Embed Size (px)
Citation preview
2
Az előadás során megismerjük:
• A térfogati és felületi erőket, a feszültség tenzort.
• A feszültség tenzor főértékeit és főirányait;• A mozgástörvényt és az egyensúlyi
egyenletet.• Fő nyírófeszültségeket és oktaéderes
feszültségeket.• Mohr köröket.
3
Térfogati és felületi erők
fF
10
lim
V V
tF
lim
A A0
f
t
térfogati erősűrűség
felületi erősűrűség
x1
x2
x3ΔA
∆V
V0 térfogatú A0 felületű testre külsőerők hatnak, amelyek következtébena test alakváltozik, térfogata V-refelülete A-ra változik. A külső erőkettérfogati és felületi erőkre lehetcsoportosítani
Feszültség tenzor
4
Az alakváltozott test belsejében,egy tetszőleges pont környezetébengondolatban vágjunk ki egy elemitetraédert és távolítsuk el a környezőtestet. Ennek hatását fejezik kiaz tetraéder felületein ható erők.
1 1 2 2 3 3 0
cos ,
, ,
n n
ii in
n n n n n Ti i k k i ik k k ik i
dA dA dA dV dAdA n x ndA
n t t n
t t t f t
t t t e t e t σ n
t(n) erősűrűség vektor a koordináta tengelyekkel szöget bezáró dA(n) felületre hat, mig ti vektorok a megfelelő koordinátasíkokon működnek
5
σ - Cauchy-féle feszültség tenzor
333231
232221
131211
σ
Diagonál elemek: normális feszültségek, a többiek nyíró, feszültségek.
Normális feszültség pozitív: ha húzó jellegű,vagyis a vizsgált felületelem külső normális irányába mutat, negatív ellenkező esetben.Ha a felületelem külső normálisa valamely koordinátatengely pozitív irányába esik, akkor a felületelemen ható, koordinátatengelyek pozitív irányába mutató csúsztató feszültségek pozitívak. Ellenkező esetben negatív előjelűek.
Feszültségek előjelei
Normális és tangenciális feszültség
6
2 2 211 1 22 2 33 3
12 1 2 23 2 3 13 1 3
2 22 2 2
,
2
nn n ik i k
n
n nn n n n
n n
n n nn n n n n n
t n
t t
n
, 2 2 2 2
1 2 3 , ,n n n n nk ik it t t t n t
7
Normális és csúsztató feszültség
3332321313
3232221212
3312121111
332211
3332231133
3322221122
3312211111
nnntnnntnnntttt
n
n
n
nnnT
n
nnn
eeeσnt
eeeteeeteeet
τσt
x1
22
32233113
21122333
2222
2111
,
2
nnn
n
tnnnn
nnnnn
σ22
σ13
σ11
σ12t1
σ23
σ21
t2
n
tn
n tn3tn1
tn2
σ33
σ32
x3
x2
σ31
t3
P e1
e2
σn
P
e3
A feszültségi tenzor főértékei, főirányai
8
Keressük azt a metszősíkot, amelynél a t(n) és azn vektor párhuzamos egymással.
,n n T T
ik k i k k ik i kn n n n
t n t σ n σ n ne e
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 0ij ij in
3 2
1 2 3 0J J J
Karakterisztikusegyenlet
1 11 22 33 1 2 3 0
11 13 22 2311 122 1 2 2 3 1 3
31 33 32 3321 22
3iiJ
J
9
11 12 13
3 21 22 23 1 2 3
31 32 33
det ijJ
Szimmetrikus tenzornak mindig van a valós számok körében megoldása,1, 2, 3 .
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
2 2 2
1 2 3
0
0
0
1
k k kk
k k kk
k k kk
k k k
n n n
n n n
n n n
n n n
Főirányok meghatározása
Feszültség deviátor tenzor és skalár invariánsai
10
0 0, ,ij ij ij σ σ I
2 2 21 2 11 22 22 33 11 33
2 2 22 2 212 13 23 1 2 2 3 1 3
3 0 1 0 2 0 3 0
10,6
166
det ij ij
J J
J
' '2
2 2 2 2 2 211 22 22 33 11 33 12 23 13
332
1 62
ik ikJ
feszültségtenzor intenzitása (egyenértékű feszültség)
Egyensúlyi és mozgásegyenlet
11
V térfogatú A felületű alakváltozó test egyensúlyi állapotánakfeltétele, ha az adott testre csak felületi és térfogati erőrendszer hat.
0
0
0
Gauss-Osztrogradszkij tétel
0, 0
n
V A
T
V A
V
jii
j
dV dA
dV dA
div dV
div fx
f t
f σ n
f σ
σ f
t (n)
n
f
x
x2
x1
x3
Amennyiben a test mozog , ji ii
j
d dvdiv fdt x dt
vσ f
12
Descartes –féle koordináta rendszerben a mozgásegyenlet
11 21 31 11
1 2 3
12 22 32 22
1 2 3
13 23 33 33
1 2 3
dvfx x x dt
dvfx x x dt
dvfx x x dt
11 21 31
1 2 3 1
12 22 32
1 2 3
13 23 33
1 2 3
0
0
0
x x x
x x x
x x x
Statikaiegyensúlyi egyenlet
dtdvf
zrr
dtdv
fxrr
dtdvf
rzrr
zz
zzzzr
zr
rr
rrrzrrr
1
21
1
3Hengerkoordináta rendszer
Fő nyíró feszültségek
13
2 2 21 1 2 2 3 3
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 21 2 3 3 2 1
22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3
2 2
1 2
2 21 1 3 1 2 3 2 1 3
1 1
0
12
n
nn n
n
n n
n n n
t n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n
n n n
2 22 1 3 1 2 3 2 2 3
0
1 02
n n n
Melyik síkon ébrednek a legnagyobb nyíró feszültségek ?
0 0 00 0 0
0 0 0
14
1 / 21
11 1 / 2
1 / 21 / 21 / 2
1 / 2
Az egyenletek megoldása után az alábbi gyököket kapjuk. A 4.-6 osz-lopban lévő megoldások olyan síkokat jelölnek ki, melyek átmennek azegyik főirányon és a másik kettő közötti szöget felezik.
1
3
12
31
2
3
2
2 21
1
1
3
3
12 1 212
23 2 312
max 13τ =τ
2
3 13 1 312
Oktaéderes feszültségek
15
3
1
2
A főfeszültségi irányokkal azonos szöget bezárósíkok alkotják
1 2 3
11 2 3
2 2 21 2 2 3 1 3
13
13 31332
okt
okt
okt
n n n
J
Mohr körök
16
2 2 21 1 2 2 3 3
22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
2 2 21 2 3 1
n
n
n n n
n n n n n n
n n n
22 2 31
1 2 2 3
22 3 12
2 3 2 1
22 1 23
3 1 3 2
n n n
n n n
n n n
n
n
n
21 2 3
22 3
23 1
21 2
mivel 0, és
0
0
0
i
n n n
n n n
n n n
n
17
Az egyenlőtlenségek mindkét oldalához hozzáadjuk sorban a
2 2 22 3 3 1 1 2/ 2 , / 2 , / 2 mennyiségeket,
majd átrendezzük
2 22 2 3 2 3
2 22 3 1 3 1
2 22 1 2 1 2
2 2
2 2
2 2
n n
n n
n n
Bármely T pont megfelel egy olyan síknak,amelyen nT és nT feszültségek hatnak.
Sík feszültségi állapot
18
21 2
2
1 42 2
tan
xx yyxx yy xy
xy
xx yy
1 2 1 2 cos22 2
xx
yy
19
1. feladatFőfeszültségek és főírányok egyszerű nyírásnál:
0000000
21
12
σ 2
1 2 12 3
3 2 2 212 12
1 12 2 3 12
0, , 0
0, 0
, 0,
J J J
σ22
x3
x1
x2
σ11
σ12
σ13σ33
σ31
σ23
σ21
σ32
x1
x2
33231 0mivel x főirány 32 en
0
0
0
1312
1212
1112
1212
1112
n
nn
nn
0,2/1
113
12
11
213
212
211
nnn
nnn
0,2/1,2/1és 33
32
31
123 nnnnnn
Fogalmak• Térfogati és felületi erősűrűség• Cauchy feszültségi tenzor• Feszültségi tenzor főértékei és
főirányai• Feszültségi tenzor skalár
invariánsai• Feszültség deviátor tenzor• Egyenértékű feszültség• Oktaéderes feszültségek• Fő nyíró feszültségek• Egyensúlyi és mozgás
egyenlet• Statikai egyenlet
• Mohr körök• Sik feszültségállapot
20
