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Savez-vous que dans chaque base de numération les nombres ne sont pas disposés au petit bonheur ? C’est ce que vous découvrirez en compulsant cette théorie. D’autre part il est aussi question d’une disposition des nombres ou structure numérique, pour utiliser le terme consacré, qui ne concerne pas les bases numérales.
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BILEOMBELE WA LUMONA
RésuméSavez-vous que dans chaque base de numération les nombres ne sont pas disposés au petit bonheur ? C’est ce que vous découvrirez en compulsant cette théorie. D’autre part il est aussi question d’une disposition des nombres ou structure numérique, pour utiliser le terme consacré, qui ne concerne pas les bases numérales.
1
Table des matièresI. Introduction........................................................................................................................................................................................................................... 3
II. Triangle naturel...................................................................................................................................................................................................................... 4
A. Présentation....................................................................................................................................................................................................................... 4
B. Iso-IDK................................................................................................................................................................................................................................ 7
1. Iso-IDK G ou iso-IDK gauche...........................................................................................................................................................................................8
2. Iso-IDK D ou iso-IDK droite............................................................................................................................................................................................8
C. Iso-IDP................................................................................................................................................................................................................................ 9
1. Iso-IDP H ou iso-IDP haut...............................................................................................................................................................................................9
2. Iso-IDP B ou iso-IDP bas..............................................................................................................................................................................................10
D. Bissectèque...................................................................................................................................................................................................................... 11
III. Structures numériques de base numérale......................................................................................................................................................................13
A. Système de numération de base 2..................................................................................................................................................................................13
1. Pyramide originelle...................................................................................................................................................................................................... 13
2. Pyramide parallèle....................................................................................................................................................................................................... 15
3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 15
4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................... 17
B. Système de numération de base 3..................................................................................................................................................................................19
1. Pyramide originelle...................................................................................................................................................................................................... 19
2. Pyramide parallèle....................................................................................................................................................................................................... 21
3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 23
4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................... 25
2
C. Système de numération de base 4..................................................................................................................................................................................29
1. Pyramide originelle...................................................................................................................................................................................................... 29
2. Pyramide parallèle....................................................................................................................................................................................................... 31
3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 33
4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................... 35
D. Système de numération de base N..................................................................................................................................................................................38
1. Pyramide originelle...................................................................................................................................................................................................... 38
2. Pyramide parallèle....................................................................................................................................................................................................... 72
3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 97
4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................. 114
E. Autre méthode pour transcrire un nombre dans une base donnée.............................................................................................................................129
3
I. Introduction
Le terme construction numérique au sens de cette théorie c’est le fait de disposer des nombres entiers naturels de manière à former une figure et d’être en mesure de repérer chaque élément de cette figure à l’aide d’un système d’axes qui fait office de système de coordonnées.
La figure qui découle d’une construction numérique est appelée structure numérique. L’axe des IDK et l’axe des IDP constituent le système d’axes qui accompagnent la structure numérique. L’axe des IDK est vertical alors que l’axe des IDP de son côté est horizontal et surplombe la structure numérique.
L’ensemble de la structure numérique et de son système d’axes se présente sous forme d’un tableau quadrillé. Les éléments de la structure numérique qu’on sait déjà être des nombres sont appelés briques, une allusion évidente à la construction. Pour repérer une brique on se sert de l’axe des IDK et de l’axe des IDP. L’arrière-plan de la structure numérique forme ce qu’on va appeler l’horizon. C’est une zone qui ne comporte aucun nombre, c’est donc un espace vierge.
Les différentes structures numériques présentées dans cette théorie ne sont que des ébauches car il est humainement impossible de représenter une structure numérique dans toute sa plénitude. En effet le nombre de briques contenues dans une structure numérique est en principe infini.
Dans cette théorie nous allons traiter entre autres choses des structures numériques qui ont trait à un système de numération. Il serait donc on ne peut plus approprié de rappeler certaines notions relatives à cela.
Voici quelques définitions1 : Un système de numération est un ensemble de conventions à l’aide desquelles on peut nommer les nombres et les représenter par des caractères appelés chiffres. La base d’un système est le nombre des chiffres que l’on utilise dans ce système ; celle du système décimal est donc le nombre dix.
Les structures numériques liées à un système de numération seront nommées structures numériques de base numérale. Elles se présentent sous forme de pyramide, de demi-pyramide et de « terrassade ».
Au début de cette théorie sera abordée une structure numérique qui n’a rien à voir avec les systèmes de numération. La dite-structure a fait son apparition dans une autre théorie du même auteur et est complétée ici par d’autres notions nouvelles.
II. Triangle naturel
1 Voir Traité d’arithmétique (6e ÉDITION 1968) par N.-J.Schons .
4
A. Présentation
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯1 12 2 33 4 5 64 7 8 9 105 11 12 13 14 156 16 17 18 19 20 217 22 23 24 25 26 27 288 29 30 31 32 33 34 35 369 37 38 39 40 41 42 43 44 4510 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5511 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6612 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7813 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 9114 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 10
3104 105
15 106 107
108 109 110 111 112 113
114 115 116 117
118 119 120
16 121 122
123 124 125 126 127 128
129 130 131 132
133 134 135 136
17 137 138
139 140 141 142 143 144
145 146 147 148
149 150 151 152
153
18 154 155
156 157 158 159 160 161
162 163 164 165
166 167 168 169
170 171
19 172 173
174 175 176 177 178 179
180 181 182 183
184 185 186 187
188 189 190
20 191 192
193 194 195 196 197 198
199 200 201 202
203 204 205 206
207 208 209 210
21 211 21 213 214 215 216 217 21 219 220 221 22 223 224 225 22 227 228 229 230 23
5
2 8 2 6 122 232 23
3234 235 236 237 238 23
9240 241 242 24
3244 245 246 24
7248 249 250 251 25
2253
23 254 255
256 257 258 259 260 261
262 263 264 265
266 267 268 269
270 271 272 273 274
275 276
⋮Triangle naturel
La première colonne de ce tableau est l’axe des IDK tandis que celui qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique. C’est ainsi qu’on appelle les nombres qui constituent le triangle naturel. Les briques sont disposées de façon à former un triangle rectangle. On localise aisément une brique sur ce triangle par le numéro de sa ligne et le numéro de sa colonne. Par exemple la brique 13 est repérée par l’intersection de la 5e ligne et de la 3e colonne. Par souci de simplicité on notera : (13) < 5; 3 >.
Le triangle naturel ou triangle des indices2 se trouve donc être un système de coordonnées. Dans ce système le premier nombre représente naturellement la brique, le second nombre est appelé son idadi ya kwanza3 (abrégé IDK) tandis que le dernier nombre est l’idadi ya pili4 (abrégé IDP) de la dite-brique. La brique, l’IDK et l’IDP sont tous des entiers naturels non nuls. D’autre part l’IDP n’excède jamais l’IDK.
Sur le triangle naturel pour (k )< p ;q>¿(lire « k d’IDK p et d’IDP q » ou « k de coordonnées p et q ») on a :
o k=p ( p−1 )
2+q ou k=Cp
2+qavec p≥2
o pa la même valeur que √2k arrondi au nombre entier le plus proche
o ( k (k+1 )2 )<k ;k>¿
o (k+ p )< p+1; q>¿
En effet soit (k )< p;q>et (k ' )< p+1; q>¿
2 C’est le nom donné au triangle naturel dans la Théorie des nombres composites du même auteur.3 Expression swahilie signifiant « premier nombre ».4 Expression swahilie signifiant « deuxième nombre ».
6
On aura : k=
p ( p−1 )2
+q
k '=( p+1 ) p
2+q}k '−k=
(p+1 ) p2
−p (p−1 )
2
⇒ k '−k=p
d'où k '=k+p .
o (k ± r )< p ;q± r>¿
En effet soit (k )< p;q>et (k ' )< p ; q± r>¿
On aura : k=
p ( p−1 )2
+q
k '=p ( p−1 )
2+q ±r}k '=k± r .
Déterminer ( x )<700;100> .
On a : x=C7002 +100¿244750.
Déterminer les coordonnées de la brique 2015 sur le triangle naturel.
On a : √2×2015≈63,482
donc (2015 )<63 ; x>¿
soit 2015=C632 +x
7
soit encore x=62
d'où (2015 )<63 ;62>.
Déduire du résultat qui précède les coordonnées des briques 2016 et 2000 sur le triangle naturel.
On a : (2015 )<63 ;62>¿
soit (2015+1 )<63 ;62+1>¿
d'où (2016 )<63 ;63> .
On a : (2015 )<63 ;62>¿
soit (2015−15 )<63 ;62−15>¿
d'où (2000 )<63 ;47>.
La configuration du triangle naturel présente une stratification des briques :
La première strate ou strate №1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.
La deuxième strate ou strate №2 a quant à elle des briques dont l’IDK est 2.
La troisième strate ou strate №3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.
Et ainsi de suite.
Nota :
Une strate autre que le summum est appelée soutrate.
8
Toute brique qui est au début d’une strate du triangle naturel est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque.
B. Iso-IDK
Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.
Exemple :
Les briques 46 ,52 et 55 sont des iso-IDK car on a : ( 46 )<10 ;1>, (52 )<10 ;7>et (55 )<10 ;10>.
1. Iso-IDK G ou iso-IDK gauche
Un iso-IDK gauche d’une brique est une brique située à gauche de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )< p;m>et (ε )< p ;n>
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur le triangle naturel ?
On a (252 )<22;21>.
Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 aura pour IDP 1.
D'où (232 )<22;1> l' iso - IDKG cherché.
9
2. Iso-IDK D ou iso-IDK droite
Un iso-IDK droite d’une brique est une brique située à droite de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )< p;m>et (ε )< p ;n>.
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDK D de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 417 sur le triangle naturel ?
On a (417 )<29 ;11> .
Le plus grand iso-IDK D de la brique 417 aura pour IDP 29.
D'où (435 )<29 ;29> l' iso - IDK D cherché.
C. Iso-IDP
On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.
Exemple :
Les briques 666 et 1261 sont des iso-IDP car on a : (666 )<36 ;36>et (1261 )<50 ;36> .
Nota :
Les iso-IDK sont nombrables tandis que les iso-IDP sont indénombrables.
1. Iso-IDP H ou iso-IDP haut
10
Un iso-IDP haut d’une brique est une brique située au-dessus de celle-ci sur le triangle naturel.
Soit (γ )<m;q>et (ε )<n;q>.
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 sur le triangle naturel ?
On a (383158 )<875 ;783>.
Le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 au vu des coordonnées de cette dernière doit inéluctablement avoir pour IDK 783.
Ainsi (306936 )<783 ;783>¿ est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158.
Nota :
Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur le triangle naturel alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie du triangle naturel.
2. Iso-IDP B ou iso-IDP bas
Un iso-IDP bas d’une brique est une brique située au-dessous de celle-ci sur le triangle naturel.
Soit (γ )<m;q>et (ε )<n;q>.
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP B de la brique ε .
Exemple :
Trouver l’iso-IDP B de la brique 3731221 sur le triangle naturel ayant pour IDK 1000.
On a (3731221 )<2732;675> .
Ainsi (500175 )<1000 ;675>¿ est l’iso-IDP B cherché.
11
Soit (k )< p ;q>¿
⇒ ( k+p )< p+1 ;q>¿
⇒ ( k+2 p+1 )< p+2;q>¿
⇒ ( k+3 p+3 )< p+3 ;q>¿
⇒ ( k+4 p+6 )< p+4 ;q>¿
⇒ ( k+5 p+10 )< p+5 ;q>¿
⇒ ( k+6 p+15 )< p+6 ;q>¿
⇒ ( k+7 p+21 )< p+7 ;q>¿
⋮
d'où (k+np+Cn2 )< p+n; q>.
A-t-on (k+(n+1 ) p+Cn+12 )< p+n+1; q>?
De (k+np+Cn2 )< p+n;q>on a : (k+np+Cn
2+ p+n)< p+n+1;q>¿
⇒ (k+(n+1 ) p+Cn2+n)< p+n+1 ;q>or Cn
2+n=Cn2+Cn
1=Cn+12
d'où (k+ (n+1 ) p+Cn+12 )< p+n+1;q>.
Ainsi si on a (k )< p ;q>alors on a aussi (k+np+Cn2 )< p+n;q>et il serait superflu de préciser que n≥2.
D. Bissectèque
12
Déterminer la relation qui lie aet b sachant qu'on a : (ab )<a;b>.
De (ab )<a ;b>on a : ab=a (a−1 )
2+b
d'où a=2b .
k est unbissectèque si ona : ( k )<2n; n>.
Exemple :
Les briques 18, 50 et 72 sont des bissectèques sur le triangle naturel car on a : (18 )<6 ;3> , (50 )<10 ;5>et (72 )<12; 6>.
Nota :
Les bissectèques du triangle naturel appartiennent à une même ligne discontinue qui passe par les briques 2, 8, 18, 32, … Celle-ci porte le nom de bissectrice numérique.
Si l’on considère l’axe des IDK comme faisant partie du triangle naturel alors chaque bissectèque apparaît le cas échéant comme la brique médiane de chaque strate du triangle naturel. Cela est mis en relief sur le triangle naturel ci-dessus.
En utilisant le concept de bissectèque déterminer les coordonnées des briques 20, 100 et 1500 sur le triangle naturel.
Les coordonnées de la brique 20On a :
(2 )<2 ;1>; (8 )<4 ;2>; (18 )<6 ;3>et on peut déduire que (18+2 )<6 ;3+2>soit (20 )<6 ;5>.
Les coordonnées de la brique 100On a :
(50 )<10 ;5>; (72 )<12 ;6>; (98 )<14 ;7>et on peut déduire que (98+2 )<14 ;7+2>soit (100 )<14 ;9> .
13
Les coordonnées de la brique 1500On a :
(1800 )<60 ;30> ; (1682 )<58 ;29> ; (1568 )<56 ;28>et on peut déduire que (1568−27 )<56 ;28−27>¿
soit (1541 )<56 ;1>; (1540 )<55 ;55>d'où (1540−40 )<55 ;55−40>soit (1500 )<55 ;15> .
14
III. Structures numériques de base numérale
A. Système de numération de base 2
1. Pyramide originelle
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
00
11
102
113
1004
1015
1106
1117
10008
10019
101010
101111
110012
110113
111014
111115
1000016
1000117
1001018
1001119
1010020
1010121
1011022
1011123
⋯
10000032
10000133
10001034
10001135
10010036
10010137
10011038
10011139
⋯
100000064
100000165
100001066
100001167
100010068
100010169
100011070
100011171
⋯
10000000128
10000001129
10000010130
10000011131
10000100132
10000101133
10000110134
10000111135
⋯
100000000256
100000001257
100000010258
100000011259
100000100260
100000101261
100000110262
100000111263
⋯
1000000000512
1000000001513
1000000010514
1000000011515
1000000100516
1000000101517
1000000110518
1000000111519
⋯
100000000001024
100000000011025
100000000101026
100000000111027
100000001001028
100000001011029
100000001101030
100000001111031
⋯
15
⋮
-2 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
00
11
1 113
2 1015
1106
1117
3 10019
101010
101111
110012
110113
111014
111115
4 1000117
1001018
1001119
1010020
1010121
1011022
1011123
1100024
⋯
5 10000133
10001034
10001135
10010036
10010137
10011038
10011139
10100040
⋯
6 100000165
100001066
100001167
100010068
100010169
100011070
100011171
100100072
⋯
7 10000001129
10000010130
10000011131
10000100132
10000101133
10000110134
10000111135
10001000136
⋯
8 100000001257
100000010258
100000011259
100000100260
100000101261
100000110262
100000111263
100001000264
⋯
9 1000000001513
1000000010514
1000000011515
1000000100516
1000000101517
1000000110518
1000000111519
1000001000520
⋯
10 100000000011025
100000000101026
100000000111027
100000001001028
100000001011029
100000001101030
100000001111031
100000010001032
⋯
⋮PB2
16
2. Pyramide parallèle
Dans le système de numération binaire il n’y a pas de pyramide parallèle.
3. Demi-pyramide
… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000
11
102
113
1004
1015
1106
1117
10008
10019
101010
101111
110012
110113
111014
111115
⋯ 1011123
1100024
1100125
1101026
1101127
1110028
1110129
1111030
1111131
⋯ 11011157
11100058
11100159
11101060
11101161
11110062
11110163
11111062
11111163
⋯ 1110111119
1111000120
1111001121
1111010122
1111011123
1111100124
1111101125
1111110126
1111111127
⋯ 11110111247
11111000248
11111001249
11111010250
11111011251
11111100252
11111101253
11111110254
11111111255
⋯ 111110111
503
111111000504
111111001
505
111111010506
111111011507
111111100
508
111111101509
111111110
510
111111111511
⋮
17
… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01
102
2
1004
1015
1106
3
10008
10019
101010
101111
110012
110113
111014
4
⋯ 1011123
1100024
1100125
1101026
1101127
1110028
1110129
1111030
5
⋯ 11011157
11100058
11100159
11101060
11101161
11110062
11110163
11111062
6
⋯ 1110111119
1111000120
1111001121
1111010122
1111011123
1111100124
1111101125
1111110126
7
⋯ 11110111247
11111000248
11111001249
11111010250
11111011251
11111100252
11111101253
11111110254
8
⋯ 111110111503
111111000
504
111111001505
111111010506
111111011
507
111111100508
111111101509
111111110
510
9
⋮DB2
18
4. Terrassade
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
00
11
102
113
1004
1015
1106
1117
10008
10019
101010
101111
110012
110113
111014
111115
1000016
1000117
1001018
1001119
1010020
1010121
1011022
1011123
1100024
⋯
1111131
10000032
10000133
10001034
10001135
10010036
10010137
10011038
10011139
10100040
⋯
11111163
10000064
100000165
100001066
100001167
100010068
100010169
100011070
100011171
100100072
⋯
⋮
19
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
00
1 102
2 1004
1015
1106
3 10008
10019
101010
101111
110012
110113
111014
4 1000016
1000117
1001018
1001119
1010020
1010121
1011022
1011123
1100024
⋯
5 10000032
10000133
10001034
10001135
10010036
10010137
10011038
10011139
10100040
⋯
6 10000064
100000165
100001066
100001167
100010068
100010169
100011070
100011171
100100072
⋯
⋮TB21
20
B. Système de numération de base 3
1. Pyramide originelle
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00
11
22
103
114
125
206
217
228
1009
10110
10211
11012
11113
11214
12015
⋯
⋯ 20220
21021
21122
21223
22024
22125
22226
100027
100128
100229
101030
101131
101232
102033
⋯
⋯ 220274
221075
221176
221277
222078
222179
222280
1000081
1000182
1000283
1001084
1001185
1001286
1001087
⋯
⋯ 22202236
22210237
22211238
22212239
22220240
22221241
22222242
100000243
100001244
100002245
100010246
100011247
100012248
100010249
⋯
⋯ 222202722
222210723
222211724
222212725
222220726
222221727
222222728
1000000729
1000001730
1000002731
1000010732
1000011733
1000012734
1000010735
⋯
⋮
21
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00
11
22
1 114
125
206
217
228
2 10110
10211
11012
11113
11214
12015
⋯
⋯ 20220
21021
21122
21223
22024
22125
22226
3 100128
100229
101030
101131
101232
102033
⋯
⋯ 220274
221075
221176
221277
222078
222179
222280
4 1000182
1000283
1001084
1001185
1001286
1001087
⋯
⋯ 22202236
22210237
22211238
22212239
22220240
22221241
22222242
5 100001244
100002245
100010246
100011247
100012248
100010249
⋯
⋯ 222202722
222210723
222211724
222212725
222220726
222221727
222222728
6 1000001730
1000002731
1000010732
1000011733
1000012734
1000010735
⋯
⋮PB3
22
2. Pyramide parallèle
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00
11
22
103
114
125
206
217
228
1009
10110
10211
11012
11113
11214
12015
12116
12217
20018
20119
⋯
⋯ 102033
102134
102235
110036
110137
110238
111039
111140
111241
112042
112143
112244
120045
120146
⋯
⋯ 11020114
11021115
11022116
11100117
11101118
11102119
11110120
11111121
11112122
11120123
11121124
11122125
11200126
11201127
⋯
⋯ 111020357
111021358
111022359
111100360
111101361
111102362
111110363
111111364
111112365
111120366
111121367
111122368
111200369
111201370
⋯
⋮
23
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00
1 22
103
2 125
206
217
228
1009
10110
10211
11012
3 11214
12015
12116
12217
20018
20119
⋯
⋯ 102033
102134
102235
110036
110137
110238
111039
4 111241
112042
112143
112244
120045
120146
⋯
⋯ 11020114
11021115
11022116
11100117
11101118
11102119
11110120
5 11112122
11120123
11121124
11122125
11200126
11201127
⋯
⋯ 111020357
111021358
111022359
111100360
111101361
111102362
111110363
6 111112365
111120366
111121367
111122368
111200369
111201370
⋯
⋮PB31
24
3. Demi-pyramide
… -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000
11
22
103
114
125
206
217
228
⋯ 11012
11113
11214
12015
12116
12217
20018
20119
20220
21021
21122
21223
22024
22125
22226
⋯ 211066
211167
211268
212069
212170
212271
220072
220173
220274
221075
221176
221277
222078
222179
222280
⋯ 22110228
22111229
22112230
21220231
21221232
22122233
22200234
22201235
22202236
22210237
22211238
22212239
22220240
22221241
22222242
⋯ 222110715
222111716
222112717
221220718
221221719
222122720
222200721
222201722
222202723
222210724
222211725
222212727
222220726
222221727
222222728
⋮
25
… -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000
11
1
103
114
125
206
217
2
⋯ 11012
11113
11214
12015
12116
12217
20018
20119
20220
21021
21122
21223
22024
22125
3
⋯ 211066
211167
211268
212069
212170
212271
220072
220173
220274
221075
221176
221277
222078
222179
4
⋯ 22110228
22111229
22112230
21220231
21221232
22122233
22200234
22201235
22202236
22210237
22211238
22212239
22220240
22221241
5
⋯ 222110715
222111716
222112717
221220718
221221719
222122720
222200721
222201722
222202723
222210724
222211725
222212727
222220726
222221727
6
⋮DB3
26
4. Terrassade
a) Passant par 1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …00 1
122
103
114
125
206
217
228
1009
10110
10211
11012
11113
11214
12015
12116
12217
20018
20119
20220
21021
21122
21223
22024
22125
22226
100027
⋯
111140
111241
112042
112143
112244
120045
120146
120247
121048
121149
121250
122051
122152
122253
200054
⋯
11111121
11112122
11120123
11121124
11122125
11200126
11201127
11202128
11210129
11211130
11212131
11220132
11221133
11222134
12000135
⋯
11111364
111112365
111120366
111121367
111122368
111200369
111201370
111202371
111210372
111211373
111212374
111220375
111221376
111222377
112000378
⋯
⋮
27
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …00
1 22
103
2 125
206
217
228
1009
10110
10211
11012
3 11214
12015
12116
12217
20018
20119
20220
21021
21122
21223
22024
22125
22226
100027
⋯
4 111241
112042
112143
112244
120045
120146
120247
121048
121149
121250
122051
122152
122253
200054
⋯
5 11112122
11120123
11121124
11122125
11200126
11201127
11202128
11210129
11211130
11212131
11220132
11221133
11222134
12000135
⋯
6 111112365
111120366
111121367
111122368
111200369
111201370
111202371
111210372
111211373
111212374
111220375
111221376
111222377
112000378
⋯
⋮TB31
28
b) Passant par 2
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
00
11
22
103
114
125
206
217
228
1009
10110
10211
20012
20113
20214
21015
21116
21217
…
22226
100027
100128
100229
200030
200131
200232
201033
201134
201235
…
222280
1000081
1000182
1000283
2000084
2000185
2000286
20010987
20011988
20012989
…
22222242
100000243
100001244
100002245
200000246
200001247
200002248
200010249
200011250
200012251
…
222222728
1000000729
1000001730
1000002731
2000000732
2000001733
2000002734
2000010735
2000011736
2000012737
…
22222222186
100000002187
100000012188
100000022189
200000002190
200000012191
200000022192
200000102193
200000112194
200000122195
…
⋮
29
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
00
11
1 103
114
125
206
217
2 1009
10110
10211
20012
20113
20214
21015
21116
21217
…
3 100027
100128
100229
200030
200131
200232
201033
201134
201235
…
4 1000081
1000182
1000283
2000084
2000185
2000286
20010987
20011988
20012989
…
5 100000243
100001244
100002245
200000246
200001247
200002248
200010249
200011250
200012251
…
6 1000000729
1000001730
1000002731
2000000732
2000001733
2000002734
2000010735
2000011736
2000012737
…
⋮TB32
30
C. Système de numération de base 4
1. Pyramide originelle
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00
11
22
33
104
115
126
137
⋯ 219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
10016
10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
⋯
⋯ 32157
32258
32359
33060
33161
33262
33363
100064
100165
100266
100367
101068
101169
101270
101371
⋯
⋯ 3321249
3322250
3323251
3330252
3331253
3332254
3333255
10000256
10001257
10002258
10003259
10010260
10011261
10012262
10013263
⋯
⋯ 333211017
333221018
333231019
333301020
333311021
333321022
333331023
1000001024
1000011025
1000021026
1000031027
1000101028
1000111029
1000121030
1000131031
⋯
⋮
31
… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00
11
22
33
1 115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
2 10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
⋯
⋯ 32056
32157
32258
32359
33060
33161
33262
33363
3 100165
100266
100367
101068
101169
101270
101371
⋯
⋯ 3320248
3321249
3322250
3323251
3330252
3331253
3332254
3333255
4 10001257
10002258
10003259
10010260
10011261
10012262
10013263
⋯
⋯ 333201016
333211017
333221018
333231019
333301020
333311021
333321022
333331023
5 1000011025
1000021026
1000031027
1000101028
1000111029
1000121030
1000131031
⋯
⋮PB4
32
2. Pyramide parallèle
a) Passant par 1
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00
11
22
33
104
105
126
137
208
219
2210
2311
3012
⋯
10016
10117
10218
10319
11020
11021
11222
11323
12024
12125
12226
12327
13028
⋯
⋯ 103278
103379
110080
110181
110282
110383
111084
111085
111286
111387
112088
112189
112290
112391
113092
⋯
⋯ 11032334
11033335
11100336
11101337
11102338
11103339
11110340
11110341
11112342
11113343
11120344
11121345
11122346
11123347
11130348
⋯
⋮
33
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00
1 22
33
104
2 126
137
208
219
2210
2311
3012
⋯
10016
10117
10218
10319
11020
3 11222
11323
12024
12125
12226
12327
13028
⋯
⋯ 103278
103379
110080
110181
110282
110383
111084
4 111286
111387
112088
112189
112290
112391
113092
⋯
⋯ 11032334
11033
335
11100336
11101337
11102
338
11103339
11110
340
5 11112342
11113343
11120344
11121345
11122346
11123347
11130348
⋯
⋮PB41
b) Passant par 2
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00
11
22
33
104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
⋯ 20335
21036
21137
21238
21339
22040
22141
22242
22343
23044
23145
23246
23347
30048
30149
⋯
⋯ 2203165
2210166
2211167
2212168
2213169
2220168
2221169
2222170
2223171
2230172
2231173
2232174
2233175
2300176
2301177
⋯
⋯ 22203675
22210676
22211677
22212678
22213679
22220680
22221681
22222682
22223683
22230684
22231685
22232686
22233687
22300688
22301689
⋯
34
⋮
… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00
11
1 33
104
115
126
137
208
219
2 2311
3012
3113
3214
3315
⋯ 20335
21036
21137
21238
21339
22040
22141
3 22343
23044
23145
23246
23347
30048
30149
⋯
⋯ 2203165
2210166
2211167
2212168
2213169
2220168
2221169
4 2223171
2230172
2231173
2232174
2233175
2300176
2301177
⋯
⋯ 22203675
22210
676
22211677
22212678
22213
679
22220680
22221
681
5 22223683
22230684
22231685
22232686
22233687
22300688
22301689
⋯
⋮PB4 2
3. Demi-pyramide
… -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000
11
22
33
104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
⋯ 30048
30149
30250
30351
31052
31153
31254
31355
32056
32157
32258
32359
33060
33161
33262
33363
⋯ 3300240
3301241
3302242
3303243
3310244
3311245
3312246
3313247
3320248
3321249
3322250
3323251
3330252
3331253
3332254
3333255
⋯ 333001009
33301
333021011
333031012
333101013
333111013
33312
333131015
333201016
333211017
333221018
33323
333301020
333311021
333321022
333331023
35
1010 1014 1019
⋮
… -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000
11
22
1
104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
2
⋯ 30048
30149
30250
30351
31052
31153
31254
31355
32056
32157
32258
32359
33060
33161
33262
3
⋯ 3300240
3301241
3302242
3303243
3310244
3311245
3312246
3313247
3320248
3321249
3322250
3323251
3330252
3331253
3332254
4
⋯ 333001009
333011010
333021011
333031012
333101013
333111013
333121014
333131015
333201016
333211017
333221018
33323
1019
333301020
333311021
333321022
5
⋮DB4
36
4. Terrassade
a) Passant par 1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …00
11
22
33
104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
10016
10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
12024
12125
12226
12327
13028
13129
13230
13331
20032
20133
20234
20335
21036
⋯
111185
111286
111387
112088
112189
112290
112391
113092
113193
113294
113395
120096
120197
120298
120399
1210100
⋯
11111341
11112342
11113343
11120344
11121345
11122346
11123347
11130348
11131349
11132350
11133351
11200352
11201353
11202354
11203355
11210356
⋯
⋮
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
00
1 22
33
104
2 126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
10016
10117
10218
10319
11020
3 11222
11323
12024
12125
12226
12327
13028
13129
13230
13331
20032
20133
20234
20335
21036
⋯
4 111286
111387
112088
112189
112290
112391
113092
113193
113294
113395
120096
120197
120298
120399
1210100
⋯
5 11112342
11113343
11120344
11121345
11122346
11123347
11130348
11131349
11132350
11133351
11200352
11201353
11202354
11203355
11210356
⋯
37
⋮TB41
b) Passant par 2
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
00
11
22
33
104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
10016
10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
…
22242
22343
23044
23145
23246
23347
30048
30149
30250
30351
31052
31153
31254
31355
…
2222170
2223171
2230172
2231173
2232174
2233175
2300176
2301177
2302178
2303179
2310180
2311181
2312182
2313183
…
22222682
22223683
22230684
22231685
22232686
22233687
22300688
22301689
22302690
22303691
22310692
22311693
22312694
22313695
…
⋮
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …00
11
1 33
104
115
126
137
208
219
2 2311
3012
3113
3214
3315
10016
10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
…
3 22343
23044
23145
23246
23347
30048
30149
30250
30351
31052
31153
31254
31355
…
4 2223171
2230172
2231173
2232174
2233175
2300176
2301177
2302178
2303179
2310180
2311181
2312182
2313183
…
5 22223683
22230684
22231685
22232686
22233
22300688
22301689
22302690
22303691
22310692
22311693
22312694
22313695
…
38
687
⋮TB42
39
c) Passant par 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …00
11
22
33
104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
3315
10016
10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
12024
12125
12226
12327
12428
…
33363
100064
100165
100266
100367
101068
101169
101270
101371
102072
102173
102274
102375
102476
…
3333255
10000256
10001257
10002258
10003259
10010260
10011261
10012262
10013263
10020264
10021265
10022266
10023267
10024268
…
333331023
1000001024
1000011025
1000021026
1000031027
1000101028
1000111029
1000121030
1000131031
1000201032
1000211033
1000221034
1000231035
1000241036
…
⋮
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …00
11
22
1 104
115
126
137
208
219
2210
2311
3012
3113
3214
2 10016
10117
10218
10319
11020
11121
11222
11323
12024
12125
12226
12327
12428
…
3 100064
100165
100266
100367
101068
101169
101270
101371
102072
102173
102274
102375
102476
…
4 10000256
10001257
10002258
10003259
10010260
10011261
10012262
10013263
10020264
10021265
10022266
10023267
10024268
…
5 1000001024
1000011025
1000021026
1000031027
1000101028
1000111029
1000121030
1000131031
1000201032
1000211033
1000221034
1000231035
1000241036
…
⋮TB43
40
D. Système de numération de base N
1. Pyramide originelle
a) Présentation
PBN se lira tout simplement « pyramide originelle de base N ».
Soit [n]N tel que [n]N=N−1 avec N un entier naturel supérieur ou égal à 2.
… 2Nr-Nr+1 … 2Nr-1-Nr … … 2N3-N4 … 2N2-N3 … 2N-N2 … -N 1-N … 0 … N-1 … N2-1 … N3-1 … N4-1 … … Nr-1 … Nr+1-1 …00
11
… 10N
… 1n2N-1
202N
… 100N2
… 1nn2N2-1
2002N2
… 1000N3
… 1nnn2N3-1
20002N3
… 10000N4
… 1nnnn2N4-1
… … ⋮ … …
20…02Nr-1
10…0Nr
1n…n2Nr-1
200…02Nr
… 10…00Nr+1
… 1n…nn2Nr+1-1
41
… 2Nr-Nr+1 … 2Nr-1-Nr … … 2N3-N4 … 2N2-N3 … 2N-N2 … -N 1-N … 0 … N-1 … N2-1 … N3-1 … N4-1 … … Nr-1 … Nr+1-1 …00
11
… 1 … 1n2N-1
202N
… 2 … 1nn2N2-1
2002N2
… 3 … 1nnn2N3-1
20002N3
… 4 … 1nnnn2N4-1
… … ⋮ … …
20…02Nr-1
r 1n…n2Nr-1
20…002Nr
… r+1 … 1n…nn2Nr+1-1
PBN
Cette disposition des nombres ressemble fort à une pyramide. C’est donc à juste titre qu’on l’appelle pyramide. En réalité il s’agit d’une pyramide dissymétrique.
Nota :
Si N=2 alors la PBN devient :
-2 -1 … 0 … 1 … 3 … 7 … 15 … … 2r-1 … 2r+1-1 …00
11
… 1 … 113
2 … 1117
3 … 111115
4 … 1111131
⋮ … …
r 11…12Nr-1
r+1 … 11…112Nr+1-1
42
Ce tableau rappelle de façon dépouillée la PB2.
La colonne de la PBN renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que la ligne qui la surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre, sur la PBN. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la pyramide.
Exemple :
La brique 20 sur la PB2, la PB3 et la PB4 est repérée comme suit :
PB2 : (20 ) [ 4 ; 4 ] PB3 : (20 ) [ 3 ;−7 ] PB4 : (20 ) [ 2; 4 ]
Nota :
Dans les décompositions qui précèdent le nombre souligné est appelé IDK5 tandis que celui qui le suit immédiatement est nommé IDP6.
Sur la PBN pour (k ) [ p ;q ] (lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») on a :
o k=N p+qo p=E ( logN (N k /2 ) )avec k>1
o (k ±k ' ) [ p ; q±k ' ] avec 2 N p−1−N p≤q±k ' ≤N p−1
Nota :
Si k<N alors on a ( k ) [ 1 ;q ] ;de là on déduit que k=N1+q soit q=k−N. Ainsi l'IDP q est négatif.
p indique un nombre transcrit dans la base N. Ce nombre est écrit comme suit : « 1 » suivi de p caractères « 0 ». Sa valeur en base décimale est : N p.
5 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili).6 IDP : idadi ya pili (deuxième nombre en swahili).
43
44
Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la PB2, la PB7, la PB10 et la PB298.
Sur la PB2
(34 ) [ 5 ;2 ] ; ( 454 ) [ 8 ;198 ] ; (1511 ) [10 ;487 ] et (269965 ) [18 ;7821 ] .
Sur la PB7
(34 ) [ 2 ;−15 ] ; ( 454 ) [ 3;111 ] ; (1511) [ 4 ;−890 ] et (269965 ) [ 7 ;−553578 ] .
Sur la PB10
(34 ) [ 2 ;−66 ] ; ( 454 ) [ 3 ;−546 ] ; (1511 ) [ 3 ;511 ] et (269965 ) [ 6 ;−730035 ] .
Sur la PB298
(34 ) [ 1 ;−264 ] ; (454 ) [ 1 ;156 ] ; (1511 ) [2 ;−87293 ] et (269965 ) [3 ;−26193627 ] .
Nota :
Si on est tenté de donner à p la même valeur que log Nk arrondi au nombre entier le plus proche, l’exemple qui suit devrait nous en dissuader.
Exemple :
Déterminer les coordonnées de la brique 180 sur la pyramide originelle de base 9.
On a :
ln( 9×1802 )
ln 9≈3,048 et on écrira alors (180 ) [3 ;−549 ] .
En revanche on a :
ln 180ln 9
≈2,36≈2 et on écrira alors (180 ) [2 ;99 ] .
45
Ce dernier résultat n’est point vrai. Il est donc hasardeux de donner à p la même valeur que log Nk arrondi au nombre entier le plus proche.
À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (32 ) [ 2;7 ] , (32 ) [2 ;−68 ] ou (32 ) [ 2;−112 ] ?
Désignons par x la base de numération de la pyramide originelle.
De (32 ) [2 ;7 ] on a : 32=x2+7 soit x2=25soit enfin x=5. Alors on a affaire à la base cinq.
De (32 ) [2 ;−68 ] on a : 32=x2−68soit x2=100soit enfin x=10. Alors on a affaire à la base décimale.
De (32 ) [2 ;−112 ] on a : 32=x2−112soit x2=144soit enfin x=12.Alors on a affaire à la base duodécimale.
Représenter la PB16 sur l’intervalle [ 5 ;10 ] sur l’axe des IDK et sur l’intervalle [-4 ; 4] sur l’axe des IDP.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4⋮
FFFFC1048572
FFFFD1048573
FFFFE1048574
FFFFF1048575
5 1000011048577
1000021048578
1000031048579
1000041048580
FFFFFC16777212
FFFFFD16777213
FFFFFE16777214
FFFFFF16777215
6 100000116777217
100000216777218
100000316777219
100000416777220
FFFFFFC268435452
FFFFFFD268435453
FFFFFFE268435454
FFFFFFF268435455
7 10000001268435457
10000002268435458
10000003268435459
10000004268435460
FFFFFFFC4294967292
FFFFFFFD4294967293
FFFFFFFE4294967294
FFFFFFFF4294967295
8 1000000014294967297
1000000024294967298
1000000034294967299
1000000044294967300
FFFFFFFFC68719476732
FFFFFFFFD68719476733
FFFFFFFFE68719476734
FFFFFFFFF68719476735
9 100000000168719476737
100000000268719476738
100000000368719476739
100000000468719476740
FFFFFFFFFC1099511627772
FFFFFFFFFD1099511627773
FFFFFFFFFE
1099511627774
FFFFFFFFFF
1099511627775
10 100000000011099511627777
100000000021099511627778
100000000031099511627779
100000000041099511627780
46
La configuration de la PBN présente une certaine stratification des briques :
La première strate ou strate №1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.
La deuxième strate ou strate №2 a quant à lui des briques dont l’IDK est 2.
La troisième strate ou strate №3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.
Et ainsi de suite.
Nota :
Les strates autres que le summum sont appelées soutrates.
La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est appelée brique itineris7. Pour la PBN la brique itineris est N.
Toute brique qui est au début d’une strate d’une pyramide est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque. Au summum d’une pyramide l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.
Pour les soutrates l’occidentèque est de la forme 2 Nr−1avec N, un entier naturel supérieur ou égal à 2, comme base numérale et r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r.
L’orientèque est de la forme 2 Nr−1 avec N, un entier naturel supérieur ou égal à 2, comme base numérale et r∈N ¿ quelle que soit la strate. Cet orientèque est de la strate № r.
7 Itineris : mot latin signifiant chemin.
47
b) Négatèque, positèque et axitèque
(1) Négatèque
Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il évidemment négatif.
Exemple :
Les briques 61, 507 et 32668 sont des négatèques sur la PB8. En effet on a : (61 ) [ 2;−3 ] , (507 ) [3 ;−5 ] et (32668 ) [5 ;−100 ] .
Nota :
Sur la PBN si a<N alors a est un négatèque.
En effet sur la PBN si a<N alors on a : (a ) [ 1 ; x ].
a est un négatèque si x<0.
De (a ) [ 1 ; x ] on a : a=N1+x soit x=a−N.
Or a<N c’est-à-dire a−N<0.
Ainsi on a bel et bien x<0.
Exemple :
La brique 9 est un négatèque sur la PB10, la PB11, la PB12, la PB26 et la PB1010.
En effet on a : (9 ) [ 1 ;−1 ] sur la PB10, (9 ) [ 1 ;−2 ] sur la PB11, (9 ) [1 ;−3 ] sur la PB12, (9 ) [ 1;−17 ] sur la PB26 et (9 ) [1 ;−1001 ] sur la PB1010.
48
Nota :
Sur la PB2 il n’existe que deux négatèques à savoir (0 ) [ 1;−2 ] et (1 ) [ 1 ;−1 ] .
Lorsqu’on transcrit un négatèque dans la base de numération de sa pyramide, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK. En guise d’exemple les deux négatèques qui précèdent auront bel et bien un seul caractère dans la base binaire comme l’indique leur IDK respectif.
(a) Négatèque double
Soit aunnégatèque tel que (a ) [m;−b ] sur la PBN.
Si on a (b ) [m;−a ] ou E ( logN (bk /2 ) )=m avec b>1alors (a ;b)sera appelé n égat è que double .
Nota :
(a;b)et (b ;a)correspondent au même négatèque double.
(i) Négatèque double identique
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a=b alors on parle de n égat è que double identique.
Siaest unnégatèque telque (a ) [m;−a ] sur la PBN alors a=Nm−a soit a=Nm
2.
Conséquence :
Il ressort de cette égalité que l’existence d’un négatèque double sur la PBN est tributaire de la parité de N. Si N est impair on n’aura aucun négatèque double. En revanche si N est pair alors il y aura un négatèque double pour chaque valeur de l’exposant de N.
49
Exemple :
(1 ;1)est un négatèque double identique sur la PB2 car on a en effet : (1 ) [ 1 ;−1 ] .
(2 ;2)est un négatèque double identique sur la PB 4 car on a en effet : (2 ) [1 ;−2 ] .
(3 ;3)est un négatèque double identique sur la PB6 car on a en effet : (3 ) [ 1 ;−3 ] .
(ii) Négatèque double différencié
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a≠b alors on parle de n égat è que double différencié.
Exemple :
(13 ;7 ) est un né gat èque double différencié sur la PB20 car on a en effet : (13 ) [ 1 ;−7 ] et (7 ) [ 1;−13 ] .
(13 ;23 ) est un négat èque double différencié sur la PB6 car on a en effet : (13 ) [2 ;−23 ] et (23 ) [2 ;−13 ] .
(200 ;800 ) est un n égat èque double différencié sur la PB10 car on a en effet : (200 ) [3 ;−800 ] et (800 ) [ 3;−200 ] .
(19536 ;46000 )est un n égat èque différencié sur la PB16 car on a en effet : (19536 ) [ 4 ;−46000 ] et ( 46000 ) [ 4 ;−19536 ] .
(1036849 ;734712 ) est un n égat èque double différencié sur la PB11 car on a en effet : (1036849 ) [ 6 ;−734712 ] et (734712 ) [ 6;−1036849 ] .
Montrer que sur la PBN , (0 ;N ) est un n égat èque double différencié .
On a : (0 ) [ 1;−N ] .
On a aussi : (N ) [ 1;0 ] soit (N ) [ 1;−0 ] .
De plus on a : 0≠N .
D ’où (0 ;N )est un n égat èque double différencié .
50
(b) Détermination des négatèques doubles
Théorème 1. −Si on a (a ) [m;b ] avec a>1sur la PBN alors on aura aussi (a×Nr ) [m+r ;b×Nr ] avec r un entier naturel sur la même pyramide .
En effet de (a ) [m;b ] on a : a=Nm+b soit a×Nr=Nm+r+b×Nr
or ln(a×Nr×
N2 )
ln N=
ln( a×N2
×Nr)lnN
¿ln( a×N
2 )+r ln N
ln N¿
ln( a×N2 )
lnN+r or E( ln( a×N
2 )ln N )=men vertu de l'écriture (a ) [m;b ] .
Donc E( ln( a×N2 )
ln N+r)=m+r .
Alors E( ln(a×Nr×N2 )
ln N )=m+r .
D'où (a×Nr ) [m+r ;b×Nr ] .
Exemple :
Soit (50 ) [ 5 ;18 ] .
Déduire les coordonnées des briques 100 et 199 sur la même pyramide.
De (50 ) [5 ;18 ] on a 50=x5+18 soit x=2.
Les coordonnées de la brique 100
De (50 ) [5 ;18 ] on a (50×2 ) [5+1 ;18×2 ]
51
d'où (100 ) [6 ;36 ] .
Les coordonnées de la brique 199
De (50 ) [5 ;18 ] on a ( 50×22 ) [5+2;18×22 ]
soit (200 ) [ 7 ;72 ]
soit encore (200−1 ) [ 7 ;72−1 ]
d'où (199 ) [7 ;71 ] .
Soit (5 ) [ 1 ;−6 ] sur la PB11.
Déduire les coordonnées des briques 55 et 6660 sur la PB11 sachant que 6655=113×5.
Les coordonnées de la brique 55
De (5 ) [1 ;−6 ] on a (5×11 ) [1+1 ;−6×11 ]
d'où (55 ) [2 ;−66 ] .
Les coordonnées de la brique 6660
De (5 ) [1 ;−6 ] on a (5×113 ) [1+3 ;−6×113 ]soit (6655 ) [ 4 ;−7986 ]
soit encore (6655+5 ) [ 4 ;−7986+5 ]
d'où (6660 ) [ 4 ;−7981 ] .
Corollaire −Si on a (a×Nr ) [m+r ;b×Nr ] sur la PBNalors on aura aussi (a ) [m;b ] sur la même pyramide .
Exemple :
52
Soit (700000 ) [ 6 ;−300000 ] sur la PB10.
Déduire les coordonnées des briques 7000 et 710 sur la PB10.
Les coordonnées de 7000
De (700000 ) [6 ;−300000 ] on a (7000×102 ) [4+2 ;−3000×102 ]
D'où (7000 ) [ 4 ;−3000 ] .
Les coordonnées de 710
De (700000 ) [6 ;−300000 ] on a (700×103 ) [3+3 ;−300×103 ]
soit (700 ) [ 3;−300 ]
soit encore (700+10 ) [3 ;−300+10 ]
D'où (710 ) [ 3 ;−290 ] .
Soit (1000 ) [ 9 ;488 ] sur la PB2.
Déduire les coordonnées de la brique 213 sur la PB2.
De (1000 ) [9 ; 488 ] on a (250×22 ) [7+2;122×22 ]
soit (250 ) [ 7 ;122 ]
soit encore (250−37 ) [ 7 ;122−37 ]
D'où (213 ) [ 7 ;85 ] .
Théorème 2. −Si(a; b)avec a>1et b>1est unnégatèque double sur la PBN alors (a×N r ;c ×N r )est aussiunnégatèque double sur≤PBN .
En vertu du théorème 1 si on a : (a ) [m;−b ] avec a>1sur la PBN alors on aura aussi (a×Nr ) [m+r ;−b×Nr ]sur la PBN .
53
Si du reste on a (b ) [m;−a ] avec b>1alors (b ) [m;−a ] sur la PBN donnera (b×Nr ) [m+r ;−a×Nr ]sur la PBN .
On a donc :
(a×Nr ) [m+r ;−b×Nr ] (b×Nr ) [m+r ;−a×Nr ]}⇒ (a×N r; b×Nr ) est un négatèque double.
(i) Les négatèques doubles du summum
Théorème 3. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur la PBN ona :
On a : (0 ) [ 1;−N ] et (N ) [ 1;0 ] soit (N ) [1 ;−0 ] alors (0 ;N )est un n é gat èque double.
De (0 ) [1 ;−N ] on déduit (0+1 ) [ 1 ;−N+1 ] soit (1 ) [ 1 ;1−N ] .
De (N ) [1 ;0 ] on déduit ( N−1 ) [1 ;0−1 ] soit (N−1 ) [ 1;−1 ] .
On a donc : (1 ) [1 ;1−N ] (N−1 ) [1 ;−1 ]}⇒ (1 ;N−1 ) est un négatèque double.
Soit (a ) [1 ;−b ] avec a>1 sur la PBN et N>2.
De (a ) [ 1;−b ] on a : a=N−b soit b=N−a .
Si on suppose que b>1 ,on aura :
ln(b×N2 )
lnN=
ln(N×b2 )
ln N¿
ln N+lnb2
ln N¿1+
lnb2
ln N.
54
On a supposé que b>1alors on a : b≥2
⇒ ln b≥ ln2
⇒ ln b−ln2≥0
⇒ ln b−ln 2ln N
≥0car ln N>0 puisque N>2
D'où ln
b2
ln N≥0.¿
D'autre part l' égalit é a=N−b indique que b<2N.
En effet si b≥2 N alors on aura : N−b≤−N soit a≤−N ; or a>1 et donc a>0.
D'o ù b<2 N.
De là on a :
b2<N
⇒ lnb2< ln N
D'où ln
b2
ln N<1.¿
Somme toute ¿
On a donc : (a ) [ 1 ;−b ] (b ) [ 1 ;−a ]}⇒ (a ;b ) est un négatèque double.
Si on suppose maintenant que b=1,on aura :
55
(a ) [ 1 ;−1 ] soit a=N1−1 ; (a ) [ 1;−1 ] devient (N−1 ) [ 1 ;−1 ] ce qui ramène à un cas déjà traité à savoir le négatèque double (1 ;N−1 ) .
En définitive on peut affirmer sans l’ombre d’un doute que tout négatèque du summum d’une pyramide fait partie d’un négatèque double.
Exemple :
Ona: (4 ) [ 1 ;−3 ] sur la PB7 alors (4 ;3 )est un négatèque double.
Ona: (9 ) [1 ;−4 ] sur la PB13 alors (9 ; 4)est un négatèque double.
Ona: (10 ) [1 ;−12 ] sur la PB22 alors (10 ;12 ) est un négatèque double.
(ii) L’absence de négatèques doubles sur les soutrates de la PB3
Théorème 4. ─ Il n’existe pas de négatèques doubles sur une soutrate de la PB3.Soit (a ) [m;−b ] un négatèque sur la PB3 avec m>1.
Montrons qu'on a pas (b ) [m;−a ] ou que E ( log3 (3b/2 ) )≠mavec b>1.
Puisque m>1de (a ) [m;−b ] on a forcément E ( log3 (3a /2 ))=m
⇒m≤ln (a×3
2 )ln 3
<m+1
⇒m ln 3≤ ln(a×32 )<(m+1 ) ln3
⇒ ln3m≤ ln(a×32 )< ln3m+1
56
⇒3m≤a×32<3m+1
⇒2.3m−1≤a<2.3mor a=3m−bd'après (a ) [m;−b ]
⇒2.3m−1≤3m−b<2.3m
⇒2.3m−1−3m≤−b<3m
⇒−3m<b≤3m−2.3m−1
⇒0<b≤3m−2.3m−1
⇒0<b≤3m−1 (3−2 )
⇒0<b≤3m−1
⇒0<b×32≤
3m
2
⇒b×32≤
3m
2.
Supposons que b>1.
On a donc ln(b×3
2 )ln 3
≤ln
3m
2ln 3
E⇒ ( ln(b×32 )
ln 3 )≤E( ln3m
2ln 3 )
57
or ln
3m
2ln 3
=ln 3m+ ln
12
ln3¿ ln 3m−ln 2
ln 3¿m− ln 2
ln 3
d'autre part ln2ln3
≈0,63 et donc E(m− ln 2ln 3 )<msoit E( ln
3m
2ln3 )<m .
Alors E( ln(b×32 )
ln3 )≤E( ln3m
2ln 3 )<m
soit E (log3 (3b/2 ) )≠m .
Supposons maintenant que b=1.
On aura donc (a ) [m;−1 ] ;mais a-t-on (1 ) [m;−a ] avec m>1 ?
Sur la PB3 on a plutôt (1 ) [ 1;−2 ] avec un IDK égal à l'unité.
Ainsi on a pas (1 ) [m;−a ] avec m>1.
(iii) Les négatèques doubles d’une soutrate d’une pyramide originelle de base supérieure à 3
Théorème 5. −(2 Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k )est unnégatèque double sur la PBN avec N≥4 ,m∈N ¿et k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm. Soit la PBN avec N≥ 4
Ona: (0 ) [1 ;−N ]
⇒ (0+2 ) [ 1 ;−N+2 ]
58
⇒ (2 ) [ 1;2−N ]
⇒ (2Nm ) [1+m;2 Nm−Nm+1 ] avec m∈N ¿
⇒ (2Nm+k ) [1+m;2Nm−Nm+1+k ] avec k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .
Montrons que (2 Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k ) est un n égat èque double.
Pour ce faire il suffit de montrer que E( ln [( Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]
ln N )=1+m .
Avant tout montrons que Nm+1−2Nm−k>1.Ona: k ≤Nm+1−4 Nm
⇒2Nm≤Nm+1−2 Nm−k or N≥ 4
⇒2≤Nm+1−2Nm−k
alors Nm+1−2 Nm−k>1.
Maintenant calculons E( ln [ (Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]
ln N ) .On a:
ln [ (Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]
ln N=
ln N+ ln(Nm+1−2 Nm−k2 )
ln N¿1+
ln(Nm+1−2 Nm−k2 )
ln N.
Si k a la plus petite valeur c'est-à-dire que k=0 on aura :
1+ln(Nm+1−2 Nm−k
2 )ln N
=1+ln(Nm+1−2Nm
2 )ln N
¿1+ln [Nm (N−2 )
2 ]ln N
¿1+ln Nm+ ln(N−2
2 )ln N
¿1+m+ln(N−2
2 )ln N
.
59
Or N−2
2<N et donc ln(N−2
2 )< ln Nsoit ln(N−2
2 )ln N
<1.
D'autre part on a :
N≥4
N⇒ −2≥2
⇒N−22
≥1
⇒ ln(N−22 )≥0.
Ainsi 0≤ln(N−2
2 )lnN
<1 et donc E(1+m+ln(N−2
2 )ln N )=1+m.
AlorsE( ln [( Nm+1−2Nm−k )×N2 ]
ln N )=1+m .
Si k a la plus grande valeur c'est-à-dire que k=Nm+1−4Nmon aura :
1+ln(Nm+1−2 Nm−k
2 )ln N
=1+ln(2 Nm
2 )ln N
¿1+ ln Nm
ln N¿1+m
60
donc E(1+m+ln(N−2
2 )ln N )=1+m.
AlorsE( ln [( Nm+1−2Nm−k )×N2 ]
ln N )=1+m .
Il se trouve donc que pour k allant de 0àNm+1−4Nm on a : E( ln [ (Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]
ln N )=1+m .
D'où ( 2Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k ) est un négat èque double avec N≥4 et k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .
Nota :
Pour la PB2 on rappelle qu’il n’y a que deux négatèques doubles à savoir (0 ;2 ) et (1 ;1 ).
Si k=0alors (2 Nm+k ) [1+m;2 Nm−Nm+1+k ]devient (2Nm ) [1+m;2 Nm−Nm+1 ] c'est-à-dire un occidentèque.
Théorème 6. −(2 Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k )n' est pasunnégatèquedouble dans≤PBN avec N≥4 ,m∈N ¿et k un entier naturel tel que k>Nm+1−4 Nm. Soit la PBN avec N≥ 4.
Ona: (0 ) [1 ;−N ]
⇒ (0+2 ) [ 1 ;−N+2 ]
⇒ (2 ) [ 1;2−N ]
61
⇒ (2Nm ) [1+m;2 Nm−Nm+1 ] avec m∈N ¿
⇒ (2Nm+k ) [1+m;2Nm−Nm+1+k ] avec k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .
Si k=Nm+1−4 Nm+k 'avec k '>0alors (2 Nm+k ) [1+m;2 Nm−Nm+1+k ] devient ( Nm+1−2Nm+k ' ) [1+m; k '−2 Nm ] .
Si 2Nm−k '>1.
Onaura :ln [ (2 Nm−k ' )×N
2 ]ln N
=ln N+ ln(2 Nm−k '
2 )ln N
¿1+ln(2 Nm−k '
2 )ln N
.
Si ln(2Nm−k '
2 )ln N
≥m
⇒ ln (2 Nm−k '
2 )≥m lnN
⇒ ln (2 Nm−k '
2 )≥ ln Nm
⇒ 2Nm−k '
2≥Nm
2⇒ Nm−k ' ≥2 Nm
⇒ k ' ≤0or k '>0.
Cette contradiction indique que (Nm+1−2Nm+k ' ;2 Nm−k ' ) ne constitue pas un n égat èque double .
62
Si ln(2Nm−k '
2 )ln N
<malorsE(1+ln (2Nm−k '
2 )ln N
)≠1+m.
Ainsi E( ln [ (2 Nm−k ' )×N2 ]
ln N )≠1+m et donc (Nm+1−2 Nm+k ' ;2Nm−k ' ) ne constitue pas un négat èque double .
Si 2Nm−k ' ≤1alors 2Nm−k '=1 ou 2 Nm−k '=0.
Si 2Nm−k '=1 alors (Nm+1−2Nm+k ' ) [1+m;k '−2 Nm ]devient (Nm+1−1 ) [ 1+m;−1 ] avec 1+m>1
or (1 ) [ 1;1−N ]
Ainsi (Nm+1−1 ;1 ) ne constitue pas un n égat èque double.
Si 2Nm−k '=0 alors ( Nm+1−2Nm+k ' ) [1+m;k '−2Nm ]devient ( Nm+1 ) [ 1+m;0 ] avec 1+m>1
or (0 ) [ 1 ;−N ]
Ainsi (Nm+1 ;0 ) ne constitue pas un n égat èque double.
(iv) Forme générale des négatèques doubles d’une soutrate
Corollaire 1. −En vertu des théorèmes 5 et 6 la forme générale d'un négatèques double d'une soutrate apparaît être:
(2Nm+k ;Nm+1−2Nm−k )avec N≥ 4 ,m∈N ¿et k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .
Corollaire 2. ─ Sur une soutrate de la PB4 il n’y a qu’un seul négatèque double.
63
En effet la forme générale d’un négatèque double quelconque d’une soutrate de la PB4 en vertu du corollaire 1 est:(2× 4m+k ; 4m+1−2×4m−k ) avecm∈N ¿et k un entier naturel tel que k ≤0.
Soit ( 2×4m ;4m+1−2× 4m ) avecm∈N ¿ .
Soit encore ( 2× 4m ) [1+m;2×4m−4m+1 ]et ( 4m+1−2× 4m ) [1+m;−2× 4m ] avecm∈N ¿ .
Or chaque valeur de m est associée à une seule soutrate.
Donc (2×4m; 4m+1−2× 4m ) est unique par soutrate .
Corollaire 3. ─ Sur une soutrate de la PB4 le négatèque double qu’on y trouve est un négatèque double identique.On vient de voir que ce négatèque double est (2×4m; 4m+1−2× 4m ) .
Soit ( 2×4m ;4×4m−2×4m ) .
Soit enfin (2× 4m ;2× 4m ) .
Théorème 7. ─ La PB4 est un cas exceptionnel de pyramide originelle où l’on ne trouve qu’un seul le négatèque double par soutrate.Pour que le négatèque double (2Nm+k ;Nm+ 1−2Nm−k ) soit unique par soutrate il fautque k ait une valeur constante.
On sait que : 0≤k ≤Nm+1−4 Nm.
Pour que k ait une valeur constante il faut que ses valeurs extrêmes soit égales c'est-à-dire que Nm+1−4 Nm=0
⇒N−4=0 puisque N≥2 ;N étant une base de numération
⇒N=4
64
Il n’y a pas de pyramide originelle autre que la PB4 où on ne rencontre qu’un seul négatèque double par soutrate.
65
(v) Comment déterminer les négatèques doubles différents d’une soutrate
Soit (a ) [m;−b ] un occidentèque d'une soutrate d'une pyramide de base numérale supérieure à 3.
Si c est la valeur de |a−b|+1
2arrondie au nombre entier le plus proche alors cest aussi le nombre de négatèques doubles différents de la strate № m.
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(a;b ) , (a+1;b−1 ) , (a+2 ;b−2 ) ,⋯ , (a+c−1; b−c+1 ) .
Exemple :
Déterminer tous les négatèques doubles différents des strates №2, №5 et №13 de la PB11.
Strate №2
Ona: (2 ) [ 1 ;−9 ]
⇒ (2×11 ) [ 1+1 ;−9×11]
⇒ (22 ) [ 2;−99 ]
Onaussi:|22−99|+1
2≈38.
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(22 ;99 ) , (23 ;98 ) , (24 ;97 ) ,⋯ , (60 ;61 ) .
Strate №5
Ona: (2 ) [ 1 ;−9 ]
⇒ (2×114 ) [1+4 ;−9×114 ]
66
⇒ (29282 ) [ 5 ;−131769 ]
Onaaussi :|29282−131769|+1
2≈51244.
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(29282 ;131769 ) , (29283 ;131768 ) , (29284 ;131767 ) ,⋯ , (80525 ;80526 ) .
Strate №13
Ona: (2 ) [ 1 ;−9 ]
⇒ (2×1112) [1+12 ;−9×1112 ]
⇒ (6276856753442 ) [ 13 ;−28245855390489 ]
Onaaussi :|6276856753442−28245855390489|+1
2=10984499318524.
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(6276856753442 ;28245855390489 ) , (6276856753443;28245855390488 ) ,⋯ , (17261356071965;17261356071966 ) .
Nota :
Soit (a ) [m;−b ]est un occidentèque d’une soutrate d’une pyramide de base de numération supérieure à 3. En allant de la gauche vers la droite c’est à partir de la brique b+1qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur la strate №m.
Exemple :
En allant de la gauche vers la droite à partir de quelle brique ne rencontre-t-on plus de négatèques doubles sur les strates №3, №14 et №23 de la PB18 ?
Strate №3
67
Ona: (2 ) [ 1 ;−16 ]
⇒ (2×182 ) [1+2 ;−16×182 ]
⇒ (648 ) [ 3 ;−5184 ]
C’est à partir de la brique 5185 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Strate №14
Ona: (2 ) [ 1 ;−16 ]
⇒ (2×1813) [1+13 ;−16×1813 ]
⇒ (2×1813) [ 14 ;−333167437850738688 ]
C’est à partir de la brique 333167437850738689 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Strate №23
Ona: (2 ) [ 1 ;−16 ]
⇒ (2×1822) [1+22 ;−16×1822 ]
⇒ (2×1822) [ 23 ;−66086856545797269256283357184 ]
C’est à partir de la brique 66086856545797269256283357185 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
(2) Positèque
Un positèque est une brique qui est située à droite de l’axe des IDK. Son IDP est nécessairement positif.
Exemple :
68
Les briques 293, 4919 et 83531 sont des positèques sur la PB17 car on a : (293 ) [ 2; 4 ] , (4919 ) [ 3 ;6 ] et (83531 ) [ 4 ;10 ] .
Nota :
Lorsqu’on écrit un positèque dans la base de numération d’une pyramide originelle, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK augmenté de l’unité.
Sur la PBN si a>N il est impossible de savoir si a est un positèque ou un négatèque à moins de déterminer au préalable ses coordonnées.
Exemple :
On ne peut pas savoir si la brique 6 est un positèque ou un négatèque sur la PB3 ou la PB4. Toutefois en déterminant ses coordonnées dans ces structures numériques on a :
(6 ) [ 2 ;−3 ] sur la PB3 et (6 ) [ 1;2 ] sur la PB4.
Ainsi la brique 6 est un positèque sur la PB4 mais devient un négatèque sur la PB3.
Soit aun positèquetel que (a ) [m; b ] sur la PBN.
Est-il possible d'avoir (b ) [m; a ] sur la PBN ?
De (a ) [m;b ] on a : a=Nm+b .
Si on a (b ) [m;a ] alors : b=Nm+a .
En sommant ces égalités membre à membre on obtient :
a+b=2Nm+a+b
soit 0=2 Nm; or N est non nul.
69
Ainsi la conception de « positèque double » à l’instar de la notion de négatèque double n’est point envisageable sur la PBN.
(3) Axitèque
Une brique est un axitèque si sa position est celle de l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.
Exemple :
Les briques 49, 343 et 16807 sont des axitèques sur la PB7 car on a : (49 ) [ 2 ;0 ] , (343 ) [ 3 ;0 ] et (16807 ) [ 5 ;0 ] .
Nota :
Lorsqu’on écrit un axitèque dans la base de numération d’une pyramide originelle, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK augmenté de l’unité.
c) Iso-IDK, iso-IDP et IDP transitèque
(1) Iso-IDK
Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.
Exemple :
Les briques 14, 17 et 22 sont des iso-IDK sur la PB4 car on a : (14 ) [ 2 ;−2 ] , (17 ) [ 2;1 ] et (22 ) [ 2;6 ] .
Sur la PBN soit (k ) [ p ;r ].
Le plus petit iso-IDK de la brique k est [ 20⋯ 0 ]N ; après « 2 » il y a p−1 caractères « 0 ».
70
Le plus grand iso-IDK de la brique k est [ 1n⋯ n ]N ; après « 1 » il y a p caractères « n » avec [n ]N=N−1 .
Ainsi [ 20⋯ 0 ]N≤k≤ [ 1n⋯ n ]N .
Exemple :
Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64 sur la PB16. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 64.
Ona: (64 ) [ 2;−192 ]
Le plus petit iso-IDK de la brique 64 est [ 20 ]16 soit 32.
Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est [ 1FF ]16 soit 511.
Le nombre d’iso-IDK de la brique 64 est 511−32+1−1 soit 479.
Nota :
La brique 64 elle-même n’est pas comptée dans l’exemple précédent.
(a) Iso-IDK G ou iso-IDK gauche
Un iso-IDK gauche d’une brique est une brique située à gauche de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ ) [ p;m ] et ( ε ) [ p ;n ]
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la PB3 ?
On a (252 ) [ 5 ;9 ]
Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 2×35−1 soit 162.
71
En effet on a : (162 ) [5 ;−81 ] et (161 ) [ 4 ;80 ] .
(b) Iso-IDK D ou iso-IDK droite
Un iso-IDK droite d’une brique est une brique située à droite de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ ) [ p;m ] et ( ε ) [ p ;n ]
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDK D de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 417 sur la PB8 ?
On a (417 ) [ 3 ;−95 ]
Le plus grand iso-IDK D de la brique 417 est 2 ×83−1soit 1023.
En effet on a : (1023 ) [ 3 ;511 ] et (1024 ) [ 4 ;−3072 ] .
(2) Iso-IDP
On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.
Exemple :
Les brique 46, 16804 et 1977326740 sont des iso-IDP sur la PB7 car on a : (46 ) [2 ;−3 ] , (16804 ) [7 ;−3 ] et (1977326740 ) [11 ;−3 ] .
72
Nota :
Certes les iso-IDK sont dénombrables, mais les iso-IDP ne sont pas dénombrables.
(a) Détermination des iso-IDP
Soit ( x ) [ y ;q ] sur la PBN (N>2).
Si q≥0
De ( x ) [ y ;q ] on a : q≤N y−1(Pour comprendre pourquoi voir PBN).
⇒N y≥q+1
soit y ≥ln (q+1 )
ln N.
Si q<0
De ( x ) [ y ;q ] on a : q≥2 N y−1−N y(Pour comprendre pourquoi voir PBN).
⇒N y−1 (2−N )≤q or N>2 soit 2−N<0
⇒ N y−1≤q
2−N
⇒ y−1≥ln( q
2−N )ln N
car q<0et 2−N<0 partant q
2−N>0
soit y ≥1+ln( q
2−N )ln N
.
73
Exemple :
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 46663 sur la PB6.
On a :
(46663 ) [6 ;7 ] et ln (7+1 )
ln 6≈1,161.
Donc le plus petit iso-IDP la brique 46663 sur la PB6 est ( 43 ) [2 ;7 ].
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 9904578032905935 sur la PB17.
On a :
(9904578032905935 ) [ 13 ;−2 ] et 1+ln( −2
2−17 )ln 17
≈0,289.
Donc le plus petit iso-IDP de la brique 9904578032905935 sur la PB17 est (15 ) [ 1;−2 ] .
Sur la PBN soit (k ) [ p ;r ] et ( [ ab ]N ) [ p ' ;r ] avec p≥ p’ (on suppose que a ne représente pas plus d’un chiffre ou pas plus d’un caractère).
o Si r ≥0
alors k=[ a0⋯0b ]N ; entre « a » et « b » il y a p−p ' caractères « 0 ».
o Si r<0
alors k=[ n⋯nab ]N ; devant «ab » il y a p−p ' caractères « n » avec [ n ]N=N−1 .
Application :
74
Sur la PB3 on a : ( [ 120 ]3 ) [ 2;6 ] . Déduire l’écriture de 1162261473 dans la base 3.
On a (1162261473 ) [ 19 ;6 ]sur la PB3 d’où 1162261473=[ 10000000000000000020 ]3.
Sur la PB5 on a : ( [ 440 ]5 ) [3 ;−5 ] . Déduire la transcription de 1220703120 dans la même base.
On a (1220703120 ) [ 13;−5 ]sur la PB 5d’où 1220703120= [ 4444444444440 ]5.
(b) Iso-IDP H ou iso-IDP haut
Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci sur la PBN.
Soit (γ ) [m; q ] et ( ε ) [n; q ]
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 sur la PB619 ?
On a (383158 ) [ 2 ;−3 ]
Le plus iso-IDP H de la brique 383158 au vu des coordonnées de ce dernier sur la PB619 doit avoir pour IDK 1.
Ainsi (616 ) [ 1 ;−3 ] est le plus petit iso-IDP H de brique 383158.
Nota :
Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une pyramide alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la pyramide.
75
(c) Iso-IDP B ou iso-IDP bas
Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la PBN.
Soit (γ ) [m; q ] et ( ε ) [n; q ]
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Trouver l’iso-IDP B de 233 sur la PB439 ayant pour IDK 3 .
On a (233 ) [1 ;−206 ] .
Ainsi (84604313 ) [ 3 ;−206 ] est l’iso-IDP B cherché.
(3) IDP transitèque
Une brique est dite IDP transitèque ou simplement transitèque sur la PBN et la PBN’ lorsque son IDP est le même sur ces pyramides originelles.
Soit (m ) [ pq ;r ] sur la PBN.
On a :
m=N pq+r¿ (N p )q+r soit (m) [q ;r ]sur la PB N p¿ (Nq )p+r soit (m) [ p ;r ] sur la PBN q¿ (N pq )+r soit (m ) [1 ;r ]sur la PB N pq .Il apparaît donc que la brique
m est transitèque sur la PB N p, la PBNq et la PBN pq.
Exemple :
On a :
(2405 ) [ 4 ; 4 ] ; (2405 ) [ 2; 4 ] ; (2405 ) [1 ;4 ] .
76
La brique 2405est donc transitèque sur la PB7, la PB49 et la PB2401.
2. Pyramide parallèle
a) Présentation
PBN i se lira tout simplement « pyramide parallèle de base N passant par i ».
Soient [i]N tel que [i]N=i avec N un entier naturel supérieur ou égal à 2 ; 0<i<N−1 et [n]N=N−1.
…
Nr−1−i (Nr−1 )N−1
…
N3−i (N4−1 )N−1
…
N2−i (N3−1 )N−1
…
N−i (N2−1 )N−1
… 0 …
N−1−i (N−1 )N−1
…
N2−1−i (N2−1 )N−1
…
N3−1−i (N3−1 )N−1
…
N 4−1−i ( N4−1 )N−1
…
Nr−1−i ( Nr−1 )N−1
…
… i
i (N1−1 )N−1
… nN-1
10N
ii
i (N2−1 )N−1
… nnN2-1
100N2
iii
i (N3−1 )N−1
… nnnN3-1
1000N3
iiii
i (N4−1 )N−1
… nnnnN4-1
⋮10…00Nr-1
ii…i
i (N r−1 )N−1
n…nnNr-1
77
78
…
Nr−1−i (Nr−1 )N−1
…
N3−i (N4−1 )N−1
…
N2−i (N3−1 )N−1
…
N−i (N2−1 )N−1
… 0 …
N−1−i (N−1 )N−1
…
N2−1−i (N2−1 )N−1
…
N3−1−i (N3−1 )N−1
…
N 4−1−i ( N4−1 )N−1
…
Nr−1−i ( Nr−1 )N−1
…
… 1 … nN-1
10N
2 … nnN2-1
100N2
3 … nnnN3-1
1000N3
4 … nnnnN4-1
⋮10…00Nr-1
r n…nnNr-1
PBN i
Nota :
Si i=N−1avec N≥2 alors la PBN i devient :
…
Nr−1−Nr+1…
N3−N4+1…
N2−N3+1…
N−N2+1… 0
… i
N−110N
ii
N2−1100N2
iii
N3−11000N3
iiii
N 4−1⋮
10…00Nr-1
ii…i
Nr−1
79
…
Nr−1−Nr+1…
N3−N4+1…
N2−N3+1…
N−N2+1… 0
… 110N
2
100N2
3
1000N3
4
⋮10…00Nr-1
r
Ces deux derniers tableaux ont l’allure d’une demi-pyramide. Ils font l’objet d’une étude spécifique dans une autre section (Voir page 103).
La colonne de la PBN i renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que la ligne qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la pyramide.
Exemple :
La brique 11 sur la PB31, la PB41 et la PB4 2est repérée comme suit :
PB31 : (11 )1 [ 3 ;−2 ] PB41: (11 )1 [ 2;6 ] PB4 2: (11 )2 [ 2;1 ]
Nota :
Dans les décompositions qui précèdent le nombre souligné est appelé IDK8 tandis que celui qui le suit immédiatement est nommé IDP9.
Pour tout k de la PBN i si ona: k ≤Nr−1
8 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili).9 IDP : idadi ya pili (deuxième nombre en swahili).
80
⇒ k+1≤Nr
⇒ ln (k+1 )≤r ln N
soit r ≥ln (k+1 )
ln N.
Sur la PBN i pour (k )i [ p ;q ](lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q sur la PBN i » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») on a :
o k=i (N p−1 )N−1
+q
o pest la plus petite valeur entière non nulle qui vérifie l'inéquation x ≥ln ( k+1 )
ln N
o (k ±k ' )i [ p ; q±k ' ] avec N p−1−i ( N p−1 )N−1
≤q±k '<N p−1−i ( N p−11 )N−1
Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la PB51, la PB7 4, la PB108 et la PB29861.
Sur la PB51
(34 )1 [ 3 ;3 ] ; ( 454 )1 [ 4 ;298 ] ; (1511 )1 [ 5;1355 ] et (269965 )1 [ 8 ;172309 ] .
Sur la PB7 4
(34 )4 [ 2;2 ] ; (454 )4 [ 4 ;−1146 ] ; (1511 )4 [ 4 ;−89 ] et (269965 )4 [ 7 ;−279063 ] .
Sur la PB108
(34 )8 [ 2 ;−54 ] ; (454 )8 [ 3 ;366 ] ; (1511)8 [ 4 ;−7377 ] et (269965 )8 [ 6 ;−618923 ] .
Sur la PB29861
(34 )61 [ 1;−27 ] ; (454 )61 [ 2 ;−17785 ] ; (1511 )61 [2 ;−16728 ] et (269965 )61 [ 3 ;−5165318 ] .
81
Àquelle basede numérationa -t-on affaire si on a : (a )i [m;b ] ?
Désignons par x la base de numération de la pyramide parallèle.
De (a )i [m;b ] on a :
a=i (xm−1 )x−1
+b
⇒i (xm−1 )x−1
=a−b
⇒ xm−1x−1
=a−bi
.
x sera tel que : x=E(m−1√ a−bi )avec m−1>1.
À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (781 )3 [ 4 ;4 ] , (781 )11 [ 3 ;−1540 ] ou (781 )27 [2 ;−758 ] ?
Désignons par x la base de numération de la pyramide parallèle.
De (781 )3 [ 4 ;4 ] on a : x=E( 3√ 7773 ) soit x=6. Alors la base est six.
De (781 )11 [3 ;−1540 ] on a : x=E(√ 232111 ) soit x=14. Alors la base est quatorze.
De (781 )27 [ 2 ;−758 ] on a : 781=27 (x2−1 )
x−1−758=27 ( x+1 )−758 soit x=56. Alors la base est cinquante-six.
82
Nota :
Si l’IDK d’une brique est 1 il est pratiquement impossible de préciser la base de numération de la pyramide à laquelle elle appartient.
Eneffet si on a : (p )i [ 1 ;q ] et que nous désignons par x la base de numération de la pyramide .
On aura :
p=i ( x1−1 )x−1
+q
⇒ p=i+q .
Ainsila base denumération resteinconnue .Toutefoison la sait vérifiant larelation suivante :1≥ln ( p+1 )
ln xsoit x ≥ p+1.
La configuration d’une pyramide présente une stratification des briques :
La première strate ou strate № 1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.
La deuxième strate ou strate № 2 a quant à lui des briques dont l’IDK est 2.
La troisième strate ou strate № 3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.
Et ainsi de suite.
Nota :
Les strates autres que le summum sont appelées soutrates.
La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est nommée brique itineris10. Pour la PBN i la brique itineris est i.
10 Itineris : mot latin signifiant chemin.
83
Toute brique qui est au début d’une strate d’une pyramide est appelé un occidentèque tandis que toute briques qui termine une strate est un orientèque. Au summum d’une pyramide l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.
Pour une strate autre que le summum l’occidentèque est de la forme Nr−1avec N, un entier naturel supérieur à 2, comme base numérale et r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r.
L’orientèque est de la forme Nr−1 avec N comme base numérale et r∈N ¿ quelle que soit la strate. Cet orientèque est de la strate № r .
b) Négatèque, positèque et axitèque
(1) Négatèque
Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il indubitablement négatif.
Exemple :
La brique 61 est un négatèque sur la PB1910. En effet on a : (61 )10 [2 ;−139 ] .
La brique 201791851 est un négatèque sur la PB335. En effet on a : (201791851 )5 [ 6 ;−19 ] .
La brique 64302800 est un négatèque sur la PB10260. En effet on a : (64302800 )60 [ 4 ;−100 ] .
Soit (k )i [ 1; q ] sur la PBN i .
Si k<i alors k est un négatèque sur la PBNi .
En effet si k est un négatèque on aura :
q<0 or k=i (N−1 )N−1
+q soit q=k−i
84
⇒ k−i<0
d'où k<i .
(a) Négatèque double
Soit aunnégatèque tel que (a )i [m;−b ] sur la PBNi .
Si on a : (b )i [m;−a ] ou m≥ logN (b+1 ) alors (a ; b)sera appelé négat èque double.
Nota :
(a;b)et (b ;a)correspondent au même négatèque double.
(i) Négatèque double identique
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a=b alors on parle de négat è que double identique.
Siaest unnégatèque telque (a )i [m;−a ] sur la PBN i alors a=i (Nm−1 )N−1
−a soit a=i (Nm−1 )2 (N−1 )
.
Nota :
aexiste si l'une des conditions suivantes est remplie:
i est pair i est impair et différent de l'unité ;N est impair tandis que m est pair
Exemple :
(195 ;195)est un négatèque double identique sur la PB2515 car on a en effet : (195 )15 [ 2 ;−195 ] .
85
(208 ;208)est un négatèque double identique sur la PB2516 car on a en effet : (208 )16 [2 ;−208 ] .
(656410 ;656410 ) est un négatèque double identique sur la PB4020 car on a en effet : (656410 )20 [ 4 ;−656410 ] .
(45502613 ; 45502613 ) est un négatèque double identique sur la PB4326 car on a en effet : (45502613 )26 [ 5 ;−45502613 ] .
(3864028077 ;3864028077 )est un négatèque double identique sur la PB619 car on a en effet : (3864028077 )9 [6 ;−3864028077 ] .
(25627 ;25627 )est un négatèque double identique sur la PB6014 car on a en effet : (25627 )14 [3 ;−25627 ] .
(ii) Négatèque double différencié
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a≠b alors on parle de n égat è que double différencié.
Exemple :
(194 ;196 )est un négatèque double identique sur la PB2515 car on a en effet : (194 )15 [ 2 ;−196 ] et (196 )15 [ 2 ;−194 ] .
(207 ;209 ) est un négatèque double identique sur la PB2516 car on a en effet : (207 )16 [ 2 ;−209 ] et (209 )16 [ 2 ;−207 ] .
(45502612 ; 45502614 ) est un négatèque double identique sur la PB4326 car on a en effet : ( 45502612 )26 [ 5 ;−45502614 ] et (45502614 )26 [ 5 ;−45502612 ] .
(3864028076 ;3864028078 ) est un négatèque double identique sur la PB619 car on a en effet : (3864028076 )9 [ 6 ;−3864028078 ] et (3864028078 )9 [ 6 ;−3864028076 ] .
(26480 ;26482 ) est un négatèque double identique sur la PB6114 car on a en effet : (26480 )14 [ 3;−26482 ] et (26482 )14 [ 3 ;−26480 ] .
Montrer que sur toute PBNi , (0 ;i ) est un négat èque double différencié .
On a : (0 )i [ 1;−i ] .
On a aussi : (i )i [ 1 ;0 ] soit (i )i [1 ;−0 ] .
86
De plus on a : 0≠i .
D’où (0 ; i ) est un n égat èque double différencié.
(b) Détermination des négatèques doubles
(i) Les négatèques doubles du summum
Théorème 1. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur laPBNiavec 0<i ≤N−1ona :
(0 )i [ 1;−i ] et ( i)i [ 1;0 ] soit (i )i [1 ;−0 ] alors (0 ; i ) est un n égat èque double.
De (0 )i [1 ;−i ] on déduit : (0+1 )i [ 1;−i+1 ] soit (1 )i [ 1;1−i ] .
De ( i )i [ 1;0 ] on déduit : ( i+1 )i [1 ;0+1 ] soit ( i−1 )i [1 ;−1 ] .
On a donc : (1 )i [1 ;1−i ] ( i−1 )i [ 1;−1 ]}⇒ (1 ; i−1 ) est un négatèque double.
Soit (a )i [1 ;−b ] avec a>1 sur la PBNi .
De (a )i [1 ;−b ] on a : a=i−b
De a>1 on a : i−b>1
⇒ i>b+1
⇒b+1<i⇒ ln (b+1 )<ln i⇒ln (b+1 )
ln N< ln i
ln Nor i ≤N−1c.-à -d.
ln iln N
<1d'où ln (b+1 )
ln N<1
On a donc : (a )i [ 1;−b ] et 1≥ logN (b+1 ) alors (a;b)est un négatèque double.
Exemple :
87
Ona: (2 )3 [ 1 ;−1 ] sur la PBN3 avec N>3 alors (2 ;1 ) est un négatèque double.
Ona: (9 )17 [1 ;−8 ] sur la PBN17 avec N>17 alors (9 ;8)est un négatèque double.
Ona: (10 )105 [ 1;−95 ] sur la PBN105 avec N>105 alors (10 ;95 ) est un négatèque double.
(ii) L’absence de négatèques doubles sur les soutrates de la PBN1
Théorème 2. ─ Il n’existe pas de négatèques doubles sur une soutrate de la PBN1.Soit (a )1 [m;−b ] un négatèque du PBN1 avec m>1.
Montrons que logN (b+1 )<mc.-à-d .qu'on a pas (b )1 [m;−a ].
Puisque m>1alors on a a>N−1 ; en effet la brique N−1 appartient au summum .
De (a )1 [m;−b ] on a : a=Nm−1N−1
−b .
Or a>N−1
⇒ Nm−1N−1
−b>N−1
⇒−b>N−1−Nm−1N−1
⇒b<Nm−1N−1
−(N−1 ) or Nm−1N−1
−(N−1 )<Nm−1
⇒b<Nm−1
⇒b+1<Nm
88
d'où logN (b+1 )<m .
(iii) Comment déterminer les négatèques doubles différents d’une soutrate
Soit (a )i [m;−b ] avec i ≠1un occidentèque d'une soutrate d'une pyramide parallèle.
Si c est la valeur de |a−b|+1
2arrondie au nombre entier le plus proche alors cest aussi le nombre de négatèques doubles différents de la strate № m.
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(a;b ) , (a+1;b−1 ) , (a+2 ;b−2 ) ,⋯ , (a+c−1; b−c+1 ) .
Exemple :
Déterminer tous les négatèques doubles différents des strates №2, №5 et №13 de la PB112 et de la PB117 .
Strate №2
Pour la PB112 .
On a: (11 )2 [2 ;−13 ]
Onaussi:|11−13|+1
2≈2
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(11;13 ) et (12 ;12 ) .
Pour la PB117 .
Ona: (11 )7 [2 ;−73 ]
89
Onaussi:|11−73|+1
2≈32
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(11;73 ) , (12;72 ) , (13 ;71 ) ,⋯ , (42 ;42 ) .
Strate №5
Pour la PB112 .
Ona: (14641 )2 [ 5 ;−17569 ]
Onaussi:|14641−17569|+1
2≈1465
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(14641 ;17569 ) , (14642 ;17568 ) , (14643 ;17567 ) ,⋯ , (16105;16105 ) .
Pour la PB117 .
On a: (14641 )7 [ 5 ;−98094 ]
Onaussi:|14641−98094|+1
2=41727
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(14641 ;98094 ) , (14642 ;98095 ) , (14643 ;98096 ) ,⋯ , (56367 ;56368 ) .
Strate №13
Pour la PB112 .
90
Ona: (3138428376721 )2 [ 13 ;−3766114052065 ]
Onaussi:|3138428376721−3766114052065|+1
2≈313842837673
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(3138428376721 ;3766114052065) , (3138428376722;3766114052064 ) , (3138428376723 ;3766114052063) ,⋯ , (3452271214393 ;3452271214393 ) .
Pour la PB117 .
Ona: (3138428376721 )7 [ 13 ;−21027470124030 ]
Onaussi:|3138428376721−21027470124030|+1
2=8944520873655
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(3138428376721 ;21027470124030 ) , (3138428376722 ;21027470124029 ) , (3138428376723 ;21027470124028 ) ,⋯ , (12082949250375 ;12082949250376 ) .
Nota :
Soit (a )i [m;−b ] avec i ≠1un occidentèque d'une soutrate d'une pyramide. En allant de la gauche vers la droite c’est à partir de la brique b+1qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur la strate №m.
Exemple :
En allant de la gauche vers la droite à partir de quelle brique ne rencontre-t-on plus de négatèques doubles sur les strates №3, №14 et №23 de la PB1810 et de la PB1816?
Strate №3
91
Pour la PB1810
Ona: (324 )10 [3 ;−3106 ]
C’est à partir de la brique 3107 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Pour la PB1816
Ona: (324 )16 [3 ;−5164 ]
C’est à partir la brique165 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Strate №14
Pour la PB1810
Ona: (20822964865671168)10 [14 ;−199655486653200022 ]
C’est à partir de la brique 199655486653200023 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Pour la PB1816
Ona: (20822964865671168)16 [14 ;−331942557564522736 ]
C’est à partir de la brique 331942557564522737 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Strate №23
Pour la PB1810
Ona: (4130428534112329328517709824 )10 [ 23 ;−39603520650606451796963923606 ]
92
C’est à partir de la brique 39603520650606451796963923607 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Pour la PB1816
Ona: (4130428534112329328517709824 )16 [23 ;−65843890161437720472252903664 ]
C’est à partir de la brique 65843890161437720472252903665 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
(2) Positèque
Un positèque est une brique qui est située à droite de l’axe des IDK. Son IDP est indubitablement positif.
Exemple :
Les briques 220, 3690 et 62646sont des positèques sur la PB1712 car on a : (220 )12 [2 ;4 ] , (3690 )12 [ 3;6 ] et (62646 )12 [ 4 ;10 ] .
Sur la PBN i (N≥2) si a>N il est impossible de savoir si a est un positèque ou un négatèque à moins de déterminer au préalable ses coordonnées.
Exemple :
On ne peut pas savoir si 7 est un positèque ou un négatèque sur la PB31 ou la PB4 2. Toutefois en déterminant ses coordonnées sur ces structures numériques on a :
(7 )1 [ 2;3 ] sur la PB31 et (7 )2 [ 2 ;−3 ] sur la PB42 .
Ainsi 7 est un positèque sur la PB4 2 mais devient un négatèque sur la PB31.
Soit aun positèquetel que (a )i [m;b ] sur la PBNi .
Est-il possible d'avoir (b )i [m;a ] sur la PBNi ?
93
De (a )i [m;b ] on a: a=i ( Nm−1 )N−1
+b .
Si on a (b )i [m; a ] alors : b=i (Nm−1 )N−1
+a .
En sommant ces égalités membre à membre on obtient :
a+b=2i ( Nm−1 )N−1
+a+b
soit 0=2i ( Nm−1 )N−1
or i ( Nm−1 )N−1
≠0 car on a N >1 et i≠0 .
Ainsi la conception de « positèque double » à l’instar de la notion de négatèque double n’est point possible sur la PBN i.
(3) Axitèque
Une brique est un axitèque si sa position est celle de l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.
Exemple :
Les briques 24, 171 et 8403 sont des axitèques sur la PB73 car on a : (24 )3 [ 2 ;0 ] , (171 )3 [ 3 ;0 ] et (8403 )3 [5 ;0 ] .
Nota :
Lorsqu’on écrit un axitèque dans la base de numération d’une pyramide, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK.
Soit (k )i [ p ;q ] sur la PBN i avec0<i<N−1.
94
Sur quelles pyramides parallèles de même base de numération, k est-il un négatèque, un axitèque ou un positèque ?
De (k )i [ p ;q ] on a :
k=i (N p−1 )N−1
+q soit q=k−i (N p−1 )N−1
.
Si k est un négatèque alors on a : q<0
⇒ k−i ( N p−1 )N−1
<0
⇒i ( N p−1 )N−1
>k
⇒ i>k (N−1 )N p−1
or i<N−1
d'où k (N−1 )N p−1
<i<N−1.
Si k est un axitèque alors on a : q=0
⇒ k−i ( N p−1 )N−1
=0
⇒i ( N p−1 )N−1
=k
d'où i=k (N−1 )N p−1
.
Si k est un positèque alors on a : q>0
De ce qui précède il vient que k est un positèque si on a :
95
i∉ ¿
SoitŲ ( [ i ]N )= {[ i ]N; [ ii ]N ; [ iii ]N ;⋯; avec [ i ]N=[ i ]10et i<N }¿
C’est l’ensemble de nombres qui s’écrivent uniquement avec le caractère « i » dans la base N. Tous les axitèques de la PBN i appartiennent à cet ensemble.
Déterminer l’ensemble des axitèques de la PB108 et de la PB1614 .
Pour la PB108 cet ensemble est : Ų (8 )={8 ;88 ;888 ;⋯ }.
Pour la PB1614 cet ensemble est : Ų ( [ E ]16 )= {[ E ]16 ; [ EE ]16 ; [ EEE ]16;⋯ avec [ E ]16=14 }.
c) Iso-IDK et iso-IDP
(1) Iso-IDK
Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.
Exemple :
Les briques 339, 342 et 347 sont des iso-IDK sur la PB41 car on a : (339 )1 [5 ;−2 ] , (342 )1 [ 5;1 ] et (347 )1 [ 5; 6 ] .
Sur la PBN i (N>2) soit (k )i [ p ;r ].
Le plus petit iso-IDK de la brique k est [ 10⋯0 ]N ; après « 1 » il y a p−1 caractères « 0 ».
Le plus grand iso-IDK de la brique k est [nn⋯n ]N ; il y a p caractères « n » avec [n ]N=N−1 .
96
Ainsi [ 10⋯0 ]N≤k ≤ [nn⋯ n ]N
Exemple :
Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64 sur la PB1611. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 64.
Ona: (64 )11 [ 2 ;−123 ]
Le plus petit iso-IDK de la brique 64 est [ 10 ]16 soit 16.
Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est [ FF ]16 soit 255.
Le nombre d’iso-IDK de la brique 64 est 255−16+1−1 soit 239.
Nota :
La brique 64 elle-même n’est pas comptée dans l’exemple précédent.
(a) Iso-IDK G ou iso-IDK gauche
Un iso-IDK gauche d’une brique est une brique située à gauche de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )i [ p ;m ] et (ε )i [ p; n ]
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la PB31 ?
On a (252 )1 [ 6 ;−112 ]
Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 36−1 soit 243.
En effet on a : (243 )1 [ 6 ;−121 ] et (242 )1 [ 5 ;121 ] .
97
(b) Iso-IDK D ou iso-IDK droite
Un iso-IDK droite d’une brique est une brique située à droite de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )i [ p ;m ] et (ε )i [ p ; n ]
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDK D de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 343 sur la PB86 ?
On a (343 )6 [3 ;−95 ]
Le plus grand iso-IDK D de la brique 343 est 83−1 soit 511.
En effet on a : (511 )6 [ 3 ;73 ] et (512 )6 [ 4 ;−2998 ] .
(2) Iso-IDP
On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.
Exemple :
Les briques 37, 686282 et 1647772282 sont des iso-IDP sur la PB75 car on a : (37 )5 [ 2;−3 ] , (686282 )5 [7 ;−3 ] et (1647772282 )5 [11;−3 ] .
Nota :
Certes les iso-IDK d’un nombre donné sont dénombrables, mais les iso-IDP de ce même nombre sont indénombrables.
98
(a) Détermination des iso-IDP d’une brique
Soit ( x )i [ y ;q ] sur la PBN i.
q<0
De ( x )i [ y ; q ] on a : q≥N y−1−i ( N y−1 )N−1
(Pour comprendre pourquoi voir )
⇒q ≥N y−1− iN y
N−1+ i
N−1
⇒q ≥N y−1(1− iNN−1 )+ i
N−1
⇒N y−1(1− iNN−1 )+ i
N−1≤q
⇒N y−1(1− iNN−1 )≤q− i
N−1
⇒N y−1≥q− i
N−1
1−iN
N−1
car 1−iN
N−1puisque iN>N−1 avec i≥1
⇒N y−1≥q (N−1 )−iN−1−iN
⇒ ( y−1 ) ln N≥ ln( q (N−1 )−iN−1−iN )
99
⇒ y−1≥
ln( q ( N−1 )−iN−1−iN )
ln N
soit y ≥1+ln( q (N−1 )−i
N−1−iN )ln N
.
q≥0
De ( x )i [ y ; q ] on a : q≤N y−1−i (N y−1 )N−1
(Pour comprendre pourquoi voir)
⇒q ≤ ( N y−1 )(1− iNN−1 )
⇒ ( N y−1 )(1− iNN−1 )≥q
⇒N y−1≥q
1−iN
N−1
⇒N y≥1+ q
1−iN
N−1
⇒ y ln N≥ ln(1+q ( N−1 )N−1−i )
soit y ≥
ln(1+q (N−1 )N−1−i )ln N
.
100
Exemple :
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 28000 sur la PB63.
On a :
(28000 )3 [ 6 ;7 ] et
ln(1+7 (6−1 )6−1−3 )ln 6
≈1,628
donc le plus petit iso-IDP de la brique 28000 sur la PB63 est (28 )3 [ 2;7 ].
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 6539772598 sur la PB1715.
On a :
(6539772598 )15 [ 8;−2 ] et 1+ln(−2 (17−1 )−15
17−1−15×17 )ln17
≈0,426
donc le plus petit iso-IDP de la brique 6539772598 sur la PB1715 est (13 )15 [ 1 ;−2 ] .
Soit (k )i [ p ;q ] et ( [m ]N )i [ p ' ;r ] avec p≥ p’ sur la PBN i .
Alors k=[ ii⋯ im ]N ; devant m il y a p−p ' caractères i avec [ i ]N=i .
Application :
Sur la PB84 on a : ( [ 52 ]8 )4 [ 2 ;6 ] . Déduire l’écriture de 4908534058 dans la base 8.
101
Sur la PB84 on a : (4908534058 )4 [11 ;6 ] d’où 4908534058= [ 44444444452 ]8.
Sur la PB1511 on a : ( [ BB6 ]15 )11 [3 ;−5 ] . Déduire la transcription de 1529153267996646 dans la même base.
Sur la PB1511 on a : (1529153267996646 )11 [ 13 ;−5 ] d’où 1529153267996646=[ BBBBBBBBBBBB6 ]15.
Nota :
Lorsqu’on transcrit un nombre dans la base de numération d’une pyramide parallèle, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK.
(b) Iso-IDP H ou iso-IDP haut
Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci dans la PBN i.
Soit (γ )i [m;q ] et ( ε )i [n ;q ] .
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 61997 sur la PB619100?
On a (61997 )100 [ 2 ;−3 ]
Le plus petit iso-IDP H de la brique 61997 au vu des coordonnées de ce dernier sur la PB619100 doit avoir pour IDK 1.
Ainsi (97 )100 [ 1;−3 ] est le plus petit iso-IDP H de la brique 61997.
Nota :
102
Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une pyramide alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la pyramide.
(c) Iso-IDP B ou iso-IDP bas
Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la PBN i.
Soit (γ )i [m;q ] et ( ε )i [n ;q ] .
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Trouver l’iso-IDP B de la brique 233 sur la PB439350ayant pour IDK 3 .
On a (233 )350 [ 1;−117 ]
Ainsi (67606233 )350 [3 ;−117 ] est l’iso-IDP B cherché.
103
3. Demi-pyramide
a) Présentation
La DBN se lit la « Demi-pyramide de base N ».
Soit [n]N tel que [n]N=N-1 et avec N≥2.
… Nr-1-Nr+1 … … N4-N3+1 … N3-N4+1 … N2-N3+1 … N-N2+1 … 1-N …00
… nN-1
… 10N
… nnN2-1
100N2
… nnnN3-1
1000N3
… nnnnN4-1
10000N4
… … nnnnN5-1
⋮10…00Nr-1
… … n…nnNr-1
…
104
… Nr-1-Nr+1 … … N4-N3+1 … N3-N4+1 … N2-N3+1 … N-N2+1 … 1-N …00
… 1
… 10N
… 2
100N2
… 3
1000N3
… 4
10000N4
… … 5
⋮10…00Nr-1
… … r
DBN
La colonne de la DBN renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que celui qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la demi-pyramide.
Exemple :
La brique 240 sur la DB3 et la DB4 est repérée comme suit :
DB3 : (240 )«5 ;−2» DB4 : (240 )« 4 ;−15»
Nota :
Dans les décompositions qui précèdent le premier nombre est appelé IDK11 (nombre souligné) tandis que le second est nommé IDP12.
Pour tout k n'appartenant pas à l'axe des IDK si on a k<Nr−1:
⇒ k+1<Nr
11 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili).12 IDP : idadi ya pili (deuxième nombre en swahili).
105
⇒ ln (k+1 )<r ln N
soit r>ln (k+1 )
ln N
Dans la DBN pour (k )« p;q » (lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») n’appartenant pas à l’axe des IDK on a :
o k=N p−1+qo p=E ( logN (k+1 ))+1avec logN (k+1 )∉N
o (k ±k ' )« p ;q±k '» avec N p−1−N p+1≤q ±k '<0
Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la DB2, la DB7, la DB10 et la DB298.
Sur la DB2
(34 )« 6 ;−29 »; (454 )« 4 ;−57 »; (1511 )« 4 ;−536 »et (269965 )« 7 ;−254322» .
Sur la DB7
(34 )« 2;−14 »; (454 )« 4 ;−1946 »; (1511 )« 4 ;−889 »et (269965 )« 7 ;−553577 » .
Sur la DB10
(34 )« 2;−65 »; ( 454 )«3 ;−545»; (1511)« 4 ;−8488»et (269965 )« 6 ;−730034 » .
Sur la DB298
(34 )« 1;−263 »; ( 454 )«2 ;−88349»; (1511)«2 ;−87292»et (269965 )«3 ;−26193626» .
À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (34 )« 2;−109» , (34 )« 1;−67 »ou (34 )« 4 ;−46 » ?
106
Soit x la base de numération de la demi-pyramide.
De (34 )«2 ;−109»on a : 34=x2−1−109 soit x2=144 soit enfin x=12. Alors la base est douze.
De (34 )«1 ;−67»on a : 34=x−1−67 soit x=102 .Alors la base est cent deux.
De (34 )« 4 ;−46 »on a : 34=x4−1−46 soit x4=81soit enfin x=3.Alors la base est trois.
Représenter la DB16 sur l’intervalle [5 ; 10] sur l’axe des IDK et sur l’intervalle [-4 ; -1] sur l’axe des IDP.
-4 -3 -2 -1⋮
FFFFB1048571
FFFFC1048572
FFFFD1048573
FFFFE1048574
5
FFFFFB16777211
FFFFFC16777212
FFFFFD16777213
FFFFFE16777214
6
FFFFFFB268435451
FFFFFC268435452
FFFFFFD268435453
FFFFFFE268435454
7
FFFFFFFB4294967291
FFFFFFC4294967292
FFFFFFFD4294967293
FFFFFFFE4294967294
8
FFFFFFFFB68719476731
FFFFFFFC68719476732
FFFFFFFFD68719476733
FFFFFFFFE68719476734
9
FFFFFFFFFB
1099511627771
FFFFFFFFC
1099511627772
FFFFFFFFFD1099511627773
FFFFFFFFFE1099511627774
10
La configuration d’une terrassade présente une stratification des briques :
La première strate ou strate № 1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.
La deuxième strate ou strate № 2 a quant à lui des briques dont l’IDK est 2.
La troisième strate ou strate № 3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.
107
Et ainsi de suite.
Nota :
Les strates autres que le summum sont appelées soutrates.
La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est dénommée brique itineris13. Pour la DBN la brique itineris est N−1.
Toute brique qui est au début d’une strate d’une terrassade est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque. Il est à noter que l’orientèque appartient toujours à l’axe des IDK. Au summum d’une terrassade l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.
Pour une strate autre que le summum l’occidentèque est de la forme Nr−1avec r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r.
L’orientèque est de la forme Nr−1 avec N comme base numérale et r∈N ¿ quelle que soit la strate. Cet orientèque est de la strate № r .
b) Négatèque et axitèque
(1) Négatèque
Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il nécessairement négatif. Sur la DBN toutes les briques n’appartenant pas à l’axe des IDK sont des négatèques. La positèquie, c’est-à-dire le concept de positèque, est étrangère aux terrassades.
13 Itineris : mot latin signifiant chemin.
108
(a) Négatèque double
Soit aunnégatèque tel que (a )« m;−b» sur la DBN.
Si on a : (b )«m ;−a» ou E ( logN (b+1 ) )+1=malors (a ;b)sera appelé n égat èque double.
Nota :
(a;b)et (b ;a)correspondent au même négatèque double.
(i) Négatèque double identique
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a=b alors on parle de n égat è que double identique.
Siaest unnégatèque telque (a )«m ;−a» sur la DBN alors a=Nm−1−a soit a=Nm−12
.
Conséquence :
Il ressort de cette égalité que l’existence d’un négatèque double sur la DBN dépend de la parité de N. Si N est impair alors on aura un négatèque double pour chaque valeur différente de l’exposant de N. Cependant si N est pair alors la DBN sera dépourvue de négatèque double.
Exemple :
(1 ;1 )est un négatèque double identique sur la DB3 car on a en effet : (1 )«1 ;−1».
(12;12 ) est un négatèque double identique sur la DB5 car on a en effet : (12 )« 2;−12».
(185646 ;185646 ) est un négatèque double identique sur la DB13 car on a en effet : (185646 )«5 ;−185646 ».
109
(ii) Négatèque double différencié
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a≠b alors on parle de n égat è que double différencié.
Exemple :
(13 ;6 ) est un n égat èque double différencié sur la DB20 car on a en effet : (13 )«1 ;−6 » et (6 )«1 ;−13 » .
(13 ;22 ) est un n égat èque double différencié sur la DB6 car on a en effet : (13 )«2 ;−22 » et (22 )« 2;−13 » .
(200 ;799 ) est un n égat èque double différencié sur la DB10 car on a en effet : (200 ) [ 3 ;−799 ] et (799 ) [ 3;−200 ] .
(19535 ;46000 )est un négat èque différencié sur la DB16 car on a en effet : (19535 ) [ 4 ;−46000 ] et (46000 ) [ 4 ;−19536 ] .
(1036849 ;734711) est un né gat èque double différencié sur la DB11 car on a en effet : (1036849 ) [ 6 ;−734711] et (734711 ) [6 ;−1036849 ] .
(b) Détermination des négatèques doubles
(i) Les négatèques doubles du summum
Théorème 1. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur la DBN ona :
On a : (0 )«1 ;1−N» et (N−1 )« 1;0» soit (N−1 )«1 ;−0» alors (0 ;N−1 )est un n égat èque double .
De (0 )«1 ;1−N» on déduit : (0+1 )« 1 ;1−N+1 » soit (1 )« 1;2−N».
De (N−1 )«1 ;0»on déduit : (N−1−1 )«1 ;0−1» soit ( N−2 )«1 ;−1 » .
On a donc : (1 )«1 ;2−N» (N−2 )«1;−1 »}⇒ (1;N−2 ) est un négatèque double.
110
Soit (a )«1 ;−b » avec a>1 sur la DBN .
De (a )«1 ;−b» on a : a=N−1−b
De a>1 on a : N−1−b>1
⇒N−1>b+1
⇒b+1<N−1⇒ ln (b+1 )<ln (N−1 )⇒ ln (b+1 )ln N
<ln (N−1 )
ln Nor
ln (N−1 )lnN
<1d'où 0≤ln (b+1 )
ln N<1 car b≥0
alors E (log N (b+1 ) )+1=1On a donc : (a )«1 ;−b » et E ( logN (b+1 ) )+1=1alors (a;b)est un négatèque double.
Exemple :
Ona: (4 )« 1;−2» sur la DB7 alors ( 4 ;2 ) est un négatèque double.
Ona: (9 )«1 ;−3» sur la DB13 alors (9 ;3)est un négatèque double.
Ona: (10 )« 1;−11» sur la DB22 alors (10 ;11 )est un négatèque double.
(ii) Comment déterminer les négatèques doubles différents d’une soutrate
Soit (a )« m;−b »un occidentèque d'une soutrate d'une terrassade.
Si c est la valeur de |a−b|+1
2arrondie au nombre entier le plus proche alors cest aussi le nombre de négatèques doubles différents de la strate № m.
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(a;b ) , (a+1;b−1 ) , (a+2 ;b−2 ) ,⋯ , (a+c−1; b−c+1 ) .
Exemple :
111
Déterminer tous les négatèques doubles différents des strates №2, №5 et №13 de la DB11.
Strate №2
Ona: (11 )−¿« 2;−109 »¿
Onaussi:|11−109|+1
2≈50
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(11;109 ) , (12;108 ) , (13 ;107 ) ,⋯ , (60 ;60 ) .
Strate №5
Ona: (14641 )«5 ;−146409»
Onaaussi :|14641−146409|+1
2≈65885
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(14641 ;146409 ) , (14642 ;146408 ) , (14643 ;146407 ) ,⋯ , (80525 ;80525 ) .
Strate №13
Ona: (3138428376721 )«13 ;−31384283767209»
Onaaussi :|3138428376721−31384283767209|+1
2≈14122927695245
Les négatèques doubles différents de cette strate seront :
(3138428376721 ;31384283767209 ) , (3138428376722 ;31384283767208 ) , (3138428376723 ;31384283767207 ) ,⋯ , (17261356071965 ;17261356071965 ) .
Nota :
112
Soit (a )« m;−b »un occidentèque d’une terrassade. En allant de la gauche vers la droite c’est à partir de la brique b+1qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur la strate №m.
Exemple :
En allant de la gauche vers la droite à partir de quelle brique ne rencontre-t-on plus de négatèques doubles sur les strates №3, №14 et №23 du DB18 ?
Strate №3
Ona: (324 )«3 ;−5507»
C’est à partir de la brique 5508 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Strate №14
Ona: (20822964865671168)«14 ;−353990402716409855 »
C’est à partir de la brique 353990402716409856 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
Strate №23
Ona: (4130428534112329328517709824 )«14 ;−70217285079909598584801067007»
C’est à partir de la brique 70217285079909598584801067008 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.
(2) Axitèque
Une brique est un axitèque si elle est repérée sur l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.
Pour tout k appartenant à l'axe des IDK si on a k=Nr−1:
⇒ k+1=Nr
⇒ ln (k+1 )=r lnN
113
soit r=ln (k+1 )
ln N
Sur la DBN pour (k )« p;0 » appartenant à l’axe des IDK on a :
o k=N p−1o p=logN (k+1 )o (k ±k ' )« p ;± k '» avec N p−1−N p+1≤±k ' ≤0
Exemple :
Les brique 48, 343 et 16807 sont des axitèques sur la DB7 car on a : (48 )« 2; 0» , (342 )«3 ;0 »et (16806 )«5 ;0 ».
SoitŲ ( [ i ]N )= {[ i ]N; [ ii ]N ; [ iii ]N ;⋯ ;avec [ i ]N=N−1}¿
C’est l’ensemble de nombres qui s’écrivent uniquement avec le caractère « i » dans la base N. Tous les axitèques de la DBN appartiennent à cet ensemble.
c) Iso-IDK et iso-IDP
(1) Iso-IDK
Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.
Exemple :
Les briques 13, 11 et 10 sont des iso-IDK sur la DB4 car on a : (13 )«2 ;−2» , (11 )« 2;−4 »et (10 )« 2;−5» .
114
Sur la DBN soit (k )« p;r ».
Le plus petit iso-IDK de la brique k est [ 10⋯0 ]N ; après « 1 » il y a p−1 caractères « 0 ».
Le plus grand iso-IDK de la brique k est [nn⋯ n ]N ; il y a p caractères « n » avec [n ]N=N−1 .
Ainsi [ 10⋯0 ]N≤k ≤ [nn⋯ n ]N
Exemple :
Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64 sur la DB16. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 64.
Ona: (64 )«2 ;−191»
Le plus petit iso-IDK de la brique 64 est [ 10 ]16 soit 16.
Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est[ FF ]16 soit 255.
Le nombre d’iso-IDK de la brique 64 est 255−16+1−1 soit 239.
Nota :
La brique 64 elle-même n’est pas comptée dans l’exemple précédent.
(a) Iso-IDK G ou iso-IDK gauche
Un iso-IDK gauche d’une brique est une brique située à gauche de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )« p ;m»et ( ε )« p;n » .
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .
Exemple :
115
Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la DB3 ?
On a (252 )« 6 ;−476»
Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 36−1 soit 243.
En effet on a : (243 )«6 ;−485»et (242 )« 5 ;0» .
(b) Iso-IDK D ou iso-IDK droite
Un iso-IDK droite d’une brique est une brique située à droite de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )« p ;m»et ( ε )« p;n » .
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDK D de la brique ε .
Nota :
Si m=0 alors la brique γ est le plus grand iso-IDK D de la brique ε .
(2) Iso-IDP
On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.
Exemple :
Les briques 45, 823539 et 1977326739 sont des iso-IDP sur la DB7 car on a : (45 )« 2;−3 », (823539 )«7 ;−3 »et (1977326739 )« 11;−3 » .
Nota :
Certes les iso-IDK d’un nombre donné sont dénombrables, mais les iso-IDP de ce même nombre sont indénombrables.
116
(a) Détermination des iso-IDP d’une brique
Soit ( x )« y; q» sur la DBN.
De ( x )« y ;q »on a : q≥N y−1−N y+1(Pour comprendre pourquoi voir DBN)
⇒q ≥N y−1 (1−N )+1
⇒N y−1 (1−N )+1≤q
⇒N y−1 (N−1 )−1≥−q
⇒N y−1≥1−qN−1
⇒ ( y−1 ) ln N≥ ln( 1−qN−1 )
⇒ y−1≥ln( 1−q
N−1 )ln N
soit y ≥1+ln( 1−q
N−1 )ln N
.
Exemple :
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 279928 sur la DB6.
On a :
117
(279928 )«7 ;−7 »et 1+ln( 1+7
6−1 )ln6
≈1,262.
Donc le plus petit iso-IDP de la brique 279928 sur la DB6 est (28 )« 2;−7 ».
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 6975757438 sur la DB17.
On a :
(6975757438 )«8 ;−2»et 1+ln( 1+2
17−1 )ln 17
≈0,409.
Donc le plus petit iso-IDP de la brique 6975757438 sur la DB17 est (14 )«1 ;−2 ».
Soit (k )« p;r » et ( [ m ]N )« p' ;r » avec p≥ p’ sur la DBN.
Alors on aura k=[ nn⋯nm ]N ; devant m il y a p−p ' caractères n avec [ n ]N=N−1.
Application :
Dans la DB3 on a : ( [ 120 ]3 )«3 ;−11» . Déduire l’écriture de 1162261455 sur la base 3.
Sur la DB3 on a : (1162261455 )« 19;−11 »d'où 1162261455=[ 2222222222222222120 ]3.
Sur la DB15 on a : ( [ 4 A 0 ]5 )«3 ;−2324» . Déduire la transcription de 2562888300 sur la même base.
Sur la DB15 on a : (2562888300 )«8 ;−2324 »d’où 2562888300=[ EEEEE 4 A 0 ]15.
118
Nota :
Lorsqu’on transcrit un nombre dans la base d’une terrassade, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK.
(b) Iso-IDP H ou iso-IDP haut
Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci sur la DBN.
Soit (γ )« m;q »et (ε )«n ;q »
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383157 sur la DB619 ?
On a (383157 )« 2 ;−3 »
Le plus iso-IDP H de la brique 383157 au vu des coordonnées de ce dernier sur la DB619 doit avoir pour IDK 1.
Ainsi (615 )«1 ;−3» est le plus petit iso-IDP H de la brique 383157.
Nota :
Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une terrassade alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la terrassade.
(c) Iso-IDP B ou iso-IDP bas
Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la DBN.
Soit (γ )« m;q »et (ε )«n ;q »
119
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Trouver l’iso-IDP B de la brique 232 sur la DB439 ayant pour IDK 3 .
On a (232 )«1 ;−206»
Ainsi (84604312 )«3 ;−206» est l’iso-IDP B cherché.
120
4. Terrassade
a) Présentation
La TB Ni se lit la « terrassade de base N passant par i».
Soient [i]N tel que [i]N=i avec N un entier naturel supérieur ou égal à 2 ; 0<i ≤N−1.
−i … 0 …
i (N2−N1 )N−1
−1…
i (N3−N2 )N−1
−1…
i (N4−N3 )N−1
−1…
i (N5−N4 )N−1
−1…
i (N r+1−Nr )N−1
−1…
00
… i
i (N1−1 )N−1
… ii-1
i (N2−1 )N−1
−1
ii
i (N2−1 )N−1
… iii-1
i (N3−1 )N−1
−1
iii
i (N3−1 )N−1
… iiii-1
i (N4−1 )N−1
−1
iiii
i (N4−1 )N−1
… iiiii-1
i (N5−1 )N−1
−1
⋮ii…i
i (N r−1 )N−1
i…ii-1
i (N r+1−1 )N−1
−1
121
−i … 0 …
i (N2−N1 )N−1
−1…
i (N3−N2 )N−1
−1…
i (N4−N3 )N−1
−1…
i (N5−N4 )N−1
−1…
i (N r+1−Nr )N−1
−1…
00
… 1 … ii-1
i (N2−1 )N−1
−1
2 … iii-1
i (N3−1 )N−1
−1
3 … iiii-1
i (N4−1 )N−1
−1
4 … iiiii-1
i (N5−1 )N−1
−1
⋮r i…ii-1
i (N r+1−1 )N−1
−1
TB Ni
La colonne de la TB Ni renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que celui qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la terrassade.
Exemple :
La brique 17 sur la TB 21, la TB 31, TB 32, la TB 41, la TB 42 et la TB 43 est repérée comme suit :
TB 21 : (17 )1« 4 ;2»
TB 31 : (17 )1«3 ;4 »
TB 32 : (17 )2«2 ;9 »
122
TB 41 : (17 )1«2 ;15»
TB 42 : (17 )2«2 ;7»
TB 43 : (17 )3«2 ;2»
123
Nota :
Dans les décompositions qui précèdent le nombre souligné est appelé IDK14 tandis que celui qui le suit immédiatement est nommé IDP15.
Sur la TB Ni pour (k )i« p ;q » (lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») on a :
o k=i (N p−1 )N−1
+q
o p=E(logN ( (N−1 ) ki
+1))o (k ±k ' )i« p;q±k '» avec 0≤q±k '≤
i ( N p+1−N p )N−1
−1 et q≥0
Nota :
Si k<i alors l'IDK de la brique k est 1.
Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la TB51, TB7 4, TB108 et TB29861.
Sur la TB51
(34 )1«3 ;3 »; ( 454 )1« 4 ;298» ; (1511 )1«5 ;730»et (269965 )1« 8;172309 » .
Sur la TB7 4
(34 )4«2 ;2»; (454 )4«3 ;226 »; (1511 )4«3 ;1283»et (269965 )4« 6 ;191533» .
14 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili).15 IDP : idadi ya pili (deuxième nombre en swahili).
124
Sur la TB108
(34 )8« 1;26 » ; (454 )8« 2;366 »; (1511 )8«3 ;623»et (269965 )8«5 ;181077 » .
Sur la TB29861
(34 )61«1 ;−27»; (454 )61«1 ;393 »; (1511 )61«1 ;1450»et (269965 )61 «2 ;251726» .
Àquelle basede numérationa -t-on affaire si on a : (a )i«m ;b » ?
Désignons par x la base de numération de la terrassade.
De (a )i«m ;b»on a :
a=i (xm−1 )x−1
+b
⇒i (xm−1 )x−1
=a−b
⇒ xm−1x−1
=a−bi
.
x sera tel que : x=E(m−1√ a−bi )avec m−1>1.
À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (781 )3«4 ;4 » , (781 )2«3 ;235»ou (781 )6« 2 ;79» ?
Désignons par x la base de numération.
125
De (781 )3« 4 ; 4 »on a : x=E( 3√ 781−43 ) soit x=6. Alors la base est six.
De (781 )2« 3;235 »on a : x=E(√ 781−2352 ) soit x=16. Alors la base est seize.
De (781 )6« 2;79 »on a : 781=6 (x2−1 )x−1
+79=6 ( x+1 )+79 soit x=116.Alors la base est cent seize.
Nota :
Si l’IDK d’une brique est 1 il est pour ainsi dire impossible de préciser la base de numération de la terrassade à laquelle elle appartient.
Eneffet si on a : (p )i« 1;q » et que nous désignons par x la base de numération de la terrassade.
On aura :
p=i ( x1−1 )x−1
+q
⇒ p=i+q .
Ainsila base denumération demeureinconnue .
La configuration d’une terrassade présente une stratification des briques :
La première strate ou strate № 1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.
La deuxième strate ou strate № 2 a quant à lui des briques dont l’IDK est 2.
La troisième strate ou strate № 3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.
Et ainsi de suite.
Nota :
126
Les strates autres que le summum sont appelées soutrates.
La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est dénommée brique itineris16. Pour la TBN i la brique itineris est i.
Toute brique qui est au début d’une strate d’une terrassade est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque. Il est à noter que l’orientèque appartient toujours à l’axe des IDK. Au summum d’une terrassade l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.
Pour une strate autre que le summum l’occidentèque est de la forme i(N r−1 )
N−1 avec r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r .
L’orientèque est de la forme i(N r+1−1 )
N−1−1avec N comme base numérale et r∈N ¿. Cet orientèque est de la strate № r.
b) Négatèque, Positèque et axitèque
(1) Négatèque
Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il évidemment négatif. Sur une terrassade il se trouve que seules les briques situées à gauche de la brique itineris sont des négatèques. Il devient manifeste que tous les négatèques d’une terrassade appartiennent au summum.
Exemple :
La brique 6 est un négatèque sur la TB1910. En effet on a : (6 )10 «1 ;−4 » .
La brique 19 est un négatèque sur la TB3325. En effet on a : (19 )25« 1 ;−6 » .
16 Itineris : mot latin signifiant chemin.
127
La brique 50 est un négatèque sur la TB10260. En effet on a : (50 )60 «1 ;−10 » .
(a) Négatèque double
Soit aunnégatèque tel que (a )i«1 ;−b» sur la TBNi .
Si on a : (b )i« 1 ;−a» alors (a ;b)sera appelé négat è que double .
Nota :
(a;b)et (b ;a)correspondent au même négatèque double.
Théorème 1. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur laTBNiavec 0<i ≤N−1ona :
On a : (0 )i«1 ;−i »et (i )i«1 ;0» soit (i )i« 1;−0 » alors (0 ; i )est un n égat èque double.
De (0 )i« 1;−i »on déduit (0+1 )i« 1;−i+1» soit (1 )i«1 ;1−i » .
De (i )i«1 ;0» on déduit (i−1 )i«1 ;0−1» soit (i−1 )i« 1;−1» .
On a donc : (1 )i« 1;1−i » ( i−1 )i«1 ;−1 »}⇒ (1 ; i−1 ) est un négatèque double.
Soit (a )i« 1;−b » avec a>1 sur la TBNi .
De (a )i«1 ;−b» on a : a=i−b
De a>1 on a : i−b>1
⇒ i>b+1
128
⇒ i>bdonc on a : (b )i«1 ; x »
De (b )i«1 ; x » on a : b=i+x
⇒ x=b−i or a=i−b⇒ x=−aOn a donc : (b )i«1 ;−a » et (a )i«1 ;−b »alors (a;b)est un négatèque double.
Exemple :
Ona: (2 )3«1 ;−1» sur la TBN3 avec N>3 alors (2;1)est un négatèque double.
Ona: (9 )17« 1;−8» sur la TBN17 avec N>17 alors (9 ;8)est un négatèque double.
Ona: (10 )105«1 ;−95» sur la TBN105 avec N>105 alors (10 ;95 ) est un négatèque double.
(i) Négatèque double identique
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a=b alors on parle de n égat è que double identique.
Siaest unnégatèque telque (a )i« 1;−a » sur la TBNi alors a=i−a soit a= i2
.
Nota :
aexiste si iest pair.
Exemple :
(7 ;7 )est un négatèque double identique sur la TBN14 avec N>14 car on a en effet : (7 )14« 1;−7 ».
(10 ;10 ) est un négatèque double identique sur la TBN20 avec N>20 car on a en effet : (10 )20«1 ;−10» .
(13 ;13 ) est un négatèque double identique sur la TBN26 avec N>26 car on a en effet : (13 )26« 1;−13 ».
129
(ii) Négatèque double différencié
Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a≠b alors on parle de n égat è que double différencié.
Exemple :
(8 ;6 )est un négatèque double identique sur la TBN14 avec N>14 car on a en effet : (8 )14« 1;−6 ».
(15 ;5 ) est un négatèque double identique sur la TBN20 avec N>20 car on a en effet : (15 )20«1 ;−5» .
(23 ;3 ) est un négatèque double identique sur la TBN26 avec N>26 car on a en effet : (23 )26 «1 ;−3 ».
(b) Comment déterminer les négatèques doubles différents du summum
Soit (0 )i«1 ;−i ».
Si m est la valeur de i+12
arrondie au nombre entier le plus proche alors mest aussi le nombre de négatèques doubles différents du summum .
Les négatèques doubles différents du summum seront :
(0 ; i ) , (1 ; i−1 ) , (2; i−2 ) ,⋯ , (m−1; i−m+1 ) .
Exemple :
Déterminer tous les négatèques doubles différents de la TBN14 avec N>14, de la TBN21 avec N>21 et de la TBN226 avec N>226.
TBN14 avec N>14
Ona: (0 )14« 1;−14 »
Onaussi:14+1
2≈8
130
Les négatèques doubles différents seront :
(0 ;14 ) , (1 ;13 ) , (2 ;12 ) ,⋯ , (7 ;7 ) .
TBN21 avec N>21
Ona: (0 )21«1 ;−21»
Onaussi:21+1
2=11
Les négatèques doubles différents seront :
(0 ;21 ) , (1 ;20 ) , (2 ;19 ) ,⋯ , (10 ;11 ) .
TBN226 avec N>226
Ona: (0 )226«1 ;−226»
Onaussi:226+1
2≈114
Les négatèques doubles différents seront :
(0 ;226 ) , (1 ;225 ) , (2 ;224 ) ,⋯ , (113 ;113 ) .
(2) Positèque
Un positèque est une brique qui est située à droite de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il évidemment positif. Hormis les briques de l’axe des IDK, toutes les briques des soutrates sont des positèques.
131
(3) Axitèque
Une brique est un axitèque si elle est située sur l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.
Exemple :
La brique 8 est un axitèque sur la TB 71 car on a : (8 )1«2 ;0» .
La brique 266223 est un axitèque sur la TB 173 car on a : (266223 )3«5 ;0 ».
La brique 11382824053467 est un axitèque sur la TB 229 car on a : (11382824053467 )9« 10 ;0» .
Nota :
Soit k est un entier naturel non nul.
Si on a : E(log N( (N−1 ) ki
+1))=logN( ( N−1 ) ki
+1)alors k est un axitèque d'IDK logN ( (N−1 ) ki
+1) .
SoitŲ ( [ i ]N )= {[ i ]N; [ ii ]N ; [ iii ]N ;⋯; avec [ i ]N=[ i ]10 }¿
C’est l’ensemble de nombres qui s’écrivent uniquement avec le caractère « i » sur la base N. Tous les axitèques de la TBN i appartiennent à cet ensemble.
c) Iso-IDK et iso-IDP
(1) Iso-IDK
Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.
Exemple :
132
Les briques 7, 9 et 10 sont des iso-IDK sur la TB 41 car on a : (7 )1«2 ;2» , (9 )1« 2 ;4 »et (10 )1« 2;5 » .
Sur la TBN i (N>2) soit (k )i [ p ;r ] avec p>1.
Le plus petit iso-IDK de k est [ ii⋯ i ]N avec [i]N=i; [ ii⋯ i ]N a p caractères « i ».
Le plus grand iso-IDK de k est [ iii⋯ i ]N−1 avec [i]N=i ;[ iii⋯ i ]N a p+1 caractères « i ».
Ainsi [ ii⋯ i ]N≤k ≤ [iii⋯ i ]N−1
Exemple :
Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 234 sur la TB 1611. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 234.
Ona: (234 )11«2 ; 47»
Le plus petit iso-IDK de la brique 234 est [ BB ]16 soit 187.
Le plus grand iso-IDK de la brique 234 est [ BBA ]16 soit 3002.
Le nombre d’iso-IDK de la brique 234 est 3002−187+1−1 soit 2815.
Nota :
La brique 234 elle-même n’est pas comptée dans l’exemple précédent.
(a) Iso-IDK G ou iso-IDK gauche
Un iso-IDK gauche d’une brique est une brique située à gauche de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )i« p ;m»et (ε )i« p;n ».
Si m<n la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .
133
Nota :
Si m=0 sur une soutrate alors la brique γ est le plus petit iso-IDK G de la brique ε .
(b) Iso-IDK D ou iso-IDK droite
Un iso-IDK droite d’une brique est une brique située à droite de celle-ci sur la même strate.
Soit (γ )i« p ;m»et (ε )i« p;n ».
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDK D de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 252 sur la TB 31 ?
On a (252 )1«5 ;131»
Le plus grand iso-IDK D de la brique 252 est 36−13−1
−1 soit 363.
En effet on a : (363 )1«5 ;242»et (364 )1«6 ;0 » .
(2) Iso-IDP
On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.
Exemple :
Les briques 43, 686288 et 1647772288 sont des iso-IDP sur la TB 75 car on a : (43 )5« 2;3 » , (686288 )5«7 ;3 »et (1647772288 )5«11;3» .
134
Nota :
Certes les iso-IDK d’un nombre donné sont dénombrables, mais les iso-IDP de ce même nombre sont indénombrables.
(a) Détermination des iso-IDP d’une brique
Soit ( x )i« y; q» sur la TBN i.
De ( x )i« y ;q »on a : q≤i (N y +1−N y)N−1
−1 (Pour comprendre pourquoi voir ) .
⇒q+1≤iN y (N−1 )N−1
⇒q+1≤iN y
⇒ iN y ≥q+1
⇒ ln i+ y ln N≥ ln (q+1 )
soit y ≥ln (q+1 )−ln i
ln N.
Exemple :
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 167983 sur la TB 63.
On a :
(167983 )3«7 ;22»et ln (22+1 )−ln 3
ln 6≈1,137.
Donc le plus petit iso-IDP de la brique 167983 sur la TB63 est (43 )3«2 ;22».
135
Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 4359848402 sur la TB 1710.
On a :
(4359848402 )10«8 ;2»et ln (2+1 )−ln 10
ln 17≈−0,425.
Donc le plus petit iso-IDP de la brique 435984842 sur la TB1710 est (12 )10«1 ;2» .
(b) Iso-IDP H ou iso-IDP haut
Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci sur la TBN i.
Soit (γ )i«m ;q »et (ε )i«n ;q »
Si m<nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 63243 sur la TB 619102 ?
On a (63243 )102«2 ;3»
Le plus iso-IDP H de la brique 63243 au vu des coordonnées de ce dernier sur la TB 619102 doit avoir pour IDK 1.
Ainsi (4 )102«1 ;3» est le plus petit iso-IDP H de la brique 63243.
Nota :
Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une terrassade alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la terrassade.
136
(c) Iso-IDP B ou iso-IDP bas
Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la TBN i.
Soit (γ )i«m ;q »et (ε )i«n;q »
Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .
Exemple :
Trouver l’iso-IDP B de la brique 207 sur la TB439350 ayant pour IDK 3 .
On a (207 )350«1 ;206 »
Ainsi (67606556 )350 «3 ;206» est l’iso-IDP B cherché.
E. Autre méthode pour transcrire un nombre dans une base donnée
a) Présentation de la méthode des coupoles
Il existe plus d’une méthode pour écrire un nombre dans une base donnée. En voici une autre qui présentera, à en pas douter, un certain intérêt.
On rappelle tout d’abord que dans un système numéral de base N, le nombre Nn a pour écriture le symbole « 1 » suivi de n caractères « o » et que cela est curieusement identique en écriture à la valeur de 10n.
Soit donc à mettre le nombre A dans le système de base N.
Dans un premier temps on écrit le nombre A ensuite on le divise par N autant de fois que cela est faisable jusqu’à tomber sur un nombre qui n’est pas divisible par N. Supposons que ce dernier nombre soit A’ et que A a été divisé r fois par N. On notera alors :
AA’ ×10r
137
Dans le cas où A n’est pas divisible par N, on retranche à A le plus petit nombre qui le rendrait divisible par N. Supposons que le nombre à retrancher soit a. On notera alors :
AA−a +a
Ensuite on divise A−a par autant de N que possible. Lorsqu’on arrive sur un nombre qui n’est pas multiple de N on retranche le plus petit nombre qui lui rendrait divisible par N et on recommence le processus.
On peut s’arrêter si on tombe sur un nombre dont on connait sa transcription dans le système de base N. Supposons que [ K ]N soit ce nombre.
En fin de compte on aura ce qui suit selon le premier cas ou le second cas :
ou
AA−a +aB’ ×10r '
⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N
Dans la colonne de gauche en-dessous des puissances de dix on dessinera une coupole.
A écrit en base N est identique en écriture à la valeur de l’expression suivante :
AA’ ×10r
A−a' +a' ⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N
138
( (⋯ (K+⋯ )×10⋯+⋯ )×10⋯+a ' )×10r si on a :
AA’ ×10r
A−a' +a' ⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N
ou
( (⋯ (K+⋯ )×10⋯+⋯ )×10⋯+⋯+⋯ )×10r '+a si on a :
AA−a +aB’ ×10r '
⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N
Nota :
Le nombre de parenthèses ouvertes correspond au nombre de coupoles placées en-dessous des puissances des dix.
Cette méthode s’avère particulièrement digne d’intérêt lorsque les caractères de divisibilité par N sont évidents.
b) Application
(1) Base 2
139
(a) Rappel sur la divisibilité par 2
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
(b) Application de la méthode
Écrire en base deux les nombres suivants : 281, 606 et 1200.
140
281
281280
+1
35 ×103
34 +117 ×1016 +11 ×10
On a donc : ( (1×10 )×10+1 )×103+1=100011001
Alors 281= [100011001 ]2
606
606303
×10
302
+1
151
×10
150
+1
75 ×1074 +137 ×1036 +19 ×102
141
8 +11 ×103
On a donc : ((( ((1×103+1 )×102+1)×10+1)×10+1)×10+1)×10=1001011110
Alors 606=[ 1001011110 ]2
1200
120075 ×104
De ce qui précède on peut déduire l’écriture de 75 en base binaire. Cette écriture est celle du résultat de : (( 1×103+1 )×102+1 )×10+1
Ainsi 75=[1001011 ]2
1200 écrit en base deux a la même écriture que le résultat de 1001011×104, c’est-à-dire que 1200=[10010110000 ]2 .
(2) Base 3
(a) Rappel sur la divisibilité par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
(b) Application de la méthode
Écrire en base trois les nombres suivants : 351, 7820 et 175332.
142
143
351
35113 ×103
12 +14 ×103 +11 ×10
On a donc : ( (1×10+1 )×10+1 )×103=111000
Alors 351= [111000 ]3
7820
78207818 +22606 ×102604 +2868 ×10867 +1289 ×10288 +132 ×102
30 +210 ×109 +11 ×102
On a donc : ((( ((1×102+1 )×10+2)×102+1)×10+1)×10+2)×10+2=101201122
144
Alors 7820=[101201122 ]3
175332
17533258444 ×105844319481 +119479 ×106492 +22164 ×102163 +1721 ×10720 +180 ×102
78 +226 ×1024 +28 ×106 +22 ×10
On a donc : ((( (( (2×10+2 )×10+2 )×10+2 )×102+1)×10+1)×10+2)×10+1=22220111210
Alors 175332= [22220111210 ]3 .
Nota :
lorsque le résultat dépasse la limite d’affichage de certaines calculatrices scientifiques, l’astuce est donnée dans Calculatruc17peut se révéler d’une aide précieuse.
17 Du même auteur.
145
(3) Base 5
(a) Rappel sur la divisibilité par 5
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
(b) Application de la méthode
Écrire dans le système de base cinq les nombres suivants : 741, 73843 et 74665319.
741
741740
+1
148
×10
145
+3
29 ×1025 +41 ×104
On a donc : (( 1×104 )×10+3)×10+1=10431
Alors 741= [10431 ]5
146
147
73843
7384373840
+3
14768
×10
14765
+3
2953 ×102950 +3118 ×102
115 +323 ×1020 +34 ×10
On a donc : ( (( ( 4×10+3 )×10+3 )×102+3)×10+3)×10+3=4330333
Alors 73843=[ 4330333 ]5
148
74665319
7466531974665315 +414933063 ×1014933060 +32986612 ×102986610 +2597322 ×10597320 +2119464 ×10119460 +423892 ×1023890 +24778 ×104775 +3191 ×102
190 +138 ×1035 +37 ×105 +21 ×10
On a donc : (((((( (( (1×10+2 )×10+3 )×10+1 )×102+3)×10+2)×10+4)×10+2)×10+2)×10+3)×10+4=123103242234
Alors 74665319= [123103242234 ]5 .