Kombi Nato Rial

7/18/2019 Kombi Nato Rial

http://slidepdf.com/reader/full/kombi-nato-rial 1/86

Pertemuan ke 14





KOMBINATORIAL

Kombinatorial adalah cabang Matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek

!olu"i yang diperoleh dengan kombinatorialadalah jumlah cara pengaturan objek-objektertentu di dalam himpunannya



Percobaan

Kombinatorial didasarkan pada hasilyang diperoleh dari suatu percobaan.

Contoh percobaan dan hasilnya :1. Melempar dadu2. Melempar koin uang Rp 100,!. Memilih " orang #akil$. Menyusun %umlah kata yang pan%angnya

" huru&



Kaidah 'asar Menghitung.

Kaidah da"ar menghitung yangdigunakan dalam kombinatorial #

kaidah perkalian dankaidah penjumlahan

Kaidah perkalian dan kaidahpenjumlahan dapat diperlua" hinggamengandung lebih dari dua percobaan



$ Kaidah perkalianbila percobaan $ dan percobaan % dilakukan& makaterdapat p ' ( ha"il percobaan ) atau mengha"ilkanp ' ( kemungkinan ja*aban +

% Kaidah penjumlakan

bila hanya "atu percobaan "aja yang dilakukan) percobaan $ atau percobaan % +& terdapat p , ( kemungkinan ha"il percobaan ) mengha"ilkan p , ( kemungkinan ja*aban + yang mungkin terjadi



ontoh .$ #na"i goreng

roti

"oto ayam

"ate

"op

"u"ukopiteh

"u"ukopiteh

"u"ukopiteh

"u"ukopiteh

"u"ukopi

teh



Perluasan Kaidah Menghitung.

ontoh ./ #

10

/

9

/

8

/

7

/

6

/

5

/

4

/

3

/

2

/

1

/ S BS BS BS BS BS BS BS BS BS B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1022222222222 =



ontoh .$0 #

)a+ 1umlah cara memilih 2 buah buku& ma"ing-ma"ingdari tiap baha"a adalah ).+)/+)$0+ 3 4/0 cara

)b+ 1umlah cara memilih $ buah buku )"embarang baha"a+ 3

. , / , $0 3 %4 cara



ontoh .$$ #

Karena yang diminta bilangan ganjil& kita haru" memulaidari angka "atuan terlebih dahulu

5ntuk po"i"i "atuan # ada 6 kemungkinan angka )yaitu $& 2& 6& 7 dan 8+5ntuk po"i"i ribuan # ada / kemungkinan angka )yaitu $ "ampai 8&

kecuali yang "udah dipakai untuk angka "atuan

8 - $ +5ntuk po"i"i ratu"an # ada / kemungkinan angka )yaitu 0 "ampai 8&

kecuali dua angka yang "udah dipakai untukangka "atuan dan angka ribuan $0 - % +

5ntuk po"i"i puluhan # ada 7 kemungkinan angka )yaitu 0 "ampai 8&

kecuali tiga angka yang "udah dipakai untukangka "atuan& ratu"an dan angka ribuan $0 - 2 +

Banyak bilangan ganjil "eluruhnya 3 )6+)/+)/+)7+ 3 %%40 buah

)i+



)ii+

1ika perulangan angka dibolehkan& maka untuk po"i"i"atuan tetap ada 6 kemungkinan angka&Ribuan ada 8 kemungkinan )$ "ampai 8+Ratu"an ada $0 kemungkinan )0 "ampai 8+9uluhan ada $0 kemungkinan )0 "ampai 8+

Banyak bilangan ganjil "eluruhnya adalah )6+)8+)$0+)$0+3 4600 buah



ontoh .$% #

Berapa nilai k "e"udah kode program 9a"cal berikutdiek"eku"i:

k # 3 0&or p$ # 3 $ to n$ do

k # 3 k , $ ;&or p% # 3 $ to n% do

k # 3 k , $ ;

&or pm # 3 $ to nm do

k # 3 k , $ ;

m buah kalang )pengulangan+ <or

=iek"eku"i "ebanyak ni kaliNilai k "elalu ditambah $ )nilai k pada a*alnya 0+!etiap kalang dilak"anakan tidak

"ecara ber"amaan& maka nilai k dihitung dgn kaidah penjumlahan1adi k 3 n $ , n % , > ,n m



ontoh .$2 #

Berapa nilai k "e"udah kode program 9a"cal berikutdiek"eku"i:

k # 3 0&or p$ # 3 $ to n$ do

&or p% # 3 $ to n% do

&or pm # 3 $ to nm do

k # 3 k , $ ;

m buah kalang )pengulangan+ <or-dober"arang )ne"ted +=iek"eku"i "ebanyak ni kaliNilai k "elalu ditambah $ )nilai k

pada a*alnya 0+!etiap kalang dilak"anakan"ecara ber"amaan& maka nilai k dihitung dgn kaidah perkalian1adi k 3 n

$

' n %

' > ' n m



ontoh .$4 #

Karena ada .4 po"i"i pengi"ian bit yang ma"ing-ma"ingmemiliki % kemungkinan nilai& 0 atau $& maka jumlahkombina"i kunci yang haru" dicoba adalah #

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

616.551.709.073.744.446.18

2)64(2222222 64

=

=⋅⋅⋅ kali sebanyak



ontoh .$6 #

!uatu bilangan dibentuk dari angka-angka%& 2& 4& 6& 7& /& dan 8

Mi"alkan pengulangan angka tidak dibolehkan

Berapa banyak bilangan 4 angka yang kurangdari 6000 namun habi" dibagi 6 yangdapat dibentuk dari angka-angka ter"ebut:

7 angka



ontoh .$6 #

Ada 4 angka bilangan yang akan dibentuk :( ( ( ( Karena di"yaratkan bilangan kelipatan 6& maka angka paling kananhanya dapat dii"i dengan angka 6 "aja )"atu cara+ ? ? ? 6

Angka po"i"i ke $ dapat dii"i dengan 2 cara )yaitu %& 2 dan 4+ @ 6000

Angka po"i"i ke % dapat dii"i dengan 6 cara )% angka lain "udahdipakai untuk po"i"i ke $ dan ke 4+ 7 % 3 6

Angka po"i"i ke 2 dapat dii"i dengan 4 cara )2 angka lain "udah

dipakai untuk po"i"i ke $& ke % dan ke 4+ 7 2 3 4

Karena "eluruh po"i"i angka haru" teri"i& maka kita menggunakankaidah perkalian& yaitu 2'6'4'$ 3 .0 buah

%& 2& 4& 6& 7& /& 8



ontoh .$. #

uru< al<abet adalah %. )A C+ dan banyakangka de"imal adalah $0 )0 8+& jadi "eluruhnya 2.karakter

5ntuk "andi le*at dengan panjang . karakter&

)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+ 3 2.. 3 %$7.7/%22.

5ntuk "andi le*at dengan panjang 7 karakter&)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+ 3 2.7 3

7/2.4$.408.5ntuk "andi le*at dengan panjang / karakter&

)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+)2.+ 3 2./ 3%/%$$0880746.



Prinsip )nklusi*ksklusi

In<orma"i terkecil yang dapat di"impan di dalammemori komputer adalah byte !etiap byte di"u"un oleh /-bit

Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan D$$Datau berakhir dengan D$$D :

Mi"alkan #

A 3 himpunan byte yang dimulai dengan D$$DB 3 himpunan byte yang diakhiri dengan D$$DA ∩ B 3 himpunan byte yang bera*al dan

berakhir dengan D$$D



A ∪ B 3 himpunan byte yang bera*al dengan D$$D atau berakhir dengan D$$D

1umlah byte yang dimulai dengan D$$D adalah %. 3 .4 buah&karena % po"i"i pertama "udah dii"i dengan D$$D&

"ehingga cukup mengi"i . po"i"i bit "i"anya1adi |A| 3 .4$ $ - - - - - - / bit

1umlah byte yang diakhiri dengan D$$D adalah %.

3 .4 buah&1adi |B| 3 .4- - - - - - $ $



1umlah byte yang bera*al dan berakhir dengan D$$D ada %4 $. buah& karena % po"i"i pertama dan % po"i"i terakhir"udah dii"i dengan D$$D& "ehingga tinggal mengi"i 4 po"i"i bitdi tengah "aja 1adi |A ∩ B| 3 $.

$ $ - - - - $ $

Menggunakan prin"ip inklu"i-ek"klu"i

|A∪B| 3 |A| , |B| - |A ∩ B| 3 %. , %. %4 3 .4 , .4 $. 3 $$% buah



Pertemuan ke 15



Bola #

m b p

9ermuta"i

Kotak #

$ % 2

'e&inisi # 9ermuta"i adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturanobjek-objek



m

p

bm

m

m

m

b

b

b

b

p

p

p

p

Kotak $ Kotak % Kotak 2 urutan

mbp

mpbbmp

bpm

pmb

pbm

Kemungkinan urutan berbeda )2+)%+)$+ 3 2E 3 . buah



9ermuta"i

'e&inisi +.1# 9ermuta"i adalah jumlahurutan berbeda dari pengaturan

objek-objek9ermuta"i merupakan bentuk khu"u"aplika"i aturan perkalian

Menurut kaidah perkalian permuta"idari n objek adalah #n)n - $+ )n %+>>)%+)$+ 3 n E ).$+



Bola #

Kotak #

m b p h k j

$ 2%

Kemungkinan urutan berbeda ).+)6+)4+ 3 $%0 buah



1ika contoh dirampatkan )bentuk "ecara umum+ "ehingga

ada n buah bola yang berbeda *arnanya danr buah kotak )r F n+& maka

Kotak ke-$ dapat dii"i oleh "alah "atu dari n bola )ada n pilihan+Kotak ke-% dapat dii"i oleh "alah "atu dari )n $+bola )ada n-$ pilihan+Kotak ke-2 dapat dii"i oleh "alah "atu dari )n %+bola )ada n-% pilihan+

Kotak ke-r dapat dii"i oleh "alah "atu dari )n)r-$++bola)ada n-r,$ pilihan+

Menurut kaidah perkalian& jumlah urutan berbeda dari penempatan bolaadalah n)n-$+)n-%+>)n-)r-$++



9ermuta"i-r

umlah susunan berbeda dari pemilihan r ob%ekyang diambil dari n ob%ek disebut permutasi - r,dilambangkan dengan Pn,r/ , yaitu :

)!(

!),(

r n

nr n P

−=

'e&inisi +.2 # Permutasi r dari n elemen adalah %umlah kemungkinan urutan r buah elemen yangdipilih dari n buah elemen, dengan r n. 'alamhal ini pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.

r n ).%+



1umlah cara mema"ukkan . buah bola yang berbeda*arnanya ke dalam 2 buah kotak adalah

( ) 120

!36

!6)3,6( =

−= P

1umlah kemungkinan urutan % dari 2 elemen himpunanA 3Ga& b& c H adalah

6)!23(

!3)2,3(

=−= P



Bila r 3 n & maka per"amaan ).%+ menjadi "ama dengan ).$+

!1

!

!0

!

)!(

!),( n

nn

nn

nnn P ===

−=



ontoh .$8 #

Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata 34 :

ara $ # )6+)4+)2+)%+)$+ 3 $%0 buah kataara % # 9 )6& 6+ 3 6E 3 $%0 buah kata





ontoh .%4 #

Berapa banyak cara penyu"unan $6 puJJle "eperti

contoh diba*ah ini:

1 2 ! $

" + 5 67 10 11 12

1! 1$ 1"

ara $ # 9 )$.& $6+ "alah& karena "el ko"ong tidak dianggap"ebagai "ebuah objek berbeda dari yang lain

9 )$.& $.+ 3 $.E betul



Kombina"i

Kombina"i adalah bentuk khu"u" daripermuta"i

1ika pada permuta"i urutankemunculan diperhitungkan& makapada kombina"i urutan kemunculan

diabaikan5rutan abc& bca dan acb dianggap"ama dan dihitung "ekali

Mi"alkan ada % buah bola yang *arnanya "ama



$ 2%

%$

$

2

2%

"ama

"ama

"ama

hanya 2 cara

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

Mi"alkan ada % buah bola yang *arnanya "ama



.32

)2)(3(

!2

!1

!3

!2

)2,3( === P

!3

)8)(9)(10(

!3

!7

!10

!3

)3,10(==

P

1umlah cara mema"ukkan % buah bola yang *arnanya "ama ke dalam 2 buah kotak

!ekarang bila jumlah bola ! dan jumlah kotak 10& maka

jumlah cara mema"ukkan bola ke dalam kotak adalah

Karena ada !8 cara mema"ukkan bola yang *arnanyamerah "emua



)!(!!

!))1()...(2)(1(

r nr

n

r

r nnnn

−=−−−−

)!(!

!

r nr

nC

−=

r

n

!ecara umum& jumlah cara mema"ukkan r buah bola yang ber*arna "ama ke dalam n buah kotak adalah

Rumu" di"ebut rumu" kombinasir &

dan dilambangkan dengan )n& r +

atau



Kombina"i - r

=e<ini"i .4 # Kombina"i r elemen darin elemen adalah jumlah pemilihan yang

tidak terurut r elemen yang diambildari n buah elemenRumu" #

r)!(nr!

n!r)C(n,

−

=

)n&r+ dibaca n diambil r& artinya r objekdiambil dari n buah objek

).2+



buah3!2!1

!3

!2)!23(

!3

2

3==

−=

Interpreta"i kombina"i

Mi"alkan A 3 G$& %& 2H1umlah himpunan bagian dengan % elemen yang dapatdibentuk dari himpunan 3 ada 2 buah& yaitu #

G$& %H 3 G%& $H G$& 2H 3 G2& $H G%& 2H 3 G2& %H

2 buah

atau



ontoh .%7 #

Ada berapa cara dapat memilih 2 dari 4 elemen

himpunan A 3 Ga& b& c& d H :

Ini adalah per"oalan kombina"i karena urutan kemunculan ketiga elemen ter"ebut tidak penting

impunan bagian A dengan 2 elemen 9ermuta"i "etiap himpunan bagian

Ga& b& cH abc &acb&bca&bac&cab&cba

Ga& b& dH abd &adb&bda&bad&dab&dba

Ga& c& dH acd &adc&cda&cad&dac&dca Gb& c& dH bcd &bdc&cdb&cbd&dbc&dcb

4)!34(!3

!4)3,4( =

−=C 24

)!34(

!4)3,4( =

−= P



4)!34(!3

!4)3,4( =

−=C

5ntuk "etiap 2 elemen ada 2E 3 . urutan yang berbeda)permuta"i 9 3 n E +

1adi jumlah cara memilih 2 dari 4 elemen himpunan adalah

yaitu himpunan Ga& b& cH& Ga& b& dH& Ga& c& dH& dan Gb& c& dH



ontoh .20 #!ebuah koin yang mempunyai "i"i A dan "i"i B di lempar

keata" "ebanyak 4 )empat+ kaliBerapakah jumlah kemungkinan munculnya "i"i A "ebanyak 2)tiga+ kali:

9enyele"aian #

Ini adalah per"oalan dari kombina"i karena kita tidakmementingkan kapan "i"i A ter"ebut muncul1adi& jumlah kemungkinan munculnya "i"i A "ebanyak2)tiga+ kali adalah

4!1!3

!3)4(

)!34(!3

!4)3,4( =

⋅

=

−

=C



ontoh .22 #

9anitia # . orang& jumlah *anita lebih banyak dp jumlah pria

9anitia terdiri dari 6 *anita& $ pria

dapat dibentuk dengan )$0&6+ ' )/&$+9anitia terdiri dari 4 *anita& % pria dapat dibentuk dengan )$0&4+ ' )/&%+

9anitia terdiri dari . *anita& 0 pria dapat dibentuk dengan )$0&.+ ' )/&0+

1umlah cara pembentukan panitia "eluruhnya 3 )$0&6+ ' )/&$+ ,)$0&4+ ' )/%+ , )$0&.+ ' )/&0+

r)!(nr!

n!r)C(n,

−=



ontoh .24 #

Andaikan apartemen A& B& ditempati ma"ing-ma"ing oleh 4& 2 dan 2 orang maha"i"*a 1umlah cara menye*akan 3 )$0&4+').&2+')2&2+

Andaikan apartemen A& B& ditempati ma"ing-ma"ing oleh 2& 4 dan 2orang maha"i"*a 1umlah cara menye*akan 3 )$0&2+')7&4+')2&2+

Andaikan apartemen A& B& ditempati ma"ing-ma"ing oleh 2& 2 dan 4 orang maha"i"*a 1umlah cara menye*akan 3 )$0&2+')7&2+')4&4+

Total "eluruh cara menye*akan 3 )$0&4+).&2+ , )$0&2+)7&4+ ,)$0&2+)7&2+

3 2)$0&4+).&2+

r)!(nr!

n!r)C(n,

−=



ontoh .26 #

$ %

24

6

y

9

0,0/2

!

ambar .4

A)%&2+



10

)!3)(!2(

!5)2,5()2,32( ===+= C C

10

)!2)(!3(

!5)3,5()3,32( ===+= C C

9anjang linta"an 3 m n langkah )m horiJontal dann ertikal+ontohnya& pada gambar .49anjang linta"an dari )0&0+ ke A)2,!+ 3 % , 2 3 6Banyaknya linta"an 3

r)!(nr!

n!r)C(n,

−=



ontoh .26 #

y

9

0,0/ 2

!

y

9

0,0/ 2

!

ontoh beberapa linta"an lain dari )0&0+ ke A)%&2+

diperlihatkan di ba*ah ini #

A)%&2+A)%&2+



y

9

0,0/2

!

ambar .4

A)%&2+



9ermuta"i dan Kombina"i

Bentuk 5mumKita mempunyai n buah bola yang tidak "eluruhnyaberbeda *arna )jadi& ada beberapa bola yang *arnanya

"ama indi"tingui"hable + Mi"alkan dari n buah bola ituterdapatn $ bola diantaranya ber*arna $&n % bola diantaranya ber*arna %&

n k bola diantaranya ber*arna k&dan n $ ,n % ,>,n k 3n



!!...!

!

!!...!

),(),...,,;(

212121

k k

k

nnn

n

nnn

nn P nnnn P ==

).4+

=engan demikian& permuta"i n buah bola yang manan $ diantaranya ber*arna $&

n % bola ber*arna %&>n k bola ber*arna k adalah #



!!...!!

!),...,,;(

32121

k

k

nnnn

nnnnnC =

).6+

=inamakan kombina"i bentuk umum ) generaliJed combination +

1umlah cara pengaturan "eluruh bola kedalam kotak



!!...!

!),...,,;(),...,,;(

212121

k

k k

nnn

nnnnnC nnnn P =

Kita dapat melihat bah*a tidak ada perbedaan antarapermuta"i bentuk umum dengan kombina"i bentuk umum

Keduanya dapat dihitung dengan rumu" yang "ama

h . 2.



ontoh .2. #

; <M, ), , , ), , , ), P, P, ) =

huru< M 3 $ buah )n$+huru< I 3 4 buah )n%+huru< ! 3 4 buah )n2+huru< 9 3 % buah )n4+n 3 $ , 4 , 4 , % 3 $$ buah 3 jumlah elemen himpunan

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyele"aikanper"oalan ini& keduanya memberikan ha"il yang "ama #



buah P 34650)!2)(!4)(!4)(!1(

!11)2,4,4,1;11( ==

buah

C C C C

34650)!2)(!4)(!4)(!1(

!11

)!0)(!2(

!2

)!2)(!4(

!6

)!6)(!4(

!10

)!10)(!1(

!11

)2,2()4,6()4,10()1,11(

==

⋅⋅⋅=

=

Cara 1 # 1umlah "tring 3

Cara 2 # 1umlah "tring 3

t h . 27



ontoh .27 #

n$ 3 2& n% 3 %& n2 3 %& n4 3 6& dan n$,n%,n2,n4 3 2,%,%,6 3 $%

1umlah cara pengecatan 3 9)$%; 2& %& %& 6+ 3

cara P

166320)!5)(!2)(!2)(!3(

!12

)!5)(!2)(!2)(!3(

)12,12(==

!!...!

!

!!...!

),(),...,,;(

2121

21

k k

k

nnn

n

nnn

nn P nnnn P ==



Kombina"i dengan 9engulangan

)i+ 1ika ma"ing-ma"ing kotak hanya boleh dii"i paling banyak"atu buah bola& maka jumlah cara mema"ukkan bolake dalam kotak adalah )n& r+

)ii+ 1ika ma"ing-ma"ing kotak boleh diisi lebih dari satu buah bola )tidak ada pembata"an jumlah bola+& maka jumlah cara mema"ukkan bola ke dalam kotak adalah

Cn r - 1, r/

t h . 40



ontoh .40 #9ada per"amaan '$,'%,'2,'43$%& adalah bilangan bulat 0Berapa jumlah kemungkinan "olu"inya:

Kotak $ dii"i 2 buah bola )'$ 3 2+Kotak % dii"i 6 buah bola )'% 3 6+

Kotak 2 dii"i % buah bola )'2 3 %+Kotak 4 dii"i % buah bola )'4 3 %+'$ , '% , '2 , '4 3 2 , 6 , % , % 3 $%

Banyak "ekali jumlah "u"unan yang mungkin& namun"eluruhnya ada Cn : r - 1, r /

)4 , $% - $& $%+ 3)$6& $%+ 3 466 buah kemungkinan "olu"i



Perhatikan bah#a

Cn r - 1, r / ; Cn r - 1, n1/

ontoh .4% #

)6 , %0 $& %0+ ' )6 , $6 $& $6+ 3 )%4& %0+ ' )$8& $6+

n 3 6& r1 3 %0 )apel+ dan r2 3 $6 )jeruk+

Nilai )%4& %0+ ' )$8& $6+ dapat di"ele"aikan

t h . 46



ontoh .46 #

2 )Tiga+ buah dadu dilempar ber"amaan Berapa banyaknyaha"il berbeda yang mungkin:

Cn r - 1, r /

9enyele"aian #

). , 2 $& 2+ 3 )/&2+ 3 6.



Pertemuan ke 16



Koe<i"ien Binomial

Teorema binomial memberikan carauntuk menjabarkan bentuk

perpangkatan ) ' , y + n& yang dalamhal ini& n adalah bilangan bulat po"iti<ara ini digunakan "ebagai alternati<

bagi penggunaan "egitiga 9a"cal



1

11

11

1

11

111

2!

+$1010 ""

!$

)',y+0 3 $)',y+$ 3 ' , y)',y+% 3 '% , %'y , y%

)',y+2 3 '2 , 2'% y , 2'y% , y2

)',y+4 3 '4 , 4'2 y , .'% y% , 4'y2 , y4

)',y+6 3 '6 , 6'4 y , $0'2 y% , $0'% y2 , 6' y4 , y6

segitiga Pascal



Aturan untuk menjabarkan bentukperpangkatan ) ' , y + n adalah #

!uku pertama adalah 'n& "edangkan "ukuterakhir adalah yn

9ada "etiap "uku berikutnya& pangkat 'berkurang $ "edangkan pangkat ybertambah $ 5ntuk "etiap "uku& jumlahpangkat ' dan y adalah n

Koe<i"ien untuk 'n-k yk& yaitu "uku ke )k,$+&adalah )n&k+ Bilangan )n&k+ di"ebutkoe<i"ien binomial



) ' , y +n 3 )n&0+ 'n , )n&$+ 'n-$ y$ , >, )n&k+ 'n-k yk , > ,)n&n+ yn

3 P )n&k+ 'n-k yk )..+

>eorema +.1 >eorema inomial/Mi"alkan 9 dan y adalah peubah& dan n adalahbilangan bulat tak-negati<& Maka

) ' , y +n 3 P )n&k+ 'n-k yk

ontoh . 4. #



ontoh .4. #Tentukan "uku keempat )k ,$+ dari penjabaranperpangkatan 9 - y/"

)' y+" 3 )' , ) y++"

!uku keempat adalah # )6& 2+ '"! )-y+! 3 - $0 '2 y!

) ' , y +n

3 P )n&k+ 'n-k

yk

ontoh . 47 #



ontoh .47 #

1abarkan )2' %+2

1ika dide<ini"ikan a 3 2' dan b 3 -%& maka

)a , b+2 3 )2&0+ a2 , )2&$+ a%b$ , )2&%+ a$b% , )2&2+ b2 3 $)2'+2 , 2)2'+% )-%+ , 2 )2'+)-%+% , $)-%+2 3 %7'2 64'% , 2.' - /

)' , y+n 3 )n&0+ 'n , )n&$+ 'n-$ y$ ,>, )n&k+ 'n-k yk ,>,)n&n+ yn



9rin"ip !arang Merpati

1ika n , $ atau lebih objek ditempatkan di dalamn buah kotak& maka paling "edikit terdapat "atu kotak yang beri"i dua atau lebih objek

ontoh . 48 #



ontoh .48 #

=ari %7 orang maha"i"*a& paling "edikit terdapat % )dua+orang yang namanya dia*ali dengan huru< yang "ama&karena hanya ada %. huru< dalam al<abet

)n : 1 /

9 l n =i"k it



9eluang =i"kritAntara kombinatorial dan teori peluang )probability +"ebenarnya terkait eratTeori peluang banyak menggunakan kon"ep-kon"epdi dalam kombinatorial!ayangnya& kedua bidang ini lahir dari tempat yang kurang

patut& yaitu dari arena judi ) gambling game" + "alah "atuka"u"nya adalah menghitung peluang kemunculannomor lotre



impunan "emua kemungkinan ha"il percobaan dinamakanruang contoh )"ample "pace + dari percobaan yangber"angkutan

!etiap ha"il percobaan di dalam ruang contoh di"ebuttitik contoh )"ample point +

9eluang =i"krit



9eluang =i"krit

'e&inisi :Mi"alkan 'i adalah "ebuah titik contoh di dalamruang contoh ! 9eluang bagi 'i adalah ukurankemungkinan terjadinya atau munculnya 'i di

antara titik-titik contoh yang lain di dalam !

! 3 G'$& '%& >& 'i& >H

ara baca#Ruang contoh ! yang terdiri dari titik-titik contoh

'$& '%& >& 'i& dan "eteru"nya

9 l di k it i i< t b i



9eluang di"krit mempunyai "i<at "ebagaiberikut #

$ 0 p)'i+ $& yaitu nilai peluangadalah bilangan tidak negati< dan

"elalu lebih kecil atau "ama dengan $% p )'i+ 3 $& yaitu jumlah peluang

"emua titik contoh di dalam ruang

contoh ! adalah $



ontoh . 64 #



ontoh .64 #

9ada pelemparan dadu& ! 3 G$& %& 2& 4& 6& .H9eluang munculnya "etiap angka adalah "ama yaitu 1?+

ontoh . 6. #



ontoh .6. #

=ari contoh +.!0Munculnya "i"i A "ebanyak 2 )tiga+ kali adalah )4& 2+ 3 4

1umlah "eluruh ha"il percobaan adalah %'%'%'% 3 $.&"ehingga peluang munculnya "i"i A "ebanyak 2 kaliadalah 4Q$. 3 $Q4



Kejadian )eNent +

Kejadian atau eent di"imbolkan Kejadian adalah himpunan bagian dari

ruang contohKejadian yang hanya mengandung "atutitik contoh di"ebut kejadian

"ederhana dan kejadian yangmengandung lebih dari "atu titikcontoh di"ebut kejadian majemuk



=e<ini"i Kejadian

'e&inisi +.":

9eluang kejadian di dalam ruang contoh !

adalah p)+ 3 SSQS!S9eluang kejadian juga dapat diartikan"ebagai jumlah peluang "emua titik contoh

di dalam

) p(xS

p()

x

∑∈

== ).7+

ontoh . 67 #



ontoh .67 #

9ada percobaan melempar dadu

! 3 G$& %& 2& 4& 6& .H

Kejadian munculnya angka ganjil adalah

R 3 G$& 2& 6H=i"ini S!S 3 . dan SS 3 2Kejadian munculnya angka ganjil adalah 2Q. 3

9eluang "etiap titik contoh didalam adalah $Q.&"ehingga p )+ 3 $Q. , $Q. , $Q. 3 2Q. 3



ontoh . 68 #



ontoh .68 #

00024,0)5,52(

)1,48()4,4()1,13(==

C

xC xC C

1umlah cara mengambil 6 kartu "embarang dari 6% kartu 3

)6%& 6+1umlah cara mengambil "atu jeni" kartu dari $2 jeni" yang ada 3 )$2& $+1umlah cara mengambil 4 kartu dari 4 kartu yang "ejeni" 3)4& 4+1umlah cara mengambil "atu kartu lagi dari 4/ kartu yangter"i"a 3 )4/& $+!ehingga& peluang dari 6 kartu ter"ebut mengandung4 kartu "ejeni"



Kon"ep teori himpunan pada peluang di"krit

Mi"alkan diketahui dua buah himpunan Adan B adalah dua kejadian di dalam ruang

contoh !$ Kejadian bah*a A dan B terjadi "ekaligu" berarti "ama dengan munculnya "alah "atutitik contoh di dalam himpunan 3∩

9eluang kejadian A dan B adalah #

∑∩∈

=∩039

i

i

/p.90/p.3 )./+



% Kejadian bah*a A atau B atau keduanyaterjadi berarti "ama dengan munculnya"alah "atu titik contoh di dalam 3∪9eluang terjadinya kejadian A atau B ataukeduanya adalah #

∑∪∈=∪ 039

ii

/p.90/p.3



2Kejadian bah*a A terjadi tetapi B tidak terjadi& berarti "ama dengan munculnya

"alah "atu titik contoh di dalam 3 - 9eluang terjadinya kejadian A tetapi Btidak terjadi& adalah

∑−∈

=−039

i

i

/p.90/p.3



4Kejadian bah*a "alah "atu dari A dan Bterjadi namun bukan keduanya& berarti

"ama dengan munculnya "alah "atu titikcontoh di dalam A ⊕ B9eluang terjadinya "alah "atu dari A dan Bnamun bukan keduanya adalah #

∑⊕∈

=⊕039

i

i

/p.90/p.3



6 )Komplemen+ 9eluang bah*a kejadian U& komplemendari kejadian A& terjadi adalah

p )U+ 3 $ p )A+ ).$%+

U A

A





Documents

Kombi Nato Rial