Kristalna struktura i geometrija elementarnih · Pravci i ravni u kristalu Analiza strukture i osobina kristala nije moguća bez definisanja pojedinih pravaca i ravni u kristalu ili

Mašinski/Tehnički materijali - Dr Marko Pantić 1

Kristalna struktura i geometrija elementarnih

kristalnih rešetki


KRISTALOGRAFIJA (potiče od grčkih reči «krýstallos» = led, naziv upotrebljen za prozirni kvarc, gorski kristal, za koji se smatralo da je zamrznuta voda, i "gráphein" = pisati) je nauka o KRISTALNOM STANJU. Proučava spoljašnji oblik kristala i njihovu unutrašnju građu.

KRISTALIZACIJA je prelaz tečne ili gasne faze u čvrstu, i to pravilnim trodimenzionalnim raspoređivanjem materijalnih čestica u kristalnu rešetku.


Nivoi pakovanja atoma u materijalima:

a) Inertni monoatomski gas sa neuređenim atomima,

b,c) Neki materijali, kao što je vodena para, amorfni silicijum i

silikatna stakla imaju samo delimično uređene atome i

d) Metali, legure, mnoge keramike i neki polimeri imaju uređene

atome po celoj zapremini.

atom


ČVRSTE MATERIJE mogu biti AMORFNE i KRISTALNE.

AMORFNE MATERIJE nemaju pravilnu unutrašnju građu i ne smatraju se

pravim čvrstim materijama, već jako pothlađenim tečnostima. One nemaju

određeno topljenje, već pri zagrevanju postepeno omekšavaju dok se ne

rastope. Primeri takvih materija su staklo i vosak.

KRISTALI, nasuprot tome, imaju pravilnu unutrašnju građu svojstvenu za

većinu čvrstih materija.

Kristalni SiO2

(Kvarc)

Amorfni SiO2

(Staklo)

Kristalna građa Amorfna građa


KRISTALI su pravilna geometrijska tela, omeđena površnama koje se seku u

ivicama, a ivice u uglovima. Kristali su pravilne unutrašnje građe. Kristal ima

određen geometrijski oblik. Uglovi između odgovarajućih površina kristala

neke materije konstantni su i karakteristični za tu materiju.

Geometrijski oblik kristala u vezi je s njegovom geometrijskom unutrašnjom

strukturom. Drugim rečima, spoljni geometrijski oblik kristala u vezi je s

određenim rasporedom njegovih strukturnih jedinica - iona, atoma ili

molekula. Svaki kristal se sastoji, dakle, od trodimenzionalno pravilno

raspoređenih strukturnih jedinica, a njihov raspored daje karakteristična

svojstva i oblik.

Kristalna struktura neke materije predstavlja celokupni poredak strukturnih

jedinica u tzv. prostornoj rešetki.


Jedinična ili elementarna ćelija je najmanji deo prostorne rešetke koji, ponavljan

u tri dimenzije, daje celu kristalnu rešetku. Jedinična ćelija kristalne strukture

sadrži najmanji mogući broj strukturnih jedinica.

Parametar rešetke je najmanja udaljenost između dva atoma uzduž ivice

jedinične ćelije.

Jedinična

ćelija Tačka

rešetke z

y

x

Jedinična ćelija je osnovna «cigla» čijim se

slaganjem može izgraditi čitav kristal.

Pravljenje kristalne strukture iz jedinične ćelije uz

ponavljanje po kristalografskim osima


Kristalni sistem Veličina i oblik elementarne kristalne rešetke definisani su sa tri vektora - a, b i c,

koji polaze iz ugla elementarne rešetke. Veličine vektora - a, b i c i uglovi među

njima - a, i , nazivaju se parametrima elementarne kristalne rešetke.

Kristalni sistem se opisuje:

- kristalnim osima: x, y, z

- parametrima po kristalnim osima: a, b, c

- uglovima između kristalnih osa: a, , . Parametar rešetke je najmanja udaljenost između dva atoma uzduž ivice

jedinične ćelije.


Prema odnosu veličina parametara a, b, c i uglova α, β i sve kristalne strukture mogu se prikazati u 14 vrsta jediničnih ćelija razvrstanih u 7 osnovnih

kristalnih sistema.

Podela kristalnih

rešetki po kristalnim

sistemima

(Bravais-ove (Bravej)

rešetke)


Sistem Broj

osa

Odsečci na

osama

Uglovi

izmedju osa Primeri

Triklinični 3 a b c a 90 CuSO4·5H2O (plavi kamen)

Monoklinični 3 a b c a = = 90 CaSO4∙2H2O (gips)

Ortorombični 3 a b c a = = = 90 Fe3C, Ga

Tetragonalni 3 a = b c a = = = 90 TiO2

Kubni 3 a = b = c a = = = 90 Cu, Fe, Al, Ni, ...

Heksagonalni 4 a1 = a2 = a3 c a1 = a2 = a3 =

120; = 90

Zn, Cd, Mg, Ti, Be, SiO2,

H2O

Romboedarski 3 a = b = c a = = 90 As, Sb, Bi

Kristalografski sistemi


b a

c

Primitivna (prosta, jednostavna)

- elementarnoj ćeliji pripada po

jedna čestica (atom); u svakom

roglju (čvoru) elementarne ćelije

nalazi se 1 atom koji je

zajednički za svih osam ćelija ((8

1/8) = 1),

Bazno centrirana - elementarna

ćelija ima po jedan atom na svakom

roglju i još po jedan atom u sredini

donje i gornje osnove; to znači da

na elementarnu ćeliju dolazi 2

atoma ((8 1/8 + 2 1/2 ) = 2).

b a

c


Prostorno centrirana - ima po

jedan atom u rogljevima

elementarne ćelije i jedan atom u

njenom središtu; to znači, da

elementarnoj ćeliji pripadaju 2 atoma

(8 1/8 + 1 ) = 2).

Površinski centrirana - ima u

elementarnoj ćeliji po jedan atom

na svakom roglju i po jedan atom u

sredini svake strane; elementarnoj

rešetki tada pripada 4-atoma ((8

1/8 + 6 1/2) = 4).

b a

c

b

c

a


Elementarne rešetke tehničkih metala

Većina inženjerskih metala kristališe se po kubnoj rešetki, a samo nekoliko

po heksagonalnoj rešetki.

Razlikuju se:

• površinski centrirana kubna rešetka (A1),

• prostorno centrirana kubna rešetka (A2) i

• gusto pakovana heksagonalna rešetka (A3).

Pored tipa rešetke bitno je još poznavati broj atoma (n) koji pripadaju

osnovnoj ćeliji, radijus atoma R, koordinacioni broj (K) koji predstavlja broj

atoma podjednako udaljenih od centralnog atoma u elementarnoj rešetki i

koeficijent ispunjenosti rešetke (KIR) koji se odredjuje iz odnosa zapremine

atoma elementarne rešetke i zapremine same rešetke.

Kad bude reči o obrazovanju legura videće se značaj atomskog radijusa za

legiranje, jer se samo atomi sličnih dimenzija mogu zamenjivati. Atomski

radijus se može izračunati iz dimenzija elementarne rešetke.


• Kubna jedinična ćelija je 3D ponovljiva jedinica

• Retka (samo Po (polonijum) ima ovu strukturu)

• Koordinacioni broj = 6

(broj najbližih suseda)

Prosta kubna rešetka


• KIR za prostu kubnu rešetku = 0.52

sadrži 8 x 1/8 = 1 atom/rešetki

Konstanta rešetke

pravci gustog-pakovanja

a

R=0.5a

KIR =

Zapremina atoma u rešetki

Zapremina rešetke

KIR =

a 3

4

3 p (0.5a) 3 1

atomi

rešetke atoma

zapremina

rešetke

zapremina

KIR - Koeficijent ispunjenosti rešetke

Pravci gustog pakovanja:

dužina = 2r=2R=a


Dva načina prikazivanja

površinsko-centrirane

kubne rešetke

Površinski centrirana kubna rešetka (A1)

Atomi se nalaze na svakom uglu (ćošku) i centrima svih stranica rešetke;

Cu, Al, Ag, Au su metali koji imaju ovu kristalnu rešetku.



Napomena: Svi atomi su identični; površinski centrirani atomi su osenčeni (beli)

samo da bi bili istaknuti.

Površinski centrirana kubna rešetka


a

• KIR za površinski centriranu kubnu rešetku = p/(32) = 0.74

(najbolje moguće pakovanje je sa identičnim sferama)

Koeficijent ispunjenosti rešetke

KIR =

a 3

4

3 p ( 2 a/4 ) 3 4

atomi

rešetke atoma

zapremina

rešetke

zapremina

Pravci gustog pakovanja:

dužina = 4r = 2 a

Rešetka sadrži:

6 x 1/2 + 8 x 1/8 = 4 atoma/rešetki


Atomi se nalaze na svakom uglu (ćošku) i u centru rešetke;

Cr, α-Fe, Mo su metali koji imaju ovu kristalnu rešetku.

Zapreminski centrirana kubna rešetka (A2)



Napomena: Svi atomi su identični; centralni atom je osenčen (beo) samo

da bi se razlikovao od ostalih atoma.

Zapreminski centrirana kubna rešetka


aR

• KIR za zapreminski centriranu kubnu rešetku = p3/8 = 0.68

Koeficijent ispunjenosti rešetke

Pravci gustog pakovanja: dužina = 4r

= 3 a

KIR =

a 3

4

3 p ( 3 a/4 ) 3 2

atomi

rešetke atoma

zapremina

rešetke

zapremina

Rešetka sadrži:

1 + 8 x 1/8 = 2 atoma/rešetki


Pravci i ravni u kristalu

Analiza strukture i osobina kristala nije moguća bez definisanja pojedinih

pravaca i ravni u kristalu ili u prostornoj rešetki. Često je potrebno pozivati

se na određene pravce u kristalnim rešetkama. Ovo je naročito važno za

metale i legure čija se svojstva menjaju promenom orijentacije kistala.

[100]

[001]

[010]

[110]

[101]

[011] [111] Radi uprošćenja dalje ćemo se

ograničiti na kubnu rešetku, po kojoj

se kristališe većina tehničkih metala.

Za kubne kristalne rešetke

kristalografski indeksi pravaca su

komponente vektora pravca

razložene duž svake koordinatne

ose i svedene na najmanji ceo broj.

Kristalografski pravci


Ako u nekom čvoru datog kristala postavimo

pravougli koordinatni sistem sa osama x, y, z,

možemo položaj svakog čvora rešetke opisati

pomoću tri koordinate. Npr. čvoru O odgovaraju

koordinate: 0, 0, 0; a čvoru D: a, b, c, gde su a, b,

c parametri rešetke u pravcu triju kristalografskih

osa x, y, z (za kubnu elementarnu rešetku

a=b=c).

z

x

y

(1,0,0)

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0)

(1,1,1)

(0,1,1)

(1,0,1)

z

(0,0,0)

O

D

a

b

c

Parametar rešetke predstavlja jediničnu dužinu, to znači da koordinate čvora

možemo izraziti takodje pomoću umnožaka parametara rešetke. Koordinate

čvora stoga će biti: čvor O: 0, 0, 0; čvor D: 1, 1, 1; to u zadnjem slučaju znači:

jedan parametar u pravcu "x", jedan parametar u pravcu "y" i jedan parametar u

pravcu "z".


Viliam Halou Miler (Villiam Hallowes Miller)

(1801-1880). Engleski kristalograf koji je

objavio “Treatise on Crystallography” (Naučna

rasprava o kristalografiji) u 1839, koristeći

koordinatne ose koje su bile paralelne ivicama

kristala i koristeći recipročne indekse.


Teoretska gustina, r

Gustina = masa/zapremina

masa = broj atoma u rešetki × masa svakog atoma

masa svakog atoma = atomska težina/Avogadrov broj

r = n A

V c N A

Broj atoma/rešetki Atomska težina (g/mol)

Zapremina/rešetki

(cm 3 /rešetki)

Avogadrov broj

(6.023 x 10 23 atoma/mol)


Primer: Bakar

• kristalna struktura = A1: 4 atoma/rešetki

• atomska težina = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)

• atomski radijus R = 0.128 nm (1 nm = 10 cm) -7

Teoretska gustina - primer

r = n A

V c N A

Broj atoma/rešetki Atomska težina (g/mol)

Zapremina/rešetki

(cm 3 /rešetki) Avogadrov broj

(6.023 x 10 23 atoma/mol)

V c = a 3 ; za A1, a = 4R/ 2 ; V c = 4.75 x 10 -23 cm 3

Rezultat: teoretska r Cu = 8.89 g/cm 3

stvarna: r Cu = 8.94 g/cm 3


Metali imaju... • gusto pakovanje

(metalnu vezu)

• veliku atomsku masu

Keramike imaju... • manju gustinu pakovanja

(kovalentnu vezu)

• nešto lakši elementi

Polimeri imaju... • loše pakovanje

(često amorfni)

• lakši elementi (C,H,O)

Kompoziti imaju... • srednje vrednosti

Gustina različitih materijala

r metala > r keramika > r polimera


Hvala na pažnji !

Documents

Kristalna struktura i geometrija elementarnih · Pravci i ravni u kristalu Analiza strukture i osobina kristala nije moguća bez definisanja pojedinih pravaca i ravni u kristalu ili