REALNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE

Pojam funkcije spada u jedan od najvažnijih pojmova ukupne matematičke literature.

Osnovno načelo svake nauke jeste uspostavljanje odnosa, tj. relacija između različitih pojava.

Kada se među pojedinim pojavama uspostave određene relacije, tada je moguće pratiti kretanje

proučavanih pojava, vršiti izvesna predviđanja, odnosno prognoze. Tako na primer, jedno

istraživanje proučava zavisnost između profita neke firme i troškova marketinga te firme, drugo

se istraživanje bavi otkrivanjem zavisnosti između telesne težine i oboljenja krvnih sudova, dok se

istraživanjem tražnje za nekim proizvodom može ustanoviti uticaj cene tog proizvoda na njegovu

tražnju. Po prirodi različiti navedeni primeri istraživanja pokazuju jednu sličnost, a to je

pridruživanje jednog skupa elemenata drugom skupu elemenata. Tako dolazimo do jedne od

definicija funkcije koja glasi:

Funkcija je pravilo kojim se uspostavlja pridruživanje između dva skupa elemenata, odnosno

pravilo kojim se elementima jednog skupa dodeljuju odgovarajući elementi drugog skupa. Na taj

način se jedan skup elemenata praktično preslikava na drugi skup elemenata.

Skup koji se preslikava čini domen, odnosno oblast definisanosti funkcije, dok se skup elemenata

na koji se preslikava ovaj skup označava kao kodomen funkcije.

Funkcija 𝑓: 𝐴 → 𝐵, gde su A i B podskupovi skupa realnih brojeva zove se realna funkcija realne

promenljive. Skup A zovemo domen ili područje definisanosti funkcije f, a skup B zovemo

kodomen ili područje vrednosti funkcije f. Takva funkcija se zadaje formulom 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Element x je nezavisno promenljiva (argument ili original), a y je zavisno promenljiva ili slika

elementa x u odnosu na funkciju f.

1) Domen funkcije je maksimalan skup na kome zakon pridruživanja ima smisla

2) Funkcija je pozitivna ako je 𝑓(𝑥) > 0, 𝑧𝑎 𝑠𝑣𝑒 𝑥 ∈ 𝐴, a negativna ako je 𝑓(𝑥) <

0, 𝑧𝑎 𝑠𝑣𝑒 𝑥 ∈ 𝐴.

3) Broj 𝑥0 za koji važi 𝑓(𝑥0) = 0 zove se nula funkcije f.

4) Funkcija f je rastuća (strogo rastuća) ako:

(∀𝑥1 ∈ 𝐴)(∀𝑥2 ∈ 𝐴) 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2)(𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)).

Funkcija f je opadajuća (strogo opadajuća) ako:

(∀𝑥1 ∈ 𝐴)(∀𝑥2 ∈ 𝐴) 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)(𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)).

1. ELEMENTARNE FUNKCIJE JEDNE REALNE PROMENLJIVE

1.1 Cela funkcija xfy

Linearne i kvadratne funkcije su najčešći oblici celobrojne funkcije.

1.1.1 Linearna funkcija

Funkcija y f x je linearna funkcija ukoliko je njen analitčki izraz oblika:

y kx n

gde su k i n konstante koje pripadaju skupu realnih brojeva - ,k n R .

Konstanta k zove se još i koeficijent pravca ili nagib, dok je konstanta n poznata pod nazivom

odsečak na y - osi.

Domen linearne funkcije, kao i njen kodomen čini skup realnih brojeva - :D x R (

: ,D x ).

Grafik linearne funkcije jeste prava linija, pri čemu je važno razumeti njene sledeće oblike:

1. 0k , -oštar ugao, funkcija je rastuća

2. 0k , -tup ugao, funkcija je opadajuća

Nula funkcije xf je vrednost Rx 0 za koju je 00 xf i jasno je da je to tačka u kojoj

funkcija seče osu x0 .

i ako je 0k jednačina 0xf ima jedinstveno rešenje n

kx , tj. funkcija ima nulu u

tački

0,

n

kM

ii ako je 0k , 0n tada jednačina 0xf nema rešenja, pa je prava nkxy paralelna

x0 -osi i ne poklapa se sa njom

iii ako je 0 nk prava nkxy se poklapa sa x0 -osom

iv postoji još jedan ekvivalentan oblik linearne jednačine 0 CByAx (opšti) ( RCBA ,,

) i za 0B on se svodi na prethodni

B

Cx

B

Ay

Ako je 0B dobićemo pravu A

Cx paralelnu osi y0

Primer 1.

Naći nulu funkcije:6

13

2

3 xy

9

13

0139

06

13

2

30

x

x

xy

Primer 2.

Odrediti znak funkcije:

a) 12

xxf

I način

2

2

02

012

0

x

x

x

xxf

2012

0 xx

xf

II način

2

21

2

xxxf

0y za 2,x

0y za ,2x

b) 62 xy

𝑦 > 0 𝑧𝑎 2𝑥 − 6 > 0, tj za 𝑥 > 3

0y za 3x

Primer 3.

Skicirati grafik funkcije

a) 4

3

3

xxf

a) 04

3

3

x 094 x

4

9x Za 0x ,

3

4y

1.1.2 Kvadratna funkcija

Funkcija RRf : definisane oblikom

(1) cbxaxxf 2 , gde su ,a b i c realni brojevi i 0a

naziva se kvadratna funkcija.

Domen kvadratne funkcije je skup realnih brojeva, odnosno :D x R .

Ovoj formuli cbxaxxf 2 ekvivalentan je oblik

a

bac

a

bxaxf

4

4

2

22

i naziva se kanonični oblik.

Grafik kvadratne funkcije je parabola, a za a

b

2 i

a

bac

4

4 2 tačka ,T naziva se

teme parabole.

- Ako je 042 acb tada kvadratna funkcija (1) ima dve realne nule određene formulom

a

acbbx

2

42

2,1

i to su tačke u kojima parabola seče osu x0 .

- Ako je 042 acb kvadratna funkcija (1) nema realnih nula.

Za 0a tačka ,T predstavlja minimum funkcije (1), a za 0a ,T biće maksimum

funkcije (1).

Predstavićemo grafički šest slučajeva parabole cbxaxy 2 , 0a .

Slika 1

Slika 2

Slika 3

Slika 4

Slika 5

Slika 6

Presek parabole cbxaxy 2 sa y0 -osom je tačka 0,0 f .

Primer 4.

Ispitati tok funkcije:

a) 2 4y x b) 2 5 6y x x

a) 1 0a , 𝐷𝑓 = 𝑅

2

2

0 4 0

4

y x

x

nema nula

0y za svako 𝑥 ∈ 𝑅

, 0,4T 02

b

a

24 16 94

4 4

ac b

a

b) 1 0a , 𝐷𝑓 = 𝑅

20 5 6 0y x x

1,2

5 25 24 5 7

2 2x

1 1x , 2 6x

0y za 1,6x

0y za , 1 6,x

5 5

2 2 2

b

a

24 24 25 49 40

4 4 4 4

ac b

a

1.2 Racionalne funkcije

Racionalne funkcije su funkcije oblika xq

xpxf , 0xq

Oblast definisanosti: 0xq

Nule: 00 xpy

Znak: 00000

00000

xqxpxqxpy

xqxpxqxpy

Primer 5.

Za date funkcije odrediti oblast definisanosti, nule i znak.

a) 1

1yx

b) 3

1

x

xy c)

2

2

1

xy

x

e)

2

1 2

2

xy

x x

e) 3

2

2

3

xy

x

a) 1 1

1x

yx x

𝑥 ≠ 0, 𝐷𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

1

0 1 0 1 0y xx

; 1x

Znak funkcije

𝑦 < 0 𝑧𝑎 𝑥 ∈ (−1,0) za ostale vrednosti x-sa iz domena funkcija je pozitivna.

b) 𝑦 =𝑥−3

𝑥+1

1) 𝑥 ≠ −1

2) 𝑦 = 0 𝑧𝑎 𝑥 = 3

3)

,31,0

1

30 x

x

xy 0y za 3,1x

c) 1

22

x

xy

1) 1012 xx ,11,11, fD

2) 0020 xxy

3)

,10,101

22

xx

x 1,01,0 xy

e) 2

212

xx

xy

1) 022 xx 2

912,1

x 21 xx

,22,11, fD

2) 2

10210 xxy

3) 0y za

2,

2

11, x 0y za

,2

2

1,1 x

f) 2

2

2

3

xy

x

1) 032 x za Rx RD f

2) 00 xy

3) 0y za x R

1.3 Eksponencijalna funkcija

Funkcija oblika

xy a , 0a , 1a

za svaku konstantu a koja se zove baza jeste eksponencijalna funkcija.

Da bismo izbegli imaginarne brojeve, kao što je 1

23 3 3i , u definisanju eksponencijalne

funkcije zahtevamo da bude 0a , dok je uslov 1a naveden zbog toga što u slučaju kada je

1a imamo 1 1xy , što je konstantna funkcija.

Domen eksponencijalne funkcije je skup realnih brojeva - : ,D x , dok je kodomen ove

funkcije skup svih pozitivnih realnih brojeva - : 0,D x . Prema tome, znak elementarne

eksponencijalne funkcije je uvek pozitivan.

Grafik eksponencijalne funkcije je iznad x - ose budući da je njen znak uvek pozitivan, dok je

presečna tačka grafika sa y - osom tačka 0,1 .

Kako grafik ove funkcije ne seče x - osu, već je uvek iznad nje, to eksponencijalna funkcija nema

nula - 0xa za svako x R .

xay , 0a , 1a

RD f 0y za Rx

Ako je 1a tada je funkcija xay pozitivna za Rx i strogo rastuća za Rx .

Ako je 10 a funkcija xay je pozitivna i strogo opadajuća za Rx .

Primer 6.

Skicirati grafik sledećih funkcija:

a) xy 5 b)

x

y

3

2 c) 4xy e

d) 3xy e e) 1

xy x

f) 2

1

1xy e

Resenje:

a) 1) RD f

2) Funkcija nema nula jer je 05 x za Rx

3) 05 x za Rx i y je rastuća za Rx

b)

x

y

3

2

1) RD f

2) Nema nula

3) 0y za Rx i y je opadajuća funkcija

c) 4xy e

1) RD f

2) nema nula

3) 0y za svako 𝑥 ∈ 𝑅

d) 3xy e

1) fD R

2) nema nula

3) 0y za x R

f) 2

1

1xy e

1) \ 1,1fD R

2) nema nula

3) 0y za fx D

1.4. Logaritamska funkcija

Inverzna funkcija eksponencijalnoj oblika

logay x , 0x , 1x

zove se logaritamska funkcija i čita se logaritam od x za osnovu a . Rezultat logaritamske

funkcije je eksponent kojim treba stepenovati osnovu a da bismo dobili vrednost x (numerus ili

argument). Zbog toga su sledeća dva zapisa ekvivalentna.

logay x yx a

Domen logaritamske funkcije je skup svih pozitivnih realnih brojeva - 0x (što je kodomen

eksponencijalne funkcije), dok je kodomen logaritamske funkcije skup svih realnih brojeva, što je

domen eksponencijalne funkcije.

Grafici logaritamske funkcije prikazani su na narednoj slici.

xy alog , 1,0 aa , 0x

Ako je 1a funkcija xy alog je rastuća za Rx i pozitivna za ,1x , negativna za

1,0x .

Ako je 10 a funkcija xy alog je opadajuća za Rx i pozitivna za 1,0x , negativna

za ,1x .

Primer 7.

Odrediti oblast definisanosti, nule i znak sledećih funkcija:

a) 1log3 xy b) 1ln 2 xy c) x

xy

23

1log

d) 2

2ln

3

xy

x

e) 2log 2 2y x x

Rešenje:

a) 1log3 xy

1) 101 xx ,1fD

2) 0110 xxy

3) 0111log1log01log0 333 xxxxy

b) 1ln 2 xy

1) 012 x ,11, fD

2) 22110 22 xxxy

3) 02110 22 xxy

,22, x

c) x

xy

23

1log

1) 023

1

x

x

2

3,1fD

2) 3

4432311

23

10

xxxx

x

xy

3) 023

1log

x

x 1log

23

1log

x

x 1

23

1

x

x 01

23

1

x

x

023

231

x

xx 0

23

43

x

x

4 3

0 ,3 2

y x

, 4

0 1,3

y x

d) 2

2ln

3

xy

x

1) 03

22

x

x 3,03, fD

2) 0323213

20 22

2

xxxx

x

xy

2

42

2

12422,1

x 31 x 12 x

3) 3,13,303

321

3

20

2

2

2

x

x

xx

x

xy

e) 2log 2 2y x x

1) fD R

2) 20 2 2 1y x x

2 2 1 0x x

1,2 1x

3) 20 2 2 1y x x

2 2 1 0x x

,1 1,x