Upload
kaltakedis
View
114
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
5 – Opcije Kvantitativne finansije
Ekonomski fakultet Univerziteta u Beogradu
Letnji semestar 2011/12.
dr Miloš Božović
Sadržaj predavanja
Osnovni pojmovi vezani za opcije
Vrednovanje opcija u diskretnom vremenu metodom binomnog stabla
Black-Scholes formula
1
Osnovni pojmovi vezani za opcije
2
Derivati
Derivat je finansijski instrument čija se vrednost ili dohodak izvodi iz vrednosti ili dohotka nekog drugog instrumenta
Instrument na osnovu koga se određuje vrednosti ili dohodak derivata naziva se osnovna aktiva
Primeri derivata: Terminski ugovori (forvardi i fjučersi)
Svopovi
Opcije
3
Vrste osnovnih aktiva
Kamatne stope
Valutni kursevi
Roba i sirovine
Akcije
Obveznice
Električna energija
Polise osiguranja
Meteorološki parametri
... 4
Zbog čega su derivati značajni?
Igraju ključnu ulogu u transferu rizika na finansijskom tržištu
Mnoge finansijske transakcije imaju u sebi ugrađene derivate
Mnoge investicione odluke mogu se predstaviti kao realne opcije
Obaveze kompanije mogu se predstaviti kao opcija na njenu celokupnu aktivu
5
Kako se trguje derivatima
Berzanski Chicago Board Options Exchange (CBOE)
Vanberzanski (OTC)
6
Veličina tržišta derivata
7
Izvor: Banka za međunarodna poravnanja, Bazel
Za šta se koriste derivati?
Za zaštitu od rizika
Za ostvarivanje spekulativnog profita
Za arbitražu
Za promenu prirode obaveza
Za promenu prirode ulaganja
8
Opcije
Opcije su instrumenti koji daju pravo, ali ne i obavezu, da se osnovna aktiva kupi ili proda po unapred utvrđenoj fiksnoj ceni
Ta cena se naziva cenom izvršenja (engl. exercise price ili strike price)
Iskorišćenje prava datog opcijom naziva se izvršenje
Vrste opcija prema pravu koje daju: Opcija kupovine (engl. call option)
Opcija prodaje (engl. put option)
9
Vrste opcija prema načinu izvršenja
Američka opcija se može izvršiti u bilo kom trenutku važenja opcije
Evropska opcija se može izvršiti samo na dan dospeća opcije
10
Opcija kupovine za akcije kompanije Google 15. jun 2010. Cena jedne akcije je: 497.07 / 497.25
11
Strike Price
Jul 2010 Bid
Jul 2010 Offer
Sep 2010 Bid
Sep 2010 Offer
Dec 2010 Bid
Dec 2010 Offer
460 43.30 44.00 51.90 53.90 63.40 64.80
480 28.60 29.00 39.70 40.40 50.80 52.30
500 17.00 17.40 28.30 29.30 40.60 41.30
520 9.00 9.30 19.10 19.90 31.40 32.00
540 4.20 4.40 12.70 13.00 23.10 24.00
560 1.75 2.10 7.40 8.40 16.80 17.70
12
Strike Price
Jul 2010 Bid
Jul 2010 Offer
Sep 2010 Bid
Sep 2010 Offer
Dec 2010 Bid
Dec 2010 Offer
460 6.30 6.60 15.70 16.20 26.00 27.30
480 11.30 11.70 22.20 22.70 33.30 35.00
500 19.50 20.00 30.90 32.60 42.20 43.00
520 31.60 33.90 41.80 43.60 52.80 54.50
540 46.30 47.20 54.90 56.10 64.90 66.20
560 64.30 66.70 70.00 71.30 78.60 80.00
Opcija prodaje za akcije kompanije Google 15. jun 2010. Cena jedne akcije je: 497.07 / 497.25
Razlika između opcija i terminskih ugovora
Terminski ugovori obavezuju ugovorne strane da kupe ili prodaju osnovnu aktivu
Opcije kupcu daju pravo na kupovinu ili prodaju osnovne aktive
13
Moguće pozicije u opcijama
Duga pozicija u opciji kupovine (call)
Duga pozicija u opciji prodaje (put)
Kratka pozicija u opciji kupovine (call)
Kratka pozicija u opciji prodaje (put)
14
Dohoci za duge i kratke pozicije
K = cena izvršenja, ST = cena osnovne aktive u trenutku dospeća opcije
15
duga pozicija, call
ST ST K K
ST ST K K
kratka pozicija, call
duga pozicija, put kratka pozicija, put
Duga pozicija u opciji kupovine
Profit za evropsku opciju = $5, cena izvršenja = $100
16
30
20
10
0
-5
70 80 90 100
110 120 130
Profit ($)
Cena akcije na dospeću ($)
Kratka pozicija u opciji kupovine
Profit za evropsku opciju = $5, cena izvršenja = $100
17
-30
-20
-10
0 5
70 80 90 100
110 120 130
Profit ($)
Cena akcije na dospeću ($)
Duga pozicija u opciji prodaje
Profit za evropsku opciju = $7, cena izvršenja = $70
18
30
20
10
0
-7 70 60 50 40 80 90 100
Profit ($)
Cena akcije na dospeću ($)
Kratka pozicija u opciji prodaje
Profit za evropsku opciju = $7, cena izvršenja = $70
19
-30
-20
-10
7
0 70
60 50 40
80 90 100
Profit ($) Cena akcije
na dospeću ($)
Terminologija
Profitabilnost trenutnog izvršenja: At-the-money
In-the-money
Out-of-the-money
Serija (lanac) opcija
Intrinsična vrednost
Vremenska vrednost
20
Serija (lanac) opcija Apr 16, 2011 NASDAQ calls and puts on MSFT (underlying price = $25.39)
21
Vrednovanje opcija u diskretnom vremenu metodom binomnog stabla
22
Trenutna cena akcije je $20
Kroz 3 meseca vredeće ili $22 ili $18
23
Jednostavno binomno stablo
Cena akcije = $18
Cena akcije = $22
Cena akcije = $20
24
Opcija na akciju
Cena akcije = $18 Cena opcije =$0
Cena akcije = $22 Cena opcije =$1
Cena akcije = $20 Cena opcije =?
Cena izvršenja = $21
Vreme dospeća = 3 meseca
25
Nerizični portfolio
18Δ
22Δ – 1
Duga pozicija u Δ akcija
Kratka pozicija u jednoj opciji
Uslov nerizičnosti: 22Δ = 18, tj. Δ = 0.25
Vrednost replicirajućeg portfolija
Pretpostavimo da je nerizična stopa r = 12%.
Nerizični portfolio se sastoji od: duge pozicije u Δ = 0.25 akcija
kratke pozicije u jednoj opciji
Vrednost portfolija kroz 3 meseca je: 22 x 0.25 – 1 = $4.50
Vrednost portfolija danas je: 4.50 / (1+r)1/4 = $4.37
26
Vrednost opcije
Nerizični portfolio se sastoji od: duge pozicije u Δ = 0.25 akcija
kratke pozicije u jednoj opciji
vredi $4.37
Trenutna vrednost pozicije u akcijama je: 20 x 0.25 = $5.00
Trenutna cena opcije, C0 , zadovoljava uslov: $5.00 – C0 = $4.37,
tj. C0 = $0.63
27
28
Uopštenje
S0u Cu
S0d Cd
S0 C0
29
Uopštenje
Duga pozicija u Δ akcija i kratka pozicija u jednoj opciji
Uslov nerizičnosti: S0uΔ – Cu = S0dΔ – Cd , tj.
S0uΔ – Cu
S0dΔ – Cd
dSuSCC du
00 −−=Δ
30
Uopštenje
Vrednost portfolija u trenutku T je S0uΔ – Cu
Vrednost portfolija u trenutku 0 je (S0uΔ – Cu)/(1+r)T
Takođe, u trenutku 0 mora važiti i da je vrednost portfolija jednaka S0Δ – C0
Sledi da je
Tu
rCuSSC)1(
000 +
−Δ−Δ=
31
Uopštenje
Zamenom Δ dobijamo
gde je
])1([)1(
10 duT CppC
rC −+
+=
dudrp
T
−−+= )1(
32
p kao verovatnoća
p i 1 – p možemo interpretirati kao verovatnoće kretanja cene naviše i naniže
Vrednost derivata je diskontovani očekivani dohodak, gde se očekivanje meri u odnosu na riziko-neutralne verovatnoće S0u
Cu
S0d Cd
S0 C0
33
Riziko-neutralno vrednovanje
U modelu binomnog stabla akcija zarađuje nerizičnu stopu prinosa
Binomna stabla ilustruju opštiji rezultat da za vrednovanje derivata možemo smatrati da je: Prinos na osnovnu aktivu isti kao i prinos na nerizičnu
Diskontovanje se vrši nerizičnom stopom prinosa
Ovaj metod se naziva riziko-neutralno vrednovanje
Ilustracija: početni primer
34
Irelevantnost stope prinosa na akciju
Kada tražimo vrednost opcije u funkciji cene osnovne aktive, (stvarne) verovatnoće kretanja cene naviše i naniže su irelevantne
To ukazuje na opštiji rezultat da su očekivane stope prinosa osnovnih aktiva irelevantne za vrednost derivata
35
Primer sa dva vremenska koraka
Opcija prodaje, K = 52, r = 5%
Svaki korak iznosi 1 godinu
50
60
40
72
48
32
36
Delta
Delta (Δ) predstavlja osetljivost cene opcije na promenu cene osnovne aktive
Vrednost delte je različita za svaki čvor u binomnom stablu
37
Izbor parametara u i d
Uobičajen način je da se u i d povežu sa volatilnošću tako što se izabere
gde je Δt vrednost vremenskog koraka, u godinama.
t
t
eud
euΔσ−
Δσ
==
=
1
38
Teorema Girsanova
Volatilnost je ista u “stvarnom” i u riziko-neutralnom svetu
Možemo stoga koristiti procene volatilnosti dobijene iz stvarnih prinosa da rekonstruišemo kretanje cene u modelu binomnog stabla u riziko-neutralnom svetu
39
Opcije sa drugim osnovnim aktivama
Moguće druge osnovne aktive: Berzanski indeksi
Valutni kursevi
Fjučersi
Procedura za konstruisanje binomnog stabla je ista, osim razlike u načinu računanja riziko-neutralnih verovatnoća p.
40
Riziko-neutralna verovatnoća: opšti izraz
p =a ! d
u ! d
a = er!t za opcije na akcije koje ne plaćaju dividende
a = e(r!q)"t za opcije na berzanske indekse (q je dividendni prinos)
a = e(r!q)"t za opcije na valutne kurseve (q je nerizični prinos za
stranu valutu)
a =1 za opcije na fjučerse
Black-Scholes formula
41
42
Izvođenje formule iz modela binomnog stabla
Opcija je “u novcu” kada je
Sledi:
C0= e
!rT n!
(n ! j)! j!pj(1! p)
n! jmax{S
0ujdn! j
!K, 0}j=0
n
"
j !n
2"ln(S
0K )
2! T n
C0= e
!rT(S
0U1!KU
2)
U1=
n!
(n ! j)! j!pj(1! p)
n! jujdn! j
j>!
"
U2=
n!
(n ! j)! j!pj(1! p)
n! j
j>!
"
43
Izvođenje formule iz modela binomnog stabla
U1 i U2 možemo naći na osnovu binomne funkcije raspodele
Kada broj vremenskih koraka teži beskonačnosti, možemo primeniti Centralnu graničnu teoremu
Binomna raspodela težiće normalnoj
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑α> α>
−− −−
=−−
−+=j j
jnjrTjnjn ppjjn
neppjjn
ndppuU ****1 1
!)!(!1
!)!(!])1([
dppupup
)1(*
−+=
44
Rešenje
C0= S
0N(d
1)! e
!rTKN(d
2)
d1=ln(S
0/K )+ (r +!
2/ 2)T
! T
d2= d
1!! T