Kockázati modellek (VaR és cVaR)

BSc Szakdolgozat

Írta: Kutas Éva

Matematika BSc

Alkalmazott matematikus szakirány

Témavezet®

Mádi-Nagy Gergely

egyetemi adjunktus

Operációkutatási Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

2012

Köszönetnyilvánítás

El®ször hálás köszönetet mondok mindazoknak, akiknek segítségével elkészült ez aszakdolgozat. Els®sorban Mádi-Nagy Gergely témavezet® tanáromnak tartozom köszö-nettel azért, hogy folyamatosan gyelemmel kísérte munkámat, ötleteivel és szakmai ta-nácsaival segített.

Nem utolsó sorban pedig családomnak tartozom nagy hálával a rendíthetetlen bizalmukértés megértésükért.

2

Tartalomjegyzék

Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Bevezetés 4

1. Közgazdasági környezet 61.1. Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. A Markowitz-féle portfólióválasztási modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. A modell feltevései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Hatékony portfólió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Kockázati mértékek 102.1. Szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. A kockáztatott érték: VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Modell LP formátumban 163.1. cVaR-os modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Gyakorlati példa 204.1. Adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1. 1.példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.2. 2.példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Összefoglalás 33Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

Bevezetés

Napjainkban a pénz világa nagyon fontos szerepet játszik mindenki életében. Pénzügyidöntéseknél érdemes megnézni mennyi a kockázat. Érdemes-e kockáztatni?

"Mi a kockázat?" Teszik fel sokan a kérdést. Intuitíve érezzük a választ, deniálni márnehezebb, hát még mérni! És akkor még nem is kezeltük. Hétköznapi nyelven gyakran úgyfogalmazzák meg, mint a "nyereség bizonytalansága", illetve "a veszteség lehet®sége".

Képzeljünk el két különböz® befektetést, A-t és B-t. Mindkett®be 100 Ft-ért lehet beszáll-ni. Egy év múlva az A befektetés garantáltan 110 Ft-ot zet, a B befektetés 50% - 50%eséllyel 100 vagy 130 Ft-ot zet. Melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet?

Képzeljünk el két másik befektetést, C-t és D-t. Mindkett® 100 Ft kezd®t®két igényel.Egy év múlva a C befektetés 50% - 50% eséllyel 50, illetve 150 Ft-ot zet, a D pedig50% - 49% - 1% eséllyel 50, 150, illetve 200 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik akockázatosabb üzlet?

A harmadik példában vegyünk egy újabb befektetést, E-t és F -et. Az ár megint csak100 Ft. Egy év múlva az E 50% -50% eséllyel 100, illetve 120 Ft-ot zet, D 1% -49%-49% -1% eséllyel -20, 100, 120 illetve 300 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik akockázatosabb üzlet?

A példákban (és a valóságban) a végkifejlet pontosan nem ismert. El®fordulhat, hogy avégén kevesebb pénzünk marad, mint amennyivel elindultunk, el®fordulhat, hogy mindenpénzünket elveszítjük és az adósok börtönébe kerülünk. Az összes lehetséges kimeneteltnem is sejthetjük.

Az alkalmazott matematika egyik leggyorsabban fejl®d® ága mostanában a pénzügyi ma-tematika. Matematikusokat, zikusokat, mérnököket alkalmaznak különböz® bankok éspénzintézetek, hogy olyan modelleket alkossanak, amelyek a legtöbb protot hozzák.

Szakdolgozatom a pénzügyi kockázatról és annak mérésér®l szól. A befektetési tevékeny-ség kockázattal jár. A pénzügyi kockázat modern elméletének születését Harry Markovitznevéhez köthetjük.

Az els® fejezetben néhány közgazdasági fogalomat gy¶jtöttem össze, amire a kés®bbiek-ben szükségem lesz. Itt mutatom meg a Markowitz féle portfólióválasztási modellelt és ahatékony portfólió kialakítását is.A második fejezetben deniálom a kockázati mérték fogalmát, és hármat közülük rész-letesen is bemutatok. Ez a három a szórás, a kockáztatott érték, másnéven VaR, és a

4

feltételes kockáztatott érték, másnéven CVaR. Szó lesz az alsó és fels® VaR, illetve CVaRkapcsolatáról is.A harmadik fejezetben lineáris programozási feladatot oldok meg CVaR-os modellre.A negyedik fejezetben kerül sor 2 gyakorlati példa bemutatására. Itt 3-3 tényleges rész-vényt fogok vizsgálni. Ebb®l próbálok hatékony portfóliót kialakítani.Az utolsó fejezetben, pedig rövid összefoglalást és magyarázatot adok a kapott eredmé-nyekre.

5

1. fejezet

Közgazdasági környezet

1.1. Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam

A fejezethez szükséges adatokat, illetve deníciókat az [1] könyv és a [6] értekezés fel-használásával gy¶jtöttem össze.

A piac m¶ködése elképzelhetetlen a pénz nélkül. Az értékpapírok is a pénzb®l fejl®d-tek ki, és annak helyettesítésére szolgálnak. A keletkezésük hátterében hitelügylet állt. Azértékpapírokat az áruforgalom, a kereskedelem szükségletei hívták életre, kés®bb a vagyon-gyarapodás legbiztosabb eszközeiként jelentek meg. Az els® értékpapírokat a vállalkozókés az állam hozták létre. Az értékpapírok vagyonhoz kapcsolódó jogokat testesítenek meg.

Deníció 1.1 Értékpapír alatt olyan pénzügyi terméket (részvény, kötvény, befektetésijegy) értünk, amely vételár ellenében szabadon átruházható. Az államkincstár bocsátja ki.

Az értékpapírok adás-vételének színtere az értékpapír-piac. Az els®dleges értékpapírpiaca kibocsátást jelenti, míg a másodlagos a már kibocsátott értékpapír adás-vételét.

Deníció 1.2 Azt az árat, amelyen az értékpapírt eladhatjuk, vagy megvásárolhatjuk, azértékpapír árfolyamának nevezzük.

Az árfolyam jöv®beli értéke véletlenszer¶, korlátozott mértékben, vagy egyáltalán nemjelezhet® el®re. Így a pénzügyi elméletben az árfolyamokat és a befektetések értékénekalakulását véletlen folyamatokkal tudjuk modellezni.

Deníció 1.3 A portfólió kifejezés többféle értelemben használható, legtágabb értelmezés-ben vagyonösszetétel, azoknak a befektetéseknek az együttese, amely adott magánszemély,vagy cég tulajdonát képezi, de értelmezhet® úgy is, mint kötvények, részvények együttese,amelyet egy befektetésnek lehet tekinteni.

Deníció 1.4 Hozamnak nevezünk egy pénzügyi terméken elért nyereséget/ veszteséget.

Deníció 1.5 Várható hozamnak nevezzük a lehetséges hozamok valószín¶ségekkel súlyo-zott átlagát. Jele: E

1.2. A Markowitz-féle portfólióválasztási modell

A portfólió választás els® matematikai modelljét Harry Markowitz alkotta meg 1952-ben. Az ® nevéhez f¶z®dik az a koncepció, amely a befektetési lehet®ségek rangsorolásátkét mutató, a várható hozam és a hozam varianciájának segítségével végzi el.

6

1.2.1. A modell feltevései

• A befektet®k az adott id®távon a lehet® legkisebb kockázat mellett a lehet® legna-gyobb vagyongyarapodást szeretnék elérni,

• a befektet®k árelfogadók,

• egyes pénzügyi termékb®l tetsz®leges hányadot vehetünk,

• a rövidre eladás (shortolás, amikor a befektet® olyan értékpapírt ad el, ami még nincsa birtokában) korlátlanul megengedett (a portfólió súlyok negatívak is lehetnek),

• nincs tranzakciós költség,

• az árfolyamváltozások normális eloszlásúak (a hozam bármely statisztikai jellemz®jeleírható a várható érték és a szórás függvényeként),

• a befektetés kockázatát hozamának szórásával mérjük.

1.2.2. Hatékony portfólió

Egy portfóliót akkor nevezünk hatékonynak, ha nem állítható el® a portfólióénál nemkisebb várható hozamú, de kisebb kockázatú portfólió és nem állítható el® a portfólióénálnem nagyobb kockázatú, de nagyobb várható hozamú portfólió.

Attól függ®en, hogy mekkora hozamot vár el, vagy mekkora kockázatot vállal a befektet®,több hatékony portfólió is képezhet®, e szempontok gyelembe vételével. Ezen portfóliókáltal alkotott halmazt hatékony határgörbének nevezzük.

Egy befektet® alapvet®en azért alakít ki portfóliót, hogy ne csupán egyetlen befektetésiformától függjön. A portfólió alapvet®en a kockázatmegosztás eszköze.

A befektet®k a pénzügyi piacon többféle termék közül választhatnak. Egy befektet® tu-lajdonában lev® termékek összességét az adott befektet® portfóliójának nevezzük. JelöljeN a befektetési lehet®ségek számát, ekkor a portfóliót egy N - dimenziós w vektor írja le.A vektor i-edik komponense az i. értékpapírba fektetett összeg. A vektor komponenseitportfóliósúlyoknak nevezzük. A súlyok összege 100%, tehát 1.

N∑i=1

wi = 1 (1.1)

Az i. értékpapír árfolyamát jelölje Si(t). A portfólió értéke a részvények értékének súlyo-zott átlaga. A t id®pontbeli értékét az alábbi módon fejezhetjük ki:

Y (t) =N∑i=1

wiSi(t) (1.2)

Az i. értékpapír árfolyamának megváltozását jelölje Xi(t), Xi(t) = Si(t+ ∆t)− Si(t), ígya portfólió értékének megváltozása ebben az id®szakban

X(t) = Y (t+ ∆t)− Y (t)N∑i=1

wiXi(t) (1.3)

7

Xi(t) árfolyamingadozások stacionáriusak, és többváltozós normális eloszlást követnek. Ahozamok várható értéke és kovariancia mátrixa a következ®:

µi = E[Xi] (1.4)

σij = E[XiXj]− E[Xi]E[Xj]. (1.5)

A kovariancia mátrix szigorúan pozitív denit. Egy w portfólió hozamának µp várhatóértéke és σ2

p varianciája:

µp =N∑i=1

wiµi, (1.6)

σ2p =

N∑i=1

N∑j=1

σijwiwj, (1.7)

Tehát, ha a befektet® racionálisan gondolkodik, akkor az azonos várható hozamú portfóliókközül azokat választja, amelyek hozamának kisebb a szórása, vagy az azonos szórásúakközül a nagyobb várható hozamúakat.

A hatékony portfóliót a következ® Markov feladat adja meg:

minw∈RN

N∑i=1

N∑j=1

σijwiwj, (1.8)

N∑i=1

wiµj = µ, (1.9)

N∑i=1

wi = 1, (1.10)

Ez egy feltételes széls®érték probléma (feltételes optimalizációs feladat), ahol az (1.8)feladat megoldásait határportfóliónak nevezzük. Lásd: 1.1 ábtát.A Markowitz-féle portfólióválasztási modellnek lényege, hogy a befektetést diverzikáljuk.

1.1. ábra. Portfólió [9]

8

Deníció 1.6 A diverzikáció egy befektet®i magatartás, amely a portfólió kockázatánakcsökkenésére irányul, mégpedig a portfólióban szerepl® értékpapírok számának növelésével.

Tegyük fel hogy X és Y hozammal rendelkez® befektetési eszközök, kombinációjuk azértkevésbé kockázatos mint külön-külön, mert annak a valószín¶sége, hogy a két befektetésegyszerre veszteséges, általában kisebb, mint annak, hogy csak az egyik, vagy csak a másikveszteséges (kivéve, ha tökéletesen korreláltak, mert akkor egyszerre veszteségesek, vagyegyszerre nyereségesek.)

9

2. fejezet

Kockázati mértékek

Az el®z® fejezetben felvázolt probléma megoldására több alkalmas modell is született.Az alábbiakban bevezetjük a kockázat mértékeit, majd bemutatok néhány, a hatékonyportfólió kialakítására alkalmas modellt. A fejezetben deniált kockázati mértékeket, il-letve a modellek bemutatásához szükséges információkat a [6], [3] illetve [4] források fel-használásával gy¶jtöttem.

A pénzügyek kulcstényez®je a bizonytalanság. Bizonytalanságról beszélünk, ha nem tud-juk, mi fog bekövetkezni, kockázatról, ha ismerjük valamely esemény lehetséges kime-neteleit, és azok bekövetkezési valószín¶ségét is. A pénzügyi döntések egyik alapeleme akockázat meghatározása, számszer¶sítése. A döntések során különböz® kockázatú és hoza-mú lehet®ségekb®l kell kiválasztani egy legmegfelel®bbet. A kockázatosság nem feltétlenülnegatív, mint általában a hétköznapi megközelítésben. A pénzügyi szakirodalom egyikalapelve ezt úgy fogalmazza meg, hogy egységnyi biztos pénz értékesebb, mint egységnyikockázatos pénz.

A pénzügy egyik f® kérdése, hogy olyan eszközöket biztosítson, amelyek lehet®vé teszikpénzügyi eszközök és kiváltképp portfóliók összehasonlítását, értékelését és kockázatossá-guk jellemzését.

A pénzügyi eszközökhöz és portfóliókhoz rendelt, a kockázatot jellemz® mutatószámokatfogom a továbbiakban kockázati mértékeknek nevezni. A klasszikus mutatók nem igazánadnak információt az eszközök kockázatosságáról (pl: price/earing).

Számos kockázati mérték jelent meg az irodalomban. Ezek közül a Value at Risk terjedtel a leginkább, mind elméletben, mind gyakorlatban. Számos pénzpiaci, pénzintézeti tör-vény megköveteli a pénzintézetekt®l és esetleg egyéb piaci szerepl®kt®l ennek számítását,és ezzel kapcsolatos szabályok betartását.

A kockázati mértékeket valószín¶ségi változók egy halmazán értelmezhetjük, hiszen haadott egy portfólió, befektetés, vagy értékpapír, akkor egy valószín¶ségi változó mutatjaaz abból származó jöv®beli veszteséget.

Deníció 2.1 Legyen ξ egy valószín¶ségi változó, amely egy adott értékpapír hozamát(árfolyam-változását) reprezentálja a t és t+∆t id®pontok között. Az ilyen ξ valószín¶ségiváltozók halmazát jelölje Ω. Kockázati mérték alatt egy ρ : Ω → R funkcionált értünk, ésazt mondjuk, hogy az ξ hozamú értékpapír kockázata ρ(ξ).

10

A deníció önmagában nem jelent sokat, mivel ρ nagyon sokféle funkcionál lehet. A he-lyes megválasztáshoz gyelembe kell venni, hogy az egyes piaci szerepl®k milyen célbólszeretnék jellemezni a kockázatot.

Néhány fontos szempont:

• kockázat, mint bizonytalanság mértéke (kockázat Markowitz-féle megközelítése),

• kockázat, mint potenciális veszteségek mértéke (baj vele, hogy a befektet®ket csaka váratlan veszteség zavarja, a váratlan nyereség nem),

• diverzikációs elv (t®kemegosztás többféle befektetés közt),

• összegezhet®ség és összehasonlíthatóság,

• t®kemegfeleltetés (könnyen mozgósítható szavatoló t®ke tartalékolás a cs®d elkerü-lése végett).

2.1. Szórás

A legalapvet®bb kockázati mérték a szórás.

Deníció 2.2 A hozam varianciája a várható piaci hozamtól való eltérés négyzeténekvárahtó értéke. Jelölés: σ2

Deníció 2.3 A szórás a variancia négyzetgyöke. Jelölés: σ

A szórás normális eloszlású hozamok mellett jól méri a bizonytalanságot, és ösztönzi adiverzikációt. Így mindenféle befektetés kiszámítható, összegezhet® és összehasonlítható.Viszont a normális eloszlást elvetve, gyengén jellemzi a kockázatot. Nem tesz különbséget anyereségek és veszteségek közt, így nem mutatja meg a befektetés veszteségének nagyságát.

A szórás csak szimmetrikus, véges varianciájú eloszlásokra elfogadható kockázati mérték.

A szórás el®nyei:

• Szemléletes jelentés¶, a jöv®beli megtérülés bizonytalanságát méri.

• Az ered® kockázat több, akár nagyon eltér® jelleg¶ befektetésre is meghatároz-ható.

• Konvex, tehát a diverzikáció hatására csökken.

• A portfóliósúlyoknak jól kezelhet® (pl. dierenciálható) függvénye.

A szórás hátrányai:

• Nem minden eloszlásra létezik.

• Az eloszlás szélére nem elég érzékeny.

• Nem tesz különbséget nyereség és veszteség között.

11

2.2. A kockáztatott érték: VaR

A szórás helyettesítésére az egyik vezet® bank (J.P. Morgan) kutatócsoportjának ja-vaslatára a szakma a kockáztatott értéket (value at risk, általánosan használt rövidítésselVaR) fogadta el a kockázat mér®számának. A '80-as évek óta ez az egyik legnépszer¶bbkockázati mérték.

A VaR a várható legnagyobb veszteséget méri adott id®távon, adott biztonsági szint (kon-dencia szint) mellett. A kondencia szintet jelölje α. Tipikus értéke a gyakorlatban na-gyobb, mint 90% (pl. 95% vagy 99%)

Példa 2.4 Képzeljük el, hogy VaR(95% ,1 nap) = 100 Ft, azaz egy portfólió 1 naposVaR-ja 100 Ft 99% -os kondenciaszint mellett. Mit jelent ez?

Kétféle megközelítés lehetséges:

Normál piaci körülmények között az adott portfóliót tekintve, egy napos id®távra 5%-os valószín¶séggel várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt nevezzük pesszimistamegközelítésnek.

Normál piaci körülmények között 95% annak a valószín¶sége, hogy egy nap alatt nemvárható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt pedig optimista megközelítésnek nevezzük.

A kés®bbiekben a pesszimista megközelítést az alsó VaR adja (mely az alsó 5% közül alegjobb kimenetel), míg az optimistát a fels® VaR (mely a fels® 95% közül a legrosszabbkimenetel).

Most rátérek a precíz denícióra, ahol a követket® jelöléseket használom: Egy ξ valószí-n¶ségi változó eloszlásfüggvénye Fξ, azaz Fξ(γ) = P(ξ < γ)

Deníció 2.5 Legyen ξ egy valószín¶ségi változó, α ∈ (0, 1). Ekkor az ξ alsó α - kvantilise

qα(ξ) = supγ|Fξ(γ) < α (2.1)

ésqα(ξ) = infy|Fξ(γ) > α (2.2)

az ξ fels® α - kvantilise.

Ha ξ egy portfólió protját leíró valószín¶ségi változó egy valószín¶ségi mez®n és α ∈ (0, 1),akkor ξ alsó α- Value at Risk értéke:

V aRα(ξ) = −qα(ξ), (2.3)

míg ξ fels® α- Value at Risk értéke:

V aRα(ξ) = −qα(ξ). (2.4)

Megjegyzés 2.6 A mínusz el®jel azért kell, mert a veszteségekhez pozitív kockázatot ren-delünk.

Megjegyzés 2.7 Diszkrét eloszlások esetén a kvantilis értéke nem mindig egyértelm¶,ezért szokás külön deniálni az alsó VaR-t és fels® VaR-t. Az alsó és felsó VaR értékenem feltétlenül egyezik meg, de abszolút folytonos eloszlások esetén egyenl® a két érték.

12

Lemma 2.8qα(ξ) = −q1−α(−ξ) (2.5)

ésqα(ξ) = −q1−α(−ξ) (2.6)

Bizonyítás: A kvantilisek más alakban is megadhatók, így kapjuk, hogy

qα(ξ) = infγ|Fξ(γ) ≥ α,

illetveqα(ξ) = supγ|Fξ(γ) ≤ α.

Jelölje Fξ az eloszlásfüggvény jobbról folytonos változatát, így Fξ = P(ξ ≤ z). Ekkor,ha a el®bbi denícióban y 7→ Fξ(γ) = P(ξ < γ) eloszlásfüggvényt helyettesítenénk azy 7→ Fξ(γ) = P(ξ ≤ γ) függvénnyel, az qα(ξ) és qα(ξ) értét nem változtatná.

qα(ξ) = infγ|Fξ(γ) > α

= infγ|P(−ξ ≤ −γ) < 1− α

= − sup−γ|P(−ξ ≤ −γ) < 1− α

= − supγ|F−ξ(γ) < 1− α

= −q1−α(−ξ).

Azt mondjuk, egy befektetés VaR-ja α kondenciaszinten az α százaléknyi legjobb esetközül a legrosszabb esetben elszenvedett veszteség.

Más lehetséges megfogalmazások:

• Az a pénzösszeg, amelynél többet csak 1− α valószín¶séggel veszíthetünk.

• Az 1−α százaléknyi legrosszabb eset közül a legjobb esetben elszenvedett veszteség.

Megjegyzés 2.9 A VaR a hozameloszlás kvantilise.

A VaR el®nyei:

• Kifejezetten a veszteségekre koncentrál.

• Tetsz®leges eloszlásra létezik.

• Az ered® kockázat tetsz®leges jelleg¶ befektetések kombinációjára meghatároz-ható.

• A kockázatot pénzveszteségben fejezi ki.

13

A VaR hátrányai:

• A portfóliósúlyok nemdierenciálható függvénye.

• Nem konvex.

• A VaR-nál nagyobb veszteségek eloszlása nem számít.

• Az utóbbi két hiányosság igen súlyos.

Megjegyzés 2.10 Hátrányai miatt a VaR általában alkalmatlan a kockázat mérésére.Ennek ellenére a gyakorlatban és a szabályzásban széleskör¶en alkalmazzák.

2.3. CVaR

Az elmúlt néhány évben akadémiai körökben egyre több oldalról érte bírálat a VaR-tmint kockázati mértéket. Sok kutató illetve kutatócsoport tett javaslatot, hogy kiküszöböl-jék a VaR legnyilvánvalóbb hibáját, a konvexitás hiányát. Az egyik legegyszer¶bb VaR-raépül® kockázati mérték, amely konvex is, a feltételes VaR, másnéven CVaR. A rövidítésa Conditional Value-at-Risk szóból származik.

Deníció 2.11 A CVaR a VaR-nál nagyobb veszteségek átlaga, a VaR-t is beleértve.

Példa 2.12 A VaR megmutatja, hogy adott id®távon és kondenciaszinten maximummekkora lehet a veszteség nagysága. Az el®bbi példához h¶en legyen α = 0,95. Pesszi-mista néz®pontból azt mondjuk, hogy 5% -os eséllyel lesz a VaR által mért kvantilisnélnagyobb a veszteség. Ekkor arra is kíváncsiak vagyunk, hogy ha bekövetkezik az 5% -osesemény, akkor mekkora lesz a veszteség várható értéke, átlagos nagysága.

A VaR-hoz hasonlóan itt is létezik alsó és fels® CVaR, melyeket a következ®képpen de-niálunk:

CV aRα(ξ) = −E[ξ|ξ ≤ −V arα(ξ)], (2.7)

CV aRα(ξ) = −E[ξ|ξ ≤ −V arα(ξ)], (2.8)

ahol ξ a vizsgált befektetés hozama.

Megjegyzés 2.13CV aRα(ξ) ≥ V arα(ξ), (2.9)

CV aRα(ξ) ≥ V arα(ξ), (2.10)

CV aRα(ξ) ≥ V arα(ξ), (2.11)

továbbá CV aRα(ξ) = CV arα(ξ) pontosan akkor ha V aRα(ξ) = V arα(ξ)

A CVaR f® el®nye a VaR-ral szemben, hogy nemcsak a veszteségek 1−α-kvantilisét veszigyelembe, hanem az annál nagyobb veszteségeket is, így érzékeny az extrém eseményekre.

14

2.1. ábra. VaR és CVaR [2]

15

3. fejezet

Modell LP formátumban

Ebben a fejezetben a [2] és [5] források voltak segítségemre.

Deníció 3.1 Az olyan feltételes széls®érték-feladatot, amelyben a feltételek lineáris egyen-letek és egyenl®tlenségek, és egy lineáris függvény széls®értékét keressük, lineáris progra-mozási feladatnak nevezzük. (LP)

Megjegyzés 3.2 Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrend-szert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfügg-vény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük.

Az operációkutatás különböz® modelljeinek tényleges megoldása hosszadalmas, ezért ezenmegoldási eljárásokra különböz® számítógépes programcsomagokat készítettek, amelyekkülönböz® hatékonysággal használhatók.

Ezek egyike az EXCEL táblázatkezel®ben található SOLVER beépül® makró. A Solver alineáris programozási feladat megoldásához a szimplex algoritmust alkalmazza. Hátránya,hogy nem tud nagyobb méret¶ vektorváltozókkal számolni. Ezt a problémát kiküszöböl-hetjük OpenSolver, vagy OpenOce.org programmal. Ez utóbbi programcsomagnak arésze az OpenOce.org Calc, ami egy táblázatkezel® program. Segítségével számításokat,matematikai, pénzügyi elemzéseket végezhetünk, grakusan ábrázolhatjuk számadatain-kat.

A második lehet®séget, az OpenSolver programcsomagot fogom használni.

3.1. ábra. OpenSolver felület

16

3.1. cVaR-os modell

A következ® jelöléseket vezetem be:

• ξi: az i-edik részvény éves hozama (valószín¶ségi változó)

• xi az i-edik részvény súlya a portfólióban

• ri az i-edik értékpapír várható hozama ri = E(ξi)

• σi normális szórása a nyereség visszatérülésének

• ρij korrelációs együttható ρ = cov(X,Y )D(X)D(Y )

• Qij variancia-kovariancia mátrix, ahol cov(X, Y ) = E((X − rX)(Y − rY ))

Várható hozamot és varianciát a következ®képpen számolunk

E[x] = r1x1 + ...+ rnxn = rTx

V ar[x] =∑i,j

ρijσiσjxixj = xTQx

További jelölések:

• f(x, ξ) = ξTx : nyereségfüggvény

• −f(x, ξ) = −ξTx : veszteségfüggvény

• p s¶r¶ségfüggvény

Optimalizációs probléma: Többféle modell közül választhatunk

maxx

E[f(x, ξ)]

tekintve, hogy CV aRα[−f(x, ξ)] ≤ ν (3.1)

x ≥ 0

minxCV aRα[−f(x, ξ)]

tekintve, hogy E[f(x, ξ)] ≥ ρ (3.2)

x ≥ 0

maxx

E[f(x, ξ)]

tekintve, hogy CV aRα1 [−f(x, ξ)] ≤ ν1 (3.3)

CV aRα2 [−f(x, ξ)] ≤ ν2

x ≥ 0

Mi most a (3.2)-vel dolgozunk.

Hogy tudjuk formalizálni és megoldani ezt a problémát?

17

Rockafellar és Uryasev bebizonyították, hogy ezt a feladatot meg lehet oldani a követke-z®képpen: tudjuk, hogy

CV aRα(f(x, ξ)) = V aRα + E[f(x, ξ)− V aRα]+ (3.4)

ahol z+ = maxz, 0

1) Diszkrét esetben ez azt jelenti, hogy

CV aRα(f(x, ξ)) = V aRα +N∑ξ=1

p(ξ)[f(x, ξ)− V aRα]+. (3.5)

2) Abszolút folytonos esetben pedig

CV aRα(f(x, ξ)) = V aRα +

∫[f(x, ξ)− V aRα]+p(ξ)dξ. (3.6)

Legyen

Fα(x, γ) = γ +1

1− α

∫[f(x, ξ)− γ]+p(ξ)dξ (3.7)

ekkor a következ® állítás igaz:

Állítás 3.3

CV aRα(f(x, ξ)) = minγFα(x, γ)

minxCV aRα(f(x, ξ)) = min

x,γFα(x, γ)

Minimalizáljuk Fα(x, γ)-t.

Diszkrét eloszlás esetén:

ξ → ξk,

ahol ξk már nem valószín¶ségi változó, hanem felvett érték.

p(ξ)→ pk,

N∑k=1

pk = 1

f(x, ξ)→ f(x, ξk)

Fα(x, γ) = γ +1

1− α

N∑k=1

[f(x, ξk)− γ]+

[f(x, ξk)− γ]+ ⇒ zk ≥ f(x, ξk)− γ,

ahol zk ≥ 0 és k = 1, . . . , N .

18

Maga a feladat:

minCV aRα(−ξTx)←→

min γ +1

1− α

N∑k=1

pkzk

zk ≥ ξkTx− γ

zk ≥ 0

(3.8)

Plusz feltételek:

rTx ≥ ρ

1Tx = 1

x ≥ 0

Amire szükségünk van: pk és ξk

19

4. fejezet

Gyakorlati példa

Az utolsó fejezetben a felírt problémát oldom meg. A megoldáshoz a Budapesti Ér-tékt®zsde bizonyos részvényeit fogom felhasználni. A modellek gyakorlati alkalmazásáhozszükséges adatok megszerzéséhez a [8] forrást használtam, míg az algoritmusok m¶ködé-séhez a [2]-t vettem útmutatóul. A gyakorlati alkalmazáshoz nagy segítséget nyújtott a[7] oldal.

4.1. Adatok

4.1.1. 1.példa

A példában három részvénnyel foglalkoztam, olyan részvényeket választottam, amikmár legalább 10 éve jelen vannak a t®zsdén. A megoldáshoz és azok elemzéséhez szükségesadatokat a Budapesti Értékt®zsde honlapjának adatbázisából gy¶jtöttem. Havi adatokkalszámoltam. A BÉT oldalán felmerül® problémákkal a szakdolgozat nem foglalkozik.

A kiválasztott három részvény:

a) DANUBIUS

b) OTP

c) ZWACK

Ezen három részvény havi hozamát kiszámoltam a letöltött adatokból. Jelölje r a havihozamot, ahol pα a hó eleji árat és pω a hó végi árat, így a képlet amivel számoltam:

r =pω − pαpα

, (4.1)

Ezek az értékek nem teljesen pontosak, mert a letöltött adatokban a hóvégi és hó elejimaximum árral dolgoztam az egyszer¶ség kedvéért. Minden részvényhez 120 eredménytkaptam, mivel a 2002.márciustól 2012.februárig vizsgáltam az adatokat. Lásd 4.1 ábrát.

20

4.1. ábra. Havi hozamok

A feladat mérete miatt sajnos csak kiragadott részletek bemutatására van esély. Itt akülönböz® színek a különböz® értékpapírok adatait jelölik.

Majd az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. Aminimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam úgy, hogy a következ® tar-tományokat kaptam: (Lásd 4.1 táblázatot.)

DANUBIUS OTP ZWACK1 −0, 1251 ≤ r < −0, 1057 −0, 8810 ≤ r < −0, 8150 −0, 1854 ≤ r < −0, 16172 −0, 1057 ≤ r < −0, 0668 −0, 8150 ≤ r < −0, 6832 −0, 1617 ≤ r < −0, 11433 −0, 0668 ≤ r < −0, 0279 −0, 6832 ≤ r < −0, 5514 −0, 1143 ≤ r < −0, 06694 −0, 0279 ≤ r < 0, 0110 −0, 5514 ≤ r < −0, 4196 −0, 0669 ≤ r < −0, 01955 0, 0110 ≤ r < 0, 0499 −0, 4196 ≤ r < −0, 2878 −0, 0195 ≤ r < 0, 02796 0, 0499 ≤ r < 0, 0888 −0, 2878 ≤ r < −0, 1560 0, 0279 ≤ r < 0, 07537 0, 0888 ≤ r < 0, 1277 −0, 1560 ≤ r < −0, 0242 0, 0753 ≤ r < 0, 12278 0, 1277 ≤ r < 0, 1666 −0, 0242 ≤ r < 0, 1077 0, 1227 ≤ r < 0, 17019 0, 1666 ≤ r < 0, 2055 0, 1077 ≤ r < 0, 2395 0, 1701 ≤ r < 0, 217610 0, 2055 ≤ r ≤ 0, 2249 0, 2395 ≤ r ≤ 0, 3054 0, 2176 ≤ r ≤ 0, 2413

4.1. táblázat. Intervallumokhoz 1-t®l 10-ig értékeket rendelünk

21

Ezután az el®bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t®l 10-ig a számokat.Így a következ® adatsorokat kaptam: (Lásd 4.2 ábrát.)

4.2. ábra. Havi hozamok értékadással

Ezeket az értékeket oszlopok szerint növekv® sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam, hogyaz adott kombináció hányszor fordult el®, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakorisá-gukat. Tudjuk, hogy

∑relatív gyakoriság = 1. Lásd 4.3 ábrát.

22

4.3. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása

Majd a 2-t®l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-estartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.2 táblázatotkaptam:

23

DANUBIUS OTP ZWACK1 -0,1251 -0,8810 -0,18542 -0,086238731 -0,749137542 -0,1380142433 -0,047340849 -0,617322704 -0,090605124 -0,008442968 -0,485507865 -0,0431959975 0,030454914 -0,353693027 0,0042131266 0,069352795 -0,221878188 0,0516222497 0,108250676 -0,09006335 0,0990313728 0,147148558 0,041751489 0,1464404959 0,186046439 0,173566327 0,19384961810 0,2249 0,3054 0,2413

4.2. táblázat. Értékekhez rendelt középpontok

Erre visszaírva az értékeket, kaptam a 4.4 -es ábrát:

4.4. ábra. Táblázat az átírt adatokkal

24

Ezután felírható a feladat kezdeti állapota.

Az ábra némi magyarázatot igényel.

Az el®bbi ábrát b®vítettem. A jobb áttekinthet®ség érdekében a lényeges mez®ket külön-féle színekkel színeztem. El®ször is felvettem egy α értéket F1 mez®be. Ez a kondenciaszintet jelöli. Majd egy ρ értéket J1 mez®be. Ez a ρ jelöli az elvárt hozamot.

A portfólióban szerepl® részvények súlyozása (x) az L25, L26, L27 mez®kben található,kezdetben ez az érték 0. A portfólió hozammátrixa a G4 - I24 mez®kben lett eltárolva.

A várható hozamvektor (µ) értékeit G25 - I25 mez®kben rögzítettem. Változók még a zkértékek, ezeket L4 - L24 mez®kbe írtam és kezdetben 0-ra állítottam. A feltételeket aQ4 - S24 mez®kben tárolom. A Q26 - S26 mez®k ®rzik a helyes súlyozásra vonatkozófeltételt (1Tx = 1).

Végül pedig Q2-es mez®be a célfüggvényt írtam.

Most kiszámítjuk a modellt α =0,9-re. Lásd 4.5 ábrát.

25

4.5. ábra. A modell α =0,9-re

26

Ez az eredmény nem egészen azt adta, amit vártunk. Azt szerettem volna, ha megadja,hogy a különböz® értékpapírokból milyen súllyal vegyünk. De nekem csak egy értékpapírtjavasol.

4.1.2. 2.példa

Próbálkozok három másik értékpapírral. Hátha az volt az el®bbiekkel a probléma, hogynagyon egyszerre mozogtak. Az újabb három részvény:

a) EGIS

b) FOTEX

c) MOL

Ugyanazokat a lépéseket hajtottam végre, mint az el®bb. Kiszámoltam a havi hozamokat.Lásd 4.6 ábrát.

4.6. ábra. Havi hozamok

Az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimumés maximum közti részt 10 intervallumra osztottam. (Lásd 4.3 táblázatot.)

27

EGIS FOTEX MOL1 −0, 4261 ≤ r < −0, 3839 −0, 3066 ≤ r < −0, 2390 −0, 1755 ≤ r < −0, 15022 −0, 3839 ≤ r < −0, 2995 −0, 2390 ≤ r < −0, 1040 −0, 1502 ≤ r < −0, 09963 −0, 2995 ≤ r < −0, 2151 −0, 1040 ≤ r < 0, 0311 −0, 0996 ≤ r < −0, 04894 −0, 2151 ≤ r < −0, 1307 0, 0311 ≤ r < 0, 1662 −0, 0489 ≤ r < 0, 00175 −0, 1307 ≤ r < −0, 0464 0, 1662 ≤ r < 0, 3013 0, 0017 ≤ r < 0, 05236 −0, 0464 ≤ r < 0, 0380 0, 3013 ≤ r < 0, 4363 0, 0523 ≤ r < 0, 10297 0, 0380 ≤ r < 0, 1224 0, 4363 ≤ r < 0, 5714 0, 1029 ≤ r < 0, 15368 0, 1224 ≤ r < 0, 2068 0, 5714 ≤ r < 0, 7065 0, 1536 ≤ r < 0, 20429 0, 2068 ≤ r < 0, 2911 0, 7065 ≤ r < 0, 8416 0, 2042 ≤ r < 0, 254810 0, 2911 ≤ r ≤ 0, 3333 0, 8416 ≤ r ≤ 0, 9091 0, 2548 ≤ r ≤ 0, 2802

4.3. táblázat. Intervallumokhoz 1-t®l 10-ig értékeket rendelünk

Ezután az el®bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t®l 10-ig a számokat.(Lásd 4.7 ábrát.)

4.7. ábra. Havi hozamok értékadással

Majd a kapott értékek oszlopait növekv® sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam , hogy azadott kombináció hányszor fordult el®, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat.Tudjuk, hogy

∑relatív gyakoriság = 1. (Lásd 4.8 ábrát.)

28

4.8. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása

Majd a 2-t®l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-estartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.4 táblázatotkaptam:

EGIS FOTEX MOL1 -0,4260 -0,3065 -0,17552 -0,341691886 -0,171511522 -0,1248941203 -0,299502810 -0,036436218 -0,0742628994 -0,172935581 0,098639085 -0,0236316795 -0,088557429 0,233714389 0,0269995416 -0,004179277 0,368789693 0,0776307617 0,080198876 0,503864997 0,1282619818 0,164577028 0,638940301 0,1788932029 0,248955181 0,774015605 0,22952442210 0,3333 0,9090 0,2801

4.4. táblázat. Értékekhez rendelt középpontok

Erre visszaírva az értékeket, kaptam a következ®t: (Lásd 4.9 ábrát.)

29

4.9. ábra. Táblázat az átírt adatokkal

Ezután felírható a feladat kezdeti állapota.Most kiszámítom a modellt α =0,9-re. Lásd 4.10 ábrát. Ekkor is csak egy értékpapírtkínál nekem.

Hogy megbizonyosodjak a modell jóságáról, kiszámolom α =0,1-re. Lásd 4.11 ábrát.

Az eredmény itt már kicsit jobban hasonlít a várthoz. Itt már két értépapírt kínál fel,különböz® súlyokkal. EGIS részvényb®l 86,6% -ot míg MOL részvényb®l 13,4% -ot. Ezzelmár csak az a probléma, hogy α-t 90% körülinek kellene választanunk, hogy a korábbi-akban leírt CVaR modell jóságát belássuk, és ennél az utolsó példánál mi α = 10% -ranéztük.

30

4.10. ábra. A modell α =0,9-re

31

4.11. ábra. A modell α =0,1-re

32

5. fejezet

Összefoglalás

A dolgozatban bevezettem a kockázati mérték fogalmást, majd megvizsgáltam ezekb®lhármat, a szórást, VaR-t és CVaR-t. Az utóbbival foglalkoztam, mert az kiküszöböli aVaR nagy hibáját, a konvexitás hiányát. A CVaR-os modellre diszkrét esetben egy lineárisprogramozási feladatot írtam fel. Ezt a feladatot szimuláltam az OpenSolver segítségével.A Solver a lineáris programozási feladat megoldásához a sziplex algoritmust használja.A feladat bemutatásában kevés részvénnyel dolgoztam, mert különben túl nagy lenne afeladat az Excelnek. Az ilyen problémák kikerülésére a való életben programot írnak. Apéldáim inkább csak illusztratívak a kis adathalmaz miatt. Így az, hogy eredménykéntnem mindig azt kaptam amit vártam, nem meglep®. A szimplex algoritmus OpenSolver-rel történ® megoldásának bemutatására viszont alkalmasak az példáim.

33

Irodalomjegyzék

[1] Kurtán Lajos, Piacgazdaságtan, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003.

[2] Oleksandr Romanko, Optimization in Finance AdvOLStudent Seminar Series, March14, 2005

[3] Gáll József, Pap Gyula, Bevezetés a hasznosságalapú portfólió-menedzsmentbe, mobi-DIÁK könyvtár, Debrecen, 2004.

[4] Kondor Imre, Bank és Kockázat, Mindentudás Egyeteme.

[5] Fábián Csaba Handling CVaR objectives and constraints in two-stage stochastic mo-dels

[6] Varga-Haszonits István, Kockázati Mértékek Instabilitása, ELTE, 2009.

[7] http://www.math.bme.hu/~gnagy/ExcelSolver.html

[8] http://bet.hu/

[9] http://www.luiboy.ingyenweb.hu

34