Konsep fasor

MODUL 10

Konsep Fasor

1. Pendahuluan

Dalam bagian terdahulu pelajaran kita mengenai analisis rangkaian,

perhatian kita pusatkan kepada rangkaian penahan. Akan tetapi, kita mungkin

mengingat janji yang sering dikemukakan bahwa metode-metode yang kita pakai

rangkaian penahan tersebut kelak dapat digunakan pada rangkaian-rangkaian yang

mengandung induktor dan kapasitor. Sekarang kita akan meletakkan dasar diskriptif

yang membuat ramalan ini menjadi suatu kenyataan. Kita akan mengembangkan

metode untuk menyatakan fungsi pemaksa sinusoida atau respons sinusoida dengan

simbolisme bilangan kompleks yang dinamai transform fasor, atau singkatnya fasor

(phasor). Ini tak lain dari sebuah bilangan yang menyatakan amplitudo dan sudut

fase sebuah sinusoida, memberikan ciri-ciri bahwa sinusoida adalah sama

lengkapnya seperti yang dinyatakan sebagai fungsi waktu analitik. Bekerja dengan

fasor, dan bukan dengan turunan dan integral dari sinusoida seperti yang kita

lakukan di pelajaran sebelumnya kita akan melaksanakan suatu penyederhanaan

yang sangat menakjubkan dalam analisis sinusoida keadaan mantap dari rangkaian

RLC umum. Penyederhanaan ini akan menjadi nyata pada akhir pelajaran ini

Beberapa transform lain yang sudah kita kenal memberikan penyederhanaan

yang dapat dicapai dengan konsep fasor.

2. Fungsi Pemaksa Kompleks

Kita sekarang siap memikirkan pemakaian sebuah fungsi pemaksa kompleks

(yakni, fungsi pemaksa yang mempunyai bagian riil dan imajiner) kepada sebuah

jaringan listrik. Mungkin kelihatannya aneh, tetapi akan kita dapatkan bahwa

penggunaan kuantitas kompleks di dalam keadaan mantap sinusoida menghasilkan

metode yang jauh lebih sederhana daripada metode yang selalu menyangkut

kuantitas riil. Kita mengharapkan fungsi pemaksa kompleks menghasilkan respons

kompleks.

Mula-mula kita bicarakan masalah ini dalam istilah yang agak umum, dan

menunjukkan metode dengan mana kita bisa membuat sebuah jaringan umum dan

menganalisisnya dengan sistem persamaan simultan. Dalam Gambar 1, sebuah

sumber sinusoida dihubungkan pada sebuah jaringan umum, yang akan kita anggap

pasif untuk menghindari kesukaran dalam pemakaian prinsip superposisi kelak. Akan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 1

ditentukan respons arus di dalam cabang lain dari jaringan. Parameter-parameter

yang muncul dalam (1) semuanya kuantitas riil.

(1)

Gambar 1: Fungsi pemaksa sinusoida

menghasilkan respons sinusoida keadaan mantap

.

Dalam pembicaraan sebelumnya mengenai metode yang dapat menentukan

respons terhadap fungsi pemaksa sinusoida, melalui anggapan bentuk sinusoida

dengan amplitudo dan sudut fase yang sembarang, memperlihatkan bahwa respons

dapat dinyatakan oleh

(2)

Rangkaian linear fungsi pemaksa sinusoida selalu menghasilkan respons pakasaan

sinusoida.

Kita ubah sekarang referensi waktu kita dengan menggeser fase fungsi

pemaksa sebesar 90º atau mengubah saat yang kita namai t = 0. Jadi, fungsi

pemaksa,

(3)

bila digunakan pada jaringan yang sama akan menghasilkan respons yang

bersangkutan

(4)

kita buat sebuah sumber imajiner dengan sederhana sekali; kita hanya perlu

mengalikan sumber, yang dinyatakan oleh (3), dengan j, operator imajiner. Jadi kita

terapkan

(5)

Berapakah responsnya? Bahwa konstanta ini adalah operator imajiner j tidak

merusak hubungan tersebut, walaupun definisi kita terdahulu dan pembicaraan

mengenai linearitas tidak secara spesifik mengikutkan konstanta kompleks.


RANGKAIAN LISTRIK 2

+~−

)cos( tIm)cos( tVmN

Sekarang lebih realistis untuk menyimpulkan bahwa pembicaran tidak secara

spesifik mengecualikan konstanta kompleks, karena seluruh pembicaraan berlaku

sama dalam pemakaiannya jika semua konstanta di dalam persamaan tersebut

adalah kompleks. Respons terhadap sumber imajiner (5) adalah

(6)

Sumber imajiner dan respons imajiner ditunjukkan dalam Gambar 2

Kita telah memberikan sebuah sumber riil dan mendapatkan sebuah respons

riil; kita juga telah memberikan sumber imajiner dan mendapatkan respons imajiner.

Sekarang kita dapat menggunakan teorema superposisi untuk mencari respons

kepada fungsi pemaksa kompleks yang merupakan jumlah fungsi pemaksa riil dan

fungsi pemaksa imajiner. Terpakainya superposisi, tentu, dijamin oleh linearitas dari

rangkaian yang tak bergantung pada bentuk fungsi pemaksa. Jadi, jumlah fungsi

pemaksa (1) dan (5),

(7)

Gambar 2: Fungsi pemaksa sinusoida imajiner

menghasilkan respons sinusoida imajiner

dalam jaringan dari Gambar 1.

haruslah menghasilkan respons yang merupakan jumlah dari (2) dan (6),

(8)

Sumber dan respons komplek dapat dinyatakan lebih sederhana dengan

memakai identitas Euler. Sumber (7) menjadi

(9)

dan respons dari (8) adalah

(10)

Sumber dan respons kompleks digambarkan dalam Gambar 3.


RANGKAIAN LISTRIK 3

+~−

)sin( tjIm)sin( tjVmN

+~−

)( tjmeI)( tj

meV N

Gambar 3: Fungsi pemaksa kompleks

menghasilkan respons kompleks dalam jaringan

dari Gambar 1.

Ada beberapa kesimpulan penting yang akan ditarik dari contoh umum ini.

Fungsi pemaksa riil, imajiner, atau kompleks akan menghasilkan berturut-turut

respons riil, imajiner, atau kompleks. Lagipula, fungsi pemaksa kompleks dapat

ditinjau, dengan menggunakan identitas Euler dan teorema superposisi, sebagai

jumlah fungsi pemaksa riil dan fungsi pemaksa imejiner; jadi bagian riil dari respons

kompleks dihasilkan oleh bagian riil dari fungsi pemaksa, sedangkan bagian imajiner

dari respons disebabkan oleh bagian imajiner dari fungsi pemaksa kompleks.

Gambar 4: Rangkaian sederhana dalam keadaan mantap

sinusoida akan dianalisis dengan pemakaian sebuah fungsi

pemaksa kompleks.

Kita cobakan gagasan ini pada rangkaian RL seri yang sederhana yang

diperlihatkan dalam Gambar 4. Sumber riil Vm cos ωt dipakai; repons i(t) diinginkan.

Mula-mula kita bentuk fungsi pemaksa kompleks yang setelah menggunakan

identitas Euler, menghasilkan fungsi pemaksa riil. Karena

cos ωt = Re ejωt

sumber kompleks yang perlu adalah


RANGKAIAN LISTRIK 4

R+~−

LtVmS cos

i

Vm ejωt

Respons kompleks yang dihasilkan dinyatakan di dalam amplitudo Im yang tak

diketahui dan sudut fase yang tak diketahui,

Dengan menuliskan persamaan diferensial untuk rangkaian khusus ini,

kita sisipkan ungkapan kompleks untuk υS dan i,

kerjakan derivatif yang ditunjukkan

dan dapatkan persamaan aljabar kompleks. Untuk menentukan harga Im dan , kita

bagi seluruhnya dengan faktor bersama ejωt,

(11)

dengan memfaktorkan ruas kiri,

susun kembali,

dan mengidentifikasi Im dan dengan menyatakan ruas kanan persamaan di dalam

bentuk eksponensial atau bentuk polar,

(12)

jadi,

dan

Respons kompleks diberikan oleh (12). Karena Im dan telah didapat, kita

bisa segera menulis ungkapan bagi i(t). Dengan menggunakan pendekatan yang

lebih cermat, respons riil i(t) bisa didapat dengan menyisipkan kembali faktor ejωt

pada kedua rus dari (12) dan mengambil bagian riilnya, yang didapat dengan

memakaikan rumus Euler. Jadi,


RANGKAIAN LISTRIK 5

yang cocok dengan respons yang didapatkan untuk rangkaian yang sama di dalam

pelajaran sebelumnya. Persamaan (3) pada modul 9.

Walaupun kita telah berhasil mengerjakan soal keadaan tunak sinusoida

dengan menggunakan fungsi pemaksa kompleks dan mendapatkan sebuah respons

kompleks, kita belum mengambil keuntungan dari keampuhan representasi

kompleks. Untuk melakukan hal ini, kita harus membawa konsep sumber kompleks

atau respons kompleks selangkah lagi dan mendefinisikan kuantitas yang dinamai

“fasor”.

3. Fasor (Phasor)

Arus atau tegangan sinusoida pada suatu frekuensi yang diketahui disifatkan

oleh hanya dua parameter, amplitudo dan sudut fase. Representasi kompleks dari

tegangan atau juga arus disaifatkan oleh kedua parameter yang sama ini. Misalnya,

bentuk sinusoida yang dimisalkan dari respons arus dalam contoh di atas adalah

dan representasi arus yang bersangkutan di dalam bidang kompleks adalah

Sekali Im dan sudah ditentukan, arus didefinisikan dengan tepat. Di seluruh

rangkaian linear yang beroperasi dalam keadaan tunak sinusoida pada frekuensi

tunggal ω, setiap arus dan tegangan dapat diberikan cirinya secara lengkap dengan

mengetahui amplitudo dan sudut fase. Lagi pula, representasi kompleks dari setiap

tegangan dan arus akan mengandung faktor e jωt yang sama. Faktor ini berlebihan,

karena sama untuk setiap kuantitas; faktor itu tidak mengandung informasi yang

berguna. Tentu, harga frekuensi dapat dikenal dengan pemeriksaan dari salah satu

faktor ini, tetapi akan lebih sederhana untuk seterusnya menuliskan harga frekuensi

dekat diagram rangkaian dan menghindari adanya informasi yang berlebihan di

seluruh penyelesaian. Jadi, kita dapat menyederhanakan sumber tegangan dan

respons arus dari contoh di atas dengan menyatakannya secara singkat sebagai

Vm atau Vmej0º dan

Kuantitas-kuantitas kompleks ini biasanya dituliskan di dalam bentuk polar dan

bukan dalam bentuk eksponensial untuk mencapai penghematan waktu dan usaha.

Jadi, tegangan sumber


RANGKAIAN LISTRIK 6

kita nyatakan sekarang dalam bentuk kompleks sebagai

dan respons arus

Menjadi

Representasi kompleks yang disingkat ini dinamai fasor.

Arus sinusoida riil,

dinyatakan sebagai bagian riil sebuah kuantitas kompleks oleh identitas Euler

Kemudian kita nyatakan arus sebagai kuantitas kompleks dengan menghilangkan

instruksi Re, jadi dengan menambahkan komponen imajiner kepada arus tanpa

mempengaruhi komponen riil; penyederhanaan selanjutnya adalah dicapai dengan

membuat faktor ejωt,

I =

dan menuliskan hasil tersebut di dalam bentuk polar

I =

Representasi kompleks yang disingkat ini adalah representasi fasor; fasor adalah

kuantitas kompleks sehingga dicetak dalam huruf tebal; fasor hanya mengandung

informasi amplitudo dan fase.

Proses dengan mana kita ubah i(t) ke dalam I dinamai transformasi fasor dari

daerah waktu ke daerah frekuensi. Langkah matematikanya adalah sebagai berikut :

1. Diberikan fungsi sinusoida i(t) di dalam daerah waktu, tuliskan i(t) sebagai

gelombang cosinus dengan sudut fase. Misalnya sin ωt harus dituliskan

sebagai cos (ωt – 90º ).

2. Nyatakan gelombang cosinus sebagai bagian riil kuantitas kompleks dengan

menggunakan identitas Euler.

3. Hilangkan Re.

4. Tekan ejωt.

Sebagai contoh, kita transformasikan tegangan daerah waktu


RANGKAIAN LISTRIK 7

Ke dalam daerah frekuensi. Ungkapan daerah waktu sudah dalam bentuk

gelombang cosinus dengan sudut fase, dan transformasi daerah waktu ke daerah

frekuensi dihasilkan dengan mengambil bagian riil dari representasi kompleks,

dan membuang Re dan menekan ejωt,

V =

Dengan cara serupa, arus daerah waktu

bertransformasi ke dalam fasor

I =

Sebelum kita meninjau analisis rangkaian dalam keadaan tunak sinusoida melalui

penggunaan fasor adalah perlu memperlajari bagaimana transformasi bisa dibalik

arahnya, kembali ke daerah waktu dari daerah frekuensi. Proses itu persis kebalikan

aturan yang diberikan di atas. Jadi, langkah terinci dalam transformasi daerah

frekuensi ke daerah waktu adalah sebagai berikut:

1. Diberikan arus fasor I dalam bentuk polar dalam bentuk frekuensi, tuliskan

ungkapan kompleks dalam bentuk eksponensial.

2. Sisipkan kembali (kalikan dengan) faktor ejωt.

3. Ganti operator bagian riil Re.

4. Dapatkan representasi daerah waktu dengan menggunakan identitas Euler.

Pernyataan gelombang cosinus yang dihasilkan dapat diubah menjadi

gelombang sinus, jika diinginkan, dengan menambahkan argumen dengan

90º.

Tegangan fasor

V =

Kita dapat menulis langsung ekivalen daerah waktu

Sebagai sebuah sinusoida, jawab tersebut dapat dituliskan

Contoh Soal

1. Ubah ke dalam bentuk polar dan siku-siku untuk :


RANGKAIAN LISTRIK 8

a) V

b) A

c) V dengan ω = 103 rad/s..

d) A dengan ω = 5 rad/s.

Jawab

a) V

b) A

c) V dengan ω = 103 rad/s.

d) A dengan ω = 5 rad/s.

4. Hubungan Fasor untuk R, L dan C

Karena kita sekarang sudah mampu mentransformasikan ke dalam dan

keluar daerah frekuensi, maka kita dapat melanjutkan penyederhanaan analisis

keadaan tunak sinusoida dengan menentukan hubungan di antara tegangan fasor

dan arus fasor untuk masing-masing dari ketiga elemen pasif.

Tahanan memberikan hal yang paling sederhana. Di dalam daerah waktu,

seperti yang ditunjukkan oleh gambar 10-5a, persamaan yang mendefinisikan adalah

(14)

Sekarang kita pakai tegangan kompleks


RANGKAIAN LISTRIK 9

(15)

dan menganggap arus kompleks

(16)

dan mendapatkan

Dengan membagi seluruhnya dengan ejωt (atau menekan ejωt pada kedua ruas

persamaan), kita dapatkan

atau, di dalam bentuk polar,

Tetapi dan semata-mata hanya menyatakan fasor tegangan umum

dan fasor arus umum V dan I. Jadi,

V = RI

Hubungan tegangan arus di dalam bentuk fasor untuk sebuah tahanan

mempunyai bentuk yang sama seperti hubungan tegangan dan arus daerah waktu.

Persamaan yang mendefinisikan bentuk fasor digambarkan dalam Gambar 5b.

Kesamaan sudut dan adalah jelas, sehingga arus dan tegangan sefase.

Gambar 5: Tahanan R di mana terdapat sebuah tegangan dan

arus di dalam: (a) daerah waktu, ; (b) daerah frekuensi,

V = RI.

Kita sekarang beralih kepada induktor. Jaringan daerah waktu diperlihatkan

dalam Gambar 6a, dan persamaan yang mendefinisikan, suatu ungkapan daerah

waktu, adalah

(18)

Setelah mensubstitusikan persamaan tegangan kompleks (15) dan persamaan arus

kompleks (16) ke dalam (18), kita peroleh


RANGKAIAN LISTRIK 10

υ = Ri

+

-

V = RI

+

-

R R

i I

(b)(a)

Dengan mengambil turunan yang ditunjukkan

dan menekan ejωt,

Kita dapatkan hubungan fasor yang diinginkan

V = jωLI (19)

Persamaan diferensial daerah waktu (18) telah berubah menjadi persamaan aljabar

di dalam daerah frekuensi. Hubungan fasor dinyatakan dalam Gambar 6b.

perhatikan bahwa sudut dari fasor jωL tepat + 90º dan bahwa I harus terbelakang

dari V sebesar 90º dalam sebuah induktor.

Gambar 6: Sebuah induktor L di mana terdapat tegangan dan

arus di dalam: (a) daerah waktu, ; (b) daerah

frekuensi, V = jωLI

Elemen yang terakhir yang harus kita tinjau adalah kapasitor. Definisi

kapasitansi, ungkapan daerah waktu seperti yang ditunjukkan pada gambar 7a

adalah

(20)

Ungkapan ekivalen dalam daerah frekuensi didapatkan sekali lagi dengan

mengambil υ(t) dan i(t) sebagai kuantitas kompleks dari (15) dan (16), dengan

mengambil turunan yang ditunjukkan, menekan ejωt, dan mengenal fasor V dan I. Itu

adalah

I V (21)



dt

diL

+

-

V = jωLI

+

-

L L

i I

(b)(a)

+

υ

-

+

V

-

L C

dt

dCi

I = jωLV

(b)(a)

Gambar 7: (a) Hubungan daerah waktu dan (b) hubungan

daerah frekuensi di antara arus dan tegangan kapasitor.

Jadi, I mendahului V dengan 90º dalam kapasitor. Tentu saja, ini tidak berarti bahwa

respons arus adalah seperempat periode lebih dulu daripada tegangan yang

menyebabkannya! Kita sedang mengkaji respons keadaan tunak, dan kita temukan

bahwa maksimum arus disebabkan oleh tegangan naik yang terdapat 90º lebih dulu

dari maksimum tegangan. Representasi daerah waktu dan daerah frekuensi

diperlihatkan pada Gambar 10-7a dan b.

Contoh Soal

2. Pada Gambar 8, misalkan ω = 800 rad/s, V, dan

V, dan carilah: (a) VS; (b) ix(t); (c)IS.

Gambar 8: Lihat Contoh Soal 2.

Jawab



~+~−

12 Ω 16 Ω

100 μF10 mH

+ VC −− VL +

IX

ISVS

+~−

−j12,5 Ω

+ VC −− VL +

IXj8 Ω

ISIC A

Gambar 9: Gambar 8 dengan impedansi dan arus.

(a) Dengan mempergunakan KVL pada Loop I1,

(b) Dengan mempergunakan KVL pada Loop I2,

(c) Dengan memperhatikan tegangan dan impedansi kapasitor

Dengan mempergunakan KCL pada Simpul A pada Gambar



~12 Ω 16 Ω ISVSI1 I2

5. Impedansi

Hubungan arus-tegangan untuk ketiga elemen pasif di dalam daerah frekuensi

adalah

V = RI V = jωLI V =

Jika persamaan-persamaan ini dituliskan sebagai perbandingan (rasio) tegangan

fasor denga arus fasor

maka kita dapatkan bahwa di dalam hal induktansi dan kapasitansi, perbandingan-

perbandingan ini adalah fungsi sederhana dari harga elemen, dan juga frekuensi.

Kita definisikan perbandingan tegangan fasor dan arus fasor sebagai

impedansi, yang berisi simbol huruf Z. Impedansi adalah sebuah kuantitas kompleks

yang berdimensi ohm. Impedansi bukanlah fasor dan tak dapat ditransformasikan

kepada daerah dengan mengalikan ejωt dan mengambil bagian riilnya. Sebagai

gantinya, kita pikirkan sebuah induktor diwakili di dalam daerah waktu oleh

induktansinya L dan di dalam daerah frekuensi oleh impedansinya jωL. Sebuah

kapasitor di dalam daerah waktu mempunyai kapasitansi C dan impedansi di

daerah frekuensi. Impedansi adalah bagian daerah frekuensi dan bukan konsep

yang merupakan bagian daerah waktu.

Bilangan kompleks atau kuantitas yang menyatakan impedansi dapat

dinyatakan baik dalam bentuk polar maupun bentuk siku-siku (rectangular form). Di

dalam bentuk polar, impedansi, seperti , dinyatakan sebagai yang

mempunyai magnitudo impedansi sebesar 100 Ω dan sudut fase -60˚. Impedansi

yang sama di dalam bentuk siku-siku, 50 – j86,6, dikatakan mempunyai komponen

penahan, atau resistansi, sebesar 50 Ω dan komponen reaktif, atau reaktansi,

sebesar -86,6 Ω. Komponen penahan adalah bagian riil impedansi, dan komponen

reaktif adalah komponen imajiner dari impedansi, termasuk tanda, tetapi tentu saja

tidak termasuk operator imajinernya.



V

I = R

V

I = jωL

V

I jωC=

1

6. Admitansi

Persis seperti konduktansi, kebalikan dari resistansi, terbukti sebagai suatu kuantitas

yang berguna di dalam analisis rangkaian penahan, demikian juga kebalikan

impedansi menawarkan beberapa hal yang memudahkan di dalam analisis keadaan

mantap sinusoida dari rangkaian RLC umum. Kita definisikan admitansi Y sebagai

perbandingan arus fasor dengan tegangan fasor:

sehingga

Bagian riil admitansi adalah konduktansi G, dan bagian imajiner dari admitansi

adalah suseptansi B. Jadi,

(22)

Persamaan (22) harus diteliti betul-betul; persamaan tak mengatakan bahwa bagian

riil admitansi adalah sama dengan kebalikan dari bagian riil impedansi atau bahwa

bagian imajiner dari admitansi adalah sama dengan kebalikan bagian imajiner

impedansi. Admitansi, konduktansi, dan suseptansi semuanya diukur dalam mho.

Contoh Soal

3. Carilah dalam bentuk siku-siku admitansi dari: (a) sebuah jaringan yang

impedansinya adalah 100 − j160 Ω; (b) kombinasi seri dari 50 Ω, 20 mH dan

2 μF, bila ω = 4 krad/s; (c) kombinasi paralel dari 50 Ω, 20 mH dan 2 μF pada

4 krad/s.

Jawab

(a)

(b)



milimho

(c)

Latihan Soal

1. Pada Gambar 10, misalkan i(t) adalah arus kompleks, A,

sedang tegangan sumber υS(t) adalah V. Carilah tegangan

masukan kompleks υin(t).

Gambar 10: Lihat Latihan Soal 1.



milimho

milimho

+~−

+

υin(t)

_

100 Ω 10 H

υS(t)

i(t)

2. Carilah υ1(t), υ2(t) dan υ3(t) dalam rangkaian yang ditunjukkan pada

Gambar 11, bila ω = 5 rad/s.

Gambar 11: Lihat Latihan Soal 2.



?+~-

~

+

−

− +− +

V2V3

V1

AA

25 μF1 mH V+

−

VS

6 Ω

Documents

Konsep fasor