А. Н. ШЕРСТНЕВ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО

МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Издание четвёртое

Рекомендовано Научно-методическим советомпо математике и механике УМО университетов России

в качестве учебного пособия для математическихспециальностей и направлений университетов

Казанское Математическое Общество

2009

УДК 50

Рецензенты 3-го издания:д-р физ. мат. наук, проф. В. А. З о р и ч (Московский государственный универ-

ситет),кафедра математического анализа Уральского государственного университета

(зав. кафедрой д-р физ. мат. наук, проф. В. В. А р е с т о в).

В учебном пособии реализована идея изложения курса математического анализа(включая курс функционального анализа) в виде компактного пособия-конспекта,содержащего, тем не менее, весь излагаемый на лекциях материал. Уровень подроб-ности доказательств рассчитан на студента, активно работающего над лекциями.Опущена часть иллюстративного материала (определяемая вкусом лектора).

Пособие, не заменяя собой обстоятельных учебников, может быть полезным длятекущей работы над курсом и при подготовке к экзаменам. Рекомендуется студен-там физико-математических специальностей университетов.

Данное, четвертое издание незначительно отличается от предыдущего: несколь-ко расширено приложение 1, внесены изменения в три параграфа, исправлены опе-чатки.

c© Шерстнев А.Н., 2009 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предметом математического анализа является изучение функций с помощьюпроцессов предельного перехода. Смысл этой фразы студентам приходится пости-гать в течение всего периода изучения курса.

В данном учебном пособии реализована идея изложения курса математическогоанализа (включая курс функционального анализа) в виде компактного пособия-конспекта, содержащего, тем не менее, весь излагаемый на лекциях материал. Уро-вень подробности доказательств рассчитан на студента, активно работающего надлекциями. Опущена часть иллюстративного материала (определяемая вкусом лек-тора).

Таким образом, пособие, не заменяя собой обстоятельных учебников, может бытьполезным для текущий работы над курсом и при подготовке к экзаменам. Учебноепособие написано на основе лекций, неоднократно читанных автором для студентов-математиков механико-математического факультета Казанского университета. Ономожет быть рекомендовано студентам физико-математических специальностей уни-верситетов.

Несколько замечаний о структуре пособия. Основной текст разбит на разделы(без нумерации) и параграфы со сквозной нумерацией. Каждый параграф разбит напункты. Цифры 16.2 означают ссылку на §16, пункт 2. Основному тексту предпосла-на Программа, которая может использоваться в качестве программы экзамена покурсу, она же является подробным оглавлением Конспекта. После основного текстапомещены 4 приложения: 2-е носит справочный характер, а остальные могут бытьиспользованы для факультативной работы.

Данное, четвертое, издание незначительно отличается от предыдущего: несколь-ко расширено приложение 1, внесены изменения в три параграфа, исправлены опе-чатки.

Приведем перечень общих для всей книги соглашений и обозначений. Через N,Z, Q, R, C обозначаются соответственно множества натуральных, целых рациональ-ных, рациональных, действительных, комплексных чисел. В записи высказыванийиспользуются логические символы:

∃ — существует,∀ — для любого,⇒ — влечет.

Применяются также обычные теоретико-множественные обозначения: ∈,⊂,∩,∪, \.Аббревиатура “ттогда” означает “тогда и только тогда, когда” (логический символ⇔). Знаки ¶ и ¤ означают соответственно начало и конец доказательства; знак (!!)заменяет фразу “убедитесь в этом (проверьте это) самостоятельно”.

3

ЛИТЕРАТУРА

1. Зорич В. А. Математический анализ. В 2 ч. – М.: Наука, 1981 – 1984. – Ч. I. –543 c.; Ч. II. – 640 с.

2. Никольский С. М. Математический анализ. В 2 т. – М.: Наука, 1973 – 1975. –Т. 1. – 432 c.; Т. 2. – 408 с.

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональногоанализа. – М: Наука, 1976. – 543 с.

4

ПРОГРАММА

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИОпределение функции. Числовые функции и способы их задания (§1,3). График функ-ции (§3). Обратная функция. Достаточное условие существования обратной функции (§4).Операции над функциями: арифметические операции, суперпозиция (§5). Биекция. Равно-мощные множества, счетные множества (§1).

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛААксиоматическое определение действительных чисел. Аксиома непрерывности (§6). Гра-ни ограниченного числового множества. Характеристическое свойство верхней грани (§6).Топология числовой прямой (окрестности, открытые и замкнутые множества, изолирован-ные и предельные точки множества). Теорема Вейерштрасса (§7). Расширенная числоваяпрямая (§8).

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИПоследовательность. Предел числовой последовательности (§2,9). Подпоследовательностьчисловой последовательности (§9). Элементарные свойства предела (единственность пре-дела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические свойства, свойствозажатой последовательности) (§10). Основные свойства предела последовательности (суще-ствование сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности, сходи-мость монотонной ограниченной последовательности, лемма о вложенных отрезках). Фун-даментальные последовательности. Критерий Коши существования предела последователь-ности (§11). Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и нижний пределы после-довательности и их свойства (§12).

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫЧисловой ряд и его сумма. Критерий сходимости знакопостоянного ряда. Критерий Кошисходимости ряда (§13). Признаки сходимости знакопостоянных рядов (признаки сравнения,Даламбера, Коши) (§14). Абсолютно сходящиеся ряды и их основное свойство (§15). РядЛейбница (§13). Двойные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов (§16). Повтор-ные ряды (§17).

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙОпределение предела функции в точке (§18). Односторонние пределы, пределы в расши-ренной числовой прямой (§20). Свойства предела функции в точке. Критерий Коши су-ществования предела (§19). Число “e” (§11,20). Асимптотика. Эквивалентные функции иих свойства. Замечательные эквивалентности (§21). Непрерывность функции в точке. Ос-новные свойства функции, непрерывной в точке (ограниченность в окрестности, сохране-ние знака, арифметические свойства, непрерывность суперпозиции) (§22). Точки разрыва(§23). Свойства функций непрерывных на отрезке (ограниченность, достижение граней,условие обращения в нуль в промежуточной точке отрезка, равномерная непрерывность)(§24). Теорема о продолжении по непрерывности (§25). Непрерывность обратной функции(§26). Важнейшие элементарные функции (показательная, логарифмическая, степенная,гиперболические) (§27).

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕКасательная к кривой. Мгновенная скорость (§28). Производная функции в точке. Каса-тельное отображение и дифференциал функции. Односторонние производные (§29). Тех-ника дифференцирования (арифметические свойства, дифференцирование суперпозиции,дифференцирование обратной функции, таблица производных) (§30). Производные и диф-ференциалы высших порядков. Формула Лейбница (§31). Основные теоремы дифференци-ального исчисления (теоремы Ролля, Коши, формула Лагранжа) (§32).

ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙПравило Лопиталя (§33). Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа (§34). Локаль-ная формула Тейлора. Единственность разложения функции с остатком в форме Пеано

5

(§35). Ряд Тейлора. Ряды Тейлора основных элементарных функций (§36). Аналитическиефункции (§37). Возрастание и убывание функций на отрезке (§38). Локальный экстремум(§39). Выпуклые функции. Выпуклость функции в точке. Точки перегиба (§40). Неравен-ства Гельдера, Минковского, Коши-Буняковского, Шварца (§41).

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛПервообразная и неопределенный интеграл от непрерывной функции (§42). Свойства неопре-деленного интеграла (интегрирование по частям, замена переменной). Таблица первооб-разных от некоторых элементарных функций (§43). Представление рациональной функциив виде суммы элементарных рациональных дробей (§44). Интегрирование рациональныхфункций (§43,44).

ИНТЕГРАЛ РИМАНАОпределения интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости (§46). Множествалебеговой меры нуль на числовой прямой и их свойства (§47). Теорема Лебега (формулиров-ка). Интегрируемость монотонной функции (§48). Свойства интеграла Римана (линейность,интегрируемость произведения интегрируемых функций, интегрируемость модуля интегри-руемой функции, аддитивность интеграла как функции отрезка) (§49). Свойства интеграла,связанные с неравенствами. Теорема о среднем (§50). Интеграл как функция своего верхне-го предела (§51). Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции (§51).Формула Ньютона-Лейбница (§52). Обобщенная формула Ньютона-Лейбница (§53). Форму-лы интегрирования по частям и замены переменной в интеграле Римана (§54). Верхний инижний интегралы Дарбу (§55). Критерий Дарбу интегрируемости функции. Интегриру-емость непрерывной функции (§56). О приближенном вычислении интегралов (формулыпрямоугольников, трапеций, Симпсона) (§57).

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА РИМАНАФормула Тейлора с остатком в интегральной форме (§58). Интегральный признак сходи-мости числового ряда (§59). Логарифмическая и показательная функции (§61). Геометри-ческие приложения: площадь плоской фигуры (§45,60), длина кривой (§60,83), площадьповерхности вращения (§60).

ОТОБРАЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХПонятие векторного пространства. Евклидово пространство (§62). Топология евклидовапространства. Расширенное евклидово пространство (§63). Компактные множества в евкли-довом пространстве. Необходимое и достаточное условие компактности множества. Теоре-ма Вейерштрасса (§64). Типы отображений в евклидовых пространствах. Предел векторнойпоследовательности и его свойства (§65). Предел функции в точке (§66). Свойства предела(арифметические свойства, аналог свойства сохранения знака, критерий Коши) (§67). Пре-дел по направлению (§68). Непрерывные функции и их локальные свойства (§69). Свойстванепрерывных функций на компактных множествах (§70).

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯЛинейные отображения векторных пространств. Векторное пространство всех линейныхотображений из одного векторного пространства в другое (§71). Матричное представлениелинейного отображения евклидовых пространств (§72). Обратимые линейные отображения(§73). Операторная и евклидова нормы линейного отображения (§74).

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙКасательное отображение в точке. Дифференциал функции в точке. Свойства касатель-ного отображения. Дифференцирование суперпозиции отображений (§75). Частные произ-водные функции нескольких переменных и их геометрический смысл (§76). Матрица Яко-би касательного отображения. Формула полной производной. Арифметические свойствапроизводной для функций нескольких переменных (§77). Условия дифференцируемостиотображений (§78). Касательная плоскость (§79). Непрерывно дифференцируемые отобра-жения. Производная функции в области (§80). Интеграл от непрерывной вектор-функции

6

(§81). Оценочная формула Лагранжа (§82). Необходимое условие локального экстремума(§84). Теорема о дифференцировании обратной функции (§85). Частные производные выс-ших порядков. Независимость от порядка дифференцирования (§86). Формула Тейлора дляфункций нескольких переменных с остатками в формах Лагранжа и Пеано (§87). Локаль-ный экстремум функции (§88). Теорема о существовании неявной функции (§89). Локаль-ный относительный экстремум функции (§90). Метод Лагранжа исследования функции наотносительный локальный экстремум (§91).

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИОтношения в множестве. Отношения эквивалентности, порядка, направленности (прил. I,§101). Принцип выбора. Аксиома Цермело. Принцип трансфинитной индукции. Индуктив-ные множества. Теорема Цорна (прил. III). Открытые множества в метрических простран-ствах и их свойства (§92). Топологическое пространство (§93). Окрестность точки в то-пологическом пространстве. Определение топологии посредством семейств окрестностей.Сравнение топологий (§94). Рабочие понятия (замкнутые множества, внутренние точки ивнутренность множества, предельные и граничные точки множества) (§95). Непрерывныеотображения (§96). Гомеоморфные топологические пространства. Топологические свойства.Локальный гомеоморфизм (§97). Пересечение топологий. Топология, порожденная семей-ством множеств. Система образующих и база топологии (§98). Прообраз топологии относи-тельно семейства отображений. Индуцированная топология. Произведение топологическихпространств (§99). Финальная топология. Фактор-топология (§100). Сходимость сетей в то-пологическом пространстве. Топологические пространства с 1-й аксиомой счетности (§101).Отделимые топологические пространства (§102). Предел отображения в точке (§103). Регу-лярные топологические пространства. Продолжение отображения по непрерывности (§104).Компактные топологические пространства (§105). Непрерывные отображения компактныхпространств (§106). Теорема Тихонова о произведении компактных пространств (§107). Ло-кально компактные пространства. Погружение локально компактного пространства в ком-пактное (§108). Связные и линейно связные топологические пространства (§109, 110).

МЕРА ЖОРДАНАЭлементарные множества (§111). Мера на классе элементарных множеств(§112). Свойство счетной аддитивности меры (§113). Измеримые по Жордану множества.Множества жордановой меры нуль и множества лебеговой меры нуль (§114). Критерийизмеримости множества по Жордану (§115). Свойства измеримых по Жордану множеств(§116).

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНАОпределение кратного интеграла (§117). Связь между интегрируемостью функции и ееограниченностью (§118). Критерий интегрируемости Дарбу. Интегрируемость непрерыв-ной функции (§119). Колебание функции в точке (§120). Теорема Лебега (§121). Свойствакратного интеграла (интегрирование по замыканию области, арифметические свойства,аддитивность интеграла как функции области, теорема о среднем) (§122). Связь кратногоинтеграла с повторным (§123). Замена переменных в кратном интеграле (§124). Площадьповерхности (§125,186).

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫИнтеграл с особенностью в одном из концов (§126). Несобственный интеграл (общий слу-чай). Интеграл в смысле главного значения (§131). Свойства интеграла с особенностью.Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов (§127). Признаки сходимости(критерий Коши, сходимость интегралов от неотрицательных функций) (§127,128). Связьнесобственных интегралов с рядами (§129). Абсолютно сходящиеся интегралы (§130). При-знаки сходимости Дирихле и Абеля (§130). Кратные несобственные интегралы (§132).

7

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРАСобственные интегралы, зависящие от параметра. Свойство непрерывности интеграла попараметру (§133). Интегрирование и дифференцирование собственных интегралов по па-раметру (§133, 134). Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от па-раметра. Признаки равномерной сходимости (§135). Непрерывность несобственного инте-грала по параметру. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов попараметру (§136). Бэта-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера (§137).

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙРавномерная сходимость последовательности функций (§138). Предел равномерно сходя-щейся последовательности непрерывных функций (§139). Равномерная сходимость рядовфункций. Критерий Коши равномерной сходимости ряда (§140). Признаки равномернойсходимости рядов (Вейерштрасса, Дирихле, Абеля) (§140,141). Почленное интегрированиеи дифференцирование равномерно сходящихся рядов. Дзета-функция Римана (§142). Сте-пенные ряды в комплексной плоскости. 1-я теорема Абеля. Радиус сходимости степенногоряда (§143). Формула Коши-Адамара (§144). Дифференцирование степенного ряда (§145).Аналитическая функция. Экспонента (§146). Вещественные степенные ряды. 2-я теоремаАбеля. Интегрирование вещественных степенных рядов (§147).

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕНормированные и банаховы пространства (§148). Банахово пространство всех ограничен-ных числовых функций. Банаховы пространства непрерывных функций (§149). Фактори-зация. Пространство R1(Ω) (§150). Унитарные пространства. Неравенства Коши-Буняков-ского и Шварца (§152). Пространство R2(Ω) (§153). Теоремы о плотности (§151,153). Гиль-бертово пространство. Пространство `2 (§154). Полные и замкнутые ортонормированныесистемы векторов в унитарном пространстве. Ряд Фурье по ортонормированной системе.Неравенство Парсеваля. (§155). 2π-периодические функции. Пространства C, R1, R2 (§156).Тригонометрический ряд Фурье (§157). Осцилляционная лемма (§158). Оценка остатка рядаФурье (§159). Класс функций Lipα. Условие равномерной сходимости тригонометрическо-го ряда Фурье (§160). Полнота тригонометрической системы функций (§161). ПолиномыЧебышева. Полнота системы полиномов (§162). Комплексная форма ряда Фурье (§163).Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье (§164). Простой интегралФурье (§166). Теорема о сходимости интеграла Фурье (§167). Преобразование Фурье и егосвойства. Производная и преобразование Фурье (§168).

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙПространства основных функций D и S (§170). Непрерывные линейные отображения впространствах основных функций (дифференцирование, умножение на бесконечно диф-ференцируемую функцию, преобразование Фурье в пространстве S) (§171). ПространстваD′ и S ′ обобщенных функций. Примеры обобщенных функций, δ-функция (§172). Схо-димость обобщенных функций (§173). Действия над обобщенными функциями (§174, 175).Преобразование Фурье обобщенных функций из S ′ (§176). Простейшие дифференциальныеуравнения в классе обобщенных функций (§177).

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО МНОГООБРАЗИЯМГладкие кривые. Параметризация гладкой кривой. Натуральная параметризация (§178).Криволинейный интеграл 1-го рода (§179). Работа векторного поля. Ориентация гладкойкривой. Криволинейный интеграл 2-го рода (§180). Градиент. Потенциальное векторноеполе. Условие потенциальности поля в терминах криволинейного интеграла (§181). Ротор.Условие потенциальности поля в терминах ротора (§182). Ориентация плоской области(§183). Формула Грина (§184). Гладкие поверхности в R3 (§185). Поверхностный интеграл1-го рода (§186). Поток вектора через ориентированную поверхность (§187). Поверхностныйинтеграл 2-го рода (§188). Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция и ее физическийсмысл (§189). Формула Стокса (§190).

8

МЕРА ЛЕБЕГАПолукольца множеств и их свойства (§191). Мера на полукольце (§192). Кольца и алгеб-ры множеств. Кольцо, порожденное семейством множеств. Борелевские алгебры (§193).Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Критерий σ-аддитивностиконечно-аддитивной меры на полукольце (§194). Внешняя мера и ее свойства (§195). КлассL(S,m) измеримых по Лебегу множеств (случай полукольца с 1). Теорема о продолжениимеры с полукольца c 1 на класс измеримых по Лебегу множеств. Мера Лебега (§196). Кон-струкция L(S,m) для полукольца без 1 (§197). Свойство непрерывности σ-конечной мерыпо отношению к монотонным последовательностям множеств. Множества лебеговой мерынуль и их свойства. Свойство полноты меры Лебега (§197). Мера Лебега-Стилтьеса. Описа-ние конечных мер на борелевской алгебре B(R) (§198). Разложение меры Лебега-Стилтьесана дискретную и непрерывную компоненты (§199). Абсолютно непрерывные и сингулярныемеры. Критерий абсолютной непрерывности меры (§200).

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИПрообраз кольца относительно отображения (§201). Измеримые функции и их свойства.В-измеримые функции (§202,203). Измеримые функции на пространстве с мерой (§204).Сходимость почти всюду. Теорема Егорова (§205). Сходимость по мере. Взаимосвязи междуразличными типами сходимости (§206).

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГАОпределение интеграла Лебега. Свойства интеграла (§207). Предельный переход под зна-ком интеграла (теоремы Лебега, Леви, Фату) (§208). Замена переменной в интеграле Ле-бега (§209). Сравнение интеграла Римана и интеграла Лебега (§210). Неопределенный ин-теграл Лебега. Заряды. Свойство ограниченности заряда. Теорема Хана (§211). Абсолютнонепрерывные функции множества. Теорема Радона-Никодима. Абсолютно непрерывная исингулярная компоненты меры (§212). Произведение полуколец множеств. Меры в произ-ведениях множеств (§213). Теорема Фубини (§214). Интеграл по σ-конечной мере (§215).

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВАПополнение метрического пространства. Теорема о существовании и единственности попол-нения (§216). Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра (§217). Принцип сжимающих отоб-ражений. Обобщенный принцип сжимающих отображений. Применения к интегральнымуравнениям (§218). Вполне ограниченные множества в метрическом пространстве. Крите-рий компактности метрического пространства. Критерий предкомпактности множества впространстве непрерывных функций (§219).

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗАКонечномерные нормированные пространства (эквивалентность норм, полнота). Существо-вание элемента наилучшего приближения относительно конечномерного подпространства(§220). Шкала банаховых пространств Lp(µ) (1 6 p 6 ∞) (§221). Операции над банаховымипространствами (прямая сумма, фактор-пространство) (§222). Нормированное простран-ство всех ограниченных линейных операторов из одного нормированного пространства вдругое. Изометрический изоморфизм нормированных пространств (§223). Пополнение нор-мированного пространства. Простейшая теорема вложения (§224). Сопряженное простран-ство (§225). Пространства Lp(µ)∗ (1 6 p < ∞) (§226). Продолжение ограниченных линей-ных отображений по непрерывности (§227). Теорема Хана-Банаха и ее следствия (§228).Второе сопряженное пространство (§229). Принцип равномерной ограниченности (теоремаБанаха-Штейнгауза) и ее следствия (§230). Теорема об открытом отображении и ее след-ствия (теоремы об обратном операторе, об эквивалентности норм, о замкнутом графике)(§231).

ОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕСуществование и единственность элемента наилучшего приближения относительно под-пространства. Теорема об ортогональном разложении (§232). Ортогональные суммы гиль-бертовых пространств (§233). Размерность гильбертова пространства (§234). Процесс орто-

9

гонализации Грама. Сепарабельные гильбертовы пространства (§235). Изоморфные гиль-бертовы пространства. Условия изоморфизма гильбертовых пространств (§236). ТеоремаРисса. Сопряженное пространство к пространству Гильберта. Принцип равномерной огра-ниченности для гильбертовых пространств (§237). Билинейные формы в гильбертовом про-странстве и их связь с операторами (§238). Сопряженный оператор к ограниченному ли-нейному оператору. Свойства сопряженного оператора (§239). Алгебра B(H) всех ограни-ченных линейных операторов в гильбертовом пространстве (§240). Ортопроекторы (§241).Унитарные операторы. Оператор Фурье-Планшереля (§242). Конечномерные операторы иих представление (§243). Компактные операторы. Некомпактность тождественного опера-тора в бесконечномерном пространстве (§244). Свойства компактных операторов в гиль-бертовом пространстве (оператор, сопряженный к компактному; замкнутость класса ком-пактных операторов относительно предельного перехода по норме; полнота пространствакомпактных операторов; аппроксимация компактных операторов конечномерными опера-торами; замкнутость линеалаR(1−A) для компактного оператора A) (§245). Интегральныекомпактные операторы (§246).

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВПлотно заданные (неограниченные) операторы в гильбертовом пространстве и операциинад ними. График линейного оператора, расширение линейного оператора. Замкнутые изамыкаемые операторы и их свойства. Замыкание оператора (§247). Сопряженный опера-тор к плотно заданному линейному оператору и его свойства (§248). Эрмитовы и само-сопряженные операторы. Условие самосопряженности оператора. Операторы умноженияна независимую переменную и дифференцирования в L2(R) (§249). Аналитические вектор-функции и их свойства (§250). Резольвентное множество и спектр замкнутого оператора.Свойства резольвентного множества и резольвента замкнутого оператора. Спектр самосо-пряженного ограниченного оператора. Спектр унитарного оператора (§251).

УРАВНЕНИЯ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИТеорема Фредгольма (§251). Теорема Рисса-Шаудера. Теорема Гильберта-Шмидта (спектральная теорема для самосопряженного компактного оператора). Канони-ческая форма компактного оператора (§253). Уравнения Фредгольма 1-го и 2-го родов (ин-тегральная и операторная формы). Теоремы Фредгольма (§254). Случай симметричных ивырожденных ядер (§255).

ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В НОРМИРОВАННЫХПРОСТРАНСТВАХПроизводная Фреше отображения и ее свойства (§256). Локальный экстремум функцио-нала. Необходимое условие локального экстремума (§257). Оценочная формула Лагранжа(§258). Интеграл от вектор-функции со значениями в банаховом пространстве (§259). Про-изводные высших порядков. Формула Тейлора. Достаточное условие локального экстрему-ма функционала (§260).

10

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

§1. Функция

1. Пусть E и F — два множества и задано правило f , которое каждому эле-менту x ∈ E сопоставляет некоторый элемент f(x) ∈ F . В этом случае говорят,что на множестве E определена функция f , принимающая значения в множествеF ; говорят также, что f — отображение множества E в множество F и пишутf : E → F или E

f−→ F . Множество E называется областью определения функ-ции f . Две функции f1 : E1 → F, f2 : E2 → F называются равными (f1 = f2),если E1 = E2, f1(x) = f2(x) (x ∈ E1). Если A ⊂ E и f : E → F — некоторая

функция, то через f |A обозначают функцию Af |A−−→ F , действующую по правилу

(f |A)(x) = f(x) (x ∈ A). Функция f |A называется ограничением функции f намножество A.

Пусть f : E → F — отображение множества E в множество F , A ⊂ E, B ⊂ F .Множество f(A) ≡ f(x) | x ∈ A называется образом множества A при отобра-жении f — это часть множества F . Множество

f−1(B) ≡ x ∈ E : f(x) ∈ Bназывается полным прообразом множества B при отображении f — это частьмножества E.

2. П р и м е р. Пусть A ⊂ E; отображение iA : A → E, действующее по формулеiA(x) = x (x ∈ A), называется тождественным вложением A в E. Для X ⊂ E :i−1A (X) = X ∩A.

3. Отображение f : E → F называется инъекцией, если x 6= y (x, y ∈ E) ⇒ f(x) 6=f(y); оно называется сюръекцией , если f(E) = F . Если отображение является инъ-екцией и сюръекцией одновременно, то оно называется биекцией. Множества E иF называются равномощными, если существует биекция f : E → F . Множество Eназывается счетным, если существует биекция f : N→ E.

4. П р и м е р. Множество Q всех рациональных чисел счетно. Действительно,его можно представить в виде таблицы

0 1/1 1/2 1/3 . . .-1/1 -1/2 -1/3 . . .

2/1 2/2 . . .

-2/1 −2/2 . . .3/1 . . .-3/1 . . .

. . .Искомая биекция может быть определена следующим образом: f(1) = 0, f(2) =1/1, f(3) = −1/1, . . . , f(10) = 3/1, . . . (встречавшиеся ранее числа в дальнейшейнумерации не участвуют).

5. Мы будем первое время иметь дело в основном с числовыми функциями:E ⊂ R, F = R. В связи с этим говорят о двух числовых переменных: независи-мой переменной x, “пробегающей” множество E; зависимой переменной y = f(x)

11

— функции переменной x. Отсюда традиционные обозначения для функции: y =f(x) (x ∈ E) или f(x) (x ∈ E).

Еще один тип функций, с которыми мы скоро встретимся, — числовые функции,заданные на числовой плоскости, или функции двух переменных f : E → R (E ⊂R2). В этом случае каждой точке множества E, то есть каждой упорядоченной паречисел (x, y) ∈ E, ставится в соответствие число f(x, y).

П р и м е р ы. 6. y =| x | (x ∈ R).7. y =

√1− x2 (−1 6 x 6 1).

8. y = sgn x ≡

1, если x > 0,−1, если x < 0,0, если x = 0

(signum – знак).

9. y = [x] (x ∈ R) (антье x), — наибольшее целое число, не превосходящее x.10. Пусть E — множество и A ⊂ E. Функция χA : E → R, определенная равен-

ством

χA(x) =

1, если x ∈ A,0, если x /∈ A,

называется характеристической функцией множества A.

11. З а м е ч а н и е. Впервые современное определение функциональной зави-симости дано выдающимся казанским геометром Н. И. Лобачевским: “Между темобширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смыс-ле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе” (Уч.зап. Императорск. Казанского ун-та, 1834, с. 183).

§2. Последовательность

1. Последовательностью в множестве E называется функция x : N → E. Тра-диционные обозначения для последовательности:

x1, x2, . . . , (xn)n∈N, (xn).

Элементы xn называются членами последовательности. Последовательность в мно-жестве R называется числовой . Числовые последовательности часто задаются фор-мулами общего члена или рекуррентными формулами.

П р и м е р ы. 2. xn = (−1)n (n ∈ N).3. xn+1 = xn−1 + xn, x1 = x2 = 1.4. Последовательность 3, 1, 4, 1, 5, . . . цифр в десятичной записи числа π (ни ана-

литической, ни рекуррентной формул нет).

§3. График числовой функции

1. Графиком функции f : E → R называется множество

Γ = (x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ E ⊂ R2.

Под кривой на плоскости будем понимать непустое множество γ ⊂ R2. Вопрос: какиеиз указанных кривых на Рис. 1 являются графиками функций?

12

Приведем простое необходимое и достаточное условие того, что кривая являетсяграфиком некоторой функции.

2. Кривая γ является графиком некоторой функции f : E → R (E ⊂ R) ттогдакаждая прямая, параллельная оси OY, пересекает γ не более чем в одной точке. Вэтом случае E = x ∈ R : ∃y ∈ R ((x, y) ∈ γ).

З а м е ч а н и я. 3. Пусть Γ — график функции y = f(x) (x ∈ E) и (x, a) ∈ Γ.Тогда a = f(x).

4. Соответствие типа y = Arcsin x называется многозначной функцией. Этоне функция в смысле нашего определения (см. 1.1). В такого сорта соответствияхобычно выделяют ветви, где соответствие однозначно (см. Рис. 2).

5. Нам придется также иметь дело с функциями, заданными неявно. ПустьF : Ω → R (Ω ⊂ R2) — функция двух переменных. Равенство

F (x, y) = 0 (∗)

выделяет часть множества Ω : Γ = (x, y) ∈ Ω : F (x, y) = 0. Пусть Γ 6= ∅. Спомощью критерия п. 2 можно проверить, определяет ли кривая Γ функцию y =f(x). Если это так, то говорят, что функция f(x) определена неявно равенством (∗).Чтобы найти зависимость y = f(x), нужно разрешить уравнение (∗) относительноy.

6. Для задания кривых на плоскости часто полезна полярная система коорди-нат. В этой системе каждая точка A плоскости характеризуется парой (r, ϕ), гдеr — расстояние A до отмеченной точки O, а ϕ — угол, под которым отрезок OA

13

наклонен к отмеченному лучу, выходящему из точки O (луч ϕ = 0). При этом уголотсчитывается против часовой стрелки (Рис. 3). Соответствие между точками плос-кости и парами (r, ϕ) уже не является биективным: например, O = (0, ϕ) при любомϕ; (r, ϕ) = (r, ϕ + 2π) при любых r и ϕ.

§4. Обратная функция

1. Пусть Γ — график числовой функции y = f(x) (x ∈ E ⊂ R), причем каждаяпрямая, параллельная оси OX, пересекает Γ не более чем в одной точке. Тогдакаждой точке y ∈ f(E) соответствует единственная точка g(y) ∈ E такая, чтоf(g(y)) = y. Итак, на множестве F = f(E) определена функция x = g(y) (y ∈ F ); онаназывается обратной к функции y = f(x) (x ∈ E); ее удобно записывать, поменявместами x и y : y = g(x) (x ∈ F ). В этом случае график Γ′ обратной функциина плоскости XOY получается зеркальным отражением графика Γ относительнобиссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (Рис. 4). Отметим достаточное условиесуществования обратной функции.

2. Пусть f : E → R строго возрастает (то есть x < x′ (x, x′ ∈ E) ⇒ f(x) <f(x′)) или строго убывает (то есть x < x′ ⇒ f(x) > f(x′)). Тогда обратная функ-ция g : F → R существует и строго возрастает (соответственно убывает).¶ Пусть, например, f : E → R строго возрастает, и Γ — ее график. Допустим, чтонекоторая прямая, параллельная оси OX, пересекает Γ более чем в одной точке:(x1, y), (x2, y) ∈ Γ, x1 < x2. Тогда y = f(x1) = f(x2), что противоречит строгомувозрастанию f . Итак, обратная функция существует; она строго возрастает (!!). ¤

П р и м е р ы. 3. Пусть F (x, y) = x2+y2−1 ((x, y) ∈ R2), Γ = (x, y) : F (x, y) = 0.Кривая Γ не является графиком никакой функции (Рис. 5).

4. F (x, y) = x2 + y2 − 1 (y > 0). Соответствующая кривая определяет функциюy =

√1− x2 (−1 6 x 6 1). Однако обратная функция не существует.

5. F (x, y) = x2 + y2 − 1 (x, y > 0). В этом случае определена функция y =√1− x2 (0 6 x 6 1); обратная функция существует и совпадает с исходной (Γ

симметрична относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (Рис. 6)).

6. y = tg x (x 6= π(2k + 1)2

, k ∈ Z). Обратная функция не существует (говорят омногозначной функции y = Arctg x).

7. y = tg x (−π

2< x <

π

2). Обратная функция y = arctg x (x ∈ R).

14

8. Понятие обратной функции может быть определено для абстрактных функ-ций. Пусть E,G — множества и функция f : E → G такова, что ∀x, y (x 6= y ⇒f(x) 6= f(y)). Пусть F = f(E). Функция g : F → E, определенная равенствомg(f(x)) = x (x ∈ E), называется обратной к функции f . При этом функция f всвою очередь является обратной к g, и говорят, что f и g взаимно обратны. Итак,взаимно обратные функции f : E → G, g : F → E (где F = f(E)) характеризуютсяравенствами

g(f(x)) = x (x ∈ E), f(g(x)) = x (x ∈ F ).

§5. Операции над функциями

1. Арифметические операции. Пусть функции f : E → R, g : E → R заданы наодном и том же множестве E. Определим новые функции:

сумма (разность): (f ± g)(x) ≡ f(x)± g(x) (x ∈ E);произведение: (f · g)(x) ≡ f(x)g(x) (x ∈ E);частное: (f/g)(x) ≡ f(x)/g(x) (x ∈ E0 = x ∈ E : g(x) 6= 0).2. Суперпозиция функций. Пусть E, F, G — множества и определены функции

f : E → F, g : F → G. Тогда равенством h(x) ≡ g(f(x)) (x ∈ E) определяетсяновая функция h : E → G, которая называется суперпозицией функций f и g иобозначается g f .

Можно определить суперпозицию трех и более функций. Пусть, например, за-даны функции f : E → F, g : F → G, h : G → H; суперпозиция h g f : E → Hопределяется равенством (h g f)(x) ≡ h(g(f(x))) (x ∈ E) (обозначение корректнов силу непосредственно проверяемого равенства h (g f) = (h g) f).

3. П р и м е р. Пусть f(x) = x2 (x ∈ R), g(x) = 1− x (x ∈ R). Тогда (g f)(x) =1− x2 (x ∈ R), (f g)(x) = (1− x)2(x ∈ R).

15

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§6. Аксиоматическое определение действительных чисел

1.Множество R называется множеством действительных (вещественных) чи-сел, если выполнены аксиомы (I) — (V):

(I) Аксиомы порядка. В R задано отношение < (то есть для каждой пары эле-ментов α, β ∈ R установлено, выполняется ли α < β или нет). При этом выполненыусловия:

(I1) для любых α, β ∈ R имеет место одно из трех: α = β или α < β или β < α;

(I2) “α < β, β < γ” ⇒ α < γ;

(I3) α < β ⇒ ∃γ (α < γ < β).

По определению запись α > β эквивалентна записи β < α.

(II) R — поле (то есть кольцо, ненулевые элементы которого образуют коммута-тивную группу по умножению).

Нуль кольца обозначается через 0, единица мультипликативной группы обозна-чается через 1. Таким образом, возникает натуральный ряд N = 1, 2, 3, . . ., где2 ≡ 1 + 1, 3 ≡ 2 + 1, и т.д. Отметим в качестве теоремы утверждение: 2 · 2 = 4.

(III) Согласованность (I) и (II):

(III1) α < β ⇒ ∀γ (α + γ < β + γ),

(III2) α < β ⇒ ∀γ > 0 (αγ < βγ).

(IV) Аксиома Архимеда. ∀α > 0 ∃n ∈ N (α < n).

Чтобы сформулировать последнюю аксиому, введем ряд понятий. МножествоE(⊂ R) называется ограниченным сверху, если существует β ∈ R такое, что α 6 βдля любого α ∈ E (α 6 β означает, что α = β или α < β). Число β в этом слу-чае называется мажорантой множества E. Аналогично определяется минорантаограниченного снизу множества. Если, в частности, E ограничено сверху и снизу,то говорят, что E ограничено. Говорят, что множество E обладает наименьшимэлементом α0(∈ E), если ∀β ∈ E (α0 6 β).

(V) Аксиома непрерывности. Если E(⊂ R) не пусто и ограничено сверху, тосреди мажорант множества E существует наименьшая.

Наименьшая мажоранта ограниченного сверху множества E называется верхнейгранью и обозначается одним из следующих символов supE, sup

α∈Eα (supremum —

наивысшее). Аналогично, нижняя грань ограниченного снизу множества E естьнаибольшая миноранта; обозначения: inf E, inf

α∈Eα (infimum — наинизшее).

З а м е ч а н и я. 2. Грани supE, inf E не обязаны принадлежать множеству E.Например, для E = α | α > 0 : inf E = 0 6∈ E (!!).

16

3. Множество Q с обычным отношением < между рациональными числами удо-влетворяет требованиям (I)—(IV), но не удовлетворяет требованию (V) (например,среди мажорант множества r ∈ Q | r2 < 2 нет наименьшей (в Q) (!!)).

Установим полезное характеристическое свойство верхней грани числового мно-жества.

4. Пусть α0 — мажоранта множества E(6= ∅). Следующие условия эквива-лентны:

(а) α0 = supE;

(б) ∀ε > 0 ∃α ∈ E (α0 − ε < α).

¶ (а) ⇒ (б). Пусть α0 = supE, но условие (б) нарушается. Тогда при некото-ром ε > 0 число α0 − ε является мажорантой множества E, меньшей чем α0, чтоневозможно.

(б) ⇒ (а). Пусть выполнено (б) и β — мажоранта E такая, что β < α0. Тогдапри ε = α0 − β условие (б) нарушается, что противоречит предположению. ¤

5. Из наглядно-геометрических соображений множество R действительных чи-сел называют также числовой прямой. Отметим, что необходимо еще доказать непро-тиворечивость системы (I)—(V). Для этого достаточно построить модель R, в кото-рой выполнялись бы все эти аксиомы. В Приложении I дано исчерпывающее изло-жение одной такой модели, приведен эскиз интересной модели А. Н. Колмогорова,а также доказана эквивалентность различных моделей. Это Приложение рекомен-дуется читать после изучения раздела “Предел числовой последовательности”.

У п р а ж н е н и я. 6. Выведите из аксиом (I) — (III), что для любого n ∈ N:n > 0.

7. Выведите аксиому (I3) из остальных аксиом (I) — (III).8. Покажите, что α < β (α, β ∈ R) ⇒ ∃γ ∈ Q (α < γ < β) (усиление (I3)).9. Выведите аксиому Архимеда из остальных аксиом действительных чисел.

§7. Топология числовой прямой

1. Среди множеств на числовой прямой R мы часто будем иметь дело с проме-жутками:

(α, β) ≡ x ∈ R | α < x < β — интервал;[α, β] ≡ x ∈ R | α 6 x 6 β — отрезок;[α, β) ≡ x ∈ R | α 6 x < β;(α, β] ≡ x ∈ R | α < x 6 β;(−∞, β] ≡ x ∈ R | x 6 β;(α, +∞) ≡ x ∈ R | α < x.2. Окрестностью точки a ∈ R называется всякий интервал (c, d), содержащий

точку a. Окрестность точки будет обозначаться через U(a). В частности,ε-окрестностью точки a называется интервал (a− ε, a + ε).

17

Проколотой окрестностью (ˇ-окрестностью) точки a ∈ R называется множествоU(a) ≡ U(a)\a, где U(a) — некоторая окрестность a. Таким образом,ˇ-окрестности точки a суть множества вида (c, a) ∪ (a, d).

Пусть E ⊂ R. Окрестностью (соответственно ˇ-окрестностью) в E точки aназывается множество вида U(a) ∩ E (соответственно U(a) ∩ E).

3. З а м е ч а н и е. Всякие две различные точки a, b ∈ R обладают непересека-ющимися окрестностями.

4. Множество E(⊂ R) называется открытым, если оно вместе с каждой точкойсодержит и некоторую окрестность этой точки, то есть ∀x ∈ E ∃U(x) (U(x) ⊂E). Например, R, (a, b), ∅ — открытые множества. Множество F ⊂ R называетсязамкнутым, если R\F открыто.

Точка a ∈ E называется изолированной точкой множества E, если существуетокрестность U(a) такая, что U(a) ∩ E = ∅. Точка a ∈ R называется предельнойточкой множества E, если ∀U(a) (U(a) ∩ E 6= ∅). Предельная точка множествасама может ему и не принадлежать.

У п р а ж н е н и я. 5. Пусть E = 1, 1/2, 1/3, . . .. Найти все изолированныеточки множества E, все его предельные точки. Открыто или замкнуто E?

6. Точка a — предельная точка множества E ттогда всякая окрестность U(a)содержит бесконечное множество точек из E.

7. Пусть E′ — множество всех предельных точек множества E. Тогда (E′)′ ⊂ E′.8. Если E открыто и замкнуто одновременно, то E = ∅ либо E = R.

Следующая теорема является фундаментальной для математического анализана числовой прямой.

9. Т е о р е м а [К. Вейерштрасс]. Бесконечное ограниченное множество E(⊂ R)обладает по крайней мере одной предельной точкой.¶ Так как E ограничено, то существует M > 0 такое, что E ⊂ [−M, M ]. ПустьF = x ∈ R | множество E ∩ (−∞, x) конечно. Тогда F 6= ∅ (например, −M ∈ F )и ограничено сверху (например, M — мажоранта F ). По аксиоме непрерывностисуществует α = supF . Покажем, что α — искомая предельная точка множества E.Пусть U(α) = (c, d) — произвольная окрестность точки α. Надо лишь убедиться,что U(α) ∩ E 6= ∅. Пусть, напротив,

U(α) ∩ E = [(c, α) ∪ (α, d)] ∩ E = ∅ (∗)

и β ∈ (c, α). Так как β < α = supF , множество E∩ (−∞, β) конечно. Но тогда из (∗)следует, что E∩(−∞, d) конечно, то есть d 6 α, и значит, α 6∈ (c, d) — противоречие.¤

§8. Расширенная числовая прямая

1. Часто бывает удобно присоединять к числовой прямой R так называемыенесобственные числа ±∞. Множество R ∪ ±∞ назовем расширенной числовойпрямой при следующих соглашениях:

18

−∞ < a < +∞ (a ∈ R),a · (±∞) ≡ ±∞ (0 < a ∈ R),

a±∞ ≡ ±∞ (a ∈ R),a · (±∞) ≡ ∓∞ (0 > a ∈ R);

ˇ-окрестностью точки +∞ (соответственно −∞) назовем всякое множество ви-да (M, +∞) (соответственно (−∞, M)),M ∈ R.

2. Иногда удобно присоединять к числовой прямой одну несобственную точку∞ (бесконечность без знака); ˇ-окрестностью точки ∞ назовем всякое множе-ство вида (−∞, N) ∪ (M, +∞). Cоглашений о порядковых и арифметических свой-ствах точки ∞ не делается.

3. З а м е ч а н и е. Каждое непустое подмножество расширенной числовойпрямой R ∪ ±∞ обладает верхней и нижней гранями (эти грани определяютсяаналогично 6.1).

19

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§9. Определение предела последовательности

1. Число a называется пределом числовой последовательности (xn), если длялюбого ε > 0 найдется натуральное число N такое, что для всякого n > N выполня-ется неравенство |xn−a| < ε. В этом случае пишут limxn = a или xn → a и говорят,что (xn) сходится (или стремится) к a.

З а м е ч а н и я. 2. xn → a означает, что любая окрестность U(a) точки aявляется “ловушкой” последовательности (xn), то есть в U(a) попадают все чле-ны последовательности, начиная с некоторого номера. Приведем записи равенстваlim xn = a в кванторах:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|xn − a| < ε),

∀U(a) ∃N ∈ N ∀n > N (xn ∈ U(a)).

В частности, xn → 0 означает, что ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|xn| < ε), то есть xn → 0ттогда |xn| → 0.

3. xn → a ттогда xn − a → 0.

4. Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на ее схо-димость.

5. Пусть n1 < n2 < . . . (nk ∈ N). Последовательность yk ≡ xnk(k ∈ N) называется

подпоследовательностью последовательности (xn).

6. Если (xn) сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к томуже пределу.¶ Пусть xn → a и yk = xnk

— подпоследовательность последовательности (xn), n1 <n2 < . . .. Очевидно, nk > k. Пусть далее N ∈ N таково, что |xn − a| < ε (n > N).Тогда k > N ⇒ nk > N и, следовательно, |yk − a| = |xnk

− a| < ε (k > N), то естьyk → a. ¤

П р и м е р ы. 7. xn =1n→ 0 для любого ε > 0 выберем N > 1/ε (такое N

существует по аксиоме Архимеда (см. 6.1)). Тогда |xn| < ε при n > N.8. lim(

√n + 1−√n− 1) = 0.

9. Последовательность 0, 1, 0, 1, . . . не сходится.

У п р а ж н е н и я. 10. Что значит, что (xn) не сходится? Запишите в кванторах.11. Охарактеризовать сходящиеся последовательности, у которых N в опреде-

лении предела не зависит от ε.12. Если xn → a и xn 6 M (n ∈ N), то a 6 M .13. Если xn → a и f : N→ N — биекция, то xf(n) → a.14. Если xn → 0 и xn > 0, то

√xn → 0.

15. Если xn → a и yn =1n

(x1 + . . . + xn) (n ∈ N), то yn → a.

20

§10. Элементарные свойства предела

1. Предел последовательности единствен.Свойство “зажатой” последовательности:2. Если xn → a, yn → a, xn 6 zn 6 yn (n ∈ N), то zn → a.3. Если xn → a, то |xn| → |a|.

¶ Для доказательства 1-го утверждения допустим, напротив, что для последова-тельности (xn): xn → a, xn → b, a 6= b. Пусть U(a), U(b) — непересекающиесяокрестности точек a и b (см. 7.3). Согласно п. 2 обе они обязаны быть ловушкамипоследовательности (xn), что невозможно.

Доказательство п. 2: если ε > 0 произвольно, то при достаточно большом N

a− ε < xn < a + ε, a− ε < yn < a + ε (n > N).

Следовательно, a− ε <xn 6 zn 6 yn< a + ε (n > N) , что и требовалось (см. подчерк-нутый текст). Третье утверждение следует из оценки ||xn| − |a|| 6 |xn − a|. ¤

4. Последовательность (xn) называется ограниченной, если существует M > 0такое, что |xn| 6 M (n ∈ N).

5. Если xn → 0, а последовательность (yn) ограничена, то xnyn → 0.

¶ Следует из оценки 0 6 |xnyn| 6 M |xn| и свойств 2, 3. ¤6. Сходящаяся последовательность ограничена.

¶ Пусть xn → a. Положим ε = 1 в определении предела, и пусть N таково, что|xn − a| < 1 (n > N). Тогда

|xn| 6 max|a|+ 1, |x1|, . . . , |xN | (n ∈ N). ¤

Согласно 5.1 над последовательностями определены арифметические операции.Например, последовательность (xnyn) является произведением последовательно-стей (xn) и (yn).

7. Если xn → a, yn → b, то

(а) xn ± yn → a± b,

(б) xnyn → ab,

(в)xn

yn→ a

b(yn 6= 0, b 6= 0).

¶ Свойство (б) следует из оценки (с учетом п. 6)

|xnyn − ab| 6 |xnyn − ayn|+ |ayn − ab| = |yn| |xn − a|+ |a| |yn − b|.

Пусть b 6= 0 и N таково, что |yn| > |b|/2 (n > N). Тогда

| 1yn− 1

b| = 1

|yn||b| |yn − b| < 2|b|2 |yn − b| (n > N).

Отсюда с учетом (б) следует (в). ¤

21

П р и м е р ы. 8. lim(n)1/n = 1: zn = (n)1/n − 1 (> 0) ⇒

n = (1 + zn)n = 1 + nzn +n(n− 1)

2z2n + . . . >

n(n− 1)2

z2n ⇒ 0 6 zn 6

(2

n− 1

)1/2

,

а значит, zn → 0.9. lim a1/n = 1 (a > 0). Выводится из п. 8.10. lim qn = 0 при |q| < 1.

§11. Основные свойства предела

1. Каждая ограниченная последовательность обладает сходящейся подпоследо-вательностью.¶ Если множество E = x1, x2, . . . значений1 последовательности (xn) конечно,то утверждение очевидно. Пусть E бесконечно. В силу 7.9 множество E обладаетпредельной точкой a ∈ R. Положим n1 = minp : xp ∈ (a−1, a+1). Если n1, . . . , nk−1

выбраны, положим nk = minp : p > nk−1, xp ∈ (a− 1k, a+

1k). Тогда yk ≡ xnk

(k ∈ N)

— искомая сходящаяся к a подпоследовательность последовательности (xn). ¤2. Последовательность (xn) называется неубывающей (соответственно невозрас-

тающей ), если xn 6 xn+1 (n ∈ N) (соответственно xn > xn+1). Последовательностьназывается монотонной, если она невозрастающая или неубывающая.

3. Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.¶ Пусть, например, (xn) не убывает и ограничена. Тогда существует M = sup

nxn.

Покажем, что xn → M . Пусть U(M) = (a, b) — произвольная окрестность точкиM , то есть a < M < b. По определению верхней грани найдется N такое, чтоa < xn 6 M . Но тогда xn ∈ U(M) (n > N) и остается воспользоваться 9.2. ¤

4. Л е м м а [о вложенных отрезках]. Пусть In = [an, bn] (n = 1, 2, . . .), причем

I1 ⊃ I2 ⊃ . . . и bn − an → 0. Тогда существует и единственна точка a ∈∞⋂

n=1In.

¶ Последовательность (an) левых концов наших отрезков не убывает и ограниче-на сверху (например, числом b1). В силу п. 3 существует a = lim an. Аналогично,последовательность (bn) правых концов не возрастает и существует

lim bn = lim[(bn − an) + an] = a (∗)

Следовательно, an 6 a 6 bn для любого n, то есть a ∈∞⋂

n=1In. Если теперь c — еще

одна точка такая, что an 6 c 6 bn (n ∈ N), то из (∗) следует с учетом 10.2, чтоc = a. ¤

5. Числом e называется предел lim(

1 +1n

)n

= 2, 7182 . . ..

1Здесь числа, стоящие в фигурных скобках, не обязательно попарно различны. Вообще не сле-дует путать последовательность с множеством ее значений: число членов последовательности бес-конечно, хотя множество ее значений может быть конечным.

22

¶ Докажем существование этого предела. Последовательность yn ≡ (1 +1n

)n+1 невозрастает:

yn−1

yn=

(n2

n2 − 1

)nn

n + 1=

(1 +

1n2 − 1

)n n

n + 1>

(1 +

n

n2 − 1

)n

n + 1> 1,

и по свойству п. 3 существует lim yn. Следовательно,

lim(

1 +1n

)n

= lim yn

(1 +

1n

)−1

= lim yn. ¤

6. Последовательность (xn) называется фундаментальной (или последователь-ностью Коши), если

∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N (|xn − xm| < ε)

или, эквивалентно, ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p (|xn+p − xn| < ε).

7. К р и т е р и й [О. Коши]. Чтобы последовательность (xn) сходилась, необ-ходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.¶ Необходимость. Пусть xn → a, ε > 0 — произвольно и N ∈ N таково, что|xn − a| < ε/2 (n > N). Тогда для любых n,m > N имеем

|xn − xm| = |xn − a− (xm − a)| 6 |xn − a|+ |xm − a| < ε,

то есть (xn) фундаментальна.Достаточность.Пусть (xn) фундаментальна. Тогда (xn) ограничена. Действи-

тельно, если N таково, что |xn − xm| < 1 (n,m > N), то

|xn| 6 max|x1|, . . . , |xn|, |xN+1|+ 1 (n ∈ N).

По свойству п. 1 существует сходящаяся подпоследовательность (xnk): xnk

→ a.Покажем, что xn → a. Пусть ε > 0. Тогда существуют N, N ′ ∈ N такие, что |xn −xm| < ε/2 (n, m > N), |xnk

− a| < ε/2 (nk > N ′). Для n > N ′′ = max(N, N ′) имеем

|xn − a| 6 выбираем какое-либо nk > N ′′ 6 |xn − xnk|+ |xnk

− a| < ε. ¤

8. У п р а ж н е н и е. Докажите, что limxn

n!= 0 (x ∈ R).

§12. Пределы в расширенной числовой прямой

1. Будем говорить, что числовая последовательность (xn) стремится к +∞ вR∪±∞ (обозначение: xn → +∞), если всякая ˇ-окрестность точки +∞— ловушкадля (xn), то есть

∀M ∈ R ∃N ∈ N ∀n > N (xn > M),

Аналогично определяется символ xn → −∞.

2. Подобным же образом определяется сходимость числовой последовательности(xn) к точке ∞ в расширенной числовой прямой R ∪ ∞ : xn → ∞, если всякаяˇ-окрестность точки ∞ является ловушкой для последовательности (xn), то есть

∀M > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|xn| > M).

23

3. В расширенной числовой прямой R∪±∞ точку ξ назовем частичным пре-делом последовательности (xn), если существует подпоследовательность xnk

→ ξ.Пусть L(xn) — множество всех частичных пределов последовательности (xn).

4. Множество L(xn) не пусто и обладает наибольшим и наименьшим элемен-тами.¶ Если (xn) ограничена, то L(xn) не пусто в силу 11.1. Если (xn) не ограниченасверху (соответственно снизу), то множеству L(xn) принадлежит точка +∞ (соот-ветственно −∞). Покажем, например, что L(xn) обладает наибольшим элемен-том. В силу 8.3 существует ξ0 = supL(xn). Покажем, что ξ0 ∈ L(xn). Утверждениеочевидно, если ξ0 = +∞ (!!). Пусть ξ0 ∈ R. В силу 6.4 для любого N ∈ N выберем

ξN ∈ L(xn) так, чтобы ξ0 − 1N

< ξN . Пусть xn1 таково, что

ξ0 − 1 < xn1

(n1 существует, так как существует подпоследовательность последовательности (xn),сходящаяся к некоторому ξ1 > ξ0−1). Если xn1 , . . . , xnN−1 уже выбраны, найдем ин-декс nN из условия:

nN > nN−1, ξ0 − 1N

< xnN

(снова nN существует, т. к. существует подпоследовательность последовательности

(xn), сходящаяся к ξN > ξ0 − 1N

). По построению ξ ∈ L(xnN ) ⇒ ξ > ξ0. Остаетсязаметить, что L(xnN ) ⊂ L(xn). ¤

5. Верхним (соответственно нижним) пределом последовательности (xn) назы-вается наибольший (соответственно наименьший) элемент множества L(xn); он обо-значается limxn (соответственно limxn).

6. Верхний и нижний пределы существуют и limxn 6 lim xn. При этом limxn =lim xn ттогда существует limxn (и тогда limxn = lim xn = limxn).¶ 1-е утверждение следует из п. 4. Если limxn существует, то L(xn) одноэлементно,а значит, lim xn = lim xn. Обратно, пусть L(xn) одноэлементно: L(xn) = ξ. Пока-жем, что любая окрестность точки ξ является ловушкой для (xn). Если, например,ξ = +∞ и λ ∈ R произвольно, то вне интервала (λ,+∞) лежит лишь конечноечисло членов последовательности (xn) (в противном случае нашлась бы подпосле-довательность xnk

→ η 6 λ, что противоречит одноэлементности L(xn)). Пустьтеперь ξ ∈ R и a < ξ < b. Снова в промежутках (−∞, a] и [b,+∞) может лежатьлишь конечное число членов последовательности (xn), т. е. (a, b) — ловушка для(xn). ¤

7. П р и м е р. Для xn =1n

[2 + (−1)n]n : lim xn = 0, lim xn = +∞.

У п р а ж н е н и я. 8. Покажите, что limxn = limk

supn>k

xn, limxn = limk

infn>k

xn.

9. Если один из пределов lim xn, lim yn конечен или lim xn = lim yn, то lim (xn +yn) 6 limxn +lim yn. В аналогичных предположениях lim (xn +yn) > lim xn +lim yn.

10. Если xn → a > 0, то limxnyn = a · lim yn, lim xnyn = a · lim yn.

11. Пусть xn > 0 (n ∈ N). Доказать, что limxn+1

xn6 lim n

√xn, lim n

√xn 6 lim

xn+1

xn.

24

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§13. Элементарные свойства числовых рядов

1. Пусть (xn) — числовая последовательность. Формальная сумма

x1 + x2 + . . . (или короче:∞∑

n=1

xn,∑

n

xn,∑

xn) (1)

называется числовым рядом; числа xn называются членами ряда. Числа sn = x1 +. . . + xn (n = 1, 2, . . .) называются частными суммами ряда (1). Ряд (1) называетсясходящимся, если сходится последовательность (sn) его частных сумм. Число s =lim sn называется в этом случае суммой ряда (1); сумма ряда обозначается так же,как и сам ряд: s =

∑xn.

2. З а м е ч а н и е. Отбрасывание или добавление конечного числа членов рядане влияет на его сходимость.

3. Если ряды∑

xn,∑

yn сходятся, то сходятся ряды∑

(xn ± yn),∑

λxn

(λ ∈ R), причем∑

λxn = λ∑

xn,∑

(xn ± yn) =∑

xn ±∑

yn.

¶ Например,∑

(xn +yn) = limk

k∑n=1

(xn +yn) = limk

k∑n=1

xn +limk

k∑n=1

yn =∑

xn +∑

yn. ¤

4. З а м е ч а н и е. Из сходимости ряда∑

(xn + yn), конечно, не следует сходи-мость рядов

∑xn,

∑yn.

Отметим два важных критерия сходимости числовых рядов.5. К р и т е р и й [О. Коши]. Ряд (1) сходится ттогда

∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p (|xn+1 + . . . + xn+p| < ε). (2)

6. Ряд (1) с неотрицательными членами сходится ттогда последовательностьего частных сумм ограничена.¶ П.5. Ряд (1) сходится ттогда сходится последовательность (sn) его частных сумм.Так как sn+p − sn = xn+1 + . . . + xn+p, в силу 11.7 это эквивалентно условию (2).Утверждение 6 следует из 11.3, примененного к последовательности частных суммряда (1). ¤

Полагая в п. 5 p = 1, получаем необходимое условие сходимости ряда:7. Если ряд

∑xn сходится, то xn → 0.

8. Рядом Лейбница называется ряд вида x1 − x2 + x3 − . . ., где xn > 0, причемx1 > x2 > . . . , xn → 0. Ряд Лейбница всегда сходится и его сумма 6 x1.¶ Из представлений

s2n = x1 − (x2 − x3)− . . .− (x2n−2 − x2n−1)− x2n 6 x1,

s2n = (x1 − x2) + . . . + (x2n−1 − x2n)

25

следует, что последовательность (s2n) ограничена сверху и не убывает, так что су-ществует s = lim s2n 6 x1. Кроме того, lim s2n+1 = lim(s2n + x2n+1) = s, откудаlim sn = s. ¤

П р и м е р ы. 9. Ряд 1− 1 + 1− 1 + . . . расходится.

10. Ряд∞∑

n=0xn = 1+x+x2 + . . . расходится при |x| > 1, так как xn не стремится

к 0 (см. п. 7). При |x| < 1 ряд сходится: sn = 1+x+ . . .+xn−1 =1− xn

1− x→ (1−x)−1.

11. Ряд 1 +12

+13

+ . . . называется гармоническим. Он расходится, так как для

него нарушается критерий п. 5: |s2n − sn| = 1n + 1

+ . . . +12n

>12.

12. Ряд 1− 12

+13− . . . сходится (это ряд Лейбница).

§14. Признаки сходимости знакопостоянных рядов

1. Пусть∑

xn,∑

yn — ряды с неотрицательными членами.(а) Если xn 6 yn (n ∈ N), то из сходимости

∑yn следует сходимость

∑xn, а

из расходимости∑

xn — расходимость∑

yn.

(б) Если limxn

yn= A > 0, то оба ряда

∑xn,

∑yn сходятся или расходятся

одновременно.

¶ (а) следует из 13.6, поскольку tk =k∑

n=1yn >

k∑n=1

xn = sk, k ∈ N. Пусть ε > 0

таково, что 0 < ε < A и | xn

yn− A| < ε (n > N), то есть 0 < (A − ε)yn < xn <

(A + ε)yn (n > N). Теперь (б) следует из (а). Например, если∑

xn сходится, тосходится ряд

∑ xn

A− ε(см. 13.3) и, так как yn <

xn

A− ε(n > N), сходится ряд

∑yn. ¤

2. [Признак Даламбера]. Пусть xn > 0 (n ∈ N).

(а) Если limxn+1

xn< 1, то ряд

∑xn сходится.

(б) Если limxn+1

xn> 1, то ряд

∑xn расходится.

3. [Признак Коши]. Пусть xn > 0 (n ∈ N).(а) Если lim n

√xn < 1, то ряд

∑xn сходится.

(б) Если lim n√

xn > 1, то ряд∑

xn расходится.

4. З а м е ч а н и е. Условие (а) признака Даламбера (соответственно признакаКоши) эквивалентно условию:

∃n0 ∀n > n0

(xn+1

xn6 q < 1 (соответственно n

√xn 6 q < 1)

).

¶ 2(а). В силу п. 4xn+1

xn6 q < 1 при n > n0. Без ограничения общности можно

считать, чтоxn+1

xn6 q для всех n ∈ N. Тогда xn+1 = x1 · x2

x1· x3

x2· . . . xn+1

xn6 x1q

n, но

при q < 1 ряд x1q + x1q2 + x1q

3 + . . . сходится, и утверждение следует из п. 1(а).

26

3(б). Пусть r таково, что lim n√

xn > r > 1. Тогда существует подпоследователь-ность (xnk

) последовательности (xn) такая, что xnk> 1 (k ∈ N). В силу 13.7 ряд∑

xn расходится. Аналогично устанавливаются 2(б) и 3(а). ¤

5. У п р а ж н е н и е. Исследовать на сходимость ряды:∞∑

n=0

xn

n!,∞∑

n=1

(n

n + 1

)n2

.

6. З а м е ч а н и е. Полезно иметь в виду, что ряд∞∑

n=1

1np

сходится при p > 1

и расходится при p 6 1. Последнее следует из расходимости гармонического ряда,первое будет установлено позднее (см. 59.2).

§15. Абсолютно сходящиеся ряды

1.Особо важное значение для математического анализа и его приложений имеютчисловые ряды, наследующие известное для конечных сумм правило “от переста-новки слагаемых сумма не меняется”. В этом параграфе мы рассмотрим такие ряды.Ряд ∑

xn (∗)называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

∑ |xn|.2. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

¶ Воспользуемся 13.5. Пусть ряд∑ |xn| сходится и ε > 0 произвольно. Тогда

∃N ∀n > N ∀p (|xn+1| + . . . + |xn+p| < ε). Следовательно, для любого n > N илюбого p имеем |xn+1 + . . . + xn+p| < |xn+1| + . . . + |xn+p| < ε, то есть для (∗)выполнен критерий 13.5. ¤

3. З а м е ч а н и е. Как показывают примеры 13.11 и 13.12, ряд может сходиться,но не абсолютно.

4. Т е о р е м а. Если ряд (∗) сходится абсолютно, то сходится ряд∑

x′n,полученный из (∗) какой-либо перестановкой его членов, причем

∑x′n =

∑xn.

Обратно, если для сходящегося ряда (∗) сходится всякий ряд∑

x′n, полученныйиз (∗) какой-либо перестановкой его членов, то ряд (∗) сходится абсолютно.

¶ Пусть (∗) сходится абсолютно и xn > 0 (n ∈ N). Пусть s =∑

xn и s′k =k∑

n=1x′n.

Тогда s′k 6 s (k ∈ N) и∑

x′n сходится в силу 13.6, причем∑

x′n 6 s. Аналогично∑xn 6

∑x′n.

В общем случае (ряд (∗) знакопеременный) положим

x+n =

xn, если xn > 0,0, если xn < 0,

x−n = −xn, если xn 6 0,

0, если xn > 0,

так что xn = x+n − x−n . Ряды

∑x+

n ,∑

x−n (с неотрицательными членами) сходятся,так как x±n 6 |xn| (n ∈ N). Используя доказанную выше возможность переставлятьчлены знакопостоянного сходящегося ряда, имеем

∑xn =

∑(x+

n − x−n ) =∑

x+n −

∑x−n =

∑x′+n −

∑x′−n

=∑

(x′+n − x′−n ) =∑

x′n.

27

Переходим к доказательству обратного утверждения теоремы. Пусть, напротив,ряд (∗) сходится не абсолютно. Достаточно установить, что при подходящей переста-новке его членов полученный ряд

∑x′n будет расходиться. Для ряда (∗) рассмотрим

два вспомогательных ряда: y1 + y2 + . . . , z1 + z2 + . . . Членами 1-го (соответственно2-го) ряда являются положительные (соответственно неположительные) члены ряда(∗), занумерованные в порядке возрастания индексов. Один из этих знакопостоян-ных рядов расходится. (На самом деле они, как нетрудно видеть, расходятся оба.)Действительно, если они оба сходятся, то это означает, что абсолютно сходится ряд(∗). Теперь нетрудно выписать искомый расходящийся ряд

∑x′n. В качестве него

можно, например, взять ряд вида

y1 + . . . + yn1 + z1 + yn1+1 + . . . + yn2 + z2 + yn2+1 + . . . + yn3 + z3 + . . . ,

где последовательность индексов n1 < n2 < . . . выбрана из условий

y1 + . . . + yn1 > 1,y1 + . . . + yn2 > 2− z1,. . . . . . . . . . . . . .y1 + . . . + ynk

> k − (z1 + . . . + zk−1),. . . . . . . . . . . . . .

Подпоследовательность s′nk+k−1 последовательности s′n частных сумм ряда∑

x′nобладает свойством s′nk+k−1 > k (k ∈ N), так что ряд

∑x′n расходится. ¤

§16. Двойные ряды

1. Рассмотрим бесконечную таблицу чисел

u11 u12 . . . u1n . . .u21 u22 . . . u2n . . .. . . . . . . . . . . . . . .um1 um2 . . . umn . . .. . . . . . . . . . . . . . .

Двойным рядом называется формальная сумма∞∑

i,k=1

uik (или короче∑

i,k

uik). (∗)

Числа smn =m∑

i=1

n∑k=1

uik называются частными суммами ряда (∗). Число α называ-

ется суммой ряда (∗) (пишут α =∑i,k

uik), если

∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N (|smn − α| < ε).

В этом случае ряд (∗) называется сходящимся.

2. П р и м е р. Пусть задана таблица

0 1 1 . . .−1 0 1 . . .−1 −1 0 . . .. . . . . . . . . . . .

28

Хотя snn = 0 (n ∈ N), ряд∑i,k

uik расходится.

3. У п р а ж н е н и е. Если uik > 0 (i, k ∈ N) и α = supm,n

smn, то∑i,k

uik = α.

4. З а м е ч а н и е. Над двойными рядами можно производить те же арифме-тические операции, что и над обычными (см. 13.3).

5. Ряд (∗) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд∑i,k

|uik|.

6. Если ряд (∗) сходится абсолютно, то он сходится.¶ Проверяется, как и для обычных рядов, с помощью должным образом сформули-рованного критерия Коши для двойных рядов (см. ниже п. 9). ¤

7. Если ряд (∗) сходится абсолютно, и его члены перенумерованы (любым спо-собом) одним индексом v1, v2, . . ., то

∑j

vj =∑i,k

uik.

¶ Из неравенстваn∑

j=1|vj | 6

∑i,k

|uik| (n ∈ N) следует, что ряд∑

vj сходится абсолют-

но. Переставим члены ряда∑

vj так, чтобы получился ряд∑

v′j = u11 + (u12 + u21 + u22) + (u13 + u23 + u33 + u32 + u31) + . . . .

Обозначив через s′n частную сумму ряда∑

v′j , имеем

∑vj =

∑v′j = lim s′n = lim s′n2 = lim

n

n∑

i,k=1

uik =∑

i,k

uik

(последнее равенство в цепочке верно, так как (∗) сходится). ¤В качестве приложения понятия двойного ряда получим теорему о перемноже-

нии абсолютно сходящихся рядов.8. Если ряды

∑ui,

∑vk сходятся абсолютно, то

(∑

ui)(∑

vk) =∑

i,k

uivk,

причем ряд в правой части сходится абсолютно.¶ Последнее утверждение следует из оценки

m∑

i=1

n∑

k=1

|uivk| =( m∑

i=1

|ui|)( n∑

k=1

|vk|)

6(∑ |ui|

)(∑ |vk|).

Теперь 1-е утверждение является следствием цепочки равенств:

(∑

ui)(∑

vk) =(limn

n∑

i=1

ui

)(limn

n∑

k=1

vk

)= lim

n

( n∑

i=1

ui

)( n∑

k=1

vk

)= lim

n

n∑

i,k=1

uivk.

9. У п р а ж н е н и е. Докажите, что двойной ряд (∗) сходится ттогда

∀ε > 0 ∃N ∀n,m, p, q > N (|smn − spq| < ε).

29

§17. Повторные ряды

1. Повторными рядами называются формальные суммы вида

∞∑

i=1

( ∞∑

k=1

uik

),

∞∑

k=1

( ∞∑

i=1

uik

).

Повторный ряд∞∑i=1

( ∞∑k=1

uik

)называется сходящимся, если при каждом i сходится

ряд∞∑

k=1

uik, причем сходится ряд∞∑i=1

vi, где vi ≡∞∑

k=1

uik; сумма∞∑i=1

vi называется

суммой данного повторного ряда.

2. Если двойной ряд∑i,k

uik сходится абсолютно, то

∑

i,k

uik =∞∑

i=1

( ∞∑

k=1

uik

)=

∞∑

k=1

( ∞∑

i=1

uik

).

¶ 1-й случай: uik > 0. Пусть α =∑i,k

uik. Тогдаn∑

k=1

uik 6 α. Отсюда∞∑

k=1

uik сходится

при любом i. Зафиксируем m. Тогда

m∑

i=1

( ∞∑

k=1

uik

)=

∞∑

k=1

(m∑

i=1

uik

)= lim

n

n∑

k=1

(m∑

i=1

uik

)6 α.

Так как m произвольно, β ≡∞∑i=1

( ∞∑k=1

uik

)6 α. С другой стороны, smn =

m∑i=1

n∑k=1

uik 6m∑

i=1

( ∞∑k=1

uik

)6 β, то есть α = sup

m,nsmn 6 β.

2-й случай (общий). Пусть

u+ik =

uik, если uik > 0,0, если uik < 0,

u−ik = −uik, если uik 6 0,

0, если uik > 0.

Тогда uik = u+ik − u−ik, |uik| = u+

ik + u−ik и ряды∑i,k

u±ik сходятся, так как сходится ряд∑i,k

|uik|. Следовательно,

∑

i,k

uik =∑

i,k

u+ik −

∑

i,k

u−ik =∞∑

i=1

( ∞∑

k=1

u+ik

)−

∞∑

i=1

( ∞∑

k=1

u−ik

)=

∞∑

i=1

( ∞∑

k=1

uik

).

3. З а м е ч а н и е. Утверждение, обратное доказанному, неверно (постройтесоответствующий пример).

30

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

§18. Определение предела функции в точке

В этом разделе начинается изучение локального поведения числовых функций.Следующее центральное определение придает точный математический смысл ти-пичной ситуации, когда при приближении точки x к точке a значение функцииf(x) приближается к числу α.

1. Пусть f : E → R (E ⊂ R) и a — предельная точка множества E. Число αназывается пределом функции f в точке a, если xn → a (a 6= xn ∈ E) влечетf(xn) → α. В этом случае пишут α = lim

x→af(x). Отметим, что f может быть и не

определена в точке a.

2. Пусть f : E → R и a — предельная точка E. Следующие условия эквива-лентны:

(а) α = limx→a

f(x),

(б) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− α| < ε),

(в) ∀U(α) ∃V (a) (f(V(a) ∩ E) ⊂ U(α)).

¶ Ясно, что (б) ⇔ (в). Покажем, что (а) ⇒ (б). Если (б) не выполняется, то

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ E (0 < |x− a| < δ, |f(x)− α| > ε).

В частности, для последовательности δn =1n

(n ∈ N) существует последователь-

ность (xn) (xn ∈ E) такая, что 0 < |xn − a| <1n

, |f(xn) − α| > ε, так чтоxn → a (a 6= xn ∈ E), но f(xn) 6→ α.

(б) ⇒ (а). Пусть xn → a (a 6= xn ∈ E), ε > 0 — произвольно и δ > 0 таково, что∀x ∈ E (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− α| < ε). Если N таково, что |xn − a| < δ (n > N),то |f(xn)− α| < ε (n > N), то есть f(xn) → α. ¤

П р и м е р ы. 3. limx→a

cosx = cos a. (С учетом неравенства | sinx| 6 |x| (x ∈ R)

имеем | cosx−cos a| = 2| sin x− a

2·sin x + a

2| 6 2|x− a

2| = |x−a|. Остается применить

2(б).)

4. limx→0

sin1x

не существует: xn =2

π(2n + 1)→ 0, но sin

1xn

= (−1)n не сходится.

§19. Свойства предела функции

1. Предел функции единствен.¶ Если, напротив, α и β — два различных числа, являющихся пределами функцииf в точке a, выберем непересекающиеся окрестности U(α) и U(β) этих чисел (этоможно сделать в силу 7.3). Мы приходим тогда к противоречию с условием 18.2(в).¤

31

2. Функция f : E → R называется ограниченной на множестве A ⊂ E, еслиf(A) — ограниченное множество. Следующее свойство гласит, что из существованияпредела функции в точке следует ее ограниченность в окрестности этой точки:

Если α = limx→a

f(x), то существует окрестность U(a) точки a такая, что f

ограничена на множестве U(a) ∩ E.¶ Пусть U(a) такова, что |f(x) − α| < 1 (x ∈ U(a) ∩ E). Тогда |f(x)| 6 |α| + 1(x ∈ U(a) ∩ E). ¤

3. Пусть α = limx→a

f(x), β = limx→a

g(x). Тогда

limx→a

[f(x)± g(x)] = α± β,

limx→a

f(x)g(x) = αβ,

limx→a

f(x)g(x)

=α

β(β 6= 0).

4. [Критерий Коши]. Пусть f : E → R и a — предельная точка множестваE; lim

x→af(x) существует ттогда

∀ε > 0 ∃U(a) ∀x′, x′′ ∈ U(a) ∩ E (|f(x′)− f(x′′)| < ε). (∗)

5. Пусть f, g, h заданы на множестве E ⊂ R, причем существует окрестностьU(a) такая, что f(x) 6 g(x) 6 h(x) (x ∈ U(a)∩E) и lim

x→af(x) = lim

x→ah(x) = α. Тогда

limx→a

g(x) = α.

¶ Свойства п. 3 получаются из подходящих свойств для пределов последовательно-стей (!!). Докажем еще два утверждения.

4 (достаточность). Пусть xn → a (a 6= xn ∈ E), ε > 0 — пpоизвольно и N таково,что xn ∈ U(a) при n > N , так что в силу (∗) ∀n,m > N (|f(xn)− f(xm)| < ε). Итак,последовательность (f(xn)) фундаментальна и, следовательно, обладает пределом.Остается заметить, что этот предел не зависит от выбора последовательности (xn).(Допустив, что для (x′n) последовательность (f(x′n)) сходится к другому пределу,приходим к противоречию со свойством единственности предела, если возьмем но-вую последовательность x1, x

′1, x2, x

′2, . . .)

5. Пусть xn → a (a 6= xn ∈ E). Тогда ∃n0 ∀n > n0 (xn ∈ U(a)) и, следовательно,f(xn) 6 g(xn) 6 h(xn) (n > n0). Теперь по свойству 10.2 lim

x→ag(x) = α. ¤

П р и м е р ы. 6. limϕ→0

sinϕ

ϕ= 1. (Площадь сектора

OAM < площ.∆OMN (см. Рис. 7), то есть12|ϕ| < 1

2MN

или |ϕ| < | tg ϕ|. Поэтому cosϕ <sinϕ

ϕ< 1 (ϕ ∈ U(0)).

Остается учесть 18.3 и п. 5.)

7. limϕ→0

tg ϕ

ϕ= 1.

8. З а м е ч а н и е. Тригонометрические, степенная,показательная и логарифмическая функции обладаютсвойством lim

x→af(x) = f(a). Для тригонометрических

32

— это следствие 18.3 и п. 3. Для остальных типов функций это свойство будетустановлено позднее. Следует оговориться, что упоминавшиеся выше элементарныефункции нами строго не определены. Позднее (§27) этот пробел будет частично вос-полнен — будут аккуратно введены показательная, логарифмическая и степеннаяфункции.

У п р а ж н е н и я. 9. Если limx→a

f(x) = α 6= 0, то для некоторой окрестности

U(a) функция f на множестве U(a) сохраняет знак числа α.10. Если f : [a, b) → R монотонна и ограничена, то lim

x→bf(x) существует.

§20. Видоизменения понятия предела функции

1. Пусть f : E → R (E ⊂ R) и a — предельная точка множества E ∩ (a,+∞).Число α называется пределом функции f в точке a справа (пишут α = lim

x→a+f(x)),

если xn → a (a < xn, xn ∈ E) ⇒ f(xn) → α. Аналогично определяется limx→a− f(x) —

предел функции f в точке a слева.

2. Пусть f : E → R, E не ограничено. Число α называется пределом функции fв ∞ (пишут α = lim

x→∞ f(x)), если xn → ∞ (xn ∈ E) влечет f(xn) → α. Аналогичноопределяются пределы lim

x→±∞ f(x).

3. Наконец, можно считать, что α — несобственная точка. Например, limx→a

f(x) =∞ при a ∈ R означает, что для функции f : E → R точка a предельная для E иxn → a (a 6= xn ∈ E) ⇒ f(xn) →∞.

З а м е ч а н и я. 4. С определением п. 2 согласуется определение предела по-следовательности (§9) (вспомним, что последовательность есть функция, заданнаяна N).

5. Для введенных видоизменений понятия предела функции в точке остаютсясправедливыми (за очевидными исключениями) свойства предела, рассмотренныев §19.

П р и м е р ы. 6. limx→0+

sgn x = 1, limx→0−

sgn x = −1, limx→0

sgn x не существует.

7. limx→0+

| sinx|x

= 1, limx→0−

| sinx|x

= −1.

8. limx→∞

(1 +

1x

)x

= e. Достаточно доказать равенство для случаев x → ±∞. В

случае x → +∞ равенство является следствием неравенств(

1 +1

[x] + 1

)[x]

<

(1 +

1x

)x

<

(1 +

1[x]

)[x]+1

с учетом свойств 19.5 и 11.5. В случае x → −∞:

limx→−∞

(1 +

1x

)x

= limy→+∞

(1− 1

y

)−y

= limy→+∞

(y

y − 1

)y

= limy→+∞

(1 +

1y − 1

)y−1 (1 +

1y − 1

)= e.

33

9. limx→0

(1 + x)1/x = e (следствие примера 8).

10. Имеется некоторое количество Ω радиоактивного вещества. Известен коэф-фициент распада k — отношение количества атомов, распадающихся в единицу вре-мени, к общему количеству атомов вещества. Согласно законам ядерной физики kзависит лишь от вещества. Требуется узнать количество Ωt вещества, которое оста-нется по прошествии времени t. В качестве приближенного значения можно взятьвеличину Ω − ktΩ, то есть Ωt ≈ (1 − kt)Ω. Однако это значение не точно, так какза время t количество вещества не остается постоянным, а уменьшается. Разделимпромежуток t на n частей. Тогда

Ωt/n ≈(

1− kt

n

)Ω, Ω2t/n ≈

(1− k

t

n

)Ωt/n ≈

(1− k

t

n

)2

Ω, . . . , Ωt ≈(

1− kt

n

)n

Ω.

В пределе при n →∞ мы получим искомую величину

Ωt = limn

(1− k

t

n

)n

Ω = limn

[(1 +

1(−n/kt)

)−n/kt]−kt

Ω = e−ktΩ.

11. У п р а ж н е н и е. Выпишите приведенные выше определения пп. 1,2,4 втерминах “ε− δ” и ˇ-окрестностей.

§21. Асимптотика

1. Часто функция определена в окрестности некоторой точки a, но, возможно,не определена в самой точке a. Возникает вопрос, как ведет себя эта функция вбли-зи точки a? Для сложных функций желательно иметь хорошую аппроксимацию спомощью простых функций. Введем несколько технических понятий, полезных прирешении указанных задач.

Пусть функции f и g определены в некоторой ˇ-окрестности точки a. Тогда

f(x) = o(g(x)) (x → a) означает: limx→a

f(x)g(x)

= 0,

f(x) = O(g(x)) (x → a) означает: ∃U(a) ∃C > 0 ∀x ∈ U(a) (|f(x)| 6 C|g(x)|),

f(x) ∼= g(x) (x → a) означает: limx→a

f(x)g(x)

= 1.

Отметим некоторые свойства асимптотических равенств.2. f(x) ∼= g(x) (x → a) ттогда f(x) = g(x) + o(g(x)) (x → a).

¶ f(x) ∼= g(x) (x → a) ⇒ f(x) = g(x) + r(x), где r(x) =[f(x)g(x)

− 1]g(x), причем

limx→a

r(x)g(x)

= limx→a

[f(x)g(x)

− 1]

= 0. Обратно, f(x) = g(x) + o(g(x)) (x → a) влечет

limx→a

f(x)g(x)

= limx→a

[1 +

o(g(x))g(x)

]= 1. ¤

3. Если f(x) ∼= g(x) (x → a) и существует limx→a

g(x)ψ(x), то limx→a

f(x)ψ(x) суще-ствует и lim

x→af(x)ψ(x) = lim

x→ag(x)ψ(x).

¶ Действительно, limx→a

f(x)ψ(x) = limx→a

f(x)g(x)

g(x)ψ(x) = limx→a

g(x)ψ(x). ¤

34

4. Аналогично определяются асимптотические равенства, соответствующие ви-доизменениям понятиям предела (§20). Для них также справедливы свойства 2, 3.

П р и м е р ы [замечательных эквивалентностей].5. sinx ∼= x (x → 0),

6. 1− cosx ∼= 12x2 (x → 0),

7. ln(1 + x) ∼= x (x → 0),8. ax − 1 ∼= ln a · x (x → 0),9. ex − 1 ∼= x (x → 0),

10. k√

1 + x− 1 ∼= x

k(x → 0).

¶ 5. Это пример 19.6.6. Используя п. 5, имеем

limx→0

1− cosx

x2/2= lim

x→0

2 sin2 x

2x2/2

= limx→0

2(12x)2

x2/2= 1.

7. limx→0

ln(1 + x)x

= limx→0

ln(1 + x)1/x = 1 (см. 20.9, 19.8).

9. Для ϕ(x) = ex − 1 в силу 19.8 имеем limx→0

ϕ(x) = 0. Поэтому с учетом п. 7

limx→0

ex − 1x

= limx→0

ϕ(x)ln(1 + ϕ(x))

= 1.

10. Указание: положить ϕ(x) = k√

1 + x − 1 и использовать формулу биномаНьютона. ¤

У п р а ж н е н и я. 11. Если f(x) = o(ϕ(x)) (x → a), g(x) = o(ϕ(x)) (x → a), тоf(x)± g(x) = o(ϕ(x)) (x → a).

12. Пусть f(x) = o(ϕ(x)) (x → a), ϕ(x) = o(ψ(x)) (x → a). Тогда f(x) =o(ψ(x)) (x → a).

§22. Непрерывность функции в точке

1. Функция f : E → R называется непрерывной в точке a ∈ E, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E (|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε),

или если ∀U(f(a)) ∃V (a) (f(V (a) ∩ E) ⊂ U(f(a))).В частности, если a — изолированная точка E, то каждая функция f : E → R

непрерывна в a. Если a — не изолированная точка E, то непрерывность f в точкеa эквивалентна равенству lim

x→af(x) = f(a).

С учетом 18.1 можно сформулировать условие непрерывности функции в точкена языке последовательностей: функция f : E → R непрерывна в точке a ∈ Eттогда из xn → a (xn ∈ E) следует f(xn) → f(a).

2. З а м е ч а н и е. Если a — не изолированная точка множества E, то f : E → Rнепрерывна в a ттогда f(a + h)− f(a) = o(1) (h → 0).

35

Рассмотрим свойства функций, непрерывных в точке.3. Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрест-

ности этой точки.

4. Если f непрерывна в a и f(a) 6= 0, то f сохраняет знак числа f(a) в некото-рой окрестности точки a.

5. Пусть f, g непрерывны в точке a. Тогда в этой точке непрерывны такжефункции f ± g, f · g, f/g (если g(a) 6= 0).

6. [Непрерывность суперпозиции]. Пусть f : E → R, g : F → R, f(E) ⊂ F .Пусть далее f непрерывна в точке a и g непрерывна в точке f(a). Тогда g fнепрерывна в a.¶ П.3 следует из 19.2, п. 4 — из 19.9, п. 5 — из 19.3. Докажем п. 6. Пусть a ∈ E иxn → a (xn ∈ E). Тогда f(xn) → f(a), так как f непрерывна в a. Следовательно,g f(xn) = g(f(xn)) → g(f(a)), так как g непрерывна в f(a). ¤

7. Функция f : E → R называется непрерывной, если она непрерывна в каждойточке x ∈ E.

8. Примеры непрерывных функций.(а) Постоянная функция f(x) = λ (x ∈ R).(б) Линейная функция f(x) = λx (x ∈ R).(в) Полином p(x) = λ0 + λ1x + . . . + λnxn (x ∈ R).

(г) Рациональная функция r(x) =p(x)q(x)

(q(x) 6= 0), где p, q — полиномы.

(д) Тригонометрические функции sinx, cosx, tg x, ctg x (их непрерывность сле-дует из 18.3).

§23. Точки разрыва

1. Точка a ∈ E называется точкой разрыва для функции f : E → R, если f ненепрерывна в a. Полезна следующая простая классификация точек разрыва: a ∈ Eназывается точкой разрыва 1-го рода для функции f : E → R, если существуютпределы lim

x→a− f(x), limx→a+

f(x) и хотя бы один из них отличен от f(a); точка разрываназывается точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-города.

П р и м е р ы. 2. Точка 0 является точкой разрыва 1-го рода для функции

f(x) =

| sinx|x

, если x 6= 0,

0 , если x = 0.

3. Точка 0 — точка разрыва 2-го рода для функции

f(x) =

sin

1x

, если x 6= 0,

0, если x = 0.

У п р а ж н е н и я. 4. У монотонной функции точки разрыва могут быть только1-го рода.

36

5. Функция Римана R(x) определена соглашениями: R(0) = 0, R(x) = 0 прииррациональном x, R(p/q) = 1/q, если p ∈ Z\0, q ∈ N и p/q — несократимаядробь. Показать, что R(x) непрерывна в иррациональных точках и только в них.Какого рода точки разрыва этой функции?

§24. Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Выше мы изучили локальные свойства (то есть свойства, связанные с пове-дением функции в малой окрестности точки из области определения) непрерывнойфункции. Отметим, что и само понятие непрерывности функции в точке являет-ся локальным свойством. Тем более примечательно, что для определенного классачисловых множеств можно говорить о глобальных свойствах непрерывных функций(то есть свойствах, связанных с поведением функции на всей области ее определе-ния). Пока мы ограничимся изучением глобальных свойств непрерывных функций,заданных на отрезке.

2. Пусть f : [a, b] → R непрерывна. Тогда

(а) функция f ограничена,

(б) функция f достигает своих граней (то есть существуют c, d ∈ [a, b] такие,что f(c) = sup

x∈[a,b]f(x), f(d) = inf

x∈[a,b]f(x)),

(в) если числа f(a) 6= 0, f(b) 6= 0 имеют разные знаки, то существует c ∈ (a, b)такое, что f(c) = 0,

(г) если f(a) < γ < f(b), то найдется c ∈ (a, b) такое, что f(c) = γ.

¶ (а). Пусть, напротив, ∀n ∃xn ∈ [a, b] (|f(xn)| > n). Последовательность (xn) содер-жит сходящуюся подпоследовательность (xnk

), xnk→ c (см. 11.1). Следовательно

f(xnk) → f(c), но это противоречит тому, что |f(xnk

)| > nk (k ∈ N).(б). По свойству (а) существует α = sup

x∈[a,b]f(x). Пусть xn ∈ [a, b] таковы, что

α − 1n

< f(xn) 6 α (n ∈ N) и (xnk) — сходящаяся подпоследовательность: xnk

→ c.

Тогда α − 1nk

< f(xnk) 6 α (k ∈ N), f(xnk

) → f(c) (k → ∞). Отсюда по свойству

10.2 α = f(c).(в). Пусть для определенности f(a) > 0, f(b) < 0 и

F = x ∈ [a, b] : f(y) > 0, y ∈ [a, x].

Множество F 6= ∅ (например, a ∈ F ) и ограничено. Поэтому существует c = supF .Точка c искомая: неравенство f(c) > 0 противоречит (в силу 22.4) тому, что c —мажоранта F , а f(c) < 0 невозможно, так как c — наименьшая мажоранта F .

(г). Положим g(x) = f(x)− γ и применим к g свойство (в). ¤

П р и м е р ы. 3. Функция f(x) =1x

(0 < x < 1) непрерывна, но не ограничена;она ограничена снизу, но не достигает своей нижней грани.

37

4. Уравнение x = cosx обладает корнем на отрезке [0, 1] (применим 2(в) к функ-ции f(x) = x− cosx).

5. У п р а ж н е н и е. Пусть E — один из промежутков (a, b), [a, b], (a, b], [a, b)(включая несобственные) и f : E → R непрерывна и строго возрастает. Тогда f(E)является промежутком того же типа.

6. Функция f : E → R (E ⊂ R) называется равномерно непрерывной на E, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ E (|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε).

Равномерно непрерывная функция, очевидно, непрерывна. Обратное, вообще гово-

ря, неверно. Например, функция f(x) =1x

(0 < x < 1) непрерывна, но не равномерно

(для x = δ, y =δ

2: |x− y| < δ, |1

x− 1

y| > 1

δ> 1 для всех δ ∈ (0, 1)).

7. Если f : [a, b] → R непрерывна, то она и равномерно непрерывна.¶ Пусть напротив, ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x, y ∈ E (|x− y| < δ, |f(x)− f(y)| > ε). Тогда для

δk =1k

(k ∈ N) найдутся xk, yk ∈ [a, b] такие, что

|xk − yk| < 1k, |f(xk)− f(yk)| > ε (k ∈ N). (∗)

Последовательность (xk), будучи ограниченной, обладает сходящейся подпоследо-вательностью (xkj ) : xkj → c ∈ [a, b]. Тогда ykj = (ykj − xkj ) + xkj → c. Так как fнепрерывна в c, то f(xkj )− f(ykj ) → f(c)− f(c) = 0, что противоречит (∗). ¤

§25. Продолжение по непрерывности

Пусть f : E → R равномерно непрерывна на E, и E′ — множество всех предель-ных точек множества E. Тогда f допускает равномерно непрерывное продолжениена E ∪ E′.¶ Требуется доказать, что существует f : F → R, равномерно непрерывная наF ≡ E ∪E′ и такая, что f |E = f . Для каждой точки a ∈ E′ по критерию Коши 19.4существует lim

x→af(x). Положим

f(a) =

f(a), если a ∈ E,limx→a

f(x), если a ∈ E′\E.

Убедимся, что f : F → R равномерно непрерывна. По условию∀ε > 0∃δ > 0∀x′, x′′ ∈ E (|x′ − x′′| < 3δ ⇒ |f(x′) − f(x′′)| < ε/3). Пусть y, z ∈ Fтаковы, что |y − z| < δ. Тогда найдутся δ′, δ′′ (0 < δ′, δ′′ < δ) такие, что

|x′ − y| < δ′ ⇒ |f(x′)− f(y)| < ε/3 (x′ ∈ E),

|x′′ − z| < δ′′ ⇒ |f(x′′)− f(z)| < ε/3 (x′′ ∈ E).

Теперь, выбрав x′ ∈ (y − δ′, y + δ′) ∩ E, x′′ ∈ (z′′ − δ′′, z + δ′′) ∩ E, получим

|f(y)− f(z)| 6 |f(y)− f(x′)|+ |f(x′)− f(x′′)|+ |f(x′′)− f(z)|< ε

38

(мы учитываем, что |x′−x′′| 6 |x′−y|+ |y−z|+ |z−x′′| < 3δ). Утверждение доказано(см. подчеркнутый текст). ¤

§26. Непрерывность обратной функции

1. Пусть E — промежуток в R (см. 7.1) и f : E → R строго возрастает(убывает) и непрерывна. Тогда обратная функция g : F → R строго возрастает(соответственно убывает) и непрерывна.¶ В силу 4.2 нужно установить непрерывность g в каждой точке γ ∈ F . Пустьдля определенности E = [a, b]. Пусть c ∈ [a, b] таково, что f(c) = γ (см. 24.2(г)).Пусть γn — произвольная последовательность такая, что γn → γ (γn ∈ F ) и cn ∈ Eтаковы, что f(cn) = γn. Покажем, что cn → c. Если cn не сходится к c, то су-ществует подпоследовательность (cnk

), что cnk→ c′ 6= c; f(c′) 6= f(c) (из строгой

монотонности f). С другой стороны, f(cnk) = γnk

→ γ = f(c), f(cnk) → f(c′),

что невозможно. Поэтому g(γn)= g(f(cn)) = cn →c = g(f(c)) =g(γ). Утверждениедоказано (см. подчеркнутый текст). ¤

П р и м е р ы. 2. Функция f(x) = arcsinx (|x| 6 1) непрерывна. Непрерывны идругие обратные тригонометрические функции.

3. Функция f(x) = xn (x > 0) для n ∈ N непрерывна и строго возрастает.Поэтому обратная функция g : [0,+∞) → R непрерывна и строго возрастает. Итак,для каждого a > 0 существует единственное число b > 0 такое, что bn = a. Эточисло обозначается a1/n или n

√a и называется арифметическим корнем n-ой степени

из числа a. Таким образом, доказаны существование и непрерывность степеннойфункции g(x) = x1/n (x > 0) для n ∈ N.

У п р а ж н е н и я. 4. Доказать теорему п. 1 для случаев E = (a, b), [a, b).5. Если E — не промежуток, то теорема п. 1 неверна. Постройте соответствую-

щие примеры.

§27. Важнейшие элементарные функции

1. Показательная функция. Пусть a > 0. Показательная функция y = ax

(x ∈ R), a0 ≡ 1, характеризуется свойствами:

(а) ax+y = ax · ay,

(б) она строго возрастает (убывает) при a > 1 (при a < 1),

(в) она непрерывна,

(г) ap/q = (a1/q)p, где p ∈ Z, q ∈ N и a1/q определено в 26.3.

Для показательной функции с основанием e мы будем иногда пользоваться обо-значением ex ≡ expx.¶ Докажем существование показательной функции. В силу 26.3 определена функ-ция f(p) = ap (p ∈ Q). Функция f обладает свойствами (а) и (б) (!!). Покажем, чтоf равномерно непрерывна на каждом отрезке [−N,N ] ∩Q. Пусть например, a > 1.Если p < q (p, q ∈ [−N, N ] ∩Q), то 0 < aq − ap = ap(aq−p − 1) < aN (aq−p − 1). Пустьε > 0 произвольно и n0 ∈ N таково, что n > n0 ⇒ |a1/n− 1| < εa−N (см. 10.9). Тогда

∀p, q ∈ [−N,N ] ∩Q (|p− q| < 1n0

⇒ |ap − aq| < ε),

39

что и требовалось. Но каждая точка x ∈ R является предельной для Q, и в силу§25 определена непрерывная функция ax ≡ lim

p→x,p∈Qap (x ∈ R). Эта функция также

обладает свойствами (а) и (б) (!!). ¤2. Логарифмическая функция. Функция, обратная к показательной y = ax

(x ∈ R), a 6= 1, называется логарифмической и обозначается y = loga x (x > 0) ;при a = e пишут y = lnx. Имеют место без труда проверяемые тождества:

aloga x = x (x > 0), loga ax = x (x ∈ R),loga(xy) = loga x + loga y (x, y > 0), loga(x

y) = y loga x (x > 0).

3. Степенная функция. Это функция y = xb (x > 0), где по определениюсчитается, что xb ≡ eb ln x (x > 0). Таким образом, степенная функция непрерывнаи обладает свойствами:

(x · y)b = xbyb, limx→0+

xb = 0 (b > 0), limx→∞+

xb = +∞ (b > 0).

4. Гиперболические функции. Это функции, определенные равенствами:

shx =12(ex − e−x) (x ∈ R) — синус гиперболический,

chx =12(ex + e−x) (x ∈ R) — косинус гиперболический,

thx =shx

chx(x ∈ R) — тангенс гиперболический,

cthx =chx

shx(x 6= 0) — котангенс гиперболический.

5. С помощью введенных выше функций может быть определен класс элементар-ных функций, состоящий из показательной, логарифмической, тригонометрическихи обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из пе-речисленных выше с помощью арифметических операций и операции суперпозиции,примененных конечное число раз. Из 22.5, 22.6 следует, что любая элементарнаяфункция непрерывна на своей области определения.

40

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

§28. Задачи, приводящие к определению производной

1. Задача определения касательной к кривой. Рассмотрим график функцииy = f(x) (x ∈ E). Зафиксируем точку x0 и будем проводить через точку с коор-динатами (x0, f(x0)) прямые с различными угловыми коэффициентами k = tg α. Вточках, близких к x0, эти прямые аппроксимируют нашу кривую. Соответствующаяпогрешность аппроксимации в точке x0 + h равна (Рис. 8)

r(h) = f(x0 + h)− [f(x0) + kh].

Если f непрерывна в x0, то r(h) = o(1) (h → 0), т. е. погрешность стремится к нулювместе с h . Если среди прямых есть такая, для которой погрешность аппроксима-ции имеет высший, по сравнению с h, порядок малости, т. е. r(h) = o(h) (h → 0),то такая прямая единственна. Она называется касательной к кривой y = f(x) вточке x0.

¶ Условие существования касательной в точке x0 имеет вид f(x0+h)−[f(x0)+k0h] =

o(h) (h → 0); отсюда угловой коэффициент касательной k0 = limh→0

1h

[f(x0+h)−f(x0)].

Из единственности предела (см. 19.1) теперь следует единственность касательной,если она существует. ¤

Итак, искомое уравнение касательной

y − f(x0) = k0(x− x0), k0 = limh→0

1h

[f(x0 + h)− f(x0)].

2.Мгновенная скорость.Пусть s(t) — путь, пройденный материальной точкой завремя t. Средняя скорость на участке времени [t0, t0 +h] ([t0 +h, t0], если h < 0) есть

vcp. =1h

[s(t0 +h)− s(t0)]. Мгновенной скоростью (в момент времени t0) называется

величина v(t0) = limh→0

1h

[s(t0 + h)− s(t0)].

§29. Определение производной

1. Функция f : E → R (E ⊂ R) называется дифференцируемой в точке x ∈ E,если в E содержится некоторая окрестность точки x и

f(x + h)− f(x) = Ah + o(h) (h → 0). (∗)

41

Число A, которое обозначается также f ′(x), однозначно определяется равенством(∗) и называется производной функции f в точке x. Таким образом,

f ′(x) = limh→0

1h

[f(x + h)− f(x)].

2. З а м е ч а н и е. Если f дифференцируема в точке x, то она непрерывна в x.Это следует из (∗) с учетом 22.2.

3. Если f дифференцируема в точке x, то определено отображение Lx : R →R, Lx(h) = f ′(x)h (h ∈ R), связанное с точкой x и заданное на смещениях h. Этоотображение (оно линейно по h) называется производным (касательным) отобра-жением к f в точке x. Значение производного отображения на смещении h на-зывается дифференциалом функции f в точке x : Lx(h) = f ′(x)h. Смещение hтрадиционно обозначают символом dx (нужно помнить, что dx не зависит от x), адифференциал функции f в точке x обозначают df(x). Итак, df(x) = f ′(x)dx.

4. Если f : E → R дифференцируема в каждой точке множества E (это значит, вчастности, что E — открытое множество), то определена функция x → f ′(x) (x ∈ E),

которая называется производной функции f и обозначается f ′ илиdf

dx.

5. Если функция f дифференцируема в точке x0, то уравнение касательной кграфику функции y = f(x) в точке x0 задается уравнением (см. 28.1)

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).

На Рис. 9 виден геометрический смысл дифференциала функции f : df(x0) = f ′(x0)dx= AC, f(x0 + dx)− f(x0) = df(x0) + o(dx) = AB.

П р и м е р ы. 6. f(x) = C (x ∈ R) ⇒ f ′(x) = 0 (x ∈ R).7. (sinx)′ = cosx (x ∈ R).

¶ limh→0

1h

[sin(x + h)− sinx] = limh→0

1h· 2 sin

h

2· cos

2x + h

2= cosx. ¤

8. (cosx)′ = − sinx (x ∈ R).9. (ax)′ = ax ln a (x ∈ R). В частности, (ex)′ = ex (x ∈ R).

¶ ax+h − ax = ax(ah − 1) ∼= ax ln a · h (h → 0) (см. 21.8). ¤10. Понятие дифференциала часто используется в приближенных вычислениях.

“По всему земному шару выпало 1 мм осадков. Оценить выпавшее количество воды.”

Объем шара радиуса x равен v(x) =43πx3, приращение объема

v(x + dx)− v(x) ≈ dv(x) = v′(x)dx = 4πx2dx =(2πx)2

πdx

(мы использовали формулу для производной от степенной функции (см. ниже 30.5)).В нашем случае dx = 10−6 км., 2πx ≈ 4 · 104 км. Поэтому v(x + dx) − v(x) ≈16π· 102 км3 ≈ 510 км3.

42

11. Часто приходится рассматривать видоизменения понятия производной. Рас-смотрим асимптотические равенства:

f(x + h)− f(x) = A1h + o(h) (h → 0+),f(x + h)− f(x) = A2h + o(h) (h → 0−).

Если имеет место 1-е (соответственно 2-е) равенство, то говорят, что функция fобладает правой (соответственно левой) производной в точке x. Обозначения: A1 =f ′(x+), A2 = f ′(x−).

12. З а м е ч а н и е. Функция f дифференцируема в точке x ттогда f ′(x+) =f(x−).

13. У п р а ж н е н и е. Пусть f(x) = |x| (x ∈ R). Найти f ′(x) при x 6= 0, найтиf ′(0+), f ′(0−).

§30. Техника дифференцирования

1. Пусть f, g дифференцируемы в точке x. Тогда в x дифференцируемы f ± g,f · g, f/g (если g(x) 6= 0), причем

(а) (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x), d(f ± g)(x) = df(x)± dg(x),

(б) (f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),

d(f · g)(x) = g(x)df(x) + f(x)dg(x),

(в) (f/g)′(x) =1

g2(x)[f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)],

d(f/g)(x) =1

g2(x)[g(x)df(x)− f(x)dg(x)].

¶ Формулы для дифференциалов являются очевидным следствием соответствую-щих формул для производных. Формулы для производных следуют из вычислений:

(f + g)(x + h)− (f + g)(x) = [f(x + h)− f(x)] + [g(x + h)− g(x)]= f ′(x)h + o(h) + g′(x)h + o(h) = [f ′(x) + g′(x)]h + o(h) (h → 0),

(f · g)′(x) = limh→0

1h

[f(x + h)g(x + h)− f(x)g(x)]

= limh→0

[f(x + h)− f(x)

hg(x) + f(x + h) · g(x + h)− g(x)

h

]

= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),

(1/g)′(x) = limh→0

1h

[1

g(x + h)− 1

g(x)

]

= limh→0

[−1

h[g(x + h)− g(x)] · 1

g(x)g(x + h)

]= − g′(x)

g2(x). ¤

2. [Следствие]. (cf)′(x) = cf ′(x), c = const.

3. [Дифференцирование суперпозиции функций]. Пусть f : E → R, g : F → R,f(E) ⊂ F, f дифференцируема в x ∈ E, а g дифференцируема в f(x). Тогда g fдифференцируема в x, причем

(g f)′(x) = g′(f(x))f ′(x), d(g f)(x) = g′(f(x))df(x).

43

¶ Действительно,

g(f(x + h))− g(f(x)) = g(f(x) + [f(x + h)− f(x)])− g(f(x))= g′(f(x))[f(x + h)− f(x)] + o(f(x + h)− f(x)).

Так как o(f(x + h)− f(x)) = o(h) (h → 0), имеем отсюда

g(f(x + h))− g(f(x)) = g′(f(x))f ′(x)h + o(h) (h → 0). ¤

4. [Дифференцирование обратной функции]. Пусть f и g — взаимно обрат-ные функции. Пусть g непрерывна в точке x, а f дифференцируема в точке g(x),причем f ′(g(x)) 6= 0. Тогда g дифференцируема в точке x и

g′(x) =1

f ′(g(x)).

¶ Так как g непрерывна в x, величина g(x + h)− g(x) мала, если мало смещение h.Поэтому справедлива выкладка

h = x + h− x = f(g(x + h))− f(g(x))

= f(g(x) + g(x + h)− g(x))− f(g(x))

= f ′(g(x))(g(x + h)− g(x)) + o(g(x + h)− g(x))

= (g(x + h)− g(x))(f ′(g(x)) + o(1)) (h → 0).

Следовательно,

limh→0

1h

[g(x + h)− g(x)] = limh→0

[f ′(g(x)) + o(1)]−1 =1

f ′(g(x)). ¤

5. [Таблица производных элементарных функций].Часть приведенных ниже фор-мул получена ранее. Остальные получаются с помощью доказанных выше утвер-ждений (пп. 1 – 4). Дадим несколько иллюстраций.

Положим f(x) = ax (x ∈ R), g(x) = loga x (x > 0). Согласно п. 4

(loga x)′ = (aloga x · ln a)−1 =1

x ln a(x > 0).

В силу п. 3 и 29.13 (ln |x|)′ = 1|x| · sgn x =

1x

(x 6= 0).

Положим f(x) = sinx (|x| < π

2), g(x) = arcsinx (|x| < 1). Тогда (п. 4)

(arcsinx)′ =1

cos(arcsinx)=

1√1− x2

(|x| < 1).

Формула (xb)′ = bxb−1 (x ∈ R) легко получается по индукции для b = 0, 1, 2, . . . .Если b = −1,−2, . . ., то

(xb)′ = (1/x−b)′ = −(x−b)′/x−2b = bxb−1 (x 6= 0).

Если, наконец, b произвольно, то формула (xb)′ = bxb−1 (x > 0) есть следствиепредставления xb = eb ln x.

6. З а м е ч а н и е. Для вычисления производных функций вида f(x) = u(x)v(x)

(u(x) > 0) следует воспользоваться представлением f(x) = ev(x) ln u(x).

44

(sinx)′ = cosx (x ∈ R) (ax)′ = ax ln a (x ∈ R)

(cosx)′ = − sinx (x ∈ R) (ex)′ = ex (x ∈ R)

(tg x)′ =1

cos2 x(cosx 6= 0) (ln |x|)′ = 1/x (x 6= 0)

(ctg x)′ = − 1sin2 x

(sinx 6= 0) (loga |x|)′ =1

x ln a

(arcsinx)′ =1√

1− x2(|x| < 1) (x 6= 0, 0 < a 6= 1)

(arccosx)′ = − 1√1− x2

(|x| < 1) (shx)′ = chx (x ∈ R)

(arctg x)′ =1

1 + x2(x ∈ R) (chx)′ = sh x (x ∈ R)

(arcctg x)′ = − 11 + x2

(x ∈ R) (thx)′ =1

ch2 x(x ∈ R)

(xb)′ = bxb−1 (x > 0) (cthx)′ = − 1sh2 x

(x 6= 0)

У п р а ж н е н и я. Найти производные функций:7. ln(x +

√a2 + x2),

8. arcsinx

a(ответ: (a2 − x2)−1/2 · sgn a),

9. arcsin1x

(ответ: −[x(x2 − 1)−1/2] · sgn x (|x| > 1)),

10. xx ,11. ln | tg x|,12. f(x) =

exp−1/x2, если x 6= 0,0, если x = 0.

§31. Производные высших порядков

1. Пусть f : E → R дифференцируема в каждой точке E, то есть определенафункция f ′ : E → R . Если f ′ дифференцируема в точке x0, то число (f ′)′(x0) на-

зывается 2-й производной f в точке x0 и обозначается f ′′(x0) илиd2f(x0)

dx2. Пусть, в

частности, f ′ дифференцируема в каждой точке множества E. Тогда на E определе-на функция f ′′(x) ≡ (f ′)′(x) (x ∈ E), которая называется 2-й производной функции

f и обозначается f ′′ илиd2f

dx2. По индукции определяется производная n-ого порядка

в точке x0; обозначение f (n)(x0). Если f n раз дифференцируема в точке x, то ра-венством dnf(x) ≡ f (n)(x)dxn определяется дифференциал n-ого порядка функцииf в точке x.

2. [Формула Лейбница]. Пусть u, v — функции, n раз дифференцируемые в точкеx. Тогда (считая u(0) ≡ u) имеем

(uv)(n)(x) =n∑

k=0

(n

k

)u(k)(x)v(n−k)(x).

Здесь(nk

) ≡ n!k!(n− k)!

— биномиальные коэффициенты, 0! ≡ 1.

45

¶ Доказательство по индукции. При n = 1 — это формула 30.1(б). Если формулаверна для всех натуральных чисел 6 n, то

(uv)(n+1)(x) = ((uv)(n))′(x) =( n∑

k=0

(n

k

)u(k)v(n−k)

)′(x)

=n∑

k=0

(n

k

)[u(k+1)(x)v(n−k)(x) + u(k)(x)v(n−k+1)(x)]

= u(0)(x)v(n+1)(x) +n∑

k=1

[(n

k

)+

(n

k − 1

)]u(k)(x)v(n−k+1)(x)

+ u(n+1)(x)v(0)(x)

=n+1∑

k=0

(n + 1

k

)u(k)(x)v(n+1−k)(x). ¤

П р и м е р ы. 3. (cosx)(n) = cos(x +

πn

2

).

4. (x · cosx)(100) = x(cosx)(100) + 100(cosx)(99) = x · cosx + 100 sinx.

§32. Основные теоремы

1. Т е о р е м а [М. Ролль]. Пусть f : [a, b] → R непрерывна и на (a, b) диф-ференцируема, причем f(a) = f(b). Тогда существует c (a < c < b) такое, чтоf ′(c) = 0.

¶ Теорема очевидна, если f постоянна на [a, b]. Пусть f 6= const и существуетx ∈ (a, b) такое, что, например, f(x) > f(a). Тогда (см. 24.2(б)) найдется c ∈ (a, b)такое, что f(c) = sup

x∈[a,b]f(x). При этом

f ′(c+) = limh→0+

f(c + h)− f(c)h

6 0, f ′(c−) = limh→0−

f(c + h)− f(c)h

> 0.

Следовательно, f ′(c) = f ′(c+) = f ′(c−) = 0 (см. 29.12). ¤2. Т е о р е м а [О. Коши]. Пусть f, g : [a, b] → R непрерывны и на (a, b)

дифференцируемы, причем f ′(x), g′(x) не равны нулю одновременно и g(b) 6= g(a).

Тогда существует c (a < c < b) такое, чтоf(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

¶ Функция h(x) = g(x)[f(b) − f(a)] − f(x)[g(b) − g(a)] удовлетворяет условиямтеоремы Ролля. Поэтому существует c ∈ (a, b) такое, что

h′(c) = g′(c)[f(b)− f(a)]− f ′(c)[g(b)− g(a)] = 0.

Заметим, что g′(c) 6= 0, ибо иначе f ′(c) = 0, что противоречит предположениютеоремы. Отсюда следует искомое равенство. ¤

3. [Формула Лагранжа (конечных приращений)]. Пусть f : [a, b] → R непре-рывна и на (a, b) дифференцируема. Тогда существует c (a < c < b) такое, чтоf(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).¶ Положим в теореме Коши g(x) = x (a 6 x 6 b). ¤

46

4. С л е д с т в и е. Пусть f : [a, b] → R непрерывна и на (a, b) дифференцируема,причем f ′(x) = 0 (a < x < b). Тогда f = const.¶ Для любого x ∈ (a, b] : f(x)− f(a) = f ′(c)(x− a) = 0. ¤

З а м е ч а н и я. 5. В условиях формулы Лагранжа для любого x ∈ (a, b)

f(x + h)− f(x) = f ′(x + θh)h (0 < θ < 1, θ = θ(h)). (∗)

Это соотношение полезно сопоставить с равенством

f(x + h)− f(x) = f ′(x)h + o(h) (h → 0).

Если f ′ непрерывна на (a, b), то из 1-го равенства следует второе, так как f ′(x+θh) =f ′(x) + o(1) (h → 0). Однако для справедливости (∗) не необходимо, чтобы f ′ быланепрерывной на (a, b).

6. Геометрический смысл формулы Лагранжа: су-ществует внутренняя точка отрезка, касательная в ко-торой параллельна стягивающей хорде (см. Рис. 10).

У п р а ж н е н и я. 7. Справедлива ли формулаконечных приращений Лагранжа для функции

f(x) =

x sin1x

, если x ∈[− 1

π,1π

]\0,

0, если x = 0?

8. Пусть f : [a, b] → R обладает свойством: для любых x1, x2 ∈ [a, b] (x1 < x2)существует y ∈ (x1, x2) такое, что f(x2)−f(x1) = f ′(y)(x2−x1). Следует ли отсюда,что f дифференцируема на (a, b)?

9. Пусть f дифференцируема для всех x ∈ R и f(x+h)− f(x) = f ′(x)h при всехx, h ∈ R. Покажите, что тогда f(x) = ax + b (x ∈ R).

10.Пусть f непрерывна на промежутке [a, b), дифференцируема на (a, b), причемсуществует lim

x→a+f ′(x). Покажите, что в точке a определена правая производная и

f ′(a+) = limx→a+

f ′(x).

47

ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

§33. Правило Лопиталя

1.Пусть a ∈ R и f, g определены и дифференцируемы в некоторой ˇ-окрестностиU точки a, причем g(x), g′(x) 6= 0 и выполнено одно из условий

(0/0) limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0,

(∞/∞) limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ∞.

Тогда limx→a

f(x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

, коль скоро существует предел (быть может, несобст-

венный) в правой части. Правило верно также для случаев a = ∞, ±∞, x → a±.¶ Разберем несколько типичных случаев.

10. (0/0), U = (a, λ), x → a+. Определим функции f и g в точке a : f(a) =g(a) = 0. Тогда f и g непрерывны в a и применима теорема Коши 32.2 к отрезку[a, x] (x < λ). Следовательно,

f(x)g(x)

=f(x)− f(a)g(x)− g(a)

=f ′(c)g′(c)

(a < c < x, c = c(x)),

то есть limx→a+

f(x)g(x)

= limx→a+

f ′(c)g′(c)

= limc→a+

f ′(c)g′(c)

.

20. (0/0), U = (λ, a), x → a−. Разбирается аналогично. Теперь из 10 и 20

утверждение следует для случая30. (0/0), U = (b, a) ∪ (a, c), x → a.

40. (0/0), a = ∞. Положим y =1x. Функции F (y) ≡ f(

1y), G(y) ≡ g(

1y) диффе-

ренцируемы в некоторой ˇ-окрестности нуля, причем G(y), G′(y) 6= 0. Теперь

limy→0

F (y) = limx→∞ f(x) = 0, lim

y→0G(y) = lim

x→∞ g(x) = 0,

limx→∞

f ′(x)g′(x)

= limy→0

f ′(1y

)(− 1y2

)

g′(1y

)(− 1y2

) = limy→0

F ′(y)G′(y)

= limy→0

F (y)G(y)

= limx→∞

f(x)g(x)

(в предпоследнем равенстве мы воспользовались уже разобранным случаем (0/0)для собственной точки a = 0).

50. (∞/∞), U = (a, λ), x → a+. Пусть limx→a+

f ′(x)g′(x)

= α. Для x, достаточно

близких к a, имеем (с учетом теоремы Коши для отрезка [x, δ] ⊂ (a, λ))

f(x)g(x)

=f(x)[g(δ)− g(x)]g(x)[f(δ)− f(x)]

· f(δ)− f(x)g(δ)− g(x)

= h(δ, x)f ′(c)g′(c)

,

48

где x < c < δ и h(δ, x) =[1 − f(δ)

f(x)]−1(1 − g(δ)

g(x)). Параметром δ в правой части

равенства мы можем распоряжаться. Пусть ε > 0 произвольно (ε < 1) и δ таково,

что∣∣f ′(y)g′(y)

− f ′(x)g′(x)

∣∣ 6 ε/3 для всех x, y ∈ (a, δ). В силу условия (∞/∞) существует

N > 0 такое, что

|h(δ, x)f ′(x)g′(x)

− α| < ε/3, |h(δ, x)− 1| < ε/3 (|x| > N).

Тогда для |x| > N

|f(x)g(x)

− α| = |(h(δ, x)− 1)(f ′(c)g′(c)

− f ′(x)g′(x)

)+

f ′(c)g′(c)

− f ′(x)g′(x)

+ h(δ, x)f ′(x)g′(x)

− α| < ε,

то есть limx→a+

f(x)g(x)

= α.¤

З а м е ч а н и я. 2. Обратное утверждение в правиле Лопиталя уже неверно.

Например, limx→0

x2 sin(1/x)sinx

= 0, но отношение(x2 sin(1/x))′

(sinx)′=

2x sin(1/x)cosx

− cos(1/x)cosx

никуда не сходится при x → 0.

3. Типы неопределенностей ∞ − ∞, 0 · ∞, 00, ∞0, 1∞ приводятся к типам

(0/0), (∞/∞). Например, для ∞−∞ : f(x)− g(x) =1/g(x)− 1/f(x)

1/f(x)g(x). Для раскры-

тия неопределенностей последних трех типов полезно использовать представлениеf(x)g(x) = expg(x) · ln f(x).

П р и м е р ы. 4. limx→0

x ln |x| = limx→0

ln |x|1/x

= limx→0

1/x

−1/x2= 0.

5. limx→+∞xne−x = lim

x→+∞xn

ex= lim

x→+∞nxn−1

ex= . . . = lim

x→+∞n!ex

= 0 (n ∈ N).

6. limx→0

(1 + x)b − 1x

= limx→0

b(1 + x)b−1 = b (b 6= 0).

§34. Формула Тейлора

1. Уравнение касательной (см. 29.5) доставляет локальную аппроксимацию диф-ференцируемой функции линейной функцией. На формулу Лагранжа 32.5(∗) можносмотреть как на глобальную аппроксимацию дифференцируемой функции линейнойфункцией. Естественно задуматься над тем, нельзя ли улучшить аппроксимацию,рассмотрев вместо линейных полиномиальные функции. Здесь мы получим подхо-дящее обобщение формулы Лагранжа конечных приращений. В §35 будет полученообобщение на полиномиальный случай формулы производной 29.1(∗).

2. [Формула Тейлора]. Пусть f : U → R (U открыто) n − 1 раз непрерывнодифференцируема на отрезке [a, x] ⊂ U 2) и n раз дифференцируема на (a, x). Тогдасуществует c ∈ (a, x) такое, что имеет место равенство

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + . . . +f (n−1)(a)(n− 1)!

(x− a)n−1 +f (n)(c)

n!(x− a)n. (1)

2то есть f (n−1) определена и непрерывна в каждой точке отрезка [a, x].

49

Величина rn(x) ≡ 1n!

f (n)(c)(x−a)n называется остаточным членом в форме Лагран-жа.¶ Положим для a 6 z 6 x

g(z) = f(x)− [f(z) +n−1∑

k=1

1k!

f (k)(z)(x− z)k + λ(x− z)n] (2)

и выберем λ так, чтобы g(a) = 0. К функции g применима теорема Ролля 32.1(g(x) = 0 по построению, так что g(a) = g(x)). Следовательно, существует c ∈ (a, x)такое, что g′(c) = 0. Прямой подсчет дает

g′(c) = − 1(n− 1)!

f (n)(c)(x− c)n−1 + nλ(x− c)n−1,

откуда λ =1n!

f (n)(c). Так как g(a) = 0, из (2) получаем (1). ¤

3. Для полинома p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn имеем rn+1(x) = 0, так что p(x) =

p(a) + p′(a)(x− a) + . . . +1n!

p(n)(a)(x− a)n. Эта формула дает, в частности, рецептпредставления данного полинома по степеням x− a.

П р и м е р ы (используется формула (1) при a = 0).

4. ex = 1 + x +x2

2!+ . . . +

xn−1

(n− 1)!+

xn

n!eθx (x ∈ R, θ = θ(x) ∈ (0, 1)).

5. sinx = x− x3

3!+

x5

5!− . . . + (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+

x2n+1

(2n + 1)!sin

(θx +

2n + 12

π)

(x ∈ R, θ = θ(x) ∈ (0, 1)).

6. cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− . . . + (−1)n−1 x2n−2

(2n− 2)!+

x2n

(2n)!cos(θx + nπ)

(x ∈ R, θ = θ(x) ∈ (0, 1)).

7. ln(1 + x) = x− x2

2+ . . . + (−1)n xn−1

n− 1+

(−1)n+1xn

n(1 + θx)n(x > −1, θ = θ(x) ∈ (0, 1)).

8. (1 + x)b = 1 + bx + . . . +1

(n− 1)!b(b− 1) . . . (b− n + 2)xn−1

+1n!

b(b− 1) . . . (b− n + 1)xn(1 + θx)b−n (x > −1, θ = θ(x) ∈ (0, 1)).

§35. Локальная формула Тейлора

1. Если f n раз дифференцируема в точке a, то

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + . . . +1n!

f (n)(a)(x− a)n + o((x− a)n) (x → a).

Эта формула называется формулой Тейлора с остатком в форме Пеано.¶ Достаточно доказать утверждение для случая, когда

f(a) = f ′(a) = . . . = f (n)(a) = 0. (∗)

50

(Если (∗) не имеет места, то полагая

h(x) = f(x)−n∑

k=0

1k!

f (k)(a)(x− a)k,

имеем h(a) = h′(a) = . . . = h(n)(a) = 0.) Итак, пусть выполнено (∗). При n = 1 :f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + o(x− a) = o(x− a) (x → a), то есть утверждение верно.Пусть оно верно для всех k 6 n − 1. Положим g(x) = f ′(x). Тогда g(a) = g′(a) =. . . = g(n−1)(a) = 0, и по предположению индукции g(x) = o((x − a)n−1) (x → a).Используя правило Лопиталя 33.1, имеем

limx→a

f(x)(x− a)n

= limx→a

f ′(x)n(x− a)n−1

= limx→a

g(x)n(x− a)n−1

= 0. ¤

2. Разложение с остатком в форме Пеано единственно.¶ Пусть имеет место еще одно представление

f(x) = a0 + a1(x− a) + . . . + an(x− a)n + o((x− a)n) (x → a).

Вычитая отсюда равенство, доказанное в п. 1, имеем

0 = c0 + c1(x− a) + . . . + cn(x− a)n + o((x− a)n) (x → a),

где ck = ak − 1k!

f (k)(a), 0 6 k 6 n. Переходя здесь к пределу при x → a, получаемc0 = 0. Таким образом,

0 = c1(x− a) + . . . + cn(x− a)n + o((x− a)n) (x → a).

Разделив обе части этого равенства на x−a и перейдя к пределу при x → a, получимc1 = 0. Аналогично получим последовательно c2 = . . . = cn = 0. ¤

§36. Ряд Тейлора

1. Если f(x) (x ∈ U(a)) n раз дифференцируема в точке a, то при подходящемвыборе rn(x)

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + . . . +1

(n− 1)!f (n−1)(a)(x− a)n−1 + rn(x).

Допустим теперь, что f имеет в точке a производные сколь угодно высоких поряд-ков. Тогда ряд

∞∑

n=0

1n!

f (n)(a)(x− a)n = f(a) + f ′(a)(x− a) +12!

f ′′(a)(x− a)2 + . . .

естественно назвать рядом Тейлора функции f по степеням x − a. Важен случай,когда ряд Тейлора сходится к f(x).

2. f(x) =∞∑

n=0

1n!

f (n)(a)(x− a)n ттогда rn(x) → 0 (n →∞).

51

¶ Пусть sn(x) =n−1∑k=0

1k!

f (k)(a)(x − a)k — частные суммы ряда Тейлора, так что

f(x) = sn(x)+rn(x). Если rn(x) → 0 (n →∞), то limn

sn(x) = limn

[f(x)−rn(x)] = f(x).Обратно, если ряд Тейлора сходится к f(x), то sn(x) → f(x) (n → ∞), так чтоrn(x) = f(x)− sn(x) → 0 (n →∞). ¤

П р и м е р ы. 3. ex =∞∑

n=0

1n!

xn (x ∈ R).

4. sinx =∞∑

n=0(−1)n x2n+1

(2n + 1)!(x ∈ R).

5. cosx =∞∑

n=0(−1)n x2n

(2n)!(x ∈ R).

6. ln(1 + x) =∞∑

n=1(−1)n−1 xn

n(−1 < x 6 1).

7. (1 + x)b = 1 + bx + . . . +1n!

b(b− 1) . . . (b− n + 1)xn + . . . (−1 < x < 1).

¶ П.3. Из 34.4 и 11.8 следует, что rn(x) =xn

n!eθx → 0 (n →∞).

П.4. С учетом 34.5 |r2n+1(x)| 6 | x2n+1

(2n + 1)!| → 0 (n →∞).

П.6,7. Пока мы не сможем доказать эти равенства в указанных областях, таккак форма остатка Лагранжа недостаточно эффективна для этого. Например, дляп. 6 (см. 34.7)

|rn(x)| = 1n

|x|n(1 + θx)n

≤ 1n→ 0

(−1

26 x 6 1

),

и нельзя получить подобного результата для −1 < x < −12(!!). Позднее мы полу-

чим еще одну полезную форму остатка, с помощью которой и устраним оставшиесяпробелы. ¤

§37. Аналитические функции

1. Пусть E(⊂ R) открыто, функция f : E → R называется аналитической в E,если каждая точка a ∈ E обладает окрестностью U(a) ⊂ E такой, что ряд Тейлораf по степеням x− a сходится для всех x ∈ U(a).

П р и м е р ы. 2. Функции ex (x ∈ R), sinx (x ∈ R), cosx (x ∈ R) являютсяаналитическими в R (см. 36.3–36.5).

3. Функция ln x (x > 0) аналитическая. Действительно, для каждого a > 0формула Тейлора по степеням x− a дает

lnx = ln a +n−1∑

k=1

(−1)k−1

kak(x− a)k + rn(x), rn(x) =

(−1)n(x− a)n

n[a + θ(x− a)]n.

Для x ∈ U(a) =(

a

2,3a

2

)мы имеем |a + θ(x − a)| >

a

2, то есть |rn(x)| <

1n→ 0.

Поэтому

lnx = ln a +x− a

1 · a − (x− a)2

2 · a2+

(x− a)3

3 · a3− . . . (|x− a| < a

2).

52

4. Функция f(x), определенная в 30.12 обладает производными любого порядкав R, причем f (n)(0) = 0, так что ряд Тейлора этой функции по степеням x сходитсяк 0, а не к f(x). Итак, эта функция не аналитическая.

У п р а ж н е н и е. 5. Доказать, что функция (1 + x)b(x > −1) аналитическая.

§38. Возрастание и убывание функций на отрезке

1. Пусть f : [a, b] → R непрерывна и на (a, b) дифференцируема. Тогда имеетместо таблица

f ′ f на отрезке [a, b] f ′

> 0 ⇒1 строго возрастает ⇒6 > 0> 0 ⇒2 не убывает ⇒7 > 0≡ 0 ⇒3 константа ⇒8 ≡ 06 0 ⇒4 не возрастает ⇒9 6 0< 0 ⇒5 строго убывает ⇒10 6 0

¶ Импликации (⇒1 ) – (⇒5 ) являются следствием формулы Лагранжа

f(y)− f(x) = f ′(z)(y − x) (a 6 x < z < y 6 b). (∗)Отметим, что импликация (⇒3) уже доказана ранее (см 32.4). Импликации (⇒6 )– (⇒10) следуют из определения производной. В частности, (⇒7 ) следует из нера-венства

f ′(x) = f ′(x+) = limh→0+

1h

[f(x + h)− f(x)] > 0;

(⇒6 ) следует из (⇒7 ). ¤2. З а м е ч а н и е. Из строгого возрастания функции f на [a, b] не следует, что

f ′(x) > 0 для всех x ∈ (a, b). Например, f(x) = x3 (x ∈ R) строго возрастает, ноf ′(0) = 0.

§39. Локальный экстремум

1. Говорят, что функция f : E → R (E ⊂ R) обладает локальным максимумом(соответственно минимумом) в точке a ∈ E, если существует окрестность нуляU(0) такая, что f(a + h) − f(a) 6 0 (соответственно f(a + h) − f(a) > 0) для всехh ∈ U(0) ∩ h : a + h ∈ E. Говорят, что f обладает в точке a локальным экстрему-мом, если f обладает в этой точке локальным максимумом или минимумом.

2. Если f дифференцируема в точке a и обладает в этой точке локальнымэкстремумом, то f ′(a) = 0. Более того, если f ′(a) = 0 и f ′′(a) > 0, то a — точ-ка локального минимума; если f ′(a) = 0 и f ′′(a) < 0, то a — точка локальногомаксимума.¶ 1-е утверждение следует из неравенств (случай локального максимума)

f ′(a+) = limh→0+

1h

[f(a + h)− f(a)] 6 0, f ′(a−) = limh→0−

1h

[f(a + h)− f(a)] > 0.

Пусть f ′(a) = 0, f ′′(a) > 0. Тогда существует U(0) такая, что1h

[f ′(a + h)− f ′(a)] =1h

f ′(a + h) > 0 (h ∈ U(0)), то есть знак f ′(a + h) совпадает со знаком h (h ∈ U(0)) и

53

f(a + h) − f(a) = f ′(a + θh)h > 0 (h ∈ U(0)) (так как 0 < θ < 1). Итак, a — точкалокального минимума. ¤

3. З а м е ч а н и е. Необходимое условие экстремума в точке a ∈ (c, d): несуще-ствование производной в точке a или обращение ее в 0.

4. При исследовании на экстремум полезна табличка (предполагается, что fнепрерывна на (c, d), c < a < d):

5. П р и м е р. Принцип Ферма гласит, что траектория света в физической сре-де реализует минимум времени, которое необходимо лучу, чтобы пройти расстояниемежду заданными точками (в однородной среде свет распространяется прямолиней-но). Пусть имеются две однородные среды и ci — скорость света в среде (i), i = 1, 2.Требуется найти траекторию света между точка-ми A1 и A2 (см. Рис. 11). Время, которое потребо-валось бы лучу, чтобы пройти путь, минуя точкуx,

t(x) =1c1

(h2

1 + x2)1/2 +

1c2

(h2

2 + (a− x)2)1/2

.

Необходимое условие локального экстремума

t′(x) = 0 дает:c1

c2=

sinα1

sinα2. Остается заметить,

что соответствующая точка действительно реали-зует минимум функции t(x).

§40. Выпуклые функции

1. Функция f : (a, b) → R называется выпуклой (или выпуклой вниз), если длялюбых x, y ∈ (a, b) и любого α ∈ [0, 1] справедливо неравенство

f(αx + (1− α)y) 6 αf(x) + (1− α)f(y). (∗)

54

Если же имеет место обратное неравенство f(αx + (1− α)y) > αf(x) + (1− α)f(y),говорят, что функция вогнута (выпукла вверх).

2. Геометрически условие (∗) означает, что множество

E = (x, y) ∈ R2 : x ∈ (a, b), f(x) 6 yявляется выпуклым, то есть вместе с каждыми своими двумя точками оно содержити отрезок, соединяющий эти точки.

3. Дифференцируемая функция f(x) (a < x < b) называется выпуклой (соответ-ственно вогнутой) в точке c ∈ (a, b), если в некоторой окрестности точки c графикэтой функции находится над (соответственно под) касательной в точке c. Говорят,что c — точка перегиба, если для некоторого δ > 0 в интервалах (c− δ, c), (c, c + δ)график находится по разные стороны от касательной в точке c. Приведем практи-чески эффективные условия выпуклости функции.

4. Дифференцируемая на (a, b) функция f выпукла ттогда f ′ не убывает на(a, b). В частности, если f дважды дифференцируема на (a, b), то она выпуклаттогда f ′′(x) > 0 (a < x < b).¶ Пусть выпуклая функция f дифференцируема на (a, b), a < x < y < b и h > 0

таково, что x + h < y. Полагая α = 1 − h

y − x, имеем x + h = αx + (1 − α)y и,

следовательно,

1h

[f(x + h)− f(x)] 6 1h

[αf(x) + (1− α)f(y)− f(x)] =1− α

h[f(y)− f(x)]

=f(y)− f(x)

y − x.

Отсюда f ′(x) = limh→0+

1h

[f(x + h) − f(x)] 6 f(y)− f(x)y − x

. Аналогичные вычисления

для η > 0 такого, что x < y− η, показывают, чтоf(y − η)− f(y)

−η> f(y)− f(x)

y − x, так

чтоf ′(y) = lim

η→0+

f(y − η)− f(y)−η

> f(y)− f(x)y − x

> f ′(x).

Необходимость первого утверждения доказана.Пусть теперь f ′ не убывает на (a, b), a < x < y < b и z = αx+(1−α)y, α ∈ [0, 1].

Применяя формулу Лагранжа, получаем

f(x)− f(z) = f ′(ξ)(x− z), f(y)− f(z) = f ′(η)(y − z),

где ξ ∈ (x, z), η ∈ (z, y), так что f ′(ξ) 6 f ′(η). Следовательно,

αf(x) + (1− α)f(y)− f(αx + (1− α)y) = α(f(x)− f(z)) + (1− α)(f(y)− f(z))= αf ′(ξ)(x− z) + (1− α)f ′(η)(y − z)> f ′(η)[α(x− z) + (1− α)(y − z)] = 0.

Достаточность установлена. Частное утверждение следует из таблицы 38.1. ¤5. Пусть f ′′ определена в некоторой окрестности U(c) и непрерывна в точке

c. Тогда

55

(а) f ′′(c) > 0 влечет, что f выпукла в точке c,

(б) f ′′(c) < 0 влечет, что f вогнута в точке c,

(в) если f ′′(c) = 0 и f (3) определена в некоторой окрестности U(c), непрерывнав точке c и f (3)(c) 6= 0, то c — точка перегиба.

¶ Утверждения (а) и (б) следуют из представления

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + r2(x),

где r2(x) =12(x − c)2f ′′(c + θ(x − c)) характеризует превышение графика над ка-

сательной y = f(c) + f ′(c)(x − c) в точке c. Если, например, f ′′(c) > 0, то в силунепрерывности f ′′ в точке c функция f ′′ сохраняет знак в некоторой окрестноститочки c, и значит, в этой окрестности график находится над касательной, то есть fвыпукла в точке c.

В случае (в)

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +13!

(x− c)3f (3)(c + θ(x− c)),

и снова заметим, что f (3) сохраняет знак в некоторой окрестности точки c, а сомно-житель (x− c)3 меняет знак при переходе через точку c. ¤

6. П р и м е р. Функция f(x) = xb (x > 0) выпукла при b > 1, так как f ′′(x) =b(b− 1)xb−2 > 0 (x > 0) и остается учесть п. 4.

§41. Несколько важных неравенств

В следующих ниже утверждениях xi, yi ∈ C произвольны.

1. |n∑

i=1xiyi| 6

[n∑

i=1|xi|p

]1/p [n∑

i=1|yi|q

]1/q (1p

+1q

= 1; p, q > 1).

2.[

n∑i=1

|xi + yi|p]1/p

6[

n∑i=1

|xi|p]1/p

+[

n∑i=1

|yi|p]1/p

(p > 1).

3. Если ряды∞∑i=1

|xi|p,∞∑i=1

|yi|q сходятся(1p

+1q

= 1; p, q > 1), то ряд

∞∑i=1

xiyi

сходится абсолютно, причем

|∞∑

i=1

xiyi| 6[ ∞∑

i=1

|xi|p]1/p [ ∞∑

i=1

|yi|q]1/q

.

4. Если ряды∞∑i=1

|xi|p,∞∑i=1

|yi|p сходятся (p > 1), то сходится ряд∞∑i=1

|xi + yi|p,причем [ ∞∑

i=1

|xi + yi|p]1/p

6[ ∞∑

i=1

|xi|p]1/p

+

[ ∞∑

i=1

|yi|p]1/p

.

56

Неравенство п. 3 называется неравенством Гельдера, п. 4 — Минковского. Если,p = q = 2, то неравенства пп. 3,4 называются соответственно неравенствами Коши-Буняковского и Шварца.¶ Пп. 3, 4 очевидным образом следуют из п. 1 и 2 соответственно. В свою очередь,п. 2 является следствием п. 1:

n∑

i=1

|xi + yi|p 6n∑

i=1

|xi||xi + yi|p−1 +n∑

i=1

|yi||xi + yi|p−1

6[

n∑

i=1

|xi|p]1/p [

n∑

i=1

|xi + yi|p]1/q

+

[n∑

i=1

|yi|p]1/p [

n∑

i=1

|xi + yi|p]1/q

(так как (p− 1)q = p), и остается разделить обе части полученного неравенства на[n∑

i=1|xi + yi|p

]1/q

.

П. 1, как нетрудно видеть, следует из неравенства

n∑

i=1

xiyi ≤[

n∑

i=1

xpi

]1/p [n∑

i=1

yqi

]1/q

(xi, yi > 0,1p

+1q

= 1; p, q > 1). (1)

Осталось доказать (1). Введем функцию

f(x) = xα − αx + α− 1 (x > 0) при 0 < α < 1.

Имеем

f ′(x) = α(xα−1 − 1)

> 0 при 0 < x < 1,< 0 при x > 1.

Следовательно,xα − αx + α− 1 6 0 при x > 0, (2)

причем левая часть обращается в нуль в единственной точке x = 1 (здесь имеет

место максимум). Полагая в (2) α =1p

(так что 1 − α =1q

), x = a/b, где a =

xpi

(n∑

j=1xp

j

)−1

, b = yqi

(n∑

j=1yq

j

)−1

, имеем a1/pb1/q 6 1pa +

1qb, то есть

xiyi[n∑

j=1xp

j

]1/p [n∑

j=1yq

j

]1/q6 1

p· xp

in∑

j=1xp

j

+1q· yq

in∑

j=1yq

j

.

Суммируя эти неравенства по i, получаем (1). ¤

57

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ

§42. Первообразная и неопределенный интеграл

Зная элементарную функцию, мы умеем найти ее производную. Обратная задача— отыскание функции по ее производной. К ее решению мы переходим.

1. Пусть E(⊂ R) открыто. Функция F : E → R называется первообразной дляфункции f : E → R, если F дифференцируема и F ′(x) = f(x) (x ∈ E). Естественноспросить, для каждой ли функции f существует первообразная? Оказывается, нет,не для всякой. Однако ниже будет показано, что это верно для каждой непрерывнойфункции. В этом разделе все функции предполагаются непрерывными без особыхна то оговорок. Считается также, что областью определения всех встречающихсяфункций является некоторый интервал (a, b).

2. Если F — первообразная для f , то любая другая первообразная G для fвыражается формулой G = F + C, где C — некоторая постоянная. Это следует из32.4. Здесь существенно, что f задана на интервале!

3. Неопределенным интегралом от непрерывной функции f называется сово-

купность всех ее первообразных. Обозначение:∫

f(x)dx. Таким образом, если F —

некоторая первообразная для f , то∫

f(x)dx = F (x) + C : C ∈ R. Будем далее ис-

пользовать более короткую запись:∫

f(x)dx = F (x) + C. Понятие неопределенного

интеграла удобно для овладения техникой отыскания первообразных от широкогокласса элементарных функций.

§43. Свойства неопределенного интеграла

Приведем несколько свойств неопределенного интеграла, полезных для отыска-ния первообразных.

1.∫

(f(x) + g(x))dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx,∫

λf(x)dx = λ

∫f(x)dx (0 6= λ ∈ R).

2. [Формула интегрирования по частям]:∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫

f ′(x)g(x) dx.

Отметим, что приведенную формулу удобно использовать в следующей форме:∫

f(x)dg(x) = f(x)g(x)−∫

g(x)df(x).

3. [Формула замены переменной]:∫

f(t)dt =∫

f(ϕ(x))ϕ′(x)dx, t = ϕ(x)

58

(здесь справа и слева стоят функции от x).¶ Пп. 1,2 проверяются дифференцированием. Формула п. 3 следует из равенств

d

dx

∫f(t) dt =

d

dt

(∫f(t)dt

)dt

dx= f(ϕ(x))ϕ′(x) =

d

dx

∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx,

гдеd

dx

∫f(t)dt — семейство производных функций класса

∫f(t)dt (оно сводится к

одной функции f(ϕ(x))ϕ′(x)). ¤Для отыскания первообразных на практике полезна таблица, проверка которой

производится дифференцированием.

∫(x− a)ndx =

(x− a)n+1

n + 1+ C (n 6= −1);

∫cosxdx = sin x + C;

∫dx

x− a= ln |x− a|+ C;

∫sinxdx = − cosx + C;

∫axdx =

1ln a

ax + C;∫

dx

cos2 x= tg x + C;

∫exdx = ex + C;

∫dx

sin2 x= − ctg x + C;

∫dx√

a2 − x2= arcsin

x

a+ C (a > 0);

∫dx

sinx= ln | tg x

2|+ C;

∫dx√

a2 + x2= ln

(x +

√a2 + x2

)+ C;

∫shxdx = chx + C;

∫dx

a2 + x2=

1a

arctgx

a+ C (a 6= 0);

∫chxdx = sh x + C.

П р и м е р ы. 4.∫

tg xdx =∫

sinx

cosxdx = −

∫d cosx

cosx= − ln | cosx|+ C.

5.∫

lnxdx = x lnx−∫

xd ln x = x ln x−∫

dx = x(lnx− 1) + C.

6. J =∫

ex cosxdx = ex sinx −∫

ex sinxdx = ex sinx +∫

exd cosx = ex sinx +

ex cosx − J + C. Решая это уравнение относительно J , находим J =12ex(sinx +

cosx) + C.

7. Jm =∫

dx

(a2 + x2)m(m ∈ N). При m = 1 — это табличный интеграл. При

m > 1 используем рекуррентную формулу

Jm =1a2

[Jm−1 −

∫x2dx

(a2 + x2)m

]=

1a2

Jm−1 − 12a2

∫xd(a2 + x2)(a2 + x2)m

=1a2

Jm−1 +x

2a2(m− 1)(a2 + x2)m−1− 1

2a2(m− 1)Jm−1.

59

8.∫

dx

(x2 + px + q)m(∆ = p2 − 4q < 0, m ∈ N). Подстановкой t = x + p/2 этот

интеграл сводится к п. 7.

9. J =∫

dx

x2 + px + q(∆ = p2−4q > 0). Имеем x2+px+q = (x−α1)(x−α2), α1 6=

α2, и

J =1

α1 − α2

∫ (1

x− α1− 1

x− α2

)dx =

1α1 − α2

ln |x− α1

x− α2|+ C.

10.∫

(αx + β)dx

x2 + px + q=

α

2

∫(2x + p)dx

x2 + px + q+

α

2

(2β

α− p

)·∫

dx

x2 + px + q

=α

2ln |x2 + px + q|+

(β − αp

2

)·∫

dx

x2 + px + q(α 6= 0).

11.∫

(αx + β)dx

(x2 + px + q)m(m > 1, ∆ < 0). Приемом п. 10 сводится к п. 7.

12. З а м е ч а н и е. Существуют элементарные функции (например, e−x2 ,sinx

x),

первообразные для которых через элементарные функции уже не выражаются. До-казательство этого, однако, весьма непросто.

§44. Отыскание первообразных для рациональных функций

1. Позволим себе вольность: функцииP (x)Q(x)

иP (x)R(x)Q(x)R(x)

, где P (x), Q(x), R(x) —

некоторые полиномы, будем считать равными, хотя у них, вообще говоря, разные

области определения. Пусть отношениеP (x)Q(x)

двух полиномов является правильной

несократимой дробью, причем коэффициент при старшей степени у полинома Q(x)равен 1, так что

Q(x) = (x− a)α . . . (x− b)β(x2 + px + q)γ . . . (x2 + rx + s)δ, (1)

где (p2 − 4q < 0, . . . , r2 − 4s < 0).

2. При сделанных предположениях имеет место однозначно определенное пред-ставление

P (x)Q(x)

=A1

(x− a)α+

A2

(x− a)α−1+ . . . +

Aα

x− a+ . . .

+B1

(x− b)β+

B2

(x− b)β−1+ . . . +

Bβ

x− b

+C1x + D1

(x2 + px + q)γ+

C2x + D2

(x2 + px + q)γ−1+ . . . +

Cγx + Dγ

x2 + px + q

+ . . . +E1x + F1

(x2 + rx + s)δ+ . . . +

Eδx + Fδ

x2 + rx + s.

Предварительно установим лемму:3. Пусть в обозначениях (1) u(x) и v(x) — полиномы, однозначно определенные

равенствамиQ(x) = (x− a)αu(x) = (x2 + px + q)γv(x).

60

ТогдаP (x)Q(x)

=A1

(x− a)α+S1(x) =

C1x + D1

(x2 + px + q)γ+S2(x), где S1(x) =

R(x)(x− a)α−1u(x)

,

S2(x) =T (x)

(x2 + px + q)γ−1v(x)— правильные дроби.

¶ Для доказательства 1-го равенства положим

A1 =P (a)u(a)

, R(x) =1

x− a(P (x)−A1u(x)),

где R(x) — на самом деле полином (так как a — корень полинома P (x) − A1u(x)),

причем S1(x) =P (x)Q(x)

− A1

(x− a)α— правильная дробь. Для доказательства 2-го

равенства возьмем в качестве C1 и D1 решения системы уравнений

C1λ + D1 =P (λ)v(λ)

,

C1λ + D1 =P (λ)v(λ)

,(2)

где λ и λ — комплексно сопряженные корни трехчлена x2 + px + q. Эта система

однозначно разрешима, так как ее детерминант∣∣∣∣

λ 1λ 1

∣∣∣∣ = 2 i Im λ 6= 0. При этом

C1 и D1 вещественны (!!). Положим

T (x) =1

x2 + px + q· [P (x)− (C1x + D1)v(x)].

Можно убедиться, что T (x) — полином и что дробь S2(x) правильная (рассужденияпри этом аналогичны приведенным выше). ¤

4. [Доказательство п. 2]. Существование разложения следует из доказанной лем-мы, позволяющей последовательным понижением степени полинома Q(x) получитьискомое равенство. Единственность следует из того, что константы A1, . . . , Fδ опре-деляются однозначно:

A1 = limx→a

(x− a)α · P (x)Q(x)

, A2 = limx→a

(x− a)α−1

(P (x)Q(x)

− A1

(x− a)α

)

и т. д. Также последовательно определяются величины C1, . . . , Fδ. Действительно,C1, D1 необходимо удовлетворяют системе уравнений (2), которая, как отмечалось,разрешима однозначно и т. д.

5. Итак, задача отыскания первообразной для рациональной функцииP (x)Q(x)

сво-

дится к отысканию корней полинома Q(x). Коль скоро корни найдены, то, записавпредставление п. 2, можно получить выражение для искомой первообразной черезэлементарные функции (см. пп. 43.8–12).

6. З а м е ч а н и е. ЕслиP (x)Q(x)

— неправильная дробь, то, пользуясь, на-

пример, алгоритмом Евклида, следует предварительно преобразовать ее к виду

61

P (x)Q(x)

= S(x) +R(x)Q(x)

, где S(x) — полином, аR(x)Q(x)

— правильная дробь. После

этого остается воспользоваться разложением п. 2 для дробиR(x)Q(x)

.

7. П р и м е р. Вычислим J =∫

x5 + 3x2 + 2x4 + x3 + x + 1

dx. Дробь, стоящая под знаком

интеграла, неправильная. Преобразуем подынтегральное выражение согласно пп.2,6:

x5 + 3x2 + 2x4 + x3 + x + 1

= x + 2 +A

(x + 1)2+

B

x + 1+

Cx + D

x2 − x + 1.

Для нахождения неизвестных коэффициентов на практике приводят дроби к об-щему знаменателю и приравнивают коэффициенты полиномов в числителях приодинаковых степенях x. Поступая так, получим систему линейных уравнений. Ре-шая ее, находим B = C = −1, D = −1/3, A = 4/3. Таким образом,

J =∫ (

x + 2 +4

3(x + 1)2− 1

x + 1− 3x + 1

3(x2 − x + 1))dx

=x2

2+ 2x− 4

3(x + 1)− ln |x + 1| − 1

3

∫3x + 1

x2 − x + 1dx.

Последний интеграл считается способом примера 43.11.

62

ИНТЕГРАЛ РИМАНА

§45. Задачи, приводящие к понятию интеграла Римана

1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Оставляя на будущее точноеопределение площади плоской фигуры, будем ориентироваться пока на интуитив-ный смысл этого понятия. Приближенное зна-чение площади фигуры, ограниченной снизуосью Ox, сверху — графиком функцииy = f(x), а с боков — вертикальными прямымиx = a, x = b (Рис. 12), pавно

n∑

j=1

f(ξj)(xj − xj−1), ξj ∈ [xj−1, xj ].

Естественно определить точное значение пло-щади этой фигуры как предел (если он суще-ствует)

S = limn

n∑j=1

f(ξj)(xj − xj−1),

где max16j6n

(xj − xj−1) → 0 (n → ∞). Нужно потребовать еще, чтобы этот предел не

зависел ни от выбора промежуточных точек ξj , ни от способа дробления отрезка[a, b].

2. Определение пути движущейся материальной точки. Пусть материальнаяточка совершает прямолинейное движение с переменной мгновенной скоростью v(t).Требуется найти путь, пройденный точкой за время a 6 t 6 b. Пусть функция v(t)непрерывна. Для решения задачи разложим промежуток изменения времени на ма-лые промежутки [t0, t1], . . . , [tn−1, tn] (a = t0 < t1 < . . . < tn = b). Выбрав в j-мпромежутке точку ξj , можно считать (в силу непрерывности v(t)), что скорость ма-териальной точки на участке времени tj−1 6 t 6 tj приближенно постоянна и равнаv(ξj), так что путь, пройденный за это время, приближенно равен v(ξj)(tj − tj−1).

Следовательно, суммарный путь за время a 6 t 6 b равенn∑

j=1v(ξj)(tj − tj−1). Это

приближенное значение тем точнее, чем меньше погрешность при замене перемен-ной скорости на постоянную на каждом из участков [tj−1, tj ] . Естественно ожи-

дать, что точное значение пути получится как предел limn

n∑j=1

v(ξj)(tj − tj−1), когда

max16j6n

(tj − tj−1) → 0 (n →∞).

§46. Определение интеграла Римана

1. Пусть a = x0 < x1 < . . . < xn = b; в этом случае мы говорим, что системаотрезков ∆ = [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn] образует разложение отрезка [a, b].Ради краткости будем писать ∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b). Величинуd(∆) ≡ max

16j6n(xj − xj−1) назовем диаметром разложения ∆.

63

2. Интегральной суммой Римана функции f(x) относительно разложения ∆называется сумма

S∆ =n∑

j=1

f(ξj)(xj − xj−1), ξj ∈ [xj−1, xj ].

Значение этой суммы зависит от выбора промежуточных точек ξj .

3. Функция f(x) (a 6 x 6 b) называется интегрируемой по Риману, если длялюбой последовательности разложений ∆k(a = x

(k)0 < x

(k)1 < . . . < x

(k)nk = b) таких,

что d(∆k) → 0 и при любом выборе ξ(k)j ∈ [x(k)

j−1, x(k)j ] существует предел

α = limk

nk∑

j=1

f(ξ(k)j )(x(k)

j − x(k)j−1).

Число α называется интегралом Римана функции f по отрезку [a, b] и обозначается

символом∫ b

af(x) dx.

4. Число α в определении п. 3 не зависит ни от выбора последовательностиразложений отрезка [a, b], ни от выбора промежуточных точек ξ

(k)j .

¶ Пусть f интегрируема и ∆k, ∆′k — две последовательности разложений та-

кие, что d(∆k), d(∆′k) → 0. По предположению существует предел последователь-

ности S∆1 , S∆′1 , S∆2 , S∆′2 , . . . . Но последовательности (S∆k), (S∆′k

) являются под-последовательностями этой последовательности. Следовательно (см. 9.6), lim

kS∆k

=

limk

S∆′k. ¤

Дадим определение интегрируемой функции на языке ε− δ:

5. Функция f(x) (a 6 x 6 b) называется интегрируемой и α =∫ b

af(x) dx, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀∆ (d(∆) < δ ⇒ |S∆ − α| < ε).

6. Определения пп. 3 и 5 эквивалентны.¶ Из справедливости п. 5 следует справедливость п. 3. Обратно, если определениеп. 5 для функции f не выполняется, то

∀α ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃∆ (d(∆) < δ, |S∆ − α| > ε).

Выбрав последовательность δn → 0 (δn > 0), найдем последовательность разложе-ний ∆n таких, что d(∆n) < δn, причем |S∆n − α| > ε. Тогда последовательность(S∆n) не сходится к α. Поэтому определение п. 3 также не выполняется для f. ¤

П р и м е р ы. 7. Постоянная функция f(x) ≡ λ интегрируема и∫ b

aλ dx = λ(b−a).

(Для всякого разложения ∆ : S∆ =n∑

j=1λ(xj − xj−1) = λ(b− a).)

8. Пусть на [a, b] фиксированы точки c1, . . . , cm. Функция

f(x) =

λj , если x = cj ,0, если x 6∈ c1, . . . , cm.

64

интегрируема и∫ b

af(x) dx = 0. (Положим K = max

j|λj |, и пусть ε > 0 произвольно.

Если d(∆) <ε

2mK, то |S∆| = |

n∑j=1

f(ξj)(xj − xj−1)| < ε, так как сумма содержит не

более 2m членов, отличных от нуля.)

Эффективное описание класса интегрируемых функций — задача непростая итребует определенной подготовки. Ниже будет установлено, что в этот класс входятвсе непрерывные функции. Пока приведем необходимое условие интегрируемостифункции.

9. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена.¶ Пусть, напротив, f не ограничена. Тогда для произвольного разложения ∆(a =x0 < x1 < . . . < xn = b) функция f не ограничена на некотором отрезке [xj0−1, xj0 ].Пусть N > 0 сколь угодно велико. Выберем ξj ∈ [xj−1, xj ] произвольными дляj 6= j0, а затем выберем ξj0 так, чтобы

|f(ξj0)| >N

xj0 − xj0−1+

∣∣∑

j 6=j0

f(ξj)(xj − xj−1)∣∣ · 1

xj0 − xj0−1.

Тогда

|S∆| = |f(ξj0)(xj0 − xj0−1) +∑

j 6=j0

f(ξj)(xj − xj−1)|

> |f(ξj0)(xj0 − xj0−1)| − |∑

j 6=j0

f(ξj)(xj − xj−1)| > N. ¤

§47. Множества лебеговой меры нуль

1. Говорят, что множество E(⊂ R) имеет лебегову меру нуль (будем писатьµE = 0), если это множество можно покрыть не более чем счетным семействоминтервалов, суммарная длина которых меньше наперед заданного положительногочисла. Более точно, µE = 0, если для любого ε > 0 существует конечное или счетноесемейство интервалов (ai, bi) таких, что E ⊂ ⋃

i(ai, bi),

∑i(bi − ai) < ε.

Про некоторое свойство точек числового множества будем говорить, что оновыполняется почти всюду (п.в.), если множество точек, для которых это свойствоне верно, имеет лебегову меру нуль. Например, фраза “функция f : [a, b] → Rнепрерывна п.в.” означает, что множество точек разрыва функции f имеет лебеговумеру нуль. Отметим полезные свойства введенного понятия.

2. Если F ⊂ E и µE = 0, то µF = 0.

3. Если µE1 = 0, µE2 = 0, . . . , то µ

(⋃k

Ek

)= 0.

¶ П. 2 следует непосредственно из определения. Пусть далее ε > 0 произвольно. То-гда для каждого натурального k существует семейство интервалов (a(k)

i , b(k)i )i=1,2,...

такое, чтоEk ⊂

⋃

i

(a(k)i , b

(k)i ),

∑

i

(b(k)i − a

(k)i ) < ε/2k.

65

Семейство интервалов (a(k)i , b

(k)i )i,k не более чем счетно и образует покрытие мно-

жества⋃k

Ek, причем суммарная длина всех интервалов

∑

i,k

(b(k)i − a

(k)i ) = sup

m,n

m∑

k=1

n∑

i=1

(b(k)i − a

(k)i ) < ε. ¤

П р и м е р ы. 4. Всякая точка на числовой прямой имеет лебегову меру нуль.5. Для всякого счетного множества E ⊂ R : µE = 0.

6. З а м е ч а н и е. Обратим внимание на нетривиальность обсуждаемого здесьпонятия. Мы знаем, что R является множеством предельных точек счетного мно-жества Q, то есть во всякой окрестности (a, b) произвольного действительного чис-ла α обязательно есть рациональные числа. Может показаться, что если каждоерациональное число q ∈ [0, 1] погрузить в какую-либо окрестность, то в результа-те получится покрытие всего отрезка [0, 1]. На самом деле это не так: посколькуµ(Q ∩ [0, 1]) = 0, то можно так организовать погружение рациональных чисел изотрезка [0,1] в окрестности, что суммарная длина этих окрестностей будет меньшенаперед заданного числа ε > 0, тогда как длина отрезка [0, 1] равна 1.

7. У п р а ж н е н и е. Покажите, что отрезок [0, 1] не является множествомлебеговой меры нуль.

§48. Теорема Лебега

1. Т е о р е м а [А. Лебег]. Функция f интегрируема по Риману на [a, b] ттогдаона ограничена и п.в. непрерывна.

Позднее (§121) будет приведено доказательство этой теоремы в существенно бо-лее общей ситуации. На данном этапе изучения курса нашей целью будет научитьсяиспользовать ее для получения основных свойств интеграла по отрезку.

2. С л е д с т в и е. Монотонная функция f на отрезке [a, b] интегрируема.¶ Достаточно показать, что множество Ω(f) всех точек разрыва функции f не болеечем счетно. Согласно 23.4 каждая точка из Ω(f) является точкой разрыва 1-го рода,и остается заметить, что Ω(f) =

⋃n

Ωn, где

Ωn =

x ∈ [a, b] : | limy→x+

f(y)− limy→x− f(y)| > 1/n

,

причем множества Ωn конечны (из монотонности f , в множестве Ωn не болееn|f(b)− f(a)| точек). ¤

П р и м е р ы. 3. Всякая ограниченная функция, имеющая на отрезке [a, b]конечное число точек разрыва, интегрируема.

4. Функция Дирихле χQ∩[0,1](см. 1.10) не интегрируема по Риману на отрезке

[0, 1].

66

§49. Свойства интеграла Римана

1. Пусть f, g интегрируемы на [a, b]. Тогда на [a, b] интегрируемы функцииf ± g, f · g, λf (λ ∈ R), |f |, причем

∫ b

a[f(x)± g(x)] dx =

∫ b

af(x)dx±

∫ b

ag(x) dx,

∫ b

aλf(x) dx = λ

∫ b

af(x) dx.

2. Справедливо равенство∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx (a < c < b)

в том смысле, что если определена одна из его частей, то определена и другая, иони равны.¶ Обозначая через Ω(f) множество точек разрыва функции f , имеем в силу 22.5–6

Ω(f ± g) ⊂ Ω(f) ∪ Ω(g), Ω(|f |) ⊂ Ω(f), Ω(f · g) ⊂ Ω(f) ∪ Ω(g).

Если f и g интегрируемы, то µΩ(f) = µΩ(g) = 0. Следовательно (см. 47.2–3),

µΩ(f ± g) = µΩ(f · g) = µΩ(|f |) = 0.

Из теоремы Лебега следует интегрируемость указанных в свойстве п. 1 функций.Равенства п. 1 теперь следуют из определения 46.3. Пусть (∆k) — произвольная по-следовательность разложений отрезка [a, b] такая, что d(∆k) → 0. Тогда, например,

∫ b

a[f(x) + g(x)] dx = lim

k

nk∑

j=1

[f(ξ(k)j ) + g(ξ(k)

j )](x(k)j − x

(k)j−1)

= limk

nk∑

j=1

f(ξ(k)j )(x(k)

j − x(k)j−1) + lim

k

nk∑

j=1

g(ξ(k)j )(x(k)

j − x(k)j−1)

=∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

Пусть теперь определена левая часть равенства в свойстве п. 2, то есть f интегриру-ема на [a, b]. Тогда f ограничена и µΩ(f) = 0. Тем более лебегову меру нуль имеютмножества точек разрыва ограничений f на отрезки [a, c], [c, b], так что определенаправая часть равенства. Аналогично, если f интегрируема на отрезках [a, c], [c, b],то она интегрируема на [a, b].

Рассмотрим далее (∆′k), (∆′′

k) — разложения соответственно отрезков [a, c], [c, b]такие, что d(∆′

k), d(∆′′k) → 0. Замечая, что суммы вида S∆′k

+ S∆′′kявляются инте-

гральными суммами функции f , соответствующими отрезку [a, b], получаем∫ b

af(x) dx = lim

k

(S∆′k

+ S∆′′k

)= lim

kS∆′k

+ limk

S∆′′k=

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx. ¤

З а м е ч а н и я. 3. Из интегрируемости |f | еще не следует интегрируемость f .Постройте соответствующий пример. (Указание: видоизмените пример 48.4.)

67

4. Полезно расширить определение интеграла по отрезку, считая∫ b

af(x) dx ≡

−∫ a

bf(x) dx для a > b. Кроме того, положим

∫ a

af(x) dx ≡ 0. Доказанные выше

свойства интеграла верны и для этого расширенного определения.

§50. Свойства интеграла, связанные с неравенствами

1. Если f, g интегрируемы на отрезке [a, b] и f(x) 6 g(x)(a 6 x 6 b), то∫ b

af(x) dx 6

∫ b

ag(x) dx.

2. Если f интегрируема на [a, b], то∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ 6∫ b

a|f(x)| dx 6 K(b− a), где K = sup

x∈[a,b]|f(x)|.

3. Пусть f(x) > 0 (a 6 x 6 b), f интегрируема на [a, b] и непрерывна в точке

c ∈ [a, b], f(c) > 0. Тогда∫ b

af(x)dx > 0.

¶ П.1 следует из сравнения соответствующих интегральных сумм Римана. Далее изнеравенств −|f(x)| 6 f(x) 6 |f(x)| с учетом п. 1 имеем

−∫ b

a|f | =

∫ b

a(−|f |) 6

∫ b

af 6

∫ b

a|f | 6

∫ b

aK = K(b− a),

и п. 2 доказан. Перейдем к п. 3. Пусть для определенности a < c < b. В силу 22.4существует окрестность U(c) = (d, e) (a 6 d < c < e 6 b) такая, что 0 < λ 6 f(x)(x ∈ U(c)). Тогда

∫ b

a=

∫ d

a+

∫ e

d+

∫ b

e>

∫ e

d> λ(e− d) > 0. ¤

4. Т е о р е м а [о среднем значении]. Пусть f, ϕ интегрируемы на [a, b],ϕ(x) > 0 (a 6 x 6 b). Тогда

∫ b

af(x)ϕ(x)dx = λ

∫ b

aϕ(x)dx,

где m 6 λ 6 M (m = infx∈[a,b]

f(x), M = supx∈[a,b]

f(x)). Если, кроме того, f непрерывна,

то существует ξ ∈ [a, b] такое, что∫ b

af(x)ϕ(x) dx = f(ξ)

∫ b

aϕ(x) dx.

¶ ϕ(x) > 0 влечет mϕ(x) 6 f(x)ϕ(x) 6 Mϕ(x) (a 6 x 6 b); интегрируя эти неравен-ства, имеем

m

∫ b

aϕ(x) dx 6

∫ b

af(x)ϕ(x) dx 6 M

∫ b

aϕ(x) dx.

68

Если∫ b

aϕ(x)dx = 0, то в качестве λ подходит любое число из отрезка [m,M ]. Если

∫ b

aϕ(x)dx > 0, то следует взять λ =

(∫ b

aϕ(x)dx

)−1

·∫ b

af(x)ϕ(x) dx. Для непрерыв-

ной функции 2-е утверждение теоремы следует из 24.2(г). ¤

§51. Интеграл как функция своего верхнего предела

1. Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда определена и непрерывна на [a, b] функ-

ция F (x) =∫ x

af(t)dt (a 6 x 6 b).

¶ Пусть K = supx∈[a,b]

|f(x)|. Тогда F непрерывна на [a, b] в силу оценки

|F (x)− F (y)| =∣∣∣∣∫ x

yf(t)dt

∣∣∣∣ 6 K|x− y| (a 6 x, y 6 b). ¤ (1)

Приведем замечательное уточнение доказанной теоремы.2. Если f(x) интегрируема на [a, b] и непрерывна в точке x0 ∈ (a, b), то функция

F (x) =∫ x

af(t) dt (a 6 x 6 b) дифференцируема в точке x0 и F ′(x0) = f(x0). В

частности, если f непрерывна на (a, b), то F (x) (a < x < b) — первообразная дляf(x) (a < x < b).¶ Пусть сначала f непрерывна на (a, b) и x ∈ (a, b). Тогда

F (x + h)− F (x) =∫ x+h

xf(t)dt = f(x)h + r(h), (2)

где r(h) =∫ x+h

x[f(t)− f(x)] dt. По теореме о среднем значении r(h) = [f(x + θh)−

f(x)]h (0 6 θ 6 1), так что r(h) = o(h) (h → 0). Следовательно, F ′(x) = f(x).Итак, всякая непрерывная функция на интервале обладает первообразной (ответна вопрос в 42.1).

Переходим к доказательству 1-й части теоремы. Пусть f непрерывна в точкеx0 ∈ (a, b). Тогда при x = x0 справедливы равенства (2). Применим к r(h) 1-ю частьтеоремы 50.4; имеем r(h) = λhh, где m(h) 6 λh 6 M(h), а m(h) (соответственноM(h)) — нижняя (соответственно верхняя) грань функции f(t)− f(x0) на отрезке сконцами в x0 и x0 +h. Осталось показать, что λh = o(1) (h → 0), то есть lim

h→0M(h) =

limh→0

m(h) = 0. Действительно, из непрерывности f в x0 имеем

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t(|t− x0| < δ ⇒ |f(t)− f(x0)| < ε

2

),

так что |h| < δ ⇒ M(h) < ε, то есть limh→0

M(h) = 0. Аналогично, limh→0

m(h) = 0. ¤

3. З а м е ч а н и е. Из п. 2 и теоремы Лебега следует, что для всякой интегриру-

емой на [a, b] функции f функция F (x) =∫ x

af(t) dt (a 6 x 6 b) дифференцируема

на [a, b] п.в.

69

§52. Формула Ньютона-Лейбница

1. Если f непрерывна на [a, b] и Φ — произвольная ее первообразная, то∫ b

af(t) dt = Φ(b)− Φ(a).

(В соответствии с определением первообразной в этом и других аналогичных утвер-ждениях ниже следует считать, что f задана и непрерывна на некотором интервале(c, d) ⊃ [a, b].)¶ Пусть Φ — произвольная первообразная для f . Тогда (см. 42.3, 51.2) Φ(x) =

F (x) + C, где F (x) =∫ x

af(t) dt. Следовательно,

∫ b

af(t) dt = F (b)− F (a) = [F (b) + C]− [F (a) + C] = Φ(b)− Φ(a). ¤

Разность Φ(b)− Φ(a) обозначается часто символом Φ(t)|ba.2. У п р а ж н е н и е. Пусть f интегрируема на [a, b] и обладает первообразной.

Покажите, что для f справедлива формула Ньютона-Лейбница.

§53. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница

Прежде чем сформулировать обобщение формулы 52.1 введем несколько опре-делений, которые неоднократно еще будут использоваться в нашем курсе.

1. Функция f(x) (a 6 x 6 b) называется гладкой, если она непрерывна на [a, b],и функция f ′(x) (a < x < b) непрерывна, причем существуют и конечны пределыlim

x→a+f ′(x), lim

x→b−f ′(x).

2. Непрерывная функция f(x) (a 6 x 6 b) называется непрерывной кусочно-гладкой, если существует разложение a = x0 < x1 < . . . < xn = b такое, что fгладкая на каждом отрезке [xj−1, xj ].

3. У п р а ж н е н и е. Если f(x) (a 6 x 6 b) гладкая, то limx→a+

f ′(x) = f ′(a+),

limx→b−

f ′(x) = f ′(b−) (см. 29.11), так что f ′(x)(a < x < b) допускает непрерывное

продолжение на [a, b].

П р и м е р ы. 4. f(x) = |x| (−1 6 x 6 1) — непрерывная кусочно-гладкаяфункция.

5. f(x) = arcsinx (−1 6 x 6 1) — не непрерывная кусочно-гладкая (хотя инепрерывная) функция.

6. У п р а ж н е н и е. Если f, g гладкие (непрерывные кусочно-гладкие) на [a, b],то f ± g, f · g гладкие (соответственно непрерывные кусочно-гладкие) на [a, b].

7. [Обобщенная формула Ньютона-Лейбница]. Если F (x) (a 6 x 6 b) непрерыв-ная кусочно-гладкая функция, то

∫ b

aF ′(x) dx = F (b)− F (a). (∗)

70

¶ Обратим внимание на то, что левая часть “плохо” определена: если a = x0 < x1 <. . . < xn = b — разложение, фигурирующее в п. 2 (для функции F ), то F ′ может бытьне определена в точках xj . Однако, если как-нибудь (все равно как!) доопределитьF ′ в этих точках, то левая часть (∗) уже становится корректно определенной. В силупримера 46.8 левая часть (∗) не зависит от произвола в определении F ′ в конечномчисле точек. По формуле Ньютона-Лейбница 52.1

∫ b

aF ′(x) dx =

n∑

j=1

∫ xj

xj−1

F ′(x) dx =n∑

j=1

[F (xj)− F (xj−1)] = F (b)− F (a). ¤

§54. Общие приемы вычисления интеграла

1. [Формула интегрирования по частям]. Пусть f, g — непрерывные кусочно-гладкие на [a, b]. Тогда

∫ b

af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)

∣∣∣∣b

a

−∫ b

af ′(x)g(x) dx.

2. [Формула замены переменной].Пусть f(x) (a 6 x 6 b) непрерывна, и ϕ(t) (c 6t 6 d) непрерывная кусочно-гладкая, причем ϕ(c) = a, ϕ(d) = b и определена супер-позиция f ϕ. Тогда ∫ b

af(x) dx =

∫ d

cf(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

¶ В силу 53.7 с учетом 53.6 имеем

∫ b

af(x)g′(x) dx +

∫ b

af ′(x)g(x) dx =

∫ b

a(f(x)g(x))′ dx=f(x)g(x)

∣∣∣∣b

a

.

Свойство 1 доказано. Для доказательства п. 2 обозначим через F первообразнуюдля функции f . Пусть разложение c = t0 < t1 < . . . < tn = d таково, что ϕ гладкая

на каждом отрезке [tj−1, tj ]. Тогдаd

dtF (ϕ(t)) = f(ϕ(t))ϕ′(t) (t 6= tj), и поэтому по

обобщенной формуле Ньютона-Лейбница∫ d

cf(ϕ(t))ϕ′(t) dt = F (ϕ(d))− F (ϕ(c)) = F (b)− F (a) =

∫ b

af(x) dx. ¤

3. П р и м е р. Вычислим J =∫ 1

0arcsinx dx. Используя 43.2, находим первооб-

разную F (x) для arcsinx (0 6 x 6 1) : F (x) = x · arcsinx +√

1− x2 (0 6 x 6 1). Сучетом 52.1 имеем J = F (1)− F (0) =

π

2− 1.

4. З а м е ч а н и е. Заметим, что выкладка∫ 1

0arcsinx dx = x · arcsinx

∣∣∣∣1

0

−∫ 1

0

x dx√1− x2

=π

2−

√1− x2

∣∣∣1

0=

π

2− 1,

дающая тот же ответ, на данном уровне наших знаний неправомерна, так какarcsinx

71

(0 6 x 6 1) не является непрерывной кусочно-гладкой, и использование форму-

лы п. 1 незаконно. Действительно, интеграл∫ 1

0

x dx√1− x2

заведомо не существует

как интеграл Римана. Позднее (§129) мы придадим смысл подобным выкладкам.

5. У п р а ж н е н и е. Найти limn

∫ 1

0

xn

1 + xdx.

§55. Верхний и нижний интегралы Дарбу

1. Значение интегральной суммы Римана функции f (см. 46.2) зависит не толькоот разложения ∆, но и от выбора промежуточных точек ξj . Естественно попытатьсяуменьшить этот произвол. Соответствующая конструкция, к изложению которой мыпереходим, оказывается полезной для теории и приложений интеграла Римана.

2. Пусть f(x) (a 6 x 6 b) — ограниченная функция и ∆(a = x0 < x1 < . . . <xn = b) — разложение отрезка [a, b]. Верхней (нижней) суммой Дарбу функции

f , отвечающей разложению ∆, называется сумма S∗(∆) =n∑

j=1Mj(xj − xj−1) (со-

ответственно S∗(∆) =n∑

j=1mj(xj − xj−1)), где Mj = sup

[xj−1,xj ]f(x),mj = inf

[xj−1,xj ]f(x).

Отметим основное свойство сумм Дарбу.

3.Пусть ∆, ∆′ — произвольные разложения отрезка [a, b]. Тогда S∗(∆) 6 S∗(∆′).¶ Пусть ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) и ∆ — разложение, полученное из ∆добавлением одного узла y. Пусть для определенности x0 < y < x1. Тогда

S∗(∆) = [ inf[x0,y]

f(x)](y − x0) + [ inf[y,x1]

f(x)](x1 − y) +n∑

j=2

mj(xj − xj−1)

> [ inf[x0,x1]

f(x)](x1 − x0) +n∑

j=2

mj(xj − xj−1) = S∗(∆).

Таким образом, при добавлении к разложению ∆ нескольких новых узлов нижняясумма Дарбу разве лишь возрастает. Аналогично верхняя сумма Дарбу от такогодобавления может только уменьшиться. Пусть теперь ∆ и ∆′ — произвольные раз-ложения [a, b], а ∆′′ — разложение, полученное объединением узлов разложений ∆ и∆′. Тогда в силу сделанных выше замечаний S∗(∆) 6 S∗(∆′′) 6 S∗(∆′′) 6 S∗(∆′). ¤

4.Из п. 3 следует, что множество S∗(∆) (соответственно S∗(∆)) всех верхних(соответственно нижних) сумм Дарбу ограниченной функции f ограничено снизу(соответственно сверху). Поэтому определены величины D∗(f) = inf

∆S∗(∆), D∗(f) =

sup∆

S∗(∆). Они называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу

функции f . При этом (п. 3) D∗(f) 6 D∗(f).

§56. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману

1. Ограниченная функция f(x) (a 6 x 6 b) интегрируема по Риману (и α =∫ b

af(x) dx) ттогда D∗(f) = D∗(f)(= α).

72

¶ Необходимость. Пусть f интегрируема. В силу 46.5

∀ε > 0∃∆(a = x0 < x1 < . . . < xs = b)∀ξj ∈ [xj−1, xj ] (j = 1, s)(|

s∑j=1

f(ξj)(xj − xj−1)− α| < ε).

Следовательно, для любых ξj ∈ [xj−1, xj ] : α− ε <s∑

j=1f(ξj)(xj −xj−1) < α+ ε. Взяв

sup (соответственно inf ) по ξj в каждом из отрезков, получим α − ε 6 S∗(∆) 6S∗(∆) 6 α + ε. Отсюда S∗(∆) − S∗(∆) 6 2ε, и значит, D∗(f) − D∗(f) 6 2ε. Изпроизвольности ε : D∗(f) 6 D∗(f) и остается учесть неравенство в 55.4.

Достаточность. Пусть D∗(f) = D∗(f) = α. Для произвольного ε > 0 (в силуопределения 55.4 и свойства 55.3) найдется разложение ∆(a = x0 < x1 < . . . < xs =b) такое, что

S∗(∆)− S∗(∆) =s∑

j=1

(Mj −mj)(xj − xj−1) <ε

2.

Следует лишь убедиться, что для любого разложения ∆(a = y0 < y1 < . . . < yN = b)достаточно малого диаметра, мы будем иметь |S∆ − α| < ε, где S∆ — интегральнаясумма Римана функции f . Пусть M = sup

x∈[a,b]|f(x)| и d(∆) <

ε

4Ms. Мы имеем

S∆ − α =N∑

i=1

f(ξi)(yi − yi−1)− α =∑

i

′f(ξi)(yi − yi−1) +∑

i

′′f(ξi)(yi − yi−1)− α,

где сумма∑′ по тем i, для которых отрезки [yi−1, yi] содержат узлы xj разложения

∆, а∑′′ — сумма по остальным i. Не ограничивая общности, будем считать, что

f(x) > 0 (a 6 x 6 b). Тогда (так как каждый узел xj может принадлежать не болеечем двум отрезкам [yi−1, yi])

∑

i

′f(ξi)(yi − yi−1) 6 M∑

i

′(yi − yi−1) 6 M max16i6N

(yi − yi−1) ·∑

i

′1 6 2Msd(∆) <ε

2.

Для индексов i в сумме∑i

′′ отрезки [yi−1, yi] целиком лежат в подходящих отрезках

разложения ∆; обозначая σj = i : [yi−1, yi] ⊂ [xj−1, xj ], имеем∑

i

′′f(ξi)(yi − yi−1) =s∑

j=1

∑

i∈σj

f(ξi)(yi − yi−1) 6s∑

j=1

Mj

∑

i∈σj

(yi − yi−1)

6s∑

j=1

Mj(xj − xj−1) = S∗(∆).

Итак,

S∆ − α =∑ ′ +

∑ ′′ − α 6 ε

2+ S∗(∆)− α 6 ε

2+ S∗(∆)− S∗(∆) < ε.

Аналогично, при достаточно малых диаметрах разложения S∆ − α > −ε и утвер-ждение доказано. ¤

73

2. С л е д с т в и е. Всякая непрерывная функция f на отрезке [a, b] интегрируемапо Риману.¶ Пусть ε > 0 произвольно. Так как f равномерно непрерывна (см. 24.7), существуетδ > 0 такое, что |x − y| < δ влечет |f(x) − f(y)| <

ε

b− a. Пусть ∆(a = x0 < x1 <

. . . < xs = b) — разложение [a, b] такое, что d(∆) < ε. В силу 24.2(б) найдутсяξj , ηj ∈ [xj−1, xj ] такие, что f(ξj) = Mj = sup

[xj−1,xj ]f(x), f(ηj) = mj = inf

[xj−1,xj ]f(x).

Поэтому S∗(∆) − S∗(∆) =s∑

j=1[f(ξj) − f(ηj)](xj − xj−1) <

ε

b− a

s∑j=1

(xj − xj−1), и

значит, D∗(f) − D∗(f) < ε. Из произвольности ε следует, что D∗(f) 6 D∗(f) изначит, D∗(f) = D∗(f). Остается применить доказанный выше критерий. ¤

3. У п р а ж н е н и е. Приведите подробное доказательство заключительнойфразы п. 1 “при достаточно малых диаметрах разложения S∆ − α > −ε”.

§57. О приближенном вычислении интегралов

1. Численное значение интеграла Римана далеко не всегда может быть найдено спомощью формулы Ньютона-Лейбница (см. 43.13). В связи с этим большое значениеимеют приближенные методы нахождения численных значений интегралов. К этимметодам естественно предъявляется ряд требований. Отметим некоторые из них:

(а) сходимость приближенных значений к истинному значению интеграла,(б) возможность эффективно оценивать погрешность,(в) вычислительная простота.

Детально эти вопросы изучаются в курсе “Методы вычислений”. Мы ограничимсянесколькими простыми формулами. Отметим, что одним из типичных методов при-ближенного вычисления интеграла Римана является замена интегрируемой функ-ции более простой (например, полиномом) так, чтобы погрешность в значении ин-теграла была бы небольшой.

2. [Формула прямоугольников]. Для вычисления интеграла

J =∫ b

af(x) dx (1)

возьмем разложение ∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) с равноотстоящими

узлами: xj = a +b− a

nj (0 6 j 6 n) и выберем промежуточные точки в серединах

полученных отрезков: ξj =12(xj−1 + xj), 1 6 j 6 n. Тогда

Sn =b− a

n·

n∑

j=1

f(12(xj−1 + xj)) (2)

— интегральная сумма Римана функции f (так как Sn =n∑

j=1f(ξj)(xj − xj−1)), и

поэтому Sn → J (n →∞). Эта формула носит название формулы прямоугольников(площадь под кривой y = f(x) на участке [xj−1, xj ] заменяется на площадь прямо-угольника с основанием xj − xj−1 и высотой f(ξj)). Отметим, что формула точнадля аффинных функций вида f(x) = λx + µ.

74

3. [Формула трапеций]. Возьмем разложение ∆ как в п. 2 и заменим площадькриволинейной трапеции на участке [xj−1, xj ] площадью трапеции с вершинами(xj−1, 0), (xj , 0), (xj−1, f(xj−1)), (xj , f(xj)). Суммируя эти площади, получим

Tn =b− a

n·

n∑

j=1

12(f(xj−1) + f(xj)). (3)

Так как суммыb− a

n

n∑j=1

f(xj−1),b− a

n

n∑j=1

f(xj) являются интегральными суммами

для f , имеем Tn → J (n →∞). Формула (3) также точна для аффинных функций.

4. [Формула Симпсона]. Рассмотрим сначала случай [a, b] = [−1, 1]. Подберемα, β, γ так, чтобы равенство

1∫

−1

f(x) dx = αf(−1) + βf(0) + γf(1) (4)

имело место для функций f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2. Из системы

α + β + γ = 2−α + γ = 0

α + γ = 2/3

находим α = γ =13, β =

43. С этими значениями формула (4) автоматически верна

для f(x) = x3, так как 0 =∫ 1

−1x3 dx = −α + γ. Таким образом, формула

∫ 1

−1f(x) dx =

13[f(−1) + 4f(0) + f(1)] (5)

верна для всех полиномов вида f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3. Для произвольногоотрезка формула (5) преобразуется к виду

∫ b

af(x) dx =

b− a

6[f(a) + 4f(

b + a

2) + f(b)]

(здесь f — полином 3-й степени). Для получения приближенной формулы вычис-ления интеграла (1) поделим отрезок [a, b] на 2n равных подотрезков с концами

xj = a +b− a

2nj и на каждом отрезке [x2j−2, x2j ] интеграл

∫ x2j

x2j−2

f(x) dx заменим

суммойb− a

6n[f(x2j−2) + 4f(x2j−1) + f(x2j)]. Суммируя по j, получим

σn =b− a

6n

n∑

j=1

[f(x2j−2) + 4f(x2j−1) + f(x2j)].

Снова, как и выше, σn → J (n →∞) (!!).

75

5. Вывод оценки погрешности приближенной формулы проиллюстрируем наформуле прямоугольников. Пусть f дважды непрерывно дифференцируема на [a, b]

и M = maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|. Пусть сначала n = 1, так что ξ1 =b + a

2. По формуле Тейлора

34.2 имеем f(x) = f(ξ1) + f ′(ξ1)(x− ξ1) +12f ′′(c)(x− ξ1)2 (здесь c принадлежит про-

межутку с концами в точках ξ1 и x). Оценим погрешность R1 = |J − S1|. Так какформула прямоугольников точна для аффинных функций, имеем

R1 =∣∣∣∣∫ b

af(x) dx− (b− a)f(ξ1)

∣∣∣∣ =12

∣∣∣∣∫ b

af ′′(c)(x− ξ1)2 dx

∣∣∣∣

6 M

2

∫ b

a(x− ξ1)2 dx =

M

3

(b− a

2

)3

.

В случае произвольного n заметим, что

Rn =∣∣∫ b

af(x) dx− b− a

n

n∑

j=1

f(ξj)∣∣ =

∣∣n∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(x) dx− b− a

n

n∑

j=1

f(ξj)∣∣

6n∑

j=1

∣∣∫ xj

xj−1

f(x) dx− b− a

nf(ξj)

∣∣

(здесь ξj =12(xj−1+xj), xj = a+

b− a

nj). Воспользовавшись оценкой R1 для каждого

отрезка [xj−1, xj ], имеем

Rn 6 M

3· n

(b− a

2n

)3

=M

24· (b− a)3

n2.

76

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛАРИМАНА

§58. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме

1. Пусть f определена на интервале (α, β), причем на отрезке [a, x] ⊂ (α, β)(или [x, a] ⊂ (α, β)) она обладает непрерывной n-й производной. Тогда

f(x) =n−1∑

k=0

1k!

f (k)(a)(x− a)k +1

(n− 1)!

∫ x

af (n)(t)(x− t)n−1 dt.

Величина rn(x) =1

(n− 1)!

∫ x

af (n)(t)(x−t)n−1 dt называется остатком в интегральной

форме.

¶ Имеем f(x) − f(a) =∫ x

af ′(t) dt, то есть для n = 1 формула справедлива. Пусть

она справедлива для всех k 6 n− 1. Тогда

f(x) =n−2∑

k=0

1k!

f (k)(a)(x− a)k +1

(n− 2)!

∫ x

af (n−1)(t)(x− t)n−2 dt.

Интегрируя по частям интеграл в правой части, имеем∫ x

af (n−1)(t)(x− t)n−2 dt = − 1

n− 1f (n−1)(t)(x− t)n−1

∣∣∣∣x

a

+1

n− 1

∫ x

af (n)(t)(x− t)n−1 dt

=1

n− 1[f (n−1)(a)(x− a)n−1 +

∫ x

af (n)(t)(x− t)n−1 dt],

а отсюда и следует искомая формула. ¤

2. П р и м е р. Покажем, что ln(1 + x) =∞∑

n=1(−1)n−1 xn

n(|x| < 1) (см. 36.6).

Согласно 36.2 нужно показать, что rn(x) → 0 (|x| < 1). Из интегральной формыостатка для функции ln(1 + x) (|x| < 1) при a = 0:

|rn(x)| =∣∣∣∣∫ x

0

(x− t)n−1

(1 + t)ndt

∣∣∣∣ 6∣∣∣∣∣∫ x

0

∣∣∣∣x− t

1 + t

∣∣∣∣n−1 dt

1 + t

∣∣∣∣∣ .

Замечая, что∣∣x− t

1 + t

∣∣ 6 |x| при |x| < 1, получаем

|rn(x)| 6 |x|n−1| ln(1 + x)| → 0 (n →∞).

3. У п р а ж н е н и е. Докажите равенство 36.7.

77

§59. Интегральный признак сходимости числового ряда

1. Пусть f(x) > 0 (x > 0) не возрастает. Ряд∞∑

j=1f(j) сходится ттогда функ-

ция F (x) =∫ x

0f(t) dt (x > 0) ограничена.

¶ Отметим сначала, что F (x) определена для любого x > 0 (см. 48.2). Пусть∞∑

j=1f(j)

сходится. Тогда существует K > 0 такое, чтоn∑

j=1f(j) 6 K для всех n. Таким обра-

зом, для любого x > 0

F (x) =∫ x

0f(t) dt 6

∫ [x]+1

0f(t) dt =

∫ 1

0+

∫ 2

1+ . . .+

∫ [x]+1

[x]6 f(0)+

[x]∑

j=1

f(j) 6 f(0)+K.

Обратно, если F (x) 6 K (x > 0), то

n∑

j=1

f(j) =n∑

j=1

f(j)∫ j

j−1dt 6

n∑

j=1

∫ j

j−1f(t) dt =

∫ n

0f(t) dt = F (n) 6 K. ¤

2. П р и м е р. Ряд∞∑

n=1

1np

сходится, если p > 1 и расходится при p 6 1: примените

п. 1 к f(t) =

1, если 0 6 t 6 1,1tp

, если t > 1.

§60. Геометрические приложения

1. Площадь криволинейной трапеции. Аккуратное определение площади плос-кой фигуры будет дано в разделе “Мера Жордана”. Пока мы обращаемся к геомет-рической интуиции.

Пусть f(x) (a 6 x 6 b) интегрируема по Риману. В соответствии с 45.1 и опре-делением интеграла Римана площадь фигуры, заключенной между вертикальнымипрямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x) (a 6 x 6 b), рав-

на S =∫ b

af(x) dx. (При этом следует иметь в виду, что на участке, где f(x) 6 0,

соответствующая площадь получается со знаком минус.)

2. Площадь плоской фигуры в полярной системе координат. Вспомним, что пло-

щадь сектора круга радиуса r, соответствующего углу θ, равна12r2θ. Для вычис-

ления площади фигуры, ограниченной кривой r = r(θ) (α 6 θ 6 β) и лучамиθ = α, θ = β, рассмотрим разложение ∆(α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β). ПлощадьSj части фигуры, отвечающей отрезку [θj−1, θj ] изменения переменной θ (Рис. 13),удовлетворяет неравенствам

[ inf[θj−1,θj ]

12r2(θ)](θj − θj−1) 6 Sj 6 [ sup

[θj−1,θj ]

12r2(θ)](θj − θj−1).

78

Суммируя по j, находим, что площадь S заключена между нижней и верхней сум-

мами Дарбу функции12r2(θ). Следовательно, в предположении интегрируемости

функции r(θ), S =12

∫ b

ar2(θ) dθ.

3. Длина плоской кривой. Длиной ` кривой Γ называется предел длин ломаных,вписанных в кривую, когда наибольшее расстояние между соседними узлами ло-маной стремится к 0. Пусть Γ — график непрерывной кусочно-гладкой функцииy = f(x) (a 6 x 6 b). Каждая вписанная ломаная характеризуется некоторым раз-ложением ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b), так что длина j-го звена ломаной равна`j = [(xj − xj−1)2 + (f(xj)− f(xj−1)2]1/2 (см. Рис 14). Положим

ψ(x) =√

1 + f ′(x)2 (a 6 x 6 b). (1)

Эта функция имеет на отрезке [a, b] не более конечного числа точек разрыва. Поформуле конечных приращений Лагранжа

`j = [1 + f ′(xj−1 + θ(xj − xj−1))2]1/2(xj − xj−1)= ψ(xj−1 + θ(xj − xj−1))(xj − xj−1), 0 < θ < 1.

Суммируя эти неравенства, получаем, что длина ломаной `∆ является интегральнойсуммой Римана функции ψ, которая в силу сделанных предположений интегриру-ема на [a, b]. Следовательно, lim

d(∆)→0`∆ существует и

` = limd(∆)→0

`∆ =∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx.

4. Длина пространственной кривой. Пусть кривая Γ в R3 задана системой урав-нений x = x(t), y = y(t), z = z(t) (t ∈ [a, b]). Предполагая функции x(t), y(t), z(t)непрерывными кусочно-гладкими, можно доказать, что длина кривой Γ равна

` =∫ b

a[x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2]1/2 dt. (2)

Вывод этой формулы в настоящий момент был бы хлопотным делом, и мы дадимего позднее (§83). Частным случаем (2) является формула, доказанная в п. 3 (в этомслучае z = 0 и роль параметра t играет переменная x).

79

5. Площадь поверхности вращения. Пусть f(x) (a 6 x 6 b) — непрерывнаякусочно-гладкая функция (для определенности пусть f(x) > 0). Найдем площадь σповерхности, полученной вращением графика Γ функции f вокруг оси Ox. Пусть∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) — разложение [a, b]. Заменив Γ на ломаную с узламив точках (xj , f(xj)), мы аппроксимируем искомую площадь площадью поверхно-сти, возникающей при вращении ломаной. Часть поверхности вращения ломаной,заключенной между узлами (xj−1, f(xj−1)), (xj , f(xj)), есть боковая поверхностьусеченного конуса (Рис. 15), и ее площадь

σj = π(f(xj) + f(xj−1))[(xj − xj−1)2 + (f(xj)− f(xj−1))2

]1/2

= π(f(xj) + f(xj−1))[1 + f ′(ξj)2

]1/2 (xj − xj−1), ξj ∈ [xj−1, xj ].

Отсюда искомая площадь (с учетом обозначения (1))

σ = limd(∆)→0

n∑

j=1

σj = limd(∆)→0

πn∑

j=1

(f(xj) + f(xj−1))ψ(ξj)(xj − xj−1), ξj ∈ [xj−1, xj ].

Представимn∑

j=1σj в виде

∑ ′ +∑ ′′, где

∑ ′ = 2π

n∑

j=1

f(ξj)ψ(ξj)(xj − xj−1),

∑ ′′ = πn∑

j=1

[(f(xj)− f(ξj))− (f(ξj)− f(xj−1))]ψ(ξj)(xj − xj−1).

Сумма∑ ′ есть интегральная сумма Римана функции 2πf(x)ψ(x). Поэтому

limd(∆)→0

∑′ = 2π

∫ b

af(x)

[1 + f ′(x)2

]1/2dx. Пусть далее ε > 0 произвольно. В си-

лу равномерной непрерывности f(x) существует δ > 0 такое, что |x − y| < δ ⇒|f(x)− f(y)| < ε (x, y ∈ [a, b]). Теперь при d(∆) < δ имеем

|∑ ′′| 6 π

n∑

j=1

[|f(xj)− f(ξj)|+ |f(ξj)− f(xj−1)|]ψ(ξj)(xj − xj−1)

6 2πεKn∑

j=1

(xj − xj−1) = 2πεK(b− a),

где K = supx∈[a,b]

ψ(x). Это означает, что limd(∆)→0

∑ ′′ = 0, и

σ = 2π

∫ b

af(x)

√1 + f ′(x)2 dx.

6. У п р а ж н е н и е. Объем тела вращения криволинейной трапеции (введенной

в 45.1) вокруг оси Ox равен v = π

∫ b

af2(x) dx.

80

§61. Логарифмическая и показательная функции (новый взгляд)

1. Сейчас разрешается забыть все, что вы знаете о логарифмической и показа-тельной функциях. Положим

ϕ(x) ≡∫ x

1

dt

t(x > 0). (∗)

Отметим следующие свойства этой функции:(а) ϕ непрерывна и строго возрастает,(б) ϕ(xy) = ϕ(x) + ϕ(y) (x, y > 0),(в) ϕ(1) = 0, lim

x→+∞ϕ(x) = +∞, limx→0+

ϕ(x) = −∞.

¶ Согласно 51.2 ϕ дифференцируема и потому непрерывна. Она строго возрастает,

так как ϕ′(x) =1x

> 0; (б) следует из выкладки

ϕ(xy) =∫ xy

1

dt

t=

∫ x

1

dt

t+

∫ xy

x

dt

t=

∫ x

1

dt

t+

∫ y

1

ds

s= ϕ(x) + ϕ(y).

(после 2-го равенства сделана подстановка t = xs). Наконец,

x > 2n ⇒ ϕ(x) > ϕ(2n) = nϕ(2) ⇒ limx→+∞ϕ(x) = +∞,

0 = ϕ(1) = ϕ(x · 1x

) = ϕ(x) + ϕ(1x

) ⇒ ϕ(1x

) = −ϕ(x),

откуда limx→0+

ϕ(x) = −∞.

2. Функцию ϕ(x) (x > 0) (см. (∗)) назовем логарифмической по основанию e(обозначается ln x). Логарифмическую функцию по основанию a > 0 определимравенством

loga x ≡ ln x

ln a(x > 0).

При a > 1 функция loga x обладает свойствами (а)–(в); при a < 1 функция loga xстрого убывает и

limx→+∞ loga x = −∞, lim

x→0+loga x = +∞.

Так как (loga x)′′ = − 1ln a · x2

, функция loga x вогнута при a > 1 и выпукла приa < 1.

3. Функцию, обратную к логарифмической loga x (x > 0), назовем показатель-ной функцией (обозначается ax (x ∈ R)). В силу 26.1 показательная функция непре-рывна и строго монотонна (она строго возрастает при a > 1 и строго убываетпри a < 1). При этом ax+y = ax · ay. (Это следует из выкладки loga(ax · ay) =loga ax + loga ay = x + y = loga ax+y. ¤)

4. У п р а ж н е н и е. Покажите, что для натурального n величина a1/n, вы-численная в соответствии с определением п. 3 совпадает с арифметическим корнемn-й степени числа a.

81

ОТОБРАЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВЫХПРОСТРАНСТВАХ

§62. Векторные пространства

1. Напомним известное из курса алгебры определение: векторным простран-ством над полем Λ (= C или R) называется абелева группа X в аддитивной записи,для которой задано отображение Λ ×X → X, записываемое в мультипликативнойформе, причем удовлетворяются требования:

λ(x + y) = λx + λy, λ(µx) = (λµ)x,

(λ + µ)x = λx + µx, 1 · x = x (x, y ∈ X; λ, µ ∈ Λ).

Элементы из X называются векторами. Единицу аддитивной группы будем обозна-чать через θ — это нуль векторного пространства.

2. Равенство λx = θ выполняется ттогда λ = 0 или x = θ.¶ Утверждение является следствием импликаций:

λ = 0 ⇒ 0 · x = (0 + 0)x = 0x + 0x ⇒ 0x = θ,

λx = θ (λ 6= 0) ⇒ x =1λ

(λx) =1λ

θ = θ. ¤

3. Векторное пространство X имеет по определению размерность n, если онообладает базисом e1, . . . en ⊂ X, то есть каждый элемент x ∈ X допускает един-ственное представление вида x = λ1e1 + . . . + λnen (λi ∈ Λ).

4. П р и м е р. Пусть Mn×m — множество n×m-матриц над полем Λ:

[aji ] =

a11 . . . an

1

a12 . . . an

2

. . . . . . . . .a1

m . . . anm

Обычные операции сложения и умножения на скаляры [aji ] + [bj

i ] ≡ [aji + bj

i ], λ[aji ] ≡

[λaji ] определяют в Mn×m структуру векторного пространства. Нулевой элемент —

это n×m-матрица, все элементы которой равны 0. Размерность пространства Mn×m

равна n·m; базисом является, например, система матриц Eij (1 6 j 6 n, 1 6 i 6 m): уматрицы Eij на пересечении j-го столбца и i-й строки стоит 1, а остальные элементыравны 0.

5. Рассмотрим множество Cn, элементы которого — упорядоченные наборы nкомплексных чисел x = (x1, . . . , xn), xj ∈ C. Это множество — конечномерное век-торное пространство с векторными операциями

x + y ≡ (x1 + y1, . . . , xn + yn), λx ≡ (λx1, . . . , λxn), λ ∈ C.

Таким образом, Cn есть пространство Mn×1 над C.Напомним известное из алгебры определение: скалярным произведением векто-

ров u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn) называется число 〈u, v〉 ≡n∑

j=1ujvj . Векторы

82

u и v называются ортогональными, если 〈u, v〉 = 0. Евклидовой нормой вектораx = (x1, . . . , xn) ∈ Cn называется число

‖x‖ =[ n∑

j=1

|xj |2]1/2 (=√〈x, x〉). (∗)

Нетрудно видеть, что норма (∗) обладает свойствами:

(I) ‖x‖ = 0 ⇒ x = θ ,

(II) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ (λ ∈ C),

(III) ‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖.(Свойство (III) — не что иное, как неравенство Шварца 41.2.)

Аналогично вводится векторное пространствоRn над полем R. Под комплексным(соответственно вещественным) n-мерным евклидовым пространством в дальней-шем будет пониматься пространство Cn (соответственно Rn), снабженное нормой(∗). Если в некотором утверждении пойдет речь об евклидовом пространстве безуказания поля скаляров, то это значит, что утверждение относится к обоим случа-ям (C и R).

З а м е ч а н и я. 6. Существуют и другие функции, обладающие свойствами (I)–(III). Например, ‖x‖ = max

16j6n|xj |. Все такие функции также называются нормами.

7. Множество C (как и множество R) выступает теперь в двух ипостасях: какодномерное комплексное (соответственно вещественное) евклидово пространство C1

(соответственно R1) и как поле.

8. П р и м е р. В векторном пространстве Mn×m естественно вводится структураевклидова пространства путем задания евклидовой нормы ‖ [aj

i ] ‖ =[∑

i,j|aj

i |2]1/2.

9. У п р а ж н е н и е. Пусть x, y1, . . . , ym ∈ Cn, m < n. Представление x =m∑

i=1λiyi (λi ∈ C) имеет место ттогда из равенств 〈z, yi〉 = 0 (i = 1, . . . , m) следует

〈z, x〉 = 0.

§63. Топология евклидова пространства

1. Пусть E — евклидово пространство; ε-окрестностью точки x0 ∈ E называ-ется шар радиуса ε > 0 с центром в x0:

Bε(x0) ≡ x ∈ E : ‖x− x0‖ < ε.

Множество Ω ⊂ E называется открытым, если каждая точка из Ω содержится вΩ с некоторой своей окрестностью, то есть ∀x ∈ Ω ∃ε > 0 (Bε(x) ⊂ Ω).

Множество X ⊂ E называется замкнутым, если E\X открыто. Отметим следу-ющие важные свойства открытых множеств:

2. Если (Ωi)i∈I — произвольное семейство открытых множеств, то⋃i∈I

Ωi от-

крыто в E.

83

3. Если Ω1, . . . ,Ωk открыты в E, тоk⋂

i=1Ωi открыто.

4. Точка x0 называется предельной точкой множества Ω ⊂ E, если ∀ε > 0(Bε(x0) ∩ Ω 6= ∅) (по-прежнему Bε(x0) ≡ Bε(x0)\x0 — ˇ-окрестность точки x0).Точка x0 ∈ Ω называется изолированной точкой множества Ω, если Bε(x0) ∩ Ω =x0 при некотором ε > 0.

Множество Ω называется ограниченным, если Ω ⊂ Bn(θ) пpи некотоpом N > 0.Отметим полезное условие замкнутости множества.

5. Множество Ω(⊂ E) замкнуто ттогда оно содержит все свои предельныеточки.¶ Пусть Ω замкнуто и x0 6∈ Ω. Тогда E\Ω открыто и существует ε > 0 такое,что Bε(x0) ⊂ E\Ω, но тогда x0 не является предельной для Ω. Обратно, пусть Ωсодержит все свои предельные точки и x0 6∈ Ω. Тогда (так как x0 — не предельнаядля Ω) существует ε > 0 такое, что Bε(x0) ∩ Ω = ∅, то есть Bε(x0) ⊂ E\Ω. Итак,E\Ω открыто. ¤

6. Из технических соображений бывает удобно к евклидову пространству E до-бавлять несобственную точку∞: ˇ-окрестностью точки∞ назовем множество видаx ∈ E : ‖x‖ > N. За отсутствием порядковых свойств в обычном их понимании(см. 6.1) в пространствах Rn (n > 1) и Cn (n > 1) несобственные элементы типа±∞ не вводятся. В случае C1 присоединение несобственного элемента∞ допускаетгеометрическую интерпретацию (стереографическая проекция).

У п р а ж н е н и я. 7. Замкнутые множества в евклидовом пространстве обла-дают свойствами:

(а) если (Xi)i∈I — произвольное семейство замкнутых множеств в E, то⋂i∈I

Xi

замкнуто в E,

(б) если X1, . . . , Xk замкнуты в E, тоk⋃

i=1Xi замкнуто.

8. Покажите, что множество Bε[x] ≡ y ∈ E : ‖x− y‖ 6 ε замкнуто в E.

§64. Компактные множества

1. Семейство (Ui)i∈I частей евклидова пространства E называется покрытиеммножества X ⊂ E, если X ⊂ ⋃

i∈I

Ui. В частности, покрытие называется открытым,

если все Ui открыты.Множество K в евклидовом пространстве называется компактным, если из вся-

кого открытого покрытия этого множества можно выбрать конечное покрытие.

2. Т е о р е м а. Множество K в евклидовом пространстве компактно ттогдаоно ограничено и замкнуто.¶ Необходимость. Пусть K компактно и B1(x)x∈K — покрытие K открытымишарами радиуса 1 с центрами в точках множества K. По определению компакт-ности существует конечное число шаров B1(x1),. . ., B1(xn) (xi ∈ K) таких, что

K ⊂n⋃

i=1B1(xi). Отсюда K ⊂ BN+1(θ), где N = max

16i6n‖xi‖, то есть K ограничено.

Если допустить, что K не замкнуто, то (см. 63.5) найдется точка x 6∈ K предельная

84

для K. Тогда x =∞⋂

n=1B1/n[x], где (B1/n[x])n∈N — последовательность замкнутых

шаров (см. 63.8). Следовательно, семейство (Un)n∈N, где Un = E\B1/n[x], образуетоткрытое покрытие K, причем U1 ⊂ U2 ⊂ . . . . В силу компактности K существуетn0 ∈ N такое, что Un0 ⊃ K, но тогда B1/n0

[x] ∩K = ∅, что противоречит тому, чтоx — предельная точка для K.

Достаточность. Пусть для определенности E = Rn и

∆ = x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : −N 6 xj 6 N (1 6 j 6 n)

— замкнутый гиперкуб, объемлющий K : ∆ ⊃ K. Допустим, напротив, что суще-ствует открытое покрытие (Ui)i∈I , не содержащее никакого конечного покрытия дляK. Разобьем куб ∆ на 2n конгруэнтных кубов ∆1

j (1 6 j 6 2n). Среди них обнару-жится по крайней мере один, скажем ∆1

j1, такой, что ∆1

j1∩K не покрывается никакой

конечной подсистемой из системы (Ui)i∈I . Разобьем теперь ∆1j1

на 2n конгруэнтныхкуба ∆2

j (1 6 j 6 2n), и снова среди них обнаружится хотя бы один, например∆2

j2, такой, что ∆2

j2∩ K не покрывается никакой конечной подсистемой системы

(Ui)i∈I . Продолжив этот процесс, получим последовательность ∆1j1⊃ ∆2

j2⊃ . . .

вложенных кубов, длины ребер которых стремятся к нулю, причем ∆sjs∩K не по-

крывается никакой конечной подсистемой из системы (Ui)i∈I . Проекции этих кубовна координатные оси определяют на них системы вложенных отрезков с длинами,

стремящимися к нулю. Следовательно, существует x0 ∈∞⋂

s=1∆s

js. При этом x0 6∈ K.

(Если, напротив, x0 ∈ K, то существует i0 ∈ I такое, что x0 ∈ Ui0 . Так как Ui0

открыто, существует ε > 0 такое, что Bε(x0) ⊂ Ui0 . С другой стороны, для доста-точно больших s : ∆s

js⊂ Bε(x0) и значит, K ∩ ∆s

js⊂ Ui0 , что противоречит тому,

что ∆sjs∩K не покрывается никакой конечной системой множеств вида Ui (i ∈ I)

— противоречие). Из конструкции кубов ∆sjs

следует однако, что x0 — предельнаяточка K, и x0 ∈ K в силу замкнутости K — противоречие. ¤

Как следствие получим теорему Вейерштрасса для евклидова пространства.3. Ограниченное бесконечное множество в евклидовом пространстве обладает

по крайней мере одной предельной точкой.¶ Если, напротив, множество X в евклидовом пространстве, не обладает ни однойпредельной точкой, то оно замкнуто (см. 63.5) и состоит лишь из изолированныхточек. В силу п. 2 множество X (ограниченное и замкнутое) компактно. Покрыв Xоткрытыми шарами так, чтобы в каждом лежало по одной точке из X, получаем,что X конечно. ¤

4. У п р а ж н е н и е. Пусть K1 ⊃ K2 ⊃ . . . — последовательность непустых

компактных множеств в евклидовом пространстве. Тогда∞⋂

n=1Kn 6= ∅.

§65. Отображения. Последовательности

1. Предметом нашего внимания будут функции f : Ω → F , где Ω — часть ев-клидова пространства E, а F — другое евклидово пространство. Отметим важныеспециальные случаи.

85

(а) Если E — n-мерное евклидово пространство, то f : Ω → R (соответственноf : Ω → C ) называется вещественной (соответственно комплексной) функцией n пе-ременных. Ее значение на векторе x = (x1, . . . , xn) записывается в виде f(x1, . . . , xn).

(б) В частности, функция f : Ω → C (Ω ⊂ C) называется функцией комплекснойпеременной.

(в) Отображения вида f : Ω → F , где Ω ⊂ R (или Ω ⊂ C), а F — евклидовопространство, называются вектор-функциями.

(г) В частности, вектор-функция x(·) : N→ F называется векторной последова-тельностью (в пространстве F ). Обозначается (xk).

2. Пусть (xk) — последовательность в евклидовом пространстве. Вектор x0 на-зывается пределом последовательности (xk), если

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀k > N (‖xk − x0‖ < ε).

Так же как и в скалярном случае устанавливается, что предел последовательностиединствен, если он существует (!!).

3. Последовательность (xk) называется ограниченной, если существует M > 0такое, что ‖xk‖ 6 M (k ∈ N). Отметим непосредственное следствие теоремы 64.3.

4. Всякая ограниченная векторная последовательность обладает сходящейсяподпоследовательностью.

Для векторных последовательностей имеет место критерий Коши:5. Последовательность (xk) в евклидовом пространстве сходится ттогда она

фундаментальна, то есть

∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N (‖xn − xm‖ < ε).

¶ Необходимость почти очевидна (см. доказательство необходимости в 11.7). Доста-точность: как и в скалярном случае (см. 11.7), выводим,что из фундаментальностиследует ограниченность (xk); в силу п. 4 (xk) обладает сходящейся подпоследова-тельностью. Следовательно, (xk) сходится к тому же вектору, что и сходящаясяподпоследовательность. ¤

§66. Предел функции в точке

1. Пусть E и F — евклидовы пространства, f : Ω → F (Ω ⊂ E). Вектор y ∈ Fназывается пределом функции f в точке a ∈ E, если a — предельная точка Ω и длялюбой последовательности (xk) (a 6= xk ∈ Ω), сходящейся к a, последовательностьf(xk) сходится к y. Обозначение для предела традиционное: y = lim

x→af(x). Отметим

кванторные записи этого равенства:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Ω (0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− y‖ < ε),∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Ω∩Bδ(a) (f(x) ∈ Bε(y)).

Отметим видоизменения данного определения на несобственные случаи:2. lim

x→af(x) = ∞ означает, что a — предельная точка Ω и

∀N > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Ω (0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)‖ > N).

86

3. limx→∞ f(x) = y означает, что Ω не ограничено и f(xk) → y, коль скоро xk →∞

(xk ∈ Ω).

З а м е ч а н и я. 4. Полезно отметить случай вектор-функций. Пусть f(t) =(f1(t), . . . , fn(t)) ∈ Rn, t ∈ Ω ⊂ R. Вектор y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn — предел вектор-функции f в точке t0 ттогда lim

t→t0fk(t) = yk (k = 1, . . . , n) в смысле обычных скаляр-

ных функций (!!). Для вектор-функций вида f : Ω → F (Ω ⊂ R) осмыслено такжепонятие односторонних пределов: lim

t→t0+f(t), lim

t→t0−f(t).

5. Более общим образом, изучение отображений из одного евклидова простран-ства в другое с позиций непрерывности, предела и т. п. сводится к изучению с этихже позиций функций многих переменных (65.1(а)). Действительно, пустьf : Ω → F (Ω ⊂ E) и (ej)16j6n, (gi)16i6m — стандартные базисы в простран-ствах E и F соответственно. Разложим вектор f(x) = f(x1, . . . , xn) ∈ F по базису

(gi) : f(x1, . . . , xn) =m∑

i=1f i(x1, . . . , xn)gi, где f i : Ω → Λ (1 6 i 6 m) — некото-

рые функции n переменных. Таким образом, отображение f задается системой mфункций f1, . . . , fm n переменных. При этом y = (y1, . . . , ym) = lim

x→af(x) ттогда

yi = limx→a

f i(x1, . . . , xn)(1 6 i 6 m).

§67. Свойства предела

1. Пусть f : Ω → F, g : Ω → F, Ω ⊂ E и a — предельная точка Ω. Еслисуществуют пределы lim

x→af(x), lim

x→ag(x), то существуют пределы lim

x→a[f(x)± g(x)],

причемlimx→a

[f(x)± g(x)] = limx→a

f(x)± limx→a

g(x).

2. Если, limx→a

f(x) = y 6= θ, то существуют ε, δ > 0 такие, что ‖f(x)‖ > ε для

любого y ∈Bδ(a) ∩ Ω.

3. [Критерий Коши]. Отображение f обладает пределом в точке a ттогда

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, z ∈ Bδ(a) ∩ Ω (‖f(x)− f(z)‖ < ε). (∗)¶ Доказательства аналогичны скалярному случаю. Докажем, например, достаточ-ность в п. 3. Пусть выполнено (∗) и xk → a (a 6= xk ∈ Ω). Тогда последовательность(f(xk)) фундаментальна и обладает некоторым пределом y (см. 65.5). Аналогич-но скалярному случаю получаем, что f(zk) → y для любой последовательности(zk) ⊂ Ω (zk 6= a), сходящейся к a (!!). ¤

4. З а м е ч а н и е. Для функций многих переменных п. 1 можно дополнитьдругими арифметическими свойствами: если определены lim

x→af(x) и lim

x→ag(x), то

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x), limx→a

f(x)g(x)

=limx→a

f(x)

limx→a

g(x)( limx→a

g(x) 6= 0).

§68. Предел по направлению

1. Пусть E — евклидово пространство, a ∈ E — фиксированный вектор и ‖y‖ =1, y ∈ E. Множество `(a, y) = a + ty | t > 0 назовем лучом, выходящим из a в

87

направлении y. Пусть теперь Ω ⊂ E, f : Ω → F и a — предельная точка множества`(a, y)∩Ω. Обозначим через f` вектор-функцию, заданную на `Ω ≡ t > 0 : a+ty ∈ Ωформулой f`(t) = f(a + ty). Вектор z ∈ F назовем пределом функции f в точке aпо направлению y, если z = lim

t→0+f`(t). В этом случае пишем также z = lim

x→a(y)f(x).

2. З а м е ч а н и е. Если z = limx→a

f(x), то z = limx→a(y)

f(x) по любому направлению

y, для которого он определен. Обратное утверждение неверно: может существоватьодин и тот же предел по любому направлению, но предела может не быть.

3. П р и м е р. В плоскости (x1, x2) рассмот-рим спираль r = ϕ (0 < ϕ 6 2π) и определимf : R2\θ → R в соответствии с Рис. 16:

f(x) =

ϕ− ‖x‖ϕ

, если ‖x‖ < ϕ,

0, если ‖x‖ > ϕ.

Тогда limx→θ

f(x) не существует, но limx→θ(y)

f(x) = 1, ∀y 6= θ.

§69. Локальные свойства непрерывных функций

1. Функция f : Ω → F (Ω ⊂ E) называется непрерывной в точке a ∈ Ω, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Ω (‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε). (∗)

Если a ∈ Ω — предельная точка Ω, то (∗) эквивалентно условию limx→a

f(x) = f(a).Для функций, непрерывных в точке, справедливы арифметические свойства:

2. Пусть f, g : Ω → F (Ω ⊂ E) непрерывны в a ∈ Ω. Тогда в a непрерывныфункции f ± g.

Для функций многих переменных f : Ω → C (Ω ⊂ E) определены произведениеи частное (f · g, f/g). Обе эти функции непрерывны в точке a ∈ Ω, коль скоро в aнепрерывны f и g (для частного нужно еще потребовать, чтобы g(a) 6= 0).

3. Если f : Ω → R (Ω ⊂ E) непрерывна в точке a ∈ Ω и f(a) 6= 0, то f(x)сохраняет знак числа f(a) в некоторой окрестности точки a.¶ П. 2,3 следуют из соответствующих свойств пределов. ¤

4. Пусть f : Ω → F (Ω ⊂ E), g : D → G (D ⊂ F ) (E, F, G — евклидовыпространства), причем f непрерывна в a ∈ Ω, g непрерывна в точке f(a). Тогдаg f непрерывна в a.¶ Будем считать, что a — предельная точка, а f(a) — предельная точка D (иболюбая функция непрерывна в изолированной точке ее области определения). Тогдаlimx→a

f(x) = f(a) и, следовательно, limx→a

g f(x) = limx→a

g(f(x)) = g(f(a)) = g f(a). ¤

5. Функция f : Ω → F (Ω ⊂ E) называется непрерывной, если она непрерывна вкаждой точке x ∈ Ω. Функция f называется равномерно непрерывной, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ Ω (‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε).

88

П р и м е р ы. 6. Пусть вектор b из евклидова пространства F фиксирован.Постоянная функция f(x) = b (x ∈ E) непрерывна.

7. Функция f(x1, . . . , xn) = x1 ((x1, . . . , xn) ∈ Cn) равномерно непрерывна.8. Евклидова норма вектора как функция из евклидова пространства в R непре-

рывна (даже равномерно непрерывна).

9. У п р а ж н е н и е. Всякая норма (не обязательно евклидова) как функцияиз евклидова пространства в R непрерывна.

§70. Свойства непрерывных функций на компактных множествах

1. Пусть E, F — евклидовы пространства, K(⊂ E) — компактное множествои f : K → F непрерывна. Тогда f ограничена и равномерно непрерывна.¶ Пусть, напротив, f не равномерно непрерывна. Тогда

∃ε > 0 ∀m ∈ N ∃xm, ym ∈ K (‖xm − ym‖ < 1/m, ‖f(xm)− f(ym)‖ > ε).

В силу 65.4 последовательность (xm) обладает сходящейся подпоследовательностьюxmk

→ a ∈ K. Но тогда ymk→ a. Так как f непрерывна в точке a, lim

k‖f(xmk

) −f(ymk

)‖ = 0, что, однако, противоречит неравенству ‖f(xmk)− f(ymk

)‖ > ε (k ∈ N).Покажем ограниченность f . В силу равномерной непрерывности f существует

δ > 0 такое, что ‖x − y‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(y)‖ < 1 (x, y ∈ K). Система шаровBδ(x)x∈K образует открытое покрытие K. Пусть Bδ(x1), . . . , Bδ(xn) — конечноепокрытие K (xi ∈ K). Полагая M = 1 + max

16k6n‖f(xk)‖, мы получаем требуемое. ¤

На функции вида f : K → R (K — компактное множество в E) обобщаются иостальные свойства функций, непрерывных на отрезке.

2. Пусть K(⊂ E) компактное множество, и f : K → R непрерывна. Тогда fдостигает своих граней.¶ Пусть, например, α = sup

x∈Kf(x) и xm ∈ K таковы, что

α− 1m

< f(xm) 6 α (m ∈ N).

Последовательность (xm) ограничена. Пусть (xmk) — сходящаяся подпоследователь-

ность: xmk→ a ∈ K. Так как f непрерывна в a, имеем f(a) = lim

kf(xmk

) = α. ¤Переходим к аналогу теоремы о промежуточных значениях.

3. Часть Ω евклидова пространства называется линейно связной, если для лю-бых точек x, y ∈ Ω найдётся непрерывная вектор-функция ϕ : [0, 1] → Ω такая, чтоϕ(0) = x, ϕ(1) = y.

4. Пусть f : K → R — непрерывная функция на компактном линейно связноммножестве K, α = sup

x∈Kf(x), β = inf

x∈Kf(x) и α < γ < β. Тогда существует y ∈ K

такое, что f(y) = γ.¶ В силу п. 2 существуют x0, x1 ∈ K такие, что f(x0) = α, f(x1) = β. Пустьϕ : [0, 1] → K — непрерывная вектор-функция такая, что ϕ(0) = x0, ϕ(1) = x1.Тогда g ≡ f ϕ — непрерывная вещественная функция, заданная на отрезке [0,1],причем g(0) = α, g(1) = β. В силу 24.2(г) существует t ∈ [0, 1] такое, что g(t) = γ.Тогда точка y = ϕ(t) искомая. ¤

89

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§71. Определение линейного отображения

1. Линейные отображения играют ключевую роль при изучении отображенийпространств размерностей > 1. Для функций одного переменного их роль такжевелика (вспомним касательное отображение!), хотя это обстоятельство за простотойситуации несколько завуалировано.

Пусть X и Y — векторные пространства над полем Λ. Отображение A : X → Yназывается линейным, если

A(x + y) = Ax + Ay, A(λx) = λAx (x, y ∈ X, λ ∈ Λ).

(Обычно у аргумента линейного отображения скобки опускают: пишут Ax вместоA(x)). Если Y = Λ, линейное отображение называется линейным функционалом.

2. Пусть L(X, Y ) — множество всех линейных отображений векторного про-странства X в векторное пространство Y . В L(X, Y ) естественно вводится структу-ра векторного пространства: для A,B ∈ L(X,Y ), λ ∈ Λ положим

(A + B)x ≡ Ax + Bx, (λA)x ≡ λAx (x ∈ X).

Аксиомы векторного пространства (62.1) выполнены (!!). Нуль векторного простран-ства L(X, Y ) — это отображение 0 : X → Y , действующее по формуле 0x = θ, где θ— нулевой вектор в Y .

Пусть X, Y, Z — векторные пространства над полем Λ, A ∈ L(X, Y ), B ∈ L(Y, Z).Тогда суперпозиция B A этих отображений (см. 5.2) является линейным отобра-жением из X в Z; оно называется произведением отображений и обозначается BA.Таким образом, BA ∈ L(X, Z) и действует по формуле (BA)x = B(Ax) (x ∈ X).

3. Отметим важное понятие изоморфизма: векторные пространства E и F (надполем Λ) называются алгебраически изоморфными, если существует биекцияA ∈ L(E, F ).

4. З а м е ч а н и е. Два конечномерных векторных пространства (над однимполем) изоморфны ттогда они имеют одинаковую размерность.

§72. Представление линейного отображения матрицей

1.Пусть E и F — евклидовы пространства над полем Λ(= C или R) размерностейn и m соответственно. Пусть

ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0) 1 — на j-м месте, 1 6 j 6 n, (1)fi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0) 1 — на i-м месте, 1 6 i 6 m, (2)

— соответствующие стандартные базисы в E и F . Рассмотрим линейное отображе-ние A : E → F . Если подействовать отображением A на j-й элемент базиса (1),

то полученный элемент может быть разложен по базису (2): Aej =m∑

i=1aj

ifi. Та-

ким образом, отображению A оказывается сопоставленной (n × m)-матрица [aji ];

90

она называется матрицей отображения A. Отображение A, очевидно, полностьюопределяется своей матрицей:

Ax = A( n∑

j=1

xjej

)=

n∑

j=1

xjAej =n∑

j=1

m∑

i=1

xjajifi (x ∈ E).

Соответствие A → [aji ] осуществляет алгебраический изоморфизм пространства

L(E, F ) на пространство Mn×m (см. 62.4).

2. З а м е ч а н и е. В частности, линейной вектор-функции A : Λ → F соответ-ствует (1×m)-матрица или вектор-столбец

a1

a2

. . .am

,

а линейной функции n переменных A : E → Λ — (n×1)-матрица, или вектор-строка[a1, . . . , an].

3. У п р а ж н е н и е. Всякое линейное отображение из евклидова пространстваE в евклидово пространство F непрерывно.

§73. Обратимые линейные отображения

1. Пусть E — евклидово пространство. Линейное отображение A : E → Eназывается обратимым, если существует линейное отображение A−1 ∈ L(E, E)такое, что AA−1 = A−1A = I, где I — тождественное отображение E на себя:Ix = x (x ∈ E).

2. Следующие условия эквивалентны:

(а) A ∈ L(E, E) обратимо,

(б) Ax = θ влечет x = θ,

(в) det[aji ] 6= 0, где [aj

i ] — матрица отображения A в стандартном базисе.

¶ (а) ⇒ (б): A обратимо, Ax = θ ⇒ x = A−1(Ax) = A−1θ = θ.(б) ⇒ (в). Если det[aj

i ] = 0, то столбцы матрицы [aji ] линейно зависимы, то

есть существуют числа λ1, . . . λn, не все равные нулю, такие, чтоn∑

j=1λjaj

i = 0 (i =

1, . . . , n). Рассмотрим вектор ξ = (λ1, . . . λn) 6= θ. Тогда Aξ = (n∑

j=1aj

1λj , . . . ,

n∑j=1

ajnλj) =

θ, что противоречит (б).(в) ⇒ (а). Если det[aj

i ] 6= 0, то оператор B, определенный матрицей [aji ]−1, обла-

дает свойствами BA = AB = I, то есть A обратимо. ¤

§74. О норме линейного отображения

91

1. В пространстве L(E, F ) (E, F — евклидовы пространства) может быть вве-дена евклидова норма: в обозначениях §72

‖A‖e ≡[ m∑

i=1

n∑

j=1

|aji |2

]1/2 (A ∈ L(E,F )). (1)

Наряду с этим будет использоваться еще одна норма — операторная (требования(I)–(III) в 62.5 для нее выполнены (!!)):

‖A‖ ≡ sup‖x‖=1

‖Ax‖ (A ∈ L(E, F )). (2)

2. З а м е ч а н и е. Из равенства (2) следует, в частности, что ‖Ax‖ 6 ‖A‖ ‖x‖для любого x ∈ E.

3. Имеют место неравенства: ‖A‖ 6 ‖A‖e 6 √n‖A‖ (A ∈ L(E, F )).

¶ Пусть x = (x1, . . . , xn) ∈ E таков, что ‖x‖ = 1. С учетом неравенства Коши-Буняковского имеем

‖Ax‖2 =m∑

i=1

∣∣n∑

j=1

xjaji

∣∣2 6m∑

i=1

( n∑

j=1

|xj |2)(n∑

j=1

|aji |2

)=

m∑

i=1

n∑

j=1

|aji |2 = ‖A‖2

e.

Отсюда ‖A‖ 6 ‖A‖e. Обратно, пусть j0 таково, что

m∑

i=1

∣∣∣aj0i

∣∣∣2

= max16j6n

m∑

i=1

∣∣∣aji

∣∣∣2.

Рассмотрим вектор ej0 = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (1 на j0-м месте). Тогда

‖A‖2e =

m∑

i=1

n∑

j=1

∣∣∣aji

∣∣∣2

6 n ·m∑

i=1

∣∣∣aj0i

∣∣∣2

= n‖Aej0‖2 6 n · sup‖x‖=1

‖Ax‖2. ¤

4. В пространстве L(Λ, F ) : ‖A‖ = ‖A‖e.

5. У п р а ж н е н и е. Пусть E, F, G — евклидовы пространства, A ∈ L(E, F ),B ∈ L(F, G). Тогда операторная норма отображения BA удовлетворяет неравенству‖BA‖ 6 ‖B‖ ‖A‖.

92

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ

§75. Касательное отображение и его свойства

1. Пусть E и F — евклидовы пространства над полем Λ и Ω(⊂ E) — открытоемножество. Отображение f : Ω → F называется дифференцируемым в точке x ∈ Ω,если существует линейное отображение Lx : E → F такое, что

f(x + h)− f(x) = Lxh + o(h) (h → θ). (1)

(Асимптотическое равенство r(h) = o(h) (h → θ) означает, что limh→θ

‖r(h)‖‖h‖ = 0.) Это

линейное отображение называется дифференциалом или касательным отображе-нием, или производной функции f в точке x. Отображение Lx обозначается такжесимволами df(x), f ′(x).

2. З а м е ч а н и е. В частности, для функции f : Ω → C (Ω ⊂ C), приходимк определению производной функции одного комплексного переменного; эта произ-водная в точке z0 ∈ Ω может быть вычислена с помощью привычной формулы

f ′(z0) = limh→0

1h

[f(z0 + h)− f(z0)].

Полезно помнить, что это — линейное отображение из C в C, действующее по фор-муле f ′(z0)(h) = f ′(z0) · h (h ∈ C).

Отметим элементарные свойства касательного отображения:

3. Если отображение f дифференцируемо в точке x, то соответствующее ка-сательное отображение определено однозначно.¶ Пусть наряду с (1) имеет место равенство

f(x + h)− f(x) = Lh + o(h) (h → θ), (2)

где L — еще одно линейное отображение из E в F . Положим A = L− Lx. Вычитая(1) из (2), имеем Ah = o(h) (h → θ). Тогда для произвольного y ∈ E получаем

Ay = limt→0

1tA(ty) = lim

t→0

o(ty)t

= θ (t ∈ R). Итак, A = 0, то есть L = Lx. ¤

4. Если отображение f дифференцируемо в точке x, то оно в этой точке непре-рывно.¶ Утверждение следует из оценки (см. 74.2)

‖f(x + h)− f(x)‖ 6 ‖f ′(x)‖ ‖h‖+ ‖o(h)‖ (h → θ). ¤

5. Если f : Ω → F постоянно, то f ′(x) = 0 (x ∈ Ω).

6. Всякое линейное отображение A : E → F дифференцируемо в каждой точкеx ∈ E, причем A′(x) = A.¶ Из линейности A равенство (1) приобретает вид A(x + h)−Ax = Ah (x, h ∈ E). ¤

7. Если f, g дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемыотображения f ± g, λf (λ ∈ Λ), причем

(f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x), (λf)′(x) = λf ′(x).

93

8. [Дифференцирование суперпозиции отображений]. Пусть заданы отображе-ния f : Ω → F, g : Σ → G (Ω ⊂ E, Σ ⊂ F, f(Ω) ⊂ Σ), причем f дифференцируемо вточке x ∈ Ω, а g дифференцируемо в точке f(x) ∈ Σ. Тогда g f дифференцируемов точке x и

(g f)′(x) = g′(f(x)) f ′(x).

¶ Справедлива выкладка

g(f(x + h))− g(f(x)) = g(f(x) + [f(x + h)− f(x)])− g(f(x))

= g′(f(x))[f(x + h)− f(x)] + o(f(x + h)− f(x))

= g′(f(x))(f ′(x)h + o(h)) + o(f ′(x)h + o(h))

= g′(f(x)) f ′(x)(h) + g′(f(x))(o(h)) + o(h) (h → θ).

Из оценки‖g′(f(x))(o(h))‖

‖h‖ 6 ‖g′(f(x))‖ · ‖o(h)‖‖h‖ следует, что

g f(x + h)− g f(x) = g′(f(x)) f ′(x)(h) + o(h) (h → θ). ¤

У п р а ж н е н и я. 9. Убедитесь, что никакая норма ‖ · ‖ в евклидовом про-странстве E не дифференцируема в θ.

10. Пусть f : E → F обладает свойством ‖f(x)‖ 6 ‖x‖2 (x ∈ E). Найдите f ′(θ).

§76. Частные производные

Далее в этом разделе мы будем заниматься дифференциальными свойствамиотображений исключительно в вещественных евклидовых пространствах.

1. Приступая к нахождению эффективных способов вычисления касательныхотображений, введем важное понятие частной производной для функций многихпеременных.

Пусть Ω — открыто в Rn, e1, . . . , en — стандартный базис в Rn, f : Ω → R— функция; j-й частной производной функции f в точке x0 = (x1

0, . . . , xn0 ) ∈ Ω

(обозначается∂f

∂xj(x0) или f ′

xj (x0)) называется предел (если он существует):

∂f

∂xj(x0) = lim

t→0

1t[f(x0 + tej)− f(x0)]

= limt→0

1t[f(x1

0, . . . , xj0 + t, . . . , xn

0 )− f(x10, . . . , x

j0, . . . , x

n0 )],

то есть∂f

∂xj(x0) — это производная функции f(x1

0, . . . , xj , . . . , xn

0 ) одного переменного

xj в точке xj0 (при фиксированных остальных переменных). Отсюда следует, что

частная производная определена однозначно (коль скоро она существует).

2. П р и м е р. Пусть f(x, y) =

0, если x = 0 или y = 0,1, в противном случае, ((x, y) ∈ R2).

Тогда∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

94

§77. Матрица Якоби

1. Пусть e1, . . . , en, f1, . . . , fm — стандартные базисы в пространствах Rn иRm соответственно и ϕ : Ω → Rm, где Ω — некоторое открытое множество в Rn.Отображение ϕ определено системой m своих координатных функций ϕi (1 6 i 6m) n переменных (см. 66.5):

ϕ(x1, . . . , xn) =m∑

i=1ϕi(x1, . . . , xn)fi (x = (x1, . . . , xn) ∈ Ω).

Пусть ϕ дифференцируемо в точке x ∈ Ω : ϕ(x + h)− ϕ(x) = ϕ′(x)h + o(h) (h → θ).Вычислим матрицу [dj

i ] касательного отображения ϕ′(x). Для этого (с учетом 72.1)заметим, что

ϕ′(x)ej = limt→0

1tϕ′(x)(tej) = lim

t→0

1t[ϕ(x + tej)− ϕ(x) + o(t)]

= limt→0

1t[ϕ(x + tej)− ϕ(x)] = lim

t→0

m∑

i=1

1t[ϕi(x + tej)− ϕi(x)]fi

=m∑

i=1

∂ϕi

∂xj(x)fi (1 6 j 6 n).

Итак dji =

∂ϕi

∂xj(x). Матрица частных производных

[∂ϕi

∂xj(x)

]называется матрицей

Якоби отображения ϕ′(x). Получен эффективный способ вычисления касательногоотображения (если оно существует). Отметим важные частные случаи.

2. [Производная функции n переменных]. Пусть f(x) (x ∈ Ω) — функция n пере-

менных. Матрица Якоби f ′(x) является тогда (n×1)-матрицей[

∂f

∂x1(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

],

а значение дифференциала функции f на смещении h = (dx1, . . . , dxn) вычисляется

по формуле df(x) =n∑

j=1

∂f

∂xj(x)dxj .

3. [Производная вектор-функции]. Пусть x(t) = (x1(t), . . . , xm(t)) (t ∈ Ω ⊂ R)

дифференцируема в точке t ∈ Ω. Тогда матрица Якоби для x′(t) =

x1′(t). . .

xm′(t)

—

(1×m)-матрица. Дифференциал этой вектор-функции, соответствующий смещениюdt, равен dx(t) = (x1′(t)dt, . . . , xm′(t)dt).

4. [Формула полной производной]. Пусть функция g(t) = f(x1(t), . . . , xn(t))(t ∈ Ω ⊂ R) — суперпозиция функции f n переменных и вектор-функции x(t)(со значениями в Rn). В предположении, что дифференцирование возможно:

g′(t) =d

dtf(x1(t), . . . , xn(t)) =

n∑

j=1

∂f

∂xj(x(t))xj′(t).

¶ В силу 75.8

g′(t) = f ′(x(t)) x′(t) =[

∂f

∂x1(x(t)), . . . ,

∂f

∂xn(x(t))

]

x1′(t). . .

xn′(t)

=

n∑

j=1

∂f

∂xj(x(t))xj′(t).¤

95

5. [Арифметические свойства производной функций многих переменных].Пустьf, g : Ω → R (Ω ⊂ Rn) дифференцируемы в x ∈ Ω. Тогда в этой точке дифференци-руемы функции f · g, f/g (если g(x) 6= 0), причем

(f · g)′(x) = g(x)f ′(x) + f(x)g′(x),(

f

g

)′(x) =

1g2(x)

[g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)].

¶Формулы можно получить выкладками, аналогичными скалярному случаю (30.1).Для иллюстрации развитой техники приведем другой вывод первой формулы. Отоб-ражение x → f(x)g(x) представим как суперпозицию двух отображений: f(x)g(x) =β α(x) (x ∈ Ω), где β : R2 → R действует по формуле β(u, v) = uv (u, v ∈ R), аотображение α : Ω → R2 — по формуле α(x) = f(x), g(x). Матрицы Якоби этих

отображений: β′(u, v) = [v, u], α′(x) =[f ′(x)g′(x)

](α′(x) является (n × 2)-матрицей,

сокращенно записанной как (1× 2)-матрица). В силу 75.8

(f · g)′(x) = β′(α(x))α′(x) = [g(x), f(x)][f ′(x)g′(x)

]= g(x)f ′(x) + f(x)g′(x). ¤

6. П р и м е р. Пусть ϕ : R2 → R2 задано координатными функциями ϕ1(x, y) =ex cos y, ϕ2(x, y) = ex sin y ((x, y) ∈ R2), то есть ϕ(x, y) = (ex cos y, ex sin y) ((x, y) ∈R2). Матрица Якоби отображения ϕ имеет вид ϕ′(x, y) =

[ex cos y −ex sin yex sin y ex cos y

].

§78. Условия дифференцируемости отображений

Мы научились вычислять матрицу касательного отображения в предположенииего существования. Получим условия, при которых матрица частных производныхопределяет касательное отображение. Начнем с функций n переменных.

1. Пусть ψ : Ω → R (Ω ⊂ Rn), и все частные производные∂ψ

∂xk(1 6 k 6 n)

определены в некоторой окрестности точки x ∈ Ω и непрерывны в самой точке x.Тогда ψ дифференцируемо в x.¶ Ограничимся случаем n = 3. В силу предположений справедлива выкладка

ψ(x1 + h1, x2+h2, x3 + h3)− ψ(x1, x2, x3)

= ψ(x1 + h1, x2 + h2, x3 + h3)− ψ(x1, x2 + h2, x3 + h3)

+ ψ(x1, x2 + h2, x3 + h3)− ψ(x1, x2, x3 + h3) + ψ(x1, x2, x3 + h3)− ψ(x1, x2, x3)

= ψ′x1(x1, x2 + h2, x3 + h3)h1 + o(h1)

+ ψ′x2(x1, x2, x3 + h3)h2 + o(h2) + ψ′x3(x1, x2, x3)h3 + o(h3)

= ψ′x1(x1, x2 + h2, x3 + h3)h1 + ψ′x2(x1, x2, x3 + h3)h2

+ ψ′x3(x1, x2, x3)h3 + o(h) =3∑

i=1

ψ′xi(x1, x2, x3)hi + r(h),

где

r(h) = [ψ′x1(x1, x2 + h2, x3 + h3)− ψ′x1(x1, x2, x3)]h1 + [ψ′x2(x1, x2, x3 + h3)

− ψ′x2(x1, x2, x3)]h2 + o(h) = o(h) (h → θ). ¤

96

Сформулируем теперь общее утверждение.2. Пусть ϕ1, . . . , ϕm — координатные функции отображения ϕ : Ω → Rm (Ω ⊂

Rn). Чтобы ϕ было дифференцируемым в точке x ∈ Ω необходимо, чтобы была

определена матрица[∂ϕi

∂xj(x)

], и достаточно, чтобы эта матрица была определена

в некоторой окрестности точки x и все частные производные∂ϕi

∂xjбыли в этой

точке непрерывными.¶ Необходимость установлена в 77.1. Докажем достаточность. Пусть f1, . . . , fm —

стандартный базис в Rm и ϕ(y) =m∑

i=1ϕi(y)fi (y ∈ Ω). В силу п. 1 функции ϕi

дифференцируемы в x ∈ Ω, так что ϕi(x + h) − ϕi(x) = ϕi′(x)h + o(h) (h → θ).Поэтому

ϕ(x+h)−ϕ(x) =m∑

i=1[ϕi′(x)h+ o(h)]fi =

m∑i=1

(ϕi′(x)h)fi + o(h) = ϕ′(x)h+ o(h) (h → θ),

где ϕ′(x) — линейное отображение из Rn в Rm, определенное матрицей[∂ϕi

∂xj(x)

]. ¤

3. З а м е ч а н и е. В 76.2 матрица[∂f

∂x(θ),

∂f

∂y(θ)

]определена. Однако f не

дифференцируема в θ, ибо она в θ даже разрывна. Таким образом, существованиематрицы Якоби не является достаточным условием дифференцируемости функции.

§79. Касательная плоскость

1. Пусть поверхность (S) в R3 описывается уравнением

z = f(x, y) ((x, y) ∈ Ω ⊂ R2). (∗)

Плоскость (σ) называется касательной к поверхности (S) в точке a0 ∈ (S), еслирасстояние d(a, (σ)) от переменной точки a ∈ (S) до плоскости (σ) удовлетворяетасимптотическому равенству d(a, (σ)) = o(‖a− a0‖) (a → a0, a ∈ (S)).

2. Пусть f дифференцируема в точке (x0, y0). Тогда поверхность (S), описыва-емая уравнением (∗), обладает единственной касательной плоскостью (σ) в точкеa0 = (x0, y0, z0):

z − z0 = f ′x(x0, y0)(x− x0) + f ′y(x0, y0)(y − y0).

¶ Из курса аналитической геометрии известно, что

d(a, (σ)) =1M|z − z0 − f ′x(x0, y0)(x− x0)− f ′y(x0, y0)(y − y0)|,

где a = (x, y, z) ∈ (S), M =[1 + f ′x(x0, y0)2 + f ′y(x0, y0)2

]1/2. Так как f дифференци-руема в (x0, y0), имеем d(a, (σ)) = o([(x−x0)2+(y−y0)2]1/2) (a → a0). Следовательно,

lima→a0

d(a, (σ))‖a− a0‖ = lim

a→a0

d(a, (σ))[(x− x0)2 + (y − y0)2]1/2

· [(x− x0)2 + (y − y0)2]1/2

‖a− a0‖ = 0.

Касательная плоскость единственна (!!). ¤

97

§80. Непрерывно дифференцируемые отображения

1. Пусть E и F — евклидовы пространства, а отображение f : Ω → F (Ω ⊂E) дифференцируемо в каждой точке открытого множества Ω. Тогда определеноотображение f ′ : Ω → L(E, F ), сопоставляющее каждой точке x ∈ Ω касательноеотображение f ′(x) ∈ L(E, F ). Отображение f ′ естественно назвать (по аналогии с29.4) производной функции f в области Ω.

2. Отображение f называется непрерывно дифференцируемым в Ω, если отобра-жение f ′ : Ω → L(E, F ) непрерывно:

∀x ∈ Ω ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ Ω (‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f ′(x)− f ′(y)‖ < ε)

(здесь ‖f ′(x)−f ′(y)‖ означает норму линейного отображения f ′(x)−f ′(y) (см. 74.1)).

3. Если отображение f непрерывно дифференцируемо, то отображениеx → ‖f ′(x)‖ непрерывно.¶ Это следует из оценки

∣∣ ‖f ′(x)‖ − ‖f ′(y)‖∣∣ 6 ‖f ′(x)− f ′(y)‖. ¤4.Отображение f : Ω → Rm (Ω ⊂ Rn) непрерывно дифференцируемо в Ω ттогда

все частные производные∂f i

∂xj(f i — координатные функции f) непрерывны в Ω.

¶ Необходимость. Пусть f непрерывно дифференцируемо в Ω. В силу 78.2 все

частные производные∂f i

∂xjопределены в Ω. Их непрерывность следует из оценки

∣∣∣∣∂f i

∂xj(x)− ∂f i

∂xj(y)

∣∣∣∣ 6

∑

i,j

∣∣∣∣∂f i

∂xj(x)− ∂f i

∂xj(y)

∣∣∣∣2

1/2

= ‖f ′(x)− f ′(y)‖e.

Достаточность. Из непрерывности в Ω всех частных производных и 78.2 сле-дует дифференцируемость f в каждой точке Ω. Пусть x ∈ Ω и ε > 0 произвольно.

Из непрерывности∂f i

∂xjв точке x существует σij > 0 такое, что

∣∣∣∣∂f i

∂xj(x)− ∂f i

∂xj(y)

∣∣∣∣ <

ε

nm(y ∈ Bσij (x)). Полагая δ = min

i,jσij , получим для любого y ∈ Bδ(x)

‖f ′(x)− f ′(y)‖ 6 ‖f ′(x)− f ′(y)‖e =

∑

i,j

∣∣∣∣∂f i

∂xj(x)− ∂f i

∂xj(y)

∣∣∣∣2

1/2

< ε. ¤

5. З а м е ч а н и е. На вектор-функции обобщается понятие гладкости (53.1–2). Непрерывная вектор-функция f : [a, b] → Rm называется гладкой, если онанепрерывно дифференцируема на [a, b] и существуют пределы lim

t→a+f ′(t), lim

t→b−f ′(t).

Вектор-функция f называется непрерывной кусочно-гладкой, если она непрерывнаи существует разложение ∆(a = t0 < t1 < . . . < tn = b) такое, что f гладкая накаждом отрезке [tj−1, tj ].

§81. Интеграл от непрерывной вектор-функции

1. Пусть f(t) = (f1(t), . . . , fm(t)) (a 6 t 6 b) — непрерывная вектор-функциясо значениями в Rm. Все координатные функции f i являются тогда обычными

98

непрерывными функциями на отрезке [a, b]. Интегральной суммой Римана вектор-функции f называется сумма

S∆ =n∑

j=1

(tj − tj−1)f(τj) (∈ Rm), tj−1 6 τj 6 tj ,

где ∆(a = t0 < t1 < . . . < tn = b) — разложение [a, b]. Нетрудно видеть, что длянепрерывной вектор-функции существует предел lim

d(∆)→0S∆, который естественно

назвать интегралом Римана вектор-функции f по отрезку [a, b] и обозначить сим-

волом∫ b

af(t) dt. Таким образом,

∫ b

af(t) dt =

(∫ b

af1(t) dt, . . . ,

∫ b

afm(t) dt

)(∈ Rm).

На векторные интегралы переносятся многие обычные свойства интеграла. Отметимдва нужных нам свойства.

2. Для непрерывной вектор-функции f(t) (a 6 t 6 b) существует первообразная

вектор-функция F (t) (a 6 t 6 b) такая, что dF (t) = f(t)dt 3), причем∫ b

af(t) dt =

F (b)− F (a).

3. ‖∫ b

af(t) dt‖ 6

∫ b

a‖f(t)‖ dt.

¶ Из предположений п. 2 координатные функции f i вектор-функции f обладаютпервообразными F i. Вектор-функция F (t) = (F 1(t), . . . , Fm(t)) является тогда ис-комой первообразной для f(t). Интеграл в правой части п. 3 существует. Следова-тельно,

‖∫ b

af(t) dt‖ = ‖ lim

d(∆)→0S∆‖ = lim

d(∆)→0‖

n∑

j=1

(tj − tj−1)f(τj)‖

6 limd(∆)→0

n∑

j=1

‖f(τj)‖(tj − tj−1) =∫ b

a‖f(t)‖ dt. ¤

§82. Оценочная формула Лагранжа

1. Формула Лагранжа (конечных приращений) неимеет точного аналога в многомерном случае. Этот фактследует из рассмотрения спирали в R3 с достаточноплотными витками (Рис. 17), которая ни в одной точкене обладает касательной, параллельной хорде AB (см.также ниже п. 4). Однако имеет место оценочная фор-мула Лагранжа:

3Здесь левая часть определена в 77.3, а правая понимается как произведение скаляра-смещенияdt на вектор f(t), то есть f(t)dt = (f1(t)dt,...,fm(t)dt).

99

2. Пусть отображение f : Ω → Rm (Ω ⊂ Rn) непрерывно дифференцируемо вΩ. Пусть x ∈ Ω и h ∈ Rn таковы, что x + th : 0 6 t 6 1 ⊂ Ω. Тогда существуетt0 ∈ [0, 1] такое, что

‖f(x + h)− f(x)‖ 6 ‖f ′(x + t0h)‖ · ‖h‖.

¶ Рассмотрим вектор-функцию ϕ(t) = f(x + th) (t ∈ [0, 1]). Имеем dϕ(t) =

f ′(x + th)(h)dt, и в силу 81.2 f(x + h)− f(x) = ϕ(1)− ϕ(0) =∫ 1

0f ′(x + th)(h) dt. С

учетом 81.3 и 74.2

‖f(x + h)− f(x)‖ = ‖∫ 1

0f ′(x + th)(h) dt‖ 6

∫ 1

0‖f ′(x + th)(h)‖ dt

6∫ 1

0‖f ′(x + th)‖ ‖h‖ dt = ‖h‖

∫ 1

0‖f ′(x + th)‖ dt.

Скалярная функция g(t) = ‖f ′(x + th)‖ (t ∈ [0, 1]) непрерывна по t. Следовательно,

по теореме о среднем 50.4 существует t0 ∈ [0, 1] такое, что∫ 1

0‖f ′(x + th)‖ dt =

‖f ′(x + t0h)‖. ¤Для функций многих переменных имеет место точный аналог формулы Лагран-

жа.3. Пусть f : Ω → R (Ω ⊂ Rn) дифференцируема в Ω и x ∈ Ω, h ∈ Rn таковы,

что x + th : 0 6 t 6 1 ⊂ Ω. Тогда существует t0 ∈ (0, 1) такое, что

f(x + h)− f(x) = f ′(x + t0h)(h). (∗)

¶ Достаточно применить обычную формулу Лагранжа к скалярной функции ϕ(t) =f(x + th) (t ∈ [0, 1]). ¤

4. З а м е ч а н и е. Формула (∗) не верна уже для отображений f : R2 → R2.Действительно, рассмотрим отображение из п. 77.6. Полагая в этом примере h =(0, 2π) ∈ R2, имеем f ′(th)(h) = (−2π sin 2πt, 2π cos 2πt) 6= θ (t ∈ [0, 1]). Поэтомуθ = f(h)− f(θ) 6= f ′(th)(h), ∀t ∈ [0, 1].

§83. Длина пространственной кривой

1. Приведем теперь вывод формулы 60.4. Пусть γ : [a, b] → R3 — гладкая вектор-функция, γ(t) = (x(t), y(t), z(t))(a 6 t 6 b), и ∆(a = t0 < t1 < . . . < tn = b)— разложение отрезка [a, b]. Длина `j j-го звена ломаной, вписанной в кривую,являющуюся образом вектор-функции γ, равна

`j = [(x(tj)− x(tj−1))2 + (y(tj)− y(tj−1))2 + (z(tj)− z(tj−1))2]1/2 = ‖γ(tj)− γ(tj−1)‖.

По оценочной формуле Лагранжа 82.2 существует τj ∈ [tj−1, tj ] такое, что `j 6‖γ′(τj)‖(tj − tj−1), откуда

`∆ ≡n∑

j=1

`j 6n∑

j=1

‖γ′(τj)‖(tj − tj−1). (1)

100

С другой стороны, вектор-функция γ′(t) (a 6 t 6 b), будучи непрерывной на [a, b],является и равномерно непрерывной. Следовательно,

∀ε > 0 ∃δ > 0 (|t− s| < δ ⇒ ‖γ′(t)− γ′(s)‖ < ε).

Если теперь диаметр разложения d(∆) < ε, то ‖γ′(t)‖−‖γ′(tj−1)‖ 6 ‖γ′(t)−γ′(tj−1)‖< ε (tj−1 6 t 6 tj). Следовательно,

∫ tj

tj−1

‖γ′(t)‖ dt− ε(tj − tj−1) 6 ‖γ′(tj−1)‖(tj − tj−1)

= ‖∫ tj

tj−1

[γ′(t) + γ′(tj−1)− γ′(t)] dt‖ 6 ‖∫ tj

tj−1

γ′(t) dt‖+ ε(tj − tj−1)

= ‖γ(tj)− γ(tj−1)‖+ ε(tj − tj−1).

Суммируя эти неравенства по j, получаем∫ b

a‖γ′(t)‖ dt 6 `∆ + 2ε(b− a). (2)

Из (1) и (2) имеем∫ b

a‖γ′(t)‖ dt − 2ε(b − a) ≤ `∆ 6

n∑

j=1

‖γ′(τj)‖ · (tj − tj−1). Отсюда

` = limd(∆)→0

`∆ существует, причем (см. 74.4)

` =∫ b

a‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

a[x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2]1/2 dt. (3)

2. З а м е ч а н и е. Формула (3) верна и в случае, когда γ — непрерывная кусочно-гладкая вектор-функция. Формула обобщается на случай Rm: если γ : [a, b] → Rm —непрерывная кусочно-гладкая вектор-функция, то длина соответствующей кривой

(понимаемая как предел длин вписанных ломаных) равна ` =∫ b

a‖γ′(t)‖ dt.

§84. Необходимое условие локального экстремума

1. Будем говорить, что отображение f : Ω → R (Ω ⊂ Rn) обладает в точкеx0 ∈ Ω локальным минимумом (соответственно максимумом), если существуетδ > 0 такое, что f(x) > f(x0) (соответственно f(x) 6 f(x0)) для всех x ∈ Bδ(x0)∩Ω.

Отложив пока более подробное обсуждение введенного понятия на некотороевремя, отметим простое необходимое условие локального экстремума.

2. Если f дифференцируема в x0 ∈ Ω и обладает в этой точке локальным экс-тремумом, то f ′(x0) = 0.¶ Пусть x0 = (x1

0, . . . , xn0 ). Функция одного переменного

ϕj(t) ≡ f(x10, . . . , x

j−10 , t, xj+1

0 , . . . , xn0 )

обладает в точке t = xj0 локальным экстремумом и дифференцируема в этой точке.

Поэтому (см. 39.2)∂f

∂xj(x0) =

dϕj

dt(xj

0) = 0. Так как это верно для любого j = 1, n,

то f ′(x0) =[

∂f

∂x1(x0), . . . ,

∂f

∂xn(x0)

]= 0. ¤

101

§85. Дифференцирование обратной функции

1. Т е о р е м а. Пусть отображение f : Ω → Rn (Ω ⊂ Rn) непрерывно дифферен-цируемо, причем касательное отображение f ′(a) обратимо (a ∈ Ω фиксировано).Тогда существуют открытые множества U (a ∈ U ⊂ Ω) и V ⊂ Rn такие, чтоf : U → V — биекция, а обратное (к f) отображение g : V → U непрерывнодифференцируемо и

g′(y) = [f ′(g(y))]−1 (y ∈ V ). (1)

¶ Не ограничивая общности, считаем, что a = f(a) = θ, f ′(θ) = I — тождественноеотображение. (Если это не так, то можно перейти к новому отображению

f(x) = f ′(a)−1f(x + a)− f(a), x ∈ Ω ≡ x− a : x ∈ Ω,которое нужными свойствами обладает.) Так как f непрерывно дифференцируемо,существует U = BR(θ) такое, что

‖f ′(x)− I‖ < 1/2 (x ∈ U). (2)

Неравенство (2) обеспечивает, в частности, что линейное отображение f ′(x) обрати-

мо при любом x ∈ U . Это следует из оценки ‖f ′(x)(h)‖ > ‖h‖−‖(f ′(x)−I)h‖ > 12‖h‖

с учетом 73.2.Положим V = f(U). Таким образом, f : U → V — сюръекция по построению.

Итак, необходимо установить, что (а) f : U → V — инъекция, (б) V открыто, (в)имеет место формула (1).

Проверим (а). Пусть x, x + h ∈ U произвольны. Рассмотрим вектор-функциюF (t) ≡ f(x + th) − th (0 6 t 6 1). Тогда (так как x + th ∈ U (0 6 t 6 1)) имеемdF (t) = (f ′(x + th)− I)(h)dt. Отсюда с учетом (2)

‖f(x + h)− f(x)− h‖ = ‖F (1)− F (0)‖ = ‖∫ 1

0(f ′(x + th)− I)(h) dt‖

6∫ 1

0‖f ′(x + th)− I‖‖h‖ dt 6 1

2‖h‖.

Поэтому

‖f(x + h)− f(x)‖ > 12‖h‖, (3)

то есть f : U → V — инъекция.(б). Пусть x ∈ U и r > 0 таково, что Br[x] ⊂ U . Покажем, что B 1

4r(f(x)) ⊂ V

(отсюда следует, разумеется, что V открыто).Итак, пусть вектор y ∈ B 1

4r(f(x)) произволен. Покажем, что существует x∗ ∈

Br(x) такой, что f(x∗) = y. Это очевидно, если y = f(x) (тогда x∗ = x). Пустьy 6= f(x). Введем функцию

ϕ(u) = ‖y − f(u)‖2 (u ∈ Br[x]).

В силу 70.2 существует точка x∗ ∈ Br[x] такая, что ϕ(x∗) = infu∈Br[x]

ϕ(u). На самом

деле x∗ ∈ Br(x) (действительно, равенство ‖x− x∗‖ = r влечет с учетом (3)

12r 6 ‖f(x∗)− f(x)‖ 6 ϕ(x∗)1/2 + ϕ(x)1/2 < ϕ(x∗)1/2 +

14r,

102

то есть ϕ(x) <116· r2 < ϕ(x∗), что противоречит тому, что ϕ достигает минимума в

x∗ ). Функция ϕ дифференцируема в x∗, и в силу 84.2

ϕ′(x∗) =

[−2

n∑

i=1

(yi − f i(x∗))∂f i

∂x1(x∗), . . . ,−2

n∑

i=1

(yi − f i(x∗))∂f i

∂xn(x∗)

]

= −2[

∂f i

∂xj(x∗)

]·

y1 − f1(x∗). . .

yn − fn(x∗)

= 0.

Но матрица Якоби f ′(x∗) =[

∂f i

∂xj(x∗)

]обратима (см. замечание после формулы (2)),

так что y − f(x∗) = θ, что и требовалось.(в). Пусть y ∈ V произволен, y + k ∈ V, x = g(y) и g(y + k) − g(y) = h. Тогда

k = f(x + h) − f(x). В силу (3) ‖k‖ > 12‖h‖, так что k → θ влечет h → θ. Отсюда

следует непрерывность отображения g. Далее k = f ′(x)h + o(h) (h → θ). Посколькулинейное отображение f ′(x) обратимо, имеем

g(y + k)− g(y) = f ′(x)−1k + o(h) (h → θ).

Наконец, limk→θ

‖o(h)‖‖k‖ = lim

k→θ

‖o(h)‖‖h‖ · ‖h‖‖k‖ = 0, откуда

g(y + k)− g(y) = f ′(g(y))−1k + o(k) (k → θ).¤

2. П р и м е р. Отображение f(x, y) = (ex cos y, ex sin y) ((x, y) ∈ R2) непрерывнодифференцируемо, причем касательное отображение (см. 77.6) обратимо в каждойточке (x, y) ∈ R2, так как det f ′(x, y) = e2x 6= 0. Найдем производную обратного (кf) отображения

g(u, v) = (g1(u, v), g2(u, v)) ((u, v) ∈ R2).

Мы имеем

f g(u, v) = (expg1(u, v) cos g2(u, v), expg1(u, v) sin g2(u, v)) = (u, v),

откуда expg1(u, v) cos g2(u, v) = u, expg1(u, v) sin g2(u, v) = v. Поэтому

g′(u, v) = f ′(g1(u, v), g2(u, v))−1

=[expg1(u, v) cos g2(u, v) − expg1(u, v) sin g2(u, v)expg1(u, v) sin g2(u, v) expg1(u, v) cos g2(u, v)

]−1

=[u −vv u

]−1

=1

u2 + v2

[u v−v u

].

§86. Частные производные высших порядков

1. До сих пор речь шла о 1-й производной отображения. Пусть f : Ω → F , гдеΩ — открытое множество в евклидовом пространстве E, и F — другое евклидово

103

пространство. Если f дифференцируемо в каждой точке x ∈ Ω, то можно говорить опроизводном отображении f ′ : Ω → L(E, F ). В свою очередь, если это отображениедифференцируемо в каждой точке множества Ω, то определено второе производноеотображение f ′′ ≡ (f ′)′, f ′′ : Ω → L(E, L(E, F )). Аналогично вводятся производныеотображения высших порядков. Мы не будем изучать высшие производные в общемслучае, памятуя о том, что переходом к координатным функциям отображения f ,можно редуцировать их изучение к случаю функций многих переменных.

2. Для функции f : Ω → R (Ω ⊂ Rn) могут быть введены последовательночастные производные высших порядков:

∂2f

∂xi∂xj≡ ∂

∂xi

(∂f

∂xj

),

∂3f

∂xi∂xj∂xk≡ ∂

∂xi

(∂2f

∂xj∂xk

)и т. п.

В частности,∂2f

∂xi∂xiобозначается через

∂2f

∂xi2.

3. [Независимость от порядка дифференцирования]. Пусть∂kf

∂xj1 . . . ∂xjk,

∂kf

∂xi1 . . . ∂xikопределены в некоторой окрестности точки x и непрерывны в x, а

i1, . . . , ik — некоторая перестановка индексов j1, . . . , jk. Тогда

∂kf

∂xj1 . . . ∂xjk(x) =

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(x).

¶ Ограничимся при доказательстве случаем k = 2 для функции двух переменных.Итак, пусть

∆1hf(u, v) = f(u + h, v)− f(u, v), ∆2

hf(u, v) = f(u, v + h)− f(u, v).

Тогда ∆1h(∆2

hf(u, v)) = ∆2h(∆1

hf(u, v)). С другой стороны,

∆1h(∆2

hf(u, v)) = ∆1h

[h

∂f

∂v(u, v + θh)

]= h

[∂f

∂v(u + h, v + θh)− ∂f

∂v(u, v + θh)

]

= h2 ∂2f

∂u∂v(u + θ1h, v + θh) (0 < θ, θ1 < 1).

В этой выкладке применена формула конечных приращений Лагранжа к функ-

ции w → f(u,w) (это возможно, так как∂f

∂vопределена и непрерывна в некоторой

окрестности (u, v)), а также — к функции w → ∂f

∂v(w, v + θh). Так как

∂2f

∂u∂vнепре-

рывна в точке (u, v), имеем

∂2f

∂u∂v(u, v) = lim

h→0

∂2f

∂u∂v(u + θ1h, v + θh) = lim

h→0

∆1h(∆2

hf(u, v))h2

= limh→0

∆2h(∆1

hf(u, v))h2

=∂2f

∂v∂u(u, v). ¤

4. Доказанное утверждение позволяет ввести дифференциалы высших поряд-

ков для функций нескольких переменных. Пусть все частные производные∂2f

∂xi∂xj

104

определены в некоторой окрестности точки x = (x1, . . . , xn) и непрерывны в x. Тогда

d2f(x) ≡n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(x)dxidxj . Это квадратичная форма независимых переменных

dx1, . . . , dxn. Аналогично d3f(x) ≡n∑

i,j,k=1

∂3f(x)∂xi∂xj∂xk

dxidxjdxk и т. п.

§87. Формула Тейлора для функций нескольких переменных

1. Пусть функция f : Ω → R (Ω ⊂ Rn открыто) обладает непрерывными част-ными производными до порядка s включительно. Пусть x0 ∈ Ω и δ > 0 таково,что Bδ(x0) ⊂ Ω. Тогда для любого вектора x = (x1, . . . , xn) ∈ Bδ(x0):

f(x) =s−1∑

k=0

1k!·

n∑

j1,...,jk=1

(xj1 − xj10 ) . . . (xjk − xjk

0 ) · ∂kf(x0)∂xj1 . . . ∂xjk

+ Rs(x), (1)

где Rs(x) =1s!·

n∑j1,...,js=1

(xj1 − xj10 ) . . . (xjs − xjs

0 )∂sf(x0 + θ(x− x0))

∂xj1 . . . ∂xjs— остаток в

форме Лагранжа (здесь θ = θ(x, s) ∈ (0, 1)).¶ Введем скалярную функцию F (t) = f(x0 + t(x− x0)), t ∈ [0, 1]. В соответствии с

77.4 F ′(t) =n∑

j=1(xj − xj

0)∂f

∂xj(x0 + t(x− x0)). Подобным образом

F (k)(t) =n∑

j1,...,jk=1

(xj1 − xj10 ) . . . (xjk − xjk

0 ) · ∂kf(x0 + t(x− x0))∂xj1 . . . ∂xjk

. (2)

В силу предположений о функции f имеет место формула Тейлора для F (см. 34.2):

F (t) =s−1∑k=0

1k!

tkF (k)(0)+ts · 1s!

F (s)(θt). Отсюда f(x) = F (1) =s−1∑k=0

1k!

F (k)(0)+1s!

F (s)(θ).

С учетом (2) получаем искомую формулу (1). ¤2. При сделанных выше предположениях о функции f имеет место формула

Тейлора с остатком в форме Пеано:

f(x) =s∑

k=0

1k!

n∑

j1,...,jk=1

(xj1−xj10 ) . . . (xjk−xjk

0 )∂kf(x0)

∂xj1 . . . ∂xjk+o(‖x−x0‖s) (x → x0). (3)

¶ Из непрерывности частных производных s-го порядка для функции f следует, что

εj1...js ≡∂sf(x0 + θ(x− x0))

∂xj1 . . . ∂xjs− ∂sf(x0)

∂xj1 . . . ∂xjs→ 0 (x → x0). Из формулы (1) имеем

|f(x)−s∑

k=0

1k!

n∑

j1,...,jk=1

(xj1 − xj10 ) . . . (xjk − xjk

0 )∂kf(x0)

∂xj1 . . . ∂xjk|

=1s!

∣∣∣∣∣∣

n∑

j1,...,js=1

εj1...js(x)(xj1 − xj10 ) . . . (xjs − xjs

0 )

∣∣∣∣∣∣

6 1s!

maxj1...js

|εj1...js(x)|

n∑

j=1

|xj − xj0|

s

6 ns/2 · 1s!

maxj1...js

|εj1...js(x)| ‖x− x0‖s.

105

С учетом (4) отсюда немедленно следует (3). ¤

§88. Локальный экстремум функции

1. Пусть задана функция f : Ω → R (Ω ⊂ Rn — открыто), и надо отыскать точ-ки локального экстремума этой функции. Допустим, что f обладает непрерывнымичастными производными 2-го порядка. В силу 84.2 точки локального экстремумаследует искать среди точек, в которых все частные производные 1-го порядка обра-щаются в нуль. Пусть x0 — одна из таких точек, то есть

∂f

∂xj(x0) = 0 (1 6 j 6 n). (1)

Покажем, как можно узнать, имеет ли функция f в точке x0 локальный экстремуми каков характер этого экстремума. Воспользуемся для этого формулой Тейлора состатком в форме Пеано. С учетом (1) имеем

f(x)− f(x0) =12

n∑

j,k=1

ajkhjhk + o(‖h‖2) (x → x0), (2)

где ajk =∂2f(x0)∂xj∂xk

, hj = xj−xj0 (1 6 j 6 n), h = (h1, . . . , hn). Из этого представления

ясно, что поведение разности f(x) − f(x0) в окрестности точки x0 определяетсяповедением квадратичной формы

a(h) =n∑

j,k=1

ajkhjhk. (3)

Сформулируем соответствующие выводы.

2. Форма (3) строго положительно определена, то есть a(h) > 0 для любогоh 6= θ. Тогда f обладает в точке x0 локальным минимумом.

3. Форма (3) строго отрицательно определена, то есть a(h) < 0 для любогоh 6= θ. Тогда f обладает в точке x0 локальным максимумом.

4. Форма (3) определена не строго, то есть a(h) > 0 либо a(h) 6 0 для всех h, исуществует h0 6= θ такое, что a(h0) = 0. В этом случае вопрос о существованиилокального экстремума в точке x0 остается открытым.

5. В остальных случаях экстремума заведомо нет.¶ П.2. Форма (3) на сфере S = u ∈ Rn : ‖u‖ = 1 непрерывна и, следовательно,достигает минимального значения (см. 70.2): a(u0) = min

u∈Sa(u) > 0. Выберем δ > 0

так, чтобы|o(‖h‖2)|‖h‖2

<a(u0)

4(h ∈ Bδ(θ)), где остаток o(‖h‖2) определен формулой

(2). В силу равенства

f(x)− f(x0) = ‖x− x0‖2

[12a

(x− x0

‖x− x0‖)

+o(‖x− x0‖2)‖x− x0‖2

](4)

имеем для любого x ∈ Bδ(x0) (x 6= x0)

f(x)− f(x0) > ‖x− x0‖2

[12a(u0) +

o(‖x− x0‖2)‖x− x0‖2

]> ‖x− x0‖2 a(u0)

4> 0,

106

то есть x0 — точка локального минимума функции f . Аналогично рассматриваетсяп. 3.

П.4. Пусть a(h0) = 0 в некоторой точке h0 6= θ. Тогда a(h) = 0 для всех h =λh0 (λ ∈ R), и в точках вида x = x0 + λh0 имеем f(x)− f(x0) = o(‖h‖2) (x → x0) —знак остатка неизвестен. В этом случае необходимо более детальное исследование спомощью производных высшего порядка.

П.5. В этом случае существуют u, v ∈ S такие, что a(u) > 0, a(v) < 0. Изпредставления (4) следует, что в достаточно малой окрестности точки x0 разностьf(x)− f(x0) не является знакопостоянной, и значит, в точке x0 локального экстре-мума нет. ¤

6. З а м е ч а н и е. Напомним известный из алгебры критерий Сильвестра,позволяющий эффективно решать вопрос об определенности симметрической квад-ратичной формы. Рассмотрим систему миноров формы a(h):

∆1 = a11, ∆2 =∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , . . . , ∆n =

∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n

. . . . . . . . .an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣.

(а) Если ∆1 > 0, . . . ,∆n > 0, то a(h) строго положительно определена.(б) Если ∆1 < 0,∆2 > 0, . . . , (−1)n∆n > 0, то a(h) строго отрицательно опреде-

лена.(в) Если все главные миноры матрицы [ajk] неотрицательны или неотрицательны

все главные миноры матрицы [−ajk] и существует k такое, что ∆k = 0, то a(h)определена не строго.

(г) В остальных случаях a(h) не определена.

§89. Теорема о существовании неявной функции

1. Рассмотрим сначала постановку задачи в простейшем (плоском) случае. Пустьзадано уравнение

f(x, y) = 0 ((x, y) ∈ Ω ⊂ R2, Ω− открыто). (1)

Разрешимо ли оно относительно переменной x? Желая привлечь для решения этойзадачи методы дифференциального исчисления, мы должны рассматривать эту за-дачу с локальной точки зрения. Итак, пусть f непрерывно дифференцируема вΩ (то есть обладает в Ω непрерывными частными производными f ′x, f ′y, и точка(x0, y0) ∈ Ω — решение уравнения (1), то есть f(x0, y0) = 0. При каких условияхуравнение (1) разрешимо относительно x в некоторой окрестности точки (x0, y0)?

Для решения задачи воспользуемся основной идеей дифференциального исчис-ления — локальной линейной аппроксимацией функций. Дифференцируя (1), полу-чим уравнение касательной к кривой, заданной уравнением (1), в точке (x0, y0):

f ′x(x0, y0)(x− x0) + f ′y(x0, y0)(y − y0) = 0. (2)

Это линейное уравнение локально аппроксимирует уравнение (1). Поэтому еслиуравнение (2) разрешимо относительно x, то можно надеяться, что это же вер-но для уравнения (1). Условие разрешимости (2) относительно x очень простое:f ′x(x0, y0) 6= 0. Итак, мы эвристически пришли к следующему утверждению:

107

2. Пусть функция f(x, y) определена и непрерывно дифференцируема в откры-том множестве Ω ⊂ R2, причем

1) f(x0, y0) = 0,

2)∂f

∂x(x0, y0) 6= 0.

Тогда в некоторой окрестности U точки y0 определена функция x = ϕ(y) (y ∈ U)такая, что f(ϕ(y), y) = 0 (y ∈ U).

Общая теорема о существовании неявной функции является обобщением при-веденной выше теоремы на векторный случай.

3. Пусть система уравнений

f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0,. . .fn(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0

(3)

относительно неизвестных x1, . . . , xn с параметрами y1, . . . , ym обладает свой-ствами:

1) вектор x0 = (x10, . . . , x

n0 ) ∈ Rn является решением системы (3) для вектора-

параметра y0 = (y10, . . . , y

m0 ),

2) det[

∂f i

∂xj(v)

]6= 0, где v = (x1

0, . . . , xn0 , y1

0, . . . , ym0 ) ∈ Rn+m,

и все частные производные∂f i

∂xj,

∂f i

∂ysнепрерывны в некоторой окрестности век-

тора v.Тогда система (3) разрешима относительно x1, . . . , xn при любом y = (y1, . . . , ym)

из некоторой окрестности U вектора y0:

x1 = ϕ1(y1, . . . , ym),. . . (4)

xn = ϕn(y1, . . . , ym), y = (y1, . . . , ym) ∈ U(⊂ Rm).

При этом отображение ϕ : U → Rn, определяемое координатными функциямиϕ1, . . . ϕn, непрерывно дифференцируемо.

¶ Пусть Ω — окрестность точки v, в которой все частные производные∂f i

∂xj,

∂f i

∂ys

непрерывны. Рассмотрим отображение

F (x, y) = (f1(x, y), . . . , fn(x, y), y)

(здесь и далее x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , ym)). Оно непрерывно дифференцируе-мо в Ω и матрица Якоби для F ′(v) имеет вид

108

∂f1

∂x1(v) . . .

∂f1

∂xn(v) | ∂f1

∂y1(v) . . .

∂f1

∂ym(v)

. . . . . . . . . | . . . . . . . . .∂fn

∂x1(v) . . .

∂fn

∂xn(v) | ∂fn

∂y1(v) . . .

∂fn

∂ym(v)

−− −− −− −− −− −− −− −−| 1 0 . . . 0| 0 1 . . . 0

0 | . . . . . . . . . . . .| 0 0 . . . 1

.

Из условия 2) следует, что линейное отображение F ′(v) обратимо в Rn+m. По теоре-ме 85.1 о дифференцировании обратной функции существует окрестность V (⊂ Ω)точки v и окрестность W (⊂ Rn+m) точки (0, . . . , 0, y1

0, . . . , ym0 ) такие, что F : V → W

обладает непрерывно дифференцируемым обратным отображением

G : W → V, то есть G(f1(x, y), . . . , fn(x, y), y) = (x, y).

Если ψ1, . . . , ψn+m — координатные функции отображения G, то

xj = ψj(f1(x, y), . . . , fn(x, y), y), 1 6 j 6 n.

Пусть U — такая окрестность точки y0, что (0, . . . , 0, y1, . . . , ym) ∈ W , всякий раз,когда y ∈ U . Тогда функции ϕj(y1, . . . , ym) ≡ ψj(0, . . . , 0, y1, . . . , ym), 1 6 j 6 n,являются искомыми. Действительно,

(f1(ψ1(θ, y), . . . , ψn(θ, y), y), . . . , fn(ψ1(θ, y), . . . , ψn(θ, y), y), y) = F G(θ, y) = (θ, y),

откуда f j(ϕ1(y), . . . , ϕn(y), y) = 0, 1 6 j 6 n. Таким образом, xj = ϕj(y) (1 6 j 6 n)удовлетворяют системе (4). ¤

§90. Локальный относительный экстремум

1. Пусть Ω ⊂ Rn и заданы функции f : Ω → R, f j : Ω → R (1 6 j 6 m < n), Ω =x ∈ Ω : f1(x) = . . . = fm(x) = 0. Точка x0 ∈ Ω называется точкой относительноголокального максимума функции f , если ∃δ > 0 ∀x ∈ Bδ(x0) ∩ Ω (f(x) 6 f(x0)).Аналогично определяются точки локального относительного минимума.

2. Будем заниматься исследованием функции f на локальный относительныйэкстремум при условиях

f1(x) = . . . = fm(x) = 0 (m < n),

где f, f j непрерывно дифференцируемы. Пусть Rg[∂f j

∂xk(x0)

]= m (ранг матрицы

[∂f j

∂xk(x0)

]равен m). Пусть, например,

det

∂f1

∂x1(x0) . . .

∂f1

∂xm(x0)

. . . . . . . . .∂fm

∂x1(x0) . . .

∂fm

∂xm(x0)

6= 0.

109

Запишем вектор x в виде x = (x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn) = (u, v), где u = (x1, . . . , xm),v = (xm+1, . . . , xn). По теореме 89.3 о существовании неявной функции существуетокрестность точки x0 = (u0, v0) и непрерывно дифференцируемые функции ϕj(v)(1 6 j 6 m) такие, что xj = ϕj(v) (1 6 j 6 m) удовлетворяют системе уравнений

f1(u, v) = 0,. . .fm(u, v) = 0,

то есть f j(ϕ1(v), . . . , ϕm(v), v) = 0 (1 6 j 6 m) в некоторой окрестности точкиv0 = (xm+1

0 , . . . , xn0 ). Подставив ϕj(v) вместо xj в функцию f , получим функцию

Φ(v) ≡ f(ϕ1(v), . . . , ϕm(v), v). Теперь сформулируем необходимое условие локально-го относительного экстремума.

3. Если x0 = (u0, v0) — точка относительного экстремума функции f , то v0 =(xm+1

0 , . . . , xn0 ) — точка абсолютного (в смысле 84.1) локального экстремума для

Φ.¶Пусть для определенности x0 = (u0, v0) — точка относительного локального макси-мума для f . Тогда для точек v, достаточно близких к v0, вектор (ϕ1(v), . . . , ϕm(v), v) ∈Ω, так как f j(ϕ1(v), . . . , ϕm(v), v) = 0 (1 6 j 6 m). Поэтому

Φ(v) = f(ϕ1(v), . . . , ϕm(v), v) 6 f(ϕ1(v0), . . . , ϕm(v0), v0) = Φ(v0). ¤

§91. Метод Лагранжа

1. Изложенный выше метод выявления “подозрительных” на локальный относи-тельный экстремум точек на практике часто малоэффективен, так как он связан снахождением функций в явном виде. Более употребителен Метод Лагранжа, кото-рый состоит в следующем:

1) находится область Ω = x ∈ Ω : f1(x) = . . . = fm(x) = 0, Rg[

∂f i

∂xk(x)

]= m,

2) вводится вспомогательная функция F (x) = f(x)−m∑

j=1λjf

j(x),

3) системы уравнений

∂F

∂xk(x) =

∂f

∂xk(x)−

m∑

j=1

λj∂f j

∂xk(x) = 0, 1 6 k 6 n, (1)

f j(x) = 0, 1 6 j 6 m, (2)

решаются совместно относительно n + m неизвестных x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm. Тогда:

2. Если x0 — точка относительного локального экстремума, то найдутся та-кие λ1, . . . λm, что для точки (x1

0, . . . , xn0 , λ1, . . . λm) удовлетворяются системы (1)

– (2).¶ Система (2) удовлетворяется, так как x0 ∈ Ω. Для проверки равенств (1) покажемсначала, что если x0 — точка локального относительного экстремума, то

df(x0)(h) =n∑

k=1

∂f

∂xk(x0)hk = 0 (3)

110

для любого вектора h = (h1, . . . , hn), координаты которого удовлетворяют линейнымсвязям

n∑

k=1

∂f j

∂xk(x0)hk = 0, 1 6 j 6 m. (4)

В обозначениях §90 v0 = (xm+10 , . . . , xn

0 ) — точка абсолютного локального экстрему-ма для функции Φ(v), и в силу 84.2

∂Φ∂xs

(v0) =m∑

j=1

∂f

∂xj(x0)

∂ϕj

∂xs(v0) +

∂f

∂xs(x0) = 0, m + 1 6 s 6 n.

В силу равенств xj = ϕj(v) (1 6 j 6 m) зависимые координаты hj (1 6 j 6 m)

вектора h равны hj = dxj =n∑

s=m+1

∂ϕj

∂xs(v0)hs (1 6 j 6 m), что эквивалентно (4).

Следовательно,

df(x0)h =n∑

k=1

∂f

∂xk(x0)hk =

m∑

j=1

∂f

∂xj(x0)

(n∑

s=m+1

∂ϕj

∂xs(v0)hs

)+

n∑

s=m+1

∂f

∂xs(x0)hs

=n∑

s=m+1

∂f

∂xs(x0) +

m∑

j=1

∂f

∂xj(x0)

∂ϕj

∂xs(v0)

hs =

n∑

s=m+1

∂Φ∂xs

(v0)hs = 0.

Равенства (3)–(4) означают, что если вектор h ортогонален всем векторам kj =(∂f j

∂x1(x0), . . . ,

∂f j

∂xn(x0)

), 1 6 j 6 m, то 〈h, k〉 = 0, где k =

(∂f

∂x1(x0), . . . ,

∂f

∂xn(x0)

).

Следовательно (см. 62.9), вектор k есть линейная комбинация векторов kj , то есть

существуют λj такие, что k =m∑

j=1λjkj , или

∂f

∂xk(x0) =

m∑j=1

λj∂f j

∂xk(x0). Утверждение

доказано. ¤3. Далее, “подозрительные” на экстремум точки нужно исследовать с помо-

щью известной квадратичной формы для вспомогательной функции F . В силу (1)∂F

∂xk(x0) = 0 (1 6 k 6 n). Поэтому, полагая bjk =

∂2F

∂xj∂xk(x0), имеем

F (x)− F (x0) =12

n∑

j,k=1

bjk(xj − xj0)(x

k − xk0) + o(‖x− x0‖2) (x → x0).

Если квадратичная форма b(h) =n∑

j,k=1

bjkhjhk, например, строго положительно

определена, то x0 — точка локального минимума для F , а значит, и для f !

4. З а м е ч а н и е. Исследование b(h) на определенность следует проводитьс учетом (4); смещения hj (1 6 j 6 m) теперь зависят от смещений hs (m + 1 6s 6 n): форма b(h) может не быть определенной, если считать все hj (1 6 j 6 n)независимыми, но при учете связей (4) она может оказаться определенной.

111

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

§92. Метрическое пространство

1. Пусть M — множество. Функция d : M ×M → R называется метрикой в M ,если она обладает свойствами:

(I) d(x, y) > 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

(II) d(x, y) = d(y, x),

(III) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y),

где x, y, z ∈ M произвольны. Множество M с фиксированной в нем метрикой dназывается метрическим пространством.

2. Пусть (M, d) — метрическое пространство. Множество Bε(x) ≡ y ∈ M :d(y, x) < ε называется открытым шаром радиуса ε > 0 с центром в точке x. ЧерезBε[x] будем обозначать множество y ∈ M : d(y, x) 6 ε. Множество X(⊂ M) назы-вается открытым, если ∀x ∈ X ∃ε > 0 (Bε(x) ⊂ X). Основные свойства открытыхмножеств:

3. ∅, M — открытые множества.

4. Если X1, . . . , Xn открыты, тоn⋂

i=1Xi открыто.

5. Если (Xi)i∈I — произвольное семейство открытых множеств, то⋃i∈I

Xi от-

крыто.

6. З а м е ч а н и е. Для любых двух различных точек x, y в метрическомпространстве существует ε > 0 такое, что Bε(x) ∩Bε(y) = ∅.

П р и м е р ы. 7. Пусть E — евклидово пространство. Функция d(x, y) =‖x − y‖ (x, y ∈ E) является метрикой в E. Соответствующее понятие открытогомножества совпадает с введенным в 63.1 понятием открытого множества в евкли-довом пространстве.

8. Гильбертово пространство `2. Точками этого пространства являются ком-

плексные последовательности x = (x1, x2, . . .), для которых∞∑

n=1|xn|2 < +∞. Из

неравенства Шварца 41.4 следует, что функция

d(x, y) ≡ [ ∞∑

n=1

|xn − yn|2]1/2 (x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .) ∈ `2)

является метрикой в `2.

9. Дискретная метрика в множестве M задается равенством

d(x, y) =

1, если x 6= y,0, если x = y.

В этом случае M называется дискретным метрическим пространством. В такомпространстве Bε(x) = M , если ε > 1 и Bε(x) = x, если ε 6 1.

112

10. В метрическом пространстве естественно определяется понятие сходимости.Последовательность (xn) элементов метрического пространства называется сходя-щейся к элементу x (xn → x), если lim

nd(xn, x) = 0. Последовательность (xn) назы-

вается фундаментальной, если

∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N (d(xn, xm) < ε).

Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна (!!). Однако обратное ужене всегда верно. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальнаяпоследовательность сходится, называется полным .

У п р а ж н е н и я. 11. Открытый шар Bε(x) в метрическом пространстве —открытое множество.

12. Пусть M — часть пространства `2, состоящая из всех последовательностейx = (x1, x2, . . .), у которых xi 6= 0 лишь для конечного числа индексов i. Приве-дите пример фундаментальной последовательности в M , которая в M не сходится(метрика в M заимствована из `2).

13. Дискретное метрическое пространство полно.14.Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса лежать строго

внутри шара меньшего радиуса?

§93. Топологическое пространство

1. Как мы уже видели, основные понятия математического анализа (пределфункции, непрерывность) могут быть сформулированы в терминах окрестностей.Определение окрестности точки до сих пор связывалось с понятием расстояния.Дальнейшее развитие анализа в бесконечномерных пространствах естественно по-ставило на повестку дня создание концепции пространства, в котором с каждойточкой связывалась бы система окрестностей, не обязательно связанная с каким-либо расстоянием. Это привело к понятию топологического пространства. Не имеяздесь возможности углубляться в историю вопроса, отметим, что выбор аксиом то-пологического пространства, был результатом длительных поисков.

При определении топологического пространства удобно за первичное брать по-нятие открытого множества. Однако в приложениях часто удобнее задавать топо-логию, исходя из понятия окрестности точки. Ниже мы изложим оба подхода.

2. Пусть E — множество и указана система T частей множества E, обладающаясвойствами:

(I) ∅, E ∈ T ,

(II) если X1, . . . , Xn ∈ T , тоn⋂

i=1Xi ∈ T ,

(III) если (Xi)i∈I — произвольное семейство из T , то⋃i∈I

Xi ∈ T .

В этом случае система T называется топологией в E, а элементы системы T на-зываются открытыми множествами. Множество E с фиксированной в нем топо-логией T называется топологическим пространством и обозначается (E, T ).

113

Читатель, по-видимому, уже обратил внимание на то, что за аксиомы топологи-ческого пространства взяты основные свойства открытых множеств в метрическомпространстве (см. 92.2).

П р и м е р ы. 3. Система всех открытых подмножеств метрического простран-ства является топологией. В этом случае говорят, что топология определяется мет-рикой.

4. Семейство всех подмножеств E является топологией в E. Эта топология на-зывается дискретной. Отметим, что дискретная топология совпадает с топологией,определяемой дискретной метрикой. Топология T = ∅, E называется тривиаль-ной топологией в E.

§94. Свойства окрестностей

1. Пусть T — топология в E. Множество V (⊂ E) называется окрестностьюточки x ∈ E, если ∃U ∈ T (x ∈ U ⊂ V ). Множество X(⊂ E) открыто ттогда X —окрестность каждой своей точки (!!).

Семейство всех окрестностей точки x в топологическом пространстве (E, T )обозначим через b(x). Оно обладает свойствами (!!):

2. “U ∈ b(x), U ⊂ V ” ⇒ V ∈ b(x),3. U, V ∈ b(x) ⇒ U ∩ V ∈ b(x),4. ∀U ∈ b(x) (x ∈ U),5. ∀U ∈ b(x) ∃V ∈ b(x) ∀y ∈ V (U ∈ b(y)).

Эти свойства полностью характеризуют топологию T :6. Т е о р е м а. Пусть каждому элементу x множества E поставлено в соот-

ветствие некоторое семейство b(x) частей E, обладающее свойствами2−5. Тогда в E существует единственная топология T , для которой b(x) служитсистемой всех окрестностей точки x (при любом x ∈ E).¶ Семейство T = U ⊂ E : ∀x ∈ U (U ∈ b(x)) является топологией в E (!!).Обозначим через B(x) семейство всех окрестностей точки x в этой топологии, тоесть

B(x) = V ⊂ E : ∃U ∈ T (x ∈ U ⊂ V ).Покажем, что b(x) = B(x). В силу свойства 2 B(x) ⊂ b(x). Справедливо и обратноевключение. Пусть V ∈ b(x) и U = y ∈ E : V ∈ b(y). Установим, что

(а) x ∈ U, (б) U ⊂ V, (в) U ∈ T .

Это и будет означать, что V ∈ B(x). (а) очевидно.(б): y ∈ U ⇒ V ∈ b(y) ⇒ y ∈ V согласно свойству 4.(в): пусть y ∈ U . Тогда y ∈ V и согласно свойству 5 ∃W ∈ b(y) ∀z ∈ W (V ∈ b(z)).

Отметим, что W ⊂V. Действительно, z ∈ W ⇒ V ∈ b(z) ⇒ z ∈ U (см. определениеU); тогда в силу свойства 2 U ∈ b(y). Таким образом, (см. подчеркнутое) U являетсяокрестностью каждой своей точки в топологии T , и потому U ∈ T . ¤

7. Система F(⊂ b(x)) называется базисом окрестностей точки x (или фунда-ментальной системой окрестностей точки x), если ∀U ∈ b(x) ∃V ∈ F (V ⊂ U).

114

8. З а м е ч а н и е. В приложениях базис окрестностей точки играет роль легкообозримой системы, по которой восстанавливается вся ее система окрестностей: еслиF — базис окрестностей точки x, то b(x) = U ⊂ E : ∃V ∈ F (V ⊂ U).

П р и м е р ы. 9. В дискретном топологическом пространстве одноточечноемножество x является базисом окрестностей точки x.

10. Система шаров B1/n(x)n∈N — базис окрестностей точки x в метрическомпространстве.

11. Пусть в одном и том же множестве E заданы две топологии T и T ′. Говорят,что топология T ′ сильнее топологии T , если T ⊂ T ′. Другими словами, T ⊂ T ′ттогда для любого x ∈ E b(x) ⊂ b′(x), где b(x) и b′(x) — системы всех окрестностейточки x в топологиях T и T ′ соответственно. В частности, дискретная топологияв множестве — самая сильная, а тривиальная топология — самая слабая. Говорят,что топология T ′ строго сильнее топологии T , если T ⊂ T ′, T 6= T ′.

§95. Рабочие понятия

1. Пусть E — топологическое пространство и A ⊂ E. Множество A называетсязамкнутым, если Ac ≡ E\A открыто. Класс всех замкнутых множеств обладаетсвойствами (!!):

(I) ∅, E замкнуты,

(II) объединение конечного числа замкнутых множеств — замкнутое множество,

(III) пересечение произвольного семейства замкнутых множеств — замкнутое мно-жество.

2. Точка x называется внутренней точкой A, если A ∈ b(x). Множество всехвнутренних точек называется внутренностью множества A и обозначается A.Внешностью множества A называется множество Ac (внутренность дополненияA). Отметим некоторые полезные свойства внутренности:

(i) A — наибольшее открытое множество, содержащееся в A;

(ii) A открыто ттогда A = A;

(iii) (A ∩B) = A ∩B (A, B ⊂ E).

3. Говорят, что x — точка прикосновения множества A, если∀U ∈ b(x) (U ∩ A 6= ∅). Множество всех точек прикосновения A называется за-мыканием A и обозначается A−. Имеют место свойства:

(j) A− — наименьшее замкнутое множество, объемлющее множество A,

(jj) A замкнуто ттогда A = A−,

(jjj) A−c = Ac, Ac = Ac−,

(jv) (A ∪B)− = A− ∪B− (A,B ⊂ E).

115

¶ 1-е равенство в (jjj) справедливо в силу эквивалентностей:x ∈ A−c ⇔ x ∈ E\A− ⇔ ∃U ∈ b(x) (U ∩ A = ∅) ⇔ Ac ∈ b(x) ⇔ x ∈ Ac.(jv) справедливо в силу выкладки (с учетом указанных выше свойств):

(A ∪B)− = (A ∪B)−cc = (A ∪B)cc = (Ac ∩Bc)c = (Ac ∩Bc)c

= (A−c ∩B−c)c = A− ∪B−. ¤

4. Точка x называется предельной точкой множества A, если∀U ∈ b(x) (U∩A 6= ∅), где U≡ U\x ˇ-окрестность точки x. Точка x называет-ся граничной точкой A, если x является точкой прикосновения множеств A и Ac

одновременно. Множество всех граничных точек называется границей A и обозна-чается Aг. Таким образом, Aг = A− ∩Ac−.

5. Пусть A, B — подмножества топологического пространства E. Говорят, что Aплотно относительно B, если B ⊂ A− (то есть каждая точка из B является точкойприкосновения для A). В частности, A называется плотным в E, если оно плотноотносительно E; в этом случае A− = E. Топологическое пространство называетсясепарабельным, если оно обладает счетным плотным подмножеством.

П р и м е р ы. 6. Q плотно в R.7. Множество всех элементов вида x = (x1, . . . , xn, 0, 0, . . .), то есть элементов, у

которых лишь конечное число координат отлично от нуля, плотно в `2.

У п р а ж н е н и я. 8. Если A открыто, а B произвольно, то A∩(B−) ⊂ (A∩B)−.9. Множества A, Ac, Aг попарно не пересекаются, причём E = A ∪Ac ∪Aг.10. (A ∪B)г ⊂ Aг ∪Bг, (A ∩B)г ⊂ Aг ∪Bг, (A\B)г ⊂ Aг ∪Bг.11. A ⊂ A ∪Aг.12. Пространство `2 сепарабельно.13. Доказать, что в метрическом пространстве Br(x)− ⊂ Br[x]. Возможно ли

строгое включение?

§96. Непрерывные отображения

1. Пусть E, F — топологические пространства. Отображение f : E → F назы-вается непрерывным в точке x ∈ E, если

∀V ∈ b(f(x)) ∃U ∈ b(x) (f(U) ⊂ V ).

2. Пусть f : E → F — отображение, x ∈ E и F — базис окрестностей точкиf(x). Следующие условия эквивалентны:

(а) f непрерывно в x,

(б) f−1(V ) ∈ b(x) для любого V ∈ b(f(x)),

(в) f−1(W ) ∈ b(x) для любого W ∈ F .

3. З а м е ч а н и е. Известное определение непрерывности функции f : R → Rв точке x ∈ R на языке “ε — δ” согласуется с приведенным выше: в качестве базисаокрестностей точки f(x) нужно взять систему F = (f(x)− ε, f(x) + ε)ε>0.

116

4. [Непрерывность сложной функции]. Пусть f : E → F — отображение, непре-рывное в точке x ∈ E, а g : F → G непрерывно в точке f(x). Тогда отображениеg f : E → G непрерывно в x.¶ W ∈ b(g(f(x))) ⇒ g−1(W ) ∈ b(f(x)) ⇒ (g f)−1(W ) = f−1(g−1(W )) ∈ b(x). ¤

5. Отображение f : E → F называется непрерывным, если оно непрерывно вкаждой точке x ∈ E.

6. Пусть (E, T ), (E′, T ′) — топологические пространства и f : E → E′ —отображение. Следующие условия эквивалентны:

(а) f непрерывно,

(б) полный прообраз всякого открытого множества из E′ открыт в E, то естьf−1(T ′) ⊂ T ,

(в) полный прообраз всякого замкнутого множества из E′ замкнут в E.

¶ Очевидно, (б) ⇔ (в), (б) ⇒ (а). Покажем, что (а) ⇒ (б). Пусть V ∈ T ′. Тогдаx ∈ f−1(V ) ⇒ f(x) ∈ V ⇒ V ∈ b(f(x)) ⇒ f−1(V ) ∈ b(x). Теперь f−1(V ) ∈ T всилу произвольности x. ¤

З а м е ч а н и я.7. Образ открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении мо-

жет не быть открытым (соответственно замкнутым) множеством.8. Пусть (E, T ), (E′, T ′) — топологические пространства и f : E → E′ непре-

рывно. Если топологии T в E и T ′ в E′ таковы, что T ⊃ T , T ′ ⊂ T ′, то данноеотображение является непрерывным отображением (E, T ) в (E′, T ′). В частности,если T дискретна или T ′ тривиальна, то любое отображение f : E → E′ непрерывно.

9. П р и м е р . Пусть (M,d) — метрическое пространство и a ∈ M фиксировано.Тогда отображение x → d(x, a) (x ∈ M) — непрерывное отображение M в R.

У п р а ж н е н и я (E — топологическое пространство).10. Отображение f : E → R непрерывно ттогда для любого λ ∈ R множество

x ∈ E : f(x) < λ открыто в E.11. Если отображение f : E → R непрерывно в a ∈ E, то f ограничено в

некоторой окрестности точки a.12. Если f, g : E → R непрерывны в точке a ∈ E, то в точке a непрерывны также

отображения f ± g, f · g, f/g (если g(a) 6= 0).

§97. Гомеоморфизмы

1. Топологические пространства (E, T ) и (E′, T ′) называются гомеоморфными,если существует непрерывная биекция f : E → E′ такая, что обратное отобра-жение также непрерывно. Указанное отображение f называется гомеоморфизмом.Свойства топологического пространства, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, на-зываются топологическими. Эти свойства являются основным объектом вниманияв топологии. Гомеоморфные топологические пространства являются топологическиэквивалентными (неразличимыми).

117

П р и м е р ы. 2. Стереографическая проекция сферы (в R3) с удаленным север-ным полюсом на плоскость R2 — гомеоморфизм.

3. Сепарабельность — топологическое свойство.4. Дискретность пространства — топологическое свойство.

5. Считается (вследствие геометричности нашего мышления), что хорошо устро-енными являются евклидовы пространства Rn. Поэтому топологические простран-ства, возникающие в приложениях (не все, конечно), стараются свести посредствомгомеоморфных преобразований к евклидовым. Иногда это удается сделать лишьлокально.

Будем говорить, что топологическое пространство E локально гомеоморфно ев-клидову пространству Rn, если каждая точка x ∈ E обладает окрестностью, гомео-морфной Rn. Топологические пространства, локально гомеоморфные евклидовымпространствам, являются предметом изучения целого раздела топологии — тополо-гии многообразий.

6. П р и м е р. Окружность S(⊂ R2) локально гомеоморфна R (!!). Однакоглобального гомеоморфизма между этими топологическими пространствами нет.Более того, S не гомеоморфна никакой части R (топологии на S и на частях Rиндуцированы соответствующими топологиями из R2 и R (см. ниже 99.2)):

7. Не существует непрерывного инъективного отображения окружностиS(⊂ R2) в R.¶ Пусть отображение δ : S → S переводит точки S в точки, диаметрально противо-положные, а отображение f : S → R непрерывно. Утверждение теперь следует изфактов:

(а) отображение g ≡ f − f δ непрерывно,

(б) g δ = −g,

(в) если f — инъекция, то g(s) 6= 0 (s ∈ S) и, следовательно, в точках s и δ(s)функция g принимает значения разных знаков,

(г) так как S линейно связно, из (а), (в) и 70.4 следует, что существует t ∈ Sтакое, что g(t) = 0, что противоречит (в). ¤

У п р а ж н е н и я.8. Открытый шар B1(θ) в Rn гомеоморфен всему пространству Rn. (Искомый

гомеоморфизм f : Rn → B1(θ) может быть задан формулой f(x) = (1 + ‖x‖)−1x(x ∈ Rn).) ¤

9. Следующие свойства являются топологическими: (а) конечность простран-ства, (б) существование неподвижной точки у каждого непрерывного отображениятопологического пространства в себя.

10. Полнота метрического пространства (92.10) — не топологическое свойство(в классе метрических пространств).

118

§98. Топология, порожденная семейством множеств

В этом и нескольких последующих параграфах мы рассмотрим некоторые ти-пичные способы задания топологий.

1. Пусть задано некоторое семейство σ частей множества E и требуется задатьв E топологию так, чтобы все множества из σ были открытыми. При подобной по-становке задачи ответ тривиален: нужному требованию удовлетворяет дискретнаятопология. Можно ли, однако, указать наиболее “экономную” топологию среди тех,в которых множества из σ открыты? Сделаем сначала полезное замечание (!!):

2. Пусть (Ti)i∈I — семейство топологий в множестве E. Тогда T =⋂i∈I

Ti —

топология в E.Топология, определенная в этом утверждении, называется пересечением топо-

логий Ti (i ∈ I).

3. Теперь ответим на поставленный выше вопрос. Семейство топологий T таких,что σ ⊂ T , не пусто (например, в это семейство входит дискретная топология), ипересечение T0 =

⋂σ⊂T

T является наименьшей топологией, в которой множества из

системы σ открыты; T0 называется топологией, порожденной системой σ, а σ —системой образующих топологии T0.

4. Укажем более конструктивный метод построения T0 по системе σ. Сначалаобразуется система σ′ множеств, являющихся пересечением конечных семейств изсистемы σ. Тогда семейство всевозможных объединений множеств из σ′ (с присо-единенными множествами E и ∅) является искомой топологией T0 (!!).

5. Система γ открытых подмножеств топологического пространства E называ-ется базой топологии, если всякое открытое множество в E является объединениеммножеств из γ. Например, в приведенной выше конструкции σ′ является базой то-пологии T0. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет 2-й аксиомесчетности, если оно обладает счетной базой.

П р и м е р ы. 6. Система всех одноточечных подмножеств множества E являетсябазой дискретной топологии в E.

7. Система всех ограниченных интервалов с рациональными концами являетсябазой топологии числовой прямой. Таким образом, R удовлетворяет 2-й аксиомесчетности.

У п р а ж н е н и я. 8. Является ли топологическим свойство топологии обладатьсчетной базой?

9. Евклидово пространство Rn обладает счетной базой.10. Топология в `2, определенная метрикой (см. 92.8), удовлетворяет 2-й аксиоме

счетности.

§99. Прообраз топологии

1. Пусть E — множество (без топологии) и (E′, T ′) — топологическое простран-ство. Требуется задать в E топологию так, чтобы было непрерывно заданное отоб-ражение f : E → E′. Разумеется, указанному условию удовлетворяет дискретнаятопология в E. Содержательной является задача задания в E наиболее “экономной”

119

топологии среди всех топологий, для которых отображение f непрерывно. Рутиннаяпроверка показывает, что слабейшей из всех топологий в E, относительно которыхотображение f непрерывно, является топология f−1(T ′) = f−1(X ′) : X ′ ∈ T ′ —прообраз топологии T ′ относительно отображения f .

2. П р и м е р. Индуцированная топология. Пусть E — топологическое про-странство и X ⊂ E. Слабейшая среди всех топологий в X, относительно которыхнепрерывно тождественное вложение iX : X → E, называется индуцированной (изE) топологией в X. Если T — топология в E, то индуцированная топология TX вX представляет собой семейство U ∩ X : U ∈ T . Топологическое пространство(X, TX) называется подпространством пространства (E, T ).

3. Пусть (X, TX) — подпространство пространства (E, T ). Всякое множествоA ⊂ X, открытое (замкнутое) в X, открыто (соответственно замкнуто) в E ттогдаX открыто (соответственно замкнуто) в E.

4. Описанную выше конструкцию прообраза топологии можно обобщить на слу-чай произвольного семейства отображений. Пусть E — множество (без топологии) и(Ei, Ti)i∈I — семейство топологических пространств. Наиболее экономная топологияв E, относительно которой непрерывны фиксированные отображения fi : E → Ei

(i ∈ I), характеризуется следующим утверждением:

5. Топология в E с системой образующих⋃i∈I

f−1i (Ti) является слабейшей среди

топологий в E, относительно которых непрерывны все отображения fi (i ∈ I).

6. П р и м е р . Произведение топологических пространств. Пусть (Ei , Ti)i∈I —семейство топологических пространств и E =

∏i∈I

Ei. Для каждого индекса j ∈ I

рассмотрим проектирование pj : E → Ej , заданное формулой pj((xi)i∈I) = xj .Определим в E топологию T как слабейшую из топологий, относительно которыхвсе pj (j ∈ I) непрерывны; топологическое пространство (E, T ) называется про-изведением топологических пространств (Ei, Ti), а топология T — произведениемтопологий (Ti)i∈I . Топология T порождается системой σ = p−1

j (U)j∈I, U∈Tj , и всогласии с 98.4–5 ее базой является система σ′, в которую входят множества вида∏i∈I

Ui, где Ui ∈ Ti и Ui = Ei для всех i, кроме конечного их числа. Если, в част-

ности, I = 1, . . . , n, то произведение топологий в E = E1 × . . . × En имеет базуU1× . . .×Un| Ui ∈ Ti (i = 1, . . . , n). Например, топология евклидова пространстваRn — топологическое произведение n экземпляров числовых прямых R.

У п р а ж н е н и я. 7. Пусть X, Y — части топологического пространства (E, T )и X ⊂ Y . Тогда замыкание X в топологии TY есть X− ∩ Y , где X− — замыкание Xв топологии T .

8. В условиях п. 7 топология, индуцированная в X из E, совпадает с топологией,индуцированной в X из Y как подпространства E.

9.Пусть (M, d) — метрическое пространство. Покажите, что отображение x, y →d(x, y) пространства M × M (как топологического произведения пространства Mна себя) в R непрерывно.

10. Пусть (E, T ), (E′, T ′) — топологические пространства. Биекция f : E → E′

является гомеоморфизмом ттогда выполнено одно из условий: (а) T — слабейшая

120

из топологий в E, относительно которых f непрерывно, (б) T ′ — сильнейшая изтопологий в E′, относительно которых f непрерывно.

§100. Финальная топология

1. Пусть E — множество (без топологии) (Ei, Ti)i∈I — семейство топологическихпространств и fi : Ei → E (i ∈ I) — заданные отображения. Если E наделить три-виальной топологией, то все эти отображения будут непрерывны. Содержательнойявляется задача определения сильнейшей (или наибольшей) топологии в E средивсех топологий, относительно которых все fi были бы непрерывными. Искомой яв-ляется топология T = U ⊂ E : f−1

i (U) ∈ Ti при всех i ∈ I (!!). Она называетсяфинальной топологией, порожденной семейством (fi)i∈I .

2. П р и м е р. Фактор-топология. Пусть (E, T ) — топологическое пространствои R — отношение эквивалентности в E. Фактор-топологией в E/R (обозначаетсяT /R) называется финальная топология, порожденная канонической сюръекцией ϕ :E → E/R. Итак, T /R = U ⊂ E/R : ϕ−1(U) ∈ T . Пара (E/R, T /R) называетсяфактор-пространством.

3. Пусть E, F — топологические пространства, R — отношение эквивалент-ности в E и ϕ : E → E/R — каноническая сюръекция. Отображение f : E/R → Fнепрерывно ттогда непрерывно отображение g = f ϕ.¶ Если f непрерывно, то g = f ϕ непрерывно согласно 96.4. Обратно, пусть gнепрерывно и V — произвольное открытое множество в F . Тогда ϕ−1(f−1(V )) =g−1(V ) открыто в E и по определению фактор-топологии f−1(V ) открыто в E/R,то есть f непрерывно. ¤

Из доказанного утверждения непосредственно следует:4. Пусть E, F — топологические пространства, R — отношение эквивалент-

ности в E. Существует естественная биекция между непрерывными отображе-ниями из E/R в F и непрерывными отображениями из E в F , постоянными накаждом смежном классе отношения эквивалентности R.

5. П р и м е р. Отношение “x−y ∈ Z” в R является отношением эквивалентности.Соответствующее фактор-пространство обозначается T и называется одномернымтором. Согласно п. 4 существует естественная биекция между непрерывными функ-циями периода 1 на R и непрерывными функциями на торе T.

6. У п р а ж н е н и е. Одномерный тор гомеоморфен окружности.

§101. Сходимость в топологических пространствах

1. Как мы видели, основные понятия математического анализа в Rn (пределотображения, непрерывность, дифференцируемость и т.д.) могут быть описаны втерминах сходящихся последовательностей векторов. Инструментом последователь-ностей можно с успехом работать и в метрических пространствах. Однако в общихтопологических пространствах последовательностей уже недостаточно (см. нижеупр. 11). Для построения инструмента сходимости в общих топологических про-странствах познакомимся с обобщением понятия последовательности.

2. Пусть ρ — бинарное отношение в множестве A. Будем называть ρ иерархи-ей, если ∀x, y ∈ A ∃z ∈ A (ρ(z, x), ρ(z, y)). Рефлексивная транзитивная иерархия

121

ρ называется отношением направленности (или направлением). В этом случае бу-дем писать y ¿ x вместо ρ(x, y). Не следует путать это отношение с отношениемпорядка!

3. Пусть E — множество и ¿ — направление в множестве A. Всякая функцияx : A → E называется сетью (или обобщенной последовательностью) в E. Сеть (поаналогии с обычной последовательностью) обозначается также (xα)α∈A. Для сети(xα)α∈A множество X(⊂ E) назовем ловушкой, если ∃α ∈ A ∀β ∈ A (α ¿ β ⇒ xβ ∈X), и кормушкой, если ∀α ∈ A ∃β ∈ A (α ¿ β, xβ ∈ X).

4. Пусть E — топологическое пространство и (xα)α∈A — сеть в E. По определе-нию эта сеть сходится к точке x ∈ E (пишут xα → x или x = lim

α∈Axα), если каждая

окрестность точки x является ловушкой этой сети. Точку x назовем предельнойточкой сети (xα)α∈A, если каждая окрестность точки x является кормушкой этойсети.

5. П р и м е р. Пусть F — базис окрестностей точки x в топологическом про-странстве E и U ¿ V (U, V ∈ F) означает, что V ⊂ U . Тогда¿ — направление в F ,и всякая функция выбора (прил. III.7) U → xU ∈ U (U ∈ F) — сеть в E, сходящаясяк x.

6. Пусть E — топологическое пространство и X ⊂ E.

(а) x0 — предельная точка множества X ттогда существует сеть (xα)α∈A ⊂X\x0, сходящаяся к x0.

(б) x0 ∈ X− ттогда существует сеть (xα)α∈A ⊂ X, сходящаяся к x0.

¶ (а). Пусть x0 — предельная точка множества X. Возьмем в качестве A какой-либо базис F окрестностей точки x0. По предположению для любой окрестностиU ∈ F : U∩(X\x0) 6= ∅. Тогда функция выбора для семейства U∩(X\x0)U∈F— искомая сеть x : F → E. В обратную сторону утверждение очевидно; (а) ⇒ (б).(!!) ¤

7. Топологические пространства, в которых для описания сходимости достаточ-но последовательностей, характеризуются требованием: каждая точка простран-ства обладает счетной фундаментальной системой окрестностей (счетным базисомокрестностей). Такие пространства называются топологическими пространствами с1-й аксиомой счетности.

8. В топологическом пространстве с 1-й аксиомой счетности точка x0 —предельная для множества X ттогда существует последовательность (xn) ⊂X\x0, сходящаяся к точке x0.

У п р а ж н е н и я. 9. Числовой ряд∞∑

n=1xn сходится абсолютно ттогда сходит-

ся сеть (∑n∈α

xn)α∈A, где A — семейство всех конечных подмножеств множества N,направленное по включению.

10. Если топологическое пространство обладает 1-й (2-й) аксиомой счетности, товсякое его подпространство обладает 1-й (соответственно 2-й) аксиомой счетности.

11. Пусть 2 ≡ 0, 1 — двухточечное множество, снабженное дискретной то-пологией, 2R — произведение R экземпляров топологического пространства 2 (см.

122

99.6). Таким образом, точками 2R являются функции ω : R → 0, 1. Пусть A —множество всех функций ω, у которых ω−1(0) конечно, а ω0 определена условиемω0(t) = 0 (t ∈ R). Покажите, что ω0 ∈ A−, но не существует ни одной последова-тельности ωn ∈ A такой, что ωn → ω0 в 2R.

§102. Отделимые топологические пространства

1. Как известно, сходящаяся последовательность векторов в евклидовом про-странстве имеет единственный предел. В общих топологических пространствах сетьможет сходиться сразу к нескольким точкам. Например, в пространстве с тривиаль-ной топологией каждая сеть сходится к любой точке пространства. Чтобы устранитьнеприятности такого сорта, на топологические пространства обычно накладываюттребование, обеспечивающее единственность предела. Топологическое пространствоназывается отделимым, если каждые две различные точки пространства обладаютнепересекающимися окрестностями. Например, каждое метрическое пространствоотделимо (см. 92.6).

2. Топологическое пространство отделимо ттогда каждая сеть в этом про-странстве сходится не более, чем к одному пределу.¶ Необходимость очевидна. Достаточность. Пусть E не отделимо, то есть суще-ствуют точки x, y ∈ E (x 6= y) такие, что ∀U ∈ b(x) ∀V ∈ b(y) (U ∩ V 6= ∅).Положим A = b(x) × b(y) и зададим в A направление: (U, V ) ¿ (U ′, V ′), еслиU ′ ⊂ U, V ′ ⊂ V . В качестве сети z : A → E возьмем какую-либо функцию выборадля U ∩ V : U ∈ b(x), V ∈ b(y). Эта сеть сходится к точкам x и y одновременно.¤

У п р а ж н е н и я. 3. Подпространство отделимого пространства отделимо.4. Если произведение

∏i∈I

Ei топологических пространств отделимо, то отделимо

каждое пространство Ei.

§103. Предел отображения в точке

1. Пусть E, F — топологические пространства, X ⊂ E и a — предельная точкамножества X. Элемент y ∈ F называется пределом отображения f : X → F вточке a ∈ E (пишут: y = lim

x→af(x)), если ∀U ∈ b(y) ∃V ∈ b(a) (f(V ∩X) ⊂ U).

2. З а м е ч а н и е. Если F отделимое пространство, предел отображения един-ствен, коль скоро он существует.

3. Пусть f : E → F — отображение, a ∈ E — не изолированная точка. Следу-ющие условия эквивалентны:

(а) f непрерывно в точке a,

(б) f(a) = limx→a

f(x).

(в) limα∈A

xα = a ((xα)α∈A — сеть в E) ⇒ limα∈A

f(xα) = f(a).

¶ (а) ⇒ (б). Пусть f непрерывно в a и U — произвольная окрестность точки f(a).Тогда найдется V ∈ b(a) такая, что f(V ) ⊂ U . Тем более f(V \a) ⊂ U , то естьlimx→a

f(x) = f(a).

123

(б) ⇒ (в) (!!).(в) ⇒ (а). Пусть, например, f не непрерывно в точке a ∈ E. Тогда ∃U ∈

b(f(a)) ∀V ∈ b(a) (f(V ) 6⊂ U). Определим сеть x : b(a) → E, положив xv ∈ V ,причем f(xv) 6∈ U (V ∈ b(a)). Тогда lim

V ∈b(a)xv = a, и в то же время U не является

ловушкой сети (f(xv))v∈b(a) в F , то есть (в) не удовлетворяется. ¤

§104. Продолжение по непрерывности

1. Пусть f, g — непрерывные отображения топологического пространства Eв отделимое пространство F , совпадающие на некоторой плотной в E части X.Тогда f = g.

¶ Пусть a ∈ E и (xα)α∈A — сеть в X, сходящаяся к a. В силу 103.3 f(a) =limα∈A

f(xα) = limα∈A

g(xα) = g(a). ¤

2. Пусть теперь f — непрерывное отображение плотной в E части X в отделимоепространство F , причем в каждой точке a ∈ E существует предел lim

x→af(x). Тогда

определено отображение f : E → F ,

f(a) =

f(a), если a ∈ X,limx→a

f(x), если a ∈ E\X.

Будет ли f непрерывно? Оказывается, ответ всегда положителен, если F удовле-творяет требованию регулярности.

3. Топологическое пространство называется регулярным, если каждая его точкаобладает фундаментальной системой замкнутых окрестностей. В частности, всякоеметрическое пространство регулярно.

4. Пусть f : X → F непрерывно, X (⊂ E) плотно в топологическом простран-стве E, а F отделимо и регулярно. При этом пусть lim

x→af(x) существует для

всякого a ∈ E. Тогда существует и определено однозначно непрерывное продолже-ние f на E.¶ Пусть U — произвольная окрестность точки f(a), где f определено выше. Пустьдалее W — замкнутая окрестность точки f(a) такая, что W ⊂ U . Пусть V — откры-тая окрестность точки a такая, что f((V ∩X)\a) ⊂ W . Тогда для произвольнойточки x ∈ V и любой сети (xα)α∈A ⊂ X, сходящейся к x: f(x) = lim

α∈Af(xα) ∈

W− = W (см. 101.6(б)). Таким образом, f(V ) ⊂ W ⊂ U. ¤5. З а м е ч а н и е. В доказанном утверждении нельзя, вообще говоря, ослабить

требование регулярности F (мы не останавливаемся на доказательстве этого факта).

У п р а ж н е н и я. 6. Построить пример отображения f : E → F , где Fотделимо, такого, что lim

x→af(x) существует в каждой точке a ∈ E, и в то же время

f не непрерывно.7. В множестве, состоящем из трех элементов, указать неотделимую, но регу-

лярную топологию.8. Показать, что топология в Q, порожденная индуцированной топологией чис-

ловой прямой R и множеством K всех десятично-рациональных чисел (то есть чисел

124

вида α = a0, a1 . . . as, где a0 ∈ Z, а ak ∈ 0, 1, . . . , 9, k > 1) отделима, но не регуляр-на.

9. Если E — регулярное топологическое пространство и X ⊂ E, то индуциро-ванная в X топология регулярна.

10. Если E = X ∪ a и a ∈ X−, то утверждение п. 4 справедливо без предполо-жения регулярности F .

§105. Компактные пространства

1. Топологическое пространство E называется компактным, если из всякогооткрытого покрытия E можно выделить конечное покрытие (ср. 64.1).

2. Топологическое пространство E компактно ттогда каждая сеть в E обла-дает предельной точкой. Если, в частности, E — пространство со 2-й аксиомойсчетности, то E компактно ттогда каждая последовательность в E обладаетсходящейся подпоследовательностью.¶ Необходимость. Пусть, напротив, некоторая сеть (xα)α∈A в компактном про-странстве E не обладает ни одной предельной точкой:

∀x ∈ E ∃U(x) ∈ b(x) ∩ T ∃αx ∈ A ∀β ∈ A (αx ¿ β ⇒ xβ 6∈ U(x)).

Система U(x)x∈E — открытое покрытие E. Поэтому существуют x1, . . . , xn ∈ Eтакие, что U(x1), . . . , U(xn) — покрытие E. Для β ∈ A такого, что αx1 ¿ β, . . .,

αxn ¿ β : xβ 6∈n⋃

i=1U(xi) = E, — противоречие. Необходимость частного утвержде-

ния теперь очевидна, если заметить, что последовательность обладает предельнойточкой ттогда она содержит сходящуюся подпоследовательность.

Достаточность. Пусть E — не компактное пространство и (Uα)α∈A — откры-тое покрытие E такое, что для каждой конечной части σ ⊂ A : xσ ≡ (

⋃α∈σ

Uα)c 6= ∅.Рассмотрим в качестве сети (xσ) какую-нибудь функцию выбора для семейства (xσ)(мы считаем σ′ ¿ σ, если σ′ ⊂ σ). Но тогда сеть (xσ) не обладает ни одной предель-ной точкой. Действительно, если a — такая точка и β ∈ A таково, что a ∈ Uβ , то∀σ (β ¿ σ ⇒ xσ ∈ (

⋃α∈σ

Uα)c), то есть xσ 6∈ Uβ.

Докажем теперь достаточность частного утверждения. Пусть каждая последо-вательность в топологическом пространстве E со 2-й аксиомой счетности обладаетпредельной точкой. Проверка компактности E проводится по следующей схеме:

(а) из произвольного открытого покрытия (Uβ)β∈B выделяем счетное покрытие(Uα)α∈A (см. ниже п. 10);

(б) далее действуем по схеме общего случая, разобранного выше: предполагая,что E не компактно, находим последовательность (xσ) элементов E (A — счетно!),не обладающую ни одной предельной точкой. ¤

3. Часть K топологического пространства назовем компактом (или компактныммножеством), если K — компактное пространство в индуцированной топологии.

4. З а м е ч а н и е. Часть K топологического пространства E является компактомттогда всякое открытое (в E) покрытие содержит конечное покрытие.

5. П р и м е р. В евклидовых пространствах компактные множества характери-зуются хорошо известными условиями (см. 64.2). В частности, единичная сфера

125

S = x ∈ Rn : ‖x‖ = 1 — компакт. Однако в бесконечномерных простран-ствах теорема 64.2 уже места не имеет. Покажем, например, что единичная сфе-

ра S = x ∈ `2 :∞∑

n=1|xn|2 = 1 в `2 не компактна (в топологии, определяе-

мой метрикой, см. 92.8). Действительно, если допустить, что открытое покрытиеB1/2(x)x∈S сферы S содержит конечное покрытие, то бесконечное число элемен-тов вида en = (0, . . . ., 0, 1, 0, . . .) (1 на n-ом месте) должно попасть в один из шароввида B1/2(x). Однако в этот шар диаметра 1 не могут попасть даже два элементауказанного вида, так как d(en, em) =

√2 > 1 (n 6= m).

6. В отделимом пространстве каждый компакт замкнут.¶ Пусть K — компакт в отделимом пространстве E и a 6∈ K. Для каждой точкиx ∈ K пусть Ux и Vx — открытые окрестности точек x и a соответственно и такие,что Ux ∩ Vx = ∅. Из открытого покрытия (Ux)x∈K множества K выберем конечное:

K ⊂n⋃

i=1Uxi . Тогда V ≡

n⋂i=1

Vxi ∈ b(a), причем V ∩K = ∅, то есть Kc открыто. ¤

7. В компактном пространстве каждое замкнутое множество — компакт.¶ Пусть E — компактное пространство и K(⊂ E) замкнуто, а (Uα)α∈A — открытоепокрытие K (в E). Тогда Kc, (Uα)α∈A — открытое покрытие E. ¤

8. Отделимое компактное пространство регулярно.¶ Пусть E — отделимое компактное пространство, x ∈ E произвольно и F = U− :U ∈ b(x). Покажем, что F — фундаментальная система (замкнутых) окрест-ностей точки x. Пусть V ∈ b(x) произвольно. Рассмотрим открытое покрытиеE : V , (U−c)U∈b(x) (это действительно покрытие: x ∈ V и в силу отделимо-сти E : ∀y(6= x) ∃U ∈ b(x) ∃W ∈ b(y) (U ∩ V = ∅), то есть y 6∈ U− и, следовательно,y ∈ U−c). Так как E — компактное пространство, данное покрытие содержит конеч-

ное: V , U−c1 , . . . , U−c

n . Следовательно,(

n⋃i=1

U−ci

)c

=n⋂

i=1U−

i ⊂ V . Таким образом,

для произвольной окрестности V ∈ b(x) найдено F ∈ F (F =n⋂

i=1U−

i ) такое, что

F ⊂ V. ¤У п р а ж н е н и я. 9. Компактность пространства — топологическое свойство.10. Если топологическое пространство обладает 2-й аксиомой счетности, то каж-

дое открытое его покрытие содержит счетное покрытие.

§106. Непрерывные отображения компактных пространств

1. Пусть E — компактное пространство и f : E → E′ — непрерывное отобра-жение. Тогда f(E) компакт в E′.¶ Пусть (Uα)α∈A — открытое покрытие f(E). Тогда (f−1(Uα))α∈A — открытое по-крытие E, и поэтому существует конечная часть σ множества A такая, что E =⋃α∈σ

f−1(Uα). Отсюда (Uα)α∈σ — конечное покрытие множества f(E). ¤

2. Если E — компактное пространство и f : E → F — непрерывная биекция Eна отделимое пространство F , то f — гомеоморфизм.

126

¶ Покажем, что для всякого замкнутого множества X ⊂ E множество f(X) за-мкнуто в F . Из 105.7 X — компакт в E, а значит, f(X) компакт в F . Из 105.6 f(X)замкнуто в F. ¤

Следующие свойства непрерывных отображений являются обобщением хорошоизвестных свойств непрерывных функций на компактных множествах в евклидовыхпространствах (§70).

3. Пусть E — компактное пространство и отображение f : E → R непрерыв-но. Тогда

(а) отображение f ограничено,(б) отображение f достигает своих граней,

¶ (а). Семейство f−1((−n, n))n∈N образует открытое покрытие компактного про-странства E и из него можно выделить конечное покрытие. Это означает, чтоE = f−1((−n, n)) при некотором n ∈ N, то есть ∀x ∈ E (|f(x)| < n), так что fограничено. (б) (!!). ¤

В качестве приложения установим полезный геометрический факт, при дока-зательстве которого опущен ряд деталей, в результате чего получилось полезноеупражнение.

4. Выпуклый компакт P (⊂ Rn) с непустой внутренностью гомеоморфен за-мкнутому единичному шару в Rn.¶ Напомним сначала, что множество P (⊂ Rn) называется выпуклым, если∀x, y ∈ P ∀t ∈ [0, 1] (tx + (1 − t)y ∈ P ). Без ограничения общности можно счи-тать, что θ ∈ P . Пусть S = u ∈ Rn : ‖u‖ = 1 — единичная сфера. Определимотображение ϕ : S → R, считая, что ϕ(u) (u ∈ S) — это положительное число,однозначно определенное требованиями: λu ∈ P при 0 6 λ 6 ϕ(u), λu 6∈ P приλ > ϕ(u).

Искомый гомеоморфизм f : P → B1[θ] может быть определен формулой

f(v) =

[ϕ( v

‖v‖)]−1

, если θ 6= v ∈ P,

θ, если v = θ.

Сказанное выше требует обоснования. Отметим, что для этого следует сделать:1) Из ограниченности и выпуклости P вывести, что число ϕ(u) действительно

определено однозначно.2) Ясно, что f — инъекция, и f(P ) ⊂ B1[θ]. На самом деле, f и сюръекция.3) С учетом п. 2 остается проверить, что f непрерывно. Для этого в свою оче-

редь достаточно доказать непрерывность отображения ϕ. Тогда непрерывность f намножестве P\θ следует непосредственно, а непрерывность f в точке θ являетсяследствием того, что ϕ(u) > 0 (u ∈ S) и свойства п. 3(б). ¤

§107. Произведение компактных пространств

Целью этого параграфа является доказательство фундаментальной теоремы А.Н.Тихонова.

Пусть Ei (i ∈ I) — топологические пространства. Произведение E =∏i∈I

Ei —

компактное пространство ттогда компактно каждое Ei (i ∈ I).

127

¶ Необходимость. Пусть E — компактное пространство. Так как Ei — образ Eпри каноническом проектировании pi, то в силу 106.1 Ei — компактное пространство(i ∈ I).

Достаточность. Пусть все Ei (i ∈ I) — компактные пространства. Допустим,напротив, что E не компактно, то есть существуют открытые покрытия E, не со-держащие конечных покрытий. Множество всех таких покрытий, упорядоченноепо включению, является индуктивным (!!). По теореме Цорна (прил. III.11) суще-ствует максимальное открытое покрытие γ = (Uα)α∈A, не содержащее конечногопокрытия. Из максимальности γ следует:

(а) если σ (⊂ A) конечно, то⋃

α∈σUα ∈ γ,

(б) если U открыто в E и ∀α ∈ A (U ∪ Uα 6= E), то U ∈ γ.В множестве A естественно вводится направление: β ¿ α, если Uβ ⊂ Uα. Рассмот-рим теперь сеть x = (xα)α∈A в E такую, что xα ∈ E\Uα (α ∈ A). Эта сеть необладает ни одной предельной точкой в E (если, напротив, a ∈ E — предельнаяточка для x, то a ∈ Uα0 при некотором α0 ∈ A, но Uα0 не является кормушкой дляx, ибо ∀β (α0 ¿ β ⇒ xβ ∈ E\Uβ ⊂ E\Uα0)). Однако, при каждом i ∈ I сеть(pi(xα))α∈A в Ei обладает предельной точкой ai ∈ Ei (так как Ei — компактноепространство). Рассмотрим точку a = (ai)i∈I ∈ E. Это не предельная точка сети xи, следовательно, найдется открытая окрестность точки a

U = U1(ai1)× . . .× Us(ais)×∏

i∈I\i1,...,isEi,

которая не является кормушкой сети x. Положим

U (k) = Uk(aik)×∏

i 6=ik

Ei, k ∈ 1, . . . , s,

и заметим, что хотя бы один “цилиндр” U (k) принадлежит γ. Если, напротив,U (k) 6∈ γ, k ∈ 1, . . . , s, то для каждого U (k) согласно (б) найдется α ∈ A такое, чтоU (k) ∪ Uα = E, но тогда U (k) — ловушка сети x, ибо

∀β (α ¿ β ⇒ xβ ∈ E\Uβ ⊂ E\Uα ⊂ U (k)).

Следовательно, ловушкой является и множество U =s⋂

k=1

U (k), тогда как U не явля-

ется кормушкой для x. Итак, пусть, скажем, U (1) ∈ γ, то есть U (1) = Uα0 (α0 ∈ A).Тогда, с одной стороны, U (1) — кормушка для x, так как ai1 — предельная точкасети pi1(x), а с другой стороны U (1) — не кормушка для x, так как ∀β (α0 ¿ β ⇒xβ ∈ E\Uβ ⊂ E\Uα0), то есть α0 ¿ β ⇒ pi1(xβ) 6∈ U1(ai1). Полученное противоречиедоказывает теорему. ¤

§108. Локально компактные пространства

1. Топологическое пространство называется локально компактным, если каж-дая его точка обладает компактной окрестностью. Локальная компактность — этотопологическое свойство. Ясно также, что всякое компактное пространство являет-ся локально компактным.

128

П р и м е р ы. 2. Rn — локально компактное пространство.3. Открытый шар B1(θ) в Rn — локально компактное пространство.4. Дискретное пространство локально компактно.

Переходим к изучению свойств локально компактных пространств.5. Всякое отделимое локально компактное пространство регулярно.

¶ Пусть E — локально компактное пространство, x ∈ E и K — компактная окрест-ность точки x. Так как K — регулярное подпространство E (105.8), существуетфундаментальная система F замкнутых окрестностей точки x в K; тогда F — фун-даментальная система замкнутых окрестностей x в E. ¤

Исключительно интересным фактом является то обстоятельство, что добавлени-ем одной (“бесконечно удаленной”) точки локально компактное пространство можнопревратить в компактное. Предварительно рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р ы. 6. Следующие три локально компактных пространства попарногомеоморфны: R, (0, 1), S — окружность без одной точки. Если к S присоединитьвыброшенную точку, то получим окружность S, которая является компактным про-странством. Таким образом, каждое из трех пространств можно “погрузить” в ком-пактное пространство, отличающееся от исходного одной точкой.

7. Локально компактное пространство R2 погружается в компактное простран-ство — единичную сферу S(⊂ R3) с помощью стереографической проекции; R2 го-меоморфно при этом S — сфере с выброшенной точкой. Итак, указанная компакти-фикация также осуществляется присоединением к R2 одной точки.

8. Т е о р е м а [П.С.Александров]. Для каждого локально компактного про-странства E существует компактное пространство E′ такое, что E гомеоморф-но некоторому подпространству пространства E′, дополнение которого (в E′) сво-дится к одной точке.¶ Пусть (E, T ) — локально компактное пространство. Положим E′ = E ∪ ω, гдеω — одноточечное множество. Определим топологию T ′ в E′ : U ∈ T ′, еслиU ∈ T , либо U есть множество вида ω ∪ (E\K), где K — некоторый компакт втопологическом пространстве E (проверьте, что T ′ на самом деле есть топология).Ясно также, что (E, T ) гомеоморфно (E, T ′E), где T ′E — топология, индуцированнаяв E (как части E′ ) топологией T ′. Наконец, (E′, T ′) — компактное пространство.Действительно, пусть (Uα)α∈A — открытое покрытие E′. Тогда найдется α0 ∈ Aтакое, что ω ∈ Uα0 = ω ∪ (E\K0), где K0 — некоторый компакт в топологическомпространстве (E, T ). При этом K0 ⊂

⋃α∈A,α6=α0

(Uα\ω). Но Uα\ω ∈ T (α ∈ A),

а потому существует конечная часть σ ⊂ A\α0 такая, что K0 ⊂⋃

α∈σ(Uα\ω).

Отсюда (Uα)α∈σ∪α0 — конечное покрытие E′. ¤9. У п р а ж н е н и е. Пусть E — локально компактное пространство, E′ =

E∪ω. Определим в E′ топологию T ′ : U ∈ T ′, если U ∈ T , либо U есть множествовида ω ∪ V , где V ∈ T . Убедитесь, что T ′ — топология, но (E′, T ′) не является,вообще говоря, компактным расширением E.

129

§109. Связность

1. Топологическое пространство (E, T ) называется связным, если не существуетразбиения E на два непустых открытых множества, то есть E нельзя представить ввиде E = U∪V , где U, V ∈ T , U 6= ∅, V 6= ∅ и U∩V = ∅. Часть X топологическогопространства E называется связной, если в индуцированной топологии X — связноепространство. Связность является топологическим свойством (!!).

П р и м е р ы. 2. Отрезок [a, b] ⊂ R связен (это следует, например, из леммы овложенных отрезках).

3. Евклидово пространство Rn связно.

Отметим теперь основные свойства связных множеств.4. Если (Xi)i∈I — семейство связных частей топологического пространства E

и⋂i∈I

Xi 6= ∅, то⋃i∈I

Xi — связная часть E.

5. Образ связного топологического пространства при непрерывном отображе-нии связен.

6. Замыкание связного множества связно.¶ П.4. Допустим, напротив, что Y =

⋃i∈I

Xi не связно. Тогда существуют U1, U2 ∈ Tтакие, что

Y = Y1 ∪ Y2 (Yi = Y ∩ Ui 6= ∅ (i = 1, 2)), Y1 ∩ Y2 = ∅. (∗)Пусть точка x ∈ ⋂

i∈I

Xi произвольна. Она принадлежит одному из слагаемых правой

части равенства (∗). Пусть, например, x ∈ Y1. Пусть i0 ∈ I таково, что Xi0 ∩U2 6= ∅(такое i0 существует). Но тогда имеет место равенство, противоречащее связностиXi0 :

Xi0 = Z1 ∪ Z2, где Zi = Xi0 ∩ Ui 6= ∅ (i = 1, 2) и Z1 ∩ Z2 = ∅.

П.5. Пусть f : E → E′ непрерывно и E связно. Если бы существовало разби-ение f(E) на два открытых множества U ′, V ′, то непустые открытые множестваf−1(U ′), f−1(V ′) разбивали бы E, что невозможно.

П.6. Пусть (E, T ) — топологическое пространство и X(⊂ E) связно. Пусть в тоже время существуют U1, U2 ∈ T такие, что

X− = (X− ∩ U1) ∪ (X− ∩ U2), X− ∩ Ui 6= ∅ (i = 1, 2),

(X− ∩ U1) ∩ (X− ∩ U2) = ∅.

Тогда множества X ∩ Ui (i = 1, 2) образуют открытое разбиение X.¤У п р а ж н е н и я. 7. Если E, F — связные топологические пространства, то

E × F связно.8. Докажите, что “гребенка” (см. Рис. 18) X ≡

(0, 1) ∪ I0 ∪ I1 ∪ I2 ∪ . . ., где

I0 = (x, 0)| 0 6 x 6 1, Ik =

(1k, y)| 0 6 y 6 1

,

(k = 1, 2, . . .), является связной частью числовой плос-кости R2.

130

§110. Линейная связность

1. Топологическое пространство E называется линейно связным, если любыедве его точки x и y могут быть соединены “путем”, то есть существует непрерывноеотображение f : [0, 1] → E такое, что x = f(0), y = f(1). Часть X топологическо-го пространства E называется линейно связной, если в индуцированной топологииX — линейно связное пространство. Линейная связность является топологическимсвойством (!!).

2. Линейно связное пространство связно.¶ Пусть x0 — произвольная точка в линейно связном пространстве E и для каждогоx ∈ E fx : [0, 1] → E — путь, соединяющий точку x0 с точкой x. Утверждениеследует из представления E =

⋃x∈E

fx([0, 1]) с учетом 109.4. ¤

3. З а м е ч а н и е. Из связности линейная связность не следует. Например,“гребенка” (см. 109.8) — связное, но не линейно связное пространство (!!).

У п р а ж н е н и я. 4. Свойства 109.4–5 остаются справедливыми для линейносвязных множеств.

5. Всякое связное подмножество множества R является и линейно связным. Опи-шите все связные подмножества R.

6. Исследовать на связность и линейную связность следующие множества:(а) Q (в R ),(б) R\Q (в R),(в) Q2 (в R2),(г) Λ = (x, y) ∈ R2 : x ∈ Q либо y ∈ Q ( в R2),(д) Λ = (x, y) ∈ R2 : “x ∈ Q, y 6∈ Q” либо “x 6∈ Q, y ∈ Q”.

7. Всякое выпуклое множество в Rn линейно связно.

131

МЕРА ЖОРДАНА

Общая идея мероопределения заключается в продолжении меры с “элементар-ных” множеств, где мера уже определена некоторым естественным образом, на болееширокий класс “измеримых” множеств с сохранением своих основных свойств (неот-рицательность и аддитивность). Ниже будет изложено построение меры по Жорда-ну в евклидовом пространстве Rn. Изложение сначала будет вестись для случая R2

только для большей наглядности.

§111. Элементарные множества

1. Прямоугольником в R2 (со сторонами, параллельными осям координат) на-зывается множество вида

Π = (x, y) ∈ R2 : x ∈ 〈a, b〉, y ∈ 〈c, d〉 = 〈a, b〉 × 〈c, d〉,

где через 〈a, b〉 обозначается один из промежутков вида (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] (a, b ∈R). Множество E(⊂ R2) называется элементарным, если оно является объединени-ем конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников:

E =n⋃

i=1

Πi (Πi ∩Πj = ∅, i 6= j). (∗)

В дальнейшем будет использоваться знак∑

вместо⋃, если речь идет о попар-

но непересекающихся множествах, и вместо (∗) будем писать E = Π1 + . . . + Πn

=n∑

i=1Πi.

Обозначим через E класс всех элементарных множеств в R2. Отметим важныедля нас свойства этого класса.

Пусть E и F — произвольные множества из класса E. Тогда2. E ∪ F, E ∩ F ∈ E,

3. если E ⊂ F , то F\E ∈ E,

4. существуют попарно непересекающиеся прямоугольники Π1, . . ., Πn такие,что E =

∑i∈σ

Πi, F =∑i∈σ′

Πi, где σ, σ′ ⊂ 1, . . . , n.

Сначала установим простую геометрическую лемму.5. Если прямоугольники Π1, . . . , Πk попарно не пересекаются и все содержатся

в прямоугольнике Π, то существуют попарно непересекающиеся прямоугольники

Πk+1, . . . , Πn такие, что Π =k∑

i=1Πi +

n∑j=k+1

Πj.

¶ Доказательство проводится индукцией по k. Для k = 1 справедливость утвержде-ния устанавливается перебором возможных случаев расположения прямоугольни-ков. (Пример одного из возможных случаев приведен на Рис. 19, где, в частности,Π4 = [a, b]× (c, d).)

Допустим, что утверждение верно для всех натуральных чисел 6 k− 1, и пустьсемейство Π1, . . . , Πk удовлетворяет условиям п. 5. По предположению, имеет место

132

представление Π =k−1∑i=1

Πi +∑j

Pj , где Pj — некоторая конечная система прямо-

угольников. Положим Π′j = ΠkPj . Тогда Π′j ⊂ Pj и, следовательно, Pj = Π′j +∑s

Π(j)s ,

где Π(j)s — прямоугольники и s пробегает конечное множество индексов. Отсюда

Π =k−1∑

i=1

Πi +∑

j

(ΠkPj +

∑s

Π(j)s

)=

k−1∑

i=1

Πi +∑

j

ΠkPj +∑

j,s

Π(j)s

=k∑

i=1

Πi +∑

j,s

Π(j)s . ¤

6. Переходим к доказательству пп. 2–4. Установим сначала п. 4. Пусть E =n∑

i=1Πi, F =

s∑j=1

Π′j . Положим Πij = Πi ∩Π′j ; эти прямоугольники попарно не пересе-

каются. Так как Πij ⊂ Π′j ,Πij ⊂ Πi, то в силу п. 5:

Π′j =n∑

i=1

Πij +∑m

Π′′jm, Πi =s∑

j=1

Πij +∑

t

Π′′′it .

Тогда семейство Πij , Π′′jm, Π′′′it — искомое.Пп. 2, 3 являются следствиями п. 4. Действительно, в обозначениях п. 4 имеем

F\E =∑

i∈σ\σ′Πi, E ∪ F =

n∑i=1

Πi, E ∩ F =∑

i∈σ∩σ′Πi.

§112. Мера на классе элементарных множеств

1.Мерой (площадью) прямоугольника Π = 〈a, b〉×〈c, d〉 называется число m(Π) =(b− a)(d− c). В частности, если Π вырожден (то есть a = b или c = d), то m(Π) = 0.Следующее важное свойство меры на классе прямоугольников называется аддитив-ностью:

2. Если Π =n∑

k=1

Πk, то m(Π) =n∑

k=1

m(Πk).

¶ Пусть ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b), ∆′(c = y0 < . . . < ys = d) — разложения от-резков [a, b] и [c, d]. Если Π =

∑i,j

Πij , где Πij = 〈xi−1, xi〉×〈yj−1, yj〉 (i = 1, n, j = 1, s),

133

то представление Π =∑i,j

Πij назовем регулярным. Нетрудно видеть, что утвержде-

ние верно для случая регулярного представления:

m(Π) = (b− a)(d− c) =[ n∑

i=1

(xi − xi−1)] [ s∑

j=1

(yj − yj−1)]

=∑

i,j

(xi − xi−1)(yj − yj−1) =∑

i,j

m(Πij).

Общий случай легко сводится к регулярному (!!). ¤

3. Продолжим меру на класс E всех элементарных множеств: для E =n∑

i=1Πi

положим m(E) =n∑

i=1m(Πi).

¶ Убедимся в корректности данного определения. Пусть E =s∑

j=1Π′j — еще одно

представление E в виде объединения попарно непересекающихся прямоугольников.

Тогдаn∑

i=1m(Πi) =

s∑j=1

m(Π′j). Действительно, полагая Πij = Πi ∩ Π′j , заметим, что

справедливы равенства E =n∑

i=1

s∑j=1

Πij , Πi =s∑

j=1Πij , Π′j =

n∑i=1

Πij . Поэтому m(Πi) =

s∑j=1

m(Πij), m(Π′j) =n∑

i=1m(Πij), откуда

n∑

i=1

m(Πi) =n∑

i=1

s∑

j=1

m(Πij) =s∑

j=1

(n∑

i=1

m(Πij)

)=

s∑

j=1

m(Π′j). ¤

Из данного определения сразу следует, что мера m на классе E по-прежнемуобладает свойством аддитивности:

4. Если E, F ∈ E и E ∩ F = ∅, то m(E + F ) = m(E) + m(F ).

Отметим еще несколько полезных свойств меры (!!):5. Если E ∈ E, то E, E− ∈ E и m(E) = m(E) = m(E−).6. Если E ⊂ F (E, F ∈ E), то m(F ) = m(E) + m(F\E).7. Если E,F ∈ E, то m(E ∪ F ) 6 m(E) + m(F ).8. Если Π = Π, а прямоугольник Π1 не вырожден и Π∩Π1 6= ∅, то m(Π∩Π1) > 0.

§113. Свойство счетной аддитивности

Мера на классе прямоугольников обладает свойством существенно более силь-ным, чем свойство 112.2. Оно называется счетной аддитивностью и лежит в основепринципиально новой теории меры и интеграла, которая излагается ниже, в разде-лах “Мера Лебега” и “Интеграл Лебега”.

1. Если Π =∞∑

k=1

Πk, где Π, Πk — прямоугольники, то m(Π) =∞∑

k=1

m(Πk).

134

¶ Пусть n ∈ N произвольно. В силу 111.5 найдутся прямоугольники Π′n+1, . . ., Π′s

такие, что Π =n∑

k=1

Πk +s∑

j=n+1Π′j , и в силу аддитивности и неотрицательности меры

m:n∑

k=1

m(Πk) 6n∑

k=1

m(Πk) +s∑

j=n+1

m(Π′j) = m( n∑

k=1

Πk +s∑

j=n+1

Π′j)

= m(Π).

Из произвольности n теперь получаем∞∑

k=1

m(Πk) 6 m(Π). Обратное неравенствоследует из утверждения:

2. Если Π ⊂∞⋃

k=1

Πk, то m(Π) 6∞∑

k=1

m(Πk).

¶ Пусть ε > 0 произвольно и Π — замкнутый прямоугольник такой, что Π ⊂ Πи m(Π) 6 m(Π) + ε/2. Для каждого k рассмотрим открытый прямоугольник Πk

такой, что Πk ⊂ Πk, m(Πk) < m(Πk) + 2−(k+1) · ε (k = 1, 2, . . .). Ясно, что Π ⊂∞⋃

k=1

Πk. Семейство Π1, Π2, . . . образует открытое покрытие компактного множества

Π. Следовательно, существует конечное семейство Π1, . . . ΠN , которое покрывает

Π : Π ⊂N⋃

k=1

Πk. В силу 112.7 m(Π) 6N∑

k=1

m(Πk). Следовательно,

m(Π) 6 m(Π) +ε

26

N∑

k=1

m(Πk) +ε

26

∞∑

k=1

m(Πk) +ε

26

∞∑

k=1

m(Πk) + ε.

Из произвольности ε п. 2 доказан, а вместе с ним и п. 1. ¤

§114. Измеримые по Жордану множества

1. Для ограниченного множества X(⊂ Rn) определены два числа:m∗(X) ≡ supm(E) : E ⊂ X, E ∈ E — внутренняя мера Жордана множества

X,m∗(X) ≡ infm(E) : X ⊂ E, E ∈ E — внешняя мера Жордана множества X.Отметим, что m∗(X) 6 m∗(X) для произвольного ограниченного множества X.

Ограниченное множество X(⊂ Rn) называется измеримым по Жордану(J-измеримым), если m∗(X) = m∗(X). Число m(X) ≡ m∗(X) (= m∗(X)) называ-ется мерой Жордана J-измеримого множества X.

З а м е ч а н и я. 2. Каждое элементарное множество E =n∑

k=1

Πk J-измеримо и

его мера Жордана равнаn∑

k=1

m(Πk). Здесь и далее буквой Π обозначаются

(n-мерные) параллелепипеды 〈a1, b1〉 × . . .× 〈an, bn〉.3. Из определения п. 1 множество X имеет жорданову меру нуль (m(X) = 0)

ттогда ∀ε > 0 ∃E ∈ E (X ⊂ E, m(E) < ε).

Отметим свойства множеств жордановой меры нуль:4. m(X) = m(Y ) = 0 ⇒ m(X ∪ Y ) = 0,

135

5. Y ⊂ X, m(X) = 0 ⇒ Y J-измеримо и m(Y ) = 0.

6. По аналогии со случаем числовой прямой (§47) в евклидовом пространствевводятся множества лебеговой меры нуль. Именно, множество X(⊂ Rn) имеет ле-бегову меру нуль, если

∀ε > 0 ∃Π1, Π2, . . . (X ⊂∞⋃

k=1

Πk,∞∑

k=1

m(Πk) < ε),

где Π1, Π2, . . . — параллелепипеды. Справедливы свойства:

7. Если X1, X2, . . . имеют лебегову меру нуль, то∞⋃

k=1

Xk также имеют лебеговумеру нуль.

8. Если X имеет лебегову меру нуль и Y ⊂ X, то Y имеет лебегову меру нуль.

П р и м е р ы. 9. Множество X = 1,12,13, . . .(⊂ R) J-измеримо и m(X) = 0.

10. Множество Q ∩ [0, 1] (⊂ R) ограничено и имеет лебегову меру нуль. Однакооно не J-измеримо.

§115. Критерий измеримости множества

Пусть X ⊂ Rn ограничено. Следующие условия равносильны:(1) X — J-измеримо,(2) ∀ε > 0 ∃E, F ∈ E (E ⊂ X ⊂ F, m(F )−m(E) < ε),(3) Xг имеет жорданову меру нуль.

¶ (1) ⇒ (2) (!!). (2) ⇒ (3). Без ограничения общности можно считать, что F за-мкнуто, а E открыто. В этом случае Xг = (X−) ∩ (Xc−) ⊂ F\E действительно,X ⊂ F ⇒ X− ⊂ F ; E ⊂ X ⇒ Ec ⊃ Xc ⇒ Ec ⊃ Xc−. Поэтому X−∩(Xc−) ⊂ F ∩Ec =F\E. Таким образом,

m∗(Xг) 6 m∗(F\E) = m(F\E) = m(F )−m(E) < ε.

(3)⇒ (1). Пусть m(Xг) = 0 и ε > 0 произвольно. Тогда существует E ∈ E такое,что Xг ⊂ E,m(E) < ε. Так как X ограничено, его можно погрузить в некоторый

параллелепипед Π : X ⊂ Π. Тогда Π\E ∈ E и, следовательно Π\E =n∑

k=1

Πk, где Πk

— некоторые параллелепипеды. Тогда

F ≡ X ∩ (Π\E) =∑

k∈σ

Πk,

где σ = k ∈ 1, . . . , n : X ∩ Πk 6= ∅. Действительно, включение F ⊂ ∑k∈σ

Πk

очевидно. Обратно, если∑k∈σ

Πk 6⊂ F , то в одном из параллелепипедов Πk (k ∈ σ)

найдется точка x ∈ X и точка y ∈ Xc(= Xc−). Отсюда вытекает существованиев этом же параллелепипеде некоторой точки z ∈ Xг(!!), что невозможно. Так какF ⊂ X ⊂ F + E, имеем

m∗(X) 6 m∗(F + E) = m(F ) + m(E) 6 m∗(X) + ε.

136

В силу произвольности ε : m∗(X) 6 m∗(X). Так как верно и обратное неравенство,то X J-измеримо. ¤

§116. Свойства измеримых по Жордану множеств

1. Если X, Y J-измеримы, то J-измеримы множества X ∪ Y, X\Y , X ∩ Y .¶ Следует из критерия §115 с учетом включений Aг ⊂ Xг ∪ Y г, где A — любое измножеств X ∪ Y, X\Y, X ∩ Y (см. 95.10). ¤

2. Если X, Y J-измеримы, то m(X ∪ Y ) 6 m(X) + m(Y ). В частности, еслиX ∩ Y = ∅, то m(X + Y ) = m(X) + m(Y ).¶ Пусть сначала X ∩ Y = ∅ и E, E′, F, F ′ ∈ E таковы, что

E ⊂ X ⊂ E′, F ⊂ Y ⊂ F ′, m(E′)−m(E) < ε, m(F ′)−m(F ) < ε.

Положим G = E + F, G′ = E′ ∪ F ′. Тогда G ⊂ X + Y ⊂ G′ и

m(X) + m(Y )− 2ε = (m(X)− ε) + (m(Y )− ε) < m(E) + m(F )

= m(G)6 m(X + Y ) 6 m(G′) 6 m(E′) + m(F ′)

6 m(X) + m(Y ) + 2ε.

Осталось заметить, что ε произвольно. В общем случае:

m(X ∪ Y ) = m(X + (Y \X)) = m(X) + m(Y \X) 6 m(X) + m(Y ). ¤

3. Пусть X,Y J-измеримы, причем X ∩ Y ⊂ Xг ∪ Y г (то есть множества X иY пересекаются лишь по границам). В этом случае мы будем писать X ∩ Y ∼= ∅.

4. Если X ∩ Y ∼= ∅, то m(X ∪ Y ) = m(X) + m(Y ).¶ Утверждение справедливо в силу выкладки

m(X) + m(Y ) = m(X) + m(Y ) = m(X + Y ) 6 m(X ∪ Y ) 6 m(X) + m(Y ),

где 1-е равенство следует из включения X ⊂ X ⊂ X ∪Xг. ¤П р и м е р ы. 5. Пусть f(x) > 0 (a 6 x 6 b) интегрируема на [a, b]. Тогда

X ≡ (x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x) J-измеримо и m(X) =∫ b

af(x) dx.

¶ Пусть ε > 0 произвольно. Тогда существует разложение ∆(a = x0 < x1 < . . . <

xn = b) такое, что I − ε/2 < S∗(∆) 6 S∗(∆) < I + ε/2, где I =∫ b

af(x) dx, S∗(∆) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1), S∗(∆) =n∑

i=1Mi(xi − xi−1) (см. §55,56). Положим

Πi = (x, y) : xi−1 6 x 6 xi, 0 6 y 6 mi, E =n⋃

i=1

Πi,

Π′i = (x, y) : xi−1 6 x 6 xi, 0 6 y 6 Mi, F =n⋃

i=1

Π′i.

137

Тогда E,F ∈ E, E ⊂ X ⊂ F, m(E) =n∑

i=1m(Πi) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1) = S∗(∆), m(F ) =n∑

i=1m(Π′i) = S∗(∆). Следовательно, m(F )−m(E) < ε. Осталось применить критерий

§115. ¤

6. Пусть K ⊂ Rn−1 компактно, и f : K → R — непрерывная функция. Тогдаповерхность S в Rn, описываемая уравнением

xn = f(x1, . . . , xn−1), (x1, . . . , xn−1) ∈ K,

имеет n-мерную жорданову меру нуль.¶ Функция f равномерно непрерывна на K. Следовательно,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ K (‖x− x′‖ < δ ⇒ |f(x)− f(x′)| < ε). (∗)

Пусть h > 0 таково, что диаметр куба в Rn−1 со стороной h меньше δ. Рассечем Rn

сеткойx1 = jh, ..., xn−1 = jh, xn = jε (j = 0, ±1, ±2 . . .).

Пространство Rn−1 переменных x1, . . . , xn−1 рассекается при этом на кубы с ребромh. Компактное множество K лежит в некотором (n − 1)-мерном кубе κ, и пустьm(n−1)(κ) = M (через m(n−1) обозначаем (n− 1)-мерную меру Жордана). Сколькоn-мерных параллелепипедов, содержащих точки поверхности S, могут проектиро-ваться на один кубик из κ? Очевидно, не более двух (если бы их было большедвух, то нашлись бы точки x, x′ ∈ κ такие, что ‖x − x′‖ < δ, а |f(x) − f(x′)| > ε,что противоречит (∗)). Следовательно, m(n)(S) 6 2εM . Из произвольности ε имеемm(n)(S) = 0. ¤

У п р а ж н е н и я. 7. Если непрерывная плоская кривая Γ биективно и ортого-нально проектируется на отрезок некоторой прямой ` ⊂ R2, то её двумерная мераЖордана равна нулю.

8. Если X J-измеримо в R2, то J-измеримо множество Y , получающееся из Xповоротом на некоторый угол в системе координат XOY .

9. Привести пример J-измеримого множества Ω ⊂ R2, обладающего одновре-менно следующими свойствами: (i) его ортогональные проекции на оси Ox, Oy неJ-измеримы в R1, (ii) найдется λ ∈ R такое, что не J-измеримы в R1 множества

Ω1 = y ∈ R : (λ, y) ∈ Ω и Ω2 = x ∈ R : (x, λ) ∈ Ω.

138

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА

§117. Определение кратного интеграла

1. Пусть Ω ⊂ Rk ограничено и J-измеримо. Систему J-измеримых множеств

Ω1, . . . , Ωn назовем разложением Ω, если Ω =n⋃

i=1Ωi, причем Ωi∩Ωj

∼= ∅ (i 6= j); обо-

значим это разложение символом ∆(Ω1, . . . , Ωn). Величину |∆| ≡ max16i6n

d(Ωi) назовем

диаметром разложения ∆ (здесь d(Ωi) ≡ sup‖x− y‖ : x, y ∈ Ωi).Пусть f : Ω → R и ∆(Ω1, . . . ,Ωn) — разложение Ω. Сумма S∆ =

n∑i=1

f(xi)m(Ωi),

где xi ∈ Ωi, а m(Ωi) — мера Жордана множества Ωi, называется интегральнойсуммой Римана функции f .

2. Функция f : Ω → R называется интегрируемой (по Риману), если для всякойпоследовательности ∆(k)(Ω(k)

1 , . . . ,Ω(k)nk ) разложений Ω таких, что |∆(k)| → 0 (k →∞)

существует предел limk

nk∑i=1

f(x(k)i )m(Ω(k)

i ). Тогда предел не зависит от выбора после-

довательности ∆(k) и называется интегралом Римана функции f по множеству Ω,

обозначения:∫· · ·

∫

Ω

f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn,∫

Ω

f(x) dx.

3. Подобно одномерному случаю имеет место определение, эквивалентное при-

веденному: α =∫

Ω

f(x) dx, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀∆ (|∆| < δ ⇒ |S∆ − α| < ε) при

любом выборе точек xj ∈ Ωj .

4. П р и м е р. Пусть λ ∈ R и f(x) = λ (x ∈ Ω). Тогда∫

Ω

f(x) dx = λ ·m(Ω).

§118. Интегрируемость и ограниченность

1. В отличие от случая интеграла по отрезку, в общем случае из интегрируемо-сти функции еще не следует ее ограниченность. Действительно, если m(Ω) = 0 иf : Ω → R произвольная (не обязательно ограниченная) функция, то из определения

117.2 следует, что∫

Ω

f(x)dx = 0.

2. Назовем J-измеримое множество Ω(⊂ Rk) невырожденным, если

∀ε > 0 ∃∆(Ω1, . . . ,Ωn) (|∆| < ε, m(Ωi) > 0 (i = 1, . . . , n)). (∗)

3. П р и м е р. Всякое открытое J-измеримое множество Ω является невы-рожденным. Кубическая сетка в Rk с кубиками κj диаметра < ε разрезает Ω наJ-измеримые части Ωj = Ω∩κj . Семейство всех тех множеств Ωj , которые не пусты,образует искомое разложение ∆ с |∆| < ε. Действительно, если x ∈ Ωj , то существу-ет открытый кубик κ достаточно малого диаметра с центром в точке x ∈ Ω такой,что κ ⊂ Ω и тогда (см. 112.8) m(Ω ∩ κj) > m(κ ∩ κj) > 0.

139

Для невырожденных областей имеет место необходимое условие интегрируемо-сти.

4. Если Ω невырождено и f : Ω → R интегрируема, то f ограничена.¶ Пусть, напротив, f не ограничена. Тогда для любого N > 0 и любого разложения∆(Ω1, . . . , Ωn) с условием (∗) найдется точка x ∈ Ω (пусть, например, x ∈ Ω1) такая,что

|f(x)| > N

m(Ω1)+

1m(Ω1)

∣∣∣∣∣n∑

i=2

f(xi)m(Ωi)

∣∣∣∣∣ (здесь xi ∈ Ωi).

Следовательно,

|S∆|=∣∣∣∣∣f(x)m(Ω1) +

n∑

i=2

f(xi)m(Ωi)

∣∣∣∣∣> |f(x)|m(Ω1)−∣∣∣∣∣

n∑

i=2

f(xi)m(Ωi)

∣∣∣∣∣ >N. ¤

§119. Критерий интегрируемости Дарбу

1. Пусть Ω(⊂ Rk) J-измеримо и f : Ω → R ограничена. Для разложения∆(Ω1, . . . , Ωn) области Ω определим величины:

mj = infx∈Ωj f(x), Mj = supx∈Ωjf(x),

S∗(∆) =n∑

i=1mim(Ωi) — нижняя сумма Дарбу,

S∗(∆) =n∑

i=1Mim(Ωi) — верхняя сумма Дарбу.

Если ∆, ∆′ — произвольные разложения Ω, то подобно случаю отрезка (55.3)выводится неравенство S∗(∆) 6 S∗(∆′). Нижний (соответственно верхний) ин-теграл Дарбу для f определяется равенством D∗(f) = sup

∆S∗(∆) (соответственно

D∗(f) = inf∆

S∗(∆)). При этом D∗(f) 6 D∗(f).

2. Ограниченная функция f : Ω → R (Ω ⊂ Rk) интегрируема ттогда D∗(f) =

D∗(f). При этом∫

Ω

f(x) dx = D∗(f).

¶ Доказательство не имеет принципиальных отличий от случая интеграла по от-резку (см. 56.1). ¤

3. С л е д с т в и е. Если Ω замкнуто и J-измеримо, а f : Ω → R непрерывна,то f интегрируема.¶ Можно считать, что m(Ω) > 0. По условию Ω компактно и потому f равномернонепрерывна на Ω (см. 70.1). Пусть ε > 0 произвольно и δ > 0 таково, что

∀x, y ∈ Ω (‖x− y‖ < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

m(Ω)).

Если ∆(Ω1, . . . , Ωn) таково, что |∆| < δ, то в обозначениях п. 1

D∗(f)−D∗(f) 6 S∗(∆)− S∗(∆) 6n∑

i=1

(Mi −mi)m(Ωi) 6 ε

m(Ω)·m(Ω) = ε. ¤

140

Ниже мы приведем критерий интегрируемости А. Лебега. Для его доказатель-ства понадобится некоторая подготовка.

§120. Колебание функции в точке

1. Пусть Ω ⊂ Rk и f : Ω → R ограничена. Для x0 ∈ Ω− и δ > 0 положим

Mδ(x0) = supf(x) : x ∈ Ω ∩Bδ(x0), mδ(x0) = inff(x) : x ∈ Ω ∩Bδ(x0).Mδ(x0) (соответственно mδ(x0)) как функция переменной δ не убывает (соответ-ственно не возрастает), оставаясь ограниченной. Таким образом, определена вели-чина, называемая колебанием функции в точке x0 : ω(x0) ≡ lim

δ→0[Mδ(x0)−mδ(x0)].

2. Функция f : Ω → R непрерывна в точке x0 ттогда ω(x0) = 0 (!!).

3. Пусть f : Ω → R ограничена. Тогда для каждого λ > 0 множество Dλ ≡x ∈ Ω− : ω(x) > λ замкнуто.¶ Пусть x0 ∈ D−

λ . Тогда ∀δ > 0 ∃y ∈ Bδ(x0) ∩ Ω− (ω(y) > λ). Пусть γ > 0 таково,что Bγ(y) ⊂ Bδ(x0). Тогда Mδ(x0)−mδ(x0) > Mγ(y)−mγ(y) > λ, так что ω(x0) > λи, следовательно, x0 ∈ Dλ. ¤

4. Если Ω замкнуто, то множество D всех точек разрыва ограниченной функ-

ции f представимо в виде D =∞⋃

n=1D1/n.

¶ Утверждение непосредственно следует из п. 2. ¤

§121. Теорема Лебега

Пусть Ω(⊂ Rk) J-измеримо и замкнуто. Ограниченная функция f : Ω → Rинтегрируема ттогда f п.в. непрерывна.¶ Необходимость. Достаточно установить, что каждое множество D1/n (n ∈ N)имеет лебегову меру нуль (см. 120.4, 114.7). Пусть n ∈ N и ε > 0 произвольны.В силу 119.2 найдется разложение ∆(Ω1, . . . ,Ωs) такое, что (в обозначениях 119.1)

s∑j=1

(Mj −mj)m(Ωj) 6 ε/n . Пусть

σn = j ∈ 1, . . . , s : ∃y ∈ Ω0j (ω(y) > 1

n).

Тогда1n

∑j∈σn

m(Ωj) 6∑

j∈σn

(Mj − mj)m(Ωj) 6s∑

j=1(Mj − mj)m(Ωj) 6 ε

n, откуда

∑j∈σn

m(Ωj) 6 ε. Далее

D1/n = y ∈ Ω : ω(y) > 1n ⊂ (

⋃

j∈σn

Ωj)⋃

(s⋃

j=1

Ωгj ),

и, поскольку m(Ωгj ) = 0 (1 6 j 6 s), имеем

m∗(D1/n) 6 m∗(( ⋃

j∈σn

Ωj

) ⋃( s⋃

j=1

Ωгj

))= m

(( ⋃

j∈σn

Ωj

)⋃( s⋃

j=1

Ωгj

))

6∑

j∈σn

m(Ωj) +s∑

j=1

m(Ωгj ) =

∑

j∈σn

m(Ωj) 6 ε.

141

Из произвольности ε отсюда следует, что m(D1/n) = 0, а значит, D1/n имеет лебеговумеру нуль.

Достаточность. Пусть множество D всех точек разрыва ограниченной функ-ции f имеет лебегову меру нуль. Требуется доказать интегрируемость f . Будемсчитать, что m(Ω) > 0 (иначе утверждение очевидно). Пусть M > 0 таково, что|f(x)| 6 M (x ∈ Ω) и ε > 0 произвольно. Так как D =

⋃n

D1/n, то D1/n имеет лебе-

гову меру нуль для каждого n (см. 114.8). Пусть n таково, что1n

<ε

m(Ω). Выберем

систему Πi открытых параллелепипедов так, чтобы

D1/n ⊂⋃i

Πi,∑i

m(Πi) <ε

M.

Множество D1/n ограничено и замкнуто (см. 120.3), так что оно компактно, и значит,существует конечное число параллелепипедов Π1, . . . , Πq, покрывающих D1/n. Мно-

жество Ω′ ≡ Ω\(

q⋃i=1

Πi

)J-измеримо и замкнуто (в частности, компактно), причем

∀y ∈ Ω′ (ω(y) <1n

). Следовательно, каждую точку y ∈ Ω′ можно погрузить в шар

Bδy(y) радиуса δy > 0 такой,что ∀z ∈ Bδy(y)∩Ω (|f(z)−f(y)| < 1n

). Из системы шаровBδy(y)y∈Ω′ , покрывающих Ω′, выберем конечную подсистему Bδy1

(y1), . . . , Bδyt(yt),

покрывающую Ω′. Рассмотрим следующее разложение множества Ω′:

Ω1 = Bδy1(y1) ∩ Ω′, Ω2 = Bδy2

(y2) ∩ (Ω′\Ω1), . . . , Ωt = Bδyt(yt) ∩ (Ω′\

t−1⋃

i=1

Ωi).

Полагая M0 = supf(x) : x ∈ Ω \ Ω′, m0 = inff(x) : x ∈ Ω \ Ω′, имеем дляразложения ∆(Ω\Ω′,Ω1, . . . , Ωt) множества Ω:

S∗(∆)− S∗(∆) = (M0 −m0)m(Ω′\Ω) +t∑

i=1

(Mi −mi)m(Ωi)

6 2M ·m(

q⋃

i=1

Πi

)+

1n·

t∑

i=1

m(Ωi) 6 2ε +1n

m(Ω) < 3ε.

Из произвольности ε и 119.2 следует интегрируемость f. ¤

§122. Свойства интеграла

1. Пусть Ω J-измеримо, f : Ω → R ограничена, f : Ω− → R — произвольнаяограниченная функция такая, что f |Ω = f . Функция f интегрируема ттогда ин-тегрируема f . При этом ∫

Ω−

f(x) dx =∫

Ω

f(x) dx. (1)

¶ Пусть f интегрируема, α =∫

Ω

f(x) dx и ∆(Ω1, . . . , Ωn) — такое разложение Ω, что

S∗(∆)− α < ε. Система множеств

Ω1, Ω−1 \Ω1, . . . , Ωn, Ω−n \Ωn (2)

142

образует разложение ∆ множества Ω− (множество Ω−i \Ωi присутствует в ряду (2),только если оно не пусто). Пусть Ni = sup

x∈Ω−i \Ωi

f(x) (Ω−i \Ωi 6= ∅). Тогда (так как

m(Ω−i \Ωi) = 0): S∗(∆, f) − α = S∗(∆) +∑i

Nim(Ω−i \Ωi) − α = S∗(∆) − α < ε.

(Здесь S∗(∆, f) — верхняя сумма Дарбу для f , отвечающая разложению ∆.) Изпроизвольности ε : D∗(f) 6 α. Аналогично D∗(f) > α. Итак, f интегрируема, и (1)верно.

Пусть теперь f интегрируема, и (∆N ) — произвольная последовательность раз-ложений Ω с условием |∆N | → 0. Если ∆N (Ω1, . . . , Ωn) — некоторое разложениеиз этой последовательности, то разложение ∆N , определенное системой (2), имеет

тот же диаметр, что и ∆N : |∆N | = |∆N |. Следовательно, S(∆N , f) →∫

Ω−

f(x) dx.

Отсюда

limN

S∆N(f) = lim

N

[S∆N

(f) +∑

i:Ω−i \Ωi 6=∅f(ξi)m(Ω−i \Ωi)

]= lim

NS(∆N , f) =

∫

Ω−

f(x) dx

(ξi ∈ Ω−i \Ωi произвольны). Итак, f интегрируема, и справедливо равенство (1). ¤2. Если f, g : Ω → R ограничены и интегрируемы, то интегрируемы f ± g,

f · g, λf, |f |, причем∫

Ω

[f(x)± g(x)] dx =∫

Ω

f(x) dx±∫

Ω

g(x) dx,

∫

Ω

λf(x) dx = λ

∫

Ω

f(x) dx.

3. Пусть f : Ω → R ограничена, Ω = Ω1 ∪ Ω2, где Ω1 ∩ Ω2 = ∅ и Ωi (i = 1, 2)J-измеримы. Тогда ∫

Ω

f(x) dx =∫

Ω1

f(x) dx +∫

Ω2

f(x) dx (3)

в том смысле, что если определена одна из частей равенства (3), то определена идругая, и они равны.¶ С помощью п. 1 доказательства пп. 2, 3 сводятся к применению теоремы Лебега(§121). Проверим интегрируемость произведения интегрируемых функций. Пустьf , g : Ω− → R — какие-либо ограниченные продолжения функций f, g. В силу п. 1f , g интегрируемы и по теореме Лебега они непрерывны п.в. Следовательно, п.в.непрерывна функция f · g, являющаяся ограниченным продолжением функции f ·g.По теореме Лебега f · g интегрируема, и в силу п. 1, интегрируема f · g. ¤

4. З а м е ч а н и е. Для неограниченной функции f из существования правойчасти (3) не следует интегрируемость f по множеству Ω. Действительно, положим(Рис. 20)

Ω = Ω′⋃

Ω′′, f(x) =

0, если x ∈ Ω′′,1x1

, если x = (x1, 0) ∈ Ω′\θ.

143

Тогда∫

Ω′

f(x) dx =∫

Ω′′

f(x) dx = 0, но∫

Ω

f(x) dx не существует, ибо интегральная

сумма S∆ функции f может быть выбрана сколь угодно большой: положим, на-

пример, для разложения на Рис. 21 x1 =(

m(Ω1)N

, 0)∈ Ω1, где N > 0 — наперед

заданное число. Тогда S∆ > f(x1)m(Ω1) = N. ¤

5. Пусть f, g : Ω → R ограничены и интегрируемы, причем f(x) 6 g(x) для всех

x ∈ Ω. Тогда ∫

Ω

f(x) dx 6∫

Ω

g(x) dx.

В частности,∣∣∣∫

Ω

f(x) dx∣∣∣ 6

∫

Ω

|f(x)| dx 6 ‖f‖Ωm(Ω), где ‖f‖Ω ≡ supx∈Ω

|f(x)|.

6. Т е о р е м а [о среднем]. Пусть f, ϕ : Ω → R ограничены и интегрируемы,причем ϕ(x) > 0. Тогда

∫

Ω

f(x)ϕ(x) dx = λ

∫

Ω

ϕ(x) dx,

где λ — подходящее число из отрезка [ infx∈Ω

f(x), supx∈Ω

f(x)]. В частности, если Ω

замкнуто и линейно связно, а f непрерывна, то существует x0 ∈ Ω такое, что∫

Ω

f(x)ϕ(x) dx = f(x0)∫

Ω

ϕ(x) dx.

¶ Доказательство п. 5–6 подобно случаю интеграла по отрезку. В частном утвер-ждении п. 6 учтите 70.4 (!!). ¤

§123. Связь кратного интеграла с повторным

Теперь мы изложим процедуру, часто позволяющую эффективно вычислятькратный интеграл путем повторного применения формулы Ньютона-Лейбница.

1. Пусть Π = [a, b]× [c, d] — невырожденный прямоугольник (в R2) и f : Π → Rинтегрируема. Тогда

∫∫

Π

f(x, y) dxdy =∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

af(x, y) dx

)dy.

144

¶ Приведенное равенство требует разъяснения: из интегрируемости f на множестве

Π не следует, например, существования интеграла∫ d

cf(x, y)dy при любом x ∈ [a, b].

Положим для определенности

Φ(x) =∫ d

cf(x, y) dy ≡ D∗ (f(x, ·)), a 6 x 6 b,

где D∗ (f(x, ·)) — нижний интеграл Дарбу функции y → f(x, y), y ∈ [c, d]. Эта ве-личина определена, так как f ограничена в силу невырожденности Π (см. §118).Можно считать, что Φ(x) — произвольная точка из отрезка [D∗(f(x, ·)), D∗(f(x, ·))].Итак, требуется доказать, что

∫ b

aΦ(x) dx =

∫∫

Π

f(x, y) dxdy. Разобьем каждый из

отрезков [a, b], [c, d] на N равных частей:

∆x(a = x0 < x1 < . . . < xN = b), ∆y(c = y0 < y1 < . . . < yN = d).

Пусть hN =b− a

N, kN =

d− c

N. Тогда

S∗(∆N ) = hNkN

N∑i,j=1

Mij , S∗(∆N ) = hNkN

N∑i,j=1

mij ,

где ∆N — соответствующее разложение Π и, например,

mij = inff(x, y) : (x, y) ∈ [xi−1, xi]× [yj−1, yj ].

Пусть ξi ∈ [xi−1, xi] — произвольные точки. Тогда

Φ(ξi) 6 D∗(f(ξi, ·)) 6 kN

N∑

j=1

supy∈[yj−1,yj ]

f(ξi, y) 6 kN

N∑

j=1

Mij .

Аналогично, Φ(ξi) > kN

N∑j=1

mij . Следовательно,

S∗(∆N , f) = hN

N∑

i=1

(kN

N∑

j=1

mij) 6 hN

N∑

i=1

Φ(ξi) 6 S∗(∆N , f).

Переходя к пределу при N →∞, получим

(1) limN

N∑i=1

Φ(ξi)hN =∫∫

Π

f(x, y) dxdy (при любом выборе точек ξi ∈ [xi−1, xi]),

(2) Φ(x) интегрируема, ибо

S∗(∆x, Φ)− S∗(∆x,Φ) = hN

N∑

i=1

[ sup[xi−1,xi]

Φ(x)− inf[xi−1,xi]

Φ(x)]

6 hNkN

∑

i,j

[Mij −mij ] → 0 (N →∞).

145

(3)∫ b

aΦ(x) dx =

∫∫

Π

f(x, y) dxdy.

2. З а м е ч а н и е. Из доказательства п. 1 видно, что y можно считать вектором,так что если f : Π → R интегрируема, Π = [a1, b1]× . . .× [an, bn], то

∫· · ·

∫

Π

f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn =∫ b1

a1

(∫· · ·

∫

Π′

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn

)dx1,

где Π′ = [a2, b2]×. . .×[an, bn]. Таким образом, для интегрируемой функции f : Π → Rимеет место формула

∫· · ·

∫

Π

f(x1, . . . , xn) dx1. . . dxn =∫ b1

a1

dx1

∫ b2

a2

dx2. . .

∫ bn

an

f(x1, . . . , xn) dxn.

3. [Общий случай]. Пусть Ω — J-измеримо в пространстве Rn переменныхx1, . . . , xn, π1 — проекция Ω на ось Ox1 и f : Ω → R ограничена и интегрируема.Пусть J-измеримы множества Ω(x1) ≡ (x2, . . . , xn) ∈ Rn−1 : (x1, . . . , xn) ∈ Ω (вRn−1) и π1 (в R1). Тогда

∫· · ·

∫

Ω

f(x1, . . . , xn) dx1. . . dxn =∫

π1

dx1

∫

Ω(x1)

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn.

¶ Поместим Ω в параллелепипед Π ⊂ Rn, Π = [a, b]×Π′, где Π′ — параллелепипед в

пространстве Rn−1 переменных x2, . . . , xn. Положим f(x) =

f(x), если x ∈ Ω,0, если x ∈ Π\Ω.

Тогда с учетом п. 2 (см. выше) имеем∫

Ω

f(x) dx =∫

Π

f(x) dx =∫ b

adx1

∫

Π′

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn

=∫

π1

dx1

∫

Π′

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn +∫

[a,b]\π1

dx1

∫

Π′

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn

=∫

π1

dx1

∫

Ω(x1)

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn +∫

π1

dx1

∫

Π′\Ω(x1)

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn

=∫

π1

dx1

∫

Ω(x1)

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn,

ибо∫

[a,b]\π1

dx1

∫

Π′

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn =∫

π1

dx1

∫

Π′\Ω(x1)

f(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn = 0.¤

4. З а м е ч а н и е. Измеримость по Жордану множеств π1 и Ω(x1) не следуетиз J-измеримости Ω (см. 116.9).

5. П р и м е р. Вычислим J =∫∫∫

Ω

z dxdydz, где

Ω = (x, y, z) : z > 0, x2 + y2 + z2 6 1.

146

Имеем J =∫ 1

−1dx

∫∫

Ω(x)

z dydz, где Ω(x) = (y, z) : z > 0, y2 + z2 6 1− x2. Поэтому

J =∫ 1

−1dx

∫ √1−x2

−√1−x2

dy

∫ (1−x2−y2)1/2

0zdz =

∫ 1

−1dx

∫ √1−x2

0

(1− x2 − y2

)dy

=43

∫ 1

0(1− x2)3/2 dx =

14.

§124. Замена переменных в кратном интеграле

Данную тему обычно не удается изложить на лекциях со всей необходимой стро-гостью, поэтому ряд моментов в последующем изложении носит эвристический ха-рактер.

1. Изменение меры при преобразовании координат. Для простоты изложенияограничимся плоским случаем. Пусть на плоскости R2 точек (u, v) задана J-измери-мая открытая линейно связная область Ω, Φ — биективное преобразование об-ласти Ω на область Ω′ переменных (x, y) в другом экземпляре R2 : Φ(u, v) =(x(u, v), y(u, v)), (u, v) ∈ Ω. Будем считать, что Φ — гладкое отображение, то естьΦ непрерывно дифференцируемо и Φ′(u, v) допускает непрерывное продолжение на

Ω−. Пусть далее J(u, v) = det Φ′(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣6= 0, (u, v) ∈ Ω. Как найти жор-

данову меру множества Ω′? Рассмотрим малый прямоугольник Π ⊂ Ω с вершинами

P1 = (u, v), P2 = (u + du, v), P3 = (u + du, v + dv), P4 = (u, v + dv).

После преобразования Φ вершины Π преобразуются соответственно в точки

P ′1 = (x(u, v), y(u, v)), P ′

2 = (x(u + du, v), y(u + du, v)),P ′

3 = (x(u + du, v + dv), y(u + du, v + dv)), P ′4 = (x(u, v + dv), y(u, v + dv)).

Заменим множество Φ(Π) на параллелограмм Π′ с вершинами в точках (x, y), (x +∂x

∂udu, y +

∂y

∂udu), (x +

∂x

∂udu +

∂x

∂vdv, y +

∂y

∂udu +

∂y

∂vdv), (x +

∂x

∂vdv, y +

∂y

∂vdv), коор-

динаты которых отличаются от координат соответственно точек P ′1, P ′

2, P ′3, P ′

4 навеличины высшего порядка малости по сравнению со смещениями du, dv. Площадь

параллелограмма Π′ равна m(Π′) = |

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂udu

∂x

∂vdv

∂y

∂udu

∂y

∂vdv

∣∣∣∣∣∣∣| = |J(u, v)|dudv (точки исход-

ного прямоугольника можно занумеровать так, чтобы du, dv > 0). Разбивая теперьисходную область Ω сетками малых прямоугольников так, чтобы |∆| → 0, имеем

m(Ω′) = lim|∆|→0

∑

i

m(Φ(Πi)) = lim|∆|→0

∑

i

m(Π′i) = lim|∆|→0

∑

i

|J(ui, vi)|m(Πi)

=∫∫

Ω

|J(u, v)| dudv.

147

2. Т е о р е м а [о замене переменных].Пусть Ω(⊂ Rn) — J-измеримая открытаялинейно связная область и отображение Φ : Ω− → Rn обладает свойствами:

(1) Φ биективно отображает Ω на область Ω′(⊂ Rn) (биективность можетнарушаться на границе Ω).

(2) Φ гладкое отображение, J(x) = det Φ′(x) 6= 0 (x ∈ Ω). Если f : Ω′ → R

интегрируема, то∫

Ω′

f(y) dy =∫

Ω

f(Φ(x))|J(x)| dx.

¶ Разобьем Ω кубической сеткой на части Ω1, . . . , Ωs (это линейно связные мно-жества). Множества Ω′i = Φ(Ωi) (i = 1, s) образуют разложение ∆′ множества Ω′.

С учетом п. 1 и 122.6 найдутся xi ∈ Ωi, что m(Ω′i) =∫

Ωi

|J(x)| dx = |J(xi)|m(Ωi).

Положим теперь yi = Φ(xi). Тогда∫

Ω′

f(y) dy = lim|∆′|→0

∑

i

f(yi)m(Ω′i) = lim|∆|→0

∑

i

f(Φ(xi))|J(xi)|m(Ωi)

=∫

Ω

f(Φ(x))|J(x)| dx. ¤

3. П р и м е р. Пусть Ω — J-измеримое открытое линейно связное множество в R2

с полярными координатами (r, ϕ) : Ω ⊂ (r, ϕ) : r > 0, 0 < ϕ < 2π. Преобразованиеx = r cosϕ, y = r sinϕ определяет биективное преобразование Ω на область Ω′ в R2

с декартовыми координатами. Тогда J(r, ϕ) =∣∣∣∣cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

∣∣∣∣ = r > 0, (r, ϕ) ∈ Ω.

Поэтому∫∫

Ω′

f(x, y) dxdy =∫∫

Ω

f(r cosϕ, r sinϕ)r drdϕ. Здесь можно заменить Ω и

Ω′ соответственно на Ω− и Ω′− (см. 122.1).

§125. Площадь поверхности

Пусть поверхность S в R3 описывается уравнением

z = f(x, y), (x, y) ∈ Ω−,

где Ω — J-измеримая открытая область, а функция f — гладкая на Ω−. Пусть∆(Ω1, . . . , Ωn) — разложение Ω и (xi, yi) ∈ Ωi — произвольные точки. Цилиндрс основанием Ωi и образующими параллельными оси Oz вырежет на поверхно-сти S часть Si: пусть Li — часть касательной плоскости к поверхности в точке(xi, yi, f(xi, yi)), лежащая внутри этого цилиндра. По определению площадь поверх-ности S равна пределу (если он существует) σ = lim

|∆|→0

∑i

m(Li), где m(Li) — плос-

кая жорданова мера множества Li. Косинус острого угла нормали ni к S в точке(xi, yi, f(xi, yi)) с осью Oz равен (см. §79)

cos(ni, z) =

[1 +

(∂f

∂x(xi, yi)

)2

+(

∂f

∂y(xi, yi)

)2]−1/2

.

148

Очевидно, Ωi есть ортогональная проекция Li на плоскость XOY, и следовательноm(Ωi) = m(Li) cos(ni, z). Таким образом,

σ = lim|∆|→0

∑

i

[1 +

(∂f

∂x(xi, yi)

)2

+(

∂f

∂y(xi, yi)

)2]1/2

m(Ωi)

=∫∫

Ω

[1 +

(∂f

∂x

)2

+(

∂f

∂y

)2]1/2

dxdy.

149

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§126. Интеграл с особенностью в одном из концов

Для многих приложений интеграла Римана на числовой прямой и в Rn жела-тельно иметь процедуру, позволяющую интегрировать по неограниченным обла-стям или по ограниченным областям интегрировать неограниченные функции. Засчет введения дополнительного предельного перехода можно расширить понятиеинтеграла Римана на указанные ситуации. Рассмотрим сначала случай числовойпрямой.

1. Пусть a ∈ R, b ∈ R∪+∞, и функция f : [a, b) → R интегрируема по Римануна каждом отрезке вида [a, x] (a < x < b). Формальный символ

∫ b

af(t) dt (1)

называется интегралом от функции f с особенностью в правом конце (точке b),если либо b = +∞, либо b ∈ R и f не ограничена на промежутке [a, b). Интеграл (1)

называется сходящимся, если существует конечный предел limx→b−

∫ x

af(t) dt; в этом

случае символ (1) используется также для обозначения предела∫ b

af(t) dt = lim

x→b−

∫ x

af(t) dt. (2)

Если указанный предел не существует, интеграл (1) называется расходящимся. Ана-логично определяется интеграл с особенностью в левом конце.

З а м е ч а н и я. 2. Из определения п. 1 следует, что интеграл с особенностьюзаведомо не существует как интеграл Римана. Однако, если b ∈ R и f : [a, b) → Rинтегрируема по Риману, то равенство (2) справедливо (!!). Поэтому иногда удобноговорить об интеграле (1), допуская, что либо он определен как интеграл Римана(его тогда называют собственным интегралом), либо он имеет особенность в точкеb (тогда его называют несобственным).

3. Из определения интеграла с особенностью в правом конце следует, что инте-

грал (1) сходится ттогда сходится интеграл∫ b

cf(t) dt при некотором c (a < c < b).

4. П р и м е р. Интеграл∫ 1

0

dx

xα(α > 0) имеет особенность в 0;

limε→0+

∫ 1

ε

dx

xα= lim

ε→0+

11− α

[1− ε1−α] =

11− α

, если α < 1,

+∞, если α > 1.

При α = 1 limε→0+

∫ 1

ε

dx

x= − lim

ε→0+ln ε = +∞. Таким образом,

∫ 1

0

dx

xαсходится при

α < 1 и расходится при α > 1.

150

§127. Свойства интеграла с особенностью

Следующее свойство вытекает непосредственно из 126.1:

1. Если интегралы∫ b

af(t) dt,

∫ b

ag(t) dt с особенностью в точке b сходятся, то

для любых λ, µ ∈ R сходится∫ b

a[λf(t) + µg(t)] dt, причем

∫ b

a[λf(t) + µg(t)] dt = λ

∫ b

af(t) dt + µ

∫ b

af(t) dt.

Отметим, что интеграл в левой части написанного равенства может оказатьсядаже собственным.

2. З а м е ч а н и е. Из сходимости интегралов∫ b

af(t) dt,

∫ b

ag(t)dt с особенностью

в точке b не следует сходимость интеграла∫ b

af(t)g(t)dt. (Например, положим f(t) =

g(t) = t−1/2 (0 < t 6 1) и учтем 126.4.)

3. [Критерий Коши]. Интеграл∫ b

af(t) dt с особенностью в b сходится ттогда

∀ε > 0 ∃c < b ∀x, y ∈ (c, b)(|

∫ y

xf(t)dt| < ε

).

¶ Положим F (z) =∫ z

af(t) dt (a 6 z < b). Согласно 126.1 наш интеграл сходится

ттогда существует limz→b−

F (z). По критерию Коши 19.4 limz→b−

F (z) существует ттогда

∀ε > 0 ∃c < b ∀x, y ∈ (c, b) (| F (x)− F (y) |< ε). Осталось заметить, что

|F (x)− F (y)| =∣∣∣∣∫ x

a−(

∫ x

a+

∫ y

x)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ y

xf(t) dt

∣∣∣∣ . ¤

4. [Формула Ньютона-Лейбница]. Пусть F : [a, b) → R непрерывна, b ∈R ∪ +∞, существует F (b−) = lim

x→b−F (x), F ′(x) (a < x < b) непрерывна, причем

определено F ′(a+). Тогда∫ b

aF ′(t) dt = F (b−) − F (a), где интеграл в левой части

равенства, возможно, имеет особенность в правом конце.

¶ Если интеграл∫ b

aF ′(t) dt собственный, то формула доказана ранее (см. 52.1).

Пусть имеется особенность в точке b. Из формулы Ньютона-Лейбница для интегра-лов Римана имеем

F (b−)− F (a) = limx→b−

[F (x)− F (a)] = limx→b−

∫ x

aF ′(t) dt =

∫ b

aF ′(t) dt. ¤

5. У п р а ж н е н и е. Написать формулу Ньютона-Лейбница для интеграла сособенностью в левом конце и дать ее вывод.

151

6. П р и м е р. Функция F (x) = 2√

x непрерывна на [0,1] и F ′(x) = x−1/2

непрерывна на (0, 1), F ′(1−) = 1, так что∫ 1

0x−1/2 dx = 2

√x

∣∣∣∣1

0

= 2.

§128. Интегралы от неотрицательных функций

Изучение признаков сходимости интегралов с особенностью начнем со случаяинтегралов от неотрицательных функций.

1. В этом § всюду предполагается, что промежуток [a, b), возможно, неограниченсправа, функции f(t), g(t) (a 6 t < b) неотрицательны, и интегралы

∫ b

af(t) dt,

∫ b

ag(t) dt (∗)

имеют особенности в правом конце. В случае неотрицательной функции f будем

писать∫ b

af(t) dt < +∞, если этот интеграл сходится. В указанных соглашениях:

2. Функция F (x) ≡∫ x

af(t) dt (a 6 x < b) не убывает. При этом F (x) ограни-

чена ттогда∫ b

af(t)dt < +∞.

3. Пусть f(t) 6 g(t) (a 6 t < b). Тогда

(а)∫ b

ag(t)dt < +∞ ⇒

∫ b

af(t)dt < +∞; при этом

∫ b

af(t) dt 6

∫ b

ag(t) dt,

(б) если∫ b

af(t) dt расходится, то расходится и

∫ b

ag(t) dt.

4. Пусть g(t) > 0 и limt→b−

f(t)g(t)

= α > 0. Тогда интегралы (∗) сходятся или

расходятся одновременно.¶ Докажем п. 3(а) и часть п. 4 (остальные утверждения – (!!)).

Если∫ b

ag(t) dt < +∞, то существует M = lim

x→b−

∫ x

ag(t) dt. Из неравенства

∫ x

af(t) dt 6

∫ x

ag(t) dt (x < b) следует, что

∫ x

af(t) dt 6 M (x < b). Поэтому

∫ b

af(t) dt = lim

x→b−

∫ x

af(t) dt 6 M < +∞.

В условиях п. 4 пусть ε (0 < ε < α) произвольно. Тогда существует c < b, что

α − ε <f(t)g(t)

< α + ε (c < t < b), то есть (α − ε)g(t) < f(t) < (α + ε)g(t) (c <

t < b). Пусть, например,∫ b

af(t) dt < +∞. Тогда

∫ b

cf(t) dt < +∞ и

∫ b

cg(t) dt 6

1α− ε

∫ b

cf(t) dt < +∞. С учетом 126.3 отсюда следует, что

∫ b

ag(t) dt < +∞. ¤

5. П р и м е р.∫ +∞

1

e−x

xdx < +∞. Положим в п. 3 f(x) =

e−x

x, g(x) = e−x

(1 6 x < +∞).

152

6. У п р а ж н е н и е. Исследовать на сходимость интегралы∫ +∞

1

arctg x

xdx,

∫ +∞

1xαe−λx dx (α, λ > 0).

§129. Связь несобственных интегралов с рядами

1. Читатель, несомненно, уже заметил аналогию между интегралами с особен-ностью и числовыми рядами. Отметим ряд точных утверждений на этот счет. Пустьинтеграл ∫ b

af(t) dt (1)

имеет особенность в точке b ∈ R ∪ +∞ и последовательность xn такова, что a =x0 < x1 < x2 < . . . , xn → b. Рассмотрим ряд

∞∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(t) dt. (2)

2. Если интеграл (1) сходится, то сходится и ряд (2), причем∫ b

af(t) dt =

∞∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(t) dt. (3)

¶ Имеем∞∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(t)dt = limn

n∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(t)dt = limn

[∫ x1

x0

+∫ x2

x1

+ . . . +∫ xn

xn−1

]

= limn

∫ xn

af(t) dt =

∫ b

af(t) dt. ¤

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако:3. Если f(x) > 0 (a 6 x < b), то из сходимости ряда (2) следуют сходимость

интеграла (1) и равенство (3).

¶ Пусть s =∞∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(t) dt и x ∈ (a, b) произвольно. Тогда найдется n, что x <

xn, и следовательно,∫ x

af(t) dt 6

∫ x

a+

∫ xn

x=

∫ xn

af(t) dt, то есть

∫ x

af(t) dt 6

n∑

j=1

∫ xj

xj−1

f(t) dt. Остается учесть 128.2. ¤

Интегральный признак сходимости числового ряда 59.1 можно сформулироватьв терминах интеграла с особенностью:

4. Если функция f(x) > 0 (x > 0) не возрастает, то интеграл∫ +∞

0f(t) dt и

ряд∞∑

j=1f(j) сходятся или расходятся одновременно.

§130. Абсолютно сходящиеся интегралы

1. Интеграл ∫ b

af(t) dt, (1)

153

имеющий особенность в правом конце, называется абсолютно сходящимся , если

сходится интеграл∫ b

a|f(t)| dt.

2. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

¶ Пусть∫ b

a|f(t)| dt < +∞. В силу критерия Коши 127.3

∀ε > 0 ∃c < b ∀x, y(c < x < y < b ⇒

∫ y

x|f(t)| dt < ε

).

Но тогда для указанных x, y :∣∣∣∣∫ y

xf(t) dt

∣∣∣∣ 6∫ y

x|f(t)| dt < ε. Снова в силу критерия

Коши это означает, что интеграл (1) сходится. ¤Как мы увидим ниже, из сходимости интеграла (1) его абсолютная сходимость не

следует. Поэтому полезно располагать признаками сходимости более тонкими, чемпризнаки для интегралов от знакопостоянных функций. Приведем два полезных напрактике признака, которые в более общей форме будут доказаны ниже (см. 135.4).

3. Пусть b ∈ R ∪ +∞, интеграл J =∫ b

af(t)g(t) dt имеет единственную

особенность в точке b ∈ R ∪ +∞, причем f непрерывна, а g непрерывно диффе-ренцируема на [a, b). Пусть, кроме того, выполнены условия (признак Дирихле)

1D) функция F (x) =∫ a

xf(t) dt (a 6 x < b) ограничена,

2D) g(t) убывает и limt→b−

g(t) = 0;

либо выполнены условия (признак Абеля)

1A) интеграл∫ b

af(t) dt сходится,

2A) g ограничена и монотонна;— тогда интеграл J сходится.

4. П р и м е р. Исследуем на сходимость∫ +∞

0

sin t

tdt. Так как в левом конце

особенности нет, достаточно исследовать на сходимость интеграл∫ +∞

1

sin t

tdt. По-

ложим f(t) = sin t, g(t) = 1/t (t > 1), и мы находимся в условиях признака Дирихле.Итак, интеграл сходится. Однако он не сходится абсолютно. Достаточно показать

(см. 129.2), что расходится ряд∞∑

k=1

∫ (k+1)π

kπ

| sin t|t

dt. Это следует из оценки

∫ (k+1)π

kπ

| sin t|t

dt > 1(k + 1)π

·∫ (k+1)π

kπ| sin t| dt =

2π· 1k + 1

.

5. У п р а ж н е н и е. Следующие интегралы исследовать на сходимость (в том

числе абсолютную):∫ +∞

0

cos t

a2 + t2dt,

∫ +∞

1

sin t

tαdt (α > 0).

154

§131. Несобственные интегралы (общий случай)

До сих пор мы имели дело с интегралами, имеющими единственную особенностьв одном из концов. Приведем теперь общее определение.

1. Пусть a, b ∈ R ∪ ±∞. Формальный символ∫ b

af(t) dt (1)

называется несобственным интегралом, если существует разложение ∆(a = c0 <

c1 < . . . < cn = b) такое, что каждый из интегралов∫ cj

cj−1

f(t) dt (1 6 j 6 n) имеет

особенность в одном из концов. При этом интеграл (1) называется сходящимся, если

сходится каждый из интегралов∫ cj

cj−1

f(t) dt. В этом случае

∫ b

af(t) dt ≡

n∑

j=1

∫ cj

cj−1

f(t) dt. (2)

Если хотя бы один из интегралов∫ cj

cj−1

f(t) dt расходится, то интеграл (1) называется

расходящимся.

З а м е ч а н и я. 2. Равенство (2) корректно, то есть его правая часть не зависитот разложения ∆. (Поясним это на примере интеграла (1) с двумя особенностями вточках a и b. Пусть a < c < c′ < b. Тогда

∫ c

a+

∫ b

c=

∫ c

a+

(∫ c′

c+

∫ b

c′

)=

(∫ c

a+

∫ c′

c

)+

∫ b

c′=

∫ c′

a+

∫ b

c′,

так как∫ c′

cf(t) dt — обычный (собственный) интеграл Римана.)

3. В случае интеграла с особенностью внутри промежутка интегрирования сле-дует сделать одно предостережение. Пусть интеграл (1) имеет единственную осо-бенность в точке c (a < c < b). Для исследования его на сходимость мы должныустановить существование пределов

limε→0+

∫ c−ε

af(t) dt, lim

ε→0+

∫ b

c+εf(t) dt. (3)

Это, однако, не эквивалентно существованию предела

limε→0+

[∫ c−ε

af(t) dt +

∫ b

c+εf(t) dt

], (4)

как может показаться на первый взгляд. Из существования (3) следует существова-ние (4) и значение интеграла (1) совпадает с пределом (4). Однако из существования(4) еще не следует существование (3). Существование пределов (3) следует из суще-ствования предела

limε,η→0+

[∫ c−ε

af(t) dt +

∫ b

c+ηf(t) dt

](5)

155

в смысле предела функций двух переменных (см. §66). Тем не менее, если (4) суще-ствует, то говорят, что интеграл (1) существует в смысле главного значения (valeurprincipale):

v.p.∫ b

af(t) dt ≡ lim

ε→0+

[∫ c−ε

af(t) dt +

∫ b

c+εf(t) dt

].

Аналогично, если интеграл∫ +∞

−∞f(t) dt имеет особенность лишь на концах −∞ и

+∞, то под главным значением понимается предел (если он существует)

v.p.∫ +∞

−∞f(t)dt ≡ lim

N→+∞

∫ +N

−Nf(t)dt.

4. П р и м е р. Интеграл∫ 1

−1

dx

xрасходится, так как расходится каждый из

интегралов∫ 0

−1

dx

x,

∫ 1

0

dx

x. Однако, v.p.

∫ 1

−1

dx

x= lim

ε→0+

[∫ −ε

−1

dx

x+

∫ 1

ε

dx

x

]= 0.

§132. Кратные несобственные интегралы

Мы приведем не самое общее определение кратного интеграла с особенностью.Однако его вполне достаточно для большинства приложений.

1. Множество Ω ⊂ Rn назовем локально J-измеримым, если J-измеримо каждоемножество вида Br(θ)∩Ω (r > 0). Очевидно, всякое J-измеримое множество, будучиограниченным, локально J-измеримо.

2. Пусть Ω(⊂ Rn) J-измеримо и невырождено (см. 118.2), x0 ∈ Ω− и f : Ω → R

не ограничена на Ω, причем для любого ε > 0 интеграл∫

Ω\Bε(x0)

f(x) dx определен

как интеграл Римана. Формальный символ∫

Ω

f(x) dx (1)

называется интегралом с особенностью в точке x0. Интеграл (1) называется схо-дящимся, если существует предел

limε→0+

∫

Ω\Bε(x0)

f(x) dx. (2)

При этом∫

Ω

f(x) dx ≡ limε→0+

∫

Ω\Bε(x0)

f(x)dx. Если предел (2) не существует, то инте-

грал (1) называется расходящимся.Пусть теперь неограниченное множество Ω ⊂ (Rn) локально J-измеримо, причем

множество Br(θ) ∩ Ω невырождено, коль скоро m(Br(θ) ∩ Ω) > 0. Пусть f : Ω → Rинтегрируема по Риману по любому множеству вида Br(θ) ∩ Ω. В этом случае (1)называется интегралом с особенностью в ∞. Интеграл (1) называется сходящимся,если существует предел

limr→+∞

∫

Ω∩Br(θ)

f(x) dx(≡

∫

Ω

f(x) dx).

156

Подобно одномерному случаю определяется интеграл с конечным числом особенно-стей (несобственный интеграл).

З а м е ч а н и я. 3. Данное определение сходящегося интеграла с особенностьюне сводится к соответствующему определению в одномерном случае (126.1, 131.1).В случае особенности внутри промежутка интегрирования приведенное здесь опре-деление даст нам интеграл в смысле главного значения.

4. Если интеграл (1) сходится, то limε→0+

∫

Ω∩Bε(x0)

f(x) dx = 0, когда особенность в

x0 ∈ Ω−, и limN→+∞

∫

Ω\BN (θ)

f(x) dx = 0, когда особенность в ∞. Отметим, что инте-

гралы, стоящие в левых частях приведенных равенств, несобственные.

Отметим некоторые свойства введенного понятия.

5. Пусть интегралы∫

Ω

f(x) dx,

∫

Ω

g(x) dx имеют единственную особенность в

точке x0 ∈ Ω− ∪ ∞ и сходятся. Тогда сходится интеграл∫

Ω

[λf(x) + µg(x)] dx,

причем ∫

Ω

[λf(x) + µg(x)] dx = λ

∫

Ω

f(x) dx + µ

∫

Ω

g(x) dx (λ, µ ∈ R).

6. Если f(x) > 0 (x ∈ Ω) и существует константа C > 0 такая, что∫

Ω\Bε(x0)

f(x) dx 6 C при любом ε > 0, то интеграл (1) с единственной особенно-

стью в точке x0 ∈ Ω− сходится. (Это свойство легко сформулировать для случаяx0 = ∞.)

7. [Критерий Коши (особенность в x0 ∈ Ω−)]. Интеграл (1) сходится ттогда

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀r, s(

r < s < δ ⇒∣∣∣∣

∫

[Bs(x0)\Br(x0)]∩Ω

f(x) dx

∣∣∣∣ < ε

).

8. Говорят, что несобственный интеграл (1) сходится абсолютно, если сходит-

ся интеграл∫

Ω

|f(x)| dx. Отметим, что если интеграл сходится абсолютно, то он

сходится.¶ Например, в случае единственной особенности в точке x0 ∈ Ω− это следует из п. 7и оценки

∣∣∣∣∫

[Bs(x0)\Br(x0)]∩Ω

f(x) dx

∣∣∣∣ 6∫

[Bs(x0)\Br(x0)]∩Ω

|f(x)| dx (r < s).

157

П р и м е р ы. 9. Интеграл J =∫∫∫

Ω

(x2 + y2 + z2)−α dxdydz (α > 0), где

Ω = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 6 1, имеет единственную особенность в точке (0, 0, 0).При этом

limε→0+

∫∫∫

Ω∩Bε(θ)c

(x2 + y2 + z2)−α dxdydz = limε→0+

∫ 1

εr2−2αdr

∫ π/2

−π/2cosϕdϕ

∫ 2π

0dt

= limε→0+

4π

∫ 1

εr2−2α dr.

Итак, J сходится при α < 3/2 и расходится при α > 3/2.

10. Вычислим∫ +∞

0e−x2

dx с использованием двойного несобственного интегра-ла:

∫ +∞

0e−x2

dx = limN→+∞

[∫ N

0

∫ N

0e−x2−y2

dxdy]1/2

= limR→+∞

[∫ π/2

0dϕ

∫ R

0re−r2

dr]1/2 =

√π

2.

11. У п р а ж н е н и е. Для α > 0 исследовать на сходимость интеграл∫∫∫

Ω

(x2 + y2 + z2)−α dxdydz, где Ω = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 > 1.

158

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§133. Непрерывность собственных интегралов по параметру

1. При сведении кратных интегралов к повторным мы встречались с интеграла-ми вида

F (x1, . . . , xn) =∫

Ω′′

f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) dy1 . . . dym. (∗)

Здесь Ω′′ ⊂ Rm, а вектор x = (x1, . . . , xn) не зависит от переменных y1, . . . , ym ииграет роль параметра. Настоящий раздел посвящен изучению функций, заданныхинтегралами указанного вида (возможно, несобственными). Нас будут интересоватьвопросы такого сорта: будет ли непрерывна функция F , если непрерывна f? суще-

ствует ли∂F

∂xj, если существует

∂f

∂xj? справедливо ли равенство

∂F

∂xj(x1, . . . , xn) =

∫

Ω′′

∂f

∂xj(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) dy1 . . . d ym?

и т. д. Начнем изучение со случая собственных интегралов.

2. Пусть множества Ω′ ⊂ Rn, Ω′′ ⊂ Rm компактны, Ω′′ J-измеримо, Ω =Ω′ ×Ω′′ (⊂ Rn+m) и f : Ω → R непрерывна. Тогда функция F , заданная равенством(∗), также непрерывна.¶ Утверждение очевидно, если m(Ω′′) = 0. Пусть m(Ω′′) > 0. Множество Ω′ × Ω′′

компактно в Rn+m (см. §107), так что функция f равномерно непрерывна на Ω, тоесть (обозначая x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , ym), z = (x, y) ∈ Rn+m)

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z, z1 ∈ Ω(‖z − z1‖ < δ ⇒ |f(z)− f(z1)| < ε

m(Ω′′)

).

Если теперь ‖x−x1‖ < δ (x, x1 ∈ Ω′), то для векторов z = (x, y), z1 = (x1, y) (y ∈ Ω′′)имеем ‖z − z1‖ = ‖x− x1‖ < δ и, следовательно,

∣∣∫

Ω′′

f(x, y)dy−∫

Ω′′

f(x1, y)dy∣∣ 6

∫

Ω′′

|f(x, y)− f(x1, y)| dy <ε

m(Ω′′)·∫

Ω′′

dy = ε. ¤

В следующем утверждении параметр входит не только в подынтегральную функ-цию, но и в пределы интегрирования.

3. Пусть ϕ, ψ — непрерывные функции на отрезке [a, b], ϕ(x) 6 ψ(x) (a 6 x 6 b),и функция f(x, y) задана и непрерывна на множестве Ω = (x, y) : a 6 x 6 b,

ϕ(x) 6 y 6 ψ(x). Тогда функция F (x) ≡∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y) dy непрерывна на [a, b].

¶ Из условий следует, что Ω компактно. Пусть ε > 0 произвольно. Введем константы(их конечность следует из условий теоремы): α = inf

x∈[a,b]ϕ(x), β = sup

x∈[a,b]ψ(x).

159

Доопределим f на прямоугольнике [a, b]× [α, β], полагая

f(x, y) =

f(x, y), если (x, y) ∈ Ω,f(x, ψ(x)), если x ∈ [a, b], ψ(x) < y 6 β,f(x, ϕ(x)), если x ∈ [a, b], α 6 y < ϕ(x)

(f — непрерывное продолжение f на указанный прямоугольник (!!)). Пусть M > 0таково, что |f(x, y)| 6 M ((x, y) ∈ Ω), а δ > 0 таково, что одновременно выполняютсяоценки:

∀x, x′ ∈ [a, b](|x− x′| < δ ⇒ |ϕ(x)− ϕ(x′)|, |ψ(x)− ψ(x′)| < ε

3M

),

∀(u, v), (u′, v′) ∈ [a, b]× [α, β](‖(u, v)− (u′, v′)‖ < δ

⇒ |f(u, v)− f(u′, v′)| < ε

3(β − α))

.

Если теперь |x− x′| < δ, (x, x′ ∈ [a, b]), то

|F (x)− F (x′)| = ∣∣∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y) dy −

∫ ψ(x′)

ϕ(x′)f(x′, y) dy

∣∣

=∣∣∫ ψ(x)

ϕ(x)[f(x, y)− f(x′, y)]dy +

∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x′, y)dy −

∫ ψ(x′)

ϕ(x′)f(x′, y)dy

∣∣

6∫ ψ(x)

ϕ(x)|f(x, y)− f(x′, y)| dy +

∣∣∫ ϕ(x′)

ϕ(x)f(x′, y) dy

+∫ ψ(x′)

ϕ(x′)f(x′, y) dy +

∫ ψ(x)

ψ(x′)f(x′, y) dy −

∫ ψ(x′)

ϕ(x′)f(x′, y) dy

∣∣

6 ε

3(β − α)[ψ(x)− ϕ(x)] +

∣∣∫ ϕ(x′)

ϕ(x)|f(x′, y)| dy

∣∣ +∣∣∫ ψ(x)

ψ(x′)f(x′, y)dy

∣∣

6 ε/3 + M |ϕ(x′)− ϕ(x)|+ M |ψ(x)− ψ(x′)| < ε. ¤

4. Т е о р е м а [об интегрировании по параметру]. В условиях п. 3∫ b

aF (x) dx =

∫ b

adx

∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y) dy =

∫∫

Ω

f(x, y) dxdy.

В частности,∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

af(x, y) dx

)dy.

¶ Это следствие п. 3 и §123. Отметим, что из 123.1 следует лишь, что функция

F (x) =∫ d

cf(x, y) dy (a 6 x 6 b) интегрируема по x. Из п. 3 следует дополнительно,

что F непрерывна. ¤

5. П р и м е р. Вычислим limσ→0+

1√2πσ

∫ b

aexp− x2

2σ2 dx. Непосредственно приме-

нить теорему п. 2 здесь не удается. Так как нас интересует значение предела в точке0, ограничимся промежутком 0 < σ 6 1. Пусть сначала 0 < a < b. Тогда функция

f(x, σ) =

1√2πσ

exp− x2

2σ2 dx, если σ > 0, a 6 x 6 b,

0, если σ = 0, a 6 x 6 b,

160

— непрерывное продолжение подынтегральной функции на прямоугольник(x, σ) : a 6 x 6 b, 0 6 σ 6 1 (!!). Из п. 2

limσ→0+

1√2πσ

∫ b

aexp− x2

2σ2 dx = lim

σ→0+

∫ b

af(x, σ) dx =

∫ b

af(x, 0)dx = 0.

Аналогично равен нулю предел интеграла при a < b < 0. Пусть a = 0 < b. Подын-тегральная функция в этом случае не продолжается по непрерывности на прямо-угольник [0, b]× [0, 1]. Делая в интеграле замену t = x/σ, имеем

limσ→0+

1√2πσ

∫ b

0exp− x2

2σ2dx = lim

σ→0+

1√2π

∫ b/σ

0exp− t2

2dt =

1√2π

∫ +∞

0exp− t2

2 dt.

С учетом 132.10 имеем окончательно

limσ→0+

1√2πσ

∫ b

aexp− x2

2σ2 dx =

0, если 0 6∈ [a, b],1/2, если a = 0 или b = 0,1, если 0 ∈ (a, b).

§134. Дифференцирование собственных интегралов

1. Пусть Ω = U × [c, d], где U открыто в R, и f,∂f

∂xнепрерывны на Ω. Тогда

d

dx

∫ d

cf(x, y) dy =

∫ d

c

∂f

∂x(x, y) dy (x ∈ U).

¶ Положим F (x) =∫ d

cf(x, y) dy (x ∈ U). Пусть [a, b] ⊂ U и a < x < b. По формуле

Лагранжа имеем для малых h

F (x + h)− F (x)h

=∫ d

c

f(x + h, y)− f(x, y)h

dy =∫ d

c

∂f

∂x(x + θh, y) dy,

здесь 0 < θ < 1. Применяя 133.2 к Ω′ = [a, b], Ω′′ = [c, d], имеем

F ′(x) = limh→0

1h

[F (x + h)− F (x)] =∫ d

c

∂f

∂x(x, y) dy. ¤

2. Пусть ϕ,ψ : [a, b] → R непрерывны, дифференцируемы на (a, b), ϕ(x) 6 ψ(x).

Функция f задана и непрерывна на Ω = (x, y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x), а ∂f

∂xопределена и непрерывна в точках (x, y) ∈ Ω таких, что a < x < b. Тогда

d

dx

∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y) dy = f(x, ψ(x))ψ′(x)− f(x, ϕ(x))ϕ′(x) +

∫ ψ(x)

ϕ(x)

∂f

∂x(x, y) dy

(a < x < b).

¶ Пусть f — продолжение f , рассмотренное в 133.3. Полагая F (x) =∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y) dy

(a < x < b), имеем для малых h:

161

1h

[F (x + h)− F (x)] =1h

[∫ ψ(x+h)

ϕ(x+h)f(x + h, y) dy −

∫ ψ(x)

ϕ(x)f(x, y) dy

]

=1h

∫ ϕ(x)

ϕ(x+h)f(x + h, y) dy +

1h

∫ ψ(x+h)

ψ(x)f(x + h, y) dy

+∫ ψ(x)

ϕ(x)

1h

[f(x + h, y)− f(x, y)] dy.

Используя формулу Лагранжа и непрерывность∂f

∂x, имеем

limh→0

∫ ψ(x)

ϕ(x)

1h

[f(x + h, y)− f(x, y)] dy =∫ ψ(x)

ϕ(x)

∂f

∂x(x, y) dy.

С учетом теоремы о среднем (см. 50.4) имеем при h → 0:

1h

∫ ψ(x+h)

ψ(x)f(x + h, y) dy = f(x + h, ψ(x) + θ[ψ(x + h)− ψ(x)]) · ψ(x + h)− ψ(x)

h

→ f(x, ψ(x))ψ′(x).

Аналогично, limh→0

1h

∫ ϕ(x)

ϕ(x+h)f(x + h, y) dy = −f(x, ϕ(x))ϕ′(x). ¤

3. П р и м е р. Пусть J(σ) =∫ b

aexp− x2

2σ2 dx (σ > 0). Найдем

d

dσJ(σ). Функции

exp− x2

2σ2, d

dσexp− x2

2σ2 =

x2

σ3·exp− x2

2σ2 (a 6 x 6 b) непрерывны. Согласно п. 1

d

dσJ(σ) =

1σ3

∫ b

ax2 exp− x2

2σ2 dx.

§135. Равномерная сходимость несобственных интегралов,зависящих от параметра

Для изучения функций, заданных несобственными интегралами, зависящимиот параметра, привлечем (новое для нас) важное понятие равномерной сходимоститаких интегралов.

1. Пусть A — абстрактное множество (параметров) и Ω ⊂ Rn локальноJ-измеримо. Пусть f : A× Ω → R такова, что интеграл

J(α) =∫

Ω

f(α, x) dx, α ∈ A (1)

обладает единственной особенностью в точке x0 ∈ Ω− ∪ ∞, не зависящей от α, исходится при любом α ∈ A. Говорят, что интеграл J(α) сходится равномерно, если(случай x0 ∈ Ω−):

∀ε > 0 ∃δ0 > 0 ∀δ < δ0 ∀α ∈ A

(∣∣∣∣∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x) dx

∣∣∣∣ < ε

)

162

либо (случай x0 = ∞):

∀ε > 0 ∃N0 > 0 ∀N > N0 ∀α ∈ A

(∣∣∣∣∫

Ω\BN (θ)

f(α, x) dx

∣∣∣∣ < ε

).

2. З а м е ч а н и е. Более сложным является случай, когда особенность зависит

от параметра. Например, в интеграле∫ 1

0

dx

|x− β|c особенность зависит от α = (β, γ).

Этим случаем мы заниматься не будем.

Отметим простой, но полезный признак равномерной сходимости.3. [Признак Вейерштрасса]. Пусть интеграл (1) обладает единственной особен-

ностью в точке x0 ∈ Ω− ∪ ∞, причем существует функция ϕ : Ω → R такая,

что |f(α, x)| 6 ϕ(x) для любых (α, x) ∈ A × Ω и, кроме того, интеграл∫

Ω

ϕ(x) dx

сходится. Тогда интеграл J(α) сходится равномерно.¶ Пусть, например, особенность x0 ∈ Ω− — собственная точка. По условию признака

∀ε > 0 ∃δ0 > 0( ∫

Ω∩Bδ0(x0)

ϕ(x) dx < ε). Поэтому ∀δ < δ0:

∣∣∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x) dx∣∣ 6

∫

Ω∩Bδ(x0)

|f(α, x)| dx 6∫

Ω∩Bδ(x0)

ϕ(x) dx 6∫

Ω∩Bδ0(x0)

ϕ(x)dx < ε. ¤

Признак Вейерштрасса может сработать в случае, когда интеграл (1) сходится аб-солютно. Приведем достаточный признак равномерной сходимости (в случае Ω —отрезок в R1), который может оказаться полезным, когда абсолютной сходимостинет.

4. Пусть A — множество параметров и интеграл

K(α) =∫ b

af(α, x)g(α, x) dx (α ∈ A)

имеет единственную особенность в точке b ∈ R∪ +∞, причем f(α, x),∂g

∂x(α, x)

непрерывны по x при каждом α. Если, кроме того, выполнены условия (признакДирихле)

1D) существует M > 0 такое, что

∀η < b ∀α ∈ A

(∣∣∣∣∫ η

af(α, x)dx

∣∣∣∣ 6 M

),

2D) g(α, x) монотонно убывает по x при каждом α, причем

∀ε > 0 ∃c < b ∀α ∈ A (x ∈ (c, b) ⇒ |g(α, x)| < ε);

либо выполнены условия (признак Абеля)

163

1A) интеграл∫ b

af(α, x)dx сходится равномерно,

2A) g ограничена как функция двух переменных и монотонна по x при каждомα ∈ A;— тогда интеграл K(α) сходится равномерно.¶ Признак Дирихле. Пусть ε > 0 произвольно, и c выбрано согласно 2D. Интегрируяпо частям, имеем при c < δ < ξ < b

∫ ξ

δf(α, x)g(α, x) dx = g(α, x)

∫ x

δf(α, y) dy

∣∣∣∣ξ

δ

−∫ ξ

δ

[∂g(α, x)

∂x

∫ x

δf(α, y) dy

]dx

= g(α, ξ)∫ ξ

δf(α, y) dy −

∫ ξ

δ

[∂g(α, x)

∂x

∫ x

δf(α, y) dy

]dx. (2)

Из оценки∣∣∣∣∫ ξ

δf(α, x)g(α, x) dx

∣∣∣∣ 6 2Mε + 2M

∫ ξ

δ

∣∣∣∣∂g(α, x)

∂x

∣∣∣∣ dx = 2Mε− 2M

∫ ξ

δ

∂g(α, x)∂x

dx

= 2Mε + 2M [g(α, δ)− g(α, ξ)] 6 4Mε

следует ∣∣∣∣∫ b

δf(α, x)g(α, x) dx

∣∣∣∣ = limξ→b−

∣∣∣∣∫ ξ

δf(α, x)g(α, x) dx

∣∣∣∣ 6 4Mε.

Признак Абеля. Пусть |g(α, x)| 6 M (α ∈ A, a 6 x < b), ε > 0 произвольно

и c таково, что (см. 1A) ∀δ, ξ (c < δ < ξ < b ⇒ |∫ ξ

δf(α, y) dy| < ε). Пусть для

определенности g(α, x) не убывает по x при каждом α, так что∂g(α, x)

∂x> 0. Из

равенства (2) имеем:∣∣∣∣∫ ξ

δf(α, x)g(α, x) dx

∣∣∣∣ 6 Mε +∫ ξ

δ

∂g(α, x)∂x

∣∣∣∣∫ ξ

δf(α, y) dy

∣∣∣∣ dx 6 ε

[M +

∫ ξ

δ

∂g(α, x)∂x

dx

]

= ε[M + g(α, ξ)− g(α, δ)] 6 3εM. ¤

5. П р и м е р. Исследуем на равномерную сходимость интеграл I(α) =∫ +∞

0e−αt · sin t

tdt (α > 0). Признак Вейерштрасса неприменим, так как I(0) схо-

дится не абсолютно (см. 130.4). Применим признак Абеля, полагая f(α, t) =sin t

t,

g(t) = e−αt. Условие 1A удовлетворяется в силу 130.4 (функция f от параметра αне зависит!). Так как e−αt 6 1 (α, t > 0), 2A также выполнено. Итак, I(α) сходитсяравномерно.

§136. Операции над несобственными интегралами, зависящими отпараметра

Сначала установим свойство непрерывности интеграла по параметру и сформу-лируем условия, при которых такой интеграл можно интегрировать по параметру.

164

1. Пусть A ⊂ Rm, Ω ⊂ Rn замкнуты, а интеграл

J(α) =∫

Ω

f(α, x) dx, α ∈ A,

имеет единственную особенность в точке x0 ∈ Ω ∪ ∞ и сходится равномерно.Допустим еще, что подынтегральная функция f(α, x) непрерывна (кроме, бытьможет, точек вида (α, x0) в случае, если особенность x0 ∈ Ω). Тогда

1) J(α) — непрерывная функция параметра α,2) если к тому же A J-измеримо, то

∫

A

J(α)dα =∫

Ω

dx

∫

A

f(α, x)dα.

¶ Установим 1). Пусть α0 ∈ A фиксировано и A0 = Br[α0]∩A. Достаточно доказатьнепрерывность J(α) (α ∈ A0) в точке α0. Пусть, например, особенность x0 ∈ Ω— собственная точка. Для произвольного ε > 0 в силу равномерной сходимостиинтеграла J(α) существует δ0 > 0 такое, что

∀δ < δ0 ∀α ∈ A

(∣∣∣∣∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x) dx

∣∣∣∣ < ε/3)

.

Множества A0, Ω\Bδ(x0) ограничены и замкнуты, так что к интегралу∫

Ω\Bδ(x0)

f(α, x) dx применима теорема 133.2: существует λ > 0 (λ < r) такое, что

‖α− α0‖ < λ ⇒∣∣∣∣

∫

Ω\Bδ(x0)

[f(α, x)− f(α0, x)]dx

∣∣∣∣ < ε/3.

Таким образом, ‖α− α0‖ < λ влечет

|J(α)− J(α0)| 6∣∣

∫

Ω\Bδ(x0)

[f(α, x)− f(α0, x)] dx∣∣ + |

∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x) dx∣∣

+∣∣

∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α0, x) dx∣∣ < ε.

Переходим к доказательству свойства 2). Мы имеем∫

A

J(α)dα =∫

A

dα

∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x)dx +∫

A

dα

∫

Ω\Bδ(x0)

f(α, x)dx. (1)

В силу равномерной сходимости интеграла J(α)

limδ→0+

∣∣∣∣∫

A

dα

∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x) dx

∣∣∣∣ 6 m(A) limδ→0+

supα∈A

∣∣∣∣∫

Ω∩Bδ(x0)

f(α, x) dx

∣∣∣∣ = 0. (2)

165

Второй интеграл в правой части (1) является собственным, и в нем можно изменитьпорядок интегрирования. Переходя затем к пределу при δ → 0+ в (1), получим сучетом (2)

∫

A

J(α)dα = limδ→0+

∫

Ω\Bδ(x0)

dx

∫

A

f(α, x) dα =∫

Ω

dx

∫

A

f(α, x) dα. ¤

Следующее свойство касается условия дифференцирования несобственного ин-теграла по параметру. Ограничимся случаем, когда множество параметров — отре-зок числовой прямой.

2. Пусть Ω замкнуто, интеграл J(α) =∫

Ω

f(α, x)dx (a 6 α 6 b) имеет един-

ственную особенность в точке x0 ∈ Ω∪∞. Допустим еще, что f(α, x),∂f

∂α(α, x)

непрерывны на [a, b] × Ω (кроме точек вида (α, x0) в случае, когда особенностьx0 ∈ Ω). Пусть

(i) J(α) сходится при любом α ∈ [a, b],

(ii) J1(α) =∫

Ω

∂f

∂α(α, x) dx сходится равномерно на [a, b],

Тогдаd

dα

∫

Ω

f(α, x) dx =∫

Ω

∂f

∂α(α, x) dx.

¶ Достаточно проверить, что J(α) — первообразная для J1(α). С учетом п. 1 имеем∫ ξ

aJ1(α) dα =

∫

Ω

dx

∫ ξ

a

∂f

∂α(α, x)dα =

∫

Ω

[f(ξ, x)− f(a, x)] dx

=∫

Ω

f(ξ, x) dx + C = J(ξ) + C. ¤

3. П р и м е р. Вычислим J =∫ +∞

0

sin t

tdt. Для этого рассмотрим интеграл

K(α, β) =∫ +∞

0e−αt · sinβt

tdt (β ∈ R, α > 0). Считая подынтегральную функцию

равной β при t = 0, из 135.5 находим, что при фиксированном β интеграл K(α, β)сходится равномерно по α. Поэтому

J = K(0, 1) = limα→0+

K(α, 1). (3)

Пусть α > 0; из п. 2 следует, что∂K(α, β)

∂β=

∫ +∞

0e−αt cosβt dt (так как интеграл

в правой части сходится равномерно по β при фиксированном α). Интегрируя (см.

43.7), находим∂K(α, β)

∂β=

α

α2 + β2, откуда K(α, β) = arctg(β/α) + C(α). Однако,

C(α) = K(α, 0) = 0, так что из (3) J = limα→0+

arctg(1/α) = π/2.

166

§137. Некоторые специальные функции

Применим полученные результаты к анализу важных в приложениях специаль-ных функций, заданных интегралами.

1. Бэта-функция Эйлера задается интегралом

B(a, b) =∫ 1

0xa−1(1− x)b−1 dx (a, b > 0).

В указанной области интеграл сходится. Интеграл является собственным в обла-сти (a, b) : a > 1, b > 1. С помощью формулы Ньютона-Лейбница интеграл мо-жет быть вычислен лишь при некоторых a, b. Поэтому функцию B(a, b) приходитсяизучать как интеграл (вообще, несобственный), зависящий от параметра. Покажемсначала, что B(a, b) непрерывна.¶ Представим B(a, b) в виде B(a, b) = B0(a, b) + B1(a, b), где

B0(a, b) =∫ 1/2

0xa−1(1− x)b−1 dx, B1(a, b) =

∫ 1

1/2xa−1(1− x)b−1 dx.

Каждый из интегралов B0, B1 имеет особенность не более чем в одной точке и доста-точно установить непрерывность каждого из них. Утверждение 136.1 непосредствен-но не применимо, так как множество параметров открыто в R2. Поскольку непре-рывность функции в точке есть свойство локальное, можно устранить это затрудне-ние. Пусть a0, b0 > 0 произвольны. Погрузим точку (a0, b0) в некоторый замкнутыйпрямоугольник ∆ = [a1, a2] × [b1, b2] так, чтобы 0 < a1 < a0 < a2, 0 < b1 < b0 < b2.Покажем, например, что функция B0(a, b) непрерывна в точке (a0, b0). В силу 136.1

достаточно установить, что интеграл∫ 1/2

0xa−1(1 − x)b−1 dx сходится равномерно

в ∆. Полагая c = max(x,b)∈[0,1/2]×[b1,b2]

(1 − x)b−1, имеем xa−1(1 − x)b−1 6 cxa1−1 (0 <

x < 1/2, (a, b) ∈ ∆). По признаку Вейерштрасса отсюда следует равномерная сходи-мость. ¤

Вычислим∂B(a, b)

∂a. Формально дифференцируя под знаком интеграла, имеем

∂B(a, b)∂a

=∫ 1

0xa−1(1− x)b−1 ln x dx (a, b > 0). (1)

Покажем, что дифференцирование законно. Достаточно убедиться (136.2), что инте-грал (1) сходится равномерно на любом отрезке [a1, a2], a1 > 0. Переходя к интегра-лам с одной особенностью, докажем, например, что на отрезке [a1, a2] равномерно

сходится интеграл∫ 1/2

0xa−1(1 − x)b−1 ln x dx. Преобразуя подынтегральную функ-

цию к виду xa−1−ε(1 − x)b−1xε lnx (0 < x 6 12), где ε > 0 такое, что a1 − ε > 0,

заметим, что функция |xε ln x| ограничена на (0,12], то есть

|xa−1(1− x)b−1 ln x| 6 Mxa1−1−ε (x ∈ (0,12]),

где M — подходящая константа. Теперь можно воспользоваться признаком 135.3.

167

2. Гамма-функция Эйлера задается интегралом

Γ(a) =∫ +∞

0xa−1e−x dx, a > 0.

Интеграл имеет особенности в +∞ и (при a < 1) в точке 0. При всех a > 0 интегралсходится. Покажем, что на любом отрезке [a1, a2] (0 < a1 < a2 < +∞) интегралсходится равномерно. Отсюда, в частности, следует непрерывность функции Γ(a).

¶ Представим Γ(a) в виде Γ(a) =∫ 1

0xa−1e−x dx +

∫ +∞

1xa−1e−x dx. Из оценок

xa−1e−x 6 xa1−1 (0 < x 6 1), xa−1e−x 6 xa2−1e−x (x > 1)

и признака Вейерштрасса следует равномерная сходимость интеграла на [a1, a2]. ¤Из 136.2 и признака Вейерштрасса следует, что функция Γ(a) дифференцируема

любое число раз в области a > 0:

Γ(k)(a) =∫ +∞

0xa−1(lnx)ke−x dx, k = 1, 2, . . . .

3. З а м е ч а н и е. Имеет место формула

Γ(a) = (a− 1)Γ(a− 1), a > 1. (2)

В частности, если n ∈ N, то

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 1) = . . . = n!Γ(1) = n!.

Таким образом, гамма-функция является естественным обобщением факториала нанецелые аргументы. Формула (2) следует из выкладки (для a > 1 интеграл Γ(a)имеет единственную особенность в +∞):

Γ(a) =∫ +∞

0xa−1e−x dx = lim

N→+∞

∫ N

0xa−1e−x dx

= limN→+∞

[−xa−1e−x∣∣N0

+ (a− 1)∫ N

0xa−2e−xdx

]= (a− 1)Γ(a− 1).

4. У п р а ж н е н и е. Показать, что интегралы∫ 1

0xa−1(1− x)b−1 dx,

∫ 1

0xa−1(1− x)b−1 ln x dx (a, b > 0),

∫ 1

0xa−1e−x dx,

∫ +∞

1xa−1e−x dx (a > 0)

не сходятся равномерно в указанных областях.

168

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ

§138. Равномерная сходимость последовательности функций

1. Пусть Ω — множество. Последовательность функций fn : Ω → C называетсясходящейся к функции f : Ω → C в каждой точке множества Ω (пишем fn → f),если числовая последовательность fn(ω) сходится к f(ω) при каждом ω ∈ Ω:

∀ω ∈ Ω ∀ε > 0 ∃N ∀n > N (|fn(ω)− f(ω)| < ε) (1)

(здесь натуральное N , конечно, зависит от ω ∈ Ω).Большее значение при изучении функциональных последовательностей играет

иной, более сильный вид сходимости.

2. Последовательность fn : Ω → C называется равномерно сходящейся к функ-ции f : Ω → C (будем писать fn =⇒ f), если

∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀ω ∈ Ω (|fn(ω)− f(ω)| < ε). (2)

(В этом определении число N уже не зависит от ω!)

3. З а м е ч а н и е. Если fn =⇒ f , то fn → f . Обратное, вообще, неверно (дляпоследовательности функций fn(t) (0 6 t 6 1), заданных равенствами fn(t) = 0(t 6= 1/n), fn(1/n) = 1, имеем: fn → 0, но fn не сходится к 0 равномерно).

4. Для ограниченной функции f : Ω → C положим

‖f‖Ω ≡ supω∈Ω

|f(ω)|.

Введенная величина называется равномерной нормой ограниченной функции. Онаобладает всеми свойствами нормы:

‖f‖Ω = 0 ⇒ f = 0, ‖λf‖Ω = |λ|‖f‖Ω (λ ∈ C), ‖f + g‖Ω 6 ‖f‖Ω + ‖g‖Ω .

В терминах этой нормы удобно сформулировать условия равномерной сходимости.

5. Пусть fn : Ω → C (n = 1, 2, . . .) — последовательность функций. Следующиеусловия эквивалентны:

(а) fn сходится равномерно (к f),(б) ‖fn − f‖Ω → 0 (n →∞),(в) ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N (‖fn − fm‖Ω < ε),(г) ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀ω ∈ Ω (|fn(ω)− fm(ω)| < ε).

¶ (а) ⇒ (б). Достаточно заметить, что из (2) следует, что ‖fn − f‖Ω < ε при n > N .Уместно обратить внимание читателя, что в условии (а) не требуется ограниченно-сти функций. Тем не менее, при достаточно больших n разность fn− f уже обязанабыть ограниченной функцией.

(б) ⇒ (в). Пусть N ∈ N таково, что ‖fn − f‖Ω < ε/2 при n > N . Тогда

‖fn − fm‖Ω 6 ‖fn − f‖Ω + ‖fm − f‖Ω < ε (n,m > N).

169

(в) ⇒ (г) (!!).(г) ⇒ (а). Условие (г) означает, что при каждом ω ∈ Ω числовая последова-

тельность fn(ω) фундаментальна, а значит, существует f(ω) ≡ limn

fn(ω). Пусть N

таково, что |fn(ω) − fm(ω)| < ε (n,m > N, ω ∈ Ω). Переходя в этом неравенстве кпределу по m, имеем |fn(ω)− f(ω)| 6 ε (n > N, ω ∈ Ω). ¤

§139. Равномерная сходимость и непрерывность

Продемонстрируем, как работает понятие равномерной сходимости последова-тельности функций, заданных на топологическом пространстве.

1. Пусть E — топологическое пространство, функции fn : E → C (n = 1, 2, . . .)непрерывны в точке ω0 ∈ E и fn =⇒ f . Тогда f также непрерывна в точке ω0.¶ Пусть ε > 0 произвольно и N ∈ N таково, что |fn(ω)−f(ω)| < ε/3 (ω ∈ E). Так какfn непрерывна в ω0, найдется окрестность U точки ω0 такая, что |fn(ω)− fn(ω0)| <ε/3(ω ∈ U). Следовательно, для любой точки ω ∈ U :

|f(ω)− f(ω0)| 6 |f(ω)− fn(ω)|+ |fn(ω)− fn(ω0)|+ |fn(ω0)− f(ω0)| < ε. ¤

2. С л е д с т в и е. Если fn : E → C — последовательность функций, непрерыв-ных на топологическом пространстве E, и fn =⇒ f , то f непрерывна на E.

3. П р и м е р. Рассмотрим последовательность числовых функций fn(t) =(1 − nt) · χ

[0,1/n](t) (0 6 t 6 1). Очевидно fn непрерывны, причем для любой точки

t ∈ [0, 1] существует предел f(t) = limn

fn(t) =

0, если 0 < t 6 1,1, если t = 0.

. Однако, эта

предельная функция уже не непрерывна.

§140. Равномерная сходимость рядов функций

1. Пусть uj : Ω → C — последовательность числовых функций, заданных наабстрактном множестве Ω, так что каждой точке ω ∈ Ω можно сопоставить числовойряд

∞∑

j=1

uj(ω). (∗)

Ряд (∗) называется равномерно сходящимся, если равномерно сходится последова-

тельностьn∑

j=1uj(ω) его частных сумм.

Отметим непосредственное следствие 139.1.2. Пусть Ω — топологическое пространство, и функции uj : Ω → C (j =

1, 2, . . .) непрерывны в точке ω0. Пусть ряд (∗) сходится равномерно к функцииv : Ω → C. Тогда v непрерывна в точке ω0. Если, кроме того, все uj непрерывны наΩ, то и сумма ряда v непрерывна на Ω.

3. [Критерий Коши]. Ряд (∗) сходится равномерно ттогда

∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p ∀ω ∈ Ω(∣∣∣∣∣∣

n+p∑

j=n+1

uj(ω)

∣∣∣∣∣∣< ε

).

170

4. [Признак Вейерштрасса]. Пусть αj > 0, |uj(ω)| 6 αj (ω ∈ Ω) иn∑

j=1αj < +∞.

Тогда ряд (∗) сходится равномерно.¶ П. 3 — переформулировка для рядов критерия 138.5(г), п. 4 следует из п. 3 (!!). ¤

5. У п р а ж н е н и е. Исследовать на равномерную сходимость ряд∞∑

n=1x2e−nx

(0 6 x < +∞). (Примените п. 4.)

§141. Признаки сходимости Дирихле и Абеля

Следующие ниже признаки пригодны для неабсолютно сходящихся рядов веще-ственных функций. Рассмотрим ряд вида

∞∑

j=1

uj(ω)vj(ω), (1)

где uj , vj : Ω → R — вещественные функции.

1. [Признак Дирихле]. Пусть u1(ω) > u2(ω) > . . . (ω ∈ Ω), причем uk =⇒ 0,

и существует M > 0 такое, что |n∑

j=1vj(ω)| 6 M (ω ∈ Ω, n ∈ N). Тогда ряд (1)

сходится равномерно.

2. [Признак Абеля]. Пусть u1(ω) > u2(ω) > . . . (ω ∈ Ω), причем существует

M > 0 такое, что |uj(ω)| 6 M (j = 1, 2, . . .). Пусть, кроме того, ряд∞∑

j=1vj(ω)

сходится равномерно. Тогда ряд (1) также сходится равномерно.¶ П. 1. для фиксированного n ∈ N положим wk = vn+1 + . . . + vn+k (k = 1, 2, . . .).Имеет место тождество

p∑

k=1

un+kvn+k =p−1∑

k=1

(un+k − un+k+1)wk + un+pwp.

Следовательно,∣∣∣∣∣

p∑

k=1

un+k(ω)vn+k(ω)

∣∣∣∣∣ 6p−1∑

k=1

|un+k(ω)− un+k+1(ω)||wk(ω)|+ |un+p(ω)wp(ω)|. (2)

По условию |wk(ω)| = |n+k∑j=1

vj(ω) −n∑

j=1vj(ω)| 6 2M . С учетом монотонности после-

довательности uj(ω) имеем

|p∑

k=1

un+k(ω)vn+k(ω)| 6 2M(un+1(ω)− un+2(ω) + un+2(ω)− un+3(ω)

+ . . .− un+p(ω) + un+p(ω)) = 2Mun+1(ω) (ω ∈ Ω).

Так как uk =⇒ 0, согласно 140.3 получаем требуемое.

171

П. 2. В указанных выше обозначениях для любого ε > 0 существует N = N(ε)такое, что при n > N для всех ω ∈ Ω

|wk(ω)| = |vn+1(ω) + . . . + vn+k(ω)| < ε (k = 1, 2, . . .).

(это следует из 140.3, примененного к ряду∞∑

j=1vj(ω)). С учетом (2) и монотонности

uj(ω):∣∣∣∣

p∑k=1

un+k(ω)vn+k(ω)∣∣∣∣ 6 ε(un+1(ω) − un+p(ω)) + ε|un+p(ω)| 6 3εM . Снова в

силу 140.3 получаем требуемое. ¤3. П р и м е р. Исследуем на равномерную сходимость ряд

∞∑

n=1

sinnx

nα(α > 0). (3)

В случае α > 1 ряд сходится абсолютно и равномерно (см. 140.4). В случае α 6 1применим признак Дирихле, полагая vn(x) = sinnx, un(x) = n−α (=⇒ 0). Остается

исследовать на ограниченность суммы |n∑

j=1vj(x)| = | sinx + sin 2x + . . . + sin nx|. С

учетом тождества 2 sinα · sinβ = cos(α− β)− cos(α + β) имеем

sinx + sin 2x + . . . + sin nx = (2 sinx

2)−1[2 sin

x

2· sinx + . . . + 2 sin

x

2· sinnx]

= (2 sinx

2)−1[cos

x

2− cos

3x

2+ cos

3x

2− . . .−cos(n +

12)x]

= (2 sinx

2)−1[cos

x

2− cos(n +

12)x], x 6= 2πk (k ∈ Z).

Пусть ε > 0 произвольно мало. Тогда на отрезке [ε, 2π − ε] мы имеем |n∑

j=1vj(x)| 6

(sinε

2)−1 (n = 1, 2, . . .). Таким образом, ряд (3) при α 6 1 сходится равномерно на

любом отрезке вида [ε, 2π − ε], ε > 0.

У п р а ж н е н и я. Исследовать на равномерную сходимость

4.∞∑

n=1(−1)n 1

x + n(0 6 x < +∞),

5.∞∑

n=1(−1)n 1

n· xn

1 + xn(0 < x < 1).

6. Показать, что ряд (3) на отрезке [0, 2π] сходится неравномерно при 0 < α 6 1.

§142. Операции над равномерно сходящимися рядами

1. Пусть Ω(⊂ Rn) J-измеримо и замкнуто, fn : Ω → R непрерывны и fn =⇒ f .

Тогда limn

∫

Ω

fn(x) dx =∫

Ω

f(x) dx.

¶ В силу 139.2 функция f непрерывна и, в частности, интегрируема на Ω. Согласно138.5 ‖fn − f‖Ω → 0 (n → +∞). Поэтому∣∣∣∣∫

Ω

fn(x) dx−∫

Ω

f(x) dx

∣∣∣∣ 6∫

Ω

|fn(x)− f(x)| dx 6 ‖fn − f‖Ωm(Ω) → 0 (n → +∞). ¤

172

В качестве следствия приведем теорему о почленном интегрировании равномерносходящегося ряда.

2. Пусть Ω(⊂ Rn) J-измеримо и замкнуто, un : Ω → R непрерывны, и ряд∞∑

n=1un(x) сходится равномерно на Ω. Тогда

∫

Ω

( ∞∑

n=1

un(x))dx =

∞∑

n=1

∫

Ω

un(x) dx.

Полезно выделить случай, когда функции заданы на отрезке числовой прямой.

3. Пусть un(t) (a 6 t 6 b) непрерывны и ряд∞∑

n=1un(t) сходится равномерно на

[a, b]. Тогда ∫ x

a

( ∞∑

n=1

un(t))dt =

∞∑

n=1

∫ x

aun(t) dt (a 6 x 6 b), (1)

причем ряд в правой части сходится равномерно.¶ В силу п. 2 в доказательстве нуждается лишь равномерная сходимость ряда вправой части (1). Требуемое следует из оценки

∣∣n+p∑

k=n+1

∫ x

auk(t) dt

∣∣ 6∫ x

a

∣∣n+p∑

k=n+1

uk(t)∣∣ dt 6 (b− a)‖

n+p∑

k=n+1

uk‖[a,b]. ¤

4. Пусть uj : [a, b] → R — гладкие функции, причем

(а) при некотором c (a 6 c 6 b) сходится числовой ряд∞∑

j=1uj(c),

(б) ряд∞∑

j=1u′j(x) сходится равномерно на [a, b].

Тогда ряд∞∑

j=1uj(x) сходится равномерно на [a, b] и

( ∞∑j=1

uj(x))′ =

∞∑j=1

u′j(x).

¶ Положим ϕ(x) =∞∑

j=1u′j(x) (a 6 x 6 b), vj(x) = uj(x) − uj(c) (j ∈ N). Согласно

п. 3∫ x

cϕ(t) dt =

∞∑

j=1

(∫ x

cu′j(t) dt

)=

∞∑

j=1

vj(x), и ряд∞∑

j=1vj(x) сходится равномерно.

Поэтому равномерно сходится ряд∞∑

j=1uj(x) =

∞∑j=1

[vj(x) + uj(c)]. При этом

[ ∞∑

j=1

uj(x)]′ = [ ∞∑

j=1

vj(x)]′ = [∫ x

cϕ(t) dt

]′ = ϕ(x) =∞∑

j=1

u′j(x). ¤

5. П р и м е р [ζ-функция Римана]. Рассмотрим функцию, заданную рядом

ζ(x) ≡∞∑

n=1

1nx

(x > 1). В указанной области функция ζ непрерывна (!!). Покажем,что

ζ ′(x) = −∞∑

n=1

ln n

nx(x > 1). (2)

173

Для этого выберем a так, чтобы 1 < a < x. Тогда из оценки∞∑

n=1

lnn

nx<

∞∑n=1

ln n

na<

C∞∑

n=1

1na−ε

(где ε > 0 таково, что 1 < a − ε) следует, что ряд∞∑

n=1

ln n

nxсходится

равномерно в области [a, +∞). В силу п. 4 это означает справедливость (2).

§143. Степенные ряды в комплексной плоскости

Мы рассмотрим некоторые элементарные факты из теории степенных рядов (восновном связанные с общей теорией рядов функций, изложенной выше) в ком-плексной плоскости. Подробно такие ряды изучаются в курсе теории функций ком-плексного переменного.

1. Пусть a0, a1, . . . — последовательность комплексных чисел. Степенным рядомпо степеням z называется формальная сумма

∞∑

k=0

akzk, z ∈ C. (∗)

Первый естественный вопрос — вопрос об области сходимости этого ряда.

2. [1-ая теорема Абеля]. Если ряд (∗) сходится в точке z0 ∈ C, то он сходитсяабсолютно и равномерно в круге |z| 6 q при любом q (0 < q < |z0|).¶ Так как ряд

∞∑k=0

akzk0 сходится, то akz

k0 → 0 (k → +∞). Следовательно, найдется

M > 0 такое, что |akzk0 | 6 M (k = 0, 1, 2, . . .). В силу условий теоремы α =

q

|z0| < 1.

Следовательно в круге |z| 6 q : |akzk| = |akz

k0 |

∣∣ z

z0

∣∣k 6 Mαk (k = 0, 1, 2, . . .). Осталось

к ряду∞∑

k=0

akzk (|z| 6 q) применить признак 140.4. ¤

3. Доказанная теорема позволяет сразу очень много сказать об областиΣ = z ∈ C : ряд (∗) сходится сходимости ряда (∗). Назовем радиусом сходимостиряда (∗) величину

R =

supz∈Σ

|z|, если Σ ограничено,

+∞, если Σ не ограничено.

Из п. 2 непосредственно следует:

4. (а) Если |z| < R, то z ∈ Σ, то есть (∗) сходится.(б) Если |z| > R, то ряд (∗) расходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда (∗) является кругом (воз-можно, несобственным). Отметим, что теорема п. 2 не дает информации о поведенииряда на границе круга сходимости |z| = R.

§144. Формула Коши-Адамара

Для определения радиуса сходимости имеется формула, позволяющая иногдаэффективно вычислять этот радиус через коэффициенты ряда.

174

1. R = [limk|ak|1/k]−1 (при этом 1/ +∞ ≡ 0, 1/0 ≡ +∞).

¶ Наряду с величиной R (§143), положим r = [limk|ak|1/k]−1. Требуется убедиться,

что r = R.

Случай (а): R > 0. Пусть 0 < R1 < R. Тогда согласно 143.2 ряд∞∑

k=0

|akRk1 |

сходится, и значит, существует M > 0 такое, что |akRk1 | 6 M (k = 0, 1, 2, . . .). Следо-

вательно, limk|ak|1/k 6 1

R1· lim

kM1/k =

1R1

. Отсюда r > R1, и следовательно r > R.

Случай (б): R < +∞. В силу 143.2 в точке z = R1 > R ряд (∗) §143 расходится.

Тем более расходится ряд∞∑

k=0

|ak|Rk1 . В силу 14.3 lim

k|ak|1/k = R1/r > 1. Отсюда

R/r > 1, и следовательно R > r. Таким образом, равенство R = r установлено дляслучая, когда 0 < R < +∞. Оно, однако, справедливо и для значений R = 0, +∞.Если R = 0, то в силу случая (б) r = 0; если R = +∞, то в силу случая (а) r = +∞. ¤

2. П р и м е р. Ряд∞∑

n=0

zn

n!сходится при любом z ∈ C. (По формуле Коши-

Адамара R = limn

(n!)1/n = +∞.)

§145. Дифференцирование степенного ряда

1. Для степенного ряда∞∑

k=0

akzk (1)

корректно определена функция

f(z) =∞∑

k=0

akzk (|z| < R), (2)

где R — радиус сходимости ряда (1). Эта функция обладает замечательным свой-ством:

2.Функция f(z) дифференцируема в круге |z| < R и f ′(z) =∞∑

k=1

kakzk−1 (|z| < R).

¶ Радиус сходимости степенного ряда∞∑

k=1

kakzk−1 равен R, так как

limk|(k + 1)ak+1|1/k = lim

k|ak|1/k . Пусть |z| < R. Тогда существуют R1 < R и δ > 0

такие, что ∀t ∈ Bδ(0)(|z+ t| < R1), где Bδ(0) = t ∈ C : |t| < δ. Определим функции

gk(t) =

ak · 1t

[(z + t)k − zk], если t ∈ Bδ(0),

kakzk−1, если t = 0,

(k ∈ N).

При этом gk(t) = ak[(z + t)k−1 + z(z + t)k−2 + . . . + zk−1] (t ∈ Bδ(0)) непрерывны наBδ(0) и

|gk(t)| 6 k|ak|Rk−11 (t ∈ Bδ(0), k ∈ N). (3)

175

Тогда для t ∈ Bδ(0) :1t[f(z+t)−f(z)] =

∞∑k=1

gk(t), причем сумма ряда в правой части

в силу оценки (3) и свойства 140.2 является непрерывной функцией. Следовательно,

f ′(z) = limt→0

1t[f(z + t)− f(z)] = lim

t→0

∞∑

k=1

gk(t) =∞∑

k=1

gk(0) =∞∑

k=1

kakzk−1. ¤

3. Функция f(z), заданная равенством (2), имеет в круге |z| < R производныевсех порядков. При этом справедлива формула Тейлора

f(z) =∞∑

k=0

f (k)(0)k!

zk (|z| < R).

¶ Утверждение является непосредственным следствием п. 2. ¤

§146. О понятии аналитической функции

1. Вместо рядов по степеням z можно, разумеется, рассматривать степенныеряды по степеням z−z0, где z0 — фиксированное число. На такие ряды переносятсявсе доказанные выше результаты.

Пусть G ⊂ C открыто. Функция f : G → C называется аналитической в G, если

для любой точки z0 ∈ G существует δ > 0 такое, что f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k для всех

z ∈ Bδ(z0). Из 145.3 следует, что аналитическая функция обладает производнымивсех порядков.

2. П р и м е р [экспонента]. Положим по определению

exp(z) ≡∞∑

k=0

1k!

zk, z ∈ C.

В силу 144.2 эта функция корректно задана в C. Справедливо важное тождество

exp(z + t) = exp(z) · exp(t), z, t ∈ C. (∗)

¶ Его справедливость следует из выкладки

exp(z) · exp(t) =( ∞∑

k=0

1k!

zk

)( ∞∑

m=0

1m!

tm)

=∞∑

k,m=0

zktm

k!m!=

∞∑

r=0

1r!

( ∑

k+m=r

r!k!m!

zktm)

=∞∑

r=0

1r!

( r∑

k=0

(r

k

)zktr−k

)=

∞∑

r=0

1r!

(z + t)r = exp(z + t)

(все операции справедливы в силу абсолютной сходимости участвующих в выкладкерядов). ¤

Отметим также, что exp(z) — аналитическая в C функция. Действительно, из(∗) для любой точки z0 ∈ C :

exp(z) = exp(z0) · exp(z − z0) =∞∑

k=0

1k!

exp(z0)(z − z0)k (z ∈ C).

176

У п р а ж н е н и я. 3. Доказать, что аналитическими являются следующие

функции, заданные рядами: sin z ≡∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!z2k+1, cos z ≡

∞∑k=0

(−1)k

(2k)!z2k (z ∈ C).

4. Охарактеризовать степенные ряды, сходящиеся равномерно во всей комплекс-ной плоскости.

§147. Вещественные степенные ряды

1. Вещественным степенным рядом по степеням x называется формальнаясумма

∞∑

k=0

akxk, (1)

где коэффициенты ak также вещественны. В силу свойств комплексных степенныхрядов можно говорить о радиусе R сходимости ряда (1). Именно, R (0 6 R 6 +∞)характеризуется условиями: при |x| < R ряд (1) сходится, а при |x| > R заведоморасходится. Из 1-й теоремы Абеля следует, что при любом q < R ряд (1) сходитсяабсолютно и равномерно на отрезке [−q, q]. Поведение ряда в точках ±R требуетспециального изучения. Отметим некоторые специфические свойства вещественныхстепенных рядов.

2. [2-я теорема Абеля]. Пусть R(< +∞) — радиус сходимости ряда (1) и ряд схо-

дится в точке x = R. Тогда функция f , заданная равенством f(x) ≡∞∑

k=0

akxk (−R <

x 6 R), непрерывна.¶ Функция f непрерывна на интервале (−R, R) по 1-й теореме Абеля, и нуждается впроверке ее непрерывность в точке x = R. Для этого рассмотрим наш ряд на отрезке

[0, R]. Полагая vk(x) = akRk, uk(x) =

( x

R

)k(0 6 x 6 R), получим

∞∑k=0

akxk =

∞∑k=0

uk(x)vk(x). К ряду, стоящему в правой части, применим признак 141.2, так что

этот ряд сходится равномерно на отрезке [0, R]. В силу 140.2 его сумма являетсянепрерывной на отрезке [0, R] функцией. В частности, f непрерывна в точке R. ¤

3. Ряд (1) можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:∫ x

0(∞∑

k=0

aktk) dt =

∞∑

k=0

ak

k + 1xk+1 (|x| < R). (Это следствие 1-й теоремы Абеля и

свойства 141.3.)

4. П р и м е р. Покажем, что

arctg x =∞∑

k=0

(−1)k x2k+1

2k + 1(|x| 6 1). (2)

В силу п. 3 имеем для |x| < 1:

arctg x =∫ x

0

dt

1 + t2=

∫ x

0(∞∑

k=0

(−1)kt2k)dt =∞∑

k=0

(−1)k x2k+1

2k + 1.

При |x| = 1 ряд в правой части (2) сходится как ряд Лейбница (13.8). Следовательно,по 2-й теореме Абеля равенство (2) имеет место на всем отрезке [−1, 1].

177

ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ. РЯДЫ ФУРЬЕ

В этом разделе мы будем смотреть на функции как на представителей опре-деленного класса функций. Основной интерес для нас будет представлять задачааппроксимации функций такого, например, типа: задана “хорошая” система функ-ций S = f1(x), f2(x), . . .; можно ли заданную функцию f(x) приблизить линейнойкомбинацией функций системы S? Нужно, конечно, еще уточнить, что значит “при-близить”. Например, если S = 1, x, x2, . . ., и f : [a, b] → R непрерывна, то можнопоставить вопрос о равномерной аппроксимации. Иногда разумно в качестве S рас-сматривать тригонометрическую систему функций 1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x, . . ..

§148. Нормированные пространства

1. Векторное пространство X над полем Λ (= C или R) (см. 62.1) называетсянормированным пространством, если задано отображение (называемое нормой)‖ · ‖ : X → R, обладающее свойствами:

(I) ‖x‖ = 0 ⇒ x = θ,

(II) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ (λ ∈ Λ, x ∈ X),

(III) ‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ (x, y ∈ X).

Мы имели уже дело с нормированными пространствами: вспомним конечномерноепространство, снабженное евклидовой нормой, пространство линейных отображе-ний из одного евклидова пространства в другое с операторной нормой (74.1).

2. Пусть X — нормированное пространство. Отображение d : X×X → R, задан-ное равенством d(x, y) ≡ ‖x − y‖ (x, y ∈ X), является метрикой в X (!!), и потомуна нормированные пространства переносятся соответствующие метрические и топо-логические понятия. В частности, множество Y в нормированном пространстве Xназывается ограниченным, если ∃C > 0 ∀x ∈ Y (‖x‖ 6 C). Нормированное простран-ство X является сепарабельным (см. 95.5), если существует Y = x1, x2, . . . ⊂ Xтакое, что ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃xn ∈ Y (‖x− xn‖ < ε).

Нормированное пространство, полное относительно введенной метрики (§92), на-зывается банаховым пространством.

3. В нормированных пространствах можно говорить о сходимости рядов. Гово-рят, что ряд

∞∑

k=1

uk (uk ∈ X) (∗)

сходится к элементу u ∈ X, если к u сходится последовательность sn =n∑

k=1

uk

частных сумм этого ряда. Ряд (∗) называется сходящимся абсолютно, если сходится

числовой ряд∞∑

k=1

‖uk‖.

4. Нормированное пространство полно ттогда всякий абсолютно сходящийсяряд сходится.

178

¶ Необходимость. В силу полноты достаточно показать, что последовательность(sn) частных сумм ряда (∗) фундаментальна. Это следует из оценки ‖sn+p − sn‖ =

‖n+p∑

k=n+1

uk‖ 6n+p∑

k=n+1

‖uk‖ с учетом сходимости ряда∞∑

k=1

‖uk‖.

Достаточность. Пусть всякий абсолютно сходящийся ряд сходится и (xn) —произвольная фундаментальная последовательность. Покажем, что она содержитсходящуюся подпоследовательность. Пусть λn = sup

m>n‖xn − xm‖. Тогда lim λn = 0.

Следовательно, у последовательности (λn) существует подпоследовательность (λnj )такая, что λnj < j−2 при всех j. Тогда ‖xnj − xnj+1‖ 6 j−2, откуда ряд

∑gj , где

g1 = xn1 , gj+1 = xnj+1 −xnj (j > 1), абсолютно сходится, а следовательно, сходится.

Так как xnk=

k∑j=1

gj , подпоследовательность (xnk) сходится. Теперь установим, что

сходится сама последовательность (xn): если limk

xnk= x, то ‖xn−x‖ 6 ‖xn−xnk

‖+

‖xnk− x‖. ¤

5. Часто при изучении векторных пространств имеют дело с отображениямиболее общими, чем норма. Отображение ‖ · ‖ : X → R называется полунормой, еслионо обладает свойствами (II), (III) п. 1. Отметим простые свойства полунормы (!!):

(а) ‖θ‖ = 0; ∀u ∈ X (‖u‖ > 0);

(б) | ‖u‖ − ‖v‖ | 6 ‖u− v‖ (u, v ∈ X).

У п р а ж н е н и я. 6. Всякая фундаментальная последовательность в норми-рованном пространстве ограничена.

7. В банаховом пространстве перестановка членов абсолютно сходящегося рядане влияет на его сумму.

§149. Примеры нормированных пространств

1. Пусть Ω — абстрактное множество. Обозначим через B(Ω) нормированноепространство всех ограниченных функций f : Ω → C с нормой

‖f‖Ω ≡ supω∈Ω

|f(ω)|. (∗)

Сходимость функций по этой норме означает их равномерную сходимость (§138).

2. B(Ω) — банахово пространство.¶ Пусть последовательность fn ∈ B(Ω) фундаментальна по норме (∗). Из критерия138.5 следует, что ‖fn − f‖Ω → 0 (n → ∞), и остается доказать, что предельнаяфункция f ограничена. Пусть C > 0 таково, что ‖fn‖Ω 6 C (n ∈ N) (см. 148.6).Тогда |f(ω)| = lim

n|fn(ω)| 6 C (ω ∈ Ω). ¤

3. Пусть Ω — компактное пространство, C(Ω) — нормированное пространствовсех непрерывных функций f : Ω → C (или R) с нормой (∗). В силу 106.3 имеетместо включение C(Ω) ⊂ B(Ω). Из свойства 139.1 следует:

4. C(Ω) — банахово пространство.

179

5. Пусть Ω — невырожденный (см. 118.2) J-измеримый компакт в Rn. Функция

‖f‖1 ≡∫

Ω

|f(x)| dx — норма на C(Ω) (!!). Однако, C(Ω) не полно по этой норме.

¶ Например, если Ω = [−1, 1] ⊂ R, то последовательность функций

fn(t) =

1, если t ∈ [−1,−1/n],0, если t ∈ [1/n, 1],12(1− nt), если t ∈ [−1/n, 1/n]

является фундаментальной по норме ‖ · ‖1, но не сходится по этой норме ни к какойфункции f ∈ C[−1, 1] (!!). ¤

6. З а м е ч а н и е. Если ‖fn‖Ω → 0, то ‖fn‖1 → 0. Однако обратное, вообще гово-ря, неверно: в примере 139.3 последовательность fn обладает свойствами ‖fn‖1 → 0,но fn не стремится к 0 равномерно.

У п р а ж н е н и я. 7. Пусть Ω — локально компактное пространство и C0(Ω) —нормированное пространство всех непрерывных функций f : Ω → C, обращающихсяв нуль на ∞ (то есть для любого ε > 0 существует компактное множество K ⊂ Ωтакое, что |f(ω)| < ε при любом ω ∈ Ω\K) с нормой (∗)). Показать, что C0(Ω) —банахово пространство.

8. Пусть A = f ∈ C[0, 1] : 0 < f(t) < 1 (t ∈ [0, 1]), где C[0, 1] — пространствовещественных непрерывных функций. Докажите, что A — открыто в нормирован-ном пространстве C[0, 1] с нормой ‖f‖ = max

06t61|f(t)| и A — не открыто в C[0, 1] с

нормой ‖f‖1 =∫ 1

0|f(t)| dt.

§150. Факторизация. Пространство R1(Ω)

1. Пусть ‖ · ‖ — полунорма в векторном пространстве X. Отсутствие свойства148.1 (I) часто бывает неудобным. Однако есть стандартная процедура (факториза-ция), позволяющая получать из полунормы норму. Введем отношение эквивалент-ности ρ в X : ρ(x, y) означает, что ‖x − y‖ = 0 (это действительно отношениеэквивалентности (!!)). Обозначим элементы фактор-множества X/ρ через ρ(x) (этосмежные классы). Операции

ρ(x) + ρ(y) ≡ ρ(x + y), λρ(x) ≡ ρ(λx) (x, y ∈ X, λ ∈ Λ)

определяют в X/ρ структуру векторного пространства (!!). Нуль в X/ρ — это ρ(θ) =x ∈ X : ‖x‖ = 0. Отображение ‖ · ‖ρ : X/ρ → R, заданное равенством

‖ρ(x)‖ρ ≡ ‖x‖ (ρ(x) ∈ X/ρ), (∗)

определяет норму в X/ρ. Отметим, что отображение ‖ ·‖ρ определено корректно, тоесть ‖ρ(x)‖ρ не зависит от выбора представителя x из ρ(x). Действительно, пусть z— еще один элемент множества ρ(x). Тогда ‖x− z‖ = 0 и следовательно,

‖x‖ = ‖x− z + z‖ 6 ‖x− z‖+ ‖z‖ = ‖z‖,‖z‖ = ‖z − x + x‖ 6 ‖z − x‖+ ‖x‖ = ‖x‖.

180

Отображение ‖ · ‖ρ удовлетворяет требованию 148.1(I):

‖ρ(x)‖ρ = 0 ⇒ ‖x‖ = 0 ⇒ ρ(x) = ρ(θ).

Свойства (II) и (III) также, очевидно, выполняются.

2. Проиллюстрируем изложенную схему на характерном примере. Пусть Ω —невырожденный J-измеримый компакт в Rn. Естественно распространить норму‖ · ‖1 (см. 149.5) с пространства C(Ω) на векторное пространство функций абсолют-но интегрируемых по Риману, возможно, в несобственном смысле. Однако на этомвекторном пространстве функция ‖ · ‖1 уже не является нормой. Применяя проце-дуру факторизации, мы придем к нормированному пространству (будем обозначатьего R1(Ω)), элементами которого являются классы функций, абсолютно интегриру-емых по Риману. При этом если две функции f и g принадлежат одному классу,

то∫

Ω

|f(x) − g(x)| dx = 0. В частности, нулем пространства R1(Ω) является класс

всех функций θ : Ω → C таких, что∫

Ω

|θ(x)| dx = 0. Допуская вольность, мы будем

говорить об элементах пространства R1(Ω) как о функциях, помня, что на деле мыоперируем с представителями классов функций.

3. Более общим образом, пусть Ω — локально J-измеримое подмножество Rn

и R1(Ω) — нормированное пространство функций (точнее, классов функций), аб-солютно интегрируемых по Риману, возможно в несобственном смысле, с нормой

‖f‖1 ≡∫

Ω

|f(x)| dx.

4. У п р а ж н е н и е. Пусть Ω — локально J-измеримое подмножество Rn ифункция θ абсолютно интегрируема на Ω. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) θ(x) = 0 п.в., (ii)∫

Ω

|θ(x)| dx = 0.

§151. Теорема о плотности

Мы докажем важную в техническом отношении теорему, показывающую, чтопри расширении естественной области определения нормы ‖ · ‖1 с пространстваC(Ω) на R1(Ω) исходное пространство остается плотным в R1(Ω).

1. Пусть Ω (⊂ Rn) локально J-измеримо. Носителем функции f : Ω → C(обозначается supp (f)) назовем замыкание в Rn множества x ∈ Ω : f(x) 6= 0.

Обозначим через C00(Ω) пространство непрерывных функций f ∈ C(Ω), носите-ли которых компактны и лежат в Ω (внутренности Ω). Ясно, что C00(Ω) ⊂ C0(Ω),где C0(Ω) определено в 149.7. Привлекая топологическое понятие плотности (95.5),приведем обещанную теорему.

2. Пространство C00(Ω) плотно в R1(Ω) по норме ‖ · ‖1.¶ Приведем доказательство в геометрически наглядном частном случае n = 1, Ω =

R, интеграл∫ +∞

−∞|f(x)| dx имеет особенности лишь в точках ±∞ (доказательство

общего случая, по сравнению с разбираемым, не вызывает затруднений). Итак, мы

181

должны для произвольного ε > 0 суметь подобрать функцию ϕ ∈ C00(Ω) так, чтобы∫ +∞

−∞|f(x)− ϕ(x)| dx < ε.

Сначала выберем N > 0 так, чтобы∫

|x|>N

|f(x)|dx < ε/3 (это возможно в силу

сходимости интеграла∫ +∞

−∞|f(x)| dx). Положим g ≡ χ

[−N,N ]· f , где χ

[−N,N ]— ха-

рактеристическая функция отрезка [−N,N ] (см. 1.10). Функция g интегрируема поРиману на отрезке [−N, N ] и, следовательно, существует разложение ∆(−N = x0 <x1 < . . . < xn = N) такое, что

∣∣∫ N

−Ng(x) dx−

n∑

i=1

mi(xi − xi−1)∣∣ < ε/3, mi = inf

xi−16x6xi

g(x).

Положим h =n∑

i=1miχ[xi−1,xi]

и заметим (Рис. 22), что существует ϕ ∈ C00(Ω) со

свойством∫ N

−N|ϕ(x)− h(x)| dx < ε/3, supp (ϕ) ⊂ [−N, N ]. Функция ϕ искомая:

∫ +∞

−∞|f(x)− ϕ(x)| dx =

∫ −N

−∞+

∫ N

−N+

∫ +∞

−N=

∫

|x|>N

|f(x)| dx +∫ N

−N|f(x)− ϕ(x)| dx

<ε

3+

∫ N

−N|g(x)− h(x)| dx +

∫ N

−N|ϕ(x)− h(x)| dx < ε. ¤

§152. Унитарные пространства

1. На векторные пространства переносится понятие скалярного произведения вCn. Напомним (см. 62.5), что скалярным произведением векторов u = (u1, . . . , un),

v = (v1, . . . , vn) из Cn называется число 〈u, v〉 ≡n∑

i=1uivi. Отметим основные свойства

этого скалярного произведения:

(I) 〈u, v〉 — линейная форма по u и антилинейная по v, то есть

〈λ1u1 + λ2u2, v〉 = λ1〈u1, v〉+ λ2〈u2, v〉,〈u, λ1v1 + λ2v2〉 = λ1〈u, v1〉+ λ2〈u, v2〉 (λi ∈ C),

182

(II) 〈u, v〉 = 〈v, u〉,(III) 〈u, u〉 > 0,

(IV) 〈u, u〉 = 0 ⇒ u = θ.

Указанные свойства берутся в качестве постулатов скалярного произведения в об-щем случае.

2. Векторное пространство E над полем Λ(= C или R) называется унитарнымпространством, если определено отображение 〈·, ·〉: E × E → Λ, сопоставляющеекаждой паре u, v ∈ E×E скаляр 〈u, v〉 ∈ Λ, причем удовлетворяются требования(I)–(IV). В этом случае это отображение называется скалярным произведением в E.Если Λ = R, унитарное пространство называется вещественным.

3. Всякое унитарное пространство E является нормированным относительнонормы, индуцированной скалярным произведением:

‖u‖ ≡√〈u, u〉 (u ∈ E). (∗)

Чтобы доказать это утверждение, установим сначала неравенство Коши-Буняковскогодля унитарного пространства:

4. |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖.¶ Пусть 〈u, v〉 6= 0 (иначе утверждение очевидно). Тогда при λ ∈ R с использованиемсвойства (I) имеем

0 6 ‖ 〈v, u〉|〈u, v〉|u + λv‖2 = λ2‖v‖2 + 2λ|〈u, v〉|+ ‖u‖2.

Из неотрицательности трехчлена переменной λ в правой части этого неравенстваследует, что дискриминант трехчлена неположителен: |〈u, v〉|2 − ‖u‖2‖v‖2 6 0, чтои требовалось. ¤

5. З а м е ч а н и е. При доказательстве п. 4 свойство (IV) не использовалось.

6. Доказательство п. 3. В проверке нуждается лишь свойство 148.1 (III). Сучетом п. 4 имеем

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + 2Re 〈u, v〉+ ‖v‖2

6 ‖u‖2 + 2|〈u, v〉|+ ‖v‖2 6 ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2

= (‖u‖+ ‖v‖)2.

7. З а м е ч а н и е. Если форма 〈u, v〉 обладает свойствами (I) — (III), торавенство (∗) определяет полунорму в E.

8. В дальнейшем, говоря о топологических свойствах унитарного пространства,мы всегда имеем в виду, что речь идет о топологии, определяемой нормой (∗). От-метим, в частности, что скалярное произведение является непрерывной функциейсвоих переменных: если un → u, vn → v, то 〈un, vn〉 → 〈u, v〉.

183

¶ Так как un → u, существует константа C > 0 такая, что ‖un‖ 6 C (n ∈ N).Следовательно, с учетом п. 4 имеем

|〈u, v〉 − 〈un, vn〉| = |〈u, v〉 − 〈un, v〉+ 〈un, v〉 − 〈un, vn〉|6 |〈u− un, v〉|+ |〈un, v − vn〉|6 ‖un − u‖ · ‖v‖+ ‖un‖ · ‖v − vn‖ → 0 (n →∞). ¤

У п р а ж н е н и я. 9. Пусть Ω ⊂ Rn — невырожденный J-измеримый компакт.

Равенство 〈f, g〉 ≡∫

Ω

f(x)g(x) dx (f, g ∈ C(Ω)) определяет скалярное произведение

в C(Ω).10. Показать, что в унитарном пространстве

(i) для попарно ортогональных векторов f1, . . . , fn :

‖n∑

i=1

fi‖2 =n∑

i=1

‖fi‖2 (теорема Пифагора),

(ii) [равенство параллелограмма] для любых векторов f, g:

‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 2(‖f‖2 + ‖g‖2),

(iii) в неравенстве п. 4 имеет место равенство ттогда u и v линейно зависимы,

(iv) равенство ‖u + v‖ = ‖u‖+ ‖v‖ выполняется ттогда u = λv, λ > 0 (если v 6= θ).

§153. Пространство R2(Ω)

1. Пусть Ω(⊂ Rn) — локально J-измеримо. Рассмотрим множество всех функций

f : Ω → C, обладающих свойством: интеграл∫

Ω

f(x) dx имеет не более конечного

числа особенностей, а интеграл∫

Ω

|f(x)|2 dx сходится как несобственный интеграл

Римана. Из неравенства |f(x)g(x)| 6 12[|f(x)|2 + |g(x)|2] следует, что для двух функ-

ций f и g из данного класса сходится интеграл∫

Ω

f(x)g(x) dx, и потому этому же

классу функций принадлежит f +g. Таким образом, рассматриваемый класс функ-ций является векторным пространством относительно обычных операций сложенияфункций и умножения их на скаляр. Равенство

〈f, g〉 ≡∫

Ω

f(x)g(x) dx (∗)

определяет на этом векторном пространстве форму, обладающую, очевидно, свой-ствами (I) — (III), и в силу 152.5 имеет место интегральное неравенство Коши-Буняковского

184

2.∣∣∣∣∫

Ω

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ 6[∫

Ω

|f(x)|2 dx]1/2[∫

Ω

|g(x)|2 dx]1/2,

а также интегральное неравенство Шварца (см. 152.7)

3.[∫

Ω

[f(x) + g(x)]2 dx]1/2 6

[∫

Ω

|f(x)|2 dx]1/2 +

[∫

Ω

|g(x)|2dx]1/2.

4. Факторизуя (методом §150) наше векторное пространство по полунорме

‖f‖2 ≡[∫

Ω

|f(x)|2 dx]1/2, придем к нормированному пространству R2(Ω), элемен-

ты которого — классы функций рассмотренного выше векторного пространства.

Причем функции f и g принадлежат одному классу ттогда∫

Ω

|f(x)− g(x)|2dx = 0.

Допуская вольность, мы будем говорить о классах функций как о функциях. Итак,R2(Ω) — унитарное пространство со скалярным произведением (∗).

5. З а м е ч а н и е. Если Ω ограничено и J-измеримо, то R2(Ω) ⊂ R1(Ω) χΩ ∈R2(Ω), и для f ∈ R2(Ω) (см. п. 2):

∫

Ω

|f(x)| dx =∫

Ω

|f(x)χΩ(x)| dx 6[∫

Ω

|f(x)|2 dx]1/2 ·m(Ω)1/2 < +∞.

Для пространства R2(Ω) также справедлива теорема о плотности, аналогичнаядоказанной в §151.

6. Пусть Ω(⊂ Rn) локально J-измеримо. Тогда пространство C00(Ω) плотно вR2(Ω) по норме ‖ · ‖2.

¶ Пусть f ∈ R2(Ω), и для определенности интеграл∫

Ω

|f(x)|2 dx имеет единственную

особенность в точке∞. Пусть ε > 0 произвольно и N > 0 таково, что∫

Ω\BN (θ)

|f(x)|2 dx

< ε2/2. Не ограничивая общности, можно считать, что ΩN ≡ Ω ∩ BN (θ) невы-

рождено. Так как∫

ΩN

|f(x)|2dx определен как интеграл Римана, существует K =

supx∈ΩN

|f(x)|. В силу п. 5 и 151.2 существует ϕ ∈ C00(ΩN ) такая, что∫

ΩN

|f(x) − ϕ(x)|dx <ε2

4K. С учетом способа построения функции ϕ в 151.2 мож-

но считать, что supx∈ΩN

|ϕ(x)| 6 K, так что |f(x) − ϕ(x)| 6 2K (x ∈ ΩN ). Поэтому∫

ΩN

|f(x)− ϕ(x)|2dx 6 2K

∫

ΩN

|f(x)− ϕ(x)|dx <ε2

2. Наконец,

‖f−ϕ‖2 =[∫

Ω

|f(x)−ϕ(x)|2 dx]1/2 =

[∫

ΩN

|f(x)−ϕ(x)|2 dx+∫

Ω\BN (θ)

|f(x)|2dx]1/2 6 ε. ¤

185

§154. Гильбертово пространство. Пространство `2

1. Унитарное пространство, полное относительно нормы, индуцированной ска-лярным произведением, называется гильбертовым пространством (или простран-ством Гильберта).

Это очень важный для анализа класс пространств, детально изучаемый позднее.Здесь мы только в небольшой степени коснемся свойств гильбертовых пространств.

2. П р и м е р [гильбертово пространство `2]. Это пространство уже вводилось(см. 92.8). Напомним, что элементами его являются комплексные последователь-

ности u = (u1, u2, . . .), для которых∞∑i=1

|ui|2 < +∞. Относительно обычных опе-

раций сложения и умножения на скаляр — это векторное пространство, а форма

〈u, v〉 ≡∞∑i=1

uivi (u, v ∈ `2) определяет в `2 скалярное произведение. Покажем, что

унитарное пространство `2 является полным относительно индуцированной нормы

‖u‖ = [∞∑i=1

|ui|2]1/2.

¶ Пусть uk = (u1k, u2

k, . . .) — фундаментальная последовательность из `2, то есть

‖uk − us‖2 =∞∑

i=1

|uik − ui

s|2 → 0 (k, s →∞). (1)

Следовательно, для каждого фиксированного i числовая последовательность (uik)k∈N

фундаментальна и потому сходится. Пусть ui ≡ limk

uik. Чтобы завершить доказа-

тельство полноты, нужно установить:

u = (u1, u2, . . .) ∈ `2, (2)

‖uk − u‖ → 0 (k →∞). (3)

В силу (1) ∀ε > 0 ∃k0 ∀k > k0 ∀p (‖uk+p−uk‖ < ε), то есть при любом фиксированном

N :n∑

i=1|ui

k+p − uik|2 6 ‖uk+p − uk‖2 < ε2. Устремляя p к ∞, имеем

n∑i=1

|ui − uik|2 6

ε2 (k > k0). Из произвольности N теперь заключаем, что∞∑i=1

|ui−uik|2 6 ε2 (k > k0),

то есть u = (u − uk) + uk ∈ `2, и (2) установлено. Отсюда же ‖u − uk‖2 < ε2 длялюбого k > k0, так что (3) также имеет место. ¤

§155. Ортонормированные системы векторов

1. С помощью скалярного произведения естественно вводится понятие ортого-нальности: векторы u, v в унитарном пространстве E называются ортогональными,если 〈u, v〉 = 0. Более общим образом, система векторов (ej)j∈J называется ортого-нальной, если векторы ее попарно ортогональны. Если, кроме того, ‖ej‖ = 1 (j ∈ J),то система называется ортонормированной.

Пусть (ej)j∈J — ортонормированная система в унитарном пространстве E иu ∈ E произволен. Числа 〈u, ej〉 называются коэффициентами Фурье вектора uотносительно системы (ej)j∈J . Следующее свойство показывает, что коэффициен-ты Фурье реализуют наилучшее приближение элемента линейными комбинациямиданной ортонормированной системы.

186

2. Пусть u ∈ E и (ej)j∈J — ортонормированная система. Тогда для любогоконечного подмножества σ ⊂ J :

minλj

‖u−∑

j∈σ

λjej‖ = ‖u−∑

j∈σ

〈u, ej〉ej‖ = [‖u‖2 −∑

j∈σ

|〈u, ej〉|2]1/2.

¶ Для произвольных λj (j ∈ σ) имеем

‖u−∑

j∈σ

λjej‖2 = ‖u‖2 −∑

j∈σ

[λj〈u, ej〉+ λj〈u, ej〉] +∑

j∈σ

|λj |2

= ‖u‖2 +∑

j∈σ

|λj − 〈u, ej〉|2 −∑

j∈σ

|〈u, ej〉|2 > ‖u‖2 −∑

j∈σ

|〈u, ej〉|2,

откуда следует требуемое. ¤3. [Неравенство Парсеваля]. В условиях п. 2:

∑j∈σ

|〈u, ej〉|2 6 ‖u‖2.

¶ Это непосредственное следствие п. 2. ¤У п р а ж н е н и я. 4. Всякая ортонормированная система линейно независима.5. В условиях п. 2 числа 〈u, ej〉 6= 0 не более чем для счетного семейства индек-

сов j. (Указание: воспользуйтесь неравенством Парсеваля.)

6. Пусть (ej)j∈J — ортонормированная система в унитарном пространстве E.Каждому вектору u ∈ E сопоставим ряд

∑j∈J

〈u, ej〉ej . Будем считать по определе-

нию, что в формальной сумме∑j∈J

〈u, ej〉ej присутствуют лишь те слагаемые, у ко-

торых 〈u, ej〉 6= 0. В силу п. 5 таких слагаемых не более, чем счетное число, так чтодействительно мы имеем дело с обычным рядом в нормированном пространстве.Этот ряд называется рядом Фурье элемента u по системе (ej)j∈J . Найдем условия,при которых ряд Фурье элемента сходится к этому элементу по норме. Будем на-зывать подмножество нормированного пространства E полным, если его линейнаяоболочка плотна в E.

7. Пусть (ej)j∈J — ортонормированная система в унитарном пространствеE. Тогда следующие условия эквивалентны:

(а) система (ej)j∈J полна в E;

(б) ряд Фурье произвольного элемента u ∈ E сходится к u:u =

∑j∈J

〈u, ej〉ej;

(в) 〈u, v〉 =∑j∈J

〈u, ej〉〈v, ej〉 для любых u, v ∈ E;

(г) ‖u‖2 =∑j∈J

|〈u, ej〉|2 для любого u ∈ E [равенство Парсеваля].

¶ (а) ⇒ (б). Пусть ε > 0 произвольно. Покажем, что найдется конечное подмноже-ство σ ⊂ J такое, что для любого конечного σ′ ⊃ σ : ‖u − ∑

j∈σ′〈u, ej〉ej‖ < ε (это и

есть сходимость ряда∑j∈J

〈u, ej〉ej к u). В силу полноты (ej)j∈J существует конечное

187

σ ⊂ J и µj ∈ C (j ∈ σ) такие, что ‖u − ∑j∈σ

µjej‖ < ε. Тогда для любого конечного

σ′ ⊃ σ с учетом п. 2 имеем

‖u−∑

j∈σ′〈u, ej〉ej‖ = min

λj

‖u−∑

j∈σ′λjej‖ 6 min

λj

‖u−∑

j∈σ

λjej‖ 6 ‖u−∑

j∈σ

µjej‖ < ε.

(б) ⇒ (в). Перенумеруем натуральным индексом k (произвольным образом) всеиндексы j ∈ J , для которых 〈u, ej〉 6= 0, либо 〈v, ej〉 6= 0 (см. п. 5). Тогда u =

limn

n∑k=1

〈u, ek〉ek, v = limn

n∑k=1

〈v, ek〉ek. Используя 152.8, имеем

〈u, v〉 = 〈limn

n∑

k=1

〈u, ek〉ek, limn

n∑

s=1

〈v, es〉es〉 = limn

n∑

s,k=1

〈u, ek〉〈v, es〉〈ek, es〉

= limn

n∑

k=1

〈u, ek〉〈v, ek〉 =∞∑

k=1

〈u, ek〉〈v, ek〉 =∑

j∈J

〈u, ej〉〈v, ej〉.

Отметим, что сумма в правой части на самом деле не зависит от порядка следованияслагаемых, так что ряд в правой части (в) сходится абсолютно.

(в) ⇒ (г). Положим в (в) v = u.(г)⇒ (а). Пусть ε > 0 произвольно и σ ⊂ J конечно и таково, что

∑j∈J\σ

|〈u, ej〉|2 <

ε. Тогда ‖u− ∑j∈σ〈u, ej〉ej‖2 =

∑j∈J\σ

|〈u, ej〉|2 < ε, так что система (ej)j∈J полна. ¤

8. Понятием, близким к полноте системы, является ее замкнутость: ортонорми-рованная система (ej)j∈J называется замкнутой, если 〈u, ej〉 = 0 (j ∈ J) влечетu = θ.

9. Полная ортонормированная система (ej)j∈J в унитарном пространстве Eзамкнута. Если E — гильбертово пространство, то обратно — замкнутая орто-нормированная система полна.¶ Из полноты следует замкнутость в силу п. 7(г). Обратно, пусть E — гильбертовопространство и u ∈ E произволен. Ряд Фурье

∑j∈J

〈u, ej〉ej вектора u сходится в E

(в силу полноты E). Пусть v =∑j∈J

〈u, ej〉ej . Тогда 〈u − v, ej〉 = 0 (j ∈ J), откуда

u− v = θ, и значит, u = v. ¤10. П р и м е р. Система ej = (0, . . . , 0 , 1 , 0, . . .) (1 на j-м месте) векторов в `2

является полной ортонормированной системой. (Это следует, например, из п. 7 (г).)

§156. 2π-периодические функции

1. Функция f : R→ R называется 2π-периодической, если f(x) = f(x + 2π) (x ∈R). Будем для такой функции обозначать через f функцию, являющуюся ограниче-нием f на отрезок [0, 2π] : f(x) = f(x) (0 6 x 6 2π). Обратно, если некоторая функ-ция ψ(x) определена на [0, 2π] и ψ(0) = ψ(2π), то эта функция допускает продолже-

188

ние по периодичности до функции ψ : R → R. Класс всех 2π-периодических функ-ций обозначим через Π и введем следующие нормированные пространства функций:

C = f ∈ Π : f ∈ C[0, 2π] с нормой ‖f‖ = max06x62π

|f(x)|,

R1 = f ∈ Π : f ∈ R1[0, 2π] с нормой ‖f‖1 =∫ 2π

0|f(x)| dx,

R2 = f ∈ Π : f ∈ R2[0, 2π] с нормой ‖f‖2 =[∫ 2π

0|f(x)|2 dx

]1/2

(R1, R2 мыслятся как пространства классов эквивалентных функций).

З а м е ч а н и я 2. Имеют место включения: C ⊂ R2 ⊂ R1. Отметим такжепростое, но полезное утверждение (!!):

3. Для f ∈ R1 :∫ 2π

0f(t)dt =

∫ 2π

0f(t− x)dt =

∫ x+2π

xf(t)dt (x ∈ R).

§157. Тригонометрический ряд Фурье

1. Система функций

1√2π

,1√π

cosx,1√π

sinx, . . . ,1√π

cos kx,1√π

sin kx, . . . (1)

является ортонормированной системой в унитарном пространствеR2[0, 2π] (!!). Тригонометрическим рядом Фурье функции f ∈ R2 назовем ряд Фу-рье функции f относительно системы (1). Этот ряд обычно записывается в виде

f(x) ∼ a0

2+

∞∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx), (2)

где

ak =1π

∫ 2π

0f(t) cos kt dt (k = 0, 1, 2, . . .), (3)

bk =1π

∫ 2π

0f(t) sin kt dt (k = 1, 2, . . .).

Например, член ряда Фурье, соответствующий функции1√π

cos kx

(k > 1), имеет вид(∫ 2π

0f(t)

1√π

cos kt dt

)· 1√

πcos kx = ak cos kx.

З а м е ч а н и я. 2. Если f абсолютно интегрируема на отрезке [0, 2π], тоинтегралы (3) сходятся и, следовательно, формальный ряд (1) можно сопоставитьфункции из класса R1 (а не только из класса R2).

3. Можно рассматривать периодические функции с другим периодом 2ω. Де-лая подстановку x = uω/π, получим функцию F (u) = f(

uω

π) 2π-периодическую,

189

если f — 2ω-периодическая. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением2π-периодических функций.

4. Идея представления функции f рядом Фурье представляется разумной, когдаесть основания считать f(t) координатой колеблющейся точки (t — время). Рассмот-рим частную сумму ряда (1) — тригонометрический полином порядка n:

Sn(t) =a0

2+

n∑

k=1

(ak cos kt + bk sin kt) =a0

2+

n∑

k=1

Ak cos(kt− ϕk),

где Ak = (a2k + b2

k)1/2, Ak cosϕk = ak, Ak sinϕk = bk. Итак, колебательный про-

цесс распадается в сумму гармоник с амплитудами Ak и начальными фазами ϕk,соответствующими частотам k.

У п р а ж н е н и я. 5. Покажите, что если f — четная функция, то представление

(2) приобретает вид f(x) ∼ a0

2+

∞∑k=1

ak cos kx, ak =2π

∫ π

0f(t) cos kt dt. Аналогично,

если f — нечетная функция, то f(x) ∼∞∑

k=1

bk sin kx, bk =2π

∫ π

0f(t) sin kt dt.

6. Если некоторый ряд по системе функций (1) сходится к функции f равномер-но на отрезке [0, 2π], то он является ее тригонометрическим рядом Фурье.

§158. Осцилляционная лемма

Пусть функция f абсолютно интегрируема на R. Если рассмотреть произведениеf(x) cos λx, то при больших λ эта функция сильно осциллирует, так что площади,ограниченные графиком функции, лежащие выше и ниже оси OX, компенсируются.Точное утверждение таково:

1. Если f ∈ R1(R), то limλ→∞

∫ +∞

−∞f(x) cos λx dx = lim

λ→∞

∫ +∞

−∞f(x) sin λx dx = 0.

¶ Отметим сначала, что (ниже пишем∫

вместо∫ +∞−∞ )

∣∣∣∣∫

f(x) sin λx dx

∣∣∣∣ =12

∣∣∣∣∫

[f(x)− f(x +π

λ)] sinλx dx

∣∣∣∣ 6 12

∫|f(x)− f(x +

π

λ)| dx.

Пусть ε > 0 произвольно и ϕ ∈ C00(R) такова, что (см. 151.2)∫|f(x)−ϕ(x)|dx < ε/2.

Из 133.2 следует, что интеграл J(λ) ≡∫|ϕ(x+

π

λ)−ϕ(x)| dx является непрерывной

функцией параметра λ (носитель функции ϕ компактен). При этом limλ→∞

J(λ) =

limµ→0

∫|ϕ(x+πµ)−ϕ(x)| dx = 0. Следовательно, существует N > 0 такое, что J(λ) <

ε/2 при |λ| > N . Поэтому при |λ| > N :

|∫

f(x) sinλx dx| 6 12

∫|f(x +

π

λ)− f(x)| dx

6 12

∫|f(x +

π

λ)− ϕ(x +

π

λ)| dx + J(λ) +

12

∫|f(x)− ϕ(x)| dx < ε. ¤

190

2. С л е д с т в и е. Коэффициенты Фурье ak, bk функции f ∈ R1 стремятся кнулю при k →∞.

§159. Оценка остатка ряда Фурье

1. Займемся изучением тригонометрического ряда Фурье. Пусть f ∈ R1. Рас-

смотрим частную сумму ряда Фурье этой функции: Sn(x) =a0

2+

n∑k=1

(ak cos kx +

bk sin kx). Используя выражения §157 (3) для коэффициентов ak и bk, имеем

Sn(x) =12π

∫ 2π

0f(t) dt +

n∑

k=1

1π

∫ 2π

0f(t)[cos kt cos kx + sin kt sin kx] dt

=1π

∫ 2π

0[12

+n∑

k=1

cos k(t− x)]f(t) dt =1π

∫ 2π

0Dn(t− x)f(t) dt, (1)

где Dn(s) =12

+n∑

k=1

cos ks =12·sin(n +

12)s

sins

2

— ядро Дирихле порядка n (последнее

равенство в его выражении можно получить методом, использованным в 141.3).Заметим, что

1π

∫ 2π

0Dn(s)ds = 1 +

n∑

k=1

∫ 2π

0cos ks ds = 1. (2)

2. Получим теперь удобное выражение для остатка аппроксимации функции fее частной суммой Фурье. Из (1) и (2) имеем с учетом четности ядра Дирихле

Sn(x)− f(x) =1π

∫ 2π

0Dn(u)[f(x + u)− f(x)] du =

1π

∫ π

0Dn(u)∆2

u(f(x)) du,

где ∆2u(f(x)) ≡ f(x+u)−2f(x)+f(x−u). Таким образом, вопрос о сходимости Sn(x)

к f(x) сводится к изучению поведения интеграла Jn =1π

∫ π

0Dn(u)∆2

u(f(x)) du. Пре-

образуем этот интеграл. Зафиксируем для этого число η (0 < η < π). Тогда

Jn =1π

∫ π

0

(sinnu

2 tg(u/2)+

cosnu

2

)∆2

u(f(x)) du =1π

∫ η

0

sinnu

u∆2

u(f(x)) du + ρn(x).

Здесь (всюду ниже мы пишем∫

вместо∫ +∞−∞ )

ρn(x) =∫

cosnu · h(u)∆2u(f(x)) du +

∫sinnu · g(u)∆2

u(f(x)) du,

g(u) =1π

[1

2 tg(u/2)− 1

u

]χ

(0,η)(u) +

12π

· 1tg(u/2)

· χ[η,π]

(u), h =12π

χ[0,π]

.

Функции g, h — ограниченные и с компактными носителями. В частности, g, h ∈R1(R). Из осцилляционной леммы следует, что ρn(x) → 0 (n →∞). Например,

∫sinnu · g(u)∆2

u(f(x)) du =∫

sinnu · g(u)f(x + u) du

− 2f(x)∫

sinnu · g(u) du +∫

sinnu · g(u)f(x− u) du. (3)

191

Так как supp (g) = [0, π], функция g(u)f(x + u) ∈ R1(R) (по переменной u). Поэто-му (158.2)

∫sinnu · g(u)f(x + u) du → 0. Аналогично стремятся к нулю остальные

интегралы в правой части (3). Подведем итог проделанной работы.

3. Для функции f ∈ R1 имеет место представление

f(x) = Sn(x)− 1π

∫ η

0

sinnu

u∆2

u(f(x)) du− ρn(x), (4)

причем ρn(x) = o(1) (n →∞).

4. З а м е ч а н и е. В условиях п. 3 ρn(x) → 0 (n →∞) равномерно на каждомотрезке [a, b], где функция f ограничена. Это означает равномерную сходимостьряда Фурье на таких отрезках. Ниже (см. 164.3) мы докажем это утверждение длянепрерывной кусочно-гладкой функции.

§160. Функции класса Lip α

1. Вопрос о сходимости Sn(x) к f(x), как показано выше, сводится к изучениюповедения интеграла в правой части (4) §159. Мы введем класс функций, для кото-рых исследуемая задача получает исчерпывающее решение. Скажем, что функцияf : [a, b] → R принадлежит классу Lip α (0 < α 6 1) — классу Липшица с показате-лем α, если существует константа M > 0 такая, что

|f(x)− f(y)| 6 M |x− y|α для любых x, y ∈ [a, b]. (∗)Отметим, что Lip α ⊂ C[a, b] (!!).

П р и м е р ы. 2. Если f — непрерывная кусочно-гладкая на отрезке [a, b], тоf ∈ Lip 1. Пусть M таково, что |f ′(t)| 6 M (a 6 t 6 b). Тогда

|f(x)− f(y)| = |∫ x

yf ′(t) dt| 6 M |x− y|.

3. f(x) = |x|α ∈ Lip α на любом отрезке [a, b]. Полагая для определенности0 < |y| < |x| и обозначив t = |x

y|, имеем

||x|α − |y|α||x− y|α ≤ ||x|α − |y|α|

||x| − |y||α =tα − 1

(t− 1)α6 1.

Последнее неравенство в написанной цепочке верно для любого α ∈ (0, 1].

4. Пусть функция f ∈ R1 принадлежит классу Lip α на отрезке [a, b]. Тогдаее тригонометрический ряд Фурье сходится к f равномерно на каждом отрезке[c, d] ⊂ (a, b).¶ При достаточно малых u точки вида x± u ∈ [a, b] для любых x ∈ [c, d], так что

|∆2u(f(x))| 6 |f(x + u)− f(x)|+ |f(x)− f(x− u)| 6 2M |u|α,

где M — константа, фигурирующая в (∗). В силу представления (4)§159 имеем

|Sn(x)− f(x)| 6 1π

∣∣∣∣∫ η

0

sinnu

u∆2

u(f(x)) du

∣∣∣∣ + |ρn(x)|

6 2M

π

∫ η

0

|u|αu

du + |ρn(x)| = 2M

πα· ηα + |ρn(x)|.

192

Пусть ε > 0 произвольно. Выберем сначала η > 0 так, чтобы2M

πα· ηα < ε/2, а затем

N так, чтобы |ρn(x)| < ε/2 при n > N для любого x ∈ [c, d] (это можно сделать всилу 159.4). Следовательно, |Sn(x)− f(x)| < ε при n > N для всех x ∈ [c, d]. ¤

5. Если f ∈ C — непрерывная кусочно-гладкая (на [0, 2π]) функция, то ее три-гонометрический ряд Фурье сходится к ней равномерно.¶ Пусть δ > 0 произвольно. В силу п. 2 f ∈ Lip 1 и остается применить п. 4 котрезкам [a, b] = [−δ, 2π + δ], [c, d] = [0, 2π]. ¤

У п р а ж н е н и я. 6. Если f ∈ C[a, b] и f ′(x) ограничена на (a, b), то f ∈ Lip 1.7. Каков класс функций, удовлетворяющий (∗) при α > 1?

§161. Полнота тригонометрической системы функций

Теперь можно доказать полноту тригонометрической системы функций (1) §157в унитарном пространстве R2[0, 2π].

1. (а) Система 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . полна в пространстве C.(б) Система 1, cosx, cos 2x, . . . полна в C[0, π], а также в подпространстве

пространства C, состоящем из четных функций.(в) Система функций sinx, sin 2x, . . . полна в пространстве

f ∈ C[0, π] : f(0) = f(π) = 0, а также в подпространстве пространства C,состоящем из нечетных функций.¶ Докажем (а). Функция f ∈ C равномерно непрерывна на [0, 2π]. Следовательно,для любого ε > 0 найдется полигон (то есть непрерывная кусочно-линейная функ-ция) ψ ∈ C такой, что max

06x62π|f(x)− ψ(x)| < ε/2. Каждый полигон является непре-

рывной кусочно-гладкой функцией, и в силу 160.5 |ψ(x)− Sn(x)| < ε/2 (x ∈ [0, 2π])при достаточно большом n (здесь Sn(x) — частная сумма ряда Фурье для функцииψ). Тогда для любого x ∈ [0, 2π]

|f(x)− Sn(x)| 6 |f(x)− ψ(x)|+ |ψ(x)− Sn(x)| < ε.

Отсюда ‖f − Sn‖ 6 ε, где ‖ · ‖ — норма в C. ¤2. Тригонометрическая система функций (1) §157 полна в R2, и следовательно

тригонометрический ряд Фурье функции f ∈ R2 сходится к f по норме ‖ · ‖2.

¶ Пусть f ∈ R2. В силу 153.6 существует функция ϕ ∈ C такая, что∫ 2π

0|f(x) −

ϕ(x)|2 dx < ε2. В силу п. 1 можно подобрать тригонометрический полином Sn(x)такой, что ‖ϕ− Sn‖[0,2π] <

ε√2π

. Значит, ‖f − Sn‖2 6 ‖f − ϕ‖2 + ‖ϕ− Sn‖2 < 2ε. ¤

3. [Равенство Парсеваля].Для f ∈ R2 :1π

∫ 2π

0|f(x)|2 dx =

|a0|22

+∞∑

k=1

(|ak|2+|bk|2).

¶ Это следствие 155.7(г). ¤З а м е ч а н и е. 4. Л. Карлесон доказал (1966), что тригонометрические ряды

Фурье функций из R2 сходятся п.в.

193

5. П р и м е р. Рассмотрим 2π-периодическую функцию f(x) такую, что

f(x) =

1, если 0 < x < π,−1, если − π < x < 0,

0, если x = 0, ±π.

В силу 157.5 ak = 0 (k = 0, 1, . . .), bk =2π

∫ π

0sin kx dx = − 2

πk((−1)k − 1)(k ∈ N).

Таким образом, f(x) =4π·∞∑

k=1

sin(2k − 1)x2k − 1

(x ∈ R). Ряд в правой части сходится к

f(x) в R\0, ±π, ±2π, . . . согласно 160.5. В остальных точках сходимость ряда к 0— значению функции f(x) для x = 0, ±π, ±2π, . . . — очевидна.

§162. Полнота системы полиномов в C[a, b]

1. Система функций 1, x, x2, . . . полна в C[a, b].

2. Определим вещественные полиномы Qn(x) степени n (они называются поли-номами Чебышева) равенствами cosnt = Qn(cos t), так что Qn(x) = cos(n arccosx) (n =0, 1, 2, . . .). В частности, Q0(x) = 1, Q1(x) = x, Q2(x) = 2x2 − 1. При произвольномn для получения полинома Qn можно воспользоваться тождеством

cosnt + i sinnt = eint = (eit)n = (cos t + i sin t)n =n∑

k=0

in−k

(n

k

)cosk t · sinn−k t.

Таким образом, каждый четный тригонометрический полином Tn(t) =a0

2+

n∑k=1

ak cos kt подстановкой t = arccosx, которая гомеоморфно отображает отре-

зок [0, π] на отрезок [−1, 1], преобразуется в алгебраический полином

Pn(x) = Tn(arccosx) =a0

2+

n∑

k=1

akQk(x).

Обратно, любой вещественный полином Pn(x) = a0 + a1x + . . . + anxn подстановкойx = cos t преобразуется в четный тригонометрический полином Tn(t) = Pn(cos t) =α0

2+

n∑k=1

αk cos kt. Это ясно, если учесть тождество

cosk t =(

eit + e−it

2

)k

= 2−kk∑

s=0

(k

s

)ei(2s−k)t = 2−k

k∑

s=0

(k

s

)cos(2s− k)t.

3. Переходим к доказательству п. 1. Случай 1: [a, b] = [−1, 1]. Для всякойf ∈ C[−1, 1] функция f(cos t) непрерывна на [0, π] и согласно 161.1 существует три-гонометрический полином Tn(t) = Pn(cos t) такой, что |f(cos t)−Tn(t)| < ε при всехt ∈ [0, π]. Следовательно, |f(x)− Pn(x)| < ε при всех |x| 6 1.

Случай 2 (общий). Преобразование x = a +b− a

2(z + 1) переводит [−1, 1] в [a, b],

функция F (z) = f(a+b− a

2(z+1)) непрерывна на [−1, 1], если f ∈ C[a, b]. При этом в

194

силу случая 1 существует алгебраический полином Pn(x) такой, что ‖F −Pn‖[−1,1] <ε. Обращая подстановку, имеем

‖f −Rn‖[a,b] < ε, где Rn(x) ≡ Pn(2(x− a)

b− a− 1).

§163. Комплексная форма ряда Фурье

1. Во многих отношениях удобна комплексная форма тригонометрического рядаФурье. Чтобы получить ее, заметим, что

ak cos kx + bk sin kx =ak

2(eikx + e−ikx) +

bk

2i(eikx − e−ikx) = cke

ikx + c−ke−ikx,

где ck =12(ak − ibk) =

12π

∫ 2π

0f(t)e−ikt dt (k ∈ Z). Если f — вещественная функция,

то ck = c−k. Итак, представление (2) §157 преобразуется к комплексной форме рядаФурье

f(x) ∼+∞∑−∞

ckeikx.

Ряд в правой части можно рассматривать как ряд Фурье f относительно ортонор-мированной системы (2π)−1/2 · eikxk∈Z, полной в унитарном пространстве R2.

З а м е ч а н и я. 2. Равенство Парсеваля 161.3 приобретает вид:

12π

∫ 2π

0|f(x)|2 dx =

+∞∑−∞

|ck|2.

3. В соответствии с вещественным случаем ряд+∞∑−∞

ckeikx называется сходящимся

в точке x, если существует предел limn

n∑k=−n

ckeikx (предел lim

n,m→∞n∑

k=−m

ckeikx может

не существовать!).

4. Комплексная форма ряда Фурье удобна для перенесения понятия ряда Фурьена многомерный случай. Система функций (2π)−n/2ei〈k,x〉 : k = (k1, ..., kn) ∈ Znявляется ортонормированной вR2(∆) с ∆ = x = (x1, . . . , xn) : −π 6 xi 6 π, 1 6 i 6n. Таким образом, каждой функции f ∈ R2(∆) (и даже функции из R1(∆)) мож-

но сопоставить ряд∑

k∈Zn

ckei〈k,x〉, где ck =

1(2π)n

∫

∆

f(u)e−i〈k,u〉 du. На многомерные

ряды переносятся основные теоремы одномерных рядов Фурье.

§164. Операции над рядами Фурье

Докажем утверждения о возможности почленного дифференцирования и инте-грирования ряда Фурье. Нам будет удобно пользоваться комплексной формой рядаФурье.

1. Пусть f ∈ C — непрерывная кусочно-гладкая и+∞∑−∞

ckeikx — ее ряд Фурье.

Тогда f ′(x) ∼+∞∑−∞

ikckeikx.

195

¶ Функция f ′(x) кусочно-непрерывная, так что f ′(x) ∼+∞∑−∞

c′keikx. Найдем выраже-

ние для коэффициентов c′k. С учетом 2π-периодичности f :

c′0 =12π

∫ 2π

0f ′(t) dt =

12π

[f(2π)− f(0)] = 0,

c′k =12π

∫ 2π

0f ′(t)e−iktdt =

12π

[e−iktf(t)

∣∣∣2π

0+ ik

∫ 2π

0f(t)e−ikt dt

]= ikck. ¤

2.Пусть ϕ — кусочно-непрерывная 2π-периодическая функция и ϕ(x) ∼+∞∑−∞

c′keikx,

c′0 = 0. Тогда для f(x) =∫ x

0ϕ(t) dt: f(x) =

12π

∫ 2π

0f(t) dt +

+∞∑

−∞,k 6=0

c′kik

eikx.

¶ Функция f непрерывная кусочно-гладкая на [0, 2π] и 2π-периодическая, так как

f(2π) − f(0) =∫ 2π

0ϕ(t) dt = 2πc′0 = 0. Следовательно, ряд Фурье функции f схо-

дится к f равномерно. При этом k-й коэффициент Фурье функции f равен

12π

∫ 2π

0f(t)e−ikt dt = − 1

2πike−iktf(t)

∣∣∣∣2π

0

+1ik· 12π

∫ 2π

0f ′(t)e−ikt dt =

c′kik

. ¤

Насколько быстро сходится ряд Фурье к функции? Приведем оценку остаткапри дополнительном предположении гладкости.

3. Пусть f ∈ C непрерывная кусочно-гладкая функция и Sn — ее частная сумма

ряда Фурье. Тогда ‖f − Sn‖ 6 1√πn‖f ′‖2, где ‖ · ‖ — норма в пространстве C.

¶ Для любого x ∈ R имеем, используя обозначения п. 1,

|f(x)− Sn(x)| = |+∞∑

k=n+1

(ckeikx + c−ke

−ikx)| 6+∞∑

k=n+1

|c′k

ikeikx − c′−k

ike−ikx|

6+∞∑

k=n+1

1k(|c′k|+ |c′−k|) 6

[ +∞∑

k=n+1

1k2

]1/2·[2+∞∑

k=n+1

(|c′k|2 + |c′−k|2)]1/2

6(∫ +∞

n

dx

x2

)1/2

· 1√π‖f ′‖2 =

1√πn‖f ′‖2. ¤

§165. Вспомогательная лемма

Пусть f, ϕ ∈ R1(R), а функция двух переменных λ(s, t) (s, t ∈ R) непрерывна

и ограничена. Тогда µ(s) ≡∫

λ(s, t)f(t) dt (s ∈ R) — непрерывная и ограниченная

функция. При этом∫

ϕ(s)∫

λ(s, t)f(t) dt =∫

f(t) dt

∫λ(s, t)ϕ(s) ds. (1)

¶ Отметим, что в данном случае обычная теорема о непрерывности интеграла попараметру неприменима.

196

Пусть K > 0 таково, что |λ(s, t)| 6 K (s, t ∈ R). Очевидно, µ(s) — ограниченнаяфункция. Установим непрерывность µ(s). Пусть ε > 0 произвольно, f1 ∈ C00(R)такова, что ‖f − f1‖1 < ε/3K (см. 151.2). Функция

µ1(s) ≡∫

λ(s, t)f1(t) dt =∫ N

−Nλ(s, t)f1(t) dt, где supp (f1) ⊂ [−N, N ],

непрерывна в силу 133.2. Следовательно, существует δ > 0 такое, что

|s− s0| < δ ⇒ |µ1(s)− µ(s0)| < ε/3.

Но тогда при |s− s0| < δ:

|µ(s)− µ(s0)| 6 |µ(s)− µ1(s)|+ |µ1(s)− µ1(s0)|+ |µ1(s0)− µ(s0)|

<

∣∣∣∣∫

λ(s, t)[f1(t)− f(t)] dt

∣∣∣∣ + ε/3 +∣∣∣∣∫

λ(s0, t)[f1(t)− f(t)] dt

∣∣∣∣6 2K‖f − f1‖1 + ε/3 < ε.

Теперь можно утверждать существование интегралов в левой и правой частях (1).

Для доказательства (1) допустим для определенности, что интегралы∫

f(t) dt,∫

ϕ(t) dt имеют особенности лишь в точках ±∞. Требуемое равенство следует из

выкладки (асимптотика берется при N → +∞):∫

ϕ(s) ds

∫λ(s, t)f(t) dt =

∫ N

−Nϕ(s) ds

∫ N

−Nλ(s, t)f(t) dt + o(1)

=∫ N

−Nf(t)dt

∫ N

−Nλ(s, t)ϕ(s)ds + o(1) =

∫f(t)dt

∫λ(s, t)ϕ(s)ds.

Здесь первое равенство справедливо в силу оценки∣∣∣∣

∫

|s|>N

ϕ(s) ds

∫

|t|6N

λ(s, t)f(t) dt +∫

|s|6N

∫

|t|>N

+∫

|s|>N

∫

|t|>N

∣∣∣∣

6 K( ∫

|s|>N

|ϕ(s)| ds

∫

|t|6N

|f(t)| dt +∫

|s|6N

|ϕ(s)| ds

∫

|t|>N

|f(t)| dt

+∫

|s|>N

|ϕ(s)| ds

∫

|t|>N

|f(t)| dt)

= o(1),

а перемена порядка интегрирования во 2-м равенстве возможна за отсутствием осо-бенностей на собственном отрезке в R. ¤

§166. Понятие интеграла Фурье

Для функций f ∈ R1(R) (заведомо непериодических, если f 6= 0) будет построимконтинуальный аналог ряда Фурье — интеграл Фурье.

1. Пусть f ∈ R1(R). Тогда определены интегралы

a(λ) ≡ 1π

∫f(t) cosλt dt, b(λ) ≡ 1

π

∫f(t) sinλt dt, c(λ) ≡ 1

2π

∫f(t)e−iλt dt, (1)

197

— континуальные аналоги коэффициентов Фурье.

2. a(λ), b(λ), c(λ) — непрерывные функции λ и

limλ→∞

a(λ) = limλ→∞

b(λ) = limλ→∞

c(λ) = 0.

¶ 1-е утверждение — следствие §165, 2-е — следствие 158.1. ¤3. Интеграл

γN (x) ≡∫ N

0(a(λ) cosλx + b(λ) sin λx) dλ (2)

называется простым интегралом Фурье функции f ∈ R1(R). Это аналог частнойсуммы ряда Фурье периодической функции. В силу п. 2 интеграл (2) корректноопределен. Отметим комплексную форму этого интеграла:

γN (x) =∫ N

−Nc(λ)eiλx dλ =

1√2π

∫ N

−Neiλx dλ

1√2π

∫f(t)e−iλt dt.

Нас будет интересовать вопрос о сходимости простого интеграла Фурье к функ-ции. Для этого сначала получим удобное асимптотическое выражение для простогоинтеграла Фурье.

4. Для всякой функции f ∈ R1(R) и любого η > 0

γN (x) =1π

∫ η

−ηf(x + t)

sinNt

tdt + o(1) (N → +∞). (3)

При этом остаток o(1) стремится к нулю равномерно на любом отрезке [a, b].¶ Из представления (2) мы имеем с учетом (1)

γN (x) =1π

∫ N

0dλ

∫f(t) cos λ(t− x) dt =

1π

∫f(t) dt

∫ N

0cosλ(t− x) dλ

=1π

∫f(t)

sinN(t− x)t− x

dt =1π

∫f(x + t)

tsinNt dt

(здесь 2-е равенство справедливо в силу §165). Взяв произвольное η > 0 и положив

h(t) =1tf(x + t)χ

(η,+∞)(t) (t ∈ R), получим |h(t)| 6 1

η|f(x + t)|, откуда h ∈ R1(R), и

по лемме 158.1

Jη =∫ +∞

η

f(x + t)t

sinNtdt =∫

h(t) sinNtdt = o(1) (N → +∞). (4)

Аналогично∫ −η

−∞

f(x + t)t

sinNt dt = o(1) (N → +∞). Итак, имеет место (3).

Для доказательства последнего утверждения покажем, например, что интеграл(4) стремится к нулю равномерно на отрезке [a, b]. Пусть ε > 0 произвольно и ζ > η

таково, что1ζ

∫ +∞

ζ+a|f(u)| du < ε. Тогда

Jη =∫ ζ

η

f(x + t)t

sinNt dt +∫ +∞

ζ

f(x + t)t

sinNt dt.

198

Полагая g(t) =1tχ

[η,ζ]в формуле (5) §159, заключаем, что для достаточно больших

N : |∫ ζ

η

f(x + t)t

sinNt dt| < ε (a 6 x 6 b). Вместе с этим |∫ +∞

ζ

f(x + t)t

sinNt dt| 61ζ

∫ +∞

ζ|f(x + t)| dt 6 1

ζ

∫ +∞

ζ+a|f(u)| du < ε. Отсюда следует требуемое. ¤

§167. Сходимость интеграла Фурье

1. Пусть f ∈ R1(R) непрерывная кусочно-гладкая на каждом отрезке [a, b] ⊂ Rфункция. Тогда простой интеграл Фурье этой функции сходится к ней равномернона каждом отрезке числовой прямой.¶ Не ограничивая общности, можно считать, что b−a < 2π. Пусть [a, b] ⊂ (α, α+2π)и ϕ ∈ R1 такова, что ϕ(x) = f(x)(α 6 x < α + 2π). Обозначая через SN (x) частнуюсумму ряда Фурье функции ϕ, запишем простой интеграл Фурье γN (x) функции fв виде γN (x) = SN (x) + [γN (x)− SN (x)]. В силу 160.2 достаточно установить, что

γN (x)− SN (x) → 0 (N → +∞) равномерно на [a, b]. (1)

Выберем η > 0 таким, чтобы [a− η, b + η] ⊂ (α, α + 2π). Тогда

ϕ(x + t) = f(x + t) при x ∈ [a, b] и |t| 6 η. (2)

Следовательно ((4) §159),

SN (x) = ϕ(x) +1π

∫ η

0

sinNu

u∆2

u(ϕ(x)) du + o(1)

= ϕ(x) +1π

∫ η

0

sinNu

u[ϕ(x + u) + ϕ(x− u)] du− ϕ(x)

2π

∫ η

0

sinNu

udu + o(1)

=1π

∫ η

0

sinNu

u[ϕ(x + u) + ϕ(x− u)] du +

[1− 2

π

∫ Nη

0

sin t

tdt

]ϕ(x) + o(1).

Из 136.3 и непрерывности ϕ на [a, b] 1-е слагаемое в последнем равенстве стремитсяк нулю равномерно, остаток также стремится к нулю равномерно на [a, b] (см. 159.4).С учетом (2) имеем при N → +∞

SN (x) =1π

∫ η

0

sinNu

uf(x + u) du +

1π

∫ η

0

sinNu

uf(x− u)du + o(1)

=1π

∫ η

0

sinNu

uf(x + u) du +

1π

∫ 0

−η

sinNu

uf(x + u) du + o(1)

= γN (x) + o(1),

где остаток o(1) стремится к нулю равномерно в силу сказанного выше и 166.4. ¤2. С л е д с т в и е. В условиях п. 1

f(x) = v.p.λ

1√2π

∫eiλx dλ

(1√2π

∫f(t)e−iλt dt

). (3)

3. У п р а ж н е н и е. Утверждение п. 1 доказано на самом деле лишь дляслучая, когда N → +∞, пробегая натуральные числа. Завершите доказательство вобщем случае.

199

§168. Преобразование Фурье

1. Введем класс Rloc1 локально интегрируемых функций на числовой прямой:

этот класс состоит из функций f , обладающих свойством ∀a, b ∈ R (a < b) ⇒f ∈ R1[a, b]. Очевидно, R1(R) ⊂ Rloc

1 . Для каждой функции f ∈ Rloc1 и точки x ∈ R

определены интегралы

f]N (x) ≡ 1√

2π

∫ N

−Nf(t)e−ixt dt, f[

N (x) ≡ 1√2π

∫ N

−Nf(t)eixt dt.

2. З а м е ч а н и е. f[N (x) = f

]N (−x).

3. Преобразованием Фурье (соответственно обратным преобразованием Фурье)функции f ∈ Rloc

1 называется интеграл (если он существует)

f](x) ≡ v.p.1√2π

∫f(t)e−ixt dt. (1)

(соответственно

f[(x) ≡ v.p.1√2π

∫f(t)eixt dt). (2)

З а м е ч а н и я. 4. Если определено f], то определено f[ (и обратно), причем

f[(x) = f](−x), f](x) = limN→+∞

f]N (x), f[(x) = lim

N→+∞f[

N (x).

5. Если f ∈ R1(R), то f], f[ определены, причем интегралы (1) и (2) сходятся вобычном смысле (а не в смысле v.p.).

6. Если f ∈ R1(R) — непрерывная кусочно-гладкая на каждом отрезке числовойпрямой функция, то f(x) = f][(x) = f[](x).¶ С учетом 167.2, пп. 4 и 5

f(x) = limN→+∞

1√2π

∫ N

−Neiλx dλ

( 1√2π

∫f(t)e−iλt dt

)= lim

N→+∞1√2π

∫ N

−Nf](λ)eiλx dλ

= limN→+∞

(f])[N (x) = f][(x).

Далее,

f[](x) = limN→+∞

12π

∫ N

−Ne−iλx dλ

∫f(t)eiλt dt = lim

N→+∞12π

∫ N

−Neiλx dλ ·

∫f(t)e−iλt dt

= f][(x)

(2-е равенство получается заменой λ на −λ). ¤7. В заключение установим интересную формулу, показывающую, что преоб-

разование Фурье сводит операцию дифференцирования к операции умножения нанезависимую переменную. Для удобства обозначим через §) операцию умноженияна независимую переменную в классе Rloc

1 : f§(t) ≡ tf(t) (t ∈ R).

200

8. Пусть f ∈ R1(R) — непрерывная кусочно-гладкая на каждом отрезке число-вой прямой функция и f]§ ∈ R1(R). Тогда f гладкая (на каждом отрезке числовойпрямой) и

f ′ = if]§[. (3)

¶ Так как f ∈ R1(R), из §165 следует, что f] непрерывна и принадлежит классуR1(R\(−1, 1)), поскольку f]§ ∈ R1(R). Отсюда с учетом непрерывности f] следует,что f] ∈ R1(R). Из пп. 6 и 5

f(x) = f][(x) =1√2π

∫f](u)eixu du.

Интеграл в правой части этого равенства можно дифференцировать по параметру:

f ′(x) =i√2π

∫f](u)ueixu du. (4)

Действительно, подынтегральная функция в (4) непрерывна по переменным x и u,причем |f](u)ueixu| = |f]§(u)| ∈ R1(R), и по признаку Вейерштрасса интеграл вправой части (4) сходится равномерно; f ′(x) непрерывна по x в силу §165. ¤

9. З а м е ч а н и е. Утверждение п. 6 остается справедливым (вычисленияопущены) для кусочно-гладких (не обязательно непрерывных) функций f , имеющихконечное число точек разрыва:

12[f(x+) + f(x−)] = v.p.

λ

1√2π

∫eiλx dλ

( 1√2π

∫f(t)e−iλt dt

).

10. П р и м е р. Пусть

f(x) =

1, если |x− a| < γ,1/2, если |x− a| = γ,0, если |x− a| > γ.

Тогда f](x) =( 2π

)1/2e−ixa sin γx

x, так что из пп. 6,9 f(x) =

( 2π

)1/2e−ixa sin γx

x

[. В

данном примере f финитна (то есть supp (f) компактен), но f] уже не финитна иf] ∈ R2(R)\R1(R).

11. У п р а ж н е н и е. Пусть f, f ′ абсолютно интегрируемы, f ′ непрерывна.Тогда (f ′)](x) = ixf ](x).

201

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХФУНКЦИЙ

§169. Введение

Основы математической теории обобщенных функций заложены в 30-е годы С.Л. Соболевым в связи с решением задачи Коши для гиперболических уравнений.Французский математик Л. Шварц в начале 50-х годов дал систематическое изло-жение теории обобщенных функций на базе топологических линейных пространстви указал ряд важных применений этой теории.

Техника обобщенных функций дает удобный аппарат для описания распределе-ний физических величин, включая такие идеализированные понятия, как плотностьточечного заряда, интенсивность силы, приложенной к точке и т. д. В данном разде-ле будут приведены лишь первоначальные понятия, связанные с идеей обобщеннойфункции, и совсем не затронуты вопросы их применений.

1. С целью лучшего усвоения идеи обобщенной функции начнем со случая, пред-ставляющего лишь методический интерес. В этом параграфе O = C00(R) — век-торное пространство вещественных непрерывных функций на числовой прямой скомпактными носителями. Будем называть O пространством основных функций.Определим сходимость в O следующим образом: ϕn → ϕ (ϕn, ϕ ∈ O), если

(а) ∃[a, b] ∀n ∈ N (supp (ϕn) ⊂ [a, b]),(б) ϕn =⇒ ϕ.

Линейный функционал Φ : O → R (см. 71.1) назовем непрерывным, если ϕn → ϕ(ϕn, ϕ ∈ O) влечет Φ(ϕn) → Φ(ϕ). Всякий такой функционал будем называтьобобщенной функцией над O, а векторное пространство всех линейных непрерыв-ных функционалов на пространстве O назовем пространством обобщенных функцийнад O. Оно обозначается символом O′.

2. З а м е ч а н и е. Линейный функционал Φ : O → R непрерывен ттогда оннепрерывен в θ, т. е. ϕn → θ влечет Φ(ϕn) → 0.

Поясним теперь, что приведенная конструкция в определенном смысле расши-ряет класс функций Rloc

1 .3. Каждой функции f ∈ Rloc

1 соответствует обобщенная функция Φf ∈ O′, опре-деленная равенством

Φf (ϕ) ≡∫

f(x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ O. (∗)

При этом указанное соответствие инъективно.¶ Интеграл в правой части корректно определен (!!) и Φf — линейный функционална O. Установим непрерывность функционала Φf . Пусть ϕn → θ (ϕn ∈ O) и отрезок[a, b] таков, что supp (ϕn) ⊂ [a, b] (n ∈ N). Тогда Φf (ϕn) → 0 в силу оценки

|Φf (ϕn)| 6∫ b

a|f(x)||ϕn(x)| dx 6 ‖ϕn‖[a,b]

∫ b

a|f(x)| dx

с учетом того, что в силу (б) ϕn =⇒ θ.

202

Докажем инъективность. Так как соответствие f → Φf линейно по f , достаточ-но проверить, что f 6= θ влечет Φf 6= 0. Итак, пусть θ 6= f ∈ Rloc

1 . Это означает,

что существует отрезок [a, b] ⊂ R такой, что интеграл∫ b

af(x) dx не имеет особен-

ностей на [a, b] и∫ b

a|f(x)|dx > 0. Следовательно, f непрерывна п.в. на [a, b], и зна-

чит, найдется x0 ∈ (a, b) — точка непрерывности функции f , в которой f(x0) 6= 0;например, пусть f(x0) > 0. Следовательно, f строго положительна в некоторойокрестности (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ [a, b]. Возьмем ϕ ∈ O, ϕ > 0, чтобы supp (ϕ) ⊂(x0 − ε, x0 + ε), ϕ(x0) = 1. В силу 50.3 получим Φf (ϕ) =

∫ x0+ε

x0−εf(x)ϕ(x) dx > 0, то

есть Φf 6= 0. ¤Таким образом, осуществлено вложениеRloc

1 в O′. Оказывается, пространство O′

шире, чем Rloc1 : существуют обобщенные функции, не являющиеся функционалами

вида Φf (f ∈ Rloc1 ).

4. [δ-функция]. Определим функционал δ на пространстве O формулой δ(ϕ) =ϕ(0) (ϕ ∈ O). Тогда 0 6= δ ∈ O′ (!!). Покажем, что не существует f ∈ Rloc

1 такой, что

δ = Φf . Пусть, напротив, ϕ(0) =∫

f(x)ϕ(x) dx (ϕ ∈ O), где f — некоторая функция

из Rloc1 . Покажем, что f(x) = 0 п.в. (это будет означать, что Φf = 0 в противоречие

с тем, что δ 6= 0). Пусть x0(6= 0) — точка непрерывности функции f . Если f(x0) 6= 0,то легко подобрать ϕ ∈ O так, чтобы 0 6∈ supp (ϕ) ⊂ (x0 − ε, x0 + ε), ϕ(x0) = 1,где ε > 0 таково, что sgn f(x) = sgn f(x0) (x ∈ (x0 − ε, x0 + ε)). В этом случае

0 = ϕ(0) =∫ x0+ε

x0−εf(x)ϕ(x) dx 6= 0 — противоречие. Таким образом, f(x) = 0 п.в.

5. Для обычных функций f : R → R по самому определению можно говоритьо значении f(x) функции f в точке x. Для элемента f пространства Rloc

1 это ужене так (вспомним, что f — это класс функций, отличающихся между собой на мно-жестве лебеговой меры нуль). Выбрав функцию — представителя класса, можноговорить о ее значениях в точках. Для обобщенных функций утрачивается и та-кое понимание. Отметим, однако, что при рассмотренном выше вложении Rloc

1 в O′

по обобщенной функции Φf можно восстановить значение f в ее точках непрерыв-ности. Действительно, пусть x0 — точка непрерывности f , и последовательность

ϕn ∈ O определена условиями ϕn > 0, supp (ϕn) ⊂ (x0− 1n

, x0 +1n

),∫

ϕn(x) dx = 1.

Тогда по теореме о среднем 50.4

Φf (ϕn) =∫ x0+ 1

n

x0− 1n

f(x)ϕn(x) dx = λn

∫ x0+ 1n

x0− 1n

ϕn(x) dx = λn,

где λn ∈[

infx0− 1

n6x6x0+ 1

n

f(x), supx0− 1

n6x6x0+ 1

n

f(x)]. Так как f непрерывна в точке x0,

то λn − f(x0 +1n

) → 0 (n → +∞). Следовательно,

f(x0) = limn

f(x0 +1n

) = limn

[f(x0 +1n

)− λn] + limn

λn = limn

λn = limn

Φf (ϕn).

203

§170. Пространства основных функций D и SВыбор пространства основных функций, как правило, диктуется задачами, ко-

торые предполагается решать методами теории обобщенных функций. Обычно этопространства бесконечно дифференцируемых, быстро убывающих на бесконечностифункций. Рассмотрим два характерных пространства основных функций, ограни-чившись случаем функций одного переменного. Топологические структуры в нихбудем описывать в терминах сходящихся последовательностей. Это возможно, таккак пространства обладают 1-й аксиомой счетности (см. 101.7).

1. Пространством D называется комплексное векторное пространство функций,заданных на числовой прямой, неограниченное число раз дифференцируемых и об-ладающих компактными носителями. Сходимость в этом пространстве определенаусловием: последовательность ϕn

D−→ θ, если(а) ∃[a, b] ∀n ∈ N (supp (ϕn) ⊂ [a, b]),

(б) ϕ(k)n =⇒ θ (n → +∞), k = 0, 1, 2, . . .,

то есть последовательность ϕn стремится к нулю равномерно вместе со всеми своимипроизводными.

З а м е ч а н и я. 2. Пространство D нетривиально. Например, в D входит

функция ϕ(x) = χ(0,1)

(x) · exp− 1

x(1− x)(x ∈ R) (!!).

3. Функции‖ϕ‖k ≡ sup

x∈R|ϕ(k)(x)| (k = 0, 1, 2, . . .) (∗)

являются полунормами в D и условие (б) п. 1 эквивалентно тому, что ‖ϕn‖k → 0(n → +∞) при любом k = 0, 1, 2, . . . .

4.Пространством S (пространством быстро убывающих на бесконечности функ-ций) называется комплексное векторное пространство неограниченное число раздифференцируемых функций ϕ, заданных на числовой прямой и удовлетворяющихтребованию:

‖ϕ‖k,m ≡ supx∈R

(1 + |x|m)|ϕ(k)(x)| < +∞ (k,m = 0, 1, 2, . . .).

Сходимость в пространстве определена условием: ϕnS−→ θ, если ‖ϕn‖k,m → 0 (n →

+∞), k,m = 0, 1, 2, . . . .

5. З а м е ч а н и е. Справедливо включение D ⊂ S, которое согласуется соструктурами сходимости: ϕn

D−→ θ ⇒ ϕnS−→ θ.

У п р а ж н е н и я. 6. Покажите, что полунормы (∗) в пространстве D являютсянормами.

7. Покажите, что имеют место включения S ⊂ R1(R), R2(R). Более того, ϕ ∈ Sвлечет ϕ(k) ∈ R1(R) ∩R2(R) (k ∈ N).

8. Сходимость в пространствах основных функций D и S, определенная в пп. 1и 4, естественно связана с подходящими топологиями в этих пространствах. Опи-шите базис окрестностей точки ϕ ∈ D (соответственно ϕ ∈ S) в соответствующейтопологии пространства D (соответственно пространства S).

204

§171. Линейные отображения в пространствах основных функций

1. Всюду ниже через O обозначается одно из пространств основных функцийD или S. Отображение A : O → O называется непрерывным, если ϕn

O−→ ϕ влечетA(ϕn) O−→ A(ϕ).

Линейное отображение A : O → O непрерывно ттогда A непрерывно в точке θ(!!). Рассмотрим основные примеры линейных непрерывных отображений.

2. Операция дифференцирования. Отображения

D(N)(ϕ) ≡ ϕ(N) (ϕ ∈ O, N ∈ N)

— непрерывные линейные отображения в пространстве O.

¶ Рассмотрим, например, случай пространства S. С учетом 170.3 имеем ϕnS−→ θ ⇒

‖ϕn‖k,m → 0 (k, m = 0, 1, 2, . . .) ⇒ ‖D(N)ϕn‖k,m = ‖ϕn‖k+N,m → 0 (n → +∞). ¤Рассмотрим теперь операцию умножения на функцию.

3. Пусть ψ : R → R — произвольная бесконечно дифференцируемая функция.Отображение Tψ : D → D, заданное равенством (Tψϕ)(x) ≡ ψ(x)ϕ(x), ϕ ∈ D, естьлинейное непрерывное отображение пространства D (!!).

Чтобы корректно определить аналогичную операцию в пространстве S, нам по-надобится некоторая подготовка.

4. Бесконечно дифференцируемую функцию ψ : R → R назовем функцией по-линомиального роста, если для любого k = 0, 1, 2, . . . найдутся m = m(k) ∈ N иконстанта C > 0 такие, что |ψ(k)(x)| 6 C(1 + |x|m), x ∈ R.

5. П р и м е р. Всякий полином является функцией полиномиального роста.

¶ Достаточно установить оценку |a0 + a1x + . . . + anxn| 6 C(1 + |x|n). Утверждение

следует из замечания, что конечны пределы limx→±∞

|a0 + a1x + . . . + anxn|1 + |x|n . ¤

6. Пусть ψ — функция полиномиального роста. Тогда отображение (Tψϕ)(x) ≡ψ(x)ϕ(x), ϕ ∈ S, — линейное непрерывное отображение пространства S.¶ Пусть k, m — произвольные неотрицательные целые числа. Тогда при подходящихконстантах C1, C2 и целых mj > 0

(1 + |x|m)(ψ(x)ϕ(x))(k) = (1 + |x|m)|k∑

j=0

(k

j

)ψ(j)(x)ϕ(k−j)(x)|

6 C1

k∑

j=0

(1 + |x|m)(1 + |x|mj )|ϕ(k−j)(x)|

≤ C2

k∑

j=0

(1 + |x|m+mj )|ϕ(k−j)(x)|

6 C2

k∑

j=0

‖ϕ‖k−j,m+mj .

205

Пусть теперь ϕnS−→ θ. С учетом доказанного неравенства:

‖Tψ(ϕn)‖k,m = supx∈R

(1 + |x|m)|(ψ(x)ϕn(x))(k)| 6 C2

k∑

j=0

‖ϕn‖k−j,m+mj→ 0 (n → +∞).

7. Преобразование Фурье ]) — линейное непрерывное отображение, биективноотображающее S на S.¶Пусть ϕ ∈ S. Тогда определено ее преобразование Фурье ϕ](x) =

1√2π

∫ϕ(t)e−ixt dt,

причем ϕ] — непрерывная функция (так как ϕ ∈ R1(R), см. 170.7). Покажем, чтоϕ] ∈ S. Формально дифференцируя под знаком интеграла, имеем для k ∈ N:

ϕ](k)(x) =∫

ψ(t)e−ixt dt, где ψ(t) =1√2π

(−it)kϕ(t). (1)

В силу п. 6 ψ ∈ S, и значит, ψ ∈ R1(R), откуда интеграл в правой части (1) сходитсяравномерно, так что равенство (1) справедливо. Итак, ψ обладает производнымивсех порядков. Последовательно интегрируя по частям в (1), имеем

ϕ](k)(x) =1ix

∫ψ′(t)e−ixt dt = . . . =

1(ix)m

∫ψ(m)(t)e−ixt dt,

откуда для любых k, m

‖ϕ]‖k,m = supx∈R

(1 + |x|m)|ϕ](k)(x)| 6∫|ψ(t)| dt +

∫|ψ(m)(t)| dt < +∞.

Итак, ϕ] ∈ S. Установим теперь, что ]) — непрерывное линейное отображение. Пустьϕn

S−→ θ, то есть ‖ϕn‖k,m → 0 (n → +∞) для любых k, m. Тогда

‖ϕ]n‖k,m 6

∫|ψn(t)| dt +

∫|ψ(m)

n (t)| dt, (3)

где ψn(t) =1√2π

(−it)kϕn(t). Достаточно показать, что интегралы в правой части

(3) стремятся к нулю. Действительно,∫|ψ(m)

n (t)| dt =∫|ψ(m)

n (t)|(1 + t2)dt

1 + t26 ‖ψn‖m,2 ·

∫dt

1 + t2→ 0 (n → +∞).

Осталось убедиться в биективности отображения ]). С учетом 168.6 ϕ] = θ ⇒ ϕ =ϕ][ = θ[ = θ, то есть ]) инъективно. Пусть ϕ ∈ S произвольно. Полагая ψ = ϕ[,имеем ψ ∈ S, ϕ = ψ], так что ]) сюръективно. ¤

8. У п р а ж н е н и е. Пусть ϕ0 ∈ S такова, что ϕ0(0) = 1. Показать, чтоотображение A0 : S → S, заданное равенством

(A0ϕ)(t) =

1t[ϕ(t)− ϕ(0)ϕ0(t)], если t 6= 0,

ϕ′(0)− ϕ(0)ϕ′0(0), если t = 0,

206

является линейным непрерывным отображением. Указание: показать сначала, чтоϕ ∈ S ⇒ A0ϕ ∈ S. Для проверки непрерывности достаточно получить оценку вида

‖A0ϕ‖k,m 6 Cn∑

j=1‖ϕ‖kj ,mj . Пусть, например, k = 0. Зафиксируем δ > 0. Тогда при

|t| > δ:

(1 + |t|m)|1t[ϕ(t)− ϕ(0)ϕ0(t)]| 6 1

δ(‖ϕ‖0,m + |ϕ(0)|‖ϕ0‖0,m) 6 C1‖ϕ‖0,m;

при |t| < δ:

(1 + |t|m)|1t[ϕ(t)− ϕ(0)ϕ0(t)]| = (1 + |t|m)|1

t[ϕ(t)− ϕ(0) + ϕ(0)(1− ϕ0(t))]|

6 C2[‖ϕ‖1,0 + ‖ϕ‖0,0],

так что ‖A0ϕ‖0,m 6 C(‖ϕ‖0,m + ‖ϕ‖1,0 + ‖ϕ‖0,0).

§172. Определение обобщенной функции

1. Пусть O (= D или S) — пространство основных функций. Обобщенной функ-цией (над O) называется непрерывный линейный функционал Φ : O → C. При этомнепрерывность естественно означает, что ϕn

O−→ θ ⇒ Φ(ϕn) → 0.Нам будет удобно несколько изменить обозначения: вместо Φ(ϕ) будем писать

〈Φ, ϕ〉. На 1-м месте в форме 〈·, ·〉 ставится обобщенная функция, а на 2-м — основнаяфункция, значение в которой вычисляется. Совокупность всех обобщенных функ-ций над O будет обозначаться через O′. В O′ естественно определяется структуракомплексного векторного пространства:

〈Φ1 + Φ2, ϕ〉 ≡ 〈Φ1, ϕ〉+ 〈Φ2, ϕ〉, 〈λΦ, ϕ〉 ≡ λ〈Φ, ϕ〉 (λ ∈ C).

Здесь 1-е равенство определяет сумму Φ1 + Φ2 обобщенных функций, а 2-е — про-изведение обобщенной функции Φ на скаляр λ.

2. З а м е ч а н и е. S ′ ⊂ D′. (Пусть Φ ∈ S ′, ϕnD−→ θ (ϕn ∈ D). В силу 170.5

ϕnS−→ θ, откуда 〈Φ, ϕn〉 → 0.)

П р и м е р ы. 3. Для каждой функции f ∈ Rloc1 равенство 〈f, ϕ〉 ≡

∫f(x)ϕ(x) dx

(ϕ ∈ D) определяет обобщенную функцию 〈f, ·〉 над D.4. Если f ∈ Rloc

1 такова, что при некотором m ∈ N справедлива оценка |f(x)| 6C(1 + |x|m) (x ∈ R), то равенство 〈f, ϕ〉 ≡

∫f(x)ϕ(x) dx (ϕ ∈ S) определяет

обобщенную функцию над S.5. Равенство 〈δ, ϕ〉 ≡ ϕ(0) (ϕ ∈ S) определяет обобщенную функцию над S;

она называется δ-функцией Дирака. δ-функция обозначается также символом δ(x),

и указанное выше равенство записывают в виде∫

δ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0). δ-функция

представляет собой математическое выражение плотности единичной массы, сосре-доточенной в точке x = 0. Если такая масса сосредоточена в точке x = a, мы при-ходим к δ-функции δa ≡ δ(x− a), определяемой равенством 〈δa, ϕ〉 ≡ ϕ(a) (ϕ ∈ S).

207

6. Пусть f(x) =1x

(x 6= 0). Положим

〈f, ϕ〉 = v.p.∫

ϕ(x)x

dx (ϕ ∈ D). (1)

Отметим, что f 6∈ Rloc1 , так что ситуация отлична от рассмотренной в п. 3. Равенство

(1) определяет обобщенную функцию над D. Правая часть (1) определена в силупредставления

〈f, ϕ〉 =∫

ϕ(x)− ϕ(0)x

dx + v.p.∫

ϕ(0)x

dx, (2)

если учесть, что интегрирование фактически ведется по компактному множеству —носителю функции ϕ. Пусть теперь ϕn

D−→ θ и отрезок [a, b] таков, что supp (ϕn) ⊂[a, b], n ∈ N. Если 0 6∈ [a, b], то |〈f, ϕn〉| =

∣∣∫ b

a

ϕn(x)x

dx∣∣ 6 ‖ϕn‖0| ln b

a| → 0 (n →

+∞). Если 0 ∈ [a, b], то из (2) имеем

|〈f, ϕn〉| =∣∣∫ b

aϕ′n(θnx)dx

∣∣ +∣∣ v.p.

∫ b

a

ϕn(0)x

dx∣∣, |θn| < 1.

Итак, |〈f, ϕn〉| 6 (b− a)‖ϕn‖1 + ‖ϕn‖0 ·∣∣ v.p.

∫ b

a

dx

x

∣∣ → 0 (n → +∞).

7.У п р а ж н е н и е. Показать, что функционал 〈f, ·〉 из п. 6 является обобщеннойфункцией над S.

§173. Сходимость обобщенных функций

1. В векторном пространстве O′ обобщенных функций над основным простран-ством O вводится понятие сходимости: последовательность Φn ∈ O′ называется схо-дящейся к обобщенной функции Φ ∈ O′, если lim

n〈Φn, ϕ〉 = 〈Φ, ϕ〉 для любой ϕ ∈ O.

В соответствии с этим ряд∞∑

k=1

Ψk из обобщенных функций Ψk ∈ O′ называется

сходящимся к обобщенной функции Ψ ∈ O′, если к Ψ сходится последовательностьn∑

k=1

Ψk его частных сумм.

2. П р и м е р. Рассмотрим последовательность обычных функций fn = nχ(0,1/n)

(n ∈ N). В силу 172.4 〈fn, ·〉 ∈ S ′. При этом ϕ ∈ S ⇒ 〈fn, ϕ〉 =∫ 1/n

0ϕ(t) dt =

ϕ(1n

θn) → ϕ(0) (n → +∞) (0 < θn < 1). Следовательно, 〈fn, ·〉 → δ (n → +∞), где δ

— δ-функция.

§174. Умножение обобщенных функций на бесконечнодифференцируемые функции

1. Пусть ψ — произвольная бесконечно дифференцируемая функция и Φ ∈ D′.Тогда равенство

〈ψΦ, ϕ〉 ≡ 〈Φ, ψϕ〉 (∗)определяет обобщенную функцию ψΦ над D.

208

¶ Функционал 〈ψΦ, ·〉 линеен на D (!!). Пусть ϕnS−→ θ. В силу 171.3 〈ψΦ, ϕn〉 =

〈Φ, ψϕn〉 = 〈Φ, Tψϕn〉 → 0 (n → +∞). ¤Аналогично имеет место утверждение

2. Если функция ψ полиномиального роста, то равенство (∗) определяет обоб-щенную функцию ψΦ над S (!!).

3. В частности, для ψ(x) ≡ x (x ∈ R) и Φ ∈ S ′ положим Φ§ ≡ ψΦ, так чтоΦ§ ∈ S′.

З а м е ч а н и я. 4.Данное выше определение согласуется с обычным умножениемфункций. Например, если ψ — бесконечно дифференцируемая функция, то ψ〈f, ·〉 =〈ψf, ·〉, f ∈ Rloc

1 .5.Произведение обобщенной функции на обобщенную функцию определить невоз-

можно, если требовать, чтобы эта операция была непрерывной и на классе обычныхфункций совпадала бы с обычным умножением функций.

У п р а ж н е н и я. 6. Найти δ§.

7. Найти (1x

)§, где1x

— обобщенная функция из 172.6.

§175. Дифференцирование обобщенных функций

1. Пусть O = D или S. Производной обобщенной функции Φ ∈ O′ называетсяобобщенная функция Φ′, определенная равенством

〈Φ′, ϕ〉 ≡ −〈Φ, ϕ′〉, ϕ ∈ O.

Данное определение корректно: Φ′ — линейный функционал, его непрерывностьследует из 171.2. По индукции определяются производные высших порядков: Φ(n) ≡(Φ(n−1))′ (n = 2, 3, . . .).

Операция дифференцирования обобщенных функций согласуется с дифферен-цированием обычных функций.

2.Пусть f ∈ Rloc1 — гладкая на каждом отрезке [a, b] ⊂ R. Тогда для обобщенной

функции 〈f, ·〉 ∈ D′ имеет место равенство 〈f, ·〉′ = 〈f ′, ·〉.¶ Пусть ϕ ∈ D произвольна. Обозначая через 〈f, ϕ〉′ значение обобщенной функции〈f, ·〉′ в точке ϕ, имеем

〈f, ϕ〉′ = −〈f, ϕ′〉 = −∫

f(x)ϕ′(x) dx = −f(x)ϕ(x)∣∣∣∣+∞

−∞+

∫f ′(x)ϕ(x) dx = 〈f ′, ϕ〉. ¤

3. З а м е ч а н и е. Обратим внимание на замечательное обстоятельство: вся-кая обобщенная функция дифференцируема (а значит, обладает производными всехпорядков!). В частности, каждая функция f ∈ Rloc

1 , будучи не обязательно диффе-ренцируемой в обычном смысле, как обобщенная функция уже дифференцируемаи притом сколько угодно раз.

4. Пусть Φn → Φ (Φn, Φ ∈ O′). Тогда Φ′n → Φ′. Если Ψ =∞∑

n=1Ψn (Ψn, Ψ ∈

O′), то Ψ′ =∞∑

n=1Ψ′

n, то есть сходящийся ряд из обобщенных функций можно

дифференцировать почленно.

209

¶Для ϕ ∈ O: limn〈Φ′n, ϕ〉 = − lim

n〈Φn, ϕ′〉 = −〈Φ, ϕ′〉, то есть Φ′n → Φ′. 2-е утверждение

непосредственно следует из 1-го. ¤П р и м е р ы. 5. Найдем производные δ-функции:

〈δ′, ϕ〉 = −〈δ, ϕ′〉 = −ϕ′(0), 〈δ′′, ϕ〉 = −〈δ′, ϕ′〉 = ϕ′′(0), . . . , 〈δ(k), ϕ〉 = (−1)kϕ(k)(0).

6. Найдем производную от функции Хэвисайда h ≡ χ(0,+∞)

в смысле обобщенныхфункций над S. Имеем

〈h′, ϕ〉 = −〈h, ϕ′〉 =∫ +∞

0ϕ′(x) dx = ϕ(0) (ϕ ∈ S),

так что 〈h, ·〉′ = δ.7. Пусть f — 2π-периодическая функция, заданная на периоде равенствами

f(x) =

π − x

2, если 0 < x < 2π,

0, если x = 0, 2π.

Ее ряд Фурье (он сходится поточечно) имеет вид

f(x) =∞∑

n=1

sinnx

n. (∗)

Этот ряд сходится в смысле обобщенных функций над D (!!). Поэтому обобщеннаяпроизводная функции f в соответствии с п. 8 (см. ниже) равна 〈f, ·〉′ =

〈−12

+ π+∞∑−∞

δ2πj , ·〉, то есть

〈f, ϕ〉′ = −12

∫ϕ(x) dx + π ·

∑

j∈supp (ϕ)

ϕ(2πj) (ϕ ∈ D).

С другой стороны, дифференцируя почленно ряд (∗) согласно п. 4, имеем равенство

в смысле обобщенных функций f ′(x) =∞∑

n=1cosnx (ряд в правой части в смысле

обычных функций расходится!).

У п р а ж н е н и я. 8. Пусть f ∈ Rloc1 кусочно-гладкая на каждом отрезке,

причем f(xi+)− f(xi−) = hi (i = 1, . . . , s). Тогда производная функции f в смысле

обобщенных функций имеет вид 〈f, ·〉′ = 〈f ′ +s∑

i=1hiδxi , ·〉 (см. 175.6).

9. Найти предел limε→0+

1x

sinx

εв D′.

10. Доказать, что ряды (а)+∞∑−∞

anδn, (б)∞∑

n=0an(δn)(n) сходятся в D′ при любых

an. Какое условие следует наложить на an, чтобы ряд (а) сходился в S ′?11. Найти производные в смысле обобщенных функций: |x|′, |x|′′, [ψ(x)h(x)]′

(ψ — гладкая функция, h — функция Хэвисайда).

210

§176. Преобразование Фурье обобщенных функций

1.Преобразованием Фурье (обратным преобразованием Фурье) обобщенной функ-ции Φ ∈ S ′ называется обобщенная функция Φ] (соответственно Φ[), определяемаяравенством 〈Φ], ϕ〉 ≡ 〈Φ, ϕ]〉, ϕ ∈ S (соответственно 〈Φ[, ϕ〉 ≡ 〈Φ, ϕ[〉).

Корректность определения следует из того, что ]) : S → S — линейное непре-рывное отображение (171.7). Отметим основные свойства преобразования Фурьеобобщенных функций.

2. Φ][ = Φ[] = Φ.

3. Φn → Φ (Φn,Φ ∈ S ′) ⇒ Φ]n → Φ], Φ[

n → Φ[.

4. Отображения ]), [) : S ′ → S ′ суть биекции.

¶ П. 2: 〈Φ][, ϕ〉 = 〈Φ], ϕ[〉 = 〈Φ, ϕ[]〉 = 〈Φ, ϕ〉 (ϕ ∈ S).П. 3.: Φn → Φ ⇒ 〈Φ]

n, ϕ〉 = 〈Φn, ϕ]〉 → 〈Φ, ϕ]〉 = 〈Φ], ϕ〉 (ϕ ∈ S) ⇒ Φ]n → Φ].

П. 4.: Φ ∈ S ′ ⇒ Φ = (Φ[)] ⇒ ]) — сюръекция. Φ] = F] (F, Φ ∈ S ′) ⇒ Φ = Φ][ =F][ = F ⇒ ]) — инъекция. ¤

Имеет место аналог свойства 168.8.

5. Для каждой Φ ∈ S ′ : Φ′ = iΦ]§[.¶ Для любой ϕ ∈ S имеем (см. 168.8)

〈Φ′, ϕ〉 = −〈Φ, ϕ′〉 = −〈Φ, iϕ]§[〉.Однако

ϕ]§[(t) =12π

∫eits ds · s

∫e−isλϕ(λ) dλ [делаем замену s → −s]

= − 12π

∫e−its ds · s

∫eisλϕ(λ) dλ = −ϕ[§](t).

Поэтому 〈Φ′, ϕ〉 = i〈Φ, ϕ[§]〉 = 〈iΦ]§[, ϕ〉 (ϕ ∈ S). ¤6. П р и м е р. Найдем преобразование Фурье δ-функции:

〈δ], ϕ〉 = 〈δ, ϕ]〉 = ϕ](0) =1√2π

∫ϕ(t) dt = 〈 1√

2π, ϕ〉 (ϕ ∈ S),

откуда δ] =1√2π

. Аналогично, δ[ =1√2π

.

§177. Простейшие дифференциальные уравнения в классеобобщенных функций

1. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение

Φ′ = 0. (1)

Будем решать его в пространстве обобщенных функций S ′. Воспользуемся резуль-татом 176.5. Из него следует, что (1) эквивалентно уравнению Φ]§ = 0 или, что всеравно, уравнению

〈Φ], ϕ§〉 = 0 (ϕ ∈ S). (2)

211

Зафиксируем функцию ϕ0 ∈ S такую, что ϕ0(0) = 1. Тогда каждая функцияϕ ∈ S однозначно представима в виде ϕ = ψ§ + αϕ0, где ψ — подходящая функ-ция из S. Действительно, α = ϕ(0) и ψ§ = ϕ − αϕ0, причем ψ ∈ S в силу 171.8.Таким образом, решение уравнения (2), удовлетворяющего “начальному” условию〈Φ], ϕ0〉 = 1, находится из равенства

〈Φ], ϕ〉 = ϕ(0)〈Φ], ϕ0〉, ϕ ∈ S.

Итак, Φ] = δ, так что Φ = δ[ =1√2π

. Мы пришли к утверждению

2. Общее решение уравнения (1) в S ′ имеет вид Φ = const.

З а м е ч а н и я. 3. Как известно, общее решение уравнения (1) в обычныхфункциях также Φ = const. Поскольку, однако, класс S ′ существенно шире классаобычных функций, полученный выше результат заранее не был ясен.

4. Можно было бы решать уравнение (1) в классе D′. Утверждение п. 2 сохраня-ется и для этого случая, причем из него в силу замечания 172.2 следует результатп. 2 для S ′.

Рассмотрим теперь более общее уравнение

Φ′ = F, (3)

где в правой части стоит известная обобщенная функция.

5. З а м е ч а н и е. Если решение (3) существует, то в силу п. 2 оно единственнос точностью до постоянного слагаемого.

6. Уравнение (3) разрешимо в S ′.¶ Беря преобразование Фурье от обеих частей (3) и используя 176.5, получим Φ′] =iΦ]§ = F]. Обозначая Ψ = Φ], G = −iF ], приходим к эквивалентному уравнению впространстве S ′:

Ψ§ = G. (4)

Решением этого уравнения является, например, обобщенная функция Ψ, заданнаяравенством 〈Ψ, ϕ〉 = 〈G,A0ϕ〉 (ϕ ∈ S), где A0 — линейное непрерывное отображение,определенное в 171.8. В самом деле,

〈Ψ§, ϕ〉 = 〈Ψ, ϕ§〉 = 〈G,A0(ϕ§)〉 = 〈G,ϕ〉 (ϕ ∈ S)

(так как A0(ϕ§)(t) = ϕ(t), t ∈ R). ¤У п р а ж н е н и я. 7. Решить уравнение (1) в D′.8. Найти общее решение уравнения Φ(n) = 0 в S ′.

212

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОМНОГООБРАЗИЯМ

§178. Гладкие кривые

1. Гладкой кривой в Rn называется пара γ; x : [a, b] → Rn или, короче,γ; x(·), где(а) γ = x(t) : a 6 t 6 b (⊂ Rn),

(б) вектор-функция x гладкая, причем ∀t ∈ [a, b] (x′(t) 6= 0).

Непрерывной кусочно-гладкой кривой в Rn называется пара γ; x(·), причем удо-влетворяются требования (а) и

(б′) вектор-функция x непрерывна и существует разложение ∆(a = t0 < t1 < . . . <tk = b) такое, что для любого i (1 6 i 6 k) пара γi; x : [ti−1, ti] → Rn —гладкая кривая.

Непрерывная кусочно-гладкая кривая γ; x : [a, b] → Rn называется замкну-той, если x(a) = x(b). Функцию x(·) будем нзывать параметризацией кривой γ.

2. Гладкие кривые γ; x : [a, b] → Rn и γ; x : [c, d] → Rn считаются равными,если γ = γ и параметр t, с помощью которого осуществляется параметризация γ,связан с параметром τ , параметризующим γ, допустимым образом, то есть функцияt = λ(τ) (c 6 τ 6 d) гладкая, строго монотонная и λ′(τ) 6= 0 (τ ∈ [c, d]). В силуданного соглашения одна и та же кривая допускает различные параметризации.

3. Введем специальную параметризацию непрерывной кусочно-гладкой кривой

γ; x : [a, b] → Rn. Пусть s(t) =∫ t

a

[ n∑

i=1

xi′(τ)2]1/2

dτ — длина дуги нашей кривой от

начальной точки a до переменной точки t (эта величина в данном случае корректноопределена). Обозначим ` = s(b) и зададим отображение p : [0, `] → Rn. Положимp(0) = x(a), p(s) ≡ x(t) ∈ γ, где t ∈ [a, b] таково, что s(t) = s. В частности, p(`) =x(b). Отображение p : [0, `] → Rn параметризует γ, причем γ; x : [a, b] → Rn =γ; p : [0, `] → Rn в смысле п. 2, так как s′(t) = ‖x′(t)‖ > 0 (a 6 t 6 b).

§179. Криволинейный интеграл 1-го рода

1. Пусть γ; p : [0, `] → Rn — непрерывная кусочно-гладкая кривая, параметри-зованная длиной дуги s. Пусть f : γ → R — непрерывная функция. Криволинейныминтегралом 1-го рода от функции f вдоль кривой γ называется интеграл

∫

γ

f ≡∫ `

0f(p(s)) ds. (1)

З а м е ч а н и я. 2. Если кривая параметризована каким-либо параметром t, от-личным от s, то с учетом 178.3 и формулы замены переменной получим выражениедля криволинейного интеграла по кривой γ; x : [a, b] → Rn:

∫

γ

f =∫ `

0f(p(s)) ds =

∫ b

af(x(t))‖x′(t)‖ dt. (2)

213

3. Величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит от направленияобхода кривой: полагая σ = `− s, p(σ) = p(`− σ), имеем∫ `

0f(p(σ))d σ =

∫ 0

`f(p(s)) d(−s) =

∫ `

0f(p(s))ds.

4. К криволинейному интегралу 1-го рода мы приходим, решая, например, за-дачу определения массы криволинейного стержня с заданной линейной плотностью(площадь сечения стержня считается постоянной). Пусть уравнение стержня заданопараметрически γ = r(t) : a 6 t 6 b, где r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Пусть плотностьописывается функцией ρ(x, y, z), определенной в точках стержня. Взяв некотороеразложение ∆(a = t0 < t1 < . . . < tk = b), примем приближенно массу mi i-го участ-ка стержня, заключенного между точками r(ti−1), r(ti), равной mi

∼= ρ(r(τi))∆`i, где

τi — пока произвольная точка из [ti−1, ti], а ∆`i =∫ ti

ti−1

‖r′(t)‖ dt — длина этого участ-

ка. По теореме о среднем существует точка ξi ∈ [ti−1, ti], что ∆`i = ‖r′(ξi)‖(ti− ti−1).

Полагая τi = ξi, получим m ∼=k∑

i=1mi =

k∑i=1

ρ(r(ξi))‖r′(ξi)‖(ti − ti−1). В качестве

точного значения искомой массы естественно принять предел

m = limd(∆)→0

∑mi =

∫ b

aρ(r(t))‖r′(t)‖ dt =

∫

γ

ρ.

5.П р и м е р. Вычислим∫

γ

√x, где γ — часть кривой x = y2, заключенная между

точками (1,−1), (1, 1). Как чаще всего случается на практике, кривая задается еегеометрическим образом γ, а параметризацию следует подобрать. Отметим, чтопараметром x параметризовать всю кривую в данном случае нельзя (γ не являетсяграфиком функции вида y = f(x)). Кривую можно параметризовать переменной y :x(y) = y2, y(y) = y (−1 6 y 6 1). Имеем f(x, y) =

√x(y) = |y|. Используя формулу

(2), получаем∫

γ

√x =

∫ 1

−1|y|(1 + 4y2)1/2 dy = 2

∫ 1

0y(1 + 4y2)1/2 dy =

16(5√

5− 1).

§180. Криволинейный интеграл 2-го рода

1. Пусть в области Ω ⊂ R3 (здесь и ниже под областью понимается открытоелинейно связное множество) задано векторное поле a (то есть задано отображениеa : Ω → R3). Это может быть, например, силовое поле или поле тяготения. Чтобысместить материальную точку с координатами (x1, x2, x3) ∈ Ω на малый векторh = (h1, h2, h3), нужно совершить “элементарную” работу

Wэл. = 〈a(x), h〉 = a1(x)h1 + a2(x)h2 + a3(x)h3.

Пусть непрерывная кусочно-гладкая кривая γ; r : [c, d] → R3 целиком лежит вΩ (то есть r(t) ∈ Ω (c 6 t 6 d)), и требуется найти работу поля a по перемеще-нию материальной точки вдоль кривой γ от точки r(c) до точки r(d) в направлениивозрастания параметра t. Будем предполагать векторное поле непрерывным. Рас-смотрим некоторое разложение ∆(c = t0 < t1 < . . . < tN = d). Тогда приближенное

214

значение искомой работы

W =N∑

j=1

〈a(r(tj−1)), r(tj)− r(tj−1)〉 ≈N∑

j=1

〈a(r(τj)), r′(τj)(tj − tj−1)〉, tj−1 6 τj 6 tj .

Устремляя d(∆) к 0, получим W =∫ d

c〈a(r(t)), r′(t) dt〉 (в силу непрерывности a

замены a(r(tj−1)) → a(r(τj)) корректны; однако мы опускаем детали выкладок).

2. Полученное выражение можно переписать иначе. Имеем с учетом 179.2

W =∫ d

c〈a(r(t)),

r′(t)‖r′(t)‖ · ‖r

′(t)‖ dt〉 =∫

γ

〈a,κ〉,

где κ(t) — орт касательной к кривой γ в точке t в направлении возрастания па-раметра t. Полученный интеграл имеет специфическую особенность: он зависит нетолько от векторного поля и кривой, но и от выбора направления, в котором точкадвижется по кривой. Если изменить направление на противоположное, то касатель-ный вектор перейдет в (−κ) и, следовательно, интеграл изменит знак.

3. Указанное обстоятельство приводит к необходимости ввести понятие ориен-тации кривой — направление возрастания параметра, участвующего в параметриза-ции кривой. Если одна и та же кривая параметризована двумя вектор-функциямиr : [a, b] → Rn и r : [c, d] → Rn, а t = λ(τ) (c 6 τ 6 d) — функция связи парамет-ров t (a 6 t 6 b) и τ , то (равные) кривые γ; r(·) и γ; r(·) имеют одинаковую(соответственно противоположную) ориентацию, если λ′(τ) > 0 (c 6 τ 6 d) (соот-ветственно λ′(τ) < 0). Далее через −γ обозначается кривая γ, у которой ориентациязаменена на противоположную.

4. Теперь своевременно дать общее определение. Пусть a(x) = (a1(x), . . . , an(x))(x ∈ Ω ⊂ Rn) — непрерывное векторное поле и γ; r : [a, b] → Rn — непрерывнаякусочно-гладкая кривая в Ω. Криволинейным интегралом 2-го рода от векторногополя a вдоль ориентированной кривой γ называется величина

∫

γ

a1(x) dx1 + . . . + an(x) dxn ≡∫ b

a〈a(r(t)), r′(t) dt〉.

В силу сказанного в п. 2 этот интеграл может быть записан через криволинейныйинтеграл 1-го рода

∫

γ

a1(x) dx1 + . . . + an(x) dxn =∫

γ

〈a,κ〉,

где κ(t) — касательный орт к кривой, вычисленный в точке t. Отсюда, в частности,следует, что криволинейный интеграл 2-го рода определен корректно: его величинане зависит от параметризации кривой, если сохраняется ее ориентация. При изме-нении ориентации кривой интеграл изменяет знак на противоположный:

∫

−γ

n∑

i=1

ai(x)d xi = −∫

γ

n∑

i=1

ai(x) dxi.

215

З а м е ч а н и я. 5. Непрерывная кусочно-гладкая замкнутая кривая γ называ-ется замкнутым контуром. Интеграл по замкнутому контуру обычно обозначается

символом∮

γ

〈a,κ〉 и называется циркуляцией векторного поля a вдоль контура γ.

6. Определение криволинейного интеграла обобщается на случай кривых γ,представимых в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся непре-рывных кусочно-гладких ориентированных кусков:

γ =k⋃

i=1γi (γi ∩ γj = ∅, i 6= j) ⇒

∫

γ

〈a,κ〉 ≡k∑

i=1

∫

γi

〈a,κ〉.

7. П р и м е р. Вычислим∫

γ

(x2 +2xy)dy, где γ — верхняя половина окружности

x2 + y2 = 1, пробегаемая против часовой стрелки. Параметризуем γ : x = cos t, y =sin t (t ∈ [0, π]). Векторное поле имеет вид a(x, y) = (0, x2 +2xy) ((x, y) ∈ R2). Поэто-

му∫

γ

(x2 + 2xy)dy =∫ π

0(cos2 t + 2 cos t · sin t) cos t dt =

43.

§181. Потенциальные поля

1. Пусть функция u : Ω → R (Ω(⊂ Rn) — область) дифференцируема в Ω. Тогдав Ω определено векторное поле

(∇u)(x) = (∂u

∂x1(x), . . . ,

∂u

∂xn(x)), (x ∈ Ω)

(знак ∇ читается “набла”). Функция u называется в этом случае потенциалом век-торного поля, а само поле — потенциальным. Векторное поле ∇u называют гра-диентом функции u и обозначают grad u.

2. П р и м е р. Напряженность E электрического поля (в R3) точечного за-ряда q, помещенного в начало координат, в точке пространства, имеющей радиус-вектор r, задается формулой (закон Кулона) E = λq

r

‖r‖3, где λ — константа, зави-

сящая от выбора системы физических единиц. Это поле потенциально: E = ∇u, гдеu(x, y, z) = −λq(x2 + y2 + z2)−1/2.

3. Пусть a : Ω → Rn — непрерывное векторное поле в области Ω. Следующиеусловия эквивалентны:

(1) существует непрерывно дифференцируемая функция u : Ω → R такая, чтоa = ∇u,

(2)∮

γ

〈a,κ〉 = 0 для каждого замкнутого контура γ ⊂ Ω.

¶ (1) ⇒ (2). Если γ; x : [c, d] → Rn — замкнутый контур (т. е. x(c) = x(d)), то∮

γ

〈a,κ〉 = ε

∫ d

c[

n∑

i=1

ai(x(t))xi′(t)] dt = ε

∫ d

c

[ n∑

i=1

∂u

∂xi(x(t))xi′(t)

]dt

= ε

∫ d

c

d

dt[u(x(t))] dt = ε[u(x(d))− u(x(c))] = 0

216

(здесь ε = ±1 в зависимости от ориентации γ).

(2) ⇒ (1). Если выполнено (2), то интеграл∫

γ

〈a,κ〉, где γ — любая ориентиро-

ванная кусочно-гладкая кривая с началом в точке x0 и концом в точке x1, зависитлишь от точек x0 и x1 и не зависит от самой кривой. Действительно, если γ1 —еще одна такая кривая, то γ2 = −γ1 ∪ γ — замкнутый контур и следовательно,∫

γ2

〈a,κ〉 = 0, откуда

∫

γ

=∫

γ

−∫

γ2

=∫

γ

−[ ∫

−γ1

+∫

γ

]= −

∫

−γ1

=∫

γ1

.

Зафиксируем точку x0 ∈ Ω и положим

u(x) =∫

γ(x0,x)

〈a,κ〉 (x ∈ Ω), (∗)

где γ(x0, x) — произвольная непрерывная кусочно-гладкая кривая, лежащая в Ω исоединяющая x0 с x (она всегда существует (!!)), ориентированная условием, чтоx0 — ее начало. Покажем, что u(x) — потенциал поля a. Убедимся, например, что∂u

∂x1(x) = a1(x) (x ∈ Ω). Пусть x получает малое смещение h по 1-й координате и

δh = [x, x+he1] — прямолинейный отрезок с концами в x и x+he1, ориентированныйусловием, что x — его начало. Из независимости интеграла (∗) от пути имеем

u(x + he1)− u(x) =∫

γ(x0,x+he1)

−∫

γ(x0,x)

=∫

γ(x0,x)∪δh

−∫

γ(x0,x)

=∫

γ(x0,x)

+∫

δh

−∫

γ(x0,x)

=∫

[x0,x+he1]

〈a,κ〉.

Параметризуя отрезок [x, x + he1] параметром t = x1 и замечая, что в этом случаекасательный вектор κ = εe1 (ε = sgn h), имеем с учетом теоремы о среднем:

u(x + he1)− u(x) =

∫ x1+h

x1

a1(t, x2, . . . , xn) dt, если h > 0,∫ x1

x1+ha1(t, x2, . . . , xn) dt, если h < 0,

= a1(x1 + θh, x2, . . . , xn)h (0 6 θ 6 1).

Из непрерывности функции a1 имеем отсюда∂u

∂x1(x) = a1(x). ¤

§182. Ротор

1. Пусть a(x) (x ∈ Ω ⊂ R3) — непрерывно дифференцируемое векторное поле.Ротором поля a (обозначается rot a ) называется векторное поле

rot a =(

∂a3

∂x2− ∂a2

∂x3,

∂a1

∂x3− ∂a3

∂x1,

∂a2

∂x1− ∂a1

∂x2

).

217

Для запоминания удобно представление ротора в виде формального определителя

(как “векторного произведения” оператора ∇ =( ∂

∂x1,

∂

∂x2,

∂

∂x3

)на вектор a(x)):

(rot a)(x) = (∇× a)(x) ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

a1(x) a2(x) a3(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣,

где e1, e2, e3 — стандартный базис в R3.

2. Если непрерывно дифференцируемое векторное поле a потенциально в обла-сти Ω(⊂ R3), то rot a = 0.¶ Пусть a = ∇u. Тогда, например,

∂a3

∂x2(x)− ∂a2

∂x3(x) =

∂2u(x)∂x2∂x3

− ∂2u(x)∂x3∂x2

= 0. ¤

Обратное утверждение, вообще, неверно. Однако, оно справедливо, когда Ω —параллелепипед.

3. Если a — непрерывно дифференцируемое векторное поле в Π = [α1, β1] ×[α2, β2]× [α3, β3], причем rot a = 0 в Π, то в Π поле a потенциально.¶ Положим для (x1, x2, x3) ∈ Π

u(x1, x2, x3) =∫ x1

α1

a1(ξ, α2, α3) dξ +∫ x2

α2

a2(x1, η, α3)d η +∫ x3

α3

a3(x1, x2, ζ) dζ.

Тогда с учетом 134.1 имеем

∂u

∂x1(x) = a1(x1, α2, α3) +

∫ x2

α2

∂a2

∂x1(x1, η, α3) dη +

∫ x3

α3

∂a3

∂x1(x1, x2, ζ) dζ

= a1(x1, α2, α3) +∫ x2

α2

∂a1

∂x2(x1, η, α3) dη +

∫ x3

α3

∂a1

∂x3(x1, x2, ζ) dζ

(мы воспользовались условием rot a = 0). Следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница имеем

∂u

∂x1(x) = a1(x1, α2, α3) + a1(x1, x2, α3)− a1(x1, α2, α3) + a1(x1, x2, x3)− a1(x1, x2, α3)

= a1(x).

Аналогично∂u

∂x2(x) = a2(x),

∂u

∂x3(x) = a3(x). ¤

4. З а м е ч а н и е. Утверждение п. 3 остается справедливым для довольно ши-рокого класса областей, так называемых односвязных. Область Ω ⊂ R3 называетсяодносвязной, если (грубо говоря) каждый замкнутый контур, лежащий в Ω, можнонепрерывно стянуть в точку так, что при стягивании контур остается в Ω. Мы недаем точного определения односвязной области, ограничившись сказанным и дву-мя примерами: (а) область, заключенная между двумя концентрическими сферами,односвязна, (б) область R3\(ось OZ) не односвязна.

218

§183. Ориентация плоской области

1. Введем понятие ориентации плоской области, границей которой является ко-нечная система замкнутых контуров. Зафиксируем в R2 прямоугольную системукоординат и направление обхода единичной окружности с центром в O, при которомпроходится кратчайший путь от положительного направления оси OX к положи-тельному направлению оси OY . Если при таком обходе точки внутренности кругаостаются слева (соответственно справа), будем говорить что на плоскости заданаположительная (соответственно отрицательная) ориентация (см. Рис. 23). В соот-ветствии с этим область, границей которой является конечная система замкнутыхконтуров, называется положительно ориентированной, если ориентация контуровсогласована с ориентацией плоскости, то есть при положительной (соответственноотрицательной) ориентации при движении вдоль контуров точки области остаютсяслева (соответственно справа). Аналогично область отрицательно ориентирована,если при положительной (соответственно отрицательной) ориентации при движе-нии вдоль контуров точки области остаются справа (соответственно слева).

2. Приведенное определение ориентации числовой плоскости может показать-ся искусственным. Кроме того, не совсем ясно, как его обобщить на пространствавысших размерностей. Приведем общее определение ориентации пространства Rn,частным случаем которого является рассмотренный плоский случай.

Задать ориентацию в пространстве Rn — это, по определению, указать в этомпространстве упорядоченный ортонормированный базис e1, . . . , en. Если в Rn за-дан еще один такой базис f1, . . . , fn, то определена матрица [aj

i ] перехода от 1-го

базиса ко 2-му (fi =n∑

j=1aj

iej , 1 6 j 6 n). При этом det[aji ] = ±1. Две ориентации,

задаваемые базисами e1, . . . , en и f1, . . . , fn, называются эквивалентными (илиеще говорят, что эти базисы задают в Rn одинаковую ориентацию), если det[aj

i ] = 1.Если det[aj

i ] = −1, то соответствующие ориентации называются различными. Такимобразом, в евклидовом пространстве Rn имеется всего две ориентации (или 2 классаориентаций).

§184. Формула Грина

1. Область Ω ⊂ R2 назовем правильной, если это область одного из следую-щих четырех типов: (1) область вида, изображенного на Рис. 24, где ϕ(x) — строговозрастающая непрерывная кусочно-гладкая функция; (2)–(4) получаются из (1)

219

поворотами соответственно на углыπ

2, π,

3π

2.

2. [Формула Грина]. Пусть Ω — плоская ограниченная область с непрерыв-

ной кусочно-гладкой положительно ориентированной границей γ, и Ω− =n⋃

i=1Ωi

(Ωi∩Ωj∼= ∅ (i 6= j)), где Ωi правильны. Пусть a(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) ((x, y) ∈ Ω−)

— непрерывно дифференцируемое векторное поле. Тогда∫∫

Ω

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)dxdy =

∫

γ

u(x, y) dx + v(x, y) dy

(справа стоит криволинейный интеграл 2-го рода).

¶ Пусть сначала область Ω сама является пра-вильной, то есть является областью одного из ти-пов (1) – (4). Проверка формулы осуществляетсянепосредственным просчетом. Проверим, напри-мер, формулу для области типа (1) (см. Рис. 24).Имеем

∫∫

Ω

(−∂u

∂y

)dxdy = −

∫ b

adx

∫ ϕ(x)

ϕ(a)

∂u

∂y(x, y) dy = −

∫ b

a[u(x, ϕ(x))− u(x, ϕ(a)]dx

=∫ b

a[u(x, ϕ(a))− u(x, ϕ(x))] dx.

С другой стороны,∫

γ

u(x, y) dx =∫

γ1

+∫

γ2

+∫

γ3

. Здесь∫

γ2

= 0, так как касательная к

γ2 ортогональна оси OX. Участки γ1, γ3 параметризуем параметром x (a 6 x 6 b):∫

γ1

u(x, y) dx =∫ b

au(x, ϕ(a))dx,

∫

γ3

u(x, y)dx = −∫

−γ3

u(x, y)dx = −∫ b

au(x, ϕ(x))dx.

Следовательно,∫∫

Ω

(−∂u

∂y

)dxdy =

∫ b

au(x, ϕ(a)) dx−

∫ b

au(x, ϕ(x)) dx =

∫

γ

u(x, y) dx.

Аналогично∫∫

Ω

∂v

∂xdxdy =

∫

γ

v(x, y) dy, и формула доказана.

В общем случае, когда Ω разрезается на правильные области, остается заме-

тить, что двойной интеграл∫∫

Ω

=∑

i

∫∫

Ωi

. Для каждого куска∫∫

Ωi

=∫

γi

, где γi —

ориентированная граница куска Ωi. Но соседние куски на общей части их границиндуцируют противоположные ориентации и при сложении криволинейных инте-гралов в результате останется только интеграл по границе γ области Ω. ¤

В качестве следствия отметим формулу для вычисления площади плоской об-ласти через криволинейный интеграл.

220

3. Для области Ω в условиях п. 2 m(Ω) =12

∫

γ

x dy − y dx.

¶ Положим в формуле Грина u(x, y) = −y, v(x, y) = x. ¤

§185. Гладкие поверхности в R3

1. Пусть Ω(⊂ R2) — область в пространстве параметров. Гладкой поверхностьюв R3 называется пара σ; r : Ω− → R3, где r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и

(а) σ = r(u, v) : (u, v) ∈ Ω− (⊂ R3),

(б) координатные функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) гладкие в Ω−, причем

|J(x(u, v), y(u, v))|2 + |J(y(u, v), z(u, v))|2 + |J(z(u, v), x(u, v))|2 6= 0 ((u, v) ∈ Ω). (1)

З а м е ч а н и я. 2. Удобно пользоваться векторной записью, полагая r(u, v) =x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, где i, j,k — единичные орты осей OX, OY, OZ соответ-ственно. В этом случае условие (б) п. 1 означает, что

r′u × r′v ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0,

где определитель в правой части этого равенства формально раскрывается по пер-вой строке. Вектор r′u×r′v является вектором нормали к данной поверхности, и тре-бования, наложенные на поверхность, означают, что поверхность обладает в каждойточке нормалью. Отметим, что

‖r′u × r′v‖2 = |J(x(u, v), y(u, v))|2 + |J(y(u, v), z(u, v))|2 + |J(z(u, v), x(u, v))|2. (2)

3. Если (u0, v0) ∈ Ω, то один из определителей в (1) отличен от нуля. Пусть, на-пример, J(x(u0, v0), y(u0, v0)) 6= 0. Тогда по теореме о существовании неявной функ-ции существует окрестность U(u0, v0) ⊂ Ω такая, что уравнения x = x(u, v), y =y(u, v) в этой окрестности разрешимы относительно u, v : u = u(x, y), v = v(x, y).Подставив эти выражения в уравнение z = z(u, v), получим, что некоторый кусокs ⊂ σ описывается уравнением z = f(x, y), где f(x, y) = z(u(x, y), v(x, y)). Итак, длялюбой точки (u0, v0) ∈ Ω существует некоторая окрестность U(u0, v0) ⊂ Ω такая,что соответствующий ей кусок s (именно s = r(u, v) : (u, v) ∈ U(u0, v0)) биективноотображается на одну из координатных плоскостей.

4. Гладкие поверхности σ; r : Ω− → R3 и σ; r : Ω− → R3 считаются равными,если σ = σ и параметры u, v, определяющие σ, связаны с параметрами λ, µ, опре-деляющими σ, допустимым образом, то есть u = u(λ, µ), v = v(λ, µ) ((λ, µ) ∈ Ω−),причем (а) это биективное преобразование Ω на Ω, (б) u(λ, µ), v(λ, µ) непрерывнодифференцируемы и |J(u, v)| 6= 0.

5. П р и м е р. Единичная сфера S в R3 определяется координатными функциямиx = cosϕ · cosψ, y = sin ϕ · cosψ, z = sinψ (0 6 ϕ 6 2π, −π/2 6 ψ 6 π/2),

Ω = (ϕ,ψ) : 0 < ϕ < 2π, −π/2 < ψ < π/2. Это — гладкая поверхность (!!).

221

§186. Поверхностный интеграл 1-го рода

1. В §125 была получена формула для площади гладкой поверхности в пря-моугольных координатах. Аналогичная формула может быть выписана в случаеобщего задания поверхности. Именно, в обозначениях 185.1–2 площадь S гладкойповерхности σ; r : Ω− → R3 равна

S =∫∫

Ω

‖r′u × r′v‖ dudv. (1)

¶ В силу 185.3 наша поверхность локально может быть параметризована прямо-угольными координатами. Поэтому достаточно доказать (1) для куска, допускаю-щего такую параметризацию. Пусть для определенности поверхность параметризо-

вана координатами x, y. Имеем (см. §125) S =∫∫

Ω′

[1 + (

∂z

∂x)2 + (

∂z

∂y)2

]1/2dxdy, где

функции x = x(u, v), y = y(u, v) ((u, v) ∈ Ω) задают допустимое преобразованиепараметров (u, v) ∈ Ω → (x, y) ∈ Ω′. Пользуясь формулой замены переменных вкратном интеграле, имеем

S =∫∫

Ω

[1 + (

∂z

∂x(u, v))2 + (

∂z

∂y(u, v))2

]1/2|J(u, v)| dudv. (2)

Производные∂z

∂x(u, v),

∂z

∂y(u, v) находятся из системы

∂z

∂u=

∂z

∂x· ∂x

∂u+

∂z

∂y· ∂y

∂u,

∂z

∂v=

∂z

∂x· ∂x

∂v+

∂z

∂y· ∂y

∂v.

Имеем∂z

∂x=

1J(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣

∂z

∂u

∂y

∂u∂z

∂v

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣=

J(z(u, v), y(u, v))J(u, v)

,∂z

∂y=

J(x(u, v), z(u, v))J(u, v)

. Под-

ставляя эти выражения в (2) с учетом (2) §185, получаем (1)). ¤2. Пусть σ; r : Ω− → R3 — гладкая поверхность и f : σ → R — непрерывная

функция. Тогда интеграл∫

σ

f ≡∫∫

Ω

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))‖r′u × r′v‖ dudv (3)

называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции f по поверхности σ.

З а м е ч а н и я. 3. Данное определение корректно: величина (3) не зависит отвыбора допустимой параметризации поверхности (используйте для этого обычнуюпроцедуру замены переменных в кратном интеграле (!!)).

4. Если поверхность σ задана в прямоугольной системе координат уравнением

z = z(x, y) ((x, y) ∈ Ω−), то∫

σ

f =∫∫

Ω

f(x, y, z(x, y))[1 + (

∂z

∂x)2 + (

∂z

∂y)2

]1/2dxdy.

222

§187. Поток вектора через ориентированную поверхность

1. Пусть σ; r : Ω− → R3 — гладкая поверхность. Используя векторную за-пись, положим r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k. Как уже отмечалось (185.2),гладкая поверхность обладает в каждой точке нормалью r′u × r′v. Нормируя этот

вектор, получим орт нормали n(u, v) =r′u × r′v‖r′u × r′v‖

. Отметим, что на самом деле

можно говорить о двух нормалях ±n(u, v), которым соответствуют две “стороны”поверхности. Можно, однако, всегда считать, что впереди стоит знак +, так как(если это необходимо) можно поменять местами параметры u, v.

Гладкая поверхность σ; r называется ориентированной, если на σ задананепрерывная функция нормали n(·) : σ → R3. Будем писать σ∗ (вместо σ), еслиповерхность ориентирована.

2. Пусть G(⊂ R3) — область, в которой задано непрерывное векторное поле

a(x, y, z) = α(x, y, z)i + β(x, y, z)j + γ(x, y, z)k ((x, y, z) ∈ G),

и в G лежит гладкая ориентированная поверхность σ∗; r, где r(u, v) = x(u, v)i +y(u, v)j+ z(u, v)k, а n(u, v) — соответствующая функция нормали. Потоком вектор-ного поля a через поверхность σ∗ называется поверхностный интеграл (1-го рода)

∫

σ

〈a, n〉 =∫∫

Ω

[α(x, y, z)J(y, z) + β(x, y, z)J(z, x) + γ(x, y, z)J(x, y)] dudv

(здесь x, y, z — функции u, v). Физическая интерпретация: если в G имеет местостационарное течение жидкости, a(x, y, z) — ее скорость в точке (x, y, z), то потокскорости через поверхность σ∗ — количество жидкости, проходящее через поверх-ность σ за единицу времени в направлении ориентации σ.

§188. Поверхностный интеграл 2-го рода

1. Как отмечалось выше (183.2), в пространстве R3 имеются две ориентации.Назовем ориентацию, определяемую упорядоченным базисом i, j, k положительной(терминология условная), а ориентацию, определяемую базисом j, i, k — отрица-тельной. При положительной ориентации кратчайший поворот от оси OX к оси OYсовершается по часовой стрелке, если смотреть вдоль положительного направленияоси OZ (Рис. 25). Если теперь задана ориентированная поверхность σ∗, то можно го-ворить об ориентации контуров, ограничивающих эту поверхность или какую-либоее часть. Действительно, если n0 — нормаль к части σ, вырезаемой шаром малогорадиуса ε с центром в точке (x0, y0, z0), то контур γ, ограничивающий этот кусок,должен пробегаться по часовой стрелке (если смотреть вдоль нормали n0) (Рис. 26).

223

2. Рассмотрим теперь задачу вычисления потока вектора через ориентирован-ную поверхность в декартовых координатах. Пусть поверхность σ биективно про-ектируется на каждую из трех координатных плоскостей, то есть она описываетсялюбым из трех уравнений:

x = f(y, z), (y, z) ∈ σx, σx — проекция σ на плоскость x = 0;y = g(z, x), (z, x) ∈ σy, σy — проекция σ на плоскость y = 0;z = h(x, y), (x, y) ∈ σz, σz — проекция σ на плоскость z = 0.

Пусть σ∗ — та же поверхность с ориентацией, а σ∗x, σ∗y , σ∗z — ориентированныепроекции σ∗ на соответствующие плоскости (обход контура на σ∗ определяет обходына ее проекциях σx, σy, σz и тем самым задает на них ориентации).

Пусть a — векторное поле вида a(x, y, z) = γ(x, y, z)k. Параметризовав σ пара-метрами x и y, имеем

∫

σ

〈a, n〉 = ε

∫∫

σz

γ(x, y, h(x, y)) dxdy, (∗)

где ε = +1, если ориентация σ∗z согласована с положительной ориентацией плос-кости XOY (см. 183.1) и ε = −1 — в противном случае. Интеграл в правой части(∗) называется поверхностным интегралом 2-го рода от векторного поля a = γk

по ориентированной поверхности σ∗ и обозначается символом∫

σ∗

γ(x, y, z)dxdy. По-

добным образом определяются интегралы∫

σ∗

α(x, y, z) dydz,

∫

σ∗

β(x, y, z) dzdx. Таким

образом, для общего векторного поля получаем выражение потока через общий по-верхностный интеграл 2-го рода:

∫

σ

〈a, n〉 =∫

σ∗

α(x, y, z) dydz + β(x, y, z) dzdx + γ(x, y, z) dxdy.

§189. Формула Гаусса-Остроградского

1. Пусть в области G(⊂ R3), ограниченной непрерывной кусочно-гладкой по-верхностью σ, задано векторное поле a(x, y, z) = α(x, y, z)i + β(x, y, z)j + γ(x, y, z)k

такое, что функции α, β, γ вместе с частными производными∂α

∂x,

∂β

∂y,

∂γ

∂zобладают

непрерывным продолжением на G−. Дивергенцией векторного поля a называетсяфункция div a : G− → R, заданная формулой

(div a)(x, y, z) =∂α

∂x(x, y, z) +

∂β

∂y(x, y, z) +

∂γ

∂z(x, y, z).

2. Введем полезное в техническом отношении понятие. Назовем областью типа(z) область G (см. Рис. 27), ограниченную поверхностями

σ1 : z = f1(x, y), (x, y) ∈ Ω ⊂ R2, σ2 : z = f2(x, y), (x, y) ∈ Ω,

224

σ3 — боковая поверхность цилиндра с основаниемΩ и образующими, параллельными оси OZ. Ана-логично определяются области типа (x) и (y).

3. Пусть a(x, y, z) — векторное поле в обла-сти G, удовлетворяющее предположениям п. 1,σ∗ — поверхность, ограничивающая область G иориентированная внешней (к области G) норма-лью n. Допустим, что существует представле-

ние G =n⋃

k=1

Gk, где Gk — области типов (x), (y),

(z) одновременно, и Gi ∩Gj∼= ∅ (i 6= j). Тогда∫∫∫

G

(div a) dxdydz =∫

σ

〈a, n〉.

¶ Пусть поле a таково, что α(x, y, z) = β(x, y, z) = 0 ((x, y, z) ∈ G) и G являетсяобластью типа (z), описанной в п. 2. Имеем тогда

∫∫∫

G

(div a) dxdydz =∫∫∫

G

∂γ

∂zdxdydz =

∫∫

Ω

dxdy

∫ f1(x,y)

f2(x,y)

∂γ

∂zdz

=∫∫

Ω

[γ(x, y, f1(x, y))− γ(x, y, f2(x, y))] dxdy

=∫

σ∗1

γ(x, y, z) dxdy +∫

σ∗2

γ(x, y, z) dxdy.

∫

σ∗3

γ(x, y, z) dxdy = 0, так как для куска поверхности σ∗3 орт нормали n ортогонален

вектору k. Прибавляя этот интеграл к правой части полученного равенства, имеем∫∫∫

G

(div a) dxdydz =∫

σ∗

γ(x, y, z) dxdy, и утверждение доказано.

Пусть теперь G является областью типов (x), (y) и (z) одновременно, и векторноеполе a удовлетворяет условиям п. 1. Тогда для общего векторного поля с учетомдоказанного выше

∫∫∫

G

(div a) dxdydz =∫∫∫

G

∂α

∂xdxdydz +

∫∫∫

G

∂β

∂ydxdydz +

∫∫∫

G

∂γ

∂zdxdydz

=∫

σ∗

α(x, y, z) dydz + β(x, y, z) dzdx + γ(x, y, z) dxdy

=∫

σ∗

α dydz + β dzdx + γ dxdy.

Наконец, в самом общем случае рассмотрим представление G =n⋃

k=1

Gk в услови-

ях теоремы. По доказанному∫∫∫

Gk

(div a) dxdydz =∫

σk

〈a, n〉, где σk — поверхности,

225

ограничивающие Gk и ориентированные внешней нормалью. Тогда∫∫∫

G

(div a) dxdydz =n∑

k=1

∫∫∫

Gk

(div a) dxdydz =n∑

k=1

∫

σk

〈a, n〉.

При этом каждая из поверхностей σk распадается на куски двух типов: (1) куски,являющиеся частью поверхности σ, (2) новые куски, возникшие при разложении G

на части Gk. Куски типа (2) встречаются в суммеn∑

k=1

∫

σk

〈a, n〉 дважды как куски,

ограничивающие смежные области (они снабжены противоположными ориентаци-ями), так что соответствующие поверхностные интегралы взаимно уничтожаются иостаются лишь интегралы по кускам типа (1).

4. С л е д с т в и е. Для области G в условиях п. 3

m(G) =13

∫

σ∗

x dydz + y dzdx + z dxdy.

¶ К векторному полю a(x, y, z) = xi + yj + zk применим формулу п. 2. ¤Таким образом, получена формула вычисления объема области через поверх-

ностный интеграл.

5. З а м е ч а н и е. Из формулы Гаусса-Остроградского усматривается физиче-ский смысл дивергенции. Пусть в G имеет место стационарное течение жидкости,скорость которой в каждой точке (x, y, z) ∈ G равна a(x, y, z). Пусть σ∗ε — поверх-ность шара Bε(x0, y0, z0), ориентированная внешней нормалью. Имеем

∫∫∫

Bε

(div a) dxdydz =∫

σε

〈a, n〉.

Правая часть — количество жидкости, вытекающее из шара Bε за единицу време-

ни. По теореме о среднем 122.6: (div a)(x1, y1, z1) =1Vε·∫

σε

〈a, n〉, где Vε — объем

шара, а (x1, y1, z1) ∈ Bε(x0, y0, z0). Устремляя ε к 0, получим (div a)(x0, y0, z0) =

limε→0

1Vε·∫

σε

〈a, n〉. Итак, (div a)(x0, y0, z0) — производительность источника в точке

(x0, y0, z0). В частности, если (div a)(x0, y0, z0) < 0, то в точке имеет место сток.

§190. Формула Стокса

1. Приведем сначала формулу замены переменных для интегралов по ориенти-рованным плоским областям. Пусть на плоскости R2 точек (u, v) задана ориенти-рованная область Ω∗, ограниченная контуром γ, и задано биективное непрерывнодифференцируемое преобразование x = x(u, v), y = y(u, v) области Ω на область Ω′

переменных (x, y), ограниченную контуром γ′, причем

J(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣6= 0.

226

При этом преобразовании обход контура γ индуцирует обход γ′ и тем самым Ω′

также ориентирована (пишем Ω′∗). Если при обходе γ область Ω остается, например,слева и J(u, v) > 0 (соответственно J(u, v) < 0), то при обходе контура γ′ точкиобласти Ω′ остаются слева (соответственно справа). Если f(x, y) — непрерывная наобласти Ω′ функция, то из сказанного имеем

∫∫

Ω′∗

f(x, y) dxdy =∫∫

Ω∗

f(x(u, v), y(u, v))J(u, v) dudv

(в этой формуле якобиан берется уже без знака модуля).

2. [Формула Стокса].Пусть σ∗ — ориентированная гладкая поверхность с непре-

рывным кусочно-гладким краем γ такая, что σ∗ =n⋃

k=1

σ∗k (σk ∩ σj∼= ∅, (k 6= j)),

где σk — гладкие куски, биективно проектирующиеся на все три координатныеплоскости. Тогда ∫

σ

〈rot a, n〉 =∫

γ

〈a,κ〉,

где ориентация кривой γ согласована с ориентацией поверхности.¶ Утверждение достаточно доказать для одного гладкого куска. Далее, так как rot a— аддитивная функция векторного аргумента, достаточно рассмотреть случай поляa(x, y, z) = α(x, y, z)i (то есть β = γ = 0). Пусть σ описывается уравнениями

z = h(x, y) (x, y) ∈ σz, y = g(z, x) (z, x) ∈ σy

(каждое из указанных уравнений задает σ). Тогда

rot a =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zα 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∂α

∂zj− ∂α

∂yk,

∫

σ

〈rot a, n〉 =∫∫

σ∗y

∂α

∂z(x, g(z, x), z) dzdx−

∫∫

σ∗z

∂α

∂y(x, y, h(x, y)) dxdy.

Делая в 1-м интеграле замену переменных x → x, z → h(x, y), имеем J(z, x) =∣∣∣∣∣∣

∂h

∂x

∂h

∂y1 0

∣∣∣∣∣∣= −∂h

∂yи (с учетом п. 1)

∫

σ

〈rot a, n〉 = −∫∫

σ∗z

[∂α

∂z(x, y, h(x, y))

∂h

∂y+

∂α

∂y(x, y, h(x, y))] dxdy

= −∫∫

σ∗z

d

dyα(x, y, h(x, y)) dxdy =

∫

γz

α(x, y, h(x, y)) dx.

В последнем равенстве использована формула Грина, и γz — контур, являющий-ся границей области σ∗z , обход которого согласован с ориентацией σ∗z . Если γ па-раметризована длиной дуги s (в направлении возрастания s), то мы имеем пару

227

γ; p : [0, `] → R3, где p(s) = ϕ(s), ψ(s), χ(s) (0 6 s 6 ` и χ(s) = h(ϕ(s), ψ(s)).Тогда контур γz также параметризуется параметром s с помощью отображенияpz(s) = (ϕ(s), ψ(s), 0)(0 6 s 6 `) (это уже не длина дуги для γz!), причем ориента-ции γz и γ согласованы, так что

∫

γz

α(x, y, h(x, y)) dx =∫ `

0α(ϕ(s), ψ(s), h(ϕ(s), ψ(s))ϕ′(s) ds

=∫ `

0α(ϕ(s), ψ(s), χ(s))ϕ′(s) ds =

∫

γ

〈a,κ〉. ¤

3. З а м е ч а н и е. Формула Стокса верна и для случая, когда σ∗ — кусок, лежа-щий в одной из координатных плоскостей (более общо, в плоскости, параллельнойодной из координатных плоскостей). Если, например, σ лежит в плоскости z = 0,то

∫

σ

〈rot a, n〉 =∫

σ

〈

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zα β γ

∣∣∣∣∣∣∣∣,k〉 =

∫∫

Ω

(∂β

∂x− ∂α

∂y

)dxdy =

∫

γ

α dx + β dy

=∫

γ

〈a,κ〉

(последнее равенство верно, так как вектор κ ортогонален k).

228

МЕРА ЛЕБЕГА

В этом разделе курса мы возвращаемся к проблеме мероопределения, начатой вразделе “Мера Жордана”. В §113 было доказано, что площадь прямоугольника в R2

обладает свойством счетной аддитивности (свойством существенно более глубоким,чем обычная аддитивность). Это свойство легло в основу по существу принципи-ально новой теории мероопределения и связанной с ней теории интегрирования,основы которой изложены в монографии французского математика А. Лебега “Лек-ции по интегрированию и отысканию примитивных функций"(1904). Дальнейшиемногочисленные и плодотворные применения концепции А. Лебега (в частности, ваксиоматизации теории вероятностей А. Н. Колмогоровым в 1933 г.) стимулировалиразвитие абстрактной концепции меры и интеграла (не связанной с топологическойструктурой пространств, являющихся областью задания меры). Именно такой под-ход и принят за основу в данном разделе курса.

В этом разделе знаки∑

и + в контексте операций над множествами означают,что берется объединение попарно непересекающихся множеств; для краткости мыпишем часто XY вместо X ∩ Y .

§191. Полукольца множеств

1. Пусть S — класс всех прямоугольников в R2 со сторонами, параллельнымикоординатным осям, то есть множеств вида X = 〈a, b〉 × 〈c, d〉, где через 〈a, b〉 обо-значается один из промежутков вида (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] (a, b ∈ R). Этот классобладает свойствами (см. §111):

(П1) если X,Y ∈ S, то X⋂

Y ∈ S,

(П2) если X ⊂ Y (X, Y ∈ S), то существует конечное семейство Xi ⊂ S такое,что Y = X +

∑i

Xi.

Эти свойства берутся в качестве системы аксиом абстрактных прямоугольников.

2. Непустое семейство S частей множества E называется полукольцом в E, есливыполняются требования (П1) и (П2); полукольцо S называется полукольцом с 1,если E ∈ S.

П р и м е р ы. 3. Система всех промежутков в R вида [a, b) (a, b ∈ R) — полу-кольцо в R.

4. Система всех промежутков вида 〈a, b〉 — полукольцо в R.5. Если к системе всех прямоугольников в R2 (п. 1) добавить несобственные

прямоугольники (типа полуплоскости, квадранта, всей плоскости), получим полу-кольцо с 1 в R2.

6. Система всех подмножеств множества E — полукольцо с 1 в E.

Перейдем теперь к свойствам полуколец множеств.7. Пусть X ∈ S и множества X1, . . . , Xn ∈ S попарно не пересекаются,

причем Xk ⊂ X (k = 1, . . . , n). Тогда существует конечное семейство Yj ⊂ S

такое, что X =n∑

k=1

Xk +∑j

Yj .

229

¶ При n = 1 — это свойство (П2). Далее рассуждения дословно совпадают с дока-зательством по индукции леммы 111.5 (!!). ¤

8. Если X1, . . . , Xn ∈ S, то существует конечное семейство попарно непе-ресекающихся множеств Y1, . . . , Ym ∈ S такое, что Xi =

∑j∈σi

Yj (i = 1, . . . , n),

σi ⊂ 1, . . . ,m.¶ Утверждение очевидно для n = 1. Пусть оно верно для всех натуральных чисел 6n−1 и пусть Y1, . . . , Ym — семейство из S, соответствующее X1, . . . , Xn−1. ПоложимZq = XnYq (q = 1, . . . , m). Множества Zq попарно не пересекаются, Zq ∈ S, Zq ⊂ Xn.Поэтому согласно п. 7 имеет место представление

Xn =m∑

q=1

Zq +∑

Z ′r, (∗)

где Z ′r — некоторое конечное семейство из S. В силу (П2) для каждого q су-ществует такое конечное семейство Z(q)

i из S, что Yq = Zq +∑i

Z(q)i . Множества

семейства Zq, Z ′r, Z(q)i попарно не пересекаются, и Xk =

∑j∈σk

Yj =∑

j∈σk

[Zj +∑i

Z(j)i ]

(!!). Сопоставляя это с (∗), видим, что семейство Zq, Z ′r, Z(q)i является искомым

для X1, . . . Xn−1, Xn. ¤9. У п р а ж н е н и я. Пусть Ω — множество всех последовательностей ω =

(ω1, ω2, . . .), где ωi = 0 или 1. Пусть

Xj1...js

i1...ik= ω ∈ Ω : ωi1 = . . . = ωik = 0, ωj1 = . . . = ωjs = 1.

При s = k = 0 считаем, что X = Ω. Покажите, что семействоZ = Xj1...js

i1...ik — полукольцо с 1 в Ω.

10. Покажите, что для топологического пространства (E, T ) семейство U∩X :U, Xc ∈ T — полукольцо с 1 в E.

§192. Мера на полукольце

1. Пусть S — полукольцо в E. Функция m : S → R+ называется конечно-аддитивной мерой, если

X =n∑

k=1

Xk (X, Xk ∈ S) ⇒ mX =n∑

k=1

mXk.

2. Для полукольца прямоугольников в R2 площадь, определенная формулойm(〈a, b〉 × 〈c, d〉) = (b− a)(d− c), является конечно-аддитивной мерой (§112).

Перейдем к изучению свойств конечно-аддитивной меры.3. Если X1, X2, . . . (Xk ∈ S) попарно не пересекаются и Xk ⊂ X ∈ S, то

∞∑k=1

mXk 6 mX.

¶ Достаточно убедиться, что требуемому неравенству удовлетворяет любая частная

сумма ряда∑k

mXk. Пусть n ∈ N произвольно. В силу 191.7 X =n∑

k=1

Xk +s∑

j=1Yj при

некоторых Yj ∈ S. Следовательно,n∑

k=1

mXk 6n∑

k=1

mXk +s∑

j=1mYj = mX. ¤

230

4. Если X ⊂n⋃

k=1

Xk (X, Xk ∈ S), то mX 6n∑

k=1

mXk.

¶ Пусть Yj — конечная система из S, удовлетворяющая требованиям 191.8 длясемейства X, X1, . . . , Xn, так что

X =∑

j∈σ0

Yj , Xk =∑

j∈σk

Yj (k = 1, . . . , n).

Каждый индекс j ∈ σ0 входит не менее одного раза в двойную суммуn∑

k=1

∑j∈σk

mYj

(=n∑

k=1

mXk), так что mX =∑

j∈σ0

mYj 6n∑

k=1

mXk. ¤

5. Утверждение п. 4 не обобщается на счетные покрытия множества X. Рассмот-рим полукольцо промежутков вида 〈a, b〉 (a, b ∈ Q) в Q с конечно-аддитивной меройm〈a, b〉 = b− a. Семейство [r, r]r∈Q∩[0,1] образует счетное покрытие множества Q.Однако, m[0, 1] = 1 > 0 =

∑r∈Q∩[0,1]

m[r, r].

Однако для случаев, важных в приложениях, обобщение п. 4 на случай счетныхпокрытий справедливо (§113 п. 2):

6.Пусть m — площадь на полукольце S прямоугольников в R2. Если X ⊂∞⋃

k=1

Xk

(X, Xk ∈ S), то mX 6∞∑

k=1

mXk.

Из пп. 3 и 6 следует, что площадь в R2 обладает свойством более сильным, чемконечная аддитивность:

X =∞∑

k=1

Xk (X, Xk ∈ S) ⇒ mX =∞∑

k=1

mXk. (∗)

Это важное свойство называется σ-аддитивностью и оно берется в качестве опре-деления для абстрактных полуколец:

7. Пусть S — полукольцо. Функция m : S → R+ называется мерой, если онаобладает свойством (∗).

У п р а ж н е н и я. 8. Пусть pn > 0, причем∑

pn < +∞. Функция m, заданнаяна полукольце всех подмножеств N равенством mX =

∑n∈X

pn (X ⊂ N), является

мерой.9.Функция m : Z → R+ (191.9), заданная равенствами m∅ = 0, mΩ = 1, mXj1...js

i1...ik

= 2−(s+k) (если Xj1...js

i1...ik6= ∅), является мерой.

§193. Кольца и алгебры множеств

Для числовой плоскости первый шаг в решении задачи продолжения меры состо-ит в продолжении меры на класс конечных объединений прямоугольников (112.3).Поэтому изучим сначала класс множеств, допускающих представление в виде объ-единения конечного числа абстрактных прямоугольников.

231

1. Пусть S — полукольцо в E. Класс E всех частей E, являющихся объединениемконечных семейств попарно непересекающихся множеств из S, обладает свойствами(см. п. 9):

(К1) X,Y ∈ E ⇒ X ∪ Y ∈ E;(К2) X,Y ∈ E ⇒ X\Y ∈ E.

Этот класс также удобно аксиоматизировать:

2. Непустая система E частей множества E называется кольцом множеств вE, если выполнены свойства (К1) и (К2). В частности, кольцо с 1 в E называетсяалгеброй множеств.

3. В кольце E:

(i) ∅ ∈ E, (ii) X,Y ∈ E ⇒ X ∩ Y ∈ E, X∆Y ∈ E .

4. Всякое кольцо является полукольцом.В дальнейшем нам понадобятся кольца с усиленными структурными свойствами:

5. Кольцо (соответственно алгебра) E в E называется σ-кольцом (соответственно

σ-алгеброй), если∞⋂

n=1Xn ∈ E для любых Xn ∈ E (n = 1, 2, . . .).

6. Семейство A частей множества E является алгеброй (соответственноσ-алгеброй) в E ттогда

(i) X ∈ A ⇒ Xc ∈ A,

(ii) объединение всякого конечного (соответственно счетного) семейства под-множеств из A принадлежит A.

7. Пусть Eii∈I — семейство колец в E. Тогда семейство E множеств, при-надлежащих всем Ei, — также кольцо в E.¶ Семейство E не пусто, так как ∅ ∈ E (см. п. 3(i)). Если X, Y ∈ Ei при любом i ∈ I,то X ∪ Y, X\Y ∈ Ei, так как Ei — кольца. Поэтому X ∪ Y, X\Y ∈ E, так что (К1) и(К2) выполнены. ¤

8. Пусть I — непустое семейство частей множества E. Тогда существуеткольцо E(I) в E, содержащееся в любом другом кольце, содержащем I.¶ Семейство Eii∈I всех колец в E, объемлющих I, не пусто, так как туда во всякомслучае входит кольцо всех подмножеств множества E. Тогда E(I) =

⋂i∈I

Ei — искомое

кольцо. ¤Кольцо E(I) — наименьшее кольцо, содержащее I, и называется кольцом, по-

рожденным семейством I. В общем случае структура E(I) сложна. Однако, онаобозрима, если I — полукольцо:

9. Если I — полукольцо, то E(I) состоит из множеств, допускающих пред-

ставление X =n∑

k=1

Xk (Xk ∈ I).

¶ Обозначим через E1 класс всех множеств X, допускающих представление X =n∑

k=1

Xk (Xk ∈ I). E1 ⊂ E(I) в силу (K1). Чтобы получить обратное включение,

232

покажем, что E1 является кольцом: если X =n∑

k=1

Xk, Y =m∑

s=1Ys (Xk, Ys ∈ I),

то в силу 191.8 существует семейство Ztt=1,...,N ⊂ I, Zt ∩ Zp = ∅ (t 6= p), чтоXk =

∑t∈σk

Zt (k = 1, n), Ys =∑

t∈σ′sZt (s = 1,m), где σk, σ

′s ⊂ 1, . . . , N. Поэтому

X ∪ Y =n∑

t=1Zt, X\Y =

∑t∈(

⋃k

σk)\(⋃s

σ′s)Zt,

откуда X ∪ Y ∈ E1, X\Y ∈ E1, так что (K1) и (K2) удовлетворяются. Итак, E1 —кольцо, I ⊂ E1. Из п. 8 заключаем, что E(I) ⊂ E1. ¤

10. У п р а ж н е н и е. Сформулировать и доказать утверждения пп. 7–9 дляалгебр множеств.

11. Утверждения пп. 7–8 обобщаются на σ-алгебры множеств. В частности, ес-ли I — непустое семейство частей E, то существует наименьшая σ-алгебра A, со-держащая I; она называется σ-алгеброй, порожденной J. В приложениях важноезначение имеют σ-алгебры, порожденные топологиями. Если (E, T ) — топологиче-ское пространство, то σ-алгебра, порожденная семейством T всех открытых мно-жеств, называется борелевской алгеброй в E и обозначается B(E). В частности,через B(R), B(Rn) обозначаются соответственно борелевские алгебры на числовойпрямой и в евклидовом пространстве.

12. У п р а ж н е н и е. Покажите, что σ-алгебра в R, порожденная семействомвсех промежутков вида [a, b) (a, b ∈ R), совпадает с B(R) (воспользуйтесь 98.7).

§194. Продолжение меры с полукольца на кольцо

1. Пусть S и S′ — полукольца в E. Мера (конечно-аддитивная мера)m′ : S′ → R+ называется продолжением меры (соответственно конечно-аддитивноймеры) m : S → R+, если S ⊂ S′ и mX = m′X (X ∈ S).

2. Всякая мера (конечно-аддитивная мера) на полукольце S допускает един-ственное продолжение до меры (соответственно конечно-аддитивной меры) накольце E(S).¶ Пусть m : S → R+ — мера (конечно-аддитивная мера). Каждое множествоX ∈ E(S) представимо в виде

X =n∑

i=1

Yi (Yi ∈ S). (1)

Положим m′X =n∑

i=1mYi. Покажем, что функция m′ определена однозначно. Пусть

X =s∑

k=1

Zk (Zk ∈ S) — еще одно представление X. В силу (П1) YiZk ∈ S, причем

Yi =∑k

YiZk, Zk =∑i

YiZk. Из аддитивности m на S имеем:

∑i

mYi =∑i

∑k

mYiZk =∑k

∑i

mYiZk =∑k

mZk.

Итак, значение m′ на множествах кольца E(S) не зависит от способа представле-ния этих множеств элементами полукольца S. При этом m′ конечно-аддитивна на

233

E(S) (!!). Если далее, m′′ : E(S) → R+ — еще одно продолжение меры (соответ-ственно конечно-аддитивной меры) m, то в обозначениях (1) m′′X =

∑i

m′′Yi =∑i

mYi = m′X. Таким образом, m′ — единственное продолжение m на E(S). На-

конец, осталось проверить, что m′ σ-аддитивна, коль скоро σ-аддитивна m. Пусть

X =∞∑

n=1Xn (X, Xn ∈ E(S)), и

X =s∑

i=1Yi, Xn =

sn∑j=1

Ynj (n = 1, 2, . . . , Yi, Ynj ∈ S).

Положим Yinj = YiYnj ; Yinj — семейство попарно непересекающихся множествиз S, причем Yi =

∑n,j

Yinj , Ynj =∑i

Yinj . В силу σ-аддитивности меры m : mYi =∑n,j

mYinj , mYnj =∑i

mYinj и

m′X =∑i

mYi =∑i

∑n,j

mYinj =∑n,j

∑i

mYinj =∑n,j

mYnj =∞∑

n=1

sn∑j=1

mYnj =∞∑

n=1m′Xn. ¤

В качестве приложения полученного результата покажем, что возможность распро-странить свойство 192.4 на последовательности множеств характеризует меры.

3. Конечно-аддитивная мера m : S → R+ на полукольце S является меройттогда для всякого X ∈ S и любого его счетного покрытия Xn (Xn ∈ S) вернонеравенство

mX 6∞∑

n=1

mXn. (2)

¶ Достаточность следует из 192.3. Для доказательства необходимости ограничимсяслучаем, когда S — кольцо. (Действительно, если S — полукольцо, то, продолживмеру m до меры m′ на E(S), заметим, что неравенство (2) будет справедливо, еслисправедливо соответствующее неравенство для m′.) Для данной последовательно-

сти X1, X2, . . . положим Y1 = X1X, Y2 = (XX2)\X1, . . . , Yn = (XXn)\(n−1⋃i=1

Xi), . . . .

Тогда Yn ∈ S, Yn ⊂ Xn, так что mYn 6 mXn. При этом множества Yn попарно не

пересекаются и X =∞∑

n=1Yn. Так как m σ-аддитивна, получаем mX =

∞∑n=1

mYn 6∞∑

n=1mXn. ¤

§195. Внешняя мера

1.Пусть S — полукольцо с 1 в E и m — мера на S. Для всякого X ⊂ E определим

µ∗X ≡ infX⊂∪Xn, Xn∈S

∑mXn

(inf берется по всем конечным или счетным покрытиям X). Таким образом опре-деленная функция µ∗ называется внешней мерой (по отношению к мере m). Отме-тим некоторые свойства внешней меры:

2. µ∗X + µ∗Xc > mE (X ⊂ E),

234

3. µ∗X = infX⊂ΣXn, Xn∈S

∑mXn (X ⊂ E),

4. µ∗( ∞⋃i=1

Xi

)6

∞∑i=1

µ∗Xi.

¶ 2. Пусть Xn, Yk — произвольные счетные покрытия соответственно множествX, Xc элементами полукольца. В силу 194.3 mE 6

∑n

mXn +∑k

mYk. Беря в этом

неравенстве inf по всем счетным покрытиям Xn множества X, получим mE 6µ∗X +

∑k

mYk. Снова беря inf по всем счетным покрытиям Yk множества Xc,

получаем требуемое.3. Утверждается, что при вычислении µ∗ можно ограничиться взятием inf по

счетным покрытиям попарно непересекающимися множествами полукольца S (!!).4. Пусть ε > 0 — произвольно, и для каждого i пусть Xn

i n — счетное покрытие

Xi элементами полукольца S такое, что∑n

mXni < µ∗Xi + ε2−i. Тогда X ≡

∞⋃i=1

Xi ⊂⋃i,n

Xni , причем

∑i,n

mXni =

∑i

∑n

mXni <

∑i(µ∗Xi+ε2−i) = ε+

∑i

µ∗Xi. Следовательно,

µ∗X < ε +∑i

µ∗Xi. Из произвольности ε следует требуемое. ¤

5. У п р а ж н е н и е. Если X1, X2, . . . — попарно не пересекаются, Xn ⊂ X,

Xn ∈ S, то∞∑

n=1mXn 6 µ∗X.

§196. Измеримые множества

1. Пусть m — мера на полукольце с 1 S в множестве E и µ∗ — соответствующаявнешняя мера. Множество X (⊂ E) называется измеримым по Лебегу, если µ∗X +µ∗Xc = mE. Класс L всех измеримых по Лебегу множеств зависит от полукольцаS и меры m : L = L(S, m). Наша цель — изучение возможности продолжениямеры m на класс L.

2. E(S) ⊂ L(S, m). При этом m′X = µ∗X (X ∈ E(S)).¶ Пусть X ∈ E(S). Тогда X =

∑Xn, где Xn — конечное семейство из S. Следо-

вательно, µ∗X 6∑

mXn = m′X. Аналогично, µ∗Xc 6 m′Xc. Отсюда

mE 6 µ∗X + µ∗Xc 6 m′X + m′Xc = mE,

так что X ∈ L(S, m) и, в частности, µ∗X = m′X. ¤Сформулируем основной результат этого параграфа.3. Т е о р е м а. Класс L измеримых по Лебегу множеств является алгеброй,

а функция µ ≡ µ∗|L (ограничение µ∗ на L) — мера.Докажем предварительно лемму.

4. Пусть X ∈ L и X ⊂ ∑Xi, Xc ⊂ ∑

X ′j (Xi, X ′

j ∈ S), ε > 0, причем∞∑i=1

mXi < µ∗X + ε/2,∞∑

j=1mX ′

j < µ∗Xc + ε/2. Тогда∑i,j

mXiX′j 6 ε.

¶ Пусть s, t ∈ N — произвольны, Zk — конечная система попарно непересе-

кающихся множеств такая, что E\((s∑

i=1Xi) ∪ (

t∑j=1

X ′j)

)=

∑Zk, Zk ∈ S. Тогда

235

Xs+1, Xs+2, . . . , X ′t+1, X ′

t+2, . . .— покрытие множества∑

Zk и∑

mZk = m′(∑

Zk)

6∞∑

s+1mXi +

∞∑t+1

mX ′j . Таким образом,

s∑

i=1

t∑

j=1

mXiX′j =

s∑

i=1

mXi+t∑

j=1

mX ′j+

∑

k

mZk−mE 6∞∑

i=1

mXi+∞∑

j=1

mX ′j−mE < ε. ¤

Доказательство теоремы 3 проведем по следующему плану:

5. Покажем, что класс L замкнут относительно операции c).

6. Покажем, что X, Y ∈ L влечет X ∪ Y ∈ L.

7. Установим, что µ = µ∗ | L — конечно-аддитивна.

Из пп. 5,6 тогда следует, что L — алгебра, а из п. 7, 195.4 и 194.3 вытекает, чтоµ σ-аддитивна на L, и теорема доказана. Итак, осталось установить пп. 5–7.

Доказательство п. 5:

X ∈ L ⇒ µ∗Xc + µ∗Xcc = µ∗Xc + µ∗X = mE ⇒ Xc ∈ L.

Доказательство п. 6. Пусть X,Y ∈ L и Xi, X ′j, Yp, Y ′

q — покрытия соот-ветственно множеств X, Xc, Y, Y c элементами S такие, что внутри каждого семей-ства множества попарно не пересекаются и

∑mXi < µ∗X + ε/2,

∑mX ′

j < µ∗Xc + ε/2, (1)∑

mYp < µ∗Y + ε/2,∑

mY ′q < µ∗Y c + ε/2.

Тогда семейства Xi, X ′jYp, X ′

jY′q — покрытия X ∪ Y и (X ∪ Y )c соответственно.

Следовательно,

µ∗(X ∪ Y ) + µ∗((X ∪ Y )c) 6∑

mXi +∑

j,p

mX ′jY

′p +

∑

j,q

mX ′jY

′q . (2)

Оценим последние два слагаемых в правой части (2). Пусть p0, q0 — фиксированныечисла. Тогда

mX ′j >

p0∑

p=1

mX ′jYp +

q0∑

q=1

mX ′jY

′q −

∑16p6p016q6q0

mX ′jYpY

′q ,

откудаp0∑

p=1mX ′

jYp +q0∑

q=1mX ′

jY′q 6 mX ′

j +∑p,q

mX ′jYpY

′q . Так как X ′

jYpY′q ⊂ YpY

′q и

X ′jYpY

′q попарно не пересекаются по j, имеем

∑j

mX ′jYpY

′q 6 mYpY

′q . Из п. 4 отсюда

∑

j

∑p,q

mX ′jYpY

′q =

∑p,q

∑

j

mX ′jYpY

′q 6

∑p,q

mYpY′q 6 ε.

Теперь из произвольности p0, q0 получаем∑j,p

mX ′jYp+

∑j,q

mX ′jY

′q 6

∑j

mX ′j+ε. Таким

образом, из (2) следует с учетом (1)

µ∗(X ∪ Y ) + µ∗((X ∪ Y )c) < µ∗X + µ∗Xc + 2ε = mE + 2ε,

236

и из произвольности ε : µ∗(X ∪ Y ) + µ∗((X ∪ Y )c) = mE, то есть X ∪ Y ∈ L.Доказательство п. 7. Достаточно установить, что X, Y ∈ L, X ∩ Y = ∅ влечет

µ(X +Y ) = µX +µY . В силу 195.4 нужно лишь показать, что µ(X +Y ) > µX +µY .Снова рассмотрим систему покрытий, определенную в (1). Тогда

∑

i,p

XiYp ⊂(∑

j,i

XiX′j

) ∪ (∑q,p

YpY′q

).

(Действительно, пусть ω ∈ XiYp и, например, ω 6∈ X ′j . Тогда ω 6∈ Y (так как X∩Y =

∅), а значит, существует q такое, что ω ∈ Y ′q , то есть ω ∈ YpY

′q .) В силу п. 4

∑

p,i

mXiYp 6∑

i,j

mXiX′j +

∑p,q

mYpY′q 6 2ε.

Пусть далее i0, p0 фиксированы и Zs — конечная система попарно непересекаю-щихся множеств из S такая, что

∑s

Zs =( i0∑

i=1

Xi

) ∪ ( p0∑

p=1

Yp

).

Пусть Uk— покрытие множества X+Y попарно непересекающимися множествамииз S такое, что

∑k

mUk < µ(X + Y ) + 3ε. Тогда

i0∑

i=1

mUkXi +p0∑

p=1

mUkYp = m(Uk(

∑s

Zs))

+∑

i,p

mUkXiYp.

Суммируя по k, имеем

∑

k

i0∑

i=1

mUkXi +∑

k

p0∑

p=1

mUkYp 6∑

k

mUk +∑

i,p

m[(∑

k

Uk)XiYp

]6

∑

k

mUk + 2ε.

Из произвольности i0, p0, получаем∑

i,k

mUkXi +∑

k,p

mUkYp < µ(X + Y ) + 3ε.

Поскольку UkXik,i, UkYpk,p — покрытия соответственно X и Y элементами S,получаем µ(X +Y ) = µ∗X +µ∗Y 6

∑i,k

mUkXi +∑k,p

mUkYp < µ(X +Y )+3ε. Остается

учесть произвольность ε.

8. Мера µ, определенная условиями теоремы 3, называется мерой Лебега, по-строенной по мере m на полукольце S.

9. Отметим, в частности, если E = [0, 1], S — полукольцо промежутков 〈a, b〉 ⊂[0, 1] и m〈a, b〉 = b − a, то класс L(S, m) является алгеброй измеримых по Лебегумножеств на E, а µ = µ∗|L называется мерой Лебега на отрезке [0, 1]. Аналогично,если S — класс прямоугольников в [0, 1]×[0, 1], а m — площадь, то соответствующаямера называется плоской мерой Лебега на [0, 1]× [0, 1].

237

10. П р и м е р [неизмеримого по Лебегу множества]. Пусть µ — линейная мераЛебега на промежутке [−1, 2), и R — отношение эквивалентности на [0, 1) : R(x, y),если x − y ∈ Q. Тогда [0, 1) разбивается на непересекающиеся смежные классы.Выберем в каждом классе по одной точке и образуем из них множество X ⊂ [0, 1).Покажем, что X неизмеримо. Пусть, напротив, X измеримо. Тогда µ(X + q) =µX (q ∈ Q), где X + q = x + q : x ∈ X. Если q1, q2, . . . — последовательность всех

рациональных чисел из [−1, 1), то [0, 1) ⊂∞∑

k=1

(X + qk) ⊂ [−1, 2). Следовательно,

1 6∞∑

k=1

µ(X + qk) =∞∑

k=1

µX 6 3,

что невозможно (µX = 0 противоречит оценке снизу, а µX > 0 — оценке сверху).

У п р а ж н е н и я. 11. Пусть m — мера на полукольце S с 1, а m′ — еепродолжение на E(S). Покажите, что для X ⊂ E:

(а) µ∗X = infX⊂∪Xn, Xn∈E(S)

∑m′Xn,

(б) если A ∈ E(S), X ∩A = ∅, то µ∗(X + A) = µ∗X + m′A.12. Пусть µ — мера Лебега на L(S, m) а ν — мера, определенная на L(S, m) и

такая, что ν | S = m. Убедитесь, что ν = µ.

13. В обозначениях 192.9: µ∗ω ∈ Ω :∞∑i=1

ωi < ∞ = 0.

§197. Случай полукольца без 1

1. Пусть S — полукольцо (возможно, без 1) в множестве E и m : S → R+ —мера. Для каждого A ∈ S положим

SA ≡ BA : B ∈ S, mAX ≡ mX (X ∈ SA).

Класс SA является полукольцом с 1 в множестве A(!!), а функция mA : SA → R+

— мера на SA. Пусть µ∗A — внешняя мера (по отношению к мере mA). Следующееутверждение показывает, что семейство µ∗AA∈S в естественном смысле являетсясогласованным:

2. Пусть A,B ∈ S и X ⊂ AB. Тогда µ∗BX = µ∗AX.¶ Случай: B ⊂ A. Очевидно, µ∗AX 6 µ∗BX. Обратно, если Xn (⊂ SA) — счетноепокрытие X, то семейство XnB ⊂ SB и по-прежнему является покрытием X.Кроме того,

∑n

mXnB 6∑n

mXn. Отсюда µ∗BX 6 µ∗AX.

Общий случай. С учетом включений AB ⊂ A, AB ⊂ B имеем для X ⊂ AB всилу 1-го случая: µ∗AX = µ∗ABX = µ∗BX. ¤

Для каждого A ∈ S мы можем рассмотреть лебеговское продолжение µA ≡µ∗A | LA, где LA ≡ L(SA, mA).

3. Множество X(⊂ E) называется измеримым по Лебегу, если XA ∈ LA прилюбом A ∈ S. Обозначим снова через L = L(S, m) класс всех измеримых по Лебегумножеств.

238

4. Класс L(S, m) является σ-алгеброй.¶ 1-й случай: S — полукольцо с 1. Достаточно проверить, что для последователь-ности Xn ∈ L множество X =

⋃n

Xn принадлежит L. Положим Y1 = X1, Yn =

Xn\(n−1⋃

i=1Xi

)(n > 1). Ясно, что Yn ∈ L и X =

∞∑n=1

Yn. Следовательно,

µ∗X 6∞∑

n=1

µ∗Yn =∞∑

n=1

µYn. (1)

Далее из включения Xc ⊂ (N∑

n=1Yn)c следует, что

µ∗Xc 6 mE −N∑

n=1

µYn. (2)

Складывая (1) и (2), находим µ∗X + µ∗Xc 6 mE +∞∑

n=N+1

µYn. Переходя здесь к

пределу при N →∞, получаем µ∗X + µ∗Xc 6 mE. С учетом свойства 195.2 отсюдаследует, что X ∈ L.

2-й случай: S — полукольцо без 1. Пусть Xn ∈ L(S,m) (n = 1, 2, . . .) и X =∞⋃

n=1Xn. Для любого A ∈ S : AXn ∈ LA. Поэтому AX =

∞⋃n=1

AXn ∈ LA, так как

LA σ-алгебра. Итак, X ∈ L.Аналогично можно показать, что класс L замкнут относительно операции теоретико-

множественного дополнения. ¤5. LA ⊂ L при любом A ∈ S.

¶ Пусть X ∈ LA и B ∈ S — произвольно. Тогда с учетом п. 2 и свойства 196.11(б)имеем:

µ∗B(XB) + µ∗B(B\X) = µ∗A(XB) + µ∗B(A ∩ (B\X) + B\A)= µ∗A(XB) + µ∗B(A(B\X)) + µB(B\A)= µA(XB) + µA(A(B\X)) + mB −m(AB) = mB.

Итак, BX ∈ LB при любом B ∈ S, то есть X ∈ L. ¤Распространим теперь меру m с полукольца S на класс L(S, m). Ограничимся

при этом полезным для приложений случаем так называемой σ-конечной меры (вэтом случае множество E представляется в виде счетной суммы множеств конечноймеры):

6. Мера m : S → R+ на полукольце S в множестве E называется σ-конечной,

если существует представление E =∞∑

n=1En, где En ∈ S.

7. Пусть m : S → R+ σ-конечная мера и En (n = 1, 2, . . .) — множества из п. 6.Функция µ : L(S, m) → R+ ∪ +∞, определенная равенством

µX ≡∞∑

n=1

µEn(XEn) (X ∈ L(S, m)),

239

называется мерой Лебега на классе L(S, m). (При этом расходящемуся числовомуряду приписывается значение +∞.)

8. Мера Лебега на классе L(S, m) определена корректно и σ-аддитивна(σ-аддитивность, естественно, означает, что

X =∞∑

n=1

Xn (X,Xn ∈ L(S, m)) ⇒ µX =∞∑

n=1

µXn).

¶ Корректность. Пусть наряду с представлением E в п. 6 есть еще одно представ-

ление E =∞∑

s=1Fs (Fs ∈ S). Тогда (см. п. 2)

∑n

µEn(XEn) =∑

n

µEn∑

s

XEnFs =∑n

∑s

µEn(XEnFs)

=∑

s

∑n

µFs(XEnFs) =∑

s

µFs(XFs).

Пусть далее X =∞∑

k=1

Xk (X,Xk ∈ L(S, m)). Тогда

µX =∞∑

n=1

µEnXEn =∑n

∑

k

µEn(XkEn) =∑

k

∑n

µEnXkEn =∑

k

µXk.¤

Отметим особо случай множества лебеговой меры нуль.9. Множество X ⊂ E измеримо и имеет лебегову меру нуль ттогда

∀ε > 0 ∃Xn ∈ S (n ∈ N) (X ⊂⋃n

Xn,∑

n

mXn < ε). (3)

¶ Необходимость очевидна (!!). Докажем достаточность. Пусть условие (3) выпол-нено. Если A ∈ S произвольно, то

∀ε > 0 ∃Xn ∈ S (n = 1, 2, . . .) (XA ⊂⋃n

XnA,∑

n

mXnA < ε).

Отсюда µ∗A(XA) = 0 и XA ∈ LA (см. п. 3). Следовательно, X ∈ L(S, m) и в силуп. 7 µX = 0. ¤

Отметим в качестве следствия свойство, называемое обычно полнотой меры Ле-бега.

10. Всякое подмножество множества лебеговой меры нуль измеримо (и имеетлебегову меру нуль).

11. П р и м е р. Пусть S — полукольцо всех промежутков 〈a, b〉 (a, b ∈ R) вR, m〈a, b〉 ≡ b−a. Это σ-конечная мера в R; соответствующая мера Лебега на классеL(S, m) называется линейной мерой Лебега на числовой прямой R. Аналогичноопределяется плоская мера Лебега в R2 и “объемная” мера Лебега в Rn. Отметим,что борелевские алгебры B(Rn) (n > 1) содержатся в соответствующих алгебрахизмеримых по Лебегу множеств.

12.Пусть A — σ-алгебра в множестве E. Функция µ : A → R+∪+∞ называетсяσ-конечной мерой, если

240

(а) существует представление E =∞∑

n=1En, где En ∈ A и µEn < +∞,

(б) X =∞∑

n=1Xn (X ∈ A) ⇒ µX =

∞∑n=1

µXn (расходящемуся ряду приписывается

значение +∞).

При этом σ-конечная мера µ называется полной, если Y ⊂ X ∈ A, µX = 0 влечетY ∈ A (и значит, µY = 0).

Отметим еще полезное свойство непрерывности меры относительно монотонныхсходимостей множеств.

13. Пусть µ — σ-конечная мера на σ-алгебре множеств A и X1 ⊂ X2 ⊂ . . .,Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . . (Xn, Yn ∈ A). Тогда

(а) µ( ∞⋃n=1

Xn

)= lim

nµXn,

(б) если µYk < +∞ при некотором k, то µ( ∞⋂n=1

Yn

)= lim

nµYn.

¶ Докажем, например, (б). Пусть для определенности µY1 < +∞. Из равенства

Y1 =∞⋂

n=1Yn + Y1\Y2 + Y2\Y3 + . . . с учетом п. 12(б) имеем

µY1 = µ( ∞⋂

n=1

Yn

)+

∞∑

k=1

µ(Yk\Yk+1) = µ( ∞⋂

n=1

Yn

)+ lim

n

n−1∑

k=1

µ(Yk\Yk+1),

µ( ∞⋂

n=1

Yn

)= µY1 − lim

n

n−1∑

k=1

µ(Yk\Yk+1) = limn

µ[Y1\

(n−1∑

k=1

(Yk\Yk+1

)]= lim

nµYn. ¤

14. У п р а ж н е н и е. Пусть m — полная конечная мера на σ-алгебре множествA. Покажите, что L(A ,m) = A. Обобщите результат на случай σ-конечной меры.

§198. Меры Лебега-Стилтьеса на числовой прямой

Здесь мы обсудим задачу перечисления всех мер на борелевской алгебре B(R).1. Обозначим через F класс всех функций F (t) (t ∈ R) неубывающих, непре-

рывных слева и таких, что

F (+∞)− F (−∞) ≡ limt→+∞F (t)− lim

t→−∞F (t) < +∞.

Пусть S — полукольцо (с 1) в R всех промежутков вида [a, b) (−∞ 6 a < b 6 +∞).Определим для каждой функции F ∈ F меру mF : S → R+

mF [a, b) ≡ F (b)− F (a) (∗)

(см. ниже упр. 6). Согласно §196 эта мера допускает продолжение до меры Лебе-га µF : LF → R+, где LF = L(S, mF ). Назовем µF мерой Лебега-Стилтьеса начисловой прямой . По построению для каждой F ∈ F верно включение B(R) ⊂ LF .

Меры Лебега-Стилтьеса интересны тем, что ими исчерпываются все меры наалгебре B(R).

241

2. Если m : B(R) → R+ — мера, то существует и определена однозначно, сточностью до постоянного слагаемого, функция F ∈ F такая, что m = µF | B(R).¶ Для меры m : B(R) → R+ определим функцию F равенством F (t) ≡ m(−∞, t),t ∈ R. Ясно, что F не убывает, F (+∞)−F (−∞) = mR < +∞. Кроме того, (−∞, t) =∞⋃

n=1(−∞, t− 1

n), и в силу непрерывности m (см. 197.13):

F (t) = m(−∞, t) = limn

m(−∞, t− 1n

) = limn

F (t− 1n

) = F (t−).

Итак, F ∈ F . Пусть теперь G ∈ F — еще одна функция, обладающая свойствомm = µG | B(R). Если допустить, что G(t) 6= F (t)+ const, то найдутся x, y ∈ R (x > y)такие, что G(x)−G(y) 6= F (x)− F (y). Следовательно (см. (∗)), µF [y, x) 6= µG[y, x),что противоречит равенству µF | B(R) = µG | B(R). ¤

3. Аналогично можно определить меры Лебега-Стилтьеса на отрезке [a, b](⊂ R).Эти меры можно перечислить с помощью неубывающих, непрерывных слева функ-ций Φ(t) (a 6 t 6 b). В частности, при Φ(t) ≡ t (a 6 t 6 b) получается линейнаямера Лебега на отрезке [a, b].

У п р а ж н е н и я. 4. Пусть F = χ(0,+∞)

. Убедитесь, что (а) µF 0 = 1, (б) LF

совпадает с семейством всех подмножеств множества R, (в) для X ⊂ R:

µF X =

1, если 0 ∈ X,0, если 0 6∈ X.

5. Если функция F ∈ F принимает не более чем счетное число значений, то LF

совпадает с семейством всех подмножеств множества R.6. Покажите, что функция mF , определенная в п. 1 равенством (∗), является

σ-аддитивной.

§199. Разложение меры Лебега-Стилтьеса на дискретную инепрерывную компоненты

1. Для функции F ∈ F определим новую функцию

Fd(t) ≡∑tk<t

[F (tk+)− F (tk)] (t ∈ R),

где tk — точки разрыва функции F (хорошо известно, что их не более чем счетно(см. 48.2)). Назовем эту функцию (она также принадлежит классу F) дискретнойкомпонентой функции F .

2. Функция Fc ≡ F − Fd принадлежит классу F и непрерывна.¶ Покажем сначала, что Fc не убывает. Для t < s имеем:

F (s)− F (t) >∑

t6tk<s

[F (tk+)− F (tk)] =∑tk<s

−∑tk<t

= Fd(s)− Fd(t).

Поэтому Fc(s) = F (s) − Fd(s) > F (t) − Fd(t) = Fc(t). Непрерывность Fc следует изравенства:

Fc(t+) = F (t+)− Fd(t+) = F (t) + Fd(t+)− Fd(t)− Fd(t+) = Fc(t). ¤

242

3. Таким образом, всякая функция F ∈ F есть сумма своей дискретной и непре-рывной компонент: F = Fd + Fc. При этом из (∗)§198 следует, что

mF = md + mc, (1)

где md ≡ mFd, mc ≡ mFc . Подобное равенство справедливо и для лебеговских про-

должений указанных мер. Пусть µc и µd — лебеговские продолжения соответственномер mc и md.

4. Всякая мера Лебега-Стилтьеса µF представима в виде суммы µc +µd в томсмысле, что равенство

µF X = µdX + µcX (2)

справедливо всякий раз, когда определена одна из его частей.¶ Через S обозначим полукольцо, определенное в 198.1. Пусть X ⊂ R и Xn ⊂ S

— покрытие X. В силу (1)∑

n

mF Xn =∑

n

mcXn +∑n

mdXn > µ∗cX + µdX

(согласно 198.5 звездочка у µ∗d опущена). Из произвольности покрытия Xn отсюда

µ∗F X > µ∗cX + µdX. (3)

С другой стороны, для всякого ε > 0 найдутся покрытия Yn, Zk множества Xпопарно непересекающимися множествами из S такие, что

∑n

mcYn < µ∗cX + ε/2,∑

k

mdZk < µdX + ε/2.

Тогда семейство YnZkn,k — снова покрытие X, причем∑

n

∑

k

mF YnZk =∑

n

∑

k

mcYnZk +∑

k

∑n

mdYnZk 6∑

n

mcYn +∑

k

mdZk

< µ∗cX + µdX + ε.

Отсюдаµ∗F X 6 µ∗cX + µdX. (4)

Из (3) и (4) имеемµ∗F X = µ∗cX + µdX (X ⊂ R). (5)

Складывая (5) с таким же равенством для Xc, получаем

µ∗F X + µ∗F Xc = µ∗cX + µ∗cXc + µdR = µ∗cX + µ∗cX

c + mFR−mcR. (6)

Если определена правая часть (2), то это означает, что X ∈ LFc , то есть µ∗cX +µ∗cXc = mcR и потому из (6) следует, что µ∗F X + µ∗F Xc = mFR, то есть X ∈ LF исправедливо (2). Аналогично рассматривается случай, когда определена левая часть(2). ¤

243

§200. Абсолютно непрерывные меры

Здесь мы коснемся вопроса сравнения различных мер, заданных на однойσ-алгебре множеств; меры могут быть в определенном смысле “близкими” по своимкачественным свойствам, а могут оказаться и “далекими” друг от друга.

1. Пусть µ и ν —две меры, заданные на σ-алгебре A в множестве E. Мера νназывается абсолютно непрерывной относительно меры µ (обозначается ν ¿ µ),если ∀X ∈ A (µX = 0 ⇒ νX = 0). Меры µ и ν называются эквивалентными,если ν ¿ µ и µ ¿ ν. Мера ν называется сингулярной относительно меры µ, еслисуществует X ∈ A такое, что µX = νXc = 0.

2. В условиях п. 1 ν ¿ µ ттогда

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀X ∈ A (µX < δ ⇒ νX < ε). (∗)

¶ Достаточность очевидна. Пусть теперь (∗) не выполняется, то есть

∃ε > 0 ∀k ∈ N ∃Xk ∈ A (µXk < 2−k, νXk > ε).

Для множеств Yn =∞⋃

k=n+1

Xk (n = 1, 2, . . .) имеем

µYn 6∞∑

k=n+1

µXk <∞∑

k=n+1

2−k = 2−n, νYn > νXn+1 > ε.

Тогда для Y =∞⋂

n=1Yn в силу 197.13 получим (так как Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . .) : µY =

limn

µYn = 0, νY = limn

νYn > ε, то есть ν не абсолютно непрерывна относительноµ. ¤

Рассмотрим понятие абсолютной непрерывности применительно к борелевскойалгебре отрезка числовой прямой. Нам понадобится понятие абсолютной непрерыв-ности для вещественных функций.

3. Вещественная функция f(t) (a 6 t 6 b) называется абсолютно непрерывной,если для всякого ε > 0 существует δ > 0 такое, что какова бы ни была системапопарно непересекающихся интервалов (ak, bk) (k = 1, 2, . . . , n) суммарной длины

меньше δ, справедливо неравенствоn∑

k=1

|f(bk)− f(ak)| < ε.

4. Пусть µF — мера на B([a, b]), порожденная функцией F ∈ F (см. 198.3), и µ— линейная мера Лебега; µF ¿ µ ттогда функция F абсолютно непрерывна.¶ Пусть µF ¿ µ и δ > 0 определено по ε > 0 в соответствии с (∗). Положив

X =n∑

k=1

[ak, bk), имеемn∑

k=1

(bk − ak) = µX < δ и поэтому

n∑

k=1

|F (bk)− F (ak)| =n∑

k=1

[F (bk)− F (ak)] = µF X < ε.

Обратно, пусть F абсолютно непрерывна и µX = 0. Для ε > 0 выберем δ > 0из определения абсолютной непрерывности F . Существует покрытие [ai, bi)i=1,2,...

244

множества X попарно непересекающимися промежутками такое, что∞∑i=1

(bi−ai) < δ

(см. 195.3). Отсюда

∞∑

i=1

µF [ai, bi) = limn

n∑

i=1

[F (bi)− F (ai)] 6 ε,

а значит, µF X = 0. ¤5. З а м е ч а н и е. Ниже (см. §212) будет получено уточнение утверждения

199.4, а именно, будет установлено, что непрерывная компонента µc каждой мерыЛебега-Стилтьеса µF в свою очередь допускает (однозначное) представление в видесуммы µa+µs, где µa — абсолютно непрерывна относительно линейной меры Лебегаµ на числовой прямой, а µs сингулярна относительно µ. Пока же мы приведемпример борелевской меры µF сингулярной относительно линейной меры Лебега,для которой F непрерывна.

6. П р и м е р. Разделим отрезок E = [0, 1] на три части [0, 1/3], (1/3, 2/3), [2/3, 1]и обозначим X1 = (1/3, 2/3). Каждый из отрезков [0, 1/3] и [2/3, 1] снова разделимподобным образом на три части и обозначим X2 = (1/9, 2/9), X3 = (7/9, 8/9). Каж-дый из оставшихся отрезков [0, 1/9], [2/9, 3/9], [6/9, 7/9], [8/9, 1] снова разделим натри части и т. д. Получаем последовательность X1, X2, X3, . . . попарно непересека-ющихся открытых интервалов отрезка E. Пусть Y =

∑n

Xn. Множество Y c = E\Yназывается канторовым множеством (оно построено Г. Кантором — основателемтеории множеств). Определим функцию θ на E равенством

θ(x) =

2−1, если x ∈ X1,2−2, если x ∈ X2,3 · 2−2, если x ∈ X3,2−3, если x ∈ X4,. . . . . . . . . .

Для x ∈ Y c положим θ(x) = supy<x, y∈Y

θ(y), θ(0) ≡ 0. Функция θ не убывает на E и

непрерывна. В самом деле, если θ(x+) − θ(x−) > 0 для некоторой точки x ∈ E, тонайдется дробь вида m · 2−n такая, что θ(x−) < m · 2−n < θ(x+); по построениюсуществует x0 такое, что θ(x0) = m · 2−n, что противоречит монотонности θ.

Рассмотрим теперь меру Лебега-Стилтьеса µθ на [0, 1]. При этом для X = Y c

имеем (µ — линейная мера Лебега):

µX = 1− µY = 1−∑

n

µXn = 1− (1/3 + 2/9 + 4/27 + . . .) = 0,

µθXc = µθY =

∑n

µθXn = [θ(2/3)− θ(1/3)] + [θ(2/9)− θ(1/9)] + . . . = 0.

З а м е ч а н и я. 7. Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непре-рывна. Обратное неверно: рассмотрите функцию θ примера 6 (!!).

8. Если в п. 3 разрешить системе попарно непересекающихся интервалов (ak, bk)суммарной длины меньше δ, быть счетной, получится определение, эквивалентноеисходному (!!).

245

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

В классическом анализе оперируют главным образом с непрерывными функ-циями, определенными в евклидовых пространствах. Однако, поточечный пределпоследовательности непрерывных функций уже не будет, вообще говоря, непрерыв-ной функцией. Стремление работать с классом функций, замкнутым относитель-но операций анализа (арифметические операции, предельный переход), приводит кнеобходимости изучения функций более общих, нежели непрерывные.

§201. Прообраз кольца относительно отображения

1. Пусть E, F — множества и f : E → F — отображение. Для полных прообразовмножеств Y (⊂ F ) относительно отображения f (см. 1.1) справедливы равенства

f−1(⋃

i∈I

Yi

)=

⋃

i∈I

f−1(Yi), f−1(⋂

i∈I

Yi

)=

⋂

i∈I

f−1(Yi), f−1(Y c) = f−1(Y )c. (∗)

Пусть E — семейство подмножеств множества F . Прообразом E относительно отоб-ражения f : E → F назовем семейство f−1(E) ≡ f−1(Y ) : Y ∈ E. Из равенств (∗)следует:

2. З а м е ч а н и е. Прообраз кольца относительно произвольного отображенияявляется кольцом.

3. Пусть E — семейство подмножеств множества F и f : E → F . Кольцо в E,порожденное семейством f−1(E), совпадает с прообразом относительно f кольца,порожденного семейством E.¶ Пусть T(E) — кольцо, порожденное семейством E (см. §193). Семейство f−1(T(E))является кольцом, объемлющим семейство f−1(E). Пусть K — произвольное кольцо,объемлющее f−1(E). Тогда семейство T0(E) ≡ X ∈ T(E) : f−1(X) ∈ K обладаетсвойствами:

(а) E ⊂ T0(E) ⊂ T(E) (по построению),(б) T0(E) — кольцо (!!).

Поэтому T0(E) = T(E). Итак, кольцо K необходимо объемлет и кольцо f−1(T(E)).Таким образом, f−1(T(E)) — наименьшее кольцо, объемлющее f−1(E) : f−1(T(E)) =T(f−1(E)). ¤

4. У п р а ж н е н и е. Утверждения пп. 2, 3 остаются справедливыми дляσ-кольца, алгебры, σ-алгебры.

§202. Определение измеримой функции

Будем предполагать, что E — абстрактное множество с заданной на немσ-алгеброй A.

1. Функция f : E → R называется измеримой, если f−1(Y ) ∈ A для любогоборелевского множества Y (⊂ R). Другими словами, f измерима, если f−1(B) ⊂ A,где B — борелевская алгебра в R.

Обозначим через M = M(E,A) множество всех измеримых функций f : E → R.

246

2. П р и м е р. Функция вида χX (X ∈ A) измерима.

3. f ∈ M(E,A) ттогда x : f(x) < c ∈ A (c ∈ R).¶ Если f ∈ M , то x : f(x) < c = f−1((−∞, c)) ∈ A , так как (−∞, c) ∈ B(R) (c ∈ R).Обратно, пусть

f−1(E) ⊂ A, где E = (−∞, c)c∈R.

Так как B(R) — σ-алгебра, порожденная семейством E (см. 193.11), то с учетом201.4 имеем

f−1(B) = f−1(Aσ(E)) = Aσ(f−1(E)) ⊂ Aσ(A) = A

(через Aσ(E) обозначается σ-алгебра, порожденная семейством E), то есть f ∈ M. ¤4. Напомним терминологию §138: последовательность функций fn : E → R схо-

дится к f : E → R (обозначение fn → f), если limn

fn(x) = f(x) (x ∈ E); fn равно-мерно сходится к f (fn =⇒ f), если ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E (|fn(x)− f(x)| < ε).

5. Если последовательность fn измеримых функций сходится к функции f , тоf также измерима.

¶ Ясно, что x : f(x) < c =∞⋃

k=1

x : f(x) < c − 1k. Так как fn → f , неравенство

f(x) < c − 1k

при фиксированном x ∈ E означает, что для достаточно больших

m : fm(x) < c− 1k. Следовательно,

x : f(x) < c =∞⋃

k=1

∞⋃

n=1

⋂

m>n

x : fm(x) < c− 1k.

Теперь утверждение следует из п. 3. ¤6. Измеримые функции, принимающие не более чем счетное число значений,

будем называть простыми функциями. Пусть λ1, λ2, . . . — все (попарно различные)значения, которые принимает простая функция f : E → R. Так как одноточечныемножества λn ∈ B(R), то множества Xn ≡ x : f(x) = λn = f−1(λn) ∈ A

попарно не пересекаются и образуют разбиение E. Таким образом, всякая простаяфункция f представима в виде:

f =∑

n

λnχXn,

∑n

Xn = E, Xn ∈ A.

Следующее свойство можно рассматривать как конструктивное определение из-меримой функции.

7. Функция f : E → R измерима ттогда она является равномерным пределомпростых функций.¶ Достаточность справедлива в силу п. 5. Для проверки необходимости положим

fn(x) =k

n, если

k

n6 f(x) <

k

n+

1n

(n ∈ N, k ∈ Z).

Ясно, что fn — простые функции и |fn(x)− f(x)| 6 1n

(x ∈ E), то есть fn =⇒ f. ¤

247

У п р а ж н е н и я. 8. Пусть fn ∈ M(E, A) (n = 1, 2, . . .) и f(x) = supn

f(x) <

+∞ (x ∈ E). Тогда f ∈ M(E,A).9. Если f, g ∈ M(E, A), то x : f(x) 6= g(x) ∈ A.10. Пусть Aσ(Z) — σ-алгебра в Ω, порожденная полукольцом Z (191.9). Пока-

жите, что функция f(ω) =∑n

ωn2−n (ω = (ω1, ω2, . . .) ∈ Ω) принадлежит классу

M(Ω, Aσ(Z)).

§203. Элементарные свойства измеримых функций

1. Пусть f, g ∈ M(E, A). Тогда f ± g, f · g ∈ M(E,A). Если, кроме того, f необращается в нуль, то 1/f ∈ M(E,A).¶ Пусть f, g — простые функции:

f =∑n

λ′nχXn, g =

∑k

λ′′kχYk(∑n

Xn =∑k

Yk = E).

Тогда f +g =∑n,k

(λ′n +λ′′k)χXnYkи, следовательно, f +g — простая функция. (В соот-

ветствии с определением простой функции следует рассмотреть последовательностьλ1, λ2, . . . попарно различных значений всех сумм вида λ′n + λ′′k (n, k = 1, 2, . . .), такчто

f + g =∑

λ′n+λ′′k=λs

λsχZs, где Zs =

∑

λ′n+λ′′k=λs

XnYk.

В дальнейшем будем опускать столь детальные аргументы при арифметическихоперациях над простыми функциями.) Если f, g — измеримые, но не простые, тоизмеримость f + g следует из 202.7.

Если f ∈ M(E, A), то f2 ∈ M(E, A) в силу равенства

x : f2(x) < c = x : f(x) <√

c⋂x : f(x) > −√c (c > 0).

Из представления f · g =14((f + g)2 − (f − g)2) следует измеримость произведения

измеримых функций. ¤2. Если f ∈ M(E,A) и X ∈ A, то f · χX ∈ M(E, A).

¶ Это непосредственное следствие п. 1. ¤3. Функция f : R → R называется измеримой по Борелю (или В-измеримой),

если f−1(B(R)) ⊂ B(R).

4. Пусть f ∈ M(E, A) и ϕ В-измерима. Тогда суперпозиция ϕ f ∈ M(E, A).¶ Действительно, ϕ−1(Y ) ∈ B(R) для любого Y ∈ B(R). Следовательно,(ϕ f)−1(Y ) = f−1(ϕ−1(Y )) ∈ A. ¤

5. З а м е ч а н и е. Определение п. 3 можно обобщить на случай функций видаf : X → R, где X(⊂ R) — некоторое борелевское множество. Такая функция назы-вается В-измеримой, если f−1(B(R)) ⊂ B(X), где B(X) = B ⋂

X : B ∈ B(R).У п р а ж н е н и я. 6. Если f : R→ R непрерывна, то она В-измерима.7. Если f : R → R имеет конечное или счетное число точек разрыва, то она

В-измерима.

248

8. Если fn ∈ M(E, A) — последовательность измеримых функций, тоX = x ∈ E : (fn(x)) сходится ∈ A.

§204. Измеримые функции на пространстве с мерой

1. Рассмотрим тройку (E, A, µ), где E — множество, A — σ-алгебра в E, µ —полная σ-конечная мера на A (см.197.12). Функции f, g : E → R назовем эквива-лентными (пишем f ∼ g), если µx : f(x) 6= g(x) = 0. Таким образом, f ∼ g, еслиf(x) = g(x) п.в. (в соответствии с терминологией 47.1).

2. Если g ∈ M(E, A) и f ∼ g, то f ∈ M(E, A).¶ Действительно,

x : f(x) < c = x : f(x) = g(x), g(x) < c+ x : f(x) 6= g(x), f(x) < c= x : g(x) < c ∩ x : f(x) 6= g(x)c + x : f(x) 6= g(x), f(x) < c.

Из полноты меры x : f(x) 6= g(x), f(x) < c ∈ A, x : f(x) 6= g(x)c ∈ A. Поэтомуx : f(x) < c ∈ A. ¤

3. Если функции f, g : R → R непрерывны и эквивалентны относительно ли-нейной меры Лебега, то f = g.¶ Пусть, напротив, f(x0) 6= g(x0); из непрерывности f и g в точке x0 следует, чтосуществуют a, b (a < x0 < b) такие, что (f − g)(x) 6= 0 для всех x ∈ (a, b). При этомµx : f(x) 6= g(x) > µ(a, b) = b− a > 0, то есть f и g не эквивалентны. ¤

4. З а м е ч а н и е. В классе M(E,A) измеримых функций отношение ∼ явля-ется отношением эквивалентности. Класс M(E,A) формально не зависит от мерыµ : A → R+ ∪ +∞. В том случае, когда функции нас интересуют с точностьюдо их значений на множестве меры нуль, целесообразно факторизовать множе-ство M(E, A) по отношению эквивалентности ∼ (см. прил. I, п. 5). Полученноемножество классов попарно эквивалентных измеримых функций обозначим черезM(E, A, µ).

§205. Сходимость почти всюду

1. Последовательность fn : E → R на пространстве с σ-конечной мерой (E, A, µ)называется сходящейся почти всюду к функции f , если lim

nfn(x) = f(x) п.в. (пишем

fnп.в.−−−→ f).

2. П р и м е р. Последовательность fn(x) = (−1)nxnχ[0,1]

(x) (x ∈ R) сходится к0 п.в. на числовой прямой с линейной мерой Лебега. Однако, относительно мерыЛебега-Стилтьеса µF , определяемой функцией F = χ

(1,+∞), та же последователь-

ность функций п.в. расходится.

3. Если последовательность fn измеримых функций сходится п.в. к функцииf , то f также измерима.¶ Пусть функции заданы на пространстве с мерой (E,A, µ) и X = x : lim

nfn(x) =

f(x), так что fnχX → fχX . По условию µXc = 0. Поэтому X ∈ A. Согласно 202.5f · χX ∈ M(E, A). Поскольку x ∈ E : f(x) 6= f(x)χX (x) ⊂ Xc, имеем f ∼ f · χX иостается учесть 204.2. ¤

249

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью п.в. и равномер-ной сходимостью: оказывается, что на пространстве с конечной мерой для всякойсходящейся последовательности измеримых функций можно удалить из простран-ства множество сколь угодно малой меры так, что на оставшемся множестве этапоследовательность сходится уже равномерно.

4. Т е о р е м а [Д. Ф. Егоров]. Пусть µE < +∞, fn ∈ M(E, A) и fnп.в.−→ f . Тогда

для всякого δ > 0 существует X ∈ A такое, что µX < δ и fn · χXc =⇒ f · χXc .

¶ Из п. 3 следует, что f ∈ M(E, A). Положим

Xmn =

⋂

i>n

x : |fi(x)− f(x)| < 1m, Xm =

⋃n

Xmn .

Последовательность Xm1 , Xm

2 , . . . монотонно возрастает. Поэтому в силу 197.13 длявсякого m найдется n0 = n0(m) такое, что µ(Xm\Xm

n0(m)) < δ2−m. Положим Xc =⋂m

Xmn0(m). Тогда fnχ

Xc =⇒ fχXc , так как |fn(x)χXc (x) − f(x)χ

Xc (x)| <1m

(n > n0).

Заметим далее, что

(Xm)c =(⋃

n

Xmn

)c =⋂n

⋃

i>n

x : |fi(x)− f(x)| > 1m.

Поэтому если x ∈ (Xm)c, то существуют сколь угодно большие n, при которых

|fn(x) − f(x)| ≥ 1m, то есть x ∈ (Xm)c ⇒ fn(x) 6→ f(x). В силу условия теоремы

µ(Xm)c = 0. Отсюда

µX = µ([⋂

m

Xmn0(m)

]c) = µ(⋃

m

(Xmn0(m))

c)

6∑m

µ(Xmn0(m))

c =∑m

µ(Xm\Xmn0(m))

<∑m

δ2−m = δ. ¤

5. У п р а ж н е н и е. Если fn ∈ M(E, A) и fnп.в.−→ f , то fn

п.в.−→ g ттогда g ∼ f .

§206. Сходимость по мере

1. Последовательность fn измеримых функций (на пространстве с σ-конечноймерой) называется сходящейся по мере к измеримой функции f (обозначение:fn

µ−→ f), если для всякого ε > 0:

limn

µx : |fn(x)− f(x)| > ε = 0.

2. Пусть fn — последовательность измеримых функций на пространстве E сконечной мерой µ, причем fn

п.в.−→ f . Тогда fnµ−→ f .

¶ В силу 205.3 f измерима. Проверим, что µXn(ε) → 0 (n →∞), где

Xn(ε) ≡ x : |fn(x)− f(x)| > ε. (∗)

Пусть X =∞⋂

n=1

⋃k>n

Xk(ε). Если x ∈ X, то x принадлежит бесконечно многим Xn(ε)

и, следовательно, fn(x) 6→ f(x). Поэтому

X ⊂ x : fn(x) 6→ f(x), µx : fn(x) 6→ f(x) = 0.

250

Отсюда µX = 0. Полагая Yn =⋃

k>n

Xk(ε) (n ∈ N), имеем Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . . ,⋂n

Yn = X и

µYn → 0 (см. 197.13). Очевидно, Xn(ε) ⊂ Yn, откуда µXn(ε) → 0. ¤3. П р и м е р: сходимость по мере, вообще говоря, не влечет сходимости п.в.

Пусть E = [0, 1), µ — линейная мера Лебега, fki = χ

[ i−1k

, ik

), 1 6 i 6 k (k ∈ N):

f11 ,

f21 , f2

2 ,. . . . . . . . .fn1 , fn

2 , . . . . . . fnn ,

. . . . . . . . . . . . . . .

Занумеруем эту последовательность подряд: f1 = f11 , f2 = f2

1 , f3 = f22 , . . . Общий

член последовательности fn = fk(n)i(n) : k(n) →∞ при n →∞, и для 0 < ε < 1:

µx : |fn(x)| > ε =1

k(n)→ 0 (n →∞).

Таким образом, fnµ−→ 0. В то же время для любого фиксированного x ∈ E после-

довательность fn(x) есть последовательность из нулей и единиц, причем как тех,так и других в этой последовательности бесконечное число. Итак, fn не сходится нив одной точке x ∈ E.

4. Если последовательность fn сходится по мере к f , то существует подпо-следовательность (fnk

) этой последовательности, которая сходится к f п.в.¶ Пусть εn, ηn — последовательности положительных чисел такие, что εn → 0,

∑n

ηn

< +∞. Искомую подпоследовательность индексов строим индуктивно: n1 опреде-лим из условия: µXn1(ε1) < η1, где Xn(ε) определены равенством (∗); такое n1 су-ществует, так как fn

µ−→ f . Если nk−1 уже определено, то nk определим из условий:µXnk

(εk) < ηk, nk > nk−1. Положим X =⋂i

⋃k>i

Xnk(εk). Тогда µX 6

∑k>i

µXnk(εk) <

∑k>i

ηk. Из произвольности i и сходимости ряда∑n

ηn отсюда следует, что µX = 0.

Если fnk(x) 6→ f(x), то это означает, что x принадлежит бесконечно многим членам

последовательности Xnk(εk), то есть x ∈ X. Поэтому µx : fn(x) 6→ f(x) = 0. ¤

5. Приведем схему взаимосвязей между различными типами сходимости(µE < +∞):

fn =⇒ f ⇒ fn → f ⇒ fnп.в.−→ f ⇒ fn

µ−→ f.В определенном контексте импликации могут быть обращены (см. п. 4 и 205.4).

У п р а ж н е н и я. 6. Если fn ∈ M(E, A) и fnµ−→ f , то fn

µ−→ g ттогда g ∼ f .7. Если fn

µ−→ f, gnµ−→ g, то fn + gn

µ−→ f + g.8. Последовательность fn сходится по мере ттогда для всякого ε > 0:

limn,m

µx : |fn(x)− fm(x)| > ε = 0.

9. Из последовательности fn, построенной в п. 3, выделите подпоследователь-ность, сходящуюся п.в.

10. Если µE < +∞, то fnп.в.−→ f ттогда sup

m>n|fm − f | µ−→ 0 при n →∞.

251

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

Для измеримых функций действительного переменного определение интегра-ла Римана оказывается не очень удачным. Например, известная функция Дирихлеχ ≡ χ

[0,1]∩Q измерима, ограничена, но не интегрируема по Риману на отрезке [0, 1](см. 48.4). Нетрудно установить причину этого: при составлении римановой суммыдля функции f область интегрирования разбивается на мелкие отрезки ∆k, и зна-чение f(x) в каждой точке отрезка ∆k заменяется ее значением в некоторой точкеξk ∈ ∆k. Эта процедура естественна, лишь если значения f(x) в близких точкахблизки между собой, то есть когда f непрерывна или у нее имеется не слишкоммного точек разрыва. Основная идея интеграла Лебега заключается в том, что присоставлении интегральной суммы точки из области интегрирования группируютсяне по правилу близости их между собой, а по признаку близости значений функциив этих точках. Преимущество такого подхода заключается еще и в том, что ока-зывается возможным определить универсальным образом понятие интеграла дляфункций, заданных на произвольных множествах, где определена некоторая ме-ра. Это важно во многих задачах математической физики, где необходимо уметьинтегрировать по бесконечномерным многообразиям.

В этой главе (если не оговорено специально) µ — полная конечная мера на неко-торой σ-алгебре A в E; все рассматриваемые подмножества E считаются принадле-жащими A, а все рассматриваемые функции считаются измеримыми.

§207. Определение интеграла Лебега

1. Пусть (E, A, µ) — пространство с мерой. Простая функция f =∑n

λnχXn

(∑n

Xn = E) называется интегрируемой (по Лебегу), если∑n|λn|µXn < +∞; сумма

ряда∑n

λnµXn называется интегралом Лебега от функции f и обозначается∫

f dµ:

∫(∑

n

λnχXn)dµ ≡

∑n

λnµXn.

Из абсолютной сходимости ряда в правой части интеграл определен однозначно.

Отметим свойства простых интегрируемых функций.2. Если f, g — простые интегрируемые функции, то интегрируемы f + g, λf

(λ ∈ R), и∫

(f + g)dµ =∫

f dµ +∫

g dµ,

∫(λf) dµ = λ

∫f dµ.

¶ Пусть f =∑n

λnχXn, g =

∑k

ξkχYk(∑

Xn =∑

Yk = E). Тогда f + g =∑n,k

(λn + ξk)χXnYk, причем

∑

n,k

|λn + ξk|µXnYk 6∑

n

∑

k

|λn|µXnYk +∑

k

∑n

|ξk|µXnYk

=∑

n

|λn|∑

k

µXnYk +∑

k

|ξk|∑n

µXnYk =∑

n

|λn|µXn +∑

k

|ξk|µYk < +∞.

252

Таким образом, f + g интегрируема. При этом∫

f dµ +∫

g dµ =∑

n

λnµXn +∑

k

ξkµYk =∑

n

λn

∑

k

µXnYk +∑

k

ξk

∑n

µXnYk

=∑

n,k

(λn + ξk)µXnYk =∫

(f + g) dµ. ¤

3. Если f — простая ограниченная функция, то f интегрируема и |∫

f dµ| 6‖f‖EµE, где ‖f‖E = sup

x∈E|f(x)|.

¶ Интегрируемость f =∑n

λnχXn(∑n

Xn = E) следует из оценки∑n|λn|µXn 6 ‖f‖E ·

∑n

µXn = ‖f‖EµE. Поэтому |∫

f dµ| = |∑

n

λnµXn| 6∑

n

|λn|µXn 6 ‖f‖EµE. ¤

4. Функция f : E → R называется интегрируемой, если существует после-довательность простых интегрируемых функций fn, сходящаяся к f равномерно.

В этом случае величина limn

∫fn dµ называется интегралом Лебега функции f и

обозначается символом∫

f dµ (или∫

E

f dµ,

∫

E

f(x)µ(dx)).

Убедимся в корректности данного определения:

(а) limn

∫fn dµ существует;

(б) предел не зависит от выбора последовательности fn;

(в) для простых функций это определение согласуется с определением п. 1.

¶ Пусть fn — простые интегрируемые функции и fn =⇒ f . В силу пп. 2 и 3 имеемоценку ∣∣

∫fn dµ−

∫fm dµ

∣∣ =∣∣∫

(fn − fm) dµ∣∣ 6 ‖fn − fm‖EµE,

из которой следует сходимость последовательности интегралов∫

fn dµ, и (а) уста-новлено.

Пусть gn — еще одна последовательность простых интегрируемых функций та-кая, что gn =⇒ f . Тогда

∣∣∫

fn dµ−∫

gn dµ∣∣ ≤ ‖fn − gn‖EµE → 0 (n → +∞).

Поэтому limn

∫fn dµ = lim

n

∫gn dµ и (б) установлено. Утверждение (в) следует из (а)

и (б), если положить fn = f (n ∈ N). ¤Свойства пп. 2 и 3, установленные выше для простых функций, остаются спра-

ведливыми в общем случае (проверка этого, осуществляется с помощью предельногоперехода (!!)):

253

5. Если функции f, g интегрируемы, то интегрируемы также f+g, λf (λ ∈ R),

причем∫

(λf + g) dµ = λ

∫f dµ +

∫g dµ. Всякая ограниченная измеримая функция

f интегрируема, причем |∫

f dµ| 6 ‖f‖EµE.

6. Если f, g интегрируемы и f > g, то∫

f dµ >∫

g dµ.

¶ Утверждение достаточно доказать для g(x) ≡ 0. Это так, если f > 0 — простая(!!). В общем случае положим

fn =∞∑

k=0

k

nχAk

, где Ak = f−1([k

n,

k + 1n

)), n ∈ N.

Тогда 0 6 f(x) − fn(x) 6 1n. Отсюда fn =⇒ f, f − fn — ограничены и согласно

п. 5 интегрируемы. Так как f интегрируема, из равенства fn = (fn− f) + f следует

интегрируемость fn. По построению fn простые и fn > 0. Следовательно,∫

f dµ =

limn

∫fn dµ > 0. ¤

7. Функция f называется интегрируемой по множеству A ∈ A, если интегри-руема функция f · χA ; интегралом функции f по множеству A называется число∫

A

f dµ ≡∫

fχA dµ.

8. Если f интегрируема, то она интегрируема по каждому множеству A ∈ A.¶ Если f =

∑n

λnχBn— простая интегрируемая функция, то fχA =

∑n

λnχBnA и∑n|λn|µBnA 6

∑n|λn|µBn < +∞, то есть fχA — также простая интегрируемая функ-

ция и ∫

A

(∑n

λnχBn

)dµ =

∑n

λnµABn. (1)

В общем случае, если f интегрируема и fn — последовательность простых интегри-руемых функций, fn =⇒ f , то fnχA =⇒ fχA . Поэтому fχA интегрируема. ¤

Следующее утверждение называется свойством абсолютной непрерывности ин-теграла Лебега.

9. Если µA = 0 и f интегрируема, то∫

A

f dµ = 0.

¶ Утверждение следует из (1) для простой f . Общий случай получается стандарт-ным предельным переходом (!!). ¤

10. Пусть f интегрируема и E =∑k

Ak. Тогда

∫f dµ =

∑

k

∫

Ak

f dµ, (2)

причем ряд в правой части сходится абсолютно.

254

¶ Для простой интегрируемой функции f =∑n

λnχBn:

∑

k

∣∣∫

Ak

f dµ∣∣ =

∑

k

∣∣∑n

λnµBnAk

∣∣ 6∑

k,n

|λn|µBnAk 6∑

n

|λn|∑

k

µBnAk

=∑n

|λn|µBn < +∞.

Это означает абсолютную сходимость ряда в правой части (2), а также ряда∑k,n

|λn|µBnAk. Теперь

∫f dµ =

∑n

λnµBn =∑n

∑

k

λnµBnAk =∑

k

∑n

λnµBnAk =∑

k

∫

Ak

f dµ.

Если f — интегрируемая функция, то, по определению 4, для всякого ε > 0 суще-ствует простая интегрируемая функция g такая, что ‖f − g‖E < ε. По доказанному∫

g dµ =∑k

∫

Ak

g dµ, причем ряд∑k

∫

Ak

g dµ сходится абсолютно. Из оценки

∑

k

∣∣∫

Ak

f dµ∣∣ 6

∑

k

∣∣∫

Ak

(f − g) dµ∣∣ +

∑

k

∣∣∫

Ak

g dµ∣∣ 6 εµE +

∑

k

∣∣∫

Ak

g dµ∣∣

следует, что ряд в правой части (2) сходится абсолютно. Итак,

∣∣∫

f dµ−∑

k

∫

Ak

f dµ∣∣ =

∣∣∫

(f − g) dµ +∑

k

∫

Ak

g dµ−∑

k

∫

Ak

f dµ∣∣

=∣∣∫

(f − g)dµ +∑

k

∫

Ak

(g − f) dµ∣∣ 6 2‖f − g‖EµE < 2εµE.

Из произвольности ε получаем (2). ¤11. Если |f | 6 ϕ и ϕ интегрируема, то f интегрируема.

¶ Если f и ϕ простые, то существует не более чем счетное разбиение An множестваE, что f =

∑n

λnχAn, ϕ =

∑n

ξnχAn, причем |λn| 6 ξn (n ∈ N). Тогда

∑n|λn|µAn 6

∑n

ξnµAn < +∞, то есть f интегрируема. Читатель уже овладел стандартными

приемами, чтобы доказать утверждение в общем случае. ¤12. С л е д с т в и е. Функция f интегрируема ттогда интегрируема |f |.

¶ Достаточность следует из п. 11. Необходимость в случае простой функции f сле-дует непосредственно из определения 1. Общий случай получается предельным пе-реходом. ¤

13. З а м е ч а н и е. Утверждение п. 12 в части достаточности не верно дляфункций, интегрируемых по Риману: функция ϕ = χ

[0,1]∩Q − χ[0,1]\Q измерима, но,

подобно функции Дирихле, не интегрируема по Риману. Между тем ее модуль |ϕ|(≡ 1) интегрируем по Риману.

255

14. Если∫|f | dµ = 0, то f(x) = 0 п.в.

¶ Пусть An = x ∈ E : |f(x)| > 1n. Из неравенства µAn =

∫

An

1 dµ 6 n

∫

An

|f | dµ = 0

следует, что µAn = 0. Отсюда µx ∈ E : f(x) 6= 0 = µ(⋃n

An) 6∑n

µAn = 0. ¤

У п р а ж н е н и я. 15. Проинтегрируйте функцию f(ω) =∞∑

n=1ωn2−n в условиях

202.10.16. Докажите свойства пп. 5,6,10,11 для интегралов по множеству A(⊂ E).

17. Если f измерима и µA = 0, то f интегрируема по множеству A и∫

A

f dµ = 0.

18. Если f1, . . . , fn интегрируемы, то интегрируема f(x) = maxf1(x), . . . , fn(x).19. Какую структуру будет иметь интеграл Лебега по мере m в условиях 192.8?

Опишите класс интегрируемых функций.

20. Если f интегрируема, то ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ A (µA < δ ⇒ |∫

A

f dµ| < ε).

§208. Предельный переход под знаком интеграла

Задача о предельном переходе под знаком интеграла эквивалентна задаче опочленном интегрировании сходящегося функционального ряда. В приложенияхтеории интеграла подобные задачи играют первостепенную роль.

1. Т е о р е м а [А. Лебег]. Пусть fn → f, |fn| 6 ϕ, ϕ интегрируема. Тогда f

интегрируема и∫

fn dµ →∫

f dµ.

¶Ясно, что |f | 6 ϕ и, согласно 207.11, f интегрируема. Положим Ak = ϕ−1([k, +∞)),k = 0, 1, 2, . . .. Тогда E = A0 ⊃ A1 ⊃ . . . ,

⋂k

Ak = ∅, так что µAk → 0 (k → +∞) (см.

197.13). Пусть ε > 0 произвольно. В силу 207.20 найдется m ∈ N такое, что∫

Am

ϕdµ <

ε. По теореме Егорова существует представление Acm = Y +Z, где µZ <

ε

m, fn =⇒ f

на множестве Y . В частности, найдется n0 такое, что ‖f − fn‖Y <ε

µY(n > n0).

Наконец, при n > n0:

|∫

fn dµ−∫

f dµ| = |∫

Am

fn dµ−∫

Am

f dµ +∫

Z

fn dµ−∫

Z

f dµ +∫

Y

(fn − f)dµ|

6 |∫

Am

fn dµ|+ |∫

Am

f dµ|+ |∫

Z

fn dµ|+ |∫

Z

f dµ|+ |∫

Y

(fn − f)dµ|

6 2∫

Am

ϕdµ + 2∫

Z

ϕdµ + ε < 5ε.

В силу произвольности ε утверждение доказано. ¤

256

2. З а м е ч а н и е. Теорема п. 1 остается справедливой, если вместо поточечнойсходимости предположить, что fn

п.в.−→ f . Действительно, в силу 207.17 значения,принимаемые функцией на множестве меры нуль, не влияют на величину интеграла.

3. С л е д с т в и е. Если |fn| 6 C (n = 1, 2, . . .) и fnп.в.−→ f , то f интегрируема

и∫

fn dµ →∫

f dµ.

4. Т е о р е м а [Б. Леви]. Пусть f1 6 f2 6 . . . , fn интегрируемы и∫

fn dµ 6

K (n ∈ N). Тогда

(1) существует f такая, что fnп.в.−→ f ,

(2) f интегрируема и∫

fn dµ →∫

f dµ.

¶ Можно считать, что f1 > 0 (иначе рассмотрим gn = fn − f1 (n = 1, 2, . . .)).Пусть Anr = x : fn(x) > r. Тогда A = x ∈ E : fn(x) → +∞ =

⋂r>1

⋃n>1

Anr.

Имеем µAnr =∫

Anr

dµ 6∫

Anr

fn

rdµ 6 1

r

∫fn dµ 6 K

r. Так как A1r ⊂ A2r ⊂ . . .,

A ⊂ ⋃n>1

Anr, то µA 6 µ( ⋃n>1

Anr

)= lim

nµ(Anr) 6 K

r. Из произвольности r отсюда

µA = 0. Поэтому функция f(x) =

limn

fn(x), если x ∈ Ac,

0, если x ∈ A,отвечает требованию

(1). Определим теперь функцию ϕ =∞∑

r=1rχ

f−1([r−1,r)). Ясно, что f < ϕ 6 f + 1.

Поэтому для проверки интегрируемости f достаточно показать интегрируемость ϕ,то есть сходимость ряда

∑r

rµBr, где Br = x ∈ E : ϕ(x) = r. Последнее следует

из ограниченности частных сумм этого ряда (в силу ограниченности функции f на

множествеn∑

r=1Br применима теорема п. 1):

N∑

r=1

rµBr =∫

N∑r=1

Br

ϕdµ 6∫

N∑r=1

Br

f dµ + µE = limn

∫

N∑r=1

Br

fndµ + µE 6 K + µE.

Теперь утверждение (2) следует из теоремы п. 1. ¤

5. С л е д с т в и е. Пусть ψn > 0 и∞∑

n=1

∫ψn dµ < +∞. Тогда ряд

∑n

ψn сходится

п.в. и его можно интегрировать почленно:∫

(∑n

ψn) dµ =∑n

∫ψn dµ.

¶ Это переформулировка п. 4 в терминах ряда: достаточно положить fn =n∑

k=1

ψk. ¤

6. Т е о р е м а [П. Фату]. Пусть fn > 0, fnп.в.−→ f , причем

∫fn dµ 6 K. Тогда

f интегрируема и∫

f dµ 6 K.

257

¶ Положим ϕn(x) ≡ infk>n

fk(x); ϕn измеримы, поскольку x : ϕn(x) < c =⋃

k>n

x : fk(x) < c, c ∈ R, и интегрируемы, поскольку 0 6 ϕn 6 fn. При этом∫

ϕn dµ 6∫

fn dµ 6 K, ϕ1 6 ϕ2 6 . . . и ϕnп.в.−→ f . Требуемое следует теперь из п. 4,

примененного к (ϕn).¤

7. Пусть E =∑n

An и∑n

∫

An

|f |dµ < +∞. Тогда f интегрируема и

∫f dµ =

∑n

∫

An

f dµ.

¶ Положим ψn = |f |χAn. Мы находимся в условиях п. 5 и, следовательно, функция

|f | = ∑n

ψn интегрируема. Из 207.12 следует интегрируемость f , а искомое равенство

вытекает из 207.10. ¤Сопоставляя доказанное утверждение с 207.10, получаем:

8.Пусть E =∑n

An. Функция f интегрируема ттогда сходится ряд∑n

∫

An

|f | dµ.

У п р а ж н е н и я. 9. Построить последовательность функций fn > 0 со

свойствами:∫

fndµ → 0, fnµ−→ 0, fn не сходится к 0 п.в.

10. Покажите, что∫ |fn|

1 + |fn| dµ → 0 ттогда fnµ−→ 0.

§209. Замена переменной в интеграле Лебега

1. Будем говорить, что отображение ϕ : E → E измеримо, если ϕ−1(X) ∈ A

всякий раз, когда X ∈ A. Если µ — мера на σ-алгебре A, то со всяким отображе-нием ϕ множества E в себя можно связать естественным образом новую меру µϕ,определенную на A равенством µϕ(X) ≡ µϕ−1(X) (X ∈ A).¶ σ-аддитивность µϕ следует из равенства (если заметить, что ϕ−1(X)

⋂ϕ−1(Y ) = ∅

всякий раз, когда X⋂

Y = ∅):

µϕ(∑

n

Xn) = µ(ϕ−1(∑

n

Xn)) = µ(∑n

ϕ−1(Xn)) =∑

n

µ(ϕ−1(Xn)) =∑

n

µϕ(Xn). ¤

2. Пусть отображение ϕ : E → E измеримо и f : E → R — измеримая функ-ция. Тогда справедливо равенство

∫f ϕdµ =

∫f dµϕ. (1)

в том смысле, что если определена одна из его частей, то определена и другая (иони равны).

¶ Пусть сначала f =∑n

λnχAn— простая функция. Тогда f ϕ =

∑n

λnχϕ−1(An)

, и

если левая часть (1) определена, то∫

f ϕdµ =∑

n

λnµϕ−1(An) =∑

n

λnµϕ(An) =

258

∫f dµϕ (при этом

∑n|λn|µϕ(An) =

∑n|λn|µϕ−1(An) < +∞). Из (2) следует также,

что если определена его правая часть, то определена и левая (и они равны).Переходим к общему случаю. Пусть f ϕ интегрируема. Положим

fn(x) =

m− 1n

, еслиm− 1

n6 f(x) <

m

nи f(x) > 0,

−m

n, если

m− 1n

6 f(x) <m

nи f(x) < 0.

По построению |fn| 6 |f |, так что |(fn ϕ)(x)| 6 |(f ϕ)(x)|(x ∈ E). Кроме того,fn =⇒ f , а значит, fn ϕ =⇒ f ϕ. Из 207.4 и равенства (1) для простых функций

находим∫

f ϕdµ = limn

∫fn ϕdµ = lim

n

∫fn dµϕ =

∫f dµϕ. Отсюда же следует,

что если f интегрируема по мере µϕ, то f ϕ интегрируема по µ (и интегралыравны). ¤

§210. Сравнение интегралов Римана и Лебега

1. Ограничимся случаем отрезка E = [0, 1]. Пусть f интегрируема по Рима-ну. Тогда соответствующий интеграл можно представить как предел нижней иливерхней суммы Дарбу:

(R)∫ 1

0f(x) dx = lim

nSn = lim

nSn, где Sn = 2−n

2n∑k=1

Φ(nk), Sn = 2−n2n∑

k=1

Φ(nk),

Φ(nk) = supx∈∆nk

f(x), Φ(nk) = infx∈∆nk

f(x),

∆nk = [(k − 1)2−n, k2−n), k = 1, . . . , 2−n − 1, ∆n2n = [1− 2−n, 1].

Определим две последовательности простых функций

fn =2n∑

k=1

Φ(nk)χ∆nk, f

n=

2n∑

k=1

Φ(nk)χ∆nk;

при этом f1 > f2 > . . . , f1

6 f2

6 . . .. Если учесть, что f ограничена (будучиинтегрируемой по Риману), то отсюда следует, что существуют функции f и f такие,

что fn → f > f, fn⇒ f 6 f . Из определения 207.1

∫fn dµ = Sn,

∫f

ndµ = Sn

(здесь µ — линейная мера Лебега). В силу 208.4∫

f dµ = limn

∫fn dµ = lim

nSn = (R)

∫ 1

0f(x) dx = lim

nSn = lim

n

∫f

ndµ =

∫f dµ.

Отсюда∫|f − f | dµ =

∫(f − f) dµ = 0, то есть (см. 207.14) f = f = f п.в. на

[0, 1]. Таким образом,∫

f dµ =∫

f dµ = (R)∫ 1

0f(x) dx. Сформулируем полученный

результат.

2. Если f интегрируема на отрезке по Риману, то она интегрируема по Лебегуи соответствующие интегралы совпадают.

259

З а м е ч а н и я. 3. Неограниченные функции вообще не интегрируемы поРиману, но некоторые из них интегрируемы по Лебегу. Например,

f(x) =

x−1/2, если 0 < x 6 1,0, если x = 0

не интегрируема по Риману. Однако, f интегрируема по Лебегу. Действительно,положим fn(x) = x−1/2χ

[1/n2,1](x) (n = 1, 2, . . .). Ясно, что fn → f и по п. 2

∫fn dµ = (R)

∫ 1

0fn(x) dx = 2− 2

n6 2.

Остается воспользоваться теоремой Фату.

4. Если limε→0+

(R)∫ 1

ε|f(x)| dx < +∞ , то f интегрируема по Лебегу на [0, 1],

причем∫

f dµ = limε→0+

(R)∫ 1

εf(x) dx (!!).

5. Если limε→0+

(R)∫ 1

ε|f(x)| dx = +∞, то f не интегрируема по Лебегу, даже ес-

ли limε→0+

(R)∫ 1

εf(x) dx существует. (Положим fn = f · χ

(1/n,1](n = 1, 2, . . .). Тогда

|fn| 6 |f |, |fn| п.в.−→ |f |. Если допустить, что f интегрируема по Лебегу, то в силу

207.12∫|f | dµ < +∞; в частности, (R)

∫ 1

1/n|f(x)| dx =

∫|fn| dµ 6

∫|f | dµ; однако,

(R)∫ 1

ε|f(x)| dx → +∞ (ε → 0).)

§211. Заряды

1. До сих пор при изучении интеграла основным объектом нашего вниманиябыли интегрируемые функции. Область интегрирования фиксировалась (это былолибо множество E, либо некоторое его измеримое подмножество X). Если, напротив,зафиксировать некоторую интегрируемую функцию f , то функция

νX ≡∫

X

f dµ (X ∈ A) (1)

определена на A и согласно 207.10 σ-аддитивна: X =∞∑

n=1Xn влечет νX =

∞∑n=1

νXn.

Отличие этой функции множества от меры состоит в том, что она не обязательноположительна.

2. Комплексная σ-аддитивная функция, определенная на σ-алгебре множеств,называется зарядом. Заряд, принимающий вещественные значения, называется ве-щественным. Заряд, определенный равенством (1), называется неопределенным ин-тегралом Лебега функции f .

Для заряда ν : A → C, где A — σ-алгебра подмножеств множества E, введемвспомогательную функцию

‖ν‖(A) ≡ sup|νX| : X ⊂ A, X ∈ A.

260

Эта функция не может принимать несобственное значение +∞:

3. Каждый заряд ν : A → C ограничен: ‖ν‖(E) < +∞.¶ Пусть, напротив, на некотором пространстве (E, A) существует неограниченныйзаряд ν : A → C, то есть ‖ν‖(E) = +∞. Построим тогда последовательность Xn

попарно непересекающихся множеств из A таких, что |νXn| > 1 (n = 1, 2, . . .).Это немедленно приводит к противоречию, ибо для X =

∑n

Xn следует, что νX =∑n

νXn; однако, ряд в правой части заведомо расходится (так как |νXn| > 1). Начнем

с того, что выберем Y ∈ A так, чтобы |νY | > |νE| + 1 (это возможно, так как‖ν‖(E) = +∞), и положим

X1 =

Y c, если ‖ν‖(Y ) = +∞,Y, если ‖ν‖(Y ) < +∞.

(Отметим, что ‖ν‖(Y ) < +∞ ⇒ ‖ν‖(Y c) = +∞.) Нетрудно видеть, что |νX1| > 1,причем ‖ν‖(Xc

1) = +∞. Пусть уже построены попарно непересекающиеся множества

X1, . . . , Xn такие, что |νXk| > 1 (k ∈ N) и ‖ν‖((n∑

k=1

Xk)c)

= +∞. Тогда существует

Y ⊂ (n∑

k=1

Xk)c такое, что |νY | > |ν((

n∑k=1

Xk)c)|+ 1. Поэтому

|ν((

n∑

k=1

Xk)c\Y )| = |ν(n∑

k=1

Xk)c − νY | > |νY | − |ν((

n∑

k=1

Xk)c)| > 1,

и в качестве Xn+1 можно взять множество

Xn+1 =

(n∑

k=1

Xk)c\Y, если ‖ν‖(Y ) = +∞,

Y, если ‖ν‖(Y ) < +∞.

Действительно, по построению X1, . . . , Xn+1 попарно не пересекаются, |νXn+1| > 1

и ‖ν‖((n∑

k=1

Xk)c)

= +∞. ¤

4. З а м е ч а н и е. Если ν : A → C — заряд, то он однозначно представим ввиде ν = ν1 + iν2, где νk (k = 1, 2) — вещественные заряды: ν1X ≡ Re νX, ν2X ≡Im νX (X ∈ A); функции νk (k = 1, 2) σ-аддитивны (!!). Таким образом, изучениекомплексных зарядов сводится к изучению вещественных зарядов, и мы ограничим-ся изучением последних.

Следующее утверждение гласит, что каждый вещественный заряд “поляризует-ся” (это, кстати, оправдывает термин “заряд”). Чтобы его сформулировать, введемдва класса множеств, связанных с зарядом ν:

A+ν ≡ X ∈ A : Z ⊂ X ⇒ νZ > 0,

A−ν ≡ X ∈ A : Z ⊂ X ⇒ νZ 6 0.

5. Т е о р е м а [Г. Хан]. Для каждого вещественного заряда ν найдется мно-жество A ∈ A−ν такое, что Ac ∈ A+

ν .

261

¶ Пусть α = infX∈A−ν

νX. В силу п. 3 α ∈ R. Пусть Xn ∈ A−ν (n ∈ N) таковы, что

limn

νXn = α. Будем считать что X1 ⊂ X2 ⊂ . . . (иначе можно перейти к по-

следовательности Xn =n⋃

k=1

Xk (n ∈ N), которая этим свойством обладает: Xk ∈

A−ν , limn

νXn = α, так как α 6 νXn 6 νXn, νXn → α). Покажем, что A =∞⋃

n=1Xn —

искомое множество.

1) A ∈ A−ν : X ⊂ A ⇒ X =∞⋃

n=1XXn,

XX1 ⊂ XX2 ⊂ . . . , XXn ⊂ Xn ∈ A−ν ⇒ νX = limn

νXXn 6 0.

2) Покажем, что Ac ∈ A+ν . Заметим сначала, что νA = α (ибо νA = lim

nνXn = α).

Если Ac 6∈ A+ν , то ∃Z0 ⊂ Ac (νZ0 < 0). Кроме того, Z0 6∈ A−ν (иначе A + Z0 ∈ A−ν и

ν(A+Z0) < α, что противоречит определению α): поэтому ∃Z ⊂ Z0 (νZ < 0). Пусть

k1 = mink ∈ N : ∃Z1 ⊂ Z0 (νZ1 > 1k).

Так как ν(Z0\Z1) = νZ0− νZ1 6 νZ0− 1k1

< 0, то это же рассуждение применимо к

Z0\Z1: существует k2 = mink ∈ N : ∃Z2 ⊂ Z0\Z1 (νZ2 > 1k). Продолжая процесс,

получим последовательность Zn ∈ A и

Z0 = (Z0\∑

n

Zn) + Z1 + Z2 + . . . ,

νZ0 = ν(Z0\∑

n

Zn) +∑

n

νZn >∑

n

1kn

+ K,

где K = ν(Z0\∑n

Zn). Отсюда ряд∑n

1kn

сходится и поэтому

1kn

→ 0 (n →∞). (2)

Нетрудно видеть, что Z∗ ≡ (Z0\∑n

Zn) ∈ A−ν (действительно, иначе ∃Z ⊂ Z∗ (νZ >

0), и в силу (2) ∃n ∈ N (νZ >1

kn − 1); с другой стороны, Z ⊂ Z0\

n−1∑k=1

Zk, и по

определению последовательности Zn должно быть νZ <1

kn − 1). При этом νZ∗ =

νZ0 −∞∑

n=1νZn 6 νZ0 < 0; Z∗

⋂A = ∅ и поэтому Z∗ + A ∈ A−ν , то есть ν(Z∗ + A) =

νZ∗ + α < α, что противоречит определению α. Итак, Ac ∈ A+ν . ¤

6. С л е д с т в и е. Каждый вещественный заряд представим в виде разностидвух мер.¶ Пусть ν : A → R — заряд и A ∈ A−ν — множество в теореме Хана. Определимотображения µ± : A → R+ равенствами:

µ+X ≡ ν(XAc), µ−X ≡ −ν(XA) (X ∈ A);

262

µ± являются, очевидно, мерами. При этом νX = ν(XAc) + ν(XA) = µ+X − µ−X(X ∈ A), то есть ν = µ+ − µ−. ¤

7. У п р а ж н е н и е. Найдите множество A, отвечающее требованиям теоремыХана для неопределенного интеграла Лебега (1).

8. Убедитесь, что для каждого заряда ν : A → C корректно определена еговариация:

‖ν‖v ≡ supn∑

i=1|ν(Xi)|,

n∑i=1

Xi = E, Xi ∈ A

(верхняя грань берётся по всевозможным конечным разбиениям множества E). По-кажите, что для вещественного заряда ν: ‖ν‖v = µ+(E) + µ−(E), где ν = µ+ − µ−.

9. Покажите, что для неопределённого интеграла (1) с комплексной интегриру-

емой функцией f : ‖ν‖v =∫|f | dµ.

§212. Абсолютно непрерывные функции множества

1. По аналогии с 200.1 заряд ν : A → C называется абсолютно непрерывнымотносительно меры µ, заданной на той же σ-алгебре (обозначение ν ¿ µ), еслиµX = 0 ⇒ νX = 0.

Свойство 207.9 означает, что неопределенный интеграл Лебега абсолютно непре-рывен относительно соответствующей меры. Возникает вопрос, характеризует лиэто свойство неопределенный интеграл? Положительный ответ дает теорема Радона-Никодима (п. 3).

2. Л е м м а. Если µ и ν — меры, 0 6≡ ν ¿ µ, то существуют ε > 0 и A ∈ A+ν−εµ

такие, что µA > 0.¶ Пусть An ∈ A−

ν− 1n

µ— множества, удовлетворяющие условиям теоремы Хана для

зарядов ν − 1n

µ. Положим

A0 =∞⋃

k=1

Ack. (1)

Ac0 =

∞⋂k=1

Ak ⊂ An (n ∈ N) ⇒ Ac0 ∈ A−

ν− 1n

µ(n ∈ N) ⇒ 0 6 νAc

0 6 1n

µAn (n ∈ N) ⇒νAc

0 = 0 ⇒ νA0 > 0 (т. к. ν 6≡ 0) ⇒ µA0 > 0 (т. к. ν ¿ µ). Из (1) следует, что

∃n (µAcn > 0), и осталось положить ε =

1n

, A = Acn. ¤

3. Т е о р е м а [И. Радон, О. Никодим]. Пусть µ — мера на некоторой σ-алгебреA и вещественный заряд ν ¿ µ. Тогда существует и определена однозначно (сточностью до эквивалентности) измеримая функция f такая, что

νX =∫

X

f dµ (X ∈ A).

¶ Так как каждый вещественный заряд представим в виде разности мер (см. 211.6),можно считать, что ν — мера. Пусть

K = f ∈ M(E,A) : f > 0,

∫

X

f dµ 6 νX (X ∈ A).

263

Класс K не пуст (!!). Положим

α = supf∈K

∫f dµ, (2)

и пусть последовательность fn ∈ K такова, что limn

∫fn dµ = α. Положим gn(x) =

maxf1(x), . . . , fn(x) (x ∈ E), и пусть

X1 = x ∈ X : gn(x) = f1(x), . . . , Xn = x ∈ X : gn(x) = fn(x)\(n−1⋃

i=1

Xi).

Тогда X =n∑

k=1

Xk и, следовательно (см. 207.10),

∫

X

gn dµ =n∑

k=1

∫

Xk

fk dµ 6n∑

k=1

νXk = νX (X ∈ A).

При этом g1 6 g2 6 . . .; положим f0(x) = limn

gn(x) = supn

fn(x). В силу 208.4 f0

интегрируема и, следовательно, принадлежит K, причем α = lim∫

fn dµ =∫

f0 dµ.

Покажем, что f0 — искомая функция. Для этого достаточно установить, что

ν0X ≡ νX −∫

X

f0 dµ ≡ 0 (X ∈ A).

По построению ν0 — мера. Если, напротив, ν0 6≡ 0, то в силу п. 2 существуют ε > 0и A ∈ A+

ν0−εµ такие, что µA > 0. В частности,

εµ(AX) 6 ν0(AX) = ν(AX)−∫

AX

f0 dµ (X ∈ A). (3)

Рассмотрим функцию g = f0 + εχA ; g ∈ K, так как из (3)∫

X

g dµ =∫

X

f0 dµ + εµXA 6∫

X\A

f0dµ + ν(AX) 6 ν(X\A) + ν(AX) = νX (X ∈ A).

С другой стороны,∫

g dµ =∫

f0 dµ + εµA > α, что противоречит (2). Осталось

проверить, что f0 определена однозначно (с точностью до значений на множестве

меры 0). В самом деле, пусть νX =∫

X

f0 dµ =∫

X

f∗ dµ (X ∈ A). Тогда для функции

h = f0 − f∗ имеем:∫

X

h dµ = 0 (X ∈ A). Следовательно,∫|h| dµ =

∫

h>0

h dµ −∫

h<0

hdµ = 0 (здесь, например, h > 0 = x ∈ E : h(x) > 0). В силу 207.14 h = 0

п.в., то есть f0 ∼ f∗. ¤

264

Рассмотрим одно полезное приложение.4. Пусть µ, ν : A → R+ — меры. Тогда существует и определено однозначно

представление ν = νa + νs, где νa, νs — меры, причем νa ¿ µ, а νs сингулярнаотносительно µ.¶ Заметим, что ν ¿ µ + ν, и по теореме Радона-Никодима существует функция fтакая, что

νX =∫

X

f dµ +∫

X

f dν (X ∈ A). (4)

В силу упр. 8 (см. ниже) 0 6 f 6 1 п. в. относительно ν + µ, а также относительно

ν. Полагая A = x : f(x) = 1, получим из (4) νA =∫

A

dµ+∫

A

dν = µA+ νA, откуда

µA = 0. Положим νsX ≡ ν(XA), νaX ≡ ν(XAc) (X ∈ A). Тогда ν = νa + νs, νs

сингулярна относительно µ (ибо µA = νsAc = 0) и νa ¿ µ:

µX = 0 ⇒ ν(XAc) =∫

XAc

f dµ +∫

XAc

f dν =∫

XAc

f dν =∫

06f<1

f dν.

Если допустить, что ν(XAc) > 0, то найдется n такое, что ν0 6 f 6 1− 1n > 0 и

ν(XAc) =∫

XAc

f dν =∫

X∩06f61− 1n

f dν +∫

X∩1− 1n

<f<1

f dν

6 (1− 1n

)ν(0 6 f 6 1− 1n

⋂X) + ν(1− 1

n< f < 1

⋂X)

< ν(0 6 f < 1⋂

X) = ν(XAc)

— противоречие. Итак, µX = 0 ⇒ νaX = νXAc = 0.Проверим единственность полученного представления. Пусть имеются два раз-

ложения ν = νa + νs = ν ′a + ν ′s, νa ¿ µ, ν ′a ¿ µ, причем меры νs и ν ′s сингулярныотносительно µ. По теореме Радона-Никодима существуют функции f1 и f2 такие,

что νaX =∫

X

f1 dµ, ν ′aX =∫

X

f2 dµ (X ∈ A). Положим h(x) = maxf1(x), f2(x)

(x ∈ E). Тогда неопределенный интеграл ν ′′X =∫

X

h dµ (x ∈ A) обладает свойства-

ми: νa 6 ν ′′ 6 ν. Левое неравенство очевидно, а правое следует из выкладки

ν ′′X =∫

X

h dµ =∫

X∩h=f1

f1 dµ +∫

X∩h=f2 6=f1

f2 dµ

= νa(X⋂h = f1) + ν ′a(X

⋂h = f2 6= f1)

6 ν(X⋂h = f1) + ν(X

⋂h = f2 6= f1) = νX.

Обозначая через λ меру ν ′′ − νa (λ ¿ µ), имеем представления ν = νa + νs =νa + λ + (ν − ν ′′). Отсюда νs = λ + (ν − ν ′′). Пусть A ∈ A такое, что µA = νsA

c = 0.

265

Тогда λ ¿ µ ⇒ λA = 0, λAc 6 νsAc ⇒ λAc = 0, то есть λ ≡ 0; поэтому равенство

λX =∫

X

h dµ−∫

X

f1 dµ ≡ 0 (X ∈ A) означает, что h = maxf1, f2 − f1 = 0 п.в., то

есть f2 6 f1 п. в. Аналогичные рассуждения приводят к неравенству f1 6 f2 п. в.,и значит, νa = ν ′a , а отсюда νs = ν ′s. ¤

Полученный факт позволяет уточнить утверждение 199.4.

5. Пусть µF — мера на B([0, 1]), порожденная функцией F (см. 198.3), µ —линейная мера Лебега. Тогда существует и определено однозначно представление:µF = µd+µa+µs, где µd — дискретная компонента (199.3), µa ¿ µ, а µs сингулярнаотносительно µ.¶ Положим в п. 4 ν = µc, где µc — непрерывная компонента µF (см. 199.3), и возьмемв качестве µ линейную меру Лебега на [0, 1]. ¤

6. З а м е ч а н и е. Согласно 200.3 существует абсолютно непрерывная неубы-вающая функция Φ(t) (0 6 t 6 1) такая, что µa = µΦ. При этом по теоремеРадона-Никодима существует интегрируемая функция f(t) (0 6 t 6 1) такая, что

Φ(t) =∫

[0,t]

f dµ (0 6 t 6 1).

У п р а ж н е н и я. 7. Пусть A ∈ A, a, b ∈ R, µ — мера на A. Определим зарядνX = aµ(AX) + bµ(AcX) (X ∈ A). Покажите, что ν ¿ µ и найдите функцию f ,отвечающую требованиям теоремы Радона-Никодима.

8. Если µ, ν : A → R+ — меры и ν 6 µ (то есть νX 6 µX (x ∈ A)), то ν —неопределенный интеграл Лебега некоторой функции f , причем 0 6 f 6 1 п. в.относительно µ (и относительно ν).

§213. Произведение мер

1.Пусть C1, . . . ,Cn — семейства подмножеств соответственно множеств E1, . . . , En.

Произведением этих семействn∏

k=1

Ck = C1× . . .×Cn назовем семейство подмножеств

множестваn∏

k=1

Ek, представимых в виде Y1 × . . .× Yn (Yk ∈ Ck).

2. Если S1, . . . , Sn — полукольца в E1, . . . , En соответственно, тоn∏

k=1

Sk —

полукольцо вn∏

k=1

Ek.

¶ Приведем доказательство для n = 2. Пусть S = S1 ×S2 и X, Y ∈ S, то есть

X = X1 ×X2, Y = Y1 × Y2 (Xk, Yk ∈ Sk, k = 1, 2). (1)

Тогда XY = X1Y1 × X2Y2, причем в силу (П1) (см. 191.1) XkYk ∈ Sk (k = 1, 2),то есть (П1) выполнено для S. Пусть в обозначениях (1) X ⊂ Y . Это означает, вчастности, что X1 ⊂ Y1, X2 ⊂ Y2 и так как Sk — полукольца, имеем

Y1 = X1 +s∑

j=1

X1j , Y2 = X2 +t∑

i=1

X2j , Xkm ∈ Sk (k = 1, 2).

266

Поэтому, Y = (X1 +∑j

X1j) × (X2 +∑i

X2i) = X +∑j

Zj +∑i

Z ′j +∑i,j

Zji, где Zj =

X1j ×X2 (j = 1, . . . , s), Z ′j = X1 ×X2i (i = 1, . . . , t), Zji = X1j ×X2i, что означаетсправедливость (П2) для S. ¤

3. З а м е ч а н и е. Если S1 и S2 — кольца множеств, то S1 ×S2 не является,вообще говоря, кольцом (см. ниже упр. 6).

4. Пусть mk — меры (конечно-аддитивные меры) на полукольцах Sk (k =1, . . . , n). Тогда равенство

m(X1 × . . .×Xn) ≡ m1X1 ·m2X2 · . . . ·mnXn (Xk ∈ Sk) (2)

определяет меру (соответственно конечно-аддитивную меру) m наn∏

k=1

Sk.

¶ Приведем доказательство для случая n = 2. Пусть

X = X1 ×X2 =∑

i

X(i), X(i) = X(i)1 ×X

(i)2 (i = 1, . . . , N), X

(i)k ∈ Sk (k = 1, 2). (3)

В силу 191.8 существуют конечные разбиения Y (j)1 , Y (k)

2 соответственно мно-жеств X1 и X2 такие, что X

(i)1 являются объединением некоторых Y

(j)1 , а X

(i)2 —

объединением некоторых Y(k)2 . Аддитивность m следует из равенств

mX = m1X1 ·mX2 =∑

j,k

m1Y(j)1 m2Y

(k)2 =

∑

i

m1X(i)1 m2X

(i)2 =

∑

i

mX(i).

Пусть m1, m2 σ-аддитивны и µ1 — лебеговское продолжение m1, а индекс i в (3) про-бегает счетное множество. Определим fi : E1 → R равенствами fi = m2X

(i)2 χ

X(i)1

(i ∈N). Тогда

∑i

fi(x) =∑i

m2X(i)2 · χ

X(i)1

(x) =∑

i:x∈X(i)1

m2X(i)2 = m2X2χX1

(x) (x ∈ E1).

Из оценки

∑

i

∫

X1

fi dµ1 =∑

i

m2X(i)2 m1X

(i)1 =

∑

i

mX(i) 6 mX < +∞

и 208.5 имеем, наконец,

∑

i

mX(i) =∑

i

∫

X1

fi dµ1 =∫

X1

(∑

i

fi) dµ1 = m2X2 ·∫

X1

dµ1 = m2X2 ·m1X1 = mX. ¤

5.Лебеговское продолжение µ меры m, определенной равенством (2), называетсяпроизведением мер m1, . . . , mn и обозначается m1 × . . .×mn.

Это определение корректно в силу п. 4. В частности, если µ — линейная мераЛебега, то плоская мера Лебега совпадает с произведением µ× µ.

У п р а ж н е н и я. 6. Пусть S — алгебра конечных объединений промежутковвида [a, b) (0 6 a < b 6 1) в множестве E = [0, 1). Покажите, что S×S не являетсяалгеброй в E × E.

267

7. Пусть Sn — полукольца с 1 в множествах En (n ∈ N). Тогда семейство S

частей X множества∞∏

n=1En, представимых в виде X = Y1 × Y2 × . . . (Yn ∈ Sn

и Yn 6= En лишь для конечного множества индексов n) — полукольцо в∞∏

n=1En

(оно обозначается∞∏

n=1Sn). Если mn — меры на Sn, причем mnEn = 1 (n ∈ N), то

равенствоmX = m1Y1 ·m2Y2 · . . . (X = Y1 × Y2 × . . .) (4)

определяет меру на S.

8. Пусть 2 = 0, 1 (см. 101.11). Тогда множество Ω в упр. 191.9 представимо

в виде Ω =∞∏

n=1∆n (∆1 = ∆2 = . . . = 2), а полукольцо Z в Ω представимо в виде

Z =∞∏

n=1P(2). При этом мера m (см. 192.9) определяется формулой (4), в которой

m1 = m2 = . . . = m0, а m0 — мера на P(2), заданная равенствами m0∅ = 0, m00 =

m01 =12.

§214. Теорема Фубини

Естественно выяснить, не упрощаются ли задачи мероопределения и интегри-рования в случае, когда исходная мера является произведением нескольких другихмер, операции с которыми более просты? Как известно, в силу связи кратного инте-грала Римана с повторным задача нахождения площади плоской фигуры сводитсяк задаче интегрирования некоторой функции по линейной мере (см. §123). Мы по-лучим лебеговский аналог указанного результата.

1. Будем предполагать, что меры ν, λ определены на некоторых σ-алгебрахA1, A2 в множествах E1 и E2 соответственно; пусть далее µ = ν × λ. В дальнейшемL = L(A1×A2, µ) — класс измеримых по Лебегу относительно меры µ множеств изE = E1 × E2. Введем также обозначения для сечений множеств из E; для A ⊂ E:

A(x) = y ∈ E2 : (x, y) ∈ A, A(y) = x ∈ E1 : (x, y) ∈ A.

Нашей целью является доказательство теоремы, связывающей интегрированиепо произведению мер с повторным интегрированием по мерам-сомножителям.

2. Т е о р е м а [Г. Фубини]. Пусть в обозначениях п. 1 функция f : E1×E2 → Rинтегрируема относительно ν × λ. Тогда

∫f d(ν × λ) =

∫ (∫f dλ

)dν =

∫ (∫fdν

)dλ.

В частности, теорема утверждает,что интегралы∫

f dλ и∫

f dν определены как

интегрируемые функции на множествах E1 и E2 соответственно.

3. Л е м м а. Пусть A ∈ L. Тогда существует множество B, представимое

в виде B =∞⋂

n=1Bn, где B1 ⊃ B2 ⊃ . . . — последовательность множеств, каждое

268

из которых в свою очередь представимо в виде Bn =∞⋃

k=1

Bnk, где Bn1 ⊂ Bn2 ⊂. . . , Bnk ∈ A(A1×A2) (в соответствии с принятыми обозначениями A(A1×A2) —алгебра множеств, порожденная полукольцом A1 × A2). При этом

B ⊃ A, µA = µB. (1)

¶ По определению класса L для всякого n ∈ N существует покрытие Xnrr ⊂A1 × A2 множества A такое, что

µ(⋃r

Xnr) < µA +1n

. (2)

Положим Bn =n⋂

k=1

(⋃r

Xkr) =⋃

r1,...,rn

(X1r1

⋂. . .

⋂Xnrn) =

⋃s

Ysn, где Ysn =

X1r1

⋂. . .

⋂Xnrn ∈ A1×A2, а индексом s перенумерованы наборы (r1, . . . , rn). Оста-

лось положить Bnk =k⋃

s=1Ysn. Действительно, по построению B ⊃ A, а значит,

µB ≥ µA. Обратно, в силу (2) µB 6 µ(⋃r

Xnr) < µA +1n

(n ∈ N) ⇒ µB = µA. ¤4. Доказательство теоремы Фубини проведем в два этапа: сначала (п. 5) уста-

новим ее справедливость для характеристических функций f = χA (A ∈ L). Всоответствии с п. 1 рассмотрим две функции λA(·) : E1 → R, νA(·) : E2 → R (напри-мер, λA(x) — λ-мера сечения A(x) (x ∈ E1) множества A); эти функции корректноопределены, разумеется, лишь если A(x) ∈ A2, A(y) ∈ A1.

5. Для всякого A ∈ L функции λA(·), νA(·) корректно определены, причем µA =∫λA(·) dν =

∫νA(·) dλ.

¶ 1-й случай: A = X × Y, X ∈ A1, Y ∈ A2. В этом случае λA(·) = λY · χX (и, вчастности, корректно определена); согласно (2) §213

µA = νX · λY =∫

X

λY dν =∫

λA(·) dν.

2-й случай: A ∈ A(A1 × A2), то есть A =n∑

i=1Ai, Ai ∈ A1 × A2. В этом случае

A(·) =∑i

Ai(·) и, следовательно,

µA =∑

i

µAi =∑

i

∫λAi(·) dν =

∫(∑

i

λAi(·))dν =∫

λA(·) dν.

3-й случай (общий): A ∈ L. Пусть семейства (Bnk)n,k и (Bn) удовлетворяютусловиям п. 3. Поскольку Bn1 ⊂ Bn2 ⊂ . . . ,

λBn1(·) 6 λBn2(·) ≤ . . . , λBnk(·) → λBn(·) (k →∞),

где Bn =∞⋃

k=1

Bnk, B1 ⊃ B2 ⊃ . . ., то есть λB1(·) > λB2(·) > . . . , λBn(·) → λB(·). В

силу 197.13 и теоремы Леви получаем

µB = limn

limk

µBnk = limn

limk

∫λBnk(·) dν = lim

n

∫λBn(·)dν =

∫λB(·) dν.

269

Пусть теперь µA = 0. Тогда µB = 0 и согласно 207.14 λB(·) = 0 п. в. (относительноν). С другой стороны, A(x) ⊂ B(x) (x ∈ E1) и в силу полноты меры λ : A(·) ∈ A2

и λA(·) = 0 п. в. (относительно ν). Поэтому µA = 0 =∫

λA(·) dν. Итак, разобран

случай µA = 0. Если µA 6= 0, представим A в виде A = B\C, где B определеновыше, а µC = 0 (согласно (1)). Доказательство завершает выкладка:

µA = µB − µC =∫

λB(·) dν −∫

λC(·) dν =∫

λ(B(·)\C(·)) dν

=∫

λ((B\C)(·)) dν =∫

λA(·) dν. ¤

6. [Доказательство теоремы Фубини]. Из представления f = f+ − f−, где f± =|f | ± f

2, можно считать, что f > 0. Кроме того, достаточно доказать 1-ое равенство

в п. 2. Если f = χA (A ∈ L), то утверждение доказано в п. 5:∫

χA d(ν × λ) = µA =∫

λA(·)dν =∫ (∫

χA dλ

)dν.

Пусть f =∑j

ξjχAj(ξj > 0) — простая интегрируемая (по мере µ) функция (то есть

∑j

ξjµAj < +∞). Тогда

∫f d(ν × λ) =

∑

j

ξjµAj =∑

j

∫ [∫ξjχAj

dλ]dν =

∑

j

∫ψj dν, (3)

где ψj ≡∫

ξjχAjdλ (> 0) интегрируемы по мере ν, и ряд

∑∫ψj dν сходится. В силу

208.5 ∑

j

∫ψj dν =

∫ [∑

j

∫ξjχAj

dλ]dν. (4)

Функции ξjχAj(x, ·) : E2 → R (x ∈ E1) интегрируемы по мере λ, и ряд из интегралов

сходится. Снова в силу 208.5∫ (∑

j

∫ξjχAj

dλ)dν =

∫ (∫(∑

j

ξjχAj) dλ

)dν =

∫(∫

f dλ) dν. (5)

Сопоставляя (3) – (5), заключаем, что теорема Фубини справедлива для простыхинтегрируемых функций.

Пусть, наконец, f > 0 — произвольная интегрируемая (по мере ν×λ) функция ипоследовательность fn интегрируемых простых функций такая, что fn =⇒ f, f1 6f2 6 . . .. Тогда

∫f d(ν × λ) = lim

n

∫fn d(ν × λ) = lim

n

∫ (∫fn dλ

)dν.

Функции ϕn ≡∫

fn dλ (n ∈ N) удовлетворяют условиям теоремы Леви (см. 208.4).

Следовательно, limn

∫ (∫fn dλ

)dν =

∫ (limn

∫fn dλ

)dν =

∫ (∫f dλ

)dν.

270

§215. Интеграл по σ-конечной мере

1. Пусть µ : A → R+ ∪ +∞ — полная σ-конечная мера на σ-алгебре A вмножестве E. Класс R ≡ A ∈ A : µ(A) < +∞ является тогда σ-кольцом в E (см.193.5). Введем вещественное векторное пространство K конечно-значных простыхфункций, то есть функций вида

f =n∑

j=1

λjχAj(Aj ∈ R, Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j)). (1)

2. Интегралом функции f ∈ K вида (1) по мере µ называется величина∫

f dµ ≡n∑

j=1λjµAj . Интеграл от функции f ∈ K по множеству X ∈ A определяется равен-

ством∫

X

f dµ ≡∫

f · χX dµ (этот последний интеграл корректно определен (!!)).

На классе K справедливы следующие свойства (!!):

3.∫

(αf + βg) dµ = α

∫f dµ + β

∫g dµ (α, β ∈ R),

4. f 6 g п. в. ⇒∫

f dµ 6∫

g dµ,

5.∫|f + g| dµ 6

∫|f | dµ +

∫|g| dµ,

6.∣∣∫

f dµ∣∣ 6

∫|f | dµ.

7. Введем норму на векторном пространстве K : ‖f‖1 ≡∫|f | dµ (эквивалентные

функции отождествляются).Чтобы определить интеграл на классе измеримых функций, нам понадобится

следующая лемма:

8. Пусть последовательность fn ∈ K фундаментальна по норме ‖ · ‖1. Тогда

(а) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀X ∈ R

(µX < δ ⇒ ∣∣

∫

X

fn dµ∣∣ < ε (n ∈ N)

),

(б) νX ≡ limn

∫

X

fn dµ (X ∈ A) — заряд на σ-алгебре A.

¶ Для произвольного ε > 0 : ∃N ∀n,m > N (‖fn − fm‖1 <ε

2). Далее,

∃δ > 0(µX < δ ⇒ ∣∣

∫

X

fn dµ∣∣ <

ε

2(n = 1, . . . , N)

)(!!).

Так что (а) выполняется для n 6 N . Если n > N , то∣∣∫

X

fn dµ∣∣ 6

∣∣∫

X

(fn − fN )dµ∣∣ +

∣∣∫

X

fN dµ∣∣ 6

∫|fn − fN |dµ +

∣∣∫

X

fN dµ∣∣ < ε.

271

(б). Во-первых, νX определено для любого X ∈ A:

∣∣∫

X

fn dµ−∫

X

fm dµ∣∣ 6

∫

X

|fn−fm| dµ 6∫|fn−fm| dµ = ‖fn−fm‖1 → 0 (n,m →∞).

Далее, если X =∞∑

k=1

Xk (X,Xk ∈ A), то

|νX−N∑

k=1

νXk| 6 |νX−∫

X

fn dµ|+∣∣∫

X

fn dµ−N∑

k=1

∫

Xk

fn dµ∣∣+∣∣

∫N∑

k=1Xk

fn dµ−ν(N∑

k=1

Xk)∣∣.

1-е и 3-е слагаемые в правой части можно сделать сколь угодно малыми при большихn. Теперь, для большого, но фиксированного n, можно выбрать N столь большим,

что 2-е слагаемое также будет сколь угодно малым. Итак, νX =∞∑

k=1

νXk. ¤

9. Измеримую функцию f назовем интегрируемой относительно σ-конечноймеры µ, если существует последовательность fn ∈ K, фундаментальная по норме

‖ · ‖1, такая, что fnµ−→ f . При этом

∫f dµ ≡ lim

n

∫fn dµ.

10. В условиях п. 9 интеграл корректно определен, то есть

1) limn

∫fn dµ существует и не зависит от выбора последовательности fn,

2) для конечной меры данное определение согласуется с определением 207.4.

¶ Предел limn

∫fn dµ существует в силу п. 8(б). Пусть gn ∈ K — еще одна

‖ · ‖1-фундаментальная последовательность, gnµ−→ f . Тогда hn ≡ fn − gn

µ−→ 0

и hn ‖ · ‖1-фундаментальна. Нужно лишь установить, что∫

hn dµ → 0. Определим

заряд ζ равенством

ζX ≡ limn

∫

X

hn dµ (X ∈ A).

Зафиксируем X ∈ R; для ε > 0 пусть δ > 0 таково, что µY < δ ⇒ |∫

Y

hn dµ| <

ε (n ∈ N) (см. п. 8(а)). Выберем N столь большим, что при n > N µx : |hn(x)| >ε

µX < δ. Тогда

|∫

X

hn dµ| 6 |∫

XZ

hn dµ|+∫

X\Z

|hn| dµ,

где Z = x : |hn(x)| > ε

µX. Отсюда |

∫

X

hn dµ| 6 ε +∫

X\Z

ε

µXdµ 6 2ε. Таким

образом, ζX = 0 для любого X ∈ R. Если взять представление E =∞∑

n=1Xn (Xn ∈ R),

получим limn

∫hn dµ = ζE =

∞∑n=1

ζXn = 0.

272

2). Пусть µ конечна и f интегрируема в смысле 207.4. Положим

fn =n2∑

m=−n2

m

n· χ

f−1([ m−1n , m+1

n ))(n ∈ N).

Тогда fn ∈ K, fnµ−→ f и fn ‖·‖1-фундаментальна, то есть f интегрируема в смысле

п. 9.Обратно, пусть f интегрируема в смысле п. 9 и fn — ‖ · ‖1-фундаментальна в K

и такая, что fnµ−→ f . Пусть ε > 0 произвольно и ηk > 0 таковы, что

∞∑k=1

ηk < ε.

В силу 206.4 и 205.4 найдется подпоследовательность (fnk) и последовательность

попарно непересекающихся множеств Xk ⊂ E таких, что

|(fnk− f)χXk

| < ηk, µ((k∑

j=1

Xj)c) < ηk (k ∈ N).

Тогда A ≡ ( ∞∑j=1

Xj

)c — множество меры 0 и, заменяя f на эквивалентную функцию

f · χAc , можно считать, что fχA = 0. Полагая g =

∞∑k=1

fnkχXk

, получаем, что g —

простая функция,

supx∈E

|f(x)− g(x)| = supk

supx∈Xk

|fnk(x)− f(x)| 6 sup

kηk < ε.

В силу 208.7 интегрируемость g следует из оценки

∞∑

k=1

∫

Xk

|g| dµ =∞∑

k=1

∫

Xk

|fnk| dµ 6

∞∑

k=1

∫

Xk

|fnk− fn| dµ +

∞∑

k=1

∫

Xk

|f | dµ

6 µE ·∞∑

k=1

ηk +∫|f | dµ < +∞.

11. П р и м е р. Рассмотрим на σ-алгебре P(N) всех подмножеств N “считываю-щую” меру: µX = Card X (число элементов множества X). Тогда µ — σ-конечнаямера, а всякая функция f : N→ R измерима. Покажите, что f : N→ R интегриру-

ема ттогда ряд∞∑

n=1f(n) сходится абсолютно. При этом

∫f dµ =

∞∑n=1

f(n).

12. У п р а ж н е н и е. Восполните пробел в доказательстве п. 10: докажите,что для конечной меры µ совпадают величины интегралов в смысле определенийп. 9 и 207.4.

273

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

§216. Пополнение метрического пространства

1. Метрические пространства (M, d) и (M ′, d′) (см. 92.1) называются изометри-чески изоморфными, если существует биекция j : M → M ′ такая, что d′(j(x), j(y)) =d(x, y) (x, y ∈ M). Указанная биекция j называется изометрией пространства M напространство M ′.

2. Пусть (M,d) — метрическое пространство. Полное метрическое пространство(M, δ) (см. 92.10) называется пополнением (M, d), если M изометрически изоморф-но плотной части пространства M.

3. Т е о р е м а. Каждое метрическое пространство обладает пополнением,которое единственно с точностью до изометрии.¶ Единственность. Пусть (M, δ), (N, ∆) — два пополнения метрического про-странства (M,d), j : M → M, J : M → N — изометрии M на плотные частипространств M и N. Определим отображение f : M → N следующим образом: длякаждой точки ξ ∈ M возьмем какую-нибудь последовательность j(xn), сходящуюсяк ξ, и положим

f(ξ) ≡ limn

J(xn). (1)

Отображение f корректно задано: во-первых, предел в правой части (1) существу-ет, так как J(xn) фундаментальна (действительно, ∆(J(xn), J(xm)) = d(xn, xm) →0 (n,m → ∞)), во-вторых, этот предел не зависит от выбора (xn): если (x′n) —еще одна последовательность такая, что j(x′n) → ξ, то d(xn, x′n) → 0 и поэтому∆(J(xn), J(x′n)) = d(xn, x′n) → 0. Покажем, что f — изометрия. Пусть j(xn) →ξ, j(yn) → η (ξ, η ∈ M — произвольны). Тогда

∆(f(ξ), f(η)) = limn

∆(J(xn), J(yn)) = limn

d(xn, yn) = limn

δ(j(xn), j(yn)) = δ(ξ, η),

то есть f сохраняет расстояние. Отсюда следует, что f — инъекция. Покажем, на-конец, что f — сюръекция. Пусть Ξ ∈ N — произволен и J(xn) → Ξ (xn ∈ M). Тогдаj(xn) — фундаментальна и, следовательно, существует ξ ∈ M такое, что j(xn) → ξ.В силу (1) отсюда следует, что f(ξ) = Ξ.

Существование. Пусть Φ — множество всех фундаментальных последова-тельностей (xn) в пространстве M . Введем в Φ отношение эквивалентности ρ :ρ((xn), (yn)), если d(xn, yn) → 0 (n → ∞). Возьмем в качестве M множество смеж-ных классов (фактор-множество) Φ/ρ. Для любых ξ, η ∈ M положим

δ(ξ, η) ≡ limn

d(xn, yn), где (xn) ∈ ξ, (yn) ∈ η. (2)

Определение δ корректно: во-первых, предел в (2) существует, так как последова-тельность (d(xn, yn)) фундаментальна:

|d(xn, yn)− d(xm, ym)| 6 d(xn, xm) + d(yn, ym) → 0 (n,m →∞);

(мы использовали неравенство: |d(a, b)− d(c, e)| 6 d(a, c) + d(b, e)). Во-вторых, этотпредел не зависит от выбора последовательностей (xn), (yn): если (x′n) ∈ ξ, (y′n) ∈ η

274

— другие фундаментальные последовательности, то

|d(x′n, y′n)− d(xn, yn)| 6 d(xn, x′n) + d(yn, y′n) → 0,

из чего и следует требуемое.Осталось проверить, что (i) δ — метрика в M, (ii) существует изометрия j про-

странства M на плотную часть M, (iii) M — полное метрическое пространство.Проверка (i) тривиальна (!!). Чтобы проверить (ii), положим j(x) ≡ ξ, где ξ ∈ M

такое, что x, x, . . . ∈ ξ. Тогда

δ(j(x), j(y)) = d(x, y) (x, y ∈ M),

причем j(M) плотно в M (для ξ ∈ M выберем (xn) ∈ ξ и заметим, что j(xn) → ξ пометрике δ).

Проверим, наконец, полноту M. Пусть (ξ(n)) — фундаментальная последователь-ность в M и пусть xn ∈ M такие, что δ(ξ(n), j(xn)) < 1/n. Тогда (xn) — фундамен-тальна в M (это следует из оценки:

d(xn, xm) = δ(j(xn), j(xm)) 6 δ(j(xn), ξ(n)) + δ(ξ(n), ξ(m)) + δ(ξ(m), j(xm))

<1n

+1m

+ δ(ξ(n), ξ(m)) → 0 (n,m →∞)).

Поэтому существует ξ ∈ M такое, что (xn) ∈ ξ. При этом ξ(n) → ξ по метрике δ:

δ(ξ, ξ(n)) ≤ δ(ξ, j(xn)) + δ(j(xn), ξ(n)) < limk

d(xk, xn) +1n→ 0 (n →∞). ¤

4. П р и м е р. Пополнение интервала (a, b) ⊂ R можно отождествить с отрезком[a, b].

§217. Свойства полных метрических пространств

1. Т е о р е м а [о вложенных шарах]. В полном метрическом пространствевсякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусыкоторых стремятся к нулю, обладает общей точкой.¶ Дано (см. 92.2): Br1 [x1] ⊃ Br2 [x2] ⊃ . . . ; rn → 0. Требуется доказать, что

∃x ∈∞⋂

k=1

Brk[xk].

Последовательность (xn) — фундаментальна (так как xn+p ∈ Brn [xn], d(xn, xn+p)6 rn → 0). Пусть x = lim xn; x — искомая точка: действительно,

d(x, xn) 6 d(x, xn+p) + d(xn, xn+p) 6 d(x, xn+p) + rn;

переходя к пределу по p, получим d(x, xn) 6 rn, откуда x ∈ Brn [xn] для любогоn ∈ N. ¤

2. Множество S в метрическом пространстве называется нигде не плотным (ср.95.5), если S− = ∅ (то есть S− не имеет внутренних точек).

3. П р и м е р ы: 1,12,

13, . . . нигде не плотно в R; Q не нигде не плотно в R

(оно плотно в R).

275

4. Т е о р е м а [Р. Бэр]. Полное метрическое пространство не является объ-единением счетного числа нигде не плотных множеств.

¶ Пусть, напротив, полное метрическое пространство M =∞⋃

n=1An, A−n = ∅

(n ∈ N). Построим последовательность шаров Br1 [x1] ⊃ Br2 [x2] ⊃ . . . со свойствами:rn → 0, Brn [xn] ∩ An = ∅ (n ∈ N). Тогда точка x, принадлежащая всем этим ша-

рам (существующая по теореме о вложенных шарах), не принадлежит∞⋃

n=1An, что

противоречит предположению.Построение проведем по индукции. Так как A−1 = ∅, существует x1 ∈ A−c

1

(иначе A−1 = M и A−1 = M 6= ∅). Так как A−c1 открыто и метрическое пространство

регулярно (см. 104.3), найдется r1 (0 < r1 < 1) такое, что Br1 [x1] ⊂ A−c1 . При этом

Br1 [x1] ∩A1 = ∅. Пусть уже построены шары

Br1 [x1] ⊃ . . . ⊃ Brk[xk], 0 < rn <

1n

, Brn [xn] ∩An = ∅ (1 6 n 6 k).

Для построения (k + 1)-го шара заметим, что Brk(xk) 6⊂ A−k+1 (иначе ∅ 6= Brk

(xk) ⊂A−k+1 = ∅). Поэтому найдется xk+1 ∈ Brk

(xk) ∩A−ck+1; при этом множество в правой

части открыто. В силу регулярности метрического пространства найдется rk+1 (0 <

rk+1 <1

k + 1) такое, что Brk+1

[xk+1] ⊂ Brk(xk)∩A−c

k+1. При этом Brk+1[xk+1]∩Ak+1 =

∅. Построение завершено. ¤5. У п р а ж н е н и е. В множестве N натуральных чисел положим

d(x, y) =

0, если x = y,1 + (x + y)−1, если x 6= y

а) Доказать, что d — метрика;б) (N, d) — полное метрическое пространство.в) построить в N последовательность непустых замкнутых вложенных шаров,

радиусы которых не стремятся к нулю, и не существует точки, принадлежащейвсем шарам одновременно (ср. с формулировкой теоремы о вложенных шарах).

§218. Принцип сжимающих отображений

1. Отображение f : M → M метрического пространства M в себя называетсясжимающим (или сжатием ), если

∃α < 1 ∀x, y ∈ M (d(f(x), f(y)) 6 αd(x, y)).

Очевидно, сжимающее отображение непрерывно:

xn → x ⇒ d(f(xn), f(x)) 6 αd(xn, x) → 0.

2. Если M — полное метрическое пространство и f : M → M — сжимающееотображение, то уравнение

f(x) = x (1)

имеет единственное решение.

276

¶Существование. Для произвольного x0 ∈ M положим x1 = f(x0), x2 = f(x1), . . .Тогда последовательность (xn) фундаментальна:

d(xn+p, xn) 6 αd(xn+p−1, xn−1) 6 . . . 6 αnd(xp, x0)

6 αn[d(x0, x1) + αd(x0, x1) + . . . + αp−1d(x0, x1)]

6 αn

1− αd(x0, x1) → 0 (n →∞). (2)

Положим x = limn

xn. Из непрерывности f имеем: f(x) = limn

f(xn) = limn

xn+1 = x.Единственность. Пусть y — еще один элемент такой, что f(y) = y. Тогда

d(x, y) = d(f(x), f(y)) 6 αd(x, y) ⇒ d(x, y) = 0 ⇒ x = y. ¤

3. З а м е ч а н и е. Часто бывает необходимо оценить погрешность, с которойаппроксимирующая решение последовательность приближается к решению x урав-нения (1). Для этого можно, например, перейти к пределу по p в оценке (2). Имеем

тогда d(xn, x) 6 αn

1− αd(x0, x1).

4. [Обобщенный принцип]. Пусть f : M → M — отображение полного метри-ческого пространства M в себя, причем g = f [n] ≡ f . . . f (n-ая суперпозиция)— сжатие. Тогда уравнение (1) имеет единственное решение.¶ Пусть x — (необходимо единственное) решение уравнения g(x) = x. Тогда f(x) —также решение этого уравнения. Следовательно, f(x) = x. Это решение единствен-но:

y = f(y) ⇒ y = f [2](y) ⇒ . . . ⇒ y = f [n](y) = g(y) ⇒ y = x. ¤Принцип сжимающих отображений имеет многочисленные применения в раз-

личных задачах анализа, дифференциальных и интегральных уравнений. Приведемдве иллюстрации.

5. [Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода]. Рассмотрим интегральноеуравнение в пространстве C[a, b] с метрикой, определяемой нормой: ‖f‖ = max

t∈[a,b]|f(t)|:

f(t) =∫ b

aK(t, s)f(s)ds + ϕ(t), (3)

где функции ϕ(t),K(t, s) непрерывны (в частности, K ограничена: |K(t, s)| 6 M ,(t, s ∈ [a, b])). Рассмотрим отображение

(Af)(t) ≡∫ b

aK(t, s)f(s) ds + ϕ(t).

Тогда d(Af, Ag) = maxt∈[a,b]

|(Af)(t) − (Ag)(t)| 6 M(b − a)d(f, g). Следовательно, при

M(b−a) < 1 уравнение (3) имеет единственное решение. Отметим, что соответству-ющая последовательность приближений имеет вид (при f0 = 0):

f1(t) ≡ (Af0)(t) = ϕ(t);

f2(t) ≡ (Af1)(t) =∫ b

aK(t, s)ϕ(s)ds + ϕ(t);

277

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fn(t) ≡ (Afn−1)(t) =∫ b

aK(t, s)fn−1(s)ds + ϕ(t);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. [Интегральное уравнение Вольтерра]. Снова в C[a, b] рассмотрим уравнение(в прежних предположениях)

f(t) =∫ t

aK(t, s)f(s)ds + ϕ(t) (≡ (Af)(t)). (4)

Последовательно имеем оценки:

|(Af)(t)− (Ag)(t)| 6 M(t− a)‖f − g‖,|(A[2]f)(t)− (A[2]g)(t)| 6 1

2M2(t− a)2‖f − g‖, . . . ,

|(A[n]f)(t)− (A[n]g)(t)| 6 1n!

Mn(t− a)n‖f − g‖ 6 1n!

Mn(b− a)n‖f − g‖.

Поскольку1n!

Mn(b − a)n < 1 для достаточно больших n, A[n] — сжатие, и в силуп. 4 уравнение (4) имеет единственное решение.

§219. Компактные множества в метрическом пространстве

1. Пусть M — метрическое пространство; множество X ⊂ M называется пред-компактным, если X− компактно. В метрическом пространстве с понятием ком-пактности тесно связано понятие полной ограниченности.

2. Пусть M — метрическое пространство и X ⊂ M ; множество A ⊂ M называ-ется ε-сетью для X (ε > 0), если ∀x ∈ X ∃a ∈ A (d(a, x) 6 ε). Отметим, что еслиA — ε-сеть для X, то X ⊂ ⋃

a∈A

Bε[a].

3. Множество в метрическом пространстве называется ограниченным, если оносодержится в некотором шаре; множество называется вполне ограниченным, еслидля него при любом ε > 0 существует конечная ε-сеть.

4. Вполне ограниченное множество ограничено.

5. Если множество вполне ограничено, то вполне ограничено его замыкание.

6. Если метрическое пространство вполне ограничено, то оно сепарабельно.¶Докажем, например, п. 4. Пусть X ⊂ M вполне ограничено и x1, . . . xn — некоторая1-сеть для X, a ∈ M — произвольно и C = max

16k6nd(xk, a). Тогда X ⊂ B1+C [a]:

x ∈ X ⇒ ∃k (d(x, xk) 6 1) ⇒ d(x, a) 6 d(x, xk) + d(xk, a) 6 1 + C. ¤

7. Метрическое пространство M компактно ттогда оно полно и вполне огра-ничено.¶ Необходимость. Пусть ε > 0 произвольно; Bε(x)x∈M — открытое покрытиеM . Следовательно, оно обладает конечным покрытием Bε(x1), . . . , Bε(xk). Тогда

278

A = x1, . . . , xk — искомая ε-сеть (!!). Пусть, напротив, M не полно. Тогда суще-ствует фундаментальная последовательность (xn) ⊂ M , которая не сходится, тоесть ∀a ∈ M ∃εa > 0 ∃n1 < n2 < . . . ∀k (d(a, xnk

) > 2εa). Отсюда

∀a ∈ M ∃εa > 0 ∃Na ∀n > Na (d(a, xn) > εa). (∗)(Если, напротив, ∀Na ∃n > Na (d(a, xn) < εa), то

2εa 6 d(a, xnk) 6 d(a, xn) + d(xn, xnk

) ⇒ εa < d(xn, xnk)

в противоречие с фундаментальностью (xn).) Из открытого покрытия Bεa(a)a∈M

пространства M выделим конечное покрытие Bε1(a1), . . . , Bεk(ak)). Из (∗) при N >

maxsNas следует, что последовательность (xn)n>N лежит вне

k⋃s=1

Bεs(as), — проти-воречие.

Достаточность. Пусть M полно, вполне ограничено, но не компактно. Пусть(Uα) — открытое покрытие M , не содержащее конечного покрытия. Рассмотрим1-сеть x1

1, . . . , x1n1 ⊂ M . Хотя бы один шар B1[x1

j ] (например, B1[x11]) не покрыва-

ется конечным числом элементов покрытия Uα. Шар B1[x11] — также вполне ограни-

ченное метрическое пространство. Рассмотрим 12 -сеть x2

1, . . . , x2n2 ⊂ B1[x1

1]. Тогдахотя бы один шар B 1

2[x2

j ] (например, B 12[x2

1]) не покрывается конечным числом Uα.

Аналогично для любого k ∈ N существует 2−k+1-сеть xk1, . . . , x

knk ⊂ B2−k+2 [xk−1

1 ]такая, что B2−k+1 [xk

1] не покрывается конечным числом Uα. Последовательность (xk1)

фундаментальна (!!) и, следовательно, существует x0 = limk

xk1. Пусть α0 таково, что

x0 ∈ Uα0 . Тогда ∃ε > 0 (Bε[x0] ⊂ Uα0). Но B2−k+1 [xk1] ⊂ Bε[x0] при достаточно

больших k, что противоречит конструкции (xk1). ¤

8. Пусть M — полное метрическое пространство; X(⊂ M) предкомпактноттогда X вполне ограничено.¶ Пусть X предкомпактно. Тогда X− компактно, и в силу п. 7 X вполне ограничено.Обратно, если X вполне ограничено, то X− вполне ограничено и полно (будучизамкнутым)⇒ (п. 7) X− компактно. ¤

Рассмотрим важный пример: пространство C[a, b].9. Семейство Φ (⊂ C[a, b]) называется равностепенно непрерывным, если

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀ϕ ∈ Φ ∀x, y ∈ [a, b] (|x− y| < δ ⇒ |ϕ(x)− ϕ(y)| < ε).

10. [Критерий компактности в пространстве C[a, b]]. Множество Φ(⊂ C[a, b])предкомпактно ттогда Φ ограничено и равностепенно непрерывно.¶ Необходимость. В силу п. 8 Φ вполне ограничено, а значит, ограничено. Пусть

ε > 0. Рассмотримε

3-сеть ϕ1, . . . , ϕs для Φ. Каждая функция ϕj равномерно непре-

рывна, то есть

∀j ∃ δj > 0 ∀x, y ∈ [a, b] (|x− y| < δj ⇒ |ϕj(x)− ϕj(y)| < ε

3).

Положим δ = min δj (> 0). Тогда

∀ϕ ∈ Φ ∃ϕj (‖ϕ− ϕj‖ 6 ε

3) ⇒ ∀x, y ∈ [a, b], |x− y| < δ ⇒ |ϕ(x)− ϕ(y)| 6

279

6 |ϕ(x)− ϕj(x)|+ |ϕj(x)− ϕj(y)|+ |ϕj(y)− ϕ(y)|6 ‖ϕ− ϕj‖+ |ϕj(x)− ϕ(y)|+ ‖ϕ− ϕj‖ 6 ε.

Необходимость установлена (см. подчеркнутый текст).Достаточность. Пусть Φ ограничено и равностепенно непрерывно. Требуется

доказать (см. п. 8), что для любого ε > 0 существует конечная ε-сеть. Пусть ∆(a =x0 < x1 < . . . < xn = b) — разложение отрезка [a, b], d(∆) < δ. В обозначенияхп. 9 (с заменой ε на

ε

5) тогда |ϕ(xj) − ϕ(xj−1)| <

ε

5(ϕ ∈ Φ, 1 6 j 6 n). Пусть

K > 0 таково, что ‖ϕ‖ 6 K (ϕ ∈ Φ). Рассмотрим разложение ∆(−K = y0 < y1 <

. . . < ym = K) отрезка [−K, K] диаметра <ε

5. Каждой ϕ ∈ Φ сопоставим полигон

ψ с узлами в (xk, yj), где для данного k номер j определяется, например, условиемyj 6 ϕ(xk) < yj+1. Тогда

|ϕ(xk)− ψ(xk)| < ε

5(k = 1, . . . , n),

|ψ(xk)− ψ(xk+1)| < |ψ(xk)− ϕ(xk)|+ |ϕ(xk)− ϕ(xk+1)|+ |ϕ(xk+1)− ψ(xk+1)| < 3ε

5.

Для произвольного x ∈ [a, b] (xk — ближайший узел к x слева):

|ϕ(x)− ψ(x)| 6 |ϕ(x)− ϕ(xk)|+ |ϕ(xk)− ψ(xk)|+ |ψ(xk)− ψ(x)|6 2ε

5+ |ψ(xk)− ψ(xk+1)| < ε.

Наконец, число полигонов описанного вида, очевидно, конечно. ¤11. У п р а ж н е н и е. Показать, что множество

Φ = ϕ ∈ C[0, 1] : 0 6 ϕ(x) 6 1 (0 6 x 6 1)

не равностепенно непрерывно в C[0, 1].

280

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ЛИНЕЙНОГОАНАЛИЗА

Мы переходим к систематическому изучению непрерывных линейных отображе-ний в нормированных пространствах. В основе этой теории лежат три фундамен-тальных результата, постоянно используемые в линейном функциональном анализеи его применениях: теорема Хана-Банаха (принцип продолжения линейных функ-ционалов), теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности) итеорема Банаха (принцип открытости отображения).

§220. Конечномерные нормированные пространства

1. Пусть ‖ · ‖1 и ‖ · ‖2 — две нормы в конечномерном векторном пространствеE. Тогда существуют константы m,M > 0 такие, что

m‖f‖1 6 ‖f‖2 6 M‖f‖1 (f ∈ E). (∗)¶ Пусть e1, . . . , en — базис в векторном пространстве E, ‖ · ‖e — евклидова норма,а ‖ · ‖ — произвольная норма в E. Покажем, что существуют константы d, D > 0такие, что

d‖ · ‖e 6 ‖ · ‖ 6 D‖ · ‖e

(отсюда, очевидно, следует (∗)). Для произвольного вектора f = f1e1 + . . . + fnen

имеем‖f‖ 6

∑

i

|f i|‖ei‖ 6 [∑

i

‖ei‖2]1/2[∑

i

|f i|]1/2 = D‖f‖e,

где D = [∑i‖ei‖2]1/2.

Пусть S(⊂ E) — единичная сфера в евклидовой норме, то есть S = f ∈ E :‖f‖e = 1 и ϕ(f) ≡ ‖f‖ (f ∈ S). Функция ϕ : S → R — непрерывная функция,заданная на компактном множестве в евклидовом пространстве (E, ‖ · ‖e) (непре-рывность ее следует из оценки:

|ϕ(f)− ϕ(g)| = | ‖f‖ − ‖g‖ | ≤ ‖f − g‖ 6 D‖f − g‖e).

Следовательно, существует f0 ∈ S, что ϕ(f0) = minf∈S

ϕ(f) (> 0). Положим d = ϕ(f0).

Тогда f 6= θ влечет d‖f‖e = ϕ(f0)‖f‖e 6 ϕ( f

‖f‖e

)‖f‖e = ‖f‖. ¤2. С л е д с т в и е. Всякое конечномерное нормированное пространство полно.

3. С л е д с т в и е. Все нормы в конечномерном пространстве определяют однуи ту же топологию.

4. З а м е ч а н и е. В бесконечномерных пространствах это уже не так (см.,например, 149.6).

5. Пусть E — нормированное пространство, X — его замкнутое подпространство,f ∈ E\X; элемент f0 ∈ X называется элементом наилучшего приближения к f(относительно X), если

‖f − f0‖ = infg∈X

‖f − g‖ (= infg∈X

‖f + g‖).

281

6. Если X — конечномерное подпространство E, то элемент наилучшего при-ближения относительно X всегда существует.¶ Пусть dimX = n и α = inf

g∈X‖f − g‖. Пусть последовательность (gk) ⊂ X тако-

ва, что ‖f − gk‖ → α (k → +∞); (gk) ограничена по норме ‖ · ‖, так как ‖gk‖ 6‖gk−f‖+‖f‖ (k = 1, 2, . . .). В силу 65.4 и п. 3 (gk) обладает сходящейся подпоследо-вательностью: gnk

→ f0. Элемент f0 ∈ X. При этом ‖f − f0‖ = limk‖f − gnk

‖ = α. ¤У п р а ж н е н и я. 7. Введем в Cn семейство норм

‖f‖p ≡ [n∑

k=1

|fk|p]1/p (1 6 p < +∞),

‖f‖∞ ≡ max16k6n

|fk| (f = (f1, . . . , fn) ∈ Cn).

Найдите константы mp,Mp (1 6 p 6 ∞), удовлетворяющие неравенствам mp‖ · ‖p 6‖ · ‖∞ 6 Mp‖ · ‖p.

8. В пространстве (C2, ‖ · ‖1) (упр. 7) найдите все элементы наилучшего прибли-жения к вектору f = (1, 0) относительно подпространства X = (u, v) : u = v.

§221. Шкала пространств Lp(µ) (1 6 p 6 ∞)

Пусть (E,A, µ) — пространство с полной σ-конечной мерой, M = M(E,A, µ) —векторное пространство всех измеримых функций f : E → C (или R), факторизо-ванное по отношению эквивалентности ∼ (f ∼ g, если f(x) = g(x) п. в.). Допускаявольность, элементы пространства M мы называем функциями.

1. Введем следующие классы функций и числовые функции на этих классах:

Lp(µ) ≡ f ∈ M :∫|f |p dµ < +∞,

‖f‖p ≡[∫ |f |p dµ

]1/p (f ∈ Lp(µ)), 1 6 p < +∞;

L∞(µ) ≡ f ∈ M : ∃k > 0 (|f(x)| 6 k п.в.),‖f‖∞ ≡ infk : |f(x)| 6 k п.в. (f ∈ L∞(µ)).

Начнем анализ с класса L∞(µ). Прежде всего, L∞(µ) — векторное пространствонад полем C (!!). Далее,

2. |f(x)| 6 ‖f‖∞ п. в. на E.

3. Функция ‖f‖∞ — норма на L∞(µ).¶ Из п. 2 следует немедленно, что ‖f‖∞ = 0 ⇒ f(x) = 0 п. в., а значит, f = θ. Сновас учетом п. 2 имеем для f, g ∈ L∞(µ):

|f(x) + g(x)| 6 |f(x)|+ |g(x)| 6 ‖f‖∞ + ‖g‖∞ п. в.,

откуда ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞. ¤4. Пространство L∞(µ) с нормой ‖f‖∞ является банаховым пространством.

¶ Пусть (fn) фундаментальна в L∞(µ). Тогда из оценки (см. п. 2)

|fn+p(x)− fn(x)| 6 ‖fn+p − fn‖∞ п. в.

282

следует, что п. в. существует f(x) ≡ limn

fn(x). Из фундаментальности (fn) следует,что для некоторого C > 0 справедлива оценка ‖fn‖∞ 6 C (n ∈ N). Поэтому |fn(x)| 6C п. в. и, следовательно, |f(x)| 6 C п. в., откуда f ∈ L∞(µ). Пусть ε > 0 произвольнои N таково, что n > N ⇒ ‖fn+p − fn‖∞ < ε (p ∈ N). Тогда |fn+p(x) − fn(x)| 6 εп. в. (n > N), а значит, (переходя к пределу по p) |f(x)− fn(x)| 6 ε п. в. (n > N).Поэтому ‖fn − f‖∞ 6 ε (n > N). Итак, ‖fn − f‖∞ → 0 (n →∞). ¤

Рассмотрим класс L1(µ), находящийся на противоположном конце шкалы. Изсвойств интеграла Лебега следует, что L1(µ) — векторное пространство и ‖f‖1 ≡∫|f | dµ — норма на L1(µ). При доказательстве следующих ниже утверждений пред-

полагаем (ради технической простоты), что µ — конечная мера.

5. L1(µ) — банахово пространство.

¶ Воспользуемся 148.4. Пусть ряд∞∑

n=1fn сходится абсолютно в L1(µ), т. е.

∞∑n=1

∫|fn| dµ

< +∞. По следствию к теореме Леви 208.5 ряд∞∑

n=1|fn| сходится п. в. к некоторой

интегрируемой функции ϕ(> 0). Отсюда п. в. сходится ряд∞∑

n=1fn. Пусть f — его

сумма. Поскольку |k∑

n=1fn| 6 ϕ п. в. (k ∈ N), получаем, что |f | 6 ϕ п. в. и поэтому

f ∈ L1(µ). Наконец, ряд∞∑

n=1fn сходится в L1(µ) (к f):

∫|f −

k∑

n=1

fn| dµ =∫|

∞∑

n=k+1

fn| dµ 6∞∑

n=k+1

∫|fn| dµ → 0 (k → +∞). ¤

6. З а м е ч а н и е. Если последовательность (fn) сходится к f по норме про-странства L1(µ), то существует подпоследовательность (fnk

), сходящаяся к f п. в.¶ Пусть ‖fn− f‖1 → 0 (n →∞), ε > 0 и Xn(ε) ≡ x ∈ E : |fn(x)− f(x)| > ε. Тогдаиз оценки µXn(ε) =

∫

Xn(ε)

dµ 6 1ε

∫

Xn(ε)

|fn− f | dµ 6 1ε‖fn− f‖1 следует, что fn

µ−→ f .

Из 206.4 теперь следует требуемое. ¤7. [Интегральные неравенства Гельдера и Минковского].

(а) Пусть f ∈ Lp(µ), g ∈ Lq(µ), причем1p

+1q

= 1. Тогда fg ∈ L1(µ) и ‖fg‖1 6‖f‖p · ‖g‖q.

(б) Пусть f, g ∈ Lp(µ). Тогда f + g ∈ Lp(µ), причем ‖f + g‖p 6 ‖f‖p + ‖g‖p.

¶ (а). Пусть f =∑

ξiχXi∈ Lp(µ), g =

∑ηiχXi

∈ Lq(µ) — простые функции,1p

+1q

=

1 (измеримое разложение E =∑

Xi можно считать, очевидно, общим для обеихфункций). Тогда fg =

∑ξiηiχXi

и, используя неравенство Гельдера для рядов (см.41.3), имеем∑

|ξiηi|µXi =∑

[|ξi|µX1/pi · |ηi|µX

1/qi ] 6 [

∑|ξi|pµXi]1/p · [

∑|ηi|qµXi]1/q < +∞.

283

Таким образом, fg ∈ L1(µ) и (a) справедливо. В общем случае рассмотрим после-довательности простых функций fn → f ∈ Lp(µ), gn → g ∈ Lq(µ) п. в., |fn| 6|f |, |gn| 6 |g|. Тогда fngn → fg п. в. и из оценки∫

|fngn| dµ 6[∫ |fn|p dµ

]1/p · [∫|gn|q dµ

]1/q 6[∫ |f |p dµ

]1/p[∫ |g|q dµ]1/q

= ‖f‖p · ‖g‖q

следует, что fngn ∈ L1(µ). В силу теоремы Фату 208.6 |fg| ∈ L1(µ) и справедливонеравенство (а).

(б). Для фиксированного x ∈ E справедливы неравенства

|f(x) + g(x)|p 6 [2max|f(x)|, |g(x)|]p 6 2p|f(x)|p + |g(x)|p,из которых следует, что f + g ∈ Lp(µ) для f, g ∈ Lp(µ). Поскольку (p− 1)q = p для

q такого, что1p

+1q

= 1, функция |f + g|p−1 принадлежит классу Lq(µ). Используя

(а), имеем

‖f + g‖pp =

∫|f + g|p dµ =

∫|f + g| |f + g|p−1 dµ

6∫|f | |f + g|p−1 dµ +

∫|g| |f + g|p−1 dµ

6 [∫|f |p dµ]1/p[

∫|f + g|(p−1)qdµ]1/q + [

∫|g|p dµ]1/p[

∫|f + g|(p−1)qdµ]1/q

= ‖f‖p‖f + g‖p/qp + ‖g‖p‖f + g‖p/q

p .

Деля обе части полученного неравенства на ‖f + g‖p/qp , получаем искомое неравен-

ство: ‖f + g‖p 6 ‖f‖p + ‖g‖p. ¤8. Нормированное пространство Lp(µ) полно .

¶Пусть (fn) —фундаментальная последовательность в Lp(µ). Из неравенства Гельдера

‖fn − fm‖1 =∫|fn − fm| dµ 6 [

∫|fn − fm|pdµ]1/p[

∫1dµ]1/q

= ‖fn − fm‖p (µE)1/q → 0 (n,m →∞).

Таким образом, (fn) фундаментальна в L1(µ) и, следовательно, обладает пределомf в L1(µ). В соответствии с замечанием 6 существует подпоследовательность (fnk

)такая, что fnk

→ f п. в. Покажем, что fn → f по норме Lp(µ). Для ε > 0 существуетN такое, что n, nk > N ⇒ ∫ |fn − fnk

|p dµ < ε. Переходя здесь к пределу по k иприменяя теорему Фату 208.6, получаем |fn − f |p ∈ L1(µ), откуда |fn − f | ∈ Lp(µ),и значит, f ∈ Lp(µ), ‖fn − f‖p → 0 (n →∞). ¤

9. З а м е ч а н и е. Для конечной меры µ справедливо включение Lp(µ) ⊂ Lq(µ)при 1 6 q < p 6 ∞.

У п р а ж н е н и я. 10. Введем классы скалярных последовательностей f ≡ (fn)и числовых функций на них:

`p ≡ f = (fn) :∞∑

n=1

|fn|p < +∞, ‖f‖p ≡ [∞∑

n=1

|fn|p]1/p (f ∈ `p), 1 6 p < +∞,

`∞ ≡ f = (fn) : supn|fn| < +∞, ‖f‖∞ ≡ sup

n|fn| (f ∈ `∞).

284

Покажите, что эти классы являются векторными пространствами, а указанныефункции — нормами. Докажите полноту пространств `p (1 6 p 6 +∞) а) не ссыла-ясь на результаты пп. 4 и 8, б) опираясь на результаты пп. 4 и 8.

11. Покажите, что пространство C00(R) непрерывных функций с компактныминосителями плотно в пространстве L1(R) функций, интегрируемых по линейной ме-ре Лебега. Указания. Заметить, что C00(R) плотно (по норме ‖ · ‖1) в множествехарактеристических функций множеств в R, представимых в виде конечных объ-единений попарно непересекающихся собственных промежутков 〈ai, bi〉), и отсюда— в множестве характеристических функций ограниченных измеримых по Лебегумножеств в R. Затем вывести, что C00(R) плотно в множестве характеристическихфункций измеримых по Лебегу множеств конечной меры и, следовательно, в мно-жестве конечно-значных простых функций в R. Остается воспользоваться 215.9.

12. Покажите, что C00(R) плотно в пространстве L2(R).13. Докажите полноту L2(µ) для σ-конечной меры µ.

§222. Операции над банаховыми пространствами

1. [Прямая сумма банаховых пространств]. Пусть (E1, ‖ · ‖1), (E2, ‖ · ‖2) — ба-наховы пространства. Через f, g (f ∈ E1, g ∈ E2) обозначим элементы декартовапроизведения E1 ×E2. Определим в E1 ×E2 векторные операции равенствами:

f1, g1+ f2, g2 ≡ f1 + f2, g1 + g2,λf, g ≡ λf, λg (f, g ∈ E1 × E2).

Определим далее на векторном пространстве E1 × E2 норму

‖f, g‖ ≡ ‖f‖1 + ‖g‖2 (f, g ∈ E1 × E2). (∗)2. Пространство E1 × E2 является полным относительно нормы (∗).

¶ Пусть (fn, gn) — фундаментальная последовательность в E1 ×E2. Из равенств

‖fm, gm − fn, gn‖ = ‖fm − fn, gm − gn‖= ‖fm − fn‖1 + ‖gm − gn‖2 → 0 (m,n →∞)

следует, что последовательности (fn), (gn) являются фундаментальными в E1 и E2

соответственно, а значит, они сходятся: fn → f, gn → g. Но тогда fn, gn → f, gв E1 ×E2. ¤

3. [Фактор-пространство]. Пусть L — замкнутый линеал в банаховом простран-стве E (L — банахово пространство в индуцированной топологии). Введем в E от-ношение эквивалентности: f ∼ g, если f − g ∈ L. Элементы фактор-множества E/L— смежные классы; если f ∈ E, то смежный класс, куда входит f , обозначим че-рез [f ]. Очевидно, [f ] = f + g : g ∈ L ≡ f + L. E/L — векторное пространствоотносительно векторных операций

[f ] + [g] ≡ [f + g], λ[f ] ≡ [λf ] (f ∈ E, λ ∈ Λ).

Нулевой элемент — это [θ] = L. Функция

‖[f ]‖∼ ≡ infg∈L

‖f + g‖

285

— норма на векторном пространстве E/L (!!).

4. (E/L, ‖ · ‖∼) — банахово пространство.¶ Нужно лишь установить полноту E/L. Воспользуемся критерием 148.4. Пусть∑ ‖[fn]‖∼ < +∞ и gn ∈ L таковы, что ‖fn + gn‖ 6 2‖[fn]‖∼. Тогда ряд

∑(fn + gn)

сходится абсолютно в E и, так как E — банахово пространство, этот ряд сходится.Пусть g =

∑(fn + gn). Покажем, что [g] =

∑[fn]. Действительно,

‖[g]−k∑

n=1

[fn]‖∼ 6 ‖g −k∑

n=1

(fn + gn)‖ → 0 (k →∞). ¤

§223. Линейные операторы в нормированном пространстве

1. Пусть E, F — нормированные пространства над полем Λ (= C или R); ли-нейный оператор A : E → F (см. 71.1) называется ограниченным, если ∃C > 0∀f ∈ E (‖Af‖ 6 C‖f‖). Через L(E, F ) обозначим множество всех ограниченныхлинейных операторов из нормированного пространства E в нормированное про-странство F . Величина

‖A‖ ≡ infC > 0 : ‖Af‖ 6 C‖f‖ (f ∈ E) (∗)

называется нормой ограниченного линейного оператора A.

2. З а м е ч а н и е. Если A ∈ L(E, F ), то ‖Af‖ 6 ‖A‖ ‖f‖ (f ∈ E).

3. Пусть A : E → F — линейный оператор. Следующие условия эквивалентны:

(i) A ограничен,(ii) A непрерывен,(iii) A непрерывен в точке θ.

¶ (i)⇒ (ii). fn → f (fn, f ∈ E) ⇒ ‖Afn−Af‖ = ‖A(fn− f)‖ ≤ ‖A‖ ‖fn− f‖ → 0 ⇒Afn → Af .(ii) ⇒ (iii) с очевидностью.(iii) ⇒ (i). Из условия (iii) следует, что существует δ > 0 такое, что ‖f‖ < δ ⇒‖Af‖ < 1. Полагая C = 2/δ, имеем (при f 6= θ):

‖Af‖ =2δ‖f‖ · ‖A(

δ

2· f

‖f‖)‖ < C‖f‖. ¤

4. Для A ∈ L(E, F ) : ‖A‖ = sup‖f‖61

‖Af‖ = sup‖f‖=1

‖Af‖.

¶ Обозначим M = sup‖f‖61

‖Af‖; имеем: ‖Af‖ 6 C‖f‖ (f ∈ E) ⇒ ‖Af‖ 6 C (‖f‖ 6

1) ⇒ M 6 ‖A‖; ‖Af‖ = ‖A(f/‖f‖)‖ ‖f‖ 6 M‖f‖ ⇒ ‖A‖ 6 M. ¤5. Пусть E, F, G — нормированные пространства и A ∈ L(E, F ), B ∈ L(F, G).

Тогда B A ∈ L(E, G). При этом ‖B A‖ 6 ‖B‖ ‖A‖.¶ ‖B A‖ = sup

‖f‖61‖B(Af)‖ 6 ‖B‖ · sup

‖f‖61‖Af‖ = ‖B‖ ‖A‖. ¤

286

6. Класс L(E, F ) всех ограниченных линейных отображений из нормированногопространства E в нормированное пространство F с естественными векторнымиоперациями и нормой (∗) — нормированное пространство. Более того, если F —полное пространство, то L(E,F ) — также полно.¶ Функция (∗) на самом деле является нормой:

‖A + B‖ = sup‖f‖61

‖(A + B)f‖ 6 sup‖f‖61

[‖Af‖+ ‖Bf‖] 6 sup‖f‖61

‖Af‖+ sup‖f‖61

‖Bf‖

= ‖A‖+ ‖B‖.Пусть ‖An − Am‖ → 0 (n,m → ∞). Тогда для любого f ∈ E последовательность(Anf) фундаментальна в F :

‖Anf −Amf‖ = ‖(An −Am)f‖ 6 ‖An −Am‖ ‖f‖ → 0 (n,m →∞).

Если F — полно, то существует предел Af ≡ lim Anf (f ∈ E). Таким образомопределенное отображение A, очевидно, является линейным отображением из E вF . Кроме того, A ограничено. Действительно, пусть C > 0 таково, что ‖An‖ 6C (n ∈ N). Тогда

‖Af‖ = limn‖Anf‖ 6 sup

n‖Anf‖ 6 sup

n‖An‖ ‖f‖ 6 C‖f‖.

Итак, A ∈ L(E, F ). Наконец, An → A по норме: пусть ε > 0 произвольно и N таково,что ‖An −Am‖ < ε (n,m > N). Тогда

‖Anf −Af‖ = limm‖Anf −Amf‖ 6 ε‖f‖ (n > N),

то есть ∀n > N (‖An −A‖ < ε) ⇒ ‖An −A‖ → 0 (n →∞). ¤Рассмотрим некоторые специальные виды линейных отображений, с которыми

нам придется иметь дело.7. Пусть E, F — нормированные пространства и A : E → F — линейный опера-

тор. Он называется изометрией, если ‖Af‖ = ‖f‖ (f ∈ E). Очевидно, A ∈ L(E, F )и ‖A‖ = 1. Изометрия, являющаяся сюръекцией (на F ), называется изометри-ческим изоморфизмом. Если существует изометрический изоморфизм A : E → F ,нормированные пространства E и F называются изометрически изоморфными (обо-значается: E ' F ). Два изометрически изоморфные нормированные пространстваэто (с точки зрения алгебраической и метрической структур) по существу одно ито же пространство.

8. Оператор A ∈ L(E,F ) называется обратимым, если A — сюръекция и суще-ствует обратный оператор A−1 ∈ L(F, E).

9. Пусть E,F — нормированные пространства. Линейная ограниченная инъек-ция j : E → F называется вложением пространства E в пространство F .

У п р а ж н е н и я. 10. Пусть E, F — нормированные пространства и E —конечномерно. Тогда любое линейное отображение A : E → F непрерывно.

11. Пусть E — нормированное пространство C[0, 1], с нормой ‖f‖1 ≡∫ 1

0|f(t)| dt,

а F = C[0, 1] с нормой ‖f‖ ≡ max06t61

|f(t)|. Тогда отображение j : F → E, заданное

287

равенством j(f) ≡ f (f ∈ F ), — вложение, а отображение i : E → F , заданноеравенством i(f) ≡ f (f ∈ E), не является вложением.

12. Сюръекция A ∈ L(E, F ) обратима ттогда ∃C > 0 ∀f ∈ E (‖Af‖ > C‖f‖).13. Пусть E, F — нормированные пространства, а E × E снабжено нормой

‖u, v‖ ≡ max‖u‖, ‖v‖. Покажите, что соответствие A → A#, где A#u, v ≡(Au)v (u, v ∈ E), определяет изометрический изоморфизм между пространствамиL(E, L(E, F )) и L(E ×E, F ).

14. Пусть (E,A, µ) — пространство с полной конечной мерой, Nµ — множествовсех зарядов ν : A → C абсолютно непрерывных относительно µ. Естественныевекторные операции и норма ‖ · ‖v (см. 211.8) определяют в Nµ структуру нор-мированного пространства. Покажите, что Nµ изометрически изоморфно банаховупространству L1(µ). (Указание: воспользуйтесь теоремой Радона-Никодима.)

§224. Пополнение нормированного пространства. Простейшая теоремавложения

1. Пусть (E, ‖ ·‖) — нормированное пространство. Нормированное пространство(E, ‖ · ‖∼) называется пополнением (E, ‖ · ‖), если 1) (E, ‖ · ‖∼) — полное нормиро-ванное пространство, 2) существует изометрический изоморфизм j : E → E, причемj(E) плотно в E.

2. Каждое нормированное пространство обладает пополнением, которое един-ственно с точностью до изометрического изоморфизма.¶ В силу 216.3 существует полное метрическое пространство (E, δ) — пополнениепространства (E, d), где d определена равенством d(f, g) ≡ ‖f − g‖ (f, g ∈ E). Пустьj : E → E — соответствующая изометрия. Определим векторные операции в E.Пусть ξ, η ∈ E и (fn), (gn) последовательности в E такие, что j(fn) → ξ, j(gn) → ηпо метрике δ. Положим

ξ + η ≡ lim j(fn + gn), λξ ≡ lim j(λfn) (λ ∈ Λ).

Введенные операции определяют в E структуру векторного пространства (!!). Опре-делим норму ‖·‖∼ на E равенством: ‖ξ‖∼ ≡ δ(ξ, θ)(ξ ∈ E). Пусть j(fn) → ξ (fn ∈ E).Тогда

‖λξ‖∼ = δ(λξ, θ) = limn

δ(j(λfn), θ) = limn

d(λfn, θ) = limn‖λfn‖

= |λ| limn‖fn‖ = |λ| lim

nδ(j(fn), θ) = |λ|‖ξ‖∼.

Остальные аксиомы нормы следуют из соответствующих аксиом метрики. Такимобразом, (E, ‖·‖∼) — искомое пополнение нормированного пространства (E, ‖·‖). ¤

Рассмотрим приложение процедуры пополнения нормированного пространствак простейшей теореме вложения.

3. Пусть C1[a, b] — нормированное пространство гладких функций на отрезке[a, b] с нормой

‖u‖ ≡ [∫ b

a|u(x)|2 dx +

∫ b

a|u′(x)|2 dx

]1/2.

288

Это не полное пространство. Его пополнение обозначается символом H1[a, b] (илиW 1

2 [a, b]).

4. Пусть (un) ⊂ C1[a, b] — фундаментальная по норме H1 последовательность.Тогда (un) фундаментальна в пространстве L2[a, b] (т.к. ‖·‖2 ≤ ‖·‖) и, следовательно,un сходится в L2[a, b] к некоторой функции u. Аналогично u′n сходится по норме ‖·‖2

к некоторой функции w ∈ L2[a, b]; функция w называется производной Соболевафункции u.

5. З а м е ч а н и е. Производная Соболева определяется глобально — сразу навсем отрезке (в отличие от локального определения обычной производной).

6. Существует вложение пространства H1[a, b] в банахово пространство C[a, b](с sup-нормой).¶ Для заданной функции u ∈ C1[a, b] по теореме о среднем 50.4 существует c ∈ [a, b]

такое, что∫ b

au(s) ds = (b− a)u(c). Тогда

u(x) =∫ x

cu′(s) ds + u(c) =

∫ x

cu′(s) ds +

1b− a

∫ b

au(s) ds ⇒

|u(x)| 6 |∫ x

cu′(s) ds|+ 1

b− a

∣∣∫ b

au(s) ds

∣∣

6√

b− a · [|∫ x

c|u′(s)|2 ds|]1/2 +

1√b− a

[∫ b

a|u(s)|2 ds

]1/2

6 K‖u‖, где K =√

2max(b− a)1/2, (b− a)−1/2

⇒‖u‖[a,b] ≡ max

x∈[a,b]|u(x)| 6 K‖u‖. (∗)

Напомним, что каждый элемент ξ ∈ H1[a, b] — это класс эквивалентных‖ · ‖-фундаментальных последовательностей. Пусть (un) ∈ ξ ‖ · ‖-фундаментальна вC1[a, b]. Положим

(j(ξ))(x) ≡ limn

un(x) (a 6 x 6 b).

Из оценки (∗) следует, что (un) — ‖ · ‖[a,b]-фундаментальна. Поэтому j(ξ) ∈ C[a, b].Таким образом определенное отображение j : H1 → C[a, b], очевидно, линейно,причем ‖j(ξ)‖[a,b] 6 K‖ξ‖, т. е. j ∈ L(H1, C[a, b]).

Убедимся, что j — инъекция. Достаточно показать, что j(ξ) = θ ⇒ ξ = θ. Пустьj(ξ) = θ и (un) ∈ ξ ‖ · ‖-фундаментальна в C1[a, b]. Из (∗) следует, что un =⇒0 (а значит, ‖un‖2 → 0); кроме того, u′n ‖ · ‖2-фундаментальна и, следовательно,существует функция w ∈ L2[a, b] такая, что u′n → w по норме ‖ · ‖2. Мы установим,что ξ = θ, если покажем, что w = 0 п. в. Действительно,

‖u′n − w‖2 → 0 ⇒ ‖u′n − w‖1 → 0 ⇒ ∀x ∈ [a, b](∫ x

au′n(t) dt →

∫ x

aw(t) dt

)

⇒∫ x

aw(t) dt = lim

n

∫ x

au′n(t) dt = lim

n[un(x)− un(a)] = 0.

289

Функция ν[a, x] ≡∫ x

aw(t) dt порождает σ-аддитивный заряд, абсолютно непрерыв-

ный относительно меры Лебега. По теореме Радона-Никодима w = 0 п. в. ¤

§225. Сопряженное пространство

1. Пусть E — нормированное пространство над полем Λ(= C или R). простран-ство L(E, Λ) (см. 223.1) называется сопряженным к пространству E и обозначает-ся E∗. Элементами E∗ являются линейные ограниченные отображения ϕ : E → Λ,называемые линейными ограниченными функционалами. В соответствии с 223.4норма функционала ϕ ∈ E∗ вычисляется по формулам:

‖ϕ‖ ≡ infC > 0 : |ϕ(f)| 6 C‖f‖ (f ∈ E) = sup‖f‖61

|ϕ(f)| = sup‖f‖=1

|ϕ(f)|.

В силу 223.6 E∗ является банаховым пространством.

П р и м е р ы. 2. В пространстве непрерывных функций C[0, 1] с sup-нормой отоб-ражение ϕ(f) = f(0) (f ∈ C[0, 1]) является ограниченным линейным функционалом,причем ‖ϕ‖ = 1. Этот линейный функционал, однако, не является ограниченным,

если C[0, 1] снабжено нормой ‖f‖1 =∫ 1

0|f(t)| dt.

3. Пусть E — конечномерное нормированное пространство, e1, . . . , en — базис

в E, то есть каждый вектор f ∈ E однозначно представим в виде f =n∑

k=1

fkek (fk ∈Λ). Пусть ξ1, . . . , ξn — фиксированный набор скаляров, так что ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈Λn. Тогда формула

ϕξ(f) =n∑

k=1

fkξk (f = (f1, . . . , fn) ∈ E)

определяет ϕξ ∈ E∗. Обратно, если ϕ ∈ E∗, то, полагая ξk = ϕ(ek) (1 6 k 6 n),

получим ϕ(f) = ϕ(n∑

k=1

fkek) =n∑

k=1

fkϕ(ek) = ϕξ(f) (f ∈ E). Итак, мы получили

соответствие (очевидно, биективное) ξ → ϕξ между пространствами Λn и E∗. Этосоответствие линейно, так что E∗ алгебраически изоморфно векторному простран-ству Λn. Если в Λn ввести норму ‖ξ‖ ≡ ‖ϕξ‖ (ξ ∈ Λn), то E∗ ' Λn.

В примере 3 мы разобрали частный случай классической задачи нахождения со-пряженного пространства к данному нормированному пространству E. Эта задачаизвестна как задача нахождения общего вида линейного функционала; она состоитв отыскании конкретного банахова пространства изометрически изоморфного про-странству E∗. Ниже мы проиллюстрируем решение этой задачи для пространствLp(µ).

У п р а ж н е н и е. 4. Для конечномерного пространства Cn, снабженного нормой‖ · ‖p (1 6 p 6 ∞) (см. 220.7), вычислите норму в пространстве (Cn)∗.

§226. Lp(µ)∗ (1 6 p < ∞)

Рассмотрим пространство (E, A , µ) с полной конечной мерой µ. Пусть Lp(µ)(1 6 p 6 ∞) — шкала банаховых пространств над полем C в условиях и обозначе-ниях 221.1.

290

1. Пусть g ∈ L∞(µ) и отображение ϕg : L1(µ) → C задано формулой

ϕg(f) ≡∫

fg dµ (f ∈ L1(µ)).

Тогда ϕg ∈ L1(µ)∗, причем ‖ϕg‖ = ‖g‖∞.¶ Отображение ϕg корректно задано, линейно и ограничено:

|ϕg(f)| = ∣∣∫

fg dµ∣∣ 6 ‖g‖∞ ·

∫|f | dµ = ‖g‖∞‖f‖1 (f ∈ L1(µ)).

Из полученного неравенства следует также, что ‖ϕg‖ 6 ‖g‖∞; для доказательстваобратного неравенства достаточно считать, что g 6= θ. Пусть ε > 0 произвольно,0 < ε < ‖g‖∞. Обозначим Xε = x ∈ E : |g(x)| > ‖g‖∞ − ε. Из определения нормы

‖ · ‖∞ (см. 221.1) следует, что µXε > 0. Положим fε =g

|g|µXεχXε

(отметим, что

‖fε‖1 =∫|fε| dµ = 1). Тогда

‖ϕg‖ = sup‖f‖161

|ϕ(f)| > |ϕg(fε)| =∣∣∫

fεg dµ∣∣ =

1µXε

·∫

Xε

|g| dµ > ‖g‖∞ − ε.

Из произвольности ε : ‖ϕg‖ > ‖g‖∞. ¤2. L1(µ)∗ ' L∞(µ).

¶ В силу п. 1 определено изометрическое отображение g → ϕg пространства L∞(µ)в L1(µ)∗. Покажем, что это отображение сюръективно. Пусть ϕ ∈ L1(µ)∗. Положим

µϕ(X) ≡ ϕ(χX ) (X ∈ A). (1)

Убедимся, что µϕ — заряд. Пусть X =∞∑

j=1Xj (X, Xj ∈ A). Тогда последовательность

n∑j=1

χXjсходится по норме ‖ · ‖1 к χX , так как

∫|χX −

n∑

j=1

χXj| dµ =

∫

∞∑j=n+1

Xj

dµ =∞∑

j=n+1

µXj → 0 (n → +∞).

Поскольку ϕ ∈ L1(µ)∗, имеем

µϕ(X) = ϕ(χX ) = limn

ϕ(χ n∑j=1

Xj

) = limn

ϕ( n∑

j=1

χXj

)= lim

n

n∑

j=1

ϕ(χXj) =

∞∑

j=1

µϕ(Xj).

Заметим, что заряд µϕ абсолютно непрерывен относительно µ. (Действительно,µY = 0 ⇒ χY = 0 п. в. ⇒ µϕ(Y ) = ϕ(χY ) = ϕ(θ) = 0.) По теореме Радона-Никодимасуществует (и определена однозначно) функция g ∈ L1(µ) такая, что

µϕ(X) =∫

X

g dµ (X ∈ A) (2)

291

(отметим, что здесь не вызывает затруднений случай комплексных функций). Будемсчитать, что g > 0 (иначе заряд µϕ представим в виде µϕ = µ+

1 − µ−1 + i(µ+2 − µ−2 ),

и можно рассмотреть меры µ±k по отдельности). Чтобы завершить доказательствотеоремы, достаточно установить:

(а) g ∈ L∞(µ),

(б) ϕ(f) =∫

fg dµ (f ∈ L1(µ)).

Если (а) не верно, то последовательность множеств Xn = x ∈ E : g(x) > n такова,что µXn > 0, µXn → 0 (n → +∞) (!!). Положим hn =

1n· 1µXn

· χXn(n ∈ N). Тогда

‖hn‖1 =∫|hn| dµ =

1n→ 0 (n →∞), но

ϕ(hn) =1n· 1µXn

ϕ(χXn) =

1n· 1µXn

∫

Xn

g dµ > 1 (n ∈ N),

что противоречит непрерывности ϕ. Итак, g ∈ L∞(µ).

Для проверки (б) заметим сначала, что равенство ψ(f) ≡∫

fg dµ (f ∈ L1(µ)) в

силу п. 1 корректно определяет функционал ψ ∈ L1(µ)∗, и нужно лишь установить,что ψ = ϕ. Отметим, что ψ = ϕ на классе K конечно-значных простых функций:

ψ( n∑

j=1

λjχXj

)=

n∑

j=1

λjψ(χXj) =

n∑

j=1

λj

∫χXj

g dµ =n∑

j=1

λj

∫

Xj

g dµ

=n∑

j=1

λjµϕ(Xj) =n∑

j=1

λjϕ(χXj) = ϕ

( n∑

j=1

λjχXj

).

Если теперь f ∈ L1(µ) произвольна, то существует последовательность fn ∈ Kтакая, что ‖fn − f‖1 → 0 (см. 215.9). Следовательно, ϕ(f) = lim

nϕ(fn) = lim

nψ(fn) =

ψ(f). ¤

3. Lp(µ)∗ ' Lq(µ) (1p

+1q

= 1, 1 < p, q < +∞). В частности, L2(µ)∗ ' L2(µ).

¶ Для g ∈ Lq(µ) зададим линейный функционал ϕg : Lp(µ) → C (здесь1p

+1q

= 1)

равенством ϕg(f) =∫

fg dµ. В силу 221.7 fg ∈ L1(µ), и значит, ϕg корректно задан.

При этом |ϕg(f)| 6∫|fg| dµ 6 ‖g‖q‖f‖p. Отсюда ϕg ограничен и ‖ϕg‖ 6 ‖g‖q. Взяв

f0 =g|g|(q/p)−1

‖ |g|q/p ‖p∈ Lp(µ), имеем ‖f0‖p = 1, так что ‖ϕg‖ > |ϕg(f0)| = ‖g‖q. Итак,

отображение g → ϕg (g ∈ Lq(µ)) является изометрическим отображением Lq(µ)в Lp(µ)∗. Осталось убедиться, что это отображение является сюръекцией. Пустьϕ ∈ Lp(µ)∗. Аналогично доказательству п. 1 устанавливаем, что (1) определяет наA заряд абсолютно непрерывный относительно µ, и по теореме Радона-Никодимаполучаем формулу (2) (!!). По-прежнему будем считать, что g > 0. Убедимся, что

292

g ∈ Lq(µ) (тогда равенство ϕ = ϕg снова получается приведенным выше способом(!!)). Для этого положим gn = g · χ

g−1[0,n](n ∈ N). Тогда gq

n → gq, и по теореме

Фату нам нужно лишь показать, что интегралы∫

gqn dµ ограничены в совокупности.

Имеем:∫

gqn dµ =

∫gq−1n gn dµ =

∫gq−1n g dµ = ϕ(gq−1

n ) 6 ‖ϕ‖ ‖gq−1n ‖p

= ‖ϕ‖[∫

gp(q−1)n dµ

]1/p = ‖ϕ‖[∫

gqn dµ

]1/p.

Отсюда∫

gqn dµ 6 ‖ϕ‖q (n ∈ N). ¤

4. У п р а ж н е н и е. Покажите, что в обозначениях 221.10 (`1)∗ ' `∞,

(`p)∗ ' `q (1p

+1q

= 1, 1 < p, q < +∞).

§227. Продолжение ограниченных линейных отображений понепрерывности

Т е о р е м а.Пусть E — нормированное пространство и X — линеал, плотный вE. Пусть F — банахово пространство и A : X → F — ограниченное линейное отоб-ражение. Тогда существует и определено однозначно отображение A ∈ L(E, F ) сосвойствами:

а) A|X = A,б) ‖A‖ = ‖A‖.

¶ Пусть f ∈ E произволен и fn — произвольная последовательность такая, чтоfn → f . Положим Af ≡ lim

nAfn. Остается проверить, что A — корректно опре-

деленный элемент из L(E, F ), удовлетворяющий условиям а) и б). Отметим снача-ла, что lim

nAfn существует, так как (Afn) — фундаментальная последовательность

в банаховом пространстве F :

‖Afn −Afm‖ = ‖A(fn − fm)‖ 6 ‖A‖ ‖fn − fm‖ → 0 (n,m → +∞).

Этот предел не зависит от выбора последовательности (fn), сходящейся к f (!!). Изарифметических свойств предела следует, что A — линейное отображение из E в F .Условие а) выполнено по построению. Наконец,

‖Af‖ = limn‖Afn‖ 6 lim

n‖A‖ ‖fn‖ = ‖A‖ ‖f‖ (f ∈ E),

откуда следует, что A — ограниченный линейный оператор и ‖A‖ 6 ‖A‖. Обратноенеравенство ‖A‖ > ‖A‖ следует из того, что A — продолжение A. ¤

§228. Теорема Хана-Банаха

Теорема Хана-Банаха устанавливает возможность продолжения функционала сподпространства на все пространство с сохранением определенных свойств. Отме-тим, например, что с помощью этой теоремы можно ответить (положительно) на

293

следующий вопрос: существует ли хотя бы один ненулевой ограниченный линейныйфункционал на произвольном нормированном пространстве E (6= θ)?

1. Т е о р е м а. [Г.Хан, С.Банах]. Пусть E — векторное пространство над полемΛ(= C или R) и ‖ · ‖ — полунорма на E (см. 148.5), X — линеал в E и ϕ : X → Λ— линейный функционал такой, что |ϕ(f)| 6 ‖f‖ (f ∈ X). Тогда существуетлинейный функционал ψ : E → Λ такой, что

а) ψ|X = ϕ,б) |ψ(f)| 6 ‖f‖ (f ∈ E).

¶ Ради технической простоты, доказательство проведем для вещественного поля(Λ = R). Пусть g ∈ E\X и Y = λg + f | f ∈ X — линеал, порожденный векторомg и линеалом X. Продолжим функционал ϕ на Y так, чтобы |ϕ(h)| 6 ‖h‖ (h ∈ Y ).Для этого возьмем произвольные векторы f1, f2 ∈ X и заметим, что

ϕ(f1) + ϕ(f2) = ϕ(f1 + f2) 6 ‖f1 + f2‖ 6 ‖f1 − g‖+ ‖f2 + g‖,откуда ϕ(f1)− ‖f1 − g‖ 6 ‖f2 + g‖ − ϕ(f2). Поэтому

supf1∈X

[ϕ(f1)− ‖f1 − g‖] 6 inff2∈X

[‖f2 + g‖ − ϕ(f2)].

Пусть α ∈ R — произвольное число такое, что

supf∈X

[ϕ(f)− ‖f − g‖] 6 α 6 inff∈X

[‖f + g‖ − ϕ(f)]. (∗)

Положим ϕ(λg + f) ≡ λα + ϕ(f) (f ∈ X, λ ∈ R) и убедимся, что ϕ — искомоепродолжение ϕ на линеал Y . Действительно, если, например, λ > 0, то в силу (∗)

ϕ(λg + f) = λ[α + ϕ(1λ

f)] 6 λ[‖g +1λ

f‖ − ϕ(1λ

f) + ϕ(1λ

f)] = ‖λg + f‖,

ϕ(λg + f) > λ[ϕ(− 1λ

f)− ‖ − 1λ

f − g‖] + ϕ(f) = −‖λg + f‖,

так что |ϕ(λg + f)| 6 ‖λg + f‖ (f ∈ X, λ ∈ R). Аналогично рассматривается случайλ < 0 (!!).

Завершение доказательства основано на применении теоремы Цорна (прил. III,п. 11). Пусть ϕi : Xi → R — множество всех продолжений функционала ϕ, удо-влетворяющих условию

|ϕi(f)| 6 ‖f‖ (f ∈ Xi)

(здесь, естественно, Xi ⊃ X, ϕi(f) = ϕ(f) (f ∈ X)). Введем в этом множествепорядок: ϕi > ϕk, если Xi ⊃ Xk и ϕi(f) = ϕk(f) (f ∈ Xk). Все аксиомы порядкана самом деле выполнены (!!). Проверим, что множество (ϕi) индуктивно. Пусть(ϕj)j∈J — совершенно упорядоченное подмножество множества (ϕi). Определим налинеале X0 ≡

⋃j∈J

Xj линейный функционал ϕ0(f) ≡ ϕj(f), если f ∈ Xj . Функцио-

нал ϕ0 определен корректно: если f ∈ Xj1 ∩Xj2 (j1, j2 ∈ J), то в силу совершеннойупорядоченности семейства (ϕj)j∈J : ϕj1 6 ϕj2 , либо ϕj2 6 ϕj1 . Пусть, например,ϕj2 6 ϕj1 . Тогда Xj2 ⊂ Xj1 и ϕj1(f) = ϕj2(f) (f ∈ Xj2). При этом ϕ0 — мажоран-та семейства (ϕj)j∈J , и индуктивность (ϕi) установлена. По теореме Цорна суще-ствует максимальное продолжение функционала ϕ, то есть линейный функционал

294

ψ : Y → R, где Y — линеал в E, причем ψ|X = ϕ, |ψ(f)| 6 ‖f‖ (f ∈ Y ). ЕслиY 6= E, то существует g ∈ E\Y и, применяя к ψ конструкцию, изложенную в нача-ле доказательства, продолжим ψ на линеал λg + f | f ∈ Y, λ ∈ R в противоречие смаксимальностью ψ. ¤

Отметим ряд следствий теоремы Хана-Банаха для нормированных пространств.2.Пусть X — линеал в нормированном пространстве E и ϕ — ограниченный ли-

нейный функционал на X. Тогда существует ψ ∈ E∗ такой, что ψ | X = ϕ, ‖ψ‖ =‖ϕ‖.¶ Определим на векторном пространстве E выпуклую функцию ‖f‖∼ ≡ ‖ϕ‖ ‖f‖,где ‖f‖ — норма вектора f в нормированном пространстве E, а ‖ϕ‖ — норма функ-ционала ϕ ∈ X∗. Применим п. 1 к (E, ‖·‖∼) и функционалу ϕ: существует линейныйфункционал ψ на E такой, что

ψ|X = ϕ, |ψ(f)| 6 ‖f‖∼ = ‖ϕ‖ ‖f‖ (f ∈ E).

Отсюда следует, что ψ ∈ E∗ и ‖ψ‖ 6 ‖ϕ‖. Неравенство ‖ψ‖ > ‖ϕ‖ следует из того,что ψ — продолжение ϕ. ¤

3. Пусть E — нормированное пространство, θ 6= f ∈ E. Тогда существуетψ ∈ E∗ такой, что ‖ψ‖ = 1, ψ(f) = ‖f‖.¶ Положим X = λf : λ ∈ Λ, ϕ(λf) ≡ λ‖f‖ (λf ∈ X). Тогда ϕ ∈ X∗, ‖ϕ‖ = 1.Остается применить п. 2. ¤

4. Если нормированное пространство E нетривиально, то нетривиально и про-странство E∗.¶ Это следствие п. 3. ¤

5. Пусть X — линеал в нормированном пространстве E, g ∈ E\X и α ≡inff∈X

‖g + f‖ > 0. Тогда существует функционал ψ ∈ E∗ такой, что ψ(g) = α и

ψ(f) = 0 (f ∈ X).¶ Рассмотрим линеал Y = λg + f : f ∈ X, λ ∈ Λ и определим на нем функционалϕ(λg + f) ≡ λα. Из оценки (при λ 6= 0)

|ϕ(λg + f)| = |λ|α = |λ| infh∈X

‖g + h‖ 6 |λ|‖g +1λ

f‖ = ‖λg + f‖

следует, что ϕ ∈ Y ∗. В качестве ψ возьмем продолжение ϕ по п. 2. ¤6. У п р а ж н е н и е. Завершите доказательство теоремы Хана-Банаха в слу-

чае сепарабельного нормированного пространства E, не используя теорему Цорна(указание: использовать теорему §227).

§229. Второе сопряженное пространство

1. Пусть E — нормированное пространство и E∗ — сопряженное к нему про-странство, являющееся банаховым (см. 223.6). Можно рассмотреть сопряженное кпространству E∗; оно называется вторым сопряженным к пространству E. Такимобразом, по определению E∗∗ ≡ (E∗)∗.(Можно, разумеется, продолжить процесс ирассмотреть E∗∗∗, E∗∗∗∗ и т. д.)

295

2. Между исходным пространством E и его вторым сопряженным имеется тес-ная связь. Чтобы проанализировать ее, введем отображение ) : E → E∗∗ (оно ча-сто называется каноническим), сопоставляющее каждому элементу f ∈ E элементf ∈ E∗∗, действующий по формуле

f(ϕ) ≡ ϕ(f) (ϕ ∈ E∗). (1)

В самом деле, f — ограниченный линейный функционал на банаховом пространствеE∗, так как |f(ϕ)| = |ϕ(f)| 6 ‖f‖ ‖ϕ‖ (ϕ ∈ E∗).

3. Каноническое отображение ) : E → E∗∗ — изометрия.¶ В соответствии с определением 223.7 нужно убедиться, что отображение ) со-храняет норму. Из (2) следует, что ‖f‖ 6 ‖f‖. Обратно, пусть f 6= θ и ϕ0 ∈ E∗

такой, что ‖ϕ0‖ = 1 и ϕ0(f) = ‖f‖ (ϕ0 существует в силу 228.3). Тогда из равенства|f(ϕ0)| = |ϕ0(f)| = ‖f‖ следует, что ‖f‖ > ‖f‖. ¤

4. Банахово пространство E называется рефлексивным, если ) : E → E∗∗ —изометрический изоморфизм E на E∗∗.

Примеры рефлексивных банаховых пространств: евклидовы пространстваRn, Cn,пространства Lp(µ) (1 < p < ∞).

У п р а ж н е н и я. 5. Покажите, что каждое конечномерное нормированноепространство рефлексивно.

6. Убедитесь, что пространство c0 всех комплексных последовательностей f =(f1, f2, . . .) со свойством lim

nfn = 0 и с нормой ‖f‖ ≡ sup

n|fn|, — не рефлексивное

банахово пространство.

7. Пусть E — банахово пространство, причем E∗ рефлексивно. Покажите, чтоE также рефлексивно.

§230. Теорема Банаха-Штейнгауза

1. [Принцип равномерной ограниченности]. Пусть E — банахово пространство,F — нормированное пространство, F ⊂ L(E, F ), причем sup

T∈F‖Tf‖ < +∞ при каж-

дом f ∈ E. Тогда supT∈F

‖T‖ < +∞.

¶ Положим An =⋂

T∈Ff : ‖Tf‖ 6 n. Тогда

(i) E =∞⋃

n=1An, (ii) каждое An замкнуто.

По теореме Бэра 217.4 какое-либо An имеет непустую внутренность: An 6= ∅. ПустьBε(a) ⊂ An. Существует N1 такое, что Bε(θ) ⊂ AN1

. Пусть supT∈F

‖Ta‖ < k (∈ N);

полагая N1 = n + k, имеем (так как f + a ∈ Bε(a)):

‖f‖ < ε ⇒ ‖Tf‖ 6 ‖T (f + a)‖+ ‖Ta‖ 6 n + k.

Теперь

T ∈ F ⇒ ‖T‖ = sup‖f‖61

‖Tf‖ =1ε· sup‖f‖61

‖T (εf)‖ 6 N1/ε. ¤

Рассмотрим ряд важных следствий.

296

2. Пусть E, F — банаховы пространства, X(⊂ E) — линеал плотный в E иTn ∈ L(E, F ) — последовательность линейных ограниченных операторов. Следую-щие условия эквивалентны:

(i) limn

Tnf существует в каждой точке f ∈ E,

(ii) limn

Tnf существует в каждой точке f ∈ X и supn‖Tn‖ < +∞.

¶ (i) ⇒ (ii) в силу п. 1.(ii)⇒ (i). Пусть M = sup

n‖Tn‖ и ε > 0 произвольно. Пусть f0 ∈ E\X и f ∈ X таково,

что ‖f − f0‖ 6 ε/2M ; пусть N таково, что ‖(Tn − Tm)f‖ < ε (n,m > N). Тогда дляn, m > N

‖Tnf0 − Tmf0‖ 6 ‖(Tn − Tm)(f0 − f)‖+ ‖(Tn − Tm)f‖6 ‖(Tn − Tm)(f0 − f)‖+ ε 6 2M · (ε/2M) + ε = 2ε. ¤

3. Пусть E, F — нормированные пространства, отображение a : E × F → Cназовем 2-линейным, если линейны отображения a(f, ·) : F → C, a(·, g) : E →C (f ∈ E, g ∈ F ).

4. Пусть E, F — банаховы пространства, a : E × F → C — 2-линейное отоб-ражение, и при фиксированных f ∈ E, g ∈ F отображения a(f, ·) : F → C, a(·, g) :E → C непрерывны. Тогда a непрерывно (по совокупности переменных).¶ Достаточно установить, что если fn → θ, gn → θ (fn ∈ E, gn ∈ F ), то a(fn, gn) → 0(!!). Для фиксированного n ∈ N положим Tn = a(fn, ·) : F → C. Это последователь-ность ограниченных линейных функционалов, причем (так как a(·, g) непрерывны)limn|Tn(g)| = lim

n|a(fn, g)| = 0 для любого g ∈ F . Поэтому sup

n|Tn(g)| < +∞ (g ∈ F ).

По теореме Банаха-Штейнгауза K ≡ supn‖Tn‖ < +∞, так что |a(fn, gn)| = |Tn(gn)| 6

K‖gn‖ → 0. ¤5. У п р а ж н е н и е. Приведите пример, показывающий, что требование полноты

пространства E в теореме п. 1 не может быть опущено.

§231. Теорема Банаха об открытом отображении

1. Т е о р е м а. [С. Банах]. Если E, F банаховы пространства, T : E → F —ограниченная линейная сюръекция, то образ каждого открытого множества приотображении T открыт в F .

¶ Пусть Br = Br(θ) ⊂ E (r > 0); по условию F =∞⋃

n=1T (Bn) =

∞⋃n=1

T (Bn)−. По

теореме Бэра ∃n ∈ N (T (Bn)− 6= ∅). Поэтому

∃ξ ∈ T (Bn)− ∃ε > 0 (Bε(ξ) ⊂ T (Bn)−). (∗)

План доказательства:

(i) установим, что ∃δ > 0 (Bδ(θF ) ⊂ T (B1)−);

(ii) покажем, что T (B1)− ⊂ T (B2);

(iii) заметим, что ∀ε > 0 (T (Bε) 6= ∅);

297

(iv) наконец, выведем, что для каждого открытого U(⊂ E) множество T (U) от-крыто в F .

(i) следует из (∗): Bε(ξ) ⊂ T (Bn)−, ξ = Tg ⇒ Bε(θ) ⊂ T (Bn(−g))− ⊂ T (Bn+‖g‖)−

и можно положить δ =ε

n + ‖g‖ .

(ii) η ∈ T (B1)− ⇒ ∃f1 ∈ B1 (‖η − Tf1‖ < δ/2) ⇒ η − Tf1 ∈ T (B1/2)− ⇒∃f2 ∈ B1/2 (‖η − Tf1 − Tf2‖ < δ/22) ⇒ η − Tf1 − Tf2 ∈ T (B1/4)−.Продолжая процесс, получим ∃fn ∈ B2−n (‖η − Tf1 − . . . − Tfn‖ < δ · 2−n) ⇒η − Tf1 − . . .− Tfn ∈ T (B2−n)−. Поэтому f ≡

∞∑i=1

fi ∈ B2 ⇒ η =∞∑i=1

Tfi = Tf ∈ B2.

(iii) следует из (ii): T (Bn)− ⊂ T (B2n) ⇒ T (B2n) 6= ∅ ⇒ T (Bε) =ε

2nT (B2n)

6= ∅.(iv) η ∈ T (U) ⇒ η = Tf, f ∈ U ⇒ ∃ε > 0 (Bε(f) ⊂ U) ⇒ (см. (iii)) η + T (Bε) ⊂

T (U). ¤Получим теперь ряд следствий доказанной теоремы.

2. [Непрерывность обратного отображения]. Пусть T : E → F — непрерыв-ное биективное линейное отображение банахова пространства E на банахово про-странство F . Тогда T обратимо.¶ Для любого открытого множества U(⊂ E) открыто множество (T−1)−1(U) =T (U), то есть T−1 непрерывно. ¤

3. Пусть E — банахово пространство относительно каждой из двух норм‖·‖1, ‖·‖2, причем ‖·‖1 6 ‖·‖2. Тогда существует C > 0 такое, что ‖·‖2 6 C‖·‖1.¶ Рассмотрим тождественное отображение i : (E, ‖·‖2) → (E, ‖·‖1); оно непрерывноfn → θ по норме ‖ · ‖2 ⇒ ‖ifn‖1 = ‖fn‖1 6 ‖fn‖2 → 0 ⇒ (см. п. 2) обратное (такжетождественное) отображение j : (E, ‖·‖1) → (E, ‖·‖2) непрерывно⇒ ‖f‖2 = ‖jf‖2 6C‖f‖1, где C = ‖j‖. ¤

4. Пусть E, F — банаховы пространства, T : E → F — линейно. Графикомоператора T называется множество

Γ(T ) ≡ f, Tf : f ∈ E (⊂ E ⊕ F ).

5. [Теорема о замкнутом графике]. Пусть E, F — банаховы пространства,T : E → F — линейно. Отображение T ограничено ттогда Γ(T ) замкнуто в E⊕F.¶ Необходимость очевидна (!!). Достаточность. Пусть Γ(T ) замкнуто. Тогда Γ(T ) —банахово подпространство пространства E⊕F . Пусть p1 : Γ(T ) → E, p2 : Γ(T ) → F— канонические проекции (см. 99.6), p1 : Γ(T ) → E — биекция и по п. 2 непрерывноотображение p−1

1 , а значит, и T = p2 p−11 . ¤

6. З а м е ч а н и е. Рассмотрим 3 утверждения:(а) fn → f ;(б) Tfn → g;(в) Tf = g.

Доказать непрерывность T — значит показать, что из (а) следует (б) и (в). Есливоспользоваться теоремой п. 5 то достаточно для этого показать, что из (а) и (б)следует (в).

298

ОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§232. Теорема об ортогональном разложении

1. Напомним (см. 154.1), что гильбертовым пространством называется унитар-ное пространство, полное относительно нормы, определяемой скалярным произве-дением. Замкнутый линеал в гильбертовом пространстве называется подпростран-ством. Подпространство — само гильбертово пространство относительно индуци-рованного скалярного произведения. Несобственное подпространство — это самопространство, все остальные подпространства называются собственными. Триви-альное подпространство — это подпространство θ, состоящее из нулевого вектора,все остальные подпространства называются нетривиальными.

2. Пусть H — гильбертово пространство, K — его подпространство, f ∈ H.Тогда существует и единствен элемент g0 ∈ K наилучшего приближения отно-сительно K (см. 220.5).¶ Существование. Пусть d = inf

g∈K‖f − g‖ и gn ∈ K таковы, что d = lim

n‖f − gn‖.

Последовательность (gn) фундаментальна:

‖gn − gm‖2 = ‖(gn − f)− (gm − f)‖2

= 2‖gn − f‖2 + 2‖gm − f‖2 − ‖ − 2f + gn + gm‖2

= 2‖gn − f‖2 + 2‖gm − f‖2 − 4‖f − 12(gn + gm)‖2

6 2‖gn − f‖2 + 2‖gm − f‖2 − 4d2 → 0 (m,n →∞)

(во втором равенстве использовано равенство параллелограмма 152.10(ii)). Следо-вательно, существует g0 = lim

ngn и d = ‖f − g0‖.

Единственность: Пусть f0 ∈ K — еще один элемент наилучшего приближе-ния: d = ‖f − f0‖. Тогда

d 6 ‖f − f0 + g0

2‖ 6 1

2[‖f − f0‖+ ‖f − g0‖] = d,

и с учетом 152.10(iv)12(f−f0) = λ

12(f−g0), λ > 0, откуда λ = 1, и значит, f0 = g0. ¤

3. Пусть H — гильбертово пространство, M ⊂ H. Тогда

M⊥ ≡ f ∈ H : ∀g ∈ M (〈f, g〉 = 0)

— подпространство H. Если K — подпространство H, то K⊥ называется ортого-нальным дополнением к K.

4. [Теорема об ортогональном разложении]. Пусть K — подпространство гиль-бертова пространства H. Тогда

(i) каждый вектор f ∈ H однозначно представим в виде f = g + h, где g ∈ K,h ∈ K⊥ ,

299

(ii) K = K⊥⊥.

¶ Обозначим через g элемент наилучшего приближения к f относительно K и по-ложим h = f − g. Покажем, что h ∈ K⊥. Если d = inf

k∈K‖f − k‖ = ‖f − g‖, то

0 6 ‖h− 〈h, k〉‖k‖2

k‖2 − d2 = d2 +|〈h, k〉|2‖k‖2

− |〈h, k〉|2‖k‖2

− |〈h, k〉|2‖k‖2

− d2

= −|〈h, k〉|2‖k‖2

⇒ 〈h, k〉 = 0 (k ∈ K) ⇒ h ∈ K⊥.

Покажем теперь, что представление в (i) единственно. Пусть

f = g′ + h′, где g′ ∈ K, h′ ∈ K⊥,

— еще одно представление f . Тогда θ = (g − g′) + (h − h′) и, применяя теоре-му Пифагора 152.10(i), получаем, что g = g′, h = h′. Очевидно, K ⊂ K⊥⊥ =f ∈ H : ∀g ∈ K⊥ (〈f, g〉 = 0). Обратно, если f ∈ K⊥⊥, то в силу п. 4 f = g + h,где g ∈ K, h ∈ K⊥. Умножая обе части этого равенства скалярно на h, получаем〈h, h〉 = 0 ⇒ h = θ ⇒ f = g ∈ K. ¤

§233. Ортогональные суммы гильбертовых пространств

1. Пусть K1, . . . , Kn — подпространства гильбертова пространства H такие, чтокаждый вектор f ∈ H представим в виде

f = k1 + . . . + kn, kj ∈ Kj , 〈ki, kj〉 = 0 (i 6= j).

(В этом случае kj определены однозначно (!!).) Тогда говорят, что H является ор-тогональной суммой подпространств Kj и пишут H = K1 ⊕ . . . ⊕Kn. В частности,H = K ⊕K⊥.

2. Пусть Hj (j = 1, . . . , n) — гильбертовы пространства (над полем Λ). Ортого-нальной суммой пространств Hj называется гильбертово пространство H, элемен-тами которого являются упорядоченные наборы (f1, . . . , fn) (fj ∈ Hj) со скалярнымпроизведением

〈(f1, . . . , fn), (g1, . . . , gn)〉 ≡n∑

j=1

〈fj , gj〉.

(Мы используем прежнее обозначение H = H1 ⊕ . . .⊕Hn.)Доказательство корректности данного определения проведём ниже в более об-

щей ситуации:

3. Ортогональной суммой произвольного семейства (Hj)j∈J гильбертовых про-странств называется гильбертово пространство H (обозначается символом ⊕

j∈JHj),

элементами которого являются наборы (fj)j∈J , обладающие свойствами:

(а) в каждом наборе не более чем счетное число элементов отлично от нуля,

(б)∑j∈J

‖fj‖2 < +∞.

300

Векторная структура в множестве наборов вводится естественным (покоординат-ным) образом, а скалярное произведение определяется формулой

〈(fj), (gj)〉 ≡∑

j∈J

〈fj , gj〉. (∗)

¶ Убедимся в корректности данного определения. Отметим сначала, что ряд в пра-вой части (∗) сходится абсолютно (а значит, сходится). Это следует из (а) и оценки

∑

j∈J

|〈fj , gj〉| 6∑

j∈J

‖fj‖ · ‖gj‖ 6 12

∑

j∈J

[‖fj‖2 + ‖gj‖2] < +∞.

Из этой же оценки следует, что f, g ∈ ⊕j∈J

Hj ⇒ f + g ∈ ⊕j∈J

Hj (!!), так что ⊕j∈J

Hj

— векторное пространство. Проверим полноту ⊕j∈J

Hj . Пусть последовательность

f (n) = (f (n)j ) фундаментальна и ε > 0 произвольно. Тогда существует N такое, что

‖f (n) − f (m)‖2 < ε при n, m > N . Тем более, для каждой конечной части σ ⊂ J :∑j∈σ

‖f (n)j − f

(m)j ‖2 < ε (n, m > N). Так как Hj полны, существуют fj = lim

nf

(n)j ∈

Hj (j ∈ σ). Устремляя m к +∞, находим∑j∈σ

‖f (n)j − fj‖2 6 ε (n > N). Так как σ —

произвольное конечное подсемейство J , имеем с учетом требования (а):∑j∈J

‖f (n)j −

fj‖2 6 ε. Таким образом, f (n) − f ∈ ⊕j∈J

Hj , где f = (fj). Следовательно, f =

f (n) − (f (n) − f) ∈ ⊕j∈J

Hj , и из произвольности ε : f (n) → f (n →∞). ¤

4. П р и м е р. В частности, взяв ортогональную сумму счетного числа экзем-пляров C1, мы приходим к известному координатному гильбертову пространству`2, элементами которого являются последовательности f = (f1, f2, . . .) комплексныхчисел со свойством

∑j∈N

|fj |2 < +∞.

§234. Размерность гильбертова пространства

1. Мы уже встречались с ортонормированными системами векторов в унитар-ных пространствах (см. §155). Отмечалась также важная роль полных ортонорми-рованных систем: каждый вектор разлагается по такой системе в ряд Фурье (см.155.7(б)). В соответствии с этим всякую полную ортонормированную систему векто-ров в унитарном пространстве будем называть ортонормированным базисом. Есте-ственно возникает вопрос о существовании ортонормированного базиса.

2. В каждом гильбертовом пространстве существует ортонормированный ба-зис.¶ Рассмотрим семейство всех ортонормированных систем векторов в гильбертовомпространстве, упорядоченное по включению. Это упорядоченное множество индук-тивно (!!), и по теореме Цорна (прил. III, п. 11) существует максимальная орто-нормированная система. Эта система необходимо замкнута в смысле 155.8 (иначе кней можно было бы присоединить еще один вектор, что противоречило бы ее макси-мальности). В силу 155.9 эта система полна, а значит, является ортонормированнымбазисом. ¤

301

Следующее утверждение позволяет говорить об ортогональной размерности гиль-бертова пространства.

3. Все ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве равномощны.¶ Пусть (fj)j∈J и (ei)i∈I — два ортонормированных базиса в гильбертовом про-странстве H. Если Card J, Card I < ℵ0 (см. прил. III), то утверждение следует извыкладки (с учетом 155.7(г)):

Card J =∑

j

‖fj‖2 =∑

j

∑

i

|〈fj , ei〉|2 =∑

i

∑

j

|〈fj , ei〉|2 =∑

i

‖ei‖2 = Card I.

Итак, пусть Card J,Card I > ℵ0 и Ji = j ∈ J : 〈fj , ei〉 6= 0 (i ∈ I); отметим (см.155.5), что Card Ji 6 ℵ0. Тогда J =

⋃i∈I

Ji и в силу п. 17 прил. III Card J 6 Card I.

Поменяв местами в приведенном рассуждении базисы (fj)j∈J и (ei)i∈I , получимCard J > Card I. ¤

§235. Сепарабельные гильбертовы пространства

В приложениях чаще всего используются сепарабельные (см. 95.5) гильберто-вы пространства. Отметим, что еще в 30-е годы требование сепарабельности да-же включалось в аксиоматику гильбертовых пространств. Имеет место следующийпростой критерий сепарабельности:

1. Гильбертово пространство сепарабельно ттогда оно обладает не более чемсчетным ортонормированным базисом.

Начнем с полезной конструкции ортогонализации:

2. [Процесс ортогонализации Грама]. Для заданной (не более чем счетной) ли-нейно независимой системы f1, f2, . . . векторов унитарного пространства можнопостроить ортонормированную систему e1, e2, . . . так, что совпадают линеалы, по-рожденные этими системами.

¶ Система e1, e2, . . . строится индуктивно следующим образом: e1 =f1

‖f1‖ ; если

e1, . . . , ek−1 уже построены, положим ek = ‖fk−k−1∑j=1〈fk, ej〉ej‖−1·(fk−

k−1∑j=1〈fk, ej〉ej

). ¤

3. Доказательство п. 1. Достаточность. Пусть e1, e2, . . . — ортонормирован-

ный базис в H. Тогда множество n∑

j=1(pj + iqj)ej : pj , qj ∈ Q, n ∈ N счетно и плотно

в H (!!).Необходимость. Пусть g1, g2, . . . — счетное плотное в H множество (не огра-

ничивая общности, можно считать, что среди элементов этой последовательностинет нулевого элемента θ). Пусть h1, h2, . . . — максимальная линейно независи-мая часть этого множества (ее можно получить следующим образом: положимh1 = g1; если h1, . . . , hk−1 уже построены, положим hk = gj , где j = minn : си-стема h1, . . . , hk−1, gn линейно независима ). Полученную систему h1, h2, . . .ортогонализуем методом Грама. Получим ортонормированную систему e1, e2, . . ..Она полна. Действительно, пусть f ∈ H и ε > 0 произвольны. Тогда найдется gk

такое, что ‖f − gk‖ < ε. В соответствии с конструкцией системы h1, h2, . . . векторgk является линейной комбинацией элементов hj , а значит, (в силу конструкции п.

302

2) линейной комбинацией ej : gk =n∑

j=1λjej , ‖f −

n∑j=1

λjej‖ < ε. Из 155.6 следует,

что (ej) — ортонормированный базис в H.

4. П р и м е р. L2[0, 1] — сепарабельное гильбертово пространство (в соответствиис 161.2 и 221.12 в этом пространстве существует счетный ортонормированный базис).

§236. Изоморфные гильбертовы пространства

1. Гильбертовы пространства H и K (над одним полем Λ) называются изоморф-ными, если существует линейная биекция U : H → K, сохраняющая скалярноепроизведение:

〈Uf,Ug〉K = 〈f, g〉H (f, g ∈ H). (∗)2. Гильбертовы пространства изоморфны ттогда они обладают равномощны-

ми ортонормированными базисами.¶ Пусть гильбертовы пространства H и K изоморфны, U — соответствующий изо-морфизм и (ej)j∈J — полная ортонормированная система в H. Тогда (Uej)j∈J —ортонормированная система в K. Покажем, что (Uej)j∈J полна в K. Пусть g ∈ Kпроизволен и f ∈ H таков, что Uf = g. Тогда (см. 155.7)

∑

j∈J

|〈g, Uej〉|2 =∑

j∈J

|〈f, ej〉|2 = ‖f‖2 = ‖g‖2,

откуда снова в силу 155.7 следует, что (Uej)j∈J полна.Пусть гильбертовы пространства H и K обладают равномощными полными ор-

тонормированными системами (ej)j∈J ⊂ H, (hj)j∈J ⊂ K (их можно занумероватьодним индексом). Определим U : H → K равенством

Uf ≡∑

j∈J

〈f, ej〉hj (f ∈ H).

(Ряд, стоящий справа, сходится, так как для любой конечной части σ ⊂ J :‖ ∑

j∈σ〈f, ej〉hj‖2 =

∑j∈σ

|〈f, ej〉|2 6 ‖f‖2.) Отображение U сохраняет векторные опера-

ции (!!). Покажем, что U — биекция H на K. Для любого g ∈ K : g =∑j∈J

〈g, hj〉hj ⇒

g = Uf , где f =∑j∈J

〈g, hj〉ej ∈ H, т. е. U — сюръекция; U сохраняет скалярное про-

изведение:

〈Uf,Ug〉K = 〈∑

j∈J

〈f, ej〉hj ,∑

j∈J

〈g, ej〉hj〉 =∑

j∈J

〈f, ej〉〈g, ej〉 = 〈f, g〉H .

Отсюда же следует, что U — инъекция. ¤3. С л е д с т в и е. Все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы простран-

ства изоморфны между собой и изоморфны пространству `2.

303

§237. Теорема Рисса

1. Т е о р е м а [Ф. Рисс]. Пусть H — гильбертово пространство. Тогда длялюбого ϕ ∈ H∗ существует и определен однозначно вектор g ∈ H такой, что

ϕ(f) = 〈f, g〉 (f ∈ H). (∗)При этом ‖ϕ‖ = ‖g‖.¶ Отметим сначала, что линеал M ≡ f ∈ H : ϕ(f) = 0 — подпространствоH (см. 232.1). Достаточно, очевидно, рассмотреть случай, когда M — собственное

подпространство H. Пусть θ 6= h ∈ M⊥. Положим g =ϕ(h)‖h‖2

h. Заметив, что ϕ(h)f −ϕ(f)h ∈ M при любом f ∈ H, имеем

ϕ(f) =1

‖h‖2〈ϕ(h)f − ϕ(f)h + ϕ(f)h, h〉 =

ϕ(h)‖h‖2

〈f, h〉 = 〈f, g〉 (f ∈ H).

Если k — еще один вектор, удовлетворяющий (∗), то‖g − k‖2 = 〈g − k, g〉 − 〈g − k, k〉 = ϕ(g − k)− ϕ(g − k) = 0.

Наконец, равенство норм следует из оценок:

‖ϕ‖ 6 ‖g‖ =∣∣ϕ( h

‖h‖)∣∣ 6 ‖ϕ‖. ¤

2. Соответствие ϕ(∈ H∗) → g(∈ H) в теореме Рисса антилинейно: ϕ → g, ψ →h ⇒ λϕ + µψ → λg + µh (λ, µ ∈ C). Оно, кроме того, биективно и изометрично, аравенство

〈ϕ, ψ〉 ≡ 〈h, g〉H (где ϕ → g, ψ → h (ϕ,ψ ∈ H∗))

задает в H∗ структуру гильбертова пространства, и указанное в теореме Рисса со-ответствие осуществляет антиизоморфное отображение гильбертова пространстваH∗ на H (!!).

Из теоремы Рисса вытекает следствие принципа равномерной ограниченности230.1 для гильбертова пространства:

3. Пусть L ⊂ H и supg∈L

|〈f, g〉| < +∞ для любого f ∈ H. Тогда supg∈L

‖g‖ < +∞.

¶ Для g ∈ L положим ϕg ≡ 〈·, g〉. Тогда M ≡ ϕg : g ∈ L ⊂ H∗ и supϕg∈M

|ϕg(f)| =

supg∈L

|〈f, g〉| < +∞ (f ∈ H). Из 230.1 и теоремы Рисса supg∈L

‖g‖ = supϕg∈M

‖ϕg‖ < +∞. ¤

4. У п р а ж н е н и е. Покажите, что гильбертовы пространства H и H∗ изо-морфны. Для H = `2 укажите явный вид этого изоморфизма.

§238. Билинейные формы в гильбертовом пространстве

1. Функцию a : H ×H → C, где H — гильбертово пространство, назовем били-нейной формой (б. ф.) в H, если она линейна по первому аргументу и антилинейнапо второму:

a(λf1 + µf2, g) = λa(f1, g) + µa(f2, g),

a(g, λf1 + µf2) = λa(g, f1) + µa(g, f2), (fi, g ∈ H; λ, µ ∈ C).

304

(Сравните это определение с определением 2-линейной формы 230.3.) Б. ф. a назы-вается эрмитовой, если a(f, g) = a(g, f)(f, g ∈ H). Б. ф. a называется ограниченной,если существует C > 0 такое, что |a(f, g)| 6 C‖f‖ ‖g‖ (f, g ∈ H). Величина

‖a‖ ≡ infC > 0 : |a(f, g)| 6 C‖f‖ ‖g‖ (f, g ∈ H)

называется нормой ограниченной б. ф. a.

У п р а ж н е н и я. 2. Покажите, что ‖a‖ = sup‖f‖=‖g‖=1

|a(f, g)|.

3. Б. ф. ограничена ттогда она непрерывна (по совокупности переменных).

4. Если A — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H(т. е. A ∈ L(H, H), см. 223.1), то равенство a(f, g) = 〈Af, g〉(f, g ∈ H) определяетограниченную б. ф. Оказывается, справедливо и обратное:

5. Для всякой ограниченной б. ф. a в гильбертовом пространстве H существу-ет и определен однозначно оператор A ∈ L(H, H) такой, что a(f, g) = 〈Af, g〉 (f, g ∈H). При этом ‖a‖ = ‖A‖.¶ Для фиксированного элемента f ∈ H рассмотрим функционал F : H → C, дей-ствующий по формуле F (g) = a(f, g) (g ∈ H). Он линеен и ограничен, причем‖F‖ 6 ‖a‖ ‖f‖ (!!). По теореме Рисса существует и определен однозначно элементh ∈ H такой, что F (g) = 〈g, h〉 (g ∈ H), т. е. a(f, g) = 〈h, g〉 (g ∈ H). Таким обра-зом, возникает оператор A : H → H, определенный равенством Af = h. При этомa(f, g) = 〈Af, g〉 (f, g ∈ H). Покажем, что A ∈ L(H, H). Оператор A линеен в силувыкладки

〈A(λf1 + µf2), g〉 = a(λf1 + µf2, g) = λa(f1, g) + µa(f2, g)= 〈λAf1 + µAf2, g〉 (g ∈ H).

Оператор A ограничен в силу оценки ‖Af‖ = ‖h‖ = ‖F‖ 6 ‖a‖ ‖f‖. При этом‖A‖ 6 ‖a‖. С другой стороны,

|a(f, g)| = |〈Af, g〉| 6 ‖Af‖ ‖g‖ 6 ‖A‖ ‖f‖ ‖g‖ ⇒ ‖a‖ 6 ‖A‖.

Оператор A определен однозначно. (Если, напротив, B — еще один оператор такой,что a(f, g) = 〈Bf, g〉 (f, g ∈ H), то для любого g ∈ H : 〈Af − Bf, g〉 = 0, откудаAf = Bf (f ∈ H), т. е. A = B.) ¤

§239. Сопряженный оператор

1. Пусть A ∈ L(H,H) и a — соответствующая ему б. ф., то есть a(f, g) =〈Af, g〉 (f, g ∈ H). Рассмотрим новую б. ф. a∗(f, g) ≡ 〈f,Ag〉 (f, g ∈ H). Эта б. ф.ограничена, причем ‖a∗‖ = ‖a‖ (!!). Поэтому (см. 237.5) существует и определен од-нозначно оператор A∗ ∈ L(H, H) такой, что a∗(f, g) = 〈A∗f, g〉 (f, g ∈ H). При этом‖A∗‖ = ‖A‖. Оператор A∗ называется сопряженным к A. Этот оператор, такимобразом, однозначно определен равенством 〈Af, g〉 = 〈f, A∗g〉 (f, g ∈ H).

2. Отметим некоторые легко проверяемые свойства сопряженного оператора:

(а) (A + B)∗ = A∗ + B∗, (λA)∗ = λA∗;(б) A∗∗ = A;

305

(в) I∗ = I (I — тождественный оператор).

3. Оператор A ∈ L(H,H) называется самосопряженным, если A = A∗. ОператорA самосопряжен ттогда б. ф., соответствующая этому оператору в силу 238.4, явля-ется эрмитовой (!!). Отметим, что множество всех ограниченных самосопряженныхоператоров образует вещественное векторное пространство.

4. Для каждого ограниченного самосопряженного оператора A:

‖A‖ = sup‖f‖=1

|〈Af, f〉|.

¶ Обозначим ‖A‖′ = sup‖f‖=1

|〈Af, f〉|. Очевидно, ‖A‖′ 6 ‖A‖. Для доказательства

обратного неравенства заметим (непосредственный подсчет), что

〈A(f + g), f + g〉 − 〈A(f − g), f − g〉 = 4 Re 〈Af, g〉. (∗)

Пусть теперь ‖f‖ = ‖g‖ = 1, 〈Af, g〉 = reiϕ, где r = |〈Af, g〉|. Пусть g1 = eiϕg (вчастности, ‖g1‖ = 1). Тогда 〈Af, g1〉 = r и, применяя (∗) к паре f, g1, имеем сучетом 152.10(ii)

4r = 4〈Af, g1〉 = 4Re 〈Af, g1〉 = 〈A(f + g1), f + g1〉 − 〈A(f − g1), f − g1〉6 ‖A‖′(‖f + g1‖2 + ‖f − g1‖2) = 2‖A‖′(‖f‖2 + ‖g1‖2) = 4‖A‖′.

Из произвольности f, g отсюда ‖A‖ = sup‖f‖=‖g‖=1

|〈Af, g〉| 6 ‖A‖′. ¤

У п р а ж н е н и я. 5. Убедитесь, что векторное пространство (над полем R)всех ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Hявляется банаховым пространством относительно операторной нормы.

6. Для оператора A ∈ L(H, H) положим

R(A) = Af : f ∈ H, ker(A) = f ∈ H : Af = θ.

Покажите, что H = R(A∗)⊕ ker(A).

§240. Алгебра B(H)

1. Пусть H — комплексное гильбертово пространство. В соответствии с 223.6L(H, H) — банахово пространство относительно операторной нормы. Операция су-перпозиции двух операторов (A B)f ≡ A(Bf) (f ∈ H) не выводит из L(H, H) (см.223.5), причем ‖A B‖ 6 ‖A‖ ‖B‖. Будем в дальнейшем A B называть произве-дением операторов A и B и обозначать символом AB, а класс L(H, H) обозначатьчерез B(H).

2. Операция произведения определяет в B(H) структуру алгебры над полем C,т. е. для любых A,B, C ∈ B(H) (!!):

A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA,

A(BC) = (AB)C, A(λB) = (λA)B = λ(AB), λ ∈ C.

Тождественный оператор I является единицей алгебры B(H) : AI = IA = A (A ∈B(H)). Отметим, что если dimH > 1, алгебра B(H) некоммутативна. Оператор

306

A ∈ B(H) называется обратимым, если существует B ∈ B(H) такой, что AB =BA = I. В этом случае B называется обратным к A и обозначается A−1.

В силу 239.1 ∗) — операция в B(H). В следующем ниже утверждении собраны восновном известные нам факты:

3. Банахово пространство B(H) является алгеброй с единицей. Операция со-пряжения ∗) обладает свойствами:

(A + B)∗ = A∗ + B∗, (λA)∗ = λA∗ (λ ∈ C),A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗.

При этом для любых A,B ∈ B(H):

(1) ‖AB‖ 6 ‖A‖ ‖B‖,(2) ‖A∗A‖ = ‖A‖2.

¶ Докажем лишь последнее равенство. Отметим, что оператор A∗A самосопряжен.В силу 239.4

‖A∗A‖ = sup‖f‖=1

|〈A∗Af, f〉| = sup‖f‖=1

‖Af‖2 = ‖A‖2. ¤

У п р а ж н е н и я. 4. Если A ∈ B(H) обратим, то обратим и A∗, причем(A∗)−1 = (A−1)∗.

5. Операция ∗) непрерывна в B(H).6. Произведение операторов непрерывно в B(H) по совокупности переменных,

т. е. An → A,Bn → B ⇒ AnBn → AB.

§241. Ортопроекторы

1. Ортопроектором на подпространство K ⊂ H называется отображениеP : H → H, определенное равенством

Pf ≡ f1, где f = f1 + f2 (f1 ∈ K, f2 ∈ K⊥) (∗)

— разложение, определяемое 232.4. При этом P ∈ B(H) и ‖P‖ = 1, если P 6=0; если P — ортопроектор на подпространство K, то I − P — ортопроектор наподпространство K⊥.¶ В обозначениях (∗) и с учетом 152.10(i) ‖Pf‖2 = ‖f1‖2 6 ‖f1‖2 + ‖f2‖2 = ‖f‖2

(f ∈ H). Следовательно, P ∈ B(H) и ‖P‖ 6 1. Если P 6= 0 и θ 6= f ∈ K, то‖Pf‖ = ‖f‖, т. е. ‖P‖ = 1. ¤

Следующее свойство характеризует ортопроекторы в классе всех линейных огра-ниченных операторов.

2. P ∈ B(H) — ортопроектор ттогда P 2 = P = P ∗.¶ Пусть P — ортопроектор на подпространство K. Из (∗) следует, что P 2 = P .Пусть g ∈ H произволен и g = g1 + g2 (g1 ∈ K, g2 ∈ K⊥) — его разложение согласно(∗). Тогда 〈Pf, g〉 = 〈f1, g1 + g2〉 = 〈f1, g1〉 = 〈f1 + f2, g1〉 = 〈f, Pg〉, то есть P = P ∗.

Обратно, пусть P ∈ B(H) и P 2 = P = P ∗. Линеал K = Pf : f ∈ H замкнут:если Pfn → f0, то Pfn = P (Pfn) → Pf0, а из единственности предела f0 = Pf0 ∈ K.

307

Итак, K — подпространство. Покажем, что P — ортопроектор на K. Действительно,для любого f ∈ H : f = Pf + (f − Pf) и f − Pf ∈ K⊥, так как для любого g ∈ K(с учетом равенства P = P ∗ ):

〈g, f − Pf〉 = 〈Pg, f − Pf〉 = 〈g, P (f − Pf)〉 = 〈g, Pf − Pf〉 = 0. ¤

3. П р и м е р. Пусть X ⊂ R измеримо по Лебегу. Тогда отображение P : L2(R) →L2(R), определенное равенством Pf ≡ χX · f (f ∈ L2(R)), — ортопроектор в L2(R):из оценки

∫|χX (x)f(x)|2dx =

∫

X

|f(x)|2 dx 6∫|f(x)|2dx (f ∈ L2(R))

следует, что P ∈ B(L2(R)). Кроме того, ясно, что P 2 = P . Наконец, P = P ∗, так какдля любых f, g ∈ L2(R):

〈Pf, g〉 =∫

χX (x)f(x)g(x) dx =∫

f(x)χX (x)g(x) dx = 〈f, Pg〉.

4. Ортопроекторы P1 и P2 называются ортогональными, если P1P2 = 0 (в этомслучае и P2P1 = (P1P2)∗ = 0).

У п р а ж н е н и я. 5. Ортопроекторы P1, P2 (на подпространства K1 и K2

соответственно) ортогональны ттогда ортогональны K1 и K2.6. Пусть P1 и P2 — ортопроекторы. Оператор P ≡ P1+P2 — ортопроектор ттогда

P1P2 = 0.7. Произведение P = P1P2 ортопроекторов P1, P2 (на подпространства K1 и K2

соответственно) есть ортопроектор ттогда P1P2 = P2P1. При этом R(P ) = K1 ∩K2.

§242. Унитарные операторы

1. Линейная сюръекция U : H → H называется унитарным оператором, если〈Uf, Ug〉 = 〈f, g〉 (f, g ∈ H). Очевидно, U ∈ B(H), ‖U‖ = 1.

Следующее свойство характеризует унитарные операторы в классе всех линей-ных ограниченных операторов.

2. Пусть U ∈ B(H). Следующие условия эквивалентны:(а) U — унитарный оператор,(б) U∗U = UU∗ = I.

¶ (а) ⇒ (б). Из равенства 〈f, g〉 = 〈Uf, Ug〉 = 〈U∗Uf, g〉 (f, g ∈ H) следует, чтоU∗U = I. Так как U — сюръекция, для произвольного f ∈ H найдется h ∈ H такой,что f = Uh. Равенство UU∗ = I следует из выкладки (с учетом доказанного ужеравенства U∗U = I):

〈U∗Uf, g〉 = 〈UU∗Uh, g〉 = 〈U(U∗U)h, g〉 = 〈Uh, g〉 = 〈f, g〉 (f, g ∈ H).

(б) ⇒ (а). U∗U = I ⇒ 〈Uf,Ug〉 = 〈U∗Uf, g〉 = 〈f, g〉 (f, g ∈ H). СюръективностьU : f ∈ H ⇒ f = UU∗f = U(U∗f) ∈ R(U). ¤

3. П р и м е р. [Оператор Фурье-Планшереля в L2(R).] Рассмотрим пространствоШварца S (см. 170.4). Это плотный в L2(R) линеал (!!). Как известно (см. 171.7),

308

отображение f → f ](t) = (2π)−1/2

∫f(x)e−ixt dx (t ∈ R) — биекция S на S. Покажем,

что ]) — изометрия. Мы имеем

‖f ]‖2 =∫

f ](t)f ](t) dt =∫

f ](t)((2π)−1/2

∫f(x)e−ixt dx

)dt

=∫

f(x)((2π)−1/2

∫f ](t)eixt dt

)dx =

∫f(x)f ][(x) dx

=∫

f(x)f(x) dx = ‖f‖2.

(в третьем равенстве мы использовали лемму §165).Таким образом, ]) продолжается до ограниченного линейного отображения

U : L2(R) → L2(R). Из выкладки

〈f ], g〉 =∫

f ](t)g(t) dt =∫

(2π)−1/2

∫f(x)e−ixt dx · g(t)dt

=∫

f(x)((2π)−1/2

∫g(t)eixt dt

)dx =

∫f(x)g[(x) dx

= 〈f, g[〉 (f, g ∈ S)

и непрерывности скалярного произведения, получим

〈Uf, g〉 = 〈f, g[〉 (f ∈ L2(R), g ∈ S),

откуда U∗g = g[ (g ∈ S). Оператор U является унитарным оператором в L2(R) иназывается оператором Фурье-Планшереля. Достаточно убедиться, что U удовле-творяет условию 2(б). Пусть f ∈ L2(R) произволен и последовательность fn ∈ Sтакова, что fn → f в L2(R). Тогда

UU∗f = limn

UU∗fn = limn

U(f [n) = lim

nf []

n = limn

fn = f.

Таким образом, UU∗ = I. Аналогично, U∗U = I.

4. З а м е ч а н и е. Приведем формулу для “вычисления” оператора U на

функциях из L2(R). Обозначая f ]N (t) = (2π)−1/2

∫ N

−Nf(x)e−ixt dx (t ∈ R) (в правой

части стоит интеграл Лебега), имеем

‖Uf − f ]N‖2 = ‖Uf − Uχ

[−N,N ]f‖2 = ‖U(f − χ

[−N,N ]f)‖2

= ‖f − χ[−N,N ]

f‖2 =∫

|t|>N

|f(t)|2dt → 0 (N → +∞).

Таким образом,

(Uf)(t) = l.i.m.N→+∞

(2π)−1/2

∫ N

−Nf(x)e−ixt dx (t ∈ R),

где равенство, естественно, понимается п. в. в R, и символ l.i.m.N→+∞

(limes in medio —

предел в среднем) понимается как предел по норме пространства L2(R).

309

П р и м е р ы. 5. В гильбертовом пространстве `2(Z) суммируемых с квадратомпоследовательностей (fn)n∈Z оператор V , заданный равенством V (fn) ≡ (fn+1),является унитарным.

6. Оператор V в гильбертовом пространстве `2 = `2(N), определенный равен-ством V (f1, f2, . . .) ≡ (0, f1, f2, . . .) обладает свойством 〈V f, V g〉 = 〈f, g〉 (f, g ∈ `2),но не является унитарным (!!).

У п р а ж н е н и е. 7. Пусть X — линеал в гильбертовом пространстве, U —унитарный оператор. Тогда U(X⊥) = (UX)⊥.

§243. Конечномерные операторы

1. Пусть E и F — нормированные пространства. Оператор A ∈ L(E,F ) называ-ется конечномерным, если R(A) ≡ Af : f ∈ E — конечномерное подпространствов F .

2. Каждый конечномерный оператор A ∈ L(E, F ) допускает представление

A =n∑

j=1ϕj(·)gj (gj ∈ F, ϕj ∈ E∗).

¶ Пусть g1, . . . , gn — некоторый фиксированный алгебраический базис в R(A).Для произвольного вектора f ∈ E обозначим через ϕj(f) коэффициенты при раз-

ложении вектора Af по указанному базису: Af =n∑

j=1ϕj(f)gj . Из линейности A

следует, что функционалы ϕj : E → Λ линейны. Если последовательность fk → θ в

E, то (из непрерывности оператора A) Afk =n∑

j=1ϕj(fk)gj → θ. Из свойств конечно-

мерного пространства (220.3) ϕj(fk) → 0 при каждом j, так что ϕj ∈ E∗. ¤3. С л е д с т в и е. Каждый конечномерный оператор A ∈ B(H) допускает

представление

A =n∑

j=1

〈·, fj〉gj (fj,gj ∈ H), (∗)

где векторы gj можно выбрать попарно ортогональными.¶ (∗) следует из п. 2 и теоремы Рисса. Применяя процедуру ортогонализации Грама(см. 235.2) к векторам gj , мы добьемся их попарной ортогональности. ¤

У п р а ж н е н и я. 4. Для конечномерного оператора A ∈ B(H) найти пред-ставление A∗ в обозначениях п. 3.

5. Найти представление конечномерного ортопроектора в гильбертовом про-странстве H.

§244. Компактные операторы

1. Пусть E, F — банаховы пространства. Оператор A ∈ L(E, F ) называется ком-пактным, если образ A(B1[θ]) единичного шара при отображении A — предком-пактное множество в F . Из общего утверждения 105.2 следует:

2. A ∈ L(E, F ) компактен ттогда для любой ограниченной последовательно-сти (fn) ⊂ E последовательность (Afn) обладает сходящейся подпоследователь-ностью.

310

3. П р и м е р. Каждый конечномерный оператор является компактным. В част-ности, компактен тождественный оператор в конечномерном нормированном про-странстве. Между тем:

4. Тождественный оператор, действующий в бесконечномерном банаховом про-странстве, не является компактным.

Установим предварительно один геометрический факт (очевидный, впрочем, длягильбертовых пространств):

5. Л е м м а. Пусть X — замкнутое подпространство нормированного про-странства E, X 6= E. Тогда существует вектор f ∈ E\X такой, что ‖f‖ =1, ‖f − g‖ > 1/2 для всех g ∈X.¶ Пусть f0 ∈ E\X — произволен. Тогда d ≡ inf

g∈X‖f0 − g‖ > 0. Выберем g0 ∈ X так,

чтобы ‖f0 − g0‖ < 2d. Тогда вектор f ≡ f0 − g0

‖f0 − g0‖ — искомый, так как для любого

g ∈ X

‖f − g‖ = ‖ f0 − g0

‖f0 − g0‖ − g‖ =1

‖f0 − g0‖‖f0 − g0 − ‖f0 − g0‖g ‖ >d

2d=

12. ¤

¶ [Доказательство п. 4.] Достаточно установить, что единичный шар B1[θ] в беско-нечномерном банаховом пространстве не компактен. Построим индуктивно после-довательность (fn) ⊂ B1[θ] : f1 ∈ B1[θ] (‖f1‖ = 1) — произволен; если f1, . . . , fn ⊂B1[θ] уже построены и Xn — подпространство E (необходимо замкнутое), порожден-ное векторами f1, . . . , fn, то вектор fn+1 выберем по лемме п. 5. По построению‖fn − fm‖ > 1/2 (n,m ∈ N), и поэтому последовательность (fn) ⊂ B1[θ] не обладаетсходящейся подпоследовательностью, так что шар B1[θ] не компактен. ¤

6. У п р а ж н е н и е. Единичный шар B1[θ] нормированного пространствакомпактен ттогда пространство конечномерно.

§245. Свойства компактных операторов в гильбертовом пространстве

1. Далее будем рассматривать компактные операторы, действующие в гильбер-товом пространстве H. Обозначим через C(H) класс всех компактных операторов вH. Отметим некоторые свойства класса C(H):

2. An ∈ C(H), A ∈ B(H), ‖An −A‖ → 0 ⇒ A ∈ C(H).

3. C(H) — банахово пространство.

4. Если H сепарабельно, то A ∈ C(H) ттогда A является пределом по нормеконечномерных операторов.

5. A ∈ C(H) ⇒ A∗ ∈ C(H).

6. A ∈ C(H), B ∈ B(H) ⇒ AB, BA ∈ C(H).

7. A ∈ C(H) ⇒ R(I −A) замкнуто.¶ 2. Пусть последовательность (fn) ограничена и (f1

n) — ее подпоследовательностьтакая, что (A1f

1n) сходится. Пусть (f2

n) — подпоследовательность последователь-ности (f1

n) такая, что (A2f2n) сходится. Продолжив этот процесс, получим систему

311

(fkn) (k = 1, 2, . . .) подпоследовательностей такую, что (fk

n) — подпоследователь-ность последовательности (fk−1

n ) и (Akfkn) сходится. Тогда последовательность (fn

n )— подпоследовательность исходной последовательности (fn), причем (Afn

n ) сходит-ся. Это следует из оценки

‖A(fnn − fm

m )‖ 6 ‖(A−As)(fnn − fm

m )‖+ ‖As(fnn − fm

m )‖. (1)

Действительно, в силу ограниченности последовательности (fn) и условия‖An − A‖ → 0 первое слагаемое в правой части (1) может быть сделано меньшенаперед заданного числа при достаточно большом s. Для этого s последователь-ность (Asf

sn) сходится, а значит, сходится последовательность Asf

nn , поскольку при

n > s (fnn ) — подпоследовательность последовательности (f s

n). Следовательно, вто-рое слагаемое в правой части (1) также может быть сделано меньше наперед задан-ного числа при больших n. Остается учесть 244.2.

3. Пусть подпоследовательность An ∈ C(H) фундаментальна. В силу полнотыB(H) существует A ∈ B(H), что ‖An−A‖ → 0. Из п. 2 теперь следует, что A ∈ C(H).

4. Достаточность уже установлена (см. п. 2 и 244.3). Докажем необходимость.

Пусть e1, e2, . . .— ортонормированный базис в H и Pn ≡n∑

k=1

〈·, ek〉ek — конечномер-

ные операторы (ортопроекторы). Тогда APn =n∑

k=1

〈·, ek〉Aek — также последователь-

ность конечномерных операторов и достаточно установить, что λn ≡ ‖A− APn‖ →0 (n →∞). Рассмотрим ряд Фурье f =

∞∑k=1

〈f, ek〉ek произвольного вектора f ∈ H изаметим, что

(A−APn)f =∞∑

k=n+1

〈f, ek〉Aek, λn = sup‖f‖=1

‖(A−APn)f‖ = sup‖f‖=1,f∈(I−Pn)H

‖Af‖,

так что λ1 > λ2 > . . ., и поэтому существует λ ≡ limn

λn > 0. Пусть, напротив, λ > 0.

Тогда найдется такая последовательность gn ∈ (I − Pn)H, ‖gn‖ = 1, что

‖Agn‖ > λ/2. (2)

Заметим, что для любого f ∈ H

〈gn, f〉 → 0 (n →∞). (3)

Действительно,

|〈gn, f〉|2 = |〈gn,

∞∑

k=1

〈f, ek〉ek〉|2 = |〈gn,

∞∑

k=n+1

〈f, ek〉ek〉|2 = |∞∑

k=n+1

〈f, ek〉〈gn, ek〉|2

6[ ∞∑

k=n+1

|〈f, ek〉|2][ ∞∑

k=n+1

|〈gn, ek〉|2]

6∞∑

k=n+1

|〈f, ek〉|2 → 0 (n →∞).

В силу компактности A найдется подпоследовательность (gnk) последовательности

(gn) такая, что (Agnk) сходится: Agnk

→ h. В силу (2) h 6= θ. С другой стороны (сучетом (3), ‖h‖2 = lim

k〈Agnk

, h〉 = limk〈gnk

, A∗h〉 = 0. — противоречие.

312

5. Проверим утверждение для сепарабельного пространства. Пусть (An) — после-довательность конечномерных операторов, сходящаяся к A(∈ C(H)) по норме (п. 4).В силу 243.3–4 (A∗n) — последовательность конечномерных операторов, причем‖A∗n −A∗‖ = ‖An −A‖ → 0. Снова в силу п. 4 A∗ ∈ C(H).

6. Следует непосредственно из определения. Например, из условий A ∈ C(H), B ∈B(H) следует, что для каждой ограниченной последовательности (fn) в H последо-вательность (Bfn) также ограничена. В силу 244.2 последовательность (ABfn) обла-дает сходящейся подпоследовательностью (ABfnk

). Снова в силу 244.2 AB ∈ C(H).7. Пусть (I−A)fn → g. Можно считать, что fn ∈ [ker(I−A)]⊥. Из представления

(232.4) fn = f ′n + f ′′n (f ′n ∈ ker(I − A), f ′′n ∈ [ker(I − A)]⊥) получаем (I − A)f ′′n → g.Остается поменять последовательность (fn) на последовательность (f ′′n).

Покажем теперь, что последовательность (fn) ограничена. Если (fn), напро-тив, не ограничена, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что‖fn‖ → +∞ и тогда (из сходимости (I − A)fn) следует, что (I − A)kn → θ, где

kn ≡ fn

‖fn‖ (!!). Поскольку A — компактный оператор, можно считать (переходя

снова к подпоследовательности), что Akn сходится. Поэтому сходится и последова-тельность kn = (I − A)kn + Akn. Пусть kn → h. Тогда h ∈ [ker(I − A)]⊥ и ‖h‖ = 1.С другой стороны, (I − A)h = lim

n(I − A)kn = θ, и значит, h ∈ ker(I − A). Поэтому

h ∈ [ker(I −A)]⋂

[ker(I −A)]⊥ ⇒ h = θ, что противоречит равенству ‖h‖ = 1.Пусть C > 0 таково, что ‖fn‖ 6 C (n ∈ N). Так как A — компактный опера-

тор, существует подпоследовательность (fnk) такая, что (Afnk

) сходится, а значит,существует f ≡ lim

kfnk

(= limk

[(I − A)fnk+ Afnk

]), так что g = limn

(I − A)fn =

limk

(I −A)fnk= (I −A)f. ¤

8. У п р а ж н е н и е. Пусть A ∈ C(H) и P — ортопроектор. Покажите, чтоR((I + A)P ) замкнуто.

§246. Интегральные компактные операторы

В теории линейных интегральных уравнений ключевую роль играют интеграль-ные операторы T вида

(Tf)(t) =∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds), (∗)

где функция K(t, s) называется ядром оператора T , определенного на подходящемпространстве функций f , которые в свою очередь заданы на некотором простран-стве с мерой (M,µ).

1. Пусть сначала K(t, s) — непрерывная функция на квадрате 0 6 t, s 6 1. ТогдаT корректно определен на пространстве непрерывных функций C[0, 1]. При этом T— ограниченный линейный оператор. (В этом случае M = [0, 1], µ — линейная мераЛебега.) Действительно, ограниченность T следует из оценки

|(Tf)(t)| 6 max06t,s61

|K(t, s)| · ‖f‖ (t ∈ [0, 1]).

(Здесь ‖f‖ = max06t61

|f(t)| — известная норма в C[0, 1].)

313

2. В условиях п. 1 T — компактный оператор.¶ В силу 219.10 достаточно убедиться, что TB1[θ] — равностепенно непрерывноесемейство (см. 219.9). Так как K равномерно непрерывна на квадрате M ×M ,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t, s, t′, s′ ∈ M(‖(t, s)− (t′, s′)‖ < δ ⇒ |K(t, s)−K(t′, s′)| < ε

).

В частности,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t, t′, s ∈ M(|t− t′| < δ ⇒ |K(t, s)−K(t′, s)| < ε

).

Следовательно,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀f ∈ B1[θ] ∀t, t′ ∈ M(|t− t′| < δ ⇒

|(Tf)(t)− (Tf)(t′)| 6 max06s61

|K(t, s)−K(t′, s)| ‖f‖ < ε).

что и требовалось. ¤Мы перейдем теперь к условиям компактности оператора T в гильбертовом про-

странстве функций L2(M, µ). Предварительно установим лемму.

3. Пусть fj(t)j∈N, gk(s)k∈N — ортонормированные базисы в сепарабельныхгильбертовых пространствах L2(M1, µ1) и L2(M2, µ2) соответственно. Тогда си-стема функций fj(t)gk(s) — ортонормированный базис в L2(M1 ×M2, µ1 × µ2).¶ Проведем доказательство при предположении, что меры µ1, µ2 конечны. Преждевсего, fj(t)gk(s) — ортонормированная система в L2(M1 ×M2, µ1 × µ2). Остаетсялишь убедиться, что она замкнута. Пусть

∫

M1×M2

f(t, s)fj(t)gk(s)µ1(dt)µ2(ds) = 0 (j, k ∈ N).

По теореме Фубини 214.2∫

M1×M2

f(t, s)fj(t)gk(s)µ1(dt)µ2(ds) =∫

M2

(∫

M1

f(t, s)fj(t)µ1(dt))

gk(s)µ2(ds) = 0.

С учетом замкнутости системы gk(s) в L2(M2, µ2) следует, что для произвольногофиксированного j существует Sj ⊂ M2 такое, что

∫

M1

f(t, s)fj(t)µ1(dt) = 0 (s 6∈ Sj), µ2(Sj) = 0.

Полагая S ≡ ⋃j

Sj , получаем отсюда

∫

M1

f(t, s)fj(t)µ1(dt) = 0 (s 6∈ S, j ∈ N), µ2(S) = 0.

Так как система fj(t) замкнута, s 6∈ S ⇒ f(t, s) = 0 п. в. относительно µ1. ПустьA = (t, s) ∈ M1×M2 : f(t, s) 6= 0. Воспользуемся теоремой Фубини в форме 214.5.Так как

At ≡ s ∈ M2 : (t, s) ∈ A = s ∈ M2 : f(t, s) 6= 0 ⊂ S

314

п. в. относительно µ1, имеем µ1 × µ2(A) =∫

M2

(∫

M1

µ2(At)µ1(dt))

µ2(ds) = 0, откуда

f(t, s) = 0 п. в. относительно µ1 × µ2. ¤4. Пусть L2(M,µ) — сепарабельное гильбертово пространство,

K ∈ L2(M ×M, µ× µ). Тогда равенством (∗) задается компактный оператор.¶ Следует проверить следующие три факта:

(1) f ∈ L2(M,µ) ⇒ Tf ∈ L2(M, µ) (корректность определения T ),

(2) ‖Tf‖ 6 C‖f‖ (f ∈ L2(M,µ)) (ограниченность T ),

(3) существует последовательность Tn конечномерных операторов в L2(M,µ) та-кая, что Tn → T по норме (компактность T ).

Утверждение (1) следует из оценки∫

M

|(Tf)(t)|2µ(dt) =∫

M

∣∣∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds)∣∣2µ(dt)

6∫

M

(∫

M

|K(t, s)|2µ(ds) ·∫

M

|f(s)|2µ(ds))

µ(dt)

=∫

M

∫

M

|K(t, s)|2µ(ds)µ(dt) · ‖f‖2 < +∞.

Отсюда же следует (2) с C = ‖K‖ =[∫

M

∫

M

|K(t, s)|2µ(ds)µ(dt)]1/2. Для построения

последовательности Tn рассмотрим ортонормированный базис fj(t) в L2(M, µ).В силу п. 3 fj(t)fk(s) — ортонормированный базис в L2(M × M,µ × µ). Поэто-му K(t, s) =

∑

jk

λjkfj(t)fk(s), где λjk — коэффициенты Фурье функции K отно-

сительно базиса fj(t)fk(s), и ряд сходится по норме L2(M × M,µ × µ). Пусть

Kn =n∑

j,k=1

λjkfj(t)fk(s). Тогда

(Tnf)(t) ≡∫

M

Kn(t, s)f(s)µ(ds)

— конечномерный оператор (т. к. Tn =n∑

j,k=1

λjk〈·, fk〉fj). При этом (см. пункт (2)

настоящего доказательства)

‖T − Tn‖2 6 ‖K −Kn‖2 =∞∑

j,k=1

|λjk|2 −n∑

j,k=1

|λjk|2 → 0 (n →∞),

что и требовалось. ¤

5. У п р а ж н е н и е. Покажите, что в условиях п. 4 (T ∗f)(t) =∫

M

K(s, t)f(s)µ(ds)

(f ∈ L2(M, µ)).

315

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕОГРАНИЧЕННЫХОПЕРАТОРОВ

§247. Понятие замкнутого оператора

1. Линейным оператором (в дальнейшем просто оператором) T в гильбертовомпространстве H называется линейное отображение T : D(T ) → H, где D(T ) —линеал в H (он называется областью определения T ). Отметим, что для любоголинейного оператора Tθ = θ. Оператор T называется плотно заданным, если линеалD(T ) плотен в H. Линеалы kerT ≡ f ∈ D(T ) : Tf = θ и R(T ) ≡ Tf : f ∈ D(T )называются соответственно ядром и образом оператора T .

П р и м е р ы. 2. В гильбертовом пространстве H = L2[0, 1] определим операторM : (Mf)(t) ≡ tf(t) (0 6 t 6 1); M определен всюду в H и ограничен.

3. В гильбертовом пространстве H = L2(R) снова положим (Mf)(t) ≡ tf(t) (t ∈R), где D(M) = f ∈ L2(R) : tf(t) ∈ L2(R); M плотно задан, но не ограничен:

fn ≡ χ[n,n+1]

∈ D(M), ‖fn‖ = 1, но ‖Mfn‖2 =∫ n+1

nt2 dt > n2 (n ∈ N). Операторы в

примерах 2,3 называются операторами умножения на независимую переменную.

У п р а ж н е н и я. 4. Покажите, что T (fn) ≡ (nfn) — неограниченный плотнозаданный линейный оператор в `2.

5. В гильбертовом пространстве L2(R) положим (Tf)(t) = f ′(t) (f ∈ D(T ) ≡ D),где пространство D определено в 170.1. Убедитесь, что T — неограниченный плотнозаданный линейный оператор.

6. Алгебраические операции над линейными операторами в гильбертовом про-странстве H определяются соглашениями:

D(A + B) ≡ D(A) ∩D(B), (A + B)f ≡ Af + Bf ;D(λA) ≡ D(A), (λA)f ≡ λAf (λ ∈ C);D(AB) ≡ f ∈ D(B) : Bf ∈ D(A), (AB)f ≡ A(Bf).

Если kerA = θ, то определен оператор A−1, обратный к A : D(A−1) ≡ R(A),A−1(Af) ≡ f . При этом R(A−1) = D(A) и AA−1 = iR(A), A−1A = iD(A) (см. 1.2).Линейный оператор A назовем обратимым, если оператор A−1 определен всюду иограничен.

7. Графиком линейного оператора T в гильбертовом пространстве H называетсямножество Γ(T ) ≡ f, Tf : f ∈ D(T )(⊂ H ⊕H) — подмножество ортогональнойсуммы гильбертовых пространств (см. 233.2).

8. З а м е ч а н и е. Множество Γ ⊂ H ⊕ H является графиком некоторогооператора в H ттогда Γ — линеал в H ⊕H, не содержащий пар вида θ, g, g 6= θ(!!).

9. Линейный оператор S : D(S) → H называется расширением оператора T(пишем T ⊂ S), если D(T ) ⊂ D(S) и Tf = Sf (f ∈ D(T )). Отметим, что T ⊂ Sттогда Γ(T ) ⊂ Γ(S).

316

10. Линейный оператор T в гильбертовом пространстве H называется замкну-тым, если Γ(T ) замкнуто в H ⊕H (т. е. Γ(T ) — подпространство гильбертова про-странства H ⊕H); оператор T называется замыкаемым, если он обладает замкну-тым расширением.

11. З а м е ч а н и е. Класс замыкаемых операторов включает в себя классограниченных линейных операторов. Убедимся, что для ограниченного линейно-го оператора T его продолжение по непрерывности S (§227) является замкнутымоператором. Пусть fn, Sfn → f, h в H ⊕ H. Тогда fn → f, Sfn → h, и в силуконструкции оператора S (см. §227) f ∈ D(S). Из непрерывности S отсюда следует,что h = Sf , т. е. f, h = f, Sf ∈ Γ(S).

12. Всюду определенный оператор замкнут ттогда он ограничен.¶ Достаточность установлена в предыдущем пункте. Необходимость является след-ствием теоремы о замкнутом графике 231.5. ¤

Часто удобной бывает “покоординатная” форма замкнутости оператора:13. (i) Оператор T замкнут ттогда

fn ∈ D(T ), fn → f, Tfn → g влечет f ∈ D(T ), T f = g.

(ii) Оператор T замыкаем ттогда

fn ∈ D(T ), fn → θ, Tfn → g влечет g = θ.

¶ (i) — простая переформулировка определения из п. 10. Из замыкаемости T немед-ленно следует условие в (ii). Обратно, пусть выполнено условие в (ii). Определимоператор S:

D(S) ≡ f ∈ H : ∃(fn) ⊂ D(T ) ∃g ∈ H (fn → f, Tfn → g), Sf ≡ g.

S определен корректно: действительно, пусть f ′n ∈ D(T ) — еще одна последователь-ность такая, что f ′n → f, Tf ′n → g′. Тогда

fn − f ′n ∈ D(T ), fn − f ′n → θ, T (fn − f ′n) → g − g′.

Из (ii) следует, что g = g′. Далее по построению S ⊃ T, Γ(S) = Γ(T )− , так что Sзамкнут. ¤

14. Каждый замыкаемый оператор T обладает наименьшим замкнутым рас-ширением (оно обозначается T и называется замыканием оператора T ). При этомΓ(T ) = Γ(T )−.¶ Используем конструкцию оператора S из предыдущего пункта и положим T ≡S. Тогда (как отмечено выше) справедливо равенство Γ(T ) = Γ(T )− . Если R —еще одно замкнутое расширение оператора T , то Γ(T ) ⊂ Γ(R), а значит, Γ(T ) =Γ(T )− ⊂ Γ(R)− = Γ(R). Следовательно, T ⊂ R, так что T — наименьшее замкнутоерасширение оператора T. ¤

15. П р и м е р [незамыкаемого оператора]. Определим в гильбертовом простран-стве L2[0, 1] оператор T : D(T ) ≡ C[0, 1], (Tf)(λ) ≡ f(1)λ. Рассмотрим последова-тельность непрерывных функций fn , сходящуюся в L2[0, 1] к θ, и в то же время

317

таких, что fn(1) = 1. Тогда Tfn → ψ, где ψ(λ) = λ (0 ≤ λ 6 1). Из 13(ii) следует,что T не замыкаем.

У п р а ж н е н и я. В следующих утверждениях T — замкнутый оператор вгильбертовом пространстве H.

16. kerT — замкнутое подпространство в H.17. Если определен T−1 , то он также замкнут.18. Если A ∈ B(H), то A+T и TA замкнуты. Верно ли аналогичное утверждение,

если T — замыкаемый оператор?

§248. Сопряженный оператор

1. Пусть T — плотно заданный оператор в гильбертовом пространстве H. Опре-делим сопряженный оператор T ∗ :

D(T ∗) ≡ g ∈ H : ∃g∗ ∈ H ∀f ∈ D(T ) (〈Tf, g〉 = 〈f, g∗〉), T ∗g ≡ g∗ (g ∈ D(T ∗)).

¶ Убедимся в корректности данного определения. Следует проверить, что (а) эле-мент g∗ ∈ H определен однозначно, (б) полученный оператор T ∗ линеен (!!). Прове-рим (а). Пусть, напротив, есть еще один элемент h∗ такой, что выполнено равенство

〈Tf, g〉 = 〈f, h∗〉 (f ∈ D(T )).

Вычитая из него подобное равенство для элемента g∗ , имеем:

0 = 〈f, h∗〉 − 〈f, g∗〉 = 〈f, h∗ − g∗〉 (f ∈ D(T )).

Так как линеал D(T ) плотен в H, получаем, что h∗ = g∗. ¤Отметим, что для T ∈ B(H) данное определение согласуется с прежним опреде-

лением сопряженного оператора (239.1).

2. З а м е ч а н и е. Оператор T ∗ может и не быть плотно заданным. Рассмотримв качестве иллюстрации оператор T из примера 247.15. Если g ∈ D(T ∗), то длявектора g∗ в п. 1:

f(1)∫ 1

0λg(λ) dλ = 〈Tf, g〉 = 〈f, g∗〉 =

∫ 1

0f(λ)g∗(λ) dλ.

Так как линеал f ∈ C[0, 1] : f(1) = 0 плотен в L2[0, 1], отсюда следует, что g∗ = θ.Поэтому для f1(λ) ≡ 1 (0 6 λ 6 1) имеем

〈ψ, g〉 =∫ 1

0λg(λ) dλ = f1(1)

∫ 1

0λg(λ) dλ = 〈f1, θ〉 = 0.

Таким образом, линеал D(T ∗) ⊂ ψ⊥, и значит, не плотен в L2[0, 1].

3. Получим выражение для графика оператора T ∗ через график оператора T .Определим для этого оператор U в пространстве H ⊕H равенством

Uf, g ≡ g,−f (f, g ∈ H).

U — унитарный оператор (!!).

318

Если T — плотно заданный оператор в гильбертовом пространстве H, тоΓ(T ∗) = [UΓ(T )]⊥.¶ g, g∗ ∈ Γ(T ∗) ттогда 〈Tf, g〉 − 〈f, g∗〉 = 0 (f ∈ D(T )) ттогда

〈Uf, Tf, g, g∗〉 = 〈Tf,−f, g, g∗〉 = 〈Tf, g〉 − 〈f, g∗〉 = 0 (f ∈ D(T ))

ттогда g, g∗ ∈ [UΓ(T )]⊥. ¤4. Установим свойства сопряженного оператора:

(i) если операторы T, S плотно заданы и S ⊂ T , то T ∗ ⊂ S∗,

(ii) если T — плотно заданный оператор, то T ∗ замкнут.

(iii) плотно заданный оператор T замыкаем ттогда T ∗ — плотно задан. Приэтом T = T ∗∗.

(iv) Если T плотно задан, то H = ker(T ∗)⊕ [R(T )]−.

¶ (i). S ⊂ T ⇒ (см. 247.9) Γ(S) ⊂ Γ(T ) ⇒ UΓ(S) ⊂ UΓ(T ) ⇒ Γ(S∗) = [UΓ(S)]⊥ ⊃[UΓ(T )]⊥ = Γ(T ∗) ⇒ S∗ ⊃ T ∗.

(ii). Следует немедленно из п. 3.(iii). Отметим, что оператор U из п. 3 удовлетворяет равенству U2 = −I. Следо-

вательно (см. также 242.7),

Γ(T )− = Γ(T )⊥⊥ = [U2Γ(T )]⊥⊥ = [U(UΓ(T ))⊥]⊥ = [UΓ(T ∗)]⊥.

Если T ∗ плотно задан, то в силу (ii) из данного равенства следует, что линеалΓ(T ) = Γ(T )− — график оператора T ∗∗, так что T = T ∗∗. Обратно, пусть T ∗ заданне плотно. Тогда найдется g ∈ D(T ∗)⊥, g 6= θ. Тогда g, θ ∈ [Γ(T ∗)]⊥, а значит,

θ, g ∈ U [Γ(T ∗)⊥] = [UΓ(T ∗)]⊥ = Γ(T )−.

Это означает, что Γ(T )− — не график, то есть T не замыкаем.(iv). g ∈ R(T )⊥ ттогда 〈Tf, g〉 = 0 = 〈f, θ〉 (f ∈ D(T )) ттогда (см. п. 1)

g ∈ D(T ∗), T ∗g = θ ттогда g ∈ ker T ∗. ¤У п р а ж н е н и я. 5. Покажите, что в условиях п. 1 g ∈ D(T ∗) ттогда линейный

функционал f → 〈Tf, g〉, заданный на линеале D(T ), ограничен.6. Пусть T — плотно задан, а S ∈ B(H). Тогда (S + T )∗ = S∗ + T ∗.7. Пусть S, T, ST плотно заданы. Тогда (ST )∗ ⊃ T ∗S∗. Если, в частности,

S ∈ B(H), то (ST )∗ = T ∗S∗.8. Пусть T, T−1 плотно заданы. Тогда (T ∗)−1 = (T−1)∗.

§249. Эрмитовы и самосопряженные операторы

1. Плотно заданный оператор T называется эрмитовым (или симметрическим),если T ⊂ T ∗, или, что эквивалентно,

〈Tf, g〉 = 〈f, Tg〉 (f, g ∈ D(T )).

Оператор T называется самосопряженным, если T = T ∗.

319

2. З а м е ч а н и е. В силу 248.4 (ii) всякий эрмитов оператор замыкаем.

3. Пусть T — самосопряженный оператор, а оператор U — унитарный. Тогдаоператор UTU∗ самосопряжен.¶ Из 248.7 следует, что S ≡ UTU∗ эрмитов, т. е. S ⊂ S∗. Обратно (снова с учетом248.7),

U∗SU = T = T ∗ = (U∗(SU))∗ = (SU)∗U ⊃ U∗S∗U ⇒ S ⊃ S∗. ¤

П р и м е р ы. 4. [Оператор умножения на независимую переменную]. Рассмотримв пространстве L2(R) оператор M :

D(M) ≡ f ∈ L2(R) : λf(λ) ∈ L2(R),(Mf)(λ) ≡ λf(λ) (λ ∈ R, f ∈ D(M)).

Покажем, что M — самосопряженный оператор. Ясно, что M ⊂ M∗. Пусть g ∈D(M∗), g∗ = M∗g. Тогда для всех f ∈ D(M)∫

λf(λ)g(λ)dλ = 〈Mf, g〉 = 〈f, g∗〉 =∫

f(λ)g∗(λ)dλ ⇒∫

f(λ)[g∗(λ)− λg(λ)]dλ = 0.

Отметим, что L2[−N,N ] при каждом N > 0 можно рассматривать как подпростран-ство L2(R) (функция на отрезке [−N,N ] доопределяется нулем вне этого отрезка).При этом L2[−N, N ] ⊂ D(M). Теперь

∫ N

−Nf(λ)[g∗(λ)− λg(λ)]dλ = 0 (f ∈ L2[−N,N ])

влечет g∗(λ) − λg(λ) = 0 п. в. на [−N, N ] ⇒ (из произвольности N) g∗(λ) = λg(λ)п. в. в R⇒ λg(λ) ∈ L2(R), g∗(λ) = λg(λ) = (Mg)(λ). Итак, M = M∗. ¤

5. [Оператор дифференцирования]. Оператором дифференцирования в гильбер-товом пространстве L2(R) назовем оператор Q ≡ U∗MU , где U — унитарный опера-тор Фурье-Планшереля (см. 242.3), а M — оператор умножения на независимую пе-ременную, рассмотренный выше. В силу 247.5 и п. 3 Q — самосопряженный неогра-ниченный оператор. Получим формулу вычисления этого оператора на функцияхиз пространства Шварца S (см. 170.4), которые образуют плотный в L2(R) линеал.Отметим сначала, что функции из S удовлетворяют условиям п. 168.8. При этом вобозначениях 168.7 S ⊂ D(M),Mf = f § (f ∈ S). Согласно 171.7 US = U∗S = S.Поэтому S ⊂ D(Q) и

(Qf)(t) = (U∗MUf)(t) =1i(iU∗MUf)(t) =

1if ′(t) (f ∈ S, t ∈ R).

Этой формулой оправдывается название оператора Q, который является, такимобразом, самосопряженным расширением обычного оператора дифференцирования(с поправочным скалярным множителем), определенного изначально на S.

Самосопряженные операторы играют исключительно важную роль в теории опе-раторов и их приложений, в связи с чем полезны критерии и достаточные условиясамосопряженности. Приведем в качестве иллюстрации одно из достаточных усло-вий и его применение к установлению самосопряженности одного класса операторов.

320

6. Если T — эрмитов и R(T ) = H, то T самосопряжен.¶ Достаточно установить включение D(T ∗) ⊂ D(T ) (из п. 1 тогда следует, чтоT = T ∗). Для произвольного g ∈ D(T ∗) найдется g∗ ∈ H, что 〈Tf, g〉 = 〈f, g∗〉 (f ∈D(T )). Так какR(T ) = H, найдется h ∈ D(T ) такой, что Th = g∗. Поэтому 〈Tf, g〉 =〈f, Th〉 = 〈Tf, h〉 (f ∈ D(T )), откуда g = h ∈ D(T ). ¤

7. Пусть оператор T плотно задан и замкнут. Тогда T ∗T самосопряжен.¶ План доказательства: (i) покажем, что уравнение (I + T ∗T )f = g разрешимоотносительно f при любом g ∈ H, (ii) покажем, что линеал D(T ∗T ) плотен в H, (iii)установим, что оператор T ∗T эрмитов и R(I + T ∗T ) = H. В силу п. 6 это завершитдоказательство.

(i). Воспользуемся методом графика. В обозначениях 248.3

H ⊕H = Γ(T )⊕ Γ(T )⊥ = Γ(T )⊕ U∗Γ(T ∗).

Поэтому для произвольного g ∈ H найдутся такие f ∈ H, h ∈ D(T ∗), что

g, θ = f, Tf+ U∗h, T ∗h = f, Tf+ −T ∗h, h,откуда Tf = −h и g = f + T ∗Tf = (I + T ∗T )f .

(ii). Пусть, напротив, найдется элемент g 6= θ ортогональный линеалу D(T ∗T ).Пусть f удовлетворяет уравнению (I+T ∗T )f = g (в этом случае f ∈ D(T ∗T ), f 6= θ).Тогда

0 = 〈(I + T ∗T )f, f〉 = ‖f‖2 + 〈T ∗Tf, f〉 = ‖f‖2 + 〈Tf, T ∗∗f〉 = ‖f‖2 + 〈Tf, Tf〉 > 0,

— противоречие.(iii). Из включения (T ∗T )∗ ⊃ T ∗T ∗∗ = T ∗T следует, что T ∗T эрмитов, а значит,

таков же и I + T ∗T . В силу (i) R(I + T ∗T ) = H. В силу п. 6 оператор I + T ∗Tсамосопряжен, а значит, самосопряжен и T ∗T. ¤

8. У п р а ж н е н и е. Замкнутый эрмитов оператор T самосопряжен ттогда T ∗

эрмитов.

§250. О понятии аналитической вектор-функции

1. Пусть E — банахово пространство, Λ(⊂ C) открыто. Функция F : Λ → Eназывается сильно-аналитической, если

∀λ0 ∈ Λ ∃ε > 0 ∀λ ∈ Bε(λ0) (F (λ) =∞∑

n=0

(λ− λ0)nfn),

где элементы fn ∈ E не зависят от λ в круге Bε(λ0).2. З а м е ч а н и е. Если ϕ ∈ E∗ и F : Λ → E сильно аналитическая, то

ϕ F : Λ → C — обычная аналитическая функция.¶ Действительно, в обозначениях п. 1 имеем:

ϕ F (λ) = ϕ(∞∑

n=0

(λ− λ0)nfn) = ϕ(limk

k∑

n=0

(λ− λ0)nfn) = limk

ϕ(k∑

n=0

(λ− λ0)nfn)

= limk

k∑

n=0

ϕ((λ− λ0)nfn) =∞∑

n=0

ϕ(fn)(λ− λ0)n, λ ∈ Bε(λ0). ¤

321

3. У п р а ж н е н и е. Пусть F : Λ → B(H) — сильно аналитическая функция,A ∈ B(H), то A·F, F ·A сильно аналитические (здесь (A·F )(λ) ≡ AF (λ), (F ·A)(λ) ≡F (λ)A).

§251. Спектр оператора и его свойства

1. Пусть сначала H — конечномерное гильбертово пространство размерности n.Как уже нам известно, имеется биективное соответствие между алгеброй B(H) всехлинейных операторов в H и алгеброй n×n-матриц: зафиксировав ортонормирован-ный базис (ej), сопоставим оператору A матрицу [aij ], где aij = 〈Aej , ei〉. В частно-сти, если оператор A самосопряженный, числа aij связаны равенствами: aij = aji

(такие матрицы в курсе линейной алгебры называются эрмитовыми). Напомним,что вектор f ∈ H (f 6= θ) называется собственным вектором оператора A, отвеча-ющим собственному значению λ ∈ C, если Af = λf . Множество всех собственныхчисел образует так называемый спектр оператора A. Для самосопряженных опера-торов имеет место замечательный факт: матрица оператора A в ортонормированномбазисе из собственных векторов этого оператора имеет диагональный вид; другимисловами (в обозначениях 243.3),

A =n∑

j=1

λj〈·, ej〉ej (то есть ajj = λj , aij = 0 (i 6= j)).

Далее мы обобщим (далеко не в полной мере) эти понятия на бесконечномерныйслучай.

2. Пусть T — замкнутый плотно заданный оператор в гильбертовом простран-стве H. Множество

ρ(T ) ≡ λ ∈ C : λI − T — обратимназывается резольвентным множеством оператора T . В соответствии с 247.6λ ∈ ρ(T ) означает, что (λI − T )−1 ограничен и определен всюду в H. Множествоσ(T ) ≡ C\ρ(T ) называется спектром оператора T . Вектор f ∈ D(T )\θ называ-ется собственным вектором, отвечающим собственному значению λ, если Tf = λf .Если в частности, λ 6= 0 — собственное значение T , то λ ∈ σ(T ).

3. Пусть T замкнут и плотно задан. Тогда ρ(T ) открыто (в C) и

R(λ) ≡ (λI − T )−1 (λ ∈ ρ(T ))

— сильно аналитическая функция. Семейство R(λ)λ∈ρ(T ) состоит из попарнокоммутирующих операторов, причем

R(λ)−R(µ) = (µ− λ)R(µ)R(λ) (λ, µ ∈ ρ(T )).

¶ Пусть λ0 ∈ ρ(T ). Проверим, что в круге |λ− λ0| < ‖R(λ0)‖−1:

R(λ) =∞∑

n=0

(−1)n(λ− λ0)nR(λ0)n+1.

322

Так как (λ0I − T )R(λ0) = I, имеем для указанных λ

(λI − T )∞∑

n=0

(−1)n(λ− λ0)nR(λ0)n+1

= (λ0I − T )∞∑

n=0

(−1)n(λ− λ0)nR(λ0)n+1 + (λ− λ0)∞∑

n=0

(−1)n(λ− λ0)nR(λ0)n+1

= I +∞∑

n=1

(−1)n(λ− λ0)nR(λ0)n +∞∑

n=0

(−1)n(λ− λ0)n+1R(λ0)n+1 = I.

Таким образом, мы установили первую часть утверждения. Далее для λ, µ ∈ ρ(T )имеем

R(λ)−R(µ) = R(λ)(µI − T )R(µ)−R(λ)(λI − T )R(µ)= R(λ)(µ− λ)R(µ) = (µ− λ)R(λ)R(µ).

Наконец, используя доказанное равенство, получаем

R(λ)R(µ) =1

µ− λ[R(λ)−R(µ)] =

1λ− µ

[R(µ)−R(λ)] = R(µ)R(λ) (λ 6= µ). ¤

4. Спектр всякого ограниченного оператора является непустым компактныммножеством в C.

¶ Пусть T ∈ B(H). Для |λ| > ‖T‖ ряд∞∑

n=0λ−n−1Tn сходится абсолютно в банаховом

пространстве B(H). Прямые вычисления дают:

(λI − T )( ∞∑

n=0

λ−n−1Tn)

=( ∞∑

n=0

λ−n−1Tn)(λI − T ) = I.

Итак,∞∑

n=0λ−n−1Tn = R(λ) ⇒ λ ∈ ρ(T ). Отсюда σ(T ) ограничено и, будучи замкну-

тым (см. п. 3), компактно.Для проверки непустоты спектра заметим, что |λ| > ‖T‖ ⇒

‖R(λ)‖ = ‖ 1λ

∞∑

n=0

λ−nTn‖ 6 1|λ|

∞∑

n=0

(‖T‖|λ|

)n =1|λ| ·

1

1− ‖T‖|λ|

.

Отсюда ‖R(λ)‖ → 0 (λ →∞). Для произвольных f, g ∈ H рассмотрим функционалϕf,g ≡ 〈(·)f, g〉 ∈ B(H)∗. В силу 250.2 ϕf,g R — обычная аналитическая функция наρ(T ). Если допустить, что σ(T ) = ∅ (а значит, ρ(T ) = C), то ϕf,gR — аналитическаяфункция во всей комплексной плоскости, причем

ϕf,g(R(λ)) = |〈R(λ)f, g〉| 6 ‖R(λ)‖ ‖f‖ ‖g‖ → 0 (λ →∞).

По теореме Лиувилля из комплексного анализа ϕf,g R ≡ 0, то есть 〈R(λ)f, g〉 ≡0 (f, g ∈ H), откуда R(λ) ≡ 0, — противоречие. ¤

5. З а м е ч а н и е. Из доказательства п. 4 следует, что для T ∈ B(H): σ(T ) ⊂λ ∈ C : |λ| 6 ‖T‖.

323

6. Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности с цен-тром в 0.

¶ В силу п. 5 λ ∈ σ(U) ⇒ |λ| 6 1. 0 < |λ| < 1 ⇒ 1λ

I − U∗ — обратим, λI − U =

(λU)(U∗ − 1λ

I) ⇒ (λI − U)−1 = (U∗ − 1λ

I)−1(λU)−1 ∈ B(H) ⇒ λ ∈ ρ(U), то естьλ ∈ σ(U) ⇒ |λ| = 1. ¤

7. Если T самосопряжен, то σ(T ) ⊂ R.¶ Достаточно показать, что Im λ 6= 0 ⇒ λ ∈ ρ(T ). Пусть λ = a + i b, b = Im λ 6= 0.Для любого f ∈ D(T ) (с учетом самосопряженности T )

‖(λI − T )f‖2 = 〈(aI − T )f + i bf, (aI − T )f + i bf〉 = ‖(aI − T )f‖2 + b2‖f‖2 > b2‖f‖2.

Из этой оценки следует, что ker(λI − T ) = θ, а значит, (λI − T )−1 определен илинеал D((λI − T )−1) = R(λI − T ) плотен в H (см. 248.4(iv)). Далее из этой жеоценки имеем

‖(λI − T )−1(λI − T )f‖ = ‖f‖ 6 1|b|‖(λI − T )f‖ (f ∈ D(T ));

это означает, что оператор (λI − T )−1 ограничен. Кроме того, этот оператор за-мкнут (как обратный к замкнутому оператору), а значит, D((λI−T )−1) = H. Итак,(λI − T )−1 ∈ B(H). ¤

З а м е ч а н и я. 8. В п. 7 для самосопряженного оператора T получена оценка:‖R(λ)‖ 6 1/| Im λ| (Imλ 6= 0).

9. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям само-сопряженного оператора ортогональны: если Af = λf, Ag = µg (λ 6= µ), то

〈f, g〉 =1λ〈λf, g〉 =

1λ〈Af, g〉 =

1λ〈f, Ag〉 =

µ

λ〈f, g〉

влечет 〈f, g〉 = 0.У п р а ж н е н и я. 10. Для ортопроектора P : σ(P ) ⊂ 0, 1.11. Если T — замкнутый и плотно заданный оператор, а U — унитарный опера-

тор, то σ(UTU∗) = σ(T ).12. Покажите, что спектр оператора M умножения на независимую переменную

(см. 249.4) в гильбертовом пространстве L2(R) совпадает со всей числовой прямой.

324

УРАВНЕНИЯ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

§252. Теорема Фредгольма

Будем рассматривать в этом разделе сепарабельное гильбертово пространствоH. Следующая теорема является основополагающей для данного раздела.

Пусть A — компактный оператор в пространстве H. Рассмотрим уравнение

λAψ = ψ, (1)

где λ ∈ C — параметр. Тогда множество

σ ≡ λ ∈ C : уравнение (1) имеет ненулевое решение

дискретно (то есть не имеет предельных точек), и если λ ∈ C\σ, то I − λAобратим.

¶ Утверждение очевидно, если A = 0. Пусть A 6= 0. Положим r =1

2‖A‖ (> 0),

зафиксируем λ0 ∈ C и покажем, что

σ0 ≡ λ ∈ Br(λ0) : уравнение (1) имеет ненулевое решение

— конечное множество, причем λ ∈ Br(λ0)\σ0 ⇒ I−λA обратим. Отсюда и следуеттеорема (в силу произвольности λ0).

План доказательства: для круга Br(λ0) построим семейство конечномерных опе-раторов C(λ)λ∈Br(λ0) со свойствами:

(i) I − λA обратим ттогда I − C(λ) обратим,

(ii) уравнение (1) имеет ненулевое решение ттогда этим свойством обладает урав-нение

C(λ)ϕ = ϕ (2)

(iii) σ1 ≡ λ ∈ Br(λ0) : (2) имеет ненулевое решение — конечное множество,

(iv) λ ∈ Br(λ0) \ σ1 ⇒ I − C(λ) обратим.

В силу (ii) оказывается, что σ1 = σ0, что завершает доказательство теоремы. При-ступим к построению семейства C(λ).

Пусть B =N∑

i=1〈·, fi〉gi (gi — ортонормированная система) — конечномерный

оператор такой, что ‖λ0A−B‖ <12.

Заметим, что λ ∈ Br(λ0) ⇒ I − λA + B обратим. Действительно, из оценки‖λA−B‖ 6 ‖λA− λ0A‖+ ‖λ0A−B‖ < 1 и представления

I − λA + B = ‖λA−B‖(

1‖λA−B‖I − λA−B

‖λA−B‖)

следует, что1

‖λA−B‖(> 1) — резольвентная точка оператораλA−B

‖λA−B‖ .

325

Положим C(λ) = B(I −λA + B)−1 =N∑

i=1〈·, hi(λ)〉gi, где hi(λ) = (I −λA + B)−1∗fi

(λ ∈ Br(λ0)), и убедимся, что C(λ) — искомое семейство конечномерных операторов.(i) следует из равенства I−λA = (I−C(λ))(I−λA+B). Действительно, необходи-

мость очевидна. Для проверки достаточности положим X = (I−λA+B)(I−λA)−1.Тогда

(I − C(λ))X = X(I − C(λ)) = (I − λA + B)(I − λA)−1·· [(I − C(λ))(I − λA + B)](I − λA + B)−1 = I. (1)

(ii). Пусть θ 6= ψ = λAψ. Тогда вектор ϕ ≡ (I − λA + B)ψ удовлетворяет урав-нению (2), ϕ 6= θ, т. к. (I − λA + B) обратим; обратно, θ 6= ϕ = C(λ)ϕ ⇒ θ 6= ψ ≡(I − λA + B)−1ϕ = λAψ.

(iii) Уравнение (2) следует рассматривать в конечномерном подпространствеK = lin g1, . . . , gn, в котором оно имеет ненулевое решение ттогда Ik−C(λ) не обра-тим, т. е. ттогда (в базисе g1, . . . , gn) d(λ) ≡ det[Ik−C(λ)] = det[δij−〈gj , hj(λ)〉] =0. Функции ξij(λ) ≡ 〈gj , hj(λ)〉 (λ ∈ Br(λ0)) — аналитические по λ (!!), а значит, всилу теоремы единственности для аналитических функций, либо σ1 = λ ∈ Br(λ0) :d(λ) = 0 — конечно, либо σ1 = Br(λ0). Второе, однако, невозможно. Это невоз-можно при λ0 = 0, ибо иначе уравнение (2) имеет ненулевое решение при λ = 0,а значит (см. (ii)), при λ = 0 уравнение (1) имеет ненулевое решение. При λ 6= 0используйте связность C (!!).

(iv). Покажем, что d(λ) 6= 0 (т. е. λ ∈ Br(λ0) \ σ1) означает, что уравнение

(I − C(λ))ϕ = ψ

однозначно разрешимо при любом ψ. Положим ϕ = ψ + ψN , где ψN — решениеуравнения (IK − C(λ))ψN = C(λ)ψ. Это уравнение в K, и оно разрешимо, так какdet[I − C(λ)] = d(λ) 6= 0. Тогда [I − C(λ)](ψ + ψN ) = ψ − C(λ)ψ + C(λ)ψ = ψ, чтои требовалось. Итак, I − C(λ) обратим, ибо [I − C(λ)]−1 определен всюду в H (изамкнут). ¤

§253. Спектральная теорема для самосопряженного компактногооператора

1. [Теорема Рисса-Шаудера]. Пусть A ∈ C(H). Тогда для любого ε > 0 множе-ство σ(A)\Bε(0) конечно, причем если 0 6= λ ∈ σ(A), то λ — собственное значениеоператора A конечной кратности.¶ Пусть σ — дискретное множество из теоремы §252. При этом λ ∈ σ(A)\Bε(0) тто-гда 1/λ ∈ σ

⋂B1/ε[0]. Из дискретности σ отсюда следует, что σ(A)\Bε(0) конечно.

Далее, если K — подпространство всех собственных векторов из H, принадлежа-щих собственному значению λ 6= 0, то ограничение на K компактного оператора1λ

A является тождественным и компактным оператором в K. Из 244.4 следует, чтоK конечномерно. ¤

2. Если A ∈ C(H) — самосопряженный оператор и σ(A) = 0, то A = 0.¶ Пусть ‖A‖ = sup

‖f‖=1|〈Af, f〉| 6= 0 и для определенности ‖A‖ = sup

‖f‖=1〈Af, f〉 (мы

помним, что квадратичная форма 〈Af, f〉 в данном случае принимает веществен-ные значения). Тогда существует последовательность (gn), такая, что ‖gn‖ = 1 и

326

〈Agn, gn〉 → ‖A‖. Так как A ∈ C(H), (Agn) обладает сходящейся подпоследователь-ностью (обозначаемой также (Agn)) : Agn → h. Имеем

‖Agn − ‖A‖gn ‖2 = ‖Agn‖2 − 2‖A‖〈Agn, gn〉+ ‖A‖2

6 2[‖A‖2 − ‖A‖〈Agn, gn〉] → 0 (n →∞).

Отсюда gn =1‖A‖(‖A‖gn −Agn + Agn) → 1

‖A‖h 6= θ. Следовательно,

Ah = ‖A‖ limn

Agn = ‖A‖hвлечет, что h — собственный вектор оператора A, а ‖A‖ — отвечающее ему собствен-ное значение. Поэтому ‖A‖ ∈ σ(A). ¤

3. З а м е ч а н и е. Если dimH = ∞, то 0 ∈ σ(A) для любого A ∈ C(H) (!!).

4. [Теорема Гильберта-Шмидта (спектральная теорема для самосопряженногокомпактного оператора)]. Пусть A — самосопряженный компактный оператор всепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда существует ортонормиро-ванный базис (fn) в H такой, что

A =∑

n

λn〈·, fn〉fn, λn ∈ R, λn → 0.

¶ Пусть µk — ненулевые точки спектра A. В соответствии с 251.7 и пп. 1,3 σ(A) =0 ∪ µ1, µ2, . . ., µk ∈ R. Каждое собственное значение µk имеет конечную крат-ность:

dimHk < +∞, где Hk = f ∈ H : Af = µkf.В каждом Hk выберем ортонормированный базис и рассмотрим систему (fn) —объединение этих базисов. Это ортонормированная система, так как собственныевекторы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны (см. 251.9).Пусть K — замыкание линейной оболочки системы (fn). Тогда AK ⊂ K, AK⊥ ⊂ K⊥

(!!). Поэтому оператор A ≡ A|K⊥ — самосопряженный компактный оператор (вK⊥). Снова в силу теоремы Рисса-Шаудера 0 6= µ ∈ σ(A) означает, что µ — соб-ственное значение оператора A, а значит, и оператора A. Но по построению не суще-ствует ни одного ненулевого собственного значения, не принадлежащего семействуµ1, µ2, . . .. Поэтому σ(A) = 0 и согласно п. 2 A = 0.

Дополним ортонормированную систему (fn) до ортонормированного базиса в H(т. е. присоединим к (fn) базис в K⊥). Образуем последовательность: µ1, µ1, . . . , µ1,µ2, . . . , в которой каждое собственное число µk дублируется столько раз, каковаего кратность, и, заново перенумеровывая полученную последовательность, мы по-лучим последовательность (λn), причем λn → 0. Эта последовательность искомая.Действительно, представив любой вектор f ∈ H в виде f =

∑〈f, fn〉fn (разложениеf в ряд Фурье), имеем

Af = A(∑

n

〈f, fn〉fn) =∑

n

〈f, fn〉Afn =∑

n

λn〈f, fn〉fn. ¤

5. [Каноническая форма компактного оператора]. Пусть A — компактный опе-ратор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда существуют орто-нормированные системы (fn), (gn) и числа λn > 0 такие, что A =

∑n

λn〈·, gn〉fn (ряд

сходится по операторной норме).

327

¶Утверждение очевидно, если A = 0. Пусть A — компактный оператор, A 6= 0. ТогдаA∗A — самосопряженный компактный оператор, и по теореме Гильберта-Шмидтасуществует ортонормированная система (gn) и числа µn > 0 такие, что

A∗A =∑

n

µn〈·, gn〉gn, µn → 0.

(В представлении оператора A∗A согласно п. 4 мы оставляем лишь ненулевые сла-гаемые; µn > 0 в силу выкладки:

µn = µn‖gn‖2 = 〈µngn, gn〉 = 〈A∗Agn, gn〉 = ‖Agn‖2.)

Отметим далее, что ker (A∗A) = g1, g2, . . .⊥. Положим λn =√

µn, fn =Agn

λn.

Полученная система векторов (fn) — ортонормированная:

〈fn, fm〉 =1

λnλm〈Agn, Agm〉 =

1λnλm

〈A∗Agn, gm〉 =λ2

n

λnλm〈gn, gm〉 = δnm.

Произвольный вектор f ∈ H представим в виде f =∑n〈f, gn〉gn+h, где h ∈ ker (A∗A).

Но тогда h ∈ ker(A), откуда Af =∑

n

〈f, gn〉Agn =∑

n

λn〈f, gn〉fn (f ∈ H). Искомое

представление A получено. При этом λn → 0 влечет сходимость полученного рядапо операторной норме (!!). ¤

§254. Приложения к линейным интегральным уравнениям

1. Рассматрим интегральные операторы вида (Tf)(t) =∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds) в про-

странстве H = L2(M, µ). При этом предполагается, что K ∈ L2(M × M, µ × µ).Уравнение ∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds) = g(t)

(относительно f) называется уравнением Фредгольма 1-го рода. Функция K(t, s) на-зывается ядром интегрального уравнения (ядро Гильберта-Шмидта), а оператор T(он является компактным) называется оператором Гильберта-Шмидта. При этом(см. 246.5)

(T ∗f)(t) =∫

M

K(s, t)f(s)µ(ds).

2. З а м е ч а н и е. Более общим образом можно рассматривать операторноеуравнение

Tf = g, (1)

где T — некоторый компактный оператор. Оно называется операторным уравнени-ем Фредгольма 1-го рода. Уравнение (1) не корректно в следующем смысле: еслиg1, g2 — близкие (по норме) правые части, то соответствующие решения f1, f2 (еслиони существуют) могут быть далекими друг от друга. Действительно, оператор T

328

заведомо не обратим (т. к. 0 ∈ σ(T )), и даже если T−1 определен, он является за-мкнутым, но не непрерывным оператором. Поэтому существует последовательностьgn → θ такая, что T−1gn не стремится к θ.

3. Уравнение вида

f(t)−∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds) = g(t)

(относительно неизвестной функции f) называется уравнением Фредгольма 2-города. Мы будем записывать его в операторной форме:

(I − T )f = g, (2)

где T — компактный оператор. Если g 6= θ, то уравнение (2) называется неоднород-ным; если g = θ, — однородным:

(I − T )f = θ. (3)

Уравнение(I − T ∗)f = θ (4)

называется сопряженным однородным уравнением.Основные результаты, касающиеся разрешимости уравнений Фредгольма 2-го

рода, собраны в следующих трех теоремах (также называемых теоремами Фред-гольма):

4. Уравнение (2) разрешимо ттогда g ортогонально каждому решению со-пряженного однородного уравнения (4).

5. [Альтернатива Фредгольма]. Либо уравнение (2) имеет при любом g един-ственное решение, либо однородное уравнение (3) имеет ненулевое решение.

6. Однородные уравнения (3), (4) имеют одно и то же конечное число линейнонезависимых решений.¶ 4. Следует немедленно из представления

H = ker (I − T ∗)⊕R(I − T ) (5)

(см. 248.4(iv)), в котором учтено, что R(I − T ) замкнуто (см. 245.7).5. Это следствие теоремы §252 при λ = 1.6. Пусть f1, . . . , fm, h1, . . . , hn — ортонормированные базисы из решений

уравнений (3) и (4) соответственно и пусть, напротив, n 6= m. Рассмотрим для опре-деленности случай n > m (случай n < m рассматривается аналогично). Определимкомпактный оператор S равенством

S = T −m∑

k=1

〈·, fk〉hk

и заметим, что уравнение Sf = f имеет лишь тривиальное решение. Действитель-но, если f — решение этого уравнения, то все слагаемые в левой части равенства

(I − T )f +m∑

k=1

〈f, fk〉hk = θ

329

попарно ортогональны (см. (5)). В силу 152.10

(I − T )f = θ, 〈f, fk〉 = 0 (1 6 k 6 m).

Тогда из первого равенства следует, что вектор f — линейная комбинация векторов(fk), а из остальных, — что f = θ.

Согласно альтернативе Фредгольма заключаем, что уравнение (I − S)f = hm+1

однозначно разрешимо. Умножая обе части этого уравнения скалярно на векторhm+1, получаем (снова см. (5)) противоречие:

1 = 〈hm+1, hm+1〉 = 〈(I −S)f, hm+1〉 = 〈(I − T )f, hm+1〉+m∑

k=1

〈f, fk〉〈hk, hm+1〉 = 0. ¤.

§255. Случай симметричных и вырожденных ядер

1. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметричнымядром Гильберта-Шмидта K(t, s)(= K(s, t)):

f(t)−∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds) = g(t).

В соответствии с §254 это уравнение с компактным самосопряженным оператором

(Tf)(t) ≡∫

M

K(t, s)f(s)µ(ds):

(I − T )f = g. (∗)Отметим следствия теорем Фредгольма применительно к данному случаю:

2. (i) Если число 1 не есть собственное значение оператора T , то уравнение(∗) однозначно разрешимо.

(ii) Если 1 — собственное значение T , то уравнение (∗) разрешимо, если функ-ция g ортогональна всем собственным функциям, принадлежащим собственномузначению 1.

3. Получим решение уравнения (∗), используя спектральную теорему для ком-пактного самосопряженного оператора. Пусть (fn) — ортонормированный базис изсобственных векторов оператора T и

T =∑

n

λn〈·, fn〉fn, λn ∈ R, λn → 0,

— его представление по спектральной теореме 253.4. Пусть

σ0 = n ∈ N : λn = 0, σ1 = n ∈ N : λn = 1, σ = N\(σ0 ∪ σ1).

Решение уравнения (∗) ищем в виде f =∑n

µnfn, где µn = 〈f, fn〉 — неизвестные

коэффициенты Фурье вектора f . Тогда равенство (I − T )∑n

µnfn =∑n〈g, fn〉fn пе-

репишется в виде

330

(I − T )∑

n

µnfn =∑n∈σ0

µn(I − T )fn +∑n∈σ1

µn(I − T )fn

+∑n∈σ

µn(I − T )fn =∑n∈σ0

µnfn +∑n∈σ

µn(1− λn)fn

=∑n∈σ0

〈g, fn〉fn +∑n∈σ1

〈g, fn〉fn +∑n∈σ

〈g, fn〉fn.

С учетом единственности представления элемента рядом Фурье получаем в случае

2(i) (тогда σ1 = ∅): µn =

〈g, fn〉, если n ∈ σ0,〈g, fn〉1− λn

, если n ∈ σ.Искомое решение имеет вид

f =∑n∈σ0

〈g, fn〉fn +∑n∈σ

(1− λn)−1〈g, fn〉fn.

В случае 2(ii) (тогда σ1 6= ∅ и необходимо 〈g, fn〉 = 0 (n ∈ σ1)) имеем

f =∑n∈σ0

〈g, fn〉fn +∑n∈σ1

µnfn +∑n∈σ

(1− λn)−1〈g, fn〉fn,

где µn (n ∈ σ1) — произвольные константы.

4. Рассмотрим в заключение случай вырожденного ядра. Именно, пусть K(t, s) =n∑

j=1Pj(t)Qj(s), где Pj, Qj — наборы линейно независимых функций. Тогда

(Tf)(t) =∫

M

[ n∑

j=1

Pj(t)Qj(s)]f(s)µ(ds) =

n∑

j=1

〈f, Qj〉Pj(t).

Итак, T — конечномерный оператор. Обозначим

xj = 〈f, Qj〉, bj = 〈g,Qj〉, aij =∫

M

Pi(t)Qj(t)µ(dt) = 〈Pi, Qj〉.

Тогда (∗) превратится в уравнение f(t) = g(t) +n∑

j=1xjPj(t). Снова подставляя f(t)

в (∗), получим

g(t) +n∑

j=1

xjPj(t)−n∑

j=1

〈g +n∑

i=1

xiPi, Qj〉Pj(t) = g(t),

илиn∑

j=1xj − bj −

n∑i=1

aijxiPj(t) = 0. Так как Pj — линейно независимые функции,

приходим к следующей системе уравнений относительно неизвестных xj :

xj −n∑

i=1aijxi = bj (1 6 j 6 n). Таким образом, решение интегрального уравне-

ния с вырожденным ядром сведено к решению системы линейных алгебраическихуравнений, условия разрешимости которой хорошо известны из курса линейной ал-гебры.

331

ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА ВНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Заключительный раздел курса можно рассматривать как возвращение к его на-чалу в контексте нормированных пространств. По существу речь идет о локальномизучении нелинейных отображений посредством отображений линейных. В этомсмысле этот заключительный раздел может служить отправной точкой для нели-нейного функционального анализа, включающего в себя, с одной стороны, классиче-ское вариационное исчисление, восходящее к трудам Эйлера и Лагранжа, с другойстороны, это — современные разделы функционального анализа, интенсивно раз-вивающиеся и далеко еще не завершенные. Здесь мы ограничимся лишь самымипервоначальными сведениями.

§256. Производная Фреше и ее свойства

1. Пусть E, F — нормированные пространства над полем Λ(= C или R), U(⊂E) — открыто. Отображение A : U → F называется дифференцируемым в точкеx ∈ U , если существует ограниченный линейный оператор Lx ∈ L(E, F ) такой, чтосправедливо асимптотическое равенство

A(x + h)−A(x) = Lxh + o(h) (h → θ). (∗)

Здесь, как обычно, равенство r(h) = o(h) (h → θ) означает, что limh→θ

‖r(h)‖‖h‖ = 0, см.

103.1. Оператор Lx называется производной Фреше отображения A и обозначаетсятакже A′(x); Lxh — дифференциал Фреше отображения A в точке x.

Отметим элементарные свойства производной Фреше.

2. Если A дифференцируемо в точке x, то производная Фреше Lx определенаоднозначно.

3. Если отображение A дифференцируемо в точке x, то оно непрерывно в этойточке.

4. Если отображение A постоянно, то его производная Фреше равна нулю (тоесть нулевому линейному оператору).

5. Если A ∈ L(E, F ), то A дифференцируемо в каждой точке x ∈ E и A′(x) = A.

6. Если A,B : U → F дифференцируемы в точке x ∈ U , то в этой точкедифференцируемы отображения A + B, λA (λ ∈ Λ), причем

(A + B)′(x) = A′(x) + B′(x), (λA)′(x) = λA′(x).

7. Пусть E, F, G — нормированные пространства U(⊂ E), V (⊂ F ) открыты,A : U → F дифференцируемо в точке x ∈ U, A(U) ⊂ V и B : V → G дифференциру-емо в точке A(x). Тогда в точке x дифференцируемо отображение B A, причем(B A)′(x) = B′(A(x))A′(x).

332

Доказательство указанных утверждений проводится по известным схемам (см.§75) без каких-либо принципиальных изменений. Тем не менее, рекомендуется про-вести эти доказательства в контексте Упражнения 10 (см. ниже).

П р и м е р ы. 8. Пусть f(u, v) — непрерывная функция двух переменных, об-ладающая непрерывной частной производной f ′v(u, v). Исследуем на дифференци-

руемость функционал Φ : C[a, b] → R, заданный интегралом Φ(x) =∫ b

af(t, x(t)) dt.

Имеем

Φ(x + h)− Φ(x) =∫ b

a[f(t, x(t) + h(t))− f(t, x(t))] dt

=∫ b

a[f ′v(t, x(t))h(t) + o(h(t))] dt (h → θ).

Кроме того, из равенства

f(t, x(t) + h(t))− f(t, x(t)) = f ′v(t, x(t))h(t) + o(h(t)) (h → θ)

следует, что остаток o(h(t)) — непрерывная функция и поэтому интеграл∫ b

ao(h(t)) dt

корректно определен. При этом limh→θ

1‖h‖ ·

∣∣∣∫ b

ao(h(t)) dt

∣∣∣ = 0, так как сходимость

h → θ в C[a, b] означает равномерную сходимость к нулю. Итак,∫ b

ao(h(t)) dt =

o(h) (h → θ). Поэтому

Φ′(x)(h) =∫ b

af ′v(t, x(t))h(t)dt (h ∈ C[a, b]).

(Для значения функционала Φ′(x) на векторе h мы используем более привычнуюдля глаз запись Φ′(x)(h) вместо Φ′(x)h.)

9. В вещественном гильбертовом пространстве H продифференцируем функци-онал A(f) = ‖f‖2 (f ∈ H). Имеем

A(f + h)−A(f) = 2〈h, f〉+ ‖h‖2.

Поэтому A′(f) = 2〈·, f〉 (∈ H∗).

У п р а ж н е н и я. 10. Изменим основное определение п. 1, потребовав, чтобыв равенстве (∗) оператор Lx : E → F был просто линейным (не обязательно ограни-ченным). Проанализировать, какие свойства (из свойств 2–7) производной остаютсяв силе для такого определения.

11. В вещественном гильбертовом пространстве исследовать на дифференциру-емость функционал B(f) = ‖f‖.

§257. Необходимое условие локального экстремума

1. Пусть E — нормированное пространство и Φ : E → R — вещественный функ-ционал. Подобно 84.1 вводится понятие локального экстремума. Говорят, что функ-ционал Φ обладает локальным максимумом в точке f0, если найдется ε > 0 такое,

333

что f ∈ Bε(f0) влечет Φ(f) 6 Φ(f0). Аналогично определяется локальный мини-мум. Известное необходимое условие локального экстремума для функций (см. 84.2)обобщается на случай нормированного пространства:

2. Если функционал Φ : E → R дифференцируем и обладает локальным экстре-мумом в точке f0, то Φ′(f0) = 0.¶ Пусть для определенности Φ обладает в точке f0 локальным максимумом. Пусть,напротив, Φ′(f0) 6= 0. Тогда найдется вектор h такой, что Φ′(f0)h 6= 0. Пусть дляопределенности Φ′(f0)h > 0. В условии дифференцируемости функционала

Φ(f0 + g)− Φ(f0) = Φ′(f0)g + o(g) (g → θ)

будем брать векторы g вида th (t → 0, t > 0). Тогда для достаточно малых t > 0 :|o(th)|‖th‖ <

Φ′(f0)h2‖h‖ . Для таких t получим

Φ(f0 + th)− Φ(f0) = ‖th‖[Φ′(f0)th‖th‖ +

o(th)‖th‖

]= ‖th‖

[Φ′(f0)h‖h‖ +

o(th)‖th‖

]

> ‖th‖[Φ′(f0)h‖h‖ − |o(th)|

‖th‖]

> 0,

— противоречие с локальным максимумом в точке f0. ¤3. П р и м е р. Вернемся к примеру 256.8. Если наш функционал Φ(x) =∫ b

af(t, x(t)) dt обладает локальным экстремумом в точке x0, то

Φ′(x0)h =∫ b

af ′v(t, x0(t))h(t) dt = 0 (h ∈ C[a, b]).

Отсюда следует, что f ′v(t, x0(t)) = 0 (!!).

§258. Оценочная формула Лагранжа

Пусть E, F — нормированные пространства над полем Λ(= C или R), U(⊂ E)— открыто, отрезок [x, x+h] = x+th : 0 6 t 6 1 содержится в U и отображениеA : U → F дифференцируемо на этом отрезке. Тогда

‖A(x + h)−A(x)‖ 6 supθ∈[0,1]

‖A′(x + θh)‖ ‖h‖.

¶ Пусть функционал ϕ ∈ F ∗ произволен. Положим f(t) ≡ ϕ(A(x + th)) (0 6 t 6 1).Эта числовая функция числового аргумента дифференцируема по t на интервале(0, 1) в силу 256.7, причем f ′(t) = ϕ(A′(x+ th)h) (0 < t < 1). Применяя к f формулуконечных приращений Лагранжа, имеем f(1) − f(0) = f ′(θ) (0 < θ < 1), θ = θ(ϕ),то есть

|ϕ(A(x + h)−A(x))| = |ϕ(A′(x + θh)h)| 6 ‖ϕ‖ sup06θ61

‖A′(x + θh)‖ ‖h‖.

По следствию к теореме Хана-Банаха 228.3, существует такой элемент ψ ∈ F ∗, ‖ψ‖ =1, что ψ(A(x + h)−A(x)) = ‖A(x + h)−A(x)‖. Применяя полученную выше оценкук функционалу ψ, получим

‖A(x + h)−A(x)‖ 6 sup06θ61

‖A′(x + θh)‖ ‖h‖. ¤

334

§259. Интеграл от вектор-функции со значениями в банаховомпространстве

1. Пусть F — банахово пространство и A : [a, b] → F — вектор-функция. Будемговорить, что эта функция интегрируема по отрезку [a, b], если существует пределинтегральных сумм Римана

limn

n∑

k=1

(tk − tk−1)A(ξk), tk−1 6 ξk 6 tk,

при любом выборе разложений ∆(a = t0 < t1 < . . . < tn = b), подчиненных условиюmax(tk − tk−1) → 0 (n →∞). В этом случае указанный предел называется интегра-

лом Римана от вектор-функции A и обозначается символом∫ b

aA(t) dt. Коррект-

ность определения интеграла следует из аргументов, использованных в скалярномслучае (см. 46.4). Отметим некоторые свойства интеграла (ср. §81).

2. Непрерывная вектор-функция интегрируема.

3. Если A : [a, b] → F интегрируема, а B ∈ L(F, G), где G — еще одно банаховопространство, то BA интегрируема и

∫ b

aBA(t) dt = B

∫ b

aA(t) dt.

4. Если вектор-функция A(t) непрерывна, то

‖∫ b

aA(t)dt‖ 6

∫ b

a‖A(t)‖ dt.

5. [Формула Ньютона-Лейбница]. Пусть вектор-функция A(t) непрерывно диф-ференцируема. Тогда ∫ b

aA′(t) dt = A(b)−A(a).

¶ 2. В силу полноты пространства F достаточно установить, что последовательность

сумм Римана S∆k=

nk∑j=1

(tj− tj−1)A(ξj) фундаментальна. Пусть ε > 0 произвольно и

δ > 0 таково, что ∀t, s ∈ [a, b] (|t−s| < δ ⇒ ‖A(t)−A(s)‖ < ε). Выберем теперь N ∈ Nстоль большим, чтобы d(∆k) < δ/2 (k > N). Пусть m, k > N и ∆(a = τ0 < τ1 < . . . <τn = b) — разложение, узлы которого являются объединением узлов разложений

∆k(a = t0 < t1 < . . . < tnk= b) и ∆s(a = s0 < s1 < . . . < snm = b).

Имеем

‖S∆k− S∆m‖ = ‖

nk∑

j=1

(tj − tj−1)A(ξj)−nm∑

i=1

(si − si−1)A(ηi)‖

= ‖n∑

r=1

(τr − τr−1)[A(ξrj )−A(ηr

i )]‖,

335

где ξrj = ξj , если [τr−1, τr] ⊂ [tj−1, tj ], и ηr

i = ηi, если [τr−1, τr] ⊂ [si−1, si]. Тогда

|ξrj − ηr

i | 6 |ξrj − τr|+ |τr − ηr

i | 6 |tj − tj−1|+ |si − si−1| < δ

влечет ‖A(ξrj )−A(ηr

i )‖ < ε, а значит,

‖S∆k− S∆m‖ 6

n∑

r=1

‖A(ξrj )−A(ηr

i )‖(τr − τr−1) < ε(b− a).¤

3. Так как линейное отображение B непрерывно, имеем для любой последо-вательности разложений ∆(a = t0 < t1 < . . . < tn = b), подчиненных условиюmax(tk − tk−1) → 0 при n →∞, и любом выборе ξk ∈ [tk−1, tk]:

B

∫ b

aA(t) dt = B

(limn

n∑

k=1

(tk − tk−1)A(ξk))

= limn

n∑

k=1

(tk − tk−1)BA(ξk) =∫ b

aBA(t) dt.

4. Из непрерывности вектор-функции A(t) следует непрерывность скалярной

функции ‖A(t)‖ и, следовательно, существование интеграла∫ b

a‖A(t)‖ dt. Теперь

‖∫ b

aA(t)dt‖ = ‖ lim

n

n∑

k=1

(tk − tk−1)A(ξk)‖ = limn‖

n∑

k=1

(tk − tk−1)A(ξk)‖

6 limn

n∑

k=1

‖A(ξk)‖(tk − tk−1) =∫ b

a‖A(t)‖ dt.

5. Пусть ε > 0 произвольно. По условию вектор-функция A′(t) непрерывна и всилу п. 2 она интегрируема. Тогда найдется разложение ∆(a = t0 < t1 < . . . < tn = b)такое, что

‖∫ b

aA′(t) dt−

n∑

k=1

(tk − tk−1)A′(tk)‖ < ε.

Следовательно,

‖∫ b

aA′(t)dt− [A(b)−A(a)]‖ = ‖

∫ b

aA′(t)dt−

n∑

k=1

[A(tk)−A(tk−1)]‖

6 ‖∫ b

aA′(t) dt−

n∑

k=1

A′(tk)(tk − tk−1)‖

+ ‖n∑

k=1

[A(tk)−A(tk−1)−A′(tk)(tk − tk−1)]‖

6 ε +n∑

k=1

‖A(tk)−A(tk−1)−A′(tk)(tk − tk−1)‖.

Применяя оценочную формулу Лагранжа §258 к функции B(t) = A(t)+A′(tk)(tk−t),получим

‖A(tk)−A(tk−1)−A′(tk)(tk − tk−1)‖ = ‖B(tk)−B(tk−1)‖6 (tk − tk−1) sup

ξ∈[tk−1,tk]‖A′(ξ)−A′(tk)‖.

336

Из равномерной непрерывности вектор-функции A′(t) следует, что при разложениях∆ достаточно малого диаметра

supξ∈[tk−1,tk]

‖A′(ξ)−A′(tk)‖ <ε

b− a(k = 1, . . . , n).

Поэтому ‖∫ b

aA′(t)dt− [A(b)−A(a)]‖ < 2ε. Из произвольности ε утверждение дока-

зано. ¤

§260. Производные высших порядков. Формула Тейлора

1. Пусть E, F — нормированные пространства, U(⊂ E) — открыто. Пусть отоб-ражение A : U → F дифференцируемо в U , причем производное отображениеA′ : U → L(E,F ) дифференцируемо в точке x ∈ U . Тогда в соответствии с 256.1однозначно определено отображение A′′(x) ∈ L(E, L(E, F )), называемое 2-й про-изводной отображения A. Удобно отождествлять A′′(x) с элементом пространстваL(E ×E,F ) (см. 223.13) как 2-линейным отображением, действующим по формуле

A′′(x)h, k ≡ (A′′(x)h)k (h, k ∈ E).

Аналогично вводятся производные более высоких порядков.В заключение мы приведем аналог формулы Тейлора, ограничившись случаем

остатка в форме Пеано при n = 2, и укажем ее применение к нахождению доста-точных условий локального экстремума функционала.

2. Пусть в условиях п. 1 отображение A′′ определено и непрерывно в U . Еслиx + th : 0 6 t 6 1 ⊂ U , то

A(x + h) = A(x) + A′(x)h +12A′′(x)h, h+ o(‖h‖2) (h → θ).

¶ Так как A′ дифференцируемо в U , имеем

A′(x + h)−A′(x) = A′′(x)h + o(h) (h → θ). (∗)

Применяя формулу Ньютона-Лейбница 259.5 к вектор-функции t → [A(x + th)]′ =A′(x + th)h (0 6 t 6 1), имеем (с учетом (∗))

A(x + h)−A(x) =∫ 1

0A′(x + th)h dt =

∫ 1

0[A′(x)h + (A′′(x)th)h + o(th)h] dt

= A′(x)h +12A′′(x)h, h+ r(h),

где r(h) =∫ 1

0o(th) hdt. Покажем, что r(h) = o(‖h‖2) (h → θ). Для произвольного

ε > 0 существует δ > 0 такое, что ‖h‖ < δ влечет‖o(h)‖‖h‖ < ε, откуда

1‖h‖2

· ‖∫ 1

0o(th) hdt‖ 6 1

‖h‖2·∫ 1

0‖o(th)‖ ‖h‖ dt < ε.

337

Это и означает, что limh→θ

‖r(h)‖‖h‖2

= 0. ¤

3. Пусть U — открытое множество в банаховом пространстве E и функцио-нал Φ : U → R имеет 2-ю непрерывную производную Φ′′ : U → L(E × E,R). Еслиf0 ∈ U — точка локального минимума для Φ, то Φ′′(f0)h, h > 0 (h ∈ E). Обрат-но, если Φ′(f0) = 0 и Φ′′(f0)h, h > C‖h‖2 при некотором C > 0, то f0 — точкалокального минимума для Φ.¶ Пусть f0 — точка локального минимума для Φ. Тогда Φ′(f0) = 0 и по формулеТейлора (п. 2)

0 6 Φ(f0 + h)− Φ(f0) =12Φ′′(f0)h, h+ o(‖h‖2) (h → θ).

Введя числовой параметр t > 0, получим отсюда

Φ′′(f0)h, h =2t2

[Φ(f0 + th)− Φ(f0) + o(‖th‖2)

].

Переходя здесь к пределу при t → 0, получим, что Φ′′(f0)h, h > 0.

Обратно, пусть ε > 0 таково, что|o(‖h‖2)|‖h‖2

<C

4(‖h‖ < ε), где o(‖h‖2) — остаток

в формуле Тейлора (п. 2) для функционала Φ. Тогда

Φ(f0 + h)− Φ(f0) =12Φ′′(f0)h, h+ o(‖h‖2) > C

2‖h‖2 + o(‖h‖2)

>C

4‖h‖2 > 0 (‖h‖ < ε),

что и требовалось. ¤

338

Приложение I. МОДЕЛИ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

Данное приложение посвящено детальному изложению одной модели числовойпрямой. Попутно изложены начальные сведения из теории отношений, полезныедля основного курса. В заключение приведен эскиз модели числовой прямой, пред-ложенной А. Н. Колмогоровым (Успехи мат. наук, 1946, вып. 1, с. 217–219). Эта мо-дель интересна тем, что для построения действительных чисел используются толь-ко натуральные числа (а рациональные числа в качестве промежуточного шага невводятся).

1. Пусть E — множество. Непустая часть ρ множества E×E называется (бинар-ным) отношением в множестве E. Если (x, y) ∈ ρ, то говорят, что элементы x и yнаходятся в отношении ρ и пишут ρ(x, y) (существен порядок следования элементовx и y в этом обозначении!). Пусть ρ — отношение в E. Смежным классом элементаx ∈ E называется множество ρ(x) ≡ y ∈ E : ρ(y, x). Чаще всего имеют дело сотношениями, обладающими некоторыми из нижеследующих свойств:

рефлексивность: ∀x ∈ E (ρ(x, x)),симметрия: ρ(x, y) ⇒ ρ(y, x),антисимметрия: “ρ(x, y), ρ(y, x)” ⇒ x = y,транзитивность: “ρ(x, y), ρ(y, z)” ⇒ ρ(x, z).

2. Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отноше-нием эквивалентности. Нам понадобится теорема, характеризующая отношенияэквивалентности. Чтобы ее сформулировать, введем понятие разбиения множества.

3. Семейство (Ai)i∈I непустых частей множества E называется разбиением E,если Ai ∩Aj = ∅ (i 6= j),

⋃i∈I

Ai = E.

4. Т е о р е м а. Каждому отношению эквивалентности ρ в множестве Eотвечает разбиение (Ai)i∈I множества E такое, что

ρ(x, y) ттогда ∃i ∈ I (x, y ∈ Ai). (1)

Обратно, каждому разбиению (Ai)i∈I множества E отвечает отношение эквива-лентности в E, характеризуемое свойством (1).¶ Пусть ρ — отношение эквивалентности. В силу рефлексивности ρ ни один изсмежных классов семейства ρ(x)x∈E не пуст. Из симметрии и транзитивности ρследует, что для произвольных x, y ∈ E классы ρ(x) и ρ(y) либо совпадают, либоне пересекаются (!!). В качестве искомого разбиения возьмем попарно различныесмежные классы семейства ρ(x)x∈E . Обратное утверждение очевидно (!!). ¤

5.Множество, элементами которого являются попарно различные смежные клас-сы отношения эквивалентности ρ в множестве E, называется фактор-множествоммножества E по отношению ρ. Оно обозначается символом E/ρ. Отображение x →ρ(x), ставящее в соответствие каждому элементу x ∈ E его смежный класс, назы-вается канонической сюръекцией множества E на E/ρ.

6. Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение в множестве E на-зывается отношением порядка.Множество E, в котором фиксировано некоторое от-ношение порядка ρ называется упорядоченным множеством. В этом случае обычно

339

пишут x 6 y вместо ρ(x, y). Если x 6 y и x 6= y, то пишут x < y. Элементы x, y упо-рядоченного множества называются сравнимыми, если x 6 y или y 6 x. Порядок вE называется совершенным, если все элементы E попарно сравнимы; в этом случаеE называется совершенно упорядоченным.

7. З а м е ч а н и е. Если E совершенно упорядочено, то для любых x, y ∈ Eимеет место одно из трех: x < y, x = y, y < x.

8. Пусть Λ — поле бесконечной характеристики (из аксиом (I)–(III) следует,что именно таковым должно быть R). В 6.1 было сказано, как возникает при этоммножество N натуральных чисел. Подгруппу аддитивной группы кольца Λ, по-рожденную единицей кольца, обозначим через Z. Очевидно, Z = 0, ±1, ±2, . . ..Множество Z совершенно упорядочено отношением: n 6 m, если ∃p ∈ N (m =n + p− 1).

9. Рассмотрим множество E = Z×N, элементы которого условимся записыватьв виде p/q (p ∈ Z, q ∈ N). Пусть ρ(p/q, p1/q1) означает, что pq1 = p1q. Отношение ρ —отношение эквивалентности в E, а E/ρ естественно отождествляется с множествомQ.

10. Множество Q совершенно упорядочено отношением: p/q 6 r/s, если ps 6 rqв смысле порядка в Z (здесь p, r ∈ Z, q, s ∈ N).

11. У п р а ж н е н и е. Покажите, что в упорядоченном множестве отношение< транзитивно.

12. Под последовательностью в Q мы понимаем функцию f : N → Q. Подоб-но тому, как это было сделано в разделе “Предел числовой последовательности”,можно ввести понятие сходящейся (в Q) последовательности, фундаментальной по-следовательности и т. п. В частности, последовательность f : N → Q называетсяфундаментальной, если

∀ε > 0 (ε ∈ Q) ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N (|f(n + p)− f(n)| < ε).

Нетрудно видеть, что фундаментальными являются все сходящиеся последователь-ности. Очень существенно, что обратное утверждение уже неверно: существуютфундаментальные последовательности в Q, которые не сходятся ни к одному раци-ональному числу (см. ниже п. 18). Для сходящихся последовательностей в Q имеютместо обычные арифметические свойства. Аналоги этих свойств имеют место и дляфундаментальных последовательностей в Q (их доказательство является рутиннымповторением соответствующих рассуждений для общих числовых последовательно-стей).

13. Если последовательность f фундаментальна, то она ограничена.

14. Если последовательности f и g фундаментальны, то фундаментальнымиявляются последовательности f ± g, f · g.

15. Если последовательность f фундаментальна и не сходится к 0, то и по-следовательность 1/f фундаментальна.

16. Если последовательность f не возрастает и ограничена снизу, то она фун-даментальна.

340

17. З а м е ч а н и е. В этом приложении при рассмотрении частного двухпоследовательностей f/g не исключается, что g(n) = 0 для некоторых n. Для такихn разрешается считать числа (f/g)(n) произвольными.

18. У п р а ж н е н и е. Покажите, что последовательность f в Q, заданная ра-

венствами f(1) = 2, f(n + 1) =12(f(n) +

2f(n)

)(n > 1), является фундаментальной,

но не сходится к рациональному числу. (Убедитесь, что f не возрастает и ограниче-на снизу, учтите п. 16 и воспользуйтесь арифметическими свойствами сходящихсяпоследовательностей.)

19. Пусть Φ — множество всех фундаментальных последовательностей в Q. От-ношение ρ, заданное свойством: ρ(f, g), если (f − g)(n) → 0 (n → ∞), — являетсяотношением эквивалентности в Φ. Таким образом, элементы множества Φ/ρ явля-ются попарно различными классами ρ(f)(f ∈ Φ). В качестве множества R действи-тельных чисел возьмем фактор-множество Φ/ρ. Определим в Φ/ρ операции (+) и(·):

ρ(f) + ρ(g) ≡ ρ(f + g), ρ(f) · ρ(g) ≡ ρ(f · g).

В силу п. 14 эти определения корректны. Смежный класс, образованный последо-вательностями, сходящимися к числу q ∈ Q, назовем Φ-рациональным числом иобозначим ρ(q); в этот класс входит “постоянная” последовательность (q, q, . . .).

Итак, определено вложение q → ρ(q) множества Q в Φ/ρ. Это вложение инъек-тивно (!!).

Определим в Φ/ρ отношение порядка

ρ(f) 6 ρ(g), если ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (f(n)− g(n) < ε).

¶ Убедимся, что 6 задает порядок. Это отношение рефлексивно и транзитивно(!!). Проверим, что оно антисимметрично. Если ρ(f) 6 ρ(g) и ρ(g) 6 ρ(f), то из(2) следует, что для любого ε > 0 можно указать N ∈ N такое, что при любомn > N f(n) − g(n) < ε, g(n) − f(n) < ε. Следовательно, |f(n) − g(n)| < ε приn > N . Таким образом, (f − g)(n) → 0 (n →∞). По определению ρ отсюда следует,что ρ(f, g), то есть ρ(f) = ρ(g). ¤

Перейдем теперь к проверке аксиом для нашей модели.

20. Начнем с аксиомы (II). Операция ¿ + À определяет в Φ/ρ структуру ком-мутативной группы (!!). Роль единицы этой группы (то есть нуля поля) исполня-ет Φ-рациональное число ρ(0). Например, дистрибутивность ¿ + À относительно¿ · À следует из выкладки

ρ(f) · [ρ(g) + ρ(h)] = ρ(f) · ρ(g + h) = ρ(f · (g + h))= ρ(f · g + f · h) = ρ(f · g) + ρ(f · h)= ρ(f)ρ(g) + ρ(f)ρ(h) (f, g, h ∈ Φ).

Чтобы завершить проверку аксиомы (II), осталось убедиться, что ненулевые эле-менты Φ/ρ обратимы относительно операции ¿ · À. Пусть ρ(f) 6= ρ(0), то естьфундаментальная последовательность f не сходится к 0. В силу п. 15 g = 1/f ∈ Φ.Кроме того, ρ(f) · ρ(g) = ρ(f · (1/f)) = ρ(1), что и требовалось.

341

21. Перейдем теперь к аксиоме (I). Отметим, что в силу (2) отношение < в Φ/ρхарактеризуется свойством

ρ(f) < ρ(g) ттогда ∃ε > 0 (ε ∈ Q) ∃N ∈ N ∀n > N (ε < g(n)− f(n)). (3)

Кроме того,ρ(f) < ρ(g) ттогда ρ(f − g) < ρ(0). (4)

В силу пп. 7, 11 аксиомы (I1), (I2) справедливы. В силу 6.7 аксиому (I3) можно непроверять.

22. Аксиома (III). Пусть ρ(f) < ρ(0) и h(∈ Φ) произвольно. Пусть ε > 0 и N ∈ Nтаково, что

ε < −f(n) (n > N). (5)

Тогда ε < h(n)−[f(n)+h(n)] (n > N), то есть ρ(f)+ρ(h) = ρ(f +h) < ρ(h). С учетом(4) отсюда следует свойство (III1 ). Пусть, кроме того, 0 < ρ(h). Тогда существуетq ∈ Q (0 < q) и N1 ∈ N такие, что

q < h(n) (n > N1). (6)

Из (5) и (6) следует: qε < −f(n)h(n) (n > N2 = maxN1, N2), то есть ρ(f) · ρ(h) <ρ(0). С учетом (4) отсюда вытекает (III2).

В силу 6.9 можно не заниматься проверкой аксиомы (IV).

23. Аксиома (V). Пусть E(⊂ Φ/ρ) не пусто и ограничено сверху. Без ограниче-ния общности можно считать (и мы будем считать), что ρ(0) 6 ρ(f) (ρ(f) ∈ E).Пусть F — множество всех мажорант множества E. Пусть m0 — наибольшее целоенеотрицательное число такое, что ρ(m0) — не мажоранта E, так что ρ(m0 + 1) —наименьшее Φ-натуральное число из F . Рассмотрим 10 Φ-рациональных чисел

ρ(m0.0), ρ(m0.1), . . . , ρ(m0.9) (7)

(например, при m0 = 5 второе Φ-рациональное число в этом ряду — это Φ-рациональ-ное число ρ(51/10)). Пусть ρ(m0.m1) — наибольшее из тех Φ-рациональных чиселряда (7), которое не входит в F (здесь m1 — одна из цифр 0, 1, . . . , 9). Рассмотримснова 10 Φ-рациональных чисел ρ(m0.m10), . . . , ρ(m0.m19), и подобно сделанномувыше выберем из них число ρ(m0.m1m2). Продолжая этот процесс, получим после-довательность

ρ(m0), ρ(m0.m1), ρ(m0.m1m2), . . .

Φ-рациональных чисел, обладающих свойствами:

(8) при любом k (= 0, 1, 2, . . .) Φ-рациональное число ρ(m0.m1 . . . mk) — не мажо-ранта E,

(9) при qk = m0.m1 . . .mk + 10−k Φ-рациональное число ρ(qk) — мажоранта E.

Рассмотрим последовательность f в Q, заданную равенствами

f(1) = m0, f(2) = m0.m1, f(3) = m0.m1m2, . . .

342

Нетрудно видеть, что f ∈ Φ. Для завершения проверки аксиомы (V) нужно лишьубедиться, что ρ(f) — искомая наименьшая мажоранта множества E. Итак, нужноустановить, что

(а) ρ(f) ∈ F ,(б) если ρ(g) — мажоранта E, то ρ(f) 6 ρ(g).

Проверим (а). Пусть, напротив, ρ(f) — не мажоранта E. Тогда ∃ρ(g) ∈ E (ρ(f) <ρ(g)). Следовательно, существуют ε > 0 (ε ∈ Q) и N1 ∈ N такие, что ε < g(n) −m0.m1m2 . . . mn−1 (n > N1). Пусть N2 ∈ N такое, что 10−N2 < ε, и пусть N =maxN1, N2. Тогда для n > N + 1 (см. (9))

g(n)− qN = g(n)−m0.m1m2 . . .mN − 10−N

= g(n)−m0.m1m2 . . .mn−1 + m0.m1m2 . . . mn−1

−m0.m1m2 . . . mN − 10−N

> ε + 0.0 . . . mN+1 . . . mn−1 − 10−N > ε− 10−N2 ,

то есть ρ(qN ) < ρ(g), и значит, ρ(qN ) — не мажоранта E. Это противоречит (9).Проверим (б). Пусть, напротив, ρ(g) — мажоранта E, причем ρ(g) < ρ(f). Тогда

существуют ε > 0 (ε ∈ Q) и N1 ∈ N такие, что ε < m0.m1m2 . . . mn−1 − g(n) приn > N1. Выберем N2 ∈ N такое, что 10−N2 < ε, и пусть N = maxN1, N2. Тогда дляn > N + 1

m0.m1m2 . . .mN − g(n) = m0.m1m2 . . . mN −m0.m1m2 . . . mn−1

+ m0.m1m2 . . .mn−1 − g(n)> −0.0 . . . mN+1 . . .mn−1 + ε

> ε− 10−N > ε− 10−N2 .

Отсюда Φ-рациональное число ρ(m0.m1m2 . . . mN ) — мажоранта E, что противоре-чит (9). Итак, модель R построена.

В заключение отметим еще два важных факта.

24. Т е о р е м а [единственности]. Пусть (R, +, ·, 6) и (R, +, ·, 6) — две моделимножества действительных чисел. Тогда существует биекция j : R → R такая,что для любых α, β ∈ R

(а) j(α + β) = j(α)+j(β),(б) j(α · β) = j(α) · j(β),(в) α 6 β ттогда j(α)≤j(β).

¶ Идея доказательства: в силу аксиомы (II) в каждой из двух моделей есть мно-жества рациональных чисел (Q и Q), причем существует естественная биекцияj1 : Q → Q, обладающая свойствами (а) – (в). Осталось продолжить j1 до биек-ции j : R → R с сохранением свойств (а) – (в). Можно показать, что в аксиоме(I3) промежуточное число γ всегда можно выбрать рациональным (см. 6.8). Отсюдаα = supq ∈ Q : q 6 α. Искомая биекция j может быть определена равенствомj(α) = supj1(q) : q 6 α. ¤

25. Т е о р е м а [Г. Кантор]. Множество R действительных чисел несчетно.

343

¶ Достаточно установить, что несчетен отрезок [0,1]. Пусть, напротив, [0, 1] =α1, α2, . . .. Рассмотрим три отрезка [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]. Пусть [a1, b1] — одиниз них, выбранный из условия α1 6∈ [a1, b1] (α1 не может, очевидно, принадлежатьвсем трем отрезкам). Отрезок [a1, b1] разобьем на три отрезка так же, как мы этопроделали с отрезком [0, 1] и пусть [a2, b2] — один из трех подотрезков отрезка [a1, b1],которому не принадлежит число α2. Продолжая процесс, мы получим систему от-резков [a1, b1], [a2, b2], . . ., удовлетворяющую условиям леммы 11.4. Пусть α — дей-ствительное число, принадлежащее всем отрезкам [an, bn] (n ∈ N). Этого числа нет,однако, среди членов последовательности α1, α2, . . . . ¤

26.Приведем эскиз еще одной модели числовой прямой, предложенной А. Н. Кол-могоровым. Проверка всех аксиом предлагается в качестве тем самостоятельныхисследований. Будем считать известными только неотрицательные целые числа:N0 = 0⋃

N = 0, 1, 2, . . .. Если m ∈ N0, n ∈ N, то через[m

n

]обозначим наиболь-

шее число k ∈ N0, для которого kn 6 m.Пусть F — множество всех функций f : N → N0. Рассмотрим подмножество Φ

множества F , состоящее из функций ϕ, обладающих свойствами:

∀k ∈ N(

ϕ(n) =[ϕ(kn)

k

]), (10)

∀n ∈ N ∃k ∈ N (ϕ(kn) > kϕ(n)) . (11)

Присоединим к Φ функцию θ ∈ F , θ(n) = 0 (n ∈ N), и обозначим Φ0 = Φ⋃θ.

Зададим в Φ0 отношение порядка следующим образом:

ϕ < ψ означает, что ∃n ∈ N (ϕ(n) < ψ(n)) .

Зададим в Φ0 операции сложения и умножения функций равенствами:

(ϕ + ψ)(n) ≡ maxk∈N

[ϕ(kn) + ψ(kn)

k

](n ∈ N),

(ϕ · ψ)(n) ≡ maxs,k∈N

[ϕ(kn)ψ(sn)

nks

](n ∈ N).

Задача состоит в доказательстве того, что множество Φ0 обладает всеми свойствамимножества неотрицательных вещественных чисел.

27. З а м е ч а н и е. Основная идея предложенной выше модели состоит виспользовании “натуральноичной” системы представления действительных чисел(в отличие от известных десятичной и двоичной систем). Именно, неотрицательноедействительное число ϕ характеризуется последовательностью ϕ(n) = maxk ∈ N :k < ϕn (n ∈ N). В частности, натуральному числу ν в данной модели соответствуетпоследовательность ν(n) = νn− 1 (n ∈ N).

344

Приложение II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА1. Рассмотрим множество R2. Его элементы z = (x, y), где x, y ∈ R, будем за-

писывать в виде формальной суммы z = x + i y (здесь i является пока просто сим-волом). Определим над этими формальными суммами операции сложения (+) иумножения (·) равенствами

(x1 + i y1) + (x2 + i y2) ≡ (x1 + x2) + i(y1 + y2), (1)

(x1 + i y1) · (x2 + i y2) ≡ (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

Указанные операции определяют в R2 структуру коммутативного кольца с единицей(нулем кольца является элемент 0+i 0, а единицей — элемент 1+i 0) (!!). Более того,ненулевые элементы этого кольца образуют группу по умножению. В проверкенуждается лишь существование обратного у каждого элемента z = x + i y 6= 0. Вэтом случае x2 + y2 6= 0 и, как показывает простой подсчет, искомым обратнымявляется элемент z−1 =

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2. Таким образом, наше кольцо является

полем. Оно называется полем комплексных чисел и обозначается через C. Полевещественных чисел R можно рассматривать как подполе C, если отождествитьчисло x ∈ R с числом x + i 0 ∈ C. Элемент 0 + i 1 называется мнимой единицей (мыпишем далее i вместо 0 + i 1). Отметим, что i2 = i · i = (0 + i 1)(0 + i 1) = −1. Сучетом этого замечания операции (1) переходят в привычные операции сложенияи умножения, дистрибутивного относительно сложения, с заменой i2 на −1. Числоx− i y называется сопряженным к x + i y и обозначается z.

2. Комплексные числа естественно изображать точками числовой плоскости R2 :z = x + i y → (x, y) ∈ R2. При этом x ≡ Re z называется действительной частьючисла z, y ≡ Im z — мнимой частью z (Real — действительный, Imaginary — мнимый,англ.). В такой интерпретации покоординатное сложение (1) комплексных чиселсоответствует правилу сложения векторов. Модулем комплексного числа z = x+ i yназывается величина |z| ≡

√x2 + y2. В соответствии с указанной интерпретацией

C называется также комплексной плоскостью. Переходя к полярным координатам,число z = x + i y ∈ C зададим координатами (r, ϕ):

x = r cosϕ, y = r sinϕ,

так что z = r(cosϕ + i sinϕ). Это тригонометрическая форма комплексного числа.Здесь r = |z|, а угол ϕ называется аргументом числа z. Аргумент определяется сточностью до величины, кратной 2π. Отметим, что при умножении комплексныхчисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

zj = rj(cosϕj + i sinϕj) (j = 1, 2) ⇒z1z2 = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

¶ r1(cosϕ1 + i sinϕ1) · r2(cosϕ2 + i sinϕ2)= r1r2(cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) + i(sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2)= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)). ¤

3. На комплексные числа переносится понятие предела последовательности. Поопределению z0 = lim

nzn (или zn → z0), если

∀ε > 0 ∃N ∀n > N (|zn − z0| < ε).

345

Предел последовательности единствен. Последовательность (zn) комплексных чи-сел называется ограниченной, если ∃M > 0 ∀n ∈ N (|zn| 6 M). Всякая сходящая-ся последовательность ограничена. Имеют место аналоги арифметических свойствпредела (см. 10.7). Соответствующие доказательства без изменения переносятся наслучай комплексных последовательностей.

4. [Теорема Вейерштрасса].Каждая ограниченная последовательность комплекс-ных чисел обладает сходящейся подпоследовательностью.¶ Пусть zn = xn+i yn — ограниченная последовательность в C. Последовательности(xn), (yn) в R ограничены в силу оценок

|xn|, |yn| 6√

x2n + y2

n = |zn|. (2)

По теореме Вейерштрасса для R последовательность (xn) обладает сходящейся под-последовательностью: xnk

→ x0. Последовательность (ynk), будучи ограниченной,

также обладает сходящейся подпоследовательностью: ynkj→ y0 (j → +∞). Тогда

znkj→ z0 = x0 + i y0 (j → +∞). ¤

5. Последовательность zn ∈ C называется фундаментальной, если

∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N (|zn − zm| < ε).

Имеет место критерий Коши: последовательность (zn) в C фундаментальна тто-гда она сходится.¶ В силу неравенств (2) из фундаментальности zn = xn+i yn следует фундаменталь-ность последовательностей действительных чисел (xn), (yn). В силу критерия Кошидля R существуют x0 = lim

nxn, y0 = lim

nyn. Следовательно, zn → z0 = x0 + i y0. ¤

6. Рядом в C назовем формальную сумму

z1 + z2 + . . . (zk ∈ C). (3)

Ряд (3) называется сходящимся, если сходится последовательность его частных

сумм sn ≡ z1 + . . . + zn; при этом∞∑

k=1

zk = limn

sn. Для рядов в C остаются справед-

ливыми утверждения 13.3 и 13.5. Ряд (3) называется сходящимся абсолютно, если

сходится ряд∞∑

k=1

|zk|. Из критерия Коши следует, что всякий абсолютно сходящийсяряд сходится.

346

Приложение III. ПОРЯДКОВЫЕ СТРУКТУРЫ

1. Пусть (E, 6) — упорядоченное множество (см. прил. I.6). Элемент a ∈ Eназывается мажорантой (минорантой) множества X, если ∀x ∈ X (x 6 a) (соот-ветственно ∀x ∈ X (a 6 x)). Элемент a ∈ E называется верхней (нижней) граньюX, если a — наименьший (соответственно наибольший) элемент множества всех ма-жорант (соответственно минорант) X; пишут a = supX (соответственно a = inf X).Элемент a ∈ X(⊂ E) называется максимальным (минимальным) элементом X,если ∀x ∈ X (a 6 x ⇒ a = x) (соответственно ∀x ∈ X (x 6 a ⇒ a = x)).

Упорядоченное множество называется индуктивным, если всякая совершенноупорядоченная его часть обладает мажорантой.

2. П р и м е р. Множество всех подмножеств множества E, упорядоченное повключению, индуктивно.

3. Совершенно упорядоченное множество E называется вполне упорядоченным(а порядок в E называется полным), если каждая непустая часть E обладает наи-меньшим элементом.

П р и м е р ы. 4. Множество N вполне упорядочено.5. Множество R (с естественным порядком) не является вполне упорядоченным.

6. Пусть (Ei)i∈I — семейство множеств. Декартовым произведением множествEi называется множество

∏i∈I

Ei, элементами которого являются всевозможные, упо-

рядоченные индексом i, наборы (xi)i∈I , где xi ∈ Ei. В частности, если Ei = E (i ∈ I),то

∏i∈I

Ei обозначается символом EI . Ясно, что если одно из множеств Ei пусто, то∏i∈I

Ei = ∅. Кажется столь же ясным, что если все Ei 6= ∅, то∏i∈I

Ei 6= ∅. Действи-

тельно, выбрав в каждом Ei по одному элементу xi (это можно сделать, так какEi 6= ∅ (i ∈ I)), получим элемент (xi)i∈I ∈

∏i∈I

Ei. Однако, ясность пропадает, если

наложить на “выбор” разумное требование существования правила, руководствуяськоторым каждый из нас выбирал бы одни и те же элементы xi ∈ Ei. Существованиетакого правила утверждается в следующей аксиоме:

7. [Аксиома выбора]. Если (Ai)i∈I — семейство непустых частей множестваE, то существует правило, по которому каждому множеству Ai сопоставляетсянекоторый элемент xi ∈ Ai.

Это правило назовем функцией выбора для семейства (Ai)i∈I .

8. У п р а ж н е н и е. Проверить справедливость аксиомы выбора для подмно-жеств (Ai)i∈I множества N натуральных чисел (указать правило, фигурирующее ваксиоме выбора).

9. Т е о р е м а [Е. Цермело]. Всякое множество может быть вполне упорядо-чено.¶ Пусть E — произвольное множество и f — функция выбора для семейства всехнепустых подмножеств множества E. Непустое подмножество X множества E на-зовем f -множеством, если в X можно ввести структуру вполне упорядоченного мно-жества, причем

∀x ∈ X (x = f(E \ (−, x))), где (−, x) ≡ y ∈ X : y < x.

347

f -множества существуют: например, таковым является одноэлементное множествоf(E).

Доказательство проведем в несколько этапов:(i). Установим, что если X, Y — различные f -множества и X ⊂ Y , то

∃b ∈ Y (X = (−, b)).Действительно, пусть b — наименьший элемент множества Y \X. Тогда X ⊂

(−, b). Если допустить, что X 6= (−, b), то определен наименьший элемент a множе-ства (−, b) \X; a < b, так как a ∈ Y \X, что противоречит определению элемента b.Итак X = (−, b), и (i) установлено.

(ii). Если X, Y — f -множества то X ⊂ Y или Y ⊂ X.Если, напротив, X 6⊂ Y и Y 6⊂ X, то Y \X 6= ∅, X\Y 6= ∅ и существуют:a — наименьший (в X) элемент множества X\Y ,b — наименьший (в Y ) элемент множества Y \X.

Отметим, что X ∩ Y 6= ∅ (например, f(E) ∈ X ∩ Y ), и справедливы равенства:

X ∩ Y = (−, a) (справа — промежуток в множестве X),X ∩ Y = (−, b) (справа — промежуток в множестве Y ).

Действительно, если z ∈ X ∩ Y , то по определению элементов a и b : z < a (в X),z < b (в Y ). Обратно, если, например, z ∈ X, z < a, то z ∈ Y , так как иначе z ∈ X\Yи значит z > a — противоречие. Итак, X ∩Y = (−, a). Аналогично, X ∩Y = (−, b).

Теперь по определению f -множеств:

a = f(E\(−, a)) = f(E\(X ∩ Y )) = f(E\(−, b)) = b,

— противоречие.(iii). Пусть (Xα) — семейство всех f -множеств и Z =

⋃Xα — их объединение. В

силу (ii) в Z корректно определена структура совершенно упорядоченного множе-ства (x 6 y в Z означает, что x 6 y в подходящем f -множестве Xα).

(iv). Множество Z является f -множеством.Действительно, во-первых, ∀x ∈ Z ∃α (x ∈ Xα) ⇒ x = f(E \ (−, x)), так как Xα

f -множество, а в силу (iii) промежуток (−, x) в Xα совпадает с промежутком (−, x)в Z.

Во-вторых, Z является вполне упорядоченным множеством. Действительно, пустьX — непустое подмножество множества Z. Чтобы показать что X обладает наимень-шим элементом, введем элементы aα — наименьшие элементы множеств X ∩ Xα

(в случае, если X ∩ Xα 6= ∅ ). Достаточно показать, что наименьшим элементомобладает (совершенно упорядоченное) множество (aα). Зафиксируем элемент aα0 .Если aα0 — не наименьший элемент семейства (aα), то найдется индекс α такой,что aα < aα0 , а значит Xα \ Xα0 6= ∅. В силу (ii) Xα0 ⊂ Xα, а теперь в силу (i)∃b ∈ Z (Xα0 = (−, b)). Поэтому aα : aα < aα0 ⊂ Xα0 . Так как Xα0 вполне упоря-дочено, (aα) обладает наименьшим элементом.

(v). По построению Z является наибольшим (относительно порядка, определяе-мого включением) f -множеством в E.

(vi). Установим в заключение, что Z = E. (Это завершает доказательство тео-ремы.)

348

Пусть, напротив, E\Z 6= ∅ и a = f(E\Z) ∈ E\Z. Определим отношение порядка60 в множестве Z ∪ a следующим образом:

x 60 y, если x, y ∈ Z и x 6 y,∀x ∈ Z (x 60 a).

Тогда Z ∪ a вполне упорядочено. При этом Z = (−, a) и

f(E\(−, a)) = f(E\Z) = a.

Итак, Z∪a — f -множество. Это, однако, противоречит тому, что Z — наибольшееf -множество. ¤

10. С понятием полного порядка связано следующее обобщение известного прин-ципа математической индукции.

[Принцип трансфинитной индукции].Пусть (E, 6) — вполне упорядоченное мно-жество, и его подмножество A обладает свойствами:

(а) наименьший элемент множества E принадлежит A,

(б) для произвольного x ∈ E из принадлежности множеству A каждого элемен-та y < x следует, что x ∈ A.

Тогда A=E.¶ Пусть, напротив, Ac 6= ∅, и b — наименьший элемент Ac. Тогда ∀y < b (y ∈ A) ииз (б) следует, что b ∈ A, — противоречие. ¤

Заметим, что если в множестве уже задан некоторый порядок, то существующийпо теореме Цермело полный порядок с исходным, вообще говоря, никак не связан.Поэтому в приложениях чаще используют не теорему Цермело, а следующее ееважное следствие.

11. Т е о р е м а [М. Цорн]. Всякое индуктивное множество обладает макси-мальным элементом.¶ Пусть (E, 6) индуктивно и 6∗ — полный порядок в E, существующий по теоремеЦермело, a — наименьший (относительно 6∗ ) элемент в E. Построим индуктивномножество D.

(i) элемент a отнесем в множество D,(ii) если x ∈ E и все элементы y <∗ x уже расклассифицированы (то есть отне-

сены в D или в Dc ), то по определению x ∈ D, если x сравним (относительно 6 )со всеми элементами множества z ∈ D : z <∗ x, и x 6∈ D — в противном случае.

Из принципа трансфинитной индукции следует, что указанными условиями мно-жество D корректно задано, то есть каждый элемент x ∈ E либо отнесен в D, либоотнесен в Dc. По построению множество D совершенно упорядочено (относительно6), причем

∀y ∈ Dc ∃z ∈ D (y не сравним с z относительно 6). (1)

В самом деле, если (1) не выполнено, то

X ≡ y ∈ Dc : ∀z ∈ D (y сравним с z относительно 6) 6= ∅.

349

Пусть y0 — наименьший (относительно 6∗) элемент множества X. Тогда согласноконструкции D (см. (2)) y0 ∈ D — противоречие.

Так как E индуктивно, множество D обладает мажорантой b. Это искомый мак-симальный элемент E. (Если, напротив, существует c > b, то ∀z ∈ D (z < c), такчто, в частности, c сравним (относительно 6 ) со всеми элементами множества D.Поэтому (см. (1)) c ∈ D и, следовательно, c 6 b — противоречие.) ¤

Теорема Цорна была получена как следствие аксиомы выбора. На самом делеэти два утверждения эквивалентны:

12. Утверждение теоремы Цорна эквивалентно аксиоме выбора.¶ Покажем, что из утверждения теоремы Цорна следует аксиома выбора. Пусть E —произвольное множество и A — произвольное семейство его непустых подмножеств.Требуется доказать, что ∃f : A → E ∀a ∈ A (f(a) ∈ a). Мы докажем утвержде-ние для случая A = A(E) ≡ P(E) \ ∅. Тогда искомая функция получится какограничение построенной функции выбора на A .

Пусть Z — семейство всех непустых подмножеств множества E, обладающихнужным нам свойством:

∀X ∈ Z ∃fX : A(X) → X ∀a ∈ A(X) (fX(a) ∈ a). (2)

Семейство Z 6= ∅ (оно содержит одноэлементные подмножества множества E).Пусть Φ — семейство всех функций выбора, удовлетворяющих (2). Будем считать,что fX 6 gY (fX , gY ∈ Φ), если X ⊂ Y и ∀Z ⊂ X (fX(Z) = gY (Z)). Тогда 6 — отно-шение порядка в Φ (!!). Убедимся, что Φ индуктивно. Пусть (fXi)i∈I — совершенноупорядоченное подмножество Φ. Тогда функция fX , определенная для множестваX =

⋃i∈I

Xi равенством

fX(a) = fXi(a), если a ∈ A(Xi),

является мажорантой Φ. Теперь в силу утверждения теоремы Цорна Φ обладаетмаксимальным элементом fA. Осталось лишь установить, что A = E. Пусть, на-против, ∃x ∈ E\A. Рассмотрим множество X ≡ A ∪ x и определим функциюf : A(X) → X равенством:

f(Y ) =

fA(Y ), если x 6∈ Y,x, если x ∈ Y.

f — функция выбора для семейства A(X), причем f |A(A) = fA. Итак, fA < f , чтопротиворечит максимальности fA. ¤

13. Часто встречаются ситуации, когда приходится сравнивать множества поколичеству элементов в них содержащихся. Для двух множеств E и F будем писатьCard E > Card F (соответственно Card E > Card F ), если существует инъекцияf : F → E (соответственно существует инъекция f : F → E, но не существуетинъекции из E в F ). Следующее утверждение гласит, что для двух множеств имеетместо одно из трех: либо Card E > Card F , либо Card F > Card E, либо E и Fравномощны (в этом случае пишем Card E = Card F ):

14. У п р а ж н е н и е. Пусть E и F — два множества, причем существуютинъекции f : E → F и g : F → E. Тогда E и F равномощны. Указание: рассмотреть

350

множество A ≡∞⋃

n=0An, где A0 = E\g(F ), An ≡ g f(An−1) (n ∈ N). Убедиться, что

отображение

h(x) ≡

f(x), если x ∈ A,g−1(x), если x ∈ E\A

является биекцией E на F .

15. По определению Card E = n (n ∈ 0 ∪ N) означает, что E — конечноемножество, состоящее из n элементов; Card E = ℵ0 (соответственно Card E 6 ℵ0)означает, что E счетно (соответственно не более чем счетно); Card E > ℵ0 означает,что E несчетно.

16. У п р а ж н е н и е. Пусть Card E > ℵ0, Card F 6 ℵ0 и F ⊂ E. ТогдаCard (E\F ) = Card E.

17. Пусть Card I, Card J > ℵ0, J =⋃i∈I

Ji и Card Ji 6 ℵ0 при каждом i ∈ I.

Тогда Card J 6 Card I.¶ Пусть 6 — полный порядок в I. Воспользуемся трансфинитной индукцией. Пустьi0 = inf I. Построим инъекцию ψ0 : Ji0 → I так, чтобы I\ψ0(Ji0) было равномощноI. Пусть для α ∈ I уже построена инъекция ψ∼α :

⋃i<α

Ji → I, причем I\ψ∼α (⋃

i<αJi)

равномощно I. Возможны два случая:1) Jα ⊂

⋃i<α

Ji. Положим ψα ≡ ψ∼α ; тогда ψα — инъекция из⋃

i6αJi в I (при этом

I \ ψα(⋃

i6αJi) равномощно I),

2) Jα 6⊂⋃

i<αJi. Так как Jα счетно, определим инъекцию

ϕα : Jα\⋃

i<α

Ji → I\ψ∼α (⋃

i<α

Ji).

Затем определим инъекцию ψα :⋃

i6αJi → I, полагая ψα |

⋃i<α

Ji ≡ ψ∼α , ψα | (Jα\⋃

i<αJi)

≡ ϕα. При этом I\ψα(⋃

i6αJi) равномощно I. Теперь отображение ψ :

⋃i∈I

Ji → I,

определенное равенством ψ(j) ≡ ψα(j), где α = mini ∈ I : j ∈ Ji, являетсяискомой инъекцией из J в I.

351

Приложение IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ИТЕОРЕМА СТОКСА

Приложение содержит краткое введение в теорию дифференциальных форм,оно завершается выводом общей формулы Стокса для цепей. Его можно рассмат-ривать как эскиз современного изложения раздела “Элементы интегрирования помногообразиям”.

k-линейные формы

1. Отображение f : Rn × . . . × Rn → R (где Rn × . . . × Rn = Rnk) называетсяk-линейной формой на Rn, если при произвольных as ∈ Rn (s = 1, . . . , j − 1,j + 1, . . . , k) отображение

x → f(a1, . . . , aj−1, x, aj+1, . . . , ak)

линейно при любом j (1 6 j 6 k).

2. З а м е ч а н и е. Из общего вида линейной формы в Rn (см. 72.1–2) следует,что каждая k-линейная форма представима в виде

f(x1, . . . , xk) =∑

i1,...,ik

ci1...ikxi11 . . . xik

k , (1)

где xαβ — α-я координата вектора xβ в его разложении по стандартному базису

e1, . . . , en, а ci1...ik — константы, однозначно определяемые формой f (1 6 is 6n, 1 6 s 6 k).¶ Действительно, подставляя выражения xβ =

∑xα

βeα (β = 1, . . . , k) в левую часть(1) и пользуясь линейностью f по каждому аргументу, получим правую часть (1),где ci1...ik = f(ei1 , . . . , eik). ¤

3. В множестве всех k-линейных форм на Rn естественно вводится структуравекторного пространства. Оно обозначается T k(Rn) или T k; k-линейные формы,как элементы пространства T k, называются также ковариантными k-тензорами. Вчастности, линейные формы, как элементы пространства T 1 = L(Rn,R) называютсяковекторами.

Внешние формы

4. k-линейная форма f на Rn называется внешней, если

f(xσ(1), . . . , xσ(k)) = ε(σ)f(x1, . . . , xk),

где ε(σ) (= ±1) — сигнатура перестановки σ =(

1 . . . kσ(1) . . . σ(k)

). Всякая линейная

форма на Rn — 1-линейная внешняя форма.5. З а м е ч а н и е. Если f — внешняя форма и xi = xj для некоторых индексов

i и j (i 6= j), то f(x1, . . . , xk) = 0.

6. Пусть u1, . . . , uk — линейные формы на Rn. Внешним произведением этихформ (в указанном порядке) называется внешняя k-линейная форма на Rn, опре-деляемая равенством

u1 ∧ . . . ∧ uk(x1, . . . , xk) = det[ui(xj)].

352

7. Пусть y1, . . . , yn — базис в Rn. Базис f1, . . . , fn в L(Rn,R) назовем дуальнымк базису y1, . . . , yn, если f i(yj) = δij (i, j = 1, n). В частности, для стандартно-го базиса e1, . . . , en дуальный базис образует система dx1, . . . , dxn дифференциаловнезависимых переменных xi.

8. Всякая внешняя k-линейная форма на Rn представима в виде

f =∗∑

ci1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik ≡∑

i1<...<ik

ci1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik .

¶ Представим f в виде (1). В этом представлении xjs = dxj(xs). Так как f внешняя,

имеемciσ(1)...iσ(k)

= ε(σ)ci1...ik . (2)

(Обратно, из (2) следует, что f внешняя.) Группируя члены, отличающиеся пере-становкой индексов, имеем

f(x1, . . . , xk) =∗∑

ci1...ik

(∑σ

ε(σ)xi1σ(1) . . . xik

σ(k)

)=

∗∑ci1...ik det[dxim(xj)]

=( ∗∑

ci1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik)(x1, . . . , xk

). ¤

Отметим специальные случаи внешних форм.

9. Если k > n, то всякая k-линейная внешняя форма на Rn нулевая.¶ В представлении п. 8 в этом случае среди каждого набора индексов i1, . . . , ikобязательно найдется пара одинаковых. В силу п. 5 получаем требуемое. ¤

10. Всякая n-линейная внешняя форма на Rn имеет вид f = λdx1 ∧ . . . ∧ dxn,λ ∈ R.

Умножение внешних форм

11. В множестве Λk(Rn) всех k-линейных внешних форм на Rn естественновводится структура вещественного векторного пространства. Определим еще од-ну операцию над внешними формами, называемую внешним умножением. Пустьf ∈ Λk(Rn), g ∈ Λs(Rn) и

f =∗∑

ci1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik , g =∗∑

dj1...jsdxj1 ∧ . . . ∧ dxjs

— их канонические представления. Внешним произведением форм f и g называетсяформа f ∧ g ∈ Λk+s(Rn), определяемая равенством

f ∧ g ≡∑

i1<...<ikj1<...<js

ci1...ikdj1...jsdxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs .

Отметим свойства операции умножения форм.

12. (λf) ∧ g = f ∧ (λg) = λ(f ∧ g), λ ∈ R,

353

13. (f + g) ∧ h = f ∧ h + g ∧ h,

14. f ∧ g = (−1)ksg ∧ f ,

15. (f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h).¶ Пп. 12,13,15 очевидны, п. 14 достаточно проверить для “базисных” форм f =dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , g = dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs (i1 < . . . < ik, j1 < . . . < js). Утверждение

следует из замечания, что сигнатура перестановки(

i1 . . . ik j1 . . . js

j1 . . . js i1 . . . ik

)равна

(−1)ks. ¤

Замена переменных во внешних формах

16. Пусть ψ : Rm → Rn — линейное отображение и f — внешняя k-линейнаяформа на Rn. Тогда равенство

ψ ∗ f(x1, . . . , xk) ≡ f(ψ(x1), . . . , ψ(xk)), xj ∈ Rm (1 6 j 6 k),

определяет форму ψ ∗ f ∈ Λk(Rm).

¶ Для любой перестановки σ =(

1 . . . kσ(1) . . . σ(k)

)имеем

ψ ∗ f(xσ(1), . . . , xσ(k)) = f(ψ(xσ(1)), . . . , ψ(xσ(k))) = ε(σ)f(ψ(x1), . . . , ψ(xk))

= ε(σ)ψ ∗ f(x1, . . . , xk).¤

17. У п р а ж н е н и е. Доказать равенство ψ∗(f∧g) = (ψ∗f)∧(ψ∗g). (Покажитесначала, что ψ ∗ (dxi1 ∧ . . . ∧ dxik) = (ψ ∗ dxi1) ∧ . . . ∧ (ψ ∗ dxik).)

Дифференциальные формы

18. Касательным пространством к евклидову пространству Rn в точке x ∈ Rn

назовем пространство Rn, все точки которого “отмечены"индексом x. Будем обозна-чать касательное пространство символом Rn

x: каждому вектору u ∈ Rn сопоставля-ется вектор ux ∈ Rn

x — тот же вектор u, отмеченный точкой x. Говорят, что ux — век-тор u, приложенный к точке x. По определению Rn

x наследует евклидову структуруиз Rn, то есть в Rn

x определено скалярное произведение 〈ux, vx〉 ≡ 〈u, v〉 (u, v ∈ Rn).

19. Пусть U — открытое множество в Rn. Говорят, что на множестве U заданадифференциальная форма ω степени k (или, короче, k-форма), если определеноотображение x ∈ U → ω(x) ∈ Λk(Rn

x), то есть каждой точке x ∈ U сопоставленанекоторая k-линейная внешняя форма на касательном пространстве Rn

x ; 0-формой,по определению, называется всякая функция ω : U → R.

В силу п. 8 всякая k-форма на U ⊂ Rn имеет вид

ω(x) =∗∑

ci1...ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , x ∈ U,

где dx1, . . . , dxn — базис в пространстве L(Rnx,R), дуальный к стандартному базису

e1, . . . , en в Rnx. Коэффициенты ci1...ik(x) — числовые функции точки x. Если эти

функции принадлежат классу Cp(U) (p = 0, 1, . . . ,∞), то есть p раз непрерывно

354

дифференцируемы (класс C0(U) состоит из непрерывных числовых функций, за-данных на U), то k-форма ω называется k-формой класса Cp. В частности, 0-формакласса Cp — это функция ω ∈ Cp(U).

П р и м е р ы. 20. Всякая 1-форма на U(⊂ Rn) имеет вид ω(x) =n∑

i=1ci(x)dxi

(x ∈ U). Значение ее на векторе ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn: ω(x)(ξ) =n∑

i=1ci(x)dxi(ξ) =

n∑i=1

ci(x)ξi.

21. Пусть U(⊂ Rn) открыто и ϕ ∈ C1(U). Производное отображение ϕ′ опреде-ляет 1-форму на U : x ∈ U → ϕ′ : Rn

x → R. Эта 1-форма называется дифференциа-

лом отображения ϕ и обозначается dϕ. Итак, в канонической записи dϕ ≡n∑

i=1

∂ϕ

∂xidxi,

причем dϕ(x)(ξ) =n∑

i=1

∂ϕ

∂xi(x)ξi, x ∈ U, ξ ∈ Rn

x.

Умножение дифференциальных форм

22. Будем обозначать Ωk(U) через множество всех k-форм на открытом мно-жестве U ⊂ Rn. Соответственно через Ωk,p(U) обозначим множество всех k-формиз Ωk(U) класса Cp. Введенные множества естественно наделяются структурамивекторного пространства. На дифференциальные формы естественно переноситсятакже операция внешнего умножения. Пусть ω ∈ Ωk(U), µ ∈ Ωs(U). Тогда равенство(ω ∧ µ)(x) ≡ ω(x) ∧ µ(x) (x ∈ U) определяет форму ω ∧ µ ∈ Ωk+s(U). В частности,если ϕ : U → R — функция (то есть 0-форма), то ϕ ∧ ω будем обозначать такжечерез ϕ·ω. Из пп. 14, 15 следует, что операция умножения дифференциальных формобладает свойствами:

23. ω ∈ Ωk(U), µ ∈ Ωs(U) ⇒ ω ∧ µ = (−1)ksµ ∧ ω.

24. (ω ∧ µ) ∧ ξ = ω ∧ (µ ∧ ξ).

25. П р и м е р. Рассмотрим 1-формы α, β ∈ Ω1(U), U ⊂ Rn : α(x) =n∑

i=1ai(x)dxi,

β(x) =n∑

i=1bi(x)dxi (x ∈ U). Тогда

(α ∧ β)(x) =∑

i,j

ai(x)bj(x)dxi ∧ dxj =∑

i<j

[ai(x)bj(x)− aj(x)bi(x)]dxi ∧ dxj .

Взяв ξk = (ξ1k, . . . , ξn

k ) ∈ Rnx (k = 1, 2), имеем

(α ∧ β)(x)(ξ1, ξ2) =∑

i<j

[ai(x)bj(x)− aj(x)bi(x)]ξi1ξ

j2 =

∑

i<j

∣∣∣∣ai(x)ξi

1 bi(x)ξi1

aj(x)ξj2 bj(x)ξj

2

∣∣∣∣ .

Внешнее дифференцирование

26.Переходим к основной операции над дифференциальными формами — опера-ции внешнего дифференцирования. Пусть U — открытое множество в Rn. Внешнимдифференцированием называется линейное отображение d : Ωk,p(U) → Ωk+1,p−1(U)(k > 0, p > 1), однозначно определяемое условиями:

355

(i) если ϕ ∈ Ω0,p(U), p > 1 (т. е. ϕ ∈ Cp(U)), то dϕ — дифференциал формы ϕ(см. п. 21),

(ii) для одночленной формы ω(x) = c(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (ω ∈ Ωk,p(U)):

dω(x) ≡n∑

j=1

∂c

∂xj(x)dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (x ∈ U).

Отметим основные свойства введенной операции.

27. Если ω ∈ Ωk,1(U), µ ∈ Ωs,1(U), то d(ω ∧ µ) = dω ∧ µ + (−1)kω ∧ dµ.28. Если ω ∈ Ωk,2(U) (k > 0), то d2ω ≡ d(dω) = 0.

¶ П. 28 достаточно установить для формы вида ω(x) = c(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik . Имеем

(d2ω)(x) = dn∑

j=1

∂c

∂xj(x)dxj ∧ dxi1 . . . ∧ dxik(x)

=n∑

j,s=1

∂2c(x)∂xs∂xj

dxs ∧ dxj ∧ dxi1 . . . ∧ dxik

=∑

s<j

[ ∂2c(x)∂xs∂xj

− ∂2c(x)∂xj∂xs

]dxs ∧ dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik = 0.

Свойство п. 27 также достаточно доказать для форм вида ω(x) = b(x)dxi1∧. . .∧dxik ,µ(x) = c(x)dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs . Имеем

d(ω ∧ µ)(x) =n∑

m=1

∂

∂xm(b(x)c(x))dxm ∧ dxi1 ∧ . . . dxik ∧ dxj1 ∧ . . . dxjs

=n∑

m=1

b(x)∂c

∂xm(x)dxm ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs

+n∑

m=1

c(x)∂b

∂xm(x)dxm ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs

= (−1)kb(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ ( n∑

m=1

∂c

∂xm(x)dxm ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs

)

+( n∑

m=1

∂b

∂xm(x)dxm ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

) ∧ (c(x)dxj1 ∧ . . . ∧ dxjs)

= (−1)kω ∧ dµ + dω ∧ µ. ¤

29. П р и м е р. Пусть U — открытое множество в R3 и ω — 1-форма классаC1 на U : ω(x) = p(x)dx1 + q(x)dx2 + r(x)dx3, x = (x1, x2, x3) ∈ U . Вычислим dω.Имеем

dω =( ∂p

∂x1dx1 +

∂p

∂x2dx2 +

∂p

∂x3dx3

) ∧ dx1 +( ∂q

∂x1dx1 +

∂q

∂x2dx2 +

∂q

∂x3dx3

) ∧ dx2

+( ∂r

∂x1dx1 +

∂r

∂x2dx2 +

∂r

∂x3dx3) ∧ dx3

=( ∂q

∂x1− ∂p

∂x2

)dx1 ∧ dx2 +

( ∂r

∂x1− ∂p

∂x3

)dx1 ∧ dx3 +

( ∂r

∂x2− ∂q

∂x3

)dx2 ∧ dx3.

356

30. У п р а ж н е н и е. Пусть ω = pdx1∧dx2 + qdx1∧dx3 + rdx2∧dx3 — 2-форма

класса C1 на U ⊂ R3. Показать, что dω =( ∂p

∂x3+

∂q

∂x2+

∂r

∂x1

)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

Замена переменных в дифференциальных формах

31. Пусть U открыто в Rn, V открыто в Rm, отображение ϕ : U → V непрерывнодифференцируемо. Тогда в каждой точке x ∈ U определено касательное отображе-ние ϕ′(x) : Rn

x → Rmϕ(x). Поэтому каждой форме ω ∈ Ωk(V ) можно сопоставить

форму∗ϕω ∈ Ωk(U):

∗ϕ ω(x) ≡

ω(ϕ(x)), если k = 0,ϕ′(x) ∗ ω(ϕ(x)), если k > 1

(x ∈ U).

Отметим, что

ω ∈ Ω0,p(V ), ϕ ∈ Cp ⇒ ∗ϕω ∈ Ω0,p(U),

ω ∈ Ωk,p(V ), ϕ ∈ Cp+1 ⇒ ∗ϕω ∈ Ωk,p(U), k > 1.

Перечислим основные свойства введенной операции (предполагается, что выпол-няются подходящие ограничения на участвующие в этих свойствах отображения).

32.∗ϕ(ω1 + ω2) =

∗ϕω1 +

∗ϕω2,

33.∗ϕ(c · ω)(x) = c(ϕ(x)) · ∗ϕω(x),

34.∗ϕ(ω ∧ µ) =

∗ϕω ∧ ∗

ϕµ,

35.∗ϕdyi =

∑j

∂ϕi

∂xj(x)dxj = dϕi(x), где ϕi − i-я координатная функция отобра-

жения ϕ, а dy1, . . . , dym — базис в L(Rmϕ(x),R), дуальный к стандартному базису в

Rmϕ(x).

36.∗ϕ dω = d(

∗ϕω).

¶ П. 32 очевиден, п. 33 — следствие п. 34, п. 34 — следствие п. 17. Установим п. 35.

Для ξ ∈ Rnx имеем

∗ϕdyi(ξ) = dyi(ϕ(x))(ϕ′(x)ξ) = (ϕ′(x))i =

∑j

∂ϕi

∂xjξj = dϕi(x)(ξ).

Докажем п. 36. Пусть сначала ω — 0-форма. Тогда∗ϕω = ω ϕ и

d(∗ϕω)(x) = d(ω ϕ)(x) = dω(ϕ(x)) · ϕ′(x)

= ϕ′(x) ∗ dω(ϕ(x)) = d(ω ϕ)(x) =∗ϕdω(x).

Для доказательства общего случая достаточно рассмотреть форму вида ω(y) =c(y)dyi1 ∧ . . . ∧ dyik . Для нее (с учетом п. 33–35)

∗ϕω = c(ϕ(x))

∗ϕ(dyi1 ∧ . . . ∧ dyik)(x) = c(ϕ(x))dϕi1 ∧ . . . ∧ dϕik(x).

357

Поэтому (с учетом п. 28 и разобранного случая 0-формы)

d(∗ϕω)(x) = d(

∗ϕ c)(x) ∧ (dϕi1(x) ∧ . . . ∧ dϕik(x)) +

∗ϕ c(x) ∧ d(dϕi1(x) ∧ . . . ∧ dϕik(x))

= (∗ϕdc)(x) ∧ dϕi1(x) ∧ . . . ∧ dϕik(x) = (

∗ϕdc)(x) ∧ (

∗ϕdyi1 ∧ . . . ∧ ∗

ϕdyik(x))

=∗ϕd(cdyi1 ∧ . . . ∧ dyik)(x) = (

∗ϕdω)(x). ¤

37. У п р а ж н е н и е. Если m = n, то

∗ϕ(c ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxn) = c ϕ · det ϕ′ · dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

38. П р и м е р. Пусть U открыто в R2, где заданы полярные координаты (ρ, θ),причем U ∩(ρ, θ) : θ = 0 = ∅, V — открытое множество в другом экземпляре R2,где заданы прямоугольные координаты (y1, y2), и отображение ϕ задано формулами

y1 = ϕ1(ρ, θ) = ρ cos θ, y2 = ϕ2(ρ, θ) = ρ sin θ.

Пусть ω = dy1 ∧ dy2. Тогда

∗ϕω = dϕ1 ∧ dϕ2 = (cos θdρ− ρ sin θdθ) ∧ (sin θdρ + ρ cos θdθ) = ρdρ ∧ dθ.

Теорема Пуанкаре

39.Форма ω ∈ Ωk,1(U) называется замкнутой, если dω = 0. Дифференциальнаяформа ω называется точной, если существует форма η такая, что ω = dη. В силуп. 28 каждая точная форма ω ∈ Ωk,1(U) является замкнутой. Возникает вопрос,не следует ли из замкнутости формы ее точность? Ответ положителен лишь принекоторых ограничениях на область U .

40. Назовем область U ∈ Rn звездной, если ∃a ∈ U ∀x ∈ U ([a, x] ⊂ U), где[a, x] = ta + (1 − t)x : t ∈ [0, 1] — отрезок в Rn. Очевидно, каждое звездноемножество линейно связно, а каждое выпуклое множество звездно.

41. Т е о р е м а. Пусть U ⊂ Rn — открытое звездное множество. Тогда всякаязамкнутая форма ω ∈ Ωk(U) точна.¶ Без ограничения общности считаем, что в определении п. 40 a = θ. Определимлинейное отображение J : Ωk(U) → Ωk−1(U), задав его на одночленных формахравенством

Jc(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ≡k∑

α=1

(−1)α−1(∫ 1

0tk−1c(tx) dt

)xiα · ω

α, (3)

где обозначено ωα

= dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα−1 ∧ dxiα+1 ∧ . . . ∧ dxik . При этом J(0) = 0.Утверждение теоремы следует из тождества

ω = J(dω) + d(Jω), (4)

358

которое проверяется непосредственными вычислениями. В силу линейности отобра-жения J достаточно доказать (4) для одночленной формы ω(x) = c(x)dxi1∧. . .∧dxik .Имеем (см. (3))

d(Jω)(x) =k∑

α=1

n∑

j=1

(−1)α−1[∫ 1

0tk

∂c

∂xj(tx) dt · xiα +

∫ 1

0tk−1c(tx) dt · ∂xiα

∂xj

]dxj ∧ ω

α.

Обозначая∑

1 =k∑

α=1

n∑j=1

(−1)α−1(∫ 1

0tk

∂c

∂xj(tx) dt · xiα

)dxj ∧ ω

α, получаем

d(Jω)(x) =∑

1 +∫ 1

0tk−1c(tx) dt ·

k∑

α=1

(−1)α−1 dxiα ∧ ωα

=∑

1 + k

∫ 1

0tk−1c(tx) dt dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .

С другой стороны,

J(dω)(x) =n∑

j=1

J ∂c

∂xj(x) dxj ∧ dxi1 . . . ∧ dxik

=n∑

j=1

(∫ 1

0tk

∂c

∂xj(tx) dt · xj

)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

−n∑

j=1

k∑

α=1

(−1)α−1(∫ 1

0tk

∂c

∂xj(tx) dt · xiα

)dxj ∧ ω

α

=( n∑

j=1

∫ 1

0tk

∂c

∂xj(tx) dt · xj

)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik −

∑1 .

Складывая полученные равенства, имеем

J(dω)(x)+d(Jω)(x) =∫ 1

0

d

dt[tkc(tx)] dt dxi1∧. . .∧dxik = c(x)dxi1∧. . .∧dxik = ω(x). ¤

Сингулярные кубы

42. Пусть Ik = [0, 1]k ⊂ Rk, U — открытое множество в Rk такое, чтоIk ⊂ U . Пусть κ : U → Rn (n > k) — непрерывно дифференцируемое отображение.Ограничение этого отображения на Ik называется k-мерным сингулярным кубом вRn. Допуская некоторую вольность, будем обозначать это ограничение по-прежнемубуквой κ (κ : Ik → Rn). Если отображение действует в открытую область V ⊂ Rn,то говорят о k-мерном сингулярном кубе в области V . Нульмерным сингулярнымкубом называется отображение κ : 0 → Rn. В частности, сам стандартный куб Ik

рассматривается как k-мерный сингулярный куб, являющийся ограничением на Ik

тождественного отображения Rk на себя.

43. Пусть κ, κ0 : Ik → Rn — два k-мерных сингулярных куба. Будем говорить,что κ0 получен из κ изменением параметризации (пишем κ ∼ κ0), если существует

359

диффеоморфизм p : Ik → Ik (то есть p — биекция, непрерывно дифференцируемаявместе с p−1, причем p′, (p−1)′ допускают непрерывные продолжения на границуIk) такой, что

(i) κ0 = κ p,(ii) det p′ > 0.

Будем писать κ ∼ −κ0, если существует диффеоморфизм p : Ik → Ik такой, чтовыполнено (i) и

(iii) det p′ < 0.

В частности, 1-мерный сингулярный куб в Rn есть гладкая кривая в Rn в смысле178.1, а 2-мерный сингулярный куб в R3 есть гладкая поверхность в R3 в смысле185.1.

44. У п р а ж н е н и е. Покажите, что ∼ — отношение эквивалентности вмножестве k-мерных сингулярных кубов.

Интеграл формы по сингулярному кубу

45. Пусть ω — 0-форма класса C0 в области U ⊂ Rn (то есть ω : U → R —непрерывная функция) и κ : 0 → U — 0-мерный сингулярный куб. Положим∫

κ

ω ≡ ω(κ(0)).

46. Пусть ω ∈ Ωk,0(U) — одночленная k-форма, то есть ω(x) = c(x)dx1∧ . . .∧dxk,x = (x1, . . . , xk) ∈ U , где U ⊂ Rk — открытая область, содержащая стандартный кубIk. По определению

∫

Ik

ω ≡∫

Ik

c(x) dx =∫ 1

0. . .

∫ 1

0c(x1, . . . , xk) dx1 . . . dxk

(справа стоит обычный кратный интеграл Римана).

47. (Общий случай). Пусть ω ∈ Ωk(V ), V ⊂ Rn, n > k и κ : Ik → V —k-мерный сингулярный куб в области V . Согласно п. 31 с каждой k-формой ω ∈Ωk(V ) ассоциирована k-форма

∗κ ω ∈ Ωk(U), Ik ⊂ U . Интеграл от k-формы ω посингулярному k-мерному кубу κ : Ik → V определяется равенством

∫

κ

ω ≡∫

Ik

∗κ ω. (5)

48. Запишем явное выражение интеграла (5) от одночленной k-формы ω(x) =c(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (i1 < i2 < . . . < ik). Пусть κ : Ik → V , то есть t = (t1, . . . , tk) ∈Ik → κ(t) = (κ1(t), . . . ,κn(t)) ∈ V . Тогда (см. пп. 33,34)

∗κ ω(t) = c(κ(t))∗κ(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik) = c(κ(t))

∗κ(dxi1) ∧ . . . ∧ ∗κ(dxik),

∗κ(dxis) =k∑

j=1

∂κis

∂tjdtj , 1 6 s 6 k.

360

Отсюда (см. п. 37)

∗κ ω(t) = c(κ(t)) det[κi1 . . . κik

t1 . . . tk

]dt1 ∧ . . . ∧ dtk,

где[κi1 . . . κik

t1 . . . tk

]=

∂κi1

∂t1. . .

∂κi1

∂tk. . . . . . . . .

∂κik

∂t1. . .

∂κik

∂tk

, так что

∫

κ

ω =∫

Ik

c(κ(t)) det[κi1 . . . κik

t1 . . . tk

]dt1 . . . dtk. (6)

Отметим свойства интеграла.

49. Если κ ∼ κ0, то для любой k-формы ω:∫

κ

ω =∫

κ0

ω.

50. Если κ ∼ −κ0, то∫

κ

ω = −∫

κ0

ω.

¶ Пусть, например, κ ∼ κ0. Равенство п. 49 достаточно установить для одночленныхформ. Пусть p : Ik → Ik — диффеоморфизм такой, что κ0 = κ p, det p′ > 0. Вобозначениях п. 49 имеем (используем теорему о замене переменных в кратноминтеграле)

∫

κ0

ω =∫

κpω =

∫

Ik

c(κ(p(t)) det(κ p)′(t) dt

=∫

Ik

c(κ(p(t)) · detκ′(p(t)) · det p′(t) dt

=∫

Ik

c(κ(x)) · detκ′(x) dx =∫

κ

ω. ¤

Пространство цепей

51. Рассмотрим вещественное векторное пространство Sk, алгебраическим ба-зисом которого является множество всех k-мерных сингулярных кубов в Rn. Такимобразом, элементы Sk — это формальные суммы вида

s = λ1κ1 + . . . + λpκp, λi ∈ R, (7)

где κ1, . . . ,κp — k-мерные сингулярные кубы в Rn. Положим по определению длялюбой k-формы ω ∫

s

ω =p∑

i=1

λi

∫

κi

ω.

361

Пусть наряду с (7) задан еще один элемент t = µ1κ1 + . . . + µqκq пространства

Sk. Элементы s и t называются эквивалентными (s ∼ t), если∫

s

ω =∫

t

ω для

любой k-формы ω; ∼ — отношение эквивалентности в Sk (!!). Пусть Sk — фактор-пространство пространства Sk по указанному отношению эквивалентности. Эле-менты этого фактор-пространства называются k-мерными цепями в Rn. Мы по-прежнему будем обозначать k-мерные цепи символом (7). В частности, k-мерная

цепь θ называется нулевой, если∫

θ

ω = 0 для любой k-мерной формы ω.

52. З а м е ч а н и е. Если θ — нулевая k-мерная цепь и κ1, . . . ,κp — любыеk-мерные сингулярные кубы, то θ = 0 · κ1 + . . . + 0 · κp.

53. У п р а ж н е н и е. Покажите, что пространство Sk бесконечномерно.Указание: пусть p ∈ N произвольно и U1, . . . , Up — произвольные попарно непере-секающиеся открытые множества в Rn. Рассмотреть k-мерные сингулярные кубыκ1, . . . ,κp такие, что κi(Ik) ⊂ Ui (1 6 i 6 p); цепи 1 · κi (1 6 i 6 p) ненулевые.Показать, что эти цепи линейно независимы.

54. Рассмотрим пространство Ωk,0 = Ωk,0(Rn). На произведении Ωk,0 ×Sk опре-делим вещественную билинейную форму

〈ω, s〉 ≡∫

s

ω (ω ∈ Ωk,0, s ∈ Sk). (8)

55. Билинейная форма (8) невырождена, то есть(а) если 〈ω, s〉 = 0 для любой ω ∈ Ωk,0, то s = θ,(б) если 〈ω, s〉 = 0 для любой s ∈ Sk, то ω = 0.

¶ (а) следует из определения нулевой цепи (см. п. 51).(б). Если ω =

∑∗ ci1...ik(x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik 6= 0, то хотя бы один коэффициентэтой формы 6= 0 в некоторой точке x0 ∈ Rn. Пусть, например, c1...k(0) > 0. Возьмемk-мерный сингулярный куб κ в Rn, заданный равенством

κ(t1, . . . , tk) = (λt1, . . . , λtk, 0, . . . , 0), t = (t1, . . . , tk) ∈ Ik,

где у вектора в правой части равенства n − k нулей. При достаточно маломλ > 0 c1...k(κ(t)) > 0, t ∈ Ik. Следовательно, для цепи s = 1 · κ имеем

〈ω, s〉 =∫

s

ω =∫

Ik

∗κ ω =∫

Ik

c(κ(t)) det[λt1 . . . λtk

t1 . . . tk

]dt = λk

∫

Ik

c(κ(t)) dt > 0,

что противоречит предположению. ¤

Граница цепи

56. Определим сначала границу сингулярного куба κ : Ik → Rn, то есть цепивида s = 1 · κ. Пусть

Rk−1i,0 ≡ t = (t1, . . . , tk) ∈ Rk : ti = 0

362

— гиперплоскость в Rk. Рассматрим эту гиперплоскость как (k−1)-мерное евклидовопространство с координатным представлением, индуцированным изRk. Так что чис-ла t1, . . . , ti−1, ti+1, . . . , tk суть координаты точки (t1, . . . , ti−1, 0, ti+1, . . . , tk) ∈ Rk−1

i,0 .Аналогично определим гиперплоскость Rk−1

i,1 ≡ t ∈ Rk : ti = 1. Пусть Ik−1i,α — со-

ответствующие стандартные гиперкубы в Rk−1i,α (α = 0, 1); они являются противопо-

ложными гранями исходного гиперкуба Ik ⊂ Rk. Тогда отображения κi,α = κ | Ik−1i,α

суть (k− 1)-мерные сингулярные кубы (α = 0, 1; i = 1, . . . k). Границей сингулярно-

го куба κ называется цепь ∂κ ≡k∑

i=1

1∑α=0

(−1)i+ακi,α. Цепи (−1)i+ακi,α называются

ориентированными (k − 1)-мерными гранями сингулярного гиперкуба κ.

57. П р и м е р. При k = 2 рассмотрим стан-дартный куб I2 как сингулярный 2-мерный куб (тоесть единичный квадрат в R2), определенный тожде-ственным отображением R2 на себя. Тогда (см. Рис.28)

∂I2 = −I11,0 + I1

1,1 + I12,0 − I1

2,1.

58. В общем случае для произвольной k-мерной

цепи κ =p∑

i=1λiκi определим ее границу равенством

∂κ =p∑

i=1λi∂κi. Итак, определено линейное отображение ∂ : Sk → Sk−1.

Теорема Стокса для цепи

Наряду с линейным отображением ∂ : Sk → Sk−1 рассмотрим оператор диффе-ренцирования d : Ωk−1,1(Rn) → Ωk,0(Rn). Имеет место следующая основная теоремамногомерного анализа.

59. Т е о р е м а. Для любой цепи s ∈ Sk (k > 1) и любой формы ω ∈ Ωk−1,1(Rn)∫

s

dω =∫

∂s

ω. (9)

60. З а м е ч а н и е. Равенство (9), записанное через билинейную форму,введенную в п. 54, имеет вид

〈dω, s〉 = 〈ω, ∂s〉. (10)

(То есть операторы d и ∂ являются взаимно сопряженными.)

61. Доказательство теоремы. Достаточно ограничиться случаем, когда s = 1 ·κ,где κ — k-мерный сингулярный куб. Более того, можно считать, что куб κ стан-дартен (κ = Ik), так как общий случай тогда следует из выкладки

∫

∂κ

ω =∫

∂Ik

∗κ ω =∫

Ik

d(∗κ ω) =

∫

Ik

∗κ dω =∫

κ

dω.

Можно считать, что стандартный куб κ = Ik естественно вложен в Rn, то естьκ(t1, . . . , tk) = (t1, . . . , tk, 0 . . . , 0), где у вектора в правой части n − k нулей спра-ва. Если еще принять во внимание линейность интеграла (9) по ω, то достаточно

363

рассмотреть одночленную форму вида

ω = c(x1, . . . , xk)∧

16j6kj 6=i

dxj .

Мы имеем

∫

∂κ

ω =k∑

`=1

1∑

α=0

(−1)`+α

∫

κ`,α

ω =k∑

`=1

1∑

α=0

(−1)`+α

∫

Ik−1

∗κ`,αω.

Учитывая п. 49, получим

∫

Ik−1

∗κ`,αω =

0, если ` 6= i,∫

Ik−1

c(x1, . . . , xi−1, α, xi+1, . . . , xk)∏

16j6k,i 6=j

dxj , если ` = i,

так что∫

∂κ

ω =1∑

α=0

(−1)i+α

∫ 1

0. . .

∫ 1

0c(x1, . . . , xi−1, α, xi+1, . . . , xk)

∏16j6k,

i 6=j

dxj .

С другой стороны,

∫

κ

dω =k∑

`=1

∫

κ

∂c

∂x`(x1, . . . , xk)dx`

( ∧16j6k,

i6=j

dxj).

В правой части этого равенства отличен от нуля единственный член (при ` = i), такчто∫

κ

dω =∫

κ

∂c

∂xidxi ∧ ( ∧

16j6k,i 6=j

dxj)

= (−1)i−1

∫

κ

∂c

∂xidx1 ∧ . . . ∧ dxk

= (−1)i−1

∫ 1

0. . .

∫ 1

0

∂c

∂xi(x1, . . . , xk)dx1 . . . dxk (см. 123.3)

= (−1)i+1

∫ 1

0. . .

∫ 1

0

( ∂c

∂xi(x1, . . . , xk) dxi

)dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxk

= (−1)i+1

∫ 1

0. . .

∫ 1

0[c(x1, . . . , xi−1, 1, xi+1, . . . , xn)

− c(x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xk)] · dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxk

=1∑

α=0

(−1)i+α

∫ 1

0. . .

∫ 1

0c(x1, . . . , xi−1, α, xi+1, . . . , xk)dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxk.

364

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН

Абель Н. (Abel N., 1802 – 1829) — норвежский математик 154 4

Адамар Ж. (Hadamard J., 1865 – 1963) — французский математик 174Александров П. (1896 – 1982) — русский математик 129Архимед (Aρχιµηδης, ок. 287 – 212 до н. э.) — древнегреческий математик и механик 16Банах С. (Banach S., 1892 – 1945) — польский математик 280Борель Э. (Borel E., 1871 – 1956) — французский математик 248Буняковский В. (1804 – 1889) — русский математик 57Бэр Р. (Baire R., 1874 – 1932) — французский математик 276Вейерштрасс К. (Weierstraß K., 1815 – 1897) — немецкий математик 18Вольтерра В. (Volterra V., 1860 – 1940) — итальянский математик 278Гаусс К. (Gauss C., 1777 – 1855) — немецкий математик 224Гельдер Л. (Holder L., 1859 – 1937) — немецкий математик 57Гильберт Д. (Hilbert D., 1862 – 1943) — немецкий математик 186Грам Й. (Gram J., 1850 – 1916) — датский математик 302Грин Д. (Green G., 1793 – 1841) — английский математик 219Даламбер Ж. (D’Alembert J., 1717 – 1783) — французский математик и философ 26Дарбу Г. (Darboux J.G., 1842 – 1917) — французский математик 72Дирак П. (Dirac P., 1902 – 1984) — английский физик 207Дирихле П. (Dirichlet P., 1805 – 1859) — немецкий математик 66Евклид (Eυκλειδης, 3 век до н. э.) — древнегреческий математик 61Егоров Д. (1869 – 1931) — русский математик 250Жордан К. (Jordan K., 1838 – 1922) — французский математик 132Кантор Г. (Cantor G., 1845 – 1918) — немецкий математик 245Карлесон Л. (Carleson L., р. 1928) — шведский математик 193Колмогоров А. (1903 – 1987) — русский математик 17Коши О. (Cauchy A., 1789 – 1857) — французский математик 23Лагранж Ж. (Lagrange J., 1736 – 1813) — французский математик и механик 46Лебег А. (Lebesgue H., 1875 – 1941) — французский математик 66Леви Б. (Levi B., 1875 – 1961) — итальянский математик 257Лейбниц Г. (Leibniz G., 1646 – 1716) — немецкий математик 26Липшиц Р. (Lipschitz R., 1832 – 1903) — немецкий математик 192Лиувилль Ж. (Liouville J., 1809 – 1882) — французский математик 323Лобачевский Н. (1792 – 1856) — русский математик 12Лопиталь Г. (L’Hospital G., 1661 – 1704) — французский математик 48Минковский Г. (Minkowski H., 1864 – 1909) — немецкий математик и физик 57Никодим О. (Nikodym O., 1887 – 1974) — польский математик, работал в США 263Ньютон И. (Newton I., 1643 – 1727) — английский физик и математик 35Остроградский М. (1801 – 1861) — русский математик 224Парсеваль М. (Parseval M., 1755 – 1836) — французский математик 187Пеано Д. (Peano G., 1858 – 1932) — итальянский математик 50Пифагор (Πυϑαγoραζ, ок. 570 – ок. 500 до н.э.) — древнегреческий мыслитель 184Планшерель M. (Plancherel M., 1885 – 1967) — швейцарский математик 309Пуанкаре Ж. (Poincare J., 1854 – 1912) — французский математик и астроном 358Радон (Radon J., 1877 – 1956) — австрийский математик 263Риман Б. (Riemann B., 1826 – 1866) — немецкий математик 37Рисс Ф. (Riesz F., 1880 – 1956) — венгерский математик 304Ролль М. (Rolle M., 1652 – 1719) — французский математик 46

4Указана страница первого упоминания имени в тексте

365

Симпсон Т. (Simpson T., 1710 – 1761) — английский математик 75Соболев С. (1908 – 1989) — русский математик 202Стилтьес Т. (Stieltijes T., 1856 – 1894) — нидерландский математик 241Стокс Д. (Stokes G., 1819 – 1923) — английский физик и математик 226Тейлор Б. (Taylor B., 1685 – 1731) — английский математик 49Тихонов А. (1906 – 1993) — русский математик 127Фату (Fatou P., 1878 – 1929) — французский математик 257Ферма П. (Fermat P., 1601 – 1665) — французский математик 54Фредгольм Э. (Fredholm E., 1866 – 1927) — шведский математик 277Фреше М. (Frechet M., 1878 – 1973) — французский математик 332Фубини Г. (Fubini G., 1879 – 1943) — итальянский математик 268Фурье Ж. (Fourier J., 1768 – 1830) — французский математик 186Хан Г. (Hahn H., 1879 – 1934) — австрийский математик 261Хэвисайд О. (Heaviside O., 1850 – 1925) — английский физик и математик 210Цермело Э. (Zermelo E., 1871 – 1953) — немецкий математик 347Цорн М. (Zorn M., 1906 – 1993) — немецкий математик, работал в США 128Чебышев П. (произносится Чебышев, 1821 – 1894) — русский математик и механик 194Шаудер Ю. (Schauder J., 1899 – 1943) — польский математик 326Шварц К. (Schwarz K., 1843 – 1921) — немецкий математик 57Шварц Л. (Schwartz L., 1915 – 2002) — французский математик 202Шмидт Э. (Schmidt E., 1876 – 1959) — немецкий математик 327Штейнгауз (Steinhaus H., 1887 – 1972) — польский математик 281Эйлер Л. (Euler L., 1707 – 1783) — швейцарский математик, механик и физик,

работал в России 167Якоби К. (Jacobi K., 1804 – 1851) — немецкий математик 95

366

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

σ-аддитивность меры 2315

аксиома Архимеда 16– выбора 347– непрерывности 16– счетности 1-ая 122– – 2-ая 119

алгебра борелевская 233– множеств 232

σ-алгебра 232альтернатива Фредгольма 329

База топологии 119базис окрестностей точки 114

– ортонормированный 301биекция 11билинейная форма 304

– – ограниченная 305– – эрмитова 305

бэта-функция Эйлера 167

Вектор собственный 322вектор-функция 86

– гладкая 98– непрерывная кусочно-гладкая 98

вложение 287внешность множества 115внутренность множества 115

Гамма-функция Эйлера 168гомеоморфизм 117градиент 216граница множества 116

– сингулярного куба 363– цепи 363

грань верхняя 16, 347– нижняя 16, 347

график линейного оператора 298– функции 12

Дзэта-функция (ζ-функция Римана) 173дивергенция 224дифференциал отображения 93дифференциал n-го порядка 45

– Фреше 332– функции 42

дифференцирование внешнее 355

длина плоской кривой 79– пространственной кривой 79, 100

δ-функция Дирака 207

Замыкание множества 115заряд 260

– абсолютно непрерывный 263

Иерархия 121изометрия 274, 287изоморфизм изометрический 287интеграл абсолютно сходящийся 154, 157

– в смысле главного значения (v.p.) 156интеграл верхний (нижний) Дарбу 72, 140

– криволинейный 1-го рода 213– – 2-го рода 215– Лебега 253– – неопределенный 260– неопределенный 58– несобственный 155– по σ-конечной мере 271– по сингулярному кубу 360– поверхностный 1-го рода 222– – 2-го рода 224– расходящийся 150, 156– Римана 64– – кратный 139– – вектор-функции 99, 335– с особенностью 150, 156– сходящийся 150, 156– Фурье простой 198

интервал 17инъекция 11

Касательная прямая 41– плоскость 97

касательное отображение 42колебание функции 141кольцо (σ-кольцо) множеств 232контур замкнутый 216кормушка сети 122коэффициенты Фурье 186кривая гладкая 213

– замкнутая 213– непрерывная кусочно-гладкая 213

критерий Дарбу 72, 140– компактности в C[a, b] 279

5Указывается страница, где вводится данное понятие

367

критерий Коши сходимостипоследовательности 23

– – – числового ряда 25куб сингулярный 359

Лемма о вложенных отрезках 22– осцилляционная 190

ловушка сети 122

Мажоранта множества 16, 347максимум локальный 53, 333матрица Якоби 95мера 231

– абсолютно непрерывная 244– внешняя 234– Жордана 135– – внешняя 135– – внутренняя 135– σ-конечная 239, 240– конечно-аддитивная 230– Лебега 237– Лебега-Стилтьеса 241– полная 240, 241– прямоугольника 133– сингулярная 244

метод Лагранжа 110метрика 112

– дискретная 112минимум локальный 53миноранта множества 16, 347множество вполне ограниченное 278

– – упорядоченное 347– выпуклое 127– действительных чисел 16– замкнутое 18, 83, 115– индуктивное 347– измеримое по Жордану

(J-измеримое) 135– измеримое по Лебегу 235, 238– канторово 245– компактное 84– лебеговой меры нуль 65– линейно связное 89– локально J-измеримое 156– невырожденное 139– нигде не плотное 275– ограниченное 16– сверху (снизу) 16– открытое 18, 83, 112, 113– предкомпактное 278– резольвентное 322– счетное 11– совершенно упорядоченное 340

множество упорядоченное 339– элементарное 132

Направление 122непрерывность функции в точке 35неравенство Гельдера 57

– – интегральное 283– Коши-Буняковского 57, 184– Минковского 57– – интегральное 283– Парсеваля 187– Шварца 57, 185

норма 83, 178– евклидова 83– операторная 92

носитель функции 181

Область 214– звездная 358

объем тела вращения 80окрестность 17, 114ˇ-окрестность 18оператор Гильберта-Шмидта 328

– дифференцирования 320– замкнутый 317– замыкаемый 317– компактный 310– конечномерный 310– линейный 316– обратимый 287, 317– ограниченный 286– плотно заданный 316– самосопряженный 306, 318– сопряженный 305, 318– умножения на независимую

переменную 316, 320– унитарный 308– Фурье-Планшереля 309– эрмитовый 319

ориентация области 219ориентация пространства 219ортогональная сумма пространств 300ортогональное дополнение 299ортопроектор 307отношение (бинарное) 339

– антисимметричное 339– порядка 339– симметричное 339– рефлексивное 339– транзитивное 339– эквивалентности 339

отображение 11– дифференцируемое 93, 332

368

– касательное 42, 93отображение линейное 90

– 2-линейное 297– непрерывное 117– непрерывно дифференцируемое 98– сжимающее 276

отрезок 17

Параметризация кривой 213п.в. (почти всюду) 65первообразная 58пересечение топологий 119плоскость касательная 97площадь в полярной системе координат 78

– криволинейной трапеции 63, 78– поверхности 148– – вращения 80

поверхность гладкая 221– – ориентированная 223

подпоследовательность 20поле векторное 214

– комплексных чисел 345– потенциальное 216

полиномы Чебышева 194полукольцо 229пополнение метрического пространства 274

– нормированного пространства 288последовательность 12

– векторная 86– Коши 23– монотонная 22– ограниченная 21, 86– фундаментальная 23, 113

потенциал 216поток вектора 223правило Лопиталя 48предел вектор-функции 87предел по направлению 88

– последовательности 20– – верхний 24– – нижний 24– функции (отображения) 31, 86, 123

преобразование Фурье 200преобразование Фурье обобщенных

функций 211признак Абеля 154, 163, 171

– Вейерштрасса равномернойсходимости интеграла 163

– – – – ряда 171– Даламбера 26– Дирихле 154, 163, 171– Коши сходимости ряда 26

принцип равномерной ограниченности 296– – – для гильбертова пространства 304

– сжимающих отображений 276принцип сжимающих отображений

обобщенный 277– трансфинитной индукции 349

произведение внешних форм 353– мер 267– операторов 306– скалярное 82, 182– топологических пространств 120

производная вектор-функции 95– обобщенной функции 209– функции в точке 42– – n переменных 95– частная 94

прообраз кольца 246– топологии 120

пространство банахово 178– векторное 82– гильбертово 112, 186– – сепарабельное 302– евклидово 83– касательное 354– компактное 125– линейно-связное 131– локально компактное 128– метрическое 112– нормированное 178– основных функций D 204– – – S 204– отделимое 123– полное 113– регулярное 124– рефлексивное 296– с 1-й аксиомой счетности 122– со 2-й аксиомой счетности 119– сепарабельное 116, 178– связное 130– сопряженное 290– топологическое 113– унитарное 183– цепей 361

процесс ортогонализации Грама 302прямоугольник (в R2) 132

Равенство Парсеваля 187, 193равностепенно непрерывное семейство 279радиус сходимости 174размерность гильбертова пространства 302расширение оператора 316ротор 217ряд 25

– абсолютно сходящийся 27– гармонический 26

369

– двойной 28ряд Лейбница 25

– повторный 30– степенной 174– Тейлора 51– Фурье 187– – тригонометрический 189– числовой 25

Сеть 122ε-сеть 278система замкнутая 188

– образующих топологии 119– ортонормированная 186– полная 187

спектр оператора 322– – ограниченного 323– – самосопряженного 324– – унитарного 324

сумма верхняя (нижняя) Дарбу 72, 140– прямая банаховых пространств 285

суперпозиция функций 11сюръекция 11сходимость по мере 250

– почти всюду 249– обобщенных функций 208– равномерная несобственных

интегралов 162– – последовательности функций 169– равномерная ряда 170– ряда 25

Теорема Абеля 1–ая 174– – 2-ая 177– Александрова 129– Банаха 297– Банаха-Штейнгауза 296– Бэра 276– Вейерштрасса 18, 85, 346– Гильберта-Шмидта 327– Егорова 250– Коши 46– Лебега 66, 141– – о предельном переходе под знаком

интеграла 256– Леви 257– о вложенных шарах 275– о замене переменных 148– о замкнутом графике 298– о плотности 181, 185– о среднем значении 68, 144– о существовании неявной функции 108– об ортогональном разложении 299

– Пуанкаре 358теорема Радона-Никодима 263

– Рисса 304– Рисса-Шаудера 326– Ролля 46– Стокса для цепи 363– Тихонова 127– Фату 257– Фредгольма 325– Фубини 268– Хана 261– Хана-Банаха 294– Цермело 347– Цорна 349

топология 113– дискретная 114– индуцированная 120– порожденная системой множеств 119– тривиальная 114– финальная 121

тор одномерный 121точка внутренняя 115

– граничная 116– изолированная 18, 84– несобственная (∞) 19, 84– перегиба 55– предельная 18, 84, 116– – сети 122– прикосновения 115

точка разрыва 1-го (2-го) рода 36

Уравнение Вольтерра 278– неоднородное 329– однородное 329– Фредгольма 1-го рода 328– Фредгольма 2-го рода 277, 329

Факторизация 180фактор-множество 339фактор-пространство 121, 285фактор-топология 121форма внешняя 352

– дифференциальная 354– замкнутая 358– k-линейная 352– точная 358

формула Гаусса-Остроградского 224– Грина 220– Лагранжа 46– – оценочная 100, 334– замены переменной 58, 71– интегрирования по частям 58, 71– Коши-Адамара 174– Лейбница 45

370

– Ньютона-Лейбница 70, 151, 335формула Ньютона-Лейбница обобщенная 70

– прямоугольников 74– Симпсона 75– Стокса 227– Тейлора с остатком в интегральной

форме 77– – – – форме Лагранжа 49, 105– – – – форме Пеано 50, 105, 337– трапеций 75

функционал линейный 90– – ограниченный 290

функция 11– абсолютно непрерывная 244– аналитическая 52, 176– вогнутая в точке 55– выпуклая в точке 55

функция гладкая 70– Дирихле 66, 252– дифференцируемая 41– измеримая 246– – по Борелю (В-измеримая) 248– интегрируемая по Лебегу 253– интегрируемая по множеству 254– интегрируемая по Риману 64, 139– логарифмическая 40, 81– непрерывная 36, 88– – кусочно-гладкая 70– обобщенная 207

– обратная 14функция ограниченная 32

– 2π-периодическая 188– показательная 39, 81– полиномиального роста 205– простая 247– равномерно непрерывная 38, 88– Римана 37– сильно-аналитическая 321– степенная 40– характеристическая 12– Хэвисайда 210– элементарная 40

Цепь k-мерная 362

Число e 22числовая прямая 17

– – расширенная 18

Экстремум локальный 53, 101, 106– – относительный 109– – функционала 333

элемент максимальный 347– минимальный 347– наилучшего приближения 281, 299

Ядро вырожденное 331– Гильберта-Шмидта 328– оператора 316– симметричное 330

371

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

A, A−, Aг 115, 116 6

Bε(x) 83, 112Bε[x] 112B(R), B(Rn) 233B(Ω) 179B(H) 306C 189C(Ω) 179C0(Ω) 180C00(Ω) 181D 204D∗(f), D∗(f) 72D(T ) 316f | A 11fn =⇒ f 169

fnп.в.−→ f 249

fnµ−→ f 250

f ∧ g 353f ](x), f [(x) 200Φ], Φ[ 211Γ(T ) 316ψ ∗ f 354(E, A, µ) 249K⊥ 299

ker(A) 306, 316L(E,F ) 286L(S, m) 235Lp(µ) (1 6 p 6 ∞) 282`p (1 6 p 6 ∞) 284Lip α 192µ∗X 234M(E, A) 246ν ¿ µ 244R(A) 306, 316R1(Ω), R2(Ω) 181, 184

R1, R2 189Rloc

1 200ρ(T ) 322S 204S∗(∆), S∗(∆) 72supp (f) 181σ(T ) 322U(a) 18χA 12∗ϕω 357ωα

358

‖ · ‖Ω 169‖ · ‖p (1 6 p 6 +∞) 282

6Указаны страницы, где вводятся данные обозначения

372

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Программа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Предел и непрерывность функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Приложения понятия производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . 58Интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Некоторые приложения интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . . . 77Отображения в евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . 82Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Дифференцирование отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Элементы общей топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Кратные интегралы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Интегралы, зависящие от параметра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Последовательности и ряды функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Пространства функций. Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Элементы теории обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Элементы интегрирования по многообразиям. . . . . . . . . . . . . . 213Мера Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Измеримые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Интеграл Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Основные принципы линейного анализа. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Ограниченные линейные операторы в гильбертовомпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Элементы теории неограниченных линейных операторов . . . . . 316Уравнения с компактными операторами. . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Элементы нелинейного анализа в нормированныхпространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Приложение 1. Модели числовой прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . 339Приложение 2. Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Приложение 3. Порядковые структуры в множествах . . . . . . . . 347Приложение 4. Дифференциальные формы и теорема Стокса . . 352Указатель имён . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Указатель обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

373

374