Kísérletek tervezése és értékelése: faktoros kísérl Kísérlettervezés …kkft.bme.hu/attachments/article/46/DOE_BME_2011_0.pdf · 2018-07-24 · Kísérletek tervezése

KísérlettervezésKísérletek tervezése és értékelése: faktoros kísérleti tervek

1

ppxxxY ββββ ++++ ...= 22110

Mit akarunk megtudni?

80 60 40 20

Kísérlettervezés

2

2p típusú teljes faktoros kísérleti tervek2p típusú teljes faktoros kísérleti tervek

x1

x2

x3

1.

2.

4.

3.

a) b)

2

6

1

5

4

8

3

7

x1

x2

x3

a változók egyenkénti változtatása mátrix-terv


3

1. példa

Vizsgáljuk a baracklekvár-főzés technológiai paramétereinek hatását a baracklekvár minőségére

z1 cukor mennyisége 0.2 és 0.3 kg/kg,

z2 forralási idő 25 és 30 min

Faktorok z1 z2 középpont z j

0 0.25 27.5

variációs intervallum ∆z j

0.05 2.5

fölső szint zjmax(+) 0.3 30

alsó szint zjmin (–) 0.2 25

4

A kísérleti terv:i z1 z2 y 1 0.2 25 16 2 0.3 25 68 3 0.2 30 72 4 0.3 30 44

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

z1

0

5

10

15

20

25

30

35

1111 2222

44443333

z2


5

j

jjj z

zzx

∆−

=0

x1-1

-1

+1

+1

0

0

x2

1 2

3 4

kjxxi

kiji ≠=∑ ha,0

ortogonalitás

Transzformáció (kódolás): i Természetes egységekben

A transzformált faktorok

y

z1 z2 x0 x1 x2 1 0.2 25 + - - 16 2 0.3 25 + + - 68 3 0.2 30 + - + 72 4 0.3 30 + + + 44

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

z1

0

5

10

15

20

25

30

35

1111 2222

44443333

z2

6

x1

y

30

35

40

45

50

55

60

65

70

-1. 1.

x2

y

30

35

40

45

50

55

60

65

70

-1. 1.


7

( ) ( )−+ −= jjj yyh

1244562

7216

2

44681 =−=+−+=h

1642582

6816

2

44722 =−=+−+=h

8

ppxxxY ββββ ++++ ...= 22110

N

xy

x

xyb i

jii

iji

ijii

j

∑

∑

∑==

2

xj

y-

y+

-1 +10

bj

bj


9

kölcsönhatás!

i x0 x1 x2 x1x2 y

1 + – – + 16 2 + + – – 68 3 + – + – 72 4 + + + + 44

4070302

7268

2

4416121212 −=−=+−+=−= −+ yyh

204

80

4

14060

4

4472681612 −=−=−=+−−=b

-1. 1.

x1

10

20

30

40

50

60

70

80

y

504

447268160 =+++=b

10

211222110= xxxxY ββββ +++

208650ˆ2121 xxxxY −++=

80 60 40 20


11

Ha újra elvégeznénk az egész kísérletsorozatot, ugyanazokat azy értékeket kapnánk?

ε+= Yy

Ha az újra elvégzett kísérletsorozatot kiértékelnénk, ugyanazokat a b becsült paraméter-értékeket kapnánk?

A becsült paraméterek szignifikanciájának vizsgálataA becsült paraméterek szignifikanciájának vizsgálata

y ingadozik Y körül

bj valószínűségi változó, értéke akkor sem 0, ha βj=0

12

Az együttható (bj) ingadozását jellemző sb szórás y szórásából (sy) számítható.

Ismételt mérések végzése

a) k-szor ismétlünk a terv minden pontjában,

b) a terv centrumában végzünk ismételt méréseket,kc-szer ismétlünk.

A terv centrumában végzett ismételt mérések a hatások szignifikanciájának vizsgálatán kívül a linearitás vizsgálatát is lehetővé teszik.

( )2ys meghatározásához


13

Különböznek-e a b becsült paraméterek szignifikánsan zérustól?

jb

jj

s

bt

β−= N

s

x

ss y

iji

yb j

2

2

22 ==∑

0:0 =jH βNullhipotézis:

( ) ααα −=≤<− 122 tsbtPjbj

Ha a nullhipotézis helytálló, a hányados t-eloszlású, vagyis

A nullhipotézist akkor utasítjuk el, ha 2αtsbjbj >

14

A terv centrumában (ahol minden faktor szintje 0) is végeztek méréseket

2ysHonnan vegyük -et?

33.503

3

1

01

01 ==∑

=mmy

y

( )333.0

2

3

1

201

01

201

=−

=∑

=mm

y

yy

s

i Természetes egységekben

A transzformált faktorok

y

z1 z2 x1 x2 5 0.25 27.5 0 0 50 6 0.25 27.5 0 0 50 7 0.25 27.5 0 0 51


15

0833.04

333.02

2

22 ====∑ N

s

x

ss y

iji

yb j

289.0=jbs

( ) ααα −=<<− 122 tsbtPjbj ha bj=0

szignifikáns, ha 2αtsbjbj >

3.4205.0 =t 243.13.4289.02 =⋅=αtsjb

16

A lineáris modell adekvát voltának vizsgálata(görbeség-ellenőrzés)

( ) 00 YyE =

( ) ( ) 000 YyEbE ==H0:

( ) ( ) 000 YyEbE =≠H1:

(centrum-pont)

td

sd0 = d y b= −0

0 s sk Nd y

c

2 2 1 1= +

1−+−= cklNν


17

-2

-1

0

1

2

-10

12

1

2

3

4

5

y

x1

x2

y0

b0

d

Lineáris modell (sík)

mért yi

mért yi

18

33.05033.50 =−=d

sd2 0 333

1

4

1

301943= +

=. . sd = 0 441.

t0

0 330441

0 748= =..

.

( ) 3.422/05.00 =< tt

213441 =−+−=−+−= cklNν

Elfogadjuk a nullhipotézist(nem kell másodfokú tag a modellbe).


19

=

−

−−

−+

−+=5.2

5.27

05.0

25.020

5.2

5.278

05.0

25.0650ˆ tCtC

Y

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−= C125.0

5.272065.2

125.0

5.2725.0205.27805.025.065.250

tCtCtC

t ⋅−++−=⋅−⋅+⋅+ 1602.4345201168125.0

20

125.0

25.020805.0

A becsült függvény:

208650ˆ2121 xxxxY −++=

20

k-szor ismétlünk a terv minden pontjábanA kísérletek száma: N = k·2p

Ellenőrizhető a σ2 konstans feltételNem vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e

kc-szer ismétlünk a terv centrumábanA kísérletek száma: N = 2p + kc<< k·2p

Nem ellenőrizhető a σ2 konstans feltételVizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e.

k-szor a terv minden pontjában, kc-szer a terv centrumábanA kísérletek száma: N = k·2p+kc

Ellenőrizhető a σ2 konstans feltételVizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-eSzigorúbb statisztikai próbák, a szabadsági fok nagyobb

( )2ysA variancia (σ2) becslési lehetőségeiA variancia (σ2) becslési lehetőségei


21

Mi történik, ha csak a kísérleti terv egy pontját ismételjük?

i x0 x1 x2 x1x2

1 + – – + 2 + + – – 3 + – + – 4 + + + + 5 + + + +

ortogonalitás?

kjxxi

kiji ≠=∑ ha,0

22

A 2p terv alapján becsült modell-paraméterek száma (l) legfeljebb 2p

Modell-redukció:a nem szignifikáns tagokat (bj-ket) kihagyjuka modellből, így

pl 2<

Ha a terv minden pontját k-szor hajtjuk végre, a terv sorainak számapkN 2=

A tervpontokban mért y értékek szóródása az illesztett modell körül:

( )( )

lN

Yys

N

iii

regry −

−=∑

=1

2

2

ˆlN −=ν


23

2. példa

Vizsgáljuk egy kémiai reaktorban a kitermelést (%) négy faktor függvényében, ha a

z1 hőmérséklet 40 és 60 oC,

z2 reakcióidő 10 és 20 min,

z3 kiindulási komponens koncentrációja 45 és 65 %,

z4 nyomás 2 és 6 bar

24

Faktorok z1 z2 z3 z4

középpont z j0

50 15 55 4

variációs intervallum ∆z j 10 5 10 2fölső szint z j

max (+) 60 20 65 6

alsó szint z jmin (–) 40 10 45 2


25

Természetesegységekben

A transzformáltfaktorok

y

i z1 z2 z3 z4 x0 x1 x2 x3 x4 %1 40 10 45 2 + – – – – 60.42 60 10 45 2 + + – – – 75.93 40 20 45 2 + – + – – 79.84 60 20 45 2 + + + – – 86.05 40 10 65 2 + – – + – 64.96 60 10 65 2 + + – + – 80.97 40 20 65 2 + – + + – 86.48 60 20 65 2 + + + + – 91.69 40 10 45 6 + – – – + 59.610 60 10 45 6 + + – – + 77.011 40 20 45 6 + – + – + 83.112 60 20 45 6 + + + – + 85.013 40 10 65 6 + – – + + 65.014 60 10 65 6 + + – + + 79.315 40 20 65 6 + – + + + 88.716 60 20 65 6 + + + + + 91.1

26

hõmérséklet

kite

rmel

és, %

65

70

75

80

85

90

-1. 1.

reakcióidõ

-1. 1.

koncentráció

-1. 1.

nyomás

-1. 1.


27

43211234432234431134421124321123 xxxx+bxxx+bxxx+bxxx+bxxx+b

+= 443322110ˆ x+bx+bx+bx+bbY

433442243223411431132112 +++ xxbxx+bxxbxx+bxx+bxx+b

28

i x0 x1 x2 x3 x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 x1x2x3 x1x2x4 x1x3x4 x2x3x4 x1x2x3x4 y

1 + – – – – + + + + + + – – – – + 60.42 + + – – – – – – + + + + + + – – 75.93 + – + – – – + + – – + + + – + – 79.84 + + + – – + – – – – + – – + + + 86.05 + – – + – + – + – + – + – + + – 64.96 + + – + – – + – – + – – + – + + 80.97 + – + + – – – – + – – – + + – + 86.48 + + + + – + + + + – – + – – – – 91.69 + – – – + + + – + – – – + + + – 59.610 + + – – + – – + + – – + – – + + 77.011 + – + – + – + – – + – + – + – + 83.112 + + + – + + – + – + – – + – – – 85.013 + – – + + + – – – – + + + – – + 65.014 + + – + + – + + – – + – – + – – 79.315 + – + + + – – – + + + – – – + – 88.716 + + + + + + + + + + + + + + + + 91.1


29

Z1

201510 655545 600000400000200000

90

80

70

Z2

90

80

70

Z3

90

80

70

Z4

Z1

Center

60 Corner

Point Type

40 Corner

50

Z2

Center

20 Corner

Point Type

10 Corner

15

Z3

Center

65 Corner

Point Type

45 Corner

55

Interaction Plot (data means) for Y, %

30

b0 = 78.42; b1 = 4.93; b2 = 8.04; b3 = 2.57; b4 =0.18; b12 = –2.97; b13 = –0.19; b14 = –0.43; b23 = 0.42; b24 = –0.33; b34 = –0.14; b123 = 0.13; b124 = –0.46; b134 = –0.13; b234 = 0.08; b1234= 0.32

együtthatók

-4 -2 0 2 4 6 8 10

b1 b2b3b12


31

Term

Standardized Effect

BCD

ACD

ABC

CD

D

AC

ABCD

BD

BC

AD

ABD

C

AB

A

B

35302520151050

4.30F actor

Z4

Name

A Z1

B Z2

C Z3

D

Pareto Chart of the Standardized Effects(response is Y, , Alpha = .05)

32

9725320489344278ˆ21321 xx.-x.x.+x.+.Y +=

Standardized Effect

Percent

403020100-10

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Factor

Z4

Name

A Z1

B Z2

C Z3

D

Effect Type

Not Significant

Significant

AB

C

B

A

Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is Y, , Alpha = .05)


33

2p-r típusú részfaktortervek2p-r típusú részfaktortervek

22 23-1

i x0 x1 x2 x1x2 i x0 x1 x2 x3

1 + – – + 1 + – – +2 + + – – 2 + + – –3 + – + – 3 + – + –4 + + + + 4 + + + +

x3

34

i x0 x1 x2 x3 1 + – – + 2 + + – – 3 + – + – 4 + + + +

1

5

3

7

2

6

4

8

x1

x2

x3

1

2

3

4


35

$Y b + b x + b x + b x = 0 1 1 2 2 3 3

Az illeszthető modell

1233 ββ +→b x =x x3 1 2 mivel

1 1 2 3=x x x Mindkét oldalt szorozva x3-mal

x=xxx=xx 3232211

x=xx 312

2311 ββ +→b

1322 ββ +→b

(keveredési rendszer)

36

24-1 x = x x x4 1 2 3 43211 xxx=x

4321 xx=xx

xx=xx 4312

4213 xx=xx

xx=xx 3214

x=xxx 4321

x=xxx 4231

3241 xxxx =

A keveredési rendszer:

A főhatások háromfaktoros interakciókkal keverednek, a kétfaktoros interakciók pedig egymással.


37

443322110ˆ xbx+bx+bx+bbY +=

x=xxx 4321 stb.

142 −

152 −43215 xxx=xx 543211 xxxx=x

54321 xxx=xx54321 xx=xxx

38

252 −

3215 xx=xx 214 x=xxpl.

55443322110ˆ xbxbx+bx+bx+bbY ++=

352 −

kísérletek száma? paraméterek száma?

kísérletek száma? paraméterek száma?

362 − 372 − 472 −


39

variable - +

1 water supply town reservoir well2 raw material on site other3 temperature low high4 recycle yes no5 caustic soda fast slow6 filter cloth new old7 holdup time low high

3. példa

G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter: Statistics for Experimenters, J. Wiley, 1978; p. 424-429

40

12 13 23 123filtration time

(min)test 1 2 3 4 5 6 7 y

1 - - - + + + - 68.42 + - - - - + + 77.73 - + - - + - + 66.44 + + - + - - - 81.05 - - + + - - + 78.66 + - + - + - - 41.27 - + + - - + - 68.78 + + + + + + + 38.7

Az első terv:


41

l1= -10.9 → 1+24+35+67l2= -2.8 → 2+14+36+57l3= -16.6 → 3+15+26+47l4= 3.2 → 4+12+37+56l5= -22.8 → 5+13+27+46l6= -3.4 → 6+17+23+45l7= 0.5 → 7+16+25+34

Az első terv eredményeinek feldolgozása:

Filtr1.mtw

42

-12 -13 -23 123filtration time

(min)test 1 2 3 4 5 6 7 y

1 + + + - - - + 66.72 - + + + + - - 65.03 + - + + - + - 86.44 - - + - + + + 61.95 + + - - + + - 47.86 - + - + - + + 59.07 + - - + + - + 42.68 - - - - - - - 67.6

Második (fold-over) terv:


43

l1= -6.7 → 1l2= -3.9 → 2l3= -0.4 → 3l4= 2.8 → 4l5= -19.2 → 5l6= 0.1 → 6l7= -4.4 → 7

l12= 0.5 → 12+37+56l13= -3.6 → 13+27+46l14= 1.1 → 14+36+57l15= -16.2 → 15+26+47l16= 4.9 → 16+25+34l17= -3.4 → 17+23+45l24= -4.2 → 24+35+67

A 16 kísérlet eredményeinek feldolgozása:

44

Meddig lehet a kísérletek számát csökkenteni?

Legalább a főhatásokat becsülnünk kell, p faktorra minimálisan p+1 pontból

pl. 7 faktorra legalább 8 beállítás (27-4).

Ha a faktorok száma 8 és 15 között van, a minimális beállítások száma 16


45

A kísérletek meneteA kísérletek menete

Randomizálás

Például a kísérleteket nem lehet egyszerre (azonos pillanatban) elvégezni, és nem zárható ki, hogy az idő előrehaladásával a külső körülményekben, az anyagban változások lesznek.Ha a tervgenerálás algoritmusa a végrehajtás sorrendje, akkor a terv első feléhez, a faktor egyik szintje, második feléhez pedig a másik szintje tartozik. Ekkor a szóban forgó faktor főhatásába belekeveredik az időbeli különbség (az idő hatása).

A kísérletek sorrendjét véletlenszerűsíthetjük, ez a randomizálás.

46

Az is előfordul, hogy a kísérletekhez felhasználandó nyersanyag egy tételéből nincs annyi, hogy az egész kísérletsorozatra futná, vagy nem végezhetjük az egész sorozatot egy napon ill. egy készüléken. Ha ilyenkor randomizálunk, a tétel (nap, vagy készülék) nem keveredik a faktor hatásába, de a randomizálásmiatt a szórás megnő, és elfedheti a lényeges faktorok hatását.

Jobb, ha a kísérletsorozatot ilyen esetekben blokkokra osztjuk: egy blokkban azonos körülményeket biztosítunk (azonos nyersanyagtétel, azonos nap, vagy készülék).


47

i x0 x1 x2 x3 x1x2x3

1 + + + + +2 + – + + –3 + + – + –4 + – – + +5 + + + – –6 + – + – +7 + + – – +8 + – – – –

BLOKKBlokkokra osztás

48

A variációs intervallum megválasztásaA variációs intervallum megválasztása

A faktorok értelmezési tartományán belül

• ehhez az intervallumhoz képest kell a faktor beállítási

bizonytalanságának elhanyagolhatónak lennie

• ha túl kicsire választjuk, a faktor hatástalannak

mutatkozik

• ha túl nagyra, a görbe felület leírására a sík nem adekvát


49

Ha nagy a szórás, nem észleljük a hatást!

50


51

A kísérletek célja egy speciális anyag optimális előállítási körülményeinek meghatározása volt. A célfüggvény a kihozatal %, melynek maximális értékét kell elérni. Faktorok :

z1 reakció idő, min;

z2 hőmérséklet, °C;

z3 fordulatszám, 1/min;

z4 katalizátor koncentráció, %;

z5 felesleg, %;

z6 nyomás, bar;

z7 szennyezés koncentráció, %.

.

4. példa: 27-4 részfaktorterv+fold-over, centrumponttal

4. példa: 27-4 részfaktorterv+fold-over, centrumponttal

52

Jellemzők z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7

Alapszint, z j0 75 132,5 450 1,5 25 1,5 0,25

Variációs intervallum,

∆z j 5 2,5 50 0,5 5 0,5 0,25

-1 70 130 400 1,0 20 1 0,00

+1 80 135 500 2,0 30 2 0,50


53

i x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y, % blokk 1 + - + - + - + - 31,04 1

2 + + + - - + - - 43,65 1

3 + - - - - + + + 56,42 1

4 + + - - + - - + 66,39 1

5 + - + + - - - + 27,78 1

6 + + + + + + + + 48,63 1

7 + - - + + + - - 51,13 1

8 + + - + - - + - 69,70 1

9 + 0 0 0 0 0 0 0 49,07 1

10 + 0 0 0 0 0 0 0 51,34 1

11 + 0 0 0 0 0 0 0 49,72 1

3217 xxxx =214 xxx = 315 xxx = 326 xxx =; ; ;

Az 1. blokk: 27-4 részfaktorterv, 3 ismétlés a centrumpontban:

54

i x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y, % blokk

12 + + + + - - - + 65,29 2 13 + - + + + + - - 56,90 2 14 + + - + + - + - 42,42 2 15 + - - + - + + + 31,47 2 16 + + + - - + + - 71,18 2 17 + - + - + - + + 50,08 2 18 + + - - + + - + 47,26 2 19 + - - - - - - - 29,11 2 20 + 0 0 0 0 0 0 0 49,89 2 21 + 0 0 0 0 0 0 0 49,16 2 22 + 0 0 0 0 0 0 0 51,11 2

A 2. blokk: fold-over (3 centrumponttal)


55

Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp; ...

Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T PConstant 49,2781 0,2423 203,40 0,000Block 0,0455 0,2066 0,22 0,835time 15,0738 7,5369 0,2423 31,11 0,000Temp 23,2163 11,6081 0,2423 47,91 0,000ford.szá -0,2262 -0,1131 0,2423 -0,47 0,66 0kat.konc -0,6638 -0,3319 0,2423 -1,37 0,22 9felesleg 4,5937 2,2969 0,2423 9 ,48 0,000Nyomás -0,8887 -0,4444 0,2423 -1 ,83 0,126sz.konc -0,6437 -0,3219 0,2423 -1,33 0,241time*Temp -0,5662 -0,2831 0,2423 -1,17 0,2 95time*ford.szá -0,3838 -0,1919 0,2423 -0,79 0,464time*kat.konc -0,0813 -0,0406 0,2423 -0,17 0,873time*felesleg 0,1612 0,0806 0,2423 0 ,33 0,753time*Nyomás 0,7337 0,3669 0,2423 1 ,51 0,190time*sz.konc -0,0362 -0,0181 0,2423 -0,07 0,943Temp*kat.konc 0,4263 0,2131 0,2423 0,88 0,419Ct Pt 0,7702 0,4639 1,66 0,158

szignifikáns

A centrumbeli mérések átlagának eltérése a „Constant” -tól nem szignifikáns, tehát a lineáris modell adekvát.

A blokk nem szignifikáns

56

A felesleget (x5 ill. z5) nem lehet tovább növelni, így azt a fölső szintjén rögzítették ( ).

== 521 30,261,1154,728,49ˆ x+x+x+Y

Az illesztett lineáris függvény:

A célfüggvény maximumát (optimum) az x1 és x2 független változók terében keressük tovább.

15 +=x

( ) 58,51130,228,49 =++

21 61,1154,758,51 x+x+


57

Box és Wilson módszere az optimum megközelítéséreBox és Wilson módszere az optimum megközelítésére

x1

x2

•

•

•

•

•

L

M • •

•

•

N

R• • •

•

•

58

pp

xx

fx

x

fx

x

ffgrad δ

∂∂δ

∂∂δ

∂∂ +++= K2

21

1

jxδahol a j-edik koordinátatengely irányába mutató

egységvektor.

.ˆ

,,ˆ

,ˆ

22

11

pp

bx

Yb

x

Yb

x

Y ===∂∂

∂∂

∂∂

K

pp xbx+bx+bx+bbY +⋅⋅⋅+= 3322110ˆ


59

A gradiens-függvény:

pp xbxbxbYgrad δδδ +++= K2211ˆ

A gradiens irányában úgy haladhatunk, ha az x1 tengely mentén b1, az x2 tengely mentén b2 nagyságú stb. lépést teszünk. Az xj koordinátában az egységnyi lépés a zj

eredeti fizikai skálán ∆zj .

60

-1 0 1 2 3

x1

-1

0

1

2

3

x 2

b2

b1

g

x+bx+bbY 22110ˆ =

A tervpontokra illesztett modell:

n tervpontokg lépésterv

A gradiens:


61

5. példa: a 4. példa folytatása;lépésterv a gradiens mentén

5. példa: a 4. példa folytatása;lépésterv a gradiens mentén

21 61,1154,758,51ˆ x+x+Y =

j 1 3 z j

0 75 min 132,5 °C

∆z j 5 min 2,5 °C

bj 7,54 11,61

b zj j∆ 37,70 min 29,03 °C

lépés 2,5 min 1,92 °C

A tervpontokra illesztett egyenlet:

540,154,7

61,11

1

2 ==b

b

62

x1-1 0 1 2 3 4

x2

-1

0

1

2

3

4

5

6

65 70 75 80 85 90 95 100

time, min

128

130

132

134

136

138

140

142

144

146

148

150

Tem

p, °C

tervpontok lépésterv

93,42

97,16

94,02

83,80

51,58


63

sorszám x1 x2 time, min Temp, °C y, %tervcentrum 0 0 75,0 132,5

0,5 0,77 77,5 134,4

1,0 1,54 80,0 136,4

23 1,5 2,31 82,5 138,3 83,80

2,0 3,08 85,0 140,2

24 2,5 3,85 87,5 142,1 94,02

3,0 4,62 90,0 144,1

26 3,5 5,39 92,5 146,0 97,16

4,0 6,16 95,0 147,9

27 4,5 6,93 97,5 149,8 93,42

58,51ˆ =Y

64

6. példa: az 5. példa folytatása;22 terv az optimum közelében

6. példa: az 5. példa folytatása;22 terv az optimum közelében

sorszám time, min

Temp., °C

x1 x2 y, %

1 80 140 - - 82,20

2 100 140 + - 92,69

3 80 150 - + 92,24

4 100 150 + + 89,98

5 90 145 0 0 93,89

6 90 145 0 0 95,56

7 90 145 0 0 94,84


65

Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp

Estimated Effects and Coefficients for y, (coded un its)

Term Effect Coef SE Coef T PConstant 89,278 0,4188 213,17 0,000time 4,115 2,058 0,4188 4,91 0,039Temp 3,665 1,832 0,4188 4,38 0,048time*Temp -6,375 -3,187 0,4188 -7,61 0,017Ct Pt 5,486 0,6398 8,57 0,013

Szignifikáns a centrumbeli mérések átlagának eltérése a „Constant” -tól, tehát a lineáris modell nem megfelelő.

Másodfokú modell illesztésére alkalmas terv szükséges!

66

Másodfokú kísérleti tervekMásodfokú kísérleti tervek

A centrum-ponti kísérletekből csak azt látjuk, hogy valamelyik faktorra nem jó a lineáris függvény.

A másodfokú modell paraméterei nem becsülhetők a 2p és 2p-r

tervek eredményeiből.

A 2p kétszintes tervek kiegészíthetők háromszintesekké: 3p.

Minőségi faktorok kettőnél több szinten csak varianciaanalízissel vizsgálhatók, mert szintjeik nem értelmezhetők intervallum-skálán.


67

i x1 x2

1 0 02 + 03 – 04 0 +5 + +6 – +7 0 –8 + –9 – –

32 terv:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x1

9 8

x2

32

56

7

1

4

68

i x0 x1 x2 x1x2 x1

' x2' x x1 2

' '

1 + + + + 1/3 1/3 1/9 2 + - + - 1/3 1/3 1/9 3 + + - - 1/3 1/3 1/9 4 + - - + 1/3 1/3 1/9 5 + + 0 0 1/3 -2/3 -2/9 6 + - 0 0 1/3 -2/3 -2/9 7 + 0 + 0 -2/3 1/3 -2/9 8 + 0 - 0 -2/3 1/3 -2/9 9 + 0 0 0 -2/3 -2/3 4/9

Két faktorra a 32 kísérleti terv

x xN

x x xji ji ji ji ji

N' = − = −

=∑2 2 2 2

1

1


69

33 másodfokú terv:33 másodfokú terv:

70

A 3p tervben az elvégzendő kísérletek száma a faktorok pszámával rohamosan, a becsülhető együtthatók l száma pedig kevésbé nő:

p 2 3 4 5 6

3p 9 27 81 243 729

l 6 10 15 21 28


71

Kompozíciós tervekKompozíciós tervek

magja egy 2p típusú teljes faktoros kísérleti terv(p≥5 esetén részfaktorterv), 2p csillagpont a centrumtól α távolságraés kc centrumbeli kísérlet.

N=2p+2p+kc

A faktor szám, p 2 3 4 5 A terv magja 22 23 24 25-1

α 1.0 1.215 1.414 1.547

Az α értékének megválasztása szerint a terv lehet ortogonális vagy forgatható. Ortogonális terv és kc=1 esetére:

72

Kompozíciós terv három faktorraKompozíciós terv három faktorra

i

i

i23 kétszintes tervg centrumpont

* csillagpontok α távolságra

i

i

i

i

i

i

*

*

*

*

*

*

g


73

Box-Behnken terv 3 faktorraBox-Behnken terv 3 faktorra

a terv centruma

74

7. példa: a 22 terv módosításakompozíciós tervvé

7. példa: a 22 terv módosításakompozíciós tervvé

blokk time Temp. y

1 1 80 140 82,20

2 1 100 140 92,69

3 1 80 150 92,24

4 1 100 150 89,98

5 1 90 145 93,89

6 1 90 145 95,56

7 2 75,858 145 88,62

8 2 104,142 145 92,18

9 2 90 137,929 85,80

10 2 90 152,071 91,12

11 2 90 145 94,87

12 2 90 145 95,36

22 terv

Csillagpontokés centrumpont


75

Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=,98422; Adj:,96529 (kompozit) 2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Residual=,5666198 DV: y

Effect Std.Err. t(5) p

Mean/Interc. 94,92000 0,376371 252,1981 0,000000

blokk(1) 0,23160 0,434596 0,5329 0,616928

(1)time (L) 3,31617 0,532271 6,2302 0,001559

time (Q) -4,59628 0,595102 -7,7235 0,000581

(2)Temp.(L) 3,71342 0,532271 6,9766 0,000931

Temp.(Q) -6,53632 0,595102 -10,9835 0,000109

1L by 2L -6,37500 0,752742 -8,4690 0,000377

A blokk nem szignifikáns

76

Regr. Coefficients; Var.:y; R-sqr=,98422; Adj:,96529 (kompozit)2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Residual=,5666198 DV: y

Regressn Std.Err. t(5) p

Mean/Interc. -3740,46 274,2227 -13,6402 0,000038

blokk(1) 0,12 0,2173 0,5329 0,616928

(1)time (L) 13,55 1,2161 11,1391 0,000102

time (Q) -0,02 0,0030 -7,7235 0,000581

(2)Temp.(L) 44,02 3,5179 12,5132 0,000058

Temp.(Q) -0,13 0,0119 -10,9835 0,000109

1L by 2L -0,06 0,0075 -8,4690 0,000377


77

Fitted Surface; Variable: y

2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Residual=,5666198

DV: y

90 80 70 60

78

Fitted Surface; Variable: y

2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Residual=,5666198

DV: y

95 90 85 80 75 70 65 60

70 75 80 85 90 95 100 105 110

time

136

138

140

142

144

146

148

150

152

154

Tem

p.

Maximum:92,5 min;145,8 °C;95,16%

Documents

Kísérletek tervezése és értékelése: faktoros kísérl Kísérlettervezés …kkft.bme.hu/attachments/article/46/DOE_BME_2011_0.pdf · 2018-07-24 · Kísérletek tervezése