1

Prof.dr.sc. Ljiljana Lovri

Ekonomski fakultet Rijeka

Diplomski studij

P R E D A V A N J A

KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO

ODLUIVANJE

2

Sadraj:

1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU

Model . Vrste modela. Etape modeliranja.

Deterministiki i stohastiki modeli.

Simulacijski modeli.

Rjeenje analitiko, simulacijsko.

2. ANALITIKE METODE

Linearno programiranje. Rjeavanje problema. Analiza osjetljivosti.

Modeli zaliha.

Ekonometrijski modeli.

3. METODA SIMULACIJE

Monte Carlo simulacija. Diskretna simulacija.

Prednosti i nedostaci metode simulacije.

Generiranje sluajne varijable.

Primjena na odabranim primjerima.

3

KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO ODLUIVANJE

Donoenje poslovnih odluka je sve sloeniji i zahtjevniji proces, esto u uvjetima rizika, a na

je nain razmiljanja deterministiki. U kolegiju se obrauju metode koje predstavljaju

neizostavan alat za poslovno odluivanje.

Kvantitativne metode se primjenjuju kad se u praksi susretnemo s:

- kompleksnim problemima koji se ne mogu rijeiti na osnovi iskustva ili

kvantitativne analize;

- problemima za koje su odluke od velikog znaaja;

- novim problemima i nepoznatim situacijama;

- problemima koji se esto ponavljaju i zahtjevni su za rjeavanje.

Cilj kolegija jest pripremiti studente za rjeavanje problema u podruju poslovnog odluivanja

i to kroz identifikaciju problema, postavljanje modela, prikupljanje podataka, rjeavanje

modela, formalno testiranje rjeenja i analizu rezultata.

U kolegiju se povezuje ekonomska teorija s matematikim modeliranjem, a postupak

rjeavanja modela i analize se provodi na raunalu.

1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU

Osnova za analizu i predvianje jesu modeli koji repliciraju strukturu poslovnog procesa

odnosno sustava tako da se mogu procijeniti efekti promjena u njemu.

Model

Model pojednostavljeni prikaz sloenog sustava.

Sustav - skup objekata i procesa koji su u meuzavisnosti.

Cilj modeliranja : razumijevanje sustava, kontrola i utjecaj na rad sustava.

U primjeni kvantitativnih metoda u ekonomiji i menedmentu javljaju se specifini problemi

koji proizlaze iz kvalitativnih karakteristika ovih disciplina, sloenih struktura i meuzavisnosti

4

koje je esto nemogue opisati i predstaviti matematikim formulacijama. Najvaniji korak

predstavlja definiranje problema Kako bismo postigli cilj modeliranja potrebno je specificirati

im jednostavniji model. Iako se moe raditi o vrlo sloenom sustavu, to se moe postii

definiranjem ogranienja u sustavu, kako bi bile ukljuene samo vane karakteristike

prouavanog sustava.

Etape modeliranja

Proces modeliranja tee kroz nekoliko koraka. U tom procesu je osnovni zadatak

specificiranje okretnog modela. Radi se o pojednostavljenom prikazu prouavanog sustava.

Ako su ogranienja odnosno pretpostavke neispravno definirane, model nee biti

reprezentativan. Tada ga je potrebno poboljati. Radi se o ciklusu modeliranja koji je

prikazan na slici 1.

Definiranje problema

Definiranje problema predstavlja najvaniji i najtei korak u modeliranju, poto svi daljnji

koraci ovise o ovom. Potrebno je saeto definirati problem i ciljeve te utvrditi ogranienja u

sustavu kako bismo se usredotoili samo na karakteristike sustava koje su nam vane u

istraivanju.

Izgradnja modela

Model je zapravo, oblik predoavanja sistema i teorije o njemu. Dok je teorija uvijek verbalno

izraena, model moe biti nainjen u razliitim medijima. Model slui. Model slui za

objanjavanje nekih konkretnih procesa ili stanja sustava. Stoga je model zapravo, samo

simplifikacija i apstrahiranje nekih kljunih elemenata teorije . Njegova je uloga provjeravanje

teorije na djelu. (iljak, str.19).

Izgradnja modela ovisi o vrsti modela koji e se koristiti. Iz verbalno definiranog problema

istraivanja moramo matematiki definirati uvjete i ogranienja sustava kojima se odreuje

prostor moguih rjeenja.

5

Slika 1. Etape modeliranja

Prikupljanje podataka

Prikupljanje podataka je vaan korak koji zahtjeva posebnu panju jer o raspoloivosti i

kvaliteti podataka ovise rezultati modeliranja. Ako potrebni podaci nisu raspoloivi u

standardnom sustavu prikupljanja podataka poslovanja, potrebno je odluiti izmeu dviju

mogunosti:

- neposredni dodatni zahtjevi za prikupljanje nedostatnih podataka;

- prilagodba modela za postojeu skupinu podataka.

Dodatni zahtjevi za prikupljanjem podataka iziskuju obino znatne trokove i potrebno je

analizom utvrditi njihovu ekonomsku opravdanost. esto i s jednostavnijim modelom i

skromnijim podacima postiemo dobre rezultate.

Definiranje

problema

Izgradnja modela

Prikupljanje i

analiza podataka

Ispitivanje

valjanosti

modela

Verifikacija

modela

6

Verifikacija i ispitivanje valjanosti modela

Verifikacija je utvrivanje korektnosti modela, tj. ispitivanje funkcionira li model onako kako

oekujemo. To je formalno testiranje odgovara li rjeenje koje dobijemo svim uvjetnim

ogranienjima modela, ili kratko reeno jesmo li dobili mogue rjeenje modela.

Ispitivanjem valjanosti utvrujemo daje li model rjeenja koja se slau s opaanjima na

realnom sustavu. Ukoliko utvrdimo da postoje neslaganja ili proturjenosti, model je potrebno

poboljati redefiniranjem ogranienja i pretpostavki. Taj postupak ponavljamo dok ne

postignemo zadovoljavajuu reprezentativnost modela.

Vrste modela

Postoji mnogo vrsta modela. Nae podruje interesa jesu matematiki modeli, koji spadaju u

simbolike modele. To je skup matematikih i logikih veza meu pojedinim elementima

sustava. Npr. matematiki model kontrole zaliha ukljuuje potranju za proizvodom, trokove

dranja zaliha i snienja nabavnih cijena za vee narudbe. Modeli mogu biti jednostavniji i

sloeniji, npr. model zaliha se moe predstaviti jednom jednadbom, dok se makroekonomski

model privrede moe sastojati od sustava diferencijskih jednadbi vieg reda.

Podjelu matematikih modela baziramo na vrsti sustava kojeg modeliramo. Sustavi mogu biti

statiki ili dinamiki, diskretni ili kontinuirani.

Statiki sustav

- vrijeme nema vanu ulogu ili smo zainteresirani za stanje sustava u odreenom

trenutku. Primjer: financijski sustavi daju financijsko stanje poduzea u

odreenom trenutku.

Dinamiki sustav

- sustav koji se mijenja kroz vrijeme. Primjer: prolaz putnika kroz zranu luku.

7

Diskretni i kontinuirani sustav

- stanje sustava se mijenja u diskretnim vremenskim intervalima, odnosno

kontinuirano. Primjeri: prolaz putnika u zranoj luci je diskretni dogaaj

dogaa se u odreenim trenucima; prolaz nafte kroz naftovod je kontinuirani

dogaaj nema odreenih trenutaka kad nastane dogaaj.

Deterministiki i stohastiki modeli

Deterministiki modeli: modeli koji imaju egzaktno rjeenje koje se esto naziva

analitiko:

- nema sluajnih utjecaja na varijable i parametre;

- izmeu varijabli je tona uzrono-posljedina veza; za odreene ulazne

vrijednosti varijabli dobivaju se uvijek iste izlazne vrijednosti varijable.

Stohastiki modeli: imaju parametre (ili varijable) koje nemaju fiksne vrijednosti:

- ukljuuju sluajne varijable odnosno sluajne procese;

- nije mogue tono predvidjeti izlazne vrijednosti varijabli;

- sluajne varijable su predstavljene distribucijama vjerojatnosti.

Stohastiki modeli obuhvaaju:

modele koji se od deterministikih modela razlikuju jer ukljuuju sluajne greke - za

sustave ije bi ponaanje mogli tono predvidjeti za ulazne vrijednosti parametri i varijabli

modela, kad ne bi bili prisutni sluajni utjecaji ili greke koje prouzrokuju odstupanja od

takvog ponaanja. Za tu vrstu sluajne greke vrijede pretpostavke:

o da su raspodjeljene N (0,2);

o povezanost s deterministikim dijelom je aditivna rjee multiplikativna;

o sluajne greke su nekorelirane u vremenu (tj.stanje u trenutku nije ovisno o proteklim

stanjima)

modeli s jae ukljuenim sluajnim utjecajima, npr. kao promjene u samoj

strukturi sustava.

- vaan korak u analizi takvog sluajnog procesa je utvrivanje distribucije

8

vjerojatnosti i njenih parametara, odnosno prepoznavanje oblika teorijske raspodjele koja se

najbolje prilagoava empirijskim podacima.

Osnovna karakterisitka primjene u poslovnom odluivanju stohastikih modela koji

eksplicitno ukljuuju sluajnu varijablu jest velik broj ponovljenih uzoraka. Samo u tom

sluaju imamo dobru potporu pri odluivanju u uvjetima rizika.

Nalaenje rjeenja - analitiki i simulacijski pristup

Deterministiki modeli imaju egzaktno rjeenje analitiko rjeenje.

Stohastiki modeli:

o za neke imamo analitiko rjeenje iz distribucija vjerojatnosti ulaznih podataka

izraunava se zakon distribucije izlaznih varijabli;

o za veinu analitiko rjeenje ne postoji, pa koristimo simulacijski pristup. Iz dovoljno velikog

broja empirijskih simulacija sluajne varijable, dobijemo podatke o njezinoj distribuciji

vjerojatnosti.

Simulacijski modeli

Veina stohastikih modela se ne moe analitiki rijeiti pa se za nalaenje rjeenja koristi

numerika tehnika, simulacija. Iako je simulacija metodologija za rjeavanje odreene vrste

stohastikih modela, esto govorimo o simulacijskim modelima. To je zbog toga jer ti modeli

imaju odreene zajednike karakteristike:

- slue za prouavanje stohastikih sustava i stohastika svojstva se analiziraju

na osnovi velikog broja uzoraka (kako bi se postigla pouzdanost) iz

odgovarajuih distribucija vjerojatnosti;

- modeli se sastoje od skupa pravila, logikih izraza, distribucija vjerojatnosti i

matematikih jednadbi.

Metoda simulacije se najee upotrebljava u proizvodnji, transportu, uslunom sektoru,

financijskom sektoru, komunikacijama itd.

9

Osnovne vrste simulacija su:

- Monte Carlo simulacija za statike sustave;

- diskretna i kontinuirana simualcija za dinamike sustave.

Prikazat emo Monte Carlo simulaciju na primjeru odluivanja u uvjetima rizika i u kontroli

zaliha.

10

2. ANALITIKE METODE

Analitiki metode su one koje za rjeavanje koriste klasine tehnike. Prouit emo neke

deterministike i stohastike modele koji se rjeavaju analitikim metodama, a koriste se u

poslovnom odluivanju.

Deterministiki modeli su modeli u kojima je pretpostavljeno da nema neizvjesnosti u

varijablama i parametrima modela. Iako u praksi nema takvih primjera gdje se sve sa

sigurnou odvija, ipak takvi modeli predstavljaju razumnu aproksimaciju za sluajeve gdje je

varijabilnost mala. Prednost im je to su obino jednostavniji za rjeavanje od stohastikih

modela.

Obradit emo modele linearnog programiranja i modele zaliha.

Linearno programiranje

Linearno programiranje (LP) je optimizacijska tehnika, jedna od metoda operacijskih

istraivanja1. LP je matematika metoda za maksimiziranje ili minimiziranje linearne funkcije

cilja(kriterija) s ogranienjima u obliku linearnih nejednadbi odnosno jednadbi, te s uvjetom

nenegativnosti za varijable.

S obzirom na vrstu ogranienja razlikujemo slijedee oblike problema LP:

- Standardni oblik problema maksimuma ogranienja u obliku

- Standardni oblik problema minimuma ogranienja u obliku

- Kanonski oblik problema maksimuma(ili minimuma) ogranienja su jednadbe

- Opi oblik problema maksimuma (ili minimuma) ogranienja u obliku , ,=

1 Operacijska istraivanja predstavljaju primjenu matematikih metoda u modeliranju i analizi

sustava

11

MATEMATIKI MODEL Standardni problem maksimuma Maksimizirati funkciju cilja: Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (1) uz ogranienja: a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (2) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2 E E E E E am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (3) Model moemo pisati u saetom obliku:

====

====n

1j

jj xcMaxz (4)

====

n

1j

ijij bxa , i=1,2..m (5)

xj 0 (6)

gdje je:

cj = koeficijent funkcije cilja j-te varijable, j=1,2..n;

xj = strukturna varijabla, j=1,2..n;

bi = koliina i-tog ogranienja; koeficijent na desnoj strani nejednadbe, i=1,2..m;

aij= koliina i-tog ogranienja potrebnog za jedinicu j-te varijable; koeficijent uz

varijablu u ogranienju, i=1,2..m , j=1,2..n;

12

Model napisan u matrinom obliku:

[[[[ ]]]]

====

n

2

1

n21

x

x

x

c...ccMaxzM

(7)

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

MM

L

MMMM

L

L

(8)

0

0

0

x

x

x

n

2

1

MM (9)

Uvedemo li oznake,

====

n

2

1

c

c

c

cM ,

====

n

2

1

x

x

x

xM

,

====

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

A

L

MMMM

L

L

,

====

m

2

1

b

b

b

bM

,

gdje je c vektor koeficijenata funkcije cilja, x vektor nepoznanica i to strukturnih varijabli, A matrica koeficijenata i to strukturnih, te b vektor slobodnih lanova. Model (1)-(3) u matrinom obliku moemo napisati simboliki : Max z = c'x (10) A x b (11) x 0 (12)

13

Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) predstavlja rjeenje problema.

Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) i (12) predstavlja mogue rjeenje problema.

Vektor x koji zadovoljava ogranienje (10),(11) i (12) predstavlja optimalno rjeenje

problema.

Kanonski problem

Problem maksimuma u kanonskom obliku i matrinoj notaciji:

Max z = c'x (13) A x = b (14) x 0 (15)

Kanonski problem karakteriziraju ogranienja u obliku jednadbi. Iz standardnog oblika

moemo prijei u kanonski pomou dopunskih varijabli. Dopunske varijable se ukljuuju u

ogranienja (11) i tako od nejednadbi dobivamo jednadbe. Vektor nepoznanica se sada

sastoji od strukturnih i dopunskih varijabli.

Standardni problem linearnog programiranja i njegov kanonski oblik su ekvivalentni, tj. svako

rjeenje jednog od tih problema ujedno je rjeenje i drugog.

Dopunske varijable u funkciji cilja imaju koeficijent jednak nuli, to znai da one nita ne

pridodaju vrijednosti nekog programa.

Standardni problem maksimuma (1) - (3) napisan u kanonskom obliku glasi:

Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn + 0xn+1 + 0xn+2 + ...+ 0xn+m (16) a11x1+a12x2+ ...+a1nxn + xn+1 = b1 (17) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn + xn+2 = b2 E E E E E . .. ..... am1x1+am2x2+ ...+amnxn + xn+m = bm x1, x2, ..xn+m 0 (18)

14

Problem proizvodnje

Cilj: Sastaviti proizvodni program tako da ne prekoraimo raspoloivu koliinu resursa

potrebnih za proizvodnju i da maksimiziramo ukupno postignute rezultate s

obzirom na postavljeni kriterij.

Pretpostavimo da je postavljeni kriterij postizanje im veeg profita. Uvodimo oznake:

Pj proizvod vrste j (j=1,2,...n);

Ri resurs vrste i (i=1,2,...m);

cj profit po jedinici proizvoda j (j=1,2,...n);

xj koliina proizvoda vrste j (j=1,2, ...n)

aij utroak resursa i po jedinici proizvoda j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);

bi raspoloiva koliina resursa i (i=1,2,...m).

z ukupni profit

Podatke emo predstaviti u tablici:

Tablica 1. Opi podaci za problem proizvodnje

Proizvod jed.profit

Resurs

P1 c1

P2 c2

...

Pn cn

Raspoloiva kol.resursa

R1 a11 a12 a1n b1 R2 a21 a22 a2n b2

Rm am1 am2 amn bm

Matematiki model:

Funkcija cilja maksimizira ukupni profit z:

Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (19)

15

uz ogranienja raspoloivih resursa: a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (20) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2 E E E E E am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (21) Optimalni rezultat e dati odgovor kakva e biti struktura proizvodnje (kolika je proizvodnja

pojedine vrste proizvoda), koliki je maksimalni ukupni profit, te kolika je iskoritenost pojedine

vrste resursa.

Opi problem proizvodnje ovako definiran je pojednostavljen. U programu mogu biti

ukljuena dodatna ogranienja vezana uz tehnoloki proces proizvodnje, zatim plasman na

trite i slino. Pretpostavka je da se ne radi o viefaznoj proizvodnji.

Postavljeni cilj u programu moe biti jo npr. maksimizacija iskoritenosti kapaciteta strojeva,

minimizacija ukupnih trokova, itd.

RJEAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Rjeenje problema linearnog programiranja moemo dobiti

- grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable

( koordinatni sustav x10x2)2

- algebarski pomou simpleks metode

2 odnosno tri strukturne varijable ( prostorni koordinatni sustav x10x20x3)

16

Grafiko rjeenje

Primjer 1

Poduzee proizvodi dva proizvoda P1 i P2. Svaki proizvod se obrauje na dva stroja S1 i S2.

Potrebno vrijeme obrade na strojevima za svaki proizvod i raspoloivi kapacitet strojeva (u

satima)i profit (u kunama) po komadu proizvoda pojedine vrste iznose:

Proizvod

Stroj P1 P2 Kapacitet

strojeva

(sati) S1

S2

1 1

2 1

200

300

Profit 40 60

Na tritu se moe prodati najvie 150 komada proizvoda P2 !

Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu x1 proizvoda P1, te koliinu x2

proizvoda P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi kapacitet strojeva i mogui

plasman na tritu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.

Matematiki model:

Max z = 40x1 + 60x2 (22)

x1 + x2 200 (23)

2x1 + x2 300

x2 150

x1, x2 0 (24)

Radi se o standardnom problemu maksimuma (ogranienja(23) u obliku ), sa dvije

strukturne varijable i tri ogranienja( kapacitet strojeva i mogunost prodaje proizvoda).

17

Koraci rjeavanja grafike metode jesu:

- nacrtati ogranienja;

- odrediti skup moguih rjeenja;

- odrediti poloaj funkcije cilja3

- odrediti optimalno rjeenje, pomicanjem pravca koji predstavlja funkciju cilja paralelno

u smjeru optimizacije4 do zadnje toke skupa moguih rjeenja.

Osnovni teoremi LP

Ako problem LP ima optimalna rjeenja, tada se najmanje jedno od tih rjeenja nalazi

u ekstremnoj toki skupa moguih rjeenja.

Problem LP s ogranienim, nepraznim skupom moguih rjeenja uvijek ima optimalno

rjeenje.

Grafiki prikaz ogranienja skupa moguih rjeenja te funkcije cilja

Ogranienje (24) nenegativnosti:

- predstavlja skup toaka prvog kvadranta koordinatne ravnine x10x2 s ishoditem i

pozitivnim dijelovima koordinatnih osi.

3 umjesto crtanja funkcije cilja, optimum se moe odrediti izraunavanjem vrijednosti funkcije cilja za

pojedini vrh skupa moguih rjeenja te utvrivanjem za koji od njih je vrijednost z funkcije cilja maksimalna. 4 kod traenja maksimuma pravac pomiemo u smjeru od ishodia koordinatnog sustava, a kod traenja minimuma pravac pomiemo u smjeru prema ishoditu koordinatnog sustava.

18

Ogranienja (23):

- odredi se skup toaka koje zadovoljavaju pojedino ogranienje (oznake = i

19

unutarnje toke

granine toke toke

ekstremna toka

Crtanje funkcije cilja:

Prema osnovnom teoremu , najvea vrijednost funkcije cilja bit e u nekom od vrhova skupa

moguih rjeenja.

Najvea vrijednost funkcije cilja z je u vrhu D. optimalno rjeenje je x1 = 50, x2 = 150, z=

11000.

vrh koordinate

vrha

z

A

B

C

D

E

(0,0)

(150,0)

(100,100)

(50,150)

(0,150)

0

6000

10000

11000

9000

Zbog ega je optimalno rjeenje u nekom od vrhova skupa moguih rjeenja?

Uzmemo li jednu od toaka npr. T (50,50), vrijednost funkcije cilja e za tu toku iznositi z=

4050 + 6050 = 5000. Jednadba funkcije cilja kroz tu toku je 5000=40x1 + 60x2 . Ako

izaberemo T1 (50,100), vrijednost funkcije cilja e biti z= 4050 + 60100 = 7000, a jednadba

kroz tu toku je 7000=40x1 + 60x2 . Dakle, jednadba z = 40x1 + 60x2 , predstavlja skup

pravaca s istim nagibom.

20

Slika1. Grafiko rjeenje

Pomicanjem pravca funkcije cilja paralelno preko skupa moguih rjeenja, im dalje od

ishodita, do zadnje toke koju dodiruje u skupu moguih rjeenja, nalazimo optimalno

rjeenje u toki D (50,150), tj. x1=50, x2=150, a optimalna vrijednost funkcije cilja z= 11000.

Interpretacija optimalnog rjeenja:

Optimalni proizvodni program:

x1 = 50 komada proizvoda P1

x2 = 150 komada proizvoda P2

maksimalni profit z=11000 kn.

Ako bi se radilo o nekoj drugoj funkciji cilja, optimalno rjeenje bi moglo biti u nekom drugom

vrhu, a ako jednadba funkcije cilja ima nagib kao neki od pravaca ogranienja, tada se

optimalno rjeenje nalazi u dva vrha i svim tokama na duini koja ih povezuje.

21

Nalaenje ekstremnih toaka algebarskim putem

Kod traenja rjeenja algebarskim putem, potreban nam je model u kanonskoj formi.

Kanonska forma modela:

Svakom ogranienju na lijevoj strani dodajemo po jednu nepoznanicu kako bismo dobili

sustav jednadbi. To su dopunske varijable (varijable manjka). One u funkciji cilja imaju

koeficijent 0 jer ne pridonose vrijednosti z.

Max z = 40x1 + 60x2 + 0 x3 + 0x4 + 0 x5 (25)

x1 + x2 + x3 =200 (26)

2x1 + x2 + x4 = 300

x2 + x5 = 150

x1, x2 , x3 , x4 , x5 0 (27)

Da bismo nali rjeenje potrebno je rijeiti sustav od tri jednadbe (relacije pod (26) ) i nai

ono rjeenje koje zadovoljava uvjet nenegativnosti i daje funkciji cilja maksimalnu vrijednost.

Taj sustav jednadbi ima manje jednadbi nego nepoznanica i zbog toga nema jedinstveno

rjeenje.

Sustav napisan simboliki i u matrinom obliku:

A x = b

150

300

200

10010

01012

00111

5

4

3

2

1 =

x

x

x

x

x

22

Moe se napisati i ovako:

=

+

+

+

+

150

300

200

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

2

1

54321 xxxxx

ili krae:

A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + A4 x4 + A5 x5 = b

Ukupno imamo 5 varijabli, 2 strukturne (x1, x2) i 3 dodatne (x3 , x4 , x5). Za svaki vrh znamo

vrijednost strukturnih varijabli, a sada bi trebali odrediti jo vrijednost dodatnih varijabli.

Toka A(0,0)

x1=0, x2=0 , x3 =?, x4 =?, x5 =?

=

+

+

+

+

150

300

200

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

2

1

543 xxx

Prva dva produkta su jednaka nuli (jer su vrijednosti varijabli jednake nuli). Sustav sad

moemo pisati :

=

150

300

200

100

010

001

5

4

3

x

x

x

U matrici A smo izbrisali 1. i 2. stupac, a u vektoru nepoznanica izbacili varijable x1 i x2. Iz

proirene matrice sustava itamo odmah rjeenje jer je matrica koeficijenata jedinina.

23

150100

300010

200001

x3=200, x4=300 , x5 =150 .

Toka B(150,0)

Briemo 2. i 4. stupac u matrici A izbacimo varijable x2 i x4 , pa rijeimo sustav:

150100

50010

150001

150100

100020

200011

150100

300002

200011

L

x1=150, x3=50 , x5 =150 .

Rjeenja za sve vrhove su u tablici:

vrh prostor (x1, x2) prostor (x1, x2, x3 , x4 , x5)

A

B

C

D

E

(0,0)

(150,0)

(100,100)

(50,150)

(0,150)

(0,0,200,300,150)

(150,0,50,0,150)

(100,100,0,0,50)

(50,150,0,50,0)

(0,150,50,150,0)

Zajedniko svojstvo toaka A,B,C,D,E:

- 3 od 5 varijabli je razliito od nule(3 zato jer su 3 ogranienja u ovom problemu LP).

Zbog toga:

sustav od 3 jednadbe i 5 nepoznanica sustav od 3 jednadbe i 3 nepoznanice;

matrica koeficijenata sustava A35 matrica koeficijenata sustava A33 ;

sustav s mnogo rjeenja sustav s jednim rjeenjem*.

24

Karakteristike sustava*:

Vektori matrice A33 ine bazu.

Rjeenje sustava zovemo bazino rjeenje6.

Ukljuenjem uvjeta nenegativnosti varijabli dobivamo bazino mogue rjeenje problema LP.

Bazino mogue rjeenje je ekstremna toka skupa moguih rjeenja.

Meu ekstremnim tokama nalazimo optimalno rjeenje.

Optimalno rjeenje je toka D. U prostoru (x1, x2, x3 , x4 , x5) nalazimo vrijednost dodatnih

varijabli. Samo x4 je razliita od 0. To znai da je kapacitet strojeva S2 neiskoriten i to 50

sati. S1 grupa strojeva je potpuno iskoritena kao i plasman na tritu.

Ekstremne toke skupa moguih rjeenja i optimalno rjeenje se pronalaze simpleks

metodom. Svaka iteracija simpleks metode sadri po jedno bazino rjeenje.

Standardni problem minimuma

Matematiki model problema minimuma ( standardni oblik):

Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (28)

a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (29)

a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2

E E E E E

am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm

x1, x2, ..xn 0 (30)

U matrinom obliku moemo napisati simboliki :

Min w = c'x (31)

A x b (32)

6 Bazino rjeenje sustava od m jednadbi i n nepoznanica je ono rjeenje kod kojeg m varijabli ima vrijednost

razliitu od nule, a preostalih (n-m) varijabli vrijednost jednaku nuli.

25

x 0 (33)

Primjena Problem prehrane

Cilj: Sastaviti prehrambeni program tako da svaka hranjiva komponenta bude

zastupljena bar u minimalnoj koliini i prehrambeni program bude najjeftiniji.

Ovaj problem je prvi put postavio G.J.Stigler7 1945.godine. Obuhvaao je 77 namirnica i 9

hranjivih elemenata.

Uvodimo oznake:

Nj namirnica vrste j (j=1,2,...n);

Hi hranjivi sastojak vrste i (i=1,2,..m);

cj jedinina cijena namirnice j (j=1,2,...n);

xj koliina namirnice vrste j (j=1,2, ...n)

aij koliina hranjivog sastojka vrste i u jedinici namirnice vrste j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);

bi minimalna koliina hranjivog sastojka vrste i (i=1,2,...m) koji se zahtijeva u

prehrambenom programu;

w cijena prehrambenog programa.

Podatke emo predstaviti u tablici:

Tablica 2. Opi podaci za problem prehrane

Namirnica jed.cijena

Hranjivi sastojak

N1 c1

N2 c2

...

Nn cn

Minimalna koliina

hranjivog sastojka

H1 a11 a12 a1n b1 H2 a21 a22 a2n b2

Hm am1 am2 amn bm

7 Marti, Lj.: Matematike metode za ekonomske analize II, Narodne novine Zagreb, 1966., str.90.

26

Matematiki model:

Funkcija cilja minimizira trokove w prehrambenog programa :

Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (34) uz ogranienja vezana uz zastupljenost bar minimalnih koliina hranjivih sastojaka : a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (35) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2 E E E E E am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (36) Optimalni rezultat e dati odgovor od kojih namirnica e se sastojati obrok, koliki su

minimalni trokovi, te kolika je zastupljenost pojedine vrste hranjivog elementa.

Rjeenje problema LP moemo dobiti

- grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable ( koordinatni sustav x10x2)8

- algebarski pomou simpleks metode (npr. Charnesove M metoda; originalna simpleks

metoda primijenjena na dual ovog problema)

Primjer

Tvornica hrane za pse u pripremi gotove hrane koristi 2 namirnice, itarice i meso. itarice

sadre masnoa 1 g/kg i bjelanevina1g/kg . Meso sadri masnoa 2g/kg i bjelanevina

4g/kg. Cijena za 1 kg itarica je 6 kn, a mesa 21 kn. Pakiranje gotove hrane mora sadravati

bar 30 g masnoa i bar 40 g bjelanevina. Treba odrediti koliinu jedne i druge namirnice

koju pakiranje mora sadravati, a da pri tom budu zadovoljeni nutricijski zahtjevi i cijena bude

minimalna.

8 odnosno tri strukturne varijable ( prostorni koordinatni sustav x10x20x3)

27

Prikazat emo podatke u tablici:

Hranjivi sastojci g/kg

Namirnica masnoe bjelanevine Cijena u kn za 1kg

itarice Meso

1 1 2 4

6 21

min.kol. (g) sastojka u pakiranju

30 40

Matematiki model:

Min w = 6x1 + 21x2 (37)

x1 + 2x2 30 (38)

x1 + 4x2 40

x1, x2 0 (39)

Radi se o standardnom problemu minimuma (ogranienja(38) u obliku ), sa dvije strukturne

varijable i dva ogranienja(minimalni nutricijski zahtjevi za masnoe i bjelanevine).

Optimalno rjeenje dobiveno grafikim putem je prikazano na slici 2.

Slika 2. Grafiko rjeenje

Interpretacija rjeenja:

Pakiranje e sadravati 20 kg itarica i 5 kg mesa. Cijena pakiranja je 225 kn.

28

Rjeavanje problema LP se provodi primjenom simpleks algoritma. To je algebarski postupak

za nalaenje mogueg bazinog rjeenja sustava jednadbi matrinim putem, a pri tom

svako dobiveno rjeenje ispituje jesmo li nali bazino rjeenje koje funkciji cilja daje

maksimalnu vrijednost, odnosno moe li se vrijednost z poveati prijelazom na slijedee

bazino rjeenje. Geometrijski gledano, simpleks metoda kree od ishodita i dalje od vrha

do vrha po skupu moguih rjeenja, poveavajui vrijednost funkcije cilja dok ne doe do

optimalnog rjeenja. Poetno bazino rjeenje je ono koje je poznato, tj. ono kod kojeg su

strukturne varijable jednake nuli (nebazine), a dodatne varijable su bazine (razliite od

nule). To je ishodite koordinatnog sustava. Slijedee bazino rjeenje nalazimo

elementarnom transformacijom poetne baze, tako da se jedan od vektora poetne baze

zamijeni jednim od preostalih vektora matrice A, a koji nisu u bazi. Ta zamjena se odvija

prema definiranim kriterijima za odabir vektora koji e ui u bazu, te onog koji e izai iz

baze. Transformacija baze tj. nalaenje novih bazinih rjeenja se obavlja sve dok postoji

mogunost poveanja vrijednosti funkcije cilja z. Primjenom kriterija omogueno je da se

doe do optimalnog rjeenja efikasno, tj. Bez da se nalazi i ispituje sva mogua bazina

rjeenja sustava.

Koristit emo MS Excel Solver program za nalaenje optimalnog rjeenja i analizu

osjetljivosti rjeenja.

Nalaenje rjeenja prikazat emo na primjeru 1, str.8 , iz Metode i modeli za donoenje

optimalnih poslovnih odluka.

Radi se o problemu proizvodnje. Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu

x1 proizvoda P1, te koliinu x2 proizvoda P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi

kapacitet strojeva i mogui plasman na tritu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.

29

Matematiki model:

Max z = 40x1 + 60x2 (1)

x1 + x2 200 (2)

2x1 + x2 300

x2 150

x1, x2 0 (3)

Matematiki model u matrinpm obliku:

Max z = (4)

(5)

(6)

Unosimo podatke u radni list:

A B C D

1 ogranienja P1 P2 rspoloivo

2 S1 1 1 200

3 S2 2 1 300

4 Trite 0 1 150

5 Profit 40 60

6

7 Rjeenja 1 1 (koliine)

8 Max

9 Fn.cilja =SUMPRODUCT( B5:C5;B7:C7) (cijenakoliina)

10

11 ogranienja iskoriteno raspoloivo 12

S1 =SUMPRODUCT( B2:C2;$B$7:$C$7) =D2

13 S2

=SUMPRODUCT( B3:C3;$B$7:$C$7) =D3

14 Trite

=SUMPRODUCT( B4:C4;$B$7:$C$7) =D4

30

Za odreena rjeenja varijabli x1 i x2 , vrijednost funkcije cilja (4) i pojedinih ogranienja (5)

predstavlja skalarni produkt za koje u programu imamo na raspolaganju funkciju

SUMPRODUCT (prvi_niz, drugi_niz). Za poetna rjeenja

varijabli x1 i x2 postavljamo vrijednost 1, pa nam to omoguuje provjeravanje ispravnosti

uneenih formula (skalarni produkt mora biti jednak sumi koeficijenata odgovarajueg retka).

Slika 2: Unos podataka u radni list.

Unosimo parametre modela:

Slika 3: Unos parametara modela

U prozoru Mogunosti uvodimo zahtjev da se radi o linearnom modelu i zahtjev o

nenegativnosti varijabli.

Slika 4: Unos opcija parametara modela

31

Nakon toga odabirom gumba Solve (slika 3.) rijeimo problem.

Pored optimalnog rjeenja jo moemo dobiti 3 izvjea (slika 5.):

- o rjeenju

- o analizi osjetljivosti

- o granicama.

Slika 5: Izbor izvjea.

Microsoft Excel 11.0 Answer Report Worksheet: [Book1]Sheet1 Report Created: 5.1.2009 12:04:42 Target Cell (Max)

Cell Name Original

Value Final Value Max

profit $B$9 Fn.cilja 100 11000 Adjustable Cells opt.kol.

Cell Name Original

Value Final Value proizvodnje

$B$7 Rjeenja P1 1 50

$C$7 Rjeenja P2 1 150 Constraints

Cell Name Cell

Value Formula Status Slack $B$12 S1 iskoriteno 200 $B$12

32

Ovo izvjee ukljuuje rjeenja varijabli (razine proizvodnje pojedine vrste proizvoda), optimalnu

vrijednost funkcije cilja (maksimalni profit) te iskoritenost ogranienja (resursa proizvodnje,

plasmana). U naem primjeru dobivamo informaciju da je plasman na tritu i kapacitet strojeva S1

potpuno iskoriten (predstavljaju uska grla za poveavanje proizvodnje), dok kapacitet strojeva S2

ima neiskoritenih 50 sati.

Analiza osjetljivosti

Pomou analiza osjetljivosti utvrujemo osjetljivost optimalnog rjeenja

na promjenu : 1. jednog parametra u funkciji cilja (OFC)

2. jednog parametra na desnoj strani ogranienja (RHS)

Problem asortimana proizvodnje P1 i P2:

Max z = 40x1 + 60x2 (profit)

x1 + x2 200 (sati S1)

2x1 + x2 300 (sati S2)

x2 150 (tr. P2)

x1,x2 0 (nenegativnost)

Optimalno rjeenje je o(50,150) i maksimalni profit z=11000.

Slika 6 Grafiko rjeenje LP.

33

Promjene parametra u funkciji cilja

Poveamo li profit po jedinici P1 sa 40 kn na 50 kn , funkcija cilja je:

z' = 50x1 + 60x2

Iz grafikog prikaza vidi se da se optimalno rjeenje ne mijenja. Kako se jedinini

profit poveao, poveava se i vrijednost z. Optimalno rjeenje e se promijeniti

ako se nagib funkcije cilja vie promijeni, npr. z1 = 140x1 + 60x2 , o1(150,0), z1=21000

Postoji interval vrijednosti za pojedini parametar u funkciji cilja, unutar kojeg

intervala optimalna vrijednost ostaje nepromijenjena, a mijenja se samo vrijednost funkcije

cilja. Ako parametar poprima vrijednosti van navedenog intervala, mijenja se i optimalno

rjeenje. Tako za c1 interval vrijednosti je (0,60), a za c2 interval je (40, +).

Microsoft Excel 11.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book1]Sheet1 Report Created: 5.1.2009 12:05:57

parametri u funkciji cilja

dozvoljeno pove. i smanjenje param. u funkciji cilja

Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$7 Rjeenja P1 50 0 40 20 40

$C$7 Rjeenja P2 150 0 60 1E+30 20

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$B$12 S1 iskoriteno 200 40 200 25 50 $B$13 S2 iskoriteno 250 0 300 1E+30 50

$B$14 Trite iskoriteno 150 20 150 50 50

Slika 7 Analiza osjetljivosti

34

Promjene parametra na desnoj strani ogranienja

Poveamo li desnu stranu drugog ogranienja (sati S2) na 400, mijenja se skup

moguih rjeenja, nagib funkcije cilja se ne mijenja, ali se mijenja optimalno rjeenje: z1=

28000, o(200,0).

Max z = 140x1 + 60x2

x1 + x2 200

2x1 + x2 400

x2 150

x1,x2 0

Slika 8 Novo grafiko rjeenje

Ukupni profit se poveao sa 21000 na 28000 kn, za dodatnih 100 sati rada S2. To znai da

svaki dodatni sat rada S2 poveava profit za 70kn (ili svaki sat manje je 70kn manje profita).

Ako se mijenja desna strana ogranienja koje je potpuno iskoriteno ('usko grlo'), promjena

nastaje i u funkciji cilja. Mjerimo utjecaj promjene za 1 jedinicu desne strane pojedinog

ogranienja na promjenu u vrijednosti u funkciji cilja koju zovemo dualna cijena ili cijena u

35

sjeni. Kad ogranienje predstavlja resurs, dualna cijena predstavlja marginalnu vrijednost tog

resursa. U izvjeu takoer dobivamo i interval vrijednosti za desnu stranu pojedinog

ogranienja unutar kojeg dualna cijena ostaje nepromijenjena.

Dualna vrijednost (Shadow price) ili marginalna vrijednost ogranienja predstavlja promjenu

vrijednosti funkcije cilja za poveanje RHS ogranienja za jedinicu. Dualna vrijednost y2 = 70

je marginalna vrijednost funkcije cilja za poveanje RHS 2.ogranienja primala. Svaki dodatni

sat rada S2 poveava profit za 70 kn.

Za ogranienje koje nije 'usko grlo', dualna vrijednost je nula, jer malo poveanje RHS ne

moe poveati optimalnu vrijednost funkcije cilja. Kad se RHS mijenja unutar granica

odreenog intervala, shadow price se ne mijenja.

Promjena vrijednosti funkcije cilja predstavlja umnoak dualne vrijednosti i promjene RHS.

U Excelu postoji jo i tree izvjee koje se odnosi na granice unutar kojih se kreu

vrijednosti pojedine varijable, te o vrijednosti funkcije cilja koja odgovara granicama tog

intervala.

Poveavanje resursa.

Ulaganje u dodatne kapacitet resursa se isplati do visine dualne cijene za jedinicu resursa,

ali pri tom treba voditi rauna da ostanemo u granicama dozvoljenog intervala. Znai, ulagat

emo za dodatni sat rada kapaciteta S2 do 70kn.

Strukturna varijabla jednaka nuli

Reducirani troak ( Reduced cost) ili oportunitetni troak je minimalna vrijednost za koju se

treba mijenjati parametar funkcije cilja za odreenu varijablu kako ona ne bi bila jednaka nuli

u optimalnom rjeenju. To je iznos za koji e se vrijednost funkcije cilja promijeniti , ako

varijabla umjesto 0 poprimi vrijednost 1. Ako se radi o problemu maksimuma (minimuma),

reduced cost je vrijednost za koju se parametar u funkciji cilja treba poveati (smanjiti). Za P2

jedinini profit bi se trebao poveati za 10 kn kako bi bilo profitabilno proizvoditi P2.

36

Predstavit emo cjelokupni Excel izvjetaj za model:

Max z = 140x1 + 60x2

x1 + x2 200

2x1 + x2 300

x2 150

x1,x2 0

Target Cell (Max)

Cell Name Original

Value Final Value

$B$9 Fn.cilja P1 200 21000

Adjustable Cells

Cell Name Original

Value Final Value $B$7 Rjeenja P1 1 150

$C$7 Rjeenja P2 1 0 Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$B$12 S1 iskoriteno 150 $B$12

37

Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book1.xls]Sheet1 Report Created: 3/13/2009 17:26:22 Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$7 Rjeenja P1 150 0 140 1E+30 20

$C$7 Rjeenja P2 0 -10 60 10 1E+30

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$B$12 S1 iskoriteno 150 0 200 1E+30 50 $B$13 S2 iskoriteno 300 70 300 100 300 $B$14 Trite iskoriteno 0 0 150 1E+30 150

Tablica 2 Excel izvjetaj

Kako je optimalna vrijednost strukturne varijable x2 jednaka nuli, imamo njezin oportunitetni troak. To

znai da minimalna vrijednost od koje bi jedinini profit P2 trebao biti vei kako bi bilo profitabilno

proizvoditi P2 jest 10 kn.

Kapacitet S2 je potpuno iskoriten, dakle radi se o "uskom grlu" u proizvodnji. Dualna (marginalna)

vrijednost tog ogranienja jest 70 kn, to znai da svaki dodatni sat rada S2 poveava profit za 70 kn.

To je ujedno i cijena jednog sata rada S2 do koje visine se isplati ulagati kod poveanja kapaciteta.

Intervali vrijednosti na desnoj strani svakog ogranienja unutar kojih optimalno rjeenje ostaje

nepromijenjeno jesu: b1 (150, +); b2 (0, 400); b3 (0, +).

Na kraju emo ukratko ponoviti.

Analiza osjetljivosti se odnosi na:

- promjenu OFC za varijablu;

-mijenjanje vrijednosti strukturne varijable koja ima vrijednost 0 u vrijednost koja nije 0;

- promjenu RHS ogranienja.

Vano je napomenuti da se ispituju promjene samo u jednom parametru. Ako se radi o promjenama u

vie parametara, tada je problem sloeniji i potrebno je primijeniti parametarsko programiranje.

38

Pojmovi u raunalnom ispisu analize osjetljivosti:

Allowable Decrease(Increase)

Dozvoljeni pad (rast) za 1 koeficijent u funkciji cilja Najvea vrijednost za koju se koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja moe smanjiti (poveati)

a da postojee optimalno rjeenje ostane optimalno.

Dozvoljeni pad (rast) za 1 vrijednost na desnoj strani ogranienja Najvea vrijednost za koju se vrijednost na desnoj strani ogranienja moe smanjiti (poveati) a da

dualna cijena ostane nepromijenjena.

RHS vrijednost(vrijednost desne strane ogranienja) Koliina raspoloivog resursa (za ogranienje ) ili minimalni zahtjev nekog kriterija (za ogranienje

).

Shadow price (dualna cijena) Veliina promjene vrijednosti funkcije cilja za poveanje desne strane jednog ogranienja za 1

jedinicu (marginalna vrijednost resursa).

OFC vrijednost (koeficijent u funkciji cilja) Koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja (npr. jedinini profit, jedinini troak ).

Reduced cost (oprtunitetni troak) Postoji kad je neka strukturna varijabla jednaka nuli u optimalnom rjeenju. To je najmanji iznos od

kojeg koeficijent u funkciji cilja uz tu strukturnu varijablu treba biti vei, kako bi optimalno rjeenje te

varijable bilo razliito od nule. To je razlika izmeu marginalnog doprinosa te varijable i potrebnih

marginalnih trokova resursa.

Slack (dopunske varijable) Razlika izmeu lijeve (LHS) i desne (RHS) strane ogranienja. Kod ogranienja obino predstavlja

neiskoriteni resurs, a kod ogranienja predstavlja prekoraenje minimalnog zahtjeva.

39

Modeli zaliha

Zalihe su vrlo vane u poslovnom procesu jer su neophodne za nesmetano odvijanje

procesa. Prevelike zalihe znae zamrznuta sredstva koja stvaraju trokove, a premale mogu

uzrokovati zastoj u poslovnom procesu i velike tete u poslovanju. Zbog toga zalihe trebaju

biti optimalne.

Cilj ; Odrediti plan naruivanja (kada i koliko) koji e minimizirati trokove zaliha, ali i trokove

naruivanja i dostave.

Izloit emo osnovni model zaliha sa stalnom potranjom, a nema nedostatka zaliha. To je

pojednostavljeni problem koji je osnova i za sve ostale modele zaliha. Izraunava se

optimalna veliina narudbe.

Pretpostavke:

- potranja je poznata i konstantna u jedinici vremena;

- poiljke popunjavaju skladite u trenutku kad se zalihe iscrpe i nema

nedostatka zaliha;

- koliina narudbe je konstantna;

- trokovi skladita po jedinici zaliha i fiksni trokovi narudbe su konstantni.

Na slici 10 je prikazano kretanje stanja zaliha prema navedenim pretpostavkama.

Slika 10 Kretanja stanja zaliha

40

Uvodimo oznake:

TC ukupni trokovi zaliha;

Cs ukupni trokovi skladitenja;

Cn - ukupni trokovi narudbe;

C trokovi jedne narudbe;

Q koliina narudbe;

h trokovi skladitenja jedinice zaliha;

D potranja u jedinici vremena.

Potrebno je odrediti optimum pomou funkcije ukupnih trokova:

TC = Cs + Cn

2

QhCs ====

Q

CDCn ====

Trokovi skladitenja su odreeni srednjom vrijednosti koliina punog i praznog skladita, a

to je 2

Q.

Q

CDQhTC ++++====

2

Optimum emo nai pomou diferencijalnog rauna:

22 Q

CDh

Q

TC====

02 2

====Q

CDh

22h

Q

CD====

Tako dobivamo optimalnu koliinu narudbe h

CDQo

2==== .

Optimalno vrijeme naruivanja zaliha: hD

C

hD

CD

D

QZ oo

222============ .

Ukupni optimalni trokovi iznose: o

o

oQ

CDQhTC ++++====

2.

41

Grafiko rjeenje je na slici 11:

Slika 11 Grafiko rjeenje problema zaliha

Razina optimalne narudbe, Qo je pri jednakosti Cs=Cn , odnosno 2

hQ

Q

CD==== ,

iz koje se dobiva h

CDQo

2==== .

Stohastiki model zaliha

Stohastiki modeli ukljuuju bar jednu stohastiku varijablu. Vrijednosti te varijable su

predstavljene distribucijama vjerojatnosti to je nain definiranja raspona moguih vrijednosti

koje varijabla moe poprimiti. Stohastiki modeli su blie stvarnosti od deterministikih. U

poslovnoj ekonomiji i poslovnom odluivanju ee su prisutni problemi u kojima nisu

precizno determinirani uzrono posljedini odnosi meu varijablama u modelu kao to nisu ni

poznate sve vrijednosti parametara koji su potrebni za dobivanje jedinstvenog rjeenja. Vrlo

su esti problemi u kojima je kod donoenja odluka prisutan rizik, sluajni utjecaji te

nedostatak informacija. Stohastiko modeliranje je vano podruje modeliranja koje emo

objasniti samo kroz jednostavnije primjere u poslovnom odluivanju. Ipak, u praktinom

smislu, ne samo kod sloenijih i opsenijih problema, teko je specificirati matematiki model

kao i nai analitiko rjeenje. U takvim sluajevima koristimo metodu simulacije.

42

U modelima zaliha mogu postojati razni izvori sluajne varijabilnosti - kao vrijeme isporuke,

razliiti trokovi, ali ipak najvanija je potranja koju smo u deterministikom modelu uzimali

kao prosjenu vrijednost. Varijabilnost potranje nije jako vana do trenutka kad se naruuje.

Ako u tom trenutku naglo poraste potranja, zalihe e pasti bre od oekivanja. Zalihe se

mogu iscrpsti prije nego nove dou. Zbog toga mnoga poduzea odravaju rezervne zalihe

(vidi sliku 12). Rezervne zalihe se koriste ako potranja poraste za vrijeme perioda isporuke.

Pitanje je koliko velike te rezerve trebaju biti. Ako su premale moe stati poslovanje, a ako su

prevelike, kapital je vezan u nepotrebnim zalihama. Odgovor dobijemo ako znamo

distribuciju vjerojatnosti potranje.

Slika 12 Kretanje zaliha uz odravanje rezerve

Uniformna distribucija vjerojatnosti potranje

Svaka koliina potranje jednako vjerojatna. Potranja za vrijeme perioda isporuke varira

izmeu minimalne vrijednosti a i maksimalne vrijednosti b. Prosjena potranja za vrijeme

isporuke jest 2

ab ==== . Poduzee moe odluiti da ima zaliha dovoljno za najveu razinu

potranje, a to znai da mora odravati koliinu b- rezervne zalihe. Alternativa je neto

manja razina i time riskira nastanak zastoja poslovanja. Npr. ako eli riskirati da ostane bez

zaliha u 5% sluajeva, lako je dobiti rjeenje jer je svaka potranja jednako vjerojatna (slika

13).

43

Slika 13 Uniformna distribucija vjerojatnosti potranje

Primjer

Potranja za proizvodom varira od 120 do 800 komada dnevno. Vrijeme isporuke je 2 dana.

Trokovi jednog komada proizvoda na zalihi je 2 kn dnevno. Kolike moraju biti rezervne

zalihe kako bi se osiguralo poslovanje u 95% sluajeva? Odredite koliinu narudbe za

odravanje tih zaliha.

h= 2

D dnevna : a= 120 ; b= 800;

D za 2 dana: a= 240 ; b= 1600; = 920

100% osiguranje zaliha:

Rezervne zalihe su b- = 1600 920 = 680 kom

95% osiguranje zaliha:

c= a + 0.95(b-a) = 240 + 0.95(1600-240) = 1532 kom je potranja koja e se

dogoditi u ne vie od 95% sluajeva

44

Rezervne zalihe su c- = 1532 920 = 612 kom

Trokovi odravanja rezervnih zaliha su: 612 2 = 1224 kn dnevno.

Normalna distribucija vjerojatnosti potranje

Potranja varira s velikom vjerojatnou, a srednje vrijednosti i vjerojatnost naglo padaju na

niim i viim razinama potranje.

Normalna distribucija vjerojatnosti : N(,)

Standardna normalna distribucija : N(0,1) vrijednosti u tablici.

====x

z transformacija nestandardne normalne distribucije u standardnu;

x vrij.sluajne varijable; , - parametri njezine normalne raspodjele.

Primjer

Normalna distribucija potranje:

D dnevna: = 460, =180 ;

D za 2 dana: =920 , 625418018022 .====++++====

Traimo razinu potranje x koja nije prekoraena u vie od 5% sluajeva.

Radi se o povrini ispod desnog repa normalne distribucije koja iznosi 5%. Za standardnu

normalnu distribuciju u tablici nalazimo odgovarajui z=1.65. Potranja x koja e se dogoditi

u ne vie od 5% sluajeva za zadanu distribuciju potranje jest:

45

x = z + = 1.65 254.6 + 920 = 1340.1 1340

To e biti koliina narudbe za odravanje zaliha.

Rezervne zalihe su: x - =1340 920 = 420 .

Zadana normalna N(920;255):

====x

z X= 1340

-------------------

46

Ekonometrijski modeli

Predavanja prema knjizi Lj.Lovri: Uvod u ekonometriju, Ekonomski fakultet

Rijeka, 2005.

47

3. METODA SIMULACIJE

Metoda simulacije se primjenjuje kada je sustav za koji je potrebno specificirati

model presloen za analitiki pristup. Izloit emo samo osnovnu proceduru ove

tehnike i primjenu u podruju zaliha i investicijskih projekata.

Simulacija je proces stvaranja modela realnog sustava i eksperimentiranja s

modelom u cilju razumijevanja ponaanja sustava i/ili razvijanja raznih strategija

funkcioniranja sustava (Pedgen et al.,1995).

Monte Carlo simulacija

Simulaciju emo koristiti za sustave koji u sebi ukljuuju neizvjesnost u

ponaanju, a poslovne odluke ine rizinim. Neizvjesnost se u modelima

predstavlja stvaranjem uzoraka iz odgovarajue distribucije vjerojatnosti. Takva

vrsta simulacije se esto naziva Monte Carlo simulacija. To su najjednostavnije

vrste simulacijskih modela. Ukratko, stohastike karakteristike sustava su

definirane sluajnim varijablama. Ulazne vrijednosti takvih varijabli su definirane

distribucijama vjerojatnosti koje ih najbolje predstavljaju. S obzirom da se radi o

sluajnim vrijednostima, izlazne vrijednosti modela se raunaju kao prosjeni

pokazatelji dovoljnih broja iteracija provedenih modelom.

Osnovna su tri koraka simulacijskog modeliranja:

1. Za sluajnu varijablu izaberemo vrstu distribucije vjerojatnosti i njezine

parametre koji najbolje odraavaju ponaanje te sluajne varijable.

2. Izvedemo dovoljno velik broj iteracija, pokusa u kojima se pojavljuje takva

sluajna varijabla.

3. Za svaki pokus biljeimo izlazne vrijednosti modela i na kraju za rezultate

izraunavamo matematiko oekivanje, standardnu devijaciju i druge

statistike pokazatelje.

48

Monte Carlo simulacija je shema koritenja sluajnih brojeva tj. U(0,1) sluajnih

vrijednosti koje slue za rjeavanje odreenih stohastikih ili deterministikih

problema u kojima vrijeme nema vanosti (Law, Kelton, 1991). U irem smislu

Monte Carlo je metoda u kojoj se koriste sluajni brojevi za rjeenje problema. Za

simulaciju diskretnih dogaaja (npr. sustavi usluivanja) taj nain nije pogodan jer

se u tabelarnom prikazu ne moe na odgovarajui nain pratiti promjene kroz

vrijeme. Zbog toga za takve probleme postoje posebni programski paketi i

programski jezici. Slina je situacija s kontinuiranim dogaajima.

Mi emo Monte Carlo simulaciju koristiti za probleme koji su uglavnom statiki

kao to su kontrola zaliha i analiza rizika.

Diskretna simulacija

Diskretna simulacija se primjenjuje na sustave koji se mogu opisati nizom

diskretnih dogaaja. Diskretni dogaaj predstavlja skup okolnosti koje su izazvale

promjenu stanja sustava. Simulacija se odvija tako da se biljee sve promjene

vezane uz nastali dogaaj i zatim prelazi na slijedei dogaaj. Drugim rijeima

simulacija se odvija od dogaaja do dogaaja uz predpostavku da se nita vano

ne dogaa u vremenu izmeu dogaaja. Metoda nema ogranienja tj. mogu se

pomou nje prouavati vrlo sloeni sustavi, a za to se koriste posebni

kompjuterski programi odnosno programski jezici. U kompjuterskom programu se

generiraju dogaaji prema stvarnom procesu u pruavanom sustavu i prikupljaju

podaci vezani uz promjene nastale simulacijom.

Problemi sustava usluivanja (sustava redova ekanja) rjeavaju se diskretnom

simulacijom. U takvim sustavima dogaaji su vezani uz dolazak potroaa i

njihovo usluivanje. Kad bi dolasci i vrijeme usluivanja bili u jednakim

vremnskim razmacima radilo bi se o deterministikom sustavu i ne bi se stvarali

redovi. Ipak, u veini sustava usluivanja postoji varijabilnost u procesu dolaenja

i usluivanja. Redovi nastaju kad je potranja za uslugom vea od kapaciteta

resursa koji prua uslugu. Potroai ne dolaze u regularnim intervalima, a postoje

49

i varijacije oko prosjene duine vremena usluivanja. Modeliranje takvog

sustava predstavlja prikupljanje uzoraka iz distribucije vremena meu dolascima i

distribucije vremena usluivanja. te dvije sluajne varijable se u modelu

generiraju prema pretpostavljenim teorijskim i empirijskim distribucijama

vjerojatnosti.

Odvijanje simulacije prati se vremenski, tj. simulacijskim satom. Prvi dogaaj ,

dolazak potroaa, dogodi se nakon vremenskog intervala koji je generiran

prema odgovarajuoj distribuciji vjerojatnosti. Kako je sustav na poetku prazan,

potroa je odmah usluen i to u vremenu koji je generiran prema odreenoj

distribuciji vjerojatnosti. Dogaaji dalje slijede navedene distribucije, te se biljee

statistiki podaci o broju potroaa u sustavu, u redu, za svakog potroaa

vrijeme ekanja u redu, vrijeme usluivanja, a na kraju i iskoritenost sustava za

vrijeme simulacije. to se vrijeme simulacije produuje rezultati su stabilniji i

kaemo da sustav postie ravnoteno stanje. Na kraju predvienog vremena

simulacije dobivaju se prosjene vrijednosti skupljenih statistikih podataka.

Simulacijski model koji reprezentira prouavani sustav tako daje statistike

pokazatelje koje nazivamo historijska simulacija. Ako u tom modelu mijenjamo

ulazne parametre modela ispitujemo funkcioniranje sustava u promijenjenim

uvjetima, dakle eksperimentiramo modelom. Usporeujui rezultate s

historijskom simulacijom dobivamo vane informacije o funkciniranju sustava i

mogunosti njegovog poboljanja.

Podruje primjene je iroko u planiranju i organizaciji lukih postrojenja,

aerodroma, skladita, telefonskih centrala, bolnica, banaka, trgovina, ukratku

svugdje gdje postoji mogunost zastoja i uskih grla.

Za neke jednostavnije sustave usluivanja postoji analitiko rjeenje, tj. formule

pomou kojih se mogu izraunati prosjene vrijednosti pokazatelja funkconiranja

sustava. Meutim u praksi su rijetki primjeri na koje se analitiko rjeenje moe

primijeniti.

50

Prednosti i nedostaci metode simulacije

Prednosti ove metode su viestruke. Omoguava bolje razumijevanje sustava,

eksperimentiranje modelom sustava i pripremu za nepoznate situacije u

funkcioniranju sustava, omoguuje otkrivanje uskih grla, procjenu rizinih

dogaaja i bolju pripremu za donoenje poslovnih odluka u uvjetima rizika. Ne

postoji tako sloeni sustav koji se ne bi mogao metodom simulacije modelirati i

istraiti.

Nedostatak metode simulacije jest to je za sloenije sustave ovo skupa metoda

jer zahtijeva timski rad i skupu programsku podrku. Simulacijom ne dobivamo

optimalno rjeenje. Simulacija ne daje egzaktno rjeenje kao analitike metode.

Rezultati simulacije predstavljaju uzorak, pa se stoga za statistiku analizu

rezultata treba koristiti teoriju uzoraka.

Generiranje sluajne varijable

Sluajni brojevi

Sluajni brojevi su brojevi koji su uniformno distribuirani izmeu 0 i 1, tj. U (0,1).

Funkcija vjerojatnosti ( slika ) uniformne distribucije je:

51

Pseudosluajni brojevi

Pseudosluajni brojevi imaju svojstva sluajnih brojeva (nezavisnost, jednaka

vjerojatnost), a izraunavaju se pomou algoritma. Njihova je prednost to se

mogu ponoviti, a to je vrlo vano kod simulacije. Naime, koritenjem istog niza

sluajnih brojeva za razliite varijante modela, omoguuje se reduciranje

varijabilnosti u rezultatima i na taj nain lake otkrivanje stvarne razlike meu

varijantama modela.

Postoji vie vrsta generatora (algoritama). vano da niz brojeva bude dovoljno

dug i da se ne degenerira. Najvie se koristi multiplikativni kongruentni generator:

xi+1 = a xi (mod m)

x0 sjeme (seed), poetna vrijednost;

mod m modulo m a xi podijeliti sa m i zadrati ostatak.

Simulacijski programski paketi imaju ukljuene generatore koji su testirani na

sluajnost i jednaku vjerojatnost.

Generiranje sluajne varijable

Simulacijski programski paketi imaju ugraene postupke za generiranje sluajne

varijable prema teorijskoj ili empirijskoj distribuciji. Objasnit emo samo osnovni

princip.

Primjer

Trgovina prodaje mlijeko u velikim paketima. Potranja je sluajna varijabla broj

prodanih paketa varira prema prikupljenim podacima u tablici 1 (empirijska

distribucija vjerojatnosti).

52

Tablica1

broj prodanih

paketa dnevno sredina frekvencija

relat.frekv.

(%)

kumulativne

frekv.(%)

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

15

25

35

45

55

10

18

24

7

5

16

28

37

11

8

16

44

81

92

100

ukupno 64 100

Potronju x emo predstaviti srednjom vrijednosti razreda. Distribucija

vjerojatnosti je ureeni skup parova vrijednosti varijable i pripadajue

vjerojatnosti, {{{{ }}}}))x(p,x( ii , i=1,2,...k.

Vjerojatnost potranje za podatke u tablici izraunamo kao relativnu frekvenciju

(%). U cilju modeliranja potranje koristit emo sluajne brojeve. Umjesto

uobiajenog raspona od 0 do 1, koristit emo raspon od 0 do 100, to je u skladu

s rasponom relativnih frekvencija u tablici. Potrebno je pridruiti sluajne brojeve

distribuciji u tablici1.Svaki sluajni broj mora biti lociran samo u jednom intervalu

u tablici. Zato je korisno izraunati vrijednosti kumulativnih frekvencija. irina

intervala za svaku vrijednost sluajne varijable x odreena je veliinom relativne

frekvencije svakog razreda. Kako su intervali razliite duine, oni ukljuuju i

razliiti raspon sluajnih brojeva. to se jasnije moe predstaviti pomou kruga

(slika):

00-15

16-43

44-80

81-91

92-99

53

Potranja je sluajna varijabla koja je distribuirana s vjerojatnou koja odgovara

irini razreda, a irinu razreda odreuju originalni podaci. Prema navedenom,

tablicu 1 emo upotpuniti intervalima sluajnih brojeva (RN). (tablica2).

Tablica 2

broj prodanih

paketa dnevno

Sredina

x frekvencija

relat.frekv.

fr (%)

kumulativne

frekv.(%)

RN

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

15

25

35

45

55

10

18

24

7

5

16

28

37

11

8

16

44

81

92

100

00-15

16-43

44-80

81-91

92-99

ukupno 64 100

Kroz viestruki postupak izvlaenja sluajnih brojeva, dobit emo u uzorku

korektni udjel potranje iz svakog intervala. Ako elimo simulirati potranju za 10

dana, uzet emo niz od 10 sluajnih brojeva. Za svaki sluajni broj lociramo u

tablici interval u koji pripada i oitamo pripadnu koliinu potranje (sredinu

razreda). Tone vrijednosti diskretne sluajne varijable mogu se dobiti

interpolacijom. Sluajni brojevi i simulirana potranja predstavljena je u tablici, a

postupak na grafikonu.

RN Potranja

35

72

63

54

12

90

89

60

21

37

25

35

35

35

15

45

45

35

25

25

54

Slika Kumulativna funkcija distribucije potranje mlijeka

Za teorijske funkcije distribucije je isti postupak . Na slici je prikazan postupak

generiranja kontinuirane sluajne varijable.

Slika Kumulativna funkcija distribucije kontinuirane sluajne varijable

RN

x X

F(x)

55

Primjena na odabranim primjerima

Simulacija kontrole zaliha

Predstavit emo simulacijski model zaliha trgovine koja prodaje mlijeko i za koju

su prikupljeni podaci o potranji tijekom 64 dana (tablica 1).

Koliina (Q) koja se naruuje je fiksna vrijednost. Kritine zalihe (R) predstavljaju

razinu zaliha kad robu treba naruiti. To znai ako su, ako su zalihe krajem dana

na razini jednakoj ili manjoj od kritinih zaliha, roba se naruuje. Ukupni trokovi

obuhvaaju osim trokove naruivanja i trokove manjka zaliha.

Podaci:

Fiksni trokovi jedne narudbe iznose 180 kn.

Troak zaliha (skladitenja) jednog paketa dnevno je 0,45 kn.

Troak manjka zaliha je gubitak koji nastaje kad potroa ne moe kupiti mlijeko

u toj trgovini jer su zalihe ponestale i procijenjen je na 5 kn po paketu.

Vrijeme potrebno da naruena roba stigne od trenutka naruivanja je 2 dana.

Potrebno je odrediti: koliinu narudbe Q, kritine zalihe R, za danu potranju D

koja je sluajna varijabla, te ukupne trokove, trokove zaliha, trokove manjka

zaliha.

Problem emo rijeiti simulacijom. Potranju emo generirati po empirijskoj

distribuciji (Tablica 1).

Poetni uvjeti simulacije:

Zalihe na poetku su jednake nuli i prvi dan dospijeva naruena koliina Q.

Potranju moemo utvrditi iz distribucije vjerojatnosti (Tablica 1) tj. iz prikupljenih

podataka za 64 dana poslovanja. Oekivana potranja je:

D= 327031 ======== .)(i

ii frxxE paketa.

56

Kako se radi o stohastikoj varijabli s empirijskom distribucijom vjerojatnosti,

nemamo analitiko rjeenje problema. Pribline vrijednosti emo dobiti koristei

analitiko rjeenje deterministikog modela, to znai da emo uzeti da je

potranja fiksna vrijednost.

D= 32 paketa

h=0.45 kn/dan

C= 180 kn

160450

321802====

====

.Q paketa

CS= knQh

362

====

dnevno

CN= knQ

DC36====

dnevno

532450

18022====

========.hD

CZ dana

Kritina razina zaliha (R):

Vrijeme koje je potrebno da naruitelj dostavi robu od trenutka naruivanja iznosi

2 dana, a dnevna oekivana potranja je 32 paketa, pa je R=2 32 = 64 paketa.

Tako smo dobili osnovne parametre za simulaciju (historijska) : Q=160, R=64,

potranja generirana po empirijskoj distribuciji.

Simulaciju emo provesti za 30 dana. Odmah 1.dan stie prva poiljka od 160

paketa i nema zaliha. Nova narudba kree kad zalihe padnu ispod 64 paketa i

potrebno je 2 dana da stigne. Potranja je generirana po diskretnoj empirijskoj

distribuciji (slika).

Simulaciju provodimo u tablici pomou programa MS Excel.

57

Ponavljanje simulacije

Simulacija od 30 dana daje 4 vrste trokova. Ukoliko ponovimo simulaciju

rezultati e biti drukiji jer se mijenjaju sluajni brojevi. Radi se o stohastikom

sustavu. Zbog toga je potrebno simulaciju od 30 dana ponavljati to vie puta

kako bismo dobili informacije o distribuciji vjerojatnosti prema kojoj se sluajne

varijable ponaaju. Ponovit emo simulaciju 200 puta, izraunat prosjene

vrijednosti iz dobivenih 200 podataka za 4 vrste trokova koji nas zanimaju.

Za ponavljanje simulacija koristimo Excel proceduru Data Table.

58

59

Simulacijski eksperimenti

Pretpostavimo da trgovina zaista posluje prema Q=160, R=65. Tada se

simulacija koju smo izveli naziva historijska simulacija. Ona oponaa (simulira)

poslovni sustav prema stvarnim parametrima.

Svrha ovakvog simulacijskog modela jest eksperimentiranje. Mijenjanjem ulaznih

vrijednosti parametara elimo doi do vanih saznanja o sustavu koja e nam

pomoi u kvalitetnijem poslovnom odluivanju.

Pomou naeg simulacijskog modela elimo utvrditi koliinu narudbe Q i kritine

zalihe R s kojima e se smanjiti ukupni mjeseni trokovi. Svaki eksperiment e

uzeti odreene kombinacije razina Q i R, ponoviti simulaciju 200 puta i izraunati

prosjene vrijednosti trokova. Tako emo usporeujui prosjene izlazne

vrijednosti doi do odgovora koja razina Q i R smanjuje ukupne trokove.

Pri tom koristimo Excel proceduru Scenario Manager (Tools/ Scenarios).

Pored sadanjeg stanja (historijske simulacije) jo je izvedeno 5 scenarija.

rezultati su na slici... Najmanje ukupne trokove daje scenarij sadanje stanje.

Ipak visoka je razina manjka zaliha. Druge je pitanje koliko je dobro za

poslovanje da potroai ne mogu dobiti robu uvijek kad ju trae.

Slika Scenario Manager rezultati.

60

Eksperimentiranje je esto svrha simulacijskog modeliranja, a eli se utvrditi

efekte promjene nekog parametra u modelu. To mogu biti, osim koliine

narudbe, razina kod koje treba ponoviti narudbu, trokovi zaliha, vrijeme

isporuke. Mogu se ispitivati i promjene u strukturi modela, npr.promjene

ditribucije potranje, varijabilno vrijeme isporuke umjesto fiksnog itd.

Simulacija investicijskih ulaganja

U modelima zaliha simulaciju smo koristili za utvrditi vjerojatnost nestanka zaliha.

Analiza rizika je povezana sa investicijskim procjenama. Svaki projekt koji traje

nekoliko godina nosi rizik. Ako kamate rastu bit e skuplji, ako se pojavi

konkurencija smanjit e se oekivani profit. Nemogue je predvidjeti budunost,

ali simulacija moe pomoi u procjeni rizika od financijskih gubitaka.

Oznake:

NPV - neto sadanja vrijednost;

D(n) godinji donosi;

I (0) poetni ulog;

i diskontna stopa.

NPV se izraunava ovako:

)()(

)(

)(

)(

)(

)(02 11

2

1

1I

i

nD

i

D

i

DNPV

n

++++++++++++

++++++++

++++==== L

Godinji donosi predstavljaju sluajnu varijablu. Obino se ponaa po normalnoj

distribuciji (donosi su simetrino raspodijeljeni oko sredine). Ako su vei donosi

vjerojatniji, tada je neka asimetrina distribucija, kao trokutasta prikladnija.

Analiza rizika se temelji na pretpostavkama i zbog toga ih treba paljivo

razmatrati. Mogue su promjenljive varijance distribucije kroz vrijeme ili donosi

mogu biti u korelaciji i slino. U takvim sloenijim sluajevima potrebno je koristiti

posebne programe (u Excelu je to @RISK).

61

Literatura: Anderson, D., R., Sweeney, D.J., Williams, T.A.,: Quantitative Methods for Business, Edition, Thomson, Ohio, 2004. Barkovi, D.: Operacijska istraivanja, Ekonomski fakultet Osijek, Osijek, 2002. Chiang,A.C.: Osnovne metode matematike ekonomije, MATE, Zagreb, 1994. Marti, Lj.: Matematike metode za ekonomske analize II, Informator, Zagreb 1974. Nerali,L. : Uvod u matematiko programiranje, Element, Zagreb, 2003. Waner, S., Costenoble, S.R.: Finite Mathematics and Applied Calculus, Fourth Edition, Thomson, Belmont, 2007.