Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTPmatfiz.utp.edu.pl/wp-content/uploads/2016/12/Czesc-IV.pdf · 2016-12-29 · Spis treści Trygonometria Kombinatoryka Rachunek prawdopodobieństwa

Spis treści Trygonometria Kombinatoryka Rachunek prawdopodobieństwa

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentówUTP

Część IVFunkcje trygonometryczne, kombinatoryka, rachunek

prawdopodobieństwa

Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred WitkowskiGrażyna Zachwieja

Uniwersytet Technologiczno PrzyrodniczyBydgoszcz

Grudzień 2010


1 Trygonometria

2 Kombinatoryka

3 Rachunek prawdopodobieństwa


W tej części...

1 TrygonometriaMiara kątaFunkcje trygonometryczneFunkcje trygonometryczne w trójkącieWykresy funkcji trygonometrycznych


Miary kąta

Miara stopniowaKąt pełny jest podzielony na360 stopni ().

Miara łukowaKąt pełny jest podzielony na2π radianów (rad).W okręgu o promieniu 1 wielkośćkąta wyrażonego w radianachjest równa długości łukuwyznaczonego przez ten kąt

Przeliczenia:

360 = 2π rad 1 rad = 180π 1 = π

180 rad

0 30 45 60 90 120 135 150 180

0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π


Funkcje trygonometryczne

Definicja

x

y

A(cos x , sin x)

x

B (cos y , sin y)

y

Kosinus kąta x (cos x) to odcięta punktuprzecięcia okręgu jednostkowego zpółprostą wychodzącą z początku układuwspółrzędnych i tworzącej z dodatniąpółosią kąt xSinus kąta x (sin x) to rzędna punktuprzecięcia okręgu jednostkowego zpółprostą wychodzącą z początku układuwspółrzędnych i tworzącej z dodatniąpółosią kąt x

Funkcje tangens i kotangens definiujemy (tam, gdzie wyrażenia mająsens) następująco

tg x =sin xcos x

ctg x =cos xsin x


Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

α 0 30 45 60 90

α rad 0 π6

π4

π3

π2

sinα 0 12

√22

√32 1

cosα 1√32

√22

12 0

tgα 0√33 1

√3 ∞

ctgα ∞√

3 1√33 0


Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

I jeszcze raz te same wartości w postaci być może łatwiejszej dozapamiętania:

α 0 30 45 60 90

α rad 0 π6

π4

π3

π2

sinα√02

√12

√22

√32

√42

cosα√42

√32

√22

√12

√02

tgα 0√

3−1 √

30 √

31 ∞

ctgα ∞√

31 √

30 √

3−1

0


Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Z twierdzenia Pitagorasa i definicji funkcji wynika wzór

sin2 x + cos2 x = 1

zwany ”jedynką trygonometryczną”Z definicji tangensa i kotangensa wynika, że

tg x ctg x = 1

Znaki funkcjitrygonometrycznych

α I ćw IIćw III ćw IV ćw

sinα + + − −

cosα + − − +

tgα + − + −

ctgα + − + −


Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Z twierdzenia Pitagorasa i definicji funkcji wynika wzór

sin2 x + cos2 x = 1

zwany ”jedynką trygonometryczną”Z definicji tangensa i kotangensa wynika, że

tg x ctg x = 1

Znaki funkcjitrygonometrycznych

α I ćw IIćw III ćw IV ćw

sinα + + − −

cosα + − − +

tgα + − + −

ctgα + − + −


Zadania

Zadanie

Wyraź funkcję kotangens przez sinus

Rozwiązanie

ctg x =cos xsin x

i cos x = ±√

1− sin2 x , zatem ctg x = ±√

1− sin2 xsin x

Znak należy dobrać w zależności od ćwiartki, w której leży x .

Zadanie

Wyraź każdą z funkcji trygonometrycznych przez inne funkcjetrygonometryczne.


Zadania

Zadanie


Rozwiązanie

ctg x =cos xsin x

i cos x = ±√


1− sin2 xsin x


Zadanie



Zadania

Zadanie


Rozwiązanie

ctg x =cos xsin x

i cos x = ±√


1− sin2 xsin x


Zadanie



Wzory redukcyjne

Wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcjitrygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczeniawartości funkcji dla kąta ostrego

α ±x 90± x 180± x 270± x 360± x

α rad ±x π2 ± x π ± x 3π

2 ± x 2π ± xsinα ± sin x ± cos x ∓ sin x − cos x ± sin x

cosα cos x ∓ sin x − cos x ± sin x cos x

tgα ± tg x ∓ ctg x ± tg x ∓ ctg x ± tg x

ctgα ± ctg x ∓ tg x ± ctg x ∓ tg ± ctg

Zauważ, że

funkcja zmienia się przy nieparzystych wielokrotnościach 90(π2

),

a znak wynika z tabeli znaków w kolejnych ćwiartkach


Zadania

Zadanie

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 1020

Krok 1: wykorzystującokresowość funkcjitrygonometrycznychredukujemy kąt do przedziału[0, 360)

1020 = 2 ∗ 360 + 300

Krok 2: przedstawiamy kątjako sumę wielokrotności 90

i kąta ostrego

300 = 3 ∗ 90 + 30

Krok 3: wyliczamy wartości funkcji:

sin 1020 = sin 300 = − cos 30 = −√

32

cos 1020 = cos 300 = sin 30 =12

tg 1020 =sin 1020

cos 1020= −√

3

ctg 1020 =1

tg 1020= −√

33


Zadania

Zadanie



1020 = 2 ∗ 360 + 300


i kąta ostrego

300 = 3 ∗ 90 + 30


sin 1020 = sin 300 = − cos 30 = −√

32

cos 1020 = cos 300 = sin 30 =12

tg 1020 =sin 1020

cos 1020= −√

3

ctg 1020 =1

tg 1020= −√

33


Zadania

Zadanie



1020 = 2 ∗ 360 + 300


i kąta ostrego

300 = 3 ∗ 90 + 30


sin 1020 = sin 300 = − cos 30 = −√

32

cos 1020 = cos 300 = sin 30 =12

tg 1020 =sin 1020

cos 1020= −√

3

ctg 1020 =1

tg 1020= −√

33


Zadania

Zadanie

Wyrazić podane liczby przez wartości funkcji trygonometrycznychkąta ostrego

cos 1200 sin(−275) tg 765 ctg(−2011)sin 17π4 cos −175π3 tg 331π6 ctg −29π4

Zadanie

Obliczyć

a) 5 sin 90 + 2 cos 0 − 2 sin 270 + 1− cos 180

b) a3 tg π4 + a2b tg2 π3 + 9ab2 ctg π

3 + 2b3 cos π6


Zadania

Zadanie

1 Oblicz sinα−cosαsinα+cosα jeżeli tgα = 25 .

2 Udowodnij tożsamości

1 + tg x + tg2 x1 + ctg x + ctg2 x

= tg3 x ,cos3 x − sin3 x1 + sin x cos x

= cos x − sin x

3 Rozwiąż równania

sin(π

3− x

)=

√3

2, sin(2x+30) = −1, sin(2x+1) = −1

2,

sin2 x = 1 + cos2 x , tg x ctg x = 2, sin x cos x = −0, 25


Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

tg(x ± y) =tg x ± tg y

1∓ tg x tg y

ctg(x ± y) =ctg x ctg y ∓ 1ctg x ± ctg y


Funcje kąta podwojonego i wzory połówkowe

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2 x − sin2 x

= 2 cos2 x − 1

tg 2x =2 tg x

1− tg2 x

sinx2

= ±

√1− cos x

2

cosx2

= ±

√1 + cos x

2

tgx2

= ±√

1− cos x1 + cos x


Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

sin x + sin y = 2 sinx + y

2cosx − y

2

sin x − sin y = 2 sinx − y

2cosx + y

2

cos x + cos y = 2 cosx + y

2cosx − y

2

cos x − cos y = −2 sinx + y

2sinx − y

2

tg x + tg y =sin(x + y)cos x cos y

tg x − tg y =sin(x − y)cos x cos y


Zadania

ZadanieUprość wyrażenie

cosα+ sinαcosα− sinα

Rozwiązanie

cosα+ sinα = sin(90 − α) + sinα = 2 sin90 − α+ α

2cos90 − α− α

2=√2 cos(45 − α)

cosα− sinα = sin(90 − α)− sinα = 2 sin90 − α− α

2cos90 − α+ α

2=√2 sin(45 − α)

zatem

cosα+ sinαcosα− sinα = ctg(45 − α)


Zadania

ZadanieUprość wyrażenie

cosα+ sinαcosα− sinα

Rozwiązanie

cosα+ sinα = sin(90 − α) + sinα = 2 sin90 − α+ α

2cos90 − α− α

2=√2 cos(45 − α)

cosα− sinα = sin(90 − α)− sinα = 2 sin90 − α− α

2cos90 − α+ α

2=√2 sin(45 − α)

zatem

cosα+ sinαcosα− sinα = ctg(45 − α)


Zadania

Rozwiąż równania

sin 5x = sin 3x

cos 7x = cos 13x

sin 3x = 2 sin x

sin x cos x = 0, 25

cos 4x cos 7x = cos 3x cos 8xtg 2xtg x

+ctg 2xctg x

=52


Funkcje trygonometryczne a elementy trójkąta

a

C

b

A c B

hc

R

Twierdzenie sinusów

asinα

=b

sinβ=c

sin γ= 2R

Twierdzenie kosinusów

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Pole trójkąta

P =12chc =

12ab sin γ


Zadania

Zadanie

Na okręgu o środku O i promieniu R wybrano trzy punkty A, B, Ctak, że ∠AOB = γ, ∠BOC = α i ∠COA = β. Oblicz boki trójkątaABC

RozwiązanieJeżeli γ ¬ π to jest kątem środkowym opartym na łuku AB, a więc∠ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku. Na mocytwierdzenia sinusów c = |AB| = 2R sin γ

2 .Jeżeli γ > π, kątem środkowym opartym na łuku AB jest kąt 2π − γ. Ztwierdzenia sinusów wynika, że c = |AB| = 2R sin 2π−γ2 = 2R sin γ

2 .Boki trójkąta są zatem równe

a = 2R sinα

2, b = 2R sin

β

2, c = 2R sin

γ

2.


Zadania

Zadanie

Wykaż, żea− ba+ b

=tg α−β

2

tg α+β2

Zadanie

Obliczyć kąty trójkąta o bokach a, b, c i promień okręgu opisanegona nim.


Konstrukcja wykresów funkcji sin x i tg x

x

y

x

y


Wykresy funkcji sinus i kosinus

x

y

−1

1

−3π2

3π2

5π2

7π2

−π2π2

−π π 2π 3π 4π

sin x

x

y

−1

1

0−3π2

3π2

5π2

7π2

−π2π2

−π π 2π 3π 4π

cos x


Wykresy funkcji tangens i kotangens

x

y

−1

1

−3π2

3π2

5π2

7π2

−π2π2

−π π 2π 3π 4π

tg x ctg x


Zadania

Zadanie

Korzystając z wykresu wyznacz ilość rozwiązań równania

sin(3x − 1) + 1 = 2 cos 2x

w przedziale [−π, π].


Zadania

Zadanie


sin(3x − 1) + 1 = 2 cos 2x


Krok 1.Sporządzamywykres funkcjisin(3x − 1) + 1


Zadania

Zadanie


sin(3x − 1) + 1 = 2 cos 2x


Krok 2.Sporządzamywykres funkcji2 cos 2x


Zadania

Zadanie


sin(3x − 1) + 1 = 2 cos 2x


Krok 3. Wykresyrysujemy nawspólnym układziewspółrzędnych iodczytujemy wynik


Zadania

Korzystając z wykresów funkcji podaj przybliżone rozwiązaniarównań i nierówności

Zad. a) tg x > ctg 2x w przedziale [−5, 5],

Zad. b) sin(x − 2) + cos 2x < 1 w przedziale [0, 2π],

Zad. c) tg 2x3 = sin x − 1 w przedziale [−π, π]


W tej części...

2 KombinatorykaPodstawowe pojęciaPermutacje, wariacje i kombinacje


Zbiory, ciągi, multizbiory

W zbiorze nie jest istotna kolejność elementów, a elementypowtarzające się są nierozróżnialne

a, b, c , a, b = a, b, c = b, c , a

W ciągu kolejność elementów jest istotna, a elementy mogą siępowtarzać

(a, b, c) 6= (a, c , b), (a, a, b) 6= (a, b), (a, a, b) 6= (a, b, a)

W multizbiorze elementy mogą się powtarzać, ale kolejność niejest istotna

#a, a, b, a, c# = #a, a, a, b, c# 6= #a, b, c#


Silnia

n! = 1 · 2 · . . . · n0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

· · ·10! = 3628800

20! = 2432902008176640000


Trójkąt Pascala

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

· · ·

W trójkącie Pascala krańcoweelementy w wierszu są równe 0,a element stojący w n-tymwierszu na k-tym miejscu jestsumą elementów stojącychbezpośrednio nad nim. Symbolstojący na k-tym miejscu w n-tejkolumnie oznaczamy(

nk

)Z definicji wynika, że(

00

)=

(n0

)=

(nn

)= 1 oraz

(nk

)=

(n − 1k − 1

)+

(n − 1k

)


Trójkąt Pascala

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

· · ·

W trójkącie Pascala krańcoweelementy w wierszu są równe 0,a element stojący w n-tymwierszu na k-tym miejscu jestsumą elementów stojącychbezpośrednio nad nim. Symbolstojący na k-tym miejscu w n-tejkolumnie oznaczamy(

nk

)Z definicji wynika, że(

00

)=

(n0

)=

(nn

)= 1 oraz

(nk

)=

(n − 1k − 1

)+

(n − 1k

)


Symbol Newtona

(nk

)=

n!k!(n − k)!


Permutacje

Przypuśćmy, że dany jest n-elementowy zbiór A = a, b, c , d , . . .

Permutacją zbioru Anazywamy każdy n-wyrazowyciąg utworzony ze wszystkichelementów tego zbioru.

Pn = n!

Permutacją z powtórzeniamizbioru A, nazywamy każdy ciągn-wyrazowy utworzony z elementówtego zbioru, które tworzą k grup on1, n2, . . . , nk elementach, ielementy w grupach sąnierozróżnialne.

C n1,...,nkn =n!

n1!n2! · · · nk !

Przykład

9 kul ponumerowanych 1-9można ustawić w rzędzie na9! = 362880 sposobów

Przykład

Cztery kule czerwone, trzy zielone idwie białe można ustawić w rzędziena 9!4!3!2! = 1260 sposobów


Wariacje

Przypuśćmy, że dany jest n-elementowy zbiór A = a, b, c , d , . . .

Wariacją k-elementową zpowtórzeniami utworzonąze zbioru A nazywamy każdyk-wyrazowy ciąg elementówz tego zbioru.Kolejność elementów maznaczenie:

(b, b, a) 6= (b, a, b)

W kn = nk

Wariacją k-elementową bez powtórzeńutworzoną ze zbioru A nazywamy każdyk-wyrazowy ciąg różnych elementów ztego zbioru.Kolejność elementów ma znaczenie:

(d , b, a) 6= (b, a, d)

V kn =n!

(n − k)!

Przykład

Przy pomocy alfabetu z 8liter można zapisać84 = 4096 różnych słówczteroliterowych.

Przykład

Przy pomocy alfabetu z 8 litermożna zapisać 8!3! = 6720 różnychsłów pięcioliterowych, w którychlitery się nie powtarzają.


Kombinacje

Przypuśćmy, że dany jest n-elementowy zbiór A = a, b, c, d , . . .

Kombinacją k-elementowąutworzoną ze zbioru A (k 6 n)nazywamy każdy k-elementowypodzbiór tego zbioru.

C kn =

(nk

)

Kombinacją k-elementową zpowtórzeniami utworzoną zezbioru A nazywamy każdyk-elementowy multizbiór tegozbioru.

Ckn =

(n + k − 1k

)

Przykład

Z dziewięciu przedmiotówegzaminacyjnych możnawybrać cztery na(94

)= 126 sposobów.

Przykład

Z trzech rodzajów kwiatówmożna ułożyć siedmiokwiatowybukiet na

(3+7−17

)= 36

sposobów.


Zadania

Zadanie

Na ile różnych sposobów można potasować talie 52 kart?

Rozwiązanie

Każde potasowanie to permutacja 52 elementów, zatem można tozrobić na

52! ≈ 8.07 · 1067

sposobów.


Zadania

Zadanie

Na ile różnych sposobów można potasować talie 52 kart?

Rozwiązanie

Każde potasowanie to permutacja 52 elementów, zatem można tozrobić na

52! ≈ 8.07 · 1067

sposobów.


Zadania

Zadanie

Ile samochodów można zarejestrować w Szwecji, gdzie tablicerejestracyjne mają postać ABC 123 ?

Rozwiązanie

Zestaw liter można wybrac na 263 sposobów, a cyfry na 103, corazem daje 17576000 możliwości.


Zadania

Zadanie

Ile samochodów można zarejestrować w Szwecji, gdzie tablicerejestracyjne mają postać ABC 123 ?

Rozwiązanie

Zestaw liter można wybrac na 263 sposobów, a cyfry na 103, corazem daje 17576000 możliwości.


Zadania

Zadanie

Ile jest liczb naturalnych nie większych niż 100 milionów, w którychzapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 4?

Rozwiązanie

Rozpatrzmy wszystkie liczby ośmiocyfrowe (także te, w któychpominięto w zapisie nieznaczące zera z przodu). Miejsca naktórych występują czwórki można wybrać na

(83

)= 28 sposobów.

Gdy już ustaliliśmy takie trzy miejsca, to na pozostałych miejscachmoże wystąpic dowolna cyfra różna od 4. Miejsc jest 5, zatemmamy tu 95 możliwości. W sumie otrzymujemy(

83

)∗ 95 − 1 = 1653371

liczb (-1, bo zero nie jest liczbą naturalną).


Zadania

Zadanie

Ile jest liczb naturalnych nie większych niż 100 milionów, w którychzapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 4?

Rozwiązanie

Rozpatrzmy wszystkie liczby ośmiocyfrowe (także te, w któychpominięto w zapisie nieznaczące zera z przodu). Miejsca naktórych występują czwórki można wybrać na

(83

)= 28 sposobów.

Gdy już ustaliliśmy takie trzy miejsca, to na pozostałych miejscachmoże wystąpic dowolna cyfra różna od 4. Miejsc jest 5, zatemmamy tu 95 możliwości. W sumie otrzymujemy(

83

)∗ 95 − 1 = 1653371

liczb (-1, bo zero nie jest liczbą naturalną).


Zadania

a Na ile sposobów można pomalować dwanaście kul pięciomakolorami?

b Na ile sposobów można pomalować pięcioma kolorami dwanaściesztachet w płocie?

c Na ile sposobów można pomalować pięcioma kolorami dwanaściesztachet w płocie tak, aby żadne dwie sąsiednie nie były tegosamego koloru?

d Trener ma do dyspozycji czterech napastników, sześciupomocników, osmiu obrońców i trzech bramkarzy. Na ilesposobów może skompletowac drużynę, jeżeli zdecydował się nawariant 1-4-4-2?

e Na ile sposobów można ustawić 12 książek na półce, jeżeli trzytomy ”Winnetou”maja stać obok siebie?

Odpowiedzi: a)(5+12−112

), b) 512, c) 6 · 511, d)3

(42

)(64

)(84

), e) 10 · 3! · 9!


Zadania

f Na ile sposobów można rozdać 52 karty czterem graczom tak,aby każdy dostał 13 kart?

g Ile jest możliwych wyników losowania w Lotto (6 z 49)?

h Trzynastu zawodników chce zagrać sparring w siatkówkę. Na ilesposobów moga wybrać dwie drużyny i sędziego??

i Na ile sposobów można przejść z punktu (0, 0) do punktu (7, 5)idąc tylko w prawo lub w górę przez punkty kratowe?

j Na ile sposobów roztargniona sekretarka może włożyć 13zaadresowanych listów do 13 zadresowanych kopert tak, abydokładnie 12 listów było we właściwych kopertach?

Odpowiedzi: f)(5213

)(3913

)(2613

), g)

(496

), h)

(136

)· 7, i)

(125

), j) 0.


Zadania

W lewej kolumnie podana jest długość hasła, a w pierwszymwierszu zestaw znaków, jakich można użyć do jego zbudowania.Uzupełnij tabelkę wpisując ilość haseł możliwych do utworzenia

[a-z] [a-z][0-9] [a-z][0-9][A-Z] [a-z][0-9][A-Z]!@#%$^&*.,

681012

Ile jest haseł dwunastoznakowych, które zawierają przynajmniej pojednym znaku z każdej z czterech grup?


W tej części...

3 Rachunek prawdopodobieństwaPodstawowe pojecia rachunku prawdopodobieństwaPrawdopodobieństwo elementarnePrawdopodobieństwo warunkoweZdarzenia niezależnePrawdopodobieństwo całkowiteSchemat Bernoulliego


Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobieństwa

Zdarzenie elementarne ωpojęcie podstawowe. W praktyce oznacza każdymożliwy wynik pewnego doświadczenia.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ωzbiór, ktorego elementami są wszystkie zdarzeniaelementarne

Ω = ω1, ω2, . . . , ωn

Zdarzenie losowe A,B, . . .dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo PPPfunkcja określona na zbiorze zdarzeń losowychspełniająca warunki

PPP(A) > 0, PPP(Ω) = 1,

(A ∩ B = ∅)⇒ PPP(A ∪ B) = PPP(A) + PPP(B).


Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobieństwa (cd.)

Zdarzenie przeciwne A′ zdarzenie losowe złożone ze zdarzeńelementarnych niesprzyjających zdarzeniu A.

A′ = Ω \ A

Zdarzenie pewnezdarzenie, którego prawdopodobieństwo wynosi 1.

Zdarzenie niemożliwezdarzenie, którego prawdopodobieństwo wynosi 0.


Prawdopodobieństwo elementarne

Mówimy, że zdarzenie elementarne ω sprzyja zdarzeniu A jeżeliω ∈ A.Jeżeli A = ω1, ω2, . . . , ωk i PPP(ωi) = pi , toPPP(a) = p1 + . . .+ pk .W przypadku gdy wszystkie zdarzenia elementarne są tak samoprawdopodobne a przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończonato

PPP(A) =#A#Ω

=ilość elementów zbioru Ailość elementów zbioru Ω


Prawdopodobieństwo elementarne - przykład

( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, 3) ( 1, 4) ( 1, 5) ( 1, 6)( 2, 1) ( 2, 2) ( 2, 3) ( 2, 4) ( 2, 5) ( 2, 6)( 3, 1) ( 3, 2) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6)( 4, 1) ( 4, 2) ( 4, 3) ( 4, 4) ( 4, 5) ( 4, 6)( 5, 1) ( 5, 2) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6)( 6, 1) ( 6, 2) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)

Powyższa tabela przedstawia przestrzeń zdarzeń elementarnychodpowiadającą rzutowi dwiema symetrycznymi kostkami.Przestrzeń ma 36 elementów. Na czerwono zaznaczono zdarzenieA = (i , j) : i + j < 7 (suma oczek nie przekracza 6). Ten zbiórma 15 elementów, zatem PPP(A) = 5

12 .W tym samym doświadczeniu zdarzenie B polegające na tym, żesuma lub iloczyn wyrzuconych oczek jest parzysta, jest zdarzeniempewnym, zaś zdarzenie C - iloczyn i suma oczek są nieparzyste -jest zdarzeniem niemożliwym (dlaczego?)


Własności prawdopodobieństwa

PPP(A ∪ B) = PPP(A) + PPP(B)−PPP(A ∩ B)

PPP(∅) = 0

PPP(A′) = 1−PPP(A)

A ⊂ B ⇒ PPP(A) ¬ PPP(B)


Zadanie

a) Z talii 52 kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo,że będzie to as?

b) Z talii 52 kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo,że będzie to pik?

c) Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, żeotrzymamy co najmniej 2 orły?

d) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek losowo wybranejkostki domina jest równa 8?

e) Dwanaście książek ustawiono losowo na półce. Jaka jest szansana to, że trzy tomy ”Winnetou” stoją we właściwej kolejności(niekoniecznie obok siebie)?

Odpowiedzi: a) 113 , b) 14 , c) 78 , d) 528 , e) 16


Zadanie

a) Z talii 52 kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo,że będzie to as?

b) Z talii 52 kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo,że będzie to pik?

c) Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, żeotrzymamy co najmniej 2 orły?

d) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek losowo wybranejkostki domina jest równa 8?

e) Dwanaście książek ustawiono losowo na półce. Jaka jest szansana to, że trzy tomy ”Winnetou” stoją we właściwej kolejności(niekoniecznie obok siebie)?

Odpowiedzi: a) 113 , b) 14 , c) 78 , d) 528 , e) 16


Zadanie

f) Z przedziału [22, 90] losujemy jedną liczbę k . Jakie jestprawdopodobieństwo, że liczba k2 − 11 będzie podzielna przez10?

g) Spośród liczb 0, 1, . . . , 10n − 1 wybrano losowo jedną. Jakiejest prawdopodobieństwo, że jest ona k-cyfrowa??

h) Jaka jest szansa na to, że tablica rejestracyjna postaciCB 12345 składa się wyłącznie z nieparzystych cyfr?

i) Spośród liczb 0, 1, . . . , n − 1 wybieramy ze zwracaniem dwie?Niech PPPn oznacza prawdopodobieństwo, że suma ich kwadratówjest mniejsza niż n2. Oblicz lim

n→∞PPPn.

Odpowiedzi: f) 1369 , g) 910n−k+1 , h) 55

105−1 , i) π4


Zadanie

f) Z przedziału [22, 90] losujemy jedną liczbę k . Jakie jestprawdopodobieństwo, że liczba k2 − 11 będzie podzielna przez10?

g) Spośród liczb 0, 1, . . . , 10n − 1 wybrano losowo jedną. Jakiejest prawdopodobieństwo, że jest ona k-cyfrowa??

h) Jaka jest szansa na to, że tablica rejestracyjna postaciCB 12345 składa się wyłącznie z nieparzystych cyfr?

i) Spośród liczb 0, 1, . . . , n − 1 wybieramy ze zwracaniem dwie?Niech PPPn oznacza prawdopodobieństwo, że suma ich kwadratówjest mniejsza niż n2. Oblicz lim

n→∞PPPn.

Odpowiedzi: f) 1369 , g) 910n−k+1 , h) 55

105−1 , i) π4


Prawdopodobieństwo warunkowe

Jeżeli B nie jest zdarzeniem niemożliwym, to możemy określićprawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, żezaszło zdarzenie B.

Przestrzeń zdarzeńelementarnych wyglądatak:

Ω

A

B

A ∩ B

Gdy zaszło zdarzenie B, przestrzeń sie”skurczyła” tylko do zdarzeńelementarnych sprzyjających zdarzeniu B

Ω

A

B

A ∩ B

PPP(A|B) =PPP(A ∩ B)

PPP(B)


Zadanie

Ze stu kart ponumerowanych 00, 01, . . . , 99 losujemy jedną. Niech x i ybędą odpowiednio sumą i iloczynem cyfr wylosowanej karty. ObliczPPP(x = i |y = 0)

Rozwiązanie

Zdarzeniu y = 0 sprzyja 19 zdarzeń elementarnych (10 kart z numeramimniejszymi niż 10 oraz 9 pełnych dziesiątek), zatem PPP(y = 0) = 19

100 .Jedyną kartą, która spełnia warunek x = 0 ∧ y = 0 jest karta z numerem00. Dla 1 ¬ i ¬ 9 mamy po dwie karty, w których jedna z cyfr jest równa0 a druga jest równa i . Wreszcie jeżeli i 10, to dla spełnienia warunkux = i obie cyfry muszą być dodatnie, zatem żadna z kart nie spełniwarunku y = 0. Mamy zatem

PPP(x = i∧y = 0) =

1100 i = 02100 1 ¬ i ¬ 9

0 10 ; PPP(x = i |y = 0) =

119 i = 0219 1 ¬ i ¬ 9

0 10


Zadanie

Ze stu kart ponumerowanych 00, 01, . . . , 99 losujemy jedną. Niech x i ybędą odpowiednio sumą i iloczynem cyfr wylosowanej karty. ObliczPPP(x = i |y = 0)

Rozwiązanie

Zdarzeniu y = 0 sprzyja 19 zdarzeń elementarnych (10 kart z numeramimniejszymi niż 10 oraz 9 pełnych dziesiątek), zatem PPP(y = 0) = 19

100 .Jedyną kartą, która spełnia warunek x = 0 ∧ y = 0 jest karta z numerem00. Dla 1 ¬ i ¬ 9 mamy po dwie karty, w których jedna z cyfr jest równa0 a druga jest równa i . Wreszcie jeżeli i 10, to dla spełnienia warunkux = i obie cyfry muszą być dodatnie, zatem żadna z kart nie spełniwarunku y = 0. Mamy zatem

PPP(x = i∧y = 0) =

1100 i = 02100 1 ¬ i ¬ 9

0 10 ; PPP(x = i |y = 0) =

119 i = 0219 1 ¬ i ¬ 9

0 10


Zadania

a) Bilet MZK numerowane są of 000001 do 999999 . Niektórzyuważają, że bilet jest szczęśliwy jeżeli suma pierwszych trzechcyfr jest równa sumie ostatnich. W kieszeni wypranej koszuliznaleziono bilet, z którego udało się odczytać część numeru105*2* . Oblicz prawdopodobieństwo, że był to szczęśliwy

bilet.

b) Grając w pokera jaką masz szansę na otrzymanie KrólewskiegoPokera (AKDW10 w jednym kolorze), jeżeli krupier odkrył twojąpierwszą kartę i okazał się nią As trefl (gra się 52 kartami)?

Odpowiedzi: a) 120 , b)(514

)−1,


Zadania

a) Bilet MZK numerowane są of 000001 do 999999 . Niektórzyuważają, że bilet jest szczęśliwy jeżeli suma pierwszych trzechcyfr jest równa sumie ostatnich. W kieszeni wypranej koszuliznaleziono bilet, z którego udało się odczytać część numeru105*2* . Oblicz prawdopodobieństwo, że był to szczęśliwy

bilet.

b) Grając w pokera jaką masz szansę na otrzymanie KrólewskiegoPokera (AKDW10 w jednym kolorze), jeżeli krupier odkrył twojąpierwszą kartę i okazał się nią As trefl (gra się 52 kartami)?

Odpowiedzi: a) 120 , b)(514

)−1,


Zdarzenia niezależne

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to intuicyjnie oznacza to, żeprawdopodobieństwo zdarzenia A nie zmieni się niezależnie odtego, czy zdarzenie B zaszło, czy też nie. Zatem PPP(A) = PPP(A|B).To rozumowanie prowadzi do następującej definicji

Definicja

Mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne jeżeli

PPP(A ∩ B) = PPP(A) PPP(B).

Wniosek

Jeżeli A jest zdarzeniem pewnym lub niemożliwym, to A i B saniezależne dla dowolnego zdarzenia B.


Zadanie

Zadanie

Zdarzenia A i B są niezależne. Pokaż, że niezależne są równieżzdarzenia A′ i B oraz A′ i B ′

Rozwiązanie

Ponieważ B = B ∩ Ω = B ∩ (A ∪ A′) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A′) więc

PPP(A′ ∩ B) = PPP(B)−PPP(A ∩ B)

= PPP(B)−PPP(A) PPP(B) = [1−PPP(A)] PPP(B)

= PPP(A′) PPP(B)

co dowodzi że A′ i B sa niezależne. Druga część wynika z pierwszejprzez zamianę A→ B, B → A′.


Zadanie

Zadanie

Zdarzenia A i B są niezależne. Pokaż, że niezależne są równieżzdarzenia A′ i B oraz A′ i B ′

Rozwiązanie

Ponieważ B = B ∩ Ω = B ∩ (A ∪ A′) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A′) więc

PPP(A′ ∩ B) = PPP(B)−PPP(A ∩ B)

= PPP(B)−PPP(A) PPP(B) = [1−PPP(A)] PPP(B)

= PPP(A′) PPP(B)

co dowodzi że A′ i B sa niezależne. Druga część wynika z pierwszejprzez zamianę A→ B, B → A′.


Zadania

a) Kiedy zdarzenia A i A′ sa niezależne?

b) Kiedy zdarzenia A i A sa niezależne?

c) Czy zdarzenia z talii wylosowano czwórkę i z taliiwylosowano kiera sa niezależne?

d) Przypuśćmy, że z talii usunięto siódemkę pik. Czy powyższezdarzenia sa niezależne.

Odpowiedzi: a,b) gdy A jest niemożliwe lub pewne, c) tak, d) nie.


Zadania

a) Kiedy zdarzenia A i A′ sa niezależne?

b) Kiedy zdarzenia A i A sa niezależne?

c) Czy zdarzenia z talii wylosowano czwórkę i z taliiwylosowano kiera sa niezależne?

d) Przypuśćmy, że z talii usunięto siódemkę pik. Czy powyższezdarzenia sa niezależne.

Odpowiedzi: a,b) gdy A jest niemożliwe lub pewne, c) tak, d) nie.


Prawdopodobieństwo całkowite

Definicja

Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest sumą rozłącznychzdarzeń B1,B2, . . . ,Bn to

PPP(A) = PPP(A|B1) PPP(B1) + PPP(A|B2) PPP(B2) + · · ·+ PPP(A|Bn) PPP(Bn)

Ten wzór nazywany jest wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.

Przykład: Firma OSICAM produkuje żarówki w trzech fabrykach: Tiencin(30% produkcji, 3% braków), Jilin (16% produkcji, 2% braków) i Dalian(54% produkcji, 1,7% braków). Jaka jest szansa, że kupisz wybrakowanążarówkę firmy OSICAM?Jeżeli A oznacza kupno wybrakowanej żarówki, B1, że pochodzi ona zTiencin, B2 - z Jilin, B3 - z Dalian, to zgodnie ze wzorem naprawdopodobieństwo całkowite

P(A) =3

10030

100+

2100

16100

+17

100054

100= 2.138%


Wzór Bayesa

Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest sumą rozłącznychzdarzeń B1,B2, . . . ,Bn i PPP(A) > 0 to

PPP(Bk |A) =PPP(A|Bk) PPP(Bk)

PPP(A|B1) PPP(B1) + PPP(A|B2) PPP(B2) + · · ·+ PPP(A|Bn) PPP(Bn)

Przykład: kupiłeś żarówkę firmy OSICAM i okazała sięwybrakowana. Jaka jest szansa, że została ona wyprodukowana wJilin?Zgodnie ze wzorem Bayesa

PPP(B2|A) =210016100

310030100 + 2

10016100 + 17

100054100

≈ 14, 97%


Zadania

W zestawie egzaminacyjnym jest 10 pytań. Studenci wchodzą pokolei i losują jedno pytanie. Pytanie wylosowane nie wraca do puli.Student pierwszy za odpowiedzi a pytania 1,2,3,4,5 i 6, studentdrugi na 1,2,3,4,5,7,8. Oznaczmy przez Ai zdarzenie: student izdał egzamin (i = 1, 2)

a) Oblicz PPP(A1).

b) Czy drugi student powinien się cieszyć z faktu, że jego kolegazdał?

c) Oblicz PPP(A2).

d) Czy zdarzenia A1 i A2 są niezależne?

e) Drugi student zdał. Jakie jest przawdopodobieństwo, żepierwszy student wylosował pytanie 4?

f) Czy byłoby lepiej dla studenta drugiego gdyby zdawał jakopierwszy?

Odpowiedzi: a) 12 , b) nie, c) 3145 , d) nie, e) 335 , f) tak


Zadania

W zestawie egzaminacyjnym jest 10 pytań. Studenci wchodzą pokolei i losują jedno pytanie. Pytanie wylosowane nie wraca do puli.Student pierwszy za odpowiedzi a pytania 1,2,3,4,5 i 6, studentdrugi na 1,2,3,4,5,7,8. Oznaczmy przez Ai zdarzenie: student izdał egzamin (i = 1, 2)

a) Oblicz PPP(A1).

b) Czy drugi student powinien się cieszyć z faktu, że jego kolegazdał?

c) Oblicz PPP(A2).

d) Czy zdarzenia A1 i A2 są niezależne?

e) Drugi student zdał. Jakie jest przawdopodobieństwo, żepierwszy student wylosował pytanie 4?

f) Czy byłoby lepiej dla studenta drugiego gdyby zdawał jakopierwszy?

Odpowiedzi: a) 12 , b) nie, c) 3145 , d) nie, e) 335 , f) tak


Schemat Bernoulliego

Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie, które zprawdopodobieństwem p kończy się sukcesem, a zprawdopodobieństwem 1− p porażką. Ciąg n niezależnychpowtórzeń identycznych prób Bernoulliego nazywamy schematemBernoulliego. Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów wschemacie Bernoulliego wynosi

PPPn(k) =

(nk

)pk(1− p)n−k .

Przykład: przy rzucie pięcioma monetami prawdopodobieństwowyrzucenia dokładnie trzech orłów wynosi PPP5(3) =

(53

) 125 = 5

16 .


Schemat Bernoulliego

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacieBernoulliego to [(n + 1)p] gdy (n + 1)p nie jest liczbą całkowitą.W przeciwnym razie (n + 1)p i (n + 1)p − 1 sukcesów pojawi się zrówną częstotliwoscią.Przykład: łucznik trafia do celu z prawdopodobieństwem 0.73. Wserii 10 strzałów naczęściej możemy się spodziewać się ośmiucelnych


Zadania

a) poniższej tabeli sa wyniki następuącego eksperymentu: wykonano 100powtórzeń schematu Bernoulliego składającego się z 9 prób. Ilościsukcesów w każdej próbie zanotowano w tabeli. Doświadczenie topowtórzono 10 razy. Oszacuj prawdopodobieństwo sukcesu wpojedyńczej próbie.

Ilość sukcesów0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 3 8 19 21 30 16 1 22 1 0 2 11 28 19 20 14 5 03 0 1 4 10 19 26 24 10 5 14 0 1 3 9 26 25 17 14 5 05 0 0 3 8 23 25 25 10 5 16 0 0 2 4 22 26 24 14 7 17 0 3 2 5 20 26 23 15 5 18 0 2 2 10 22 22 22 17 2 19 0 1 2 8 12 24 34 15 4 010 0 0 0 8 20 34 24 8 6 0Razem 1 8 23 81 211 248 243 133 45 7

b) Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8. Ile razy trzebastrzelać, żeby trafic cel z prawdopodobieństwem większym niż .99?

Odpowiedzi: a) rzeczywiste p-stwo sukcesu p=0.57754, b) trzy razy


Zadania

a) poniższej tabeli sa wyniki następuącego eksperymentu: wykonano 100powtórzeń schematu Bernoulliego składającego się z 9 prób. Ilościsukcesów w każdej próbie zanotowano w tabeli. Doświadczenie topowtórzono 10 razy. Oszacuj prawdopodobieństwo sukcesu wpojedyńczej próbie.

Ilość sukcesów0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 3 8 19 21 30 16 1 22 1 0 2 11 28 19 20 14 5 03 0 1 4 10 19 26 24 10 5 14 0 1 3 9 26 25 17 14 5 05 0 0 3 8 23 25 25 10 5 16 0 0 2 4 22 26 24 14 7 17 0 3 2 5 20 26 23 15 5 18 0 2 2 10 22 22 22 17 2 19 0 1 2 8 12 24 34 15 4 010 0 0 0 8 20 34 24 8 6 0Razem 1 8 23 81 211 248 243 133 45 7

b) Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem 0.8. Ile razy trzebastrzelać, żeby trafic cel z prawdopodobieństwem większym niż .99?Odpowiedzi: a) rzeczywiste p-stwo sukcesu p=0.57754, b) trzy razy

Documents

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTPmatfiz.utp.edu.pl/wp-content/uploads/2016/12/Czesc-IV.pdf · 2016-12-29 · Spis treści Trygonometria Kombinatoryka Rachunek prawdopodobieństwa