1 KARMAIK SAYILAR - 1 Karmaksaylarsistemi,gerelsaylarsistemininbirdoalgenellemesidir.Tarihsel geliiminebaktmzda,matematikilerinkarmaksaylaraox2+bx + c = ubiimindekiikinciderece(kuadratik)denklemlerinzmndeihtiyaduyduklarn grrz. rnein,x2+ 1 = uvex2+ 2x +2 = u Denklemleriningerelsaylarkmesindezmlerininolmadnbiliyoruz.Daha Babiller zamannda bu denklemlerin srasylax =1 , x =1vex =1 +1 , x =1 1 biimindekkleriolduubiliniyorvebusaylarlagerelsaylardakinebenzerformal ilemler yaplarak sonuca ulalyordu.Ancak1in gerel anlamna, Leonardo Euler (1707-1783)in almalar ile ulalmtr.Bir cisim yapsna sahip olan karmak saylar kmesinin,karmaksaydiyeadlandrlanelerinintemelzellikleribunitede belirtilecektir. 1.1.KARMAIK SAYILAR KMES TANIM1.1. BirC = { (x, y)|x , y ]kmesini alalm.Eer bu kme zerinde, 1.(x1, y1) = (x2, y2) x1= x2, y1= y2 (eitlik) 2.(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2 ) (toplama) 3.(x1, y1) . (x2, y2) = (x1 x2y1y2 , x1y2+x2y1) (arpma) Kurallartanmlanmsa,CkmesineKarmakSaylarKmesidenir.Bukmenin elerininherbirinedeKarmakSaydenir.Birkarmaksaysralbirgerelsay ikilisi olup, genelliklez, wgibi harflerle gsterilir.z = (x, y)karmak saysndax ve y ye srasylaz nin gerel (reel) ve sanal (imajiner) ksmlar denir vex = Rc(z), y = Im(z) eklinde gsterilir.rneinz = (S, S)ise 1 2 x = Rc(z) =S ve y = Im(z) =S Her karmak say sral bir gerel say ikilisi ile verildiine gre, bu ikiliye x-dzleminde belirlibirnokta karlk gelir.zel olarak x-ekseni zerindekinoktalar(x, u)eklinde karmaksaylara,y-eksenizerindekinoktalarda(u, y) eklindekikarmaksaylara karlkgelennoktalardr.Buyzdenx-ekseninegerel(reel)eksenvey-ekseninede sanal(imajiner)eksendiyeceiz.Buekildekarmaksaylaryerletirdiimizxy-dzlemineKarmakdzlemyadaC-dzlemidenir.Gereleksenzerindeki(x, u) eklindekibirkarmaksayyxilegstereceizve(x, u) = xyazacaz.Bunagre(1, u) = 1ve(u, u) = uyazlabilir.(u, 1)karmak saysniile gstereceiz ve (u, 1) = i yazacaz.Bui says ekil 1.1 de grld gibi, balangnoktasndanitibaren sanal eksen zerinde, birim uzaklktaki noktaya kar gelen karmak saydr.Bu sayya Sanal Birim de denir. ekil 1.1 Karmak saylar kmesindeki arpma ilemi tanma grei. i = i2ile gsterilir ve i2= (u, 1)(u, 1) = (u.u 1.1 , u.1 + 1.u) = (1, u)dir. Buradan i2= 1 olur.Buna gre karmak saylar gerel saylardan ayran temel zelliklerden biri, karesi 1eeitolanbirkarmaksaynnvarldr,diyebiliriz.Hattabazyazarlarkarmak saylarnaksiyomatikyapsnkurarken,sanalbirimdiyeadlandrlanvei2= 1 zelliindeniyigerelsaylarkmesinekatarak {i]kmesizerindekarmak yapy olutururlar.arpma ilemi tanmna gre, (u, 1)(y, u) = (u, y)veya(y, u)(u, 1) = (u, y) olduundan 3 iy = (u, y)veyayi = (u, y) eklinde yazlabilir. Dier taraftan karmak saylar kmesindeki toplama ilemi tanmna gre, (x, u) +(u, y) = (x, y) olduundan, birz = (x, y)karmak saysz = x +iyveyaz = x +yi biimindeyazacaz.Budurumdakarmaksaylarkmesindekieitlik,toplamave arpma ilemi aksiyomlar srasyla (x1+iy1)= (x2+ iy2) x1= x2, y1= y2 (x1+iy1) +(x2+iy2) = (x1+ x2) +i(y1+ y2) (x1+iy1).(x2+ iy2) = (x1 x2y1y2 ) + i(x1y2+x2y1) eklindeolur.Bunlargsteriyorki,karmaksaylarlatoplamavearpmailemleri yaplrkeni2= 1olduugznndebulundurularakcebirselifadelerdekiilemlerin yapl gibi hareket edilir. rnek 1.1:(S +Si) +(7 Si) = (S +7) +i(S S) = 1u +2i ve (S + Si) . (7 Si) = S.7 S.Si + S.7i S.Si2 = 21 + 1S + i(SS 9) = S6 + 26i bulunur. Karmaksaylarkmesindetanmlanantoplamavearpmailemleriyardmyla, aadaki temel zelliklerin salandn kolayca gsterebiliriz. z1, z2 ve z3 herhangi karmak saylar olmak zere, i.z1+ z2= z2+z1 ii.z1+ (z2+ z3) = (z1+ z2) +z3 olur. iii.Her z karmak says iinz +u = zdir. u = (u, u)karmak saysna toplama ileminin etkisiz eleman denir. iv.z = z iy karmak says verildiinde 4 z +z1= uolacakekildebellibirz1= z1+iy1karmaksaysvardr.Vebusayyazkarmak saysnn toplama ilemine gre ters eleman denir.Kolayca grebilecei gibi z1= x iydir. v.z1. z2= z2. z1 vi.z1(z2. z3) = (z1. z2)z3 vii.(z2+ z3) = z1. z2+z1. z3

dir. viii.Her z karmak says iin z. 1 = zdir.Buna gre1 = (1, u)karmak saysna arpma ileminin etkisiz eleman denir. ix.z = x + iy ukarmak says verilsin. z. z1= 1 olacakekildebellibirz1= x1+iy1karmaksaysvardr.Busayyazninarpma ilemine gre tersi denir vez1= z-1ile gsterilir.imdi z1 yani z-1 saysn bulalm. z1= x1+ iy1olmak zere z. z1= 1 eitliinden, (x + iy)(x1+iy1) = (xx1 yy1) +i(xy1+ x1y) = (1, u) bulunur. Karmak saylarn eitlii tanmna gre, xx1 yy1= 1 xy1+x1y = u denklemsistemlerieldeedilir.z = x +iy u isexveydenenazbirisfrdan farkldr.Budurumdax2+y2 uolmakzorundadr.Bunagrebudenklem sisteminin tek olan zm x1=xx2+2 , y1=-x2+2 dir.Buna gre z-1=xx2+2 x2+2i 5 eklindedir. Karmak saylar kmesindeki arpma ilemi tanmna gre, (1) . z = z u . z = u olduunu kolayca grebilirsiniz. TANIM1.2. ki Karmak Saynn Fark z1 ve z2 herhangi iki karmak say olmak zere, z1+z = z2

eitliini gerekleyen bir tek z karmak says vardr.Bu say, z = z2 z1

ile gsterilir ve z ye z2 ile z1 in fark denir. z = z2 z1= (x2x1) +i(y2y1) olduu kolayca grlebilir. TANIM1.3. ki Karmak Saynn Blm z1 ve z2 (z2 u) herhangi bir karmak say olmak zerezz2= z1

eitliini gerekleyen belli bir z karmak says vardr.Bu say, z =z1z2 ile gsterilir ve z yez1 ilez2nin blm denir.imdiz1z2saysn bulalm. z1= x1+iy1

z2= x2+iy2 u z = x +iy 6 olmak zere zz2= z1 eitliindenz2 uolduu iin, z = z1z2-1= (x1+ iy1). (x2x22+222x22+22i) yazlabilir. Buradan arpma ilemi yaplrsa z = x + iy =x1x2+12 x22+22x21-x12x22+22ibulunur. zel olarakz1= 1alnrsa, z2-1=1z2 olduu grlr. Yani z u karmak says iin z-1=1z

dir. 1.1.1.BR KARMAIK SAYININ MUTLAK DEER (MODL) z = x + iykarmaksaysverilsin.Negatifolmayan r = |z| = x2+y2saysnaz karmak saysnn mutlak deeri (modl) denir ve |z| ile gsterilir.Buna gre, r = |z| = x2+ y2dir EerzelolarakIm(z) = y = u ise|z| = x2=|x|olurki,bugerelsaylar kmesindeki mutlak deerden baka bir ey deildir.Dikkat edilirse bir karmak saynn mutlakdeerifonksiyonolarakdnldndeosayynegatifolmayanbirgerel sayyagtrenbirfonksiyondur.z = x + iykarmaksayskarmakdzlemde gsterilmi olsun.Bu sayya karmak dzlemde karlk gelen noktay P ile gsterelim. 7 ekil 1.2 P noktasnn balang noktasna olan uzakl, |0P| = x2+ y2 dir. O halde z karmak saysnn mutlak deeri, bu sayya karmak dzlemde kar gelen noktann balang noktasna olan uzakldr. rnek 1.2:z = S 4ivez = 2isaylarnnmutlakdeerleri srasyla, |z| = S2+(4)2= S |z| = u2+ 22= 2 olur. Bir z = x +iykarmak saysnn karmak elenii (konjugesi) veya ksaca elenii z ile gsterilir. z = x iy olaraktanmlanr.zelolarakIm(z) = y = uise,z = xolur.Yanix = (x, u) eklindeki bir karmak saynn elenii yine kendisidir. Birz = x + iykarmak says karmak dzlemde gsterilmi olsun 8 ekil 1.3 Dikkat edilirse birz = x + iykarmak saysnn elenii, bu sayya karmak dzlemde karlk gelen noktann gerel eksene gre simetrii olan noktaya karlk gelen karmak saydr. rnek 1.3:Aadaki saylarn elenikleri u ekildedir; z = S +Si z = S Si z = 1 2i z = 1 +2iz = 2i z = 2i imdibirkarmaksaynnmutlakdeeriileeleniiarasndakibazzellikleri belirtelim. i.z = x + iykarmak says iin zz = (x + iy)(x iy) = x2+ y2= |z|2 olur. Yani zz = |z|2dir. ii.z1= x1+ iy1 ve z2= x2+iy2karmak saylar verilsin. z1+z2= (x1+ x2) + i(y1+y2) olduundan z1+z2

= (x1+ x2) + i(y1+y2) = (x1 iy1) +(x2iy2) = z1 + z2 9 olur.Yani, z1+z2

= z1 + z2

dr. Benzer ekilde, z1+z2

= z1. z2ve [z1z2

=z1

z2

,(z2 u) olduunu kolayca grebilirsiniz. Uyar:z1vez2(z2 u)karmaksaysnn z1z2blmnoluturmakiin,yaniz1z2 yix +iyeklinde ifade etmek iin, pratik olarak pay ve payday, paydann elenii ile arparz. Bu durumda z1z2=z1z2

z2z2 =z1z2

|z|2

olur. rnek 1.4:1-21+ ifadesinix + iybiimnde yazalm. zm:Verilen kesrin pay ve paydas, paydann elenii ile arplrsa, 1-21+=1-21+.1-1-=1--2-21+=-1-32=12.32iolur. iii.Birkarmaksaynnmutlakdeerinintanmndanaadakizelliklerikolayca grebilirsiniz. |z1 z2| = (x1 x2)2+(y1y2)2 Rc(z) |Rc(z)| |z| Im(z) |Im(z)| |z| |z1z2| = |z1|. |z2| , z1z2 =|z1||z2|, (z2 u) iv.gen eitsizlii. z1 vez2 herhangi karmak saylar olmak zere, |z1+ z2| |z1| +|z2|dir. imdi bu eitsizlii gsterelim. 10 |z1+ z2|2= (z1+ z2)(z1+ z2

) = (z1+ z2)(z1 + z2) = z1z1 + +z1z2 +z2z1 + z2z2

= |z1|2+z1z2 + z2z1 +|z2|2 yazlabilir. z2z1

= z2 z1 = z2 z1 olduundan,z1z2 saysz1 z2 saysnn eleniidir. Birz = x + iykarmak saysnn kendisi ile eleniinin toplam 2Rc(z) olduuna gre z2z1 z2 z1= 2 Rc(z2z1 )yazlr.Buna gre, |z1+ z2|2= |z1|2+2Rc(z1z2 ) +|z2|2

elde edilir. Rc(z2z1) |z2z1| = |z2|. |z1| = |z2||z1|yazlabileceinden |z1+ z2|2 |z1|2+2|z2|. |z1| +|z2|2 (|z1| + |z2|)2 olur. Bu eitsizliin her iki taraf negatif olmayan saylarn karesi olduundan, |z1+ z2|2 |z1| +|z2| bulunur. 1.1.2.BR KARMAIK SAYININ ARGMENT z = x + iy u karmak says verilsin ve bu say C-dzleminde gsterilmi olsun (ekil 1.4).BuzsaysnaC-dzlemindekarlkgelennoktabalangnoktasnabirletirilirse, birvektreldeedilir.Buvektrngereleksenin(x-ekseninin)pozitifynileyapt aya z karmak saysnn bir argmenti denir ve 0 = aig zolarak belirtilir. 11 ekil 1.4 Dikkatedilirsez uiinasbellidirancaktekdeildir.nkktamsayolmak zere0 + 2knalardaaynzkarmaksaysnnargmentiolabilirler.argziin2 uzunluundabiryarkapalaralkseilirse,rnein[0,2n),(-n, n],(n2,3n2]gibi, argmenttekekildebelliolur.okkez(-n, n]aralndakiargmenteesasargment denir. ekil 1.4 deki dik gendenCos 0 =x|z| ,sin0 =|z|, tan0 =x Olduugrlyor.Ancakasntan0 =xeitliiilebelirtirken,nceverilen karmak saynn karmak dzlemin hangi blgesinde olduuna dikkat edilmelidir. rnek1.5: z = S isaysnn(-n, n]aralndakiargmentini bulalm. ekil 1.5 tan 0 =-13olduunagre0 = n6olur.Aynzsaysnn[0,2) aralndaki argmentinin 11n6 olduuna dikkat ediniz. 12 rnek 1.6: i.(8 6i) (2i 7) ii.(2 i)(S +Si) iii. 5+52-1

lemlerini yapalm. zm : i.(8 6i) (2i 7) = 8 6i 2i + 7 = 1S 8i ii.(2 i)(S + Si) =2.S +2.Si Si Si2 = 11 + 7i iii. 5+52-1= (5+5)(-2-1)(2-1)(-2-1) =-10-5+10-54+1

=5-154+1= 1 Si rnek 1.7 : k bir doal say olmak zerei4k= 1 ,i4k+1= i , i4k+2= 1 , i4k+3= i olduunu gsterelim ve in saysnn hesaplanmas iin bir kural verelim. zm : i4k= (i4)k= |(i2)2]k= |(1)2]k= 1k= 1 i4k+1= i4k. i = 1. i = i i4k+2= i4k. i2= 1. (1) = 1 i4k+3= i4k. i3= 1. i3= i2. i = i olur.m = 0, 1, 2, 3 ve n 4olmak zeren=4k+ m yazlabilir. Buna grein= i4k+m= i4k. im= im bulunur. rnein,i275= i4.68+3= i3= idr. 13 KARMAIK SAYILAR - 2 2.1.BR KARMAIK SAYININ KUTUPSAL GSTERM Herhangi birz ukarmak says verilsin. ekil 2,1deki dik gene dikkat edilirse, x = r. cos 0 , y = r. sin 0 olur. ekil 2.1 Bu nedenlez = x +iykarmak says z = r(cos 0 + i sin0) eklindeyazlabilir.Buyazmbiiminezkarmaksaysnnkutupsalgsterimidenir. Ancak bir karmak saynn kutupsal gsteriminin tek olmadn belirtelim. Gerekten, kbir tam say olmak zere yerine0 +2knalnabilir ve z = r|cos(0 +2kn) +i sin(0 +2kn)] Kutupsalgsterimideyazlabilir.Eerzkarmaksaysnnargmentiiin2uzunluunda belli bir yar kapal aralk seilirse,zkarmak saysnn kutupsal gsterimi tek trl yazlabilir. 2 14 rnek2.1:n < aig z < nolmakzere,z = 1 ikarmak saysnn kutupsal gsterimini bulalm. zm:r = |z| = 1 + 1 = 2 ve tan 0 =-11= 1dir. n < aig z < n seildiinden0 = aig z = n4 olur. Buna gre z = 2 [cos [n4 + i sin[n4 = 2 [cosn4 i sinn4 yazlr. imdiikikarmaksaynnarpmnnveblmnnargmentineilikinzellikleri verelim. TEOREM2.1. z1 u , z2 u herhangi iki karmak say vekbir tam say olmak zere org (z1z2) = aig z1+ aigz2+2kn aig [z1z2 = aig z1 aigz2+2kn dir. spat2.1. z1vez2karmak saylarnn kutupsal gsterimleri z1= |z1|(cos 01+i sin 01) , z2= |z2|(cos 02+i sin02) olsun. Buradan z1. z2= |z1|(cos 01+i sin 01) .|z2|(cos 02+i sin 02) = |z1||z2||(cos 01cos 02sin 01sin 02) +i(cos 01sin02 sin01cos 02)] = |z1||z2||cos(01+02) + i sin(01+ 02)] elde edilir. Buna grekbir tam say olmak zere 15 aig(z1z2) = 01+ 02+2kn = aig z1+ aig z2+ 2kn olur. Benzer ekilde z1z2=|z1||z2||cos(0102) +i sin(01 02)] elde edilir ve buradankbir tam say olmak zere aigz1z2=01+ 02+2kn = aig z1aig z2+ 2kn olduu grlr. Uyar:Buteoremdeikikarmaksaynnarpmnn(veyablmnn)argmentini yazarken,karmaksaylarnargmentleritoplamna(veyafarkna)2kneklememizin nedenini bir rnekle aklayalm. z1= 1 i ve z2= 1 ikarmaksaylarnnargmentleriiin|u, 2n)aral seilsin. Bu durumda aig z1=5n4 ve aigz2=7n4(1) olur. Dier taraftan z1z2= (1 i)(1 i) = 2 olduundan aig(z1z2) = aig(2) = n(2) dir. Buna gre(1) ve (2)den aig(z1z2) = aig z1+ aig z2 olmad grlr. Buna karlkk = 1iin aig(z1z2) = aig z1+ aig z2+ 2kn eitlii gereklenir. 16 TANIM2.1. De Moivre Forml Birz = x + iykarmaksaysverilsin.r = |z| = x2+y2ve0, aig zninbir deeri olmak zere,zsaysnn kutupsal biimde z = r(cos 0 +i sin 0) eklindeyazlabileceinigsterdik.Karmaksaylarnarpmailemiszkonusu olduunda,bazdurumlardaverilensaylarkutupsalbiimdeyazmakilemkolaylklar getirir.zelliklebirzkarmaksaysnnkuvvetlerihesaplanrken,busayykutupsal biimdeyazmakuygunolur.Birkarmaksaynnkendisiilearpmz. z = z2ile gsterilir ve Teorem 2.1 e gre z2= r2(cos 20 +i sin 20) olur.Dahagenelolarakbirkarmaksaynnkendisiilenkezarpmz. z z = zn

eklinde yazlr ve zn= rn(cos n0 +i sin n0) olur. imdi bu eitlii tmevarmla ispatlayalm. n = 1 ve n = 2 iin srasyla, z = r(cos 1. 0 + i sin1. 0) , z2= r2(cos 20 +i sin 20) n = kiin, zk= rk(cos k0 +i sink0) olsun. Bu durumdan = k +1iin zk+1= rk+1(cos(k + 1)0 +i sin(k + 1)0) olduunu gsterelim. zk+1= zkz = rk(cos k0 + i sin k0) . r(cos 0 + i sin0) = rk+1(cos k0 . cos 0 sin k0 . sin 0) + i(sin k0 . cos 0 +cos k0 . sin 0) = rk+1|cos(k +1)0 +i sin(k +1)0] elde edilir. Buna gre herndoal say iin zn= rn(cos n0 +i sin n0) olduunu grrz. zel olarakr = 1ise (cos 0 +i sin 0)n= cos n0 +i sin n0 17 elde edilir. Bu eitlie De Moivre Forml denir. rnek 2.2:(1 +i)10saysn hesaplayalm. zm:1 +ikarmak says kutupsal biimde, 1 + i = 2 [cosn4+ i sinn4 olarak yazlabilir. (1 +i)10= (2)10[cos10n4+ i sin10n4 = S2(u +i) = S2i olur. rnek 2.3:[1+31-320saysn x + iybiiminde ifade edelim. zm:Kutupsal biimde|n , n) aral iin 1 + Si = 2 [cosn3+i sinn3 1 Si = 2 [cos [n3 +i sin [n3 yazlabilir. Buradan [1+31-320= _2[cosn3+ sInn32[cos[-n3+ sIn[-n3_20 = [cos2n3+ i sin2n320 = [cos40n3+i sin40n3= cos [2n3+7.2n + i sin [-2n3+7.2n = 1232i elde edilir. 18 2.2.BR KARMAIK SAYININ n. KUVVETTEN KKLER z ubir karmak say, n bir pozitif tam say veaig o =olmak zere, zn= o denkleminin zk= |o|1njcos+2knn+i sin+2knn[ ,k = u, 1, 2, , n 1eklinde bir birbirinden farkl n tane kknn varln gsterelim. zvekarmak saylarnn kutupsal biimleri srasyla z = r(cos 0 +i sin 0) o = p(cos +i sin ) eklinde olsun. Bu durumda zn= o denkleminden rn(cos 0 +i sin n0)n= p(cos +i sin ) yazlr. De Moivre formlndenrn(cos 0 +i sin n0) = p(cos +i sin ) Olur. ki karmak saynn eitliinden in= yani r = p1n n0 = o + 2kn , k 0 =u+2knn,k bulunur. Buna gre zk= p1n[cosu+2knn+i sinu+2knn , k olur.ktamsaysnnk = u, 1, 2, , n 1deerlerindensonrazkarmaksaysnn alacadeerlertekraredeceindenk = u, 1, 2, , n 1almakyeterlidir.Bylece zn= odenkleminin bir birbirinden farkl n kk zk= |o|1n[cosu+2knn+ i sinu+2knn ,k = u, 1, 2, , n 1 19 olur. Burada o = aig onn herhangi bir deeri seilebilir. Uyar:Dikkat edilirse zn= odenkleminin zk kkleri, merkezi balang noktasnda ve yarap|o|1nolanbiremberzerindeardkolarakbirbirbirindeneituzaklkta bulunurlar. rnek 2.4:z3= i denkleminin kklerini bulalm. zm:aig(i) =3n2 ve |i| = 1 olduuna gre zk= 11n_cosSn2+ 2knS+i sinSn2+ 2knS _ = cos _n2+2knS] +i sin _n2+2knS] , k = u, 1, 2 k = u iin, z0= cosn2+i sinn2= i k = 1 iin, z1= cos7n6+i sin7n6= 3212i k = 2 iin, z2= cos11n6+i sin11n6=3212i bulunur.Bukklerekil2.2degrldgibibirimemberzerindebir birbirinden2n3uzaklkta bulunurlar. ekil 2.2 20 2.3.GENLETLM KARMAIK SAYILAR KMES Gerelanalizdeolduugibilimit,sreklilik,yaknsaklkveintegralkavramlar incelenirkenzamanzamanzdeikeninive(z)fonksiyondeeriniCkmesinde bulunmayanbirsimgeileifadeetmekzorundakalnr.Buiseilegsterilenve sonsuzdiyeadlandrlansimgedir.BusimgesiniCyekatarakeldeedilenkmeC= C {]simgesiilegsterilirveCageniletilmikarmaksaylarkmesi (geniletilmikarmakdzlem)denir.Ckmesineyleulalr:CdzlemineC balangnoktasndateetolanSbirimkresinigznnealalm.KreninNile gsterilenkuzeykutbundangeenvekreyiP = (x1, x2, x3)noktasndageendoruyu dnelim. ekil 2.3 Hep Nnoktasndan gemek kouluyla bu dorunun hareket ettii dnlrse, Nnoktas hari, kreninherPnoktasna C dzlemindebirtek z noktas karlk gelir. Tersine Cdzlemindeki her z noktasna kre yzeyi zerinde (Nhari)tek bir nokta karlk gelir. Sz konusu doru Nnoktasnda kreye teet olursa, N = Polur. Bu durumdaN(= P)noktasnaCdzlemindebirnoktakarlkgelmez.tebuNnoktasnaCde bulunmayan vesimgesi ile gsterilen bir nokta karlk getirilirse ve bu nokta Cye katlrsaC= C {]kmesi elde edilir. Bu durumda Sile C arasnda bire-bir eleme kurulmu olur.C daki tm eler bire-bir olarak yukarda belirtilen yntemle Skresi zerineyerletirilebilir. Bu kreye Reimann Kresi (Karmak Kre)ad verilir.Sile Carasnda bire-bir eleme kurmak iin, yukarda izlenen ynteme Stereografik zdm denir. 21 2.4.BLGELER Bir z0 Cnoktasnn -komuluu (z0, e) = {z C|z z0| < e ] olarak tanmlanan kredir. Bu komulua z0merkezli, yarapl ak disk de denir.

(z0, e) = {z C|z z0| e ] kmesine z0merkezli, yarapl kapal disk denir (, R) = {z C|z| > R ] {] kmesine un R-komuluu denir.N0= (z0, e) {z0] kmesine z0n delinmi komuluu denir. S,karmaksaylarkmesininbiraltkmesiolsun.Bir z Snoktasnn(z, e) Solacak biimde bir(z, e) komuluu varsa, z ye Snin bir i noktasdr denir. Btn noktalarinoktaolanSkmesineakkmedenir.Eerbir z Snoktasnn,Sile arakesitizdenbakanoktabulundurmayanbirkomuluuvarsaznoktasnaSninbir ayrknoktasdenir.Eerz0noktasnnherdelinmikomuluundaSkmesinde bulunan ve bulunmayan en az bir nokta varsa z0 noktasna S nin bir snr noktas denir. S nin snr noktalar kmesiSile gsterilir. EerS Sise S ye kapal kme denir. S

= S SkmesineSninkapan(kapals)denir.Birznoktasnnherdelinmi komuluu ile S kmesinin arakesiti bo deilse z noktasna S nin bir ylma noktasdr denir.S C ve S0 Solsun.EerAkmesiCdeakolmakzereS0= A S yazlabiliyorsaS0, S deaktrdenir.Sdekapalolmakbenzerbiimdetanmlanr. S = {z C|z S

]kmesine S nin tmleyeni denir.J(S1, S2) = cbos {|z | z S, S2] olarak tanmlanr. Bir Skmesi verilsin. EerS1= S A1 , S2= S A2 veS = S1 S2

olacakbiimdeayrkveakA1, A2kmeleribulunamyorsa,Skmesibantldr denir.Bantlveakbirkmeyeblgedenir.Eerbirblgeninsnrn-bantldr denir.1-bantlblgelerebasitbantlblgedenir.Birn-bantlblgeyiiinde(n-1)tanedelikbulunanblgeolarakdnebilirsiniz.Orijinmerkezlibirdiskiine alnabilenkmeyesnrlkmedenir.Karmakdzlemdekapalvesnrlkmelere kompakt kmeler denir. 22 KARMAIK FONKSYONLAR 3.1.KARMAIK FONKSYON KAVRAMI Skarmaksaylarkmesininbiraltkmesiolmakzereherz Sesinebelirlibirw Cesikarlkgetirenbirfkuralvarsa,bukuralaSdenCyebirkarmak fonksiyon (dnm) denir ve :S C z w = (z) veyaw = (z) , z S eklinde gsterilir. Bu ders oyuncaw = (z)gsterimi ile hem fonksiyonunu hem de fonksiyonunun z noktasndaki deerini temsil edeceiz. z Siinw = (z) bir karmak say olduundan bunun u = u(x, y) = Rc (z) : = :(x, y) = Im (z)eklinde gsterilen gerel ve sanal ksm vardr. Bir karmak fonksiyonun gerel ve sanal ksmlargenelolarakikideikenligerelfonksiyonlardr.Bunedenlebirkarmak fonksiyon iin, w = (z) = u(x, y) +i:(x, y), (x, y) S gsterimini de sk sk kullanacaz.rnein: w = (z) = z2, z Cfonksiyonuz = x + iyolmak zere w = (z) = (x +iy)2= x2 y2+2xyi yazlabilir. Burada, Rc (z) = u(x, y) = x2 y2veIm (z) = :(x, y) = 2xydir.3 23 Bugnadamatematikdilindefonksiyonszcnn,bizimdebalangta kullandmzgibi,heptek-deerliolmakanlamndakullanlmasnakarn,bizok-deerli olmak anlamnda da fonksiyon szcn kullanacaz.rnein: w = (z) = z , w = (z) = logz gsterimlerindebirzdeerinekarlkgelenwdeeritekolmadhalde,bizbu gsterimlerinherbirinedefonksiyondiyeceiz.Ancakdahasonrakinitelerdede grlecei gibi, ok-deerli olan bu tip fonksiyonlar, fonksiyonun tek-deerli olduu u alt kmeye kstlanarak incelenir. rnek 3.1: w = (z) =1-zz , z ufonksiyonunungerelve sanal ksmlarn bulalm. zm: z = x + iyolmak zere (z) =1 zz=(1 z)z|z|2=z |z|2x2+ y2 =xiyx2y2x2+y2=xx2y2x2+y2iyx2+y2

yazlabilir.Buna gre, Rc (z) = u(x, y) =x x2y2x2+y2 Im (z) = :(x, y) =y2x2+y2

olur. 3.2.STEL (EKSPONANSYEL) FONKSYONz = x + iyolmak zere, exp zveyaezile gsterilen stel fonksiyon, :C C, (z) = exp z = cx(cos y +i sin y)eklindetanmlanr.Eery = uise,exp z = exp x = cxolur.Budurumdastel fonksiyon gerel fonksiyona dnr. Eerx = uise, cxp z = exp(iy) = cos y + i siny veyac= cos y + i sin yolur. Buradan,c-= cos y i sinyyazlabilir. 24 TEOREM3.1. i.cz1+z2= cz1. cz2 ii.cz u iii.|cz| = cx iv.cz= 1z = 2nni(ntom soy) v.cz. 2niperiyodlu bir periyodik fonksiyondur. vi.cz1= cz2z1 z2= 2nni(n tomsoy) spat3.1. i.z1= x1+ iy1 ve z2= x2+iy2 cz1+z2= c(x1+x2)+(1+2) = cx1+x2|cos(y1+y2) + i sin(y1+y2)]yazlr.Dier yandan kutupsal biimde verilen iki karmak saynn arpm kuralna gre, cz1cz2= cx1(cos y1+i sin y1) ex2(cos y2+ i sin y2) = cx1+x2|cos ( y1+y2) + i sin(y1+y2)]yazlabilir.Buradan, ez1+z2= ez1 . ez2 elde edilir. ii.cz . c-z= ez-(-z)= e0= 1 olduundan ez u ui.Buiauae-z uolduu da sylenebilir. iii.|cz| = |cx(cos y +i sin y)| = cx|cos y +i siny| = cx olur. iv.cz= 1ise,|cz| = cx= 1 olur ve buradanx = u olur.Buna gre, cz= c= cos y +i sin y = 1eitliindencos y = 1vesin y = u 25 olmaldr.Buradan, y = 2nn (n tam say)elde edilir. Yani, cz= 1isez = 2nn (n tom soy)olur. Kart olarak n tam say olmak zere, z = 2nnisecz= 1 olduu kolayca grlebilir. v.cz+p= czolmasiincp= 1olmaldr.(iv)yegrep = 2nni (n tom soy)olmaldr. Buna gre stel fonksiyon periyodik fonksiyon olup, periyodu 2ni dir. vi.cz1= cz2ise,cz1-zc= 1olur.(iv)denz1 z2= 2nni (n tom soy)elde edilir. Bunun kart da kolayca grlr. NOT:czc-z= 1 ve cz u olduundan,e-z=1cz yazlabilir.Buna gre, cz1cz2= cz1-z2dir. rnek 3.2: eI= cos +i sin = 1 cn2= cosn2+i sinn2= i dir. rnek 3.3:ez= ezolmas iin z karmak says nasl seilmelidir? zm:ncekiteoremdeki(vi)yegrez z = 2nni , n e olmaldr. Buradan z = x + iyolmak zere,x +iy (x iy) = 2nni 2iy = 2nni y = nn , n elde edilir.Buna gre, z = x +nni , n olur. Uyar:Bir z karmak saysnn|z| = rveaig z = 0olmak zere, z = r(cos 0 + i sin0) eklinde yazlabileceini biliyoruz. stel fonksiyon tanmna gre, 26 c0= cos 0 + i sin 0 olduundanz = rc0 eklinde yazlabilir.Bir z karmak saysnn z = rc0

eklindegsterimioldukakullanldrvebunabirkarmaksaynnstelgsterimi denir.Dikkatedilirse,aig ztektrlbelliolmadndanbirkarmaksaynnstel gsterimi de tek deildir. rnek 3.4:cz= S +ieitliini salayan z deerlerini bulalm. zm:k olmak zere, S + i = 2 jcos [5n6+ 2kn +i sin[5n6+2kn[ ve cz= cx(cos y +i sin y) olduundan cx= 2,y =5n6+2kn bulunur.Buradan x = log 2olup, z = log2 +i [5n6+ 2kn elde edilir. 3.3.TRGONOMETRK FONKSYONLAR Daha nce,c= cos y + i sin yvec-= cos y i sinyolduunu ifade etmitik.Buradan,cos y =cij+c-ij2 vesin y =cij-c-ij2 elde edilir.Bu eitliklerden yararlanarak kosins ve sins fonksiyonlar srasyla, cos z =ciz+c-iz2, z 27 sin z =ciz-c-iz2, z eklindetanmlanr.Kosinsvesinsfonksiyonlaryardmyladiertrigonometrik fonksiyonlar tanmlayabiliriz. S = {z|cos z u , z e ]olmak zere, :S ,(z) =sInzcos z

fonksiyonuna tanjant fonksiyonu denir ve tanz =sInzcos zyazlr. Benzer ekilde kotanjant fonksiyonu cot g z =cos zsInz,sin z u eklindetanmlanr.imdicos z ve sinzfonksiyonlarnngerelvesanalksmlarn bulalm. z = x +iy olmak zere, cos z = cos(x +iy) =ci(x+ij)+c-i(x+ij)2 =12|c- . cx+ c . c-x] =12c-(cos x + i sin x) +12c(cos x i sinx) = cos x.cj+c-j2 i sinxcj-c-j2 = cos x. cosh y i sin x. sinh y dr. Yani, cos z = cos x. cosh y i sin x. sinh y elde edilir. Buna gre kosins fonksiyonunun gerel ve sanal ksmlar, u(x, y) = Rc(cos z) = cos x. cosh y :(x, y) = Im(cos z) = sinx. sinh yolur.Benzer ekilde, 28 sin z = sin x. cosh y +i cos x. sinh yelde edilir.Buna gre, u(x, y) = Rc(sinz) = sin x. cosh y :(x, y) = Im(sinz) = cos x. sinh ydr. x = u iin:_ cos iy = cosh ysiniy = i sinh y

olur. Kosins ve Sins fonksiyonlarnn tanmndan, cos2 z + sin2 z =14(c2z+ 2 +c-2zc2z+2 c-2z) = 1olduunu grlr.Yani cos2 z + sin2 z = 1dir. Bundan baka, cos(z + 2n) = cos z ve sin(z +2n) = sin z olduundan, kosins ve sins fonksiyonlar periyodik ve periyotlar 2n dir. Aadaki formlleri kosins ve sins fonksiyonlarnn tanmndan kolayca bulabilirsiniz. cos(z1+z2) = cos z1. cos z2 sin z1. sin z2 sin(z1+ z2) = sin z1. cos z2cos z1. sinz2 sin(z) = sin z cos(z) = cos z :S fonksiyonu verilsin. (z) = udenkleminisalayanbirz Sdeerineffonksiyonununbirsfr yeri denir.imdi, (z) = cos z , z fonksiyonunun sfr yerlerini bulalm. cos z = cos x. cosh y i sinx. sinh y = u 29 olabilmesi iin cos z nin gerel ve sanal ksmlar birlikte sfr olmaldr.Buna gre, cos x. cosh y = u sin x. sinh y = u denklem sistemi elde edilir. cosh y > 1 olduundan, birinci denklemden cos x = uolmak zorundadr. cos x = ux = (2k +1)n2, k bulunur. x = (2k + 1)n2 iinsin x u olduundan, ikinci denklemden, sinh y = uy = uolmakzorundadr.Bunagre(z) = cos zfonksiyonununsfryerlerigereleksen zerinde gerel kosins fonksiyonun sfr yerleri ile ayndr.Benzerekildeg(z) = sinzfonksiyonununsfryerlerinindegereleksenzerinde, gerel sins fonksiyonunun sfr yerleri ile ayn olduu grlr. Buna gre, sin x = ux = kn , k olduundan, g(z) = sinz , z fonksiyonunun sfr yerleri, z = kn , k dr. 30 3.4.HPERBOLK TRGONOMETRK FONKSYONLAR Hiperbolik kosins ve hiperbolik sins fonksiyonlar srasyla, cosh z =cz+c-z2, z sinh z =cz-c-z2, z eklindetanmlanrlar.Dierhiperbolikfonksiyonlarhiperbolikkosinsvehiperbolik sins fonksiyonlar yardmyla tanmlanabilirler.rnein, tanh z =cz-c-zcz+c-z dir. cosh z ve sinh zfonksiyonlar, tanm gereicosh z = cosh x. cos y +i sinh x. siny sinh z = sinh z. cos y +i cosh x. sin y eklindeyazlabilir.Buradanhiperbolikkosinsvehiperboliksinsfonksiyonlarnn gerel ve sanal ksmlar srasyla, Rc(cosh z) = cosh x. cos y , Im(cosh z) = sinh x. siny Rc(sinh z) = sinh x. cos y , Im(sinh z) = cosh x. sin yolur. Yine tanmdan hareketle aadaki zelliklerin salandn kolayca grebilirsiniz. cosh(z1+ z2) = cosh z1. cosh z2+ sinh z1. sinh z2 sinh(z1+z2) = sinh z1. cosh z2+cosh z1. sinh z2 cos2 z sin2 z = 1 sin(z) = sinh z , cosh(z) = cosh z ezvee-zfonksiyonlarnn birer lineer toplam olarak tanmlanan hiperbolik kosins ve hiperboliksinsfonksiyonlardaperiyodikfonksiyonlarolupbunlarnherbirinin periyodu2nidir. rnek 3.5:sinh z = udenklemini zelim. zm:sinh z = sinh x. cos y +i cosh x. siny olduundan, sinh x. cos y = u 31 cosh x. sin y = u olmaldr. cosh x 1 olduundan ikinci denklemden, sin y = u , y = kn, k olur.Buna karlkcos y, y = kn iin cos kn = (1) olduundan, sinh x = u , x = uelde edilir.O halde sinh z = udenkleminin kkleri, z = kni , k bulunur.Yani hiperbolik sins fonksiyonunun sfr yerleri, z = kni , k noktalardr. 3.5.LOGARTMA FONKSYONU z = x + iy uolmak zere z nin logaritma fonksiyonu u ekildedir: log z = Log |z| +i aig z Olarak tanmlanr. BuradaLoggerellogaritmafonksiyonunu belirtmektedir. aig ztek deerliolmadndanlog zfonksiyonudatekdeerlideildir.logzyitekdeerlibir fonksiyonolarakinceleyebilmekiinaig zdeerine2nuzunluundabiryarkapal aralk snrlamas konur.Genel olarak, 0 = aigz |y0, y0+2n)aral seilmise, log z = Log |z| +i0 32 fonksiyonubuaralktatekdeerlibirfonksiyonolup,bunalogaritmann |y0,y0+ 2n)aralna karlk gelen dal denir. rnein,|u, 2n) , (n, n]gibiaralklaruygulamadaokkullanlandalaralklardr. Genellikle(n, n]aralnakarlkgelendala,logaritmafonksiyonununesasdal denir. rnek 3.6:log (1 + i) nin deerini bulalm. zm:log(1 + i) = Iog |1 + i| + i aig (1 +i) = Iog 2 + i [n4+ 2kn, k olur. rnek 3.7:log1 in deerlerini bulalm. zm:aig 1 = u ve |1| = 1olduundan, log 1 = Iog 1 +i(u + 2kn) = 2kni , k eldeedilir.Gerellogaritmafonksiyonunda1inlogaritmassfrolduu halde,karmaklogaritmafonksiyonunda1inlogaritmasnn2kni gibi (sfr dahil) sonsuz farkl deer aldn gryoruz. TEOREM3.2. w = logzfonksiyonununherhangibirdalseildiinde,logz fonksiyonuczstel fonksiyonunun da bu dala karlk gelen trs fonksiyonudur. spat3.2. 0 = aig z |y0, y0+2n)olmak zerez = rc0olsun. logz = Iog r +i0olduundan cIogz= cLog +0= cLog . c0= rc0= z 33 olur.Tersinez = x +iy,y0 y < yo+ 2nolsun.Yinelogaritmafonksiyonu tanm gerei, Iog cz= Iog |cz| +i aig cz = Iog cx+ iy = x +iy = zolur. 3.5.1.LOGARTMANIN ZELLKLER i.z1 ve z2sfrdan farkl karmak saylar olmak zere, log(z1z2) = log z1+log z2+ 2kni ,k dir.Gerekten, log(z1z2) = Iog|z1z2| +i aig (z1z2) = Iog|z1| +Iog|z2| +i(aigz1+aig z2+2kn) = logz1+ logz2+2kni ,k olur. Benzer ekilde, ii.logz1z2= logz1logz2+2kni ,k dr. 3.6.KARMAIK SLER cbir karmak say vez uolmak zere, zc= cc Iogz

eklindetanmlanr.Buradalogaritmanedeniylezcninherzamantekdeerli olmayaca aktr.Eer logaritmann belli bir dal seilirsezctek deerli olur. rnek 3.8:2Ideerlerini bulalm. zm:2= c Iog2= c(Log 2 + 2kn) = c Log 2-2kn

= c Log 2 . c-2kn,k 34 eldeedilir.Buradadikkatedilirselogaritmannbellibirdal seilmediinden 2 nin sonsuz oklukta deeri vardr. 3.7.n. KK FONKSYONU n,birpozitiftamsayvez uolmakzerelogaritmannbellibirdalnnseilmesi halinden. kk fonksiyonu, zn= z1n= c1nIogz

Olaraktanmlanr.Budeere,znninseilmilogaritmadalnakarlkgelendal deeri denir.Eer logaritmann esas dal seilmise (yani (-, ) aralna karlk gelen dal)zn ye n. kk fonksiyonunun esas deeri denir. rnek 3.9:n < aig(i) n olmak zere,inin esas deerini bulalm. zm:i = c12Iog(-)= c12[0-n2 = cn4= cos [n4 + i sin [n4 =22i22 olur. 3.8.TERS TRGONOMETRK FONKSYONLAR Trigonometrikfonksiyonlareksponansiyelfonksiyonlaryardmylatanmladmza gre,terstrigonometrikfonksiyonlarlogoritmikfonksiyonlarcinsindenyazabilirizbu kesimdesinsfonksiyonununtersfonksiyonunutanmlayacaz.Bununiinuekilde hareket edelim. w = sinzfonksiyonunu ele alalm. w =ciz-c-iz2den c2 z2 i w cz 1 = u elde edilir.s = czdiyelim. s22 i w s 1 = u 35 ikinci derecede denkleminden, s = iw + 1 w2 bulunur.Buna gre, cz= iw +1 w2 ve z = i log(iw +1 w2)elde edilir. Bu nedenle sins fonksiyonununorcsinile gsterilen tersi, w = aicsin z = i log(z +1 z2) Biimindetanmlanr.Ancakburada1 z2ikideerlivelogaritmafonksiyonuda okdeerlidir.Bunedenlearcsinfonksiyonuokdeerlidir.Eer1 z2ninve logaritmannbirdalseilirse,arcsinfonksiyonutekdeerlifonksiyonolur.Benzer ekilde aiccos z = i log(z + 1 z2) ve aictan z =2log+z-z olarak tanmlanr. 3.9.TERS HPERBOLK FONKSYONLAR Tershiperbolikfonksiyonlardalogaritmikfonksiyonlarcinsindenifadeedilebilir.rnein hiperbolik kosins fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanmna aadaki ekilde ulaacaz. w = cosh z =cz+c-z2 olduundan c2z 2 w cz+ 1 = uelde edilir. Buradacz= sdenirse, ters trigonometrik fonksiyonlarda olduu gibis = cz= w + w2 1Yani z = log(w +w21)elde edilir.Buna gre hiperbolik kosins fonksiyonunun, orgcosile gsterilen tersi orgcos w = log(z + z21) eklinde tanmlanr. Benzer ekilde, 36 orgsin w = log(z + z21) ve orgton w = log1+z1-z

olarak tanmlanr. rnek 3.10: |sini| 1olmadn gsterelim. zm:|sin i| = c.-c-.2I = c-1-c2 =12[e 1c > 1 dir. rnek 3.11:(i) nin btn deerlerini bulalm. zm:(i)= c Iog(-) = cjLog ||-n2-2kn[ = cn2 . c-2kn , k olur. rnek 3.12:cos z =12denkleminin kklerini bulalm. zm:cos z =ciz+c-iz2=12 eitliinden, c2zcz+1 = u elde edilir.Buradan, cz=1-32 veya iz = log[1232i yani z = i [Iog 1n3i + 2kni = n3+ 2kn , k bulunur. 37 KARMAIKFONKSYONLARIN GEOMETRK TEMSL 4.1.DORUSAL FONKSYONLAR LE YAPILAN DNMLER avebkarmak sabitler olmak zere w = oz +b , z C eklindekifonksiyonlaradorusalfonksiyon(dnm)denir.Butrdnmlerin geometrik yorumunuavebsabitlerinin alaca deerlere gre inceleyelim. i.o = 1 , b u olsun. w = z +bdorusal fonksiyonuz = x + iyveb = b1+ ib2 olmak zere w = x +iy +b1+ ib2= (x + b1) + i(y + b2) eklindeyazlr.w = u +i:dersek,xy-dzlemindekiherhangibir(x, y)noktasnn uv-dzlemindeki grnts (u, :) = (x +b1, y +b2) olur.Yanixy-dzlemindealnanbirblgenin(akvebantlolmasgerekmez)bu dorusalfonksiyonaltndakigrnts,xy-dzlemindeverilenblgenintelenmesi eklindedir. Bu nedenle iki blge biim ve byklk olarak ayndr. rnek4.1:xy-dzlemindekeleri (u,u), (1,u) ve(u,1)noktalarile verilen genin, w = z + 1 + 2i dnm altndaki grntsn bulalm. zm:w = u +i: = x + iy + 1 +2i = (x + 1) + i(y +2) dir. Buradan4 38 u = x +1 , : = y + 2 elde edilir. O halde verilen gen bu dnm altnda ekil 4.1 de olduu gibixy-dzlemindex-ekseniboyunca1birim,y-ekseniboyunca2birim telenmitir ekil 4.1 ii.b = u , o u olsun. Bu durumda w = oz olur. avezkarmak saylarnn kutupsal gsterimleri o = rcq , z = pc0 ise w = rpc(q+0) dr.Bunagrekutupsalkoordinatlar(p, 0)olansfrdanfarklbirznoktas,kutupsal koordinatlar(rp, 0)olanbirwnoktasnaresmedilmitir.Budnmnanlam, verilenznoktasnabirleenyarapvektrnn, = aig okadardnmesiver = |o|katkadaruzamasveyaksalmasdr(ekil4.2).Yani|w| = |o||z|ve aig w = 0 aig w = 0 ekil 4.2 39 rnek4.2:xy-dzlemindekeleri(u, u), (1, u)ve(u, 1)noktalarndan olan genin w = (1 +i)z dnm altndaki grntsn bulalm. zm:z = u ise w = uJr. z u ise |o| = |1 + i| = 2 , aigo = org(1 + i) =n4

olduundan,budnmaltndaverilengeninherhangibirnoktasnn yarapvektr n4askadardnerveyarapvektrnnuzunluu2kat kadar uzar(ekil 4.3). ekil 4.3 iii.Genel olarakavebsfrdan farkl sabitler olmak zere w = oz +b dorusalfonksiyonunuelealalm.Bufonksiyonunbelirttiidnm, aig o askadar dnme |o| arpan kadar uzama (veya ksalma) ve bvektr kadar teleme eklindedir. rnek4.3:x u 1 y 1yarsonsuzeridinindnm altndaki grntsn bulalm. zm:aig(2i) =n2 ,|2i| = zolduundanverilenerit n2

askadardnerveeritgenilii2katnakar.Diertaraftanb = 1olduundan u-ekseni boyunca 1 birim kayar (ekil 4.4). 40 ekil 4.4 w = z2 , z fonksiyonunu (dnmn) inceleyelim. Bu fonksiyonun belirttii dnm kutupsal gsterimle kolayca yorumlanr. z = rc0 , w = pc0 olsun. Bu durumda pc0= r2c20 , p = r2 :c = 20 olur.Buna gre z-dzlemindeki(r, 0)noktasnn bu fonksiyon altnda w-dzlemindeki grnts(r2, 20)noktasdr. Yani|w| = |z|2= r2 aig w = 2 aigz = 20 dr. (ekil 4.5) ekil 4.5 41 rnek 4.4:z-dzlemininbirinciblgesinin w = z2dnm altndaki grnts, w-dzleminin st yarsdr. (ekil 4.6) ekil 4.6 rnek4.5:z-dzlemindekix2+y2 4 , y uyarmdairesinin w = z2dnmaltndakigrntsmerkezibalangnoktasndave yarap 4 olan dairedir(ekil 4.7). ekil 4.7 rnek4.6:z-dzlemindekixy = 1hiperbolnnw = z2altndaki grntsn bulalm. zm: w = u +i: = x2y2+ 2xyiyazlr. Buna gre u = x2y2 , : = 2xy olur. Buradanxy = 1oluuunuan : = 2 , u eldeedilir.Yanixy = 1hiperbolnngrntsw-dzleminde: = 2dorusudur (ekil 4.8). 42 ekil 4.8 Geniletilmi z-dzleminden geniletilmi w-dzlemine tanmlanan w =1z , w() = , w() = dnmn inceleyelim. w = u + i: =1x+=xx2+2ix2+2 ve z = x + iy =1u+=uu2+2 iu2+2 yazlabilir. Buradan u =xx2+2 , : = x2+2 :c x =uu2+2 ,y = u2+2 olur. imdi bu dnm altnda z-dzlemindeki o(x2+ y2) +bx + cy +J = u emberiningntsnbulalm.Budenklembilindiigibio uisebiremberi, o = uisebirdoruyugsterir.w =1zdnmaltndabudenkleminbelirttii ember veya dorunun grntsnn denkleminin(x ve y iin yukarda bulunan deerler yerine yazlarak) J(u2+ :2) + bu c: + o = u eklinde olduu grlr. Tersinez =1w dnm altnda J(u2+ :2) + bu c: + o = u Denkleminin belirttii ember (veya doru) zerindeki bir noktann grnts a(x2+ y2) +bx + cy +J = u 43 denklemininbelirttii ember (veya doru) zerindedir.o u , J uisebuiki emberbirbiriningrntsolur.Ancakbuemberlerinbalangnoktasndan geemediine dikkat ediniz. z-dzlemindebalangnoktasndangeenbirember(budurumdaJ = u) w-dzlemindebalangnoktasndangeemeyenbirdoruyadnr.Diertaraftanw-dzlemindebalangnoktasndangeenherhangibiremberz-dzlemindeki balang noktasndan gemeyen belirli bir dorunun grntsdr. z-dzlemindebalangnoktasndangeenherhangibirdorunun(budurumda o = u :c J = u), w-dzlemindeki grnts de balang noktasndan geen belirli bir dorudur. rnek4.7:y = x +1dorusununw =1zdnmaltndaki grntsn bulalm. zm:w =1zdnmndenx =uu2+2 , y = u2+2

dir.y = x + 1olduundan u2+2=uu2+2+ 1bulunur. Buradan y = x +1dorusunun grnts u2+ :2+ u +: = u emberi olur. Yani [u +122+[v +122= [22z dir. (ekil 4.9). ekil 4.9 44 rnek4.8:x2+y22x 4y 4 = uemberininw =1z

dnm altndaki grntsn bulalm. zm:x =uu2+2 ,y = u2+2olduundanbunlarverilen emberde yerine yazlrsa, u2(u2+ :2)2+:2(u2+:2)2 2uu2+:2+4:u2+:2 4 = u 4(u2+:2) 2u +4: +1 = u u2+:2+12u : 14= u _u +14]2+ _: 12]2= _S4]2 elde edilir(ekil 4.10). ekil 4.10 4.2.DORUSAL KESRL FONKSYONLAR o, b, cveJkarmak saylar veoJ bc uolmak zere w =uz+bcz+d , w[dc = , w() =uc eklindetanmlananwfonksiyonuna,dan abirdorusalkesirlifonksiyon denir.BuradaoJ bc = uisefonksiyonyasabitfonksiyonyadatanmszolur.Bu fonksiyonu w =oc_oJ bcc]1cz +J 45 eklinde yazabiliriz.Buna gre kesirli bir dorusal fonksiyonu aadaki fonksiyonlarn bilekesi olarak ifade edebiliriz. 1(z) = cz 2(z) = z + J 3(z) =1z 4(z) = [ud-bcc z 5(z)uc z olmak zere w = 5 4 3 2 1 olur.Burada1, 2, 4ve5fonksiyonlardorusalfonksiyonlarolduundanbu fonksiyonlarnherbiriz-dzlemindekiemberleri(veyadorular)w-dzleminde emberlere(veyadorulara)dntrr.3fonksiyonuisez-dzlemindekiemberleri,w-dzlemindeemberlerevayadorularavez-dzlemindekidorulardaw-dzleminde dorulara veya emberlere dntrr. Bu nedenle bu fonksiyonlarn bilekesi olan w =uz+bcz+ddorusalkesirlifonksiyonundaemberleriemberlereveya dorulara, dorular da dorulara veya emberlere dntrr diyebiliriz. rnek 4.9:w =z-1z+1dnm altnda|z| = 2 emberinin grntsn bulalm. zm:w =z-1z+1uen z =-w-1w-1 elde edilir.|z| = 2 olduundan -w-1w-1 = 2 yazlr. w = u + i:denirse u++1u+-1 = 2 |u + i: + 1| = 2|u + i: 1| Su2+S:21uu +S = u 46 bulunur. Bu denklem uv-dzleminde merkezi[53, unoktas ve yarap43olan emberdir. 4.3.STEL FONKSYON w = cz , z fonksiyonunu (dnmn)inceleyelim. w = cz= cxc= cx(cos y +i sin y) olduunu biliyoruz. w = pcdersek |w| = p = cx :c aig w = 1 = y olur. Buna gre i.x = cdorular w-dzlemindep = ccemberlerine dnr. ii.y = cdorularw-dzleminde1 = c(balangnoktashari)nlarna dnr. u c 2n olmak zerey = cdorularnn grntleri w-dzleminde 1 = cnlar olduundanu 1 < 2n olur. ekil 4.11 iii.Daha nce grld gibi ezfonksiyonulogaritmafonksiyonunun, seilmibir dalna karlk gelen, ters donksiyonu olduundan w = logz , u aig z< 2n fonksiyonuz-dzlemini(balangnoktashari)w-dzlemininu : < 2neridine resmeder. 47 4.4.TRGONOMETRK FONKSYONLARLA YAPILAN DNMLER w = sinz , z fonksiyonuu (dnmn)inceleyeli sin z = sinx . cosh y + i cos x. sinh y olduundan, u = sin x. cosh y , : = cos x. sinh y dr. Bu dnm altndax =n2dorusunun grntsn bulalm. u = cosh y , : = u dr.y iincosh y 1olduundan, u 1 ve : = u olur.Bunagrex =n2dorusununw = sin zdnmaltndakigrntsekil4.12degrldgibi: = udorusununu 1koulunusalayanksmdr. ekil 4.12 u < c ukouluna uyan koludur. ekil 4.13 Eerc = uise, yanix = udorusununw = sin zdnm altndaki grnts,u = u , : = sinh y olur.y = iinsinh y hergereldeerialacandan : dir.Bunagrex = udorusunun grnts w-dzlemindeu = udorusudur (ekil 4.14). ekil 4.14 w = cos z = sin [z +n2olduundanw = cos zfonksiyonuileyaplandnmler,w = sinzfonksiyonu ile yaplan dnmler gibi incelenir. w = sinh z = i sin(iz) ve cosh z = cos(iz)eitliklerikullanlarakhiperbolik sins ve hiperbolik kosins fonksiyonlar incelenir. 49 rnek4.10:w = z2+ 2idnmaltnda|z| = 1emberinin w-dzlemindeki grntsn bulalm. zm:w 2i = z2olduundan |w 2i| = |z|2= 1 olur. Buna gre|z| = 1emberinin grnts w-dzleminde |w 2i| = 1 emberidir. Bu emberin grafii ekil 4.15da grld gibimerkezi 2inoktasnda ve yarap 1 olan emberdir. ekil 4.15 rnek4.11:w = z2+ 2idnmaltndaz-dzlemindekix = 1dorusunun w-dzlemindeki grntsn bulalm. zm:z = x +iyolmak zere w = (x +iy)2+2i = x2 y2+(2xy + 2)i yazlabilir. Buradan u = x2y2 , : = 2xy + 2 dir. x = 1olduuna gre u = 1 y2 , : = 2y +2 olur. Bu iki eitliktenyyok edilirse u =14:2 : 1 bulunur. Bunun grafii ekil 4.16de grld gibi bir paraboldr. 50 ekil 4.16 rnek4.12:w = z2fonksiyonualtnda1 x 2eridinin grntsn bulalm. zm:w = u +i: = x2y2+ 2xyiolduundan u = x2y2 , : = 2xy dir. x = 1 ve x = 2dorularnn grntlerinin srasyla u = 1 22 ve u = 4 42 parabolleri olduu kolayca bulunabilir. Bundan bakax = 1 ve x = 2dorulararasndakalanherhangibirx = cdorusunungrntsdebu paraboller arasnda kalan bir paraboldr (ekil 4.18). ekil 4.18 51 KARMAIKFONKSYONLARDA LMT, SREKLLK VE TREV 5.1.KARMAIK FONKSYONLARIN LMT TANIM5.1. S Colmak zere bir: S C karmak fonksiyonu ve a karmak says verilsin. zo , S nin bir ylma noktas olsun. Eer verilen her e > u says iin u < |z zo| < oolduunda|(z) o| < eolacakbiimdebiro > usaysbulunabilirse,ffonksiyonunzo noktasndalimitivardr ve limiti a dr denir. Bu durumlimzz0(z) = o ya daz z0 iin (z) o gsterimiilebelirtilir.Bunungeometrikanlamudur.ffonksiyonuz0nbirN0= (z0, o) {z0]delinmi komuluuileSnin arakesitini,yaniS N0kmesini (o, e)diski iine resmetmektedir. (ekil 5.1).Dikkat edilirse genel olarake > ukldkeo > usaysda klmektedir. ekil 5.1 Tanmdan grlyor ki limitte fonksiyonunun z0 noktasnda tanml olmas gerekmiyor veo > usaysesaysnave z0 noktasnabaldr.Buradazdeikeniz0noktasna hangieriboyuncayaklarsayaklasn(z)ninaynadeerineyaklamas gerekmektedir. 5 52 zel olarak nin daki limiti u ekilde tanmlanr: limz(z) = limz0(1z) NOT:Genelliklebirkarmakfonksiyonunz = noktasndakidavranhakkndabir ellikbelirteceimizzamanfonksiyondazyerine 1zkonurveeldeedilenfonksiyonun z = u noktasndaki davran incelenir. stenildii kadar byk herH > u saysna karlk z S, u < |z zo| H olacak ekilde bir o > u says bulunabilirse z zo iin f(z) nin limiti dur denir ve bu durumlimzz0(z) = eklinde gsterilir. rnek 5.1: (z) = c,z Csabitfonksiyonunzonoktasndaki limitinin c olduunu gsterelim. zm: e > usaysverilsin.Aranano > usaysnkeyfiseelim. Bu durumdau < |z zo| < o iin |(z) c| = |c c| = u < eolur. O halde , limzz0c = cdr. rnek 5.2:(z) = z,z Cbirimfonksiyonununzonoktasndaki limitinin zo olduunu gsterelim. zm:e > usaysverilsin.Aranano > usaysolarako = e seelim. Bu durumda u < |z zo| < o iin |(z) zo| = |z zo| < e olur. O halde limzz0z = zo

dr. 53 rnek 5.3:limz1z= i olduunu gsterelim. zm:e > u verilsin. e saysna karlk u < |z i| < oolduunda1z+ i < eolacak biimde o > u saysn bulmaya alalm.|i| |z| < |z i| < oyazlabilir ve burada i o < |z| olur. Buna gre 1z+ i =|z+1||z| usaysnakarlkbiro > usaysnnak olarakbelirlenmesigenelolarakkolayolmayabilir.Ancakbirazsonragreceimiz teorem ve kurallar fonksiyonlarn limitlerinin bulunmasn problemine indirgeyerek o nn bulunmasn gereksiz klacaktr. 54 TEOREM5.1. (z) = u(x, y) +iv(x, y)fonksiyonunz0=x0+iy0noktasndalimitininolmasiin gerekli ve yeterli koul, u(x,y) vev(x,y)fonksiyonlarnn her birinin (x0, y0) noktasnda limitinin olmasdr. Bu durumdalimzz0f(z) = lim(x,y)(x0,y0)u(x,y) +ilim(x,y)(x0,y0)v (x,y) dir. spat5.1. limzz0f(z) = A = o +ibolsun. Bu durumdae > uverildiinde yle bir o > u says vardr ki. u < |z zo| < o iin|(z) A| < e olur. Dier taraftan|u(x, y) o| |(z) A| :c|:(x, y) b| |(z) A| eitsizlikleri gz nne alnrsa, verilene > usaysna karlk u < (x x0)2+(y y0)2< o2 iin |u(x, y) o| < eve|:(x, y) b| < e olur. Tersine e > u verildiinde yleo1> uveo2> usaylar vardr kiu < (x x0)2+ (y y0)2< o12

olduunda |u(x, y) o| u bulunabilir ki |z z0| uverildiinde|z1 z2| < o koulunu gerekleyen tm z1 , z2 e Snokta iftleri iin |(z1) (z2)| < e olacakbiimdeo > usaysbulunabilirse,ffonksiyonuSzerindedzgnsreklidir, denir. Dikkatedilirsedzgnsreklilikbirnoktadadeilbirkmezerindetanmlanmaktadr ve > u says sadecesaysna baldr. spatlar,gerelanalizdekibenzerleriileteknikolarakaynolanaadaiki teoremi ispatsz olarak verelim. TEOREM5.3. Eer bir f fonksiyonubir S kmesi zerinde dzgn srekliise, S de sreklidir. Tersinin doru olmas gerekmez. TEOREM5.4. C deki kapalve snrlbir kme zerinde srekli olanbirfonksiyonbu kmede dzgn sreklidir. 60 5.3.KARMAIK FONKSYONLARIN TREV TANIM5.3. ffonksiyonu bir z0 noktasnn bir komuluunda tanml olsun.Eerlimzz0](z)-](z0)z-z0 (1) varsa,ffonksiyonuz0noktasndatrevlenebiliyordenir.Bulimitindeerineffonksiyonun z0 noktasndaki trevi denir ve bu trev (z0)ile gsterilir. Bu durumda(z0) = limzz0](z)-](z0)z-z0 yazlr. z z0= = z yazlrsa(z0) = limzz0](z)-](z0)z-z0=limh0](z0+h)-](z0)h = limz0](z0+z)-](z0)z olur. Bazen herhangi bir z noktasndaki trevw = (z + z) (z)yazlarak(z) =dwdz= limz0wz gsterimi ile de belirtilir. rnek 5.13:(z) = c, ze Csabitfonksiyonuher noktada trevlenebilir ve (z) = udr. zm:z e Ciin, limh0](z+h)-](z)h= limh0c-ch= limh00h= udr. Buna gre (z) = u bulunur. 61 rnek 5.14:(z) = z , ze C birim fonksiyonu her noktada trevlenebilir ve(z) = 1 dir. zm:z e Ciin limh0](z+h)-](z)h= limh0z+h-zh= limh0hh= 1dr. Buna gre(z) = 1 olur. rnek 5.15:(z) = zfonksiyonununhibirnoktadatrevinin olmadn gsterelim. zm: z e Ciin, limh0](z+h)-](z)h= limh0z+h

-zh= limh0h

h olur. h bir karmak say olduundan bu limitin var olmadn, bu nitenin limit konusunda grmtk. Bu nedenle(z) = zfonksiyonunun hibir noktada trevinin olmadn syleyebiliriz. TEOREM5.5. fve g fonksiyonlar z0noktasnda trevlenebiliyorsa,i.( +g)(z0) =(z0) +g(z0) ii.(g)(z0) = (z0). g(z0) +g(z0). (z0) iii.[]g (z0) =](z0)g(z0).g(z0)](z0)|g(z0)]2. g(z0) u dr. spat5.5. i.limzz0(]+g)(z)-(]+g)(z0)z-z0= limzz0](z)-](z0)z-z0+ limzz0g(z)-g(z0)z-z0 = (z0) + g(z0) olur. Dierleri de gerel fonksiyonlarda olduu gibi ispatlanr. 62 rnek 5.16:Herz e Ciin (z) = z2fonksiyonunun trevinin (z) = 2zolduunu gsterelim. zm: arpm kuralna gre (z) = z. zyazlrsa (z) = 1. z + z. 1 = 2z olur. rnek 5.17:(z) = Sz32z +i olduunagre(1 + i)deerini bulalm. zm:Gerelanalizdeolduugibisreklitrevimevcutbir fonksiyonunherhangibirnoktadakitrevinihesaplamakiin,ncetrev fonksiyonubulunur.Dahasonratrevfonksiyonununszkonusu noktadaki deeri hesaplanr. Buna gre(z) = 9z2 2den(1 +i) = 18i 2 olur. TEOREM5.6. Bir ffonksiyonu z0 noktasnda trevlenebiliyorsa, ffonksiyonuz0 da sreklidir. spat5.6. limzz0(z) = (z0)olduunu gstermeliyiz. z z0iinlimzz0|(z) (z0)] = limzz0(z) (z0)z z0. (z z0) (z0) . limzz0(z z0) = u Olduu grlr. O halde ffonksiyonu z0 da sreklidir. 63 TEOREM5.7.(Bileke Fonksiyonun Trevi) ffonksiyonuz0noktasndavegfonksiyonuw0= (z0)noktasndatrevlenebilir olsun. Bu durumda F = g f bileke fonksiyonu z0noktasnda trevlenebilir ve bu trevF(z0) = g(w0)(z0)dr. spat5.7.g o f fonksiyonunun z0noktasnda trevlenebilir olmas iin limzz0(g o ])(z)-(g o ])(z0)z-z0limzz0g(](z))-g(](z0))z-z0 var olmaldr. ffonksiyonu z0noktasnda trevlenebilir olduundan ffonksiyonu z0da sreklidir. O halde z z0iin w w0dr. Buna gre yukardaki limitlimzz0(g o ])(z)-(g o ])(z0)z-z0= limzz0g(](z))-g(](z0))z-z0

= limzz0g(w)-g(w0)w-w0.w-w0z-z0 = limww0g(w)-g(w0)w-w0. limzz0](z)-](z0)z-z0

= limww0g(w)-g(w0)w-w0. limzz0](z)-](z0)z-z0

= g(w0). (z0)Olarak bulunur. Yani F = g f fonksiyonu z0noktasnda trevlenebilir ve trev F(z0) = g(w0). (z0)dr. Uygulama kolayl asndan F = g f ise w = (z) olmak zere dPdx=dgdw.dwdz

yazlr. Buna zincir kural denir. 64 rnek 5.18:F(z) = (z3 i)5fonksiyonunun z = i noktasndaki trevini zincir kural yardmyla hesaplayalm. zm: g(z) =z5ve (z) =z3 idenirse F = g folur. g(z)Sz4,(z) =Sz2

olduundan F(z) =g((z)) . (z) =S(z3i)4 .Sz2 Elde edilir. Buradanz = iiin(i) = S(i3i)4 .Si2= 24ubulunur. TEOREM5.8.(Ters Fonksiyonun Trevi) : S (S) Cbire-birfonksiyonunz0e Snoktasndatrevivarvesfrdanfarkl olsun. -1: (S) Sters fonksiyonu w0= (z0) noktasnda srekli ise, bu durumda(-1)(w0) = 1](z0) olur. spat5.8. w = (z)bire-bir olduundan z z0iin w w0 dr. Dolaysyla ]-1(w)-]-1(w0)w-w0=z-z0w-w0=1w-w0z-z0=1](z)-](z0)z-z0 Yazlabilir. -1 ters fonksiyonu w0 da srekli olduundan w w0 iin z = -1(w) -1(w0) = z0olur.Ohaldeyukardakieitliktebirinciyannw w0 iin ikinci yann z z0 iin limiti alnrsa(-1)(w0) =1](z0)

elde edilir. 65 rnek 5.19:w = (z) =zz+1fonksiyonunun ters fonksiyonununw0= (i)noktasndaki trevini bulalm. zm: Ters fonksiyonun trevi kuralna gre (-1)(w0) =1](),(i) udr. Dier yandan(z) =z+1-z(z+1)2=1(z+1)2

ve bylece de(i) =1(+1)2=12

dir. Dikkat edilirsew0= (i) =+1=12+2 Olduundan istenen trev(-1)[12+2 = 2i eklinde de yazlabilir. Bu soruyu zmek iin, dier bir yntem de-1(w) = w1-w Tersfonksiyonubulmakvebununistenennoktadakitrevini hesaplamaktr. TEOREM5.9. (z) = u(x, y) +i:(x, y) fonksiyonu bir z = (x, y) noktasnda trevlenebilirse(z) = ux+ i:xveya (z) =iu+:

olur. 66 spat5.9. (z) =limh0](z+h)-](z)hyazlabilir. Burada = r +isalnrsa, (z) =limh0](z+h)-](z)h = lim0s=0|u(x+,)-u(x,)+i(x+,)- (x,)] = ux+ i:x ve (z) = limh0](z+h)-](z)h = lims0=0|u(x,+s)-u(x,)s+ (x,+s)-(x,)s] = iu+: Bulunur. Bu iki eitlikteni(z) = ux+ i:x= iu+ : Yazlabilir.Bunagrebirznoktasndai(z)trevivarsa, ux , u , :x , :ksmi trevleri vardr ve bu ksmi trevler bu noktadaux= :,u= :x

eitliklerini salarlar. (z) = u(x, y) +i :(x, y)olmakzerefonksiyonununz = (x, y)noktasndatrevi varsa, bu noktadaux= :veu= :x Olduunu gsterdik. Bu iki denkleme Cauchy-Riemann denklemleri denir. Birfonksiyonunbirz = (x, y)noktasndatrevlenebilirolmasiinyeterlikoullar aadaki teorem ile ifade edebiliriz. 67 TEOREM5.10. (z) = u(x, y) + i:(x, y)fonksiyonuverilsin.Birz = (x, y)noktasndau = (x, y)ve: = (x, y)fonksiyonlarnnbirincimertebedenksmitrevlerivarvesrekli olsunlar. Ayrca bu ksmi trevler Cauchy-Riemann denklemlerini salasn. Bu durumda f fonksiyonunun z = (x, y) noktasnda trevi vardr. Uyar:Bir(z) = u(x, y) + i:(x, y)fonksiyonundau = (x, y)ve: = (x, y)fonksiyonlarnnCauchy-Riemanneitliklerinigereklemesitrevinvarliingerekli fakat yeterli deildir. rnein(z) = _u , z = u iscc-1z4, , z u isc

Fonksiyonunun gerel ve sanal ksmlar z = u noktasndan Cauchy-Riemann eitliklerini gerekler fakat bu noktada fonksiyonunun trevi yoktur. Buna gre bir fonksiyonun bir noktadatrevininvarlnkontroletmekiinfonksiyonungerelvesanalksmlarnn Cauchy-Riemanneitliklerinigerekleyipgereklemediinebakmakyeterlideildir. Ayrca bu ksmi trevin bu noktada srekli olup olmadn da kontrol etmek gerekir. rnek5.20:(z) = 2x +ixy2fonksiyonununz=inoktasnda trevlenebilir olup olmadn inceleyelim. zm:u(x, y) = 2x , :(x, y) = xy2olduuna gre ux= 2u= u,:x= y2,:= 2xydir.Bunagrez = i noktasndaux= 2,:= uolup,Cauchy-Riemanneitlikleri gereklenmemektedir.Yaniffonksiyonununz = inoktasndatrevi yoktur. rnek 5.21:(z) = cz ze Cfonksiyonun trevini bulalm. zm:i(z) = cz= cx(cos y + i siny) olduundan u(x, y) = cxcos y,:(x, y) = cxsin y dir. ux= cxcos y,u= cxsiny,:x= cxsiny,:= cxcos yksmi trevleri herz = (x, y) iin var ve sreklidirler. stelik ux= : , u= :xCauchy-Riemanneitliklerigereklenmektedir. Buna gre f nin herz = (x, y) noktasnda trevi var ve 68 i(z) = ux+ i:x= cxcos y + i cxsin y = cx(cos y +i sin y) = cz dir. rnek 5.22: (z) = logzfonksiyonunun trevini bulalm. zm:nce logz nin tek deerli olduu bir dal belirlemeliyiz. A = {z|z u

, n < aig z < n]olmak zere(z) = logz = Iog |z| +i aig zdaln alalm.w = logzdenirse,z = cw

olur. Buradan dzdw= cw= z elde edilir. O halde her ze A iini(z) =ddzlog z=dwdz=1dzdw=1z Bulunur. Her dal iin ayn trev elde edilir. rnek 5.23: (z) = cos z ze Cfonksiyonunun trevini bulalm. zm: (z) = cos z =ciz+c-iz2 olduundan i(z) =ciz+c-iz2=sin zelde edilir. 69 rnek 5.24:(z) = orcton z, fonksiyonunun trevini bulalm. zm: w = (z) = orcton z z = ton w yazlr. Ters fonksiyonun trevi kuralna gre, dwdz=1dzdw=11+tun2w=11+z2

elde edilir. 70 ANALTK FONKSYONLAR 6.1.ANALTK FONKSYONLAR TANIM6.1. i.Birw = (z)fonksiyonu,birz0noktasnnbirkomuluundakitm noktalarda trevlenebilirse, ffonksiyonunaz0noktasnua analitiktir denir. ii.Birffonksiyonu,birSkmesininhernoktasndaanalitikse,fyeSde analitiktirdenir.Buradabirnoktadaanalitikolmaktanmgznnealnrsa,ffonksiyonubirSkmesindeanalitikdemek,gerekteffonksiyonubuSkmesinikapsayanbirakkmedeanalitiktirdemektir.Yanibirfonksiyonun analitik olduu noktalar kmesi ak kmedir. iii.Bir f fonksiyonu C dzleminin tmnoktalarnda analitikise, fye tam (entire) fonksiyon denir. Bazen tanm kmesi belirtilmeden fanalitik fonksiyon ifadesi kullanlr. Bunun anlam ffonksyonunun analitik olduu bir kme var demektir. rnek 6.1:(z) = c , z C sabit fonksiyonunun herziin trevi var ve (z) = u Olduundanfsabit fonksiyonu C de analitiktir. rnek6.2:(z) = z2+Si , z Cfonksiyonununherhangibirznoktasndaki trevi (z) = 2z Olduundan bu fonksiyonC de analitiktir. 6 71 rnek6.3:(z) = sinz ,z Cfonksiyonununherhangibirznoktasnda trevi var ve (z) = cos z Olduundan,(z) = sin zfonksiyonuC de analitiktir. NOT:Dikkatedilirseburnekteverdiimizfonksiyonlarnherbiribirtam fonksiyondur. Aadaki fonksiyonlarn her birinin bir tam fonksiyon olduunu grnz. (z) = cz (z) = cos z p(z) = onzn+on-1zn-1++o1z +o0 , n N Bir(z) = u(x, y) +i:(x, y)fonksiyonunungerelvesanalksmlarolan u(x, y) ve :(x, y) fonksiyonlarnnbirz0(x0, y0)noktasndasrekliksmitrevleri var ve bu ksmi trevler(x0, y0)noktasnda Cauchy-Reimann denklemlerini salyorsa, ffonksiyonunz0noktasnda trevlenebilir olduunu biliyoruz.Bir(z) = u(x, y) +i:(x, y)fonksiyonununbirz0(x0, y0)noktasndaanalitikolup olmadngrmekiin,ffonksiyonunungerelvesanalksmlarolanu(x, y)ve :(x, y)fonksiyonlarnn,z0(x0, y0)noktasnnbirkomuluundasrekliksmi trevlerininvarolupolmadnavebukomuluktaCauchy-Reimanndenklemlerinin salanpsalanmadnabaklr.Buzellikbirfonksiyonunanalitikliinkontrolnde ska kullanlr. rnek6.4:(z) = 2xy +ixy2fonksiyonununz = unoktasnda analitik olup olmadn inceleyelim. zm:u(x, y) = 2xyve:(x, y) = xy2 Olduundan ux= 2y,u= 2x :x= y2,:= 2xy Dir.Buksmitrevler(u, u)noktasndaCauchy-Reimanndenklemlerini salamaktadr. Buna gre ffonksiyonuz = unoktasndan trevlenebilir. Fakat(u, u)noktasnnhibirkomuluundanCauchy-Reimann denklemlerisalanmaz.Bunedenleffonksiyonunun(u,u)noktasnn 72 hibirkomuluundatreviyoktur.Bunedenle(z) = 2xy +ixy2fonksiyonu(u,u)noktasnda analitik deildir. Buna karlk (u) = ux(u,u) + i:x(u,u) = u + i. u = u Dr. rnek 6.5:(z) = (x + iy). x Rc(z)fonksiyonununz = unoktasnda analitik olup olmadn inceleyelim. zm:(z) = (x +iy). x = x2+ ixy Yazlr. Buna gre u(x, y) = x2,:(x, y) = xy Olur. Buradan ux= 2x,u= u :x= y ,:= x Bulunur.Buksmitrevlerheryerdesreklidir.AncakCauchy-Reimann eitliklerisadece(u,u)noktasndagereklenir.yanif ninz = unoktas dndahibiryerdetreviyoktur.Bunedenleffonksiyonuz = unoktasnda analitik deildir. Buna karlkz = unoktasndaki trev (u) = ux(u,u) + i:x(u,u) = u + i. u = u Dr. TANIM6.2. i.Birfkarmakfonksiyonubirz0noktasnnherkomuluundakibirz0

noktasnnherkomuluundakibaznoktalardaanalitikfakatz0noktasnda analitik deilse, f ninz0 noktasndaki aykrl (singleritesi) vardr denir vez0noktasnda da fnin bir aykr (singler) noktas denir.ii.Birffonksiyonuz0 noktasndaanalitikdeil,fakatbunoktanndelinmibir komuluundananalitikisefninz0noktasndaayrk(izole)aykrlvardr denir ve z0 noktasna da fnin ayrk aykr noktas denir. 73 rnek6.6: (z) = |z|2 fonksiyonuz = u noktasndaanalitikdeildir. Ancakz = udabufonksiyonunaykrldayoktur.nkbunoktann hangi komuluu alnrsa alnsn, bu komulukta hibir noktada fonksiyon analitik deildir. (z uiin fnin trevlerinin olmadn grnz.) rnek6.7: (z) =1z(z-)fonksiyonununz = uvez = inoktalarnda ayrkaykrlklarvardr.nkbufonksiyonz = u ve z = inoktalarnda analitik deildir. Fakat ffonksiyonuu < r < 1olmak zere z = u ve z = i noktalarnn srasyla (u, r) {u] ve (i, r) {i] Delinmi komuluklarnda analitiktir. rnek 6.8:(z) =1sIn[nz fonksiyonununz =1n , n {u] Noktalarndaayrkaykrlklarvardr.Fakatz = unokrasndaayrk olmayanaykrlvardr.nkz = unoktasnnherdelinmi komulunda fnin analitik olmad en az 1 nokta vardr. fvegfonksiyonlarz0noktasnda analitik iseler, +g , g veg(z0) u olmak zere]gfonksiyonlar da z0noktasnda analitik olur. rnek6.9:(z) =z3+3z+1z2+1fonksiyonununanalitikolduunoktalar kmesini bulalm. zm:ffonksiyonuikipolinomunblmeklindedir.Dolaysyla z2+ 1 uyani z1= i ve z2= i noktalardndafnoktas analitiktir. 74 rnek6.10:(z) = z1+fonksiyonununanalitikolduubirkme belirtelim ve trevini bulalm. zm:(z) = c(1+) Iog zyazlabilir.Logaritmadonksiyonunanalitik olduuheryerde(1 + i) logzfonksiyonudaanalitiktir.Dolaysylaffonksiyonuda(bilekefonksiyonuolarak)aynblgedeanalitikolur. rnein ffonksiyonu B = {

z|z u , n < aig(z) < n ] Blgesinde analitiktir. Ffonksiyonunun trevi (z) = (1 + i)z , z B Dir. rnek 6.11:(z) = Szfonksiyonunun analitik olduu kmeyi belirtelim ve trevini bulalm. zm:(z) = Sz= cz Iog 5 yazlabilir.1(z) = z log S ve 2(z) = czalnrsa, = 2 1olur.1 ve 2birer tam fonksiyon olduklarndan, fde bir tam fonksiyondur. (z) = logS . Sz , z C Dir. TEOREM6.1. ffonksiyonu bir B blgesinde analitik olsun. Aadaki koullardan herhangi biriz Bnoktas iin gereklenirse, ffonksiyonu B blgesinde sabittir. 1.(z) = u 2.Rc((z))fonksiyonu sabit 3.Im((z))fonksiyonu sabit 4.||fonksiyonu sabit 5.fonksiyonu analitik 6.aig zfonksiyonu sabit 7.(z)gerel deerli bir fonksiyon 75 spat6.1. 1.Herz Biin(z) = uolduuna gre (z) = ux+i:x= :iu= u Eitliinden ux= u= :x= := u Dr.Bunagreu(x, y)ve:(x, y)fonksiyonlarBblgesindesabitdolaysylaffonksiyonu B de sabittir. 2.Rc (z) = u(x, y)sabit fonksiyon olduuna gre ux= u= u Dr. Cauchy-Riemann eitliklerinden :x= := u Olmak zorundadr. (1)e gre f fonksiyonu sabittir. 3.kinci durumdaki tartma benzer ekilde tekrarlanarak sonuca ulalr.4.|| = u2+ :2= c, (c u)diyelim. Buna gre u2+:2= c2 Olur. Eerc = uise, B blgesinde u = : = uolmak zorundadr. Buna gre(z) uolur. Eerc u ise, u2+:2= c2ifadesinden uux+::x= u,uu+ ::= u Olur. Cauchy-Riemann eitlikleri kullanlrsa, (u2+:2)ux= u(u2+:2):x= u (u2+:2)u= u(u2+ :2):= u Yani c2ux= u,c2u= u c2:x= u,c2:= u Bulunur. Buna grec uolduundan ux= u= uve:x= := u Olur. Buradan(z) = uyaniffonksiyonu B blgesinde sabittir. 76 5.(z) = u +i: ise (z)

= u i:dir.fveffonksiyonlarBblgesinde analitik olduuna gre F = += 2Rc () FonksiyonudaBdeanalitiktir.BundanbakaIm F = udr.(3)denFfonksiyonuB de sabit fonksiyondur.(2)den ffonksiyonu B blgesinde sabit fonksiyon olur. 6. = u + i:olmak zere aig()fonksiyonuu = k:, (k sobit)yazabiliriz. Rc|(1 +ik) + ] = u k:Olduu kolayca gsterilebilir. Buna gre Rc|(1 +ik) + ] = u Dr.(2)yegre(1 +ik)fbirsabitfonksiyonolur.DolaysylaffonksiyonudaB blgesinde sabittir. 7.fgereldeerlibirfonksiyonolduundanIm = udr.(3)egreffonksiyonu B blgesinde sabittir. 6.2.HARMONK FONKSYONLAR TANIM6.3. B, xy-dzleminde bir blge olmak zereu:B R ikinci mertebeden (kerteden)srekli ksmi trevlere sahip bir fonksiyon olsun. Eer B blgesinde 2u = uxx+u= u Oluyorsaufonksiyonuna B blgesinde bir harmonik fonksiyon denir ve2u = u Denklemine de Laplace denklemi denir. Bir = u + i:karmak fonksiyonu verilsin. Eer uvevbir B blgesinde karmonik fonksiyonlarise,budurumdaffonksiyonunaBblgesindekarmakharmonik fonksiyon denir. rnek6.12:u(x, y) = x2 y2+2xfonksiyonununxy-dzleminde harmonik olduunu gsterelim. zm:BufonksiyonunharmonikolduunugstermekiinLaplace denklemini salayp salamadn komtrol edelim. 77 ux= 2x +2uy= 2y uxx= 2uyy= 2 Dir. Buradan uxx+ uyy= u Olur. rnek 6.13:u(x, y) = cxsin yfonksiyonununxy-dzleminde harmonik olduunu gsterelim. zm:ux= cxsin y uy= cxcos y uxx= cxsin yuyy= cxsiny Olduundan uxx+ uyy= u Dr. (z) = u(x, y) +i:(x, y)fonksiyonubirBblgesindeanalitikolsun.Budurumdaffonksiyonunungerelvesanalksmlarolanuvevfonksiyonlarbirerharmonik fonksiyonlardr. BirffonksiyonuBblgesindeanalitikise,bufonksiyonunhermertebedentrevi vardr. imdi bu zellii kullanarak bir analitik fonksiyonun gerel ve sanal ksmlarnn harmonik fonksiyonlar olduunu gsterelim. (z) = u(x, y) + i:(x, y)Analitikfonksiyonise,gerelvesanalksmlarnnksmitrevleriCauchy-Riemann denklemlerini salar. Yani ux= :,u= :x Dir. Burada ikinci mertebeden ksmi trevleri alrsak uxx= :x,u= :x Olur. kinci mertebeden ksmi trevler srekli olduundan :x= :x Dir. Buna gre 78 uxx+ u= u Olduugrlebilir.Yanibiranalitikfonksiyonungerelvesanalksmlarharmonik fonksiyonlardr. Bir analitikfonksiyonayn zamandabir karmak harmonikfonksiyondur. Ancakbunun tersi her zaman doru deildir. u:B R fonksiyonu harmonik olsun. Bir ::B R fonksiyonu iin, (z) = u(x, y) + i:(x, y) Fonksiyonu analitik oluyorsa, bu durumdav fonksiyonu Bblgesinde harmonik olmak zorundadr.Buvfonksiyonunaufonksiyonununharmonikeleniidenir.Dier taraftan i (z) = i u(x, y) :(x, y) Fonksiyonudaanalitikolur.Bunagreufonksiyonuda-vfonksiyonununharmonik elenii olur. rnek6.14:(z) = z2+ifonksiyonugerelvesanalksmlarnn harmonik fonksiyonlar olduunu gsterelim. zm:z = x + iyolmak zere (z) = (x + iy)2+i = x2y2+ i(2xy + 1) Dr. Buna gre u(x + iy) = x2 y2ve:(x, y) = 2xy +1 Olur. ux= 2x uy= 2 uxx= 2yuyy= 2 Olduundan uxx+ uyy= u Dr. Yaniubir harmnonik fonksiyondur. Benzer ekilde, vx= 2y vy= 2x vxx= uvyy= u Olduundan 79 uxx+ uyy= u Dr.Yanivdebirharmnonikfonksiyondur.Buradavfonksiyonuufonksiyonunun harmonik eleniidir. TEOREM6.2. u:B R harmonik fonksiyon olsun . Eerufonksiyonunun B blgesinde birvgibi bir harmonik elenii varsa, (x0, y0) Bolmak zere :(x, y) = ux(x, t)0 u(r, u)xx0+c Dr. spat6.2. Eervfonksiyonuununbirharmonikeleniiise = u + i:fonksiyonuanalitik olur. Buna gre B blgesinde :(x, y) = ux(x, y) Dir. Bu eitliiyye gre integre edersek :(x, y) = ux(x, t)0Jt +(x) Olur. bu eitliin her iki yann xe gre tretirsek, :x(x, y) = uxx(x, t)Jt +(x) = :(x, y) = u(x, t)Jt + (x)00 = u(x, y) +u(x, y0) +(x) Bulunur. :x(x, y) = u(x, y) Olduundan bunu yukarda yerine yazarsak (x) = u(x, y0) Elde edilir. Burada her iki tarafxe gre integre edersek, (x) = u(r, y0)Jrxx0+c Olur. Bylece :(x, y) = ux(x, t)Jt0 u(r, y0)Jrxx0+c 80 Bulunur. Eer(u,u)noktas B blgesine ait ise x0= u , y0= ualmak ilem kolayl getirir. rnek 6.15: (x, y) R2 olmak zere, u(x, y) = x3+oxy2 , (o, sobit) Fonksiyonu veriliyor. i.ufonksiyonununheryerdeharmonikolmasiinasayska olmaldr? ii.unun harmonik elenii olanvfonksiyonunu bulunuz. iii. = u +i:fonksiyonununz = x +iydeikenicinsindenifade ediniz. zm: i.ux= Sx2+oy2,u= 2oyx uxx= 6x ,u= 2ox Dir.ufonksiyonununharmonikolmasiinLaplacedenklemini salamaldr. Yani uxx+ uyy= u,6x + 2ax = u Olmaldr. Buradanx uiin 6 + 2o = u , o = S Bulunur.Eerx = uiseu(x, y) = uolupherasaysiinufonksiyonu harmoniktir. ii.u(x, y) = x3 Sxy2

ux= Sx2Sy2 , u= 6xyOlduundan :(x, y) = u(x, t)Jt0 u(r, y0)Jrx0+ c :(x, y) = (Sx2 St2)Jt0 u. Jrx0 = Sx2y y3+ c Elde edilir. 81 iii.(z) = x3Sxy2 i(Sx2 y3+ c) = x3+ Si2xy2+Sx2yi + i3y3+ic = (x + iy)3+ ic = z3+ic eklinde ifade edilir. 82 KARMAIKFONKSYONLARIN NTEGRAL 7.1.ER VE EVRE TANIM7.1. y: |o, b] CsreklifonksiyonunaC-dzlemindebireridenir.Biryerisiiin o t bolmak zerey(t)eColduundan y(t) = x(t) +iy(t) yazlabilir. Bu nedenle bir yerisi genelliklex = x(t), y = y(t) te|o, b]Parametrikgsterimiyledeifadeedilir.zelolarakt = ovet = biin,y(o)vey(b)noktalarnasrasylayerisininbalangvebitimnoktalardenir.Eer y(o) = y(b)ise, y erisine kapal eri denir. y(|o, b]) Cnoktakmesine,yfonksiyonununizidenirvey= y(|o. b])simgesiyle gsterilir.Klasikmatematiktengelenbiralkanlklageneldeyerisidenince,yukarda belirtilen fonksiyona deil y izi anlalr. Eeryfonksiyonuntrevivarvesrekliiseyfonksiyonunadiferansiyellenebilireri denir. y diferansiyellenebilir bir eri olmak zere, t |o, b] iin y(t) =x(t) + iy(t) uise yerisine bir dzgn eri denir. Bu durumda y erisinin her noktada bir teeti vardr. [a,b]aralnnsonlusaydanoktasdndayerisidiferansiyellenebiliyorsavebusz konusunoktalardaynnsadanvesoldantrevlerivarvebunlar ynnbunoktalarda sa ve sol limitlerine eitse, y erisine paral diferansiyellenebilir eri denir. Sonlusaydaparaldiferansiyellenebilirerilerinuucabirlemesiyleoluaneriye evre denir. y nn kapal eri olmas durumunda tm bu tanmlar kapal szc eklenerek tekrarlanr. y bire-bir fonksiyon ise y ya basit eri (Jordan erisi) denir. 7 83 Basit kapal bir eri (Kapal Jordan Erisi) dzlemi snrlar ortak olan iki blgeye ayrr. Bunlardanbirisisnrl,dierisnrszblgedir.Geometrikolarakokakolanve Jordan eri teoremi olarak bilinen bu zellii ileride sk sk kullanacaz. yerisinin tersi y ile gsterilir ve(y)(t) = y(o + b t) , te|o, b]eklinde tanmlanr. rnek 7.1: y(t) = cos t + i sin t,u t 2nbirbasitkapal dzgn eridir. zm: y(u) = y(2n) = 1olduunyerisikapaldr.Bundan baka her te|u,2n] iin y(t) = cos t + i sin t uolduuiinydzgneridir.Buerinin parametrik gsterimi x = x(t) = cos t , y = y(t) = sint ,u t 2n eklindedir. y erisinin izi birim emberdir. (ekil 7.1). ekil 7.1 rnek 7.2: y(t) = _t + it2, u t 1isct + 1 , 1 t 2 isc

Erisi paral dzgn eridir. zm: y(t) = ]1 +2it , u t 11, 1 t 2

ve 84 limt1- y(t) = 1 + 2i , limt1+ y(t) = 1 olur.Bunagret=1noktasndayerisinintreviyoktur.Bunakarlkt=1dndahernoktadatrevvar(t=0vet=2 niinsadecetekynl trevlerden sz ediyoruz) ve sfrdan farkl olduundan, y erisi bir paral dzgn eri olur. Bu erinin izi ekil 7.2 de grlmektedir. ekil 7.2 rnek 7.3: z(t) = 2i +c2nt,u t 1 erisi bir dzgn eridir. zm:u t 1 iinz(t) = 2i + c2nt u dr.Bunagrez(t)erisininsreklitrevivarvesfrdanfarkldr.Bu erininiziekil7.3degrldgibimerkezi2inoktasndayarap1 olan emberdir. ekil 7.3 85 Biryerisinibelirtenfonksiyontekdeildir.Eer[c,d]araln[a,b]aral zerine(c) = o ,(J) = bolacakbiimderesmedenveazalmayanbirhfonksiyonu varsa, yile y = yoayn eriyi belirtir. rneiny1(t) = cos t +i sint,u t 2ny2(t) = cos 2nt + i sin 2nt,u t 1y3(t) =1-t21+t2+ i2t1+t2 t R fonksiyonlarn hepsi de birim emberi belirtmektedir. Dier taraftan biry(t) = x(t) + iy(t), o t b erisi verildiinde, (t) = bt +o(1 t) fonksiyonu [0 , 1] araln [a , b] aral zerine bire-bir resmetmektedir. Dolaysyla(yo)(t) = (xo)(t) +i(yo)(t) ,u t 1 y(t) = x((t)) +iy((t)), u t 1 fonksiyonudayersinibelirtir.Bunedenlegenelliklebirerinintanmkmesiolarak[0 , 1] kapal aral alnr. rnek7.4: y(t) = t2+1 + i(2t +S), 2 t Serisiverilsin. Bu erinin[0 , 1]araln[2 , 5]aral zerinebire-bir resmeder. Bu nedenle (yo)(t) = (xo)(t) +i(yo)(t) y(t) = (St + 2)2+1 +i(6t + 4 +S)= 9t2+12t +S +i(6t + 7),u t 1 fonksiyonu y ile ayn eriyi temsil etmektedir. y(t) = z(t) = x(t) +iy(t) , u t 1erisiverilsin.Eery(u) = z(u) noktasndanbalamakzereynnoktalartninartnakarlkgeleceksrada taranrsaypozitif ynde dolalmtr denir. Negatif yn isey(1) = z(1)noktasndan balamakzeredolalanyndr.Eeryndenszedilmiyorsaerininpozitifynde dolat anlalacaktr. 86 7.2.NTEGRAL TANIMI VE TEMEL ZELLKLER TANIM7.2. : |o , b] Cfonksiyonu (t) = u(t) + i:(t) biiminde tanmlanm ve u( t )vev( t )gerel fonksiyonlarnn [a , b] aralnda gerel analizde belirtilen anlamda integralleri varsa, hnn [a , b] zerinde integrali_(t)Jt =bo_u(t)Jt +boi _:(t)Jtbo olarak tanmlanr. rnek 7.5:(t) = St2+ 6i(t + 1) , u t 1fonksiyonu verilsin. _(t)Jt =10_St2Jt10+ i _6(t +1)Jt10 = |t3+i(St2+ 6t)]01 = 1 +9i olur.Yukardaverdiimizintegraltanmgerelintegrallerinbirokzelliinigerekler. rnein c bir karmak say olmak zere c(t)Jtbo= c (t)Jtbo , ve __(t)Jtbo_ _|(t)|Jtbo

dir. Bundan baka Rc _(t)Jtbo= _Rc((t))Jt , lmbo_(t)Jt =bo_lm((t))Jtbo olur. 87 TANIM7.3. A,Cdeakbirkme,: A Csreklivey(t) = x(t) +iy(t), o t b erisi y|o , b] A zelliinde diferansiyellenebilir bir eri olsun.y zerindeffonksiyonunun integrali_ y= _ (z)yJz simgesiyle gsterilir ve =y (z)Jz =y (y(t))y(t)Jtbu eklindetanmlanr.Dikkatedilirsebuintegraliiny nndiferansiyellenebilirolmas koulukonmutur.Ancako t biiny(t) = uolduundaintegralindeerisfr olacandan, uygulamada ynn ounlukla dzgn eri olduunu greceiz. y nn paral diferansiyellenebilir olmas durumunda, yukardaki tanm_ =y_ (z)Jz = _ (y(t)y(t)Jtui+1uin-1=0y biimini alr. Eeryerisiy1, y2, , ynparaldiferansiyellenebilirerilerinuucaeklenmesiyle oluan evre ise, =y (z)Jz = (z)Jzyin=0y dir. NOT:(z) = u(x , y) +i:(x , y)vey(t) = x(t) + iy(t) , o t beklinde verilmi olsun. |y(t)] = u|x(t), y(t)] +i:| x(t), y(t)] ve y(t) = x(t) +iy(t) olduundan, yukarda verilen integral tanm _(z)Jz =y_|y(t)]y(t)Jt =y_(ux :y)Jt +boi _(:x+ uy)Jtbo 88 eklindeyazlabilir.Bundanbaka = u +i:vey(t) = z(t) = x(t) +iy(t)olmak zere Jz = Jx = iJyyazlrsa,_ (z)Jz =y_ uJx :Jy +yi _ :Jx + uJyy olur. rnek 7.6: (z) = 2z + 1fonksiyonununy(t) = 2t +it, u t 1 erisi boyunca integralini hesaplayalm. zm: _ (z)Jz =y_(y(t))y(t)Jt10 = _|2(2t + it) + 1](2 + i)Jt1u = (2 + i) _|(4t + 1) + i2t]Jt1u = (2 + i)|2t2+ t + it2]u1 = (2 + i)(S +i) = S +Si bulunur. 89 rnek 7.7:(z) = z2fonksiyonununy(t) = t +it2, u t 1erisi boyunca integralini hesaplayalm. zm: _ (z)Jz =y_(y(t))y(t)Jt10 = _(t + it2)2(1 + 2it)Jt10 = _(t2St4)Jt + 2i10_(2t3t5)Jt10 =1S, t3 t5_ +2i(12t416t6)_01 = 2S+2Si olur. rnek 7.8:(z) = x2+2ixyfonksiyonununy(t) = t +2it , u t 1erisi boyunca integralini hesaplayalm. zm:|y(t)] = t2+4it2= (1 + 4i)t2 y(t) = 1 + 2i olduundan _ (z)Jz =y_(1 + 4i)t2(1 + 2i)Jt10 = (1 +4i)(1 + 2i) _t2Jt10 =

(7 +6i)1StS_u1= 7S+2i elde edilir. 90 ntegral tanmndan hareketlef,g sreklifonksiyonlar vey , y1 , y2 dzgn erilerise c1 , c2karmak sabitler olmak zere aadaki zellikleri ifade edebiliriz. _|c1 +c2g]y= c1_ +yc2_ gy _ -y= _ y _ y1+y2= _ y1+ _ y2 TEOREM7.1. yerisi y nn bir deiik gsterimi ise _ y= _ y dir. Yani integral erinin gsteriminden bamszdr. spat7.1. y: |o , b] Cvey: |c , J] Caynerininikigsterimiolsun.Varsaymgerei (t) > uolacakekildediferansiyellenebilir.ylebir: |o , b] |c , J]fonksiyonu vardrki y(t) = y((t)) dir. Buradan y(t)Jt = y((t)). (t)Jtolur. s=h( t )denirse Js = (t)Jt, (o) = c, (b) = J olur. Buna gre_ y_(y(t))y(t)Jt =bu_(y(s))y(s)Js =dc_ y elde edilir. 91 rnek 7.9: (z) = x2 fonksiyonununy(t) = 2 t + 2it2, u t 1 ve y(t) = t +it2 , u t 2 Eriler zerinden alnan integrallerinin eit olacan gsterelim. zm:s = (t) = 2 t alnrsa s= (t)= 2 > udr. Bundan baka: |u, 1] |u, 2 (u) = u, (1) = 2 ve y(t) = y((t)) dir.Bunagreyerisiynnbirdeiikgsterimiolur.Dolaysyla Teorem 2.3 e gre _ y= _ y dir.Busonucuverilenfonksiyonunherikieriboyuncaintegralini hesaplayarak da grebiliriz. TANIM7.4. y(t) = x(t) +iy(t) , o t bdzgn erisinin uzunluu I(y) ile gsterilir ve I(y) = _|y(t)|Jtbu= _|x(t)]2+|y(t)]2bu Jt olarak tanmlanr. 92 rnek7.10:y(t) = 2 cos t + 2i sin t,u t 2nerisinin uzunluunu bulalm. zm:y(t) = 2sint + 2i cos t olduundan|y(t)| = 4sin2t + 4cos2t = 2dir. Buna greI(y) = 2Jt2n0= 4n olur.Dikkatedilirseverileneri2olanbiremberolup,buemberin uzunluu 4n dir. TEOREM7.2.Bir erinin uzunluu erinin gsteriminden bamszdr. spat7.2. y: |o , b] Cvey: |c, J] Caynbirerininikigsterimiolsun.Varsaymgerei (t) > u olacak ekilde diferansiyellenebilir yle bir : |o, b] |c, J] fonksiyonu vardr ki y(t) = y((t))dir. Buradany(t) = y(t)(t) elde edilir. s = (t)denirse Js = (t)Jt, (o) = c, (b) = Jolur. DolaysylaI(y) = _|y(t)|Jtbo= _|y((t))(t)|boJt = _|y((t))||(t)|bo= _|y(s)Js|Jc= I(y) bulunur. 93 TEOREM7.3. A,Cdeakbirkmeve: A Csrekliolsun.Aiindebulunanparal diferansiyellenebilirbiryerisininzerindekiherznoktasiin|(z)| Holacak ekilde M>0 says varsa,__y_ H. I(y) olur. spat7.3. y = (y(t))y(t)Jtbu |(y(t))y(t)|Jtbu

|(y(t))|bu|y(t)|Jt H |y(t)|Jtbu H. I(y) TEOREM7.4. : A C sreklifonksiyonu verilsinve y erisiAiindekiz1 noktasn, gene Aiindeki z2 noktasnabirletirendiferansiyellenebilirbireriolsun.EerAdaF= olacak ekilde bir F: A Canalitik fonksiyonu varsa, _y= F(z2) F(z1) ve zel olarak z1= z2 ise y= u dr. 94 spat7.4. _y= _(y(t))y(t)Jt = _F(y(t))y(t)Jtbobo = _J|F(y(t)]bo =

F(y(t))|ub = F(y(b)) F(y(o)) = F(z2) F(z1) olur. z1= z2 olmas durumunda F(z2) = F(z1)olacandan, _y= u dr. TANIM7.5. Eer bir F(z)fonksiyonuiinF(z) = (z)iseF(z)ye (z) ninbelirsizintegrali denir ve _(z) Jz Simgesi ile gsterilir. rnek 7.11:ybirimemberzerinde1noktasninoktasnabirletiren eri paras olduuna gre_ c2nzyJz integralini hesaplayalm. zm:(z) = c2nzdenirse,buF(z) =12nc2nzanalitik fonksiyonunun trevidir. Buna gre Teorem 3.3.3 den 95 _ c2nzyJz = F(i) F(1) =12n(c2n c2n) =12n(1 c2n) bulunur. rnek 7.12:y erisi birim emberin st yars olmak zere__Jzz2+ 2y_ n olduunu gsterelim zm:1|z2+2|1||z|2-2| dir.yzerinde |z| = 1 olduuna gre 1|z2+2|1|1 2|= 1 olur. Dier taraftan y erisi birim emberi st yars olduundan I(y) = n dr. Burada teorem 3.3.2 ya gre __Jzz2+2y_ 1. n = n bulunur. rnek 7.13: yerisiekil7.4deverileny1vey2erilerininbirleimi olduuna gre|z|yzJz integralini hesaplayalm. 96 zm:y1(t) = 2 cos t +2i sin t , u t n y2(t) = t, 2 t 2olduuna gre _|z|y1zJz = _2(n02cos t 2i sint) (2sint + 2i cos t)Jt = 8_iJtn0= 8ni _|z|y2zJz = _|t|tJt2-2= _t2Jt0-2+_t2Jt20= u olur. Buna gre |z|zJz = 8niy dr. rnek 7.14:y , (1 , 1)ve (2 , 3)noktalarn birletireny = x3 Sx2+4x 1 erisidir. _(12z24iz)Jzy integralini hesaplayalm. zm:Teorem 3.3.3 gerei _ (12z24iz)Jz =

(4z3 2iz2)|1+2+32+31+= 1S6 + S8i bulunur. 97 rnek 7.15:y(t) = o + rct, r > u . u t 2n (y erisi amerkezli r yarapl ember) olmak zere _Jzz o=2niy oldunu gsterelim. zm: 1z-ufonksiyonuC-{a}kmesindesrekliolduundanay merkez alarak her y emberi zerinde integrallenebilir. z = o +rct

denirse,Jz = rictJt olur. Buradan_Jzz o= _ricitrcit2nuyJt = _ i Jt = 2ni2nu elde edilir. 98 CAUCHY NTEGRAL TEOREM 8.1.CAUCHY-GOURSAT NTEGRAL TEOREM TANIM8.1. ffonksiyonu, basitbalantlSblgesindeve bu blgeninevresi zerinde analitik olsun. Bu durumda _ f(z)uz = u Dr. Bu teoremin ilk ispat ftrev fonksiyonunun Sblgesinde ve zerinde srekli olmas koulualtndaA.L.Cauchytarafndanverilmitir.Dahasonrabuteoreminispat E.Goursattarafndanftrevfonksiyonununsrekliolmaskoulukaldrlarak yaplmtr. Bu nedenle teoreme Cauchy-Goursat teoremi denir. nce Cauchy tarafndan yaplan ilk ispat verelim. (z) = u(x, y) + i:(x, y) Fonksiyonu analitik olduundan,(z)= ux(x, y) +i:x(x, y) = :(x, y) iu(x, y) Dr.ftrevfonksiyonuSblgesindevezerindesrekliolduundan, ux, uy, vx vevyksmi trevleri de Sblgesinde ve zerinde srekli olurlar. Dolaysylauvevfonksiyonlar Green teoreminin koullarn salar. Buna gre _ f(z)uz = _(u + iv)(ux + i uy) = _ u ux v uy +i _ v ux +u ux 8 99 = (:xu)JxJy + i (ux:)JxJyS S Yazlabilir. ffonksiyonu analitik olduundan, ux= : ve u= :x Cauchy-Riemanneitliklerikullanlrsayukardakiiftkatlintegrallerinherikisininde sonucunun sfr olduu kolayca grlr. Buna gre _ f(z)uz = u Elde edilir. imdibu teoremin E.Goursat tarafndanyaplanispatnerisininherhangibir kapal evreolmasyerine,erisininbirgenolmasdurumundavermekleyetineceiz. Buradanhareketleteoreminispat erisininherhangibirokgenvedahagenelolarak bir kapal evre olmas durumundan da yaplabilir. erisininekil8.1dekiABCgenolsun.Bugenikenarlarnortanoktas yardmylaS11, S21, S31 ve S41eklinde4tanegenblgeyeayralmveherbir blgenin snrn pozitif ynde (saatin ters ynnde) yndendirelim. ekil 8.1 ffonksiyonununDE,EFveFDdoruparalarzerinde,farklikiyndealnan integralleri dikkate alnrsa, _ f(z)uz= _ f(z)uz0S11+ _ f(z)uz0S21+ _ f(z)uz0S31+ _ f(z)uz0S41 100 Yazlabilir. Buradan __ f(z)uz_ = _ _ f(z)uz0S11_ + _ _ f(z)uz0S21_ +_ _ f(z)uz0S31_ + _ _ f(z)uz0S41_ Olur. bu eitsizliin sandaki drt terimdenbirinin deeri dierndenbykveyaeittir. Byk olan, rnein ilk terim ise, __ f(z)uz_ 4 _ _ f(z)uz0S11_ Yazlabilir. imdi ABC genine uyguladmz ilemi AFE genine uygularsak, benzer ekilde _ _ f(z)uz0S11_ 4 _ _ f(z)uz0S12_ Elde edilir. Buradan(1)ve(2)birletirilirse __ f(z)uz_ 42_ _ f(z)uz0S12_ Olur. Ayn ileme devam edersek n. admda __ f(z)uz_ 4n_ _ f(z)uz0S1n_ Bulunur. erisininuzunluu,yaniABCgenininevreuzunluuLilegsterilirse,S11

erisinin uzunluuL2 ,S12nin uzunluuL22 , , S1nnin uzunluuL2nolur.S1n blgesindeveyaS1nsnrndabulunanbirz0noktasnalalm.ffonksiyonuz0

noktasnda analitik olduundan, bu nokta trevlenebilir. Bu durumda (z) = (z0 ) + (z0 )(z z0 ) +(z)(z z0) Eitliini salayan,z0noktasnn bir komuluunda tanml (z) = _ (z) (z0)z z0 (z0) ,z z0iseu , z = z0ise

101 eklinde birhfonksiyonu vardr vehfonksiyonuz0de sreklidir. _ f(z)uz0S1n= _ f(z0)uz0S1n+ _ f(z0)(z z0)uz0S1n+ _ h(z0)(z z0)uz0S1n Yazlabilir. Bu eitliin sandaki ilk iki integralin deeri Cauchy teoreminin ilk ispatna gre sfrdr. _ f(z)uz0S1n= _ h(z0)(z z0)uz0S1n Olur.hfonksiyonuz0dasreklivedeerisfrolduundan,verilenhere > usaysna karlk yle biro > usays bulunabilir ki bu da, |z z0| < o iin |(z)| < e Olur.nsaysyeterikadarbykseilirse,S1ngeniz0noktasnnkomuluu iine drlebilir (ekil 8.2). ekil 8.2 Bu durumda _ _ h(z0)(z z0)uz0S1n_ _|h(z0)| . |z z0| . |uz|0S1n e .L2n.L2n < e .I24n

Olur. Burada|z z0| usaysnakarlkylebiro > usaysbulunabilirki,|s z| < oiin, |(s) (z)| < e 106 Olur.z + znoktasznoktasnayeteriderecedeyaknseilirseu < |z| < oeitsizlii salanr. Bylece _F(z + z) F(z)z (z)_ 1|z|_ |(s) (z)| .|Js|z+zz