Se llamaconjugado de un nmero complejoal nmero complejo que se obtiene por simetra del dado respecto del eje de abscisas.Representando el nmero complejoa + biy haciendo la correspondiente simetra, se tiene que su conjugado esa - bi.Dado un nmero complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una lnea horizontal. As se escribir:Propiedades de los conjugadosPrimera propiedadEl conjugado del conjugado de un complejozes el propioz.Demostracin:En efecto siz = a + bise tiene que=a - bi, de donde,=a + bi= zSegunda propiedadDados dos nmeros complejos cualesquierazyz', el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.Esto se expresa escribiendo queDemostracin:Tomandoz = a + biyz' = c + di, se tiene:=a + biy' =c - di, con lo que+' = (a + bi) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)iPor otra parte:y es fcil ver que esta expresin coincide con la anterior.Tercera propiedadEl conjugado del producto de dos nmeros complejos es igual al producto de los conjugados de dichos nmeros:Demostracin:Siz = a + biyz = c + dise tiene quez z =(ac - bd) + (ad + bc)i, cuyo conjugado es=(ac - bd) - (ad + bc)i .Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que'= (a - bi)(c - di) = (ac - bd) + (-ad - bc)i.El resultado es igual al anterior.Cuarta propiedadLos complejos que coinciden con sus conjugados son los nmeros reales.Demostracin:Sea un complejoa + bique coincida con su conjugado. Esto equivale a quea + bi = a - biPero esto slo ocurre sib= 0, es decir sia + bies un nmero real.Quinta propiedadLa suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, nmeros reales.Demostracin:(a + bi) + (a - bi) = 2a(a + bi) (a - bi) =a2- (bi)2=a2+b2