PRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTETUniverzitet u Nisu

MASTER RAD

Karamatine pravilno promenljive

funkcije i linearnediferencijalne jednacine

Mentor:Prof. dr Jelena Manojlovic

Student:Katarina Kostadinov

Nis, 2015.

Sadrzaj

1 Karamatine sporo promenljive funkcije 41.1 Teorema o uniformnoj konvergenciji . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Teorema o reprezentaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Primeri i svojstva sporo promenljivih funkcija . . . . . . . . . 11

2 Karamatine pravilno promenljive funkcije 182.1 Teorema o karakterizaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Teorema o reprezentaciji pravilno promenljivih

funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Teorema o uniformnoj konvergenciji pravilno

promenljivih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Osobine pravilno promenljivih funkcija . . . . . . . . . . . . . 242.5 Monotonost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Zigmundova klasa funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Karamatina integralna teorema (direktan smer) . . . . . . . . 342.8 Karamatina integralna teorema (suprotan smer) . . . . . . . . 372.9 Asimptotski inverz i konjugacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Linearne diferencijalne jednacinedrugog reda 433.1 Osnovna tvrdenja i pojmovi o linearnim DJ drugog reda . . . 433.2 Sturmova teorija linearnih DJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Egzistencija pravilno promenljivih resenja . . . . . . . . . . . 51

Literatura 67

1

Uvod

Pojam pravilno promenljive funkcije je 1930. godine uveo jedan od najve-cih srpskih matematicara, Jovan Karamata (1902 - 1967). Jovan Karamataje 1925. godine zavrsio studije matematike na Filozofskom fakultetu Uni-verziteta u Beogradu, a samo tri meseca kasnije iste godine doktorirao kodMihaila Petrovica Alasa. Bio je univerzitetski profesor u Beogradu od 1930.do 1950. godine, kada je po pozivu presao na Zenevski univerzitet, gde jeostao do smrti.

Karamata nije poklanjao mnogo paznje formalnom skolskom znanju, vec jejos kao student tezio samostalnom istrazivackom radu. Od Mihaila Petrovicaje primio veliku i iskrenu ljubav prema nauci, zelju za cistim naucnickimradom, ideje oslobodene formalnih stega i pravce u kojima treba traziti re-zultate. Tako ce Karamata za oblast svog rada izabrati teoriju funkcija, jednuod oblasti u kojoj je Petrovic dao znacajne rezultate i koji su Petrovicevoime ucinili poznatim. Krajem dvadesetih i pocetkom tridesetih godina Kara-mata je proucavao jednu novu klasu funkcija - pravilno promenljive funkcije.Ova teorija, koja je u sustini deo matematicke analize, je nasla primenuu mnogim oblastima matematike kao sto su teorija brojeva, kompleksnaanaliza, teorija verovatnoce, teorija igara i teorija diferencijalnih jednacina.Dalji razvoj teorije pravilno promenljivih funkcija nastavili su pripadnici tzv.Karamatine skole (Avakumovic, Aljancic, Basajski, Bojanic, Tomic, Maric,Adamovic, Arandelovic), kao i Bingham, Goldie, Teugels, Seneta, Geluk, deHaan i mnogi drugi. Cak i danas, Karamata je jedan od najcitiranijih srpskihmatematicara.

Prvi rad koji povezuje pravilno promenljive funkcije i diferencijalne jedna-cine je autora V. G. Avakumovica [1] iz 1947. godine. Taj rad, medutim, nijeprivukao previse paznje - u to vreme teorija pravilno promenljivih funkcijanije primenjivana u teoriji diferencijalnih jednacina - sve do nekih trideset go-dina kasnije, kada su Maric i Tomic u svojim radovima nastavili i dalje razviliistrazivanje diferencijalnih jednacina koristeci pravilno promenljive funkcije.Posle pojavljivanja Mariceve monografije [6], istrazivanje nelinearnih dife-rencijalnih jednacina koristeci pravilno promenljive funkcije je posebno intenzi-virano i danas predstavlja vrlo aktuelnu oblast istrazivanja. U prethodnihpetnaest godina objavljen je veliki broj radova u kojima su se autori baviliizucavanjem nelinearnih diferencijalnih jednacina drugog reda i viseg reda,nelinearnih sistema diferencijalnih jednacina, funkcionalnih diferencijalnih

2

jednacina, diferencnih parcijalnih jednacina. Razvijeni su novi metodi i do-bijeni vrlo znacajni rezultati.

Master rad se sastoji od tri glave. U prve dve glave bice izlozeni najvaznijielementi teorije pravilno promenljivih funkcija. Bice navedena i dokazananajvaznija svojstva sporo i pravilno promenljivih funkcija. U trecoj glavi bicedokazani najvazniji rezultati primene Karamatine teorije na linearne dife-rencijalne jednacine drugog reda. Bice odredeni potrebni i dovoljni uslovipod kojima fundamentalni sistem resenja linearne diferencijalne jednacinedrugog reda cine Karamatine pravilno promenljive funkcija.

Zahvaljujem se mentoru, prof. dr Jeleni Manojlovic na ukazanoj pomocii strpljenju pri izradi ovog rada.

3

1 Karamatine sporo promenljive funkcije

1.1 Teorema o uniformnoj konvergenciji

Definicija 1.1. Neka je pozitivna merljiva1 funkcija ℓ definisana na skupu[X,+∞). Funkcija ℓ je sporo promenljiva funkcija (u Karamatinom smislu)ako za svako λ > 0 zadovoljava uslov

ℓ(λx)

ℓ(x)→ 1 (x→ +∞). (1.1.1)

Definiciju sporo promenljivih funkcija uvodi Karamata 1930.godine, alise umesto uslova merljivosti zahtevao uslov neprekidnosti date funkcije.

Bez gubljenja opstosti moze se pretpostaviti da je funkcija ℓ definisana naintervalu (0,+∞), na taj nacin sto cemo dodefinisati funkciju ℓ dodeljujucijoj vrednost ℓ(t) := ℓ(X) na intervalu (0, X).

Jedna od najvaznijih teorema ove oblasti je Teorema o uniformnoj konver-genciji sporo promenljivih funkcija koju je Karamata dokazao uz pretpostavkuda je ℓ neprekidna funkcija, dok je Korevar2 istu teoremu pokazao uz pretpo-stavku o merljivosti funkcije ℓ.

Definicija 1.2. Neka je funkcija f definisana na skupu X × Y, funkcija φdefinisana na skupu X i neka je +∞ tacka nagomilavanja skupa Y. Funkcijaf(x, y) uniformno (ravnomerno) konvergira ka funkciji φ(x) na skupu X (ilipo x ∈ X) kada y → +∞, u oznaci

f(x, y)X

⇒ φ(x) (y → +∞)

ako i samo ako

(∀ε > 0) (∃y0 > 0)(∀x ∈ X)(∀y ∈ Y )(y ≥ y0 ⇒ |f(x, y)− φ(x)| < ε).

Teorema 1.1 (Teorema o uniformnoj konvergenciji). Ako je ℓ sporopromenljiva funkcija tada

ℓ(λx)

ℓ(x)

K

⇒ 1 (x→ +∞),

gde je K proizvoljan kompaktan podskup intervala (0,+∞).

1U nastavku, pod terminom ”merljiva” podrazumevace se merljivost u odnosu na Lebe-govu meru.

2Jacob Korevaar (1923 - ), holandski matematicar

4

Dokaz: Definisimo h(x) := ln ℓ(ex). Zbog neprekidnosti logaritamskefunkcije uslov (2.1.1) ekvivalentan je uslovu

ln ℓ(λx)− ln ℓ(x) → 0 (x→ +∞),

za svako λ > 0, sto je dalje, uz koriscenje znanja iz matematicke analize,ekvivalentno uslovu

h(x+ u)− h(x) → 0 (x→ +∞), (1.1.2)

za svako u ∈ R.

U skladu sa novim oznakama, da bismo dokazali teoremu, dovoljno je dapokazemo uniformnu konvergenciju u izrazu (1.1.2) na proizvoljnomsegmentu [0, A]. Posledica ovoga bice uniformna konvergencija na svakomkonacnom segmentu, a odatle i na svakom kompaktu u R.

Neka je ε ∈ (0, A). Za proizvoljno x > 0, uvedimo sledece oznake

Ix := [x, x+ 2A] ,

Ex :=

{t ∈ Ix : |h(t)− h(x)| ≥ 1

2ε

},

E∗x :=

{t ∈ [0, 2A] : |h(t+ x)− h(x)| ≥ 1

2ε

}.

Zbog merljivosti funkcije ℓ, skupovi Ex i E∗x su merljivi, dok zbog njihovog

nacina definisanja vazi m(Ex) = m(E∗x)3. Koristeci (1.1.2) zakljucujemo da

m(E∗x) → 0 kada x → +∞. Odatle postoji x0 > 0 tako da za svako x ≥ x0,m(E∗x) <

12ε.

Neka je c ∈ [0, A]. Tada za x ≥ x0, na osnovu osobina Lebegove4 mere,vazi

m(Ex ∪ Ex+c) ≤ m(Ex) +m(Ex+c) = m(E∗x) +m(E∗x+c) < ε < A. (1.1.3)

Dalje, kako je Ix+c ∩ Ix = [x+ c, x+ 2A], to je

m(Ix+c ∩ Ix) = 2A− c ≥ A. (1.1.4)

3m-Lebegova mera4Henri Lebesgue (1875 - 1941), francuski matematicar

5

Iz (1.1.3) i (1.1.4) konacno zakljucujemo da je za proizvoljno c ∈ [0, A] ix ≥ x0 skup

(Ix+c ∩ Ix) \ (Ex ∪ Ex+c)pozitivne mere, tj. neprazan skup. Neka je t proizvoljna tacka tog skupa.Tada

|h(t)− h(x)| < 1

2ε,

|h(t)− h(x+ c)| < 1

2ε.

Dakle, za proizvoljno ε > 0 postoji x0 > 0 tako da za svako x ≥ x0, i svakoc ∈ [0, A], vazi

|h(x+ c)− h(x)| < ε,

sto po definiciji dokazuje trazenu uniformnu konvergenciju na proizvoljnomsegmentu [0, A], kada x→ +∞. ♢

Dakle, za sporo promenljivu funkciju ℓ i 0 < a < b < +∞

supλ∈[a,b]

∣∣∣∣ℓ(λx)ℓ(x)− 1

∣∣∣∣→ 0 (x→ +∞).

1.2 Teorema o reprezentaciji

Definicija 1.3. Funkcija f je lokalno ogranicena na skupu A ako i samo akoje ogranicena na svakom kompaktnom podskupu skupa A.

Definicija 1.4. Funkcija f je lokalno integrabilna na skupu A ako i samoako je integrabilna na svakom kompaktnom podskupu skupa A.

Lema 1.1 (Seneta5). Neka je ℓ pozitivna merljiva funkcija definisana naskupu [a,+∞) i takva da vazi (1.1.1) za svako λ > 0. Tada postoji X > 0takav da je ℓ lokalno ogranicena na skupu [X,+∞). Ako je h(x) = ln ℓ(ex),isto tvrdenje vazi i za funkciju h.

Dokaz: Konvergencija u (1.1.2) je uniformna po u kada x → +∞ nasvakom kompaktnom skupu u R, pa tako i na segmentu [0, 1]. Uzimajuciε = 1 zakljucujemo da postoji dovoljno veliko X tako da za svako x ≥ X isvako u ∈ [0, 1] vazi

||h(x+ u)| − |h(x)|| ≤ |h(x+ u)− h(x)| < 1.

5Eugene Seneta (1941 - ), ukrajinski matemticar

6

Odavde je |h(x + u)| < 1 + |h(x)| za svako x ≥ X i u ∈ [0, 1]. Specijalno,uzimajuci x := X dobijamo da je

|h(X + u)| ≤ 1 + |h(X)|, za svako u ∈ [0, 1],

odnosno|h(x)| ≤ 1 + |h(X)|, za svako x ∈ [X,X + 1].

Metodom matematicke indukcije lako se pokazuje da je |h(x)| ≤ n + |h(X)|za x ∈ [X,X + n], gde je n prirodan broj. Kako se proizvoljan kompaktanpodskup skupa [X,+∞) moze smestiti u segment oblika [X,X + n], odavdesledi zakljucak tvrdenja za funkciju h koji je trebalo pokazati.

S obzirom da je ℓ(x) = exp{h(lnx)

}, ista osobina vazi i za funkciju ℓ. ♢

Napomena 1.1. Funkcija ℓ je merljiva i lokalno ogranicena na skupu [X,+∞)(X je realan broj koji se dobija na nacin opisan u prethodnoj lemi), te je kaotakva i lokalno integrabilna na [X,+∞).

Napomenimo da su integrali u nastavku Lebegovi integrali. Vrlo cesto cese nailaziti na problem kada integral i granicna vrednost mogu da zamenemesta. Iz tog razloga, podsetimo se Lebegove teoreme o dominantnoj konver-genciji.

Teorema 1.2 (Lebegova teorema o dominantnoj konvergenciji). Nekaje (fn)n niz merljivih funkcija na X, sa svojstvima

(i) limn→+∞ fn(x) = f(x) m skoro svuda na X.

(ii) Postoji funkcija g ∈ L1(X,m)6, tako da za svako n ∈ N vazi nejed-nakost |fn(x)| ≤ g(x) m skoro svuda na X.

Tada je f, fn ∈ L1(X,m) za svako n ∈ N, i vazi

limn→+∞

∫X

|fn − f |dm = 0, limn→+∞

∫X

fndm = limn→+∞

∫X

fdm.

Naredna teorema nam daje odgovor na pitanje kog oblika su sporo pro-menljive funkcije. Ona ih u potpunosti karakterise u smislu da daje potrebani dovoljan uslov da funkcija bude sporo promenljiva i vrlo cesto se koristi kaodefinicija sporo promenljivih funkcija.

6L1(X,m) je skup svih merljivih funkcija f definisanih na X za koje je∫X|f |dm < ∞.

7

Teorema 1.3 (Teorema o reprezentaciji). Funkcija ℓ je sporo promenljivafunkcija ako i samo ako moze biti predstavljena u obliku

ℓ(x) = c(x) exp

{∫ x

a

ε(u)

udu

}(x ≥ a) (1.2.1)

za neko a > 0, gde su c i ε merljive funkcije takve da c(x) → c ∈ (0,+∞),ε(x) → 0, kada x→ +∞.

Dokaz: Za pocetak, izraz (1.2.1) moze biti zapisan u obliku

ℓ(x) = exp

{c1(x) +

∫ x

a

ε(u)

udu

}(x ≥ a) (1.2.2)

gde su c1(x) := ln c(x) i ε(x) ogranicene i merljive funkcije, c1(x) → d ∈ R,ε(x) → 0, kada x→ +∞.

Kao u prethodnoj teoremi, uvedimo oznaku h(x) := ln ℓ(ex). Izrazimosada uslov (1.2.2) u funkciji od h. Iz tog razloga, posmatrajmo

ℓ(ex) = exp

{c1(e

x) +

∫ ex

a

ε(u)

udu

}. (1.2.3)

Nakon logaritmovanja jednakosti (1.2.3), potom uvodenja smene lnu = vu gore navedeni integral i uvodenja oznaka d(x) := c1(e

x), µ(x) := ε(ex),dolazimo do ekvivalenta jednakosti (1.2.3) izrazenog u funkciji od h

h(x) = d(x) +

∫ x

b

µ(v)dv (x ≥ b), (1.2.4)

gde je b := ln a.

Dakle, ekvivalent polaznog tvrdenja je: funkcija ℓ je sporo promenljivafunkcija ako i samo ako funkcija h(x) = ln ℓ(ex) moze biti predstavljena uobliku (1.2.4), za neko b ∈ R, gde su funkcije d i µ merljive i takve dad(x) → d ∈ R, µ(x) → 0, kada x→ +∞.

(⇒:) Neka je ℓ sporo promenljiva funkcija. Dokazimo da se tada funkcija hmoze predstaviti u obliku (1.2.4). Na osnovu Napomene 1.1, postoji pozitivanbroj X takav da je h je integrabilna, ogranicena i merljiva na segmentimasadrzanim u [X,+∞). Stoga, za dovoljno veliko X, mozemo pisati

h(x) =

∫ X+1

X

h(t)dt+

∫ x+1

x

(h(x)− h(t))dt+

∫ x

X

(h(t+ 1)− h(t))dt (1.2.5)

8

za svako x ≥ X. Posmatrajmo prvi sabirak desne strane jednakosti. Kaoodredeni integral, on je konstanta; oznacimo ga sa d.

Dalje, nakon uvodenja smene u = t− x, drugi sabirak postaje∫ x+1

x

(h(x)− h(t))dt =

∫ 1

0

(h(x)− h(x+ u))du.

Podintegralna funkcija, primenom Teoreme o uniformnoj konvergenciji, uni-formno konvergira nuli na segmentu [0, 1], te se jednostavno proverava dasu ispunjeni uslovi Lebegove teoreme o dominatnoj konverenciji. Odatlezakljucujemo da ovaj sabirak konvergira nuli kada x → +∞. Zato, akooznacimo

d(x) := d+

∫ 1

0

(h(x)− h(x+ u))du,

tada d(x) → d kada x→ +∞, d je merljiva funkcija, a (1.2.5) ima oblik

h(x) = d(x) +

∫ x

X

(h(t+ 1)− h(t)) dt. (1.2.6)

Konacno, posmatrajmo poslednji sabirak desne strane jednakosti (1.2.5).Uvedimo oznaku µ(x) := h(x+ 1)− h(x). µ je merljiva funkcija, a kako vazipretpostavka da je ℓ sporo promenljiva funkcija, na osnovu (1.1.2) µ(x) → 0kada x→ +∞. Na ovaj nacin, funkciju h predstavili smo u formi (1.2.4), stoje i bilo potrebno pokazati.

(⇐:) Sada pretpostavimo da je ℓ(x) predstavljena u obliku (1.2.1) pri cemufunkcije c i ε ispunjavaju date uslove. Tada je

ℓ(λx)

ℓ(x)=c(λx)

c(x)exp

{∫ λx

x

ε(u)

udu

}. (1.2.7)

Izaberimo proizvoljan segment [a, b] tako da je 0 < a < b < +∞. Tada, kakoc(x) → c, to i c(λx) → c kada x→ +∞, za λ ∈ [a, b]. Odatle, za proizvoljnoε ∈ (0, 1) je

1− ε <c(λx)

c(x)< 1 + ε, (1.2.8)

za dovoljno veliko x.

9

Takode, kako ε(x) → 0 kada x → +∞, to ce za dovoljno veliko x biti−ε < ε(x) < ε, dok odatle sledi da je

−ε| lnλ| <∫ λx

x

ε(u)

udu < ε| lnλ|. (1.2.9)

Kombinacijom nejednakosti (1.2.8) i (1.2.9) dolazimo do zakljucka da je izrazna desnoj strani jednakosti (1.2.7) za x ≥ x0 i svako λ ∈ [a, b] ogranicenvrednostima

(1± ε) exp{±εmax{| ln a|, | ln b|}},

odakle zbog proizvoljnosti broja ε sledi dokaz tvrdenja. Medutim, odavdenece samo slediti da je ℓ sporo promenljiva funkcija, vec ce slediti i Teoremao uniformnoj konvergenciji. ♢

Naredno tvrdenje pokazuje da se u Teoremi o reprezentaciji za funkciju εmoze pretpostaviti da je neprekidna. To ce nam omoguciti da u narednompoglavlju pokazemo neka vazna svojstva sporo promenljivih funkcija.

Lema 1.2. Neka je ℓ sporo promenljiva lokalno ogranicena funkcija na [X,+∞).Tada postoji X∗ ≥ X tako da za funkciju h(x) = ln ℓ(ex) vazi

h(x) = c∗(x) +

∫ x

X∗µ∗(t)dt (x ≥ X∗), (1.2.10)

gde su c∗ i µ∗ merljive funkcije takve da c∗(x) → c∗, µ∗(x) → 0 kada x →+∞, pri cemu je µ∗ neprekidna funkcija.

Dokaz: Koristeci (1.2.6) imamo

h(x) = d(x) +

∫ x

X

(h(t+ 1)− h(t))dt = d(x) + h∗(x) (x ≥ X). (1.2.11)

Primetimo da je funkcija h∗ neprekidna. Za proizvoljno µ > 0 je

h∗(x+µ)−h∗(x) =∫ x+µ

x

(h(t+1)−h(t))dt =∫ µ

0

(h(s+x+1)−h(s+x))ds.

(1.2.12)Kako prema Teoremi o uniformnoj konvergenciji

h(s+x+1)−h(s+x) = h(s+x+1)−h(x)−(h(s+x)−h(x))[0,µ]

⇒ 0 (x→ +∞),

10

iz (1.2.12) zakljucujemo da h∗(x + µ) − h∗(x) → 0 kada x → +∞ za svakoµ > 0. Trivijalno, ovo vazi i za µ = 0, dok analogno mozemo pokazati davazi i za µ < 0. Zato prema Teoremi o reprezentaciji za funkciju h∗ postojiX∗ ≥ X tako da vazi

h∗(x) = d∗(x) +

∫ x

X∗µ∗(t)dt (x ≥ X∗), (1.2.13)

gde d∗(x) → d∗ i µ∗(x) = h∗(x+ 1)− h∗(x) → 0 kada x→ +∞, pri cemu jeµ∗ neprekidna funkcija. Iz (1.2.11) i (1.2.13) dobija se konacno

h(x) = c∗(x) +

∫ x

X∗µ∗(t)dt (x ≥ X∗),

gde je c∗(x) := d(x) + d∗(x) → d + d∗ = c∗ ∈ R, cime je tvrdenje dokazano.♢

Ponavljajuci postupak iz prethodne Leme odgovarajuci broj puta mozemodobiti reprezentaciju (1.2.10) gde je µ∗ funkcija koja ima neprekidan izvodproizvoljnog reda na [X ′,+∞) za dovoljno veliko X ′.

1.3 Primeri i svojstva sporo promenljivih funkcija

Neke od osnovnih svojstava sporo promenljivih funkcija jednostavnije je poka-zati primenom Teoreme o reprezentaciji negoli primenom definicije. U nasta-vku su dokazana neka od tih svojstava.

Teorema 1.4. (i) Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija, tada

ln ℓ(x)

lnx→ 0 (x→ +∞).

(ii) Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija, tada je i ℓα sporo promenljiva, zasvako α ∈ R.

(iii) Ako su ℓ1, ℓ2 sporo promenljive funkcije, tada su i ℓ1 · ℓ2, ℓ1 + ℓ2 sporopromenljive. Ako uz to vazi ℓ2(x) → +∞ kada x→ +∞, onda je ℓ1◦ℓ2takode sporo promenljiva.

(iv) Ako su ℓ1, ℓ2, ..., ℓk sporo promenljive funkcije i r(x1, ..., xk) racionalnafunkcija sa pozitivnim koeficijentima, tada je r(ℓ1(x), ..., ℓk(x)) sporopromenljiva.

11

(v) Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija i α > 0,

xαℓ(x) → +∞, x−αℓ(x) → 0 (x→ +∞).

Dokaz:

(i) Sporo promenljivu funkciju ℓ predstavimo u obliku (1.2.1). Tada vazi:

limx→+∞

ln ℓ(x)

lnx= lim

x→+∞

ln(c(x) exp{∫ xaε(u)udu})

lnx

= limx→+∞

ln c(x) +∫ xaε(u)udu

lnx

= limx→+∞

∫ xaε(u)udu

lnx.

Kako ε(u) → 0 kada x → +∞, to za proizvoljno ε > 0 postoji u0 > 0tako da za svako u ≥ u0 vazi da je |ε(u)| < ε.Bez gubljenja opstosti mozemo pretpostaviti da je a ≥ u0. Tada vazi

ocena

−ε∫ x

a

1

udu <

∫ x

a

ε(u)

udu < ε

∫ x

a

1

udu (x ≥ a)

a odatle je

−ε = limx→+∞

−ε ln xa

lnx≤ lim

x→+∞

ln ℓ(x)

lnx≤ lim

x→+∞

ε ln xa

lnx= ε.

Zbog proizvoljnosti pozitivnog broja ε sledi dokaz tvrdenja.

(ii) Na osnovu ekvivalenta Teoreme o reprezentaciji funkcija ℓ je sporopromenljiva ako i samo ako se moze predstaviti u obliku

ℓ(x) = exp

{c1(x) +

∫ x

a

ε(u)

udu

},

za x ≥ a, a > 0, gde su c1 i ε merljive funkcije takve da c1(x) → c ∈R, ε(x) → 0, kada x→ +∞. Tada je

(ℓ(x))α = exp

{αc1(x) +

∫ x

a

αε(u)

udu

},

za x ≥ a, pa na osnovu Teoreme o reprezentaciji sledi zakljucak da jei funkcija (ℓ(x))α sporo promenljiva.

12

(iii) Neka je

ℓi(x) = exp

{ci(x) +

∫ x

ai

εi(u)

udu

}(x ≥ ai)

gde je ai > 0, ci(x) → ci, εi(x) → 0 kada x → +∞, i = 1, 2. Uvedimooznake a = max{a1, a2}, a0 = min{a1, a2} i

c =

∫ a

a0

ε(u)

udu,

gde je

ε(u) =

{ε1(u), ako je a1 ≤ a2

ε2(u), ako je a2 < a1.

Tada

ℓ1(x)ℓ2(x) = exp

{c1(x) + c2(x) + c+

∫ x

a

ε1(u) + ε2(u)

udu

},

za x ≥ a, pa kako su funkcije c1(x) + c2(x) + c i ε1(x) + ε2(x) merljivei takve da vazi c1(x) + c2(x) + c → c1 + c2 + c > 0, ε1(u) + ε2(u) → 0kada x→ +∞, funkcija ℓ1(x)ℓ2(x) je sporo promenljiva.

Da bismo pokazali da je ℓ1(x)+ℓ2(x) sporo promenljiva, pokazacemonajpre da je funkcija 1 + ℓ(x) sporo promenljiva, kada je ℓ sa takvomosobinom. Dokaz ce slediti po definiciji. Posmatrajmo

limx→+∞

1 + ℓ(λx)

1 + ℓ(x)= lim

x→+∞

(1 +

ℓ(λx)ℓ(x)

− 1

1 + 1ℓ(x)

)= 1.

Koristili smo da je limx→+∞ℓ(λx)ℓ(x)

= 1, kao i osobinu da je ℓ pozitivna

funkcija, pa je 1/ (1 + 1/ℓ(x)) ogranicena funkcija.

Dalje, kako su ℓ1 i ℓ2 sporo promenljive funkcije, to ce i funkcija ℓ2(x)ℓ1(x)

biti sa istom osobinom (kao posledica tvrdenja (ii) i (iii)). Odatle sejednostavno, primenom dokazanih osobina, vidi da je ℓ1(x) + ℓ2(x) =

ℓ1(x)(1 + ℓ2(x)

ℓ1(x)

)sporo promenljiva funkcija, sto je i trebalo pokazati.

Ostaje da pokazemo da je ℓ1(ℓ2(x)) sporo promenljiva funkcija kadasu ℓ1 i ℓ2 sa takvom osobinom i ℓ2(x) → +∞ kada x → +∞. Za

13

proizvoljno ali fiksirano λ > 0 i proizvoljno ε ∈ (0, 1) postoji x0 takoda za svako x ≥ x0

m := 1− ε ≤ ℓ2(λx)

ℓ2(x)≤ 1 + ε =:M,

te stoga vazi

∣∣∣∣ℓ1(ℓ2(λx))ℓ1(ℓ2(x))− 1

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣ℓ1

(ℓ2(x)

ℓ2(λx)ℓ2(x)

)ℓ1(ℓ2(x))

− 1

∣∣∣∣∣∣ ≤ supµ∈[m,M ]

∣∣∣∣ℓ1(µℓ2(x))ℓ1(ℓ2(x))− 1

∣∣∣∣ .Na osnovu Teoreme o uniformnoj konvergenciji kada x→ +∞ funkcijana desnoj strani nejednakosti konvergira nuli. Odatle sledi dokaz tvrdenja.

(iv) Kombinacija (ii) i (iii).

(v) Ponovo, koriscenjem Teoreme o reprezentaciji vazi

xαℓ(x) = c(x) exp

{α lnx+

∫ x

a

ε(u)

udu

},

za x ≥ a, a > 0. Kako ε(u) → 0 kada x→ +∞, postoji dovoljno velikoX tako da je |ε(u)| < α

2, za svako u ≥ X. Stoga vazi ocena

α lnx+

∫ x

a

ε(u)

udu ≥ α lnx− α

2

∫ x

X

1

udu+ d =

α

2lnx+

α

2lnX + d,

gde je d =∫ Xa

ε(u)udu, te je odatle

limx→+∞

xαℓ(x) ≥ limx→+∞

c(x)(α2lnx+

α

2lnX + d

)= +∞.

Slicno se pokazuje da je limx→+∞

x−αℓ(x) = 0. ♢

Vrlo cesto u primenama (npr. u odredivanju brzine rasta funkcija, kao iu asimptotskoj analizi diferencijalnih jednacina) sporo promenljive funkcijesu od interesa u klasi asimptotski ekvivalentnih funkcija.

14

Definicija 1.5. Funkcije f i g su asimptotski ekvivalentne, u oznaci

f(x) ∼ g(x) (x→ +∞),

ako i samo ako

limx→+∞

f(x)

g(x)= 1.

Kako je

ℓ(x) = c(x) exp

(∫ x

a

ε(u)

udu

)∼ c exp

(∫ x

a

ε(u)

udu

)(x→ +∞),

bez gubitka opstosti mogu se razmatrati sporo promenljive funkcije u cijojreprezentaciji je funkcija c(x) ≡ c > 0.

Definicija 1.6. Sporo promenljiva funkcija

ℓ(x) = c exp

(∫ x

a

ε(u)

udu

),

gde je c pozitivna konstanta, se naziva normalizovana sporo promenljivafunkcija.

Za normalizovane, diferencijabilne sporo promenljive funkcije vazi

xℓ′(x)

ℓ(x)= ε(x) → 0 (x→ +∞). (1.3.1)

Vazi i obrnuto tvrdenje.

Teorema 1.5. Ako je ℓ pozitivna, neprekidno diferencijabilna funkcija na[a,+∞), a > 0, za koju postoji granicna vrednost

limx→+∞

xℓ′(x)

ℓ(x)= 0,

tada je ℓ normalizovana sporo promenljiva funkcija.

Dokaz: Neka je

ε(x) = xℓ′(x)

ℓ(x).

15

Tada je ∫ x

a

ε(u)

udu =

∫ x

a

ℓ′(u)

ℓ(u)du = ln

ℓ(x)

ℓ(a),

odnosno

ℓ(x) = ℓ(a) exp

(∫ x

a

ε(u)

udu

). (1.3.2)

Kako ε(x) → 0, kada x→ +∞ iz (1.3.2) na osnovu Teoreme o reprezentacijidolazimo do zakljucka teoreme. ♢

Teorema 1.6. Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija, onda postoji sporo prome-nljiva funkcija ℓ0 ∈ C∞ takva da je

ℓ(x) ∼ ℓ0(x) (x→ +∞).

Dokaz: Posledica Leme 1.2 je da se sporo promenljiva funkcija ℓ mozepredstaviti u obliku

ℓ(x) = c(x) exp

{∫ x

a

ε(u)

udu

},

za dovoljno veliko a > 0 i merljive funkcije c i ε takve da c(x) → c, ε(x) →0, kada x → +∞ i funkcija ε ima neprekidan izvod proizvoljnog reda na[a,+∞). Odavde je ocigledno

ℓ(x) ∼ c exp

{∫ x

a

ε(u)

udu

}=: ℓ0(x),

i funkcija ℓ0 ∈ C∞. ♢

Navedimo nekoliko primera sporo promenljivih funkcija.

Primer 1.1. Pozitivna merljiva funkcija sa pozitivnom granicnom vrednoscuu beskonacnosti je sporo promenljiva funkcija. To se jednostavno primecujeiz Teoreme o reprezentaciji uzimajuci da je c(x) ≡ ℓ(x) i ε(x) ≡ 0. Takvafunkcija naziva se trivijalna sporo promenljiva funkcija.

Primer 1.2. Najjednostavniji primer netrivijalne sporo promenljive funkcijejeℓ(x) = ln x, sto se jednostavno proverava uz koriscenje definicije.

Sada se primenom osobine (iii) Teoreme 1.4 o kompoziciji sporo promenljivih

16

funkcija lako dokazuje da je ℓ(x) = ln ln x, u oznaci ln2 x, sporo promenljivafunkcija. Analogno, sve funkcije oblika lnk x, gde je k prirodan broj, kao iracionalne funkcije sa pozitivnim koeficijentima dobijene kao linearna kombi-nacija funkcija lnk x su sporo promenljive.

Primer 1.3. Primeri nelogaritamskih sporo promenljivih funkcija su:

ℓ(x) = exp {(lnx)α1(ln2 x)α2 · · · (lnk x)αk} (0 < αi < 1);

ℓ(x) = exp {ln x/ ln2 x} .

Primer 1.4. Prethodni primeri nas navode na zakljucak da je sporo promenljivafunkcija strogo monotona za velike vrednosti x, ali to u opstem slucaju nijetacno. Primer takve funkcije je

ℓ(x) = exp{(lnx)

13 cos((lnx)

13 )},

za koju vazilim infx→+∞

ℓ(x) = 0, lim supx→+∞

ℓ(x) = +∞.

17

2 Karamatine pravilno promenljive funkcije

2.1 Teorema o karakterizaciji

Pretpostavimo da je f pozitivna funkcija definisana na intervalu [X,+∞) zaneko X > 0. Domen funkcije f se moze prosiriti na interval (0,+∞) ako sefunkcija f dodefinise na intervalu (0, X), f(x) := f(X), x ∈ (0, X).

Teorema 2.1. Neka je S skup svih λ > 0 takvih da

f(λx)

f(x)→ g(λ) ∈ (0,+∞) (x→ +∞). (2.1.1)

Algebarska struktura (S, ·) je grupa.

Dokaz: Proverimo da li je skup S zatvoren u odnosu na operaciju mnozenja.Neka su λ, µ ∈ S. Tada

f(λµx)

f(x)=f(λµx)

f(µx)· f(µx)f(x)

→ g(λ)g(µ) (x→ +∞),

pa zakljucujemo da u tom slucaju i λµ ∈ S, i vazi

g(λµ) = g(λ)g(µ) (λ, µ ∈ S), (2.1.2)

tj. funkcija g je multiplikativna.

Dalje, asocijativnost vazi zbog asocijativnosti operacije mnozenja. Takode,jednostavno je primetiti da 1 ∈ S, stoga je 1 neutralni element strukture(S, ·).

Preostaje jos da ispitamo da li svaki element skupa S ima inverz u istomskupu. Ovaj uslov je ispunjen, jer na osnovu stecenog znanja iz matematickeanalize vazi

limx→+∞

f(λx)

f(x)= lim

x→+∞

f(λ ·(1λx))

f( 1λx)

= limx→+∞

f(x)

f(1λx) =

1

g(1λ

) ,pa odavde zakljucujemo da ako je λ ∈ S, tada je i 1

λ∈ S. Na osnovu svih

dokazanih osobina, struktura (S, ·) grupa. ♢

18

U nastavku koristicemo oznake h(x) := ln f(ex), k(x) := ln g(ex),T := {lnλ : λ ∈ S}. Tada vazi

h(x+ u)− h(x) = k(u) ∈ R (x→ +∞), (2.1.3)

za svako u ∈ T ⊂ R. Posledica Teoreme 2.1, u skladu sa novim oznakama, jeda je (T,+) je podgrupa aditivne grupe R, i vazi

k(u+ v) = k(u) + k(v) (u, v ∈ T ), (2.1.4)

tj. funkcija k je aditivna.

Za dokaze narednih stavova videti [2].

Stav 2.1. Ako je S multiplikativna podgrupa grupe R+ i S sadrzi skup pozi-tivne mere, tada je S = R+. Ako je T aditivna podgrupa grupe R, i T sadrziskup pozitivne mere, tada je T = R.

Stav 2.2. Ako je k aditivna7 i merljiva funkcija, tada postoji realan broj ctako da je k(x) = cx.

Stav 2.3. Ako je g multiplikativna8 i merljiva funkcija, tada je postoji realanbroj c tako da g(λ) = λc, za svako λ > 0.

Naredna teorema daje vezu izmedu sporo promenljivih i pravilno prome-nljivih funkcija.

Teorema 2.2 (Teorema o karakterizaciji). Ako je f pozitivna merljivafunkcija i ako vazi (2.1.1) za svako λ > 0, λ ∈ S, gde je S skup pozitivnemere, tada

(i) (2.1.1) vazi za svako λ > 0;

(ii) postoji realan broj ρ takav da je g(λ) = λρ, za svako λ > 0;

(iii) f(x) = xρℓ(x), gde je ℓ slabo promenljiva funkcija.

Dokaz:

7k(x+ y) = k(x) + k(y), ∀x, y ∈ Df (k)8g(xy) = g(x)g(y),∀x, y ∈ Df (g)

19

(i) Kako je S multiplikativna podgrupa multiplikativne grupe R+ kojasadrzi skup pozitivne mere, na osnovu Stava 2.1, S = R+.

(ii) Funkcija g je kao granicna vrednost niza merljivih funkcija takodemerljiva. Kako je g merljiva i multiplikativna funkcija, primenom Stava2.3, postoji ρ ∈ R tako da je g(λ) = λρ, za svako λ > 0.

(iii) Neka je ℓ(x) := f(x)xρ. Zbog osobina funkcije f vazi

ℓ(λx)

ℓ(x)→ 1 (x→ +∞),

za svako λ > 0, sto je i trebalo pokazati. ♢

Definicija 2.1. Pozitivna merljiva funkcija f definisana na intervalu [X,+∞),za neko X > 0, koja za svako λ > 0 zadovoljava uslov

f(λx)

f(x)→ λρ (x→ +∞), (2.1.5)

naziva se pravilno promenljiva funkcija indeksa regularnosti ρ, u zapisu f ∈Rρ. Skup svih pravilno promenljivih funkcija oznacavamo sa

R = ∪ρ∈RRρ.

Specijalno, sporo promenljiva funkcija je pravilno promenljiva funkcija inde-ksa regularnosti nula, tj. R0 je skup svih sporo promenljivih funkcija.

Posledica 2.1. Ako je f pravilno promenljiva funkcija indeksa regularnostiρ = 0, onda

f(x) →

{+∞ ako ρ > 0

0 ako ρ < 0,

kada x→ +∞.

Dokaz: Direktna posledica dela (v) Teoreme 1.4 i dela (iii) Teoreme okarakterizaciji. ♢

Posledica 2.2. Ako je f ∈ R tada postoji X > 0 takav da su f i 1/f lokalnoogranicene i lokalno integrabilne na [X,+∞).

20

Dokaz: Na osnovu dela (iii) Teoreme o karakterizaciji, postoji realanbroj ρ takav da je f(x) = xρℓ(x), gde je ℓ sporo promenljiva funkcija.

Primenom Leme Seneta, postoji X > 0 tako da je funkcija ℓ lokalnoogranicena na intervalu [X,+∞). Iz tog razloga ce i funkcija xρℓ(x) bitiogranicena na svakom kompaktnom podskupu skupa [X,+∞), a odatle ifunkcija 1/f ima istu osobinu. Pomenute funkcije su merljive, te su stoga ilokalno integrabilne na [X,+∞). ♢

2.2 Teorema o reprezentaciji pravilno promenljivihfunkcija

Teorema 2.3 (Teorema o reprezentaciji). Funkcija f je pravilno pro-menljiva funkcija indeksa regularnosti ρ ako i samo ako moze biti predstavlje-na u obliku

f(x) = c(x) exp

{∫ x

a

ρ+ ε(u)

udu

}(x ≥ a), (2.2.1)

za neko a > 0, gde su funkcije c i ε merljive i takve da c(x) → c ∈ (0,+∞)ε(x) → 0 kada x→ +∞.

Dokaz: (⇒:) Na osnovu Teoreme o karakterizaciji pravilno promenljivihfunkcija i Teoreme o reprezentaciji slabo promenljivih, za pravilno promenljivufunkciju f indeksa regularnosti ρ vazi

f(x) = xρℓ(x) = xρc∗(x)exp

{∫ x

a

ε(u)du

u

}(x ≥ a), (2.2.2)

za neko a > 0, gde c∗(x) → c∗ ∈ (0,+∞), ε(x) → 0, kada x → +∞.Upotrebivsi da je

xρ = exp

{∫ x

a

ρ

udu+ ρ ln a

},

funkciju f mozemo predstaviti u obliku

f(x) = c∗(x) exp {ρ ln a} exp{∫ x

a

ρ

udu+

∫ x

a

ε(u)

udu

}(2.2.3)

= c(x) exp

{∫ x

a

ρ+ ε(u)

udu

}, (2.2.4)

gde funkcije c(x) = aρc∗(x) i ε(x) zadovoljavaju trazene uslove.

21

(⇐:) Pretpostavimo da je funkcija f oblika (2.2.1). Tada je f(x) = xρℓ(x),gde je

ℓ(x) = c(x)a−ρ exp

{∫ x

a

ε(u)

udu

}sporo promenljiva funkcija prema Teoremi o reprezentaciji sporo promenljivihfunkcija. Na osnovu Teoreme o karakterizaciji, f pravilno promenljiva inde-ksa regularnosti ρ. ♢

Iz Teoreme 2.3 sledi da se funkcija h(x) := ln f(ex) moze predstaviti uobliku

h(x) = d(x) +

∫ x

b

(ρ+ µ(u)) du (x ≥ b), (2.2.5)

gde je d(x) := ln(c(ex)), µ(x) := ε(ex) i b := ln a.

2.3 Teorema o uniformnoj konvergenciji pravilnopromenljivih funkcija

Teorema 2.4 (Teorema o uniformnoj konvergenciji). Ako je f pravilnopromenljiva funkcija indeksa regularnosti ρ (u slucaju kada je ρ > 0 pretpo-stavljajuci da je f ogranicena na svakom intervalu (0, X]), tada

f(λx)

f(x)→ λρ (x→ +∞) uniformno po λ

na svakom [a, b] (0 < a ≤ b < +∞) ako je ρ = 0,

na svakom (0, b] (0 < b < +∞) ako je ρ > 0,

na svakom [a,+∞) (0 < a < +∞) ako je ρ < 0.

Dokaz: Slucaj ρ = 0 je Teorema o unifomnoj konvergenciji slabo prome-nljivih funkcija. Dokazacemo samo slucaj ρ > 0. Pokazacemo da tadaodgovarajuca funkcija uniformno konvergira po λ na intervalu (0, 1] kadax→ +∞. Slucaj ρ < 0 se dokazuje analogno.

Izaberimo ε ∈ (0, L) proizvoljno, gde je L = min{1, 21−3ρ}. Neka je

Λ =(ε2

) 1ρ . Tada, za svako 0 < λ ≤ Λ vazi

0 < λρ ≤ ε

2, 0 < 4λρ+1 <

ε

2. (2.3.1)

22

Kako za funkcije u (2.2.1) vazi c(x) → c, ε(x) → 0 kada x→ +∞, to postojiX1 > 0 tako da su zadovoljeni uslovi

c

2≤ c(x) ≤ 2c ε(x) ≤ 1 (x ≥ X1). (2.3.2)

Kako je 0 < λ ≤ Λ i Λ < 1, vazi da je X1/λ ≥ X1. Stoga, (2.3.2) vazi i za xi za λx, za svako x ≥ X1/λ, odakle

f(λx)

f(x)=

λρxρc(λx)exp{∫ λx

aε(u)/udu

}xρc(x)exp

{∫ xaε(u)/udu

}≤ 4λρexp

{∫ λx

x

1

udu}= 4λρ+1,

sto u kombinaciji sa (2.3.1) daje∣∣∣∣f(λx)f(x)− λρ

∣∣∣∣ < ε (0 < λ ≤ Λ, x ≥ X1/λ). (2.3.3)

Prema pretpostavci teoreme, funkcija f je ogranicena na svakom intervaluoblika [0, X), X ∈ R te mozemo posmatrati

M := sup0<t≤X1

f(t) < +∞.

Takode, kako f(x) → +∞ kada x→ +∞, na osnovu Posledice 2.1, to postojirealan brojX2 takav da je M

f(x)< ε

2za svako x ≥ X2. Odatle, ponovo koristeci

(2.3.2) dobijamo∣∣∣∣f(λx)f(x)− λρ

∣∣∣∣ ≤ M

f(x)+ λρ < ε (0 < λ ≤ Λ, X2 ≤ x ≤ X1/λ). (2.3.4)

Konacno, iz (2.3.3) i (2.3.4) zakljucujemo∣∣∣∣f(λx)f(x)− λρ

∣∣∣∣ < ε (0 < λ ≤ Λ, x ≥ X2). (2.3.5)

Poznato nam je da sporo promenljive funkcije uniformno konvergiraju po λkada x→ +∞ na svakom kompaktnom skupu u R. Zato postoji X3 tako da∣∣∣∣ℓ(λx)ℓ(x)

− 1

∣∣∣∣ < ε (Λ ≤ λ ≤ 1, x ≥ X3).

23

Tada ∣∣∣∣f(λx)f(x)− λρ

∣∣∣∣ = λρ∣∣∣∣ℓ(λx)ℓ(x)

− 1

∣∣∣∣ < ε (Λ ≤ λ ≤ 1, x ≥ X3). (2.3.6)

Kombinujuci (2.3.5) i (2.3.6) konacno dobijamo∣∣∣∣f(λx)f(x)− λρ

∣∣∣∣ < ε (0 < λ ≤ 1, x ≥ max{X2, X3}),

sto dokazuje trazenu uniformnu konvergenciju.

U slucaju prozivoljnog intervala (0, b], 0 < b < +∞, definisemo funkcijuR(x) := f(bx). Kako je

limx→+∞

R(λx)

R(x)= lim

x→+∞

f(λbx)

f(bx)= λρ, (2.3.7)

na ovaj nacin definisana funkcija je pravilno promenljiva indeksa regularnostiρ. Na osnovu pokazanog, konvergencija u (2.3.7) je uniformna na (0, 1] kadax → +∞. Odavde ce slediti uniformna konvergencija odgovarajuce funkcijena (0, b]. ♢

Dakle, za pravilno promenljivu funkciju f indeksa regularnosti ρ = 0imamo

supλ∈K

∣∣∣∣f(λx)f(x)− λρ

∣∣∣∣→ 0 (x→ +∞), (2.3.8)

gde je K = (0, b], 0 < b < +∞ za ρ > 0 i K = [a,+∞), 0 < a < +∞ zaρ < 0.

2.4 Osobine pravilno promenljivih funkcija

Stav 2.4. Neka je f pozitivna, merljiva funkcija i g pravilno promenljivaindeksa regularnosti ρ. Ako su funkcije f i g asimptotski ekvivalentne, ondaje i funkcija f pravilno promenljiva indeksa ρ.

Dokaz: Dokaz ce slediti po definiciji. Za svako λ > 0 vazice

limx→+∞

f(λx)

f(x)= lim

x→+∞

f(λx)

g(λx)

g(x)

f(x)

g(λx)

g(x)= lim

x→+∞

g(λx)

g(x)= λρ,

zbog navedenih osobina funkcija f i g. ♢

24

Definicija 2.2. Pravilno promenljiva funkcija

f(x) = xρℓ(x),

gde je ℓ normalizovana sporo promenljiva funkcija, naziva se normalizovanapravilno promenljiva funkcija indeksa regularnosti ρ.

Primetimo da za diferencijabilnu, normalizovanu pravilno promenljivufunkciju f indeksa regularnosti ρ, f(x) = xρℓ(x), vazi

limx→+∞

xf ′(x)

f(x)= lim

x→+∞

(ρ+ x

ℓ′(x)

ℓ(x)

)= ρ, (2.4.1)

primenom (1.3.1).

Teorema 2.5. Neka je f pozitivna, neprekidno diferencijabilna funkcija na[a,+∞) za koju postoji konacna granicna vrednost

limx→+∞

xf ′(x)

f(x)= ρ.

Tada, ako je ρ = 0 funkcija f je normalizovana sporo promenljiva, a zaρ ∈ R\{0} funkcija f je normalizovana pravilno promenljiva funkcija indeksaregularnosti ρ.

Dokaz: Neka je

δ(x) = xf ′(x)

f(x).

Tada je ∫ x

a

δ(u)

udu =

∫ x

a

f ′(u)

f(u)du = ln

f(x)

f(a),

odnosno

f(x) = f(a) exp

{∫ x

a

δ(u)

udu

}. (2.4.2)

Kako δ(x) → ρ, iz (2.4.2) na osnovu Teoreme o reprezentaciji dolazimo dozakljucka teoreme. ♢Teorema 2.6. Neka pozitivne funkcije f i g definisane na skupu [a,+∞)zadovoljavaju uslove

f(x) → +∞, g(x) → +∞, f(x) ∼ g(x) (x→ +∞).

Tada ako F ∈ Rρ, ρ = 0 vazi

F (f(x)) ∼ F (g(x)) (x→ +∞).

25

Dokaz: Kako F ∈ Rρ, to postoji sporo promenljiva funkcija ℓ tako da jeF (x) = xρℓ(x). Tada vazi

limx→+∞

F (f(x))

F (g(x))= lim

x→+∞

(f(x)

g(x)

)αlim

x→+∞

ℓ(f(x)g(x)

g(x))

ℓ(g(x))= 1,

jer kako je 1− ε ≤ f(x)/g(x) ≤ 1 + ε za dovoljno veliko x, prema Teoremi ouniformnoj konvergenciji je

limx→+∞

ℓ(f(x)g(x)

g(x))

ℓ(g(x))= 1. ♢

Teorema 2.7.

(i) Ako je f ∈ Rρ, onda je fα ∈ Rαρ.

(ii) Ako fi ∈ Rρi , (i = 1, 2) pri cemu vazi da f2(x) → +∞ kada x→ +∞,onda f1 ◦ f2 ∈ Rρ1ρ2 .

(iii) Ako fi ∈ Rρi , (i = 1, 2) onda f1 · f2 ∈ Rρ1+ρ2 i f1 + f2 ∈ Rρ, gde jeρ = max{ρ1, ρ2}.

(iv) Ako fi ∈ Rρi , (i = 1, 2, .., k) i r(x1, ..., xk) racionalna funkcija sa pozi-tivnim koeficijentima, tada r(f1(x), ..., fk(x)) ∈ R.

Dokaz:

(i) Kako je f ∈ Rρ, postoji sporo promenljiva funkcija ℓ tako da jef(x) = xρℓ(x). Tada je (f(x))α = xαρ(ℓ(x))α, pa s obzirom da je ℓα

sporo promenljiva funkcija, na osnovu Teoreme o karakterizaciji za-kljucujemo da je fα pravilno promenljiva indeksa regularnosti αρ.

(ii) Neka su funkcije f1 i f2 sa trazenim osobinama i neka je fi(x) = xρiℓi(x),i = 1, 2. Tada je

f1(f2(x)) = (f2(x))ρ1ℓ1(f2(x)) = xρ1ρ2(ℓ2(x))

ρ1ℓ1(f2(x)),

pa je za dokaz tvrdenja dovoljno da pokazemo da je (ℓ2(x))ρ1ℓ1(f2(x))

sporo promenljiva funkcija.

26

Za proizvoljno, ali fiksirano λ > 0 vazi f2(λx)f2(x)

→ λρ2 , te odatle za

proizvoljno ε ∈ (0, λρ2) vazi

m := λρ2 − ε <f2(λx)

f2(x)< λρ2 + ε =:M,

za svako x ≥ x0. Tada je∣∣∣∣∣∣ℓ1

(f2(x)

f2(λx)f2(x)

)ℓ1(f2(x))

− 1

∣∣∣∣∣∣ ≤ supµ∈[m,M ]

∣∣∣∣ℓ1(µf2(x))ℓ1(f2(x))− 1

∣∣∣∣ .Kako izraz na desnoj strani nejednakosti konvergira nuli kada x →+∞, zakljucujemo da je funkcija ℓ1(f2(x)) sporo promenljiva, a odatlei (ℓ2(x))

ρ1ℓ1(f2(x)).

(iii) Neka je fi(x) = xρiℓi(x), i = 1, 2. Tada je

f1(x)f2(x) = xρ1+ρ2ℓ1(x)ℓ2(x),

a kako je ℓ1ℓ2 sporo promenljiva funkcija, f ∈ Rρ1+ρ2 .

Da pokazemo drugi deo tvdenja, pretpostavimo da je ρ2 < ρ1. Vazida je

f1(x) + f2(x) = xρ1ℓ1(x) + xρ2ℓ2(x) = xρ1ℓ1(x)

(1 + xρ2−ρ1

ℓ2(x)

ℓ1(x)

).

Kako je ρ2 − ρ1 < 0, na osnovu Teoreme 1.4. (v) je

limx→+∞

(f1(x) + f2(x)) = limx→+∞

xρ1ℓ1(x),

odnosno dolazimo do zakljucka da su funkcije f1(x) + f2(x) i xρ1ℓ1(x),

koja je pravilno promenljiva indeksa regularnosti ρ1, asimptotski ekvi-valente. Primenom Stava 2.4. sledi dokaz tvrdenja.

(iv) Kombinacijom dokazanih osobina. ♢

27

2.5 Monotonost

Pravilno promenljiva funkcija u opstem slucaju nije monotona, ali nam narednateorema daje vrlo korisno svojstvo da je pravilno promenljiva funkcija indeksaregularnosti ρ = 0 uvek asimptotski ekvivalentna sa monotonom funkcijom.

Teorema 2.8. Neka je f ∈ Rρ, i neka je realan broj a > 0 takav da je flokalno ogranicena na [a,+∞).

Ako je ρ > 0 tada

1) f(x) := sup{f(t) : a ≤ t ≤ x} ∼ f(x) (x→ +∞),

2) f(x) := inf{f(t) : t ≥ x} ∼ f(x) (x→ +∞).

Ako je ρ < 0 onda

1) f(x) := sup{f(t) : t ≥ x} ∼ f(x) (x→ +∞),

2) f(x) := inf{f(t) : a ≤ t ≤ x} ∼ f(x) (x→ +∞).

Dokaz: Sledi dokaz tvrdenja za ρ > 0. Slucaj ρ < 0 dokazuje se analogno.Dodefinisimo funkciju f na intervalu (0, a), f(x) := f(a), x ∈ (0, a).

Funkcija f je po pretpostavci teoreme ogranicena na svakom intervaluoblika (0, X], X > 0, pa primenom Teoreme o uniformnoj konvergencijiimamo

supλ∈(0,1]

f(λx)

f(x)→ sup

λ∈(0,1]λρ = 1 (x→ +∞).

Odavde je

supλ∈(0,1]

f(λx) = sup{f(t) : 0 < t ≤ x} = f(x) ∼ f(x) (x→ +∞),

sto je i trebalo pokazati.

Dalje, funkcija g(x) := 1/f(x) je pravilno promenljiva indeksa regularnosti−ρ, pa je konvergencija

f(x)

f(λx)→ λ−ρ (x→ +∞)

uniformna na skupu [1,+∞). Odatle,

supλ∈[1,+∞)

f(x)

f(λx)→ sup

λ∈[1,+∞)

λ−ρ = 1 (x→ +∞),

28

odnosno

infλ∈[1,+∞)

f(λx) = inf{f(t) : t ≥ x} = f(x) ∼ f(x) (x→ +∞).♢

Teorema 2.9. Pozitivna merljiva funkcija ℓ je sporo promenljiva ako i samoako za svako α > 0 postoje neopadajuca funkcija ϕ i nerastuca funkcija ψtakve da vazi

xαℓ(x) ∼ ϕ(x), x−αℓ(x) ∼ ψ(x) (x→ +∞). (2.5.1)

Dokaz: (⇒:) Pretpostavimo da je ℓ sporo promenljiva funkcija i nekaje α > 0. Tada, na osnovu Teoreme 2.8, funkcija xαℓ(x) je asimptotskiekvivalentna neopadajucoj funkciji, dok je x−αℓ(x) asimptotski ekvivalentnanerastucoj funkciji, sto je i trebalo pokazati.

(⇐:) Sada, pretpostavimo da za svako α > 0 postoje funkcije ϕ i ψ kojezadovoljavaju (2.5.1). Tada postoje funkcije c1(x), c2(x) → 1, kada x→ +∞takve da vazi

ℓ(x) = c1(x)x−αϕ(x) = c2(x)x

αψ(x).

Za λ > 1,

c1(λx)

c1(x)λ−α =

ℓ(λx)

ℓ(x)· ϕ(x)ϕ(λx)

≤ ℓ(λx)

ℓ(x)

≤ ℓ(λx)

ℓ(x)· ψ(x)ψ(λx)

=c2(λx)

c2(x)· λα.

Neka x→ +∞ :

λ−α ≤ lim infx→+∞

ℓ(λx)

ℓ(x)≤ lim sup

x→+∞

ℓ(λx)

ℓ(x)≤ λα.

Kada α → 0+ dolazimo do zakljucka da ℓ(λx)/ℓ(x) → 1 kada x → +∞ stopokazuje da je ℓ sporo promenljiva funkcija. ♢

29

Definicija 2.3. Funkcija f definisana na intervalu [a,+∞) je skoro rastucafunkcija ako postoji konstanta A > 1 tako za svako x1, x2 ∈ [a,+∞) vazi

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ Af(x2).

Funkcija f je skoro opadajuca ako postoji konstanta A > 1 tako za svakox1, x2 ∈ [a,+∞) vazi

x1 < x2 ⇒ Af(x1) ≥ f(x2).

Posledica 2.3. Svaka pravilno promenljiva funkcija f ∈ Rρ, ρ > 0 (ρ < 0)je skoro rastuca (skoro opadajuca) funkcija.

Naredni rezultat odnosi se na globalne granice za f(y)/f(x), gde je fpravilno promenljiva funkcija.

Teorema 2.10 (Poterova teorema).

1) Ako je ℓ slabo promenljiva funkcija, tada za proizvoljno odabrane kon-stante A > 1, δ > 0 postoji X = X(A, δ) tako da

ℓ(y)/ℓ(x) ≤ Amax{(y/x)δ, (y/x)−δ} (x ≥ X, y ≥ X).

2) Ako je ℓ lokalno ogranicena na skupu (0,+∞) onda za svako δ > 0postoji A′ = A′(δ) > 1 tako da

ℓ(y)/ℓ(x) ≤ A′max{(y/x)δ, (y/x)−δ} (x > 0, y > 0).

3) Ako je f pravilno promenljiva funkcija sa indeksom ρ tada za proizvoljneA > 1, δ > 0 postoji X = X(A, δ) tako da

f(y)/f(x) ≤ Amax{(y/x)ρ+δ, (y/x)ρ−δ} (x ≥ X, y ≥ X).

Dokaz:

1) Fiksirajmo A > 1, δ > 0 i definisimo funkciju f, f(x) := xδℓ(x).Prema Teoremi 2.8 postoji X1 > 0 tako da za svako x ≥ X1 vazi∣∣∣∣f(x)f(x)

− 1

∣∣∣∣ < A− 1.

30

Ako je y ≤ x, zbog nacina definisanja funkcije f je f(y) ≤ f(x), pa zasvako x ≥ y ≥ X1 > 0 vazi

ℓ(y)

ℓ(x)=f(y)

f(x)

(yx

)−δ≤ f(x)

f(x)

(yx

)−δ< A

(yx

)−δ. (2.5.2)

U slucaju kada je y ≥ x, posmatrajmo funkciju g(x) = x−δℓ(x). PremaTeoremi 2.8 postoji X2 > 0 tako da za svako x ≥ X2 vazi∣∣∣∣g(x)g(x)

− 1

∣∣∣∣ < A− 1.

Ako je y ≥ x, zbog nacina definisanja funkcije g je g(y) ≤ g(x), pa zasvako y ≥ x ≥ X2 > 0 vazi

ℓ(y)

ℓ(x)=g(y)

g(x)

(yx

)δ≤ g(x)

g(x)

(yx

)δ< A

(yx

)δ. (2.5.3)

Konacno, iz (2.5.2) i (2.5.3) sledi dokaz tvrdenja, gde jeX = max{X1, X2}.

2) Neka je X = X(A, δ) takvo da vazi

ℓ(y)/ℓ(x) ≤ Amax{(y/x)δ, (y/x)−δ} (x ≥ X, y ≥ X).

Zbog lokalne ogranicenosti funkcije ℓ na skupu (0,+∞), postoji A∗ ≥ 1tako da je

ℓ(y)

ℓ(x)≤ A∗ (0 ≤ x ≤ X, 0 ≤ y ≤ X).

Tada za 0 < x ≤ X ≤ y,

ℓ(y)

ℓ(x)=

ℓ(y)

ℓ(X)

ℓ(X)

ℓ(x)≤ A

( yX

)δA∗ ≤ AA∗

(yx

)δ,

i slicno za 0 < y ≤ X ≤ x,

ℓ(y)

ℓ(x)≤ A∗A

( yX

)−δ≤ AA∗

(yx

)−δ.

Odavde, ako oznacimo A′ := AA∗ sledi dokaz tvrdenja.

3) Sledi direktno iz (1). ♢

31

2.6 Zigmundova klasa funkcija

Definicija 2.4. Funkcija f definisana na skupu [a,+∞) je eventualno rastuca(opadajuca) ako postoji X ≥ a tako da je f rastuca (opadajuca) na skupu[X,+∞).

Definicija 2.5. Pozitivna merljiva funkcija f pripada Zigmundovoj 9 klasi Zako je za svako α > 0 funkcija xαf(x) eventualno rastuca i x−αf(x) eventu-alno opadajuca.

Navedimo jos neke pojmove i tvrdenja iz oblasti mere i integracije, vezanaza diferencijabilnost Lebegovog integrala kao funkcije gornje granice, kojecemo koristiti u nastavku. Za dokaze narednih teorema videti [7].

Definicija 2.6. Merljiva funkcija f, definisana na segmentu [a, b], je apso-lutno neprekidna na segmentu [a, b] ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako daza svaku disjunktnu familiju intervala

(α1, β1), . . . , (αn, βn)

iz [a, b] vazi implikacija

n∑i=1

(βi − αi) < δ ⇒n∑i=1

|f(βi)− f(αi)| < ε.

Prostor apsolutno neprekidnih funkcija segmenta [a, b] oznacava se saAC([a, b]).

Teorema 2.11. Neka je funkcija f definisana na segmentu [a, b]. Ako jef ∈ AC([a, b]), tada postoji f ′(x) m - skoro svuda na [a, b] i f ′ ∈ L1([a, b],m).

Teorema 2.12. Neka je g ∈ L1([a, b],m) i neka je

f(x) =

∫ x

a

gdm+ C, x ∈ [a, b],

pri cemu je C konstanta. Tada je

(1) f ∈ AC[a, b];

(2) f ′(x) = g(x) za m skoro svako x ∈ [a, b].

9Antoni Zygmund (1900 - 1992), poljski matematicar

32

Otuda sledi da se prostor AC([a, b]) poklapa sa prostorom primitivnihfunkcija od L1([a, b],m) funkcija, tj.

f ∈ AC([a, b]) ⇔ f(x) = c+

∫ x

a

φ(t)dt,

∫ b

a

|φ(t)|dt < +∞.

Teorema 2.13 (Bojanic10, Karamata). Klasa Zigmundovih funkcija sepodudara sa klasom normalizovanih sporo promenljivih funkcija.

Dokaz: (⇒:) Neka f pripada Zigmundovoj klasi funkcija. Za svako α >0 neka je Xα takav da je xαf(x) rastuca funkcija na [Xα,+∞) i x−αf(x)opadajuca na [Xα,+∞).

Oznacimo h(x) := ln f(ex) i Tα := lnXα. Tada je h(x) + αx rastuca ih(x) − αx opadajuca funkcija na [Tα,+∞). Odatle, za α = 1 i y > x ≥ T1imamo

−(y − x) < h(y)− h(x) < (y − x),

te na osnovu gore navedene definicije primecujemo da je h apsolutno neprekidnafunkcija na [T1,+∞). Na osnovu Teoreme 2.11 i 2.12

h(x) = h(T1) +

∫ x

T1

µ(t)dt (T1 ≤ x < +∞),

gde je µ merljiva funkcija i µ = h′skoro svuda na [T1,+∞). Funkciju µ

mozemo dodefinisati u tackama u kojima ne postoji izvod funkcije h. Neka jevrednost funkcije µ u tim tackama 0. Nacin definisanja konstante Tα povlacida je −α ≤ h

′(x) ≤ α za svako x ≥ Tα za koje postoji h

′(x), pa zakljucujemo

da µ(x) → 0 kada x→ +∞. Kako je

f(ex) = f(X1)exp

{∫ x

T1

µ(t)dt

},

uvodenjem smene u odredenom integralu, koji se javlja u gore navedenomizrazu, konacno dolazimo do oblika

f(x) = f(X1) exp

{∫ x

X1

µ(lnu)

udu

}(x ≥ X1),

gde µ(lnx) → 0 kada x → +∞. Po definiciji, f je normalizovana sporopromenljiva funkcija.

10Ranko Bojanic, srpski matematicar

33

(⇐:) Neka je ℓ normalizovana sporo promenljiva funkcija oblika

ℓ(x) = c exp

{∫ x

a

ε(u)

udu

}(x ≥ a),

gde je a > 0, ε merljiva funkcija takva da ε(x) → 0 kada x→ +∞. Tada je

xαℓ(x) = caα exp

{∫ x

a

α+ ε(u)

udu

}(x ≥ a),

gde je α > 0. Neka je b > 0 takav da je α+ ε(u) > 0 za svako u ≥ b. Funkcijaxαℓ(x) je monotono rastuca na [max{a, b},+∞). Analogno se pokazuje slucajkada je α < 0. Odatle, funkcija ℓ pripada Zigmundovoj klasi funkcija. ♢

2.7 Karamatina integralna teorema (direktan smer)

Asimptotsko ponasanje integrala pravilno promenljivih funkcija bice od velikevaznosti kasnije.

Stav 2.5. Neka je ℓ sporo promenljiva funkcija lokalno ogranicena na skupu[X,+∞) i α > −1. Tada vazi∫ x

X

tαℓ(t)dt ∼ xα+1

α + 1ℓ(x) (x→ +∞).

Dokaz: Neka je δ ∈ (0, α + 1) proizvoljno. Prema Poterovoj teoremipostoji X(2, δ) tako da

ℓ(y)

ℓ(x)≤ 2max

{(yx

)δ,(yx

)−δ},

za svako x, y ≥ X(2, δ). Oznacimo sa X ′ = max{X,X(2, δ)}. Tada je∫ x

X′

tαℓ(t)

xα+1ℓ(x)dt =

∫ 1

0

ℓ(ux)

ℓ(x)I[X′/x,1](u)u

αdu,

nakon uvodenja smene u = t/x u prvom integralu. Za podintegralnu funkcijuu integralu na desnoj strani prethodne jednakosti vazi:

(1) ℓ(ux)ℓ(x)

I[X′/x,1](u)uα → uα (x→ +∞)

(2) ℓ(ux)ℓ(x)

I[X′/x,1](u)uα < 2uα−δ, na osnovu Poterove teoreme.

34

Sada mozemo primeniti Teoremu o dominantnoj konvergenciji, odakle za-kljucujemo da integral na desnoj strani konvergira ka

∫ 1

0uαdu = 1/(1 + α),

te konacno: ∫ x

X′tαℓ(t)dt ∼ xα+1

(α + 1)ℓ(x) (x→ +∞).

Kako izraz na desnoj strani konvergira beskonacnosti, to se nista nece prome-niti ukoliko levoj strani dodamo konstantu

∫ XX′ t

αℓ(t)dt, tj. umesto X ′ pisemoX. ♢

Napomena 2.1. Primetimo da prethodni stav takode pokazuje da pod nave-denim uslovima integral

∫ +∞X

tαℓ(t)dt divergira.

Za α = −1 vazi slicno tvrdenje.

Stav 2.6. Neka je ℓ sporo promenljiva funkcija i X > 0 takvo da je ℓ lokalnoogranicena funkcija na skupu [X,+∞). Tada je

∫ xX

ℓ(t)tdt sporo promenljiva

funkcija i vazi1

ℓ(x)

∫ x

X

ℓ(t)

tdt→ +∞. (2.7.1)

Dokaz: Neka je c ∈ (0, 1) proizvoljno. Za dovoljno veliko x vazi

ℓ(x) :=

∫ x

X

ℓ(t)

tdt ≥

∫ x

xc

ℓ(t)

tdt =

∫ 1

c

ℓ(xt)

tdt ∼ ℓ(x)

∫ 1

c

1

tdt (x→ +∞),

na osnovu Teoreme o uniformnoj konvergenciji sporo promenljivih funkcija.Odatle

lim infx→+∞

ℓ(x)

ℓ(x)≥ ln

(1

c

),

a kako c mozemo uzeti proizvoljno malo, to sledi da ℓ(x)ℓ(x)

→ +∞, x→ +∞.

Ostaje da pokazemo da je funkcija ℓ(x) sporo promenljiva. Kako je merljivafunkcija ℓ(x)/x lokalno integrabilna na [X,+∞), na osnovu Teoreme 2.12,funkcija ℓ je apsolutno neprekidna na svakom segmentu sadrzanom u [X,+∞)i vazi

ℓ′(x) =ℓ(x)

xza m skoro svako x ∈ [X,+∞). (2.7.2)

Oznacimo sa ε(x) := ℓ(x)/ℓ(x); tada ε(x) → 0 kada x → +∞. U skladu sanovim oznakama, iz (2.7.2) je

ℓ′(x)/ℓ(x) = ε(x)/x za m skoro svako x ∈ [X,+∞). (2.7.3)

35

Funkcija ℓ je takode lokalno ogranicena na [X,+∞), pa se jednakost (2.7.3)moze integraliti, odakle se dobija

ℓ(x) = ℓ(X) exp{∫ x

X

ε(t)

tdt}.

Na osnovu Teoreme o reprezentaciji dolazimo do trazenog zakljucka. ♢

Kada je ℓ sporo promenljiva funkcija, integral∫ +∞ ℓ(t)

tdt moze, ali i

ne mora konvergirati. U slucaju konvergencije,∫ xX

ℓ(t)tdt je trivijalna sporo

promenljiva funkcija (kao pozitivna, merljiva funkcija sa konacnom granicnomvrednoscu u beskonacnosti). Nesto interesantniji je sledeci slucaj.

Stav 2.7. Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija i∫ +∞ ℓ(t)

tdt < +∞, tada je∫ +∞

xℓ(t)tdt sporo promenljiva funkcija i vazi:

1

ℓ(x)

∫ +∞

x

ℓ(t)

tdt→ +∞ (x→ +∞).

Posmatrajmo slucaj kada je α < −1.

Stav 2.8. Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija i α < −1 tada je integral∫ +∞tαℓ(t)dt konvergentan i vazi:

xα+1ℓ(x)∫ +∞x

tαℓ(t)dt→ −(α + 1) (x→ +∞).

Dokaz: Neka je ρ := 12(α + 1). Tada f(x) := x

12(α+1)ℓ(x) ∈ Rρ. Sada,∫ +∞

xtαℓ(t)dt

xα+1ℓ(x)+

1

α+ 1=

∫ +∞

1

(f(ux)

f(x)− uρ

)uρ−1du

(uvesti smenu t = ux u integralu i predstaviti 1α+1

kao∫ +∞1

uαdu). Za pod-integralnu funkciju navedenog integrala vazi

(1)(f(ux)f(x)

− uρ)uρ−1 → 0 (x→ +∞);

(2)(f(ux)f(x)

− uρ)uρ−1 < uρ−1, za dovoljno veliko x. Funkcija uρ−1 je inte-

grabilna na intervalu (1,+∞).

36

Zbog navedenih uslova, primenom Lebegove teoreme o dominantnoj konver-genciji na odgovarajuci integral dolazimo do trazenog zakljucka. ♢

Teorema 2.14 (Karamatina integralna teorema - direktan smer).Neka je f pravilno promenljiva funkcija indeksa regularnosti ρ, i neka je onalokalno ogranicena na [X,+∞). Tada

(i) za svako σ ≥ −(ρ+ 1),

xσ+1f(x)/∫ x

X

tαf(t)dt→ σ + ρ+ 1 (x→ +∞);

(ii) za svako σ < −(ρ+1) (i za σ = −(ρ+1) ako∫ +∞

t−(ρ+1)f(t)dt < +∞)

xσ+1f(x)/∫ +∞

x

tαf(t)dt→ −(σ + ρ+ 1) (x→ +∞).

2.8 Karamatina integralna teorema (suprotan smer)

U direktnom smeru Karamatine integralne teoreme pokazano je kako sepravilno promenljive funkcije ponasaju prilikom integracije. Prilikom inte-gracije pravilno promenljivih funkcija, sporo promenljivu funkciju mozemo”ignorisati” i integraliti samo odgovarajucu stepenu funkciju. Ono sto jeposebno zanimljivo i vrlo znacajno je da se na takvo ponasanje nailazi samou slucaju pravilno promenljivih funkcija.

Teorema 2.15. Neka je f pozitivna i lokalno integrabilna funkcija na inter-valu [X,+∞).

(i) Ako za neko σ > −(ρ+ 1),

xσ+1f(x)/∫ x

X

tσf(t)dt→ σ + ρ+ 1 (x→ +∞),

tada je f pravilno promenljiva funkcija indeksa regularnosti ρ.

(ii) Ako za neko σ < −(ρ+ 1),

xσ+1f(x)/∫ +∞

x

tσf(t)dt→ −(σ + ρ+ 1) (x→ +∞),

tada je ponovo f pravilno promenljiva funkcija indeksa regularnosti ρ.

37

Dokaz:

(i) Oznacimo

g(x) := xσ+1f(x)/∫ x

X

tσf(t)dt. (2.8.1)

Neka je Y > X, tada∫ x

Y

g(t)

tdt = ln

{1

C

∫ x

X

tσf(t)dt

}(x > Y ) (2.8.2)

(nakon uvodenja smene u =∫ tXyσf(y)dy), gde je C :=

∫ YXtσf(t)dt.

Obe strane jednakosti su apsolutno neprekidne, sa jednakim izvodima.Tada

f(x) = x−σ−1g(x)

∫ x

X

tσf(t)dt (primenom (2.8.1))

= Cx−σ−1g(x) exp

{∫ x

Y

g(t)

tdt

}(primenom (2.8.2))

= CY −σ−1g(x) exp

{∫ x

Y

[g(t)− σ − 1]

tdt

}Prema pretpostavci teoreme je g(x)− σ − 1 → ρ, x→ +∞, i kako je

c(x) := CY −σ−1g(x) → CY −σ−1(σ + ρ+ 1) > 0 (x→ +∞),

na osnovu Teoreme o reprezentaciji sledi da je f pravilno promenljivafunkcija indeksa regularnosti ρ.

(ii) Dokaz sledi slicno. Definisimo G(x) := xσ+1f(x)/∫ +∞

xtσf(t)dt.

Za x > X vazi∫ x

X

G(t)

tdt = ln

{∫ +∞

X

tσf(t)dt/∫ +∞

x

tσf(t)dt

},

odakle slicno kao u dokazu (i) dolazimo do

f(x) = X−σ−1∫ +∞

X

tσf(t)dtG(x) exp

{−∫ x

X

[G(t) + σ + 1]

tdt

},

a kako G(x) + σ + 1 → −ρ i kako je

c(x) := X−σ−1∫ +∞

X

tσf(t)dtG(x) → −(σ+ρ+1)X−σ−1∫ +∞

X

tσf(t)dt > 0

kada x→ +∞, sledi dokaz tvrdenja. ♢

38

2.9 Asimptotski inverz i konjugacija

Neka je f definisana i lokalno ogranicena funkcija na skupu [X,+∞) kojatezi beskonacnosti kada x→ +∞. Uopsteni inverz

f←(x) := inf{y ∈ [X,+∞) : f(y) > x}

je definisan na skupu [f(X),+∞) i monotono tezi ka beskonacnosti.

Teorema 2.16. Ako je f ∈ Rρ, ρ > 0, onda postoji ϕ ∈ R 1ρtako da vazi

f(ϕ(x)) ∼ ϕ(f(x)) ∼ x (x→ +∞). (2.9.1)

Funkcija ϕ, asimptotski inverz funkcije f, je jedinstveno odreden do naasimptotsku ekvivalenciju. Uopsteni inverz funkcije f je jedan od asimpto-tskih inverza funkcije f.

Dokaz: Neka je

f(x) = c(x) exp

{∫ x

b

ρ+ ε(u)

udu

},

gde c(x) → c > 0, ε(x) → 0 kada x→ +∞, dok je b izabrano dovoljno velikotako da je ε je neprekidna i ρ+ ε(x) > 0 za x ≥ b. Definisimo

g(x) := exp

{∫ x

b

ρ+ ε(u)

udu

}.

Tada je funkcija g pozitivna, neprekidno diferencijabilna i strogo monotonorastuca funkcija na [b,+∞), pa postoji inverzna funkcija g−1 na [b,+∞) kojaje neprekidno diferencijabilna i strogo monotono rastuca. Kako je

g′(x) = g(x)ρ+ ε(x)

x> 0 (x ≥ b)

imamo

(g−1)′(x) =1

g′(g−1(x)),

a odatle(g−1)′(g(x))g(x)

g−1(g(x))=

g(x)

g′(x)x=

1

ρ+ ε(x).

39

Smenom x = g−1(t) dobija se

t(g−1)′(t)

g−1(t)=

1

ρ+ ε1(t),

gde ε1(t) → 0 kada t→ +∞. Dakle,

limt→+∞

t(g−1)′(t)

g−1(t)=

1

ρ,

odakle prema Teoremi 2.5 je g−1 ∈ R1/ρ.

Ako definisemo ϕ(x) = kg−1(x), gde je kρc = 1, bice ϕ ∈ R1/ρ. Kako jef(x) = c(x)g(x) ∼ cg(x), g(x) → +∞, g−1(x) → +∞ kada x→ +∞ i

g(λx) ∼ λρg(x), g−1(λx) ∼ λ1/ρg−1(x) (x→ +∞)

dobija se

f(ϕ(x)) ∼ cg(kg−1(x)) ∼ ckρg(g−1(x)) = x (x→ +∞)

i koristeci Teoremu 2.6

ϕ(f(x)) = kg−1(f(x)) ∼ kg−1(cg(x)) ∼ kc1/ρg−1(g(x)) = x (x→ +∞).

Pokazimo da je asimptotski inverz jedinstveno odreden do na asimptotskuekvivalenciju. Pretpostavimo da postoji jos jedna funkcija ϕ0 ∈ R1/ρ takvada je f(ϕ0(x)) ∼ x kada x → +∞. Tada, kako je ϕ(f(x)) ∼ x, x → +∞imamo

ϕ(f(ϕ0(x))) ∼ ϕ0(x) (x→ +∞). (2.9.2)

Pored toga, kako je f(ϕ0(x)) ∼ x, x→ +∞ prema Teoremi 2.6 je

ϕ(f(ϕ0(x))) ∼ ϕ(x) (x→ +∞). (2.9.3)

Iz (2.9.2) i (2.9.3) je ϕ(x) ∼ ϕ0(x), x→ +∞.

Ostaje da pokazemo da f← zadovoljava uslove funkcije ϕ. Izaberimo λ > 1,A > 1 i δ ∈ (0,+∞). Na osnovu Poterove teoreme postoji u0 tako da vazi:

A−1max{λρ+δ, λρ−δ}−1f(v) ≤ f(u) ≤ Amax{λρ+δ, λρ−δ}f(v),

za svako v ∈ [λ−1u, λu], u, v ≥ u0.

40

Neka je x dovoljno veliko tako da je f←(x) ≥ u0. Tada, na osnovu definicijeuopstenog inverza, postoji y ∈ [f←(x), λf←(x)] takvo da je f(y) > x i postojiy′ ∈ [λ−1f←(x), f←(x)] takvo da je f(y′) ≤ x. Uzimajuci f←(x) umesto u, yumesto v, a potom y′ umesto v, dobijamo:

A−1max{λρ+δ, λρ−δ}−1f(y) ≤ f(f←(x)) ≤ Amax{λρ+δ, λρ−δ}f(y′).

Dakle,

A−1max{λρ+δ, λρ−δ}−1 ≤ lim infx→+∞

f(f←(x))

x

≤ lim supx→+∞

f(f←(x))

x

≤ Amax{λρ+δ, λρ−δ}.

Uzmimajuci da A, λ ↓ 1, dobijamo f(f←(x))/x→ 1, kada x→ +∞. ♢

Teorema 2.17 (de Bruijn11). Ako je ℓ sporo promenljiva funkcija, postojisporo promenljiva funkcija ℓ#, asimptotski jedinstvena, sa osobinom

ℓ(x)ℓ#(xℓ(x)) ∼ 1, ℓ#(x)ℓ(xℓ#(x)) ∼ 1 (x→ +∞); (2.9.4)

tada ℓ## ∼ ℓ.

Dokaz: Dokaz ce slediti direktno iz prethodne teoreme, primenjene napravilno promenljivu funkciju indeksa regularnosti α = 1. Neka je f(x) =xℓ(x). Za datu funkciju postoji asimptotski inverz g ∈ R1, neka je g(x) =xℓ#(x). Tada, kako je f(g(x)) ∼ x, kada x→ +∞ to

g(x)ℓ(g(x)) = xℓ#(x)ℓ(xℓ#(x)) ∼ x (x→ +∞)

i kako je g(f(x)) ∼ x, kada x→ +∞

f(x)ℓ#(f(x)) = xℓ(x)ℓ#(xℓ(x)) ∼ x (x→ +∞),

odakle sledi relacija (2.9.4). ♢

Sporo promenljiva funkcija ℓ# se naziva de Bruijn-ov konjugat ; (ℓ, ℓ#) jekonjugovani par sporo promenljivih funkcija. Ovakvi parovi imaju primenuu teoriji asimptotskih inverza. Najistaknutije oblasti primene ovih parova suu asimptotskim problemima u vezi sa Laplasovim transformacijama.

11Nicolaas Govert de Bruijn (1918 - 2012), holandski matematicar

41

Stav 2.9. Ako je (ℓ, ℓ#) par konjugovanih sporo promenljivih funkcija, A, B,α > 0, sledeci parovi imaju istu osobinu:

(ℓ(Ax), ℓ#(Bx)

),(Aℓ(x), A−1ℓ#(x)

)i((ℓ(xα))

1α , (ℓ#(xα))

1α

).

U teoremi de Bruijna smo videli da je konjugovana veza izmedu ℓ i ℓ#

zapravo veza izmedu asimptotskih inverza funkcija skupa R1. Sledeci stavdaje slicno tvrdenje za proizvoljan pozitivan indeks.

Stav 2.10. Neka su a, b > 0 i neka vazi f(x) ∼ (xbℓ(xb))a gde je ℓ sporopromenljiva funkcija, i neka je g asimptotski inverz funkcije f. Tada vazi:

g(x) ∼ x1/ab(ℓ#)1/b (

x1/a)

(x→ +∞).

Dokaz: Ukoliko funkcija F ima asimptotski inverz G, onda funkcijaF a(xb) ima asimptotski inverz (G1/b(x1/a)). Uzimajuci F (x) ≡ xℓ(x), G(x) ≡xℓ#(x), dolazimo do trazenog zakljucka. ♢

42

3 Linearne diferencijalne jednacine

drugog reda

Na pocetku napomenimo da su u ovom poglavlju integrali Rimanovi. Nave-dimo teoreme koje daju uslove pod kojima su Rimanov i Lebegov integraljednaki, kako bi tvrdenja iz prethodnih poglavlja vazila i za Rimanove inte-grale.

Teorema 3.1. Neka je f : [a, b] → R. Ako je f integrabilna u Rimanovomsmislu na [a, b], onda je f integrabilna u Lebegovom smislu na [a, b] i ova dvaintegrala su jednaka.

Teorema 3.2. Neka je funkcija f definisana na intervalu [a,+∞) i nekapostoji nesvojstveni Rimanov integral

∫ +∞a

|f(x)|dx < +∞. Tada je funkcijaf Lebeg integrabilna na [a,+∞) i vazi∫ +∞

a

f(x)dx =

∫ +∞

a

fdm.

3.1 Osnovna tvrdenja i pojmovi o linearnim DJ drugogreda

Navescemo neke od najosnovnijih pojmova i tvrdenja, bez dokaza, iz oblastilinearnih diferencijalnih jednacina koja ce nam biti neophodna u nastavku.Za dokaze narednih tvrdenja videti [3].

Definicija 3.1. Jednacina u kojoj se nepoznata funkcija i njeni izvodi doreda n javljaju u linearnoj vezi, naziva se linearna diferencijalna jednacinareda n.

Prema tome, linearna DJ je oblika

a0(x)y(n) + a1(x)y

(n−1) + · · ·+ an(x)y = g(x),

gde su a0, a1, ..., an, g date funkcije, definisane na intervalu (a, b). Tacka x0 ∈(a, b) je singularna tacka ako je a0(x0) = 0. U suprotnom, x0 je regularnatacka. Ako se interval (a, b) sastoji samo od regularnih tacaka, jednacina semoze izraziti u kanonskom obliku

y(n) + p1(x)y(n−1) + · · ·+ pn(x)y = f(x), (3.1.1)

43

gde je pi(x) = ai(x)a0(x)

, i = 1, 2, ..., n, f(x) = g(x)a0(x)

. Oblast definisanosti ove

jednacine je D = (a, b)× Rn.

Ako je f(x) ≡ 0, odgovarajuca homogena linearna DJ je

y(n) + p1(x)y(n−1) + · · ·+ pn(x)y = 0. (3.1.2)

Teorema 3.3 (Teorema egzistencije i jedinstvenosti resenja). Akosu funckije p1, p2, ..., pn, f ∈ C(a, b), tada za svako x0 ∈ (a, b) i proizvoljne

konacne vrednosti y0, y′0, ..., y

(n−1)0 postoji jedinstveno resenje y = φ(x) DJ

(3.1.1), definisano na intervalu (a, b) koje zadovoljava pocetne uslove

φ(x0) = y0, φ′(x0) = y′0, . . . , φ

(n−1)(x0) = y(n−1)0 .

Definicija 3.2. Za funkcije φ1, φ2, ..., φn ∈ C(n−1)(a, b), determinanta

W (x) = W (φ1, φ2, ..., φn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣φ1 φ2 · · · φnφ′1 φ′2 φ′n...

φ(n−1)1 φ

(n−1)2 · · · φ

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣se naziva funkcionalna determinanta ili Vronskijan12 funkcija φ1, φ2, ..., φn.

Teorema 3.4. Resenja φ1(x), φ2(x), . . . , φn(x) ∈ C(n)(a, b) DJ (3.1.2)su linearno nezavisna na intervalu (a, b) ako i samo ako je W (x) = 0 zasvako x ∈ (a, b).

Teorema 3.5 (Formula Ostrogradskog13-Liuvila14). Za DJ (3.1.2) Vronski-jan resenja φ1, φ2, . . . φn ∈ C(n)(a, b) jednak je

W (x) =W (x0) exp

{−∫ x

x0

p1(s)ds

}, x ∈ (a, b),

gde je x0 ∈ (a, b) proizvoljna tacka.

Teorema 3.6. Ako je W (x0) = 0 za neko x0 ∈ (a, b), tada je W (x) = 0 zasvako x ∈ (a, b); ako je W (x0) = 0 za neko x0 ∈ (a, b), tada je W (x) = 0 zasvako x ∈ (a, b).

12Hoene Wronski (1778 - 1853), poljski matematicar13Mikhail Ostrogradsky (1801 - 1862), ruski matematicar14Joseph Liouville (1809 - 1882), francuski matematicar

44

Teorema 3.7. Neka su φ1, φ2, ..., φn ∈ C(n)(a, b) linearno nezavisna resenjalinearne DJ (3.1.2) i neka je φ ∈ C(n)(a, b) proizvoljno netrivijalno resenjeove jednacine. Tada postoje konstante c1, c2, ..., cn tako da je

φ(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) + ...+ cnφn(x).

Definicija 3.3. Skup od n linearno nezavisnih resenja jednacine (3.1.2),definisanih na intervalu (a, b), naziva se fundamentalan sistem resenja.

Posmatrajmo homogenu linearnu DJ drugog reda

y′′ + p1(x)y′ + p2(x)y = 0, (3.1.3)

gde su p1, p2 ∈ C(a, b). Ako je poznato partikularno resenje y = φ1(x) DJ(3.1.3) sa osobinom φ1(x) = 0 za svako x ∈ (a, b), drugo partikularno resenjeje odredeno Abelovom15 formulom

φ2(x) = φ1(x)

∫exp

{−∫p1(x)dx

}φ21(x)

dx.

Funkcije y = φ1(x) i y = φ2(x) cine fundamentalan sistem resenja.

Ako su funkcije p1 ∈ C(1)(a, b), p2 ∈ C(a, b), smenom

y(x) = z(x) exp

{−1

2

∫ x

x0

p1(s)ds

}DJ (3.1.3) se moze transformisati u DJ bez prvog izvoda

z′′(x) + q(x)z(x) = 0, (3.1.4)

gde je

q(x) = p2(x)−p1(x)

2

4− p′1(x)

2.

Takode, DJ (3.1.3) moze biti predstavljena i u obliku

(p(x)y′)′ + q(x)y = 0, (3.1.5)

15Nils Henrik Abel (1802 - 1829), norveski matematicar

45

gde je

p(x) = exp

{∫ x

x0

p1(s)ds

}, q(x) = −b(x) exp

{∫ x

x0

p1(s)ds

}.

Ako je poznato partikularno resenje y = φ1(x) DJ (3.1.5), gde je p ∈C(1)[a,+∞) i q ∈ C[a,+∞), drugo linearno nezavisno resenje je dato for-mulom

φ2(x) = φ1(x)

∫ x

x0

ds

p(s)φ1(s)2ili φ2(x) = φ1(x)

∫ +∞

x

ds

p(s)φ1(s)2(3.1.6)

u zavisnosti od toga da li je∫ +∞

a

ds

p(s)φ1(s)2= +∞ ili

∫ +∞

a

ds

p(s)φ1(s)2< +∞.

3.2 Sturmova teorija linearnih DJ

Smatracemo da je DJ (3.1.3) pomocu invarijante transformisana u DJ

y′′ + q(x)y = 0, (3.2.1)

gde je q ∈ C(a, b).

U kvalitativnoj analizi linearnih DJ od posebnog interesa je ispitati da liresenje ima konacno ili prebrojivo beskonacno nula. Od interesa je ispitatinjihov broj i rastojanje medu njima. Trivijalno resenje ima neprebrojivomnogo nula, pa se izuzima iz razmatranja.

Definicija 3.4. Netrivijalno resenje DJ (3.2.1) je oscilatorno na intervalu(a, b) ako ima beskonacno mnogo nula na tom intervalu. U suprotnom,resenje je neoscilatorno.

Stav 3.1. Svako netrivijalno resenje DJ (3.2.1) na proizvoljnom segmentu[α, β] ⊂ (a, b) moze imati samo konacno mnogo nula.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da prozivoljno resenje y = φ(x) DJ(3.2.1), na segmentu [α, β] ima prebrojivo mnogo nula x1, x2, . . . Kako je niz(xn)n ogranicen, to mora da postoji bar jedna tacka nagomilavanja ovog nizax∗ ∈ [α, β]. Neka je (xnk

)k podniz niza (xn)n takav da je limk→+∞ xnk= x∗.

46

Kako je φ(xnk) = 0 i φ ∈ C[a, b] vazice da je limk→+∞ φ(xnk

) = φ(x∗) = 0.

Prema Rolovoj teoremi, za svaki prirodan broj k postoji ηnk∈ [xnk−1

, xnk]

tako da je φ′(ηnk) = 0. Kako je limk→+∞ ηnk

= x∗ i φ′ ∈ C[a, b], tolimk→+∞ φ

′(ηnk) = φ′(x∗). Prema tome, φ(x∗) = 0, φ′(x∗) = 0. Ove pocetne

uslove zadovoljava i trivijalno resenje, pa prema Teoremi egzistencije i jedistve-nosti resenja sledi da je φ(x) ≡ 0 na (a, b), sto je suprotno polaznoj pret-postavci da je φ(x) netrivijalno resenje. Dakle, resenje φ(x) na segmentu[α, β] moze imati samo konacno mnogo nula. ♢

Lema 3.1. Linearno nezavisna resenja DJ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, (3.2.2)

gde su p, q ∈ C(a, b), ne mogu imati zajednickih nula.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, neka je x0 zajednicka nula resenja y =φ1(x) i y = φ2(x). Tada bi vazilo da je W (x0) = 0, sto prema Teoremi 3.6povlaci da je W (x) = 0, x ∈ (a, b), sto je suprotno pretpostavci da su resenjaφ1 i φ2 linearno nezavisna. ♢

Sledece dve teoreme, poznate kao Sturmove teoreme o razdvajanju iuporedivanju, predstavljaju osnovna tvrdenja u teoriji oscilatornosti linearnihdiferencijalnih jednacina drugog reda.

Teorema 3.8 (Sturmova16 teorema o razdvajanju). Nule dva proizvo-ljna linearno nezavisna resenja jednacine (3.2.2) gde su p, q ∈ C(a, b), medu-sobno se razdvajaju.

Dokaz: Neka su y = φ1(x), y = φ2(x) proizvoljna linearno nezavisnaresenja jednacine (3.2.2), i neka su x0 i x1 susedne nule resenja y = φ1(x),pri cemu je a < x0 < x1 < b. Dokazimo da postoji samo jedna nula x resenjay = φ2(x), tako da je x0 < x < x1.

Pretpostavimo suprotno, da resenje y = φ2(x) nema nula na intervalu(x0, x1). Kako je φ2 ∈ C(a, b) i φ2(x) = 0, x ∈ (a, b), to mora biti φ2(x) > 0na intervalu (a, b) ili φ2(x) < 0. Posto su y = φ1(x) i y = φ2(x) linearnonezavisna resenja, po prethodnoj lemi mora biti φ2(x0) = 0 i φ2(x1) = 0.Kako je

−(φ1(x)

φ2(x)

)′=W (x)

φ22(x)

,

16J.H.F. Sturm (1803 - 1855), nemacki matematicar

47

to je

−φ1(x)

φ2(x)

∣∣∣x1x0

=

∫ x1

x0

W (x)

φ22(x)

dx.

Medutim, ova jednakost nije moguca jer je leva strana jednakosti jednakanuli, a na desnoj strani je broj razlicit od nule. Zbog toga mora postojatinajmanje jedna nula x resenja φ2(x), tako da je x0 < x < x1.

Dokazimo da je x jedina nula resenja y = φ2(x) izmedu x0 i x1. Zaista, akobi na intervalu (x0, x1) postojala jos jedna nula ovog resenja, po prethodnomzakljucku izmedu ovih nula bi postojala nula resenja y = φ1(x), sto nijemoguce jer su x0 i x1 susedne nule resenja y = φ1(x). ♢

Prethodna teorema daje vrlo znacajno svojstvo linearnih DJ da se svo-jstva oscilatornosti i neoscilatornosti medusobno iskljucuju, tj. sva resenjalinearne DJ drugog reda su ili oscilatorna ili neoscilatorna.

Teorema 3.9 (Sturmova teorema o uporedivanju). Neka za jednacine

y′′ + q1(x)y = 0, i z′′ + q2(x)z = 0

vazi q1, q2 ∈ C(a, b) i q1(x) ≤ q2(x) za svako x ∈ (a, b). Tada se izmedu svakedve susedne nule bilo kog resenja y(x) prve DJ nalazi najmanje jedna nulabilo kog resenja z(x) druge DJ, sem ako je q1(x) ≡ q2(x) i y(x) = cz(x).

Dokaz: Neka su x0 i x1 susedne nule proizvoljnog netrivijalnog resenjay = φ1(x) prve DJ i neka je, na primer φ1(x) > 0 na intervalu (x0, x1).Tada mora biti φ′1(x0) > 0 i φ′1(x1) < 0, jer bi u suprotnom resenje φ1 bilotrivijalno zbog trivijalnih pocetnih uslova.

Pretpostavimo suprotno, da na intervalu (x0, x1) resenje z = φ2(x) drugeDJ nema nula. Na primer, neka je φ2(x) > 0, x ∈ (x0, x1). Ako se identiteti

φ′′1(x) + q1(x)φ1(x) = 0, φ′′2(x) + q2(x)φ2(x) = 0, x ∈ (x0, x1),

pomnoze redom sa φ2(x) i φ1(x) i oduzmu, dobija se

[φ′1(x)φ2(x)− φ1(x)φ′2(x)]

′ + [q1(x)− q2(x)]φ1(x)φ2(x) = 0, x ∈ (x0, x1),

odnosno, da je W (x), x ∈ [x0, x1] neopadajuca funkcija:

W ′(x) = (q2(x)− q1(x))φ1(x)φ2(x) ≥ 0.

48

Medutim, primetimo da je

W (x0) = W [φ1(x0), φ2(x0)] = φ′1(x0)φ2(x0) ≥ 0

W (x1) = W [φ1(x1), φ2(x1)] = φ′1(x1)φ2(x1) ≤ 0,

sto je u kontradikciji sa tim da jeW neopadajuca funkcija, sem ako je q1(x) ≡q2(x). U tom slucaju je y(x) = cz(x), za neko c. ♢

Iz ovog tvrdenja sledi da sto je funkcija q(x) veca, broj oscilacija resenjaDJ (3.2.1) je veci. Drugim recima, ono se moze koristiti za uporedivanjerezima oscilatornosti resenja dveju diferencijalnih jednacina.

Stav 3.2. Ako je funkcija q ∈ C(a, b) i q(x) ≤ 0 za svako x ∈ (a, b), tadasvako netrivijalno resenje DJ (3.2.1) ima najvise jednu nulu na intervalu(a, b).

Dokaz: Neka je y = φ(x) proizvoljno netrivijalno resenje pomenute DJ.Pretpostavimo suprotno: neka su x0 i x1 susedne nule resenja y = φ(x). Bezgubljenja opstosti pretpostavimo da je φ(x) > 0, x ∈ (x0, x1). Tada mora bitiφ′(x0) > 0 i φ′(x1) < 0, jer bi u suprotnom resenje y = φ(x) bilo trivijalnozbog pocetnih uslova φ(x0) = φ′(x0) = 0.

Sa druge strane, kako je

φ′′(x) = −q(x)φ(x) ≥ 0, x ∈ [x0, x1],

funkcija φ′(x) je monotono neopadajuca na segmentu [x0, x1]. To je nemogucejer je φ′(x0) > 0 i φ′(x1) < 0, pa nije moguca ni polazna pretpostavka daresenje y = φ(x) ima vise od jedne nule na intervalu (a, b). ♢

Rikatijeva metoda zasnovana je na cinjenici da ako je y(x) netrivijalnoresenje linearne DJ

(p(x)y′(x))′ + q(x)y(x) = 0, (3.2.3)

gde je p ∈ C(1)(a, b), q ∈ C(a, b) tada je

ω(x) =p(x)y′(x)

y(x)

resenje Rikatijeve DJ

ω′ +1

p(x)ω2 + q(x) = 0. (3.2.4)

Fundamentalna veza izmedu jednacina (3.2.3) i (3.2.4) data je u narednojteoremi.

49

Teorema 3.10. Jednacina (3.2.3) ima resenje y(x) koje nema nula na J ⊂(a, b) ako i samo ako Rikatijeva DJ (3.2.4) ima resenje ω(x) koje je definisanona J.

Dokaz: (⇒:) Pretpostavimo da je y(x) resenje DJ (3.2.3) takvo da jey(x) = 0 za x ∈ J. Tada funkcija

ω(x) =p(x)y′(x)

y(x)

zadovoljava jednacinu (3.2.4) za x ∈ J. Zaista,

ω′(x) =[p(x)y′(x)]′

y(x)− p(x)y′(x)2

y(x)2.

Iz poslednje jednakosti i jednacine (3.2.3) imamo da je

ω′(x) =−q(x)y(x)

y(x)− p(x)

(y′(x)

y(x)

)2

⇒ ω′(x) = −q(x)− ω(x)2

p(x).

(⇐:) Neka je ω(x) resenje Rikatijeve DJ (3.2.4) definisano za x ∈ J. Tada jeresenje y(x) Kosijevog problema

y′ =ω(x)

p(x)y, y(x0) = 1, x0 ∈ J, (3.2.5)

definisano na celom intervalu J. Pokazimo da je y(x) pozitivno resenje lin-earne DJ (3.2.3) definisano na J. Zaista, kako je sgny′(x) = sgnω(x), jer jey(x) > 0, x ∈ J, zamenom (3.2.5) u (3.2.3) dobicemo

(p(x)y′(x))′ + q(x)y(x) = (y(x)ω(x))′ + q(x)y(x)

= y′(x)ω(x) + y(x)ω′(x) + q(x)y(x)

= y(x)ω(x)2

p(x)− y(x)

(1

p(x)ω(x)2 + q(x)

)+ q(x)ω(x) = 0.

50

3.3 Egzistencija pravilno promenljivih resenja

Navescemo Banahovu17 teoremu o fiksnoj tacki bez dokaza, zbog primene unarednim teoremama.

Definicija 3.5. Neka je (X, d) metricki prostor. Preslikavanje T : X → Xje kontrakcija ako postoji λ ∈ [0, 1), tako da vazi

d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y),

za svako x, y ∈ X.

Teorema 3.11 (Banahova teorema o fiksnoj tacki). Neka je (X, d)kompletan metricki prostor i T : X → X kontrakcija. Tada preslikavanje Tima tacno jednu fiksnu tacku.

Lema 3.2. Neka je za neko a > 0, p ∈ C1[a,+∞), q ∈ C[a,+∞), p(x) > 0i neka je A skup svih pozitivnih rastucih ili negativnih opadajucih resenja DJ

(p(x)y′(x))′ = q(x)y(x). (3.3.1)

Ukoliko je jedno resenje ovog skupa ograniceno, sva resenja su ogranicena.

Dokaz: Neka je u ograniceno resenje DJ (3.3.1) iz skupa A. Bez gubljenjaopstosti mozemo pretpostaviti da je u pozitivno resenje i neka je v drugolinearno nezavisno resenje pomenute DJ koje pripada skupu A. Ako takvoresenje ne bi postojalo, onda bi sva resenja skupa A bila oblika v(x) = cu(x),pa bi kao takva bila ogranicena.

Takode, bez gubljenja opstosti mozemo pretpostaviti i da je za proizvoljnoodabranu tacku x0 ∈ [a,+∞) ispunjen uslov W (x0) > 0, jer bi u suprotnomvazilo da je W (u(x0),−v(x0)) > 0, pa bismo tada posmatrali resenje −v.

Primenom formule Ostrogradskog-Liuvila vazi

W (x) = W (x0)p(x0)

p(x),

a odatle jeu′(x)v(x)− u(x)v′(x)

v(x)2=

c

p(x)v(x)2, (3.3.2)

17Stefan Banach (1892 - 1945), poljski matematicar

51

gde je c = p(x0)W (x0) > 0. Integracijom jednakosti (3.3.2) na segmentu[x0, x] dobijamo da je

u(x)

v(x)=u(x0)

v(x0)+ c

∫ x

x0

ds

p(s)v(s)2>u(x0)

v(x0),

a odavde imamo

v(x) <v(x0)

u(x0)u(x), (3.3.3)

jer je u(x) > 0. Konacno, kako je u ograniceno resenje, zakljucujemo da jei resenje v takvo. S obzirom da je proizvoljno resenje linearne DJ (3.3.1)linearna kombinacija resenja u i v, to ce svako resenje biti ograniceno. ♢

Lema 3.3. Neka je za neko a > 0, p ∈ C1[a,+∞), q ∈ C[a,+∞), p(x) > 0,q(x) ≥ 0, i postoji b tako da je q(x) > 0 na [b,+∞). Tada jednacina (3.3.1)ima pozitivno, opadajuce resenje na intervalu (x0,+∞), za neko x0 > a.

Dokaz: Dokazacemo da je proizvoljno netrivijalno resenje v navedenelinearne diferencijalne jednacine strogo monotono na intervalu (x0,+∞), zaneko x0 > a.

Neka je M(x) = p(x)v(x)v′(x). Kako je

M ′(x) = q(x)(v(x))2 + p(x)(v′(x))2 ≥ 0 (3.3.4)

za x ≥ a, funkcija M je monotona na intervalu [a,+∞). Mogu nastupiti trislucaja:

(1) M(x) < 0 za svako x > x0, gde je x0 > a. U tom slucaju je v(x)v′(x) <0, te je v′(x) = 0, za svako x > x0, odakle zbog neprekidnosti funkcijev′ zakljucujemo da mora biti v′(x) > 0 ili v′(x) < 0, tj. da je funkcijav strogo monotona na intervalu (x0,+∞).

(2) M(x) = 0 za x > x0, x0 > a. Tada jeM ′(x) = 0 za x > x0, pa iz (3.3.4)zakljucujemo da je q(x)(v(x))2 = 0, x > x0. Kako je pocevsi od nekogb funkcija q strogo pozitivna, to bi znacilo da je v(x) = 0, x ≥ b, tj.da je resenje jednacine (3.3.1) trivijalno, sto je suprotno pretpostavci.Dakle, ne moze nastupiti ovaj slucaj.

(3) M(x) > 0, pocevsi od nekog x0 > a. Analogno kao u slucaju (1) dola-zimo do zakljucka da je funkcija v(x) strogo monotona na intervalu(x0,+∞).

52

Dalje, podelimo skup svih resenja u dve klase:

A = {y = y(x) resenje DJ : (∃z)(y(z)y′(z) ≥ 0)}

B = {y = y(x) resenje DJ : (∃z)(∀x ≥ z)(y(x)y′(x) < 0)}.

Zbog monotonosti resenja DJ (3.3.1), resenja skupaA su pozitivna, rastucaili negativna, opadajuca. Analogno, resenja skupa B su pozitivna i opadajucaili negativna i rastuca.

Skup A je neprazan, jer sadrzi resenja sa pozitivnim pocetnim uslovima.Da bismo dokazali tvrdenje, potrebno je i dovoljno da pokazemo da je skupB neprazan.

Neka je v resenje iz skupa A, sa pozitivnim pocetnim uslovima. Tada jefunkcija

u(x) = v(x)

∫ x

x0

ds

p(s)v2(s)

drugo linearno nezavisno resenje linearne DJ, primenom Abelove formule(3.1.6). Pretpostavimo da je v(x) neograniceno resenje. Zbog monotonosti,funkcija v(x) tezi beskonacnosti. Primetimo da postoji granicna vrednost

limx→+∞

u(x)

v(x)= lim

x→+∞

∫ x

x0

ds

p(s)v2(s)= K, (3.3.5)

gde je K < +∞ ili K = +∞. Ako je K = +∞, neka je ω(x) resenje zadatosa

ω(x) = u(x)

∫ x

x1

ds

p(s)u2(s),

za neko x1 ≥ x0. Kako fukcije u i v cine fundamentalan sistem resenja DJ(3.3.1), ω(x) = c1u(x) + c2v(x). Tada je

limx→+∞

ω(x)

u(x)= lim

x→+∞

(c1 + c2

v(x)

u(x)

)= c1 < +∞.

Odavde dolazimo do zakljucka da postoje dva resenja, npr. u i v, za kojavazi (3.3.5), gde je K < +∞. Posmatrajmo funkciju

z(x) = Kv(x)− u(x) = v(x)

(K −

∫ x

x0

ds

p(s)v2(s)

),

53

koja je, kao linearna kombinacija u i v, takode resenje linearne DJ. Kako je

limx→+∞

v(x) = +∞, limx→+∞

(K −

∫ x

x0

ds

p(s)v2(s)

)= 0,

to mozemo primeniti Lopitalovo pravilo, odakle dobijamo

limx→+∞

z(x) = limx→+∞

1

p(x)v′(x).

Kako je p(x)v′(x) pozitivna, neopadajuca funkcija, postoji konacna granicnavrednost na desnoj strani jednakosti. Odavde zakljucujemo da je resenje zDJ (3.3.1) ograniceno, pa ako bi resenje z pripadalo skupu A, na osnovuLeme 3.2 sva resenja skupa A bi bila ogranicena, tako i v, sto je suprotnopretpostavci. Dakle, z ∈ B.

Sada posmatrajmo slucaj kada je resenje v iz skupa A ograniceno. Tada,kao sto smo vec napomenuli, i ostala resenja DJ (3.3.1) skupaA su ogranicena.Neka su u i v proizvoljna resenja sa pozitivnim pocetnim uslovima. Monoto-nost ovih resenja dovodi do sledeceg zakljucka:

limx→+∞

v(x) = a, limx→+∞

u(x) = b.

Tada za resenjez(x) = au(x)− bv(x)

vazilim

x→+∞z(x) = 0.

Kako je z(x) monotono resenje na (x0,+∞), pripada klasi B. Specijalno,ukoliko je z(x0) > 0, z(x) je opadajuce. U suprotnom, −z(x) bice trazenoresenje. ♢

Teorema 3.12. Neka je −∞ < c < 1/4 i neka su α1 i α2 (α1 > α2) dvarealna korena kvadratne jednacine

α2 − α + c = 0. (3.3.6)

Dalje, neka su ℓi, i = 1, 2 normalizovane slabo promenljive funkcije. Tadapostoje dva linearno nezavisna pravilno promenljiva resenja

yi(x) = xαiℓi(x), i = 1, 2, (3.3.7)

54

jednaciney′′ + q(x)y = 0 (3.3.8)

ako i samo ako

x

∫ +∞

x

q(t)dt→ c, (3.3.9)

kada x→ +∞. Vazi jos i ℓ2(x) ∼ {(2α1 − 1)ℓ1(x)}−1 kada x→ +∞.

Dokaz: (⇒:) Pretpostavimo da je y1(x) = xα1ℓ1(x), gde je ℓ1 norma-lizovana sporo promenljiva funkcija, resenje diferencijalne jednacine (3.3.8).Primetimo da je u tada y1 normalizovana pravilno promenljiva funkcija, paprimenom (1.3.1) je

limx→+∞

xy′1(x)

y1(x)= α1. (3.3.10)

Odavde je

limx→+∞

y′1(x)

y1(x)= 0. (3.3.11)

Uz koriscenje identiteta

y′′1y1

=

(y′1y1

)′+

(y′1y1

)2

i cinjenice da je y1 resenje DJ (3.3.8) vazi jednakost(y′1y1

)′+

(y′1y1

)2

+ q(x) = 0. (3.3.12)

Nakon integracije jednakosti (3.3.12) na intervalu (x,+∞), uz koriscenje(3.3.11) i mnozenja dobijene jednakosti sa x, dolazimo do jednakosti

−xy′1(x)

y1(x)+ x

∫ +∞

x

(ty′1(t)

y1(t)

)2

t−2dt+ x

∫ +∞

x

q(t)dt = 0. (3.3.13)

Primetimo da je∫ +∞(ty′1(x)y1(x)

)2

x−2dx <∞, pa je limx→+∞

∫ +∞

x

(ty′1(t)

y1(t)

)2

t−2dt = 0,

te pri izracunavanju granicne vrednosti drugog sabirka jednakosti (3.3.13)kada x tezi beskonacnosti mozemo primeniti Lopitalovo pravilo. Stoga,

55

prelaskom na granicnu vrednost u pomenutoj jednakosti dobijamo uz pri-menu (3.3.10)

limx→+∞

x

∫ +∞

x

q(t)dt = α1 − α21 = c.

(⇐:) Pretpostavimo da je ispunjen uslov (3.3.9). Potrazimo resenje y1 dife-rencijalne jednacine (3.3.8) u obliku

y1(x) = exp{∫ x

x1

u(t)dt}.

Na osnovu Teoreme 3.10, y1(x) je resenje jednacine (3.3.8) ako i samo ako jeu(x) resenje Rikatijeve diferencijalne jednacine

u′(x) + u(x)2 + q(x) = 0. (3.3.14)

Definisimo

ϕc(x) = x

∫ +∞

x

q(t)dt− c.

Funkciju u cemo predstaviti u obliku

u(x) =α1 + ϕc(x)− v(x)

x, (3.3.15)

pa se problem svodi na odredivanje nepoznate funkcije v. Zamenom (3.3.15)u (3.3.14), uz koriscenje da je α2

1 − α1 + c = 0 i ϕ′c(x) =∫ +∞x

q(t)dt− xq(x),dobijamo diferencijalnu jednacinu

v′(x) +2α1 − 1 + 2ϕc(x)

xv(x)− v(x)2 + ϕc(x)

2 + 2α1ϕc(x)

x= 0, (3.3.16)

gde je v nepoznata funkcija. Ova diferencijalna jednacina moze biti predstavlje-na u obliku

(ρ(x)v(x))′ − ρ(x)

x[v(x)2 + ϕc(x)

2 + 2α1ϕc(x)] = 0, (3.3.17)

gde je

ρ(x) = exp{∫ x

1

2α1 − 1 + 2ϕc(t)

tdt}.

56

Kako je limt→+∞ ϕc(t) = 0, na osnovu Teoreme o reprezentaciji funkcija ρje normalizovana pravilno promenljiva indeksa regularnosti 2α1 − 1, gde je2α1 − 1 > 0 s obzirom da je α1 vece resenje kvadratne jednacine (3.3.6).

Kako je ρ pravilno promenljiva funkcija pozitivnog indeksa, imamo

limx→+∞

1

ρ(x)= 0, lim

x→+∞

∫ x

x1

ρ(t)

tdt = +∞,

pa primenom Lopitalovog pravila i (2.4.1) dobijamo

limx→+∞

1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

tdt = lim

x→+∞

ρ(x)

xρ′(x)=

1

2α1 − 1. (3.3.18)

Dalje, ako je h ∈ C[x1,+∞) i limx→+∞ h(x) = 0, tada je

limx→+∞

1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

th(t)dt = 0, (3.3.19)

uz ponovnu primenu Lopitalovog pravila.

DefinisimoΦc(x) = sup

t≥x|ϕc(t)|1/2 (3.3.20)

i izaberimo x1 > 0 tako da je

Φc(x1) ≤2α1 − 1

4(α1 + 1)< 1 (3.3.21)

i1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

t≤ 2

2α1 − 1, (3.3.22)

za svako x ≥ x1, sto je moguce zbog limx→+∞ ϕc(x) = 0 i (3.3.18).

Neka je skup C0[x1,+∞) odreden sa

C0[x1,+∞) =

{v ∈ C[x1,+∞) : lim

x→+∞v(x) = 0

}.

Definisimo normu∥v∥ = sup

x≥x1|v(x)|

57

na pomenutom skupu. Jasno je da je prostor (C0[x1,+∞), ∥ · ∥) Banahov.Dalje, posmatrajmo skup

V = {v ∈ C0[x1,+∞) : |v(x)| ≤ Φc(x1) za x ≥ x1} (3.3.23)

i definisimo preslikavanje F : V → C0[x1,+∞)

Fv(x) = 1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

t[v(t)2 + ϕc(t)

2 + 2α1ϕc(t)]dt, (3.3.24)

za svako x ≥ x1. Ako je v ∈ V, tada na osnovu (3.3.21) i (3.3.22) vazi

|Fv(x)| ≤ 2(α1 + 1)Φc(x1)2 1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

tdt

≤ 4(α1 + 1)

2α1 − 1Φc(x1)

2 ≤ Φc(x1),

za svako x ≥ x1. Takode,

limx→+∞

Fv(x) = 0,

na osnovu (3.3.19) s obzirom da je v(x)2 + ϕc(x)2 + 2α1ϕc(x) neprekidna

funkcija koja konvergira nuli. Odavde, Fv ∈ V, tako da preslikavanje F slikaV na njega samog. Ako v1, v2 ∈ V tada, za x ≥ x1 vazi

|Fv1(x)−Fv2(x)| ≤ 1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

t(|v1(t)|+ |v2(t)|)|v1(t)− v2(t)|dt

≤ 2Φc(x1)∥v1 − v2∥1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

tdt

≤ 4Φc(x1)

2α1 − 1∥v1 − v2∥

≤ 1

α1 + 1∥v1 − v2∥,

sto pokazuje da je preslikavanje F kontrakcija.

Sada mozemo primeniti Banahovu teoremu o fiksnoj tacki, odakle postojiv ∈ V tako da

v(x) =1

ρ(x)

∫ x

x1

ρ(t)

t[v(t)2 + ϕc(t)

2 + 2α1ϕc(t)]dt, (3.3.25)

58

za svako x ≥ x1, odakle sledi da je v(x) resenje diferencijalne jednacine(3.3.17) na intervalu [x1,+∞). Kako je limx→+∞(ϕc(x)− v(x)) = 0, i

y1(x) = exp

{∫ x

x1

α1 + ϕc(t)− v(t)

tdt

}= c1x

α1

{∫ x

x1

ϕc(t)− v(t)

tdt

}≡ xα1ℓ1(x),

gde je c1 = 1/x1α1 , resenje y1 je pravilno promenljiva funkcija indeksa regu-

larnosti α1, dok je ℓ1 normalizovana sporo promenljiva funkcija.

Drugo linearno nezavisno resenje y2(x) jednacine (3.3.8) odredeno je for-mulom (3.1.6)

y2(x) = y1(x)

∫ +∞

x

dt

y1(t)2. (3.3.26)

Primenom direktnog smera Karamatine integralne teoreme, s obzirom da je−2α1 < −1, dobijamo

y2(x) = xα1ℓ1(x)

∫ +∞

x

t−2α1ℓ1(t)−2dt

∼ xα1ℓ1(x)−1 x

1−2α1

2α1 − 1

= xα2ℓ1(x)

−1

2α1 − 1, (x→ +∞)

odakle na osnovu Stava 2.4 sledi da je y2 pravilno promenljiva funkcija in-deksa regularnosti α2, tj. y2(x) = xα2ℓ2(x), gde je ℓ2 sporo promenljivafunkcija. Primetimo da je

ℓ2(x) ∼ℓ1(x)

−1

2α1 − 1(x→ +∞). (3.3.27)

Ostaje da pokazemo da je ℓ2 normalizovana sporo promenljiva funkcija.Koriscenjem formule (3.3.26) imamo

xy′2(x)

y2(x)= x

y′1(x)

y1(x)− x

y1(x)y2(x),

59

dok zamenom oblika (3.3.7) za y1 i y2 u poslednji sabirak, i kako je α1+α2 = 1,dobijamo

xy′2(x)

y2(x)= x

y′1(x)

y1(x)− 1

ℓ1(x)ℓ2(x).

Kada x → +∞ poznato nam je da xy′1(x)

y1(x)→ α1 i kako uz to vazi (3.3.27),

imamo

limx→+∞

xy′2(x)

y2(x)= α1 − (2α1 − 1) = α2.

Primenom Teoreme 2.5 zakljucujemo da je y2 normalizovana pravilno promenljivafunkcija. ♢

Primer 3.1. Posmatrajmo samo-ajdungovanu DJ(x

x+ 1y′)′

− x lnx+ 2x+ 2

x(x+ 1)2 ln2 xy = 0.

Funkcija x lnx+2x+2x(x+1)2 ln2 x

je pozitivna za dovoljno veliko x. Zato iz uslova

x

∫ +∞

x

t ln t+ 2t+ 2

t(t+ 1)2 ln2 tdt ≤ kx

∫ +∞

x

dt

t2 ln t∼ k

lnx→ 0,

za neko k > 0, zakljucujemo da je c = 0, pa su resenja kvadratne jednacineα2 − α = 0, α1 = 0 i α2 = 1. Primenom prethodne teoreme zakljucujemo daposmatrana DJ ima linearno nezavisna resenja oblika

y1(x) = ℓ1(x), y2(x) = xℓ2(x), ℓ1, ℓ2 ∈ R0.

Zaista, proverom se moze utvrditi da su

y1(x) = (ln x)−1, y2(x) = x

(lnx− 2 +

2

lnx

)dva linearno nezavisna resenja gde je ℓ1(x) = (ln x)−1, ℓ2(x) = lnx−2+2/ lnxpri cemu je ℓ2(x) ∼ 1/ℓ1(x).

Teorema 3.13. Oznacimo

ϕ(x) = x

∫ +∞

x

q(t)dt− 1

4(3.3.28)

60

i pretpostavimo da vazi ∫ +∞ |ϕ(t)|t

dt <∞, (3.3.29)∫ +∞ ψ(t)

tdt <∞, gde je ψ(t) =

∫ +∞

t

|ϕ(s)|s

ds. (3.3.30)

Dalje, neka su ℓi, i = 1, 2 dve normalizovane sporo promenljive funkcije. Tadapostoje dva linearno nezavisna resenja DJ (3.3.8) oblika

y1(x) = x1/2ℓ1(x), y2(x) = x1/2 lnxℓ2(x), (3.3.31)

ako i samo ako je ispunjen uslov

limx→+∞

x

∫ +∞

x

q(t)dt =1

4. (3.3.32)

Vazi jos i ℓ2(x) ∼ ℓ1(x)−1 kada x→ +∞

Dokaz: (⇒:) Pretpostavimo da je y1(x) = x1/2ℓ1(x). Kako je 1/2 resenjekvadratne jednacine

α2 − α +1

4= 0,

ponavljajuci postupak iz Teoreme 3.12 i zamenljujuci α1 sa 1/2, zakljucujemoda je ispunjen uslov (3.3.32).

(⇐:) Slicno kao u dokazu prethodne teoreme, potrazicemo resenje DJ (3.3.8)u obliku

y1(x) = exp{∫ x

x0

ϕ(t) + 12− v(t)

tdt}. (3.3.33)

Na isti nacin, dolazi se do zakljucka da je y1 resenje DJ (3.3.8) ako i samoako funkcija v resenje Rikatijeve DJ

(ρ(x)v(x))′ − ρ(x)

x[v(x)2 + ϕ(x)2 + ϕ(x)] = 0, (3.3.34)

gde je

ρ(x) = exp

{∫ x

1

2ϕ(t)

tdt

}. (3.3.35)

Kako je limx→+∞ ϕ(t) = 0, to za prozivoljno M > 0 postoji a ∈ R tako da|ϕ(x)| < M,x ≥ a. Odavde je

|ϕ(x)2 + ϕ(x)| < m|ϕ(x)|, x ≥ a (3.3.36)

61

gde jem :=M+1. Primetimo da je limx→+∞ ρ(x) = const > 0, zbog (3.3.29),pa odatle i uz koriscenje (3.3.30) postoji x0 > a tako da vazi

ρ(s)

ρ(t)≤ 2, s ≥ t ≥ x0, (3.3.37)

32m

∫ +∞

x0

ψ(t)

tdt ≤ 1. (3.3.38)

Skup

Cψ[x0,+∞) =

{v ∈ C[x0,+∞) : sup

x≥x0

|v(x)|ψ(x)

< +∞},

sa normom

∥v∥ψ = supx≥x0

|v(x)|ψ(x)

predstavlja Banahov prostor. Neka su skup V ⊂ Cψ[x0,+∞) i preslikavanjeG : V → Cψ[x0,+∞) definisani na sledeci nacin

V = {v ∈ Cψ[x0,∞) : |v(x)| ≤ 4mψ(x), x ≥ x0} , (3.3.39)

Gv(x) = 1

ρ(x)

∫ +∞

x

ρ(t)

t[ϕ(t)2 + ϕ(t) + v(t)2]dt, x ≥ x0. (3.3.40)

Pokazacemo da je G kontrakcija na V. Zapravo, ako je v ∈ V tada primenom(3.3.36), (3.3.37) i cinjenice da je ψ opadajuca pozitivna funkcija zbog nacinadefinisanja, a zatim (3.3.38) imamo da vazi

|Gv(x)| ≤ 1

ρ(x)

∫ +∞

x

ρ(t)

t

[m|ϕ(t)|+ 16m2ψ(t)2

]dt

≤ 2m

∫ +∞

x

|ϕ(t)|t

dt+ 32m2ψ(x)

∫ +∞

x

ψ(t)

tdt

≤ 2mψ(x) +mψ(x) ≤ 4mψ(x),

za svako x ≥ x0. Dakle, G : V → V. Dalje, ako su v1 i v2 ∈ V, vazi

|Gv1(x)− Gv2(x)| ≤ 1

ρ(x)

∫ +∞

x

ρ(t)

t(|v1(t)|+ |v2(t)|)|v1(t)− v2(t)|dt

≤ 16m

∫ +∞

x

ψ(t)

t|v1(t)− v2(t)|dt

≤ 16m∥v1 − v2∥ψψ(x)∫ +∞

x

ψ(t)

tdt,

62

za svako x ≥ x0, odakle sledi da je

∥Gv1 − Gv2∥ψ ≤ 1

2∥v1 − v2∥ψ. (3.3.41)

Dakle, preslikavanje G je kontraktivno, pa primenom Banahove teoreme ofiksnoj tacki, postoji v ∈ V tako da vazi

v(x) =1

ρ(x)

∫ +∞

x

ρ(t)

t[ϕ(t)2 + ϕ(t) + v(t)2]dt, x ≥ x0, (3.3.42)

pa je v resenje diferencijalne jednacine (3.3.34) za x ≥ x0. Odatle je y1,definisano sa (3.3.33), gde je v odredeno sa (3.3.42), resenje DJ (3.3.8).

Pokazimo da su resenja y1 i y2 oblika (3.3.31). Kako je integral∫ +∞ |ϕ(t)|

tdt

konvergentan, vazicelim

x→+∞ψ(x) = 0,

a kako je |v(x)| ≤ 4mψ(x), x ≥ x0, sledi da je limx→+∞

v(x) = 0, pa je

limx→+∞

(ϕ(x) + v(x)) = 0.

Konacno mozemo na osnovu na osnovu Teoreme o reprezentaciji zakljucitida je y1(x) = x1/2ℓ1(x), gde je ℓ1 normalizovana sporo promenljiva funkcija,

ℓ1(x) = exp

{∫ x

x0

ϕ(t)− v(t)

tdt

}.

Na osnovu Abelove formule (3.1.6), drugo linearno nezavisno resenje DJ(3.3.8) je

y2(x) = y1(x)

∫ x

x0

dt

y21(t).

Kako je|ϕ(t)− v(t)| ≤ |ϕ(t)|+ 4mψ(t)

i vazi (3.3.29) i (3.3.30), zakljucujemo da je limx→+∞

ℓ1(x) = L > 0. Zato je

limx→+∞

∫ x

x0

dt

y1(t)2= lim

x→+∞

∫ x

x0

dt

tℓ1(t)2= +∞,

63

pa mozemo primeniti Lopitalovo pravilo pri izracunavanju sledece granicnevrednosti

limx→+∞

∫ xx0

dty1(t)2∫ xx0

dtt

= limx→+∞

1

ℓ1(x)2=

1

L2.

Odavde dobijamo∫ x

x0

dt

tℓ1(t)2∼ 1

ℓ1(x)2

∫ x

x0

dt

t(x→ +∞),

te je konacno

y2(x) = x1/2ℓ1(x)

∫ x

x0

dt

tℓ1(t)2

∼ x1/2ℓ1(x)−1 lnx (x→ +∞)

a kako je ℓ−11 sporo promenljiva funkcija, y2 se moze predstaviti u trazenomobliku. Primetimo da je

ℓ2(x) ∼ ℓ1(x)−1 (x→ +∞).

Kao u prethodnoj teoremi pokazuje se da je i ℓ2 normalizovana sporo promenljivafunkcija. ♢

Primer 3.2. Posmatrajmo DJ

y′′ +

(x−2

4+ e−x

)y = 0.

Ispunjen je uslov

limx→+∞

x

∫ +∞

x

(t−2

4+ e−t

)=

1

4.

Tada

ϕ(x) = x

∫ +∞

x

(t−2

4+ e−t

)− 1

4= xe−x → 0 (x→ +∞)

pa ocigledno ∫ x

1

|ϕ(t)|t

dt <∞.

64

Ako je ψ(x) =∫ +∞x

|ϕ(t)|tdt = e−x, onda je ispunjen i uslov∫ +∞

1

ψ(t)

tdt <∞.

Kako su ispunjeni svi uslovi Teoreme 3.13, mozemo zakljuciti da posmatranaDJ ima dva linearno nezavisna resenja y1 i y2 oblika

y1(x) = x1/2ℓ(x), y2(x) = x1/2 lnxℓ2(x).

Zaista, za resenja y1 i y2 vazi y1 ∼ x1/2, y2(x) ∼ x1/2 lnx, kada x→ +∞.

65

Biografija

Katarina Kostadinov je rodena 18.8.1991. godine u Nisu.

Osnovnu skolu ”Stefan Nemanja” kao i Gimnaziju ”Svetozar Markovic”u Nisu zavrsila je kao nosilac Vukovih diploma. U Gimnaziji je bila ucenikSpecijalizovanog matematickog odeljenja.

Osnovne akademske studije upisala je skolske 2010./2011. godine naPrirodno - matematickom fakultetu u Nisu, smer Matematika, i iste studije jezavrsila 2013. godine sa prosecnom ocenom 9.92. Skolske 2013./2014. godineupisala je master akademske studije Matematika na Prirodno - matematickomfakultetu u Nisu, i do sada je polozila sve ispite predvidene nastavnim pro-gramom sa prosecnom ocenom 10.00 (ne racunajuci ocenu master rada).

66

Literatura

[1] V. G. Avakumovic, Sur L’equation differentielle de Thomas Fermi,Publ. Inst. Math. (Beograd) 1 (1947)

[2] N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels - Regular variation,Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 27 CambridgeUniversity Press 1987.

[3] S. Jankovic - Diferencijalne jednacine, Univerzitet u Nisu, Prirodno- matematicki fakultet, Nis, 2004.

[4] J. Jaros, T. Kusano - Remarks on the existence of regularly varyingsolutions for second order linear differential equations, Publ. Inst.Math. (Beograd), 72(86)(2002), 113-118

[5] J. Jaros, T. Kusano - Self-adjoint differential equations and general-ized Karamata functions, Bull. T. de Acad. Serbe Sci. Arts, ClasseSci. Mat. Nat., Sci. Math. Vol T.CXXIX, No.29, 25-60

[6] V. Maric - Regular variation and Differential equations, LectureNotes in Mathematics, 1726, Springer, 2000.

[7] B. Mirkovic - Teorija mera i integrala, Naucna knjiga, Beograd,1990.

67