İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER - img.eba.gov.trimg.eba.gov.tr/944/7f4/d6c/34e/6bc/a04/ce1/80a/4df/71d/cab/f0d/400/d8e/... · İkinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi iki yolla

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

20ax bx c

22.11.2010 1İbrahim KOCA

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Tanım:

, ,a b c R 0a ve olmak üzere

20ax bx c

biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi doğrulayan (eğer varsa) x değerlerinin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

Çözüm kümesinin her bir elemanına denklemin bir kökü denir.

a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.


20ax bx c

2.dereceden bir bilinmeyenli denklemin en genel yazılışı:

kat sayıkat sayıkat sayı

denklemin derecesi

denklemin değişkeniveya bilinmeyeni


Örnek1)

Aşağıda verilen 2.dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin katsayılarını yani a, b ve c değerlerini ifade ediniz.

22 3 5 0x x

22 5 0x x

2 2 10

3 5x x

24 2 0x x

24 0x

23 2 0x x

20ax bx c

2, 3, 5a b c

1, 0, 4a b c 3, 2, 0a b c

2 , 1, 5a b c 2 11, ,

3 5a b c

4, 1, 2a b c


Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri

0ax b

şeklinde ki denklemlere 1.dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Örnek2)

Aşağıda verilen 1.der.bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

3 6 0x

3 6x

2x

{2}Ç

4 12 0x

4 12x

3x

{ 3}Ç

2 3 0x

2 3x

3

2x

3

2Ç


Örnek2)

41 4

nx x n nx

ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, n kaçtır?

Çözüm2)

Verilen denklemi genel duruma göre düzenlersek:

44 1 0

nx x nx n

4(1 ) 4 1 0

nx x n n

4(1 ) 4 1 0

nx n x n

4 2

2 4

6

n

n

n


Örnek3)

3 1 1( 2) 2 3 0

a ba x x x

denklemi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

Çözüm3)2 0

2

a

a

3 2 1 1(2 2) 2 3 0

bx x x

12 3 0

bx x

12 3 0

bx x

1 2

2 1

1

b

b

b

2 1 3a b


22.11.2010 İbrahim KOCA 8

Önce doğruyu bilmek gerekir, doğru

bilinirse yanlışta bilinir. Ama önce

yanlış bilinirse doğruya ulaşılamaz.

Farabi

Örnek4)

4 3 2( 3) 1 0

nm x kx x x

ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m, k ve n değerlerini bulunuz.

Çözüm4)

3 0m 0k 2 2n

3m 2 2 4n


İkinci Dereceden Denklemin Çözüm Kümesinin Bulunuşu

İkinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi iki yolla bulunabilir.

Bunlar çarpanlara ayırarak veya diskriminant bularak yapılan çözümlerdir.

1-) Çarpanlarına Ayırarak Denklem Çözme:

Örnek5)

24 0x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm5)

24 0x

2 0x 2 0x

2x 2x veya

veya{ 2, 2}Ç

( 2).( 2) 0x x


Örnek6)


Çözüm6)

21 0x

1 0x 1 0x

1x 1x veya

veya

{ 1,1}Ç

( 1).( 1) 0x x


Örnek7)

22 0x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm7)

22 0x x

.( 2) 0x x

0x 2 0x veya

0x veya 2x {0, 2}Ç


Örnek8)

24 4 0x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm7)

24 4 0x x

-2-2

( 2).( 2) 0x x

2( 2) 0x

2 0x

2x

{2}Ç



İşlemeyen demiri kendi pası mahveder.

İnsanı tembelliğe alışması mahveder.

(Hint atasözü)

Örnek9)


Çözüm9)

25 6 0x x

2 3

( 2).( 3) 0x x

2 0x 3 0x

2x 3x { 2, 3}Ç


Örnek10)


Çözüm10)

23 10 0x x

-5 2

( 5).( 2) 0x x

5 0x 2 0x

5x 2x { 2, 5}Ç


Örnek11)

22 9 5 0x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm11)

22 9 5 0x x

-5

1

x

2x2x.(-5)+x.1=-10x+x=-9x

(2 1).( 5) 0x x

2 1 0x 5 0x

1

2x 5x

1{ , 5}

2Ç


Örnek12)


Çözüm12)

25 99 20 0x x

20

-1

x

5x5x.20+x.(-1)=100x-x=99x

(5 1).( 20) 0x x

5 1 0x 20 0x

1

5x 20x

1{ 20, }

5Ç



Hiç kimse, başarı merdivenlerine elleri cebinde tırmanmamıştır.

Örnek13)

2 22 0x mx m denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm13)

2 22 0x mx m

2m -m

2 0x m 0x m

2x m x m { 2 , }Ç m m

( 2 ).( ) 0x m x m


Örnek14)

2 26 0x nx n denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm14)

2 26 0x nx n

-3n 2n

3 0x n 2 0x n

3x n 2x n { 2 ,3 }Ç n n

( 3 ).( 2 ) 0x n x n



Örnek15)

22 8 0x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm15)

22 8 0x

22 8x

24x

Ç

karesi -4 olan reel sayı yoktur.


Örnek16)


Çözüm16)

0x

20x

23 0x

{0}Ç


Hayatta muvaffak olmak için üç şey lazımdır: Dikkat, intizam, çalışma.


2-) Diskriminantı Bularak Denklem Çözme:

20ax bx c denkleminde,

24b ac olmak üzere, denklemin kökleri

2

bx

a

2

bx

a

veya dir.


20ax bx c

24b ac

2

bx

a

2

bx

a

denklem

diskriminant

kökler


Örnek17)


Çözüm17)

2, 5, 3a b c

24b ac

25 4.2.( 3) 25 24 49

2

bx

a

5 49

2.2

5 7

4

2

4

1

2

2

bx

a

5 49

2.2

5 7

4

12

4

3

1{ 3, }

2Ç


Örnek18)


Çözüm18)

3, 4, 1a b c

24b ac

24 4.3.1 16 12 4

2

bx

a

4 4

2.3

4 2

6

2

6

1

3

2

bx

a

4 4

2.3

4 2

6

6

6

1

1{ 1, }

3Ç


Bir insanın zekâsı, vereceği karşılıklarla değil, soracağı sorulardan

anlaşılır.


Örnek19)


Çözüm19)

1, 2, 1a b c

24b ac

22 4.1.( 1) 4 4 8

2

bx

a

2 8

2.1

2 2 2

2

2( 1 2 )

2

1 2

2

bx

a

{ 1 2 , 1 2}Ç

2 8

2.1

2 2 2

2

2( 1 2 )

2

1 2


1,22

bx

a

20ax bx c

24b ac denkleminde ise

kökler şeklinde de ifade edilir.

Örnek20)

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.23 1 0x x

Çözüm20)

1, 3, 1a b c 24b ac

2( 3) 4.1.1 9 4 5

1,22

bx

a

( 3) 5

2.1

3 5

2

1

3 5

2x

2

3 5

2x

3 5 3 5,

2 2Ç


Kural

20ax bx c

24b ac denkleminde olsun

1-) 0 ise, denklemin farklı iki reel kökü vardır

2-)

3-)

0 ise, denklemin reel kökü yoktur.

0 ise, denklemin iki kökü vardır ve bunlar eşittir.

Bu kökler, 1 2

0

2. 2

b bx x

a a

dır.

Bu durumda denklem tam karedir.


Örnek21)

22 3 4 0x x denkleminin R’ de çözüm kümesini

bulunuz.

Çözüm21)

2, 3, 4a b c

24b ac

23 4.2.4 9 32 23

23 0 olduğundan,

bu denklemin reel kökü yoktur. O halde, Ç


Çözüm22)

22 8 0x x m

denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, m kaçtır?

Örnek22)

0

1, 2, 8a b c m

24 0b ac

22 4.1.( 8) 0m

4 4 32 0m

4 32 4m

4 28m

7m


Örnek23)

22 2 7 0x x m

denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm23)

0

1, 2, 2 7a b c m

24 0b ac

22 4.1.(2 7) 0m

4 4(2 7) 0m

4 8 28 0m

8 28 4m

8 32m

4m

4 den büyük olan en küçük tam sayı 5 tir.


Örnek24)

24 3 0x x m

denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm24)

0

1, 4, 3a b c m

24 0b ac

2( 4) 4.1.( 3 ) 0m

16 4( 3 ) 0m

16 12 0m

12 16m

16 4

12 3m

4

3m

den küçük olan en büyük tam sayı -2 dir.4

3


Çözüm25)

22 3 0x x m

denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, m kaçtır?

Örnek25)

0

1, 2, 3a b c m

24 0b ac

2( 2) 4.1.( 3) 0m

4 4 12 0m

4 12 4m

4 8m

2m


İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

1,22

bx

a

20ax bx c

24b ac denkleminde

kökler olduğunu biliyoruz,

Kökler Toplamı:

1 22 2

b bx x

a a

2

b b

a

2

2 2

b b b b b

a a a a

Sonuç: 1 2

bx x

a


Örnek1)

25 6 0x x

denkleminin kökleri ise kaçtır?1 2,x x

1 2x x

Çözüm1) 1.Yol:

25 6 0x x denkleminin köklerini çarpanlarına ayırarak bulabiliriz.

( 2)( 3) 0x x

2 0x 3 0x

12x

23x 1 2

( 2) ( 3) 5x x

2.Yol:

1, 5, 6a b c 1 2

bx x

a

5

1 5


Kökler Çarpımı:

1 2. .

2 2

b bx x

a a

c

a

Sonuç: 1 2.

cx x

a


Örnek2)

23 10 0x x

denkleminin kökleri ise kaçtır?1 2,x x

1 2.x x

Çözüm1) 1.Yol:

23 10 0x x denkleminin köklerini çarpanlarına ayırarak bulabiliriz.

( 5)( 2) 0x x

5 0x 2 0x

15x

22x 1 2

. ( 5).2 10x x

2.Yol:

1, 3, 10a b c 1 2.

cx x

a

10

1

10


Köklerin Mutlak Değerce Farkı:

1 22 2

b bx x

a a

a

Sonuç:

1 2x x

a

denkleminin kökleri olsun,


Örnek3)

23 8 1 0x x

denkleminin köklerinin farkının mutlak değerini bulunuz.

Çözüm3)

1 2,x x2

3 8 1 0x x

1 2x x

a

3, 8, 1a b c

24b ac

28 4.3.( 1) 64 12 76

76

3

76

3


20ax bx c denkleminde

Kökler Toplamı:1 2

bx x

a

Kökler Çarpımı:1 2.

cx x

a

Köklerin Mutlak Değerce Farkı:1 2

x xa


20ax bx c denkleminin kökleri olsun,1 2

,x x

Köklerin Kareleri Toplamı:1

2

2 2

2 2

2b acx x

a

Köklerin Küpleri Toplamı:1

3

3 3

2 3

3abc bx x

a

Köklerin TerslerininToplamı:1 2

1 1 b

x x c

kökler ise


Örnek4)

25 6 1 0x x

denkleminin kökler toplamını, kökler çarpımını ve köklerin terslerinin toplamını bulunuz.

Çözüm4)

5, 6, 1a b c 1 2,x x

1 2

bx x

a

6 6

5 5

1 2.

cx x

a

1

5

1 2

1 1 b

x x c

66

1


Örnek5)

22 6 3 0x x

denkleminin kökler toplamını, kökler çarpımını ve köklerin mutlak değerce farkını bulunuz.

1 2

bx x

a

1 2.

cx x

a

Çözüm5)

1 2x x

a


Örnek6)2

3 1 0x x denkleminin kökleri dir. ise1 2,x x

1 2x x

2 2

1 2 1 2. .x x x x ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm6)

2 2

1 2 1 2. .x x x x

1 2 1 2. ( )x x x x

1, 3, 1a b c

.c

a a

23 4.( 1).( 1) 9 4 5

1 5.

1 1

5


Örnek7)2

3 1 0mx mx

denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa m kaçtır?1 2

3 5x x

Çözüm7)

Örnek8)

25 1 0nx nx

denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa n kaçtır?1 2

2 1x x

Çözüm8)


Örnek9)

23 6 2 3 0x x m

denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa m kaçtır?1 2

2 3 6x x

Örnek10)2

(2 2) (4 4 ) 2 0m x m x m

denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa kaçtır?1

2

1x

x 1 2

x x


Örnek11)

23 ( 2) 0x m x m denkleminde,

1 2

1 12

x x ise, m kaçtır?

Örnek12)

28 0x mx

denkleminin köklerinden biri, diğerinin karesine eşittir. Buna göre, m kaçtır?

Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem,


Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Kurma:

1x 2

x

1 2( ).( ) 0x x x x

2

1 2 1 2( ) . 0x x x x x x dir.

Örnek1)

Kökleri 2 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

Çözüm1)

( 2).( 3) 0x x 2

(2 3) 2.3 0x x

25 6 0x x

23 2 6 0x x x

25 6 0x x

veya


Örnek2)

Kökleri 3 ve -2 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

Çözüm2)2

1 2 1 2( ) . 0x x x x x x

2(3 2) 3.( 2) 0x x

26 0x x


Örnek3)

Kökleri -1 ve -4 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

Çözüm3)2

1 2 1 2( ) . 0x x x x x x

2( 1 4) ( 1).( 4) 0x x

2( 5) 4 0x x

25 4 0x x


Örnek4)

Kökleri ve 3 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.

Çözüm4)

2

1 2 1 2( ) . 0x x x x x x

2 1 1( 3) ( ).3 0

2 2x x

2 5 3( ) ( ) 02 2

x x

1

2

2 5 30

2 2x x her iki tarafı 2 ile çarpalım:

2 5 32.( ) 2.0

2 2x x

22 5 3 0x x


Örnek5)

Çözüm kümesi olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.{1 2 ,1 2}Ç

Çözüm5)

11 2x

21 2x

1 2(1 2 ) (1 2 ) 2x x

1 2. (1 2 ).(1 2 ) 1 2 1x x

2

1 2 1 2( ) . 0x x x x x x

2(2) ( 1) 0x x

22 1 0x x


Örnek6)

Çözüm kümesi olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.{ 2 }Ç m

Çözüm6)

12x m

22x m

1 2( 2 ) ( 2 ) 4x x m m m

2

1 2. ( 2 ).( 2 ) 4x x m m m

2

1 2 1 2( ) . 0x x x x x x

2 2( 4 ) 4 0x m x m

2 24 4 0x mx m


İkinci Dereceye Dönüştürülebilen Denklemler

1-) Polinomların Çarpımı veya Bölümü Şeklindeki Denklemler:

ise, veya dır.

( )0

( )

P x

Q x

( ). ( ) 0P x Q x ( ) 0P x ( ) 0Q x

ise, veya dır.( ) 0P x ( ) 0Q x

Örnek1)3 2

6 5 0x x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm1)2

( 6 5) 0x x x

( 5).( 1) 0x x x

0x 5 0x 1 0x

5x 1x

{0, 5, 1}Ç


Örnek2)3

4 0x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm2)2

( 4) 0x x

( 2).( 2) 0x x x

0x 2 0x 2 0x

2x 2x

{0, 2, 2}Ç


Örnek3)

29

02

x

x

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm3)

29

02

x

x

ise ve dır.

29 0x 2 0x

29 0x

( 3).( 3) 0x x

3x 3x

2 0x

2x

{ 3, 3}Ç


Örnek4)

2

2

120

8 15

x x

x x

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm4)

ve dır. 2

12 0x x 2

8 15 0x x

212 0x x

( 4).( 3) 0x x

4x 3x

28 15 0x x

( 3).( 5) 0x x

3x 5x

{ 4}Ç


2-) Değişken Değiştirilerek Çözülen Denklemler

Örnek1)4 2


Çözüm1)2 2 2

( ) 13 36 0x x

2x u olsun

213 36 0u u

( 4).( 9) 0u u

2 2( 4).( 9) 0x x

( 2)( 2).( 3)( 3) 0x x x x

2x 3x 2x 3x

{ 3, 2, 2, 3}Ç


Örnek2)2 2 2

( 3) 3( 3) 4 0x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm2)

23x u olsun

23 4 0u u

( 4).( 1) 0u u

2 2( 3 4).( 3 1) 0x x

2 2( 1).( 4) 0x x

2( 1).( 2)( 2) 0x x x

2x 2x

{ 2, 2}Ç


Örnek3)2

3 12.3 27 0x x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm3)

2(3 ) 12.3 27 0

x x

3x

u olsun

212 27 0u u

( 3).( 9) 0u u

(3 3).(3 9) 0x x

3 3 0x

3 3x

13 3

x

1x

3 9 0x

3 9x

23 3

x

2x

{1, 2}Ç


İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

a, b, c, d, e, f birer reel sayı ve a, b, c sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere,

2 20ax by cxy dx ey f

biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

En az bir tanesi ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olan iki ya da daha fazla denklemden oluşan sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.


Örnek1)

8x y

2 216x y

olduğuna göre, farkını bulunuz.x y


Örnek2)

2 3 0x y

2 22 7 0x y xy

denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.


Örnek3)2 2

3 2 14x y

2 25x y



Örnek4)

2 8x y

2 24 16x y

olduğuna göre, x kaçtır?


Örnek5)

. 64x y

20x y



Örnek6)

. 10x y

7x y



Örnek7)

. 96x y

2 2208x y



Örnek8)

2 225x y

2 5x y



Köklü Denklemler

Ders kitabımızda sayfa 70 deki alıştımalar:

Örnek: Aşağıda verilen köklü denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

23 4 2 3x x 4

1 1x b)a)


4 5x 2 3 7x ç)c)


2 8 4x x 2 1 3 4 1x x e)d)


2 11 4 4 1x x 2 2 5x g)f)


Mutlak Değerli Denklemler

Ders kitabımızda sayfa 71 deki alıştımalar:

Örnek: Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

23 4 0x x 2

2 3 1x x x b)a)


2 7x 2. 3 6 12x d)c)


5 2 2x x 2 2 10x x f)e)


2

6 0x x 1 2x x ğ)g)





Documents

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER - img.eba.gov.trimg.eba.gov.tr/944/7f4/d6c/34e/6bc/a04/ce1/80a/4df/71d/cab/f0d/400/d8e/... · İkinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi iki yolla