Kosta Došen - Osnovna logika

7/22/2019 Kosta Doen - Osnovna logika

1/115


2/115

2


3/115

3

. . . .

XIX , XX , . . -. , -, .

, , -, -. , , , , ,.

. , -.

. . , -(). , .

. . (

.) , . .

, . -. -, , , , .

-, . (, -


4/115

4

, 1.13,

1.14, 1.15 -1.19.) . (-1.16 -2.7.) , , .

, -, .

. -, , , .

, -, , ., , - . , -, , (-2.13 2.14), .

. , , . -. . , -, -, .

,, -, .

, 2013.


5/115

5

3

5

0.

0.1. 70.2. XIX 80.3. 110.4. 14

1. 1.1. 171.2. 191.3. 211.4. 231.5. 251.6. 281.7. 291.8. - 331.9. 351.10. 381.11. 411.12. 441.13. 451.14. 481.15. 501.16. 531.17. 571.18. 591.19. 63

2.

2.1. 672.2. 692.3. 712.4. 742.5. 762.6. 772.7. 792.8. 822.9. 852.10. 87


6/115

6

2.11. 89

2.12. 922.13. 942.14. 962.15. 98

103

110

111


7/115

7

0.

0.1.

, . , , , ... , , . , . , ,

.aj . -, . .

, , , , , ,, . , , , , , , , .

, -, , . , , , , , -. , -. . , - . (2.15.)

, - . , . .

, . -, . . , e- , XIX


8/115

8

(variste Galois), e . (

.) . , - , , ,. . XX -. , -, . .

, , ,

. , . .

. XX , , , . , , . ., .

, . (. 2.15), - . , , , , . (, ; . 2.15.)

0.2. XIX

. , (), , , ,. .

, -, , (), XIX . . ,


9/115

9

XVII ,

. ,

. , , , . -, . , . (, , 0.1, .) pq,

p, q p q. ( 1.5.)

, , , , . -, , , . , . . , . , -. -, . , , .

, . , , -.

. -

a, trivium(-, , ). quadrivium, -, , , , -, . . -.

XVII , ,


10/115

10

, . , -

, . , .o -, .

:

, . XX , , . , , , -, , , - . , , -, , .

, . , -, -.

XVII XVIII(Gottfried Wilhelm Leibniz), XX , - . , - .

,. , -. , , 0 1, -.


11/115

11

0.3.

XIX , XIX . , , (Gottlob Frege), (George Boole). , -. , . 0.1, , , , . . (-, 1.9.) ,, . XX , , .

, , , ,

. , , (1.7 2.5). -. . . , , . , , 0.2, , XIX , , , .

.. , , , 0.1, . . , - , , ..

, . , ,


12/115

12

, , , .

(,) . ( , 0.2.)

-, , . , , -, , , -, , . , , , . (

1.8.)- , XIX (Georg Cantor). -, , -, . ( 0, 1, 2, 3,...), . (Bertrand Russell), , -.

( XX , ). : , . , , .

XX (David Hilbert) (Paul Bernays) . (Kurt Gdel), - (. 2.11). (1.19). , , .

(2.7.) .

. , , - (. 2.13). . , (Gerhard Gentzen)


13/115

13

,

.-

. , . (0.4 1.18.) , , , . (25 ., , .)

XX , -, . . , ( 0.2; 1.18), .

, , -. , , . , , . -, .

XX , . , . ,. -, , , ,. (Alan Turing.) .

, , , . . 3, -. -; 3, 6 9, . ,


14/115

14

. , -

., XX

. , -. . , -, XX . XX -, , (. 2.15).

0.4.

, ,, . , , , . . , ( 1.18 2.12) .

, ,. , , , , . , .

:

(a) 25. ,

(b)

, 25. . . a

25. ,

b

25. .

. -


15/115

15

, , , , , -

. 25. . 25. , . 14. . .

. , , , , (), . -?

? , -. . , .

. :

(c) , ,

(p) 25.

(q) 25. .

, 0.1, . 25. . c, , . pq.

, , , . -c:

(d) p, q.

dpq. pq. .

p, q pq-25. , 25.


16/115

16

, p,

q p q . , , . , , .

d ,:

p, q pq.

modus ponens, . , , , . , , , , .

, . , , , . +xy, x+y y+x. , ,

pq. , xy ( - ). p q , 1.1.


17/115

17

1.

1.1.

, , . , . (, , , .)

,

. -, . , . , .

, , . , , . . , , , . . , . .

, ( ). , , (. 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.19 2.11). ,

. , ,. , , ,.

, . XIX , . .


18/115


19/115

19

1.2.

, . , , . . , . , , , , ,.... , , . , -, . ( .)

., , , . , , , , . ( , , , , -.)

.

, , (1.9). . - . . , , .

, , , ; 2-(). -

, . -. -, , - .

, , , () , . , , , - . , .


20/115


21/115

21

1.3.

. . , , . -, , , , , , (. 2.12). a+bab, .

, . , ; , , , . . ; , , .

. , -; . -,

, . , -.

, , -, , . -, .

,

, , , , , , , , , , , , ,, , , , , , . -, -, .

-.

1.2 , . -? . . -


22/115

22

, , .

, . , . . 2+2 = 4 2+2 = 5.

1, 0. -; 1, 0; .

T(), (). .

-? . -

, . . -. . . 1 0, 0 - 1.

-. , , 1, , , 0. . , . p ( ) (), p

p (), :

p Ip p Tp p

1 1 0 1 00 0 1 1 0

I, , T

, . I, T

. TpT,

p. ( ,


23/115

23

, ~).

:

p

0 11 0

.-, -

, .

, .

1.4.

pq, , , . (&.) -:

p q

1 1 11 0 00 0 10 0 0

. pqpq-

1, p 1 q0, . . pq.

, . :


24/115

24

p q

1 1 11 1 00 1 10 0 0

, ; , , . , . -

.. , , ; . , ? . ? . . , , , :

p q

1 0 11 1 00 1 10 0 0

pqpq-; .

. , . , . (.) /, .

.( / .) , . . -


25/115


26/115

26

p q

1 1 11 0 00 1 10 1 0

-. (.) , pq pq, :

p q

0 1 1 10 1 0 01 0 1 11 0 1 0

, -pq. . -. , , . , ? , , - , .

. , ,

, . , ,. . -.

. -, --. -


27/115


28/115

28

pq p q

; . , pq(pq).

1.6.

-? , pq,ppqp, pqqq.

I 1.3. T pTq

T, . 1.

TT1.3.ppq-

p, pqqqpTqT.

-:

pq 1110 T 1111

p 1100 q 1010 qp 1101 pq 1011

pq 1000 pq 1001

-; .

qppq , . , . qp, pq, pq, pq pq, p, q.

pq qp. (pq)(qp) (qp)(pq) 1001.

1 0,


29/115

29

1.

, -, . -, . (pq), p, q(pq),

, (pq), (qp), (pq) T,

. (pq) pq, ,

T. (pq) __ __, pqpq(. 1.15).

.

. , .

. .

- 16, 2k jek= 22= 4. 4, 2kje k= 21= 2, 2, 2kje k= 20= 1, a n-2kje k= 2n. n, 2k. -, n= 3,

256; n= 4 65536, n= 5 4 , n= 6 264, 18 , . 18 18 .

264. -, , , , -, . 2641,.

1.7.

, , . , , . , , . -. -, -.


30/115


31/115

31

, . -

. , .-

. -, , -, . -.

(. 0.4)

. , -.

. , . , , . .

, ,:

.

, , n1 :

n-n.

. -n-, n1, n.

.

n- p1,...,pn, , p1...pn, . p1,...,pn. ( p1...pn, pn...p1, .) n= 2,

p1p2(p1p2), .


32/115

32

. (1.5.)

((p1p2)p3) (p1(p2p3)); p1p2p3 . p1p2, ( ), .

p1p2p3 p1p2p3. , .

. ,

, . T, , , , , . ,

, p1p2, (p1p2).

. n= 0.

p, qr, p, q,r, , q,

(pq), (q), (q), ((q)r), ((pq)((q)r)). . , .

pq, q, (q)r(pq)((q)r),(q) . pq, -1.4, 1.5. 1.6, . 1.6, , .

. 1 0 , 1, +

2. . (p+q)((q+)+r).

. 18 . , .

. ,


33/115

33

. , ,

, . , , . , , , , XX ,(. 2.15).

. (. 0.3). .

. , . , , . , . ( , .) xy . (x+y)(x+z). -(2+3)(2+7), (2+3)(2+3), (7+3)(7+7), ((x2)+(3+z))((x2)+u). (2+3)(17+z), ((u2)+3)(x+3), x, , .

-, . . -, ; , , . -. (pq)(pr) -, , ( -) ( ), . , , ( 1.2 , ;

).

1.8. -

, . -, , . . -, -, n- , n- ,...


34/115


35/115


36/115


37/115

37

q

|

\ /|

p q r\ / \ /

\ /

-. , .

. n-p1,...,pn , np1,...,pnn.

, -, . -, -. -, , ,.

J. , , ., , , .

. , , .

- . , , , , (wiewirka), , . , , , .


38/115


39/115


40/115

40

?

? , , , . pq1 p1 q1. 1 1. , , . (.)

, -, , , -.

, . - . -. , . 1 0. , . -, -, --.

, .:

pqpq;

pqp;

pqq.

pq. (2.2). ,


41/115


42/115

42

,

.), pq:

(pq)(pq)

0 1 1 1 1 0 1 0 0 10 1 1 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 1 1 0 0 0 11 0 0 0 1 1 0 1 1 0

. ;

., p,qr:

((pq)r)((pr)(qr))

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 00 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 10 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

. -.

n0, n2n. ,21, 2, 22,4, 23, 8. 0 20, 1; , T1,

0. T.2n, n, (. 1.6).

64 , 60 - 18 . - (. 0.3), , .


43/115


44/115


45/115

45

C

(pq)p, .pp, ,

. :

: pp.

(.1.1). . , . . , .

. , (. 1.17 2.11), -.

. , - . , -.

, . C.-. .

, , , --. , .

1.13.

1.11 . , . , , . -, , .


46/115


47/115


48/115

48

, -

, . .

((pq)p)p . , (Charles Sanders Peirce).

1.14.

.

. (. 1.12) . , . , . . -. . - (. 1.5 1.15), . ,, . , , .

, , :

: ((pq)r)(p(qr)), ((pq)r)(p(qr)),: (pq)(qp), (pq)(qp),: (pp)p, (pp)p,

: (pT)p, (p)p,

: (p(pq))p, (p(pq))p,

: (p(qr))((pq)(pr)), (p(qr))((pq)(pr)),

(p), (pT)T,

: (pq)(pq), (pq)(pq),

T, T.


49/115


50/115

50

. AB, AB. -

ABAB- . AB

ABpp. , -

, , T-, AB-.

T, , -

, . .

, , . (1.4.)

1.11. . , (. 1.10) .

1.15.

, . . , , , .

:

(pq)(pq),(pq)(pq),

(pq)(pq),(pq)(pq),(pq)((pq)q),


51/115


52/115


53/115


54/115

54

,

. -1.19. -, . -.

, . , .

(pq)((pr)q) -

, ; -, .

: , . (. 1.15).

. . .

. ((pq)((pr)q))q.

- . , , . , , . , (. 1.9) , ; , -

. , .

. , , . , -, , , , .


55/115

55

-

., -

(1.14), ,. n--, n1. n= 1, , , I (. 1.3). , n- m- m1, m. m-

, . n-m-, .

, -.

. .

, . . . . (pq)q, :

(pq)q

1 1 1 1 11 0 0 1 00 1 1 1 1

0 1 0 0 0

1. , -(pq)q. p1 q 1, pq, -pq1. p-1 q0, pq, -pq1. , p0 q1, pq,


56/115

56

p q 1.

((pq)(pq))(pq), . 1 1. -(pq)q.

, . . (pq)q pq,

. -.

, . -, -- (. 1.14). , .((pq)q), :

((pq)q)

0 1 1 1 1 10 1 0 0 1 00 0 1 1 1 11 0 1 0 0 0

0. ,((pq)q). p1 q 1, pq, pq0. p1 q0, pq,pq0. , p0 q 1, pq, p q 0. ((pq)(pq))(pq), .0 0. ((pq)q).


57/115

57

, (pq)q

pq, . ((pq)q) pq, -.

, , , , , , . - ,

.

, . , 1.19.

1.17.

. , , -, . ,

, ,? , , .

(. 2.11) ( 2.13 2.14). , -.

. .

. . , ,.

. . , .


58/115


59/115

59

(. 1.13).

:

p((qp)p) (p((qp)p))((p(qp))(pp))\ /

p(qp) (p(qp))(pp)\ /pp

, (q- qp, . (qp), ). (qqp, rp). pp.

, -, . --(. 2.11).

1.18 , .

1.18.-

. (.) .

. , :

.

(1.14.) .

:

.


60/115

60

(pq)(qp),

. :(pq)(qp), (pq)(qp) (pq)(qp), . ( ; .1.15.)

-:

,

(pq)((qr)(pr)).:

;

;

.

, p(q(pq)), (pq)p(pq)q, 1.10, . -

, . , .?

. -, , . , , . -, .

. . , . , .:

, .


61/115


62/115

62

, , ,

, , .

. .

, - . , -, - .

:,

. -, , .

. -.

() , ,

1.17, , -:

, .

:

, .

, , . -.

-, . , -, , . , . . ((pq)p)p.

-, . , -


63/115


64/115

64

, .

, . .

. : , .

, , . , , , , , . , , . -, (. 1.18). , , (. 1.18) , , . .

. , . 1.17.

. -. -. , - 1.14, -

. .

- (. 1.16) . -1.18.

--, 1.11. ,


65/115

65

, -

. , .

-, , -. C , C. - CC. , , ,

, . -. C-. (. 1.12) -1.14, , -, , . , (1.12,). C, , .

, , 1.16 . . , . - , -

1.18 ,1.14. , -. , 1.14, .

. , ,


66/115

66

, 0.3, -

(Emil Post). , , . , , , -.

. , . ,

. .


67/115


68/115

68

.

, , . -

. . a, . -, . .

.

, ; -. ,

. -. (, , .) , .

. . ( .) . , . . .

3 > 2, . 3, , -2? > 2 , 3 > ?

, ,

, . (1.2), . .

. . , , -


69/115


70/115


71/115


72/115


73/115


74/115


75/115

75

, ,

. . , , x, ( 2.1).

xxxx, . -, .

, , xx . . -

, -, .

, , , , . , , . .

, , , ., , , . , , . , -. xx.

, . , , , ,. , -

, .xx

, . (() x, , (x) (x).) -, . x xxxx. -xxx. -


76/115

76

xxxx, -

.

. -.

-. .

2.5. , ,

, . , , . .

, - -. ,. (. 2.12); -.

t1...tn, - , t1,...,tn . n1, .

Mn= 0. t1...tn, . , .

, . , =. -t1=t2=t1...t2. ; , . = ,


77/115


78/115


79/115


80/115

80

. ., , .

, . t1...tnt1,...,tn -.

, t1...tn, .t1,...,tn

. . t1,...,tn.

, , , . , -, . -xx. .

x , x .

x, , . x. x-, x.

x, x . x, , x.

xx. -v. v-


81/115


82/115


83/115


84/115

84

xyyx, xyyx,

x()(xx), x()(xx),(xx)x(), x()(xx),

x()(xx),x()(xx),

xyyx.

-, ;

. -(. 1.14). , -, .

(. 1.14). ( xx, -1.18, , .)

(. 1.18) (. 1.12). , - . -1.15.

, , -

. . .

.

- . . - ,


85/115


86/115

86

. , (xg)x,

x(Gxx), .,

. . (.) -. . , , . -(. 1.18)

(x()x())x(),

- ( 2.8) ((pq)(qr))(pr).

, -2.8, -:

(xRt)(xRt), (xRt)(xRt).

. -:

x(xRt) x(xRt), xx, x(xRt), (pq)(pq) ,

. xx , (xRt)(xRt)

. ... -, . -, ; . - . x(xx) . xx, . -


87/115

87

. x(xx),

, , xPx , . x(xx)x(xx) .

, x(xx)x(xx) . ,xx. , .

. -

(. 2.7), - -.

h, . . h, . , . . (,b) b. (xh)Pxx(xx), ., , . x(xhPx), xhPx,. (xh)Px, . x(xhPx), x(xx) , , xhPx, . (xh)Px(xh)Px , .

2.10. = -

, , . -=-, , .


88/115


89/115

89

t=s(ts),

t=s(xtxs) .

(ts)t=s ( ts, ). , , , ,

(ts)t=s.

(ts) t=tt=s, t=t t=s. ((tt)t=t, ,

(tt) t=t.)

t=s(ts)

(0.2).

x(x, x ). !x, x. !x

x((x=x)).

2.11.

1.17, , qr. , . ,

:

xxt,xtx,

t=t,t=s(xt

xs).

, , xt(x=t)

xt(x=t). (


90/115


91/115


92/115

92

2.12..

, -, .

fXYXYXbY(a,b) f. ()(!Y)(,)f, .

(!(Y(,)f)),

!2.10.f, (,b)f ( fb, fb),

f() = b. f() = b b f , f b. .

.

. . - , n-n--. -.

. XX, 0, -X(X2.2 2.3). -X+1, (+1)--X.

X0{} (. 2.3), , {}, . . , .

- (, , ; ). {} -(. 1.10).


93/115

93

-

. . -, , , + ., , , -. .

, , . . , -

. . ((x2)+(3+z))((x2)+). -, (- ). : 0, 0+1, (0+1)+1, ((0+1)+1)+1 .

1.10 {1,0} 1 {}, 0 . -{1,0}.

, , -. . , , , (. 2.2).

pq p q , , :

pqp;

pqq,

1pqp2pqq. (,b) pq1, 2

b.

pqpq

, pbq(,b) pq. (frpgrqf,grpqrf,g() = (f(),g()).)


94/115

94

2.13.

. 0, -, s, - , . +1, + , . . : 0,s0,ss0,sss0, .

-(. 2.11) :

x(s=s=),x0=s,

xx+0=x,xx+s=s(x+),

z1...zn((x

0x(xs))x),

x, z1,...,zn . 0; = 0, z1...zn. -.

( =s=s; . 1.18). (x 0=s).

. , , , , , , -

., -

. - , (. 1.7). , z1...zn,

x0

, , x(xs) , , , , x-.


95/115


96/115


97/115

97

z1...znyx(),

xy(z(zz)=),

x, z1,..., zn . -2.13, .

y. , {x:A},

{xA}, ( ). .

, . , {x:A}., . {x:A}. z1...zn, x({x:A}).

. . ,{x:} = , . -2.3.

. , y , . {x:}. x(), . pp , (pp) , (). .

- (0.3). ,

, , . -. , , .

. -- ZF (Ernst Zermelo Abraham Fraenkel).

, .


98/115


99/115

99

, , , -

, (. 1.10).

, , ,, -, . . XX , .. (-.)

, . -0.1. . , . -, -, .

, , -(. 0.2), -, , , (Noam Chomsky). , . , , . -, .

, . . , ,, , , (. 1.17).

, - . , , -(. 1.18).

0.1 , . ( 0.2). ,


100/115

100

. , .

. ( .), , , . , . () .

. , -, , .

. (Georg Wilhelm Friedrich Hegel), , XIX ., , , -. (p)q(-), , . , . XIX , , , .

. , -. -. -, . -

.,

. , -. (.) , . ,


101/115

101

, . (

.)

. , , . - . , (. 2.3) . -, .1.10 2.12, -

. . - . , .

. , . , , , 2.14. .


102/115

102


103/115

103

0.4.

1. , , , , , , .

2. , - ?

3. , , ?

1.1.

1. : , ,, , , , - , , , , , -, , , , , , -, , , - , , ,, , -, , , , 2+24,, ?

2. , .

3. .

1.2.

1. ?2. ?

1.3.

1. -: ,, , , , ,, , ?

1.4.

1. ? ?


104/115

104

1.5.

1. pqp, qq, p?

2. , :

(*) A, .

: , , 2 3. (*)? 2?

3. .

. :

(1) A ,;

(2) ;

(3) , .

. -

.4. ?

5. pqq p?

1.6.

1. .

2. .

3. . (.)

1.7.

1. , , . , , -. ? ?


105/115

105

2. : ((pq)), ()pq(), (p)(q),

(p)(q)),pq,p()q, ((((pq)(pq))((pq)(pq)))(pq))?3.

? , ?4.

18 ?5. :

, .

1.8. -

1. -

?1.9.

1. . . . , p, ((p)p)p (p(qr))((pq)(pr)).

2. , , ? ?

3. . 18 -? , ( )? ( 4 1.7.)

1.10.

1. 1?2. 1?3. 1?4. ,

. (1 {} {} {} {}, {} -, .)

1.11.

1. ?

2. -?


106/115

106

3. -

?4. ?5. -

?6. -

?7. -

?8. -

?

1.12.

1. :((pp)p)p, ((pq)p)p,pp,pp?

1.13.

1. ((pq)p)p.

2. 1.14, 1.15 1.17.

3. (pq)((pq)p) (qp)((pq)p) .

4. (pq)(qp), (pq)(qp),(pq)(qp) (pq)((qr)(pr)) .

5. -. , , , ?

1.14.

1.

: (pq)(pq), (pp)T, (pp)?2.

A, A, B : AB, ( 3 1.13).

pT(pq)p.


107/115

107

1.15.

1. , ,

__, __;__ T.2. ((pq)r)((pr)(qr))

(pq)(pq)?3. ((pq)r)((pr)(qr)) ?

?

1.16.

1. -

: (pr)(qr), (pq)r,((pr)(qr)),pq, (pq),pp, (pp).

1.18.

1. : (pq)(pq),(pq)(qp), ((pq)(pq))(pq)?

2. , ?

3. (p(qr))((pq)r)?

4. p(pq), q(pq) ((pq)((pr)(qr)))r . ( , (pr)((qr)((pq)r)) ((pr)(qr))((pq)r), -: pqr, pq, r.)

1.19.

1. , ,

1.14.2. , (. 8 1.11).

2.1.

1. , ?


108/115

108

2.8.

1. :

x()(xx),(xx)x(),(xx)x(),(xx)x().

.2. , ? ,

?

2.9.

1. (2.8) ((pq)(qr))(pr) (x()x())x().

2. (xRt)(xRt) (xRt)(xRt).

2.10.

1. , ?

2.yu(((xyx

u)y=u)z(xz(z=yz=u))?

3. ?

2.11.

1. xt(x=t)x

t(x=t). (-.)

2.14.

1.. a . , , . .??


109/115

109

2. . ,

0, 1, 2, 3, ..., nn: m> n, m. ?


110/115

110

:

S.C. Kleene, Mathematical Logic, Wiley, New York, 1967 (reprint, Dover, NewYork, 2002); : .. , , , ,1973.

:

G.S. Boolos, J.P. Burgess and R.C. Jeffrey, Computability and Logic, fifth edition,Cambridge University Press, 2007; : . ., ,,, 1994.

:. . , ,

, , 1982 (, ,, 2011).

-:

. , , , , ,2009 ().

:

. . , , , , 2009.

:

. , . . , ,, , 1986.

(elibrary.matf.bg.ac.rs, www.mi.sanu.ac.rs/~kosta/publications.htm) , , , -. (;.) -(Stanford Encyclopedia of Philosophy), .


111/115


112/115

112

,84,19,54,65,19,23,25,48,64,65,85,86,58,90,60,90,18,57,18,71,79,79,11,35,54,58,36a a,93,

96,49

,75,44,44,

27

,73,97,

101,73,

101,97,70,9,61,60,9,14,14,45,63,64,65,60,45,48,60,84,44,61,76,18,38,73,101,48,22

,59,14,30,13,67,17,38,67,9,19,25,79,92,76,74,30,95,94,31,30,30,33,73,38,39,40,71,79,92,71,71,79,62,63,13,18,62,100,

63,17,7,17,30,31,22,30,31,33,30,31,17,

41,

63,

65

,24,25,18,79,80

,21,63,73,18,23,24,25,26,27-,21


113/115

113

,77,61,63

,48,7,67,70,76,76,12,96,84,9,7,67,74,75,76,76,90,75,75,25,62,18,21,25,49,62,74,37,7,39,92,99,97,48,19,54,64,19,21,23,19,16,13,43,85,59,60,36,18,82,

10,

11,

89

,7,14,38,99,100,36,55,7,10,89,76,12,8,100,91,7,11,16,67

,100,100m-,55m-,55,3,4,7,8,9,10,11,12,13,17,

27,35,57,70,92,96,99,100,10,9,25,62,9,34,23,79,16,58,61,9n-,55n-,55,94,20,24,25,13,18,83,

91,95,12,95,96,98,95,96,12,95,96,98a a,8,30,40,71,53,21-,

21,74,

11,

100

,67-,34,54,85,13,33,91,101,92,93,8,11,67


114/115

114

,12,13,68P = NP,43,97,98,95,95,48,51,48,59,62,51,96,13,13,61,70,69,85,27,32,37,66,63,91,35,77,35,58,40,60,61,60,60,62,60,59,60,100a a,93,

95,67,68,

7,

67

,89,76,76,67,14,39,92,93,99,92,14,70,96,92

,61,100,12,94,11,101,18,7,99,90,93,16,33,74,7,8,15,99,100,8,11,12,97,97,17,67,11,4,7,14,35,43,99,13,88,79,69,8,9,15,99,88,77,30,67,61,53,57,74,97,38,86,76,30,22,23,24,25,27,28,

30,32,10,11,

88

,38,61,77

,93e,93,9,33,78,78,33,78


115/115

115

,9,91,41,42,43,45,46,47,48,49,

50,52,58,82,86,97,100,17,38,45,67,55

,44,85,9,62,90,45,90,57,8,7,13,14,12,13,12,13,12,7,12,97,95,95,4,7,14,43,76,93,71,20,53-,

29,53,13,96,13,96,88,9,100

,8,30,3,4,7,8,9,10,12,13,14,17,

24,30,34,35,38,100,101,98,14,38,100,101,13,8,35,4,10,9a,15,30a a,8,95,98,16,62,30,29,89

,57,57,29,11,12,13,97,39,92,52,52,100,67,12,29

Documents

Kosta Došen - Osnovna logika