KATIHAL FZ Prof.Dr. Turgay ATALAY DERS ERBlm 1Cisimlerin Kristal
Yaps Blm 2Kat cisimlerde Atomlar Arasndaki Ba eitleri Blm 3Metal ve
Yariletkenlerin Serbest Elektron Teorisi Blm4Kat Cisimlerin Band
Modeli YARDIMCI KTAPLARIntroduction To Solid State Physics
CharlesKittelSolid State Physical Electronics Aldert van der
ZielKathal FiziiTurgay Atalay Bu ders notlar .. Emekli retim yesi
ve Doktora Hocam Sayn Prof.Dr. Sait AKPINARn notlar esas alnarak
dzenlenmitir. camKesin ergime scakl yok.AMORF GR: KATIHAL NaCl
Kesin ergime scakl var.KRSTAL Ergime Noktas = Donma Noktas = 801 oC
NaClSiONaCln kristal yaps Camn kristal yaps BLM 1CSMLERN KRSTAL
YAPISI Kristaller, birbirinin ayn olan atomik veya molekler yap
talarnn, uzayda, periyodik ve dzenli sralanmas
ilemeydanagelencisimlerdir.Butanmatamamenuyankristaledeal(mkemmel)kristaldenir.Doada
bulunan veya laboratuvarlarda yaplan kristallerin hi biri ideal
kristal deildir. Ancak gz nne alnan fiziksel
zellikbakmndanbazhallerdekristalleriidealkabuletmekmmknolabilir.dealkristalyapsna
ulaabilmek iin byk aba harcanmas gerekir.TRANSLASYON(TELEME)GRUBU
dealbirkristali,gibiayndzlemdeolmayan,temel
teleme(translasyon)vektrtarafndanbelirlenenbirRG yardm ile
tanmlayabiliriz. Bu rgde , herhangi bir noktasndan
rgnoktalarnnkonumlarnabakldndagrlenekil,baka ve
ile tanmlanan baka bir noktadan grlen eklin ayn olmaldr. Burada
n1 , n2ven3keyfi olarak seilen tam saylardr. + + + ='c n b n a n r
r3 2 1a b c, , teleme vektrlerine rg Vektrleriveya rgnn belirledii
+ + = c n b n a n T3 2
1Bunagre,noktalarnboyuttaparaleldizilmesisonucu
oluanrg,aslndavarolmayandnselbirolgudur.Kristalise,
rgnnhernoktasnaoturmu,cins,dorultuvedzen bakmndan birbirinin ei
nitelerin bir araya gelmesinden oluan bir varlktr. Kristal
Eksenleridenir. Bir kristali kendisine paralel olarak
kadar kaydrmayateleme(Translasyon)ilemi ad verilir. n1 , n2ven3'
nalabilecei deerlerin tmne Kristalin teleme Grubudenir.
............ab KRSTALLOGRAFK NOKTA GRUPLARI
NoktaGrubu,rgnnbirnoktasndauygulanabilensimetri
ilemleri'nintmneverilenisimdir.Simetriilemlerinin
uygulanmaskristalinbirimtakmndeimez(invaryant)
brakmaldr.Simetriilemleribirnoktaetrafnda,ntamsay
olmakzere,2t/nasyladnme,yansmavebunlarn kombinasyonundan meydana
gelen ilemlerdir.
telemeileminindnmesimetrialarnakoyduusnrlamaygrmekiinekil1.3dekirg
noktalarnda yaplanas kadar yaplan dnme sonucu ulalanpveqnoktalarn
ele alalm. pqm.aaa a| |ekil
1.3Bunoktalarnrgnoktalarolmasgerekeceinden,asgelii
gzelbiraolamaz.pveqnoktalarnnrgnoktalarolabilmesiiin aralarndaki
m.auzaklnn, rgnn teleme vektra nn bir tam kat olmas, yani, m bir
tam say olmak koulu ile; a . m pq=olmaldr. m.a uzunluu,
m.a = a + 2a Cos |
olduundan,
olur. m, tam say olduundan, (m-1)de tam say olmak zorundadr.
Dier taraftanCos|,1arasndadeerleralabileceinden(m-1)in-2ile+2
arasndakitamdeerlerigeerlizmlerolacaktr.Bunagre,(m-1)in
alabileceideerler,alarvebunlarakargelendnmekatsaylar tabloda
gsterilmitir.21 mCos= |
(m-1)Cos || = 2t / nn 2 1/21202 101203 00904 11/2604 210 - 3601
xDnme Ekseni Dnme-Tersinme Ekseni X/m Dnme Ekseni ile Ona Dik
Yansma Dzlemi X2Dnme Ekseni ile Ona Dik kili eksen XmDnme Ekseni
ile Ona Paralel Yansma Dzlemiveya Dzlemleri xmDnme-Tersinme Ekseni
ile Ona Paralel Yansma Dzlemi veya Dzlemleri m(X/ mm)Dnme Ekseni
ile Ona Dik Bir Yansma Dzlemi ve Paralel Yansma Dzlemleri
xmx1313SSTEM Sistem inderg Says rg Sembol BirimHcre Eksen veAlar
Belirtilmesi Gereken Uzunluklar, Alar rg Simetrileri TRKLN 1 P a=b
= c o = | = a,b,c o , | ,
MONOKLN 2 P C a = b = c o = =90 = | a,b,c | 2 / m ORTOROMBK 4 P
C I F a = b = c o= |= =90 a,b,c m m m TETRAGONAL 2 P I a=b = c o =
| = =90 a,c
4 / m m m KBK 3 P I F a=b=c o = | = =90 a o m 3 m TRGONAL 1 R
a=b=c o = | = > hvolmas hali)k T U ve kTh1 - ekTh~v~vsonucu ve
buradan da Dulong - Petit kural elde edilir.
Mutlaksfryaknlarndaise(hv>>kTolmashali) ortalama enerji kTh-e
h = Uvvve spesifik s, kTh2V2kThkThVkThVekThNk CkThe Nh T dkTh-
dkTh- de dNh Ce NhdTddTd(NU)Cvvvv ||.|
\| v=vv =||.|
\| v||.|
\| vv =v = =olurkibudenklemdeT~0 oKcivarndazglsnnexponansiyel
biimdesfrayaklamasgerektiinigsterir.Busonualak scaklklarda yaplan
llere ne yazk ki ok aykrdr. rnein Ag iin teori ve deneyin verdii
sonular yledir.
T(oK)
llen CV (cal/mol.derece)
Einstein Modeline greCV (cal/mol.der.) Debye Modeline gre
CV(cal/mol.derece) 1.35 2.54.10-4 8.76.10-49
2.0 6.26.10-4 1.32.10-32
3.0 15.7.10-4 6.16.10-20
5 50.9.10-4 1.62.10-11
10 475.10-4 1.27.10-4 502.10-4 20 3995.10-4 94.5.10-4 3940.10-4
55.88 3.186 2.946 3.22 103.14 4.797 4.795 4.86 205.30 5.605 5.633
5.66
vv3N1 = i1 -kThiieh=
Uolmaldr.Buifadeyideerlendirebilmekiinifrekanslarnnnasl
daldnyanibunlarnspektrumunubilmekgerekir.Prensip olarak cismin
atomlarnn birbirleriyle kuplaj ekli, kristal rgs gibi
bilgilereldeisespektrumuhesaplamakmmknolmaldr.Fakatbu
oldukayorucuvezorzmyoludur.Bununyerineyaklam yntemleri
kullanlmaldr. Debyeteorisindecm3iindekiNatomuntekertekertitreim
frekanslaryerinekristalintmnnelastiktitreimlerialnr.Baka
szlerleelastikcisimlerteorisindeyapldgibicisimayrayr
atomlardanolumubirsistemgibideil,srekliyapdabirsistem olarak dnlr.
Gstermek mmkndr ki hacmi 1 cm 3 olan bir kat cisimde,
cisminbiimineolursaolsun,frekanslarvile(v+dv)arasnda bulunabilecek
duran dalga saysv v = dc4pdZ23ye eittir. Burada c elastik (ses)
dalgalarnn cisim iindeki hzdr. Bylece srekli kat cismin enerjisi
iinv vv= } vdc4p
1 ehU23kTh1integralini yazabiliriz. ntegral snrlar v = 0dan bir
vmdeerine kadar olmaldr. Bu maksimum koulu3N = Z den
bulabiliriz.31m2m3N49cc 34Z N 3|.|
\|t= v vt= =Enerji ise, ( )} }v=vvt= vv t=kThx0x33430kTh33mmm1
edx xhkTc4d1 ehc4Ueklindeeldeedilir.BuformlDEBYEFORMLolarakbilinir.
Debye formlnde ; TO|.|
\|tv=49NekTh=kTh=
x31mbantsiletanmlananODebyekarakteristikscaklveya ksaca O Debye
scakl kullanlarak, i enerji iin, }O O=T0x3341 edx x T9Nk
Uyazlabilir. Spesifik s da, )`O|.|
\|O=)`OOO|.|
\|O=)` O|.|
\|O= =}}} }OOOOO OT0Tx33VT02T334x33VT0T0x334x33V1 e1 T1 edx x T4
Nk 9 CT1 eT T1 edx x T4 Nk 9 C1 edx xdTd T1 edx x T4 Nk 9dTdUCve
bir mol iin )`O|.|
\|O=}OOT0Tx33V1 e1
T
1 edx x T4 R 9 Celde edilir.Yksek scaklklarda yaniT >>
Ohalinde 32T0x3TxT31dx x1 edx xT1 - e x 1 e||.|
\|= ~~ ~ } }alnabileceinden 3R 1349R 1T 31 T4 9R C3 3V=)`
=)`|.|
\|O|.|
\|O=elde edilir. Bu,Dulong - Petit yasasndan baka bir ey
deildir.Alak scaklklarda yaniT >> uhalinde, 15 1 edx xT40x3t=
~O}alnabilir.BunagrealakscaklklardaCVzssnn deeri3V43VT234 C015T4 9R
C|.|
\|O~)`t|.|
\|O=olur.BuscaklkblgesindeCV,T3ileorantlolarakdeiir.Bu,
deneysonularnauygunbirsonutur.izelgedebazmalzemeiin Debye scaklklar
verilmitir.Cisim Be Fe Pt Ag Au Al Si GeC(elmas)O(K)1160 467229215
165390 658 3662000ekil3.9dabazcisimleriinzsnnscaklkla
deiimleriizilmitir.Absisolarakscaklkyerinebunun
karakteristikscaklkbirimiylellendeeri ,yani T/ u koymakla elde
edilen eri bir ok cisim iin ayn ve evrensel bir eri olur.
Burayakadarkatcisimlerinspesifikslarhakkndaklasik
teoriileEinsteinveDebyeteorileriniksacainceledik.Ancakkat cisim
iindeki elektronlarn z sya katklar hakknda her hangi bir
eysylemedik.Herteoriyegredecisimiindekielektronlarn serbest olup
olmadklarna bakarak bir eyler sylemek mmkndr. Klasik modelde,
yaltkanlarda elektronlar serbest olmadklar
iinzsyakatkdabulunamamaldrlar.Birmetaldeise
elektronlarnserbestlikderecesiveelektronbana1/2(kT)kadar enerji
kazanabilmesi iin3/2(kT) enerjisini alabilmesi gerekir. Bylece
yksek scaklkta tek valens elektronlu bir metalin z ss rece
cal/mol.de9 R233R CV~ +
=olmaldr.BudeneyeuymayansonucuEinsteinveDebyeteorileriiledeaynen
eldeederiz.Ohaldeelektronlarszkonusuoluncabuteorilerinhi biri
tatmin edici sonu vermemektedir.
Buelikininnedenielektronlarntamamenserbesthareket
edebilenparacklargibidnlmesinde,bakabirdeyilePauli prensibinin
etkisinin hesaba katlmamasndandr.
Serbestelektronlarnkuantumteorisinegrehacimbirimi iindeki toplam
enerji}=0).dE E.f(E).G(E
Uintegralinihesaplamaklabulunur.Buradaf(E)Fermi-Dirac
dalm,G(E)seviyeyounluudur.ntegralinhesaplanmasna
gemedennceiikolaylatracakbaznoktalaradikkat edilmesinde yarar
vardr. Normalbirmetaliinyksekolaraknitelendirlecekbir
scaklk,buteoride,Fermiscaklnnzerindebirscaklk
olmaldr.OysaFermiscakl2-8.104 oCmertebesindedir.Bu nedenle pratik
olarakT
