ii

ii

ii

ii

Kurs matematykidla chemików

ii

ii

ii

ii

nr 136

ii

ii

ii

ii

Joanna Ger

Kurs matematykidla chemików

Wydanie piąte poprawione

Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012

ii

ii

ii

ii

Redaktor serii: MatematykaTomawsz Dłotko

Recenzenci I wydaniaJózef Banaś

Stanisław Stoiński

ii

ii

ii

ii

Spis treści

Przedmowa 9

1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości 111.1. Elementy rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Elementy rachunku kwantyfikatorowego . . . . . . . . . . 131.3. Rachunek zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Odwzorowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Liczby rzeczywiste i zespolone. Funkcje elementarne 232.1. Własności zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . 232.2. Funkcje monotoniczne i wypukłe . . . . . . . . . . . . . 302.3. Funkcje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3. Elementy algebry liniowej 613.1. Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Wzory Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4. Układy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5. Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6. Baza i wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . 883.7. Rachunek wektorowy w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 943.8. Odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.9. Grupa przekształceń liniowych na płaszczyźnie . . . . . . 1083.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ii

ii

ii

6 Spis treści

4. Ciągi i szeregi 1134.1. Ciągi liczbowe i ich własności . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2. Granica ciągu rzeczywistego i jej własności . . . . . . . . 1164.3. Granice niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.4. Zbieżność w przestrzeniach Rk (k ∈ N) . . . . . . . . . . 1354.5. Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.6. Kryteria zbieżności szeregów . . . . . . . . . . . . . . . 1404.7. Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5. Granica i ciągłość odwzorowań 1535.1. Pewne szczególne podzbiory Rn . . . . . . . . . . . . . . 1535.2. Granica odwzorowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3. Własności granic funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.4. Ciągłość odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.5. Własności odwzorowań ciągłych w zbiorach zwartych . . 1695.6. Dalsze własności funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . 1715.7. Granice pewnych szczególnych funkcji . . . . . . . . . . 1795.8. Ciągłość funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . 1845.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 1916.1. Iloraz różnicowy i pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.2. Interpretacja pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.3. Pochodne funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . 1956.4. Działania na pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.5. Pochodna funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.6. Pochodna funkcji złożonej . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.7. Różniczka funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.8. Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.9. Twierdzenia o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . 2056.10. Wnioski z twierdzeń o wartości średniej . . . . . . . . . 2096.11. Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.12. Wypukłość i punkty przegięcia funkcji . . . . . . . . . . 2196.13. Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

ii

ii

ii

ii

Spis treści 7

6.14. Wyrażenia nieoznaczone i reguła de l’Hospitala . . . . . 2216.15. Badanie przebiegu zmienności funkcji . . . . . . . . . . . 2246.16. Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.17. Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.18. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7. Całka oznaczona na prostej 2457.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.2. Całkowalność pewnych klas funkcji . . . . . . . . . . . . 2487.3. Własności całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.4. Interpretacja geometryczna całki . . . . . . . . . . . . . . 2627.5. Funkcja górnej granicy całkowania . . . . . . . . . . . . 2637.6. Twierdzenia o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . 2697.7. Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.8. Krzywe w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

8. Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Rn 2858.1. Definicja różniczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.2. Pochodne cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.3. Formalne prawa różniczkowania . . . . . . . . . . . . . . 2948.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów i wzór Taylora . . 3008.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . 3058.6. Funkcje uwikłane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.7. Ekstrema warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3168.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

9. Całka oznaczona Riemanna w przestrzeni Rn 3259.1. Definicja n-wymiarowej całki Riemanna . . . . . . . . . 3259.2. Własności całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3299.3. Całki iterowane i ich związek z całką w Rn . . . . . . . . 3329.4. Całki w obszarach normalnych w R2 . . . . . . . . . . . 3409.5. Powierzchnie w R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.6. Całki w obszarach normalnych w R3 . . . . . . . . . . . 3499.7. Zastosowanie do zagadnień fizyki . . . . . . . . . . . . . 353

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

ii

ii

ii

ii

8 Spis treści

9.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

10. Całka krzywoliniowa 36110.1. Orientacja krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36110.2. Całka niezorientowana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.3. Całka krzywoliniowa zorientowana . . . . . . . . . . . . 36810.4. Twierdzenie Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37310.5. Niezależność całki od drogi całkowania . . . . . . . . . . 37710.6. Interpretacja wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38010.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

11. Całka powierzchniowa 38711.1. Całka powierzchniowa niezorientowana . . . . . . . . . . 38711.2. Całka powierzchniowa zorientowana . . . . . . . . . . . . 39111.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

12. Elementy teorii równań różniczkowych zwyczajnych 39912.1. Uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39912.2. Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierw-

szego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40112.3. Problem Cauchy’ego dla równania różniczkowego rzędu

pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40312.4. Pewne szczególne typy równań różniczkowych . . . . . . 41012.5. Układy równań liniowych rzędu pierwszego . . . . . . . 42212.6. Równania liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach 43012.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Literatura 442Skorowidz 443

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .

ii

ii

ii

ii

Przedmowa

Program studiów uniwersyteckich na kierunku chemii przewiduje w ra-mach pierwszego roku wykład podstawowych pojęć matematycznych. Wy-kład ten ma być użyteczny również w dalszym kształceniu chemików,dlatego poruszane zagadnienia muszą obejmować takie dziedziny mate-matyki, jak: rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe, al-gebra liniowa i ogólna. Wszelako ograniczona liczba godzin wykładu niepozwala na tak głębokie potraktowanie poruszanych tematów, jak tegopragnąłby wykładowca – matematyk.

Przez wiele lat wykładałam matematykę na pierwszym roku chemiiw Uniwersytecie Śląskim, starając się zwalczać pokusę „przematematy-zowania” z jednej strony, oraz pokusę zamiany wykładu w spis formułeki twierdzeń z drugiej.

Doświadczenie to, a także ścisły kontakt z pracownikami InstytutuChemii i studentami podsunęły pomysł napisania skryptu, który zawierałbywiedzę matematyczną niezbędną do studiowania chemii uniwersyteckiej.Skrypt z założenia ma służyć słuchaczom wykładu.

Rezygnując z najbardziej ogólnego przedstawienia materiału, nie re-zygnuję ze ścisłości rozumowania. Wszystkie dowody zatem są szcze-gółowe, chociaż część twierdzeń jest wypowiedziana mniej ogólnie niżmożna by to uczynić, biorąc pod uwagę obecną wiedzę matematyczną.Niektóre trudniejsze dowody zostały wszakże pominięte lub przeprowa-dzone w szczególnych przypadkach.

Ponieważ skrypt ma z założenia charakter podręcznika zawierające-go wszystkie potrzebne wiadomości, pierwsze rozdziały poświęcone sąwprowadzeniu pojęć podstawowych. Znajdziemy tu elementy logiki orazdefinicje wielu poęć. W rozdziale II zdefiniowane są funkcje elementarne.Wiadomości z algebry liniowej zamieszczono w rozdziale III. Pozostałe

ii

ii

ii

ii

10 Przedmowa

rozdziały obejmują teorię rachunku różniczkowego i całkowego, najpierwna prostej, a potem w przestrzeniach euklidesowych. W ostatnim rozdzialeomawiam równania różniczkowe, uwzględniając tak ważne dla chemikówrównanie Schrodingera.

Wykładowi matematyki towarzyszą ćwiczenia, w obrębie których sąrozwiązywane zadania ilustrujące „teorię”. Nie rezygnuję jednak z za-mieszczenia po każdym rozdziale zadań, które Czytelnik powinien roz-wiązać bez kłopotu po zapoznaniu się z treścią danego rozdziału. Aby muułatwić zrozumienie tej treści, zamieszczam liczne przykłady pokazujące,jak rozwiązać typowe problemy z użyciem wyłożonych twierdzeń.

Na końcu skryptu zamieściłam literaturę, z której korzystałam, piszącten skrypt.

Jeszcze raz podkreślam, że skrypt odpowiada treścią i objętością wy-kładowi prowadzonemu w Uniwersytecie Śląskim. W szczególności, zewzględu na znaczną redukcję godzin tego wykładu w ostatnich latach (90godz. zamiast 120 godz.), nie może on już obejmować tak ważnego działu,jakim jest rachunek prawdopodobieństwa.

Pokonanie rozmaitych trudności, jakie niejednokrotnie pojawiały sięw trakcie przygotowywania tego skryptu, zawdzięczam mojemu mężowiRomanowi, który wnikliwie czytał każdy kolejny rozdział. Jego liczneuwagi dotyczące zarówno układu przedstawianych treści, jak i ich mery-torycznego i redakcyjnego ujęcia, poważnie wpłynęły na kształt skryptu.Pragnę mu podziękować za to bardzo serdecznie. Miło mi także złożyćwyrazy podziękowania panu Maciejowi Sablikowi za wiele cennych uwagi spostrzeżeń, które wykorzystałam, przygotowując ten skrypt. Last butnot least – dziękuję pani Aleksandrze Hankus za wykonanie składu kom-puterowego tekstu, panu Adamowi Stolarzewiczowi za komputerowe za-projektowanie rysunków oraz panu Adamowi Kolany za przetłumaczenieich na język postscript-u.

Joanna GerKatowice, 15 kwietnia 2003 roku

ii

ii

ii

ii

Skorowidz

Aksjomat ciągłości, 28alternatywa, 11, 12asymptota

pionowa, 221ukośna, 220

Całkabezwzględnie zbieżna, 275dolna, 247, 327górna, 247, 327iterowana, 333krzywoliniowa niezorientowana, 366krzywoliniowa zorientowana, 369nieoznaczona, 232niewłaściwa, 271odwzorowania, 400powierzchniowa niezorientowana, 387powierzchniowa zorientowana, 391Riemanna, 247, 327warunkowo zbieżna, 275zbieżna, 275

cecha, 32ciąg

granica, 116malejący, 120monotoniczny, 114, 120rosnący, 113rozbieżny do nieskończoności, 132wektorów, 135

ciało, 86cyrkulacja pola, 384

Ekstremumabsolutne, 172lokalne, 172warunkowe, 317

Funkcjacałkowalna, 233, 234Dirichleta, 32górnej granicy całkowania, 263klasy Cn, 204malejąca, 31monotoniczna, 30niemalejąca, 30nieparzysta, 31nierosnąca, 30okresowa, 31parzysta, 31pierwotna, 231rózniczkowalna w przedziale, 193rózniczkowalna w punkcie, 192rosnąca, 30słabo malejąca, 30słabo rosnąca, 30silnie malejąca, 30silnie rosnąca, 30wartość średnia, 205wymierna, 34zdaniowa, 12, 14

funkcje elementarne, 34ciągłość, 168cyklometryczne, 34homografie, 34logarytmiczne, 36potęgowe, 34trygonometryczne, 44wielomiany, 34wykładnicze, 36wymierne, 34

Gradient, 292grupa, 84

przemienna, 85

ii

ii

ii

ii

Skorowidz444

Iloczynkartezjański, 19skalarny, 96zbiorów, 15

iloraz różnicowy, 191implikacja, 11

Jednokładność, 108

Koniunkcja, 11kryterium

Cauchy’ego, 142d’Alemberta, 144porównawcze, 140, 142

krzywa, 278parametryzacja, 278regularna, 279

kula, 98kwantyfikator

duży, 14mały, 14

Liczba zespolona, 51argument, 56postać trygonometryczna, 56sprzężona, 52wartość bezwzględna, 55

Macierz, 61diagonalna, 67iloczyn, 62jednostkowa, 65kwadratowa, 61minor, 66nieosobliwa, 71odwrotna, 71rząd, 79stopień, 61suma, 62transponowana, 65uzupełniona, 80wyznacznik, 65

maksimumabsolutne, 172lokalne, 172

minimumabsolutne, 172

lokalne, 172

Negacja, 12nierówność Schwarza, 95, 260

Obrót, 109obszar normalny, 340odwzorowanie, 17

ciągłość, 165granica, 159jednostajna ciągłość, 167liniowe, 99odwracalne, 18odwrotne, 20różniczka, 203różnowartościowe, 18superpozycja, 18wartości własne, 105wykres, 20

orientacja, 361krzywej, 362płata, 391

otoczenie, 153

Para uporządkowana, 19płaszczyzna styczna, 348płat powierzchniowy, 347pewnik Archimedesa, 29pochodna

cząstkowa, 289funkcji, 191kierunkowa, 289lewostronna, 193mieszana, 301odwzorowania, 291prawostronna, 193

pole wektorowe, 380potencjał pola, 380problem Cauchy’ego, 402prosta styczna, 194przedział

domknięty, 26otwarty, 26

przestrzeńeuklidesowa, 97liniowa, 87

ii

ii

ii

ii

445Skorowidz

punktprzegięcia, 219

Reguła de l’Hospitala, 221różnica zbiorów, 15różniczka, 203równanie charakterystyczne, 105równanie różniczkowe

Bernoulliego, 420liniowe o stałych współczynnikach, 431liniowe rzędu pierwszego, 414o zmiennych rozdzielonych, 410zwyczajne, 401

resztaCauchy’ego, 216Lagrange’a, 216

rotacja pola, 380

Sąsiedztwo, 154Schrodingera równanie, 436suma

dolna, 246górna, 246zbiorów, 15

symbol Newtona, 25szereg

geometryczny, 139harmoniczny, 138liczbowy, 136Maclaurina, 227potęgowy, 148promień zbieżności, 149przedział zbieżności, 150przemienny, 147suma, 136Taylora, 227zbieżny, 136

TwierdzenieBolzano–Weierstrassa, 121Cauchy’ego, 145, 206Cauchy’ego–Hadamarda, 149Cramera, 75Gaussa–Ostrogradskiego, 394Greena, 373Kroneckera–Capelliego, 81

Lagrange’a, 206o całkowalności funkcji ciągłych, 249o całkowaniu przez części, 267o całkowaniu przez podstawienie, 267o funkcji uwikłanej, 312, 316o istnieniu i jednoznaczności, 403o lokalnej odwracalności odwzorowań,

298o trzech ciągach, 127o wartości średniej, 269o zmianie zmiennych, 268, 344Rolle’a, 205Stokesa, 396

UkładCramera, 74jednorodny, 78sprzężony, 81

ułamek prosty, 238

Warunek trójkąta, 94własność Darboux, 175wektory

długość, 94liniowo niezależne, 88liniowo zależne, 89prostopadłe, 97równoległe, 97własne, 104

wielomian charakterystyczny, 105wyrażenie nieoznaczone, 221wzór

Cramera, 76de Moivre’a, 57Maclaurina, 216Newtona–Leibniza, 265Taylora, 216

Zaprzeczenie, 12zbiór

brzeg, 156domknięcie, 156domknięty, 155dopełnienie, 15kres dolny, 28kres górny, 28

ii

ii

ii

ii

Skorowidz446

nieprzeliczalny, 19nieskończony, 16ograniczony, 27, 157ograniczony z dołu, 27ograniczony z góry, 27otwarty, 154podzbiór, 15przeliczalny, 19

punkt izolowany, 157punkt skupienia, 156skończony, 16wnętrze, 154zwarty, 158

zbioryrównoliczne, 19rozłączne, 15

RedakcjaGrażyna Wojdała

Skład i łamanieAleksandra Hankus

Copyright © 2012 byWydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego

Wszelkie prawa zastrzeżone

ISSN 1644-0552ISBN 978-83-226-2142-4

WydawcaWydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego

ul. Bankowa 12B, 40-007 Katowicewww.wydawnictwo.us.edu.ple-mail: wydawus@us.edu.pl

Druk i oprawa: PPHU TOTEM s.c.M. Rejnowski, J. Zamiara

ul. Jacewska 89, 88-100 Inowrocław

Wydanie V. Nakład 150 + 50 egz. Ark. wyd. 27,5. Ark. druk. 28. Papier offset kl. III, 90 g.

Cena 38 zł (+VAT)