7/24/2019 konus fgerg

1/4

EAETFUCG

Konusne povri: dva zadatka

April 2013.

1. ZADATAK Sferax2 + y2 + z2 = 9je osvijetljena svjetlou iji se izvor

nalazi u taki M(5, 0, 0). Nai oblik sjenke u ravni yOz.Rjeenje:Zraci koji tangiraju sferu obrazuju neku konusnu povr. Ti zraci pred-

stavljaju generatrise konusne povri, a presjek povri i ravni yOz je traenasjenka.

Neka jel proizvoljan zrak koji tangira datu sferu, i neka je #s = (m,n,p)njegov vektor pravca. Kako zrak l prolazi kroz taku M(5, 0, 0) njegova

jednaina glasi:

l: x 5

m =

y

n=

z

p,

odnosno u parametarskom obliku:

l:

x= 5 +mt

y= nt

z= pt

.

Taka presjeka zrakal i sfere zadovoljava i jednainu prave i jednainu sfere,pa mora vaiti jednakost:

(5 +mt)2 + (nt)2 + (pt)2 = 9.

Poslije neto sreivanja gornja jednakost glasi:

t2(m2 +n2 +p2) + 10mt+ 16 = 0.

Svako rjeenje gornje jednaine daje jednu presjenu taku sfere i zraka l.Kako zrakltangira sferu to gornja jednaina mora imati jedinstveno rjeenje.

7/24/2019 konus fgerg

2/4

Dakle, mora vaitiD = 0, odnosno: (10m)24 (m2+n2+p2) 6 = 0. Poslijejednostavnog sreivanja ove jednaine zakljuujemo da koordinate vektora

#

szadovoljavaju jednakost:

9m2 16n2 16p2 = 0. (1)S druge strane, ako jeA(x,y,z)proizvoljna taka konusne povri moemo

uzeti #s =#

MA, odnosno:

(m,n,p) = (x 5, y , z ).Uvrtavajui ovo u jednainu (1) dobijamo jednainu konusne povri:

9(x 5)2 16y2 16z2 = 0.Konano, jednaina (ruba) sjenke u ravni yOz: x= 0glasi:

9(x 5)2 16y2 16z2 = 0x= 0

2. ZADATAK Odrediti jednainu konusne povri koja je opisana okosfera: S1: x

2 +y2 +z2 1 = 0 i S2: x2 +y2 +z2 4x= 0.Rjeenje:

Poslije jednostavnih transformacija jednaine datih sfera se mogu zapisati

u obliku: S1: x2+y2+z2 = 1iS2: (x2)2+y2+z2 = 4odakle zakljuujemoda su im centri u takamaC1(0, 0, 0)iC2(2, 0, 0)redom i da su im poluprenicir1= 1 i r2= 2redom.

Prmijetimo da centar druge sfere pripada prvoj: C2 S1. Jasno je dacentar traene konusne povri pripada pravoj odreenoj centrima. Lako seprovjerava da je ta prava upravo Ox osa, pa, imajui u vidu poloaj sfera,zakljuujemo da vrh konusne povri S ima koordinate (a, 0, 0) za nekoa >0.

Neka jel proizvoljna direktrisa traene konusne povri koja dodiruje sfereu takamaA1iA2redom, augao koji ta direktrisa zaklapa sa osom konusne

povri tj. Ox osom (vidi sliku).Uglovi C1A1S i C2A2Ssu pravi, pa su trougloviC1A1S iC2A2Sslini. Dakle, vai jednakost:

SC1C1A1

= SC2C2A2

.

2

7/24/2019 konus fgerg

3/4

C1 C2

S1S2

A1

A2

l

OxS

Primijetimo da je SC1 = a, SC2 = a+ 2, C1A1 = r1 = 1 i C2A2 = r2 = 2,pa gornju jednakost moemo zapisati u obliku:

a

1=

a+ 2

2 ,

odakle zakljuujemo: a = 2. Dakle, koordinate take S su (2, 0, 0) i vaiSC1= 2 i S C2= 4.

Primjenjujui definiciju sinusa na trougaoC1A1S dobijamo da vai:sin = C1A1/SC1= 1/2, pa zakljuujemo da je =

6.

Kada su nam poznati vektor pravca ose #s i tjeme S konusne povri iugao izmeu generatrise i ose konusne povri jednainu te konusne povrimoemo odrediti na sljedei nain:

Ako je M(x,y,z) proizvoljna taka konusne povri vai:

cos =#s #SM

| #s | | #SM|.

3

7/24/2019 konus fgerg

4/4

U naem sluaju je #s =#

i = (1, 0, 0), a#

SM = (x+ 2, y , z ), pa uvrta-

vanjem poznatih vrijednosti gornja jednakost postaje:

3

2 =

1 (x+ 2) + 0 y+ 0 z1

(x+ 2)2 +y2 +z2.

Jednostavnim transformacijama posljednje jednakosti dobijamo da je jed-naina traene konusne povri:

(x+ 2)2 = 3y2 + 3z2.

4