Kombinatorna optimizacija - LABOIlaboi.fon.bg.ac.rs/wp-content/uploads/2014/12/OI1-KO1.pdf · Grafovi i mreºe Optimizacija na mreºama Kombinatorna optimizacija ... Problem minimalnog

LabOI

Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama

Kombinatorna optimizacija� GRAFOVI I MRE�E �

Milan Stanojevi¢

Laboratorija za operaciona istraºivanja �Jovan Petri¢�

Fakultet organizacionih nauka, Beograd

Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija

LabOI


Sadrºaj predavanja

1 Grafovi i mreºeOsnovni pojmovi

2 Optimizacija na mreºamaProblem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla


LabOI


Osnovni pojmovi

Sadrºaj predavanja




LabOI


Osnovni pojmovi

Graf

Graf je formalan, ali svestran alat matemati£kog modeliranja.

Veliki broj realnih sistema se mogu modelirati pomo¢u grafa.

Na primer:

Svi tipovi mreºa: putne, energetske, telekomunikacione,vodovodi, gasovodi, ...VLST (mikro£ipovi, elektronski ure�aji, ...)Odnosi i uticaji izme�u entiteta, ...


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

De�nicija grafa

Graf je ure�en par (V ,E ), gde su:

V � skup £vorova (eng. Vertices) (npr. V = {1, 2, . . . , v}),E ⊆ {(i , j) |i ∈ V , j ∈ V } � skup grana (eng. Edges).


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

De�nicija grafa




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

De�nicija grafa




LabOI


Osnovni pojmovi

Gra�£ka prezentacija grafa

Graf G = (V ,E ) gde su, na primer:

V = {1, 2, 3, 4}E = {(1, 2) , (2, 1) , (1, 3) , (2, 3) , (2, 4) , (4, 3)}

moºemo predstaviti gra�£ki:

1

2

3

4


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Usmereni/neusmereni grafovi

Ako za neki graf G = (V ,E ), za svaku granu (i , j) ∈ E vaºi dapostoji i grana (j , i) ∈ E , tada takve grafove zovemoneusmereni.

Alternativno, za ovakve grafove moºemo de�nisati skup grana:

E ⊆ {{i , j} |i ∈ V , j ∈ V } .

Grafovi za koje ova osobina ne vaºi, zovu se usmereni.


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije




E ⊆ {{i , j} |i ∈ V , j ∈ V } .



LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije




E ⊆ {{i , j} |i ∈ V , j ∈ V } .



LabOI


Osnovni pojmovi

Gra�£ka prezentacija neusmerenog grafa

Graf G = (V ,E ) gde su, na primer:

V = {1, 2, 3, 4}E = {(1, 2) , (2, 1) , (2, 3) , (3, 2) , (2, 4) , (4, 2)}

moºemo predstaviti gra�£ki na standardan na£in:

1

2

3

4


LabOI


Osnovni pojmovi

Gra�£ka prezentacija neusmerenog grafa

Isti graf G = (V ,E ) se moºe de�nisati druga£ije:

V = {1, 2, 3, 4}E = {{1, 2} , {2, 3} , {3, 4}}

i gra�£ki se predstaviti jednostavnije:

1

2

3

4


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

�vorovi i grane usmerenog grafa

Ako postoji grana e = (i , j) ∈ E usmerenog grafa G = (V ,E ),tada kaºemo:

Grana e polazi iz £vora i i zavr²ava u £voru j ,

Ako grana e2 polazi iz istog £vora u kome grana e1 zavr²ava,tada grana e2 sledi granu e1,

Broj grana koji zavr²ava u nekom £voru i zove se ulazni

stepen £vora i ,

Broj grana koji polazi iz nekog £vora i zove se izlazni stepen

£vora i .


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

�vorovi i grane neusmerenog grafa

Ako postoji grana e = {i , j} ∈ E neusmerenog grafa G = (V ,E ),tada kaºemo:

�vorovi i i j su susedni i predstavljaju krajnje ta£ke grane e,

�vor i i grana e su incidentni ako i ∈ e,

Dve grane e1 i e2 su susedne ako su incidentne sa istim£vorom,

Broj grana koje su incidentne nekom £voru i zove se stepen

£vora i .


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Slede¢i i prethodni £vorovi

Skup £vorova koji slede £vor i se ozna£avaΓ(i) = {j | (i , j) ∈ E},Skup £vorova koji prethode £voru j se ozna£avaΓ−1(j) = {i | (i , j) ∈ E}.

Primer:

2

1 3

4

5

Za prikazani graf: Γ(3) = {4, 5}, Γ−1(3) = {1, 2}


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Slede¢i i prethodni £vorovi

Skup £vorova koji slede £vor i se ozna£avaΓ(i) = {j | (i , j) ∈ E},Skup £vorova koji prethode £voru j se ozna£avaΓ−1(j) = {i | (i , j) ∈ E}.

Primer:

2

1 3

4

5

Za prikazani graf: Γ(3) = {4, 5}, Γ−1(3) = {1, 2}


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Potpun graf

Za graf G = (V ,E ) se kaºe da je potpun ako∀i , j ∈ V , i 6= j ,∃ (i , j) ∈ E .

Primer:

2

1

3 4

5


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Potpun graf

Za graf G = (V ,E ) se kaºe da je potpun ako∀i , j ∈ V , i 6= j ,∃ (i , j) ∈ E .

Primer:

2

1

3 4

5


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Put

Put izme�u dva zadata £vora s i t, s, t ∈ V je niz grana za kojevaºi:

Prva grana polazi iz £vora s,

Svaka slede¢a grana sledi prethodnu granu iz niza (je susednaprethodnoj grani � ako je graf neusmeren),

Poslednja grana zavr²ava u £voru t.

Primer:

((s, 1) , (1, 4) , (4, 8) , (8, 3) , (3, t))

Alternativno, put se moºe predstaviti nizom £vorova:

(s, 1, 4, 8, 3, t)


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Put





Primer:

((s, 1) , (1, 4) , (4, 8) , (8, 3) , (3, t))


(s, 1, 4, 8, 3, t)


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Put





Primer:

((s, 1) , (1, 4) , (4, 8) , (8, 3) , (3, t))


(s, 1, 4, 8, 3, t)


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Elementarni put

Elementarni put je onaj put koji kroz sve £vorove prolazi najvi²ejednom.

Primer:

2

1 3

4

5

Put (1, 2, 3, 4, 5) jeelementaran.

2

1 3

4

5

Put (1, 3, 4, 2, 3, 5)nije elementaran

po²to kroz £vor 3 prolazi dvaputa.


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Elementarni put

Elementarni put je onaj put koji kroz sve £vorove prolazi najvi²ejednom.

Primer:

2

1 3

4

5

Put (1, 2, 3, 4, 5) jeelementaran.

2

1 3

4

5

Put (1, 3, 4, 2, 3, 5)nije elementaran

po²to kroz £vor 3 prolazi dvaputa.


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Kontura

Kontura je elementarni put koji po£inje i zavr²ava u istom £voru.

Primer:

2

1 3

4

5

Put (2, 3, 4, 2) je kontura.

Putevi (3, 4, 2, 3) i (4, 2, 3, 4) predstavljaju istu konturu.


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Kontura


Primer:2

1 3

4

5




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Kontura


Primer:2

1 3

4

5




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Hamiltonova kontura

Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.

Primer: Za graf

Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.

Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Hamiltonova kontura


Primer: Za graf 2

1

3

4

5

6

7




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Hamiltonova kontura


Primer: Za graf 2

1

3

4

5

6

7




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Hamiltonova kontura


Primer: Za graf 2

1

3

4

5

6

7




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Hamiltonova kontura


Primer: Za graf 2

1

3

4

5

6

7




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Hamiltonova kontura


Primer: Za graf 2

1

3

4

5

6

7




LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Povezan graf

Neusmeren graf je povezan, ako za svaka dva £vora i , j ∈ V

postoji put koji ih povezuje.

Usmeren graf je povezan, ako za svaka dva £vora i , j ∈ V

postoji put koji ih povezuje, pri £emu se usmerenja granazanemaruju.

U slu£aju da nije povezan, za graf kaºemo da je nepovezan.


LabOI


Osnovni pojmovi

Primer povezan / nepovezan graf

2

1

3

4

5

6

Povezan graf

2

1

3

4

5

6

Nepovezan graf


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Presek grafa (neprecizna de�nicija)

Presek grafa je skup grana £ijim uklanjanjem graf postajenepovezan.

Presek grafa (precizna de�nicija)

Za neusmeren graf G = (V ,E ) i zadati podskup £vorova W ⊂ V ,presek grafa δ(W ) je podskup grana takvih da im je jedan £vor uskupu W , a drugi u skupu V \W . Drugim re£ima

δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W } .


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Presek grafa (neprecizna de�nicija)

Presek grafa je skup grana £ijim uklanjanjem graf postajenepovezan.

Presek grafa (precizna de�nicija)

Za neusmeren graf G = (V ,E ) i zadati podskup £vorova W ⊂ V ,presek grafa δ(W ) je podskup grana takvih da im je jedan £vor uskupu W , a drugi u skupu V \W . Drugim re£ima

δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W } .


LabOI


Osnovni pojmovi

Primer presek grafa

Presek grafa

δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }

2

1

3

4

5

6


LabOI


Osnovni pojmovi

Primer presek grafa

Presek grafa

δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }

W2

1

3

4

5

6


LabOI


Osnovni pojmovi

Primer presek grafa

Presek grafa

δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }

2

1

3

4

5

6


LabOI


Osnovni pojmovi

Primer presek grafa

Presek grafa

δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }

2

3

4

5


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Stablo

Neusmeren graf G = (V ,E ) je stablo ako vaºe bar dve od slede¢etri tvrdnje:

1 Graf G ne sadrºi ni jednu konturu.2 Graf G sadrºi ta£no |V | − 1 grana.3 Graf G je povezan.

Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Stablo

Neusmeren graf G = (V ,E ) je stablo ako vaºe bar dve od slede¢etri tvrdnje:

1 Graf G ne sadrºi ni jednu konturu.2 Graf G sadrºi ta£no |V | − 1 grana.3 Graf G je povezan.

Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.

Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije


Primer:


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Mreºa

Kada se elementima grafa (£vorovima i/ili granama) dodeleneke vrednosti, on se naziva teºinski graf.

Povezan teºinski graf se naziva mreºa.

Primer: Putna mreºa je zadata grafom, a vrednosti predstavljajuudaljenosti izme�u klju£nih ta£aka (npr. raskrsnica, gradova i sl.)

B

V

D

S

15

18

20

25

12

10


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Mreºa

Kada se elementima grafa (£vorovima i/ili granama) dodeleneke vrednosti, on se naziva teºinski graf.

Povezan teºinski graf se naziva mreºa.

Primer: Putna mreºa je zadata grafom, a vrednosti predstavljajuudaljenosti izme�u klju£nih ta£aka (npr. raskrsnica, gradova i sl.)

B

V

D

S

15

18

20

25

12

10


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije

Vrednosti koje se dodeljuju elementima grafa mogu imati razli£ituprirodu i tuma£enje.

Vrednosti koje se dodeljuju granama, mogu predstavljati npr.:

duºinu,

teºinu,

kapacitet,

pouzdanost, ...

Vrednosti koje se dodeljuju £vorovima, mogu predstavljati npr.:propusnost,

zna£aj,

uticaj, ...


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije



duºinu,

teºinu,

kapacitet,

pouzdanost, ...


zna£aj,

uticaj, ...


LabOI


Osnovni pojmovi

De�nicije



duºinu,

teºinu,

kapacitet,

pouzdanost, ...


zna£aj,

uticaj, ...


LabOI


Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla

Optimizacija na mreºama

Zadaci optimizacije na mreºama predstavljaju u poslednjevreme naj£e²¢e optimizacione probleme.

Tako�e, oni spadaju i u najteºe i najvi²e prou£avane problemesada²njice.


LabOI



Sadrºaj predavanja




LabOI



Nalaºenje najkra¢eg puta izme�u dva zadata £vora u mreºi

Zadat je graf G = (V ,E ) i skup vrednosti (duºina, teºina)koje odgovaraju svakoj grani C = {(cij) | (i , j) ∈ E}.Zadati su £vorovi s ∈ V i t ∈ V :

s � po£etni £vor (Start);t � krajnji £vor (Target).


LabOI




Duºina puta

Duºina puta jednaka je zbiru duºina grana koje tom putupripadaju.

Formalno

P = ((s, i1) , (i1, i2) , . . . , (ir , t))

L(P) =∑p∈P

cp

Problem najkra¢eg puta

Potrebno je odrediti put od £vora s do £vora t £ija je duºinanajmanja.


LabOI




Duºina puta


Formalno

P = ((s, i1) , (i1, i2) , . . . , (ir , t))

L(P) =∑p∈P

cp




LabOI




Duºina puta


Formalno

P = ((s, i1) , (i1, i2) , . . . , (ir , t))

L(P) =∑p∈P

cp




LabOI



Re²avanje problema najkra¢eg puta

Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam

O(|E | |V |)

3 Dajkstrin algoritam

O(|V |2) J


LabOI





O(|E | |V |)


O(|V |2) J


LabOI





O(|E | |V |)


O(|V |2) J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam

O(|V |2) J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam

O(|V |2) J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam O(|V |2)

J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam O(|V |2) J


LabOI



Dajkstrin algoritam

Dajkstrin1algoritam je specijalizovan algoritam za nalaºenjenajkra¢eg puta od jednog zadatog £vora (s) do svih ostalih.

Svakom £voru se dodeljuje oznaka d(j) koja predstavljaudaljenost £vora j od po£etnog £vora, koja moºe bitiprivremena ili trajna.

Kada je oznaka £vora j trajna, oznaka d(j) predstavljanajmanju udaljenost od po£etnog £vora do £vora j .

Sa S ⊆ V ¢e biti obeleºen skup £vorova kojima su dodeljenetrajne oznake, a sa Q ⊆ V privremene (S ∩ Q = ∅,S ∪ Q = V ).

1Edsger Wybe Dijkstra (1930 � 2002).Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija

LabOI



Dajkstrin algoritam






LabOI



Dajkstrin algoritam






LabOI



Dajkstrin algoritam






LabOI



Dajkstrin algoritam

U po£etku ¢e samo £vor s imati trajnu oznaku sa vredno²¢u 0(duºina najkra¢eg puta od £vora s do njega samog), a ostali£vorovi privremene oznake sa vredno²¢u ∞.

U svakoj iteraciji Dajkstrinog algoritma odre�uje se duºinanajkra¢eg puta (tj. trajna oznaka) od po£etnog do nekog£vora grafa.

Radi lak²eg rekonstruisanja puta, svakom £voru osimpo£etnom pridruºuju se i oznake p(j) koje predstavljaju £vorkoji ¢e u na�enom putu prethoditi £voru j .


LabOI



Dajkstrin algoritam





LabOI



Dajkstrin algoritam





LabOI



Dajkstrin algoritam

Algoritam1 Inicijalizacija:

Podeliti £vorove na one sa trajnim i one sa privremenimoznakama: S ← {s}; Q ← V \ {s};Dodeliti po£etne oznake: d(s)← 0; d(j)←∞, j ∈ Q;Postaviti po£etni £vor za teku¢i: i ← s.

2 Svim £vorovima koji slede teku¢i £vor, a imaju privremenuoznaku, dodeliti nove oznake:

d(j)← min {d(j), d(i) + cij} , j ∈ Γ(i) ∩ Q


LabOI



Dajkstrin algoritam

Algoritam3 Od svih £vorova sa privremenim oznakama:

izabrati onaj sa najmanjom vredno²¢u:

u ← argminj∈Q

d(j)

proglasiti tu oznaku za trajnu:

S ← S ∪ {u} , Q ← Q\ {u}

evidentirati prethodni £vor: p(u)← i

postaviti taj £vor za teku¢i: i ← u

4 Ako je Q 6= ∅ i¢i na korak 2. U suprotnom KRAJ.


LabOI



Dajkstrin algoritam

Re²enje

Na kraju algoritma, svi £vorovi ¢e imati trajne oznake d(j).Ove vrednosti predstavljaju duºine najkra¢ih puteva od £vora s

do £vora j (tj. vrednost re²enja).

Sastav puteva (tj. re²enje) se moºe lako odrediti za svaki £vor,prate¢i �unazad� oznake za prethodni £vor p(j).

U zadacima, u oznakama £vorova, trajne oznake ¢e bitiobeleºene sa �+�, a privremene sa ��.


LabOI



Dajkstrin algoritam

Re²enje

Na kraju algoritma, svi £vorovi ¢e imati trajne oznake d(j).Ove vrednosti predstavljaju duºine najkra¢ih puteva od £vora s

do £vora j (tj. vrednost re²enja).

Sastav puteva (tj. re²enje) se moºe lako odrediti za svaki £vor,prate¢i �unazad� oznake za prethodni £vor p(j).

U zadacima, u oznakama £vorova, trajne oznake ¢e bitiobeleºene sa �+�, a privremene sa ��.


Dajkstrin algoritam � primer

Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.

1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3

Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).



1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3




1 4

52

s t3

2

8

3

5

3

2

4

3

4

0

4 9

106

3 119

s

s

1

1

23

3


LabOI



Sadrºaj predavanja




LabOI



Problem minimalnog razapinju¢eg stabla

Zadat je neusmereni povezan graf G = (V ,E ) i skupvrednosti (teºina, duºina) koje odgovaraju svakoj graniC = {(cij) | {i , j} ∈ E}.

Razapinju¢e stablo � de�nicija

Razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) je podgraf tog grafa kojisadrºi sve £vorove V tog grafa i stablo je.

Drugim re£ima:S = (V ,E

′) je razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) akko

E′ ⊆ E i S je stablo.


LabOI











LabOI











LabOI



Nalaºenje minimalnog razapinju¢eg stabla

Teºina (duºina) razapinju¢eg stabla

Teºina razapinju¢eg stabla jednaka je zbiru teºina grana kojetom stablu pripadaju.

Formalno

S =(V ,E

′)

L(S) =∑l∈E ′

cl


Potrebno je odrediti razapinju¢e stablo £ija je teºina najmanja.


LabOI






Formalno

S =(V ,E

′)

L(S) =∑l∈E ′

cl




LabOI






Formalno

S =(V ,E

′)

L(S) =∑l∈E ′

cl




LabOI



Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla

Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam

O(|E | log |V |)

3 Primov algoritam

O(|E |+ |V | log |V |) J


LabOI





O(|E | log |V |)

3 Primov algoritam

O(|E |+ |V | log |V |) J


LabOI





O(|E | log |V |)

3 Primov algoritam

O(|E |+ |V | log |V |) J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam

O(|E |+ |V | log |V |) J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam

O(|E |+ |V | log |V |) J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam O(|E |+ |V | log |V |)

J


LabOI




Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam O(|E |+ |V | log |V |) J


LabOI



Primov algoritam

Primov algoritam je proºdrljiva (halapljiva, greedy) procedurakonstruisanja razapinju¢eg stabla dodavanjem po jednog £vora(i odgovaraju¢e grane) do tada konstruisanom stablu.

Ozna£imo sa U skup £vorova i sa P skup grana koje su donekog trenutka uklju£eni u stablo.


LabOI



Primov algoritam

Primov algoritam je proºdrljiva (halapljiva, greedy) procedurakonstruisanja razapinju¢eg stabla dodavanjem po jednog £vora(i odgovaraju¢e grane) do tada konstruisanom stablu.

Ozna£imo sa U skup £vorova i sa P skup grana koje su donekog trenutka uklju£eni u stablo.


LabOI



Primov algoritam

Algoritam1 Inicijalizacija: izabrati proizvoljan £vor u ∈ V i dodati ga u

skup U = {u}; P = ∅.2 Izme�u svih grana M = {{i , j} | {i , j} ∈ E , i ∈ U, j ∈ V \U},

tj. grana £iji jedan £vor pripada formiranom stablu, a drugi jevan njega izabrati onu sa najmanjom teºinom. Drugim re£ima:

{v , u} ← argmin{i ,j}∈M

cij

3 �vor u i granu {v , u} dodati stablu: U ← U ∪ {u},P ← P ∪ {{v , u}}.

4 Ponavljati korake 2 i 3 sve dok se ne doda svih |V | £vorova uU, odnosno |V | − 1 grana u P . Dobijeni graf S = (U,P)predstavlja minimalno razapinju¢e stablo.


LabOI



Primov algoritam � primer

Odrediti minimalno razapinju¢e stablo grafa:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4

Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.


LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Primov algoritam:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Re²enje:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI




Re²enje:

1 2 3

64

7 98

5

10 3

76 9 12

129

2

8 5

68

10 4

4



LabOI

KRAJ

Hvala na paºnji!


Documents

Kombinatorna optimizacija - LABOIlaboi.fon.bg.ac.rs/wp-content/uploads/2014/12/OI1-KO1.pdf · Grafovi i mreºe Optimizacija na mreºama Kombinatorna optimizacija ... Problem minimalnog