Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS

I. Előadás

A KAMATELMÉLET ALAPJAI

Elektronikus kereskedelem

Az Európai Szociális Alap támogatásával

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2

TartalomTőke és kamatKamatos kamatszámításLog-kamatszámításPénzügyi piacokAdósságJelenértékDiszkontfaktorBelső megtérülési rátaPénzáramlásokKiértékelési kritériumokNettó jelenértékCiklikus befektetések

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3

BEVEZETŐ

Egy alapvető eszköz: a pénzáramlás (cash-flow-stream):

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4

TŐKE ÉS KAMAT

A kamat: a pénz időértéke

Példa:

befektetés: $ 1éves kamat: 8%

tőke vagy névértékl: $ 1

kamat: $ 0,08

összesen: (E) $ 1,08

jelölés: r = 0,08

Angol terminológia:

a pénz időértéke time value of money

tőke vagy névérték principal

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5

A KAMAT

Általában:

befektetés: $ A

éves kamat: r

A befektetés értéke 1 év múlva:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6

KAMATOS KAMATSZÁMÍTÁS

Kamatos kamat

Általában:

befektetés: A

éves kamat: r

A befektetés értéke 2 év után:

A befektetés értéke n év után:

A 7%-10 év szabály: 7%-on befektetett pénz 10 év múlva duplázódik

Angol terminológia:

kamatos kamat compound interest

7%-10 év szabály seven-ten rule

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7

NEGYEDÉVES KAMATSZÁMÍTÁS, I.

Értelmezés: éves kamat: rkamatszámítás: negyedévenként, r /4 kamattal

Az éves kamattényező:

Az effektív kamat (effektív vagy tényleges hozam): r’

A nominál kamat (névleges kamat): r

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8

ANGOL TERMINOLÓGIA

• negyedéves kamatszámítás quarterly compounding

• kamattényező compound factor

• effektív vagy tényleges hozam effective rate

• névleges kamat nominal rate

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9

NEGYEDÉVES KAMATSZÁMÍTÁS, II.

Példa:

Nominál kamat: 8% (r = 0,08)

Negyedéves kamatszámítás: (1+0,02)4 = 1,0824

Effektív kamat: 8,24%

Megjegyzés: a tizedes tört jelöléseiről

magyar 0,08

angol 0.08

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10

HAVI KAMATSZÁMÍTÁS

Nominális éves kamat: r

Kamatos kamat: (1 + r/12)12 = 1 + r’

Effektív kamat: r’

Általában: a kamatos kamat hatása m periódus esetén:

Angol terminológia:

havi kamatszámítás monthly compounding

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11

LOG-KAMATSZÁMÍTÁS, I.

Növekvő m esetén:

Az effektív kamat: r’ , ahol

Tetszőleges t hosszú időre a növekedési ráta:

exponenciális növekedés.

Angol terminológia:log-kamatszámítás continuous compounding

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12

LOG-KAMATSZÁMÍTÁS, II.

Példa:

Nominál kamat: 8% (r = 0.08)

Compounding: e0.08 = 1,0833

Effektív kamat: 8,33%

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13

ADÓSSÁG

Példa:

a kölcsön kamata 10% (r = 0,1)

log-kamatszámítás: duplázás kb. 7 év múlva

20 év múlva 8-szorosára nő!

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14

PÉNZÜGYI PIACOK

Sok termék – sok kamat

Példa: (Aug 9. 1995)

US kincstárjegy:

3 hónapos 5,39%

1 éves 5,36%

3 éves 6,05%

alapkamat 8,75%

londoni bankközi kamat, 1 hónapos 5,88%

privát kamatok

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15

ANGOL TERMINOLÓGIA

kincstárjegy Treasury bills and notes

alapkamat prime rate

londoni bankközi kamat London Interbank Offer Rate (LIBOR)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16

JELENÉRTÉK, I.

Példa:

a) kapsz tőlem $ 110-t egy év múlva

b) kapsz tőlem $ 100-t most, és

befektetheted 10%-ra.

Az a) -beli kötelezettségem jelenértéke $ 100.

Angol terminológia:jelenérték present value

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17

JELENÉRTÉK II.

Általában:

Egy év múlva esedékes A kötelezettség éves r kamat melletti jelenértéke:

Diszkontálás: a jövőbeni kötelezettség jelenértékének kiszámítása.

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18

DISZKONTTÉNYEZŐ

éves kamat: r

kamatszámítás: m periódus évenként

periódusok száma: k

Diszkonttényező:

Angol terminológia:diszkonttényező discount factor

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19

AZ IDEÁLIS BANK

• betéti kamatláb = hitel kamatláb

• tranzakciós költség = 0

• fix éves kamat

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20

ANGOL TERMINOLÓGIA

betét deposits

hitel loan

kereskedelmi kötvény certificate of deposit (CD)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21

PÉNZÁRAMLÁSOK JELENÉRTÉKE, I.

Veszünk egy fix kamatszámítást: mondjuk éves periódust.

Egy pénzáramlás: (x0,x1.…,xn), n periódusra. Jelenértéke:

A jelenérték: a pénzáramlással ekvivalens jelenlegi kifizetés.

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22

PÉNZÁRAMLÁSOK JELENÉRTÉKE II.

Példa: éves kamat 10% (r = 0.10)

a pénzáramlás: befektetek most $ 2 -t

kapok 1.2,3 év múlva $ 1 -t

vagyis: (-2, 1, 1, 1)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23

LOG-KAMATSZÁMÍTÁS

Nominális kamat: r

Pénzáramlás: t0,t1.…,tn időpontokban

x0,x1.…,xn mennyiség

Jelenérték:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24

EKVIVALENS PÉNZÁRAMLÁSOK

Két pénzáramlás: x = (x0,…,xn)

y = (y0,…,ym)

Ekvivalencia: x és y ekvivalensek pontosan akkor, ha:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25

BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA, I.

Példa: letét 0 -ban: x0 < 0

jövőbeni kifizetések: xk ≥ 0, k = 1.…,n

A letét x0 ekvivalens (x1.…,xn) -nel, ha:

ahol r a belső kamat.

Angol terminológia:

belső megtérülési ráta internal rate of return (IRR)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26

BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA, II.

Általában: legyen (x0 , x1 , …, xn) egy pénzáramlás.

Belső megtérülési ráta: egy olyan r, amelyre igaz:

A c = 1 / (1 + r) (vagy r = (1 / c) - 1) jelöléssel:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27

BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA, III.

Példa: pénzáramlás: (-2, 1, 1, 1)

megoldandó: -2 + c + c 2 + c 3 = 0

kapjuk: c = 0.81

IRR = (1 / c) – 1 = 0.23

Megjegyzés: r független a banki kamattól!

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28

BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA, IV.

Állítás: Tegyük fel, hogy x0 < 0 és xk ≥ 0 minden k = 1, 2,…,n -re, és

legalább egy tag pozitív. Ekkor az

egyenletnek pontosan egy pozitív megoldása van. Továbbá: ha a kifizetés teljes összege több, mint a kezdeti befizetés, azaz

,

akkor

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29

KIÉRTÉKELÉSI KRITÉRIUMOK

Befektetés → pénzáramlás

A pénzáramlás kiértékelési szempontjai:

nettó jelenérték (NPV): a teljes pénzáramlás jelenértéke

bevételek és kiadások

nettó bevételek – nettó kiadások

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30

ANGOL TERMINOLÓGIA

• bevételek benefits

• kiadások costs

• nettó jelenérték net present value (NPV):

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31

NETTÓ JELENÉRTÉK

Példa: Mikor vágjuk ki a fát?

Pénzáramlások:

Kezdeti pénzkihelyezés: -1

a) kivágás 1 év után: (-1, 2)

b) kivágás 2 év után: (-1, 0, 3)

Az éves kamat: 10%

a) NPV = -1 + 2/1,1 = 0,82

b) NPV = -1 + 3/(1,1)2 = 1,48 !

A b) befektetés a jobb !

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32

ANGOL TERMINOLÓGIA

• pénzkihelyezés outlay

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33

BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA

Egy alternatív értékelés módszer (Mikor vágjuk ki a fát?) :

a) -1 + 2c = 0

b) -1 + 3c2 = 0

Innen:

a) c = 1/2 = 1/(1+ r) → r = 1.0

b) c = 1/ 31/2 = 1/(1+ r) → r = 0.7

Az a) befektetés a jobb !

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 34

DISZKUSSZIÓ

Melyik kritériumot használjuk?

újra-befektetés, hosszú-távú üzletépítés esetén: IRR

egyszeri befektetési alkalom esetén: NPV

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 35

CIKLIKUS BEFEKTETÉSEK I.

Példa: Autóvásárlás

A típus: ára $ 20000

fenntartási költség $ 1000 / év

élettartam 4 év

B típus: ára $ 30000

fenntartási költség $ 2000 / év

élettartam 6 év

Éves kamat: 10%. Melyiket válasszam ?

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 36

CIKLIKUS BEFEKTETÉSEK II.

Az ötlet: az összehasonlítás alapja legyen 12 év (3 ill. 2 ciklus) !

A típus: 1. ciklusra:

3 ciklussal:

B típus:1. ciklusra:

2 ciklussal:

Az A típust választom !