Kvantni harmonijski Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Kvantni harmonijski Kvantni harmonijski oscilator Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Kvantni harmonijski oscilator Quantum mechanics 1 - Lecture 10

    Igor Lukačević

    UJJS, Dept. of Physics, Osijek

    10. svibnja 2013.

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Contents

    1 Osnovna svojstva

    2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

    4 Princip korespondencije

    5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

    6 Literature

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Contents

    1 Osnovna svojstva

    2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

    4 Princip korespondencije

    5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

    6 Literature

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    Thomsonov model oscilirajućih naboja

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    m d2x

    dt2 = −Kx2 ⇒ d

    2x

    dt2 + ω20x = 0 , ω

    2 0 =

    K

    m

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    Pitanje

    Znate li iz jednadžbe klasičnog oscilatora izvesti ukupnu energiju?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    Pitanje

    Znate li iz jednadžbe klasičnog oscilatora izvesti ukupnu energiju?

    Ako ne znate, nadite za DZ:

    E = 1

    2 mẋ2 +

    1

    2 Kx2

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    ẋ = 0 ⇒ E = 1 2 Kx20

    ⇒ x0 = ± √

    2E

    K

    ↓ točke okretǐsta

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    1 x2 < x20

    Pitanje

    Kolika je kinetička energija u ovom slučaju?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    1 x2 < x20

    Ek = E −V = 1

    2 K(x20 − x2)

    ⇒ Ek > 0

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    1 x2 < x20

    Ek = E −V = 1

    2 K(x20 − x2)

    ⇒ Ek > 0 2 x2 > x20

    Pitanje

    Kolika je kinetička energija u ovom slučaju?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    1 x2 < x20

    Ek = E −V = 1

    2 K(x20 − x2)

    ⇒ Ek > 0 2 x2 > x20

    Ek = E −V = 1

    2 K(x20 − x2)

    ⇒ Ek < 0

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Klasični oscilator

    

    Ek > 0 , x 2 < x20 klasično

    dopušteno područje

    Ek < 0 , x 2 > x20 klasično

    zabranjeno područje

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    1D S .J. − ~ 2

    2m

    d2ϕ

    dx2 +

    1

    2 Kx2ϕ = Eϕ

    Klasično dopušteno područje

    ϕ′′ + k2ϕ = 0

    ~2k2

    2m = E − 1

    2 Kx2 > 0

    ⇒ ϕ ∼ e±ikx

    Klasično zabranjeno područje

    ϕ′′ − κ2ϕ = 0 ~2κ2

    2m =

    1

    2 Kx2 − E > 0

    ⇒ ϕ ∼ e±κx

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    Pitanje

    Koliko iznosi κ2 u “asimptotskom području” 1 2 Kx2 � E?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    Pitanje

    Koliko iznosi κ2 u “asimptotskom području” 1 2 Kx2 � E?

    κ2 = mK

    ~2 x2

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    Asimptotsko područje 1 2 Kx2 � E

    S.J.⇒ ϕ′′ = mK ~2

    x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω ~

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    Asimptotsko područje 1 2 Kx2 � E

    S.J.⇒ ϕ′′ = mK ~2

    x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω ~

    Supstitucija ξ = βx ⇒

    ϕ′′ = ξ2ϕ , ϕ′′ = d2ϕ

    dξ2

    Pitanje

    Koliki je ξ u odnosu na 1 u ovom području?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    Asimptotsko područje 1 2 Kx2 � E

    S.J.⇒ ϕ′′ = mK ~2

    x2ϕ = β4x2ϕ , β2 ≡ mω ~

    Supstitucija ξ = βx ⇒

    ϕ′′ = ξ2ϕ , ϕ′′ = d2ϕ

    dξ2

    ⇒ ϕ ∼ Ae±ξ 2/2 = Ae±

    (βx)2

    2

    Pitanje

    Da li su oba rješenja valjana?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Osnovna svojstva

    Kvantni oscilator

    ϕ(x) ∼

     Ae−

    (βx)2

    2 , |x | > x0

    Ae±ikx , |x | < x0

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Contents

    1 Osnovna svojstva

    2 Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    3 Svojstvene funkcije kvantnog harmonijskog oscilatora

    4 Princip korespondencije

    5 Trodimenzionalni kvantni harmonijski oscilator

    6 Literature

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Operatori stvaranja i ponǐstavanja

    a = β√ 2

    ( x +

    ip

    ) a† =

    β√ 2

    ( x − ip

    )

    Pitanje

    Da li je operator a Hermitski?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Operatori stvaranja i ponǐstavanja

    Komutacijska relacija

    [x , p] = i~ DZ⇒

     [ a, a†

    ] = 1

    aa† = 1 + a†a

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Operatori stvaranja i ponǐstavanja

    [ a, a†

    ] = 1

    +

    x DZ =

    a + a†

    β √

    2

    p DZ =

    i

    a− a†

    β √

    2

     ⇒ H = ~ω

    ( aa† + 1

    )

    H ! N ≡ a†a

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Svojstvene vrijednosti

    Pretpostavimo Nϕn = nϕn

    ⇒ Na†ϕn = a†aa†ϕn = a†(a†a + 1)ϕn = a†(N + 1)ϕn

    = a†(n + 1)ϕn = (n + 1)a †ϕn

    ⇒ a†ϕn = ϕn+1 , ∀n

    a† operator stvaranja (podizanja)

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Svojstvene vrijednosti

    Pretpostavimo Nϕn = nϕn

    ⇒ Naϕn = a†aaϕn = (aa† − 1)aϕn = a(a†a− 1)ϕn = a(N − 1)ϕn = a(n − 1)ϕn = (n − 1)aϕn

    ⇒ aϕn = ϕn−1 , ∀n

    a operator ponǐstavanja (spuštanja)

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Svojstvene vrijednosti

    Pitanje

    Koliko iznosi očekivanje od H?

    Igor Lukačević Kvantni harmonijski oscilator

  • Kvantni harmonijski oscilator

    Svojstvene vrijednosti kvantnog harmonijskog oscilatora

    Svojstvene vrijednosti

    Pitanje

    Koliko iznosi očekivanje od H?

    Hϕn = ~ω ( N +

    1

    2

    ) ϕn = ~ω

    ( n +

    1

    2

    ) ϕn

    En = 〈ϕn|H|ϕn〉 = ~ω ( n +

    1

    2

    ) DZ

    ≥ 0