicht nur die Lage einer Netzebene, sondern die einer unendlichen Parallelschar an.Hochindizierte Netzebenen haben kleinere Abstände.

(100)(-100)

(1-10)(-110)

(210)(-2-10)

(310)(-3-10)

Netzebenen

Beispiel Würfel (Hexaeder)

(100) (010

) (001)

(0-10)

(00-1)

Rationalitätsprinzip

•Rationalität des Verhältnisses der Achsenabschnitte gegeneinander geneigter Netzebenen

•Die Indizes der meisten und vor allem der wichtigsten Kristallflächen lassen sich durch kleine Zahlen ausdrücken.

ZonenEine Schar von Kristallflächen (Netzebenen), deren Schnittkanten parallel verlaufen, nennt man eine Zone. Flächen, die einer Zone angehören, heißen tautozonal.

Die Richtung der Schnittkanten wird als Zonenachse bezeichnet.

Zonenachse

Beispiel: Topas

Zonen

Die Indizes der Zonenachse [uvw] zu den Ebenen (hkl) und (hkl) lauten:u : v : w = (kl-kl) : (lh-lh) : (hk-hk)

Zonengleichung: Eine Netzebene (hkl) gehört zu einer Zone [uvw], wenn hu + kv + lw = 0

Sonderfall: HexagonalAchsensystem

=> Millersche Indizes (hkl)

a1 = a2 c = = 90°, = 120°

a1

a2

Sonderfall: HexagonalAchsensystem

=> Miller-Bravais- Indizes (hkil)[uvtw]

Umrechnungen:

a1 = a2 = a3 c

a1

a2a3

Netzebenen: h + k + i = 0, d.h. i = -(h + k)

Geraden: [UVW] = [u-t v-t w] = [2u+v u+2v w]

[uvtw] = [(2U-V)/3 (2V-U)/3 (-U-V)/3 W]

Sonderfall: RhomboedrischAchsensystem

=> rhomboedrischeMillersche- Indizes (hkl)

[uvw]

Umrechnungen:

a1 = a2 = a3 1 = 2 = 3 = 90°

a1

a2

a3

Netzebenen: (HKL) = (h-i+l k-h+l i-k+l)

(hkil) = (H-K K-L L-H H+K+L)

Geraden: [UVW] = [u+w v-u+w w-v] (mit dreigliedrigen hexagonalen Indizes [uv.w])[uv.w] = [2U-V-W U+V-2W U+V+W]

Grundwissen

Gitterpunkte

Gittergeraden

Netzebenen(Millersche Indizes)

diskret symmetrieäquivalent

• uvw • : uvw :Achsenabschnitte

[uvw] <uvw>Achsenabschnitte

(hkl) {hkl}reziproke Achsenabschnitte

Übung 2• Die Abbildung ist die Projektion eines Raumgitters parallel zur a-Achse auf die b,c-

Ebene. Die eingezeichneten Geraden sind Gittergeraden (...) bzw. die Spuren von Netzebenen (__).– Indizieren Sie die eingezeichneten Gittergeraden und Netzebenen !– Geben Sie die [uvw] der Schnittgeraden beider Netzebenen an !– Zeichnen Sie die Spuren der Netzebenen (023) und (0-21) in die Projektion ein !

• Geben Sie einige Netzebenen an, die die Gittergerade [101] enthalten und einige Gittergeraden, die in der Netzebene (-1-1-1) liegen.

b

c