La unidad. Aunque probablemente estos conceptos ya los conoces, es importante repasarlos de nuevo. Unidad es una cantidad perfectamente definida que se toma para compararla con otras cantidades de la misma magnitud. La unidad que se elige debe cumplir una serie de condiciones:

• Ser constante e inalterable, que no cambie con el paso del tiempo ni en función de quien realice la medida.

• Ser sencilla, práctica y fácil de reproducir en todo momento. • Ser universal, es decir, que se utilice la misma unidad en todos los

países.

El volumen es una magnitud derivada que se define como el espacio que ocupa un cuerpo y se calcula multiplicando el largo por ancho y por alto, y su unidad de medida es el metro cúbico (m3). Como unidad de medida para la capacidad se adoptó el litro que equivale a 1 dm3. La masa es una magnitud fundamental que se define como la cantidad de materia que contiene un cuerpo y la unidad patrón es el kilogramo. En la figura podemos apreciar el objeto que se utiliza como kilogramo patrón. Este objeto es un cilindro de platino e iridio cuyas dimensiones son 39 mm de diámetro y 39 mm de altura. Su masa, como no puede ser de otra manera, corresponde exactamente a un kilogramo.    DESTACADO El metro se define como la unidad fundamental de la magnitud longitud, y que el resto de unidades de superficie, volumen, capacidad y masa se relacionan con él. Por ejemplo: 1 dm3 de volumen equivale a 1 litro, mientras que 1 kg de agua destilada equivale a 1 litro.

 AUTOEVALUACIÓN Indica si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: Magnitud es aquella propiedad de la materia que no puede ser medida y, además, le podemos asignar una unidad. (Falso) Retroalimentación: Magnitud es aquella propiedad de la materia que puede ser medida y, además, le podemos asignar una unidad. Indica si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: La masa es el espacio que ocupa un cuerpo. (Falso) Retroalimentación: La masa es la cantidad de materia que contiene un cuerpo.    

Kilogramo patrón

Sistema de unidades (I). El sistema de unidades es un conjunto de unidades de medida fundamentales y unidades derivadas de las anteriores. A partir del siglo XVIII, la mayoría de países estableció el sistema métrico decimal, llamado métrico porque la unidad fundamental es el metro y decimal debido a que las unidades de cada magnitud se obtienen multiplicando o dividiendo la unidad fundamental por potencias de diez.

LONGITUD SUPERFICIE VOLUMEN CAPACIDAD MASA km = 103 m km2 = 106 m2 km3 = 109 m3 kl = 103 L kg = 103 g hm = 102 m hm2 = 104 m2 hm3 = 106 m3 hl = 102 L hg = 102 g dam = 10 m dam2 = 102 m2 dam3 = 103 m3 dal = 10 L dag = 10 g

m m2 m3 L g dm=10-1 m dm2 = 10-2 m2 dm3 = 10-3 m3 dl = 10-1 L dg = 10-1 g cm=10-2 m cm2 = 10-4 m2 cm3 = 10-6 m3 cl = 10-2 L cg = 10-2 g mm=10-3 m mm2 = 10-6 m2 mm3 = 10-9 m3 ml = 10-3 L mg = 10-3 g

Título: Sistema de unidades. Resumen: Esta tabla contiene las unidades de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa y sus

múltiplos y submúltiplos más usados. Cuando se estableció el sistema métrico decimal, se definió el litro como la capacidad de un cubo de 1 dm3 de volumen. Por tanto, la equivalencia fundamental entre las unidades de capacidad y de volumen es: 1 L = 1 dm3. NOTA: También se admite L en vez de l para que no exista confusión con el número 1. Potencias de diez:

103 = 1000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 10-1 = 0,1 (1/10) 10-2 = 0,01 (1/100) 10-3 = 0,001 (1/1000) Título: Potencias de 10.

Resumen: Esta tabla contiene las potencias de 10 más habituales en relación con las unidades de medida. ¿Cómo se realizan los cálculos de cambio de unidades? EJERCICIO RESUELTO Ejemplo 1: Supongamos que queremos pasar 2 km a metros. Lo único que tenemos que hacer es ver en la tabla anterior el factor de conversión, es decir, la equivalencia de km a metros. La tabla nos dice que 1 km son 1000 m, por tanto, 2 km serán 21000, es decir 2000 m. Pero ¿cómo podemos poner esto de forma visual en el papel? Vamos a emplear dos formas: 1.- Regla de tres (o proporción directa). Si 1 km son 1000 m, entonces deducimos que 2 km serán x m. Esta relación, que se llama proporción, se puede expresar esquemáticamente así: 1 km 1000 m 2 km x m

NOTA: En cada columna deben ir las mismas unidades. Es imprescindible. Si multiplicamos “en cruz”, obtenemos: 1· x = 2·1000 ⇒ x = 2000 m 2.- Factores de conversión. (Este modo de trabajar es más moderno y el recomendado, aunque cada uno puede trabajar como quiera). Normalmente se parte del dato que nos da el ejercicio, en nuestro caso 2 km, y lo escribimos. A continuación tenemos que multiplicar por el factor (una fracción) que convierte los km a m y que hemos obtenido de la tabla anterior (1 km = 1000 m). El factor indicado en negrita se coloca de tal modo que se cancelen (se tachan) las unidades que no nos interesan (km). Por tanto, si te fijas, queda la unidad metro en el numerador. De forma algebraica: 2 km · (1000 m / 1 km) = 2·1000 = 2000 m  

Sistema de unidades (II). Vamos a ver un nuevo ejemplo. EJERCICIO RESUELTO Ejemplo 2: Convertir 100 ml a litros. NOTA: en la tabla se indica que 1 L = 1000 ml. 1.- Regla de tres. Para ello ponemos: Si 1 km son 1000 m, entonces deducimos que 2 km serán x m. Esta relación, que se llama proporción, se puede expresar esquemáticamente así: 1000 ml 1 L 100 ml x L Si multiplicamos “en cruz”, obtenemos: 1000 · x = 100 ⇒ x = 100 / 1000 = 0,1 L 2.- Factores de conversión. Partiendo del dato del ejercicio, tenemos: 100 ml · (1 L / 1000 ml) = 100 / 1000 = 0,1 L Estos dos ejemplos son muy sencillos pero creo que ilustran bien la idea de cómo se hacen los cálculos. En cualquier caso, si aún no lo has entendido, no te preocupes, lo volveremos a repetir en el punto 3 de la unidad.  AUTOEVALUACIÓN Supongamos que una micropipeta normal, (por si no lo recuerdas de la unidad 1, observa la figura) que sirve para medir volúmenes muy pequeños, nos permite tomar 10 microlitros (µl). Sabiendo que 1 ml equivale a 1000 µl y que 1 L son 1000 ml, indica a cuántos litros equivalen los 10 µl. a) 10-3 L b) 10-6 L c) 10-5 L (Correcto) d) 10-4 L Retroalimentación: La autoevaluación está resuelta por factores de conversión, pero puedes intentar hacerlo mediante reglas de tres. Por supuesto que te tiene que dar el mismo resultado. Partiendo del dato del ejercicio, tenemos: 10 µl · (1 mL / 1000 µl) · (1 L / 1000 ml) = 10 / (1000 · 1000) = 1 / 100000 = 10-5 L Este mismo resultado se podría haber obtenido de la siguiente forma: Primero pasamos de µl a ml con el primer factor de conversión: 10 µl · (1 ml / 1000 µl) = 0,01 ml = 10-2 ml Y luego partiendo de este dato (0,02 ml), aplicamos el segundo factor de conversión y pasamos de ml a L, es decir, hacemos el problema en dos partes. Tendremos tantas partes como factores de conversión. 0,02 ml · (1 L / 1000 ml) = 10-2 ·10-3 = 10-5 L

El Sistema Internacional de Unidades (SI). A lo largo de la historia se han utilizado diferentes unidades para medir una misma magnitud, de manera que con el fin de evitar tal dispersión de unidades, se estableció el Sistema Internacional de Unidades, que abreviado es SI; es el que se utiliza actualmente y está vigente en la Unión Europea.  El SI es el sistema legal de unidades de medida en nuestro país y está basado en el sistema métrico decimal. Contiene siete unidades fundamentales y a partir de ellas derivan todas las demás. Magnitud Unidad Símbolo Longitud (l) metro m Masa (m) kilogramo kg Tiempo (t) segundo s Cantidad de sustancia mol mol Intensidad de corriente amperio A Temperatura Kelvin K Intensidad luminosa candela cd  Se llaman magnitudes derivadas a aquellas que resultan por combinación de magnitudes fundamentales. Ejemplos: Magnitud Fórmula Nombre Símbolo Superficie S = l2 (l= longitud) metro cuadrado m2 Volumen V = l3 metro cúbico m3 Densidad D = masa / V kg/ metro cúbico kg/ m3 PARA SABER MÁS Para conocer algo más a fondo sobre las magnitudes, unidades, etc. puedes visitar la página del Centro Español de Metrología:

Centro Español de Metrología http://www.cem.es/cem/es_ES/metrologia/sistemaunidades_basicas.jsp?op=sistemaunidades_basicas Para conocer las unidades de medida legales en España puedes visitar los siguientes enlaces:

Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, por el que se establecen las unidades legales de medida http://www.boe.es/boe/dias/2010/01/21/pdfs/BOE-A-2010-927.pdf

Corrección de errores y erratas del RD 2032/2009

http://www.boe.es/boe/dias/2010/02/18/pdfs/BOE-A-2010-2625.pdf    

Aleación de platino-iridiado, antiguo estándar del metro.  

Expresión de la medida (I). La unidad es una cantidad arbitraria que se toma como patrón para comparar otras cantidades de su mismo tipo. Cuando elegimos una unidad, tenemos en cuenta la extensión de la cantidad; por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol se expresa en años luz y no se nos ocurriría medirla en metros. Asimismo, si nos vamos a pesar a una farmacia, la báscula registrará el peso en kilogramos, pero si se va a elaborar un preparado que lleve principios activos en muy bajas dosis, entonces se utilizarán balanzas que detecten gramos, miligramos o incluso microgramos. En la expresión de la medida es de especial interés analizar los siguientes términos: Notación científica, cifras significativas y redondeo. Cuando se trabaja con números muy grandes o muy pequeños es conveniente utilizar la notación científica.

• Notación científica.

Un número expresado en notación científica consta de:

o Una parte entera de una sola cifra (la de las unidades), que no sea cero. o Una parte decimal. o Una potencia de 10 con exponente entero.

El radio del átomo de hidrógeno es 0,000000000053 m y para expresarlo en notación científica sería:

53 · 10-12 m = 5,3 · 10-11 m AUTOEVALUACIÓN Expresa el siguiente número decimal: 0,000012, en notación científica: a) 12·10-4 b) 12·10-7 c) 1,2·10-5 (Correcto) d) 1,2·10-6 Retroalimentación Tenemos que pensar que después de la coma hay 6 posiciones y cada posición corresponde a una potencia sucesiva de 10-1, 10-2 … Por tanto, como el 1, en el número 0,000012, corresponde a la posición cinco deberíamos poner 1,2 ·10-5 o bien como el 2 corresponde a la posición 6, deberíamos poner 12 ·10-6. Se podría pensar también que el número 0,000012 es equivalente a la fracción: 12 / 1000000 que es igual a 12 · (1/1000000). Como la fracción (1/1000000) = 10-6, nos queda: 12·10-6.        

Expresión de la medida (II). Cuando tenemos que dar resultados tenemos que saber que no necesitamos utilizar todas las cifras de un número, Por tanto, debemos conocer lo que son las:

• Cifras significativas.

Las cifras significativas son todos los dígitos con valor numérico. Para saber cuántas cifras significativas tiene un número, consideramos las siguientes reglas:

o Son significativas todas las cifras distintas de cero, aunque

hay excepciones para el cero. o Un cero después de la coma decimal es significativo (17,0). o Los ceros entre cifras que no sean cero también son significativas (103). o Los ceros a la izquierda de la primera cifra no nula no son significativos (0,0686). o Los ceros a la derecha no son significativos (100).

AUTOEVALUACIÓN ¿Cuántas cifras significativas tiene la cifra 0,00506? a) 5 b) 2 c) 3 (Correcto) d) 6 Retroalimentación Los ceros a la izquierda de la primera cifra no nula no son significativos.

¿Cuántas cifras significativas tiene la cifra 12,01? a) 5 b) 2 c) 4 (Correcto) d) 6 Retroalimentación Un cero después de la coma decimal es significativo.

Expresión de la medida (III). Asimismo, y tal como hemos dicho en el apartado anterior, a la hora de expresar un resultado también es importante conocer no sólo lo que son las cifras significativas si no también el redondeo.

• Redondeo.

Cuando tenemos un número con muchos decimales y queremos dejar menos se realiza redondeo. Para eliminar las cifras de la derecha de una dada, se siguen unos criterios:

1. Si la cifra siguiente a la que hay que mantener es igual o mayor de 5, se suprime esa cifra y todas las siguientes y se aumenta en una unidad la cifra mantenida.

2. Si la cifra siguiente a la que hay que mantener es menor que 5, se suprime esa cifra y las siguientes.

3. Para sumar o restar varios valores con distinto número de decimales, el resultado se redondea hasta un número de decimales igual a los del dato que menos tenga.

DESTACADO Para sumar o restar valores con distinto número de decimales, el resultado se redondea hasta un número de decimales igual a los del dato que menos decimales tenga. AUTOEVALUACIÓN Redondea al número 1,4445 dejando dos decimales: a) 1,46 b) 1,45 c) 1,44 (Correcto) d) 1,440 Retroalimentación Si la cifra siguiente a la que hay que mantener es menor que 5, se suprime esa cifra y las siguientes. El 4, después de 1,44, es menor que 5. Redondea al número 1,4453 dejando dos decimales: a) 1,46 b) 1,45 (Correcto) c) 1,44 d) 1,440 Retroalimentación Si la cifra siguiente a la que hay que mantener es igual o mayor de 5, se suprime esa cifra y todas las siguientes y se aumenta en una unidad la cifra mantenida. El 5, después de 1,44, es igual que 5.

PARA SABER MÁS Para consolidar tus conocimientos, visita las siguientes direcciones :

Redondeo de números http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/redondeo-numeros.html

Cifras significativas http://www.educaplus.org/formularios/cifrassignificativas.html

Múltiplos y submúltiplos del SI. Para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas va a resultar más cómodo utilizar unos prefijos que indican los múltiplos o submúltiplos con respecto a la unidad o patrón de medida. Observa la siguiente tabla.

Prefijo Símbolo Factor de equivalencia exa- E 1018 peta- P 1015 tera- T 1012 giga- G 109 mega- M 106 kilo- k 103

hecto- h 102 deca- da 10 deci- d 10-1 centi- c 10-2 mili- m 10-3

micro- µ 10-6 nano- n 10-9 pico- p 10-12

femto- f 10-15 atto- a 10-18

Los múltiplos y submúltiplos son unidades cuyo factor de conversión respecto a la unidad fundamental es una potencia de 10. Cuando el 10 de la potencia está elevado a un número positivo, corresponde a los múltiplos de la unidad; y cuando está elevado a un número negativo corresponde a los submúltiplos, menores que la unidad. Si te fijas en la tabla (potencias de diez) puedes comprobar que la columna de la izquierda se corresponde a las potencias de 10 elevadas a números positivos (múltiplos) y la columna de la derecha a las potencias de 10 elevadas a números negativos (submúltiplos). DESTACADO Para operar con potencias ten en cuenta que:

• El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Ejemplo: 103 · 102 = 103+2 = 105

• El cociente de potencias con la misma base en otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. Ejemplo: 106 : 102 = 106-2 = 104

 Si queremos convertir 3 km a metros nos basta multiplicar 3 por su factor en la tabla, que es 103. Por tanto, 3000 m. Si embargo, si queremos convertir 30 dm a metros, tendremos que multiplicar 30 por su factor en la tabla, que es 10-1, por tanto, 3 m.                        

Errores de las medidas (I). Como puedes imaginar todas las medidas tienen un margen de error o incertidumbre, ya que la medida perfecta (ideal) no existe. Este margen de error acota entre qué valores debe de estar el valor verdadero. A mayor número de cifras significativas, la medida es más precisa y se minimiza el margen de error. Cuando se realizan medidas, no se tiene certeza de haber obtenido la medida exacta, ya que existe siempre un margen de error o incertidumbre denominado error absoluto.

• Error absoluto.

El error absoluto (Ea) es la diferencia que existe entre el valor exacto (M) y el valor medido (m). Conociendo el valor exacto, el error absoluto se puede calcular según la fórmula:

Ea = M – m Para determinar el margen de error absoluto que afecta a una medida se tiene en cuenta el valor exacto de la medida y la sensibilidad del aparato. El valor exacto, si no se conoce, se calcula hallando el valor medio, que es la media aritmética de todas las medidas. La media aritmética es la suma de todos los valores divididos entre el número de valores. Ejemplo: Supongamos que al medir en una balanza se obtuvieron los valores (en g): 102,61; 102,58; 102,56; 102,58; 102,60. La media aritmética xm será: xm = (102,61 + 102,58 + 102,56 + 102,58 + 102,60) / 5 = 102,586 g Si la balanza sólo aprecia hasta la centésima de gramo (0,001) el resultado se redondea a 102,59 g. La sensibilidad es la mínima unidad de medida que puede apreciar el aparato y que es capaz de producir en él una variación de medición. Es el límite de precisión del aparato. La balanza aprecia centésimas de gramo, es decir, detecta hasta la segunda cifra decimal. Entonces su sensibilidad será 0,01 g y apreciará variaciones en la masa de ± 0,01 g. Para expresar correctamente una medida siempre debe ir acompañada del margen de error o error absoluto: media aritmética ± error absoluto Para saber la exactitud de la medida realizada (es más exacta o menos exacta) se comprueba si está dentro del valor medio ± sensibilidad. En nuestro ejemplo será: 102,59 ± 0,01 g, luego las medidas fiables estarían comprendidas entre 102,60 y 102,58. Es decir, de las 5 medidas, la de 102,61 y 102,56 no serían fiables.  

• Error relativo. El error relativo (Er) es el cociente que resulta al dividir el error absoluto entre el valor exacto, y si este no se conoce, se calcula la media aritmética (xm):

Er =Ea /xm Este error no lleva unidades, ya que es el cociente entre cantidades de la misma magnitud. Se puede expresar en tanto por cien, para lo cual se multiplica por 100.

Errores de las medidas (II). La realización de cualquier medida como la que se aprecia en la imagen trae consigo algún error. Por tanto, vamos a ver las dos fuentes principales:

• Causas de error. Los errores se cometen por muchas causas y se pueden clasificar de varias formas. Por ejemplo, atendiendo a su carácter hay: 1. Errores sistemáticos:

Son aquellos que se producen cuando al realizar varias medidas existe poca variación entre ellas, pero se desvían todas del valor real. Podemos decir que son medidas precisas porque repiten un valor, pero inexactas debido a que este valor se desvía del valor real. Las causas por las que se suelen producir los errores sistemáticos son: por defectos de los reactivos, de los materiales, aparatos mal calibrados o tendencias erróneas del operador. Es difícil detectar estos errores, pero una vez encontrados son fáciles de corregir. Por ello, los procedimientos de control de calidad son útiles para poder detectar estos errores. 2. Errores accidentales o aleatorios: Son aquellos que se presentan al azar y se detectan fácilmente porque varían mucho con respecto al resto de resultados, pero no se pueden corregir debido a que aparecen de improviso antes de que se pueda actuar, por lo que requieren un análisis estadístico para su resolución. Si tenemos muchas mediciones sobre un valor, la medición errónea afectará poco a la media aritmética, de manera que la desviará poco. Las principales causas de estos errores se pueden deber a la equivocación de muestra, a su contaminación, a haber empleado un reactivo incorrecto, a errores del operador en un determinado momento al leer o al realizar los cálculos. AUTOEVALUACIÓN En un laboratorio, con una regla, se ha medido cinco veces (cinco alumnos diferentes) la longitud de una varilla. Los resultados obtenidos (en cm), son: 13,93; 13,95; 13,91; 13,94; 13,93. Elige la respuesta correcta en las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la media aritmética? a) 69,66 m Incorrecto. b) 13,93 m (Correcto) Correcto. Sumas todas las medidas y divides por cinco. c) 17,42 m Incorrecto. d) 13,94 m Incorrecto. 2. ¿Cuál es la sensibilidad de la regla? a) ± 0,01 m Incorrecto. b) ± 0,1 m Incorrecto. c) ± 0,01 cm (Correcto) Correcto. La regla mide en centímetros y aprecia hasta la centésima de centímetro según las medidas, luego la sensibilidad o error absoluto es ± 0,01 cm. d) ± 0,1 cm Incorrecto. 3. ¿Qué medidas no son fiables? a) primera y segunda. Incorrecto. b) ninguna es fiable. Incorrecto. c) segunda y tercera (Correcto) Correcto. Las medidas fiables son aquellas que están comprendidas entre media aritmética ± error absoluto. d) tercera y cuarta. Incorrecto.

4. ¿Qué error relativo se ha cometido en la segunda medida, 13,95, expresado en %? a) 1,4 % Incorrecto. b) 14 % Incorrecto. c) 0,14 % (Correcto) Correcto. El error relativo (expresado en %) es igual al error absoluto / media aritmética y multiplicado por cien. d) 1% Incorrecto.