Fundamentals of Engineering

High-Perform

ance Actuator System

s

Fundamentals of Engineering High-Performance Actuator SystemsKenneth W. Hummel

About the BookActuators are the elements that make everything around us move, increasingly by remote control through software commands, providing motion in a safe, controlled manner.

As defi ned in this book, actuator design is a subset of mechanical design. It involves engineering the mechanical components necessary to make a product move as desired. This includes defi ning loads, move profi les, associated mechanisms and prime movers.

Fundamentals of Engineering High-Performance Actuator Systems was written as a text to supplement actuator design courses, and a reference to engineers involved in the design of high-performance actuator systems. It highlights the design approach and features that should be considered when moving a payload at precision levels and/or speeds that are not as important in low-performance applications.

The main topics covered in this book are:• Fundamentals of actuator design and performance

assessment• Loads the actuator must accommodate• Constraints• Design margin applied to components of any

given design• Environment including the interactions between

the product and the conditions in which it needsto perform

• Component strength and sti� ness to ensurepredictable operation and safety

• Maintainability• Reliability• Costs

Hummel

Author NameAuthor Name

R-459ISBN: 978-0-7680-8362-0

9 780768 083620

About the AuthorThe author grew up in rural, Northern Ohio, USA. As a child, his parents could not understand why he dismantled his toys to use their parts to make something di� erent. He moved on to bigger

“toys” in his teenage years as he revived an old car and a Jeep to drive through the woods and fi elds. His fi rst engineering position was in the Advanced Products Group of FMC engineering developing cranes and excavators in Cedar Rapids, Iowa. When the downturn in the construction equipment industry developed, he transferred to the Northern Ordinance Division, which later became part of United Defense and BAE Systems in Fridley, Minnesota. There he worked on recoil and ammunition handling system programs such as the Mk 13 missile launcher, Mk 45 gun mount, Advanced Field Artillery System, Crusader self-propelled howitzer, Non-Line-of-Sight Cannon for the Future Combat Systems Program, and Medium Mine Protected Vehicle. Still true to his rural Midwestern roots, he currently lives on a small farm in Wisconsin and works for Cummins Emissions Solutions in Stoughton, Wisconsin, as the high horsepower product line technical advisor.

Ken Hummel holds a B.S. degree in engineering from The Ohio State University and an M.S. degree in engineering from the University of Minnesota. He is a registered Professional Engineer in Wisconsin and Minnesota. He currently has seven patents related to his work on automated loading systems and high horsepower emission systems.

Kenneth W. Hummel

Fundamentals of Engineering High-Performance Actuator Systems

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Contents

Chapter 1: Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Design Margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Component Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Component Stiffness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9 Reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Maintainability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.11 Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.12 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.13 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Chapter 2: Project Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Schedule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Design Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Prototype Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Production Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.4 Operating Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.5 Decommissioning Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.6 Cost Estimating Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1 Schedule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.2 Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.3 Technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.4 Customer Acceptance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.5 Risk Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Project Close Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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Contents

Chapter 3: Requirements Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.1 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3 Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4 Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.5 Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.6 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.6.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.6.1.1 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.6.1.2 Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.6.1.3 Position. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Component Stiffness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Linear Stiffness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.2 Rotary Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.3 Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Component Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.1 Yield Strength and Elastic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.2 Ultimate Strength and Plastic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.3 Fatigue Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 Mounting Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.1.1 Pinned Joints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.1.2 Simply Supported Joints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.1.3 Fixed Support Joints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.1.4 Joint Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.2 Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.2.1 Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.2.2 Storage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.2.3 Shipping and Transportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.3 Pollution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.4 Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.4.1 Personnel Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.4.2 Machine Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.4.3 Environmental Safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.4.4 Safety Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.5 Reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5.6 Maintenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.6.1 Preventative Maintenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5.6.2 Repair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Verification and Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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Contents

Chapter 4: Design to Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1 Performance Allocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chapter 5: Power Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1 Hydraulic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.1 Hydraulic Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.2 Power Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.3 Hydraulic Power Unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.4 HPU Component Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.5 Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.6 Tank or Reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.1.7 Pumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.8 Prime Mover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.1.9 Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.1.10 Accumulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.11 Heat Exchangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.12 General Hydraulic Power Unit Valves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.1.13 High-Performance Actuator Control Valves . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.14 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Pneumatic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Electric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4 Actuator Detailed Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4.1 Motor Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4.1.1 Motor Shaft Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4.1.2 Motor Torque Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4.1.3 Motor Speed Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4.1.4 Electric Motor Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4.1.4.1 AC induction (synchronous) motors . . . . 1065.4.1.4.2 DC stepper motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.4.1.4.3 DC brushless motors . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.4.1.4.4 DC brushed permanent magnet

motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4.1.5 Hydraulic Motor Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4.1.5.1 Gear motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1125.4.1.5.2 Vane motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1125.4.1.5.3 Gerotor/Geroler motors . . . . . . . . . . . . . . .1135.4.1.5.4 Axial and bent axis piston motors . . . . . . .1135.4.1.5.5 Radial piston motors . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5.4.1.6 Pneumatic Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1155.4.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

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Contents

5.5 Control Element Design and Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1165.6 Linear Actuator Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

5.6.1 Cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.6.1.1 Hydraulic Cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.6.1.2 Pneumatic Cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.6.2 Motor and Rack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.6.3 Screws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.6.4 Spring Rate for Power Screw Actuators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.6.4.1 Mounting Structure and Load Structure Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.6.4.2 Screw Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6.4.3 Nut Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6.4.4 Total Screw/Nut Stiffness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.6.4.5 Bearings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.6.5 Screw Critical Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.6.6 Electric Solenoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.6.7 Electric Linear Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.6.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.7 Rotary Actuator Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.7.1 Direct Drive Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.7.2 Gear Boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.7.3 Mechanical Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.7.4 Racks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.7.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.8 Feedback Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.8.1 Sensor Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.8.1.1 Rotary Sensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.8.1.2 Linear Sensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.8.1.3 Inertial Sensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.8.2 Sensor Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.8.3 Actuator Components to Stop/Hold a Load . . . . . . . . . . . . . . 1705.8.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.9 Verification and Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Chapter 6: Prototyping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.1 Fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.2 Assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3 Prototype Verification and Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Chapter 7: Verification and Validation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.1 Engineering Judgment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.4 Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

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Contents

Chapter 8: Production. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Appendix A: Hydraulic Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Training Supplement—Problems by Chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Chapter 1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Chapter 2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Chapter 3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Chapter 4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Chapter 5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Chapter 7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

About the Author. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

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