La quadratura del

cerchio

Poiché π è un numero trascendente, quadrare il cerchio non è possibile

in un numero finito di passi usando riga e compasso

Indice

Quadrati e CerchiMondo AnticoTradizione islamicaTradizione cristianaEstremo oriente e IndiaQuadrato, ottagono e cerchioConclusioniAppendici

QUADRATURA : l’operazione, il fatto di quadrare, di ridurre a forma quadrata; con riferimento all’uso estensivo e figuratoriportiamo dal Pirandello " s’era sentita a posto in quella casa di contadini arricchiti, ove tutto aveva la solida quadraturadell’antica vita patriarcale ".

Quadrati e Cerchi

Tra i problemi classici della Geometria il più antico è certamente quello della quadratura del cerchio: esso dovettepresentarsi alla mente umana fin dai tempi più remoti, suggerito dai numerosi esempi di figure circolari offerti dalla naturastessa.

Esso si può enunciare in modo completo così:

DATO UN CERCHIO, DETERMINARE IL LATO DI UN QUADRATO AVENTE AREA UGUALE A QUELLA DEL CERCHIO DATO.

Benché semplice nella sua enunciazione, in geometria questo problema non è risolubile in modo elementare con il solo usodella riga e del compasso. Si rimanda alla lettura dell’appendice A per una più ampia trattazione del teorema.

Può, però, questo problema trovare soluzioni se affrontato con un diverso approccio; le scuole filosofiche, gli uomini dipensiero, le varie società esoteriche, trattarono l’argomento cercando di risolvere ciò che elementarmente non erapossibile?

Certamente il tentativo è stato effettuato più di una volta e probabilmente qualcuno arrivò alla soluzione.

"Nessuno entra qui se non è un geometra " questo l’avvertimento che allontanava dalla scuola di Platone i sempliciascoltatori, impreparati a pensare da soli.

La geometria del geniale filosofo non era, infatti, quella di Euclide ma si trattava di una geometria più sottile nella suaspiritualità, di un arte piuttosto che di una scienza, consistente nel ricollegare le idee alle forme e nel leggere i segni fatti dilinee come le figure dei geometri.

Due delle figure più frequenti e più universalmente usate nel linguaggio dei simboli sono il quadrato e il cerchio, insieme alcentro e alla croce.

Esiste una immagine quale il pentacolo del Rebis trasmesso da Basilio Valentino dove si distingue un cerchio nel quale sonoinscritti una croce, un triangolo ed un quadrato.

Sono appunto questi gli elementi base dell’ideografismo ermetico ed alchemico. L’ideogramma alchemico di Uno il Tutto è ilcerchio; linea o movimento che si conchiude in se stesso e che in se stesso ha principio e fine. Nell’ermetismo questosimbolo esprime l’universo e, simultaneamente la Grande Opera.

Il quadrato è il simbolo della terra, in opposizione al cielo, ma è anche, ad un altro livello, il simbolo dell'universo creato,terra e cielo, in opposizione al non-creato e al creatore; è l'antitesi del trascendente. Il quadrato è una figura antidinamica,ancorata sui quattro lati, rappresenta l’arresto o l'istante isolato. Il quadrato implica un'idea di stagnazione e disolidificazione, oppure di stabilizzazione . Mentre il movimento scorrevole è circolare e rotondo, l'arresto e la stabilità sonoassociati a figure angolose, con linee dure e a sbalzi.

Per gli alchimisti e gli ermetisti il quadrato, sormontato dalla croce simboleggiava la pietra filosofale.

Abù Ya’qub dice della tetrade, numero del quadrato, che è il numero più perfetto : il numero dell'intelligenza e il numerodelle consonanti del Nome divino (‘llh).

La simbologia del quadrato e quella del numero quattro sono spesso associate. Gli Ebrei facevano del Tetragramma il Nomeimpronunciabile della Divinità (Jhwh). I Pitagorici facevano della tetraktys (e anche del quadrato di quattro, cioè sedici) labase della loro dottrina.

René Guenon ( Simboli della scienza sacra, edizione Adelphi Milano) riferendosi alla Tetractys Pitagorica osserva che ilquadrato è sempre dovunque considerato il numero della Manifestazione Universale nel concetto del Quadrato Perfetto; laformula Pitagorica 1+2+3+4=10 è la circolatura del quadrante e l’inverso 10=1+2+3+4 esprime numericamente ladivisione quaternaria del cerchio, cioè il problema ermetico della Quadratura del Cerchio concepibile come massimaperfezione umana.

Giordano Bruno nel De Monade scrive " per monadem, diadem, triadem decas exit. Et tetrade est primum solidi natuareperta. Primus pariter quadrangulus est par, justitiaeque typus. Et quamquam ipse Deus triades numero impare gaudet.Per tetradem cunctis tamem ipsum se explicat alte ". ( appendice N )

Il numero quattro è dunque , in certo modo , il numero della perfezione divina; più in generale , è il numero dello sviluppo

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completo della manifestazione, il simbolo del mondo stabilizzato.

Questo sviluppo si effettua, partendo dal centro immobile, secondo la croce nelle direzioni cardinali che, nel quadrato, èl’espressione dinamica del quattro.

La manifestazione solidificata viene espressa dal solo quadrato, il cui sviluppo va di pari passo a quello delle civiltàsedentarie. Il cerchio simbolo dell'animazione, è d'altra parte la forma abituale dei santuari presso i popoli nomadi, mentreil quadrato è la forma dei templi presso i popoli stanziali.

Il cubo, ancora più del quadrato, è il simbolo della solidificazione e dell’arresto dello sviluppo ciclico perché, determina efissa lo spazio nelle sue tre dimensioni. Corrisponde all’elemento minerale, al polo sostanziale della manifestazione. Lapietra cubica del simbolismo massonico implica il concetto di compimento e di perfezione. Il concetto di base di fondamentoo di stabilità non è estraneo neppure al simbolismo, della Ka’ba della Mecca che è una pietra cubica.

Le età del mondo, la vita umana e i mesi lunari sono ritmati sul numero quattro, mentre le quattro fasi del movimentociclico vengono espresse dal cerchio; la divisione con la croce di due diametri perpendicolari è la vera quadratura delcerchio. Parliamo del simbolo cristiano del gammadion , (in pratica, un quadrato che racchiude una croce) che è la sintesidi due aspetti del numero quattro: la croce raffigura Cristo circondato dai quattro Evangelisti, o dai quattro animali che nesono emblemi.

Il cerchio è il segno dell'Unità del principio e di quella del Cielo e, come tale, ne indica l'attività e i movimenti ciclici.

E’ lo sviluppo del punto centrale, la sua manifestazione: tutti i punti della circonferenza si ritrovano al centro del cerchio,che è il loro principio e la loro fine scrive Proclo.

Secondo Plotino il centro è il padre del cerchio e secondo Angelus Silesius il punto ha contenuto il cerchio. Numerosi autoriapplicano questo stesso paragone del centro e del cerchio a Dio e alla Creazione. Il punto e il cerchio hanno delle proprietàsimboliche comuni: perfezione, omogeneità, assenza di distinzione o di divisione. Il cerchio può anche rappresentare nonpiù le perfezioni nascoste del punto primordiale, ma gli effetti creati; in altre parole, il mondo in quanto si distingue dal suoprincipio.

Il cerchio è la figura dei cicli celesti - soprattutto delle rivoluzioni planetarie - e del ciclo annuale raffigurato dallo Zodiaco.

E’ caratteristico della tendenza espansiva ed è il segno dell’armonia; per questo le norme architettoniche sono spessostabilite sulla divisione del cerchio.

Perché‚ il cielo si muove con un movimento circolare, chiede Plotino; perché‚ imita l'intelligenza è la sua risposta. Ilsimbolismo dello zodiaco si ritrova in altri irraggiamenti simili intorno al Centro solare: i dodici Aditya, i Cavalieri dellaTavola Rotonda, il Consiglio circolare del Dalai Lama.

La forma primordiale non è tanto il cerchio quanto la sfera, rappresentazione dell'Uovo del Mondo, ma il cerchio è la coppao la proiezione della sfera. Il Paradiso terrestre era circolare. Il passaggio dal quadrato al cerchio, ad esempio nel mandala,rappresenta il passaggio dalla cristallizzazione spaziale al nirvana, all'indeterminazione del principio, passaggio dalla Terraal Cielo, secondo la terminologia cinese.

Il movimento circolare è perfetto, immutabile, senza inizio né fine, né variazione; questo fa si che esso possarappresentare il tempo, il quale, a sua volta, può essere definito come una successione continua e invariabile di istanti tuttiidentici gli uni agli altri. Il cerchio può rappresentare anche il cielo , dal movimento circolare e inalterabile.

A un altro livello interpretativo, il cielo stesso diventa simbolo, il simbolo del mondo spirituale, invisibile e trascendente, mapiù direttamente, il cerchio simbolizza il cielo cosmico soprattutto nei suoi rapporti con la terra, In questo contesto, ilcerchio rappresenta l'attività del cielo, il suo inserimento dinamico nel cosmo, la sua causalità, la sua esemplarità e il suoruolo provvidenziale, in questo modo si ricollega ai simboli della divinità china sulla creazione, di cui produce, regola eordina la vita.

Il simbolismo non è però sempre così semplice: l'immutabilità celeste trova la sua espressione anche nel quadrato e lemutazioni terrene nel cerchio , ed entrambi gli aspetti sono utilizzati nell'architettura indù tradizionale di cui si é potuto direche si riassumeva nella trasformazione del cerchio in quadrato e del quadrato in cerchio.

Il Burckhardt (L’arte sacra in oriente ed occidente Ed. Rusconi Milano) osserva che per i popoli nomadi il Santuario per ladivinità era concepito circolare, come la loro tenda od il nurago o il trullo.

Per delimitare il Santuario essi fissavano un bastone nel terreno e concepivano il bastone come asse del mondo ed ognipunto sella superfice terrestre era concepito corrispondente a tale asse. Con un filo legato al bastone ruotando formavano ilcerchio, trasfigurazione del cielo e del cosmo.

Per i popoli sedentari, continua il Burckhardt, invece il santuario, concepito come tempio, era quadrato ed esprimeva lalegge definitiva ed immutabile. Così a qualunque tradizione appartenga ogni architettura sacra ( e non aggiungiamo noi )può ridursi al tema fondamentale della trasformazione del cerchio in quadrato come posto in particolare evidenza nellagenesi del tempio induista.

L’accostamento architettonico era espresso innanzitutto dall’orientamento dell’edificio che veniva eseguita con regoleantichissime. ( dalle piramidi a Stonehenge, da Pitagora a Vitruvio ). Per questa operazione di orientamento si usava unbastone ed una corda nel modo sopra descritto; ma il bastone con la sua ombra, proiettata nel cerchio, indicava leposizioni del mattino e della sera e quindi sul terreno si determinavano i punti est-ovest e da tale asse si tracciavano cerchigemelli intersecantesi per segnare l’asse nord-sud e con altri cerchi si fissavano i quattro angoli del quadrato, cioè laquadratura del ciclo solare; ovvero questa era l’operazione di quadratura del cerchio (confronta il Ragghianti nel suo libro

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L’arte bizantina e romanica).

L'usanza antica di fondare una città tracciando un solco circolare e poi tracciare al suo interno un quadrato può ancheessere collegata alla simbologia delle rote e dei mandala.

(E. Bonvicini Esoterismo nella massoneria antica Ed. Atanor)

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Mondo Antico

Gli egiziani credevano che molto tempo prima della loro civiltà gli dei avessero stabilito il sistema dell’ordine cosmico el’avessero trasferito sulla loro terra. Una razza di dei aveva governato l’Egitto per molti millenni prima di affidarlo alla lorolinea mortale, eppure divina dei faraoni.

Qualcuno ora ipotizza che a ricordo di questo furono costruite le tre piramidi di Giza la cui disposizione e dimensionecorrispondono alle stelle della cintura di Orione ( Al Nitak, Al Nilam, Al Mintaka); ovvero le costruirono sulla terra come unaimmagine di ciò che esisteva nel cielo. (leggi appendice D sulle piramidi)

Platone considerava il quadrato e il cerchio come assolutamente belli in sé; secondo il grande pensatore il quattro siriferisce alla materializzazione delle idee e il tre all'idea stessa: il secondo esprime le essenze e il primo i fenomeni, l'uno lospirito e l'altro la materia.

Mentre il tre deriva dalla simbologia della verticale, il quattro appartiene a quella dell'orizzontale.

Uno unisce i tre mondi e l'altro li separa, considerandoli ciascuno al suo livello.

Secondo Plutarco, i pitagorici affermavano che il quadrato riuniva la potenza di Rhea, di Afrodite, di Demetra, di Hestia e diHera.

Commentando questo passo, Mario Meunier precisa: "Il quadrato significa che Rhea, la madre degli dei, la fonte delladurata, si manifestava attraverso le modificazioni dei quattro elementi simbolizzati da Afrodite, che era l'acqua generatrice,da Hestia, che era il fuoco, da Demetra che era la terra e da Hera che era l'aria".

Il quadrato rappresenterà la sintesi degli elementi.

Dai quattro elementi di Democrito passiamo alla sfinge tetramorfa, ai quattro animali sistemati intorno al trononell'Apocalisse di San Giovanni, alla carta dei tarocchi che raffigura il mondo, alla profezia di Ezechiele, ai quattroevangelisti e alla loro raffigurazione nella chiesa superiore di San Francesco in Assise, e a gran parte della iconografiacristiana; possiamo, quindi, fare questi accostamenti:

Terra - Toro - San Luca - Lavoro - Resistenza - Tacere

Acqua - Uomo - San Matteo - Vita - Luce - Sapere

Fuoco - Leone - San Marco - Azione - Forza - Volere

Aria - Aquila - San Giovanni - Intelligenza - Spirito - Osare

Molti spazi sacri hanno una forma quadrangolare: altari, templi, città ed accampamenti militari. La forma quadrangolareviene adottata per delimitare numerosi luoghi come la piazza pubblica di Atene. Spesso questo quadrato è inscritto in uncerchio, sommità di una collina rotonda, come per gli accampamenti e per i templi oppure in fondo a un cerchio di colline,come per Roma.

Secondo la versione di Plutarco sulla fondazione di Roma essa venne insegnata a Romolo dagli Etruschi come nei misteri. Siscavò dapprima una fossa rotonda, dove vennero gettate le offerte e che ricevette il nome di mund (cioè cosmo). Ilmundus era considerato il centro che collega la città al mondo degli spiriti, cosi come il cordone ombelicale collega ilbambino alla madre.

La città aveva una forma circolare , anche se Roma viene chiamata dagli antichi urbs quadrata e Plutarco stesso la chiamaRoma quadrata, affermando inoltre che essa era al tempo stesso un cerchio e un quadrato. Secondo una teoria la parolaquadrata significa quadripartita, cioè la città circolare era divisa in quattro parti da due arterie, il cui punto di intersezionecoincideva con il mundus. Nella lingua dell'antico Egitto l'ideogramma che veniva usato per la parola città era un cerchiocon due strade che si incrociavano disegnate all'interno.

(Egyptian Grammar by Sir Alan Gardiner printed at Oxford University)

Secondo un'altra teoria, la contraddizione va intesa soltanto come simbolo, cioè come la rappresentazione visiva delproblema matematico insolubile della quadratura del cerchio.

Va ricordato anche che nell'Oriente antico, presso i Babilonesi, il quadrato veniva usato per indicare il totale di un conto edesprimeva l’idea di riunire entro un limite, corrispondendo così a un limite terrestre. Esso sembra un simbolo meno anticodel cerchio e forse ne è una derivazione, in ogni modo cerchio e quadrato esprimono un totale, ma il quadrato serve anchead esprimere un’idea di limite.

Fin dalla più remota antichità, il cerchio è servito a indicare la totalità e la perfezione e a inglobare il tempo per misurarlomeglio; Nella Bassa Mesopotania lo zero è il numero perfetto, che esprime il tutto, e dunque l'universo; il cerchio diviso ingradi, rappresenta il tempo; i Babilonesi l'hanno utilizzato per misurarlo, l’hanno suddiviso in 360°e scomposto in sei

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segmenti di 60°, il suo nome (shar) indicava l’universo, il cosmo. La speculazione religiosa babilonese ne ha ricavato inseguito il concetto di tempo infinito, ciclico e universale che si è trasmesso nell’antichità ad esempio nell'epoca grecaattraverso l'immagine del serpente che si morde coda (v. UROBOROS). Il sole e l'oro, immagini del sole, sono indicate conun cerchio. Nell'antichità il piano circolare è associato al culto del fuoco , degli eroi e della divinità. Il cerchio esprimel'eterno soffio della divinità, che agisce continuamente e in tutti i sensi Il tondo possiede un senso universale rappresentatodal globo e la sfericità, sia dell'universo che della testa dell'uomo, é indizio di perfezione. Platone rappresenta la psiche conuna sfera e già presso i Babilonesi troviamo questo complesso cielo-terra espresso dal cerchio e dal quadrato : il quadratoinscrive un limite il cerchio esprime l'illimitato.

Jung ha mostrato che il simbolo del cerchio , è un'immagine archetipica della totalità della psiche, il simbolo del Sè, mentreil quadrato è il simbolo della materia terrena, del corpo e della realtà.

Nel mondo celtico , il cerchio ha una funzione e un valore magico. Cuchulainn incide un'iscrizione in lettere ogamiche su uncerchio di legno (fatto con un ramo ricurvo) per fermare l'esercito irlandese che invade l'Ulster. Il cerchio viene fissato a unpilastro e ingiunge, a chiunque legga l'iscrizione, di non oltrepassarlo senza accettare un singolar tenzone. Il cerchiosimbolizza dunque un limite magico invalicabile. Il cerchio ha applicazioni religiose immediate: il grande idolo d'lrlanda,secondo i testi agiografici, è circondato da altre dodici pietre di minore grandezza disposte in cerchio.

I templi circolari gallo-romani sono inscritti in un quadrato e rappresentano le interrelazioni fra il cielo e la terra.

Vercingetorige, al momento della resa, descrisse a cavallo un gran cerchio intorno a Cesare, il simbolismo del cerchio éduplice, magico e celeste.

In un disegno di arte Vichinga della Norvegia si vede l'immagine pura dell’uomo spiritualizzato senza essere disincarnato.

Il cubo centrale, con i suoi quadrati le sue scacchiere, le sue squadre e i suoi punti, dà un’idea di questo mondo materiale ecreato, limitato e inscritto nel tempo e nello spazio. L’ovale della testa, le curve delle arcate sopraccigliari, i salienti dellelabbra e la mandorla degli occhi rappresentano il non-creato, la concentrazione , lo spirituale. La sovrapposizione dei duevolumi indica le relazioni fra il cielo e la terra, fra il trascendente, e l'immanente, relazioni che tendono verso un'unionenell'uomo. Possiamo vedere in questo caso: l'immagine dinamica di una dialettica fra il celeste trascendente a cui l'uomoaspira naturalmente e il terrestre in cui si trova attualmente.(de Champeaux G.,Sterckx S., Introduction au monde dessymboles,Parigi 1966)

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Tradizione islamica

Nella tradizione islamica, la forma circolare è considerata come la più perfetta di tutte ed è per questo che i poeti diconoche il cerchio formato dalla bocca è la forma più bella in quanto è completamente rotonda.

Raccolto in se stesso , senza inizio ne fine, compiuto e perfetto, il cerchio è il segno dell’assoluto.

Il quadrato e la tetrade occupano un posto ugualmente importante nelle tradizioni dell’Islam. Il simbolo supremo dell’Islamè la Ka’ba, un blocco quadrato; esso esprime il numero quattro, che è il numero della stabilità.

Se si rappresenta l'Islam come un edificio, possiamo dire che il tetto è il riconoscimento dell’unicità di Dio, mentre i quattropilastri sono la preghiera rituale, la tassa, il digiuno annuale e il pellegrinaggio alla casa di Dio. Alla Mecca, il cubo nerodella Ka’ba si erge in uno spazio circolare bianco, e la processione dei pellegrini, rito fondamentale del Pellegrinaggio, èessenzialmente costituito da dei giri intorno al quadrilatero e traccia, intorno al cubo nero, un cerchio di preghieraininterrotta. Anche in occasione di una nascita c'è l'usanza di compiere il giro dei mausolei dei santi, delle moschee o delluogo dove si è svolto un sacrificio.

Il concetto di unicità monolitica è quindi simbolizzato dalla Ka’ba; in origine questa parola significava tanto essere quadratoche essere tondo; è significativo che anche la sua forma si presti a questo duplice significato , perché una parte è cubica el’altra semisferica.

La Ka’ba ha quattro linee che vanno dal centro ai quattro angoli; è orientata sull’asse di quattro punti cardinali; i quattroango1i della Ka'ba hanno nomi distinti. Un manoscritto arabo mostra la Pietra Nera della Ka’ba portata nel santuario daquattro capitribù posti ai quattro angoli di un tappeto. D'altronde, molto prima dell'Islam, la Mecca si chiamava Madre delleCittà. Nella letteratura popolare viene chiamata anche ombelico della terra, come l'omphalos di Delfi. Ibn Al’ Arabi osservache la Ka'ba costituisce l'equivalente sulla terra del Trono di Dio, intorno al quale girano gli angeli (Corano, 29, 75). Ilcuore dell'uomo, dice questo autore, è la casa di Dio, più nobile, e più importante della Ka'ba stessa. Il cuore degli uominiordinari è quadrato, perché essi hanno quattro possibilità d'ispirazione: divina, angelica, umana e diabolica; il cuore deiprofeti ha invece soltanto tre lati, perché essi sono estranei a ogni tentazione diabolica. Analogamente la Ka'ba, che haapparentemente quattro lati, in realtà ne ha soltanto tre, se si tiene conto della parte semicircolare che sta di fronte a unlato.

Anche la casa araba è quadrata , come la qubbah, il mausoleo a cupola innalzato sulla tomba dei santi musulmani. Ilmausoleo cubico rappresenta la terra o il corpo , con i suoi quattro elementi, e la cupola il cielo o lo spirito.

Per l'architettura islamica, il problema consisteva nel passare dal quadrato al cerchio, dato che il luogo di riunione dei fedeliè una sala quadrata, ma solo una cupola è degna di rappresentare l'incommensurabile grandezza divina. Ritroviamodunque ai due livelli, architettonico e rituale, la congiunzione quadrato cerchio che era già implicita nell'etimologia.

La danza circolare dei dervisci mawlaiyya (mevlevi), detti dervisci giranti, è ispirata a questo simbolismo cosmico: imitanoil giro dei pianeti intorno al sole, il vortice di tutto ciò che si muove ma anche la ricerca di Dio, rappresentato dal sole. Illoro fondatore, il massimo poeta del Sufismo, ha celebrato questa circumambulazione dell’anima "ho girato, scrive, con i

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nove padri (i pianeti) in ogni cielo. Per anni ho girato insieme alle stelle"

Il neo-platonismo paragona Dio ad un cerchio, il cui centro è dappertutto e questo tema lo si trova anche nel Sufismosoprattutto nel Mathavi di Jalal Al-Din Rumi, nel Roseto dei Segreti di Mahmud Shabastarid. Rumì contrappone lacirconferenza materiale del mondo fenomenico al Cerchio dell'Essere assoluto, affermando inoltre che, se si aprisse ungranello di polvere vi troveremmo un sole e dei pianeti che girano intorno.

Anche il Trono di Dio è rappresentato con una base circolare: è l’orizzonte supremo, Khatt al-istima, di cui Maometto hafatto il giro nel Mi'raj in due gettate d’arco. L’estasi maomettana è consistita dunque nel fare il giro dell'inaccessibilità diDio

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Tradizione cristiana

Anche nella tradizione cristiana il quadrato, data l'uguaglianza dei suoi quattro lati, rappresenta il cosmo; i suoi quattropilastri d'angolo indicano i quattro elementi. Il cerchio e il quadrato rappresentano i due aspetti fondamentali di Dio: l'unitàè la manifestazione divina. Il cerchio esprime il celeste, il quadrato il terrestre , non in quanto opposto al celeste ma inquanto creato; nei rapporti fra il cerchio e il quadrato esiste una distinzione e una conciliazione: il cerchio sarà per ilquadrato ciò che il cielo è per la terra e l'eternità per il tempo, ma il quadrato si inscrive in un cerchio vale a dire la terra èdipendente dal cielo. Il quadrato non è altro che la perfezione della sfera su un piano terrestre. Per i cristiani il Cristorappresenta l'umanità, egli verrà considerato come l'uomo quadrato per eccellenza. Da ciò non solo derivò la costruzionedelle chiese ad quadratum ma anche l'uso di porre nelle chiese la Pietra Angolare come simbolo di Cristo Gesù, come silegge nella lettera di S.Paolo agli Efesini ( ... Pietra maestra angolare essendo lo stesso Cristo Gesù sopra di cui l'edificiotutto insieme connesso si innalza in tempio santo del Signore ... capitolo II,20)

A tale riguardo Marie Madeleine Davy nel suo libro sul simbolismo mediovale scrive che Villard de Honnecourt, architettoche nel XIII secolo compose una raccolta di numerosi disegni stilizzati, ci dà la pianta di una chiesa cistercense del XIIsecolo, tracciata ad quadratum.

Questa pianta presenta delle analogie con le misure del Microcosmo, cioè dell’uomo, secondo Santa Ildegarda. L’uomo diSanta Ildegarda, con i piedi uniti e le braccia tese, ha cinque misure uguali nel senso della larghezza e della lunghezza; ledimensioni dettagliate nel senso della lunghezza e della larghezza vengono rappresentate da quadrati. Una chiesa, adquadratum si inscrive in un rettangolo; la sua lunghezza si compone di tre quadrati e la sua larghezza di due quadrati diuguale misura.

La pianta della chiesa cistercense ha 12 misure uguali nel senso della lunghezza e otto nel senso della larghezza, cioè si hail rapporto dodici ottavi che è uguale a tre mezzi.

Le chiese quadrate sono numerose in Gran Bretagna, come la cattedrale di Oxford, la chiesa di Ramsey o di Saint Cross, lechiese cistercensi in Gran Bretagna sono tutte quadrate, il tempio del Graal è quadrato.

In Germania la maggior parte delle chiese con abside quadrata derivano dalla chiesa cistercense di Morimond; in Francia lechiese quadrate sono cistercensi e hanno capocroci piatti, fiancheggiati da quattro, sei o otto cappelle quadrate; ideambulatori sono rettangolari. Così a Fontenay secondogenita di Chiaravalle e fondata da san Bernardo nel 1118, siaprono sul transetto delle cappelle quadrate o rettangolari; analogamente a Pontigny (1114), a Noirlac (1136) e aEscale-Dieu (1142), che riproduce la pianta di Fontenay.

La cattedrale di Laon presenta un capocroce quadrato; il coro della chiesa di Brinay è rettangolare . In tutte le chieseprimitive cistercensi il capocroce è quadrato, ma nelle chiese costruite alla fine del XII e nel XIII secolo, l'abside diventapoligonale. Da notare che la chiesa di San Vincenzo ed Anastasio, vicino a San Paolo delle Tre Fontane a Roma, fu donata aSan Bernardo nel 1140 e, molto probabilmente, ricostruita a quell'epoca con un capocroce quadrato. E’ tutta unaspiritualità che si inscrive simbolicamente in queste forme quadrate della stabilità, di una stabilità da interiorizzare.

Nella Guida dei Pellegrini a San Giacomo di Compostella l'autore paragona la chiesa a un organismo umano, in cui lanavata maggiore è simile a un corpo di cui i transetti costituiscono le braccia; le dimensioni vengono calcolate in funzionedelle misure umane. L'uomo quadrato, con le braccia tese ed i piedi giunti, indica i quattro punti cardinali e in essi troviamoriuniti il significato della croce e delle quattro dimensioni che esso implica. Gli autori medievali, che amano i paragoni,ricollegano all'uomo quadrato i quattro vangeli, i quattro fiumi del Paradiso. Thierry di Chartres dice che l'unità è alla basestessa del quadrato, perché viene ripetuta quattro volte.

Secondo Denys le Chartreux (Dionisio il Certosino) il quadrato va esaminato nel suo aspetto allegorico: i corpi quadrati, asuo parere non sono destinati alla rotazione come i corpi sferici, e del resto, il quadrato presenta un carattere stabile. NelMedioevo vengono costruite città quadrate: Sainte-Foy, Montpazier ecc.

Nella composizione architettonica è importante mantenere la simmetria e la proporzione. La chiesa romanica si ispira alTempio che, secondo la tradizione, rappresenta nelle sue proporzioni il tempio dell'uomo e le sue dimensioni possonoinscriversi in un quadrato. La chiesa romanica non è solamente ad quadratum, secondo la pianta della chiesa cistercensepubblicata nell'album di Villard de Honnecourt, a volte è tonda e, in questo caso, ci troviamo di fronte a un altro simbolo:passiamo infatti dallo spazio-tempo al cielo dell'eternità. Il cerchio non é presente nelle costruzioni bibliche ma é di originebizantina; sul piano architettonico ha preceduto la cupola e, infatti, le chiese romaniche, riproducenti il Santo Sepolcro diGerusalemme, hanno una forma arrotondata, come le chiese costruite dai Templari o le abbazie di Charroux e diFontevrault. L'abside delle chiese romaniche presenta una semi-cupola.

Nell’iconografia cristiana, il motivo del cerchio rappresenta l'eternità; tre cerchi saldati evocano la Trinità del Padre, delFiglio e dello Spirito Santo. Il Santo Sepolcro di Gerusalemme voleva evocare la grande volta dell'universo che l'uomo

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rappresenta con la sua calotta cranica. Onorio d'Autun riprende questa duplice divisione parlando di chiesa a croce e dichiesa tonda, usando tanto la terminologia usuale che il senso simbolico implicito.

Se la chiesa nel suo insieme ha la forma di una croce latina, come avviene il più delle volte, conviene notare che tale crocepuò essere ottenuta sviluppando un cubo le cui facce siano stese sul piano di base; la faccia di base, che rimane nellaposizione iniziale, corrisponde alla parte centrale sopra cui s'innalza la cupola.

Secondo il Burckhardt per i Padri della Chiesa l'edificio sacro rappresenta innanzitutto il Cristo, come divinità manifestatasulla terra; al medesimo tempo rappresenta l'Universo costituito da sostanze visibili ed invisibili, infine l'uomo e le suediverse parti.

La chiesa non è più il punto di partenza dell'evoluzione spirituale, ma ne rappresenta il punto finale supremo.

La chiesa romanica presenta l'immagine dell’uomo ma offre prima di tutto il simbolo del1'uomo perfetto, cioè di GesùCristo, il cui nome in ebraico significa anche uomo. Il Verbo, facendosi uomo, assume proporzioni umane, conl'lncarnazione unisce la propria divinità all’umanità, collega il cielo alla terra e mette nel cerchio una forma di quadrato checorrisponde alla forma dell'uomo o - meglio ancora- iscrive il quadrato nel cerchio della divinità, rafforzando così ( poiché ilquadrato è simbolo di potenza) il suo significato, come si riscontra, per esempio, nella visione di Daniele, delle quattrobestie e dei quattro regni ( Daniele VII, 1-28 ).

Con la Redenzione, Cristo fa esplodere il quadrato e lo spezza, perché è un re spodestato, e del quadrato non resta altroche la croce: in questo modo, Cristo pone la propria natura umana in seno alla natura divina e l'uomo quadrato, tramitel'Incarnazione, si inserisce egli stesso nel cerchio. In altri termini, l'umanità è collegata alla divinità, come il tempoall'eternità, il visibile all'invisibile e il terrestre al celeste.

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Estremo oriente e India

La terra, misurata dai suoi quattro orizzonti è quadrata, è divisa nelle quattro regioni, occupate da quattro caste, dallequattro braccia o dalle quattro facce della Divinità: le quattro braccia di Vishnu, e di Shiva o di Ganesha; ad Angkor, ladivisione è operata dalle quattro facce del Tumburu, ma ancora più chiaramente dal Bayon (tempio khmer del XII secolo, alcentro della cinta muraria di Angkor Thom). Il tempio è sempre costruito a immagine dell'uomo: come il tempio cristianoderiva dalla quadratura secondo le assi cardinali introdotte in un cerchio, la pianta del tempio indù presentata nel VastuPurusha-mandala è anch'essa una figura quadrata che esprime la divisione per quattro di un grande cerchio cherappresenta il ciclo solare .Se il Cielo è generalmente rotondo e la Terra quadrata, il cambiamento di prospettiva permettea volte di invertire le corrispondenze simboliche. Se, ad esempio, nella costruzione del tempio indù, il quadrato èfissazione, cristallizzazione dei cicli celesti, può all'inverso significare l'immutabilità del principio in rapporto al movimentocircolare della manifestazione; poi nella costruzione dell’altare vedico, che è un cubo cosmico, si ritorna al concettoprimitivo.

Lo stesso simbolismo cosmico del quadrato si ritrova in Corea, nel Vietnam e soprattutto in Cambogia, non soltanto nellapianta dei templi o della capitaIe Angkor , ma anche nella disposizione del regno, che un tempo era diviso in quattroregioni amministrative cardinali.

Il cerchio e il quadrato sono per eccellenza in Cina la manifestazione tangibile del cielo e della terra, ed insieme con l'uomosono gli elementi che fanno parte della concezione dei tre poteri; il cielo che ricopre e produce, la terra che sorregge edalimenta, l'uomo dotato della facoltà di pensare e provvisto di una volontà cosciente.

Durante la dinastia dei Chou il re era considerato il responsabile del legame tra il mondo divino e quello umano; durante ilsecondo mese della primavera celebrava il culto del Cielo su di un poggio rotondo ed il culto del suolo su un altarequadrato. Questi culti durarono fino al '900 anche se con l'avvento dell'impero e del pensiero confucianesimo furonocelebrati in periodi differenti.

Dopo la dinastia Han nel momento del solstizio invernale, quando lo Yang, il Principio della luce, del calore, e del maschilecominciava ad essere ascendente e quando si annunciava la primavera l'imperatore offriva al Sovrano dell'Alto dell'AugustoCielo un sacrificio su un tumulo rotondo innalzato su un piano quadrato che simboleggiava la terra che si stende al di sottodel cielo.Nel solstizio d'estate e quindi con l'ascesa dello Yin, il Principio dell'oscuro, del freddo,e del femminile il sacrificioveniva offerto alla Terra Sovrana; il terreno sacro è circondato da un muro di quattro lati, all'interno vi si elevava su unabase quadrata, che simboleggiava la forma della terra, un tumulo che fungeva da altare.

Presso i cinesi la forma quadrata della Terra è un'idea molto antica, lo spazio è quadrato ed ogni oriente è dominato da unamontagna cardinale, esso è definito dalle quattro dimensioni yang, parola che significa anche quadrato. Lo spazio quadratosi divide in province quadrate, conformemente al quadrato magico di Yu il Grande e anche secondo il Chou-li in campiquadrati. La città, centro dello spazio, è quadrata con quattro porte cardinali; i vassalli vi sono ricevuti alle quattro porte esi raccolgono in quadrato se si tratta di ristabilire il giusto ordine del mondo.

Per numerare i giorni i cinesi si servivano della combinazione di caratteri particolari, si tratta dei dieci tronchi celesti e deidodici rami terrestri; Marcel Granet ha notato che i primi erano disposti a quadrato, mentre i secondi erano disposti incerchio, cosa che ricorda lo scambio di attributi di Fu-Shi e di Nu-Kua.

Fu-Shi fu il primo mitico sovrano cinese, a lui vengono attribuite l'invenzione della scrittura, della musica e dello strumentocon cui Yu il grande misurò il mondo; Nu-Kua era considerata la divinità creatrice del genere umano, fu sposa di Fu-Shi colquale viene spesso raffigurata uniti dalle loro code di drago intrecciate. L'attributo di Fu-Shi è il compasso simbolo celeste equindi yang o maschile, mentre la squadra simbolo terrestre e quindi yin o femminile appartiene a Nu-Kua, ma quandosono insieme è la dea che tiene in mano il compasso mentre l'imperatore la squadra.

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Lieh tzù, tra il 570 a.C. e il 490 a.C. filosofo cinese presunto fondatore del taoismo, racconta che quando il cielo azzurro fucompletato, i quattro punti cardinali fissati al loro posto, le acque straripanti che inondavano il paese di Ki bloccate, glianimali malefici morti, il popolo pacifico poté sopravvivere ed Nu-Kua riusci a puntellare il paese quadrato e ad abbracciareil cielo rotondo ... allora tutto fu tranquillo, tutto divenne perfettamente calmo.

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Quadrato, ottagono e cerchio

Dal punto di vista geometrico la forma ottagonale è più vicina al cerchio che al quadrato. Il cerchio infatti può essereconsiderato il limite a cui tende un poligono regolare quando il numero dei suoi lati aumenta indefinitamente, l’ottagono èuna della prime forme della serie dei poligoni.

Secondo la simbologia cristiana di Sant'Ambrogio la forma ottagonale è il simbolo della risurrezione, l'ottavo giornosecondo Carl Schmidt è il simbolo nello stesso tempo del Cristo e della promessa di risuscitazione dell'uomo trasfiguratodalla grazia

Nei templi di varie religioni possiamo trovare moltissimi esempi di forme quadrate sormontate da forme sferiche. Abbiamogià scritto che queste strutture rappresentano la terra ed il cielo e che, quindi, abbiamo una corrispondenza tra la terra e laforma quadrata ed il cielo e la forma circolare.

In molti casi, però, la cupola non poggia direttamente sulla base quadrata e la forma intermedia è in genere quellaottagonale.

Nella costruzione , la forma dell’ottagono può essere realizzata in vari modi e in particolare con otto pilastri che reggono lavolta, ne troviamo un esempio in Cina nel caso del Ming-tang.

Tale trasposizione concettuale dal quadrato al cerchio partiva dalla valenza simbolica che il quadrato simboleggiava laTerra, mentre l'ottagono era l'Uomo ed il cerchio il Cielo, e si designava così l'idea di una via ascensionale verso il cielo;l'ottagono, ma anche il numero otto, ha un significato di mediazione tra quadrato e cerchio, tra terra e cielo ed è, quindi, inrapporto con il mondo intermedio.

L'ottagono è spesso usato nel dare forma ad edifici di particolare significato universalistico e cosmico.

In base alla suddetta concezione i maestri costruttori scelsero le forme geometriche delle Chiese e dei Battisteririchiamandosi alla idea del Celeste e del Terrestre, cercando di esprimere entrambi i concetti di un Tempio Universale,Cosmico, dello Spirito e di un Tempio degli Uomini nel quale si raccolgono per adorare Dio, per invocarlo, ed in essotestimoniare la loro adesione ad un Credo religioso e ad una Organizzazione sacerdotale.Nel antico cristianesimo ilbattistero aveva forma ottagonale ed era situato fuori dalla chiesa e soltanto coloro che avevano ricevuto il battesimoerano ammessi a penetrare all’interno di essa; quindi il battistero era un luogo di passaggio o di transizione o meglio dirigenerazione , luogo attraverso il quale bisognava passare per poter andare in chiesa che si trova in rapporto all’esterno inuna corrispondenza che è quasi un’immagine di quella del mondo celeste in rapporto al mondo terrestre.

Fabre d’Olivet dice che l’uomo non è né un animale né una pura intelligenza; è un essere intermedio, posto tra la materia elo spirito, tra il cielo e la terra per esserne il legame.

A tale proposito, René Guénon ci ricorda un simbolo abbastanza noto nell’estremo oriente: quello della tartaruga, posta frale due parti superiore e inferiore della sua corazza come l’uomo fra il cielo e la terra. In tale raffigurazione la stessa formadelle due parti è significativa almeno quanto la loro posizione; la parte superiore, che copre l’animale, per la sua formaarrotondata corrisponde al cielo e la parte inferiore che lo sostiene, per la sua forma piatta corrisponde alla terra.

L’intera costruzione è perciò un’immagine dell’universo e la tartaruga posta fra le sue due parti rappresenta il terminemediano ossia l’uomo. In massoneria ritroviamo la stessa simbologia nel passaggio dalla squadra al compasso e nel modoin cui questi sono disposti l’uno rispetto all’altro. Questi strumenti corrispondono palesemente al cerchio e al quadrato,ossia alle figure geometriche che rappresentano il cielo e la terra; possiamo quindi immaginare che questo passaggio, fromsquare to arch, si realizzi dallo stato umano allo stato sopra-umano, ossia dall’ambito dei piccoli misteri a quello dei grandimisteri di Eleusi.(su Eleusi vedi appendice C) ( R. G. La Grande Triade)

Alcuni esempi di costruzioni basate sulla simbologia dell'ottagono:

la tradizione di basiliche e battisteri, comune al mondo occidentale e bizantina trova un interessante esempio nella CappellaPalatina di Aquisgrana avente forma ottagonale con ambulacro e galleria e dove Federico II fu incoronato nel 1215 re diGermania

Altro esempio e il Castello del Monte (leggi appendice L)

Ma anche il vicino oriente può accostare una tradizione simile e parallela di uso dell'ottagono come figura generatrice diedifici celebrativi che ha trovato espressione nella Qubbat al-Sakhra a Gerusalemme, più nota come moschea di Omar oCupola della Roccia. In Cina abbiamo il Ming tang (leggi appendice E)

La forma ottagonale si riscontra poi in molte chiese templari come la Chiesa del Tempio di Londra costruita a partire dal1160

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Conclusioni

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L’associazione cerchio quadrato evoca sempre la coppia cielo terra. Per Jung la trinità-quadrupla corrisponde all’archetipofondamentale della pienezza. L’arte dell’Islam è una perfetta illustrazione di questo simbolo.

Combinata con quella del quadrato la forma del cerchio richiama immediatamente un'idea di movimento, di cambiamentodi ordine o di livello. La figura circolare aggiunta alla figura quadrata viene spontaneamente interpretata dalla menteumana come l’immagine dinamica di una dialettica fra il trascendente a cui aspira l'uomo e la Terra su cui si trova in questomomento, in cui si percepisce come soggetto di un passaggio da realizzare fin da ora grazie al concorso dei segni. Loschema del quadrato sormontato da un arco (frammento del cerchio) - o prolungato orizzontalmente da un arco - e lastruttura cubo-cupola così frequente tanto nell'arte musulmana che in quella romanica , materializzano questa dialettica delterrestre e del celeste, dell'imperfetto e del perfetto.

Questa forma complessa provoca una rottura del ritmo, della linea o del livello, che invita alla ricerca del movimento, delcambiamento e di un nuovo equilibrio, rappresentando l'aspirazione a un mondo, o a una vita superiore. E' divenutal'immagine classica dell'arco di trionfo, riservato al passaggio degli eroi vittoriosi: nell'ordine intellettuale l'eroe è il genioche ha sciolto l'enigma, nell'ordine spirituale è il santo che ha trionfato sulle tendenze inferiori della propria natura. Ognunodi essi accede nel proprio ordine, a una vita maggiormente partecipe a quella della divinità considerata nella sua potenza,nella sua saggezza o nella sua santità.

"Se il cerchio – scrive il Burckhardt – è inteso come simbolo della Unità indivisa dal Principio, il quadrato esprime la suadeterminazione prima ed immutabile, cioè la legge o natura universale; in tal caso il cerchio indicherà simbolicamente unarealtà superiore a quella suggerita dal quadrato. Il che vale quando il cerchio è riferito al cielo per designare il movimentoed il quadrato alla terra per comprendere lo stato solido e relativamente inerte; onde il cerchio starà al quadrato comel’attivo al passivo, come la vita al corpo, poiché è il cielo che genera attivamente, mentre la terra concepisce e partoriscepassivamente. Tuttavia si può pensare anche ad una gerarchia inversa se si considera il quadrato nella sua accezionemetafisica, come simbolo dell’immutabilità del principio, la quale in sé contiene e risolve tutte le sue antinomie cosmiche ese per contro si riferisce il cerchio al suo modello cosmico, che è il movimento infinito, il quadrato esprimerà una realtàsuperiore a quella rappresentata dal cerchio, così come la natura permanente ed immutabile del Principio trascendel’attività celeste o la casualità cosmica, relativamente esterna al principio stesso."

"In questo rapporto tra il cerchio e il quadrato, nelle due prospettive indicate dal Burckhardt, si accoglie – osserva ilBonvicini – il simbolismo concettuale della quadratura del cerchio e viceversa.

Il cerchio iscritto nel quadrato è un simbolo ben noto ai cabalisti. Rappresenta la scintilla del fuoco divino nascosta nellamateria che la anima con il fuoco della vita

Il cerchio con inscritto il quadrato per i Pitagorici simboleggiava la trasmutazione del quadrato nel cerchio; e simboleggiavaanche la quadratura dell'uomo in una proiezione universale, cioè l'Uomo Quadrato, Realizzato.

Il cerchio entro il quadrato simboleggiava la quadratura del cerchio che i Pitagorici concepirono come la massimarealizzazione sul piano terrestre ed il quadrato, simbolo della perfezione della sfera, era concepito sul piano terrestre comemassima perfezione umana.

Il simbolo del cerchio intrecciato con il quadrato pone poi il terrestre ed il celeste sullo stesso piano, in un concetto diarmonia universale; come troviamo scritto nella Tavola di Smeraldo, o Tabula Smaragdina, apparsa nel Medioevo edattribuita ad Ermete tre volte grande, che è vero senza menzogna, è certo, è verissimo che ciò che è in basso è come ciòche è in alto.

Nell’ Apocalisse di San Giovanni al capo XXI 10 " et sustulit me in spiritu in montem magnum et altum, et ostendit mihicivitatem sanctam Jerusalem descendentem de coelo a Deo " e nel XXI 16 "et civitas in quadro posita est, et longitudo ejustanta est quanta et latitudo "

San Giovanni ci parla della forma quadrata della Gerusalemme celeste, che la distingue dal Paradiso terrestre,generalmente rappresentato sotto forma rotonda. Questo era il cielo sulla terra mentre la nuova Gerusalemme è la terranel cielo. La trasmutazione dell’universo, rappresentata dalla nuova Gerusalemme, non indica però un ritorno ad unpassato idilliaco, ma è una proiezione in un avvenire senza precedenti.

A questo proposito Guenon dice che vi è sempre analogia e corrispondenza tra l’inizio e la fine di qualunque ciclo, ma, allafine, il cerchio è sostituito dal quadrato, e ciò indica la realizzazione di quella che gli ermetisti designavano simbolicamentecome quadratura del cerchio.

Elifas Levi interpretando il passo dell’Apocalisse dice che l’alta montagna è la regione elevata dell’iniziazione superiore e lanuova Gerusalemme è un pentacolo simile a quello di Ezechiele, a quello di Tebe ed al piano misterioso del giardinodell’Eden. É la quadratura del circolo, il problema di cui gli sciocchi cercano la soluzione ove essa non saprebbe essere eche esprime le due leggi creatrici e conservatrici dell’universo: il movimento e la stabilità.( I misteri della cabala – Atanoreditore 1980)

Nel leggere gli ultimi versi del canto XXXIII del Paradiso dell'Alighieri rimane il ricordo: Gerusalemme celeste e/o Paradisoterrestre: allora, lasciato il corpo, salirai al libero etere; sarai un iddio immortale, incorruttibile, invulnerabile.

Indice

Indice Appendici

Appendice A : la quadratura del cerchioAppendice B : Cosa sono i Mandala ?Appendice C : Eleusi e i suoi misteri

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Appendice D : La grande piramide

Appendice E : Il Ming-tangAppendice F : Quadrati magiciAppendice G : Cerchi concentrici

Appendice H : AmuletiAppendice I : Ruota e Tempo

Appendice L : Castel del MonteAppendice M : Profezia di Ezechiele

Appendice N : Giordano BrunoAppendice O : Al-Ka'bahAppendice P : Daniele

Appendice A : la quadratura del cerchio

Tra i problemi classici della Geometria il più antico è certamente quello della quadratura del cerchio: esso dovette

presentarsi alla mente umana fin dai tempi più remoti, suggerito dai numerosi esempi di figure circolari offerti dalla naturastessa.

Esso si può enunciare in modo completo così:

DATO UN CERCHIO, DETERMINARE IL LATO DI UN QUADRATO AVENTE AREA UGUALE A QUELLA DEL CERCHIO DATO.

Benché semplice nella sua enunciazione, questo problema non e risolubile elementarmente.

Diamo succintamente le ragioni di tale impossibilità.

Sia dato un cerchio di raggio R , indichiamo con C=2 P R la sua circonferenza e con X il lato del quadrato X² = P R²

Essendo C = 2 P R otteniamo R = ½ C / P ovvero X² = P R ½ C/ P

abbiamo quindi alla fine X² = ½ R C

Il problema della quadratura del cerchio è in tal modo ridotto alla ricerca di un triangolo che abbia per base la circonferenzarettificata e per altezza il raggio, ossia è ridotto al problema della rettificazione della circonferenza e, quindi, assumendo il

raggio come segmento unitario, alla costruzione di un segmento lungo P .

( area del triangolo è uguale a base per altezza diviso due)

E’ possibile costruire tale segmento colla riga e col compasso? Numerose sono state le ricerche attinenti alla questione sulla

quadratura, fatte in questo senso da Ippocrate da Chio (440 a.C. circa) in poi e, anche dopo la risposta negativa data a taledomanda nel 1882 da Lindemann le cui ricerche portarono alla conclusione che il numero P è un numero trascendente eche, perciò, il problema oltre a non essere risolubile elementarmente, non è risolubile nemmeno con curve algebriche di

ordine superiore.

Il problema è però risolubile quando si usano curve trascendenti come la quadratrice di Ippia e la spirale di Archimede;ovvero il problema è impossibile se si pretende di usare soltanto riga e compasso, ma diventa possibile se si ricorre a

dispositivi che consentono di descrivere a tratto continuo opportune curve trascendenti e quindi non algebriche.Unostudioso di tali curve fu Dinostrato , vissuto nel VI secolo avanti Cristo.

Interrogando un sito di internet abbiamo letto:

Tra i numerosi problemi matematici affrontati dagli antichi greci, ve ne sono alcuni cosiddetti impossibili.

Siamo nell’ambito della geometria euclidea, e i problemi trattano di alcune questioni geometriche, da effettuare medianteriga e compasso (la prima usata per tracciare linee e non per misurare distanze).

Sicuramente tutti avranno sentito parlare della cosiddetta quadratura del cerchio, ovvero la costruzione di un quadratoavente area uguale a quella di un cerchio di raggio unitario, il che in modo ovvio si riconduce alla costruzione di un

segmento lungo pi greco volte l’unità.

Altri problemi simili sono la duplicazione del cubo (cioè la costruzione di un cubo di volume doppio al volume unitario), latrisezione dell'angolo, la costruzione di un ettagono regolare. I matematici greci si accanirono per ottenere qualche

risultato che non arrivò mai, ed è interessante notare come questi sforzi per raggiungere l'impossibile fanno parte delcarattere di questo grande popolo, che del resto avvicinava molto la matematica alla filosofia, cosicché la prima riflettevadalla seconda una certa ansia ideale.

Per molti secoli ancora questo tipo di problemi furono analizzati con il medesimo tipo di approccio finché, dal 1600 in poi, sicominciò a mettere in crisi le strade battute in passato, e in tal modo si arrivò all’idea fondamentalmente nuova: non

cercare la soluzione a questi problemi, ma dimostrare l’impossibilità di arrivare ad una soluzione.

A poco a poco tutti questi problemi classici furono demoliti, l'ultimo a cadere fu quello della quadratura del cerchio, chedovette attendere il 1882 perché F. Lindemann arrivasse a dimostrare la trascendenza di pi greco, ovvero che tale numero

non è soluzione di una equazione algebrica a coefficienti razionali.

Ma un contributo notevole a queste dimostrazioni lo si deve anche a Cartesio : i matematici si accorsero presto che lageometria cartesiana (o analitica) aveva fondamentali analogie con quella classica euclidea, e che ogni problema

geometrico di costruzioni con riga e compasso poteva essere ricondotto a un ben definito sistema di equazioni algebriche.

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Da lì alle dimostrazioni il passo fu breve.

Ci vollero ben 2200 anni perché l'italiano Ruffini, il genio norvegese Abel ed altri insigni i matematici dei secoli XVII e X VIIpotessero arrivare a questi risultati, ma non per questo si pensi che gli sforzi precedenti siano stati inutili : brillanti successifurono ottenuti sotto altri aspetti, anche se questa età non ebbe la soddisfazione di riuscire nel suo obiettivo immediato.

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Appendice B : Cosa sono i Mandala ?

Sono un complesso simbolo universale della vita, sono un circolo magico o tipicamente un circolo che circonda unquadrato, sono dei diagrammi mistici, delle strutture estremamente artificiose che esprimono dei concetti filosofici ereligiosi.

Di regola un mandala è un diagramma simmetrico concentrato attorno ad un cerchio e diviso in quattro quadranti di egualemisura; esso è anche costruito sopra cerchi concentrici e quadrati aventi lo stesso centro.

I mandala rappresentano visivamente il rapporto di interazione che esiste tra le varie forze che reggono il cosmo; usati

come ausilio alla meditazione e alla scoperta di se stessi sono descritti sia come simbolo di elementi cosmici e sia comesimbolo della strada che conduce al superamento del mondo stesso.

Dipinti, scolpiti o semplicemente disegnati aiutano lo yogin a superare gli aspetti visibili del mondo e a penetrare la vera

struttura del cosmo fino a raggiungere i più elevati gradi della concentrazione spirituale.

M. Brauen, in The Mandala sacred circle in Tibetan Buddhism, scrive che i mandala sono anche la rappresentazione nel

piano di figure tridimensionali; in effetti l’evidenza della tridimensionalità dei mandala può essere trovata in diversi postidove è cresciuto i buddismo Tibetano, per esempio il Patala a Lhasa dove esiste il Kalachakra mandala, che significaletteralmente "il mandala della ruota del tempo"; nel cuore di Ankor dove il Bayon fu concepito dai suoi costruttori come un

diagramma simbolo dell'universo, un mandala fatto di pietra di straordinaria bellezza.

Il Kalachakra mandala raffigura un palazzo divino, in cui sono presenti 722 divinità.

Cinque quadrati messi l'uno nell'altro costituiscono le tappe meditative, che devono essere superate sulla via dall'esterno

verso l'interno. I quadrati si aprano da tutti e quattro i punti cardinali su sei grandi cerchi esterni che li circondano, su cui sifonda l'universo.

Il XIV Dalai Lama così si è espresso sulla funzione del rituale di iniziazione del Kalachakra-Mandala: " l'iniziazione

Kalachakra viene annoverata tra le più importanti del buddismo, poiché essa comprende tutto: corpo e spirito, l'aspettoesteriore complessivo, quello cosmico e quello astrologico. Tramite esso possiamo raggiungere l'illuminazione in una sola

vita. Crediamo fermamente che la sua forza possa creare la pace, la pace dello spirito e, di conseguenza, quella del mondo".

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Appendice C : Eleusi e i suoi misteri

Eleusi, oggi Lefsina, è una piccola città dell'Attica famosa per quasi mille anni grazie al santuario di Demetria e Core e ai riti

sacri fin da età pre ellenica ad esso collegati.

La più antica menzione dei misteri si ha nell'inno omerico a Demetra dove è narrato il mito di Core (Persefone) rapita daPlutone e di Demetra che peregrinando in cerca della figlia giunge ad Eleusi ed vi insegna agli abitanti l'agricoltura e fonda i

misteri.

Ella rappresenta una fase capitale nello sfruttamento della terra, il passaggio dalla natura alla coltura, dallo stato selvaggioa quello civilizzato. Demetra, sorella di Zeus, dea della vegetazione e dunque della generazione, si rivela la dea delle

alternanze di vita e di morte; il grano, suo dono, prima di germinare e di crescere passa sei mesi sotto terra.

Una delle miglior descrizioni dei riti dei Misteri di Eleusi è quella di Plutarco, ed è un notevole paragone fra l'iniziazione e lamorte: " L'anima al momento della morte, prova la stessa sensazione di coloro che sono iniziati ai grandi Misteri.

Si tratta dapprima di corse a caso, di svolte dolorose, di marce inquietanti e senza fine attraverso le tenebre. Poi, primadella fine, lo sgomento è al culmine; brividi, tremiti, sudore freddo, spavento. Ma subito dopo una luce meravigliosa si

presenta davanti agli occhi e si attraversano luoghi puri e praterie che echeggiano di voci e di danze; parole sacre edapparizioni ispirano il rispetto religioso. Allora l'uomo, ormai perfetto ed iniziato, è libero e si muove senza angustia, e conil capo cinto da una corona celebra i misteri; egli vive con gli uomini puri e santi; vede sulla terra la moltitudine dì quelli

che non sono iniziati e purificati affondare nel pantano ed essere oppressa dalle tenebre e che, per timore della morte,indugia nei mali, illusa dalla felicità di laggiù ".

Secondo l'interpretazione analitica di Paul Diel il senso nascosto dei misteri di Eleusi consisterebbe nella discesa nel

subconscio per liberare il desiderio al fine di ricercare la verità su se stessi; Demetra che ha donato agli uomini il pane,simbolo del nutrimento spirituale, darà loro il vero senso della vita: la sublimazione-spiritualizzazione dei desiderio terreno.

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Appendice D : La grande piramide

Secondo Hancock e Bauval le tre piramidi di Giza furono costruite ad immagine della cintura di Orione.

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Ma non solo queste sono le solo costruzioni in cui possiamo trovare una correlazione tra la loro pianta e la disposizione

delle stelle di alcune costellazioni; ne esistono diverse, un esempio lo abbiamo in Cambogia ad Angor.

Riguardo alla piramide di Cheope, che secondo il mondo accademico fu edificata verso il 2400 a.C., c'è un'altra curiositàdegna di attenzione. L'altezza originaria del monumento è di 146,72 metri ed il perimetro della sua base è di 921,45 metri,

questi due numeri hanno lo stesso rapporto del raggio di una sfera e la sua circonferenza; questo rapporto è di 2 pi-greco eper ottenerlo i costruttori erano stati costretti a specificare lo strano angolo di circa 52 gradi per i lati della piramide dal

momento che qualsiasi altra pendenza avrebbe comportato un diverso rapporto altezza-perimetro.

Il progetto della grande piramide era stato fatto corrispondere con precisione alla dinamica della geometria sferica, moltoprima della scoperta ufficiale del numero trascendente pi-greco da parte degli antichi greci; del resto Aristotele spiegava

che la geometria era nata nella Valle del Nilo.

Il papiro di Rhind (antiquario scozzese) rappresenta una delle testimonianze più importanti per la conoscenza delle originidella matematica nell'antico Egitto. In questo papiro, scritto in ieratico e risalente al Regno Medio tra il 2000 e il 1800 a.C.,

lo scriba Ahmes formulò che l'aria di un campo circolare con un diametro di nove unità era uguale all'area di un quadratocon un lato di otto unità, calcolo che attribuisce a pi-greco un valore con una approssimazione abbastanza vicina al suo

valore esatto.

La costante pi-greco ricercata per secoli è concretamente espressa nella Grande Piramide, ma aldilà dell'oceano atlanticoanche la cosiddetta Piramide del Sole di Teotihuacon in Messico rileva la conoscenza e l'uso deliberato del numero

trascendente pi-greco; in questo caso l'altezza di 71,17 metri sta in rapporto di 4 pi-greco al perimetro della sua base di893,90 metri.

A Teotihuacan, cinquanta chilometri a nord-est di Città del Messico, la piramide del Sole , quella della Luna e quella di

Quetzacoatl furono costruite con lo stesso alliniamento delle piramidi di Giza in un tempo ancora non definitivamentedatato; le date variano dal 4000 a.C al 600 d.C.

Bibliografia

Andre Pochan L'enigma della grande piramide - Ed. MEB Torino

Peter Lemesurier La piramide svelata - Ed. Armenia Milano

Graham Hancock Impronte degli dei - Ed. Corbaccio Milano

Graham Hancock Lo specchio del Cielo - Ed. Corbaccio Milano Thomas Moreux La scienza misteriosa dei faraoni - Ed.

Atanor Roma

R. Bauval e A. Gilbert Il misterio di Orione - Ed. Corbaccio Milano

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Appendice E : Il Ming-tang

Il tetto del Ming-tang (tempio della luce) aveva una forma arrotondata e la sua base aveva una forma quadrata, avevaquattro volte tre porte, cioè aveva dodici aperture all'esterno, tre su ciascuno lato ed in tal modo corrispondevano alledodici porte della nuova Gerusalemme celeste quale è descritta nell'Apocalisse di Giovanni.

Queste dodici aperture rappresentavano una proiezione terrestre dello zodiaco celeste disposto circolarmente.

La pianta del Ming-tang era conforme a quella della divisione dell’impero cinese che comprendeva nove province. Questadivisione per nove è attribuita a Yu il grande e gli fu ispirata da un diagramma, che secondo la leggenda gli era stato

portato da una tartaruga, e in cui i primi nove numeri erano disposti in modo da formare quello che viene chiamato unquadrato magico, così tale divisione del territorio faceva dell’impero un’immagine dell’universo.

Nel corso del ciclo annuale l'imperatore compiva nel Ming t'ang una circumbulazione, in senso solare o destrocentrica,

arrestandosi successivamente alle dodici porte e da esse promulgava le ordinanze mensili come si trova così esposto in untrattato sulle memorie sui riti.

Non si sa se un simile edificio fosse stato realmente costruito prima della dinastia Han ed i letterati di quell'epoca non

erano d'accordo sulla sua struttura poiché le descrizioni che ne forniscono i libri verso la fine della dinastia Chou sonobasate più su speculazioni filosofiche, rituali e numerologiche che non su dati architettonici reali.

Ma la teoria del Ming t'ang illustrava esattamente l'ideale del Figlio del Cielo, il quale, mediante la circolazione ritualeidentificava la propria vita con l'ordine universale.

Il Ming-tang era anche raffigurato nei locali d'iniziazione della Tien-houei (società segreta cinese), uno dei suoi principali

motti era distruggere l'oscurità (tsing), restaurare la luce (ming).

Secondo R. Guenon è lecito accostare il senso del nome Ming-tang all'identico significato incluso nella parola Loggia, essisono entrambi immagini del cosmo (loka, nel senso etimologico di questo termine sanscrito) considerato come l'ambito o il

campo di manifestazione della luce.

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Appendice F : Quadrati magici

Esiste anche una ricchissima tradizione di quadrati magici, poiché il quadrato evoca, con i suoi stretti limiti, il senso delsegreto e del potere occulto.

"Tra i simboli segreti, legati all'Occultismo, - scrive M.A. Barbareschi Fino (astrologia, Edizioni R.D . Milano, 1980) - nonpossiamo dimenticare i quadrati magici, che sono i documenti più occulti che esistono e resistono ai lavori diinterpretazione, per cui furono definiti di carattere esoterico. Il quadrato magico, con i segni, i numeri, le parole che

racchiude, supera in molti casi, per il suo ermetismo, anche i documenti redatti con molta intelligenza allo scopo diconfondere le idee".

Uno dei più antichi quadrati magici si trova nell'abbazia di Saint Germain des Pres e risale a prima del Mille a.C.

Il quadrato magico è un mezzo per captare e mobilitare virtualmente un potere, racchiudendolo nella rappresentazionesimbolica del nome o della cifra di colui che detiene naturalmente questo potere. Il quadrato magico nella sua più semplice

forma è composto da nove caselle, il totale di ogni lato è uguale a 15 e le nove prime cifre sono tutte presenti.

Un particolare quadrato magico, di cui abbiamo una testimonianza in Plinio, è costituito da cinque lettere disposte in cinquelinee, in modo tale da poter essere lette da sinistra a destra o da destra a sinistra e, verticalmente, dall’alto in basso o dal

basso in alto, senza che l’ordine, la natura delle parole e il senso vengano modificati. Secondo alcuni è possibile che questoquadrato sia, invece, di origine celtica.

Le parole sono Sator Arepo Tenet Opera Rotas e questa frase latina inscritta in un quadrato di 5 è stata interpretata nei

modi più vari dagli alchimisti e dagli esoteristi.

Il senso probabile è " il seminatore Areppo regge con fatica le ruote ". Le diagonali sono formate o da sole consonanti o dasole vocali; le prime lettere di ogni parola formano la prima parola, le seconde la seconda e così via, né cambia se la

lettura avviene dal fondo o dall'inizio.

Al centro del quadrato il verbo tenet forma una croce che inizia e termina con una T attorniata dall'alfa e dall'omega. Essoè, quindi, strettamente collegato con il culto della croce; a questo proposito il Carcopino cita il passo di uno scrittore del

secolo XVI (Cardon, Rerum varietade) che racconta di un cittadino di Lione guarito dalla pazzia consumando un pastomistico, tre croste di pane ciascuna con il disegno del quadrato, e intervallando con la recita di cinque Pater Noster in

ricordo delle cinque piaghe di Cristo e dei cinque chiodi della Croce"."

Al quadrato magico si attribuisce un potere aprotropaico, ed è presumibile che, qualunque debba essere il suo significato,ad un certo punto le cinque parole possano essere sentite come altrettanti segni cabalistici. Lo proverebbe la strana forma

in cui il palindromo ci è stato di recente restituito dagli scavi effettuati in Etiopia : Sador Alador Danet Adera Rodas.

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Appendice G : Cerchi concentrici

La figura del cerchio simbolizza anche i diversi significati della parola: un primo cerchio ne simbolizza il significato letterale,un secondo cerchio il significato allegorico e un terzo cerchio quello mistico.

Il Tawhid, scienza della testimonianza che Dio è Uno, è rappresentato da Al Hallaj con una figura composta da tre cerchiconcentrici: il primo cerchio comprende le azioni (di Dio), il secondo e il terzo le loro tracce, e conseguenze sono i duecerchi concentrici del creato . Il punto centrale simbolizza il Tawhid, la scienza, ma si tratta, in fondo, di una scienza della

non-scienza di un sapere di non sapere.

Secondo i testi dei filosofi e dei teologi, il cerchio può simbolizzare la divinità considerata non soltanto nella sua

immutabilità ma anche nella sua bontà diffusa come origine, sussistenza e consumazione di tutte le cose; secondo latradizione cristiana, come l’alfa e l’omega.

Lo Pseudo Dionigi l'Areopagita è riuscito a descrivere, in termini filosofici, e mistici, i rapporti intercorrenti tra l'essere

creato e la sua causa, grazie al simbolismo del centro e dei cerchi concentrici: allontanandosi dall'unità centrale tutto sidivide e si moltiplica. Invece al centro del cerchio tutti i raggi coesistono in un'unica unità e un solo punto contiene in sétutte le linee rette unitariamente unificate le une in rapporto alle altre e tutte insieme in rapporto al principio unico dal

quale tutte derivano. Nel centro la loro unità è Perfetta; allontanandosene un poco cominciano a distinguersi e più se néseparano più se né distinguono. In breve nella misura in cui sono più vicine al centro la loro unione reciproca, è più intima

e nella misura in cui sono più distanti aumentala la differenza tra di esse.

Nel buddismo Zen troviamo spesso disegni di cerchi concentrici, che rappresentano l'ultima tappa del perfezionamentointeriore, l'acquisizione dell'armonia dello spirito.

I cerchi concentrici rappresentano gradi di essere, le gerarchie create e costituiscono la manifestazione universaledell'Essere unico e non-manifestato, in tutto questo, il cerchio è considerato nella sua totalità indivisa. .

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Appendice H : Amuleti

In quanto forma avvolgente, quasi un circuito chiuso, il cerchio è un simbolo di protezione e per questo è spesso usato, in

magia, come cordone di difesa intorno alle città , ai templi e alle tombe, per impedire ai nemici, alle anime vaganti e aidemoni di penetrarvi; anche i lottatori tracciavano un cerchio intorno al loro corpo prima di iniziare a combattere.

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Il cerchio protettore prende, per l'individuo, la forma dell'anello, del braccialetto, della collana, della cintura o della corona.

L'anello-talismano, l'anello-amuleto o il cerchio magico-pentacolo che portiamo al dito, sono stati usati in tutta l'antichità eda tutti i popoli; si ricollegano infatti alla protezione immediata dell'operatore nei punti più sensibili: le dita della mano,strumenti naturali di emissione e di ricezione del fluido magico, e dunque molto vulnerabili.

Questi cerchi non erano soltanto acconciature, ma anche stabilizzatori per mantenere la coesione fra l'anima e il corpo.Questo simbolismo spiega probabilmente perché i guerrieri antichi portavano un così gran numero di braccialetti, forse nericevevano da tutte le persone che si auguravano di rivederli tornare in buono stato, con l’anima debitamente legata al

corpo.

Questo stesso valore del simbolo spiega perché anelli e braccialetti vengono tolti o proibiti a coloro la cui anima deve usciredal corpo, per esempio i defunti, o innalzarsi verso la divinità, per esempio i mistici, anche se in questo ultimo caso può

essere presente anche un altro aspetto simbolico, in quanto l’anello indica , fra l’altro , una dedizione e un dono del sevolontario e irrevocabile (per questo motivo alcuni religiosi portano la fede).

In ogni caso, quando più valori simbolici si trovano in conflitto, privilegiarne uno significa aumentarne l'importanza ma nonper questo cessa di esistere e di esercitare la sua influenza o il valore posti in secondo piano.

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Appendice I : Ruota e Tempo

Il quadrato è la figura di base dello spazio, mentre il cerchio, particolarmente la spirale, è il simbolo del tempo: la ruota

gira;

l'eternità è rappresentata dal cerchio che, dopo aver scandito l'arco dell’anno, ha misurato il tempo, poi l’eternità e infineha significato l'infinito.

Dal cerchio e dall'idea del tempo è nata la rappresentazione della ruota, che ne deriva e che suggerisce l'immagine del cielocorrispondente all'idea di un periodo di tempo (etimologicamente, l'ebraico collega la torre, che è circolare, alla radicegirare, e la generazione umana alla radice muoversi in tondo) . Il simbolismo del cerchio comprende il simbolismo

dell'eternità o dei perpetui ricominciamenti. Anche presso gli lndiani dell'America del Nord, il cerchio è il simbolo del tempo,perché il tempo diurno , il tempo notturno e le fasi della luna sono cerchi posti sopra il mondo, e il tempo dell'anno è un

cerchio intorno al bordo del mondo (Racconto di Capo Spada Sciamano Dakota).

La volta vorticosa dei cieli e la Ruota del cielo sono espressioni correnti nella letteratura persiana e implicano l’idea didestino.Omar Khayyam scrive: poiché la Ruota del cielo non ha mai girato secondo il volere di un saggio, cosa importa

contare sette o otto cieli?

Nel Rg Veda si parla di tre ruote: i brahmani sono in grado di vedere le prime due, quelle del sole che probabilmenterappresentano il mondo terreno e quello celeste. La terza, che è accessibile solo a quanti hanno penetrato le verità più

profonde, è forse il simbolo della sorgente di ogni cosa, dell'ordine cosmico stesso.

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Appendice L : Castel del Monte

Castello del Monte fu costruito da Federico II nel 1240 circa in Puglia nel territorio del comune di Andria.

Il tracciato di pianta è rigorosamente impostato sull'ottagono regolare, le otto torri hanno forma ottagonale; due ottagoni

concentrici disegnano il cortile interno ed il perimetro esterno dei muri, la corona tra il cortile ed il muro esterno è tagliatain vani trapezoidali che si ripetono uguali su due piani.

Nel rispetto di una tradizione esoterica il castello è un concentrato di simboli cosmici; l'analisi del tracciamento geometrico

della pianta e del dimensionamento dell'alzato hanno indicato una base di conoscenze geometriche che sembrano legarsi aquelle conoscenze matematiche ed astronomiche che l'occidente andava allora recuperando dalla civiltà araba, erede della

tradizione scientifica ellenistica.

Non si può dire nulla sulla sua destinazione, ma così isolato, posto su una bassa collina tondeggiante, era forse destinato aluogo di meditazione collettiva, lo testimonierebbero tutte le sue stanze, nessuna che abbia la parvenza di essere state

adibite mai a cucine, dispense o cantine.

Rimane il mistero ed il fascino di Castello del Monte, così come della personalità di Federico II.

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Appendice M : Profezia di Ezechiele

Ezechiele, sacerdote ed iniziato ai segreti del tempio, scrisse la sua profezia allo scopo di conservare, celare sotto simboli

tradizionali, le grandi dottrine della teologia occulta degli ebrei e le chiavi della scienza universale dell'antico mondo.

" E mentre guardavo gli animali ecco apparire una ruota in terra presso a ciascuno animale e questa ruota aveva quattrofacce...e lo spirito mi sollevò tra cielo e terra , ed in visione di Dio io fui condotto a Gerusalemme ".

Nel capito XXXVII egli vede il mondo come una immensa pianura coperta di ossa, le ceneri umani sono le semenza dellavita su cui le quattro potenze soffiano e ne suscitano degli uomini nuovi.

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Il profeta traccia poi la pianta del tempio, i suoi cinque ultimi capitoli del suo libro sono dedicati a farne la descrizione.

Il tempio per Ezechiele è l'immagine dell'universo, esso corrisponde al pantacolo degli animali e delle ruote.

La profezia servirà di base e di modello all'Apocalisse, ma San Giovanni non ci racconterà, come Ezechiele i misteri dellacreazione, ci mostrerà la nuova Gerusalemme simile a quella del profeta dello Shebar , ma come sintesi geroglifica di tutte

le conquiste del genere umano.

( Elifas Levi I misteri della Cabala Ed. Atanor)

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Appendice N : Giordano Bruno

Sulla quadratura del cerchio il nolano in una delle sue opere italiane accolse la soluzione del cardinale Niccolò da Cusa

modificandola leggermente. Se il Cusano andava in cerca di un quadrato che distava ugualmente dall'inscritto e dalcircoscritto, Giordano generalizzando tentò la stessa via per ogni poligono.

Giovanni Muller, insigne astronomo e matematico tedesco, aveva mostrato che quella soluzione era falsa quando non ci si

contenti di risultati approssimativi; né giudicava diversamente il Bruno che nel secondo libro del De Minimo dichiaravaimpossibile ogni quadratura del circolo in quanto ogni grandezza ha un minimo proprio, e tra il minimo della curva e quellodella retta intercede pur sempre una differenza, nel calcolo rigoroso non trascurabile.

Nel terzo libro Giordano Bruno invece accolse di nuovo il calcolo di approssimazione, e ritenendo che tra il minimo arco e laminima corda corre una differenza inapprezzabile, credette possibile la quadratura.

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Appendice O : Al-Ka'bah

E' un piccolo edificio a forma di cubo costruito in pietra lavica sul modello delle tende quadrangolari; racchiude fissata nel

muro esterno orientale la pietra nera, blocco di lava o di basalto di colore rosso scuro, veneratissima nel rituale delpellegrinaggio islamico.

La Ka'bah ha le pareti ricoperte da un tappeto nero con iscrizione ricamate, ha il tetto sostenuto all'interno da tre colonne

lignee, sorge accanto un muro semicircolare ed intorno si stende un porticato con ampio portone.

Era già meta di culto all'epoca pagana e conteneva altri idoli o feticci, tra essi quello del dio Hubal antica ed importante

divinità della Mecca del gruppo tribale Kinana-Quraysh.

Maometto, intorno alla metà del secondo anno dal suo trasferimento a Medina, inserì nel culto mussulmano la venerazioneper la Ka'bah giustificando ciò con la rivelazione che essa era stato il primo tempio innalzato da Abramo al vero Dio;

entrato vittorioso alla Mecca e recatosi alla Ka'bah distrusse tutti gli idoli lasciando solo la pietra nera.

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Appendice P : Daniele

Daniele fu condotto prigioniero a Babilonia e fu istruito alla corte di Nabucodonosor.

Al capitolo VII viene descritta la sua visione delle quattro bestie, che corrispondono alla figura di quattro monarchie od

imperi, e del regno del figlio dell'uomo che pone alla fine dei primi.

La prima delle bestie è una leonessa, con le ali dell'aquila, e per essa viene indicato l'impero dei Caldei; dopo questo regnoil profeta vee venire l'impero dei Persiani di cui il simbolo è l'orso. La terza bestia è il leopardo forte ed agile come lo fu il re

dei macedoni Alessandro vincitore di Dario. Ed ecco la quarta bestia, terribile e prodigiosa, e forte straordinariamente eaveva dieci corna.

Molti intendono qui l'impero romano, il quale " sarà il maggiore di tutti i regni e ingoierà tutta la terra e la calpesterà e la

stritolerà ".

Alla fine il regno dell'Anticristo, il figlio dell'uomo, che parlerà male dell'Altissimo e calpesterà i santi dell'Altissimo. Poi saràtenuto il giudizio di Dio e sarà tolto all'empio ogni potere e sarà dato alla chiesa di Cristo il regno di tutta la terra.

La profezia di Daniele, se fu vera profezia e non una storia dei fatti, rimane dopo l'Apocalisse la testimonianza di uno deimassimi profeti.

Per riferire le parole di Giuseppe Ebreo, Daniele non solo predisse le cose future, come fecero anche gli altri profeti, ma di

più fissò il tempo in cui i fatti sarebbero dovuti accadere.

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