Kona£ne grupe - unizg.hrbombarde/diplomske_teme_2018.pdf · je indeksni skup Ikona£an i tada su bazni okviri upravo sustavi izvodnica promatranog Hilbertovog prostora. U ovom radu

Mentor: Draºen Adamovi¢

Kona£ne grupe

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: Poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis: U diplomskom radu prou£avali bi se osnovni koncepti iz teorije kona£nih grupa, testrukture vezane za njih. Ovisno o anitetu studenta, prou£avala bi se strukturna teorijakona£nih grupa ili teorija reprezentacija ovih grupa.

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

1


Poluprosti prstenovi

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu bit ¢e prou£avani poluprosti prstenovi, poluproste algebre injihovi primjeri. Oviano o anitetu studenta, naglasak ¢e biti dan na strukturnu teoriju,konstrukciju ili klasikaciju tih prstenova

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

2


Weylove algebre

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu ¢e se prou£avati osnovne konstrukcije povazane s Weylovomalgebrom. Weylova algebra bit ¢e denirana kao kvocijent tenzorske algebre. Ovisnoo anitetu studenta, bit ¢e prou£avane kvantne Weylove algebre, teorija reprezentacijaWeylovih algebri i veza s teorijom Liejevih algebri.

Literatura:

T. Y. Lam, A rst course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts inmathematics. 2ed. Springer, 2001. p.6J. C. McConnell, J. C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, Graduate Studies inMathematics, Vol 30, AMS, 1997N. Jing, J. Zhang, Quantum Weyl algebras and deformations of U(G)), Pacic Journalof Mathematics Vol. 171., No.2, 1995

3


Tenzorske algebre i primjene

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu prou£avale bi se algebarske strukture usko vezane s tenzor-skim produktom vektorskih prostora i modula. Naglasak ¢e biti dan na strukturnu teorijutenzorske algebre, te na vanjsku i simetri£nu algebru. Ovisno o anitetu studenata, pro-u£avale bi se i primjene ovih algebri u teoriji reprezentacija.

Literatura:

W. H. Greub. Multilinear algebra. Springer, 1967.S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

4

Mentor: Nenad Antoni¢

Razlomljene derivacije i primjene

Podru£je: matemati£ka analiza, matemati£ko modeliranje u zici

Prikladno za studij: svi smjerovi

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral

Opis: Razlomljene derivacije se u matematici prou£avaju od devetnaestog stolje¢a, da bitek nedavno postale izvor novih modela u zici i inºenjerskim strukama.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

R. Hilfer (ur.): Applications of fractional calculus in physics, World Scientic, 2000.S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives - Theoryand application, Gordon and Breach, 1993.K. B. Oldham, J. Spanier: The fractional calculus - Theory and applications of dieren-tiation and integration to arbitrary order, Academic Press, 1974.

5


Degenerirana difuzija

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Jednadºba provoenja topline prototip je za paraboli£ke parcijalne diferencijalnejednadºbe. Meutim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije pokazuje druga svojstva,koja se mogu opisati nelinearnom jednadºbom oblika ut = divgrad(um). Za m > 1 imamosporu difuziju (jednadºbu porozne sredine), za mc < m < 1 nadkriti£nu brzu difuziju, aza m ≤ mc podkriti£nu brzu difuziju (mc = (d− 2)+/d).Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

P. Daskalopoulos, C. E. Kenig: Degenerate diusion, EMS, 2007.

6


Tricomijeva jednadºba

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Tricomijeva jednadºba, koja mijenja tip, je jednostavan model za prijelaz iz pod-zvu£nog toka u nadzvu£ni tok uida.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

A. Kuz'min: Boundary-value problems for transonic ow, Wiley, 2002.J. M. Rassias: Lecture notes on mixed type partial dierential equations, World Scientic,1990.

7


Matemati£ki modeli u klimatologiji

Podru£je: matemati£ko modeliranje u geozici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: Klimatologija prou£ava vremenske uvjete tijekom duljeg vremenskog perioda. Raz-li£iti klimatolo²ki modeli, temeljeni na razli£itim matemati£kim tehnikama, se koriste zaprou£avanje dinamike vremena i klimatskih sustava, s ciljem projekcija na budu¢e vre-menske uvjete.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

H. Kaper, H. Engler: Mathematics & Climate, SIAM, 2013.A. E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics, Academic Press, 1982.

8


Matemati£ki pristup relativisti£koj elektrodinamici

Podru£je: matemati£ko modeliranje u zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Diferencijalna geometrija

Opis: Neki zikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadºbi, koje su invarijantne na Lo-rentzove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, posebno seelegantno mogu zapisati kori²tenjem diferencijalnih formi.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

S. Parrott: Relativistic electrodynamics and dierential geometry, Springer, 1987.P. Bamberg, S. Sternberg: A course in mathematics for students of physics 1,2; Cam-bridge, 1988.C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation, Freeman, 1973.

9

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

Totalno pozitivne matrice

Student: Nives Kunja²i¢

Podru£je: linearna algebra

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Preduvjeti: nema

Opis: Matrica A ∈ Mmn je totalno pozitivna ako su sve njene minore pozitivni brojevi.Jedna od najpoznatijih takvih matrica je Pascalova matrica. U radu bi se prou£ila svoj-stva, primjeri i konstrukcije totalno pozitivnih matrica.

Literatura:

T. Ando, Totally positive matrices, Linear Algebra Appl. 90 (1987), 165219.S. Fomin, A. Zelevinsky, Total positivity: tests and parametrizations, Math. Intelligencer22 (2000), 2333.A. Pinkus, Totally Positive Matrices, Cambridge University Press, 2009.

10


Osnovni teorem algebre

Student: Maja Horvat

Podru£je: matemati£ka analiza


Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu prou£avao bi se jedan od temeljnih teorema analize - osnovni teoremalgebre. Ovaj teorem se moºe dokazati na razne na£ine i jedan od ciljeva rada je prezenti-rati one najzanimljivije. Takoer bi se razmotrila mogu¢nost upoznavanja srednjo²kolskihu£enika s ovim teoremom kao i razlozi zbog kojih bi u£enici mogli imati pote²ko¢e u nje-govom razumijevanju.

Literatura:

L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.J. W. Dawson,Why prove it again? Alternative proofs in mathematical practice, Springer,Cham, 2015.K. Conrad, The fundamental theorem of algebra via linear algebra,http://www.math.uconn.edu/ kconrad/blurbs/fundthmalg/fundthmalglinear.pdf

11


Baselski problem

Student: Valentina Tisani¢



Preduvjeti: nema

Opis: Baselski problem prou£ava konvergentni red∑∞

n=11n2 i vrijednost njegove sume.

U radu ¢e se prou£iti povijesni podaci o ovom problemu, kao i razni dokazi tvrdnje da je∑∞n=1

1n2 = π2

6.

Literatura:

R. Chapman, Evaluating ζ(2), 2003.http://secamlocal.ex.ac.uk/people/sta/rjchapma/etc/zeta2.pdfB. R. Choe, An Elementary Proof of

∑n−2 = π2

6, American Mathematical Monthly, 94,

662663, 1987.D. Kalman, Six ways to sum a series, The College Mathematics Journal, November 1993,24 (5), 402421.

12


Bazni okviri kona£nodimenzionalnih Hilbertovih prostora

Student: Marija Kolarek



Preduvjeti: nema

Opis: Niz vektora (xn)n∈I Hilbertovog prostora H je bazni okvir za H ako postoje kons-tante A,B > 0 takve da za sve x ∈ H vrijedi

A‖x‖2 ≤∑n∈I

|〈x, xn〉|2 ≤ B‖x‖2.

O£ito, bazni okviri generaliziraju pojam ortonormirane baze Hilbertovog prostora. Bazniokvir ne mora £initi linearno nezavisan skup vektora, ali se svaki vektor prostora moºeprikazati pomo¢u vektora baznog okvira. Ako je dimH < ∞ tada podrazumijevamo daje indeksni skup I kona£an i tada su bazni okviri upravo sustavi izvodnica promatranogHilbertovog prostora. U ovom radu ¢emo upoznati osnovna svojstva i primjere, kao i nekeposebne klase baznih okvira.

Literatura:

P. G. Casazza, J. Kova£evi¢, Finite frames, in Applied and numerical harmonic analysis(Theory and Applications), Springer, 2013.W. Czaja, J. H. Tanis, Kaczmarz algorithm and frames, Int. J. Wavelets Multireso-lut. Inf. Process. 11 (2013), no. 5, 13 pp.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Student Mathe-matical Library, 40. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

13

Mentor: Damir Baki¢

Parsevalovi bazni okviri Hilbertovih prostora

Student: Matko Grbac

Podru£je: Funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Opis: Niz vektora (fn)n u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za H ako postojekonstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H. Ako

vrijedi samo druga nejednakost, kaºemo da je niz (fn)n Besselov. Ako je A = B = 1,tj. ako vrijedi

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2 = ‖x‖2, ∀x ∈ H, kaºemo da je (fn)n Parsevalov bazni okvir.

U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira i posebno Parsevalovih baz-nih okvira. Nakon toga opisat ¢e se bazni okviri koji posjeduju Parsevalov dual, opisat ¢ese Besselovi nizovi koji dopu²taju kona£no pro²irenje do Parsevalovog baznog okvira, te¢e se dokazati i analizirati fundamentalna jednakost za Parsevalove bazne okvire.

Literatura:

C. Heil, A basis theory primer, Birkhäuser, 2011.O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)D. Baki¢, Notes on frames, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)

14


Gaborovi bazni okviri

Student: Luka Cigler



Opis: Niz vektora (fn)n u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za H ako postojekonstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H.

Za pozitivne realne parametre a i b Gaborov sistem generiran funkcijom g ∈ L2(R) je nizG(g, a, b) = (MmbTnag)m,n∈Z pri £emu su Mmb i Tna operatori modulacije i translacije.

U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira apstraktnih Hilbertovihprostora. Nakon toga opisat ¢e se osnovna svojstva i izloºiti temeljni rezultati o Gaborovimbaznim okvirima u L2(R) i njihovim generatorima, tj. o funkcijama g ∈ L2(R) za koje jeuz odabrane vrijednosti parametara a i b sistem G(g, a, b) bazni okvir za Hilbertov prostorL2(R).

Literatura:

C. Heil, A basis theory primer, Birkhäuser, 2011.O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)D. Baki¢, Notes on frames, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)

15


Saºeto uzorkovanje

Student: Marco Hrli¢



Opis: Osnovna zada¢a u procesiranju signala je rekonstrukcija signala iz izmjerenih po-dataka. Ako je veza linearna potrebno je rije²iti jednadºbu Ax = y, gdje je x ∈ MN ,A ∈MmN i y ∈Mm. Ako je m < N elementaran rezultat linearne algebre nam govori daje ovaj sistem "neodreen", tj. da postoji beskona£no mnogo rje²enja x. Drugim rije£ima,bez nekih dodatnih informacija nemogu¢e je u tom slu£aju jednozna£no rekonstruirati sig-nal x iz podataka y. Jedna od takvih dodatnih pretpostavki pod kojima je rekonstrukcijane samo mogu¢a, nego za nju postoje i efektivni algoritmi je pretpostavka da je signal ri-jedak. Signal zovemo rijetkim ako je ve¢ina njegovih komponenti jednaka 0. Metode kojese bave rje²avanjem problema ovakve vrste poznate su pod zajedni£kim imenom saºetouzorkovanje.

U radu ¢e se izloºiti osnove ove teorije. Nakon toga opisat ¢e se neki od standardnihalgoritama za rje²avanje neodreenih sustava uz dodatnu pretpostavku rijetkosti signalakoje rekonstruiramo.

Literatura:

C. Heil, A basis theory primer, Birkhäuser, 2011.S. Foucart, H. Rauhaut, A mathematical introduction to compressive sensing, Birkhäuser,2013.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)

16


Neto premije i matemati£ke rezerve osnovnih oblika ºivotnihosiguranja

Student: Nikolina alkovi¢

Podru£je: Financijska matematika

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika

Opis: U radu ¢e se najprije opisati teorijski elementi osnovnih oblika ºivotnih osiguranja:doºivotnih renti i osiguranja za slu£aj smrti. Nakon toga izloºit ¢e se osnovne £injenice ostrukturi i konstrukciji tablica smrtnosti.

U centralnom dijelu rada izvest ¢e formule za sada²nje vrijednosti (tj. neto premije) os-novnih oblika ºivotnih osiguranja kao i za iznos potrebne matemati£ke rezerve u svakomdanom tenutku nakon sklapanja police ºivotnog osiguranja.

Literatura:

S.d. Promislow, Fundamentals of actuarial mathematics, Wiley, 2010.A. Neill, Life contingencies, Heinemann 1977.

17

Mentor: Bojan Basrak

Svojstvene vrijednosti kovarijacijskih matrica za razdiobe te²kihrepova

Student: Ante terc

Podru£je: Vjerojatnost, Slu£ajni procesi

Preduvjeti: Slu£ajni procesi

Prikladno za studij: Svi studiji

Opis: Asimptotsko pona²anje svojstvenih vrijednosti slu£ajnih kovarijacijskih matricarastu¢ih dimenzija jedna je od izazovnijih i aktuelnijih tema u suvremenoj teoriji vjero-jatnosti. Problem je inicijalno prou£avan u kontekstu tzv. gaussovskih matrica, gdje jeJohnston (2001) dokazao teorem o pona²anju vode¢e svojstvene vrijednosti. Taj rezul-tat su pro²irili Tao i Vu koriste¢i momente razdiobe opaºanja. U kontekstu razdioba sregularno variraju¢im repovima, analiza se £ini ne²to jednostavnijom, iako je inicijalni re-zultat pokazan kasnije, v. Soshnikov (2004). U tom smjeru posljednjih godina postignutje zna£ajan progres, pogotovo u radovima Davisa, Mikoscha, Heinyja i njihovih suradnika.Prikaz nekih od ovih rezultata s evt. nazna£enim idejama dokaza i njihova ilustracija nasimuliranim i/ili stvarnim podacima ciljevi su ovog diplomskog rada.

Literatura:

Heiny, J. (2017). Extreme Eigenvalues of Sample Covariance and Correlation Matrices. Doctoral dissertation, University of Copenhagen.Heiny, J., i Mikosch, T. (2017). Eigenvalues and eigenvectors of heavy-tailed sample co-variance matrices with general growth rates: the iid case. Stochastic Processes and theirApplications, 127(7), 2179-2207.Sarapa, N. (2003) Teorija vjerojatnosti, kolska knjiga.

18


Primjena teorije ekstremnih vrijednosti na rekorde u atletici

Student: Lara igir

Podru£je: Vjerojatnost, Statistika

Preduvjeti: Matemati£ka statistika


Opis: Teorija ekstremnih vrijednosti se korsti za modeliranje i procjenu razdiobe eks-tremnih opaºanja u raznim podru£jima, od klimatologije do nancija. Einmahl i Magnussu 2008. godine ovu teoriju primijenili da bi odredili postoje li apsolutne ograde na vrijed-nosti mogu¢ih svjetskih rekorda u raznim atletskim disciplinama. Rad bi trebao prikazatiosnovne ideje teorije ekstremnih vrijednosti i nakon toga detaljno opisati statisti£ke me-tode i modele kori²tene u radu Einmahl i Magnus (2008). Rad bi trebao metode ilustriratina dostupnim stvarnim podacima odn. na podacima simuliranim iz pretpostavljenog mo-dela.

Literatura:

Coles, S (2001). An introduction to statistical modeling of extreme values. London: Sprin-ger.Einmahl, J. H., i Magnus, J. R. (2008). Records in athletics through extreme-value the-ory. Journal of the American Statistical Association, 103(484), 1382-1391.Reiss, R. D. i Thomas, M. (2007). Statistical analysis of extreme values. Basel: Birkhäu-ser.Resnick, S. (2007). Heavy Tailed Phenomena. Springer.

19


Permutacijski i randomizacijski testovi


Preduvjeti: Matemati£ka statistika


Opis: Permutacijski testovi u mnogim primjenama nude jednostavniji i robusniji na£inodreivanja pvrijednosti pojedinih statisti£kih testova. Poznato je npr. da permutacij-ski ttest na dva uzorka ima nivo zna£ajnosti α kad god oba uzorka imaju istu razdiobu.Randomizacijski testovi su op¢enitiji i zasnivaju se na izra£unu testne statistike na raz-nim slu£ajnim transformacijama podataka. Upotreba im je sve ra²irenija zahvaljuju¢i sveve¢oj dostupnosti brzih ra£unala. Lehmann i Romano (2006) opisuju generi£ku konstruk-ciju permutacijskih/randomizacijskih testova sa zadanim nivoom zna£ajnosti i studirajunjihova teoretska svojstva. Diplomski rad bi trebao prikazati teorijsku pozadinu ovih tes-tova i njihovu primjenu u statistici.

Literatura:

Lehmann, E. L., i Romano, J. P. (2006). Testing statistical hypotheses. Springer.Chung, E., i Romano, J. P. (2013). Exact and asymptotically robust permutation tests.The Annals of Statistics, 41(2), 484-507.

20

Mentor: Tomislav Beri¢

Numeri£ka slika operatora i matrica

Podru£je: Linearna algebra


Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis: Numeri£ka slika operatora A ∈ L(X) je podskup W (A) = 〈Ax, x〉 : ‖x‖ = 1kompleksne ravnine C. U ovom radu cilj je prou£iti svojstva numeri£ke slike i njenu vezusa spektrom operatora. Poseban naglasak ¢e biti na prou£avanju oblika numeri£ke slike i²to iz njega moºemo zaklju£iti o svojstvima operatora.

Literatura:

K. E. Gustafson, D. K. M. Rao, Numerical Range: The Field of Values of Linear Operatorsand Matrices, Springer, 1996.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, 1990.

21


Ortogonalnost u normiranim prostorima



Preduvjeti: Normirani prostori

Opis: Za dva vektora iz unitarnog prostora kaºemo da su ortogonalni ako je njihovskalarni produkt jednak nuli. Na normiranim prostorima na kojima nemamo skalarniprodukt, ortogonalnost se moºe denirati na razne na£ine koji se podudaraju sa stan-dardnom ortogonalno²¢u u slu£aju unitarnih prostora. U ovom radu ¢e se prou£iti nekaod tih poop¢enja, poput BirkhoJamesove i Robertsove ortogonalnosti. Izloºit ¢e sekarakterizacije tih ortogonalnosti i istraºiti njihova svojstva.

Literatura:

J. Alonso, H. Martini, S.L. Wu, On Birkho orthogonality and isosceles orthogonality innormed linear spaces, Aequationes Mathematicae, vol. 83, no. 12, str. 153189 (2012)J. Sikorska, Orthogonalities and functional equations, Aequationes Mathematicae, vol. 89,no. 2, str. 215277 (2015)

22


Schurov komplement

Podru£je: Linearna algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Za blok matricu M =

[A BC D

]s regularnim blokom A, Schurov komplement

od A denira se kao matrica M/A := D − CA−1B. Cilj ovog rada je prou£iti primjeneSchurovog komplementa u ra£unanju determinanti, inverza i ranga matrice te rje²avanjusustava linearnih jednadºbi.

Literatura:

F. Zhang, The Schur Complement and Its Applications, Springer, 2005.

23


Lpprostori

Podru£je: Analiza, Funkcionalna analiza



Opis: U ovom radu ¢e se najprije izloºiti osnovni rezultati vezani za mjeru i integral.Zatim ¢e se prou£iti svojstva Lpprostora, meusobni odnos tih prostora za razli£ite eks-ponente p, te njihovi dualni prostori. Na kraju ¢e se izloºiti interpolacijski teoremi zaLpprostore.

Literatura:

G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley, 1999.G. Pedersen, Analysis now, Springer, 1996.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, 1990.

24

Mentor: Mea Bombardelli

Geogebra - primjena u nastavi matematike i zike

Student: Maja itko

Podru£je: metodika nastave matematike i zike

Prikladno za studij: Matematika i zika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: nema

Opis: Program Geogebra jedan je od programa dinami£ke geometrije u ²irokoj upotrebiu na²im ²kolama, ponajvi²e u obradi nastavnih sadrºaja iz geometrije. U ovom diplom-skom radu prikazat ¢e se dodatne mogu¢nosti primjene Geogebre u nastavi na primjerimaodabranih nastavnih jedinica iz matematike i zike.

Literatura:

udºbenici za osnovnu i srednje ²kole

25


Upisana i pripisane kruºnice trokuta

Student: Anamarija Be²eni¢

Podru£je: geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu prou£it ¢e se svojstva upisane kruºnice i pripisanih kruºnica trokuta,te njihovih sredi²ta.

Literatura:

D. Palman: Trokut i kruºnica, Element, 2004.i drugi izvori

26


Formule za povr²inu trokuta

Student: Lidija Soki¢

Podru£je: elementarna geometrija, metodika nastave matematike


Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu dat ¢e se pregled razli£itih formula za povr²inu trokuta koje seobrauju u ²kolama. Opisat ¢e se obrada odgovaraju¢ih nastavnih jedinica u osnovnim isrednjim ²kolama.

Literatura:

udºbenici, internet

27


Caseyev teorem

Student: Adam Nagla²



Preduvjeti: nema

Opis: Caseyev teorem je gemeralizacija Ptolomejevog teorema o tetivnom £etverokutuu kojoj su vrhovi £etverokuta zamijenjeni kruºnicama. U radu ¢e se dokazati Caseyevteorem i prikazati njegova primjena na odabranim primjerima.

Literatura:

S. Shirali, On the Generalized Ptolemy Theorem, https://cms.math.ca/crux/v22/n2/page49-53.pdfL. González,Casey's Theorem and its Applications, http://geometry.ru/articles/Luis_Casey.pdf

28

Mentor: Nela Bosner

To£nost i numeri£ka stabilnost direktnih metoda za rje²avanjesustava linearnih jednadºbi

Student: Diana enjug

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Financijska i poslovna matematika, Ra-£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i2, Znanstveno ra£unanje 1 i 2.

Opis: Glavna tema ovog rada je to£nost koju moºemo o£ekivati kada sustav linearnih jed-nadºbi Ax = b, gdje je A ∈ Rn×n, rje²avamo u aritmetici kona£ne preciznosti na ra£unalu.Kao prvo, obradila bi se teorija perturbacija za sustave linearnih jednadºbi u kojoj se dajeodgovor na pitanje koliko je rje²enje sustava osjetljivo na perturbacije ulaznih podatakaA i b. Nadalje, ta teorija daje povratnu gre²ku izra£unate aproksimacije rje²enja, i pro-cjenjuje ogradu na njezinu gre²ku unaprijed. Nakon toga posvetilo bi se analizi numer£kestabilnosti direktnih metoda za rje²avanje sustava, baziranih na LU faktorizaciji. Ta ana-liza daje povratnu gre²ku za dobivenu aproksimaciju rje²enja preko direktne metode, kojese potom moºe uklopiti u teoriju perturbacija za dobivanje gre²ke unaprijed. Rezultatanalize detektira koji parametri mogu utjecati na numeri£ku stabilnost algoritma. Nakraju bi se teorija ilustrirala konkretnim primjerima izraenim u MATLABu.

Literatura:

N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second edition, SIAM,Philadelphia, 2002.

29

Mentor: Nela Bosner

Inverzni problemi velikih dimenzija kod obrade slika

Student: Goran Jeli£i¢

Podru£je: znanstveno ra£unanje, numeri£ka analiza, obrada slika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2, Znanstveno ra£unanje1 i 2.

Opis: Inverzni problemi velikih dimenzija pojavljuju se u razli£itim primjenama u sklopuobrade slika. Zbog numeri£ke osjetljivosti rje²avanja takvih problema, ekasne metoderegularizacije su potrebne kako bi se izra£unala suvisla rje²enja. Ovaj rad dao bi pre-gled nekoliko uobi£ajenih matemati£kih modela, uklju£uju¢i linearni model, separabilannelinearan model, i op¢eniti nelinearan model. Razmotrit ¢e se tehnike regularizacije iimplementacije problema velikih dimenzija, sa posebnim fokusom na algoritme koje moguiskoristiti speci£nu strukturu problema. Mogu¢nosti i potencijal opisanih algoritamailustrirat ¢e se primjerima iz dekonvolucije slika, slijepe dekonvolucije slika sa vi²e okvira,i tomosinteze. Na kraju bi se teorija ilustrirala konkretnim primjerima izraenim u MA-TLABu.

Literatura:

O. Scherzer, ed., Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Second edition, Springer,New York, 2015.

30

Mentor: Nela Bosner

Blokirani algoritmi za QR faktorizaciju

Student: Ivan Ki²

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza, znanstveno ra£unanje



Opis: QR faktorizacija matrice jako je vaºan alat u numeri£koj linearnoj algebri, zatoje bitno da se algoritam za njeno ra£unanje implementira na ekasan na£in. Standardnina£in ra£unanja QR faktorizacije je primjena niza elementarnih ortogonalnih transforma-cija na matricu, i to Householderovih reektora ili Givensovih rotacija. Meutim, njihovaprimjena je prili£no neekasna jer se bazira na BLAS 1 i BLAS 2 operacijama. Ovajrad obradio bi blokirane verzije QR algoritama koji se oslanjaju na BLAS 3 operacije iekasno koriste brzu cache memoriju. To zna£i da se algoritam mora restrukturirati nana£in da se stupci organiziraju u blokove koji se najprije obrade, a tek onda se ostatakmatrice aºurira kori²tenjem matri£no-matri£nog mnoºenja. Na taj na£in smanjuje se ko-munikacija izmeu brze cache memorije i sporije RAM memorije. Za algoritam baziranna Householderovim reektorima opisat ¢e se dvije verzije blokiranja: pomo¢u WY repre-zentacije produkta reektora, i pomo¢u VTV reprezentacije produkta koji koristi manjememorije od WY. Za algoritam baziran na Givensovim rotacijama, takoer ¢e se opisatigeneriranje akumuliranih rotacija u obliku matrica malih dimenzija. Na kraju bi se teorijailustrirala konkretnim primjerima izraenim u C-u, i usporeivanjem vremena izvr²avanjaneblokiranih i blokiranih verzija algoritma.

Literatura:

C. Bischof, C. F. van Loan, The WY representation for products of Householder matrices,SIAM J. Sci. Stat. Comput., Vol 8, 1987, p. s2s13.R. Schreiber, C. F. van Loan. A storageecient WY representation for products ofHouseholder transformations, SIAM J. Sci. Stat. Comput. Vol 10, 1989, p. 5357.B. Lang, Using level 3 BLAS in rotation-based algorithms, SIAM J. Sci. Comput., Vol19, 1998, p. 626634.

31

Mentor: Nela Bosner

Paralelni algoritmi za QR faktorizaciju

Student: Vedran Rukavina

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza, znanstveno ra£unanje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Ra£unarstvo i matematika


Opis: QR faktorizacija matrice jako je vaºan alat u numeri£koj linearnoj algebri, zatoje bitno da se algoritam za njeno ra£unanje implementira na ekasan na£in. Standardniserijski algoritimi bazirani su na blokiranju Householderovih reektora i Givensovih rota-cija, na na£in da optimiziraju komunikaciju izmeu brze cache memorije i sporije RAMmemorije na CPU. Ovaj rad obradio bi paralelne algoritme za ra£unanje QR faktorizacijena vi²ejezgrenim arhitekturama ili gra£kim karticama (GPU). Kod paralelnih algoritamaoptimizacija komunikacije meu procesima ili dretvama, kao i meu nivoima sloºene hije-rarhije memorije od presudne je vaºnosti. Zbog toga bi se opisale varijante QR algoritmakoje reorganiziraju cijeli postupak u podzadatke koji se mogu neovisno i paralelno odvijati.Glavna ideja je ²to vi²e podzadataka izvr²iti paralelno ili minimizirati koli£inu podatakakoja se ²alje izmeu procesora kao i prema globalnoj memoriji. Algoritmi bi se implemen-tirali u C-u sa CUDA su£eljem, a njihova bi se ekasnost zatim usporedila sa ekasno²¢ustandardnih algoritama.

Literatura:

J. W. Demmel, L. Grigori, M. F. Hoemmen, J. Langou, Communication-optimal paralleland sequential QR and LU factorizations, LAPACK Working Notes #204, 2008.B. Hadri, H. Ltaief, E. Agullo, J. Dongarra, Enhancing parallelism of tile QR factorizationfor multicore architectures, LAPACK Working Notes #222, 2009.M. Anderson, G. Ballard, J. Demmel, K. Keutzer, Communicationavoiding QR decom-position for GPUs, LAPACK Working Notes #240, 2011.A. R. Benson, D. F. Gleich, J. Demmel, Direct QR factorizations for tall-and-skinny ma-trices in MapReduce architectures, https://arxiv.org/abs/1301.1071J. J. Modi, M.R.B. Clarke, An alternative Givens ordering, Numerische Mathematik, Vol43, 1984, p. 83-90.M. Hofmann, E. J. Kontoghiorghes, Pipeline Givens sequences for computing the QRdecomposition on a EREW PRAM, Parallel Computing, Vol. 32, 2006, p. 222230.

32

Mentor: Tina Bosner

Usporedba metoda za promjenu razlu£ivosti slike

Student: Lovre Grzunov

Podru£je: Ra£unarstvo i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika, Matematikai informatika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Numeri£ka matematika ili Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: esto je potrebno promijeniti razlu£ivost slike, i postoji puno metoda koje se ko-riste u tu svrhu. Po²to se o£ekuje da se ovakvi algoritmi izvr²avaju u realnom vremenu,oni moraju biti brzi i ekasni. Ovaj diplomski rad ¢e se uglavnom fokusirati na metodebazirane na interpolaciji i histopolaciji, te usporediti njihovu ekasnost na konkretnimprimjerima.

Literatura:

1. H. S. Hou, H. C. Andrews: Cubic Splines for image Interpolation and DigitalFiltering, IEEE Trans Acoust, 26 (6) (1978)

2. R. g. Keys: Cubic Convolution Interpolation for Digital Image Processing, IEEETrans Acoust, 29 (6) (1981)

3. I. J. Schoenberg: Splines and histograms, in Spline Function and ApproximationTheory, vol. 21 of ISNM, Birkhaäuser 630 Verlag Basel und Stuttgart, str. 277358(1973)

33

Mentor: Tina Bosner

Odreivanje vidljivih ploha

Podru£je: Ra£unarstvo i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: po mogu¢nosti Ra£unalna graka

Opis: Za dani skup 3D objekata i danu projekciju, ºelimo odrediti koje linije ili plohe suvidljive iz sredi²ta projekcije ili duº pravaca projekcije, tako da se mogu prikazati samoone koje to jesu. Ideja ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko razli£itih algoritamakoji se bave tim problemom.

Literatura:

1. J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principlesand Practice, AddisonWesley (2005)

34

Mentor: Tina Bosner

Globalno konvergentne modikacije Newtonove metode

Podru£je: Numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primjenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poººeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni se dosta £esto pojavljuje potreba za rje²avanjem bezuvjtenih minimiza-cijiskih problema ili rje²avanjem sistema nelinearnih jednadººbi. Za oba problema koristese skoro iste numeri£ke metode, gdje je jedna od najpopulatnijih Newtonova metoda.Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalnekonvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogu¢ih modikacijaNewtonove metode kojima se taj problem rje²ava.

Literatura:

1. J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimiza-tion and Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall,Inc., Englewood Clis, N.J., 1983.)

35

Mentor: Tina Bosner

Numeri£ke metode za rje²avanje obi£nih diferencijalnih jednadºbi


Prikladno za studij: Matematika; smjer: nastavni£ki, Matematika i informatika; smjer:nastavni£ki

Preduvjeti: Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Ovaj diplomski rad zami²ljen je kao pregled naj£e²¢ih numeri£kih metoda, jed-nokora£nih i vi²ekora£nih, za rje²avanje obi£nih digerencijalnih jednadºbi. Uz osvrt naosnovne teorije, vezane uz konvergenciju metoda, prestavila bi se i neka svojstva danihmetoda, te njihove to£nosti, a zatim bi se usporedile njihove ekasnisti na konkretnimprimjerima.

Literatura:

1. M. Schatzman: Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford (2002)

2. E. Isaacson, H. B. Keller: Analysis of Numerical Methods, John Wiley and Sons,London (1966)

3. L. N. Trefethen: Finite Dierence and Spectral Methods for Ordinary and PartialDierential Equations, Cornell University, (1996)

36

Mentor: Franka Miriam Brueckler

Euklidov peti postulat

Student: Mihaela Ra²i¢

Podru£je: povijest matematike, geometrija

Prikladno za studij: svi nastavni£ki studiji

Preduvjeti: Povijest matematike

Opis: Euklid je svojim Elementima, napisanim oko 300. g. pr. Kr., postavio temeljededuktivne logi£ke metode u matematici. Sve je svoje tvrdnje izveo iz samo deset osnovnihtvrdnji, pet aksioma i pet postulata. Pritom je peti Euklidov postulat, poznat kao postulato paralelama, imao dodatni efekt na povijest matematike. Zbog svoje sloºenosti u odnosuna ostale aksiome i postulate ve¢ su se Euklidovi suvremenici pitali radi li se moºdao teoremu, a ne o postulatu. Ovaj diplomski rad opisat ¢e povijest poku²aja dokazatog postulata sve do kona£nog odgovara dobivenog u 19. stolje¢u: Euklidov peti postulatstvarno je postulat, odnosno postoje i geometrije (tzv. neeuklidske) u kojima on ne vrijedi.

Literatura:

F. M. Brueckler: Povijest matematike II. Sveu£ili²te u Osijeku, 2010.F. P. Lewis: History of the Parallel Postulate. Am. Math. Monthly 27 (1920) 1623.R. H. Rolwing, M. Levine: The Parallel Postulate. Math. Teacher 62 (1969) 665669.J. Stilwell: Mathematics and Its History. Springer Verlag, 2010.

37


Bo²kovi¢eva teorija konika

Student: Kristina Ko²i¢-Kancir

Podru£je: povijest matematike, geometrija



Opis: Konike ili krivulje drugog reda poznate su jo² od anti£kih vremena. Ruer Bo-²kovi¢ je pak 1754 u svojem djelu Sectionum conicarum elementa prvi sustavno izloºiopotpunu i originalnu teoriju konika, uz mnogobrojne nove rezultate. Za razliku od svojihprethodnika, sva je svojstva konika izveo konstrukcijama u ravnini, ne pozivaju¢i se nanjihov opis kao presjeka sto²ca s ravninom. U ovom ¢e se radu opisati sadrºaj Bo²kovi-¢eve teorije konika, unutar povijesnog konteksta i uz usporedbu sa dana²njim ²kolskimsadrºajima o konikama.

Literatura:

J. Majcen: Matemati£ki rad Bo²kovi¢ev, dio II. Zagreb 1921.C. Taylor: Ancient and Modern Geometry of Conics. Cambridge, 1881.V. Vari¢ak: Matemati£ki rad Bo²kovi¢ev, dio I. Zagreb 1912.E. M. Langley: The Eccentric Circle of Boscovich. Math. Gazette 32 (1944) 99109.

38


Neformalna vs. formalna matematika

Student: Dominik ulo

Podru£je: metodika nastave matematike, popularizacija matematike


Preduvjeti: Metodika nastave matematike I, Metodika nastave matematike II

Opis: Matemati£ke koncepte poput broja, beskona£nosti, vjerojatnosti, isl. ljudi naivnoshva¢aju i koriste u svakodnevnom ºivotu. Na toj razini, ti koncepti su ¥sto vrlo ogra-ni£eni, nekonzistentni, neprecizni i/ili im se pripisuje krivo zna£enje. S druge strane,matematika je inspirirana tim ograni£enim i naivnim konceptima te ih poku²ava preci-zirati i formalizirati, u£initi ih konzistentnima. Razumjevanje matemati£kih koncepatau kontekstu matematike stoga zahtjeva vi²u razinu apstraktnog mi²ljenja nego u sva-kodnevnom kontekstu. U ovom ¢e radu biti usporeeni razli£iti koncepti iz neformalnematematike, tj. svakodnevno naivno shva¢anje matemati£kih pojmovba, s njihovim for-malnim ekvivalentima. Poseban bi naglasak bio na nejasno¢ama koje mogu nastati akose u nastavi matematike ne isti£u razlike govornog i matemati£kog jezika.

Literatura:

F. A. Doria: Informal versus formal mathematics. Synthese 154 (2007) 401415.B. Bunch: Mathematical Fallacies and Paradoxes. Dover Publ., New York, 1982.A. Viholainen: Prospective Mathematics Teachers' Informal and Formal Reasoning Aboutthe Concepts of Derivative and Dierentiability. Univ. Jyväskylä, 2008., http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep115.pdf.E. Fischbein: The Interaction Between the Formal, the Algorithmic, and the IntuitiveComponents in a Mathematical Activity. U: R. Biehler, R.W. Scholz, R. Straser, B. Win-kelmann (ur.), Didactics of mathematics as a scientic discipline, Kluwer, Dordrecht,1994, 231245.

39


Matematika salse

Student: Andrea Drezga

Podru£je: popularizacija matematike, geometrija


Preduvjeti: Algebarske strukture, Kombinatorna i diskretna matematika, Elementarnageometrija

Opis: Poznato je da mnogi matemati£ari vole glazbu, a i da postoje dublje veze izmeumatematike i glazbe. Poveznice plesa i matematike bitno su rjee i u pravilu se svode naspomenute veze glazbe i matematike. Prije nekoliko godina matemati£ari von Renesse iEcke otkrili su jednu od rijetkih iznimki, a vezana je za popularni ples salsa, koji kao malokoji drugi ºivi od razlikovanja pozicija s obzirom na odnos pozicija ruku oba partnera iodnos tko koga gleda u lice ili u lea. U ovom ¢emo radu kombinatornim i simetrijskimargumentima odgovoriti na pitanje: Koliko je razli£itih pozicija u salsi? Uz taj glavnisadrºaj bit ¢e opisani i drugi, prvenstveno geometrijski i simetrijski, aspekti vezane zaples salsu i odgovaraju¢u glazbu.

Literatura:

C. v. Renesse, V. Ecke: Mathematics and Salsa Dancing. J. Math. Arts 5 (2011) 1728C. v. Renesse: Discovering the Art of Mathematics Dance. https://www.artofmathematics.org/books/dance, 2016.G. Toussaint: A Mathematical Analysis of African, Brazilian and Cuban Clave Rhythms.http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/publications/clave.pdf, 2002.

40


Fibonaccijeva Practica Geometriae

Student: Mihaela imi¢

Podru£je: povijest matematike



Opis: Dobro je poznato da je u £itavom europskom srednjem vijeku djelovao samo jedanistaknuti matemati£ar: Leonardo iz Pise, poznatiji kao Fibonacci. Uz Liber Abaci najpoz-natije mu je djelo Practica Geometriae. Cilj je ovog diplomskog rada opisati sadrºaj togdjela u njegovom povijesnom kontekstu i uz usporedbu s modernim ²kolskim sadrºajima.

Literatura:

B. Hughes (ur.): Fibonacci's Practica Geometriae. Springer, 2008.F. M. Brueckler, Povijest matematike I, Sveu£ili²te u Osijeku, 2014.MacTutor History of Mathematics Archive: Leonardo Pisano. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html

41

Mentor: Zvonimir Bujanovi¢

Algoritmi za particioniranje grafova

Student: Ana Ivekovi¢

Podru£je: Ra£unarstvo


Preduvjeti: nema

Opis: Problem particioniranja teºinskog grafa sastoji se u pronalaºenju particije skupavrhova na k podskupova, tako da bude zadovoljen izvjesni uvjet optimalnosti. Ovaj pro-blem javlja se u mnogim prakti£kim primjenama: socijalne mreºe, transportne mreºe,problem odreivanja PageRank-a, redukcija dimenzije prilikom dizajna integriranih kru-gova, te segmentacija slike samo su neki primjeri. Particioniranje grafa je tipi£no NP-teºakproblem, pa se za pristup rje²avanju koriste heuristi£ki i aproksimacijski algoritmi.

Cilj ovog diplomskog rada je opisati neke od standardnih algoritama za rje²avanje pro-blema particioniranja grafa, poput algoritama Kernighana i Lina, te Fiduccia i Matt-heysesa, algoritama vi²e razina (engl. multi-level), te spektralnog particioniranja. Student¢e implementirati i usporediti performanse nekih od navedenih algoritama.

Literatura:

C. Bichot, P. Siarry: Graph Partitioning, Wiley, 2011C. Schulz: Course Notes: Graph Partitioning and Graph Clustering in Theory and Prac-tice, Karlsruhe Institute of Technology, 2016A. Buluç, H. Meyerhenke, I. Safro, P. Sanders, C. Schulz: Recent Advances in Graph Par-titioning, Algorithm Engineering: Selected Results and Surveys, Springer-Verlag, 2016

42


Klijentske web-aplikacije i vue.js

Student: Ana Vidovi¢



Preduvjeti: poznavanje programskog jezika JavaScript

Opis: Moderne web-aplikacije zahtijevaju izradu sve sloºenijih korisni£kih su£elja. Sdruge strane, aplikacijska logika se takoer premje²ta sa serverske na klijentsku stranu,uz web-stranice koje simuliraju klasi£ne aplikacije sa stolnih ra£unala. Kod takvih web-aplikacija, sav kod se dohva¢a jednim zahtjevom prema web-serveru, a dodatni resursise na stranicu u£itavaju i dodaju dinami£ki, obi£no kao reakcija na akcije korisnika. Sviovi trendovi rezultiraju znatno sloºnijim kodom na klijentskoj strani web-aplikacije, pasu se pojavili brojni razvojni okviri koji olak²avaju njezinu izradu. U zadnje vrijeme napopularnosti znatno dobiva razvojni okvir vue.js, £ija je primarna namjena elegantna ijednostavna izrada korisni£kog su£elja web-aplikacije i njegovo lako povezivanje s aplika-cijskom logikom.

Cilj ovog diplomskog rada je opisati razvojni okvir vue.js i istaknuti razliku u dizajnuweb-aplikacija koje prenose aplikacijsku logiku na klijentsku stranu u odnosu na klasi£neweb-aplikacije. Student ¢e demonstrirati mogu¢nosti ovog razvojnog okvira izradom od-govaraju¢e sloºenije web-aplikacije.

Literatura:

Web stranice projekta vue.js, https://vuejs.org/Dokumentacija razvojnog okvira vue.js, https://vuejs.org/v2/guide/Learn Vue 2: Step By Step,https://laracasts.com/series/learn-vue-2-step-by-step

43


Izrada web-aplikacija pomo¢u Laravela

Student: Stjepan Zbiljski



Preduvjeti: poznavanje programskog jezika PHP

Opis: PHP je jedan od najra²irenijih programskih jezika za razvoj web-aplikacija. Kaopomo¢ pri izradi sve sloºenijih aplikacija, pojavili su se brojni razvojni okviri koji ubr-zavaju njihovu implementaciju i pomaºu pri organizaciji koda. Jedan od najpopularnijihrazvojnih okvira za PHP je Laravel. Laravel je besplatni, open-source okvir koji sli-jedi arhitekturalni obrazac model-view-controller, donosi mo¢an alat za web-predlo²ke,implementaciju objektno-relacijskog preslikavanja (ORM) za komunikaciju s bazom po-dataka, te brojne druge mogu¢nosti koje se zahtijevaju od moderne platforme za razvojweb-aplikacija.

Cilj ovog diplomskog rada je napraviti pregled okvira Laravel, te demonstrirati njegovemogu¢nosti izradom odgovaraju¢e sloºenije web-aplikacije.

Literatura:

M. Stauer: Laravel: Up and Running, O'Reilly Media, 2016.Web stranice razvojnog okvira Laravel, https://laravel.com/docs/5.5Laravel 5.4 From Scratch,https://laracasts.com/series/laravel-from-scratch-2017

44

Mentor: Mario Bukal Suvoditelj: Boris Muha

Matemati£ka analiza Maxwell-Stefanovog sustavavi²ekomponentnih mje²avina

Podru£je: primijenjena matematika; matemati£ka zika

Prikladno za studij: primijenjena matematika; teorijska matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe 1 i 2; Normirani prostori

Opis: Maxwell-Stefanov sustav opisuje dinamiku molarnih koncentracija pojedinih kom-ponenti mje²avine plina. Sustav £ine zakon sa£uvanja mase (jednadºba kontinuiteta) ijednadºbe kemijskih potencijala. Cilj diplomskog rada je provesti detaljnu analizu danogsustava uz odgovaraju¢e po£etno-rubne uvjete. Analiza se sastoji od konstrukcije slabihnenegativnih rje²enja sustava (dokaz egzistencije), dokaza entropijske nejednakosti i ispi-tivanja dugoro£nog pona²anja sustava.

Literatura:

A. Jüngel and I. Stelzer. Existence analysis of Maxwell-Stefan systems for multicompo-nent mixtures. SIAM J. Math. Anal. 45 (2013), 2421-2440.

45

Mentor: Mario Bukal Suvoditelj: Boris Muha

Numeri£ke simulacije Maxwell-Stefanovog sustavavi²ekomponentnih mje²avina

Podru£je: primijenjena matematika; matemati£ka zika

Prikladno za studij: primijenjena matematika; ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe 1 i 2; Numeri£ka analiza

Opis: Maxwell-Stefanov sustav opisuje dinamiku molarnih koncentracija pojedinih kom-ponenti mje²avine plina. Sustav £ine zakon sa£uvanja mase (jednadºba kontinuiteta) ijednadºbe kemijskih potencijala. Cilj diplomskog rada je provesti odgovaraju¢u diskre-tizaciju po£etno-rubnog sustava i dobivenu metodu implementirati u nekoj od bibliotekaza numeri£ko rje²avanje parcijalnih diferencijalnih jednadºbi (FreeFem++, Dune, ...).

Literatura:

A. Jüngel and J.-P. Mili²i¢. Entropy dissipative one-leg multistep time approximations ofnonlinear diusive equations. Numer. Meth. Part. Di. Eqs. 31 (2015), 1119-1149.

46

Mentor: Vedran a£i¢

Strukture podataka i algoritmi u Pythonu

Student: Maja Marija Baruk£i¢



Preduvjeti: nema

Opis: Kolegij Strukture podataka i algoritmi upoznaje studente s nekim najvaºnijimapstraktnim tipovima podataka, njihovim implementacijama, i algoritmima na njima kojise uglavnom prezentiraju u obliku neovisnom o implementaciji. Implementacijski jezik jeC, jer su studenti s njim upoznati na ranijim kolegijima.

Meutim, C zahtijeva razmi²ljanje o mnogim tehni£kim detaljima (kao ²to je upravljanjememorijom), ²to ponekad zamagljuje osnovne ideje, i £ ini algoritme te²kim za pra¢enje.Python je puno bolji jezik za pisanje izvr²ivog pseudokoda kakav je najpotrebniji pritakvoj prezentaciji, i za hvatanje algoritama na njihovoj prirodnoj razini apstrakcije.

Ovaj diplomski rad zami²ljen je kao skripta za imaginarni kolegij, koji pokriva sli£nogradivo kao Strukture podataka i Algoritmi, samo s Pythonom kao implementacijskimjezikom.

Literatura:

Robert Manger, Strukture podataka i algoritmi, skripta; Element, 2014.Brett Slatkin, Eective Python, http://www.effectivepython.com/

47


Pro²ireni modeli teorije skupova

Student: Tin Adle²i¢

Podru£je: Matemati£ka logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: nema

Opis: Nezavisnost i relativna konzistentnost hipoteze kontinuuma jedan je od najvaºnijihrezultata teorije skupova kako zbog lozofskog zna£aja za bit matemati£ke istine, takoi zbog tehnika koje su razvijene za dokaz. Dok je za relativnu konzistenost kori²tenarelativno standardna ideja unutarnjeg (suºenog) modela, za koji je bar na£elno jasnokako je opisati logi£ki (to je zapravo malo generalizirana skolemizacija), za nezavisnost jepotrebno izgraditi pro²ireni model.

Upravo zbog ideje da bi kumulativna hijerarhija trebala biti sveobuhvatna, te²ko jesmisliti tehnike koje proizvode bitno ²ire strukture. Povijesno, prva metoda razvijena utu svrhu je forcing, koji je vrlo tehni£ki i prepun detalja za koje nije a priori jasno kakvuulogu igraju u nalnoj konstrukciji.

Puno motiviraniji pristup, razvijen kasnije, je ²irenje modela u drugom, manje o£ekiva-nom smjeru: generaliziranje pojma istinitosti formule u strukturi, na (skoro) proizvoljnuBooleovu algebru umjesto kanonskog skupa >,⊥. U diplomskom radu trebale bi bitiprezentirane osnovne ideje i rezultati takvog pristupa.

Literatura:

John L. Bell, Set theory: Boolean-valued models and independence proofs, Oxford Uni-versity Press, 2005Anatoly G. Kusraev, Semën S. Kutateladze, Boolean-valued analysis, SpringerScience & Business Media, 2012Thomas Jech, Set Theory, Springer Science & Business Media, 2013

48


Interpreter za λ-ra£un

Student: Sandro Lovni£ki



Preduvjeti: nema

Opis: λ-ra£un Alonza Churcha predstavlja jednu od brojnih formalizacija pojma izra-£unljivosti odnosno algoritma, nastalih sredinom pro²log stolje¢a. Pruºa dobar uvid uesenciju izra£unavanja: primjena funkcija na objekte, zamjenjivanjem vezanih varijabli utijelu funkcije reprezentacijama tih objekata.

Iako bez sumnje izvediv na modernim ra£unalima, i li²en tehni£kih detalja u samoj prezen-taciji, prilikom implementacije pojavljuju se koraci (kao ²to je α-renaming, preimenovanjevezanih varijabli) koje je trivijalno objasniti £ovjeku, ali za£uuju¢e te²ko formalno objas-niti ra£unalu na zadovoljavaju¢i na£in.

Takoer, standardna reprezentacija prirodnih brojeva u λ-ra£unu (Churchovi numerali)je dovoljno dobra za ideju izra£unljivosti, ali bolno neadekvatna za ikakvo prakti£no ra-£unanje.

Diplomski rad (implementacija u Haskellu rudimentarne ljuske za interaktivni rad s λ-ra£unom, s dokumentacijom i primjerima kori²tenja) trebao bi predstaviti ispravno iz-vedeno α-preimenovanje, te istraºiti neke alternativne reprezentacije prirodnih brojeva(recimo, zasnovane na binarnom zapisu) s kojima je mogu¢e doista ra£unati.

Literatura:

Martin Abadi, Luca Cardelli, Pierre-Louis Curien, Jean-Jacques Levy, Ex-plicit substitutions, 1991Hendrik Pieter Barendregt, The Lambda Calculus, its Syntax and Semantics, 1984Mayer Goldberg, An Adequate Left-Associated Binary Numeral System in the λ-Calculus, 1995Benedetto Intrigila, Some Results on Numerical Systems in λ-Calculus, 1994

49


Algoritam Timsort

Student: Mislav Beg



Preduvjeti: Oblikovanje i analiza algoritama

Opis: Sortiranje je jedan od najvaºnijih problema prakti£nog ra£unarstva, koje ima izanimljive teorijske zna£ajke. U po£etku razvoja ra£unarstva, Quicksort Tonyja Hoareabio je prakti£ki najbolje £emu smo se mogli nadati: jednostavan za implementaciju, snajmanjom mogu¢om unutarnjom petljom, bez ikakvih funkcijskih poziva, i orijentiranna minimizaciju broja zamjena elemenata. Ipak, izbor pivota je uvijek sadrºavao elementenagaanja, i kvadratna sloºenost u najgorem slu£aju je uvijek predstavljala latentni pro-blem.

Mergesort je teorijski puno ljep²i algoritam, ali u prakti£nim situacijama gotovo uvijek jegubio bitku s Quicksortom ili kakvim drugim algoritmom koji uzima u obzir tehnikalijepoput lokalnosti pristupa ili latencije memorije.

Dolaskom 21. stolje¢a, okolnosti se po£inju mijenjati: dodatna indirekcija (reference se-mantics) modernih programskih jezika smanjila je cijenu zamjena elemenata, bolje teh-nike ponovne upotrebe koda smanjile su potrebu za stalnom reimplementacijom, a selidbasoftvera na web zna£ila je puno ve¢i strah od maliciozno konstruiranih podataka koji in-duciraju najgori slu£aj.

U novim uvjetima, pronaena je nova ravnoteºna to£ka: Timsort Tima Petersa, lukavokonstruiran hibrid nekoliko najboljih tehnika sortiranja, s teorijski najboljom O(n log n)sloºeno²¢u, a takoer i iskori²tavanjem specijalne strukture nizova podataka kakvi se £estopojavljuju u primjenama.

Diplomski rad zami²ljen je kao detaljna prezentacija algoritma, njegovo stavljanje u po-vijesni kontekst, te ispitivanje raznih no pode²enih parametara koji ga £ine jednim odnajboljih algoritama za sortiranje dana²njice.

Literatura:

Nicolas Auger, Cyril Nicaud, Carine Pivoteau, Merge Strategies: from MergeSort to TimSort, 2015Tim Peters, Timsort whitepaper,http://svn.python.org/projects/python/trunk/Objects/listsort.txt

50

Mentor: Lavoslav aklovi¢

Analiza i vizualizacija neuromagnetskih signala

Student: Jela Gali¢

Podru£je: primijenjena matematika i zika


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj rada je razvoj gra£kog su£elja koje ¢e omogu¢avati vizualizaciju magnetoence-falografskih signala (MEG) signala i omogu¢avati njihovu analizu. U radu ¢e se objasnitizika koja stoji u pozadimi MEG ureaja, struktura zapisa tih signala i matematka kojastoji u pozadini analize tih signala. Speci£ni ciljevi: (1) U£itavanje .nc i .csst datoteka,(2) Prikaz usrednjenih MEG signala, (3) Foltriranje signala na svim senzorima po raznimkriterijima i danim vremenskim intervalima, (4) Prikaz kortikalne aktivnosti.

Literatura:

S. Supek, Cheryl J. Aine (2104), Magnetoencephalography: From signals to dynamiccortical networks.

51


Latentne varijable

Student: Klara olti¢

Podru£je: primijenjena statistika


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se detaljno obraditi eksploratorna i konrmativna faktorska analiza sprimjenama u sportu i psihologiji. Detaljno ¢e se prou£iti statisti£ki paket Lavaan pisanu R-u. Bit ¢e takoer govora i o "Path analysis" i "Structure equation modeling".

Literatura:

R, W. Holmes Finch, Jr., Brian F. French: Latent Variable Modeling; A. AlexanderBeaujean, Latent Variable Modeling Using R, A Step-by-Step Guide

52


Tokovi najmanjeg tro²ka

Student: Barbi² Apolinar

Podru£je: diskretna matematika


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e biti razmatrana optimizacija na usmjerenim grafovima sa zadanimkapacitetom lukova i vi²e od jednog ponora i izvora. Bit ¢e dokazan Edmond-Karpovteorem za tok najmanjeg tro²ka transporta.

Literatura:

Korte-Vygen, Combinatorial Optimization, Springer, 2000

53


Strojno u£enje putem regresije i SVM

Student: David Bojani¢

Podru£je: strojno u£enje


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e biti detaljno obraene metode u£enja putem regresije i Support VectorMachine s primjenama u medicini, marketingu i prepoznavanju objekata op¢enito. Kodovi¢e biti pisani u pythonu i R-u.

Literatura:

Sebastian Raschka, Vahid Mirjalili: Python Machine Learning, Packt Publishing (2017),Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman: The Elements of Statistical Learning:Data Mining, Inference, and Prediction.

54


Biplot i primjena u analizi korespodencije i drugim statisti£kimmetodama

Student: Lana Jankovi¢

Podru£je: primijenjena statistika


Preduvjeti: nema

Opis: Biplot je na£in prikazivanja rezultata eksploratorne analize i ima ²iroku primjenu.Za interpretaciju je potrebno znanje i vje²tina u £ijoj pozadini stoji SVD dekompozicija.Teoremi iz optimizacije i linearni algebre koji nisu dokazani na studiju bit ¢e detaljnoobraeni.

Literatura:

Greenacre M., Biplots in practice, BBVA, 2010

55

Mentor: Tomislav Do²li¢

Matrice udaljenosti u grafovima

Podru£je: Diskretna matematika


Preduvjeti:

Opis: Udaljenost dvaju vrhova u grafu denira se kao duljina najkra¢eg puta koji ihpovezuje. Matrica udaljenosti u grafu je kvadratna matrica £iji su retci i stupci indeksiranivrhovima grafa i u kojoj se na mjestu (i, j) nalazi udaljenost vrhova i i j. Poznatoje da matrice udaljenosti svih stabala s istim brojem vrhova imaju istu determinantu.Stabla su specijalni slu£aj kaktusa: Povezani graf je kaktus ako mu je svaki blok brid iliciklus. Cilj rada bio bi prou£iti determinante matrica udaljenosti nekih klasa uniformnihi neuniformnih kaktusa.

Literatura:

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.

56


Mjere nebipartitnosti u grafovima

Podru£je: Diskretna matematika


Preduvjeti:

Opis: Graf je bipartitan ako mu se skup vrhova moºe podijeliti u dvije klase tako da svakibrid ima jedan kraj u jednoj i drugi kraj u drugoj klasi te particije. Klasi£ni rezultat kaºeda je graf bipartitan ako i samo ako ne sadrºi neparan ciklus. Intuitivno je jasno da nisusvi nebipartitni grafovi jednako daleko od udovoljavanja tom kriteriju. Cilj rada bio biprikazati i usporediti razli£ite mjere odstupanja od bipartitnosti za neke klase grafova.

Literatura:


57


Tutteov polinom

Student: Ivona Jeli¢

Podru£je: Teorija grafova. Kombinatorika


Preduvjeti: Nema

Opis: Tutteov polinom je jedna od najvaºnijih graf-teoreti£kih invarijanata koja kodiramno²tvo informacija o grafu. Cilj rada bi bio eksplicitno izra£unati Tutteove polinome zaklase grafova koje opisuju linearne polimere male povezanosti.

Literatura:


58


Nizovi i kruºnice

Podru£je: Kombinatorika, geometrija


Preduvjeti: Nema

Opis: Neka je dan kombinatorni niz (an)n≥0. Uzmimo kruºnicu K0 polumjera 1/a0 ikruºnicu K1 polumjera 1/a1 sa sredi²tima na y-osi koje se diraju u ishodi²tu. Za n ≥2 odredimo sredi²ta svih kruºnica polumjera 1/an (dakle zakrivljenosti an) koje dirajukruºnice Kn−1 i Kn−2. Cilj rada bi bio ispitati pona²anje koordinata sredi²ta za raznenizove (an)n≥0.

Literatura:


59

Mentor: Zlatko Drma£

Tenzorske metode u prepoznavanju lica

Student: Suraja Po²ti¢

Podru£je: Primijenjena matematika i ra£unarstvo

Prikladno za studij: Svi diplomski smjerovi

Opis: Problem prepoznavanja ljudskih lica ima cijeli niz primjena, posebno u domeninadziranja/sigurnosti i interakcije £ovjek-ra£unalo. Razvoj matemati£kih metoda i nume-ri£kih algoritama predstavlja zanimljivu i izazovnu istraºiva£ku temu.

Moderni pristup ovom problemu uklju£uje metode multilinearne algebre. U ovoj radnji ¢ebiti detaljno razraeni algoritmi bazirani na tenzorskom modelu podataka (snimaka lica),tenzorskim dekompozicijama (SVD vi²eg reda) i tenzorskim aproksimacijama niºeg ranga.Osim teorijske analize, planirana je i softverska implementacija koja treba biti testiranana nekoj od standardnih javno dostupnih benchmark baza ljudskih lica (kao npr. Yalefaces, Toronto Face Database).

Literatura:

1. Santu Rana, Wanquan Liu,Mihai Lazarescu,Svetha Venkatesh: A uniedtensor framework for face recognition. Pattern Recognition 42 (2009) 28502862.2. Ning Hao, Misha E. Kilmer, Karen Braman, and Randy C. Hoover: FacialRecognition Using Tensor-Tensor Decompositions, SIAM J. IMAGING SCIENCES Vol.6, No. 1, pp. 437463.3. M. Alex O. Vasilescu, Demetri Terzopoulos: Multilinear Subspace Analysis ofImage Ensembles, Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and PatternRecognition (CVPR'03).4. Lars Elden: Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition, SIAM Fun-damentals of Algorithms 2007.

60


Klasteriranje k-sredinama

Student: Petar Apolonio

Podru£je: Numeri£ka matematika, matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, ra£unarstvo

Opis: Klasteriranje podataka je vaºna komponenta analize strukture podataka u raznimproblemima data mining-a. Podatke (piksele na digitalnoj slici, tekstualne dokumente,kupce, artikle itd.) treba particionirati (grupirati) prema nekom zadanom kriteriju sli£-nosti. U radnji ¢e biti prou£avana metoda k-sredina, te njene varijacije i veze s drugimmetodama.

Literatura:

1. I. Dhillon, Y. Guan, B. Kulis: A Unied View of Kernel k-means, Spectral Clusteringand Graph Cuts, 2012.2. I. Dhillon, Y. Guan, J. Kogan: Iterative Clustering of High Dimensional Text DataAugmented by Local Search, 2012.

61


Reducirani numeri£ki modeli dinamike uida s primjenama

Student: Kristina Kozi¢

Podru£je: Primijenjena matematika i znanstveno ra£unanje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Opis: U primjenama £esto trebamo numeri£ki zahtjevne numeri£ke simulacije komplek-snih sustava, npr. u optimizaciji rje²enja PDJ s obzirom na zadani skup parametara iliza kontrolu u realnom vremenu. U tzv. MOR (Model Order Reduction) pristupu se naosnovi simulacija u visokoj rezoluciji empirijski konstruira niºedimenzionalni model kojivjerno reproducira dinamiku originalnog modela.

Cilj ove radnje je da se integrirano znanje numeri£kog rje²avanja parcijalnih diferencijalnihjednadºbi dinamike uida kombinira s modernim metodama redukcije dimenzije (ProperOrthogonal Decomposition (POD), Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM),Dynamic Mode Decomposition (DMD)). U prakti£nom radu ¢e se koristiti javno dostupnisoftverski paketi (npr. FEniCS, OpenFOAM) i razvijene metode ¢e biti primijenjene uanalizi npr. toka krvi u ºilama, strujanja oko prepreka itd. Na odabranim primjerima ¢ebiti ilustrirane ekasnost i numeri£ka to£nost niºedimenzionalnih aproksimacija.

Literatura:

1. S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition: Theory and Reduced-Order Model-ling, Lecture Notes 2013.2. M. Griebel, T. Dornseifer, T. Neunhoeffer: Numerical Simulations in FluidDynamics, SIAM 1998.3. S. Chaturantabut, D. Sorensen: Nonlinear model reduction via Discrete Empi-rical Interpolation, SIAM J. Sci. Comput. Vol. 32, No. 5, pp. 27372764.4. J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor: Dynamic ModeDecomposition, SIAM 2016.5. Y.T. Delorme, A.E.M. Kerlo, K. Anupindi, M. D. Rodefeld, S. H. Fran-kel: Dynamic Mode Decomposition of Fontan Hemodynamics in an Idealized Total Ca-vopulmonary Connection, Fluid Dyn. Res. 2014 August ; 46(4): 041425.

62


Dinami£ka modalna dekompozicija u analizi nancijskihtransakcija i algoritamskom trgovanju

Student: Ivan Kulu²i¢


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Financijska matematika

Opis: Dinami£ka modalna dekompozicija (Dynamic Mode Decomposition, DMD) je me-toda originalno razvijena u numeri£kim simulacijama u dinamici uida i pokazala se us-pje²nom u analizi tzv. koherentnih struktura. U prakti£noj realizaciji je £esto kombiniranas Proper Orthogonal Decomposition (POD).

DMD je posebno prikladna u tzv. data driven scenarijima, kada se iz niza dobivenih po-dataka empirijski gradi model kojeg se moºe koristiti za kotrolu i/ili predvianje budu¢ihvrijednosti. Tako se, na primjer, uspje²no koristi u modeliranju ²irenja epidemije gripe.

Cilj ove radnje je istraºiti primjenjivost DMD metode u analizi podataka sa nancijskihtrºi²ta, posebno u otkrivanju dinamike koja moºe (u kombinaciji s metodama strojnogu£enja) biti kori²tena u dono²enju odluka u algoritamskom trgovanju.

Literatura:

1. S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition: Theory and Reduced-Order Model-ling, Lecture Notes 2013.2. M. Hinze, S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition Surrogate Models forNonlinear Dynamical Systems: Error Estimates and Suboptimal Control In: Benner P.,Sorensen D.C., Mehrmann V. (eds) Dimension Reduction of Large-Scale Systems. LectureNotes in Computational Science and Engineering, vol 45. Springer, Berlin, Heidelberg,2005.3. J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor: Dynamic ModeDecomposition, SIAM 2016.4. J. Mann, J. N. Kutz: Dynamic Mode Decomposition for Financial Trading Strate-gies, arXiv 2015; Quantitative Finance Volume 16, 2016 - Issue 11 .

63


Dinami£ka modalna dekompozicija u realnom vremenu

Student: Matej Poletar



Opis: Dinami£ka modalna dekompozicija (Dynamic Mode Decomposition, DMD) je me-toda originalno razvijena u numeri£kim simulacijama u dinamici uida i pokazala se us-pje²nom u analizi tzv. koherentnih struktura. U prakti£noj realizaciji je £esto kombiniranas Proper Orthogonal Decomposition (POD). DMD je posebno prikladna u tzv. data dri-ven scenarijima, kada se iz niza dobivenih podataka empirijski gradi model kojeg se moºekoristiti za kotrolu i/ili predvianje budu¢ih vrijednosti.

U slu£aju simulacija u realnom vremenu i s vremenski promjenjivim koecijentima nuºnoje koristiti podatke iz klize¢eg vremenskog prozora ograni£ene ²irine koji uklju£uje naj-novije podatke. Pri tome se DMD mora u svakom koraku obnavljati, ²to zahtijeva noveekasne algoritme.

U ovoj radnji ¢e se biti prou£avani takvi algoritmi s primjenama na odabranim primje-rima.

Literatura:

1. S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition: Theory and Reduced-Order Model-ling, Lecture Notes 2013.2. M. Hinze, S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition Surrogate Models forNonlinear Dynamical Systems: Error Estimates and Suboptimal Control In: Benner P.,Sorensen D.C., Mehrmann V. (eds) Dimension Reduction of Large-Scale Systems. LectureNotes in Computational Science and Engineering, vol 45. Springer, Berlin, Heidelberg,2005.3. J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor: Dynamic ModeDecomposition, SIAM 2016.4. H. Zhang, C. W. Rowley, E. A. Deem, L. N. Cattafesta: Online dynamicmode decomposition for timevarying systems. arXiv 2017.

64


Redukcija dimenzije parametarski ovisnih nelinearnih sustava

Student: Iva Manojlovi¢



Opis: U mnogim primjenama (kontrola u realnom vremenu, optimizicacija po zadanimparametrima) je nuºno rje²avati sustave diferencijalnih jednadºbi u kojima je broj jed-nadºbi u desecima ili stotinama tisu¢a. Kako moderni razvoj tehnologije zahtijeva rje²ava-nje sve sloºenijih problema, dovoljno ekasno numeri£ko rje²avanje je mogu¢e zamjenomoriginalnog problema familijom niºedimenzionalnih koji vjerno reproduciraju dinamikupolaznog problema

Osnovna ideja ovog pristupa je da se u tzv. o-line pripremi algoritamski nau£i mnogos-trukost rje²enja, koriste¢i sosticirane metode uzorkovanja u prostoru parametara. Nakontoga se u simulacijama u realnom vremenu umjesto polaznog problema rje²ava njegovaprojicirana verzija.

U ovoj radnji ¢e se biti prou£avane metode reduciranih baza (uklju£uju¢i POD) u kom-binaciji s DEIM (Discrete Empirical Interpolation Method) i DMD (Dynamic Mode De-composition), s primjenama na odabranim primjerima.

Literatura:

1. S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition: Theory and Reduced-Order Model-ling, Lecture Notes 2013.2. M. Hinze, S. Volkwein: Proper Orthogonal Decomposition Surrogate Models forNonlinear Dynamical Systems: Error Estimates and Suboptimal Control In: Benner P.,Sorensen D.C., Mehrmann V. (eds) Dimension Reduction of Large-Scale Systems. LectureNotes in Computational Science and Engineering, vol 45. Springer, Berlin, Heidelberg,2005.3. J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor: Dynamic ModeDecomposition, SIAM 2016.4. S. Chaturantabut, D. Sorensen: Nonlinear model reduction via Discrete Empi-rical Interpolation, SIAM J. Sci. Comput. Vol. 32, No. 5, pp. 27372764.5. J. S. Hesthaven, G. Rozza, B. Stamm: Certied Reduced Basis Methods forParametrized Partial Dierential Equations, Springer 2016.

65

Mentor: Andrej Dujella

Algoritmi za faktorizaciju polinoma

Student: Mia Mati¢

Podru£je: teorija brojeva


Preduvjeti: nema

Opis: Obradit ¢e se klasi£ni i moderni algoritmi za faktorizaciju polinoma s cjelobrojnimkoecijentima, poput Kroneckerovog, Berlekampovog i LLL-algoritma.

Literatura:

H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 1993.M. Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag, 1992.

66


Koblitzove elipti£ke krivulje

Student: Marija Sablji¢

Podru£je: teorija brojeva, kriptograja


Preduvjeti: nema

Opis: Koblitzove krivulje su krivulje oblika y2 + xy = x3 + ax2 + 1 za a = 0 ili 1. Dakle,one imaju koecijente iz polja F2, no u primjenama ih se promatra kao krivulje nadF2k za veliki k. Obradit ¢e se osnovni algoritmi za ra£unanje s Koblitzovim krivuljama,posebno ra£unanje vi²ekratnika to£aka, kod kojih se dupliciranje to£aka moºe zamijenitiprimjenom Frobeniusovog endomorzma.

Literatura:

H. Cohen, G. Frey (Eds), Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography,Chapman & Hall/CRC, 2005.D. Hankerson, A. Menezes, S. Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography, Springer-Verlag, 2004.J. Solinas, Ecient arithmetic on Koblitz curves, Des. Codes Cryptogr. 19 (2000), 195-249.

67


Homomorfni kriptosustavi

Student: Tanja Zrili¢

Podru£je: kriptograja


Preduvjeti: nema

Opis: Homomorfna enkripcija omogu¢ava obavljanje matemati£kih operacije nad ²ifri-ranim podacima bez potrebe da se podaci prije toga de²ifriraju. U ovom radu obradit¢e se djelomi£ni homomorfni kriptosustavi koji dopu²taju homomorfno ra£unanje nekihoperacija (poput mnoºenja u RSA) i potpuni homomofni kriptosustavi, od kojih je prviGentryjev kriptosustav iz 2009. godine.

Literatura:

Y. Lindell (Ed.), Tutorials on the Foundations of Cryptography, Springer, 2017.X. Yi, R. Paulet, E. Bertino, Homomorphic Encryption and Applications, Springer, 2014.

68


Klasi£ni i kvantni napadi na problem diskretnog logaritma

Student: Petar Vla²i¢



Preduvjeti: nema

Opis: Prikazat ¢e se napadi na problem diskretnog logaritma, te kriprosustave javnogklju£a zasnovane na tom problemu. Pored klasi£nih napada (Shanksov BSGS, Pollardov,indeks calculus), prikazat ¢e se i napadi koji koriste Shorov kvantni algoritam.

Literatura:

S. Y. Yan, Quantum Attacks on Public-Key Cryptosystems, Springer, 2013.S. Y. Yan, Quantum Computational Number Theory, Springer, 2015.

69

Mentor: Marko Erceg

Kombinatorni problemi distribucija

Student: Barbara Poli¢

Podru£je: kombinatorika

Prikladno za studij: nastavni£ki studij

Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati kombinatorni problemi raspodjele n objekata um kutija uzrazne pretpostavke na model: kuglice se razlikuju ili ne razlikuju, kutije se razlikuju ili nerazlikuju, kutije imaju ograni£en ili neograni£en kapacitet, poredak u kutiji je bitan ili nijebitan, itd. Cilj je napraviti preciznu analizu svih slu£ajeva koriste¢i razne kombinatornetehnike.

Literatura:

M. Bóna: A walk through combinatorics: an introduction to enumeration and graph theory,World Scientic, 2006.D. Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, 2001.

70

Mentor: Marko Erceg

Neke primjene linearne algebre u geometriji

Student: Manuela Juri¢

Podru£je: linearna algebra, geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se obraditi nekoliko zanimljivih problema koji se uspje²no rje²avajui zapisuju u okviru linearne algebre. Neki od njih su: primjena Cauchy-Bunjakovski-Schwarzove nejednakosti (izvoenje nejednakosti meu sredinama, odreivanje maksi-muma funkcija), metoda najmanjih kvadrata, prou£avanje svih izometrija unitarnih pros-tora, te klasikacija krivulja drugog reda (konika) koriste¢i transformaciju koordinata.

Literatura:

D. Baki¢: Linearna algebra, kolska knjiga, 2008.R. J. Fleming, J. E. Jamison: Isometries on Banach spaces: function spaces, Chapman& Hall/CRC, 2003.I. R. Shafarevich, A. O. Remizov: Linear algebra and geometry, Springer, 2013.

71

Mentor: Marko Erceg

Numeri£ko rje²avanje linearnih sustava

Student: Karla Mikec

Podru£je: linearna algebra, numeri£ka matematika

Prikladno za studij: nastavni£ki studij

Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se obraditi teorija rje²avanja algebarskih i diferencijalnih linearnih su-tava, te ¢e se prou£avati nekoliko direktnih i iterativnih numeri£kih metoda za njihovorje²avanje.

Literatura:

C. T. Kelley: Iterative methods for linear and nonlinear equations, SIAM, 1995.K. G. Murty: Computational and algorithmic linear algebra and n-dimensional geometry,World Scientic, 2015.

72

Mentor: Alan Filipin

Primjena linearnih formi u logaritmima u rje²avanju diofantskihjednadºbi

Student: Marina Ili¢



Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se obraditi primjena Bakerove teorije linearnih formi u logaritmima narje²avanje nekih diofantskih jednadºbi i srodnih problema.

Literatura:

1. H. Cohen, Numer theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer Verlag,Berlin, 2007.2. H. Cohen, Numer theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer Verlag,Berlin, 2007.

73

Mentor: Alan Filipin

Linearne forme u logaritmima i rekurzivni nizovi



Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se obraditi primjena Bakerove teorije linearnih formi u logaritmima natraºenje £istih potencija u binarno rekurzivnim nizovima, na traºenje najve¢ih prostihfaktora u £lanovima rekurzivnih nizova, kao i na srodne probleme.

Literatura:

1. H. Cohen, Numer theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer Verlag,Berlin, 2007.2. H. Cohen, Numer theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer Verlag,Berlin, 2007.

74

Mentor: Renato Filjar Suvoditelj: Luka Grubi²i¢

Probabilisti£ki (vjerojatnosni) model posjeta kategorijamaprostornih objekata u polazi²no-odredi²noj matrici

Student: Petra Martinjak

Podru£je: Ra£unarstvo i matematika


Preduvjeti: nema

Opis: Polazi²no-odredi²na matrica (POM) predstavlja osnovni alat prostornog planiranjainfrastrukture i procjene ekonomskog razvoja. Zasnovana je na procjeni broja migracijaizmeu pojedinih podru£ja interesa unutar promatranog prostora. Tradicionalno, POMje procjenjivana na temelju kori²tenja prometne infrastrukture, dok se u novije vrijemezasniva na procjeni mobilnosti iz podataka o telekomunikacijskoj aktivnosti korisnika jav-nih pokretnih mreºa. Kontekstualizacija POM u smislu karakterizacije svrhe migracijaznatno pove¢ava to£nost i uporabljivost POM-e. U ovom radu potrebno je razviti pro-babilisti£ki (vjerojatnosni) model kontekstualizacije migracija nazna£enih kategorijamanamjena prostornih objekata kao ciljeva migracija. U razvoju modela koristiti javno dos-tupne dnevnike putovanja izvedenih taksijem i obiljeºenim uzorcima trenutnih poloºajadobivenih satelitskim navigacijskim sustavom GPS. Podatke iz dnevnika razdvojiti nadijelove za u£enje, testiranje i validaciju. Razvijeni model izvesti u programskom okruºe-nju za statisti£ko ra£unarstvo R te provjeriti uspje²nost modela komparativnom analizomobiljeºja s referentnim ekspertnim modelom i kori²tenjem skupa podataka za validacijumodela.

Literatura:

Harris, R. (2013). An Introduction to Mapping and Spatial Modelling in R. School ofGeographical Sciences, University of Bristol, UK. http://bit.ly/2rOF80WBivand, R S, Pebesma, E J i Gomez-Rubio, V. (2008). Applied Spatial Data Analysiswith R. Springer Verlag. New York, NY.Crawley, M J. (2013). The R Book. John Wiley & Sons. Chichester, UK.Filjar, R, Fili¢, M, Lu£i¢, A, Vidovi¢, K i ari¢, D. (2016). Anatomy of Origin-DestinationMatrix derived from GNSS alternatives. Coordinates, 12(10), 8-10. http://mycoordinates.org/pdf/oct16.pdf

75

Mentor: Renato Filjar Suvoditelj: Luka Grubi²i¢

Model procjene poloºaja satelita zasnovan na satelitskimefemeridama satelitskog sustava za odreivanje poloºaja



Preduvjeti: nema

Opis: Poloºaj satelita satelitskog navigacijskog sustava u trenutku oda²iljanja signala zaodreivanje poloºaja neophodan je ulazni podataka u postupku odreivanja poloºaja sa-telitskim sustavom. Procjenu poloºaja satelita odreuje korisni£ki prijamnik za satelitskunavigaciju na osnovu podataka o satelitskim orbitama (satelitskim efemeridama) prim-ljenih u navigacijskoj poruci. U ovom radu potrebno je opisati model procjene poloºajasatelita zasnovan na satelitskim efemeridama satelitskog sustava za odreivanje poloºajate analizirati njegovu to£nost. Model je potrebno izvesti u programskom okruºenju zastatisti£ko ra£unarstvo R te analizirati ograni£enja izvedbe sa stajali²ta stabilnosti i to£-nosti.

Literatura:

Sanz Subirana, J, Juan Zornoza, J M i Hernandez-Pajares, M. (2013). GNSS Data Proce-ssing Volume I: Fundamentals and Algorithms. ESA. http://bit.ly/1tDzJIQ. Bate,R R, Mueller, D D i White, J E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Pu-blishing, Inc. New York, NY. Crawley, M J. (2013). The R Book. John Wiley & Sons.Chichester, UK.

76

Mentor: Zrinka Franu²i¢

Fermatov doprinos u teoriji brojeva

Student: Valentina Plantak

Podru£je: Teorija brojeva


Preduvjeti: nema

Opis: Francuski pravnik i matemati£ar amater Pierre de Fermat (1607.-1665.) smatrase utemeljiteljem moderne teorije brojeva. U radu ¢e se prikazati, te dijelom i dokazati,njegovi glavni rezultati i doprinosi toj grani matematike.

Literatura:

1. J. H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers,Eighth edition, Cambridge University Press, 2008.2. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality,Dover Publications, 2005.3. I. Kleiner, Excursions in the History of Mathematics, Birkhäuser Basel, 2012.4. M. Krizek, F. Luca, L. Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers, Springer, 2001.5. W. Scharlau, H. Opolka, From Fermat to Minkowski, Springer-Verlag, 1984.

77


O nekim Eulerovim doprinosima u teoriji brojeva

Student: Jelena Cafuk



Preduvjeti: nema

Opis: Leonhard Euler(1707.-1783.) najproduktivniji je matemati£ar svih vremena. Nje-gov je doprinos i utjecaj ogroman i nezaobilazan u mnogim podru£jima matematike (mate-mati£ka analiza, teorija grafova, geometrija,....) i prirodnih znanosti (geograja, zika,...).No, mnogi smatraju da je posebnu virtuoznost pokazao bave¢i se teorijom brojeva. Uradu ¢e se opisati neki njegovi doprinosi iz podru£ja elementarne teorije brojeva.

Literatura:

1. R. E. Bradley, C. Edward Sandifer, Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, Studiesin the History and Philosophy of Mathematics, Volume 5, Elsevier, 2007.2. J. H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers,Eighth edition, Cambridge University Press, 2008.3. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality,Dover Publications, 2005.4. W. Scharlau, H. Opolka, From Fermat to Minkowski, Springer-Verlag, 1984.5. Peter Shiu, Euler's Contribution to Number Theory, The Mathematical Gazette, Vol.91, No. 522 (2007), pp. 453-461.

78


Binarne kvadratne forme

Student: Andreja Rogar



Preduvjeti: nema

Opis: Binarna kvadratna forma s cjelobrojnim koecijentima (ili kra¢e samo kvadratnaforma) je kvadratni homogeni polinom u dvije varijable f(x, y) = ax2 + bxy + cy2,a, b, c ∈ Z. Tijekom povijesti posebno su izu£avane forme oblika x2 + y2 i x2 − dy2, au dana²nje vrijeme dobivaju na vaºnosti zbog svoje primjene u kriptograji. U radu ¢ese predstaviti osnovne notacije, £injenice i svojstva koja vezujemo uz kvadratne forme.Nadalje, prou£avat ¢e se tzv. problem reprezentacije. (Kaºemo da kvadratna forma re-prezentira cijeli broj n ako postoje x0, y0 ∈ Z takvi da je f(x0, y0) = n.)

Literatura:

1. J. Buchmann, U. Vollmer, Binary Quadratic Forms - An Algorithmic Approach, Sprin-ger, 2007.2. J. H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers,Eighth edition, Cambridge University Press, 2008.

79


Neke primjene kongruencija

Student: Anja Mati¢



Preduvjeti: nema

Opis: Kongruencija je izjava o djeljivosti koju je uveo je C. F. Gauss 1801. Ta je jednos-tavna oznaka donijela obilje plodova kako u matemati£kom svijetu, tako i onom prakti£-nom. U radu ¢e se teorija kongruencija primijeniti na razli£ite matemati£ke probleme kao²to su rje²avanje diofantskih jednadºbi, ispitivanje djeljivosti, faktorizacija brojeva, ali ione iz ºivota - zanimljive slagalice, modularne dizajne, identikacijske kodove proizvoda(ISBN, EAN Bar Code,...), odrºavanje turnira, itd.

Literatura:

1. L. N. Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer-Verlag New York,1995.2. T. Koshy Elementary Number Theory with Applications, Elsevier, 2007.3. E. F. Wood, Self-Checking Codes - An Application of Modular Arithmetic, MathematicsTeacher, 80 (1987), 312-316.

80


Vizualizacije u matematici

Student: Magdalena Igaly

Podru£je:


Preduvjeti: nema

Opis: Skiciranje, crtanje i primjena razli£itih tehnika vizualizacije u matematici zanim-ljivi su kako s matemati£kog, tako i pedago²kog stanovi²ta. Kreativna vizualizacija, od-nosno sposobnost stvaranja mentalnih slika, jedan od vaºnih alata koji pomaºu razumi-jevanju matemati£kih ideja, koncepata i dokaza (tzv. dokazi bez rije£i). U radu ¢eprikazati kako moºemo vizualizirati osnovne matemati£ke pojmove (npr. broj), operacije(funkcije) i dokaze primjenjuju¢i razli£ite tehnike, te tradicionalnu (kreda, olovka) i su-vremenu tehnologiju (komercijalni softver).

Literatura:

1. C. Alsina, R. B. Nelsen, Math Made Visual, MAA, 2006.2. M. H. Weissman, An Illustrated Theory of Numbers, AMS, 2017.3. G. Schierscher, Volim matematiku, Ve£ernji list, 2014.

81

Mentor: Ilja Gogi¢

Baireovi prostori i primjene

Student: Matija Ivi£inec

Podru£je: analiza, topologija

Prikladno za studij: svi

Preduvjeti: Metri£ki prostori

Opis: Za podskup A topolo²kog prostora X kaºemo da je nigdje gust u X ako je interiorzatvara£a od A prazan skup. Prebrojive unije nigdje gustih skupova u X zovu se skupoviprve kategorije, komplementi skupova prve kategorije rezidualni skupovi, a skupovi u Xkoji nisu prve kategorije zovu se skupovi druge kategorije. Za X kaºemo da je Baireovprostor ako je svaki neprazan otvoren skup u X skup druge kategorije. Prema slavnomBaireovom teoremu o kategoriji (BTK), svaki potpuno metrizabilan prostor je Baireov.

U raznim matemati£kim disciplinama za svojstva koja vrijede na tipi£nim (odnosno nagotovo svim) primjerima smatraju se generi£kim. Tako se npr. u teoriji mjere pod ge-neri£kim svojstvima smatraju svojstva koja vrijede gotovo svuda (tj. na komplementimaskupova mjere 0), dok se u teoriji Baireovih prostora pod generi£kim svojstvima smatrajusvojstva koja vrijede na rezidualnim skupovima. Odgovaraju¢i dualan pojam generi£-kom svojstvu je zanemarivo svojstvo. Dakle, u kontekstu Baireovih prostora, zanemarivasvojstva su ona svojstva koja vrijede samo na skupovima prve kategorije.

Naglasak ovog diplomskog rada bit ¢e na primjenama teorije Baireovih prostora u analizi.Izmeu ostalog, dokazat ¢e se da generi£ke neprekidne funkcije f : [a, b]→ R nisu nigdjederivabilne te da generi£ke funkcije klase C∞([a, b]) nisu nigdje analiti£ke.

Literatura:

1. J. C. Oxtoby, Measure and category, SpringerVerlag, 1971.2. E. Schechter, Handbook of Analysis and its Foundations, Ac. Press, 1996.3. I. Gogi¢, Baireov teorem o kategoriji, PMF-MO, 2014.https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/studnatj/sn_Baire.pdf

82

Mentor: Ilja Gogi¢

Izometri£no injektivni Banachovi prostori

Podru£je: funkcionalna analiza


Preduvjeti: Operatori na normiranim prostorima, Metri£ki prostori, Mjera i integral

Opis: Za Banachov prostor X kaºemo da je izometri£no injektivan ako se za sve Banac-hove prostore Y ⊆ Z, svaka linearna kontrakcija φ : Y → X moºe pro²iriti do linearnekontrakcije φ : Z → X. Drugim rije£ima, X je injektivan objekt u kategoriji Banachovihprostora s linearnim kontrakcijama kao morzmima. Najjednostavniji primjer izome-tri£no injektivnog Banachovog prostora je X = C (Hahn-Banachov teorem). Op¢enitijiprimjeri izometri£no injektivnih Banachovih prostora su prostori L∞(Ω, µ), gdje je (Ω, µ)σ-kona£an prostor mjere, te biduali funkcijskih prostora C(K), gdje je K kompaktanHausdorov prostor.

Osnovni cilj ovog diplomskog rada je dokazatiGoodner-Nachbin-Kelleyjev teorem koji kaºeda je Banachov prostor X izometri£no injektivan ako i samo ako postoji ekstremno ne-povezan kompaktan Hausdorov prostor K takav da je X izometri£ki izomorfan s C(K).Jedna od interesantnih posljedica te karakterizacije (u kombinaciji s dekompozicijskomtehnikom Peªczy«skog) je da su Banachovi prostori `∞ i L∞([0, 1]) izometri£ki izomorfni.

Literatura:

1. F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathema-tics, vol. 233, Springer, New York, 2006.2. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory:The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, NewYork, 2011.3. H. G. Dales, F. K. Dashiell, Jr., A.T.-M. Lau, D. Strauss, Banach Spaces of ContinuousFunctions as Dual Spaces, Springer, 2016.3. D. Hadwin, V. Paulsen, Injectivity and projectivity in analysis and topology, AbstractSci. China Math. 54 (2011), no. 11, 23472359.https://arxiv.org/abs/0706.2995

83

Mentor: Ilja Gogi¢

Reeksivni Banachovi prostori

Podru£je: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: Operatori na normiranim prostorima, Metri£ki prostori, Mjera i integral

Opis: Svaki Banachov (ili op¢enitije normiran) prostor X nad poljem F realnih ili kom-pleksnih brojeva moºemo na kanonski na£in uloºiti kao potprostor njegovog (topolo²kog)biduala X∗∗. Naime, za x ∈ X denirajmo preslikavanje x : X∗ → F s x(f) := f(x).Tada je x ograni£en linearni funkcional na X∗ (dakle element od X∗∗) i ‖x‖ = ‖x‖, papreslikavanje QX : x 7→ x denira linearnu izometriju s X u X∗∗. Ako je QX takoersurjektivno, onda za prostor X kaºemo da je reeksivan.

Reeksivni prostori igraju bitnu ulogu u teoriji i primjeni (posebno u parcijalnim diferen-cijalnim jednadºbama) te za razliku od op¢enitih Banachovih prostora dijele neka dostadobra svojstva. U osnovne primjere reeksivnih prostora spadaju svi kona£nodimenzi-onalni normirani prostori, Hilbertovi prostori te Lp-prostori (za 1 < p <∞).

Cilj ovog diplomskog rada je iskazati i dokazati razne karakterizacije reeksivnosti. Tako-er bi se opisala konstrukcija tzv. Jamesovog prostora J , koji je fundamentalni primjernereeksivnog Banachovog prostora koji je, s druge strane, izometri£ki izomorfan svombidualu.

Literatura:

1. R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathe-matics, vol. 183, Springer-Verlag, New York, 1998.2. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1985.3. P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linearand Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011.4. F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathema-tics, vol. 233, Springer, New York, 2006.

84

Mentor: Ilja Gogi¢

Paradoksalne dekompozicije i teorem Tarskog

Podru£je: algebra, geometrija


Preduvjeti: Algebarske strukture, poºeljno Teorija skupova te Mjera i integral

Opis: Prema slavnom Banach-Tarskijevom paradoksu (odn. teoremu), zatvorena jedi-ni£na kugla u R3 moºe se rastaviti na kona£no mnogo dijelova, od kojih se kori²tenjemkrutih gibanja (tj. translacija i rotacija) mogu sastaviti dvije kugle identi£ne po£etnoj.tovi²e, ako su A i B bilo koja dva ograni£ena skupa u R3 s nepraznim interiorom,tada skup A moºemo rastaviti na kona£no mnogo dijelova od kojih se kori²tenjem krutihgibanja moºe sastaviti skup B (jaka forma Banach-Tarskijevog paradoksa). Jedan odosnovnih koraka u dokazu tog teorema je dokaz £injenice da je grupa G = SO(3) rotacijau R3 oko ishodi²ta paradoksalna, tj. postoji kona£na particija E1, . . . , En od G, ele-menti g1, . . . , gn ∈ G i prirodan broj 1 ≤ m < n sa svojstvom da su g1E1, . . . , gmEmi gm+1Em+1, . . . , gnEn dvije particije od G. Istaknimo da dokaz Banach-Tarskijevogparadoksa bitno ovisi o aksiomu izbora.

U prvom dijelu ovog diplomskog rada bi se dokazala jaka forma Banach-Tarskijevog pa-radoksa. U drugom dijelu rada dokazao bi se teorem Tarskog, koji kaºe da je grupa Gparadoksalna ako i samo ako G ne dopu²ta kona£no aditivnu G-invarijantnu vjerojatnosnumjeru deniranu na £itavom partitivnom skupu od G.

Literatura:

1. V. Runde, Lectures on Amenability, Lectures Notes in Mathematics 1774, SpringerVerlag, 2002.2. J. H. Shapiro, A Fixed-Point Farrago, Springer, 2016.3. S. Wagon, The BanachTarski Paradox, Cambridge University Press,1985.4. A. Garrido, An introduction to amenable groups, lecture noteshttp://people.maths.ox.ac.uk/kar/amenable.pdf5. I. Gogi¢, Paradoksalne dekompozicije, PMF-MO, 2017.https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/studnatj/BT.pdf

85

Mentor: Ilja Gogi¢

Klasi£ni rezultati globalne teorije ravninskih krivulja



Preduvjeti: Uvod u diferencijalnu geometriju

Opis: U ovom diplomskom radu obradila bi se sljede¢a tri klasi£na teorema globalneteorije ravninskih krivulja:

1. Hopfov teorem o indeksu rotacije (indeks rotacije jednostavno zatvorene ravninskekrivulje jednak je ±1).

2. Izoperimetrijska nejednakost (ako unutra²nje podru£je jednostavno zatvorene ravninskekrivulje duljine ` ima povr²inu A, tada vrijedi 4πA ≤ `2. Pritom se jednakost postiºe akoi samo ako je ta krivulja kruºnica).

3. Teorem o £etiri tjemena (svaka jednostavno zatvorena konveksna ravninska krivuljaima barem £etiri tjemena).

Literatura:

1. C. Bär, Elementary Dierential Geometry, Cambridge University Press, 2010.2. K. Tapp, Dierential Geometry of Curves and Surfaces, Springer, 2016.3. M. Do Carmo, Dierential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and UpdatedSecond Edition, Courier Dover Publications, 2016.4. T. F. Bancho, S. T. Lovett, Dierential Geometry of Curves and Surfaces, SecondEdition, CRC Press, 2016.

86

Mentor: Pavle Goldstein

Analiza nekodiraju¢e DNA

Student: Keti Martini¢

Podru£je:


Preduvjeti: Bioinformatika, Statistika

Opis: U radu ¢e se, tehnikama iterativnog pretraºivanja i semanti£kog indeksiranja, ana-lizirati nekodiraju¢a DNA.

Literatura:

Aimin Li, Junying Zhang and Zhongyin Zhou, PLEK: a tool for predicting long non-coding RNAs and messenger RNAs based on an improved k-mer scheme, BMC Bioinfor-matics2014 15:311

87


Iterativno traºenje motiva i nekodiraju¢a DNA

Student: Antonia Berko

Podru£je:



Opis: U radu ¢e se, tehnikama iterativnog pretraºivanja i semanti£kog indeksiranja, anali-zirati nekodiraju¢a DNA. Poseban naglasak bit ¢e stavljen na analizu rezultata iterativnogpretraºivanja.

Literatura:

Aimin Li, Junying Zhang and Zhongyin Zhou, PLEK: a tool for predicting long non-coding RNAs and messenger RNAs based on an improved k-mer scheme, BMC Bioinfor-matics2014 15:311Gerard Salton, Christopher Buckley, Term-weighting approaches in automatic text retri-eval, In Information Processing & Management, Volume 24, Issue 5, 1988

88


Iterativno traºenje motiva i vre¢a fraza u genomu i proteomu

Student: Anamarija avka

Podru£je:



Opis: U radu ¢e se, tehnikama iterativnog pretraºivanja i semanti£kog indeksiranja, ana-lizirati genomi razli£itih organizama. Posebno ¢e se obraditi izrada tzv. vre¢e frazarelevantnih motiva.

Literatura:

Aimin Li, Junying Zhang and Zhongyin Zhou, PLEK: a tool for predicting long non-coding RNAs and messenger RNAs based on an improved k-mer scheme, BMC Bioinfor-matics2014 15:311Gerard Salton, Christopher Buckley, Term-weighting approaches in automatic text retri-eval, In Information Processing & Management, Volume 24, Issue 5, 1988

89


Viterbijev algoritam i kompleksnost skrivenih Markovljevihmodela

Student: Rajan Zejnuni

Podru£je:



Opis: U radu ¢e se promatrati kompleksnost jednostavnih skrivenih Markovljevih mo-dela. Rezultati ¢e se usporediti s onima koji se dobivaju pomo¢u standardnih kriterijakompleksnosti - AIC i BIC

Literatura:

Durbin et al, Biological Sequence Analysis

90


Semanti£ko indeksiranje i klasikacija dokumenata

Student: Filip Janji¢

Podru£je:



Opis: U radu ¢e se, tehnikama iterativnog pretraºivanja i semanti£kog indeksiranja, pro-vesti klasikacija dokumenata iz razli£itih podru£ja

Literatura:

Aimin Li, Junying Zhang and Zhongyin Zhou, PLEK: a tool for predicting long non-coding RNAs and messenger RNAs based on an improved k-mer scheme, BMC Bioinfor-matics2014 15:311Gerard Salton, Christopher Buckley, Term-weighting approaches in automatic text retri-eval, In Information Processing & Management, Volume 24, Issue 5, 1988Li Y, Chen CY, Wasserman WW, Deep Feature Selection: Theory and Application toIdentify Enhancers and Promoters, J Comput Biol. 2016 May;23(5):322-36

91


Iterativno traºenje fraza i statistika semanti£kog indeksiranja

Student: Silvestar Mavrek

Podru£je:



Opis: U radu ¢e se, tehnikama iterativnog pretraºivanja i semanti£kog indeksiranja, pro-vesti klasikacija dokumenata iz razli£itih podru£ja. Poseban naglasak bit ¢e stavljen naanalizu statsti£kih alata koji se koriste u klasikaciji

Literatura:

Aimin Li, Junying Zhang and Zhongyin Zhou, PLEK: a tool for predicting long non-coding RNAs and messenger RNAs based on an improved k-mer scheme, BMC Bioinfor-matics2014 15:311Gerard Salton, Christopher Buckley, Term-weighting approaches in automatic text retri-eval, In Information Processing & Management, Volume 24, Issue 5, 1988Li Y, Chen CY, Wasserman WW, Deep Feature Selection: Theory and Application toIdentify Enhancers and Promoters, J Comput Biol. 2016 May; 23(5):322-36

92

Mentor: Luka Grubi²i¢

Kompjutorski vid u analizi medicinskih slika

Student: Sara tirijan

Podru£je:

Prikladno za studij:

Preduvjeti:

Opis: U ovom radu treba analizirati rad sustava 3DSlicer koji je sustav otvorenog kodakoji iz snimke kompjuterske tomograje konstruira CAD model snimljenog objekta. Trebauspostaviti sustav te ga testirati na problemu rekonstrukcije ljudskog zuba iz CT snimke.

Literatura:

1. 3D Slicer, http://www.slicer.org/2. Fedorov A., Beichel R., Kalpathy-Cramer J., Finet J., Fillion-Robin J-C., Pujol S.,Bauer C., Jennings D., Fennessy F., Sonka M., Buatti J., Aylward S.R., Miller J.V., PieperS., Kikinis R. 3D Slicer as an Image Computing Platform for the Quantitative ImagingNetwork. Magnetic Resonance Imaging. 2012 Nov;30(9):1323-41. PMID: 22770690.3. http://bruker-microct.com/company/UM_abstracts/Methods&Software.pdf

93


Ra£unanje rezonantnih modova u sustavu BEM++

Student: Marko Dominkovi¢

Podru£je: Ra£unarstvo, Numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: U ovom radu treba implementirati iterativne metode za rje²avanje problema ra-£unanja rezonantnih modova u problemu akusti£kog ili elektromagnetskog raspr²enja usustavu BEM++. Prvi zadatak je realizirati metodu za ra£unanje najmanje singularnevrijednosti operatora raspr²enja. Nakon toga treba uzorkovati domenu u kompleksnoj rav-nini i u svakoj to£ki rije²iti problem singularnih vrijednosti te prikazati rje²enje u oblikupseudospektralnog portreta. Rezonance su one to£ke u pseudospektralnom portretu gdjeje inverz najmanje singularne vrijednost jako velik.

Literatura:

1. Acoustic scattering: high frequency boundary element methods and unied tran-sform methods. S.N. Chandler-Wilde and S. Langdon http://www.reading.ac.uk/web/files/maths/Preprint_MPS_14_21_Chandler-Wilde_Langdon.pdf2. BEM++ http://www.bempp.org/features.html#3. Modes and resonances of plasmonic scatterers. Jouni Makitalo and Martti KauranenPHYSICAL REVIEW B 89, 165429 (2014)

94


Sustav za davanje kontekstualiziranih preporuka na temeljurudarenja teksta

Student: Lena Kamenja²



Preduvjeti:

Opis: U ovom radu treba razviti sustava davanja preporuka za automatsko naru£ivanjeuredskog materijala temeljem povijesnih podataka o narudºbama. U radu tlakomjer trebaprikazati teoriju sustava za davanje kontekstualiziranih preporuka

Literatura:

1. Alice Rischert, Oracle SQL By Example, 4th Edition, Pearson Education, 2010.2. Benjamin Rosenzweig, Elena Rakhimov, Oracle PL/SQL by Example, Fourth Edition,Pearson Education, 2009.3. Joel Murach, Java Programming, 4th Edition, Mike Murach & Associates, 2011.4. Joel Murach, Michael Urban, Java Servlets and JSP, 3rd Edition, Shro Publishers &Distributors Pvt. Ltd., 2016.5. Stuart J. Russell, Peter Norvig, Articial Intelligence: A Modern Approach, Pearson,2015.6. Christopher M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2010.7. Tom M. Mitchell, Machine Learning, McGraw-Hill, 2017.

95


Metode Bayesovih neuronskih mreºa u kompjuterskom vidu

Student: Karla Kaniºaj



Preduvjeti:

Opis: U ovom radu treba razviti sustav za pra¢enje i registriranje objekata kori²tenjemBayesovih neuronskih mreºa. Takoer treba prikazati i osnovnu teoriju Bayesovih neuron-skih mreºa potrebnih za rje²avanje problema.

Literatura:

1. Bayesian multiple target tracking. Lawrence D. Stone. Boston, London : Artech Ho-use, 20142. Bayesian Networks and Ghostbusters http://cs.brown.edu/courses/cs141/assignment4.pdf3. ON-LINE OBJECT TRACKING WITH BAYESIAN NETWORKS http://users.isr.ist.utl.pt/~jsm/publications/WIAMIS04.pdf4. On-line Tracking Groups of Pedestrians with Bayesian Networks http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.381.2446&rep=rep1&type=pdf

96


Problem teselacije NURBS ploha

Student: Ana Mlinari¢

Podru£je:


Preduvjeti:

Opis: Cilj ovog rada je usporediti metode teseliranja NURBS ploha kori²tenjem algori-tama dostupnih u literaturi (prvenstveno nas zanima teselacija trokutima). Deniranjemjera kvalitete izvedene teselacije te usporedba kvalitete teselacije razli£itih algoritamana primjerima. Potrebno je realizirati teselacije za paralelno CPU ra£unanje i usporedbaperformansi s izvedbom u sustavu Open GL.

Literatura:

1. Adaptive Tessellation of NURBS Surfaces. F.J. Espino1 M. Boo1 M. Amor2 J.D.Bruguera1 Journal of WSCG,Vol.11,No.1.,ISSN 1213-69722. GPU-based trimming and tessellation of NURBS and T-Spline surfaces. Michael Gutheand Akos Balazs and Reinhard Klein, Universitat Bonn, Institute of Computer Science II3. Ecient trimmed NURBS tessellation. (Isti autori) Journal of WSCG, Vol.12, No.1-3,ISSN 1213-69724. Tessellation of Trimmed NURBS Surfaces using Multipass Shader Algorithms on theGPU. Prvostupni£ki zavr²ni rad Mark Geiger, DLR.

97


Objekno orijentirani pristup metodi kona£nih elemenata

Student: Ivan Lakovi¢

Podru£je: primijenjena matematika i ra£unarstvo


Preduvjeti:

Opis: U ovom radu potrebno je razviti python su£elje za rad sa sustavom OOFEM (objectoriented nite elements). Posebno, potrebno je razviti metodu ekstrakcije matrice kru-tosti te testirati metodu na primjerima iz prakse. Testni primjeri ¢e biti dani iz podru£jaanalize tankostjenih struktura u mehanici kontinuuma.

Literatura:

1. OOFEM dokumentacija https://github.com/oofem/oofem i https://github.com/oofem/oofem/blob/master/bindings/python/test.py2. B. Patzák: OOFEM - an object-oriented simulation tool for advanced modeling ofmaterials and structures. Acta Polytechnica, 52(6):5966, 2012.3. D. Rypl and B. Patzák: From the nite element analysis to the isogeometric analysis inan object oriented computing environment. Advances in Engineering Software, 44(1):116125,2012. doi:10.1016/j.advengsoft.2011.05.032.4. B. Patzak and Z. Bittnar: Design of object oriented nite element code. Advances inEngineering Software, 32(1011), 759767, 2001.

98

Mentor: Boris Gulja²

Kompaktni operatori u Banachovim prostorima

Podru£je: Funkcionalna analiza, Teorija operatora

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima,Metri£ki prostori

Opis: Kompaktni operatori na Banachovim prostorima su operatori koji preslikavajuograni£ene skupove u predkompaktne skupove, tj. skupove £iji zatvara£ je kompaktanskup. Oni su uniformni limesi operatora kona£nog ranga i po svojstvima su najsli£nijioperatorima na vektorskim prostorima kona£ne dimenzije.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora i struktura koje oni tvore. Takoer seplanira obraditi neke njihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, New York,1980.Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

99


Nuklearni operatori



Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatorana Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H → H ima prikaz oblika

Ax =∞∑n=1

λn(x|un)en,∀x ∈ H,

gdje su (un)n i (en)n ortogonalni nizovi vektora, ∀n ∈ N, λn ≥ 0 i λn → 0. Operator jenuklearan ako vrijedi

∑∞n=1 λn <∞

U bilo kojoj ortonormiranoj bazi mogu¢e je denirati (kona£an) trag operatora kao tragpripadne (beskona£ne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnihoperatora denira se norma tako da je on zatvara£ u toj normi skupa svih operatorakona£nog ranga.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi nekenjihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005,Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

100


Zatvoreni operatori




Opis: Linearan operator A : D(A) → Y , D(A) ⊆ X, je zatvoren operator ako je njegovgraf Γ(A) = (x,Ax)|x ∈ X ⊆ X × Y zatvoren potprostor u X × Y , gdje su X, YBanachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograni£e-nih linearnih operatora na beskona£no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbogteorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograni£en onda je nuºno D(A) 6= X.

Cilj rada je prou£iti koje teoreme iz teorije ograni£enih linearnih operatora je mogu¢epro²iriti na zatvorene operatore.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

101


Spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore




Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poop¢enja rezultata iz kona£no dimenzionalnihvektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovaraju¢ih klasa operatora uortonormiranim bazama. U su£aju beskona£no dimenzionalnih Hilbertovih prostora radise o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. fami-lije ortogonalnig projektora Eλ;λ ∈ K, gdje je K = R u slu£aju hermitskih operatora iK = C u slu£aju normalnih operatora. Tada je mogu¢ prikaz operatora u obliku

A =

∫KλdEλ.

Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore i opisati nekenjegove primjene. Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963,Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973.

102

Mentor: Marcela Hanzer

p-adski redovi potencija

Podru£je: algebra, teorija brojeva


Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis: Tehnike nearhimedske analize imaju mno²tvo primjena u modernoj matematici,npr. u teoriji brojeva i teoriji reprezentacija. U radu bi se krenulo s bazi£nim konceptima:najprije bi se uveli p-adskih brojevi i prou£avala njihova aritmetika, a zatim bi se izgradilopro²irenje polja p-adskih brojeva koje je i algebarski zatvoreno i potpuno, time daju¢i p-adski analog kompleksnih brojeva (koji su i potpuni i algebarski zatvoreni). Nakon togabi se bavilo osnovnom temom rada, a to su p-adski redovi potencija. Prou£avalo bi seneke interesantne primjere, kao npr. p-adski logaritam i eksponencijalna funkcija, p-adskagamma i Artin-Hasseova eksponencijalna funkcija. Prou£avalo bi se i Newtonove poligonei dokazala p-adska verzija Weierstrassovog pripremnog teorema.

Literatura:

Weil, Basic number theory, Springer 1995.Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta functions, Springer, 1984.

103


Reprezentacije grupe GL2(Fq), gdje je Fq kona£no polje

Podru£je: algebra, teorija reprezentacija


Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis: Op¢e linearne grupe (nad proizvoljnim poljima) £ine jednu od najzna£ajnih serijagrupa koje se javljaju u najrazli£itijim granama matematike. Najednostavnije je razumi-jeti njihove reprezentacije ako je rije£ o grupama koje su i kona£ne, dakle, nad kona£nimpoljima. U radu bi se prvo objasnili osnovni pojmovi vezani uz teoriju reprezentacija ko-na£nih grupa nuºni za razvoj teorije, posebno konjugacijske klase i karakteri. Naglasak uradu bi bio na kori²tenju tih osnovnih pojmova u eksplicitnom izra£unu svih ireducibilnihreprezentacija op¢e linearne grupe reda 2 nad kona£nim poljima.

Literatura:

Fulton-Harris, Representation theory-A rst course, Springer 1991.

104


Teorija reprezentacija kona£nih grupa; Artinov teorem

Podru£je: algebra, teorija reprezentacija


Preduvjeti: Algebarske strukture, poºeljno i Algebra

Opis: Reprezentacije kona£nih grupa su vrlo zna£ajne za primjene u zici ili kvantnojkemiji, a u matematici su, zajedno s klasi£nom harmonijskom analizom, ishodi²na to£ka urazvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebaodati osvrt na osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, teoriju karaktera i osnovnekoncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnihgrupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju zna£ajnuulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prou£avanju L-funkcija.

Literatura:

Serre, Linear representations of nite groups, Springer 1977.Curtis, Reiner, Representation theory of nite groups and associative algebras, Wiley,1962.

105


Lokalno kompaktne grupe

Podru£je: algebra, funkcionalna analiza


Preduvjeti: Algebarske strukture i Normirani prostori

Opis: U suvremenoj algebri i harmonijskoj analizi od velikog zna£enja su topolo²ke grupe,naro£ito lokalno kompaktne grupe. U radu bi se dale osnove teorije topolo²kih grupa tedokazala egzistencija Haarove mjere na lokalno kompaktnim grupama. Uz kratko ponav-ljanje potrebnih £injenica iz teorije mjere, izu£avala bi se modularna funkcija te konvo-lucija na lokalno kompaktnoj grupi kao i Lp prostori na lokalno kompkatnoj grupi. Nakraju bi se dali neki osnovni rezultati o homogenim prostorima i egzistenciji invarijantnihmjera na takvim prostorima.

Literatura:

Folland, A course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, 1995.

106

Mentor: Vjeran Hari

Realna CJ metoda za generalizirani problem vlastitih vrijednosti

Podru£je: linearna algebra, matri£ni algoritmi



Opis: Rad bi prou£avao relativnu to£nost nove dijagonalizacijske metode za GPVV. Me-toda se primijenjuje na par simetri£nih matrica (A,B) od kojih je B pozitivno denitna.Prvo se dijagonalni elementi od B svedu da budu 1. Metoda je tako konstruirana da £uvate jedinice na dijagonali od B. U jednom koraku metode, obje pivotne podmatrice A i Bse dijagonaliziraju transformacijom kongruencije. To se postiºe tako da se na£ini LLT iliRRT faktorizacija od B, nakon £ega se primijeni transformacija kongruencije sa inverz-nim faktorima, tako da B postane jedini£na matrica I2. Nakon toga primijeni se obi£naJacobijeva transformacija koja dijagonalizira aºuriranu matricu A. Izbor LLT ili RRT

faktorizacije u svakom koraku ovisi o tome da li je prvi pivotni dijagonalni element aiimanji ili ve¢i od drugog pivotnog dijagonalnog elementa ajj, i < j, a to garantira visokurelativnu to£nost metode. U radu bi se prou£avala upravo relativna to£nost izra£unatihvlastitih vrijednosti i vektora, a takoer dokazao bi se teorem o globalnoj konvergencijimetode. Od alata, koristio bi se MATLAB i njegov Symbolic toolbox.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.V. Hari, E. Begovi¢, Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods.Electronic transactions on numerical analysis (ETNA) 46, 107-147 (2017)Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

107

Mentor: Vjeran Hari

Kompleksna CJ metoda za generalizirani problem vlastitihvrijednosti




Opis: U radu bi se izvela nova metoda za ra£unanje vlastitih vrijednosti i vektorapara kompleksnih hermitskih matrica. Metoda se primijenjuje na par hermitskih ma-trica (A,B) pri £emu je B pozitivno denitna. Prvo se dijagonalni elementi od B sveduda budu 1. Metoda je tako konstruirana da £uva te jedinice na dijagonali od B. U jednomkoraku metode, obje pivotne podmatrice A i B reda 2 se dijagonaliziraju transformacijomkongruencije. To se postiºe tako da se na£ini LL∗ ili RR∗ faktorizacija od B, nakon £egase primijeni transformacija kongruencije sa inverznim faktorima, tako da B postane jedi-ni£na matrica I2. Nakon toga primijeni se obi£na kompleksna Jacobijeva transformacijakoja dijagonalizira aºuriranu matricu A. Izbor LL∗ ili RR∗ faktorizacije u svakom korakuovisi o tome da li je prvi pivotni dijagonalni element aii manji ili ve¢i od drugog pivotnogdijagonalnog elementa ajj, i < j, a to garantira visoku relativnu to£nost metode. U radubi se izveo algoritam i testirala bi se njegova to£nost u MATLABu.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.

Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

108

Mentor: Vjeran Hari

Blok HZ metoda




Opis: Ova tema je orijentirana prema izvodu i implementaciji blok HZ metode za po-zitivno denitni par simetri£nih matrica. Metoda ra£una vlastite vrijednosti i vektoreza problem vlastitih vrijednosti Ax = λBx, gdje su A i B simetri£ne, a B je pozitivnodenitna. Metoda koristi transformacije kongruencije sa elementarnim blok matricama.Prvo se odredi particija broja n (red matrica), n = n1 + n2 + · · · + nm. Zatim se na£iniparticija matrica (blok-matri£na particija) A = (Ars), B = (Brs), pri £emu su dijagonalniblokovi Aii i Bii reda ni, 1 ≤ i ≤ m. Metoda prvo svede dijagonalne blokove da budujedini£ne matrice. U dvije petlje, prvo po i (od 1 do m − 1), pa po j (od i + 1 do m)transformacijom kongruencije dijagonalizira pivotne podmatrice

A =

[Aii AijAji Ajj

]i B =

[Bii Bij

Bji Bjj

].

Zatim se dobivena matrica transformacije umetne u veliku matricu transformacije Fijkoja transformira matrice: F T

ijAFij, FTijBFij. Postupak se ponavlja dok se matrice A i B

dovoljno ne dijagonaliziraju. Cilj rada je napisati program u MATLABu ili nekom vi²emprogramskom jeziku i na£inite testove to£nosti metode.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.V. Hari, E. Begovi¢, Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods.Electronic transactions on numerical analysis 46, 107-147 (2017)Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

109

Mentor: Vjeran Hari

Relativna to£nost HZ metode




Opis: Ova tema je orijentirana prema ispitivanju to£nosti HZ metode za pozitivno de-nitni par simetri£nih matrica. Metoda ra£una vlastite vrijednosti i vektore za genera-lizirani problem vlastitih vrijednosti Ax = λBx, gdje su A i B simetri£ne, a B je pozi-tivno denitna. Metoda koristi transformacije kongruencije sa elementarnim ravninskimmatricama. Treba na£initi analizu gre²aka zaokruºivanja jednog koraka metode i zatimusporedno na£initi testiranje na ra£unalu. Pritom se moºe koristiti MATLAB i njegovSymbolic Toolbox koji ima funkciju vpa (variable precision arithmetic) s kojom se moºera£unati u aritmetici vi²estruke to£nosti. Cilj je otkriti slabe to£ke algoritma i uvjete podkojima je metoda to£na.

Literatura:

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive denite matrix pairs, DOI:10.1007/s11075-017-0435-5. Rad je prihva¢en za objavljivanje u £asopisu Numerical Al-gorithms.Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB,(ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html)

110

Mentor: Miljenko Huzak

Tehnike redukcije varijance u Monte Carlo simulacijama sprimjenama u nancijskoj matematici

Student: Lucija igni¢



Preduvjeti: Predznanje iz "Matemati£ke statistike", "Statisti£kog praktikuma 1", Fi-nancijskog praktikuma" i "Financijskog modeliranja 1 i 2"

Opis: Tehnike redukcije varijance koriste se za pove¢avanje u£inkovitosti metode MonteCarlo. U radu ¢e se diskutirati, na primjer, tehnike kontrolnih i antiteti£kih varijata, stra-ticiranog uzorkovanja i drugih. Navedene tehnike ¢e se ilustrirati primjerima primjeneu nancijskoj matematici.

Literatura:

P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financual Engineering, Springer, New York,2004.R. Korn, E. Korn, G. Kroisandt, Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insu-rance, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2010.D. L. McLeish, Monte Carlo Simulation & Finance, Wiley, Hoboken NJ, 2005.P. Brandimarte, Handbook in Monte Carlo Simulation, Wiley, Hoboken NJ, 2014.

111


Asimptotska svojstva Bayesovog procjenitelja

Student: Josip Kiralj

Podru£je: Matemati£ka statistika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Predznanje iz "Matemati£ke statistike" i "Teorije vjerojatnosti 1-2"

Opis: Bayesovsko procjenjivanje parametara statisti£kih modela je ²iroko primjenjivanastatisti£ko-inferencijalna paradigma. Tema obuhva¢a deniciju i analizu svojstava Baye-sovog procjenitelja parametara regularnih statisti£kih modela s posebnim naglaskom naanalizu njegovih asimptotskih svojstava.

Literatura:

T.S. Ferguson, A Course in Large Sample Theory, Chapman & Hall, 1996.J.K. Ghosh, R.V. Ramamoorthi, Bayesian Nonparametrics, Springer, 2003.A. DasGupta, Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer, 2008.

112


Izglaivanje empirijskih krivulja

Student: Nevena Rada²inovi¢

Podru£je: Matemati£ka statistika


Preduvjeti: Predznanje iz "Matemati£ke statistike" i "Primijenjene statistike"

Opis: Tema izglaivanja empirijskih krivulja vezana je uz podru£je neparametrijske re-gresije. Cilj je prona¢i dovoljno glatku procjenu krivulje (x, r(x)), takve da za podatke(xi, Yi) (i = 1, . . . , n) vrijedi regresijska relacija Yi = r(xi) + εi (za svaki i). Rad obuhva¢aopis metoda nalaºenja i analize linearnih procjenitelja regresijskih funkcija.

Literatura:

L. Wasserman, All of Nonparametric Statistics, Springer, 2006.P.P.B. Eggermont, V.N. LaRiccia, Maximum Penalized Likelihood Estimation. Volume I:Density Estimation, Springer, 2001.P.P.B. Eggermont, V.N. LaRiccia, Maximum Penalized Likelihood Estimation. VolumeII: Regression, Springer, 2009.

113


Vi²estruko ºivotno osiguranje

Student: Karolina Ocvirek

Podru£je: Aktuarska matematika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Predznanje iz "Uvoda u aktuarsku matematiku"

Opis: Vi²estruko ºivotno osiguranje odnosi se na osiguranje ºivota vi²e osoba vezanihjednim ugovorom. Tema obuhva¢a precizan matemati£ki opis problema, denicije osnov-nih pojmova (vi²estrukih) ºivotnih osiguranja baziranih na teoriji doºivljenja i nancijskojmatematici, pretpostavke na kojima se modeli baziraju, te osnovne rezultate te teorije.

Literatura:

H.U. Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer, 1997.F.E. De Vylder, Life Insurance Theory. Actuarial Perspectives, Kluwer Academic Publi-shers, 1997.

114


Regresijska analiza vi²ekategorijskih varijabli odziva

Student: Ivana Bari²i¢

Podru£je: Matemati£ka i primijenjena statistika


Preduvjeti: Predznanje iz "Matemati£ke statistike", "Statisti£kog praktikuma 1", "Pri-mijenjene statistike" i "Odabrane statisti£ke metode u biomedicini"

Opis: Regresijska analiza vi²ekategorijskih varijabli odziva je pro²irenje logisti£ke regre-sije na slu£ajeve kada kategorijska varijabla odziva nije dihotomna. U radu ¢e se opisatipristup statisti£kog modeliranja takvih problema, analizirati svojstva procjenitenja dobi-venih metodom maksimalne vjerodostojnosti i diskutirati primjenu asimptoti£kih testovaprilagodbe modela podacima i zna£ajnosti parametara. Primjena metode ilustrirat ¢e sena primjeru iz biomedicine.

Literatura:

R. Christensen, Log-linear models and logistic regression, Springer-Verlag, New York,1997.J. M. Hilbe, Logistic Regression Models, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2009.

115

Mentor: Miljenko Huzak Neposredni voditelj: Azra Tafro

Parametarski proporcionalni modeli rizika

Student: Anamarija Cvitkovi¢

Podru£je: Primijenjena statistika

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Predznanje iz "Matemati£ke statistike", "Statisti£kog praktikuma 1" i "Uvodau aktuarsku matematiku"

Opis: Analiza doºivljenja je skup statisti£kih metoda kojima se istraºuje vrijeme do po-jave nekog dogaaja, a svoju primjenu ima u raznim podru£jima istraºivanja: aktuarstvu,biomedicini, strojarstvu itd. Jedan od temeljnih pojmova je funkcija hazarda, u nekimznanostima poznata i kao intenzitet smrtnosti, stopa smrtnosti ili hazardna stopa. Postojinekoliko pristupa modeliranju te funkcije, a jedan od njih je parametarski proporcionalnipristup koji pretpostavlja da funkcija ovisi o prediktorskim varijablama na speci£an na-£in. U radu ¢e se opisati nekoliko varijanti tog pristupa i na£in procjene parametara umodelima, analizirati prikladnost i svojstva procjenitelja te ilustrirati primjena modela.

Literatura:

F. E. Harrell, Jr., Regression Modeling Strategies, Springer, New York, 2001.J. P. Klein, M. L. Moeschberger, Survival Analysis: Techniques for Censored and Trun-cated Data, Springer-Verlag, New York, 1997.R. C. Elandt-Johnson, N. L. Johnson, Survival Models and Data Analysis, Wiley, NewYork, 1999.

116

Mentor: Goran Igaly

Dubinsko strojno u£enje za projekciju sintakti£kih ovisnostiDeep Machine Learning for Syntactic Annotation Projection

Student: Tina Mari¢


Prikladno za studij: Diplomski studij ra£unarstva i matematike

Preduvjeti: Strojno u£enje, Ra£unarski praktikum 1, Strukture podatka i algoritmi

Opis: Sintakti£ko ovisnosno parsanje u okviru nadziranog u£enja kod ozna£enih teks-tova doºivjelo je veliki napredak u zadnjem desetlje¢u. Parseri s visokom u£inkovito²¢upostoje za vi²e od 50 jezika. Velikim dijelom je to omogu¢eno zbog projekta UniversalDependencies u kojem su uniformno ozna£eni (anotirani) podaci za u£enje. Ipak, ti jezici£ine mali udio meu svim svjetskim jezicima. Mnogi jezici nemaju ozna£ene tekstove tese javlja interes za prijenosno u£enje kroz vi²e jezika s ciljem za pobolj²anje sintaksneanalize za ciljne jezike s nedovoljno podataka. Projekcija anotacija je postupak kojim sestvaraju podaci za u£enje za ciljni jezik. Pomo¢u tih podataka mogu¢e je u£iti ovisnosneparsere. Budu¢i da je algoritam za projekciju sintakti£kih ovisnosti stati£an, uspje²nostovisi o kvaliteti poravnanja re£enica i rije£i paralelnih tekstova. Postupci poravnanja suuglavnom automatski i uzrokuju ²um u podacima ²to naposljetku doprinosi lo²oj u£inko-vitosti parsera. U ovom radu istraºit ¢e se mogu¢nosti pobolj²anja projekcija sintakti£kihovisnosti kori²tenjem dubinskog strojnog u£enja. Uvodi se nov postupak projekcije ano-tacija koji u£i prilagodbu poravnanja za optimalnu u£inkovitost projekcije ovisnosti i zaovisnosno parsanje jezika s nedovoljno podataka.

Literatura:

http://people.cs.pitt.edu/~hwa/nle04draft.pdfhttp://aclweb.org/anthology/D/D11/D11-1006.pdfhttp://aclweb.org/anthology/C/C14/C14-1175.pdfhttp://www.jair.org/media/4785/live-4785-9084-jair.pdfhttp://aclweb.org/anthology/Q/Q16/Q16-1022.pdf

117

Mentor: Goran Igaly

Ra£unalna simulacija edukacijskog robota mBot

Student: Nikola Trstenjak


Prikladno za studij: Diplomski sveu£ili²ni studij Matematika i informatika; smjer: nas-tavni£ki

Preduvjeti: Ra£unarski praktikum 1, Strukture podataka i algoritmi, Programiranje 2

Opis: Edukacijski robot mBot koristi se u osnovno²kolskom i srednjo²kolskom obrazova-nju i putem njega se u£enici upoznaju s pojmovima senzora i aktuatora, odnosno upoz-naju postupke u kojima zi£ki objekt provodi odreene radnje na temelju informacija kojeprima iz okoline. Iz tehni£kih razloga nije mogu¢e vjeºbe koje zahtijevaju kretanje robotapo prostoru organizirati uz istovremeno kori²tenje ve¢eg broja robota. Stoga bi se simu-lacijom rada robota pove¢ala pristupa£nost takvoj vrsti nastave. Ra£unalna simulacijarobota mBot realizirala bi se u programskom jeziku C++ uz primjenu gra£kog standardaOpenGL. U ovom diplomskom radu napravila bi se simulacija kretanja robota mBot poprostoru kao rezultat naredbi zadanih u su£elju mBlock kori²tenjem programskog jezikaC++ te predo£enje rezultata uz pomo¢ trodimenzionalnih objekata.

Literatura:

J. Gregory, Game Engine Architecture, Second Edition, CRC Press, 2014.B. Stroustrup, The C++ Programming Language, Fourth Edition, Addison-Wesley, 2013.Opengl-tutorial, http://www.opengl-tutorial.org/ 28.10.2017.Creating mBlock Extensions http://download.makeblock.com/mblock/mblock_extension_guide.pdf 28.10.2017.

118

Mentor: Goran Igaly

Detekcija i prepoznavanje objekata kori²tenjem mikrokontrolerau nastavi informatike

Student: Ana Logaru²i¢

Podru£je: Nastava matematike i informatike

Prikladno za studij: Diplomski sveu£ili²ni studij Matematika i informatika; smjer: nas-tavni£ki

Preduvjeti: Metodika nastave informatike 1 i 2, Ra£unarski praktikum 1, Multimedijskisustavi

Opis: Mikrokontroleri se sve £e²¢e koriste u nastavi informatike. Zbog mogu¢nostispajanja razli£itih ulaznih i izlaznih jedinica u£enicima je programiranje mikrokontrolerazanimljivo i zabavno. U ovom radu ¢e se pokazati primjeri kori²tenja senzora objekatarealiziranog pomo¢u kamere Pixy koja mikrokontroleru prosljeuje informaciju o poloºajupojedinih objekata. Na temelju te informacije mikrokontroler moºe poduzimati razli£iteakcije. Pokazat ¢e se razni primjeri, zadaci i projekti primjereni u£enicima osnovnih isrednjih ²kola u kojima se moºe koristiti ova vrsta ulaznih podataka.

Literatura:

Paolo Zenzerovi¢, Arduino kroz jednostavne primjere 2. izdanje, Hrvatska zajednica teh-ni£ke kulture, 2015.Bert Van Dam, ARDUINO UNO - 45 PROJECTS FOR BEGINNERS AND EXPERTS,ELEKTOR, 2016.Arduino, https://www.arduino.cc/, 30.10.2017.Pixy Quick start, http://cmucam.org/projects/cmucam5/wiki/Pixy_Regular_Quick_Start, 30.10.2017.Instructables, http://www.instructables.com, 30.10.2017.

119

Mentor: Goran Igaly

Trigonometrija u GeoGebri i njena primjena u nastavimatematike

Student: Maja Marasovi¢

Podru£je: Nastava matematike

Prikladno za studij: Diplomski sveu£ili²ni studij Matematika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Primjena ra£unala u nastavi matematike

Opis: Trigonometrija je podru£je matematike koje se po£inje obraivati u srednjoj ²kolii ve¢ini u£enika stvara problem. Zato ¢e se u ovom radu pokazati kako se trigonometrijamoºe pribliºiti u£enicima putem GeoGebre na zanimljiv i u£enicima prihvatljiv na£in.Razli£itim zadacima, animacijama i ²irokom mogu¢no²¢u upotrebe, GeoGebra je vrloprimjenjiva u nastavi, ali i u£enicima korisni ra£unalni program za uvjeºbavanje gradiva.Takoer ¢e se obraditi odreeni nastavni satovi u kojima ¢e se trigonometrija pojasnitiGeoGebrom.

Literatura:

B. Daki¢, N. Elezovi¢, Matematika 2, udºbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije,1.dio, Element, Zagreb, 2008.B. Daki¢, N. Elezovi¢, Matematika 3, udºbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije,1.dio, Element, Zagreb, 2007.Damir Belavi¢, Mala ²kola GeoGebre,https://www.geogebra.org/m/eehF54nU, 19.09.2017.ime ulji¢, Kako izraditi e-udºbenik na platformi GeoGebra,https://www.geogebra.org/m/A4eVwsRJ, Mi 85.Josip Kli£inovi¢, GeoGebra appleti,http://kjosip.net.amis.hr/geogebra.htm, 19.09.2017.Maja Star£evi¢, Primjena ra£unala u nastavi matematike ,https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/rnm/, 19.09.2017.

120

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Hosszúova funkcijska jednadºba

Student: Nikolina Ivankovi¢

Podru£je: Teorija funkcijskih jednadºbi


Preduvjeti: nema

Opis: Funkcijske jednadºbe su jednadºbe u kojima su nepoznanice funkcije. Zadatakovog diplomskog rada je prou£iti Hosszúovu funkcijsku jednadºbu f(x+y−xy)+f(xy) =f(x) + f(y) i njena poop¢enja.

Literatura:

D. Blanu²a, The functional equation f(x + y − xy) + f(xy) = f(x) + f(y), AequationesMath. 5 (1970), 6367.P. Kannappan, Functional equations and inequalities with applications, Springer Mono-graphs in Mathematics, Springer, New York, 2009.P.K. Sahoo, P. Kannappan, Introduction to functional equations, CRC Press, Boca Raton,FL, 2011.C.G. Small, Functional equations and how to solve them, Problem Books in Mathematics,Springer, New York, 2007.

121


Karakterizacije unitarnih prostora

Student: Sanela Cinek

Podru£je: Teorija funkcijskih jednadºbi


Preduvjeti: nema

Opis: Poznato je da je svaki unitaran prostor normiran pa je prirodno pitati se kojenorme proizlaze iz skalarnog produkta. Jedan od najstarijih odgovora na ovo pitanjedan je Jordanvon Neumannovim teoremom koji karakterizira unitarne prostore meunormiranim prostorima preko jednakosti paralelograma

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.

Jednakost paralelograma se prevodi u funkcijsku jednadºbu

q(x+ y) + q(x− y) = 2q(x) + 2q(y)

poznatu kao kvadratna funkcijska jednadºba. Zadatak ovog diplomskog rada je izloºitikarakterizacije unitarnih prostora pomo¢u razli£itih funkcijskih jednadºbi.

Literatura:

P. Kannappan, Functional equations and inequalities with applications, Springer Mono-graphs in Mathematics, Springer, New York, 2009.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, Zagreb, 1990.P.K. Sahoo, P. Kannappan, Introduction to functional equations, CRC Press, Boca Raton,FL, 2011.C.G. Small, Functional equations and how to solve them, Problem Books in Mathematics,Springer, New York, 2007.

122


Hahn-Banachov teorem



Preduvjeti: Kolegij "Normirani prostori"

Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegovaklasi£na verzija se odnosi na pro²irenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskograda je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovomdokazu.

Literatura:

S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1974.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, kolska knjiga, Zagreb, 1990.

123

Mentor: Zvonko Iljazovi¢

Aksiomi kompleksnih brojeva

Student: Lana Kralj

Podru£je: analiza


Opis: U ovom radu ¢e se prou£avati kompleksni brojevi na na£in da ¢e se oni deniratipreko odreenih aksioma, odnosno kao elementi odree apstraktne strukture. Nadalje,prou£avat ¢e se razna svojstva kompleksnih brojeva.

Literatura:

S. Kurepa, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1997.S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1991.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

124


Elementarni aspekti diferencijabilnosti

Student: Alena Protulipac

Podru£je: analiza


Opis: Cilj ovog diplomskog rada jest prou£iti neke aspekte diferencijabilnosti te takoerdati i ²iri kontekst potreban za to. Pri tome je cilj preciznim matemati£kim metodamauvesti pojmove koji se promatraju te dokazati razne £injenice vezane za derivabilnostrealnih funkcija realne varijable.

Literatura:

S. Kurepa, Matemati£ka analiza 2, kolska knjiga, Zagreb, 1997.S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1991.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

125


Kardinalnost skupova

Student: Danijela Protega

Podru£je: osnove matematike


Opis: U ovom diplomskom radu prou£avat ¢e se neki temeljni pojmovi vezani za skupove,a u fokusu ¢e biti prou£avanje pojma kardinalnosti skupa. Cilj je precizno dokazati razne£injenice s tim u vezi, a ujedno i dati ²iri kontekst prou£avanja.

Literatura:

S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1991.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

126


Skupovi kao temeljni matemati£ki koncept

Student: Katarina Vidovi¢

Podru£je: osnove matematike


Opis: U ovom diplomskom radu ¢e se prou£avati elementarni aspekti teorije skupova kaotemelj preciznosti u izricanju matemati£ke spoznaje. Cilj je obraditi neke od tih aspekatate vidjeti na koji na£in se oni pojavljuju u matematici.

Literatura:

S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1991.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

127


Topolo²ki aspekti aksioma potpunosti

Student: Martina Volari¢

Podru£je: analiza i topologija


Opis: U ovom radu ¢e se prou£avati potpunost skupa realnih brojeva. Cilj je dokazatineke vaºne £injenice koje slijede iz aksioma potpunosti te ujedno vidjeti na koji na£in sete £injenice mogu dokazati koriste¢i topolo²ke koncepte.

Literatura:

S. Kurepa, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1997.S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1, kolska knjiga, Zagreb, 1991.W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

128

Mentor: Julije Jak²eti¢ Suvoditelj: Zrinka Franu²i¢

Sangaku-geometrija japanskih hramova

Student: Ana-Maria Rotim



Preduvjeti: Poºeljno znanje iz kolegija Konstruktivne metode u geometriji

Opis: Sangaku su japanski geometrijski problemi odnosno teoremi £iji su iskazi, zajednosa slikama, urezani i izloºeni na drvenim plo£ama u budisti£kim hramovima. Osnovnigeometrijski objekti Sangaku problema su kruºnice, duºine, lukovi, mahom u tangencijal-nim odnosima, te se time, kao prirodan pristup, name¢e kori²tenje inverzije i negativneinverzije. Kod crtanja slika, u radu ¢e se koristiti geometrijski program Geogebra kao iprogrami za vektorsku graku Asymptote i Tikz.

Literatura:

V. Devide, udesna matematika: pogled iznutra i izvana, Hrv. matem. dru²tvo, Zagreb,2010.H. Fukagawa, D. Pedoe, Japanese Temple Geometry, Charles Babbage Research Founda-tion, Winnipeg, Canada, 1989.D. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 1994.D. Palman, Geometrijske konstrukcije, Element, Zagreb, 1996.

129


Arhimedova metoda teºi²ta

Student: Tajana Beri¢



Preduvjeti: nema

Opis: Ideja teme je kona£nom skupu to£aka u ravnini pridruºiti pozitivne brojeve koji seinterpretiraju kao mase koncentrirane u tim to£kama. Kako se pokazuje, tom skupu to£akase moºe pridruºiti jedinstvena to£ka u ravnini koja se naziva te²iste tog sustava to£aka.Zgodnim odabirom masa rasporeenih vrhovima trokuta dokazuju se svi osnovni pou£cio osobitim to£kama trokuta (ortocentar, teºi²te, centar opisane kruºnice,...). Pristup sedalje pro²iruje na alternativni dokaz Cevinog, Menelajevog i Van Aubelovog teorema.Analogno ¢e se tretirati neki pou£ci o £etverokutu,...,n−terokutu. Dalje, bit ¢e dokazanLagrangeov i Steinerov teorem £ime ¢e biti omogu¢eno dokazivanje nekih identiteta veza-nih za sume prirodnih brojeva kao i brojnih poznatih nejednakosti. Slike u radnji biti ¢eizraene kori²tenjem Geogebre i programa za vektorsku graku Asymptote .

Literatura:

P. Mladini¢, B. Pavkovi¢, Arhimedova metoda teºi²ta, Hrv. matem. dru²tvo, Zagreb,1998.V. Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry, v.1 Plane Geometry,https://issuu.com/russelleguadalupe/docs/planegeo

130


Vizualni dokazi

Student: Anja Kocijan



Preduvjeti: nema

Opis: U brojnim matemati£kim knjigama, stu£nim radovima mogu se na¢i vizualni do-kazi tj. dijagrami u kojima je na zoran, koncizno intrigantan na£in dokazana manje ilivi²e sloºena matemati£ka tvrdnja. Radnja ¢e biti sistematizirana po podru£jima koje di-jagrami dokazuju.

Literatura:

R.B. Nelsen, Proofs without Words I, The Mathematical Association of America, Washin-gton, 1993.R.B. Nelsen, Proofs without Words II, The Mathematical Association of America, Wa-shington, 2000.

131


Princip invarijantnosti

Student: Petra Poto£ki

Podru£je: metodika nastave matematike


Preduvjeti: nema

Opis: Invarijantnost je svojstvo koje se ne mijenja pri provoenju koraka nekog algoritmakoji je eksplicitno ili implicitno zadan samim matemati£kim problemom. Uo£avanje inva-rijantnosti, kao heuristi£kog na£ela, ¢e biti provedeno kroz mno²tvo tematski sloºenihprimjera.

Literatura:

A. Engel, Problem-solving strategies, Springer, New York, 1998.

132

Mentor: Anamarija Jazbec

Analiza panel podataka

Student: Matea Pavi¢

Podru£je: Statistika


Preduvjeti: nema

Opis: Panel podaci su kombinacija presje£nih podataka (engl. Cross-Sectional data) ivremenskih nizova (engl. Time series data). Presje£ni podaci su podaci vi²e subjekata uistoj to£ci vremena, dok su vremenski nizovi podaci subjekata u vi²e vremenskih to£aka.Panel podaci (ili longitudinalni podaci) su kombinacija presje£nih podataka i vremenskihnizova.

Literatura:

1. Baltagi BH(2008) Econometric Analysis of Panel Data, 4th Edition, Wiley & Sons,New York.2. https://www.princeton.edu/~otorres/Panel101.pdf

133


Analiza ishoda lije£enja pacijenata s Clostridium dicileinfekcijom logisti£kom regresijom

Student: Matea Bogdani¢



Preduvjeti: nema

Opis: Dijareja uzrokovana bakterijom Clostridium dicile je jedna od £e²¢ih neºeljenihposljedica primjene antibiotske terapije. Procjenjuje se da je bakterija C. dicile uzro£-nik oko 25% slu£ajeva postantimikrobne dijareje te je uzro£nik gotovo svih te²kih oblikabolesti. Infekcija se moºe o£itovati ²irokim spektrom klini£kih stanja, od asimptomatskekolonizacije crijeva preko blagog proljeva do ºivotno ugroºavaju¢e bolesti. Od 1970-ihgodina, kada je dokazana uloga C. dicile u patogenezi bolesti, pa do na²ih dana dolazido porasta incidencije te²kih oblika bolesti i sklonosti ponavljaju¢em pojavljivanju i stogaraste medicinski i ekonomski zna£aj ove infekcije. Podaci su prikupljeni iz Arhive zamedicinsku dokumentaciju Klinike za infektivne bolesti "Dr. Fran Mihaljevi¢". Zavisnavarijabla bi bio stupanj infekcije, dok su neke od analiziranih nezavisnih varijabli su tra-janje hospitalizacije, kroni£ne bolesti pacijenta, klini£ka teºina bolesti, po£etak bolesti (ubolnici/van bolnice), podrijetlo bolesti, trigeri, broj ataka bolesti, ukupno trajanje tera-pije, konkomitantne infekcije, boravak u jedinici intenzivne medicine.

Literatura:

1. Hosmer DW, Lemeshow S (1989), Applied Logistic Regression, John Wiley & Sons,New York.2. Allison P.D. (1999) Logistic Regression Using SAS: Theory and Application. Cary,NC:SAS Institute Inc.3. Stokes, M.E., Davis C.S., Koch G.G. (2000) Categorical Data Analysis Using SASSystem, Second Edition. Cary, NC:SAS Institute Inc.

134


Strukturirano modeliranje

Student: Marin Krsti£evi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Strukturirano modeliranje (engl. Structural Equation Modeling) je skup statisti£-kih metoda za analizu povezanosti izmeu jedne ili vi²e nezavisnih varijabli s jednom ilivi²e zavisnih varijabli. Nezavisne i zavisne varijable mogu biti i/ili diskretne ili kontinu-irane. Naj£e²¢e metode su multipla regresija, eksplorativna faktorska analiza, kanoni£kakorelacija itd.

Literatura:

1. Tabachnick BG, Fidell LS (2001) Using Multivariate Statistics, Chapter 14, Allyn &Bacon, Boston.2. https://www.researchgate.net/publication/27706391_An_Introduction_to_Structural_Equation_Modeling

135

Mentor: Mladen Jurak

Paralelne strukture podataka bazirane na meusobnomisklju£ivanju

Student: Mislav Kuzmi¢



Preduvjeti: Objektno programiranje (C++), Strukture podataka i algoritmi

Opis: Strukture podataka koje se koriste u programiranju moraju biti modicirane kakobi im se moglo sigurno pristupiti iz vi²e razli£itih dretvi (programskih niti). U radu je po-trebno prou£iti podr²ku vi²edretvenom programiranju koja je standardizirana u program-skom jeziku C++ 2011. godine. Potrebno je opisati mehanizme za pristup zajedni£kimresursima na bazi meusobnog isklju£ivanja te mehanizme za sinhronizaciju paralelnihprograma sa dijeljenom memorijom. Odabrati jednu strukturu podataka i prikazati njenuparalelnu izvedbu u C++11 jeziku. Napraviti vlastite programske primjere i testove,diskutirati programske izazove i evaluirati programsku podr²ku u C++ jeziku danu ustandardima iz 2011., 2014. i 2017. godine.

Literatura:

1. A. Williams, C++ Concurrency in action. Practical Multithreading, Manning Publi-cations Co., ShelterIslands, NY 2012.2. Victor Alessandrini, Shared Memory Application Programming. Concepts and strate-gies in multicore application programming, Elsevier Inc. 2016.3. Resursi na Internetu.

136


Paralelne strukture podataka bez meusobnog isklju£ivanja

Student: Eduard Kal£i¢ek



Preduvjeti: Objektno programiranje (C++), Strukture podataka i algoritmi

Opis: Strukture podataka koje se koriste u programiranju moraju biti modicirane kakobi im se moglo sigurno pristupiti iz vi²e razli£itih dretvi (programskih niti). U radu je po-trebno prou£iti podr²ku vi²edretvenom programiranju koja je standardizirana u program-skom jeziku C++ 2011. godine. Treba iznijeti osnove pripadnog memorijskog modelai analizirati pristup paralelnim strukturama podataka slobodan od zaklju£avanja (eng.lock-free). Odabrati jednu strukturu podataka i prikazati odgovaraju¢u paralelnu izvedbuu C++11 jeziku. Napraviti vlastite programske primjere i testove, diskutirati programskeizazove i evaluirati programsku podr²ku u C++ jeziku danu u standardima iz 2011., 2014.i 2017. godine.

Literatura:

1. C++ Concurrency in action. Practical Multithreading, Manning Publications Co.,ShelterIslands, NY (2012).2. Victor Alessandrini, Shared Memory Application Programming. Concepts and strate-gies in multicore application programming, Elsevier Inc. 2016.3. Resursi na Internetu.

137


Konstrukcija gra£kog su£elja u biblioteci Qt5

Student: Edi Ibriks



Preduvjeti: Objektno programiranje (C++)

Opis: Qt je programska okolina za konstrukciju aplikacija u programskom jeziku C++koja omogu¢ava jednostavnu konstrukciju korisni£kog gra£kog su£elja. Programiranjegra£kog su£elja zahtijeva niz speci£nih programskih tehnika i oblikovnih obrazaca. Ciljovog diplomskog rada je prezentirati i evaluirati programsku podr²ku koju Qt verzije5 nudi za konstrukciju korisni£kog gra£kog su£elja. U radu se treba koncentrirati naimperativni programski model i zanemariti mogu¢nost deklarativnog programiranja kojuQt 5 nudi kroz Qt Quick. Posebnu paºnju treba pokloniti programiranju neovisnom oplatformi te ulozi vi²edretvenog programiranja u izradi aplikacije s korisnu£kim su£eljem.Mogu¢nosti Qt 5 biblioteke treba demonstrirati kroz konstrukciju sloºene aplikacije povlastitom izboru.

Literatura:

1. G. Lazar, R. Panea: Mastering Qt5, Pact Publishing, 2016.2. J. Blanchette, M: Summereld: C++ GUI Programming with Qt 4, Prentice Hall,2006.3. Qt Company, https://http://doc.qt.io/4. Resursi na Internetu.

138


Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata

Podru£je: Primijenjena i numeri£ka matematika.

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Ra£unarstvo imatematika.

Opis: Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata je vrlo eksibilan na£in diskretizacijeparcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnja dva desetlje¢a. Uovom je radu potrebno prou£iti osnovne metode diskretizacije za elipti£ke rubne zada¢ete implementirati i testirati metodu u paketu dune-pdelab.

Literatura:

1. V. Dolej²i, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Analysis and Applicationsto Compressible Flow, Springer 2015.2. P. Bastian, F. Heimann, S. Marnach: Generic implementation of nite element methodsin the distributed and unied numerics environment (Dune), Kybernetika 46, no. 2 (2010)294315.3. Resursi na Internetu.

139

Mentor: Ema Jurkin Suvoditelj: eljka Milin ipu²

Prodorne krivulje ploha

Student: Lara Novak



Preduvjeti: Nacrtna geometrija

Opis: U radu ¢e se prou£avati tipovi prodornih krivulja valjaka, stoºaca i sfera. Prodorne¢e se krivulje konstruirati u Mongeovoj projekciji kori²tenjem metode presjeka s pramenom(paralelnih) ravnina i metode presjeka s koncentri£nim sferama.

Literatura:

V. Ni£e, Deskriptivna geometrija, kolska knjiga, Zagreb, 1967.K. Horvati¢-Baldasar, Nacrtna geometrija, SAND d.o.o., Zagreb, 1997.

140

Mentor: Ema Jurkin Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Kotirana projekcija

Student: Marija Beljo




Opis: Kotirana projekcija je metoda projiciranja u kojoj se to£ka prikazuje ortogonalnomprojekcijom na neku ravninu te brojem, odnosno podatkom o njezinoj udaljenosti od teravnine. U radu ¢e se prikazivati to£ke, pravci i ravnine te analizirati njihovi meusobniodnosi. Konstruirat ¢e se ravninski likovi i geometrijska tijela.

Literatura:

V. Ni£e, Deskriptivna geometrija, kolska knjiga, Zagreb, 1967.J. Kos-Modor, E. Jurkin, N. Kova£evi¢, Kotirana projekcija, skripta iz Nacrtne geometrijeza RGN-fakultet, HDGG, Zagreb, 2010.

141

Mentor: Ema Jurkin Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Primjena kotirane projekcije

Student: Katarina Cvetko




Opis: U radu ¢e se topografske plohe (tereni) prikazivati kori²tenjem kotirane projekcijete pomo¢u modeliranja u programu Rhinoceros. Kotirana projekcija je metoda projici-ranja u kojoj se to£ka prikazuje ortogonalnom projekcijom na neku ravninu te brojem,odnosno podatkom o njezinoj udaljenosti od te ravnine. Taj se broj naziva kotom to£ke.U kotiranoj projekciji topografsku plohu prikazujemo slojnicama, tj. njezinim linijamakoje sadrºe to£ke istih kota. Ova ¢e se klasi£na metoda nacrtne geometrije koristiti zarje²avanje prakti£nih zada¢a poput konstruiranja zaravni i razli£itih vrsta prometnica naterenu. Iste ¢e se zada¢e rije²iti i pomo¢u specijaliziranog CAD programa Rhinoceros.

Literatura:

V. Ni£e, Deskriptivna geometrija, kolska knjiga, Zagreb, 1967.J. Kos-Modor, E. Jurkin, N. Kova£evi¢, Kotirana projekcija, skripta iz Nacrtne geometrijeza RGN-fakultet, HDGG, Zagreb, 2010.GeomTeh3d, www.grad.hr/geomteh3d

142

Mentor: Ema Jurkin Suvoditelj: eljka Milin ipu²

Geometrija izotopne ravnine

Student: Ivona atipovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e se prou£avati elementarna geometrija izotropne ravnine. Denirat ¢ese metrika te odraditi grupa sli£nosti i grupa gibanja izotropne ravnine. Prou£avat ¢ese osnovne metri£ke relacije u trokutu i klasicirati konike s obzirom na njihov poloºajprema apsolutnoj guri.

Literatura:

H. Sachs, Ebene Isotrope Geometrie, Vieweg, Wiesbaden, 1987.R. Kolar-uper, Z. Kolar-Begovi¢, V. Volenec, J. Beban-Brki¢, Metrical relationships ina standard triangle in an isotropic plane, Math. Commun. 10 (2005), 149-157.

143

Mentor: Matija Kazalicki

IFS fraktali

Student: Martina Maru²i¢



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj diplomskog rada je opisati matemati£ka svojstva sustava iterirane funkcije kaometode konstrukcije fraktala.

Literatura:

M. F. Barnsley, Fractals everywhereK. Falconer, Fractal geometry

144


Pametni ugovori

Student: Luka Seni£i¢



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj diplomskog rada je opisati pametne ugovore, jednu od primjena blockchaintehnologije, uz konkretnu implementaciju na platformi Ethereum koriste¢i programskijezik Solidity.

Literatura:

https://github.com/ethereum/wiki/wiki/White-Paperhttps://crypto.stanford.edu/cs251/info.html

145


Klasi£ni fraktali

Student: Andrea Fili¢



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj diplomskog rada je denirati i opisati osnovna svojstva klasi£nih fraktala(Kantorov skup, Kochova krivulja, trokut Sierpinskog...)

Literatura:

H-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Fractals for the Classroom: Part One Introductionto Fractals and Chaos

146


Pappusov teorem: razni dokazi i varijacije

Student: Dorotea Crnjac



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj diplomskog rada je izloºiti razli£ite dokaze Pappusovog teorema i nekih njego-vih varijacija.

Literatura:

E. A. Marchisotto, The Theorem of Pappus: A Bridge Between Algebra and GeometryJ. Richter-Gebert, Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Realand Complex Geometry

147


Gerrymandering krojenje izbornih jedinica iMetropolis-Hastings algoritam

Student: Nikolina Plei¢

Podru£je: statistika


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj diplomskog rada je objasniti (na primjeru hrvatskog izbornog sustava) kakomatemati£ke metode mogu pomo¢i pri odreivanju pravednih izbornih jedinica.

Literatura:

J. C. Mattingly, C. Vaughn, Redistricting and the Will of the PeopleC. P. Robert, G. Casella, Monte Carlo Statistical MethodsZ. Vondra£ek, Markovljevi lanciN. Sarapa, Teorija vjerojatnosti

148


Postkvantna kriptograja

Student: Kristian urla



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj diplomskog rada je dati pregled postkvantnih kriptografskih sustava.

Literatura:

D. J. Bernstein, J. Buchmann, E. Dahmen, Post-Quantum Cryptography

149

Mentor: Vjekoslav Kova£

Dokaz Carlesonovog teorema

Student: Aleksandar Bulj

Podru£je: Matemati£ka analiza (Fourierova analiza)


Preduvjeti:

Opis: Carlesonov rezultat o g.s. konvergenciji Fourierovog reda (ili Fourierovog integrala)kvadratno integrabilne funkcije [1] jedan je od najvaºnijih rezultata matemati£ke analize20. stolje¢a. Originalni Carlesonov dokaz je toliko sloºen da ga Zygmund nikad nije odlu£iouvrstiti u kasnija izdanja svoje monograje [5]. Feerman je dao konceptualno jednos-tavniji dokaz [2], uvev²i tehniku dekompozicije operatora pomo¢u sistema valnih paketa.Dosad najelegantniji dokaz izloºili su Lacey i Thiele [3], premda je za razumijevanje nji-hovog dokaza jo² uvijek potrebno mnogo predznanja iz harmonijske analize; vidjeti knjigu[4]. Cilj ovog diplomskog rada je iznijeti potpuni i detaljni dokaz Carlesonovog teorema.Diskutirat ¢e se i neka poop¢enja tog vaºnog rezultata.

Literatura:

[1] L. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math,116 (1966) 135157.[2] C. Feerman, Pointwise convergence of Fourier series, Ann. of Math. (2) 98 (1973),551571.[3] M. Lacey, C. Thiele, A proof of boundedness of the Carleson operator, Math. Res.Lett. 7 (2000), no. 4, 361370.[4] C. Thiele, Wave Packet Analysis, CBMS Regional Conference Series in Mathematics105, AMS, Providence, 2006.[5] A. Zygmund, Trigonometric series: Vols. I, II, reprint drugog izdanja, CambridgeUniversity Press, London-New York, 1968.

150


Bressanov problem mije²anja

Student: Marin Tomi¢

Podru£je: Matemati£ka analiza


Preduvjeti:

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je rigorozno formulirati i pregledno izloºiti nekoliko vari-janti problema mije²anja/preslagivanja kojeg je predloºio Bressan u [1] i [2]. Neformalnoizre£en, problem tvrdi da za mije²anje dvaju inkompresibilnih uida na torusu do naskalu ε > 0 generiraju¢e promjenjivo vektorsko polje treba uloºiti dovoljan trud u viduukupne totalne varijacije od barem c log(1/ε) za neku konstantu c > 0. Jednodimenzi-onalni problem ima elegantno rje²enje [1], dok je originalna dvodimenzionalna formulacija[2] trenutno jo² uvijek otvorena i za nju Bressan nudi nagradu od $500. Varijantu kodkoje je totalna varijacija polja ‖Dv‖L1 zamijenjena veli£inom ‖Dv‖Lp , p > 1 dokazalisu Crippa i De Lellis [3]. Alternativni dokaz i poop¢enje dali su Hadºi¢, Seeger, Smarti Street [4], a isti autori razmatrali su i jedan zanimljivi idealizirani dvodimenzionalnimodel.

Literatura:

[1] A. Bressan, A lemma and a conjecture on the cost of rearrangements, Rend. Sem.Mat. Univ. Padova 110 (2003), 97102.[2] A. Bressan, Prize oered for the solution of a problem on mixing ows (2006), dostupnona: https://www.math.psu.edu/bressan/PSPDF/prize1.pdf (pristupljeno: 3. 11. 2017.).[3] G. Crippa, C. De Lellis, Estimates and regularity results for the DiPerna-Lions ow,J. Reine Angew. Math. 616 (2008), 1546.[4] M. Hadºi¢, A. Seeger, C. K. Smart, B. Street, Singular integrals and a problem onmixing ows (2017), Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, prihva¢eno za objavlji-vanje, dostupno na: arXiv:1612.03431.

151


Kvazi Monte Carlo metoda za numeri£ku integraciju

Student: Luka Tur£i¢

Podru£je: Teorija vjerojatnosti, Numeri£ka matematika


Preduvjeti:

Opis: Monte Carlo metoda numeri£ke integracije koristi niz slu£ajnih ili (u praksi uvijek)pseudoslu£ajnih varijabli prilikom numeri£kog ra£unanja integrala. Za razliku od nje,kvazi Monte Carlo metoda koristi niz koji ima malu diskrepanciju (tzv. kvazislu£ajni niz),²to rezultira boljom brzinom konvergencije numeri£ke metode. Glavni ciljevi ovog radasu: opisati kvazi Monte Carlo metodu za numeri£ku integraciju, izvesti rigorozne ocjeneza gre²ku aproksimacije te opisati neke konstrukcije nizova s niskom diskrepancijom.

Nadalje, krajem pro²log stolje¢a uo£eno je da kvazi Monte Carlo metoda daje zadovoljava-ju¢e rezultate u nancijskoj matematici, premda bi se isprva o£ekivalo da za aproksimacijuintegrala funkcija ovisnih o velikom broju varijabli (s kakvima je u nancijama nuºno ra-diti) treba uzimati neprakti£no veliki broj £lanova niza. Drugim rije£ima, uo£eno je da unancijama kvazi Monte Carlo metoda ponekad zaobilazi tzv. kletvu dimenzionalnosti,a ovaj rad ¢e obraditi i neke primjere tog fenomena.

Literatura:

[1] M. Drmota, R. F. Tichy, Sequences, Discrepancies and Applications, Lecture Notes inMathematics 1651, Springer, Berlin-Heidelberg, 1997.[2] H. Niederreiter, Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 63, SIAM, Philadelphia, 1992.

152

Mentor: Jadranka Kraljevi¢ Suvoditelj: Andrej Dujella

Teoremi o ksnoj to£ki



Preduvjeti:

Opis: Pojam ksne to£ke. Fundamentalni principi o ksnim to£kama. Banachov Teoremo ksnoj to£ki i iterativne metode. Primjene i zna£ajnost teorema.Schauderov teorem o ksnoj to£ki i kompaktnost. Brouwerov teorem o ksnoj to£ki ikompaktni operatori. Primjene.

Literatura:

1. E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I: Fixed-Point The-orems.2. S. Marde²i¢, Matemati£ka analiza 1 dio, kolska knjiga, Zagreb, 1979.3. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill,1964.4. W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Claredon Press,Oxford,1975.5. D. Mitrovi¢, D. ubrini¢, Fundamentals of Applied Functional Analysis, Pitman Mono-graphs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 91, Langman Sientic & Technical,Horlov, 1998.

153

Mentor: Vedran Kr£adinac

Jako regularni grafovi

Student: Luka Crnoja

Podru£je: Kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Jako regularan graf s parametrima (v, k, λ, µ) je jednostavan graf s v vrhova koji susvi stupnja k. Nadalje, svaka dva susjedna vrha imaju λ zajedni£kih susjeda, a svaka dvanesusjedna vrha imaju µ zajedni£kih susjeda. U diplomskom radu obradit ¢e se osnovnirezultati o jako regularnim grafovima prema 2. poglavlju knjige navedene u literaturi.

Literatura:

P.J. Cameron, H.J. van Lint, Designs, graphs, codes and their links, Cambridge UniversityPress, 1991.

154


Regularni dvografovi

Student: Luka Fran



Preduvjeti: nema

Opis: Dvograf se sastoji od kona£nog skupa vrhova X i familije B tro£lanih podsku-pova od X koje zovemo bridovima, takve da je za svaki £etvero£lani podskup Y ⊆ Xbroj bridova sadrºanih u Y paran. Pojam dvografa uveo je G. Higman da bi prou£avao2-tranzitivno djelovanje grupe Co3, a kori²ten je i za prou£avanje ekviangularnih sustavapravaca, pokrivanja grafova i prezentacija grupa. Dvograf je regularan ako je svaki dvo-£lani podskup od X sadrºan u konstantnom broju λ bridova. U diplomskom radu obradit¢e se osnovni rezultati o regularnim dvografovima prema 4. poglavlju knjige navedene uliteraturi.

Literatura:


155


Pitagorine trojke i neke sli£ne diofantske jednadºbe

Student: Martina Varga



Preduvjeti: nema

Opis: Pitagorine trojke su rje²enja diofantske jednadºbe a2+b2 = c2. U ovom diplomskomradu obradit ¢e se nekoliko dokaza Euklidove formule za primitivne Pitagorine trojke.Prou£avat ¢e jo² neke sli£ne diofantske jednadºbe, poput a2+b2 = c2±1 i a2+b2+c2 = d2.

Literatura:

1. A. Dujella, Pitagorine trojke, Bilten seminara iz matematike za nastavnike mentore,Crikvenica, 1994.2. O. Frink, Almost Pythagorean triples, Mathematics Magazine 60 (1987), 234236.3. R. Spira, The Diophantine equation x2 + y2 + z2 = m2, The American MathematicalMonthly 69 (1962), 360365.

156


Parcijalne geometrije

Student: Vedrana Cvijin



Preduvjeti: Upisan kolegij Kona£ne geometrije.

Opis: Parcijalna geometrija s parametrima (s, t, α) je kona£na incidencijska struktura sasljede¢im svojstvima:

- na svakom pravcu leºi s+ 1 to£aka,

- kroz svaku to£ku prolazi t+ 1 pravaca,

- kroz svake dvije to£e prolazi najvi²e jedan pravac,

- za svaku to£ku T i pravac p koji nisu incidentni postoji to£no α pravaca kroz T kojisijeku p.

U diplomskom radu obradit ¢e se osnovni rezultati o parcijalnim geometrijama i njihovimvezama s drugim kona£nim strukturama prema 7. poglavlju knjige navedene u literaturi.

Literatura:


157

Mentor: Mario Krni¢ Suvoditelj: Mea Bombardelli

Dva svojstva simetrala kutova trokuta i Steiner-Lehmusov teorem

Student: Ana Prosene£ki



Preduvjeti: Elementarna geometrija

Opis: U radu ¢e se prou£avati teorem o simetrali kuta o trokutu i svojstvo da simetralaunutarnjeg kuta trokuta raspolavlja odgovaraju¢i luk opisane kruºnice trokuta. Nadalje,u radu ¢e se obraditi nekoliko razli£itih metoda dokazivanja Steiner-Lehmusovog teorema,odnosno £injenice da je trokut sa dvjema simetralama jednakih duljina jednakokra£an.

Literatura:

. Arslanagi¢, Sve o simetralama unutra²njih uglova trougla, Na²a ²kola (Sarajevo), 56(52), (2010), 2948.K.Y. Li Angle Bisectors Bisect Arcs, Mathematical Excalibur, 11 (2) (2006), 14.S.R. Gardner, A variety of Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem, master thesis, EastTennessee State University, http://dc.etsu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2332&context=etd, 2013.

158


Ptolomejev teorem dokazi, posljedice i poop¢enja

Student: Sanja Hr²ak




Opis: Cilj ovog diplomskog rada je prou£iti Ptolomejev teorem i njegove ina£ice. Prvo¢e se obraditi nekoliko razli£itih metoda dokazivanja spomenutog teorema. Nakon toga,spomenuti teorem ¢e se primjenjivati za dokazivanje nekih elementarnih teorema te zarje²avanje nekih sloºenijh geometrijskih problema. Kona£no, u radu ¢e se obraditi i neko-liko poop¢enja Ptolomejevog teorema.

Literatura:

S. Shirali, How to Prove it, At Right Angles, 6 (1) (2017), 5963.S. Shirali, How to Prove it, At Right Angles, 5 (3) (2016), 5357.H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer, Geometry revisited, Mathematical Association of America,1967.

159


Op¢a svojstva konveksnog £etverokuta

Student: Marija uºul




Opis: Cilj ovog diplomskog rada je prou£avanje op¢enitih svojstava bilo kojeg konvek-snog £etvrokuta. U radu ¢e se obraditi svojstva nekih osobitih to£aka u konveksnom£etverokutu. Nadalje, u radu ¢e se izvesti i neke metri£ke relacije koje vrijede za bilo kojikonveksan £etverokut.

Literatura:

A. Mari¢, etverokut denicije, konstrukcije, jednadºbe, pou£ci, Element, Zagreb, 2006.O.T. Pop, N. Minculete, M. Bencze, An Introduction to Quadrilateral Geometry, EdituraDidactica Si Pedagogica, R. A., Bucuresti, 2013.H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer, Geometry revisited, Mathematical Association of America,1967.

160

Mentor: Vesna Luºar-Stier

Analiza vjerojatnosti pokrivanja Waldovih pouzdanih intervalaza regresijske koecijente u logisti£koj regresijskoj analizi

Student: Marija pehar

Podru£je: Ra£unarska statistika

Prikladno za studij: Primijenjena statistika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta "Ra£unarska statistika", "Primijenjena statistika"i "Odabrane statisti£ke metode u biomedicini".

Opis: Dihotomna logisti£ka regresijska analiza se primjenjuje u analizi podataka iz kli-ni£kih istraºivanja sa nominalnom/dihotomnom varijablom odziva. Glavni cilj rada jeistraºiti utjecaj veli£ine uzorka, te tipa distribucije i razine korelacije izmeu predik-torskih varijabli na vjerojatnost pokrivanja Waldovih pouzdanih intervala za regresijskekoecijente. Vjerojatnosti pokrivanja se procijenjuju empirijski uz pomo¢ simulacijskogeksperimenta.

Literatura:

P.D. Allison, Logistic Regression Using SAS: Theory and Application, Cary, NC, SASInstitute Inc., USA, 1999.R. Wicklin, Simulating Data with SAS, SAS Institute, 2013.X. Fan, et al., SAS for Monte Carlo Studies: A Guide for Quantitative Researchers, Cary,NC, SAS Institute Inc., USA, 2002.

161


Analiza vjerojatnosti pokrivanja Waldovih pouzdanih intervalaza regresijske koecijente u Poissonovoj regresijskoj analizi

Student: Irena Ramljak


Prikladno za studij: Primijenjena statistika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta "Ra£unarska statistika", "Primijenjena statistika"i "Odabrane statisti£ke metode u biomedicini".

Opis: Poissonova regresijska analiza se primjenjuje u analizi podataka iz klini£kih istra-ºivanja sa varijablom odziva koja slijedi Poissonovu razdiobu. Glavni cilj rada je istraºitiutjecaj veli£ine uzorka, te tipa distribucije i razine korelacije izmeu prediktorskih vari-jabli na vjerojatnost pokrivanja Waldovih pouzdanih intervala za regresijske koecijente.Vjerojatnosti pokrivanja se procijenjuju empirijski uz pomo¢ simulacijskog eksperimenta.

Literatura:


162


Analiza mjera pogre²ke predvianja rizika modelom dihotomnelogisti£ke regresije

Student: Toni Ru²£i¢


Prikladno za studij: Financijska matematika/ statistika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta "Numeri£ke metode u nancijskoj matematici","Ekonometrija" i "Matemati£ka statistika".

Opis: Dihotomna logisti£ka regresija je, uz stabla odlu£ivanja i neuralne mreºe, jedan odklju£nih modela za predvianje rizika. Glavni cilj rada je istraºiti utjecaj broja podataka,tipa distribucije i ja£ine povezanosti izmeu prediktorskih varijabli na mjere pogre²kepredvianja. Prakti£ni dio analize se provodi uz pomo¢ simulacijskog eksperimenta.

Literatura:


163

Mentor: Robert Manger

Distribuirano ra£unanje pomo¢u programskog jezika Python

Student: Martina Bari²i¢

Podru£je: Distribuirani procesi

Prikladno za studij: Diplomski studij Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: nema

Opis: U radu treba opisati mogu¢nosti distribuiranog ra£unanja koje podrºava program-ski jezik Python i pripadni alati. Pod distribuiranim ra£unanjem podrazumijevamo su-radnju vi²e istovremenih procesa koji ne raspolaºu zajedni£kim podacima no mogu raz-mjenjivati poruke. Rad treba sadrºavati vlastiti studijski primjer distribuirane aplikacijei njezine implementacije u Pythonu.

Literatura:

F. Pierfederici: Distributed Computing with Python. Packt Publishing, Birmingham,UK, 2012.D. Sanderson: Programming Google App Engine with Python. O'Reilly Media, Sebasto-pol CA, USA, 2015.

164


Modeliranje poslovnih procesa pomo¢u gra£kog jezika BPMN

Student: Ena Martinek

Podru£je: Softversko inºenjerstvo

Prikladno za studij: Diplomski studij Ra£unarstvo i matematika, Diplomski studij Fi-nancijska i poslovna matematika

Preduvjeti: nema

Opis: BPMN je gra£ka notacija koja je ra²irena u poslovnom svijetu i sluºi za mode-liranje poslovnih procesa. Kratica zna£i Business Process Modeling Notation. BPMNdijagrami donekle li£e na UML activity dijagrame, no razlikuju se od njih u brojnim sin-takti£kim i semanti£kim detaljima. Prednost BPMN je u tome ²to postoje alati koji natemelju BPMN dijagrama automatski generiraju programski kod za odgovaraju¢u apli-kaciju. U radu treba opisati svojstva i mogu¢nosti BPMN te dati primjere njegovogkori²tenja. U prakti£nom dijelu rada treba stvoriti BPMN model zami²ljenog poslovnogsustava te ga po mogu¢nosti pretvoriti u jednu ili vi²e aplikacija.

Literatura:

T. Allweyer: BPMN 2.0 - Introduction to the Standard for Business Process Modeling,2nd Edition. Books on Demand, Norderstedt, Germany, 2016.J. Freund, B. Ruecker: Real-Life BPMN, 2nd Edition. CreateSpace Independent Publi-shing Platform, North Charleston SC, USA, 2014.S.A. White, D. Miers: BPMN Modelling and Reference Guide - Understanding and UsingBPMN. Future Strategies, Lighthouse Point FL, USA, 2008.

165


Grafovski model za baze podataka

Student: Karmen Kapov

Podru£je: Baze podataka

Prikladno za studij: Diplomski studij Ra£unarstvo i matematika, Diplomski studij Ma-temati£ka statistika

Preduvjeti: nema

Opis: Grafovski model zasniva se na prikazu logi£ke strukture baze podataka pomo¢ugrafa. U tom prikazu vrhovi grafa predstavljaju entitete, a lukovi veze medu entitetima.Oznake vrhova odnosno lukova sluºe kao atributi. Grafovske baze podataka omogu¢ujujednostavno i brzo pretraºivanje sloºenih struktura koje je te²ko modelirati pomo¢u re-lacijskog modela. Za pretraºivanje se koriste upitni jezici koji se razlikuju od SQL-a ikoji na jednostavniji na£in opisuju manevriranje po grafu. Najpoznatiji javno dostupnisoftverski paket za rad s grafovskim bazama naziva se Neo4j. U radu je potrebno opi-sati svojstva grafovskog modela te istaknuti njegove prednosti i nedostatke u odnosu narelacijski model. U prakti£nom dijelu rada potrebno je pomo¢u Neo4j ili nekog sli£nogsoftvera izraditi vlastitu grafovsku bazu i bar jednu aplikaciju koja je pretraºuje.

Literatura:

I. Robinson, J. Webber, E. Eifrem: Graph Databases - New Opportunities for ConnectedData, 2nd Edition. O'Reilly Media, Sebastopol CA, USA, 2015.E. Edling: Graph Databases. CreateSpace Independent Publishing Platform, 2017.A. Vukotic, N. Watt, T. Abedrabbo, D. Fox, J. Partner: Neo4j in Action. ManningPublications, Shelter Island NY, 2015.

166


Sustav za upravljanje bazom podataka PostGreSQL

Student: Antea Raguº

Podru£je: Baze podataka

Prikladno za studij: Diplomski studij Ra£unarstvo i matematika, Diplomski studijMatemati£ka statistika

Preduvjeti: nema

Opis: PostgreSQL je objektno-relacijski sustav za upravljanje bazom podataka (OR-DBMS). Razvija ga organizacija PostgreSQL Global Development Group koja okupljave¢i broj zainteresiranih kompanija i pojedinaca. Besplatan je za kori²tenje te je dostupanna Windows i Linux platformama. £esto se koristi kao podr²ka web aplikacijama i kaoalternativa MySQL-u. U radu je potrebno opisati svojstva PostgreSQL te naglasiti razlike,prednosti i nedostatke u odnosu na MySQL. U prakti£nom dijelu rada potrebno je razvitivlastitu aplikaciju zasnovanu na PostgreSQL.

Literatura:

R. Obe, L. Hsu: PostgreSQL Up and Running, 3rd Edition. O'Reilly Media, SebastopolCA, USA, 2017.S. Juba, A. Vannahme, A. Volkov: Learning PostgreSQL. Packt Publishing, BirminghamUK,2015.I Ahmed, A. Fayyaz: PostgreSQL Developer's Guide. Packt Publishing, BirminghamUK,2015.

167

Mentor: Miljenko Maru²i¢

Eksponencijalno prilagoene diferencijske sheme



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shema kojese primjenjuju za numeri£ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ.Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbu oblika εy′′+by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:

J. J. H. Miller, E. O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for SingularPerturbation Problems, World Scientic, Singapore, 1996.

168


Splajn kolokacija za singularno perturbirane rubne probleme



Preduvjeti: Numeri£ka analiza 2

Opis: U diplomskom radu treba opisati i usporediti nekoliko metoda koje koriste splajnfunkcije za numeri£ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ.Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbu oblikaεy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:

J. J. H. Miller, E. O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for SingularPerturbation Problems, World Scientic, Singapore, 1996.

169


Matemati£ki modeli rasta tumora

Podru£je: Primijenjena matematika


Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporediti ih na ekspe-rimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru s mentorom.

Literatura:

T. Roose, S. J. Chapman, P. K. Maini, Mathematical Models of Avascular Tumor Growth,SIAM Review, 49 (2007) 179208

170


Eksponencijalni integratori



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko eksponencijalno prilago-enih metoda koje se primjenjuju za numeri£ko rje²avanje inicijalnog problema za obi£nediferencijalne jednadºbe. Od posebnog je interesa primjena na krute probleme.

Literatura:

M. Hochbruck, A. Ostermann. Exponential integrators. Acta Numerica, 19:209286,2010.

171

Mentor: Eduard Maru²i¢-Paloka

Primjeri egzaktnih rje²enja Navier-Stokesovih jednadºbi

Student: Lana Re²£ec



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Navier-Stokesov sustav opisuje gibanje viskoznog uida i rijetko se kad moºe ana-liti£ki rije²iti. Cilj ovog rada je dati pregled klasi£nih primjera kod kojih nam je poznatoegzaktno rje²enje

Literatura:

P.Drazin, N.Riley, The Navier-Stokes equations. A classication of ows and exact so-lutions, London mathematical society lecture notes series No 334, Cambridge universitypress, 2006.

172


Idealni nestla£ivi uid



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Osnovni pojmovi. Eulerova jednadºbe. Potencijalni bezvrtloºni tok. TeoremKutta-ukovskog. D'Alambertov paradoks.

Literatura:

Malchioro Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous uids, Springer,1994.A.J.Chorin, J.E.Marsden, A mathematical introduction to uid mechanics, Springer,2000.

173


Perturbacije diferencijalnih jednadºbi



Preduvjeti: Obi£ne diferencijalne jednadºbe ili Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Regularna i singularne perturbacija za obi£nu diferencijalnu jednadºbu. Poincaré-Linsdtedtova metoda. Asimptoti£ki razvoj. Rubni sloj. Primjeri.

Literatura:

J.D.Logan, Applied mathematics, Wiley, 2006.

174


Krivuljni integrali


Prikladno za studij: Nastavni£ki smjer matematike i matematike-fzike

Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2

Opis: Krivulje u ravnini i prostoru. Parametrizacija. Krivuljni integral skalarne ivektorske funkcije. Greenov teorem.

Literatura:

J.E.Marsden, A.J.Tromba, Vector calculus, Freeman, 1996.S.Kurepa, Matemati£ka analiza 3, Tehni£ka knjiga, 1979.

175

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Konveksne funkcije i njihova poop¢enja u realnoj analizi

Student: Viktor Vranar



Preduvjeti: nema

Opis: Konveksni skupovi i konveksne funkcije su predmet mnogih istraºivanja tijekomposljednjih stotinu godina. Dobro je poznata vaºnost konveksne funkcije u rje²avanjuproblemima optimiziranja. Konveksnost se pojavljuje u mnogim matemati£kim modelimau inºenjerstvu, ekonomiji, i drugim podru£jima, kao prirodno svojstvo razli£itih funkcijakoje susre¢emo u tim modelima.

Svojstvo konveksnosti je nepromjenjivo s obzirom na pojedine operacije i transforma-cije. Meutim, za mnoge probleme koji se susre¢u u matematici, ekonomiji i inºenjerstvupojam konveksnosti nije ispunjen. Dakle, potrebno je pro²iriti pojam konveksnosti poj-movima pseudo-konveksnost, kvazi-konveksnost, s-konveks, inveks, s-inveks, h-konveks,pre-inveks, itd.

Cilj diplomskog rada je napraviti pregled poop¢enja konveksnih funkcija.

Literatura:

[1] Constantin Niculescu and Lars-Erik Persson, Convex Functions and their Applications,A contemporary approach, Springer, 2004.[2] S. Varo²anec, On h-convexity, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007) 303-311.

176

Mentor: eljka Milin ipu²

U£enje istraºivanjem na primjeru sadrºajnog podru£ja geometrije

Student: Monika Pintari¢

Podru£je: Metodika nastave matematike

Prikladno za studij: Nastavni£ki studiji

Opis: U suvremenoj nastavi matematike promoviraju se razli£ite strategije interaktivnogu£enja - primjerice, u£enje istraºivanjem (eng. inquiry based learning, IBL).

Cilj ovog diplomskog rada je prikazati temeljne odrednice takve nastave, te prikazati kon-kretne primjere u£eni£kih aktivnosti i nastavnih materijala za problemsku nastavu vezanuuz sadrºajno podru£je geometrije.

Literatura:

1. Materijali za nastavnika: Nrich project, University of Cambridge.2. Michael D. De Villiers, Rethinking Proof With the Geometer's Sketchpad, Key Curri-culum Press, 2003.

177


Funkcije i njihov gra£ki prikaz u srednjo²kolskoj nastavimatematike

Student: Filip Terzi¢



Opis: Cilj ovog diplomskog rada je razviti primjere u£eni£kih aktivnosti i nastavnihmaterijala vezanih uz funkcije u srednjo²kolskoj nastavi matematike, posebno uz njihovgra£ki prikaz.

Literatura:

1. Materijali za nastavnika: Nrich project, University of Cambridge.2. The Language of Functions and Graphs, Shell Centre for Mathematical Education,Nottingham, UK.3. Gimnazijski udºbenici

178


U£enje istraºivanjem na primjeru sadrºajnog podru£javjerojatnosti

Student: Ana Kubasek



Opis: U suvremenoj nastavi matematike promoviraju se razli£ite strategije interaktivnogu£enja - primjerice, u£enje istraºivanjem (eng. inquiry based learning, IBL).

Cilj ovog diplomskog rada je razviti primjere u£eni£kih aktivnosti i nastavnih materijalavezanih uz pojam vjerojatnosti u srednjo²kolskoj nastavi matematike.

Literatura:

1. Carmen Batanero and Manfred Borovcnik, Statistics and Probability in High School,Sense Publishers, 2016.2. Gimnazijski udºbenici

179

Mentor: Boris Muha

Paul Erdös i dokazi iz Knjige

Student: Martina Peri¢

Podru£je:


Preduvjeti:

Opis: Paul Erdös (1913-1996) govorio je da postoji Knjiga u kojoj su sadrºani svi naljep²ii najelegantniji dokazi matemati£kih teorema. Cilj ove radnje je prikazati biografske crticeo Paulu Erdösu i prezenirati nekoliko dokaza iz Knjige iz raznih podru£ja matematike.

Literatura:

M. Aigner, M. Zieger, Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag, Berlin, 2004P. Homan, The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdös and the Searchfor Mathematical Truth, Hyperion, 1999

180

Mentor: Boris Muha

Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: Normirani prostori, Mjera i integral

Opis: Cilj radnje je dokazati neke kriterije kompaktnosti u Lp(0, T ;B) prostorima, pri£emu je B Banachov prostor.

Literatura:

Roubi£ek, T. Nonlinear Partial Dierential Equations with Applications (2nd ed.), Basel:Birkhäuser, 2013.Simon, J. Compact sets in the space Lp(O, T ;B), Annali di Matematica Pura ed Applicata146. pp. 65-96 1986.

181

Mentor: Boris Muha

Nash-Kuiperov teorem

Podru£je: Diferencijalna geometrija, Parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti: Diferencijalna geometrija

Opis: Cilj radnje je dokazati Nash-Kuiperov teorem o C1 izometri£kim ulaganjima m-dimenzonalne mnogostrukosti M u Rn, n ≥ m+ 1.

Literatura:

Nash, J. C1 isometric imbeddings, Ann. of Math. (2), 60:383396, 1954.

182

Mentor: Boris Muha

Lie-Trotterova produktna formula

Podru£je: Funckionalna analiza



Opis: Cilj radnje je dokazati generalizaciju Lie-ove produktne formule za matrice:

eA+B = limN→∞

(eAN e

BN )N .

Promatrat ¢e se slu£aj kada suA iB odreeni neograni£eni operatori koji su innitezimalnigeneratori polugrupa. U drugom dijelu radnje promatrat ¢e se primjene produktne formulena rje²avanje evolucijskih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

R. Dautray, J.-L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology. (Vol. 5) Evolution Problems I, Springer-Verlag, Berlin, 2000

183

Mentor: Goran Mui¢

Invarijante kona£nih grupa na algebri polinoma

Student: Kristina Niki£i¢

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: nastavni£ki, Teorijska matematika


Opis: Kona£ne grupe djeluju permutacijom varijabli na algebrama polinoma. Rad studirastrukturu invarijanti generaliziraju¢i klasi£nu situaciju simetri£nih polinoma.

Literatura:

D. A. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction toComputational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Undergraduate Texts inMathematics, Springer, 2015.

184

Mentor: Goran Mui¢

Prsteni polinoma i formalnih redova

Student: Judita Jankovi¢

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: nastavni£ki, teorijska matematika


Opis: U radu konstruiraju se prsteni polinoma i formalnih redova u vi²e varijabli i stu-diraju se njihova osnovna svojstva.

Literatura:

T. W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics v. 73, Springer, 2003.

185

Mentor: Goran Mui¢

Konstruktivni dokaz Hilbertovog teorema o nulama

Podru£je: algebra



Opis: Hilbertov teorem o nulama je osnovni teorem algebarske geometrije. U radu dati¢e se elementaran dokaz temeljen na teoriji eliminacije varijabli.

Literatura:


186

Mentor: Goran Mui¢

Projektivna algebarska geometrija

Podru£je: algebra



Opis: Projektivni prostori su univerzalni objekti algebarske geometrije. Rad prou£avaosnovne rezultate o algebarskim skupovima u projektivnom prostoru.

Literatura:


187

Mentor: Filip Najman

Elektroni£ko glasanje

Student: Mirna Hanºek



Preduvjeti: Kriptograja i sigurnost mreºa

Opis: U ovom diplomskom radu ¢e se prou£iti sustavi elektronskog glasanja, te kripto-grofski protokoli i matematika na kojima su oni bazirani.

Literatura:

D. Trappe, L. Washington, Introduction to Cryptography with Coding Theory, Pearson,2005.

188


Dugine tablice

Student: Mirjana Horvat



Preduvjeti: Kriptograja i sigurnost mreºa

Opis: Dugine tablice su unaprijed izra£unate tablice koje sluºe za invertiranje kripto-grafskih hash funkcija, te se uglavnom koriste za poku²aj dobivanja dekriptirane lozinkenekog korisnika. U ovom diplomskom radu ¢e se prou£iti metode na kojima funkcionirajudugine tablice, te njihova upotreba u praksi.

Literatura:

J. Katz, Y. Lindell, Introduction to Modern Cryptography, Chapman & Hall/CRC Press,2007

189


Torzijske grupe elipti£kih krivulja

Student: Borna Vukorepa



Preduvjeti: Algebarska teorija brojeva 1 i 2

Opis: Skup to£aka na elipti£koj krivulji nad bilo kojim poljem ima strukturu kona£nogenerirane Abelove grupe. Podgrupa to£aka kona£nog reda se naziva torzijska podgrupa.U ovom radu ¢e se prou£iti poznati rezultati i njihovi dokazi o torzijskim grupama nadraz£itim poljima, te ¢e se naglasak staviti na torzijske grupe nad poljima algebarskihbrojeva.

Literatura:

J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.L. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Chapman and Hall,2008.

190


Modularna metoda za rje²avanje diofantskih jednadºbi

Student: Marta Dujella



Preduvjeti: Algebarska teorija brojeva 1 i 2

Opis: U ovom diplomskom radu ¢e se prikazati metode za rje²avanje Diofantskih jed-nadºbi koje se baziraju na teoremu o modularnosti.

Literatura:

S. Siksek, The modular approach to Diophantine equations, bilje²keL. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Chapman and Hall,2008.

191

Mentor: Ivica Naki¢

Web aplikacija za vizualizaciju hijerarhijskih podataka

Student: Mario Bo²njak



Preduvjeti: poznavanje odgovaraju¢ih web tehnologija

Opis: Hijerarhijski podaci su podaci meusobno povezani strogim hijerarhijskim vezama,koji se £esto modeliraju pomo¢u jednostavnih grafova.

Cilj diplomskog rada je napraviti web aplikaciju koja bi sluºila za kreiranje te vizualizacijugrafova dobijenih iz hijerarhijskih podataka. Aplikacija bi trebala imati mogu¢nost unosai izvoza grafova u standardnim formatima te izvoz vizualizacija kao slika. U aplikacijibi takoer bilo implementirano kreiranje stabala podataka te pronalaºenje putova meunjima.

Literatura:

D. B. Copeland, Rails, Angular, Postgres, and Bootstrap - Powerful, Eective, Ecient,Full-Stack Web Development, 2. izdanje, The Pragmatic Bookshelf, 2017.M. Driscoll, Python 201, Intermediate Python, Leanpub, 2016.R. Mitchell, Web Scraping with Python, Collecting Data from the Modern Web, O'Reilly,2015.M. Grinberg, Flask Web Development, Developing Web Applications with Python, O'Reilly,2014.http://js.cytoscape.org/

192


Web aplikacija za vizualizaciju matemati£kih objekata

Student: eljko Ðuri¢



Preduvjeti: poznavanje programskog jezika Javascript

Opis: Cilj diplomskog rada je napraviti web aplikaciju za vizualizaciju jedne ili vi²e oda-branih matemati£kih tema sluºe¢i se Javascript bibliotekom React za izradu korisni£kogsu£elja te bibliotekama D3 i/ili plotly.js za kreiranje vizualizacija.

Literatura:

A. Mardan, React quickly, Manning Publications, 2017.E. Meeks, D3.js in action, 2. izdanje, Manning Publications, 2017.https://plot.ly/javascript/

193


Matemati£ka analiza socijalnih mreºa

Student: Tomislav Horina

Podru£je: Ra£unarstvo, teorija grafova


Preduvjeti: poznavanje programskog jezika Python

Opis: Mnogi sustavi se sastoje od jednostavnijih dijelova meusobno povezanih na nekina£in. Primjeri su Internet te ljudska dru²tva. Mreºa je pojednostavljena reprezentacijatakvih sustava gdje se sustav reducira na apstraktnu strukturu koja predstavlja povezanostnjegovih dijelova. Socijalne mreºe su mreºe u kojoj su £vorovi ljudi ili grupe ljudi a bridovipredstavljaju neku formu socijalne interakcije meu njima.

U sklopu diplomskog rada prikazat ¢e se osnovni matemati£ki alati za analizu mreºa,razvit ¢e se odgovaraju¢i softver u programskom jeziku Python za analizu mreºa koji ¢ese potom primijeniti kako na konkretne socijalne mreºe tako i na slu£ajne mreºe koje sustrukturno sli£ne socijalnim mreºama.

Literatura:

E. Estrada, The Structure of Complex Networks, Theory and Applications, Oxford Uni-versity Press, 2011.K. Erciyes, Complex Networks, An Algorithmic Perspective, CRC Press, 2015.M.E.J. Newman, Networks, An Introduction, Oxford University Press, 2010.M.E.J. Newman, The Structure and Function of Complex Networks, SIAM Rev., 45(2),167256, 2003.M. Zuhair Al-Taie, S. Kadry, Python for Graph and Network Analysis, Springer, 2017.https://networkx.github.io/

194


Primjena stani£nih automata u generativnoj umjetnosti

Student: Ivana Senki¢



Preduvjeti: znanje programiranja u Javascriptu

Opis: Generativna umjetnost je pojam koji opisuje umjetni£ka djela pri £ijoj izradi umjet-nik koristi algoritme koje sadrºavaju izvjesnu dozu slu£ajnosti ali uz zadrºavanje prepoz-natljive op¢e strukture. Jedan od popularnih alata za kreiranje generativnih umjetninaje Processing, koji je jednostavan programski jezik za kreiranje vizualnih uradaka s na-glaskom na animacijama.

U prvom dijelu diplomskog rada izloºiti ¢e se osnove Javascript ina£ice p5.js jezika Pro-cessing (originalni Processing baziran je na Javi).

Drugi dio diplomskog rada biti ¢e posve¢en implementaciji pojedinih stani£nih automatakoji bi pak sluºili kao podloga za generiranje geometrijskih likova.

Literatura:

M. Pearson, Generative art, A practical guide using Processing, Manning Publications,2011.L. McCarthy, C. Reas, B. Fry, Getting Started with p5.js, Making Interactive Graphics inJavaScript and Processing, Makermedia, 2015.D. Runberg, The SparkFun Guide to Processing, Create Interactive Art with Code, NoStarch Press, 2015.A. Ilachinski, Cellular Automata, A Discrete Universe, World Scientic, 2001.K.-P. Hadeler, J. Müller, Cellular Automata: Analysis and Applications, Springer, 2017.A. Adamatzky G.J. Martinez (ured.), Designing Beauty - The Art of Cellular Automata,Springer, 2016.https://p5js.org/

195

Mentor: Goranka Nogo Suvoditelj: Zrinjka Stan£i¢

Metode i postupci individualizacije u nastavi matematike uosnovnoj ²koli

Student: Roberta Uj£i¢


Prikladno za studij: Matematika; smjer: nastavni£ki, Matematika i informatika; smjer:nastavni£ki

Opis: Od studentice se o£ekuje da opi²e rad s u£enikom koji nastavu pohaa po redovi-tom programu, uz individualizaciju postupaka. U trenutku prijave teme u£enik pohaa²esti razred osnovne ²kole. Studentica treba odabrati primjerene metode pou£avanja ma-tematike i argumentirati odabir. Nadalje, treba opisati sadrºaj edukacije (podru£ja/teme,prilagodbu zadataka) te navesti na£ine i primjere provjere u£enikovih postignu¢a.

Literatura:

Z.K.Begovi¢, R.K.uper, Lj.J.Mati¢, Mathematics education as a science and a profession,Element, Osijek, 2017Lj.Igri¢ i suradnici, Osnove edukacijskog uklju£ivanja, kolska knjiga, Zagreb, 2015M.Kavkler, M.K.Babuder, Teºave pri u£enju matematike-strategije za izbolj²anje razu-mevanja in u£nih doseºkov u£encev, 1000 izvodov, Ljubljana, 2015Z.Stan£i¢, S.S.Gale²ev, Metodi£ko didakti£ki aspekti pou£avanja matematike u radu su£enicima s posebnim obrazovnim potrebama, (2005), Metodi£ka Petica, Metodi£ki pri-ru£nik za u£itelje uz udºbenik matematike za 5. razred, SysPrint, 60-80.Katalog obveznih udºbenika i pripadaju¢ih dopunskih nastavnih sredstava za osnovnu²kolu, (2017), https://mzo.hr/hr/katalog-obveznih-udzbenika-pripadajucih-dopunskih-nastavnih-sredstava-za-osnovnu-skolu-gimnazijeNacionalni okvirni kurikulum, (2011), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2685Nastavni plan i program za osnovnu ²kolu, (2006), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2199

196

Mentor: Goranka Nogo

Programiranje zi£kih objekata

Student: Eni Katani¢

Podru£je: Metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki

Opis: Razumijevanje koncepta programiranja bi, uz znanje kori²tenja ra£unalom, trebalobiti dio op¢e pismenosti i za osobe koje se kasnije ne namjeravaju profesionalno time bavitibudu¢i da gotovo svi predmeti s kojima se susre¢emo u svakodnevnom ºivotu u sebi imajuugraen neki elektroni£ki sklop koji izvodi odreene programe. U ovom radu studentica¢e pokazati mogu¢nosti osuvremenjivanja nastave programiranja kori²tenjem suvremenihi dostupnih izlaznih i ulaznih jedinica £ime se omogu¢uje temeljno razumijevanje na£inana koji rade svi ureaji koji imaju neki oblik programiranog djelovanja. Bit ¢e navedeniprimjeri aktivnosti kori²tenja suvremenih izlaznih i ulaznih jedinica koje se mogu provoditiu nastavi informatike i drugih predmeta, prilikom u£enja programiranja. Takoer, bit ¢edan i osvrt i na potencijalne probleme vezane uz programiranje zi£kih objekata.

Literatura:

J.C.Olabe, Programming and Robotics with Scratch in Primary Education, (2011), http://www.formatex.info/ict/book/356-363.pdfJ.Patterson, House of Robots: Robot Revolution, Hachette Book Group, 2017https://codewith.mu/http://izradi.croatianmakers.hr/project/uvodno-o-mbotu/http://microbit.org/

197


Meta-heuristi£ki algoritmi za problem odabira tima

Student: Branimir Jungi¢

Podru£je: Oblikovanje i analiza algoritama


Opis: U radu ¢e biti promatran problem odabira tima (Team Formation Problem). Nekaje zadan skup osoba koje posjeduju neke vje²tine te teºinski graf (dru²tvena mreºa) u ko-jemu teºine bridova odreuju koliko ekasno dvije osobe mogu suraivati. Treba prona¢ipodskup zadanog skupa takav da vje²tine osoba iz podskupa omogu¢avaju ²to ekasnijeobavljanje nekog zadatka. Rije£ je o vaºnom problemu koji ima primjenu u mnogim real-nim situacijama. Problem odabira tima je NP-teºak. Od studenta se o£ekuje da prou£irazli£ite meta-heuristi£ke paradigme primjerene za navedeni problem te da dizajnira, ana-lizira i implementira neke algoritme za njegovo rje²avanje.

Literatura:

T.Lappas, K.Liu, E.Terzi, Finding a Team of Experts in Social Networks, (2009), http://users.ics.aalto.fi/gionis/online-team-formation.pdfC.T.Li, M.K.Shan, S.D.Lin, On team formation with expertise query in collaborative so-cial networks, (2015), http://link.springer.com/article/10.1007\%2Fs10115-013-0695-xH.Wia, S.Oha, J.Muna, M.Jungb, A team formation model based on knowledge and colla-boration, (2009), http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S095741740800907X

198


Matemati£ke osnove rada ra£unala u nastavi informatike uosnovnoj ²koli

Student: Ivona Mi²ki¢

Podru£je: Metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki

Opis: Brojevni sustavi, prikaz brojeva u ra£unalu, logi£ki operatori, ... su samo nekeod tema objedinjenih pod zajedni£kim nazivom Matemati£ke osnove rada ra£unala. Na-vedene teme u udºbenicima su £esto obraene neprimjereno (inzistiranje na formalnimdenicijama i procedurama, a ne na razumijevanju koncepta). No, obrade nekih temasadrºe i £injeni£ne pogre²ke. Od studentice se o£ekuje da kriti£ki vrednuje sadrºaje uudºbenicima za osnovnu ²kolu, izdvoji neprimjerene/pogre²ne te predloºi odgovaraju¢ina£in obrade kroz u£eni£ke aktivnosti.

Literatura:

CSTA K12 Computer Science Standards, (2017), http://c.ymcdn.com/sites/www.csteachers.org/resource/resmgr/Docs/Standards/CSTA_K-12_CSS.pdfT.Bell, I.H.Witten, M.Fellows, CS Unplugged, (2015), http://csunplugged.org/wp-content/uploads/2015/03/CSUnplugged_OS_2015_v3.1.pdfKatalog obveznih udºbenika i pripadaju¢ih dopunskih nastavnih sredstava za osnovnu²kolu, (2017), https://mzo.hr/hr/katalog-obveznih-udzbenika-pripadajucih-dopunskih-nastavnih-sredstava-za-osnovnu-skolu-gimnazije

199

Mentor: Katarina Ott Suvoditelj: Damir Baki¢

Odrednice prora£unske transparentnosti hrvatskih gradova

Student: Iva Artukovi¢

Podru£je: ekonomika javnog sektora


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj je rada utvrditi varijable koje bi mogle biti povezane s prora£unskom transpa-rentno²¢u 127 hrvatskih gradova. Razina prora£unske transparentnosti (OLBI) izra£unataje u Ott at al. (2018, 2017, 2016, 2015), a varijable koje bi s njom mogle biti pove-zane poku²at ¢e se utvrditi na temelju dostupnih ekonomskih, socijalno-kulturolo²kih,antropolo²kih ili politi£kih podataka. Studentica ¢e se upoznati s podru£jem prora£unsketransparentnosti i literaturom i bazama potrebnim za utvrivanje povezanih varijabli, teekonometrijskim metodama poku²ati utvrditi povezanost odabranih varijabli s prora£un-skom transparentno²¢u hrvatskih gradova.

Literatura:

http://www.ijf.hr/hr/istrazivanja/hrzz-projekti/1053/olbi/1064/literatura/1150/http://www.ijf.hr/hr/istrazivanja/hrzz-projekti/1053/olbi/1064/radovi/1143/

200


Odrednice prora£unske transparentnosti hrvatskih op¢ina

Student: Marko Joki¢



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj je rada utvrditi varijable koje bi mogle biti povezane s prora£unskom transpa-rentno²¢u 428 hrvatskih op¢ina. Razina prora£unske transparentnosti (OLBI) izra£unataje u Ott at al. (2018, 2017, 2016, 2015), a varijable koje bi s njom mogle biti pove-zane poku²at ¢e se utvrditi na temelju dostupnih ekonomskih, socijalno-kulturolo²kih,antropolo²kih ili politi£kih podataka. Student ¢e se upoznati s podru£jem prora£unsketransparentnosti i literaturom i bazama potrebnim za utvrivanje povezanih varijabli, teekonometrijskim metodama poku²ati utvrditi povezanost odabranih varijabli s prora£un-skom transparentno²¢u hrvatskih op¢ina.

Literatura:


201


Odrednice prora£unske transparentnosti hrvatskih lokalnihjedinica

Student: Bruno Kolesar



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj je rada utvrditi varijable koje bi mogle biti povezane s prora£unskom transpa-rentno²¢u 555 hrvatskih lokalnih jedinica (127 gradova i 428 op¢ina). Razina prora£unsketransparentnosti (OLBI) izra£unata je u Ott at al. (2018, 2017, 2016, 2015), a vari-jable koje bi s njom mogle biti povezane poku²at ¢e se utvrditi na temelju dostupnihekonomskih, socijalno-kulturolo²kih, antropolo²kih ili politi£kih podataka. Student ¢e seupoznati s podru£jem prora£unske transparentnosti i literaturom i bazama potrebnim zautvrivanje povezanih varijabli, te ekonometrijskim metodama poku²ati utvrditi poveza-nost odabranih varijabli s prora£unskom transparentno²¢u hrvatskih lokalnih jedinica.

Literatura:


202

Mentor: Dalibor Paar

Terenska nastava zike: posjet znanstvenom laboratoriju

Student: Snjeºana Bra£un

Podru£je: matematika, zika


Preduvjeti: nema

Opis: Terenska nastava kao £esti oblik nastave u razvijenim ²kolskim sustavima u Hrvat-skoj je jo² uvijek vrlo rijetko u izvedbi. U okviru ovog rada predstavit ¢e se mogu¢nostiizvedbe terenske nastave kao posjeta znanstvenom laboratoriju. Istaknut ¢e se uloga ovak-vog oblika nastave u stjecanju trajnih znanja.

Literatura:

Cutnell & Johnson: Physics, 8th edition, J. Willey & Sons 2009.

203


Demonstracijski pokusi u nastavi zike:kvantna zika u osnovnoj ²koli

Student: Petra Maruna



Preduvjeti: nema

Opis: Suvremeni obrazovni sustavi teºi²te sa same teme pou£avanja stavljaju na metode ivje²tine. To diskusije kada ¢e neka tema biti prezentirana u£eniku stavlja u drugi plan. Naprimjeru vrlo sloºene teme prikazat ¢emo kako je mogu¢e djeci u osnovnoj ²koli predstavitikoncepte kvantne zike te ¢e se istaknuti za²to je to vaºno. Posebno ¢e se osvrnuti nato ²to takva tema zahtijeva od nastavnika, a koji su direktni u£nici izlaganja u£enika tojtemi.

Literatura:


204


Demonstracijski pokusi u nastavi zike:analogija elektri£nih i vodenih krugova

Student: Katarina Maruna



Preduvjeti: nema

Opis: Veliki problem hrvatskog obrazovonog sustava je ²to u£enici u podru£ju prirodos-lovlja ne stje£u trajna i primjenjiva znanja. Jedan od razloga je i taj ²to se pojedine temene obrauju dovoljno duboko i ne prezentiraju u£enicima na na£in kako bi ih lak²e moglishvatiti. Jedna od tema koja je u£enicima vrlo apstraktna je pojam elektri£ne struje,odnosno strujni krugovi. U radu ¢emo prikazati za²to je bitno koristiti analogije u zici ikako to moºe pomo¢i boljem razumijevanju ove teme.

Literatura:


205

Mentor: Damir Paji¢

Mjerenje feroelektri£nih svojstava materijala

Podru£je: Fizika, kondenzirana materija, eksperimentalno


Preduvjeti: nema

Opis: Student ¢e izraditi mjerni postav za mjerenje feroelektri£nih svojstava matarijala,uklju£uju¢i ili mjerenje piroelektri£ne struje koja se pojavi prilikom prelaska materijala uferoelektri£no stanje £ime se proizvede struja mjerljiva femtoampermetrom, ili mjerenjedielektri£ne konstante LCR-metrom u ovisnosti o temperaturi, ili mjerenje feroelektri£nehistereze pomo¢u digitalnog osciloskopa. Prilagodit ¢e uzorak mjernoj metodi, te pove-zati instrumente s ra£unalom i u programskom jeziku python isprogramirati upravljanjeureajem i mjerenje. Analizirat ¢e podatke i dati njihovo tuma£enje u svijetlu novijeznanstvene literature. Pritom ¢e nau£iti o elektri£nim svojstvima materijala, upravljanjuprofesionalnim mjernim ureajima pomo¢u ra£unala, analiti podataka, te znanstvenojraspravi dobivenih rezultata.

Literatura:

Udºbenici iz op¢e zike i £vrstog stanja, priru£nici za kori²tene ureaje, znanstveni radovi.

206

Mentor: Damir Paji¢

Mjerenje magnetskih svojstava odabranog materijala

Podru£je: Fizika, kondenzirana materija, eksperimentalno


Preduvjeti: nema

Opis: Student ¢e mjeriti magnetizaciju odabranog matarijala koriste¢i SQUID magneto-metar. Uo£eno magnetsko pona²anje objasnit ¢e u svjetlu novije znanstvene literature.

Literatura:

Udºbenici iz op¢e zike i £vrstog stanja, priru£nici za kori²tene ureaje, znanstveni radovi.

207

Mentor: Pavle Pandºi¢

Reprezentacije kona£nih grupa

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: za sve studije

Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije kona£nodimenzionalnih reprezentacija ikaraktera u primjeru kona£nih grupa. Uklju£ene su i standardne konstrukcije kao induci-ranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim primjerima.

Literatura:

J.-P.Serre, Linear representations of nite groups, Springer, 1977.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

208


Proste kompleksne Liejeve algebre

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije Liejevih algebri te klasikacija kompleksnihprostih Liejevih algebri pomo¢u njihovih sistema korijena.

Literatura:

J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

209


Realne forme prostih Liejevih algebri

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi pretpostavlja klasikacija kompleksnih prostih Liejevih algebri ina osnovu nje se dobiva klasikacija realnih prostih Liejevih algebri. Osnovna metoda jekori²tenje tzv. Voganovih dijagrama.

Literatura:

A.W. Knapp, Lie groups: beyond an introduction, Birkhäuser, Boston, 1996.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A rst course., Springer, 1991.

210


Kona£ne grupe reeksija

Podru£je: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrauju osnove teorije kona£nih grupa reeksija. Osnovni su pri-mjeri Weylove grupe sistema korijena.

Literatura:

L.C. Grove, T.C. Benson, Finite reection groups, Springer, 1985.J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Soergel, Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme, http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPIEG.pdf

211

Mentor: Igor Paºanin

Matemati£ki modeliranje demografskih procesa

Student: Eva Kara£i¢

Podru£je: Matemati£ko modeliranje

Opis: Ovaj rad zami²ljen je kao pregled matemati£kih modela koji opisuju neke demo-grafske procese. Posebna paºnja posvetila bi se izvodu tih modela te analizi rezultiraju¢ihsustava obi£nih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

I. Tzortis, Mathematical models for demography and its applications to Cyprus population,Thesis, School of Engineering, 2009.A. Rapoport, Mathematical models in the social and behavioral sciences, John Wiley &Sons, 1983.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Dierential Equations: An Introduction to Modern Methods &Applications, J. Wiley & Sons, 2007.

212


Matemati£ko modeliranje nekih dru²tvenih fenomena

Student: Maja Bukovec


Opis: Diferencijalnim jednadºbama se najjednostavnije izraºavaju i modeliraju mnogiprirodni zakoni te razni procesi u razli£itim podru£jima znanosti i tehnike. Ovaj radzami²ljen je kao pregled matemati£kih modela koji opisuju neke dru²tvene fenomene. Po-sebna paºnja posvetila bi se izvodu i analizi modela zna£ajnih u ekonomskim znanostimate kriminologiji.

Literatura:

I. Borsi, M. Primicerio, Mathematical models for social and economic dynamics and fortax evasion: a summary of recent results, Vietnam Journal of Mathematical Applications12 (2014) 2548.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Dierential Equations: An Introduction to Modern Methods &Applications, J. Wiley & Sons, 2007.

213


Matemati£ko modeliranje biolo²kih sustava

Student: Nina Pospi²il


Opis: Ovaj rad zami²ljen je kao pregled matemati£kih modela koji opisuju pona²anjeodreenih biolo²kih sustava. Posebna paºnja posvetila bi se izvodu i analizi modela zna-£ajnih u epidemiologiji, stani£noj dinamici te populacijskoj genetici.

Literatura:

G. Bastin, Lectures on mathematical modelling of biological systems, Lecture Notes, Uni-versite catholique de Louvain, 2012.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Dierential Equations: An Introduction to Modern Methods &Applications, J. Wiley & Sons, 2007.

214

Mentor: Tomislav Pejkovi¢

Poligonalni brojevi

Student: Marija Jur£evi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Obradit ¢e se takozvani poligonalni brojevi i njihova poop¢enja. Poseban naglasak¢e biti na odredjivanju koji brojevi su poligonalni na vi²e na£ina.

Literatura:

E. Deza, M.M. Deza, Figurate numbers, World Scientic Publishing Co. Pte. Ltd.,Hackensack, NJ, 2012.R. B. Nelsen, Multi-polygonal numbers, Math. Mag. 89 (2016), no. 3, 159164.Triangular-square-pentagonal numbers, Problem E 2618, Amer. Math. Monthly 85 (1978)5152.

215


Lucasov teorem

Student: Mihaela Laljek



Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e biti obradjen Lucasov teorem, neka njegova poop¢enja i s njime povezanirezultati.

Literatura:

D.F. Bailey, Two p3 variations of Lucas' theorem, J. Number Theory 35 (1990), no. 2,208215.N.J. Fine, Binomial coecients modulo a prime, Amer. Math. Monthly 54, (1947). 589592.M. Hausner, Applications of a simple counting technique, Amer. Math. Monthly 90(1983), no. 2, 127129.R. Me²trovi¢, Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications, 51 pp,preprintD. Singmaster, Notes on binomial coecients. I. A generalization of Lucas' congruence.J. London Math. Soc. (2) 8 (1974), 545548.

216


Krivulje konstantne ²irine

Student: Mateja Mikleni¢

Podru£je: elementarna geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e biti dokazani osnovni rezultati vezani uz krivulje konstantne ²irine te ¢ebiti izloºen analogni problem u prostoru.

Literatura:

I.M. Jaglom, V.G. Boltjanski, Convex gures, Holt, Rinehart and Winston, New York1960H. Rademacher, O. Toeplitz, The enjoyment of mathematics, Princeton University Press,Princeton, N. J., 1957.B. Kawohl, C. Weber, Meissner's mysterious bodies, Math. Intelligencer 33 (2011), no.3, 94101.

217


Cevin i Menelajev teorem te generalizacije

Student: Tea Amiºi¢

Podru£je: elementarna geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: U radu ¢e Cevin i Menelajev teorem biti dokazani na nestandardne na£ine te ¢ebiti predstavljene neke generalizacije ovih teorema.

Literatura:

M.S. Klamkin, S.H. Kung, Ceva's and Menelaus' Theorems and Their Converses via Cen-troids, Math. Mag. 69 (1996), no. 1, 4951.J.R. Silvester, Ceva = (Menelaus)2, The Mathematical Gazette 84 (2000), pp. 268271.L. Hoehn, A Menelaus-Type Theorem for the Pentagram Math. Mag. 66 (1993), no. 2,121123.M.S. Klamkin, A. Liu, Simultaneous generalizations of the theorems of Ceva and Mene-laus, Math. Mag. 65 (1992), no. 1, 4852.B. Grünbaum, G.C. Shephard, Ceva, Menelaus, and the area principle, Math. Mag. 68(1995), no. 4, 254268.

218

Mentor: Tin Perkov Suvoditelj: Mladen Vukovi¢

Metoda tableauxa za modalnu logiku


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijem Matemati£ka logika, te manjimdijelom kolegijem Izra£unljivost (poloºen kolegij Izra£unljivost nije formalni uvjet).

Opis: Modalna logika motivirana je potrebom da se formaliziraju nuºnost i mogu¢nost,znanje i vjerovanje, dokazivost i mnoga druga svojstva koja se mogu smatrati operatorimana logi£kim sudovima. Unato£ jednostavnoj sintaksi koja osigurava odlu£ivost, modalnalogika svojom izraºajno²¢u predstavlja vrlo jako sredstvo za opis relacijskih struktura.

Tradicionalno izlaganje logi£kih formalizama obuhva¢a denicije sintakse i semantike, tenjihovo povezivanje putem teorema adekvatnosti i potpunosti odgovaraju¢eg hilbertovskogaksiomatskog sistema. Radi ekonomi£nosti dokaza klju£nih teorema, aksiomatski sistemisu minimalni, odnosno koriste vrlo malo pravila zaklju£ivanja. Zbog toga su formalnidokazi takvih sistema intuitivno vrlo te²ko razumljivi.

Metoda tableauxa ili semanti£kih stabala jedna je metoda testiranja ispunjivosti logi£-kih formula (tzv. glavni test). Ako je adekvatan i potpun, test metodom semanti£kogstabla predstavlja alternativni sistem dokazivanja, jer se glavni test za valjanu formulumoºe smatrati njenim dokazom. Semanti£ka stabla intuitivno su jasnija od dokaza uhilbertovskim aksiomatskim sistemima.

Glavni cilj rada je opisati metodu tableauxa za osnovni modalni jezik i dokazati odgova-raju¢e teoreme adekvatnosti i potpunosti. Dodatni ciljevi, vode¢i ra£una o primjerenomopsegu diplomskog rada, bit ¢e pitanje odlu£ivosti, te metoda tableauxa za op¢enitijemodalne jezike.

Literatura:

P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema: Modal Logic, Cambridge University Press, 2001.M. Fitting: Modal proof theory, u P. Blackburn i dr. (ur.), Handbook of Modal Logic,Elsevier, 2006, str. 85138.R. Goré: Tableau methods for modal and temporal logics, u M. D'Agostino i dr. (ur.),Handbook of Tableau Methods 13 (1972) 297396.R. M. Smullyan: First-order logic, SpringerVerlag, 1968.M. Vukovi¢: Matemati£ka logika, Element, 2009.

219

Mentor: Tin Perkov Suvoditelj: Mladen Vukovi¢

Prirodna dedukcija za modalnu logiku



Preduvjeti: Poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijem Matemati£ka logika.

Opis: Modalna logika motivirana je potrebom da se formaliziraju nuºnost i mogu¢nost,znanje i vjerovanje, dokazivost i mnoga druga svojstva koja se mogu smatrati operatorimana logi£kim sudovima. Unato£ jednostavnoj sintaksi koja osigurava odlu£ivost, modalnalogika svojom izraºajno²¢u predstavlja vrlo jako sredstvo za opis relacijskih struktura.

Tradicionalno izlaganje logi£kih formalizama obuhva¢a denicije sintakse i semantike, tenjihovo povezivanje putem teorema adekvatnosti i potpunosti odgovaraju¢eg hilbertovskogaksiomatskog sistema. Radi ekonomi£nosti dokaza klju£nih teorema, aksiomatski sistemisu minimalni, odnosno koriste vrlo malo pravila zaklju£ivanja. Zbog toga su formalnidokazi takvih sistema intuitivno vrlo te²ko razumljivi.

Prirodna dedukcija je alternativni sistem dokazivanja, u kojem se dopu²ta ve¢i broj pravilazaklju£ivanja. Pravila odgovaraju uobi£ajenim metodama dokaza u neformalnom (iakostrogom) izlaganju matemati£kih teorija. Zbog toga su dokazi prirodnom dedukcijomintuitivno jasniji od dokaza u hilbertovskim aksiomatskim sistemima.

Glavni cilj rada je opisati prirodnu dedukciju za osnovni modalni jezik i dokazati odgova-raju¢e teoreme adekvatnosti i potpunosti. Dodatni ciljevi, vode¢i ra£una o primjerenomopsegu diplomskog rada, bit ¢e pitanje normalizacije, te prirodna dedukcija za op¢enitijemodalne jezike.

Literatura:

P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema: Modal Logic, Cambridge University Press, 2001.M. Fitting: Modal proof theory, u P. Blackburn i dr. (ur.), Handbook of Modal Logic,Elsevier, 2006, str. 85138.J. Hawthorn: Natural deduction in normal modal logic, Notre Dame Journal of FormalLogic 31 (1990) 263273.D. Prawitz: Natural Deduction: A Proof-Theoretical Study, Almqvist & Wicksell, 1965.M. Vukovi¢: Matemati£ka logika, Element, 2009.

220

Mentor: Ozren Per²e

Poluproste Liejeve algebre

Podru£je: Algebra


Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija "Vektorski prostori" i "Algebra"

Opis: U ovom radu planiraju se obraditi neke osnovne teme iz strukturne teorije polupros-tih Liejevih algebri i njihovih reprezentacija, kao ²to su Cartanova podalgebra, korijenskadekompozicija, moduli najve¢e teºine i sl.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

221


Poincaré-Birkho-Wittov teorem

Podru£je: Algebra



Opis: Univerzalna omota£ka algebra je vaºan alat u prou£avanju reprezentacija Liejevealgebre. U ovom radu planira se obraditi fundamentalni PBW teorem o bazi te omota£kealgebre.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

222


Jordanove algebre

Podru£je: Algebra



Opis: U ovom radu se planira prou£avati strukturna teorija Jordanovih algebri.

Literatura:

K. McCrimmon, A Taste of Jordan algebras, Springer, 2004.

223


Liejeve grupe i Liejeve algebre

Podru£je: Algebra



Opis: U ovom radu se planiraju prou£avati pojmovi Liejeve grupe i Liejeve algebre, tenjihove meusobne veze.

Literatura:

J. S. Milne, Lie Algebras, Algebraic Groups, and Lie Groups, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LAG.pdfN. Bourbaki, Elements of Mathematics, Lie Groups and Lie Algebras, Chapters 7-9,Springer 2005.

224

Mentor: Dora Pokaz Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Problematika ekvipotentnosti skupova u ²kolskoj matematici

Student: Marija Mariji¢

Podru£je: metodika nastave matematike


Preduvjeti: nema

Opis: Nakon pregleda osnovnih pojmova, relacija i metoda teorije skupova, unutar ovogdiplomskog rada pokazat ¢e se kako se uvodi pojam ekvipotentnosti skupova u srednjo-²kolskom obrazovanju. Takoer ¢e se pokazati kako se dokazuje prebrojivost racionalnihbrojeva dijagonalnim postupkom, slikovitim prikazom bijekcije bliºem u£eniku, a kakopomo¢u Calkin-Wilfovog i Stern-Brocotovog stabla. Razmotrit ¢e se i drugi primjeri ek-vipotentnih i neekvipotentnih skupova.

Literatura:

B. Daki¢, O prebrojivosti i neprebrojivosti, Matemati£ki panoptikum, kolska knjiga, Za-greb, 1995.F. M. Brückler, V. a£i¢, M. Doko, M. Vukovi¢, Zbirka zadataka iz teorije skupova,webizdanje, PMFMO, Zagreb, 2008.http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ts/materijali.phpJ. Kramer, A.M. von Pippich, Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach: Spe-cial Values of Zeta Functions and Areas of Triangles, Notices Amer. Math. Soc., 63(8),(2016), 917-922.M. Vukovi¢, Teorija skupova, predavanja, web-izdanje, PMF-MO, Zagreb, 2015.http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ts/materijali.phpUdºbenici i zbirke za srednje ²kole

225

Mentor: Dora Pokaz Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Prikazi prodora oblih ploha uz pomo¢ ra£unalne grake

Student: Dajana Kova£i¢




Opis: Pomo¢u programa za 3D modeliranje Rhino dat ¢e se pregled prostornih krivuljakoje nastaju prodorom sfera, te valjkastih i stoºastih ploha. Prikazi ¢e se promatrati utlocrtu, nacrtu, bokocrtu i ortogonalnoj aksonometriji. Naravno, pokazat ¢e se i klasi£nametoda presje£nih ravnina. Primjenu prodora nalazimo od banalnih primjera poput spa-janja cijevi sve do prekrasnih arhitektonskih rje²enja natkrivanja objekata. Budu¢i da jesvodna ploha obi£no cilindri£na ili sferi£na, pokazat ¢e se nastajanje kriºnog svoda karak-teristi£nog za razdoblje gotike, samostanskog svoda te bizantske, barokne i vise¢e kupole.

Literatura:

I. Babi¢, S. Gorjanc, A. Sliep£evi¢, V. Szirovicza: Konstruktivna geometrija - vjeºbe,HDKGIKG, Zagreb, 2002I. Babi¢, S. Gorjanc, A. Sliep£evi¢, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija - zadaci, HDGG,Zagreb, 2007S. Gorjanc, Deskriptivna geometrija, nastavni materijali, http://grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/plan.htmlV. Ni£e, Deskriptivna geometrija, kolska knjiga, Zagreb, 1997I. Petruni¢, N. Sudeta, Svodovi kao dijelovi kugline plohe u ortogonalnoj aksonometriji,KoG 7(7),(2004), 29-34.

226

Mentor: Nikola Poljak

Kelvinova kapaljka

Student: Martina Horvat

Podru£je: Elektrodinamika

Prikladno za studij: Matematika i zika

Preduvjeti: Osnove zike 2

Opis: Kelvinova kapaljka je vrsta elektrostatskog generatora koji radi na principu raz-dvajanja naboja elektrostatskom indukcijom. Svrha kapaljke je demonstracija principaelektrostatike tijekom studija, a njena izrada sluºila bi kasnije kao demonstracijski postavza op¢e zike i osnove zike. Kapaljku je mogu¢e izraditi od jeftinih, u£estalih materijala,²to ¢e se i u£initi u prvoj verziji njene izvedbe. Nakon ²to se time demonstrira principrada kapaljke, izradit ¢e se prijenosna, stabilna verzija koja ¢e se sluºiti kao demonstracij-ski postav. Kona£no, pomo¢u postava ¢e se izvr²iti zikalno mjerenje dielektri£ne snage£estih materijala kao ²to je staklo.

Literatura:

1. Young, Freedman, Sears, Zemansky: University Physics, Pearson Education, 2015.2. David J. Griths, Introduction to electrodynamics, Pearson Education, 2012.3. Edward M. Purcell, Electricity and magnetism, McGraw - Hill, 1984.

227

Mentor: Nikola Poljak

Elektri£ni oscilatori

Student: Dennis Ramuli¢

Podru£je: Elektrodinamika

Prikladno za studij: Matematika i zika

Preduvjeti: Osnove zike 2, Elektrodinamika

Opis: Elektri£ni titrajni krug u srednjim se ²kolama obi£no spominje, a ponekad i obra-uje, u okviru LC-krugova. Iako taj krug jest titrajni, iznimno je neprakti£an za stalnuuporabu. Titrajni krugovi bazirani na PN spojevima jednostavni su za uporabu, no naj-£e²¢e se izostavljaju iz zikalnih kurikuluma. Takvi krugovi zahtijevaju spajanje ve¢egbroja komponenti u krug, ²to predstavlja porast kompleksnosti u odnosu na jednostavanLC krug, no time pove¢avaju i razumijevanje korisnika jer svaka komponenta ima svojujasnu i speci£nu funckiju. Diplomski rad sastojao bi se u izradi demonstracijskog postavakoji je ujedno zami²ljen i kao interaktivni edukacijski model. Korisnik postava najprije binau£io princip rada oscilatornih krugova, a zatim bi umetanjem elektroni£kih komponentina pravilna mjesta na demonstracijskoj plo£i krugove i ostvario. Postav bi se u kona£nicipredstavio na Sveu£ili²noj nastavi osnova zika i op¢ih zika.

Literatura:

1. Young, Freedman, Sears, Zemansky: University Physics, Pearson Education, 2015.2. David J. Griths, Introduction to electrodynamics, Pearson Education, 2012.3. Edward M. Purcell, Electricity and magnetism, McGraw - Hill, 1984.

228

Mentor: Sonja Radas

Stroga pravila ishoda

Podru£je: Vjerojatnost i statistika


Preduvjeti: Vjerojatnost i statistika

Opis: Stroga pravila ishoda (proper scoring rules) koriste se u statistici, teoriji infor-macija i teoriji igara. Stroga pravila ishoda imaju za cilj motivirati sudionike da govoreistinu, jer takvim odabirom dobivaju maksimalnu nagradu. Diplomski rad se bavi pregle-dom takvih pravila i njihovim svojstvima.

Literatura:

T. Gneiting, A.E. Raftery, M. Guillot, Strictly proper Scoring Rules, Prediction and Es-timation , Journal of the American Statistical Association March 2007, Vol. 102, No.477

229

Mentor: Sonja Radas

Bayesovski serum istine




Opis: Bayesovski serum istine (Bayesian Truth Serum) je metodologija kojom se motiviraispitanike da daju istinite odgovore na postavljena pitanja. Korisnik metode ne treba imatinikakve nezavisne mogu¢nosti provjeravanja iskrenosti ispitanika i ispravnosti odgovora.Diplomski rad se bavi predstavljanjem metode.

Literatura:

D. Prelec, A Bayesian truth serum for subjective data. Science, 2004, 306, 462-466.D. Prelec, H.S. Seung, J. McCoy, A solution to the single-question crowd wisdomproblem. Nature, 2017, 541, 532-535.

230

Mentor: Rajna Raji¢

Primjene HamiltonCayleyevog teoremana kvadratne matrice reda 2

Student: Matea Perkovi¢



Preduvjeti: nema

Opis: Prema HamiltonCayleyevom teoremu svaka kvadratna matrica poni²tava svojkarakteristi£ni polinom. Za matrice reda 2 ovaj teorem glasi

A2 − tr(A)A+ det(A)I = 0, A ∈M2(C).

U diplomskom radu dale bi se razne generalizirane verzije HamiltonCayleyevog teoremaza kvadratne matrice reda 2 te zatim opisale neke primjene. Prikazali bi se rezultatio ra£unanju potencija matrice A ∈ M2(C) u terminima njezinih £lanova i svojstvenihvrijednosti. Opisala bi se uloga HamiltonCayleyevog teorema u metodama za odreivanjeop¢ih £lanova dvaju nizova deniranih pomo¢u sustava linearnih rekurzivnih relacija, urje²avanju binomne matri£ne jednadºbe Xn = A gdje je A ∈ M2(C), n ∈ N, n ≥ 2, te urje²avanju Pellovih diofantskih jednadºbi.

Literatura:

V. Pop, O. Furdui, Square Matrices of Order 2, Springer International Publishing AG,2017.T. Andreescu, Essential Linear Algebra with Applications, Springer, New York, 2014.

231


Teoremi o srednjoj vrijednosti za simetri£no derivabilne funkcije

Student: Kre²imir Bujan



Preduvjeti: nema

Opis: Funkcija f : 〈a, b〉 → R je simetri£no derivabilna u to£ki c ∈ 〈a, b〉 ako postoji

limh→0

f(c+ h)− f(c− h)

2h.

Svaka derivabilna funkcija je ujedno i simetri£no derivabilna, no obrat op¢enito ne vrijedi.Simetri£no derivabilne funkcije op¢enito ne posjeduju neka dobra svojstva derivabilnihfunkcija, poput neprekidnosti ili "glatko¢e" grafa funkcije. U diplomskom radu prikazalebi se razne varijante nekih teorema o srednjoj vrijednosti (Rolle, Lagrange, Cauchy, Fletti dr.) za simetri£no derivabilne funkcije. Takoer bi se razmotrili uvjeti uz koje simetri£noderivabilna funkcija postaje derivabilna u klasi£nom smislu.

Literatura:

P. K. Sahoo, T. Riedel, Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientic,New Jersey, 1998.P. K. Sahoo, Quasi-mean value theorems for symmetrically dierentiable functions, Tam-sui Oxf. J. Math. Sci. 27 (3) (2011), 279301.

232


Poloºaj realnih nulto£aka polinoma

Student: Lucija Vinceljak



Preduvjeti: nema

Opis: Nulto£ke polinoma stupnja n ≥ 5 op¢enito ne moºemo egzaktno izra£unati. Stogase pri nalaºenju nulto£aka koriste numeri£ke metode kojima aproksimiramo rje²enja. Os-novna pretpostavka za primjenu numeri£kih metoda jest da je nulto£ka koju traºimo izoli-rana. U diplomskom radu razmatrao bi se problem nalaºenja realnih nulto£aka polinomas realnim koecijentima. Prikazali bi se neki osnovni rezultati o odreivanju poloºajarealnih nulto£aka polinoma. Dokazali bi se osnovni teoremi (Descartesovo pravilo o pred-znacima, BudanFourierov teorem, Sturmov teorem) koji govore o tome koliko se (najvi²e)realnih nulto£aka polinoma nalazi u zadanom intervalu. Rezultati bi se potkrijepili broj-nim primjerima.

Literatura:

K. T. Leung, I. A. C. Mok, S. N. Suen, Polynomials and Equations, Hong Kong UniversityPress, 1992.E. J. Barbeau, Polynomials, SpringerVerlag, New York, 1989.

233

Mentor: Maja Resman

Cookie cutter skupovi i pridruºeni dinami£ki sustavi

Podru£je: Analiza, mjera i integral

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Primijenjena matematika, Ra£unarstvo imatematika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Cookie-cutter skupovi su fraktalni (sebi-sli£ni) skupovi na intervalu [0, 1] koji sugeneralizacije Cantorovog skupa. Dobiveni su kao invarijantni skupovi za iteracije nekogpo dijelovima linearnog preslikavanja f na intervalu. Funkcijom f deniran je tako pri-rodno dinami£ki sustav na skupu C, pri £emu je jedna orbita sustava dana iteracijamaneke po£etne to£ke iz skupa.

Temeljena je na analizi preglednog znanstvenog rada T. Bedford: Applications of dynami-cal systems to theory of fractals - a study of cookie-cutter Cantor sets, u kojem se prou£avapostoji li veza fraktalne dimenzije (mjere 'gusto¢e akumulacije' fraktalnog cookie-cutterskupa) i entropije preslikavanja f .

Literatura:

Bedford, T., Applications of dynamical systems to theory of fractals - a study of cookie-cutter Cantor sets. In: Bélair J., Dubuc S. (eds) Fractal Geometry and Analysis. NATOASI Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences), vol 346. Springer, Dordrecht(1991)Samuel, T., Cookie Cutter Sets and the Thermodynamic Formalism, lecture notes (2016Summer School on Fractal Geometry and Complex Dimensions, San Luis Obispo, USA).

234

Mentor: Maja Resman

Dinamika FitzHugh-Nagumo modela

Podru£je: Diferencijalne jednadºbe, dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Radi se o modelu ²irenja impulsa kroz neuron. Model je dan parcijalnom dife-rencijalnom jednadºbom. Diskretizacijom se prelazi na diskretni model te na taj na£indobivamo diskretni dinami£ki sustav u dvije dimenzije, ovisan o nekim parametrima. Uovisnosti o parametru, procjenjuje se pona²anje trajektorija sustava u vremenu te analizirakako se ono mijenja promjenom parametra. Cilj je pokriti ²to ve¢i spektar parametara.Kroz model se uvode osnovni pojmovi i fenomeni u teoriji dinami£kih sustava, teorijabifurkacija, pojava kaosa.

Literatura:

Pesin, Y., Climenhaga, V., Lectures on fractal geometry and dynamical systems, AMSStudent Mathematical Library, vol. 52 (2009)Perko, L., Dierential Equations and Dynamical Systems (Texts in Applied Mathematics)3rd Edition, Springer (2006)Devaney, R., An introduction to chaotic dynamical systems, 2nd edition, Westview press(2008).

235

Mentor: Maja Resman

Fundamentalna teorija rje²ivosti nelinearnih sustava obi£nihdiferencijalnih jednadºbi

Podru£je: Analiza (normirani prostori), obi£ne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Promatraju se nelinearni sustavi obi£nih diferencijalnih jednadºbi te se u detaljedokazuje fundamentalni teorem lokalne egzistencije i jedinstvenosti rje²enja. Egzistencijase pokazuje na dva na£ina, sukcesivnim Picardovim iteracijama i pomo¢u Banachovogteorema o ksnoj to£ki. Dokazuje se i neprekidnost i diferencijabilnost rje²enja u ovisnostio po£etnom uvjetu i o parametru, te prou£ava maksimalni interval egzistencije rje²enja.Na osnovu dobivenih rezultata denira se tok sustava kao preslikavanje koje po£etnomuvjetu pridruºuje stanje sustava u trenutku t.

Literatura:

Perko, L., Dierential Equations and Dynamical Systems (Texts in Applied Mathematics)3rd Edition, Springer (2006),Hirsch, M.W., Smale, S., Dierential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra,Academic Press (1974).

236

Mentor: Maja Resman

Iteracije kompleksnih funkcija

Podru£je: Kompleksna analiza, dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Promatramo holomorfne kompleksne funkcije f : C → C te opisujemo pona²anjediskretnog dinami£kog sustava generiranog iteracijama funkcije f . Orbitama sustava sma-tramo iteracije svake po£etne to£ke z ∈ C, skupove z, f(z), f 2(z), f 3(z), . . .. Zanimljivapitanja su npr. ostaju li orbite iteracijama ograni£ene, pribliºavaju li se nekom skupu ilibjeºe u beskona£nost.

Razvija se lokalna i/ili globalna teorija. Lokalna teorija bavi se opisom dinamike u ne-posrednoj okolini ksnih to£aka. U globalnoj teoriji prou£avaju se topolo²ka svojstvaskupova u kompleksnoj ravnini koji se sastoje od to£aka £ije trajektorije ostaju omeeneza neka jednostavna kompleksna preslikavanja kao ²to su polinomi (tzv. Julia skupovi).

Literatura:

Carleson, L., Gamelin, T.W., Complex dynamics (Universitext). Springer, New York(1993)Falconer, K., Fractal Geometry, Math. Foundations and Applications, 3rd edition. Wiley,Chichester (1993)Blanchard P., Chiu A., Complex dynamics: an informal discussion. In: Bélair J., DubucS. (eds) Fractal Geometry and Analysis. NATO ASI Series (Series C: Mathematical andPhysical Sciences), vol 346. Springer, Dordrecht (1991)Milnor, J., Dynamics in one complex variable, 3rd edition, Princeton University Press(2011).

237

Mentor: Nikola Sandri¢

Stohasti£ka stabilnost Markovljevih lanaca s diskretnim skupomstanja

Student: Kristina Negovec



Preduvjeti: Markovljevi lanci, Slu£ajni procesi

Opis: U prvom dijelu rada ¢e se uvesti i analizirati razli£iti stupnjevi stohasti£ke sta-bilnosti Markovljevih lanaca s diskretnim skupom stanja: prolaznost, povratnost, nul-povratnost i pozitivna povratnost. U drugom dijelu rada naglasak ¢e biti na Foster-Lyapunovljevoj metodi kao mo¢nom alatu u analizi stohasti£ke stabilnosti. Takoer, ana-lizirati i simulirati ¢e se stohasti£ka stabilnost nekoliko klasi£nih primjera Markovljevihlanaca.

Literatura:

S. Meyn, R. L. Tweedie. Markov chains and stochastic stability. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2009.D. Revuz. Markov chains. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984.

238


Prolaznost i povratnost slu£ajnih ²etnji na grafovima

Student: Hrvoje Grill




Opis: U ovom radu ¢e se uvesti pojam i neka strukturalna svojstva slu£ajnih ²etnji nagrafovima. Potom diskutirati ¢e se njihovo svojstvo prolaznosti i povratnosti, koriste¢imetodu energije.

Literatura:

R. Lyons, Y. Peres. Probability on trees and networks. Cambridge University Press, NewYork, 2016.T. Lyons. A simple criterion for transience of a reversible Markov chain. Ann. Probab.11 (1983), no. 2, 393402.

239


Presjek funkcija propasti procesa rizika

Student: Ana Findak




Opis: U prvom dijelu rada ¢e se uvesti pojam i diskutirati osnovna svojstva Lévyevihprocesa, dok u drugom dijelu radu ¢e se diskutirati presjeci funkcija propasti procesa ri-zika.

Literatura:

A. E. Kyprianou. Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applica-tions. Springer, Berlin, 2006.T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, J. Teugels. Stochastic Processes for Insurance andFinance. J. Wiley & Sons, New York, 1999.T. Slijep£evi¢-Manger. Intersections of two ruin probability functions. Math. Commun.16 (2011), no. 1, 4965.

240

Mentor: Sanja Singer

Paralelno ra£unanje hiperboli£ke QR faktorizacijeParallel computation of the hyperbolic QR factorization

Student: Gayatri aklovi¢

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, paralelno znanstveno ra£unanje


Opis: Jedna od najkorisnijih faktorizacija u matrice G ∈ Cm×n, m ≥ n u praksi je QRfaktorizacija.

U nekim problemima poºeljno je ra£unati neku drugu, neeuklidsku strukturu, opisanuzadanom dijagonalnom matricom predznaka J , koja generira odgovoraju¢i hiperboli£kiskalarni produkt. Obi£na QR faktorizacija matrice G uobi£ajeno se ra£una tako da sematrica G slijeva mnoºi nizom elementarnih unitarnih matrica, konstruiranih tako da seponi²te odgovaraju¢i elementi ili dijelovi stupaca radne matrice, sve dok se ne dobije za-dana forma matrice R. Za taj posao koriste se dva tipa elementarnih unitarnih matrica Givensove rotacije i Householderovi reektori. Nije te²ko pokazati da u hiperboli£komslu£aju takve jednostavne transforrmacije nisu dovoljne da bi se dobila op¢a forma fakto-rizacije. Da bi se izra£unala op¢a forma faktorizacije, osim pivotiranja stupaca, potrebnoje koristiti i blok transformacije (koje poni²tavaju ve¢e blokove radne matrice).

Hiperboli£ka QR faktorizacija koristi se, na primjer, kao dio algoritma za ra£unanje gene-raliziranog svojstvenog problema kad su matrice hermitske i dane u faktoriziranoj formi.

Cilj ovog diplomskog rada je pokazati kako treba ekasno paralelno izra£unati hiperbo-li£ku QR faktorizaciju.

Literatura:

S. Singer, Indenite QR factorization, BIT, 46 (2006), str. 141161.S. Singer, S. Singer, Orthosymmetric block reectors , Linear Algebra Appl., 429 (2008),str. 13541385.C. H. Bischof, C. F. Van Loan, The WY representation for products of Householder ma-trices , SIAM J. Sci. Statist. Comput., 8 (1987), str. s2s13.R. S. Schreiber, C. F. Van Loan, A Storageecient WY representation for products ofHouseholder transformations , SIAM J. Sci. Statist. Comput., 10 (1989), str. 5357.C. Puglisi, Modication of the Householder method based on the compact WY representa-tion, SIAM J. Sci. Statist. Comput., 13 (1992), str. 723726.M. Anderson, G. Ballard, J. Demmel, K. Keutzer, Communication-Avoiding QR Decom-position for GPUs , u Proceedings of the 2011 IEEE International Parallel & DistributedProcessing Symposium, IEEE Computer Society Washington, 2011., str. 4858.J. W. Demmel, L. Grigori, M. Gu, H. Xiang, Communication avoiding rank revealing QRfactorization with column pivoting , SIAM J. Matrix Anal., Appl., 36 (2015), str. 5589.A. Tomás, Z. Bai, V. Hernández, Parallelization of the QR Decomposition with Column Pi-voting Using Column Cyclic Distribution on Multicore and GPU Processors , u M. Daydé,O. Marques, K. Nakajima (ur.): VECPAR 2012, LNCS 7851, SpringerVerlag Berlin He-idelberg 2013., str. 5058.Z. Drma£, Z. Bujanovi¢, On the Failure of Rank-Revealing QR Factorization Software A Case Study , ACM Trans. Math. Softw., 35 (2008) no. 2, Article 12, 28 str.

241


Generalizirani inverzi

Student: Anamarija Zibar



Opis: Generalizirani inverzi, kao ²to i samo ime govori, generalizacija su matri£nih inverzau slu£ajevima kad su matrice pravokutne i/ili singularne. Najpoznatiji meu njima jeMoorePenroseov generalizirani inverz, koji se naj£e²¢e ra£una kori²tenjem singularnedekompozicije, ali ima i drugih na£ina njegovog izra£unavanja.

Cilj rada je opisati neka svojstva generaliziranih inverza i eventualno numeri£ki usporeditinekoliko algoritama za njihovo ra£unanje.

Rad ne mora biti ograni£en samo na MoorePenroseov inverz, nego se mogu opisati i nekislabiji inverzi (na primjer 1, 2) i njihovo ra£unanje.

Literatura:

P. Lancaster, M. Tismenetsky, The Theory of Matrices with Applications (second edition),Academic Press, San Diego, 1985.

S. L. Campbell, C. D. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transformations , SIAM,Philadelphia, 2009.

A. BenIsrael, T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications (secondedition), SpringerVerlag, New York 2004.

G. Zielke Report on test matrices for generalized inverses , Computing 36 (1986), 105162.

242


Ubrzanje QR faktorizacije s pivotiranjem

Student: Ivan eh

Podru£je: Numeri£ka matematika; Paralelno znanstveno ra£unanje


Opis: QR faktorizacija je jedna od najpoznatijih faktorizacija numeri£ke linearne algebre.U mnogim slu£ajevima mora se provoditi s pivotiranjem stupaca, ²to znatno usporavanjezino ra£unanje, a posebno paralelizaciju.

Da bi se ubrzalo pivotiranje Bischof je predloºio pivotiranje unutar lokalnih blokova,Demmel i suradnici su predloºili QR faktorizaciju za otkrivanje ranga koja izbjegavakomunikaciju, a najnoviji je trend randomizirana QR faktorizacija s pivotiranjem stupaca,ne bi li se izbjeglo skupo to£no ra£unanje normi dijelova preostalih stupaca.

Cilj rada je opisati neke od algoritama i poku²ati ih realizirati i usporediti na paralelnomra£unalu.

Literatura:

C. H. Bischof, A parallel QR factorization algorithm with controlled local pivoting , SIAMJ. Sci. Statist. Comput., 12 (1991), 3657.

J. Demmel, L. Grigori, M. Hoemmen, and J. Langou, Communication-optimal paralleland sequential QR and LU factorizations , SIAM J. Sci. Comput., 34 (2012), A206A239.

P. G. Martinsson, Blocked Rank-Revealing QR Factorizations: How Randomized SamplingCan Be Used to Avoid Single-Vector Pivoting , preprint, https://arxiv.org/abs/1505.08115,2015.

J. A. Duersch, M. Gu, Randomized QR with Column Pivoting , SIAM J. Sci. Comput.,39 (2017), C263C291.

N. Halko, P. G. Martinsson, J. A. Tropp, Finding structure with randomness: Probabilisticalgorithms for constructing approximate matrix decompositions , SIAM Rev., 53 (2011),217288.

243

Mentor: Sa²a Singer

Konvolucijske neuronske mreºe

Student: Kristina Dºomba

Podru£je: Umjetna inteligencija, strojno u£enje


Preduvjeti: Umjetna inteligencija

Opis: Konvolucijske neuronske mreºe pripadaju klasi dubokih, unaprijednih (engl. feed-forward) neuronskih mreºa. U novije vrijeme, ove mreºe predstavljaju jednu od naje-kasnijih metoda za klasikaciju slika, te prepoznavanje i lociranje objekata na slici.

Za razliku od klasi£nih neuronskih mreºa, konvolucijske neuronske mreºe koriste vi²etipova slojeva, tako da je svaki neuron predstavljen s tri dimenzije: ²irina, visina i dubina,tj. slojevi mreºe su sloºeni u 3D-mreºu (pogodnu za obradu slika).

U ovom diplomskom radu bit ¢e opisana arhitektura duboke konvolucijske neuronskemreºe i pripadni proces u£enja. Takoer, bit ¢e opisana matemati£ka interpretacija togalgoritma i uvid u njegovu sloºenost, prednosti u odnosu na klasi£ne neuronske mreºe,te opis najpoznatijih neuronskih mreºa tog tipa. U prakti£nom dijelu rada treba im-plementirati konvolucijsku neuronsku mreºu, pomo¢u neke postoje¢e biblioteke za rad sneuronskim mreºama (poput TensorFlow).

Literatura:

CS231n: Convolutional Neural Networks for Visual Recognition, Stanford University,Spring 2017, Course Notes, Module 2,http://cs231n.github.io/convolutional-networks/

Convolutional neural network (i literatura na toj stranici)https://en.wikipedia.org/wiki/Convolutional_neural_network

I. Goodfellow, Y. Bengio, A. Courville, Deep Learning, Online book (Amazon), MITPress, Dec 2016.http://www.deeplearningbook.org/

TensorFlow, biblioteka za implementaciju neuronskih mreºahttps://www.tensorflow.org/tutorials/

244


Algoritmi optimizacije kolonijom mrava

Student: Iva Hr²ak

Podru£je: Oblikovanje i analiza algoritama, meta-heuristike


Preduvjeti: Nema

Opis: Algoritmi optimizacije kolonijom mrava (engl. ant colony optimization, skra¢enoACO) su populacijski orijentirane meta-heuristike koje se koriste za rje²avanje te²kihoptimizacijskih problema, ponajvi²e kombinatornih NP-te²kih problema.

Ovu vrstu algoritama prvi je predstavio Marco Dorigo u svojoj doktorskoj disertaciji. PrviACO algoritam kori²ten je za nalaºenje optimalnog puta u grafu, a algoritam je opona²aopona²anje mrava u potrazi za hranom. Danas ACO algoritmi imaju svestranu primjenu,a najpoznatije su za rje²avanje problema rasporeivanja, problema usmjeravanja vozila(engl. vehicle routing), detekciju rubova na slikama, itd.

Rad bi se sastojao od dva dijela. U prvom dijelu cilj je objasniti osnovne ideje ACOalgoritama, prou£iti varijacije, svojstva i primjenu u rje²avanju nekih poznatih problema.Drugi dio rada je prakti£nog tipa treba implementirati i testirati algoritam za rje²enjenekog problema, po izboru studenta.

Literatura:

M. Dorigo, T. Stützle, Ant Colony Optimization, The MIT Press, Cambridge, Massachu-setts, 2004.

M. Dorigo, C. Blum, Ant colony optimization theory: A survey, Theoretical ComputerScience, Vol. 344, Issues 23, 2005., pp. 243278.

M. Dorigo, Ant colony optimization, Scholarpedia, 2(3):1461, 2007.http://www.scholarpedia.org/article/Ant_colony_optimization

245


Algoritmi generiranja slu£ajnih permutacija

Student: Tihana Kov£e



Preduvjeti: Nema

Opis: Algoritmi generiranja slu£ajnih permutacija kona£nog broja elemenata (tzv. shuf-ing algoritmi) £ine zanimljivu skupinu algoritama ²iroke prakti£ne primjene (na primjer,za mije²anje ²pila karata u karta²kim ra£unalnim igrama).

U ovome ¢e radu biti obja²njeno za²to odreeni algoritmi u svakodnevnoj upotrebi, za-pravo, ne spadaju u navedenu kategoriju, odnosno, za²to njima dobivene permutacijenisu sve jednako vjerojatne. Provest ¢e se opis i analiza nekih od najpoznatijih shuingalgoritama varijacije FisherYates algoritma, Sattolo algoritam i sl.

Odabrani algoritmi bit ¢e implementirani u odgovaraju¢em programskom okruºenju radiprovedbe prakti£nih testova usporedbe brzine algoritama na konkretnim podacima. Ko-na£no, navest ¢e se neke od mogu¢ih ozbiljnijih primjena opisane klase algoritama.

Literatura:

D. E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms,Third Edition, Addison-Wesley, 1997.

D. E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching,Second Edition, Addison-Wesley, 1998.

R. A. Fisher, F. Yates, Statistical tables for biological, agricultural and medical research,Sixth Edition, Oliver & Boyd, Edinburgh, 1963.

R. Durstenfeld, R., Algorithm 235: Random permutation, Communications of the ACM,Vol. 7, Issue 7, July 1964, p. 420.

S. Sattolo, An algorithm to generate a random cyclic permutation, Information ProcessingLetters, Vol. 22, Issue 6, May 1986, pp. 315317.

M. C. Wilson, Overview of Sattolo's Algorithm, Algorithms Seminar 20022004, INRIA,2005, pp. 105108.http://algo.inria.fr/seminars/summary/Wilson2004b.pdf

246


Razvoj ra£unalnih igara u alatu Unity

Student: Mateja Majeti¢

Podru£je: Umjetna inteligencija



Opis: Ra£unalne igre nastale su zajedno s prvim ra£unalima i, od prvog dana, imaju bitnuulogu u razvoju raznih podru£ja umjetne inteligencije. Analgono, gotovo svaki napredak uumjetnoj inteligenciji odmah se reektira u ra£unalnim igrama, tako da je umjetna inteli-gencija postala jedan od najzahtjevnijih i najzanimljivijih segmenata u razvoju ra£unalnihigara.

Cilj rada je razviti jednu ra£unalnu igru po izboru studenta, te opisati kori²tene algoritmeumjetne inteligencije i razvojni alat Unity. Unity je pokreta£ igara (engl. game engine)kojeg je razvila tvrtka Unity Technologies, a namjenjen je razvoju videoigara i simulacijaza razli£ite platforme. Podrºava 2D i 3D graku, drag and drop funkcionalnosti, teskriptiranje kroz programski jezik C#.

Literatura:

S. J. Russell, P. Norvig, Articial Intelligence: A Modern Approach, Third ed., PrenticeHall (Pearson Education, Inc.), Upper Saddle River, New Jersey, 2010.

S. Blackman, Beginning 3D Game Development with Unity 4: All-in-one, multiplatformgame development, Second ed., Apress, 2013.

247


Algoritmi za problem toka kroz mreºu

Student: Josipa Suri¢



Preduvjeti: Nema

Opis: Tok kroz mreºu jedan je od vaºnih optimizacijskih problema. Moºemo ga prikazatipomo¢u usmjerenog grafa s nenegativnim teºinama bridova. Bridove grafa smatramocijevima koje prenose, primjerice, vodu, naftu, megabajte, novac i sli£no. Teºina bridapredstavlja kapacitet tog brida koliku koli£inu neke tvari je mogu¢e prenijeti kroz cijev.U grafu su posebno istaknuta dva £vora izvor i ponor, a treba na¢i najve¢i ukupniprotok od izvora do ponora. Prvi i najpoznatiji algoritam za rje²enje ovog problema jeFordFulkersonov algoritam, a kasnije su nastale i neke modikacije.

Cilj rada je opisati problem toka kroz mreºu, navesti neke primjene tog problema, te de-taljno opisati FordFulkersonov algoritam i analizirati njegovu sloºenost. U drugom dijelurada opisale bi se neke varijacije tog algoritma, poput EdmondsKarpovog algoritma, ianalizirala njihova sloºenost.

Literatura:

D. M. Mount, Design and Analysis of Computer Algorithms, CMSC 451, Department ofComputer Science, University of Maryland, Fall 2015.

J. Kleinberg, É. Tardos, Algorithm Design, Pearson Education, Inc., Boston, Massachu-setts, 2006.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, SecondEdition, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 2002.

248


FFT algoritam za prepoznavanje glazbe

Student: Mateja ari¢



Preduvjeti: Nema

Opis: Diskretna Fourierova transformacija (DFT) je posebna vrsta Fourierove transfor-macije koja se koristi u Fourierovoj analizi. Pomo¢u Fourierove transformacije mogu¢eje transformirati funkciju (tzv. signal) iz vremenske domene u frekvencijsku domenu iobrnuto. Brza Fourierova transformacija (FFT) je u£inkovita implementacija diskretneFourierove transformacije, koja se na²iroko koristi u digitalnoj obradi signala.

Audio Fingerprinting (u prijevodu: uzimanje otiska prsta audio signala) je postupakobrade zvu£ne datoteke na temelju njezinih glavnih percepcijskih svojstava, da bi se do-bio jedinstveni uzorak. Koristi se za prepoznavanje pjesama, traºenje svih mogu¢ih ver-zija pjesme koju pjevaju i obrauju razli£iti izvoa£i, prepoznavanje isje£aka videozapisaodreenog dogaaja i sli£ne namjene. Jedan od najpoznatijih programa za prepoznavanjeglazbe je Shazam, kojeg korisnici mogu koristiti na razli£itim multimedijskim platfor-mama.

Cilj diplomskog rada je prikazati primjenu FFT-a u algoritmu Audio Fingerprintinga,uz opis rada aplikacije Shazam. Ovdje se DFT koristi za prijelaz iz vremenske domenesignala u frekvencijsku, a zatim se analiziraju dobivene frekvencije za formiranje traºenogprepoznatljivog uzorka.

Literatura:

B. G. Osgood, Lecture notes for EE261 The Fourier Transform and its Applications,EE261, Stanford University, Fall 2007.https://see.stanford.edu/materials/lsoftaee261/book-fall-07.pdf

A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-time signal processing, 3rd Edition, PearsonEducation, Boston, Massachusetts, 2010.

S. Froitzheim, A Short Introduction to Audio Fingerprinting with a Focus on Shazam,Report, RWTHAachen, 2017.http://hpac.rwth-aachen.de/teaching/sem-mus-17/Reports/Froitzheim.pdf

A. L.C. Wang, An Industrial-Strength Audio Search Algorithm, Zbornik konferencije:ISMIR 2003, 4th International Conference on Music Information Retrieval, Baltimore,Maryland, USA, October 27-30, 2003.

249


Primjena dubokog u£enja u obradi zvuka

Student: Petra Vitez

Podru£je: Umjetna inteligencija, strojno u£enje



Opis: Duboko u£enje je moderna grana strojnog u£enja koja koristi modele tzv. dubokihneuronskih mreºa skup meusobno povezanih jednostavnih elemenata (neurona), pouzoru na ljudski mozak, s ve¢im brojem tzv. skrivenih slojeva.

Neuronske mreºe dobro rje²avaju probleme kod kojih postoji sloºena nelinearna veza iz-meu ulaznih i izlaznih podataka. Metode dubokog u£enja imaju primjenu u raznimpodru£jima umjetne inteligencije, meu ostalim, u obradi prirodnog jezika te razumijeva-nju govora i zvu£nih signala.

U ovom radu opisat ¢e se duboke neuronske mreºe, s naglaskom na rekurentne neuronskemreºe, i promotriti njihov matemati£ki aspekt. U drugom djelu rada naglasak ¢e biti naprimjeni i implementaciji tog modela, uz orijentaciju prema obradi zvuka. Koristit ¢e sebiblioteke otvorenog kôda za strojno u£enje.

Literatura:

D. Yu, L. Deng, Automatic Speech Recognition: A Deep Learning Approach, Springer-Verlag, London, 2015.

I. Goodfellow, Y. Bengio, A. Courville, Deep Learning, Online book (Amazon), MITPress, Dec 2016.http://www.deeplearningbook.org/

J. Heaton, Introduction to the Math of Neural Networks, Heaton Research, Inc., 2012.

B. Ramsundar, R. Bosagh Zadeh, TensorFlow for Deep Learning: From Linear Regressionto Reinforcement Learning, O'Reilly Media, 2017.

A. Gibson, J. Patterson, Deep Learning: A Practitioner's Approach, O'Reilly Media, 2017.

M. Abadi i drugi, TensorFlow: Large-Scale Machine Learning on Heterogeneous Distri-buted Systems,http://download.tensorflow.org/paper/whitepaper2015.pdf

250

Mentor: Sini²a Slijep£evi¢

Izra£un bihevijoristi£kog kreditnog skoringa za klijente banke

Student: Lucija Dra²inac

Podru£je: Matemati£ka statistika, Primijenjena statistika

Prikladno za studij: Financijska matematika, Matemati£ka statistika

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi metode izra£una vjerojatnosti vra¢anja kredita za klijentebanke na temelju povijesnih transakcijskih podataka. Koristit ¢e se klasi£ne tehnike poputlinearne regresije, kao i modernije poput slu£ajnih stabala.

Literatura:

L. C. Thomas, D. B. Edelman, J. N. Crook, Credit Scoring and Its Applications, SIAM,2002.

251


Postojanje rje²enja Navier-Stokes jednadºbe

Podru£je: Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, teorijska matematika

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi postojanje slabih i jakih rje²enja za 2D Navier-Stokesovujednadºbu na torusu te u cijeloj ravnini.

Literatura:

P. Pola£ik, Parabolic equations: asymptotic behavior and dynamics on invariant mani-folds, 835-884, u Handbook of Dynamical Systems 2, B. Fiedler (Ed.), North-Holland,2002.

252


Morse-Smale svojstvo paraboli£kih semilinearnih parcijalnihdiferencijalnih jednadºbi

Podru£je: Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, teorijska matematika

Opis: Diplomski rad ¢e obraditi Morse-Smale svojstvo dinami£kih sustava. Zatim ¢e sefokusirati na Morse-Smale svojstvo jednodimenzionalih paraboli£kih semilinearnih parci-jalnih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

C. Bardos and B. Nicolaenko, Navier-Stokes equations and dynamical systems, 503-598,u Handbook of Dynamical Systems 2, B. Fiedler (Ed.), North-Holland, 2002.

253

Mentor: Maja Star£evi¢

Vektori u nastavi matematike

Student: Robert Bozoki

Podru£je: algebra, geometrija


Opis: U prvom poglavlju rada usporedit ¢e se na£ini uvoenja pojma vektora u osnov-nim i srednjim ²kolama te ¢e eventualno biti predloºeni neki novi pristupi. U ostalimpoglavljima bit ¢e pokazano u kakvim sve vrstama problema moºemo koristiti vektorekao pomo¢no sredstvo pri dokazivanju tvrdnji i raznim izra£unima. Napravit ¢e se i us-poredba rje²avanja zadataka pomo¢u vektorskog, analiti£kog i geometrijskog pristupa.

Literatura:

Udºbenici i zbirke zadataka za osnovnu i srednju ²kolu, zadaci s natjecanja

254


Primjena naprednih opcija GeoGebre u nastavi matematike

Student: Karolina Rasti¢

Podru£je: ra£unarstvo, geometrija, algebra, vjerojatnost


Opis: GeoGebra je program koji je prije svega poznat kao program dinami£ke geometrije.Smatra se veoma intuitivnim za kori²tenje jer su osnovne konstrukcije ponuene kaostandardni alati i stoga je njihovo izvoenje relativno jednostavno. Meutim, GeoGebranudi i naprednije opcije poput izrade vlastitih alata, animacija, tabli£nih prora£una idodatnog skriptiranja. Takoer, u program je ugraeno niz funkcija koje, osim geometrije,pokrivaju i podru£ja poput algebre i vjerojatnosti pa pro²iruju namjenu programa. Uradu je potrebno izu£iti neke od naprednijih opcija GeoGebre i dodatnih funkcija te nakonkretnim primjerima zadataka obrazloºiti kako bi se one mogle kvalitetno primijeniti unastavi matematike.

Literatura:

Udºbenici i zbirke zadataka za osnovnu i srednju ²koluPriru£nici za GeoGebru

255


Vrste mnogokuta

Student: Ana Merka²



Opis: U radu ¢e se prikazati razli£ite vrste mnogokuta te dokazati neka njihova svojstva.Kod trokuta imamo osnovnu podjelu trokuta prema kutovima i stranicama i u ovisnosti otome primje¢ujemo neka karakteristi£na svojstva trokuta. Postoje i neke manje poznatevrste trokuta poput pseudopravokutnog trokuta kojeg karakterizira odreena relacija iz-meu kutova trokuta. Neke vrste trokuta se deniraju pomo¢u nekog drugog trokuta,poput Gergonneovog trokuta kojem su vrhovi u dirali²tima upisane kruºnice zadanogtrokuta. Na sli£an na£in se deniraju i Nagelov i pedalni trokut. Nadalje, u radu ¢ese promatrati i razne vrste £etverokuta. Osim kvadrata, romba, paralelograma, trapeza,deltoida, karakteristi£ni su i tangencijalni i tetivni £etverokuti te jo² neke zanimljive vrste£etverokuta. Analogno ¢e se istraºiti i karakteristike nekih vrsta mnogokuta s vi²e od£etiri stranice, poput npr. Pascalovog ²esterokuta.

Literatura:

D. Palman, Trokut i kruºnica, Element, 1994.

256

Mentor: Ana Su²ac

Istraºivanje znanstvenog na£ina razmi²ljanja i logi£kogzaklju£ivanja kod studenata

Student: Karla Menegoni

Podru£je: Edukacijska istraºivanja u zici

Prikladno za studij: Integrirani preddiplomski i diplomski studij matematike i zike

Preduvjeti: nema

Opis: Formalno logi£ko razmi²ljanje i zaklju£ivanje osnova je za stjecanje razli£itih stru£-nih kompetencija koje studenti stje£u tijekom svog studija. Kroz nastavu matematikei zike poti£e se razvoj kognitivnih sposobnosti i upoznaju osnovni na£ini znanstvenogzaklju£ivanja. Cilj je ovog diplomskog rada istraºiti sposobnost formalnog znanstvenograzmi²ljanja i zaklju£ivanja kod studenata.

Literatura:

A.E. Lawson, The nature and development of scientic reasoning: A synthetic view, Int.J. Sci. Math. Educ. 2, 307 (2004); J.C. Moore, L.J. Rubbo, Scientic reasoning abilitiesof nonscience majors in physics-based courses, Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 8,010106 (2012)

257

Mentor: Juraj iftar

Perspektivno preslikavanje kvadrata

Student: Hana Kova£i¢

Podru£je: Geometrija

Prikladno za studij: Nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Tema je bliska nacrtnoj geometriji i primjenama, posebno perspektivi. Na temeljuteorema da se svaki ravninski £etverokut moºe prikazati kao slika kvadrata u pogodnoodabranoj perspektivi izvest ¢e se neke zanimljive posljedice, uz naglasak na vizualnojinterpretaciji. Pokazuje se da je svaki ravninski £etverokut takoer slika nekog kvadratau istoj ravnini, primjenom odreene perspektivne kolineacije, a pomo¢u toga i da sesvaka projektivna kolineacija u ravnini moºe rastaviti u kompoziciju perspektivne koline-acije i sli£nosti. U posebnom slu£aju, ta sli£nost je izometrija. Rezultati se ilustrirajuprimjenama u fotogrametriji i konstrukciji presjeka dvostrukih kvadratnih piramida kaoanalogonu konusnih presjeka (krivulja 2. reda, konika).

Literatura:

1. A. Crannell, M. Frantz and F. Futamura, The Image of a Square, Amer. Math.Monthly 124(2) (2017), 99-115., http://people.southwestern.edu/~futamurf/Image-of-A-Square-2016-03-25.pdf2. Ph. Willis, Projective Geometry, chapter 6 in Advanced Computer Graphics, http://www.cs.bath.ac.uk/~pjw/NOTES/75-ACG/ch6-projective.pdf

258

Mentor: Juraj iftar

Droz-Farnyev teorem

Student: Ines Hui¢



Preduvjeti:

Opis: vicarski matemati£ar Arnold Droz-Farny objavio je 1899. u obliku zadatka, beznavedenog rje²enja, sljede¢u tvrdnju: Ako se kroz ortocentar trokuta postave dva meu-sobno okomita pravca, oni na stranicama trokuta omeuju tri segmenta £ija su polovi²takolinearne to£ke. U radu ¢e se izloºiti razli£iti dokazi ovog teorema, neka poop¢enja tedrugi zanimljivi rezultati koji su s njim povezani. Primjerice, pokazalo se da svi pravcikoji su odreeni na opisani na£in omataju elipsu upisanu polaznom trokutu, a njezinifokusi su ortocentar trokuta i sredi²te opisane kruºnice. Nadalje, razmatranje ove gurenavodi na uo£avanje jedne familije trokutova koji svi imaju zajedni£ki ortocentar, upisanisu u jednu kruºnicu, opisani jednoj elipsi te imaju jo² neka zajedni£ka svojstva.

Literatura:

1. J-L. Ayme, A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem, Forum Geome-tricorum 4(2004), 219-224., http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200426.pdf2. Ch. J. Bradley, D. Monk and G. C. Smith, On a Porism Associated with the Eulerand Droz-Farny Lines, Forum Geometricorum 7(2007), 11-17., http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200702.pdf3. J.-P. Ehrmann and F. van Lamoen A Projective Generalization of the Droz-FarnyLine Theorem, Forum Geometricorum 4(2004), 225-227., http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200427.pdf4. C. Pohoata and S. H. Ta, A Short Proof of Lamoen's Generalization of the Droz-FarnyLine Theorem, Math. Reections 3(2011), http://geometry.ru/articles/short-Droz-Farny.pdf5. Ch. Thas, A Note on the Droz-Farny Theorem, Forum Geometricorum 6(2006), 25-28.http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200603.pdf

259

Mentor: Juraj iftar

Evesov teorem o projektivnim invarijantama

Student: Ivana Gari¢



Preduvjeti:

Opis: U geometriji su poznati teoremi poput Cevinog i Menelajevog, £ije su tvrdnjeiskazane pomo¢u cikli£kih umnoºaka nekoliko omjera duljina (usmjerenih) duºina. Uanoj geometriji vaºna invarijanta je djeli²ni omjer, a u projektivnoj, kao poop¢enje, toje dvoomjer. Eves je uveo pojam h − izraza: to je umnoºak omjera udaljenosti to£akaiz nekog skupa, takav da su po tri to£ke u svakom omjeru kolinearne, a svaka se to£kapojavljuje jednako mnogo puta u brojnicima i nazivnicima pomnoºenih omjera. Upravoje takva situacija kod Cevinog i Menelajevog teorema, kao i u dvoomjeru R(AB,CD) =(AB,C)(AB,D) = (AC : BC)(AD : BD). Evesov teorem tvrdi da je svaki h-izrazprojektivna invarijanta. U radu ¢e se izvesti dokaz i razli£ite primjene tog teorema,posebno na tzv. Nehringove nizove koji omogu¢uju alternativni, objedinjuju¢i pristupnekim klju£nim pojmovima i rezultatima projektivne geometrije.

Literatura:

1. G. C. Shephard, Isomorphism Invariants for Projective Congurations, Canadian J.Math. 51(1999), 1277-1299., https://cms.math.ca/10.4153/CJM-1999-058-82. M. Frantz, A Car Crash Solved with a Swiss Army Knife, Math. Magazine 84(5)(2011), 327-338.

260

Mentor: Juraj iftar

Trokuti s cjelobrojnim stranicama i trisektibilnim kutovima

Student: Tanja Krog



Preduvjeti:

Opis: Tema je motivirana geometrijski, a metode su uglavnom artimeti£ke i algebarske.Istraºuje se klasa trokuta £ije su duljine stranica cijeli brojevi, a sva tri kuta mogu sekonstruktivno, dakle samo pomo¢u ravnala i ²estara, podijeliti na tri jednaka dijela. Ko-sinusi kutova takvih trokuta o£ito su racionalni brojevi. Pokazuje se da klju£nu ulogu zapostojanje razmatrane vrste trokuta ima tzv. rezidual r, pozitivan cijeli broj koji je pri-druºen kutu s cjelobrojnom vrijednosti kosinusa. Jednakost reziduala nuºan je i dovoljanuvjet da bi se dva ²iljasta kuta na²la u istom trokutu sa cjelobrojnim duljinama stranica.

Glavni je rezultat da za svaki kvadratno slobodni pozitivni cijeli broj r postoji beskona£nomnogo razli£itih trokutova s cjelobrojnim duljinama stranica £iji su kutovi trisektibilni izajedni£ki im je rezidual jednak r. Ina£e, za pravokutni trokut s relativno prostim cjelo-brojnim duljinama stranica nuºan i dovoljan uvjet trisektibilnosti kutova je taj da duljinahipotenuze bude kub cijelog broja.

Literatura:

1. R. A. Gordon, Integer-Sided Triangles with Trisectible Angles, Math. Magazine 87(3)(2014), 198-211.

2. S. Fischer, Integer-Sided Triangles with Trisectable Angles- Their Perimeters andResidual, Whitman College, Washington, 2015.,https://www.whitman.edu/Documents/Academics/Mathematics/2015/FinalProject-Fischer,Sam.pdf

261

Mentor: Juraj iftar

Routhov teorem i njegova poop¢enja

Student: Tea Mr²i¢



Preduvjeti:

Opis: Neka su vrhovi trokuta ABC spojeni s to£kama na suprotnim stranicama, pri£emu te to£ke dijele stranice redom u omjerima x, y i z. Routhov teorem daje formuluza omjer povr²ine trokuta odreenog trima spojnicama i povr²ine trokuta ABC, izraºenpomo¢u x, y i z. Posebni slu£aj, kad se tri spojnice sijeku u jednoj to£ki, daje glasovitiCevin teorem. Izborom x = y = z = 1/2 dobiva se tzv. Feynmanov trokut, povr²ine 7puta manje od trokuta ABC. U radu ¢e se prikazati razli£iti dokazi Routhovog teoremai njegova poop¢enja, npr. za tetraedar [2].

Literatura:

1. H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley and Sons, New York - London,1969.2. S. Litvinov and F. Marko, Routh's Theorem for Tetrahedra, Geom. Dedicata 174 (1)(2015), 155-167. https://arxiv.org/pdf/1405.4418.pdf (2014)3. I. Niven, A New Proof of Routh's Theorem, Math. Magazine 49(1) (1976), 25-27.4. A. Benyi and B. urgus, A generalization of Routh's triangle theorem, Am. Math.Monthly 120(9) (2013) 841-846.

262

Mentor: Juraj iftar

Periodi£ke ²estorke kruºnica

Student: Petra Plenkovi¢



Preduvjeti:

Opis: Promatraju se nizovi kruºnica upisanih u kutove zadanog trokuta tako da svakasljede¢a kruºnica dira prethodnu. Ako su sva dirali²ta unutar stranica, ovakvi nizovipokazuju svojstvo periodi£nosti, tako da se sedma kruºnica podudara s prvom (Evelyn,Money-Coutts, Tyrrell). U op¢em slu£aju, kad dirali²ta mogu pripadati produºecimastranica, periodi£koj ²esto-rci moºe prethoditi pretperiod po volji zadane duljine. U radu¢e se prikazati dokazi i neke varijacije ovih rezultata. Ja£i oblik osnovne tvrdnje dajeteorem Tyrrella i Powella u [1]. Taj polazi od tri zadane kruºnice te govori da akose u svakom koraku na prikladan na£in izabere kruºnica koja dira prethodnu u nizu idvije od triju po£etnih kruºnica, onda se sedma kruºnica podudara s prvom. U [2] jeprikazano poop¢enje na jednu klasu poligona, pri £emu za n-terokut period u pripadnomnizu kruºnica ima duljinu 2n.

Literatura:

1. J. A. Tyrrell and M. T. Powell, A Theorem in Circle Geometry, Bull. London Math.Soc. 3(1971), 71-74.2. S. Tabachnikov, Going in circles: variations on the Money-Coutts theorem, Geom.Dedicata 80(2000), 201-209., https://www.math.psu.edu/tabachni/prints/circles.pdf3. D. Ivanov and S. Tabachnikov, The Six Circles Theorem Revisited, https://arxiv.org/abs/1312.5260 (2014.)

263

Mentor: Juraj iftar

Ekstremalna svojstva paralelograma upisanih u elipsu

Student: Marina Kriºan



Preduvjeti:

Opis: Elipsa ima svojstvo da meu svim upisanim joj paralelogramima oni koji imajumaksimalni opseg karakterizirani su time da je svaka to£ka elipse vrh to£no jednog takvogparalelograma. Ovu £injenicu prvi je zapazio zi£ar Jean-Marc Richard u vezi s jednimproblemom iz balistike ([1]), a A. Connes i D. Zagier objavili su geometrijski dokaz u [2]te poop¢ili tvrdnju tako da se odnosi na dijametre dviju konfokalnih elipsi. N. Anghelpokazao je u [3] da navedeno svojstvo karakterizira elipsu meu svim centralno simetri£-nim ovalima, tj. glatkim strogo konveksnim zatvorenim ravninskim krivuljama koje sui centralno simetri£ne. Svojstvo je usko povezano s £injenicom da je ortopti£ka krivuljaelipse kruºnica, a takoer i s geometrijom biljara.U radu ¢e se sustavno izloºiti ovi rezultati, a posebno ¢e se razmotriti i paralelogramimaksimalne povr²ine upisani u elipsu.

Literatura:

1. J.-M. Richard, Safe domain and elementary geometry, European J. Physics, 25(2004),835-844., https://hal.archives-ouvertes.fr/in2p3-00023173/document2. A. Connes and D. Zagier, Property of Parallelograms Inscribed in Ellipses, Amer.Math. Monthly Vol. 114, No. 10 (2007), 909-914. http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/amm/114/fulltext.pdf3. N. Anghel, A Maximal Parallelogram Characterization of Ovals Having Circles as Or-thoptic Curves, Forum Geometricorum, 20(2010), 21-25., http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201004.pdf

264

Mentor: Juraj iftar

Perspektivna projekcija i projektivna geometrija

Student: Teuta Bu£aj



Preduvjeti:

Opis: Perspektiva je jedna od klasi£nih metoda nacrtne geometrije. Budu¢i da je uteme-ljena na centralnom projiciranju, perspektiva je usko povezana s projektivnom geometri-jom, no u prakti£nim primjenama (npr. strojna vizija) na£ela projektivne geometrije nisuizravno primjenjiva, jer se perspektivna projekcija komponira s gibanjima koordinatnogsustava (rotacija i translacija). U radu ¢e se analizirati i usporediti "prava" perspektivanaspram projektivnih transformacija. Nadalje, kao ilustracija kombiniranja razli£itih pris-tupa izloºit ¢e se neke metode odreivanja o£ista (to£ke gledi²ta promatra£a) slike nastaleperspektivom s dva nedogleda.

Literatura:

1. S. Bircheld An Introduction to Projective Geometry (for computer vision), StanfordUniversity, 1998., http://robotics.stanford.edu/~birch/projective/projective.pdf2. F. Futamura and R. Lehr, A New Perspective of Finding the Viewpoint, http://people.southwestern.edu/~futamurf/Futamura-Lehr-preprint.pdf3. Ph. Willis, Projective Geometry, chapter 6 in Advanced Computer Graphics, http://www.cs.bath.ac.uk/~pjw/NOTES/75-ACG/ch6-projective.pdf4. B. K. P. Horn, Projective Geometry Considered Harmful, Technical Report, MIT,1999., http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Harmful.pdf5. M. Frantz and A. Crannell, Viewpoints: Mathematical Perspective and Fractal Ge-ometry in Art, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011., https://mail.google.com/mail/u/0/$\sharp$inbox/15ee885eac3e4a6a?projector=1

265

Mentor: Hrvoje iki¢

Stabilni populacijski modeli

Student: Jelena Svrºnjak




Opis: Obradit ¢e se osnovni rezultati o populacijskim modelima koji se koriste prvens-tveno u aktuarstvu, ali i u drugim situacijama. Diplomski rad se bavi stabilnim popula-cijskim modelom.

Literatura:

S.H. Preston, P. Heuveline, M. Guillot, Demography - Measuring and Modeling PopulationProcesses, Wiley-Blackwell, 2000.

266


Analiza strategije poslovanja pomo¢u Markovljevih lanaca

Student: Katarina O£ko




Opis: Postoje razne mogu¢e odluke kada je sustav u nekom stanju. Za svaku odlukuimamo posebne prelazne vjerojatnosti, kao i posebnu nagradu. Time se prirodno u ovakvuanalizu uvode Markovljevi procesi. Diplomski rad se bavi pitanjem o optimalnoj strategijiu ovakvim uvjetima.

Literatura:

G.P. Wadsworth, J.G. Bryan, Applications of Probability and Random Variables, McGraw-Hill, 1974.

267


Teorija povjerenja u aktuarstvu

Student: Antonio Roi¢

Podru£je: Aktuarska Matematika

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Matemati£ka statistika


Opis: U aktuarstvu, izraz povjerenje originalno je bio vezan za formule koje su bile ko-nveksna kombinacija (ponderirani prosjeci) pojedina£nih i grupnih procjena pojedina£nepremije rizika. Klasi£ni pristup teoriji povjerenja bavi se pitanjem koliko je podatakapotrebno za ostvariti puno povjerenje, i ²to £initi ako nije tako. Obradit ¢e se osnovnirezultati o ovom pristupu teoriji povjerenja.

Literatura:

P.J. Boland, Statistical and Probabilistic Methods in Actuarial Science, Chapman andHall/CRC, 2007.

268


Kreps-Yanov teorem

Student: Mihovil Stami£ar




Opis: Obradit ¢e se Kreps-Yanov teorem, za koji koristimo tehnike iz vjerojatnosti inormiranih prostora. Teorem se primjenjuje u teoriji nancija u vezi s pitanjima arbitraºe.

Literatura:

F. Delbaen, W. Schachermayer, The Mathematics of Arbitrage, Springer Nature, 2017.

269


Logisti£ki rast s migracijama

Student: Neira Hadºismajlovi¢




Opis: Obradit ¢e se osnovni rezultati o modelu rasta, uz koji su dodane migracije. Os-novni model je logisti£ki, ali migracije unose zanimljivu perturbaciju tog modela.

Literatura:

R.B. Banks, Growth and diusion phenomena - Mathematical frameworks and applicati-ons, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg, 1994.

270

Mentor: Tomislav iki¢

Kontekstualizacija nastave matematikeu okviru projekta Ve£er matematike

Student: eljka Trajbar

Podru£je: metodika nastave matematike, popularizacija matematike


Preduvjeti: Metodika nastave matematike 13

Opis: Ve£er matematike je skup interaktivnih radionica koje poti¢u izgradnju pozitivnogstava prema matematici. Sudjelovanje u zabavnim aktivnostima otkriva £esto zaborav-ljenu - zabavnu stranu matematike, stvara nove ideje o tome ²to matematika jest i £imese bavi te dokazuje da matemati£ke probleme uspje²no rje²avamo u stvarnom ºivotu bezda smo toga nekad svjesni. Upravo ta £injenica izrazito je vaºna u nastojanju da se kodu£enika podigne razina motivacije za u£enje matematike. Spomenuti projekt traje ve¢ petgodina i u tom razdoblju nastao je, izmeostalog, i veliki broj kontekstualnih primjera izadataka. U sklopu ovog diplomskog rada kandidatkinja ¢e prou£iti i sistematizirati svetakve dostupne primjere. Posebice ¢e biti obraena poveznica izmeu kontekstualizacijei trajne motivacije za u£enje matematike kod u£enika osnovnih ²kola.

Literatura:

1. E. Anderman, L. H. Anderman: Classroom motivation, second edition Merrill, (2010)2. E. Behrends, N. Crato, J. F. Rodrigues: Raising Public Awareness of Mathematics,Springer Science & Business Media, (2012)3. https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali.php4. http://www.vecermatematike.hr/materijali-i-zadaci/

271

Mentor: Boris irola

Realna kvadratna pro²irenja



Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Algebarske strukture iTeorija brojeva.

Opis: Predloºeni rad bavio bi se kvadratnim pro²irenjima polja racionalnih brojeva,i to prvenstveno tzv. realnim kvadratnim pro²irenjima. U prstenu cijelih kvadratnogpro²irenja dobro je deniran pojam tzv. poretka. Cilj rada bio bi dobiti neke strukturnerezultate za prsten cijelih, te za op¢eniti poredak u njemu (jedinice, ideali, prosti ideali,faktorizacija,...) Zavisno o volji kandidata, rad bi pretstavljao manje ili vi²e temeljit uvodu algebarsku teoriju brojeva; tako ²to bi se bolje razumijele neke osnovne ideje te bogatei vaºne matemati£ke discipline.

Literatura:

M. J. Jacobson, Jr. and H. C. Williams; Solving the Pell equation, CMS Books in Math.,Canadian Math. Soc., Springer, New York, 2009.

272

Mentor: Boris irola

Harmonijske funkcije

Podru£je: Analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika.

Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Kompleksna analiza.

Opis: Realni dio u(x, y) i imaginarni dio v(x, y), holomorfne funkcije f(z) = u+ ıv jednekompleksne varijable z = x+ ıy, zadovoljavaju tzv. Laplaceovu diferencijalnu jednadºbu;tj. vrijedi ∆u = ∆v = 0, gdje je operator ∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2. Takve funkcije, klaseC2, zovu se harmonijske funkcije. Harmonijske funkcije su najklasi£nija i najosnovnijarje²enja u klasi tzv. elipti£kih parcijalnih diferencijalnih jednadºbi. Tema ovog rada jeprou£iti harmonijske funkcije metodama kompleksne analize.

Literatura:

R. E. Greene and S. G. Krantz, Function theory of one complex variable, Graduate Studiesin Math., Vol. 40, Amer. Math. Soc., Providence 2006.

273

Mentor: Boris irola

Neprekidne funkcije na kompaktima: Stone-Weierstrassov iAscolijev teorem

Podru£je: Analiza


Preduvjeti: Poznavanje materije iz kolegija Metri£ki prostori i Vektorski prostori.

Opis: Neka je K konmpaktan podskup od Rn. Tada je svaku realnu neprekidnu funkcijuna K mogu¢e uniformno aproksimirati polinomima od n varijabli; to je klasi£na formaslavnog Stone-Weierstrassovog teorema. U ovom se radu dokazuje generalizirana formaspomenutog teorema, i to kako za realne tako i za kompleksne neprekidne funkcije nakompaktima. U nastavku rada daje se jedan vrlo koristan kriterij kompaktnosti za pod-skupove tzv. funkcijskih prostora za neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima. Toje predmet jednog drugog vaºnog rezultata; tzv. Ascolijevog teorema.

Literatura:

S. Lang, Real and functional analysis. Third Ed., Graduate Texts in Math., Vol. 142,Springer, New York, 1993.

274

Mentor: Boris irola

Funkcije izvodnice u kombinatorici

Student: Monika Reºak



Preduvjeti: nema

Opis: Jedna od vrlo jednostavnih, ali istovremeno i vrlo korisnih, metoda u kombinato-rici, kada ºelimo pobrajati elemente nekih speciciranih skupova, je preko tzv. funkcijaizvodnica. Ta se metoda vrlo uspje²no koristi i pri dokazivanju postojanja bijekcije iz-meu dva meðusobno razli£ita skupa; kada su dobiveni argumenti u pravilu elegantni iinstruktivni. Cilj ovog rada je prezentirati neke osnovne rezultate i £injenice o funkcijamaizvodnicama, ²to ¢e biti ilustrirano brojnim zanimljivim primjerima.

Literatura:

H. S. Wilf, generatingfunctionology, Third ed., A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2006.

275

Mentor: Zoran koda

Kvazideterminante i kvaziminori

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: Primjenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Determinanta matrice je polinom u £lanovima matrice koji je koristan koncept uko-liko su £lanovi matrice brojevi ili, op¢enitije, elementi komutativnog prstena s jedinicom.Vaºne su veze s vanjskom algebrom, s problemom rje²avanja linearnih jednadºbi (Crame-rovo pravilo) i problemom inverza matrice. Ukoliko promatramo linearne jednadºbe nadnekomutativnim prstenom (npr. tijelom) Gaussova metoda eliminacije i dalje funkcionira²to ukazuje na mogu¢nost razvoja teorije i u tom slu£aju. Meutim, poku²aj rje²avanjaCramerovim pravilom ne radi ukoliko se denicija determinante naivno pro²iri na taj slu-£aj. Oko 1989. Izrael Geljfand i Vladimir Retah nalaze da je u nekomutativnom slu£ajubolje promatrati neke racionalne izraze £iji umno²ci u komutativnom slu£aju imaju vezes determinantama, a op¢enito odgovaraju inverzima £lanova transponirane inverzne ma-trice. Standardna denicija kvazideterminanti je preko rekurzivnih formula poznatih izpromatranja Schurovog komplementa u numeri£koj analizi, a standardna domena u kojojse kvazideterminante promatraju je slobodno tijelo prema Amitsuru i Cohnu. Kvazide-terminante imaju jako dobra svojstva, ponekad i jednostavnija nego determinante. Npr.nasljedivost je svojstvo da kvazideterminante moºemo ra£unati i tako da matricu podi-jelimo na blok podmatrice i ra£unamo najprije njihove kvazideterminante ²to reduciraveli£inu matrice, a poslije toga kvazideterminante dobivenih izraza. Inºenjeri znaju tajtrik u vidu formula za inverz 2× 2 blok matrice.

Diplomski ¢e izloºiti osnovne koncepte o kvazideterminantama s dokazima. Ova tema jedosta direktna (ve¢inom elegantni ra£uni i indukcija) pa samim time nije te²ka. Ambici-ozniji student moºe diplomski znatno pro²iriti primjerima i primjenama kojih u literaturiima jako mnogo. Ukoliko student ima aniteta prema kombinatorici mogu¢a je i diskusijaveza s teorijom (nekomutativnih) simetri£nih funkcija.

Literatura:

V. Retakh, R. L. Wilson, Advanced course on quasideterminants and universal localiza-tion, Notes of the course, 124 str., CRM, Barcelona, 2007 http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.123.3499&rep=rep1&type=pdf

276

Mentor: Tomislav muc

Odreivanje slijednosti teksta metodama dubokog u£enja

Student: Dinko dravac

Podru£je: ra£unarstvo, umjetna inteligencija, strojno u£enje


Preduvjeti: Strojno u£enje i optimizacija. Kandidat ¢e se upoznati sa teorijom i al-goritmima dubokog u£enja. Svladavanje zadatka bit ¢e provedeno uz pomo¢ voditeljarada i kori²tenjem odgovaraju¢e literature. Od kandidata se o£ekuje solidno predznanje ispremnost na dosta samostalnog rada.

Opis: Zadatak odreivanja slijednosti teksta (eng. Textual Entailment) sastoji se u algo-ritamskom odreivanju logi£ke povezanosti para tekstova: premise i hipoteze. Potrebnoje odrediti povla£i li istinitost premise istinitost hipoteze, jesu li dva teksta u kontradikcijiili im je odnos neutralan. Za ra£unanje slijednosti koriste se algoritmi strojnog u£enja,pri £emu najbolje rezultate postiºu algoritmi temeljeni na dubokom u£enju (eng. DeepLearning). Zadatak je vaºan jer se koristi kao dio mnogih problema obrade prirodnogjezika i dubinske analize teksta koji zahtjevaju semanti£ko razumijevanje teksta, suma-rizacije teksta, automatskog odgovaranja na pitanja, strojnog prevoenja te ekstrakcijeinformacija. U sklopu rada istraºit ¢e se suvremene metode odreivanja slijednosti tekstakori²tenjem dubokog u£enje (Deep Learning). Ispitati ¢e se odabrani modeli bazirani navarijantama povratnih neuronskih mreºa (eng. Recurrent Neural Networks), a testiranjeperformansi provesti ¢e se na nedavno objavljenim skupovima podataka velikog volumena.

Literatura:

1. Dagan, Dolan, Magnini, Roth : Recognizing textual entailment: Rational evaluationand approaches, Cambridge University Press 20092. Bowman, Angeli, Potts, Manning : A large annotated corpus for learning naturallanguage inference, EMNLP 20153. Rocktähel, Grefenstette, Hermann, Ko£iský and Blunsom : Reasoning about Entail-ment with Neural Attention, ICLR 20164. Chen, Zhu, Ling, Wei, Jiang, Inkpen : Enhanced LSTM for Natural Language Infe-rence, ACL 2017

277


Strojno u£enje u nastavi informatikeu prirodoslovnim gimnazijama

Student: Ivan Ljubi£i¢

Podru£je: metodika nastave matematike i informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: Strojno u£enje

Opis: Strojno u£enje je grana umjetne inteligencije koja se uobi£ajeno predaje na fakul-tetskoj razini, nakon ²to studenti ovladaju potrebnom matemati£kom podlogom. No svebrºi razvoj strojnog u£enja u zadnjih nekoliko godina, uz £injenicu da u£enici sve ranijesti¢u informati£ku pismenost, otvara mogu¢nost ranijeg uvoenja strojnog u£enja u forminastave ve¢ i kod srednjo²kolskog uzrasta. Zadatak ovog diplomskog rada je odabrati imetodi£ki obraditi cjeline strojnog u£enja koje bi u£enici srednjo²kolskog uzrasta trebalimo¢i uspje²no usvojiti. Naglasak bi bio na pripremi konkretnih primjera i programskihrje²enja koji bi se ubudu¢e mogli koristiti u obrazovne svrhe.

Literatura:

1. Sebastian Raschka, Python Machine Learning, Packt Publishing (2015)2. Popratni materijali za knjigu Python Machine Learning, https://github.com/rasbt/python-machine-learning-book3. Peter Flach, Machine Learning - The Art and Science of Algorithms that Make Senseof Data, Cambridge University Press (2012)

278


Super rezolucija slika tehnikama dubokih neuronskih mreºa

Student: Tin Mavra£i¢

Podru£je: Strojno u£enje



Opis: Ra£unalni vid je jedno od standardnih podru£ja strojnog u£enja i umjetne in-teligencije. Tipi£ni zadaci ra£unalnog vida mogu se svrstati u dohvat, obradu, analizu irazumijevanje slika. Super rezolucija slika jedan je od postupaka predobrade, kojim se nas-toji pove¢ati postoje¢a rezolucija slike. esto se koristi u obradi satelitskih i medicinskihslika, te kao postupak u razli£itim multimedijskim aplikacijama, kako bi se rije²ili pro-blemi zbog prisutnosti ²uma, zamagljenih i degradiranih podru£ja. Zadatak diplomskograda je prou£iti i implementirati rje²enje super rezolucije uz pomo¢ dubokih neuronskihmreºa i napraviti usporedbu s klasi£nim pristupima.

Literatura:

1. Goodfellow, Ian, NIPS 2016 tutorial: Generative adversarial networks, arXiv:1701.00160,2016.2. Yapeng Tian, Yunlun Zhang, A collection of high-impact and state-of-the-art SR met-hods, http://yapengtian.org/Single-Image-Super-Resolution/3. Timofte, Radu, et al, Ntire 2017 challenge on single image super-resolution: Methodsand results, Computer Vision and Pattern Recognition Workshops (CVPRW), 2017.4. Dahl, Ryan, Mohammad Norouzi, Jonathon Shlens, Pixel recursive super resolution,arXiv:1702.00783, 2017.5. Li, Sumei, et al, A two-channel convolutional neural network for image super-resolution,Neurocomputing, 2017.6. Shi, Yukai, et al, Structure-Preserving Image Super-resolution via Contextualized Multi-task Learning, IEEE Transactions on Multimedia, 2017.

279


Predvianje protoka vozila u mreºi prometnica

Student: Andrea Stani¢

Podru£je: Strojno u£enje



Opis: Broj vozila u gradovima brzo se pove¢ava, ²to izaziva mnoge pote²ko¢e za svegraane, od prometnih guºvi, nepredvidljivih tro²kova zbog ka²njenja do pove¢anog za-gaenja. Prekomjerni promet postao je problem civilizacije, koji utje£e na sve one kojiºive u ve¢im gradovima, prakti£ki bilo gdje u svijetu. Sloºenost procesa koji stoje izadinamike tokova prometa je iznimno velika, jer se pri predvianju tokova prometa trebavoditi ra£una o tome da se radi o mreºi prometnica te konstantnom protoku podataka.Stoga je prilikom modeliranja poºeljno koristiti naprednije algoritme strojnog u£enja kojiistovremeno omogu¢avaju predvianje vi²estrukih vremenskih serija u stalnom dotoku po-dataka, vode¢i ra£una o mreºnoj povezanosti. U sklopu rada istraºiti ¢e se koji algoritmistrojnog u£enja i reprezentacije problema daju superiornija rje²enja za probleme predvi-anja protoka prometa. Predloºeni zadatak predvia istraºivanje na javno dostupnim(simuliranim) podacima, te po mogu¢nosti na podacima stvarnog svijeta. Zadatak imaprakti£nu vaºnost s aspekta traºenja kompetitivnih rje²enja za inteligentnu navigacijuvoza£a kao i pobolj²anja u urbanisti£kom planiranju.

Literatura:

1. Lippi, M, Bertini, M, Frasconi, P. Short-Term Trac Flow Forecasting: An Experi-mental Comparison of Time-Series Analysis and Supervised Learning, IEEE TRANSAC-TIONS ON INTELLIGENT TRANSPORTATION SYSTEMS, 14(2), 2013.2. Marcin Wojnarski et al., IEEE ICDM 2010 Contest TomTom Trac Prediction forIntelligent GPS Navigation, 2010 IEEE International Conference on Data Mining 2010.3. Peter Flach, Machine Learning - The Art and Science of Algorithms that Make Senseof Data, Cambridge University Press, 2012.4. Francisco Aragón, Scientic time series and deep learning state of the art, https://github.com/FrancisArgnR/Time-series---deep-learning---state-of-the-art5. Li, Yaguang, et al., Graph Convolutional Recurrent Neural Network: Data-DrivenTrac Forecasting, arXiv:1707.01926, 2017.6. Yu, Bing, Haoteng Yin, Zhanxing Zhu, Spatio-temporal Graph Convolutional NeuralNetwork: A Deep Learning Framework for Trac Forecasting, arXiv:1709.04875, 2017.7. Dixon, M. F., Polson, N. G., Sokolov, V. O., Deep Learning for Spatio-TemporalModeling: Dynamic Trac Flows and High Frequency Trading, arXiv:1705.09851, 2017.

280

Mentor: Sonja timac

Dinami£ki sustavi u ravnini

Student: David u²nji¢

Podru£je: Dinami£ki sustavi


Preduvjeti:

Opis: Cilj ove teme je upoznati vi²edimenzionalne dinami£ke sustave. Posebna paºnjabila bi posve¢ena atraktorima, teoremu o stabilnim i nestabilnim mnogostrukostima, hi-perboli£kim skupovima te Hénonovom preslikavanju kao ilustraciji ve¢ine tehnika i idejapredloºenih u ovoj temi. Naime, familija Hénonovih preslikavanja je veoma zanimljivadvoparametarska familija homeomorzama ravnine koja posjeduju hiperboli£ke skupove,homoklini£ke to£ke, potkove, tj. horseshoes, £udne atraktore i jo² mnogo vi²e.

Literatura:

R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, The Benjamin/CummingsPublishing Co., 1986.; Garrett Stuck and Michael Brin, Introduction to Dynamical Sys-tems, Cambridge University Press, 2002.

281

Mentor: Sonja timac

Dinamika unimodalnih funkcija



Preduvjeti:

Opis: Dinami£ki sustavi su zanimljivo i vaºno podru£je matematika. Ova tema je namje-njena studentima koji se ºele upoznati s osnovama tog podru£ja. Unimodalne funkcije sufunkcije f : I → R, gdje je I ⊂ R segment, koje imaju jednu to£ku ekstrema. Mada sena prvi pogled £ine jednostavne, njihova dinamika je veoma zanimljiva i bogata. Posebnapaºnja bila bi posve¢ena dinamici ²atorske i kvadratne familije funkcija.

Literatura:

R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, The Benjamin/CummingsPublishing Co., 1986.

282

Mentor: Sonja timac

Kaos u jednodimenzionalnoj dinamici



Preduvjeti:

Opis: Dinami£ki sustavi su zanimljivo i vaºno podru£je matematika. Ova tema je na-mjenjena studentima koji se ºele upoznati s osnovama tog podru£ja. Posebna paºnja bilabi posve¢ena teoriji kaosa u jednodimenzionalnoj dinamici.

Literatura:


283

Mentor: Sonja timac

Dinamika Hénonovih preslikavanja



Preduvjeti:

Opis: Cilj ove teme bio bi upoznavanje dinamike Hénonovih preslikavanja. Hénonovapreslikavanja Ha,b : R2 → R2 su dvoparametarska familija preslikavanja ravnine dana saHa,b(x, y) = (a− by − x2, x), a, b ∈ R. Njena dinamika posjeduje mnoga svojstva koja sepojavljuju u vi²edimenzionalnoj dinamici kao ²to su hiperboli£ki skupovi, homoklini£keto£ke, bifurkacije, potkove, £udni atraktori i jo² puno vi²e. Hénonova familija preslikavanjaje takoer vaºna tema istraºivanja, jer postoje mnogi parametric za koje se dinamikaslabo razumije. Zato je ova diplomska tema ujedno i dobar po£etak budu¢eg istraºivanjau dinami£kim sustavima.

Literatura:


284

Mentor: Marko Tadi¢

Prosti brojevi u aritmeti£kim nizovima

Podru£je: analiti£ka teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Algebra 1 i Algebra 2

Opis: Dokazati da u nizu prirodnih brojeva ima beskona£no prostih brojeva je vrlojednostavno (dokaz je napisao jo² Euklid, oko 300 godine prije na²e ere). Za podniz an+b, n ∈ N, niza prirodnih brojeva, gdje su a, b ∈ N relativno prosti, dugo se pretpostavljaloda sadrºi beskona£no prostih brojeva. No to je dokazano tek koncem devetnaestogastolje¢a.Cilj radnje je izloºiti netrivijalni dokaz ove £injenice, te formulirati generalizaciju ovogarezultata u poljima algebarskih brojeva.

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.L. J. Goldstein, Analytic Number Theory, Prentice-Hall, Englewood Clis, 1971

285


Prokona£ne grupe

Podru£je: algebra, algebarska teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika; smjer: nastavni£ki

Preduvjeti: Algebra 1 i Algebra 2

Opis: Prokona£ne grupe su kompaktne totalno nepovezane grupe. One su od posebnevaºnosti u teoriji brojeva i algebri (Galoisove grupe, ne-arhimedska lokalna polja, Tateovimoduli itd.).Cilj radnje je izloºiti najosnovnije rezultate o topolo²kim grupama, a zatim se usmjeritina prokona£ne grupe i njihove druge opise. Na kraju bi se naveli neki primjer prokona£nihgrupa koje se pojavljuju u algebri i teoriji brojeva.

Literatura:

D. Ramakrishnan, R. J. Valenza, Fourier Analysis on Number Fields, Graduate Texts inMathematics 186, Springer, New York, 1999.S. Lang, Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag,New York, 1994

286


Modularne forme

Podru£je: analiti£ka teorija brojeva, kompleksna analiza


Preduvjeti: Teorija brojeva

Opis: Modularne forme su od iznimne vaºnosti u teoriji brojeva (dovoljno je da pod-sjetimo na Shimura-Tanyaminu slutnju i njenu ulogu u rje²enju velikog Fermatovog pro-blema). Danas se intenzivno radi na njihovoj generalizaciji.

Cilj radnje je izloºiti osnovne rezultate klasi£ne teorije modularnih formi za punu modu-larnu grupu SL(2,Z).

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.A. Robert, Elliptic curves, Lecture Notes in Math. 326, Springer-Verlag, New York 1973

287


Reprezentacije kona£nih grupa

Podru£je: algebra


Preduvjeti: Algebra 1, Algebra 2, Odabrana poglavlja teorije reprezentacija

Opis: U radnji bi se napravile osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, posebnoteorija induciranih reprezentacija i rezultata vezanih uz njih. Posebna bi se pozornostobratila teoriji reprezentacija nekih specijalnih kona£nih grupa.

Literatura:

J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups (Graduate Texts in Mathematics)(v. 42) Springer Verlag, Berlin, 1977

288

Mentor: Emil Tafra

Kaoti£ne oscilacije u nelinearnom elektri£nom titrajnom krugu

Podru£je: zika, matematika, ra£unarstvo


Opis: Uvoenjem nelinearnog elementa (npr. diode) u elektri£ni titrajni krug, mogu¢ega je dovesti u reºim kaoti£nih oscilacija. U ovom radu predvia se slaganje elektri£nogtitrajnog kruga na plo£i i izbor optimalnih elemenata za postizanje kaoti£nih oscilacija.Takoer se predvia sastavljanje programa za mjerenje i kontrolu eksperimenta (unutarpostoje¢eg programskog paketa s gra£kim su£eljem), vr²enje mjerenja, prikupljanje po-dataka s digitalnog osciloskopa, analiza eksperimentalnih podataka kori²tenjem FFT-a,te teorijsko obja²njenje opaºenih pojava.

Literatura:

K. T. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke; Chaos: An introduction to dynamical systems;Springer, 1996

289

Mentor: Josip Tamba£a

Trodimenzionalna numeri£ka simulacija elasti£nog stenta

Student: Domagoj Lacmanovi¢

Podru£je: Matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika


Opis: Zadatak je denirati trodimenzionalne geometrije razlicitih stentova, te na njimatestirati razli£ite implementacije numeri£kih shema za lineariziranu elasti£nost.

Literatura:

1. Ciarlet, Philippe G. The nite element method for elliptic problems. SIAM, Philadelp-hia, PA, 2002.2. Brezzi, Franco; Fortin, Michel. Mixed and hybrid nite element methods. SpringerSeries in Computational Mathematics, 15. Springer-Verlag, New York, 1991.3. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.4. ani¢, Sun£ica; Galovi¢, Matea; Ljulj, Matko; Tamba£a, Josip. A dimension-reductionbased coupled model of mesh-reinforced shells. SIAM J. Appl. Math. 77 (2017), no. 2,744769.

290


Numeri£ka metoda u procjeni cijene opcije

Student: Josipa Malenica

Podru£je: Financijska matematika, PDJ, numerika

Prikladno za studij: Financijska matematika, Primijenjena matematika

Opis: Zadatak je primjenom metode kona£nih elemenata izra£unati numeri£ku aproksi-maciju rje²enja Black-Scholesove parcijalne diferencijalne jednadºbe, a koja daje modelza odreivanje cijene opcije u vremenu.

Literatura:

1. Pironneau, Olivier; Achdou, Yves. Partial Dierential Equations for Option Pricing, u:Handbook of numerical analysis. Vol. XV. Special volume: mathematical modeling andnumerical methods in nance. Edited by Alain Bensoussan and Qiang Zhang. Handbookof Numerical Analysis, 15. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2009, 369-496.2. Achdou, Yves; Pironneau, Olivier. Computational methods for option pricing. Fronti-ers in Applied Mathematics, 30. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM),Philadelphia, PA, 2005.3. M. Jurak. Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.

291


Optimizacija forme elasti£ne ljuske

Student: Ana Luka£i¢



Opis: Zadatak je metodama optimizacije formulirati algoritam za nalaºenje optimalneforme elasti£ne ljuske za zadanu silu.

Literatura:

1. P. Neittaanmaki, J. Sprekels, D. Tiba. Optimization of elliptic systems. Theory andapplications, Springer, 2006.2. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.

292


C++ implementacija metode kona£nih elemenata za Naghdijevmodel elasti£ne ljuske



Opis: Zadatak je implementirati u C++ metodu kona£nih elemenata (FEM) za problemravnoteºe Naghdijevog modela elasti£ne ljuske. Elemeti koje treba implementirati su po-linomijalni na triangulaciji poligonalne domene na trokute.

Literatura:

1. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.2. A. Valli, A. Quarteroni, Numerical Approximation of Partial Di erential Equations,volume 23 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, 1997.3. T. Petrina, Implementacija metode kona£nih elemenata za zada¢u linearizirane elas-ti£nosti u 3D, PMF-MO, 2010, diplomski rad.4. J. Tamba£a, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with littleregularity, Applied Mathematical Modelling 40 (2016), 23-24, 10549-10562.

293


Varijacijske nejednakosti


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Matemati£kastatistika

Opis: Varijacijske nejednakosti od velikog su interesa kod problema mehanike kontinuumas uvjetima. U okviru ove teme zadatak je dati osnovne teorijske rezultate vezane zaegzistenciju, jedinstvenost, te aproksimaciju rje²enja varijacijskih nejednakosti.

Literatura:

D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications. Academic Press, New York (1980).R. Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer Verlag,New York (1984).

294


Optimizacija forme zakrivljenog ²tapa



Opis: Zadatak je metodama optimizacije formulirati algoritam za nalaºenje optimalneforme ²tapa kako bi ²tap za zadanu silu imao minimalnu energiju.

Literatura:

1. P. Neittaanmaki, J. Sprekels, D. Tiba. Optimization of elliptic systems. Theory andapplications, Springer, 2006.2. Betts J.T. Practical methods for optimal control using nonlinear programming, SIAM,2001.3. Kirk D.E. Optimal control theory. An introduction, Dover, 2004.4. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.

295


Usporedba rje²enja modela elasti£ne ljuske i rje²enja 3djednadºbi linearizirane elasti£nosti



Opis: Zadatak je usporediti numeri£ke aproksimacije rje²enja modela elasti£ne ljuskeNaghdijevog tipa i zada¢e trodimenzionalne elasti£nosti za odgovaraju¢u tanku domenu.Posebno napraviti analizu kada domena postaje sve tanja.

Literatura:

1. J. Tambaca, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with littleregularity, Applied Mathematical Modelling 40 (2016), 23-24, 10549-10562.2. P.G. Ciarlet, Mathematical elasticity. Vol. I. Three-dimensional elasticity. Studies inMathematics and its Applications, 20. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1988.3. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.

296

Mentor: Zvonimir Tutek

Evolucijske varijacijske nejednakosti



Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Opis: Rad bi se sastojao od dva dijela. U prvom dijelu bi se razvila apstraktna teorijaevolucijskih varijacijskih nejednadºbi, uklju£uju¢i osnovne teoreme o egzistenciji rje²enja.U drugom dijelu bi se razvijena teorija primijenila na netrivijalan problem oscilacija tijelauz prisutnost prepreke.

Literatura:

1. M. Schatzman, A Hyperbolic Problem of Second Order with Unilateral Constraints:The Vibrating String with a Concave Obstacle, Journal of mathematical analysis andapplications 73, 138-191 (1980).2. M. Schatzman, M. Bercovier, Numerical Approximation of a Wave Equation withUnilateral Constraints, Mathematics of computation, Vol. 53, No. 187, 1989, 5579.

297

Mentor: Zvonimir Tutek

Gibanje krutog tijela

Podru£je: Primijenjena matematika, Mehanika


Preduvjeti: Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: U radu bi se izvele jednadºbe gibanja krutog tijela. Dobiveni Cauchyjev problemza sustav obi£nih diferencijalnih jednadºbi bi se numeri£ki rije²io. Time bi se omogu¢ilaanimacija gibanja krutog tijela.

Literatura:

1. V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Second edition, Springer,1989.2. H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, Third edition, AddisonWesley,2000.

298

Mentor: Sanja Varo²anec

Hijerarhija konveksnosti funkcija

Student: Elma Ðaferovi¢


Prikladno za studij: edukacijski smjerovi

Opis: Opisati razli£ite klase realnih funkcija: konveksne, zvjezdaste, m-konveksne, Wright-konveksne, superaditivne, te dokazati neka njihova svojstva.

Uspostaviti odnose izmeu tih klasa, tj. opisati tzv. hijerarhiju konveksnosti.

Literatura:

1. Gh. Toader, Hierarchy of convexity of functions, RGMIA, 2015.2. Bruckner, Ostrow, Some function classes related to the class of convex functions, PacicJ. Math. 12(1962), 1203-1215.3. Gh. Toader, The hieararchy of convexity and some classical inequalities, J. Math.Inequal. 3 (2009), 305-313.

299


Primjena koordinatne metode u planimetriji

Student: Katarina Bara¢



Opis: Opisati ideju i povijest koordinatizacije ravnine. Razli£ite geometrijske teoreme imatemati£ke probleme dokazati koordinatnom metodom. Posebna paºnja usmjerit ¢e seprema svojstvima krivulja drugog reda.

Literatura:

1. Matemati£ka natjecanja (razne godine), Element, Zagreb2. Pavkovi¢,Veljan, Elementarna matematika 1,2, Zagreb, 1992.3. Mari¢, Vektori, Element, Zgb, 1997.4. srednjo²kolski udºbenici i drugi izvori

300


U£eni£ke pote²ko¢e pri povezivanju matemati£kih i zikalnihkoncepata

Student: Ivan Bartolec

Podru£je: metodika matematike

Prikladno za studij: edukacijski smjer matematike i zike

Opis: Opisati problem u£eni£kog razumijevanja zikalnih zakona kroz matemati£ke kon-cepte. Provest ¢e se istraºivanje koje ¢e istraºiti u kojoj mjeri u£enici prepoznaju odreenimatemati£ki koncept u zikalnom problemu i obratno. Potom ¢e se napraviti analiza re-zultata istraºivanja.

Literatura:

1. Young, Freedman, Sears and Zamanzky, University physics with modern physics, edi-tion, San Francisco, 2008.2. Pavkovi¢, Veljan, Elementarna matematika 1,2, Zagreb, 1992.3. Kurnik, Znanstveni okviri nastave matematike, Element, Zagreb,2009.4. srednjo²kolski udºbenici

301


Prikazi presjeka tijela pomo¢u aksonometrije

Student: Rosanda Radi¢



Opis: Denirati op¢u aksonometriju. Prikazati projekcije osnovnih tijela pomo¢u ak-sonometrije. Konstruirati presjeke tijela i ravnine. Povezati ovu temu sa sadrºajemgeometrije u srednje²kolskoj matematici.

Literatura:

1. D.Palman, Nacrtna geometrija, Element, Zagreb 2001.2. V. Ni£e, Deskriptivna geometrija I, II, K, Zagreb, 1986.

302


Dehn-Hadwigerov teorem

Student: Lorena Balo²i¢



Opis: Opisati problematiku jednakosastavljivosti poligona i poliedara, s teºi²tem na pi-tanje jednakosastavljivosti poliedara. Denirati Dehnovu invarijantu, dokazati Dehn-Hadwigerov teorem na nekoliko na£ina.

Literatura:

1. M.Aigner, G.Ziegler, Proofs from The Book, Springer, 2004.2. S.L.Devadoss, J. O'Rourke, Discrete and computational geometry, Princeton Univ.Press,2011.3. Pavkovi¢, Veljan, Elementarna matematika 1,2, Zagreb, 1992.

303


K-Riemannov integral

Student: Ante Nik²i¢



Opis: Neka je K potpolje polja realnih brojeva. Simbolom [a, b]A ozna£avamo skupαa + (1 − α)b : α ∈ A ∩ [0, 1], A ⊆ R. Na na£in analogan konstrukciji pojmaRiemannovog integrala funkcije denira se pojam K-Riemannovog integrala. Tako naprimjer, kod Riemannovog integrala po£injemo konstrukciju promatraju¢i subdivizije in-tervala [a, b] oblika (t0, t1, . . . , tn), ti ∈ [a, b], dok ovdje promatramo subdivizije oblika(t0, t1, . . . , tn), ti ∈ [a, b]A i tako dalje. Nakon denicije slijedi prou£avanje kriterija inte-grabilnosti, svojstava K-Riemannovog integrala te veza s radijalnom K-derivacijom.

Literatura:

1. A. Olbrys, On the K-Riemann integral and Hermite-Hadamard inequalities for K-convex functions, Aequat. Math. 91 (2017) 429-444.2. Z. Boros, Zs. Pales, Q-subdierentail of Jensen-convex functions, J. Math. Anal.Appl. 321 (2006), 99-113.

304

Mentor: Igor Vel£i¢ Suvoditelj: Bojan Basrak

Konzistentne familije krivulja za modele kamatnih stopa

Student: Silvia Franovi¢


Prikladno za studij: Financijska matematika

Preduvjeti: Financijsko modeliranje 1 i 2, Vjerojatnost

Opis: U radu ¢e se prikazati nuºni i dovoljni uvjeti da bi odreena kona£no dimenzi-onalna familija krivulja bila invarijantna za odreeni model promjene kamatnih stopa. Smatemati£ke to£ke gledi²ta pitanje se svodi na traºenje invarijantnih mnogostrukosti zastohasti£ke diferencijalne jednadºbe

Literatura:

Tomas Björk, A Geometric View of Interest Rate TheoryDamir Filipovi¢, Consistency problems for Heath-Jarrow-Morton interest rate models

305

Mentor: Igor Vel£i¢ Suvoditelj: Bojan Basrak

Kalmanovi lteri

Student: Mihael Alapi¢

Podru£je: Vjerojatnost

Prikladno za studij: Statistika i ra£unarstvo, Financijska matematika

Preduvjeti: Vjerojatnost

Opis: Promatra se linearna stohasti£ka diferencijalna jednadºba s odreenim ulazom(kontrolom) £ija se rje²enja nazivaju stanja. Pretpostavlja se da je mjerenjima dostupnasamo reducirana informacija o stanjima (odredjena linerna funkcija) koju nazivamo izlazi.Problem se svodi na traºenje najboljeg procjenitelja za stanja uz poznate izlaze na nekomvremenskom intervalu ili u skupu kona£nih trenutaka. S matemati£ke to£ke gledi²ta,problem se svodi na traºenje najboljeg linearnog procjenitelja slu£ajne varijable stanja,uz poznate slu£ajne varijable izlaza

Literatura:

Mohinder S. Grewal, Angur P. Andrews, Kalman ltering: theory and practiceC.K. Chui, G. Chen: Kalman ltering with Real- Time Applications

306

Mentor: Zoran Vondra£ek

Nearbitraºne cijene uz sistemski rizik

Student: Marta Cota

Podru£je: Financijsko modeliranje


Preduvjeti: Markovljevi lanci, Slu£ajni procesi, Financijsko modeliranje 1, Financijskomodeliranje 2

Opis: Sistemski rizici djelomi£no proizlaze iz meuvlasni²va nancijskih imovina i obveza.Cilj diplomskog rada je pro²irenje Mertonovog modela odreivanja cijena imovine nasustave vi²e nancijskih institucija u prisustvu meuvlasni²va dionica i obveza. Izvest ¢e sejednadºbe za nearbitraºne cijene dionica, te dokazati rezultati egzistencije i jedinstvenosti.

Literatura:

T. Fischer, No-arbitrage pricing under systemic risk: Accounting for cross-ownership,Math. Finance 24, 97124 (2014).

307


Konvergencija cijena opcija s barijerom u binomnom modelu

Student: Domagoj Demeter




Opis: CRR binomni model dobra je aproksimacija Black-Scholesovog modela nancijskogtrºi²ta. Cilj ovog diplomskog rada je prou£iti brzinu konvergencije cijene europske call op-cije s barijerom u CRR binomnom modelu prema cijeni te iste opcije u Black-Scholesovommodelu kada broj perioda n teºi u beskona£nost. Pokazuje se da je gre²ka reda 1/

√n i

izvode se koecijenti uz 1/√n i 1/n u asimptotskom razvoju gre²ke.

Literatura:

J. Lin, K. Palmer, Convergence of barrier option prices in the binomial model, Math. Fi-nance 23, 318338 (2013).M. Reimer, K. Sandmann, A discrete time approach for European and American barrieroptions, Discussion Paper, SFB 303, No. B-272, University of Bonn (1996).

308


Ameri£ka put opcija u Black-Scholes-Mertonovom modelu

Student: Marko Galeni¢




Opis: Vrednovanje ameri£ke opcije u Blak-Scholes-Mertonovom modelu nancijskog tr-ºi²ta zahtijeva kompliciranije metode od onih potrebnih za vrednovanje europske piutopcije. Cilj ovog diplomskog rada je objasniti te metode i karakterizirati vrijednost ame-ri£ke put opcije kao jedisntvenog rje²enja rubnog problema. Takoer ¢e se diskutiratidiskretno-vremenska za²tita.

Literatura:

S. Hussain, M. Shashiashvili, Discrete time hedging of the American option, Math. Fi-nance 20, 647670 (2010).I. Karatzas, S. E. Shreve, Methods of Mathematical Finance, Springer, 1998.

309

Mentor: Marko Vrdoljak

Aukcijski algoritmi u mreºnoj optimizaciji

Student: Dora Stoi¢

Podru£je: optimizacija


Preduvjeti: poºeljno predznanje kolegija Operacijska istraºivanja

Opis: Aukcijski algoritmi djeluju suprotno klasi£nim algoritmima mreºne optimizacije,jer u svakoj iteraciji ne pobolj²avaju nuºno ni primarnu ni dualnu funkciju cilja. Zasnovanisu na metodama nediferencijabilne optimizacije. Cilj diplomskog rada je opisati aukcijskialgoritam za klasi£ni problem dodjeljivanja, i njegove adaptacije za problem maksimalnogtoka, transportni problem, problem najkra¢ih puteva i problem minimizacije tro²kovamreºnog toka.

Literatura:

D.P. Bertsekas. Network optimization. Continuous and discrete models, Athena Scientic,1998.A. Salazar, P. Tsiotras. An Auction Algorithm for Optimal Satellite Refueling, PreprintPaper No. GT-SSEC.F.5, Georgia Institute of Technology, 2005.

310


Robusne metode u optimizaciji portfelja

Student: Ivan uti¢



Preduvjeti: poºeljno predznanje kolegija Uvod u optimizaciju

Opis: U robusnoj optimizaciji parametri u zada¢i optimizacije nisu dani egzaktno ve¢mogu poprimiti vrijednosti u danom skupu. Cilj rada je prikazati osnovne tehnike ro-busne optimizacije i njihove primijene u problemima optimizacije portfelja.

Literatura:

M. Salahi, F. Mehrdoust, F. Piri. CVaR Robust Mean-CVaR Portfolio Optimization,ISRN Applied Mathematics, vol. 2013, Article ID 570950, 9 pages, 2013. doi:10.1155/2013/570950G. Cornuejols, R. Tutuncu. Optimization methods in nance, Cambridge University Press2007.A. Ben-Tal, L. Ghaoui, A. Nemirovski. Robust optimization, Princeton University Press,2009.

311


Polubeskona£no programiranje

Student: Dorian udina



Preduvjeti: poºeljno predznanje kolegija Uvod u optimizaciju

Opis: Zada¢a polubeskona£nog programiranja razmatra minimizaciju realne funkcije nakona£nodimenzionalnom prostoru, ali uz beskona£no mnogo uvjeta tipa nejednakosti.Cilj diplomskog rada je obraditi teoriju dualnosti ove klase zada¢a, uvjete optimalnosti imetodu unutra²nje to£ke za numeri£ko rje²enje.

Literatura:

A. Shapiro. On duality theory of convex semi-innite programming, Optimization 54(2005) 535543.M. López, G. Still. Semi-innite programming, European Journal of Operational Research180 (2007), 491.-518.Oliver Stein and Georg Still. Solving Semi-Innite Optimization Problems with InteriorPoint Techniques, SIAM J. Control Optim. 42 (2003), 769788.

312


Deterministi£ki modeli u epidemiologiji

Student: Sari Al Ahmed

Podru£je: analiza


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj rada je obraditi razne modele koje opisuju ²irenje epidemije. Razmatraju sediskretni i kontinuirani deterministi£ki modeli, zapisani u vidu (sustava) diferencijskih,odnosno diferencijalnih jednadºbi te ispituju mogu¢nosti njihovog upravljanja.

Literatura:

D.J. Daley, J. Gani. Epidemic modelling. An introduction, Cambridge University Press,1999.F. Hoppensteadt. Mathematical Theories of Populations. Demographics, Genetics, andEpidemics, SIAM, 1997.

313

Mentor: Mladen Vukovi¢

Duboko strojno u£enje za udaljeno nadziranje morfosintakti£kihozna£iva£a

Semi-supervised neural part-of-speech tagging

Student: Tihana Britvi¢

Podru£je: Teorijsko ra£unarstvo


Preduvjeti: Poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijima Interpretacija programa, Iz-ra£unljivost i Sloºenost algoritama

Opis: Morfolo²ko ozna£avanje teksta, tzv. part-of-speech tagging, je fundamentalna pod-loga za obradu prirodnog jezika i preduvjet za bilo koju naprednu jezi£nu tehnologiju. Usu²tini, rije£ je o broju mogu¢ih klasikacija vi²ezna£nica u pisanim tekstovima. Ozna£a-vanje na najvi²oj razini obi£no se postiºe nadziranim u£enjem uz pomo¢ ru£no ozna£enihtekstova. Da bi dosegli vrhunske performanse, moderna ozna£avanja zahtjevaju najma-nje 10 tisu¢a ru£no ozna£enih re£enica po jeziku. Upravo su ti ru£no ozna£eni resursijako skupi za veliku ve¢inu jezika ²to je rezultiralo £injenicom da su morfolo²ke oznakedostupne samo za 12% svih jezika, iako su i te oznake £esto rezultat obrade nekog stan-dardnog teksta, naj£e²¢e novinskih £lanaka. Posljednjih godina relativno uspje²no suomogu¢ena ozna£avanja preostalih 9899% jezika i jezi£nih sorti putem daljinskog nad-zora pomo¢u projekcije paralelnih korpusa ili pak iskori²tavanjem sekundarnih resursakao ²to su rje£nici jezi£nih oznaka. Ovaj rad istraºuje takve pristupe prijelazima izmeujezika u svrhu generiranja mogu¢ih morfolo²kih oznaka za jezike s izuzetno oskudnim re-sursima. Konkretno, rad predlaºe slabo nadzirano ozna£avanje temeljeno na dubinskomu£enju s povratnim neuronskim mreºama, a uvodi se i konkurentni model ozna£avanjakoji smanjuje ograni£enja dostupnosti resursa kod sadrºajno izuzetno oskudnih jezika.

Literatura:

D. Yarowsky, G. Ngai, Inducing Multilingual POS Taggers and NP Bracketers via Ro-bust Projection across Aligned Corpora, http://aclweb.org/anthology/N/N01/N01--1026.pdfD. Das, S. Petrov, Unsupervised PartofSpeech Tagging with Bilingual Graph-BasedProjections, http://aclweb.org/anthology/P/P11/P11--1061.pdfS. Li, J. V. Graca, B. Taskar, Wikily Supervised PartofSpeech Tagging, http://aclweb.org/anthology/D/D12/D12--1127.pdfD. Garrette, J. Mielens, J. Baldridge, RealWorld SemiSupervised Learningof POSTaggers for LowResource Languages, http://aclweb.org/anthology/P/P13/P13--1057.pdf . Agi¢, D. Hovy, A. Sogaard, If all you have is a bit of the Bible: Learning POStaggers for truly lowresurce languages, http://aclweb.org/anthology/P/P15/P15--2044.pdf

314

Mentor: Mladen Vukovi¢ Suvoditelj: Tin Perkov

Modalna potpunost logika interpretabilnosti

Student: Sebastijan Horvat



Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijem Matemati£ka logika

Opis: Logika dokazivosti GL (GödelLöb) je propozicionalna modalna logika koja pot-puno opisuje predikat dokazivosti Peanove aritmetike (Solovayevi teoremi potpunosti).Logike interpretabilnosti su mogu promatrati kao pro²irenja logike dokazivosti GL, a onesu zapravo modalni opis predikata relativne interpretabilnosti. Osnovna logika interpre-tabilnosti je modalni sistem IL. Po²to je IL aritmeti£ki nepotpun sistem, promatraju sepro²irenja s principima interpretabilnosti. Osnovna semantika za logike interpretabilnostisu Veltmanovi modeli. Glavna pote²ko¢a prilikom dokaza teorema modalne potpunostilogika interpretabilnosti u odnosu na Veltmanove modele je £injenica da konzistentan skupformula ne mora biti ispunjiv. Cilj diplomskog je dokazati teoreme modalne potpunostiza logike interpretabilnosti: IL, ILM, ILP, ILW i ILM0.

Literatura:

D. de Jongh, F. Veltman, Modal completeness of ILW, in: J. Gerbrandy, M. Marx,M. Rijke, Y. Venema (eds.), Essays Dedicated to Johan van Benthem on the Occasion ofHis 50th Birthday, Amsterdam University Press, Amsterdam, 1999.E. Goris, J. Joosten, Modal Matters in Interpretability Logics, Logic Journal of IGPL16(2008), 371412G. Japaridze, D. de Jongh, The Logic of Provability, In: S. R. Buss (ed.), Handbookof Proof Theory, Elsevier, 1998, pp. 475546T. Perkov, M. Vukovi¢, Semantike logika dokazivosti i logika interpretabilnosti, nas-tavni materijal za istoimeni kolegij na doktorskom studiju 2016./17,https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/00-predavanja-doktorski-2016-17.pdfA. Visser, An overview of interpretability logic, In: Kracht, Marcus (ed.) et al., Advan-ces in modal logic. Vol. 1. Selected papers from the 1st international workshop (AiML'96),Berlin, Germany, October 1996, Stanford, CA: CSLI Publications, CSLI Lect. Notes. 87,pp. 307359 (1998)

315


Aproksimacijski algoritmi: klase sloºenosti i dizajn

Student: Marko Duji¢

Podru£je: Matemati£ka logika, Ra£unarstvo

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Izra£unljivost i Sloºenost algo-ritama

Opis: Aproksimacijski algoritmi su jedan od alata za rje²avanje problema £ija je sloºe-nost (vremenska ili prostorna) velika. U diplomskom radu ¢e se prvo denirati pojamproblema optimizacije, te detaljno objasniti nekoliko takvih problema. Primjerice, takvisu problemi MINIMUM POKRIVA BRIDOVA, MINIMUM PROBLEM TRGOVAKOG PUTNIKAi MINIMUM BOJENJE GRAFA. U drugom dijelu diplomskog treba denirati klase sloºenostiPO i NPO, te dokazati osnovne £injenice o tim klasama. Tre¢i dio diplomskog rada trebaobi biti posve¢en dizajniranju aproksimacijskih algoritama. Pomo¢u primjera trebaju seilustrirati metode lokalnog pretraºivanja, sekvencijalni algoritmi za problem particije, al-goritmi bazirani na linearnom programiranju, te metoda dinami£kog programiranja.

Literatura:

G. Ausiello i dr., Complexity and Approximation, Springer, 2003.R. Lassaigne, M. de Rougemont, Logic and Complexity, Springer, 2004.C. H. Papadimitrou, Computational Complexity, AddisonWesley Publishing Com-pany, Boston, 1994.M. Sipser, Introduction to the Theory of Computation, Cengage Learning, 2013.

316


Filtri i ultraltri

Student: Andrija Dujakovi¢

Podru£je: Teorija skupova


Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijem Teorija skupova

Opis: Kartezijev produk grupa je grupa, ali Kartzeijev produkt polja nije polje. Prirodnose postavlja pitanje kako denirati relaciju ekvivalencije tako da bi kvocijentna strukturaponovno bila polje. Odgovor na to pitanje u op¢oj situaciji su ultraltri. U ovom diplom-skom radu razmatrat ¢e se primjena ltra i ultraltra u teoriji skupova, odnosno to£nijena velike kardinalne brojeve. Vaºan je ltar na regularnim neprebrojivim kardinalnimbrojevima koji se primjenjuje kod karakterizacije stacionarnih skupova S ⊆ ω1. Ultraltrise koriste i u dokazu Silverovog teorema koji je zapravo generalizirana hipoteza kontinu-uma za singularne kardinalne brojeve.

Literatura:

K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expan-ded, Marcel Dekker Inc., 1999.W. Just, M. Weese, Discovering Modern Set Theory. II, Graduate Studies in Mathe-matics vol 18, AMS, 1997P. Komjáth, V. Totik, Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer,2006.M. Vukovi¢, Primijenjena logika, nastavni materijal za istoimeni kolegij na doktorskomstudiju 2011./12.,https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/applog-skripta-2011_0.pdf

317