Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der ...rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Amstetten_15/Dorner... · Erklärung bei der standardisierten Reifeprüfung vorkommen.“

Kontexte aus den

Wirtschaftswissenschaften

bei der Zentralmatura AHS

Bundesseminar Amstetten: 24. Februar 2015

Christian Dorner & Stefan Götz

Fakultät für Mathematik

http://de.disney.wikia.com/wiki/Datei:Dagobert-duck.jpg

https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf

Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 2 Kleine Zeitung online vom 18.12.2014

Was sind Typ-2-Aufgaben?

Typ-2-Aufgaben sind Aufgaben zur Anwendung und

Vernetzung der Grundkompetenzen in definierten Kontexten

und Anwendungsbereichen. Dabei handelt es sich um

umfangreichere kontextbezogene oder auch

innermathematische Aufgabenstellungen, im Rahmen derer

unterschiedliche Fragestellungen bearbeitet werden müssen

und bei deren Lösung operativen Fertigkeiten gegebenenfalls

größere Bedeutung zukommt. Eine selbstständige

Anwendung von Wissen und Fertigkeiten ist erforderlich.

(Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 23, Hervorhebungen C. D. & S. G.)

Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 3

Kontexte bei Typ-2-Aufgaben

Finanzmathematische Grundlagen:

• Zinseszinsrechnung: 𝐾𝑛 = 𝐾0 ∙ 1 + 𝑖 𝑛 mit 𝑖 =𝑝

100

• Kosten-Preis-Theorie:


(Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 21 f.)

„Die nachfolgend angeführten Kontexte können jedenfalls ohne detaillierte

Erklärung bei der standardisierten Reifeprüfung vorkommen.“ (Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 19, Hervorhebungen C. D. & S. G.)

Erlös(-funktion) Grenzerlös

Kosten(-funktion) Grenzkosten

Gewinn(-funktion) Grenzgewinn

Nachfragepreis(-funktion) Break-even-Point

Kosten-Preis-Theorie


• Erlös- oder Ertragsfunktion … in der Form einer linearen Darstellung:

𝐸 = 𝑝 ∙ 𝑥 mit 𝑝 … Preis pro Stück und 𝑥 … Menge der verkauften Ware

• Kostenfunktion … in Form einer proportionalen, degressiven,

progressiven, regressiven und fixen Darstellung:

𝐾 𝑥 = 𝐾𝑓 + 𝐾𝑣(𝑥),

wobei 𝐾𝑓 die Fixkosten und 𝐾𝑣 die variablen Kosten sind

• Gewinn(-funktion) … als Erlös – Kosten

𝐺 = 𝐸 − 𝐾

• Nachfragepreis(-funktion) … lineare Funktion

𝑝 = 𝑝(𝑥) oder 𝑥 = 𝑥(𝑝)

Erlösfunktion oder Ertragsfunktion


Achtung: p = p(x) kann passieren!!!

Kostenfunktion linear


Kostenfunktionen sind immer

(streng) monoton steigend!

Kostenfunktion degressiv


Mit steigender Produktion werden die

Kosten pro Stück geringer!

Steigung wird geringer –

Krümmung ist negativ

Kostenfunktion mit Kostenkehre


Kostenkehre

Wendepunkt

Modellschularbeit Mathematik (AHS) – Dezember 2014: Aufgabe 6


Achtung: Kontexte auch bei Typ-I-Aufgaben möglich!

https://www.bifie.at/node/2744

Gewinnfunktion


Nachfragepreisfunktion


Geringer Preis große Nachfrage große Produktionsmenge

Hoher Preis geringe Nachfrage geringe Produktionsmenge

Nachfragepreisfunktion ist immer streng monoton fallend.


Weitere Begrifflichkeiten:

• Break-even-Point: Nullstellen der Gewinnfunktion

𝐺 = 𝐸 − 𝐾

• Grenzkosten: Es handelt sich hierbei um Kosten,

die entstehen, wenn von einem Produkt eine Einheit

mehr produziert wird. Das ist also die erste

Ableitung 𝐾′ der Kostenfunktion.

• Grenzerlös 𝐸′: analog zu den Grenzkosten 𝐾′

• Grenzgewinn 𝐺′: analog zu den Grenzkosten 𝐾′

Break-even-Point

„Die Schnittpunkte der Graphen von Kosten- und Erlösfunktion

an den Gewinngrenzen heißen Break-even-Punkte (BEP).“ (S. 69)

„Als Gewinnschwellen (BEP … Break Even Point) bezeichnet

man die Nullstellen der Gewinnfunktion G = E - K; …“ (S. 230)


Malle

Götz

Haupttermin 2013/14: Typ-2-Aufgabe „Grenzkosten“




Ein Beispiel: Ein Unternehmen arbeitet mit Kosten

𝐾 𝑥 = 0,1𝑥2 + 0,1x + 2

und dem Preis-Absatz-Zusammenhang

10𝑝 + 2,8𝑥 = 32,

dabei ist 𝑥 die Absatzmenge und 𝑝 der (Stück-)Preis:

𝑥 in Mengeneinheiten ME,

𝑝 in Geldeinheiten GE

(1) Gewinn- und Verlustbereich


Ges.: die Nullstellen der Gewinnfunktion 𝐺 = 𝐸 − 𝐾, dazu:

𝐸 = 𝑝 ∙ 𝑥 =32 − 2,8𝑥

10∙ 𝑥 = 3,2𝑥 − 0,28𝑥2 = 𝐸 𝑥

ist die Erlös- oder Umsatzfunktion (nicht mehr linear!)→

𝐺(𝑥) = 3,2𝑥 − 0,28𝑥2 − 0,1𝑥2 − 0,1𝑥 − 2 = −0,38𝑥2 + 3,1𝑥 − 2:

𝐺 𝑥 = 0 ↔ 0,38𝑥2 − 3,1𝑥 + 2 = 0

𝑥1 = 0,7 und 𝑥2 = 7,45

→ Gewinnbereich 𝟎, 𝟕; 𝟕, 𝟒𝟓 ME

→ Verlustbereich ℝ\ 𝟎, 𝟕; 𝟕, 𝟒𝟓 ME

(2) Maximaler Gewinn bei welcher Absatzmenge zu

welchem Preis?


Dazu: Grenzgewinn

𝐺′ 𝑥 = −0,76𝑥 + 3,1

gleich Null setzen:

0,76𝑥 = 3,1 → 𝑥 = 𝟒, 𝟏 ME

und daraus

𝐺 4,1 = 𝟒, 𝟑𝟐 GE und 𝑝 =1

1032 − 2,8 ∙ 4,1 = 𝟐, 𝟎𝟔 GE

(3) Bedeutet maximaler Gewinn auch maximalen

Umsatz? Wie groß ist der Gewinn bei maximalem Erlös?


Grenzerlös

𝐸′ 𝑥 = 3,2 − 0,56𝑥

gleich Null setzen:

3,2 = 0,56𝑥 → 𝑥 =3,2

0,56= 𝟓, 𝟕 ME

→ NEIN!

𝐺 5,7 = 𝟑, 𝟑𝟏 GE

(4) Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Erlösfunktion?


𝒙𝟏 = 𝟎 ME: 𝑝1 = 𝑝(0) = 3,2 GE,

der sogenannte Prohibitivpreis:

Das ist der höchstmögliche

Stückpreis für dieses Gut.

Für höhere Preise besteht

keine Nachfrage mehr.

𝒙𝟐 = 𝒙(𝟎) =𝟑, 𝟐

𝟎, 𝟐𝟖= 𝟏𝟏, 𝟒𝟑 ME

bedeutet 𝑝2 = 0 GE,

das heißt 𝑥2 ist die sogenannte

Sättigungsmenge, die größtmögliche

Verkaufsmenge.

• 𝐸 𝑥 = 𝑝(𝑥) ∙ 𝑥 und

• 𝑝(𝑥) ist eine lineare Funktion von x,

𝑥 𝑝 ist die Umkehrfunktion.

Exkurs - nochmals Haupttermin 2013/14: „Grenzkosten“


Nicht im Kontextkatalog erwähnte Begriffe

müssen in der Aufgabenstellung erklärt werden!


(5) Stückkostenfunktion k


𝑘 𝑥 = 0,1𝑥 + 0,1 +2

𝑥

𝑘′ 𝑥 = 0,1 −2

𝑥2

und Nullsetzen liefert

0,1=2

𝑥2 bzw. 𝑥2 = 20,

was 𝑥𝑜𝑝𝑡 = 𝟒, 𝟒𝟕 ME

zur Folge hat.

𝑘 𝑥𝑜𝑝𝑡 = 𝟎, 𝟗𝟗 GE

Die Herstellungsmenge 𝑥𝑜𝑝𝑡, bei der mit geringsten Stückkosten produziert

wird, heißt Betriebsoptimum.

Der kleinstmögliche Preis, mit dem gerade noch

kostendeckend produziert werden kann, ist dann

also 𝑘 𝑥𝑜𝑝𝑡 .

Quelle:


Götz, S. und Reichel, H-C.: Mathematik 8 von R. Müller und G. Hanisch.

Unter Mitarbeit von C. Wenzel. Mit einer online-Ergänzung von H.-S. Siller

und R. Müller. öbv, Wien 2013.

Kapitel III.3

Anwendungen von Analysis auf Fragestellungen in der Wirtschaft,

S. 229 – 232: Aufgabe 979.

Spiralprinzip


7. Klasse:

• Diskussion von Polynomfunktionen im

wirtschaftsmathematischen Kontext

• Optimierung (Extremwertaufgaben)

8. Klasse: Rekonstruktion der Kostenfunktion aus den

Grenzkosten

5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen

Kosten-Preis-Theorie





8. Klasse: Rekonstruktion der Kostenfunktion

Kapitel 4

Anwendungen in der Wirtschaft,

S. 62 – 75.


Malle, G., Woschitz, H., Koth, M. u. Salzger, B.:

Mathematik verstehen 8. öbv, Wien 2012.

Spiralprinzip


8. Klasse: Dynamische Systeme (Tilgungsplan)

6. Klasse:

• geometrische Folgen und Reihen

• stetige Verzinsung

Zinseszinsrechnung

3. Klasse:

• lineare Verzinsung

• Zinseszinsen

8. Klasse: Dynamische Systeme (Tilgungsplan)

Kapitel 1.1

Differenzengleichung erster Ordnung mit einer Variablen,

S. 8 – 17: Aufgabe 40.


Götz, S. und Reichel, H-C.: Mathematik 8 von R. Müller und G. Hanisch.

Unter Mitarbeit von C. Wenzel. Mit einer online-Ergänzung von H.-S. Siller

und R. Müller. öbv, Wien 2013.

𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 ∙ 𝟏, 𝟎𝟓 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝒙𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎


Reflexion

Kennen der einschlägigen Begriffe und ihrer (jeweiligen)

Bedeutungen

Wiedererkennen im Kontext und verständiges Anwenden

Wissen um Zusammenhänge

Interpretieren der Ergebnisse im Kontext


http://musenblaetter.de/artikel.php?aid=9128

„Die Bibel“

Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. Inhaltliche

und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer

Grundkompetenzen. (Stand: März 2013). Projektteam: V. Aue, M.

Frebort, M. Hohenwarter, M. Liebscher, E. Sattlberger, I. Schirmer, H.-S.

Siller (Leitung), G. Vormayr, M. Weiß, E. Willau.






Documents

Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der ...rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Amstetten_15/Dorner... · Erklärung bei der standardisierten Reifeprüfung vorkommen.“