L osungen 265 Kom binatorik - web4.wzw.tum.de · enn ab er b ei einem runden Tisc h eine Dreh ung um 360 5 als glei-c ... sind dies sec hs M oglic hk eiten des Gewinns. Y ... app

L�osungen 265

9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeits-

rechnung

Kombinatorik

9.1 a) 6 � 6 � 6 = 63 = 216

b) 2 � 6 � 6 = 2 � 62 = 72 f�ur die erste Stelle nur 2 und 3 m�oglich

c) 6 � 6 � 2 = 72 als Endzi�er nur 2 oder 6 m�oglich

d) 6 � 6 � 4 = 144

e) 6 � 6 � 1 = 36 als Endzi�er nur 5 m�oglich

9.2 a) 4 + 42 = 20 (einstellige und zweistellige)b) die H�alfte davon, also 10

9.3

�5

2

��7

2

�=

5!

2! � 3! �7!

2! � 5! =5 � 42

� 7 � 62

= 210

9.4 Auswahl von 3 K�uhen aus 6 K�uhen: C(3)6 =

�6

3

�= 20

Auswahl von 2 Schweinen aus 5 Schweinen: C(2)5 =

�5

2

�= 10

Auswahl von 4 H�uhnern aus 8 H�uhnern: C(4)8 =

�8

4

�= 70

Gesamtzahl der Arten die Auswahl zu tre�en:

�6

3

��5

2

��8

4

�=

20 � 10 � 70 = 14000

9.5 M�oglichkeiten 4 Mathematikb�ucher aufzustellen: 4! = 24

M�oglichkeiten 3 Geschichtsb�ucher aufzustellen: 3! = 6

M�oglichkeiten 3 Chemieb�ucher aufzustellen: 3! = 6

M�oglichkeiten 2 Biologieb�ucher aufzustellen: 2! = 2

M�oglichkeiten 4 unterschiedliche Buchgruppenanzuordnen: 4! = 24

Summe aller m�oglichen Variationen: 4! � (4! � 3! � 3! � 2!) =41472

266 9 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

9.6 a) Kombination ohne Wiederholung: C(k)n =

�n

k

�

n = 10 und k = 3

C(3)10 =

�10

3

�= 120

b) Variationen ohne Wiederholung: V(k)n =

n!

(n� k)!n = 10 und k = 3

V(3)10 =

10!

(10� 3)!= 10 � 9 � 8 = 720

9.7 Permutation mit Wiederholung: ~P9 =9!

2! � 3! � 4! = 1260

9.8 a) Kombinationen ohne Wiederholung: C(k)n =

�n

k

�

n = 26 und k = 3: C(3)26 =

�26

3

�=

26 � 25 � 243 � 2 � 1 = 2600

b) Kombinationen mit Wiederholung: ~C(k)n =

�n+ k � 1

k

�

n = 26 und k = 3: ~C(3)26 =

�26 + 3� 1

3

�=

28 � 27 � 263 � 2 � 1 = 3276

9.9

�10

4

�=

10!

4! � 6! = 210

und�8

4

��2

0

�=

8!

4! � 4! �2!

0! � 2! = 70

�8

3

��2

1

�=

8!

3! � 5! �2!

1! � 1! = 112

�8

2

��2

2

�=

8!

2! � 6! �2!

2! � 0! = 28

9.10 KombinationmitWiederholungen: ~C(k)n =

�n+ k � 1

k

�=

�n+ k � 1

n� 1

�

n = 3 und k = 10

~C(10)3 =

�3 + 10� 1

3� 1

�=

�12

2

�=

12 � 112

= 66

L�osungen 267

9.11 a) 8! = 40 320 b)8!

4! � 2! � 2! = 420

9.12 a) 5! = 120 bei Unterscheidung nach St�uhlen.Wenn aber bei einem runden Tisch eine Drehung um 360�

5 als glei-che Anordnung gilt, ist die Zahl der M�oglichkeiten auf 1

5 davon ge-

schrumpft, so da� es nur noch 5!5 = 4! = 24 M�oglichkeiten sind.

Anders ausgedr�uckt: Die Dame, die zuerst Platz nimmt, kann aneinem runden Tisch die Anordnung der Damen zueinander nicht be-ein ussen, so da� eben nur noch 4! = 24 Anordnungsm�oglichkeitenbleiben.

b) 1. Herr: 5 M�oglichkeiten2. Herr: 4 M�oglichkeiten3. Herr: 3 M�oglichkeitensomit ergeben sich 5 � 4 � 3 = 60 M�oglickeiten insgesamt.Hier mu� die Anordnung jedes einzelnen Herrn ber�ucksichtigt wer-den, da es schlie�lich nicht egal ist, zwischen welchen beiden Damenman sitzt.

oder:

Von 5 Pl�atzen 3 w�ahlen:

�4

3

�M�oglichkeiten

Herren auf diese Pl�atze verteilen: 3! M�oglichkeiten

somit ergeben sich:

�5

3

�� 3! = 60 M�oglichkeiten

9.13 a) Permutation ohne Wiederholung: Pn = n!4! = 24 Anordnungen

b) Variation ohne Wiederholung: V(k)n =

n!

(n� k)!

V(3)4 = 24 > 20) Anzahl reicht

c) Variation mit Wiederholung: ~V(k)n = nk

~V(3)4 = 43 = 64

d) k = 2 : ~V(2)4 = 16 < 20) Anzahl reicht nicht

9.14 a) V(9)20 =

20!

(20� 9)!=

20!

11!= 6:1 � 1010

b) ~V (9)20 = 209 = 5:1 � 1011


Berechnung der Wahrscheinlichkeit

9.15 X gewinnt, falls sich beim W�urfeln folgende Paarungen ergeben:

(1; 1) (2; 2) (3; 3) (4; 4) (5; 5) (6; 6)

Wie man sieht, sind dies sechs M�oglichkeiten des Gewinns.

Y gewinnt bei folgenden Kombinationen (man unterscheidet zwischenden zwei W�urfeln):

(1; 2) (2; 1) (2; 4) (4; 2) (3; 6) (6; 3)

Hier hat man wiederum sechs M�oglichkeiten zu gewinnen.

9.16 P(blau):

Die Lose sind entweder blau, rot oder gelb. Die Wahrscheinlichkeit, einblaues oder rotes oder gelbes Los zu ziehen, ist also 1. Demnach ergibtsich P (blau) aus den Komplement von P (rot) und P (gelb):

P (blau) = 1� P (rot) � P (gelb) =1

2P(gezogenes Los tr�agt gerade Nummer):

Bei einer geraden und durchnumerierten Anzahl von Losen gibt es ge-nauso viele Lose mit gerader wie mit ungerader Nummer. Die Chance,eine gerade Nummer zu ziehen, ist also 50%:

P (gezogenes Los tr�agt gerade Nummer) =1

2P(rot und gerade):

Da Farbe und Losnummerr voneinander unabh�angig sind, braucht mandie entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nur miteinander zu multipli-zieren:

P (rot und gerade) = P (rot) � P (gerade) = 1

8P(gelb oder ungerade):

P (ungerade) = P (gerade) =1

2(siehe oben)

P (gelb) =1

4

P (gelb und ungerade) =1

4� 12=

1

8wegen der Unabh�angigkeit

P (gelb oder ungerade)

= P (gelb) +P (ungerade) �P (gelb und ungerade) =5

8

L�osungen 269

P(gelb oder blau):

P (gelb oder blau) = P (gelb) + P (blau), da gelb und blauunvereinbar

=1

4+

1

2=

3

4

9.17 Bei solchen \Laplace-Experimenten" ergibt sich die Wahrscheinlichkeitf�ur das Auftreten eines bestimmten Ereignisses aus dem Quotienten derf�ur dieses Ereignis positiven M�oglichkeiten und den insgesamt m�ogli-chen Kombinationen: Ein W�urfel hat sechs Zahlen. Jeder der hier ver-wendeten vier W�urfel ist von den anderen unabh�angig. Bei einem Wurfgibt es f�ur das Aussehen des erh�altlichen 4-Tupels 6 � 6 � 6 � 6 = 1296M�oglichkeiten. Eine dieser M�oglichkeiten ist es, genau vier Einser zuerhalten: (1; 1; 1; 1). Die Wahrscheinlichkeit, keinen vierfachen Ein-ser zu erhalten, ist bei einem Wurf demnach 1 � 1

1296 = 12951296, bei n-

maliger Durchf�uhrung des Experiments�12951296

�n. Gesucht ist die Anzahl

n der n�otigen W�urfe, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal(1; 1; 1; 1) zu erhalten, gr�o�er als 0:01 ist. Das is gleichbedeutenddamit, da� die Wahrscheinlichkeit, kein einziges Mal (1; 1; 1; 1) zuerhalten, kleiner als 1� 0:01 = 0:99 sein mu�. Also�1295

1296

�n

< 0:99 )

ln 0:99 > n � ln�1295

1296

�)

n >ln 0:99

ln

�1295

1296

� � 13:02

Eine gebrochene Anzahl von W�urfen (13:02) gibt es nicht, man mu� alsomindestens 14 mal w�urfeln, um dem Geforderten exakt zu entsprechen.Wenn man jedoch 13 mal w�urfelt, verfehlt man die geforderte Wahr-scheinlichkeit von 1% nur �au�erst knapp.

9.18 Ist die M�unze symmetrisch, so gilt f�ur jeden Wurf:

P (Kopf) = P (Wappen) =1

2

Es gibt ferner�53

�M�oglichkeiten, bei f�unf W�urfen dreimal \Kopf" zu

erhalten. Die anderen zwei Male soll \Wappen" erscheinen, also gilt:

P (3 Kopf, 2 Wappen) =

�5

3

��1

2

�3

��1

2

�2

= 0:3125


Andere L�osungsm�oglichkeit: Es gibt insgesamt�53

�g�unstige und 25 m�og-

liche unvereinbare gleischwahrscheinliche Ereignisse, also

P (3 Kopf, 2 Wappen) =

�5

3

�

25= 0:3125

9.19 Bei dreimaligemW�urfeln mit einemW�urfel gibt es 6�6�6 = 216 M�oglich-keiten f�ur das resultierende Tripel. Die Zahl 3 ergibt sich nur aus derKombination (1; 1; 1). Demnach gilt: P (Augensumme = 3) = 1

216. DasGleiche gilt f�ur die Augensumme 18, die sich nur aus (6; 6; 6) ergibt,also P (Augensumme = 18) = 1

216. Um die Zahl 12 als Augensumme zuerhalten, kombiniert man wie folgt: (1; 5; 6), (2; 4; 6), (3; 4; 5) mit je-weils 3! = 6 Permutation, (2; 5; 5), (6; 3; 3) mit jeweils 3 Permutationensowie (4; 4; 4). Es gibt also insgesamt = 6 � 3 + 3 � 2 + 1 = 25 g�unstigevon 216 m�oglichen unvereinbaren gleichwahrscheinichen Ereignissen.

Also P (Augensumme = 12) =25

216

9.20 P (A = 3) = 1 P (B = 2) =2

3P (B = 5) =

1

3

P (C = 1) =1

3P (C = 4) =

2

3

a) P (A > B) = P (B = 2) =2

3b) P (B > C) = P (fB = 2g � fC = 1g+ fB = 5g � fC = 4g+

fB = 5g � fC = 1g)

=2

3� 13+

1

3� 23+

1

3� 13=

5

9

9.21 a) n = Anzahl der Studenten

x = Anzahl der Chinesen

P (die ersten 5 sind alle Chinesen)

=x(x� 1)(x� 2)(x� 3)(x� 4)

n(n� 1)(n� 2)(n� 3)(n� 4)=

1

2)

2x(x� 1)(x� 2)(x� 3)(x� 4) = n(n� 1)(n� 2)(n� 3)(n � 4)

Bekannt: n � 10

F�ur n = 10; x = 9 ist obige Gleichung erf�ullt, denn

2 � 9 � 8 � 7 � 6 � 5 = 10 � 9 � 8 � 7 � 6b) n = 15, 3 Chinesen, 2 Deutsche

P (die ersten 3 sind Chinesen oder Deutsche)

=5

15� 4

14� 3

13=

2

7 � 13 =2

91= 0:022

L�osungen 271

9.22 P (unter 3 gezogenen Karten genau 1 Bube) =

�3

1

�� 432� 2831� 2730

= 0:305

oder:

P (unter 3 gezogenen Karten genau 1 Bube) =

�4

1

��28

2

��32

3

� = 0:305

9.23 a) Variation ohne Wiederholung n = 5; k = 3

n!

(n � k)!=

5!

(5� 3)!=

5!

2!=

1 � 2 � 3 � 4 � 51 � 2 = 60

gesamte M�oglichkeiten: 60g�unstige M�oglichkeiten: 1

P (Gewinn) =1

60

P (Verlust) = 1� 1

60=

59

60

b) Kombination ohne Wiederholung�n

k

�=

n!

k!(n� k)!=

5!

3!(5� 3)!=

5!

3! 2!=

1 � 2 � 3 � 4 � 51 � 2 � 3 � 1 � 2 = 10

m�ogliche unvereinbare gleichwahrscheinliche Ereignisse: 10g�unstige unvereinbare gleichwahrscheinliche Ereignisse: 1

P (Gewinn) =1

10

P (Verlust) = 1� 1

10=

9

10

c) zu a)

P (1.Zug = a) =1

5

P (2.Zug = b j 1. Zug = a) =1

4

P (3.Zug = c j 1.Zug = a und 2.Zug= b) =1

3

P (Gewinn) = P (A1; A2; A3) =1

5� 14� 13=

1

60


zu b)

P (1.Zug 2 fa; b; cg) = 3

5

P (2.Zug 2 fa; b; cgj1.Zug 2 fa; b; cg) = 2

4

P (3.Zug 2 fa; b; cgj1.und 2. Zug 2 fa; b; cg) = 1

3

) P (Gewinn) =3

5� 24� 13=

1

10

9.24 a) Um mehr als 10 DM zu gewinnen, mu� man mindestens dreimalgewinnen (bei nur zweimaligem Gewinn gewinnt man nur 10 DM �3 � 0:50 DM = 8:50 DM).Bei f�unf Versuchen gibt es

�53

�M�oglichkeiten, dreimal zu gewinnen,�5

4

�M�oglichkeiten viermal zu gewinnen, und eine M�oglichkeit f�unfmal

zu gewinnen. Ferner betr�agt f�ur jedes Spiel, die Wahrscheinlichkeitzu gewinnen p = 0:3, also die zu verlieren q = 0:7.

P (G > 10 DM) =

�5

3

��0:33 �0:72+

�5

4

��0:34 �0:7+1 �0:35 = 0:1631

b) Da man bei einem Gewinn schon 5 DM verdient und in 4 Verlustspie-len nur 4�0:50DM = 2 DM verlieren kann, machtman �uberhaupt nurein Minus, wenn man alle 5 Spiele verliert. Die Wahrscheinlichkeitf�ur das Komplement dieses Ereignisses ist gesucht:

P (G � �1 DM) = 1� 0:75 = 0:8319

c) E(X) = n � p = 10 � 0:3Var(X) = n � p � q = 10 � 0:3 � 0:7 = 2:1

9.25 P (mindestens zwei am gleichen Tag) = 1� P (jeder an anderem Tag)

= 1� 365

365� 364365

� � � � � 365� 29

365= 1� 365 � 364 � � � � � 336

36530= 0:706

9.26 Aus Symmetriegr�unden ist die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug einenK�onig zu ziehen, genauso gro� wie im ersten Zug (also auch genauso gro�wie beim Ziehen mit Zur�ucklegen), n�amlich 4

32 = 18 . Das gilt jedoch nur,

bevor man die beiden Z�uge macht. Hat man n�amlich die erste Kartebereits gezogen, so h�angt die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug einenK�onig zu ziehen, nat�urlich vom Ergebnis des ersten Zugs ab. Ist dieserein K�onig, so ist die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug einen K�onig zuziehen 3

31 , ansonsten431 .

Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug einen K�onig zu ziehen, bevorman die erste Karte gezogen hat, ergibt sich auch als gewichtetes Mittelobiger Wahrscheinlichkeiten 3

31und 4

31, und zwar gewichtet nach den

L�osungen 273

Wahrscheinlichkeiten, im ersten Zug einen bzw. keinen K�onig zu ziehen;denn

P (2.Zug K�onig)= P (1.Zug K�onig und 2.Zug K�onig) +P (1.Zug kein K�onig und 2.Zug K�onig)

= P (1.Zug K�onig) �P (2.Zug K�onig j 1.Zug K�onig) +P (1.Zug kein K�onig) �P (2.Zug K�onig j 1.Zug kein K�onig)

=4

32� 3

31+

28

32� 4

31=

1

8

9.27 a) Insgesamt gibt es 5 + 3 + 4 = 12 Kugeln.Es gibt 5 rote Kugeln, also 5 M�oglichkeiten, eine rote Kugel zu ziehen:

P (rot) =5

12

b) Analog ist hier P (blau) =4

12c) Man kann 5+3 = 8 Kugeln ziehen, die rot oder gr�un sind, also P (rot

oder gr�un) =8

12d) Keine blaue Kugel sagt in diesem Fall dasselbe aus wie rote oder

gr�une Kugeln, demnach gilt:

P (nicht blau) =8

12

9.28 Die Grundgesamtheit besteht hier aus 6 � 6 = 36 Paaren (jeder W�urfelhat 6 Zahlen!)

a) Nur das Paar (6; 6) liefert die Augensumme 12, also P (12) =1

36

b) Gr�o�er als 12 kann die Augensumme sowieso nicht werden, dieserAufgabenteil fragt also praktisch das gleiche wie a) :

P (mindestens 12) = P (12) =1

36

c) Auf jedemW�urfel sind sechs Zahlen, drei davon sind gerade und dreiungerade. Kombiniert man z.B. die m�ogliche Augenzahl 1 des erstenW�urfels der Reihe nach mit den m�oglichen Augenzahlen 1, 2, 3, : : :des anderen W�urfels, so ist die Augensumme abwechselnd geradeund ungerade. Dasselbe gilt f�ur jede andere Augenzahl des erstenW�urfels. Eine gerade Augensumme zu erwischen, ist also genausowahrscheinlich wie eine ungerade, n�amlich 1

2 .

9.29 Auf den ersten Blick scheinen sich die Wahrscheinlichkeiten von a) undb) nicht zu unterscheiden. Jedoch sind die m�oglichen unvereinbarengleichwahrscheinlichen Ereignisse in a) (M,J), (J.M), (J,J), w�ahrend sie


in b) nur (J,M) und (J,J) sind. Das g�unstige Ereignis ist jeweils (J,J),also

a) P ((J,J)) =1

3= P (anderes Kind auch Junge)

b) P ((J,J)) =1

2= P (j�ungeres Kind auch Junge)

9.30 Drei W�urfe eines W�urfels bieten 63 = 216 M�oglichkeiten f�ur das resul-tierende Tripel. Die Augensumme geht von minimal 3 f�ur (1; 1; 1) bismaximal 18 f�ur (6; 6; 6).

a) Mindestens 5 zu erreichen hei�t, nicht 3 oder 4 zu bekommen. DieZahl 3 als Augensumme ergibt sich aus (1; 1; 1), die Zahl 4 aus(1; 1; 2) mit seinen 3 Permutationen. Das macht zusammen 4M�oglich-keiten:

P (mindestens 5) = 1� P (3 oder 4) = 1� 4

216= 0:981

b) H�ochstens eine Augensumme von 5 bedeutet: 3 mit(1; 1; 1); 4 mit (1; 1; 2) und den 3 m�oglichen Permutationen; 5mit (2; 2; 1) oder (1; 3; 1) und jeweils 3 Permutationen davon.Insgesamt ergeben sich also 1+ 1 � 3 + 1 � 3+ 1 � 3 = 10 M�oglickeiten.

P (h�ochstens 5) = P (3 oder 4 oder 5) =10

216= 0:046

c) Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu erwischen,

5

6; bei 3 W�urfen also

�5

6

�3

. Mindestens eine 6 zu w�urfeln ist das

Komplement von nie eine 6 zu w�urfeln:

P (mindestens eine 6) = 1��5

6

�3

= 0:421

9.31 Die erste Zi�er eines vierzi�rigen Autokennzeichens kann nur Zahlenzwischen 1 und 9 annehmen, die weiteren drei auch die Zahl 0. Damit er-geben sich 9�10�10�10 = 9 000 Kombinationsm�oglichkeiten f�ur ein Schild.Damit die Zi�ern in aufsteigender Folge angeordnet sind und direkt auf-einanderfolgen, sind folgende Kennzeichen m�oglich: 1234; 2345; 3456;4567; 5678; 6789

P (gesuchten Reihenfolge) =6

9 000� 7 � 10�4

L�osungen 275

9.32 F�ur zwei unabh�angige Ereignisse A und B gilt: P (A\B) = P (A) �P (B)1. P (A) = P (A \B) + P (A \B) )P (A \B) = P (A)� P (A \B)

= P (A)� P (A) � P (B)= P (A) � (1� P (B))= P (A) � P (B) q.e.d.

2. analog zu 1.

3. P (A \B) = P (A [B)= 1� P (A [B)= 1� P (A)� P (B) + P (A \B)= 1� P (A)� P (B) + P (A) � P (B)= (1� P (A)) � (1� P (B))= P (A) � P (B) q.e.d.

9.33 G�unstigerweise berechnet man zun�achst die Wahrscheinlichkeit daf�ur,da� keine 2 Autos in den 3 Endzi�ern �ubereinstimmen und bildet an-schlie�end das Komplement. Die drei Endzi�ern nehmen Werte von 0bis 9 an, es gibt also 10�10�10 = 1000 m�ogliche Kombinationen allein aufGrund dieser drei Zi�ern. Damit sich jedes Kennzeichen vom anderenunterscheidet, kommen f�ur das erste Auto 1000 Nummern in Frage, f�urdas zweite nur noch 999, f�ur das dritte 998 usw. bis zum 20. Auto,f�ur das es noch 981 M�oglichkeiten gibt. F�ur Auto i sind 1000 Tripelm�oglich, g�unstig sind: 1000 � i + 1. Die Wahrscheinlichkeit, da� sichalle Tripel voneinander unterscheiden, ist dann: P (alle verschieden) =

1000 � 999 � 998 � 997 � � � � � 981100020

= 0:826

) P (mindestens 2 gleiche) = 1� 0:826 = 0:174

9.34 a) Binomialverteilung (Bernoulli): n = 100, k = 1, p = 0:04

P (X = 1) = p(100; 1; 0:04) =

�100

1

�� 0:041 � 0:9699

= 100 � 0:04 � 0:018= 0:070

Approximation durch Poisson-Verteilung:k = 1, � = n � p = 100 � 0:04 = 4

P (X = 1) = p(1; 4) =41

1!� e�4 = 0:073)


b) P (X � 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0:96100+ 0:070 = 0:087

Approximation durch Poisson-Verteilung:

P (X � 1) = P (X = 0) + P (X = 1) =40

0!e�4 + P (X = 1)

= e�4 + 0:073 = 0:091

c) P (X � 2) = 1�P (X � 1) = 0:913 (Poisson-Approximation: 0.909)

9.35 a) 0:7 � 0:4 � 0:7 � 0:7 � 0:8 � 0:7 = 0:077 = 7:7%

b) nicht unabh�angig (z.B. Mathe gut ) Physik gut)

c) 0:6 � 0:5 � 0:4 � 120 = 14:4 � 14

d) 0:6 � 0:8 = 0:48 = 48%

9.36 a) P (drei leere) =1

4� 14� 14=

1

64� 1:6%

b) Genauso gro� wie im ersten Zug: 520 = 1

4 , also auch genauso gro�wie ohne Zur�ucklegen. Zum besseren Verst�andnis sei hier auf dieausf�uhrlichere L�osung der �ahnlichen Aufgabe 9.26 verwiesen.

9.37 a) 43000 M�oglichkeiten. Diese Zahl berechnet der Taschenrechner nichtmehr.

43000 = 10k ) 3000 � lg 4 = k = 1806:18 ) 43000 = 101806:18 =

100:18 � 101806 = 1:5 � 101806

b) 4n � 20 ) n = 3

c) P (Kettenende) =3

43=

3

64= 0:047 = 4:7%

9.38 a) P5 = 5! = 120

b) eP5 = 5!

3! � 2! =120

12= 10

c)eP55

=10

5= 2

d) P (G) =2

5= 0:4 = 40%

e) Genauso gro� wie beim ersten St�uck, n�amlich 35 = 60%. Zum besse-

ren Verst�andnis sei auf die L�osung der Aufgabe 9.26 verwiesen.

L�osungen 277

9.39 a) eP =4!

2! � 1! � 1! = 12

b)

�4

2

�=

4!

2! � 2! = 6

c) 0:53 = 0:125 = 12:5%

d) Genauso gro� wie beim ersten Zug, n�amlich 24 = 1

2 (vgl. Aufgabe9.26).

Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes

9.40 B: Einstufung Tbc-KrankA1: wirklich Tbc-KrankA2: wirklich nicht Tbc-Krank

P (A1jB) =P (A1) � P (BjA1)

P (A1) �P (BjA1) + P (A2) � P (BjA2)

=0:001 � 0:9

0:001 � 0:9 + 0:999 � 0:01� 8:3%

9.41 Voraussetzung: P (GkjSi) = P (GkjSiA) = P (GkjSiB)

P (GkjA) =P (GkA)

P (A)=

Xi

P (GkASi]

P (A)

=Xi

P (ASi) �P (GkjASi)P (A)

=Xi

P (ASi)

P (A)�P (GkjSi)

=Xi

P (SijA) � P (GkjSi)

Analog: P (GkjB) =Pi

P (SijBj) � P (GkjSi), im einzelnen:

P (G1jA) = 0:25 � 0:1 + 0:5 � 0:3 + 0:25 � 0:5 = 0:3P (G2jA) = 0:25 � 0:4 + 0:5 � 0:3 + 0:25 � 0:5 = 0:375P (G3jA) = 0:25 � 0:5 + 0:5 � 0:4 + 0:25 � 0 = 0:325P (G1jB) = 0:3 � 0:1 + 0:3 � 0:3 + 0:4 � 0:5 = 0:32P (G2jB) = 0:3 � 0:4 + 0:3 � 0:3 + 0:4 � 0:5 = 0:41P (G3jB) = 0:3 � 0:5 + 0:3 � 0:4 + 0:4 � 0 = 0:27


9.42 a) A sei das Ereignis, ein qualit�atsgerechte Erzeugnis zu erhalten.

P (A) =18

20= 0:9

b) Eine der durchzuf�uhrenden Auswahl vorangegangene Auswahl einerqualit�atsgerechten Einheit sei das Ereignis B

P (AjB) = 18� 1

20� 1=

17

19= 0:895

c) P (AjB) = 18

19= 0:947

9.43 a) Mit Ai; i = 1; 2; 3; 4 sei das zuf�allige Ereignis, Verkehrsmittel izu benutzen, bezeichnet, und B sei das Ereignis, da� der Fahrgastbef�ordert werden kann.B = (B \A1) [ (B \A2) [ (B \A3) [ (B \A4)

P (B) = P (A1 [B) + P (A2 [B) + P (A3 [B) + P (A4 [B)= P (A1) � P (BjA1) + P (A2) � (BjA2)++ P (A3) �P (BjA3) + P (A4) � (BjA4)

= 0:5 � 0:9 + 0:1 � 0:95 + 0:15 � 0:7 + 0:25 � 0:8= 0:85

b) Die Wahrscheinlichkeit, einen Fahrgast nicht bef�ordern zu k�onnen,betr�agt

P (B) = 1� P (B) = 0:15

Die Verteilung der St�orungsreserve auf die Verkehrsmittel mu� denWahrscheinlichkeiten f�ur die Benutzung der Verkehrsmittel (Ai) ent-sprechen, jeweils unter der Bedingung, da� der Fahrgast nicht bef�ordertwerden kann (B):

P (A1jB) = P (A1 �B)P (B)

=P (A1) � P (BjA1)

P (B)=

0:5 � 0:10:15

=1

3

P (A2jB) =0:1 � 0:050:15

=1

30

P (A3jB) = 0:15 � 0:30:15

=3

10

P (A4jB) = 0:25 � 0:20:15

=1

3

9.44 a) Der Aufgabe 1.45 entnimmt man, da� im Glashaus 10 Salatk�opfe dieEigenschaft A oder B haben, ferner, da� von den 100 K�opfen 40 imGlashaus sind. Damit ergibt sich f�ur

P (Glashaus \ (A [B) =10

100= 0:1

L�osungen 279

P (A [Bj aus Glashaus genommen) =10

40= 0:25

b) Acht Salatk�opfe aus dem Glashaus haben nur eine der EigenschaftenA oder B, w�ahrend zehn die EigenschaftA oder B, d.h. mindestenseine der Eigenschaften A oder B haben. Demnach haben zwei K�opfedie Eigenschaften A und B und sind im Glashaus:

P (Glashaus \ (A \B)) =2

100= 0:02

P (A \Bj aus Glashaus genommen) =2

40= 0:05

Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz

9.45 Hinsichtlich der m�oglichen unvereinbaren gleichwahrscheinlichen Ereig-nisse (MUGE) mu� die Reihenfolge der W�urfe ber�ucksichtigt werden,da andernfalls die Ereignisse nicht gleich wahrscheinlich w�aren. Also istMUGE = 2n = 24. G�unsig sind alle Viertupel, die genau x-mal Kopfzeigen. Es gibt insgesamt GUGE =

�nx

�=�4x

�solcher Viertupel. Somit

gilt:

f(x) = P (X = x) =GUGE

MUGE=

�n

x

�

2n=

�4

x

�

16

Im einzelnen: f(0) = P (X = 0) =1

16= P (X = 4) = f(4)

f(1) = P (X = 1) =4

16= P (X = 3) = f(3)

f(2) = P (X = 2) =6

16

0 1 2 3 4x

0

2/16

4/16

6/16

8/16

f(x)

2/16

8/16

16/16

F(x)

0 1 2 3 4x


9.46 Die Grundgesamtheit besteht aus acht Artikeln, zwei davon sind defekt.X = Anzahl der defekten Artikel unter vier.

Es gibt�84

�M�oglichkeiten vier Artikel aus acht zu ziehen und

�6k

�M�oglich-

keiten k der sechs intakten Artikel zu erhalten, die mit den� 24�k

�M�oglich-

keiten kombiniert werden k�onnen, 4� k aus den zwei defekten zu erhal-ten:

f(0) = P (X = 0) =

�2

0

��6

4

��8

4

� =

�6

4

��8

4

� =15

70

f(1) = P (X = 1) =

�2

1

��6

3

��8

4

� = 2 �

�6

3

��8

4

� =40

70

f(2) = P (X = 2) =

�2

2

��6

2

��8

4

� =

�6

2

��8

4

� =15

70

10/70

50/70

f(x)

0 1 2x

10/70

70/70

F(x)

0 1 2x

L�osungen 281

9.47 a)

1/2

1

F(x)

-1 0 1 2 3x

1/6

b) P (X � 1) =1

2

P (X = 1) =1

2� 1

4=

1

4

P (�1 < X � 2) =2

3� 1

4=

5

12

P (�1 � X < 2) =1

2� 0 =

1

2

P (X < 3) =2

3

P (1:5 < X < 2:7) =2

3� 1

2=

1

6

P (X < 3:3) = 1

9.48 E(X) = 500 � 1

1 000+ 100 � 4

1 000+ 10 � 5

1 000� 1|{z}

Einsatz

= �0:05 [DM]

Man hat also einen Verlust von 5 Pfennig zu erwarten.

9.49 E(G0) = 0

E(G1) = 0:1 � (�0:50) + 0:4 � (1:00) = 0:35

E(G2) = 0:1 � (�1:00) + 0:4 � (0:50) + 0:3 � (2:00) = 0:70

E(G3) = 0:1 � (�1:50) + 0:4 � (0:00) + 0:3 � (1:50) + 0:2 � (3:00) = 0:90

) Der H�andler wird drei Blumen einkaufen.

9.50 a) Bei zwei W�urfeln gibt es 6 � 6 = 36 Kombinationen f�ur das resultie-rende Zahlenpaar. Hans gewinnt bei 15 Kombinationen:(1; 1) (2; 2) (3; 3) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (2; 3)(2; 4) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5; 1) (3; 2) (4; 2)


Also P (Hans gewinnt) =15

36=

5

12= 0:417

P (Otto gewinnt) = 1� P (Hans gewinnt) = 0:583

b) Hans: Die Wahrscheinlichkeit, ein Spiel zu verlieren ist jeweils 712 , er

verliert dabei zwei Perlen. Gewinnt er, mit Wahrscheinlichkeit 512 ,

so bekommt er drei Perlen. Die Der Erwartungswert des GewinnsGHans bei 20 Spielen ergibt sich somit zu:

E(GHans) = 20 � 3 5

12� 20 � 2 � 7

12=

5

3

Das Spiel ist also f�ur Hans g�unstig, f�ur Otto dagegen ung�unstig, derbei 20 Spielen einen Verlust von 5

3 Perlen zu erwarten hat (E(GOtto) =�5

3). Fair w�are es, wenn der Erwartungswert des Gewinns jeweils 0w�are.

9.51 Man kann von sechs Kuglen zwei Kugeln auf�62

�Arten ziehen. Soll keine

wei�e Kugel dabei sein, kann man ferner zwei rote von den vier rotenKugeln auf

�42

�Arten ziehen; soll eine wei�e Kugel gezogen werden, was

auf zwei Arten m�oglich ist, so kann die andere Kugel noch aus demReservoir von vier roten Kugeln gezogen werden. Will man zwei wei�eKugeln ziehen, so geht das nur auf eine Art, weil es nur zwei wei�eKugeln gibt:

f(0) = P (X = 0) =

�4

2

��6

2

� =6

15= 0:40

f(1) = P (X = 1) =2 � 4�6

2

� =8

15= 0:53

f(2) = P (X = 2) =1

15= 0:07

F (x) =

8>><>>:

0 f�ur x < 06=15 f�ur 0 � x < 114=15 f�ur 1 � x < 21 f�ur 2 � x

9.52 Man mu� vier F�alle unterscheiden: Es werden drei rote (x = 3), zweirote (x = 1), eine rote (x = �1) oder keine rote (x = �3) Kugel gezogen.Insgesamt gibt es

�103

�M�oglichkeiten f�ur das Ziehen von drei aus zehn

Kugeln, so da� sich f�ur die einzelnen F�alle wie in 9.51 ergibt:

L�osungen 283

f(3) = P (X = 3) =

�7

3

��10

3

� =7

24f(1) =

�7

2

��3

1

��10

3

� =21

40

f(�1) =

�7

1

��3

2

��10

3

� =7

40f(�3) =

�3

3

��10

10

� =1

120

F (x) =

8>>>><>>>>:

0 f�ur x < �31=120 f�ur �3 � x < �111=60 f�ur �1 � x < 117=24 f�ur 1 � x < 31 f�ur 3 � x

9.53 a)X

P (X = x) = 1 ) 1

4+

1

5+

1

4+

1

5+ a+ a = 1

) a =1

20

P (X = x) =

8>><>>:

1=4 f�ur x = 1 _ x = 31=5 f�ur x = 2 _ x = 41=20 f�ur x = 5 _ x = 60 sonst

b) E(X) =X

x � P (X = x)

= 1 � 14+ 2 � 1

5+ 3 � 1

4+ 4 � 1

5+ 5 � 1

20+ 6 � 1

20

= 1 +24

20+

11

20=

55

20=

11

4= 2:75

E(X2) =X

x2 � P (X = x)

= 1 � 14+ 4 � 1

5+ 9 � 1

4+ 16 � 1

5+ 25 � 1

20+ 36 � 1

20

=50

20+

80

20+

61

20=

191

20

V (X) = E(X2)� (E(X))2 =191

20� 121

16=

159

80= 1:988


c) F (x) =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

0 f�ur x < 10:25 f�ur 1 � x < 20:45 f�ur 2 � x < 30:70 f�ur 3 � x < 40:90 f�ur 4 � x < 50:95 f�ur 5 � x < 61 f�ur 6 � x

d) P (1 � X � 3) = F (3)� F (1� h) =14

20� 0 =

14

20= 0:7

P (X < 1) = 0

P (X < 7) = 1

P (X = 7) = 0

P (X = 5) =1

20

P (X > 4) = 1� P (X � 4) == 1� F (4) =1

10

e) F (x50%) =1

2) x50% existiert nicht in dem strengen Sinn, da�

F (x50%) = 50% ist! Der Median 3 ist jedoch in dem Sinn die 50%-Fraktile, als P (X � 3) � 50% und P (X � 3) � 50% gilt.

F (x90%) =9

10=

18

20) 4 � x90% < 5

9.54 a) a1 und b1 ergeben sich aus zwei Punkten der Geraden y = a1x+ b1:

�2a1 + b1 = 0

� a1 + b1 =1

5)

a1 =1

5und b1 =

2

5

Durch Berechnen der Fl�ache von �2 bis x kommmt man zur Vertei-lungsfunktion, die an der Stelle c den Wert 1 haben mu�. Das ergibteine Bedingung f�ur c und damit auch f�ur a2 und b2. An der Stelle 2

hat die Verteilungsfunktion F n�amlich den Wert1

10+

1

5� 3 =

7

10,

d.h. die Fl�ache des Dreiecks mit den Eckpunkten (2;1

5), (2; 0) und

(c; 0) mu�3

10ausmachen, weswegen mit der H�ohe von

1

5die Di�e-

renz c� 2 = 3 sein mu�, also c = 5.

a2 ist die Steigung der Gerade: a2 = � 1

15.

b2 erh�alt man durch Einsetzen des Punktes (2;1

5) in die entsprechen-

L�osungen 285

de Gerade: b2 � 2

15=

1

5) b2 =

1

3

b) F�ur den Median x50% gilt: F (x50%) =1

2F (x50%) = 0:1 + (x50% � (�1))| {z }

Breite

� 0:2|{z}H�ohe

= 0:5 )

0:1 + x50% � 0:2 + 0:2 = 0:5 ) 0:2 � x50% = 0:2 ) x50% = 1

Zur 10%-Fraktile: Bei x = �1 ist F (x) =1

10) x10% = �1

Zur 75%-Fraktile: F (x75%) = 0:75 Da F (2) =7

10, mu� gelten:

x75%Z2

�� 1

15� x+ 1

3

�dx = 0:05)

��x2

30+

x

3

�x75%2

= 0:05

) x275% � 10x75% + 17:5 = 0) x75% = 5�p

25� 17:5 � 2:26"

+ erg�abe keinen Sinn, da F (x) = 1 f�ur x � 5

c) F�ur x � �3 ist F (x) = 0, also P (X � 3) = 0

Bei �1 liegt gerade die 10%-Fraktile, also P (X � �1) = 0:1

P (X � 2) = 1� P (X < 2) = 1� P (X � 2) = 1� 0:7 = 0:3"X stetig

P (X = 1) = 0, da f Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgr�o�e ist.

P (�1 � X � 2) = P (X � 2)� P (X < �1)= P (X � 2)� P (X � �1) = 0:7� 0:1 = 0:6"X stetig

9.55 b)

+1Z�1

f(x) dx = Dreiecks �ache zwischen f und

x-Achse = 12 � 2 � 1 = 1 und f � 0 ) f ist Dichtefunktion.

c) f(x) =

8<:

1 + x f�ur �1 � x � 01� x f�ur 0 � x � 10 sonst


d) E(X) = 0; da symmetrisch um 0

e) �2 =

0Z�1

x2(1 + x) dx+

1Z0

x2(1� x) dx =1

6) � =

r1

6

f) F (x) =

8>>>>>>><>>>>>>>:

0 f�ur x < �11

2x2 + x+

1

2f�ur �1 � x � 0

�1

2x2 + x+

1

2f�ur 0 < x � 1

1 f�ur x > 1

a) g)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

0

0.5

1

1.5

y

-1.5

F

f

h) F (x10 %) = 0:1 =1

2x2 + x+

1

2;

x10 % = �0:55; x90 % = �x10 % = 0:55

i) �) P (X � �1) = 0 �) P (X < 0:5) = 0:875

) P (X > 0) = 0:5 �) P (�0:5 � X < 1) = 0:875

") P (X = 2) = 0

9.56 a) Es mu� gelten:X

f(xi) = 1

) 4 � 0:1 + 2 � 0:15 + a = 1 ) a = 0:3

L�osungen 287

b) F (x) =

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

0 f�ur x < 10:1 f�ur 1 � x < 20:2 f�ur 2 � x < 30:35 f�ur 3 � x < 40:65 f�ur 4 � x < 50:8 f�ur 5 � x < 60:9 f�ur 6 � x < 71 f�ur 7 � x

c) P (X � 2) = 0:2

P (X � 4) = 1� P (X < 4) = 1� F (3) = 0:65

P (X = 4:5) = 0

P (2 < X � 6) = P (X � 6)� P (X � 2) = F (6)� F (2) = 0:7

d) Man braucht wiederum nur aus b) zu entnehmen:4 � x65% < 5 6 � x90% < 7

9.57 a)

1Za

1

x2dx = 1 )

��1

x

�1a

= 1 ) �1 ��1

a

�= 1 )

a =1

2

b) F (x) =

8>>>>>><>>>>>>:

0 f�ur x � 1

2xZ12

1

t2dt =

��1

t

�x12

= �1

x+ 2 f�ur

1

2< x < 1

1 f�ur x � 1

c) P (x � 1) = 0 P (X = a) = 0

d) E(X) =

1Z12

x � f(x) dx =

1Z12

x � 1

x2dx =

1Z12

1

xdx = [ln jxj]11

2

= ln1� ln 12 = 0� ln 2�1 = + ln 2 � 0:693

9.58 a)

�Z0

k sinx dx = k[� cosx]�0 = 2k) k = 0:5

b) E(X) =�

2, da symmetrisch um

�

2


c) F (x) =

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

0 f�ur x � 0

xZ0

0:5 sin t dt = 0:5[� cos t]x0 =

= 0:5(� cosx+ 1) = 0:5(1� cos x) f�ur 0 < x < �

1 f�ur x � �

d) P (X < 0) = 0 P (X > 5) = 0 P (X =�

2) = 0

P (0:5 � X <�

2) = F (

�

2)� F (0:5) = 0:5� 0:06 = 0:44

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