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LA METHODE DES ELEMENTS FINIS
FINITE ELEMENT METHOD (FEM)
Pont modélisé sous ABAQUS
MSC software (développé pour Boeing depuis 1964)
Introduction
Objectif : Simplifier un problème mécanique continu en un problème discret
On discrétise la structure, de l'anglais discretisation (GB) ou discretization (US),
équations différentielles système matriciel complexes linéaire
1950 : Première formulations précises1960 : Premiers résultats en ingénierie mécanique (Boeing)1970 : La NASA modélise ses structures spatiales.
En parallèle de très nombreux chercheurs ont développés des "codes de calculs" sebasant sur la méthode des éléments finis, avec les moyens informatiques de l'époque(serveur de calculs sous UNIX développé en 1969 par exemple, tournant sur desprocesseurs du type INTEL4004, vitesse d'horloge 740kHz, avec une mémoire vive dequelques ko, au maximum 64ko), voir les liens :http://www. unix .org/ what_is_unix / history_timeline . htmlhttps://en. wikipedia .org/wiki/ History_of_computing_hardwarehttps://en. wikipedia .org/wiki/ Finite_element_method
1980 : codes de calculs : SAMCEF, NASTRAN, CATIA sur serveur1990 : Les bureaux d'études mécaniques s'équipent de ce type d'outils grâce auxdéveloppement rapide des capacités des ordinateurs L'utilisation du calcul parallèle(cluster de calculs, mettant en œuvre 32, 64 ordinateurs ou plus pour un même calcul)a permis notamment, depuis 1990, de concevoir des superstructures du type AirbusA380 ou des constructions titanesques, comme la kingdown tower (Arabie Saoudite),ou le Burj Khalifa (Dubai) par exemple.Enfin, il faut avoir en tête que chaque calcul numérique fait en quelques secondes surun ordinateur aujourd'hui équipé d'un logiciel de CAO ayant un module de calculséléments finis aurait pris au moins une demijournée sur un serveur de calculsuniversitaire, sur Unix, aux débuts des années 1990. Ceci bien sûr sans aucuneinterface graphique !
Plan du cours
I – Élément barre 1D – structure poutre
Définitiona) hypothèses généralesb) approximation nodalec) matrice raideurd) élément barre : lien avec l'énergie de déformatione) matrice raideur dans le cas d'une section variable
II – Élément poutre 1D – structure portique
a) vecteur nodalb) fonctions de forme : approximation nodalec) déformation et contrainte interpoléesd) énergie de déformation
III – Éléments finis de type barre : application à l'analyse des treillis
a) passage d'un repère local au repère globalb) relation entre les déplacementsc) matrice raideur dans la base globale
VI – Éléments finis de type poutre 2D : application à l'analyse des portiques
a) passage d'un repère local au repère globalb) relation entre les déplacementsc) matrice raideur dans la base globale
structure étudiée en TP
comparaison desrésultats issus desolidworks et d'unmodèle éléments
finis type poutre 2D
Formulaire - Matrices raideurs des éléments barre et poutre pour la modélisation des treillis, portiques et autresossatures
1. Élément barre (traction-compression) dans un repère local
Kbarrelocal =
ES
L
(
1 −1
−1 1
)
avec le vecteur déplacement nodal U =
(
u1
u2
)
2. Élément barre (traction-compression) dans un repère global
On effectue un changement de base en partant de la matrice raideur précédente.La matrice de changement de base est donnée par :
N =
(
cosθ sinθ 0 0
0 0 cosθ sinθ
)
La matrice raideur dans le repère global est alors donnée par la relation Kbarreglobal = N
T .Kbarrelocal .N
Soit après calculs :
Kbarreglobal =
ES
L
(
M −M
−M M
)
avec le vecteur déplacement nodal U =
U1
V1
U2
V2
Et la matrice M =
(
cos2θ cosθ.sinθcosθ.sinθ sin2θ
)
3. Élément poutre 1D (flexion simple) dans un repère local
Kpoutrelocal =
EI
L3
12 6L −12 6L
6L 4L2−6L 2L2
−12 −6L 12 −6L
6L 2L2−6L 4L2
avec le vecteur déplacement nodal U =
v1θ1v2θ2
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4. Élément fini de type poutre 2D adapté aux ossatures (flexion simple et traction/compression) dans un repère localOn réunit dans ce modèle les matrices des modèles 1 et 3.
Kossaturelocal =
ES
L0 0 −
ES
L0 0
12EI
L36EI
L20 −12
EI
L36EI
L2
4EI
L0 −6
EI
L22EI
L
ES
L0 0
12EI
L3−6
EI
L2
sym. 4EI
L
avec le vecteur déplacement nodalU =
u1
v1θ1u2
v2θ2
5. Élément fini de type poutre 2D (flexion simple et traction/compression) dans un repère global
On effectue un changement de base en partant de la matrice raideur précédente.La matrice de changement de base est donnée par :
N =
cosθ −sinθ 0 0 0 0
sinθ cosθ 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cosθ −sinθ 0
0 0 0 sinθ cosθ 0
0 0 0 0 0 1
La matrice raideur dans le repère global est alors donnée par la relation Kossatureglobal = N.Kossature
local .NT
Le calcul est généralement réalisé à l’aide d’une assistance informatique.
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