klasifikacija signala

Signali i sistemi – Teorija signala

1. UVOD

1.1. TEORIJA SIGNALA

Signali su matematičke funkcije koje opisuju prirodne ili veštački izazvane fizičke pojave.

•

•

•

Pošto se pojave u prirodi odvijaju na jedinstven način, ove funkcije moraju biti jednoznačno definisane.

Signali mogu biti: kontinualni i diskretni.

Kontinualni signal je matematička funkcija koja zavisi od nezavisne promenljive t , koja pripada skupu realnih brojeva , tj. R Rt∈ . Vrlo često nezavisna promenljiva t označava vreme, pa je signal matematička funkcija, ( )tf , vremena. Takođe se zahteva da je funkcija ( )tf jednoznačno definisana za svako t , sa izuzetkom konačnog broja vrednosti argumenta t .

Slike

Primer kontinualnih signala (matematička funkcija ( )tf1 je neprekidna funkcija argumenta , dok je neprekidna funkcija sa izuzetkom konačnog broja prekida prve vrste)

t( )tf2

Ova matematička funkcije ne predstavlja signal (svakoj vrednosti argumenta t odgovaraju dve vrednosti funkcije – nije definisana jednoznačno)

Primetimo da su signali realne matematičke funkcije realnog argumenta, t , ali se ponekad primenom neke transformacije signali mogu preslikati u kompleksne funkcije.

1


Primer: U analizi naizmeničnih električnih kola naizmenična električna struja opisana je rotirajućim vektorom, tzv. fazorom, u kompleksnoj ravni ( ) ( ) ( )ωjIj argωω ejIjI ⋅= , gde je ω

kružna frekvencija, odnosno ugaona brzina rotacije fazora, ( )ωjI je amplituda naizmenične struje a ( )ωjIarg je njena faza.

Slika

Kompleksna reprezentacija naizmenične struje

Kompleksna reprezentacija se često koristi da se pojednostavi analiza električnih kola. Međutim, sam signal naizmenične struje je realna sinusoidalna funkcija vremena: ( ) ( ) ( )( )ωωω jItjIti argsin += koja osciluje sa periodom ωπ2=T , pošto je sinusna funkcija

periodična sa periodom π2 , odnosno

( ) ( ) ( ) ( )( )ωωω jITtjITti argsin ++=+

( ) ( )( )ωωωω jITtjI argsin ++=

( ) ( )( ) πωωωω 2argsin =+= TjItjI

( )ti=

Diskretan signal je jednoznačno definisana realna matematička funkcija nezavisnog celobrojnog argumenta , gde Zk∈ Z označava skup celih brojeva. Ukoliko označava diskretan vremenski trenutak, tj. diskretno vreme izraženo preko broja sekundi, minuta, časova, dana i sl., tada definiše vremenski diskretan signal.

k

[ ]kf

Slika

Primer diskretnog signala

2


Odabiranje (uzorkovanje, diskretizacija, semplovanje) kontinualnih signala

Diskretan signal se može generisati na osnovu odgovarajućeg kontinualnog signala primenom postupka (operacije) odabiranja (semplovanja) sa određenom periodom T , kao što je prikazano na sledećoj slici

Slika

Diskretizacija (odabiranje) kontinualnog signala

Odabiranje (diskretizacija, semplovanje) kontinualnog signala: perioda odabiranja T mora biti dovoljno mala, kako bi diskretan signal predstavljao zadovoljavajuće dobru aproksimaciju kontinualnog signala; sa druge strane, ukoliko je T suviše malo potreban je vrlo veliki broj odbiraka (semplova) da bi se adekvatno reprezentovao polazni kontinualan signal.

Kriterijum za izbor periode odabiranja T : ovaj kriterijum se zasniva na dva oprečna zahteva: obezbediti što je moguće bolju aproksimaciju polaznog kontinualnog signala, sa njegovim diskretnim ekvivalentom, na bazi minimalno mogućeg broja odbiraka (odmeraka, semplova, uzoraka); rešenje ovog problema daje Shanonova teorema odabiranja (definiše maksimalno moguću periodu odabiranja T pri kojoj je još uvek moguće da se rekonstruiše kontinualni signal na osnovu njegove diskretne verzije).

Digitalni signali: Kao što je prethodno napomenuto, diskretan signal se može izvesti iz odgovarajućeg kontinualnog simulacijom semplovanja sa periodom odabiranja T , odnosno uniformnim kvantovanjem vremenske ose sa periodom T . Tako dobijen diskretan signal može imati neograničeno mnogo različitih vrednosti kojima su izražene veličine odmeraka, odnosno vrednost bilo kog odbirka pripada skupu realnih brojeva.

•

nn

Pošto digitalni računar radi sa brojevima iz konačnog opsega (veličina opsega zavisi od dužine reči računara), da bi se diskretan signal obrađivao pomoću računara neophodno je da se vrednosti odbiraka, koje pripadaju beskonačnom skupu realnih brojeva, zaokruže i svedu na konačan skup različitih vrednosti iz zadatog opsega, odnosno neophodno je da se izvrši kvantovanje diskretnog signala i po amplitudi (nivou). Na primer, ako je reč računara dužina bitova i ako bit najvećeg značaja (MSB bit) označava znak broja, tada se u datu reč može smestiti različitih vrednosti (broj različitih nivoa je

12 −12 −n , pa je veličina kvanta po nivou ( )121 −=h n .

T - kvant po vremenu, - kvant po nivou h

3


Slika

Primer kvantovanja signala po nivou i vremenu

Svim odbircima diskretnog signala koji se zateknu u zoni jednog kvanta po nivou dodeljuju se iste vrednosti (na primer, odgovara donjoj granici zone); kao što je istaknuto, digitalni računari obrađuju samo digitalne signale.

Klasifikacija signala

Pošto signali predstavljaju matematičke funkcije vremenskog argumenta, prirodna klasifikacija signala zasniva se na klasifikaciji običnih matematičkih funkcija. Slično kao matematičke funkcije, signali mogu da se podele na više načina:

•

1. Periodični i neperiodični signali

Periodičan signal zadovoljava uslov: •

( ) ( ) ∞<∃∀+= pp TtTtftf i za ; ,

gde je perioda ponavljanja signala (na primer, za sinusne i kosinusne funkcije pTπ2=Tp )

2. Parni i neparni signali

parni signali zadovoljavaju uslov: ( ) ( )tftf =− , tj. simetrični su u odnosu na vertikalnu (ordinatnu) osu (primer:

• ( ) ttf ωcos= );

neparni signali zadovoljavaju uslov: ( ) ( )tftf −=− , tj. simetrični su u odnosu na koordinatni početak.

•

3. Vremenski kontinualni i vremenski diskretni signali

•

tttt ,...,,=

kontinualni signal je neprekidna funkcija vremena, , koja je jednoznačno definisana za svako t , izuzimajući konačan broj vrednosti nezavisnog argumenta

, u kojima postoji prekid prve vrste, tj.

( )tf

n21 ( ) ( )−+ ≠ ii tftf , .,...,2,1 ni =

4


diskretan signal je niz (sekvenca) jednoznačno definisanih odbiraka [ ]kf , • ,...2,1,0 ±±=k

4. Realni i kompleksni signali Realni signal je realna matematička funkcija vremenskog argumenta, dok je kompleksni signal kompleksna funkcija vremena (za svako vrednost signala je jednoznačno definisan kompleksni broj, koji je opisan svojim modulom i argumentom).

t

5. Sinusoidalni, eksponencijalni signali, itd.

6. Deterministički i stohastički signali

deterministički signal, ( )tf , je realna matematička funkcija nezavisnog vremenskog argumenta, koja je jednoznačno definisana za svaku vrednost vremenskog argumenta

;

•

t

• stohastički signal je funkcija dva nezavisna argumenta; prvi od njih je vreme, t , koje pripada skupu realnih brojeva, dok je drugi argument slučajan i predstavlja slučajan ishod, odnosno elementarni događaj, hipotetičkog fizičkog eksperimenta. Ovaj drugi argument se obično označava sa ω , i pripada nekom skupu (prostoru verovatnoće)

; dakle Ω ( )tf ,ω , Ω∈ω , Rt∈ predstavlja slučajan signal, koji za svaki ishod eksperimenta ω definiše jednu realizaciju slučajnog signala, tako da slučajan signal predstavlja familiju (ansambl) realizacija (matematičkih funkcija) za različite vrednosti parametra Ω∈ω .

Slike

Deterministički signal

Slučajan signal

7. Kauzalan i nekauzalan signal

Kauzalan signal zadovoljava uslov: ( ) 0=tf za 0<∀t . •

Ukoliko je za neko ( ) 0≠tf 0<t signal je antikauzalan. •

5


Svi fizički signali u prirodi su kauzalni, dok su nekauzalni signali veštački i obično se koriste u obradi signala.

8. Signali energije i snage

Energija vremenski-kontinualnog signala na intervalu vremena [ dužine ]21,tt 12 ttL −= definisano je izrazom

( )dttfEt

tL ∫=

2

1

2

Ukoliko je kompleksna, a ne realna funkcija, tada je energija signala na navedenom intervalu

( )tf

( )∫=2

1

2t

tL dttfE ; ( ) ( ) ( )tftftf *=

gde simbol (*) označava konjugovano kompleksnu vrednost kompleksnog broja ( )tf , a . 12 ttL −=

Ukupna energija vremenski-kontinualnog signala je

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−∞ == dttftfdttfE *2

Podsetimo se da snaga predstavlja rad (energiju) u jedinici vremena (tj. brzinu rada), tako da se srednja snaga vremenski kontinualnog signala

( )L

EdttfL

P L

L

L LL∫−

∞→∞→∞ ==

2

2

2 limlim 1

Diskretan signal: Energija vremenski diskretnog signala na intervalu vremena [ ]21,kk dužine odbiraka definisana je sa: 12 kkM −=

[ ]∑=

=2

1

2k

kkM kfE

dok je ukupna energija ovog signala

[ ]∑+∞

−∞=∞ =

kkfE 2

Srednja snaga vremenski diskretnog signala je

6


[ ]∑+

−=∞→∞→∞ +

=+

=M

MkM

M

Mkf

MMEP 22

121

12 limlim

Energetski signali imaju konačnu ukupnu energiju ∞<∞E a nultu srednju snagu . 0=∞P

Signali snage imaju beskonačnu ukupnu energiju ∞=∞E i konačnu srednju snagu . ∞<∞P

Periodični signali imaju beskonačnu energiju ( )∞=∞E ali im je srednja snaga često konačna ( , tako da predstavljaju signale snage. )∞<P∞

Elementarni signali (primeri jednostavnijih signala koji se uobičajeno koriste u teoriji signala i sistema za sintezu složenijih signala, kao i analizu osobina sistema koji prenose i obrađuju signale).

Elementarni signali opisani običnim matematičkim funkcijama: odskočni (step) signal; sign signal; signal rampe (nagibni signal), trougaoni impuls, pravougaoni impuls, parabolični signal, sinusni signal, sinc signal.

Elementarni signali koji pripadaju klasi raspodeljenih ili singularnih funkcija: impulsni (Diracov) delta signal

1) Jedinični odskočni signal (unit step) se može definisati na dva načina:

( )⎩⎨⎧

<≥

=0001

tt

tu

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=>

=0005.001

ttt

tuh

Slike

U oba slučaja signal ima diskontinuitet (prekid) u tački 0=t tj. ( ) ( )−≠+ 00 ff , a druga definicija je obeležena indeksom h u čast poznatog elektroinženjera iz 19. veka Heavisidea. Primetimo da oba signala imaju istu Fourier-ovu transformaciju, ali se rekonstrukcijom signala

7


na osnovu njegove transformacije, primenom inverzne Fourier-ove transformacije, dobija drugi izraz.

Diskretan jedinični odskočni signal: ⇒= kTt

( ) [ ] ;0001

⎩⎨⎧

<≥

==kk

kukTu ( ) [ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=>

==0005.001

kkk

kukTu kh

Slika signala

2) Sgn-signal (signal znaka)

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=010001

sgnttt

t

Slika signala

Veza odskočnog i sgn-signala: ( ) ( )ttuh sgn21

21+=

3) Signal rampe (nagibni signal): a) jedinični signal rampe definisan je sa

( )⎩⎨⎧

<≥

=000,

ktt

tr

8


Slika

Primetimo da nije diferencijabilna funkcija za ( )tr 0=t .

Uočava se da je nagib prave koja opisuje signal za . 1450 =tg 0>t

Diskretna verzija signala je

( ) [ ]⎩⎨⎧

<≥

==000,

kkk

krkTr

Slika signala

Signal rampe (nagibni signal) sa proizvoljnim nagibom 1≠α definisan je izrazom:

( ) ( )trtr αα =

Veza između jediničnog nagibnog i odskočnog signala:

( ) ( ) ;0 ; ≠= tdt

tdrtu ( ) ( )⎩⎨⎧

<≥

== ∫∞− 0,0

0,ttt

dutrt

ττ

4) Paraboličan signal (signal ubrzanja)

9


( )⎩⎨⎧

<≥

=0;00;2

ttt

tf p ; ; ( ) [ ]⎩⎨⎧

<≥

==0;00;2

kkk

kfkTf pp

Slika

Parabolični signal

5) Familija polinomijalnih signala

( )⎩⎨⎧

<≥

=0;00;

ttt

tfn

n ; ,...;5,4,3=n ; [ ]⎩⎨⎧

<≥

=0;00;

kkk

kfn

n ,...5,4,3=n

6) Pravougaoni impuls – definiše se na jedan od sledeća dva alternativna izraza:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

intervalavan 022

1 τττ

ttP

ili:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

±=

<<−

=intervalavan 0

25.022

1

τ

ττ

τ t

t

tPh

Slike signala

Primenom Fourierove transformacije dobija se isti izraz u frekvencijskom domenu za obe vremenske funkcije, ali se inverznom Fourierovom transformacijom dobija drugi od navedenih

10


signala. Druga definicija je konzistentna i sa definicijom jediničnog Heavisadeovog odskočnog signala, tj.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22ττ

τ tututP hhh

Slika signala

Sa druge strane:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22ττ

τ tututP za t∀ osim 2τ

=t

Slika signala

Diskretna verzija pravougaonog impulsa: uvedimo diskretno vreme kTt = i definicioni izraz signala

( ) ( ) [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−==⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

intervalavan ;022

;1

022

1T

kTkPkTP

van

kTkTPττττ

τττ

gde [ ] označava ceo deo, odnosno ⋅

[ ] ;intervalavan ;0

22;1

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

mkmkPτ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

Tm

22 τ

11


Slika signala

7) Trougaoni impuls: definisan je izrazom

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≤≤−

≤≤−+

−≤

=∆

202021

02

212

0

τττ

ττ

τ

τ

ttt

tt

t

t

Slika signala

Ovaj signal se može izraziti preko elementarnih signala, kao što su nagibni i odskočni signal.

a) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

22

22 ττττ trtrtr

12


Slike

b)

Slike

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

222

22 τττττ tututrtrt

v)

Slika

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

221

222 τ

τττ

ττ tututrtututrt

Nedostatak poslednjeg izraza je što u nuli ima diskontinuitet, tj.

( ) 00 =∆τ

Diskretna verzija trougaonog impulsa: dobija se ako se vreme diskretizuje, kTt = , T - perioda diskretizacije, i uvrsti u izraz za kontinualni diskretni impuls

( ) [ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤−

≤≤−+

=∆=∆

20

2021

02

21

τ

ττ

ττ

ττ

kT

kTkT

kTkT

kkT

Uvedimo oznaku: ;2

2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

Tm τ [ ] označava ceo deo ⋅ ⇒

13


[ ] ;

20

2021

02

21

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤−

≤≤−+

=∆

mk

mkkm

kmkm

kτ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

Tm

22 τ

; [ ]⋅ - ceo deo

8) Sinusni i kosinusni signal – često se koriste u tehnici da opišu oscilatorne pojave, kao što su vibracije u mehanici ili naizmenične električne struje i naponi; sinusna i kosinusna matematička funkcija reprezentuje iste signale, koji se razlikuju samo u faznom stavu, pošto je

( ) ;2

sin cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

πθθ tt ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2 cos sin πθθ tt

Slika

Prikaz sinusne i kosinusne funkcije na jediničnom krugu

Standardne trigonometrijske formule:

( ) βαβαβα sincoscossinsin ±=±

( ) βαβαβα sinsincoscoscos ±=±

ααα cossin22sin =

ααα 22 sincos2cos −=

a) Sinc-signal; ima važnu primenu u Fourier-ovoj analizi (frekvencijska analiza), komunikacionim sistemima i obradi signala; definisan je izrazom

( ) ( )t

ttcππsinsin =

gde je

( ) 1sinlim0

=→ x

xx

- Vrednost signala u jednaka je 1, tj. 0=t ( ) 10sin =c , dok se nule funkcije nalaze u tačkama

14


,...2,1 ;2,1 ; ±±==⇒±±== nntnnt ππ

- Takođe je ( ) 0sinlim =±∞→

tct

( ) ( )t

ttcππsinsin =

Slika

Grafički prikaz signala ( )tcsin

diskretni sinc-signal: ⇒= kTt

( ) [ ] ( ) [ ][ ]k

kkT

kTkckTcππ

ππ sinsinsinsin ===

9) Impulsni delta (Dirac-ov) signal: ova matematička funkcija nema vremensku strukturu, pošto je impulsna delta funkcija

( )⎩⎨⎧

≠=∞

=000

tt

tδ

dok je njen integral

( )∫∞

∞−

=1dttδ

Ova funkcija se može posmatrati kao graničan slučaj pravougaonog impulsa ( ) ( )tPττ1 kada širina impulsa 0→τ , tj.

( ) ( )tPt tτδ

τ

1lim0→

= ; ⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

van

tP0

221 ττ

τ

15


Slika

Aproksimacije impulsnog delta signala i njegova vremenska interpretacija

Pomereni (šifrovani) impulsni delta signal definisan je sa:

( )⎩⎨⎧

≠=∞

=−o

oo tt

tttt

0δ

Slika

pri čemu je

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

+

−

=−=−o

o

t

too ttdttt 1δδ

Impulsna delta funkcija se naziva i Dirac-ova funkcija u čast poznatog matematičara i fizičara iz 19. veka P. Diraca, a pripada klasi raspodeljenih ili singularnih funkcija. Matematički se impulsna delta funkcija definiše i sa:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=− ;oo tfdttttf δ

gde je - obična matematička funkcija, neprekidna u tački (klasa običnih funkcija proširena sa klasom raspodeljenih (singularnih funkcija) obrazuje klasu generalisanih funkcija – ova klasa je uvedena u matematiku u 20. veku od strane S. Soboleva). U vezi sa navedenom matematičkom definicijom postavlja se pitanje vrednosti integrala

( )tf ot

( ) ( ) ?=−∫∞−

dttttf o

to

δ

16


gde je obična matematička funkcija neprekidna u tački . Pokazuje se da je ( )tf ot

( ) ( ) ( )oo

t

tfdttttfo

21

=−∫∞−

δ

odnosno

( ) ( ) ( )oo

t

t

tfdttttfo

o21

=−∫−

δ

Ovaj rezultat se može predočiti, ukoliko se impulsna delta funkcija aproksimira trougaonim impulsom ( ) ( )tττ 21 ∆ , gde je

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤−

≤≤−+

−≤

=∆

τ

ττ

ττ

τ

τ

t

tt

ttt

t

0

01

010

2

Slike

Aproksimacija delta impulsne funkcije trougaonim impulsom

( ) ( )tt ττ τ

δ 20

1lim ∆=→

Izvod impulsne delta funkcije: može se odrediti na osnovu aproksimacije impulsne delta funkcije trougaonim impulsom.

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆=⇒

∆=

→→ τδ

τδ τ

τ

τ

τ

tdtd

dttdtt 2

0

2

0limlim

17


Slike

Aproksimacija impulsnog delta signala i njegovog izvoda na bazi trougaonog impulsa

( ) ( )⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤−

≤≤−

≤

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆⇒

≥

≤≤−

≤≤−+

≤

=∆

τ

ττ

ττ

τ

ττ

ττ τ

τ

t

t

tt

dttd

t

tt

ttt

t

0

01

0100

0

01

0100

22

( ) ( )0

2211

22

0lim

→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∆=

→τ

ττττ

δττ

τ

τtPtP

dttd

dttd

Primetimo da je

( ) ( ) 000==

−+

dtd

dtd δδ

slično kao što je

( ) ( ) 000 == −+ δδ

Takođe se uočava da je:

( ) ( )tt δδ =− - parna funkcija

( ) ( )dt

tddt

td δδ−= - neparna funkcija

18


Slika

Simbolički prikaz izvoda delta impulsa

Slično kao i sam delta impuls, njegovi izvodi se mogu definisati matematički na osnovu integralne reprezentacije

( ) ( ) ;dtdt

ttdtf o∫∞

∞−

−δ ( ) ( ) ;

2

dtdt

ttdtf io∫

∞

∞−

−δ ,...3,2,1=i

Viši izvodi delta impulsa se simbolički prikazuju na isti način kao i njegov prvi izvod.

Osobine impulsne delta funkcije: 1) skaliranje u vremenu; 2) diferenciranje

1) Skaliranje u vremenu:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

att

atat

atf

adttattf o

oo

o δδδ 11

Dokaz :

a) pretpostavimo uvedimo smenu ;0>a

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=−⇒∞∞−⇒∞∞−∈⇒=⇒+

=⇒=− dttattftda

dta

tttat oo

o δσεσσσ ,,1 ( )

( )∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⇒atf

ad

atf

aoo 11 σσδσ

b) za integral po 0<a σ će izgledati isto, ali će granica integracije biti ( ),,−∞∞+ tj.

( ) ( )∫ ∫−∞

∞+

∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

atf

ad

atf

ad

atf

aooo 111 σσδσσσδσ

Pošto je aa = za i 0>a aa −= za ,0<a sledi gore navedeni izraz.

2) Osobina diferenciranja

( ) ( ) ( )dt

tdfdtdt

ttdtf oo −=−

∫∞

∞−

δ

19


( ) ( ) ( ) ( )dt

tfddtdt

ttdtf on

nn

on

1−=−

∫∞

∞−

δ

Dokaz: Primenom parcijalne integracije

∫ ∫−=b

a

b

z

ba duuvudv ν

na integral

( ) ( )dtdt

ttdtf o∫∞

∞−

−δ

uz izbor ( )tfu = ( ) ( oo ttdt

dtttdd −=⇒

−= δν )δν dobija se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞∞−

∞

∞−

−−−=− dttt

dttdftttfdt

dtttdtf oo

o δδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−−∞−∞−−∞∞= dtttdtdfff oδδδ

( )dt

tdf o−−= 00

čime je dokazana prva relacija. Drugi izraz se može dokazati ukoliko se na njega primeni parcijalna integracija uzastopno -puta. n

3) Dodatne osobine delta impulsnog signala

( ) ( ) ( ) ( )tfttf δδ 0=

( ) ( ) ( ) ( )ooo tttftttf −=− δδ

Dokaz: sledi direktno na osnovu izraza ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

=− oo tfdttttf δ

4) Osobina parnosti i neparnosti:

( ) ( );2

2

2

2

n

n

n

n

dttd

dttd δδ=

− parnost

( ) ( );12

12

12

12

+

+

+

+

−=−

n

n

n

n

dttd

dttd δδ neparnost

20


Dokaz: sledi direktno na osnovu izraza i ( ) ( ) ( )oo tfdttttf =−∫∞

∞−

δ

( ) ( ) ( ) ( )∫∞−

−=−

dttfddt

dtttdtf on

no 1δ∞ nn

t−=

; pokazati da formula važi za (uvesti smenu ,...,2,1=n

ν ) pa se indukcijom dalje pokazuje da formula važi za svako . n

Diskretni impulsni delta signal: ne može se izvesti klasičnim postupkom semplovanja iz kontinualnog impulsnog signala, pošto poslednji nema strukturu definisanu u vremenu; zato se ovaj signal definiše neposredno sa (naziva se i Kroneckerov delta impuls)

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=0001

kk

kδ

dok je signal pomeren u vremenu, za perioda odabiranja, ok

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=−o

oo kk

kkkk

01

δ

Slike

Diskretni impulsni delta signal i njegova šiftovana (pomerena) verzija

Osobine diskretnog impulsnog delta signala:

1) [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

=−k

oo kfkkkf δ

2) [ ] [ ] ( ) [ ]kfkkf δδ 0=

3) [ ] [ ] ( ) [ ]ooo kkkfkkkf −=− δδ

Navedene osobine su diskretne verzije odgovarajućih osobina za kontinualni impulsni delta signal.

Primer: Koristeći osobine impulsne delta funkcije

( ) ( )∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− ,1

atf

adttattf o

oδ tj. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

att

atat o

o δδ 1

21


( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−=−

no

nn

no

n

dttfddt

dtttdtf 1δ

izračunati sledeće integrale

( ) ( ) ?12sin3 =−∫∞

∞−

− dttte t δπ

( )[ ] ( ) ?12sin23 =−

−+∫∞

∞− dttdtt δπ

Ako se u prvom integralu usvoji ( ) ( )tetfta to πsin i 1 ,2 3−=== i primeni rezultat integracije,

dobija se

( ) ( )∫∞

∞−

−−− =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− 2

323

3

21

2sin

2112sin eedttte t πδπ

Ako se u drugom integralu usvoji ( ) ( ) ,2sin2 i 1 ,1 3 −+=== tttftn o dobija se za četvrti integral

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∫∞−

=−+−=−

−+3

133 2sin2112sin2 ttt

dtd

dttdtt πδπ

( )[ ] 12 cos23 =+−= ttt ππ

[ ] πππ 23cos23 +−=+−=

Operacije nad signalima

Pošto su signali matematičke funkcije, sve poznate operacije nad matematičkim funkcijama mogu se primeniti i na kontinualne i diskretne signale: oduzimanje, sabiranje, množenje, pomeranje (šiftovanje), skaliranje po vremenu, diferenciranje i integracija u kontinualnom domenu; u diskretnom domenu je takođe moguće definisati operacije koje imaju ulogu diferenciranja i integracije: ukoliko kontinualni signal ima diskontinuitete (prekide prve vrste) klasičan izvod ne postoji u tačkama prekida, ali se tada može definisati generalisani izvod, na osnovu impulsne delta funkcije; konačno, najvažnija operacija u teoriji signala i sistema je konvolucija, važnu operaciju predstavlja i korelacija.

Generalisani izvod (diferenciranje): neka je ( )tf kontinualna matematička funkcija koja u tački ima diskontinuitet (prekid prve vrste), tj. 1t ( ) ( )−+ ≠ 11 tftf , tada ova funkcija nema klasičan izvod u tački ; polazeći od geometrijske interpretacije izvoda, koji predstavlja nagib tangente povučene na krivu u nekoj tački, pošto u tački funkcija ima okomit skok, može se reći da je tangenta normalna na vremensku osu, pa je koeficijent pravca ove normale, koji

1t

1t

22


predstavlja tangens ugla koji ova prava zahvata sa realnom osom, jednak beskonačno. Uvodeći impulsnu delta funkciju ( )tδ , generalisani izvod u tački diskontinuiteta, t , može se definisati sa 1

( ) ( ) ( )[ ] ( )1111tttftf

DttDf

ttF−−= −+ δ

Slika

Ilustracija prekida prve vrste

gde oznaka stoji za generalisani izvod. Ako kontinualna funkcija ima diskontinuitete u tačkama t , i tada je njen generalisani izvod

D ( )tf

i ,,...,2,1 n=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ntttt

n

iii dt

tdftttftfDt

Df t

,...,2,11

1≠

∑=

−+ +−−= δ

Koristeći pojam generalisanog izvoda, može se uspostaviti veza između jediničnog-odskočnog i delta-impulsnog signala.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tdt

tdutuuDt

tDutt

tut

δδ =⎩⎨⎧

+−−+=⇒<≥

=≠0

000001

pošto je ( ) ( ) ( ) 00 i 10 ;00

=−=+=≠

uudt

tdut

, dok je

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tdt

tdutuuDt

tDu

ttt

tu th

hhh

h δδ =+−−+=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=≥

= ≠0000005.001

pošto je ( ) 00 =≠th

dttdu , i ( ) 10 =+hu ( ) 00 =−hu .

Imajući u vidu da je

( ) ( ) ( )∫∞−

=−ot

oo tfdttttf21δ

23


za i sledi ( ) 1=tf 0=ot

( )210

=∫∞−

dttδ

Pošto je, takođe,

( ) ( )∫ ∫+

∞−

+

−

==0 0

0

1dttdtt δδ

zaključuje se da je

( ) ( )∫∞− ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>=<

==t

h

ttt

dtu0105.000

ττδ

Dakle,

( ) ( ) ( );Dt

tDuDt

tDut h==δ ( ) ( )∫∞−

=t

h dtu ττδ

Primer: Za signal na slici odrediti generalisani izvod

Slika

Dati kontinualni signal ima dve tačke prekida: 11 −=t , uz ( ) 11 =− +f i ( ) 01 =− −f , 22 =t gde je ( ) ( )12 −=f − i 02 =f + .

Tada je

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )2,1222111 −≠

−+−+ +−−++−−−= tdttdftfftff

DttDf δδ

Funkcija jednaka je nuli na intervalima ( )tf ( )1,−∞− i [ )+∞,2 , dok je na intervalu [ )2,1− opisana linearnom relacijom (jednačina prave kroz tačke (-1,1) i (2,-1)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1

12121 −−

−−−−

=− tfftf

24


( )13

11+

−−= t

odnosno

( ) ( ) ( ] ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧ −∈−=⇒+−=

intervala van 0

2,132

31

32

t

tdt

tdfttf

( ) ( ) ([ ]2132

−−+−= tutudt

tdf )

Slike

Generalisan izvod zadate funkcije

2) Vremenski diskretno diferenciranje (diferenciranje “unapred”)

- predstavlja diskretnu verziju operacije diferenciranja kod kontinualnih matematičkih funkcija; - vremenski diskretan signal na vremenski diskretnom intervalu . Tada je vremenski diskretno-diferenciranje signala na datom intervalu definisano sa

[ ]kf [ ],kkk ∈ 21

[ ] [ ] [ ]kfkfkfdef

−+=∆ 1

Ova definicija se zasniva na sledećoj aproksimaciji izvoda kontinualne funkcije i njenoj diskretizaciji; izvod dtdf predstavlja nagib tangente povučene na krivu u tački u kojoj se određuje izvod, tj.

αtgdtdf

=

Prava koja definiše tangentu može se aproksimirati sa pravom koja prolazi kroz tačke ( )( )tft, i , za dovoljno malo ( )( )ttftt ∆+∆+ , t∆ .

25


Slika

Geometrijska interpretacija izvoda kontinualnog signala

Tada je nagib ove prave (tetive)

( ) ( )t

tfttftg∆

−∆+=β

odakle se iz uslova αβ tgtg ≈ dobija

( ) ( ) (tfttfdt

tdft −∆+≈∆ )

Konačno, vršeći diskretizaciju signala sa periodom t∆ , tj. usvajajući , dobija se tkt ∆=

( ) ( )( ) ( ) [ ] [kfkftkftkftdt

tkdf−+=∆−∆+≈∆

∆ 11 ]

( )

Dakle, aproksimacija izvoda kontinualne funkcije direktno je proporcionalna diskretnom diferenciranju unapred (“forward difference”). Imajući dalje u vidu da je diferencijal funkcije

( ) tdt

tkf ∆≈∆∆tkdf ∆ , direktno sledi formula za diskretno diferenciranje signala.

Primer: Pošto je

[ ]⎩⎨⎧

<≥

=0,00,1

kk

ku [ ]⎩⎨⎧

<≥

=0,00,

kkk

kr [ ]⎩⎨⎧

−<≥+

=+1,0

1,11

kkk

kr


[ ] [ ] [ ] [ ]kukk

kkkkkk

krkrkr⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

=<≥

=−<−−=−+−=−+

≥−+=−+=∆

0,00,1

100101101

0,11

Dakle,

[ ] [ ] [ ] [ ]kukrkrkr =−+=∆ 1

26


Takođe, pošto je

[ ]⎩⎨⎧

<≥

=0,0

,1kk

ku [ ]⎩⎨⎧

<≥

=−1,01,1

1kk

ku

to je

[ ] [ ] [ ] [⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

=≠=

=<−=−≥−

=−−=−∆ kkk

kkk

kukuku δ0001

0,000,011,11

11 ]

odnosno

( ) [ ] [ ] [ ]kkukuku δ=−−=−∆ 11

3) Integracija u vremenski-diskretnom domenu (numerička integracija):

- egzaktno definisanje operacije integraljenja u diskretnom vremenskom domenu nije moguće, pošto integral predstavlja površinu omeđenu podintegralnom funkcijom, a u diskretnom domenu sve funkcije su definisane samo u diskretnim tačkama, pa su odgovarajuće površine jednake nuli, odnosno svi integrali su jednaki nuli. Međutim, iz matematičke analize je poznato da se integral može definisati preko beskonačne sume, što omogućava da se definiše diskretna verzija integrala kontinualne funkcije vremena, a ovakva operacija naziva se numerička (vremenski-diskretna) integracija.

Slika

Aproksimacija integrala kontinualne funkcije konačnom sumom

U cilju izvođenja diskretnog ekvivalenta integrala kontinualne funkcije , ( )tf

( ) ( )∫=t

dftI0

ττ

izvršimo uniformno odabiranje intervala integracije ( )t,0 sa dovoljno malim periodom t∆ , čime je interval podeljen ekvidistantnim tačkama

27


titi ∆= , ki ,...,0= , ttktk =∆= , 0=ot

na podintervala identične dužine k t∆ . Na i -tom podintervalu ( )ii tt ,1− , integral funkcije može se aproksimirati površinom pravougaonika

ki ,...,2,1=( ) ttf i ∆ , odnosno

( ) ( ) ( ) [ ] tifttifttfdfi

i

t

ti ∆=∆∆=∆≈∫

−1

ττ

pa je ukupni integral

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ ∑= =

−

∆∆≈=∆=k

i

t

t

k

i

i

i

ttifdftkItI1 1

1

ττ

odnosno

[ ] [ ]∑=

∆=k

itifkI

1

gde je pomoćna varijabla po kojoj se sumira. Poslednja relacija se može napisati u rekurzivnoj formi na sledeći način. Pošto je

i

[ ] [ ]∑−

=

∆=−1

11

k

itifkI

to je

[ ] ( ) ( )∑−

=

∆+∆=1

1

k

itkftifkI

odnosno

[ ] [ ] ( ) tkfkIkI ∆+−= 1 ; ,...2,1=k ; ( ) 00 =I .

Ukoliko je signal nekauzalan, tj. odbirci signala postoje i za negativne vrednosti indeksa , tada se diskretna integracija svodi na oblik

[ ]ifi

[ ] [ ]∑−∞=

∆=k

itifkI

odnosno, usvajajući , 1=∆t

[ ] [ ]∑−∞=

=k

iifkI

Koristeći izvedeni rezultat i činjenicu da je kontinualni delta impuls izvod jediničnog odskočnog signala, odnosno da se integracijom delta impulsa dobija jedinični odskočni signal,

28


slična relacija se može izvesti i u diskretnom domenu koristeći operciju numeričke integracije. Naime, pošto su diskretni delta impuls i diskretni odskočni signal definisani izrazima

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=0001

kk

kδ ( )⎩⎨⎧

<≥

=0001

kk

ku


[ ] [ ] ( )∑−∞= ⎩

⎨⎧

<≥=

==k

i kzakza

kku0 00 10δ

δ

što odgovara prethodno izvedenoj formuli za numeričku integraciju. Na sličan način se pokazuje, imajući u vidu definicione izraze za jedinični nagibni i jedinični odskočni signal,

[ ]⎩⎨⎧

<≥

=0,00,

kkk

kr [ ]⎩⎨⎧

<≥

=0,00,1

kk

ku

da je

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )∑−

−∞= ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<>=+++=−+++=

==1

0001...111...,1000

k

i kzakzakkuuukza

kukr

⎩⎨⎧

<≥

=000

kkk

Primetimo da izraz

[ ] [ ]∑−∞=

=k

iiukr

nije tačan, pošto je [ ] [ ] ,100 == ur [ ] [ ] [ ] 2101 =+= uur , što ne odgovara osnovnoj definiciji nagibnog signala. Ovo ukazuje na činjenicu da treba biti obazriv kada se kontinualni integral aproksimira diskretnom sumom i da izvedeni izraz za diskretnu sumu može u nekim primenama da zahteva određenu, mada minornu, modifikaciju.

4) Operacija konvolucije: Za zadate kontinualne vremenske signale ( )tg i ( )tf , vremenski kontinualna konvolucija definisana je izrazom

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−= τττ dtgftftg *

gde * označava operaciju konvolucije. U navedenom izrazu τ predstavlja pomoćnu promenljivu integracije, a t je parametar. Uvodeći smenu τγ −= t , τγ dd −= , odnosno γτ −= t , navedeni izraz se može napisati u alternativnom obliku

29


( ) ( ) ( ) ( )∫∫−∞

∞+

∞

∞−

−−=− γγγτττ dgtfdtgf

( ) ( ) ( ) (∫∞

∞−

=−= tgtfdgtf *γγγ )

Izvedeni rezultat pokazuje da konvolucija zadovoljava osobinu komutativnosti, odnosno da je

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

=−=−= tgtfdgtfdtgftftg ** ττττττ

Na sličan način diskretna konvolucija dva vremenski diskretna niza i definisana je izrazom

[ ]kg [ ]kf

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑+∞

−∞=

∞

−∞=

=−=−=m m

kgkfmfmkgmkfmgkfkg **

5) Operacija korelacije signala – definiše se na sličan način kao konvolucija, ali ima sasvim drugačije fizičko tumačenje i koristi se da se odredi raspodela energije u okviru signala.

Kontinualna korelacija vremenski kontinualnih signala ( )tf i definisana je izrazom ( )tg

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

+= τττ dtgftRfg , +∞≤≤∞− t

gde je τ pomoćna integraciona varijabla, a t je parametar.

Diskretna korelacija vremenski diskretnih signala [ ]kg i [ ]kf definisana je izrazom

[ ] [ ] [ ]∑+∞

−∞=

+=m

fg mkfmgkR , ∞≤≤∞− k

gde je k parametar, a pomoćna varijabla po kojoj se sumira. m

30


31

Documents

klasifikacija signala