Agus Arif 1

Transformasi-Z

Kuliah 3

Kontrol Digital

Bab 13 buku-ajar

Agus Arif 2

Materi

• Pendahuluan• Transformasi-Z• Transformasi-Z Balik

– Ekspansi pecahan parsial– Deret pangkat

Agus Arif 3

Pendahuluan

• Pengaruh pencuplikan dlm suatu sistem adl cukup besar: kestabilan & tanggap transien– sistem analog pelipatan & nilai komponen– sistem digital juga laju pencuplikan

• Sasaran: suatu transformasi yg mengandung info pencuplikan shg sistem data-tercuplik dpt dimodelkan, dianalisis & didesain scr semudah & dgn wawasan spt dgn transform Laplace

Agus Arif 4

Transformasi-Z {1}

• Output dr ideal sampler:

• Transf Laplace:

• Definisi: menghasilkan transform-z:

∑∞

−∞=−δ=

k

kTtkTftf )()()(*

∑∞

=

−=0

)()(*k

kTsekTfsF

Tsez =

)()(&)()(0

zFkTfzkTfzFk

k ↔= ∑∞

=

−

Agus Arif 5

Transformasi-Z {2}

• Contoh: transform-z dr sinyal landai satuan– Sinyal landai satuan:

– Output ideal sampler:

– Transf Laplace:

– Penerapan menghasilkan transf-z:

kTkTfttf =→= )()(

∑∞

=−δ⋅=

0

)()(*k

kTtkTtf

∑∞

=

−⋅=0

)(*k

kTsekTsF

kkTs ze −− =

( )+++==⋅= −−−∞

=

−∞

=

− ∑∑ 321

00

32)( zzzTkzTzkTzFk

k

k

k

Agus Arif 6

Transformasi-Z {3}– Kalikan hasil transf tadi dgn z:

– Pengurangan:

– Penerapan identitas:

– menghasilkan bentuk tertutup dr transf-z:

( )+++= −− 21 321)( zzTzzF

( )+++=−=− −− 211)()1()()( zzTzFzzFzzF

++++=−

−−−−

3211

11

1zzz

z

2)1()(

−=

z

zTzF

Agus Arif 7

Transformasi-Z {4}• Stp fungsi s: F*(s) fungsi z: F(z)• Bentuk akhir F(z): tertutup, tdk spt F*(s)• Tabel transformasi-z klik• Teorema transformasi-z klik• Utk fungsi2 yang tidak terdapat di tabel

transformasi-z balik dgn metode:– Ekspansi pecahan parsial– Deret pangkat

• Transf-z balik hanya menghasilkan nilai2 fungsi waktu pd saat 2 pencuplikan saja

Agus Arif 8

Transformasi-Z Balik {1}

• Transf Laplace + ekspansi pecahan parsial jumlahan suku2 berbentuk

• Transf-z yg mirip:

menandakan ekspansi pecahan parsial hrs berbentuk:

atAeas

A −↔+

aTakT

ez

ze

−↔−

+−

+−

=21

)(zz

Bzzz

AzzF

Agus Arif 9

Transformasi-Z Balik {2}

• Krn ekspansi F(s) tdk mengandung s pd bgn pembilang maka– hrs dibentuk dulu utk melenyapkan z pd

bgn pembilang– lakukan ekspansi pecahan parsial– kalikan hasilnya dgn z utk mengembalikan z pd

bgn pembilang

• Contoh: tentukan fungsi tercuplik-waktu dr

zzF )(

)7,0)(5,0(5,0

)(−−

=zzz

zF

Agus Arif 10

Transformasi-Z Balik {3}

• Dgn ekspansi pec pars & tabel transform-z:

kkkTf

z

z

z

zzF

zzz

B

z

A

zzz

zF

−− +−=

−+

−−=

−+

−−=

−+

−=

−−=

)7,0(5,2)5,0(5,2)(

7,0

5,2

5,0

5,2)(

7,0

5,2

5,0

5,2

7,05,0

)7,0)(5,0(

5,0)(

Agus Arif 11

Transformasi-Z Balik {4}

• Output dr ideal sampler:

• Utk k = 0, 1, 2 & 3:

[ ]∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−δ+−=

−δ=

k

kk

k

kTt

kTtkTftf

)()7,0(5,2)5,0(5,2

)()()(*

)3(545,0)2(6,0

)(5,0)(0)(*

TtTt

Ttttf

−δ+−δ+−δ+δ=

Agus Arif 12

Transformasi-Z Balik {5}

• Cara deret pangkat berdasar pembagian & tdk menghasilkan f(kT) dlm bentuk tertutup

+−δ+−δ+−δ=+++=

+++−

+−=

−−=

−−−

−−−

)3(545,0)2(6,0)(5,0)(*

545,06,05,0)(*

545,06,05,05,035,02,1

35,02,1

5,0

)7,0)(5,0(

5,0)(

32

321

2

2

TtTtTttf

eeesF

zzzzzz

zz

z

zz

zzF

TsTsTs