If you can't read please download the document
Upload
dotram
View
258
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
1
1
Kinematika materijalne toke
10. dio
2
Podjela mehanike
3
Mehanika krutog tijela
Statika Kinematika Dinamika
4
5
Galilejevi pokusi kuglica na kosini
6
KinematikaKinematika je grana mehanike koja prouava gibanja materijalnih tijela i povezuje poloaje tijela s vremenom, ne analizirajui uzroke zbog kojih ta gibanja nastaju .
Kinematika je geometrija gibanja.Ne uzima u obzir:
- masu tijela m i- silu F koja uzrokuje gibanje.
2
7
Dinamika
Dinamika je grana mehanike koja prouava zakone gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila.
U dinamici se utvruju uzrone veze izmeu sila i gibanja materijalnih toaka ili tijela.
Uzima u obzir:- masu tijela m i - silu F koja uzrokuje gibanje.
8
Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici
9
Kinematika
Kinematikamaterijalne
toke
Kinematikakrutog tijela
Dinamika
Dinamikamaterijalne
toke
Dinamikakrutog tijela
10
Veliine u mehanici
1. Skalari
2. Vektori
3. Tenzori II. reda
4. Tenzori IV. reda
11
1. Skalari: tenzori nultog reda(30= 1 podatak + mjerna jedinica)
2. Vektori: tenzori prvog reda(31= 3 podatka + mjerna jedinica)
3. Tenzori drugog reda 32= 9 podataka + mjerna jedinica
4. Tenzori etvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica
12
1. Skalari1. duina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. povrina A (m2)5. obujam V (m3)6. gustoa r (kg/m3)7. kut a () (rad)8. temperatura T (C) (K)9. rad A (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)
3
13
2. Vektori
1. radijus vektor (m)
2. vektor pomaka (m)
3. brzina (m/s)
4. ubrzanje (m/s2)
rsva
14
5. koliina gibanja (kgm/s=Ns)
6. sila (N=kgm/s2)
7. statiki moment sile
obzirom na neki pol (Nm)
8. moment koliine gibanja (Nms)
9. impuls sile (Ns)
= vm K
= F rMO
= vmr LO
= tF I
= am F
15
Mehanika
Zadatak mehanike je prouavanje opih zakona mehanikog gibanja.
Mehaniko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kaopremjetanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.
16
Materijalno tijelo
Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ogranieni prostor ispunjen materijom.
Glavna svojstva materijalnih tijela su: oblik obujam poloaj
i ona ine prostorno stanje tijela.
17
Promjena poloaja tijela je gibanje.Kinematika je grana mehanike koja prouava
gibanja materijalnih tijela i samo povezuje poloaje tijela s vremenom.
Zakon gibanja: s = s(t)s = f (t)
18
Gibanje toke na obodu kotaa vidi: biciklist kao gibanje toke po krunicipromatra sa strane kao gibanje toke po krivulji
cikloidi
4
19
Poloaj toke u bilo kojem trenutku vremena tzadajemo u referentnom koordinatnom sustavu.
Referentni koordinatni sustav je Descartesovortogonalnien ishoditem i trima meusobno okomitim koordinatnim osima Oxyz.
20
Putanja ili trajektorija materijalne toke je neprekinuta crta koju opisuje materijalna toka pri gibanju u odnosu na referentni koordinatni sustav.
21
Treba razlikovati udaljenosti s od prevaljenogputa
Primjer: Poloaj toke u trenutku t2 luk s2= OM2Prevaljeni put u intervalu t2 = luk (OM1+ M1M2)
luk s2 luk (OM1+ M1M2)
22
Osnovne kinematike veliine:
put (m) vrijeme t (s)
Glavne kinematike veliine:
brzina (m/s)
ubrzanje (m/s2)
s
v
a
23
Zakon gibanjaodreuje poloaj toke u odnosu na referentni koordinatni sustav u bilo kojem trenutku vremena.
Zakon gibanja jednoznano odreuje samo poloaj toke na putanji ali ne i preeni put.
Poznavajui zakon gibanja tijela odreujemo kinematike veliine koje definiraju gibanje a to su:- brzina i- ubrzanje .
v
a
)t(fs = )t(ss =
24
Prema obliku putanje - trajektorijerazlikujemo slijedea gibanja:
prostorno i ravninsko gibanje krivocrtno i pravocrtno gibanje toke
kruno gibanje - putanja toke je krunicapovratno - oscilatorno gibanje kada se
toka gibajui se po istoj putanji vraa u svoj prvobitni poloaj.
5
25
Kinematikamaterijalne
toke
Krivocrtnogibanje
a) Krunogibanje
b) Pravocrtno gibanje
c) Oscilatornogibanje
26
Prostorno gibanje
27
Ravninsko gibanje
28
Gibanje po krunici
29
Gibanje po pravcu
30
Oscilatorno gibanje
6
31
Kinematikakrutog tijela
1. Translacija 2. Rotacija
Krivocrtna Pravocrtna
32
Krivocrtna translacija Pravocrtna translacija
2. Rotacija
33
Kinematika materijalne toke
a) Zadavanje krivocrtnog gibanjab) Brzina v i ubrzanje ac) Vrste krivocrtnih gibanja
34
Osnovne kinematike veliine:
put (m) vrijeme t (s)
Glavne kinematike veliine:
brzina (m/s)
ubrzanje (m/s2)
s
v
a
35
Krivocrtno gibanje materijalne toke
Poloaj materijalne toke u svakomtrenutku vremena moemo definirati naslijedee naine: 1. Vektorski nain definiranja gibanja
2. Prirodni nain definiranja gibanja
)t(rr
=
)t(ss
=
36
1. Vektorski nain definiranja gibanja
Pri gibanju toke M mijenja se vektor poloaja po pravcu i intenzitetu.
r
Zakon krivocrtnoggibanja vektorskom obliku: )t(rr
=
7
37
2. Prirodni koordinatni sustav
Ortogonalni sustav s pravolinijskim osima koji se od Oxyzortogonalnog sustava razlikuje samo svojom pominou.
Zakon krivocrtnog gibanja:
)t(ss
=
38
Koordinatni sustav je vezan uz materijalnu toku M koja se giba po putanji trajektoriji s.
2. Prirodni koordinatni sustav
Primjena prirodnog koordinatnog sustavamogua je samo ako je poznata putanja:
)t(ss
=
39
1. Vektorski nain definiranja gibanja
Gibanje zadajemo vektorom poloaja radijusvektora u jednom od koordinatnih sustava:
Descartesovom, cilindrinom (polarnom) ili sfernom.
)t(rr
=
40
1a. Descartesov koordinatni sustav
)t(zz)t(yy)t(xx
===
Zakon krivocrtnog gibanja:
(Parametarske jednadbe)
++=
++=
=
k)t(zj)t(yi)t(xr
k)t(rj)t(ri)t(rr
)t(rr
zyx
41
)t(zz )t(yy )t(xx :prostoru u gibanje Za
===
)t(yy )t(xx :avninir u gibanje Za
==
)t(xx :ravcup op gibanje Za =
42
1.b. Cilindrini (polarni) koordinatni sustav
Poloaj toke u odnosu na referentni koordinatni sustav Oxyz definiran je dvjema duinama i zte jednim kutom koji se mijenjaju tijekom vremena
Zakon krivocrtnog gibanja:
)t( zz)t( )t(
===
8
43 44
Za gibanja u ravnini koordinata z = z(t) = 0 pa se vektori i r podudaraju.
)t( )t( rr
==
1.b. Polarni koordinatni sustav
45
1.b. Kruno gibanje u ravnini Oxy najei oblik krivocrtnog gibanja
Zakon krunog gibanja:
)t(.konstr
==
46
1c. Sferni koordinatni sustav
Poloaj toke u sfernomodreen je jednom duinom r i dvama kutovima i koji se mijenjaju tijekom vremena.
)t( )t(
)t( rr
==
=
Zakon krivocrtnog gibanja:
47
2. Prirodni koordinatni sustav
Zakon krivocrtnog gibanja:
)t(ss
=
48
Prirodni koordinatni sustava tvore: tangenta t,glavna normala n i binormala b
(desni koordinatni sustav).
9
49
Iz osnovnih kinematskih veliina:
puta s (m) odnosno [kut (rad)] vremena t (s)
moemo odrediti glavne karakteristike gibanja: brzinu v (m/s) [kutna brzina (1/s)] ubrzanje a (m/s2) [kutno ubrzanje (1/s2)]
50
Brzina v i ubrzanje toke a
Odreivanje brzine gibanja toke u krivocrtnomgibanju ovisi o nainu na koji je zadano gibanje
1. vektorski u:a) Descartesovom koordinatnom sustavub) Polarnom koordinatnom sustavu
2. u prirodnom koordinatnom sustavu
51
dt
drv
dtdr
v yyx
x ==
+= j)t(ri)t(rr yx
Komponente brzine:
2y
2x vvv +=
Intenzitet brzine:
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2y
2x aaa +=
2y
2y
y
2x
2x
x
dt
rd
dt
dva
dtrd
dtdv
a
==
==
1. Vektorski nain:
52
dtdy
v dtdx
v yx ==
+= j)t(yi)t(xr
Komponente brzine:
2y
2x vvv +=
Intenzitet brzine:
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2y
2x aaa +=
2
2x
xdt
xddt
dva ==
2
2y
ydt
yddt
dva ==
1.a Descartesov koordinatni sustav
53
1.b. Cilindrini koordinatni sustavPolarni koordinatni sustav (z=0)
)t(
.konstr
==
Kruno gibanje:
Kutna brzina:
Kutno ubrzanje:
54
Obodna brzina:
= rv
===
==
2
2
dtd
dtd
dtd
10
55
.konstr
)t(
==
2n
t
aa
tg==
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
422n
2t raaa +=+=
( )
22
n
t
rr
va
rdtrd
dtdv
a
==
===
= rv
Vektor ubrzanja a ima dvije komponente:
tangencijalnu at i normalnu an. 56
Kruno gibanje
Razlikujemo sluajeve: >0 d = .dt >0 ubrzano
gibanje =konst. jednoliko ubrzano
11
61
2. Prirodni koordinatni sustav s = s (t)
2
2
dtsd
dtdv
va :Ubrzanje
dtds
sv :Brzina
===
==
Vektor brzine v poklapa se sa smjerom tangente t.
Pozitivan je smjer osi glavne normale n onaj koji gleda prema sreditu zakrivljenosti.
62
Gibanje toke po krunici polumjera R
63
( ) ( ) ( )
+=
+++
++=
+++++=
0rtur
k5j4itk6j3i2r
k5t6j4t3i1t2r
Trajektorija je pravac
Primjer 1. Vektorsko nain zadavanjakrivocrtnog gibanja:
++= k)t(rj)t(ri)t(rr zyx
64
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0a 0a 0a 0a
m/s 7632vvv vk6j3i2v
dtdv
a dt
dva
dtdv
a dtdr
v dt
drv
dtdr
v
5t6r ;4t3r ;1t2rk5t6j4t3i1t2r
zyx
2222z
2y
2x
zz
yy
xx
zz
yy
xx
zyx
====
=++=++=++=
======
+=+=+=+++++=
Jednoliko gibanje po pravcu
65
Primjer 2. Descartesov koordinatni sustav
( ) 4
2x
y
8y24-y2 x xu4-yy t iz
tparametra aeliminacij :iju trajektorza- (4;6) C 2(s) t
(2;5) B (s) 1 t 4ty (0;4)A 0 t t2x
+=
===
=
=+===
apravc dio je jatrajektori
B
66
0a ;0a ;0dt
dva :Ubrzanje
m/s 24,2512v
1dtdy
v
2dtdx
v:Brzina
4ty
t2x
yx
x
22
y
x
====
==+=
==
==
+==
Jednoliko pravocrtno gibanje
12
67
tsin5dt
sddtdv
a
tcos5dtds
v
2
2===
==
050-50a = - 5 sin t (m/s2)
50-505v = 5 cos t (m/s)
0-5050s = 5 sin t (m)
23/2/20t (s)
Brzina:
Ubrzanje:
Primjer 3: Prirodni koordinatni sustav
s = 5 . sin t - oscilatorno (harmonijsko) gibanje
68
s = 5 . sin t
v = 5 . cos t
a = - 5 . sin t
69
Ravninsko krivocrtno gibanje materijalne toke
Prema promjeni brzine razlikujemo slijedeagibanja:
JednolikoPromjenljivo
v
70
Brzina toke Jednoliko gibanje:
Toka se giba jednoliko ako u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje jednake putove (ubrzanje a=0)Brzina gibanja je:
Promjenljivo (nejednoliko) gibanje: Toka u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje razliite putove (a = 0; ubrzanje a>0 ili usporenje: a
13
73
Srednja vrijednost ubrzanja:
Trenutno ubrzanje:
=
2sr s
m
t v
a
==
2tsr
t s
m
t v
limalima00
=
2sr s
m
t v
a
74
Rastavljanje ubrzanja na prirodne komponente:
2n
2t aaa +=
n
t
aa
tg =
aaa nt
+=
75
Tangencijalna komponenta at : podudara se s pravcem brzine tangenta na putanju karakterizira promjenu intenziteta vektora brzine moe biti u istom ili suprotnom smjeru od brzine
Normalna komponenta an: okomita je na pravac brzine v odnosno at odreuje promjenu smjera vektora brzine usmjerena prema centru zakrivljenosti
a na
taa
76
Tangencijalna komponenta:
Normalna komponenta:
rv
an2
=
dtdv
t v
lima0t
t ==
77
A. Sluajevi krivocrtnih gibanja:
1. at >0 at=konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = at.dt >0)
2. at
14
79
1. Jednoliko ubrzano krivocrtno gibanje
.konsta 0a tt =>
tavv
tvv
tv
a
t0
0t
+=
==
2t00
t000
00sr00
ta21
tvss
t2
tavvst
2vv
stvssss
++=
+++=++=+=+=
tvs
vv
sr
0
=>
80
2. Jednoliko usporeno krivocrtno gibanje
.konsta 0a tt =0)
2. a
16
91
2. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje
tavv t0 =
2t00 ta2
1tvss +=
.konsta 0aa tt = 02. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje a > 03. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0
Dijagrami:a tv ts t
95
Dijagrami:
( )0202
200
0
ssa2vv
ta21
tvss
tavv
+=
++=
+=
tavv t0 +=
1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje a > 0
96
Primjer: Galilejeva kosina
2ta21
s
tav
=
=
16:9:4:14:3:2:1s:s:s:s 22224321 ==
17
97
Primjer: Slobodni pad
2tg21
s
tgv
=
=
98
Slobodni pad
sg2v gv
g21
s
gv
t tgv
22
=
=
==
99
2. Jednoliko usporenopravocrtno gibanje
( )0202
200
0
ssa2vv
ta21
tvss
tavv
=
+=
=
a < 0
100
Vertikalni hitac:
gv2
t2T
vrha)do (samo leta Trajanje
Hg2v g2
vH
hica Visina
tg21
tvs
t gvvg a
0
20
20
20
0
==
=
=
=
==Usporeno pravocrtno gibanje:
101
gv2
t2T
leta trajanjeUkupno
g2
vH
gv
g21
gv
vH
:hica Visina
tg21
tvs
gv
t
tgv0t gvv
0
20
200
0
20
0
00
==
=
=
=
=
==
102
Dijagrami:
3. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0
tvss.konstv
0a
00 +===
18
103
Formalna analogija pravocrtnog i krunog gibanja
Jednoliko gibanje: = 0
Jednoliko gibanje:a = 0
Jednoliko promjenjivo gibanje
kutno ubrzanjeubrzanje
kutna brzinabrzina
kut rotacijesput
Krivocrtno gibanjePravocrtno gibanje
dtds
v =
dtdv
aa t ==
200
0
ta21
tvss
tavvkonst. a
+=
==
200
0
t21
t
t
konst.
+=
==
dtd=
dtd=
tvss
.konstv
0 +==
t.konst
0 +==
104
Primjer: Jedan ovjek s vrha zgrade visine 12 m pusti bez poetne brzine loptu A. U isto vrijeme drugi ovjek s visine od 1,5 m od podnoja zgrade baci uvis loptu B. Ako pretpostavimo da su se lopte mimoile na visini od 6 m, odredite brzinu kojom je lopta B baena uvis.
105
? v
m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta
m 6,0 s 0v 0s :A Lopta
B
0
00
=
==
===
s 106,122,18,962
t t8,921
00 6,0
tg21
tvss
gibanje ubrzano jednoliko- )s( pad slobodan
m 6,0 s 0v 0s :A Lopta
2
200
00
===++=
++=
+
===
106
m/s 9,49v
106,1
106,19,44,5 v
106,18,921
106,1v1,5 6,0
tg21
tvss
)s( gibanje usporeno ednolikoj
m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta
B
2
B
2B
200
0
=
+=
+=
+=
+
==
107
C. Oscilatorno gibanje materijalne toke
108
Oscilatorno gibanje je najrasprostranjenije gibanje u prirodi.
To je gibanje materijalne toke koje se u odreenom vremenskom intervalu ponavlja(potpuno u svim pojedinostima).
Najvanije i najjednostavnije je harmonijsko oscilatorno titranje.
Kulisni mehanizam je primjer harmonijskog gibanja.
19
109
Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom .
Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C
110
2
cosrx
OBx
=
=
+= tZa = konst. prijeeni kut je:
poetni kut
111
=
= sinr 2
cosrx+= t
Zakon harmonijskog gibanja:
r amplituda poetna faza
( )+= t sinrx
112
= 2T
= 2TZa jedan okret kut 2 vrijedi relacija:
Period oscilacija:
Broj oscilacija u sekundi ==2T
1f
113
Brzina v i ubrzanje a
= xa
( )+= t sinrx( ) +==
t cosrxv
= xv
( )+==
t sinrxa 2114
( ) += t sinrx
( ) +==
t cosrxv
20
115
t sin = rxBez poetne faze0 0t0 ==
==
=
2 2
T
1
116
Brzina v t cos ==
rxvv (m)
117
t sin = rxt cos ==
rxv
118
119
==
=
2 2
T
1
s = 5.sin tPrimjer 1:
120
tsin5dt
sddtdv
a
tcos5dtds
v
tsin5s
2
2===
==
=
050-50a = - 5 . sin t (m/s2)
50-505v = 5 . cos t (m/s)
0-5050s = 5 . sin t (m)
23/2/20t (s)
21
121 122
Primjer 2:
(s) 42
T (1/s) 2
)m( 2r
(m) t2
sin2x
====
=
123
t2
sin2
xa
t2
cosxv t2
sin2x
2 ==
==
=
02/20-2/20a (m/s2)
0-0v (m/s)
0-2020x (m)
43210t (s)
124
125
Primjer 3:
)(m/s 6
tsin3xva
)(m/s 6
tcos13xv
22
T 1 3r
)(m 6
tsin3x
2
+===
+==
====
+=
126
2/33
- 3/2030-3-3/2a (m/s2)30-30v (m/s)10-10cos(t+/6)
3/20-3033/2x (m)1/20-1011/2sin(t+/6)
13/612/69/66/63/6/6t+/612/611/68/65/62/60t (s)
2/33
2/32/3
+=
+=
+=6
tsin3a 6
tcos3v 6
tsin3x
Dijagrami: s - t, v - t i a - t domaa zadaa