Labo2ASS

[UNI FIEE]-[EE610M] [ANLISIS DE SEALES Y SUSTEMAS]

KENNY 1

1. Obtencin de funciones de transferencia para los casos dados

a. Para un () como funcin de entrada se obtuvo la siguiente grfica

Sabemos que para una funcin de transferencia () su respuesta al

impulso es la misma () entonces la grfica mostrada en el grfico es ().

Buscamos los datos que nos proporciona dicha grfica, como (Observamos que

es un sistema de primer orden):

() =

+1

;

= 2 ; 5 = 30

Resolviendo tenemos:

= 6 ; = 12

Entonces:

() =2

+ 0.16666

b. Para una entrada rampa unitaria se obtuvo la siguiente grfica

Grfica de la funcin de transferencia obtenida


KENNY 2

Por lo estudiado para una funcin de transferencia () su

respuesta a una rampa unitaria es (). (1/2) entonces la grfica

mostrada es de G(s)= ()/2 . Buscamos los datos que nos proporciona

dicha grfica, cuando: = G(t)= entonces = 0 () =

() =2 + +

3 + 2 = 10 , = 0

La pendiente en la parte final tiende a 1, tomando valores para C

y D por esto iguales tal que el punto de concavidad de la grfica sea

antes de (5,5) se tiene para C=0.4

() =102 + 0.4

3 + 0.42

() =102 + 0.4

+ 0.4

Comprobando en matlab 1. clc; clear; 2. H_s=tf([10 0 0.4],[1 0.4 0 0]); 3. [h_tn t]=impulse(H_s, 30); 4. plot(t,h_tn) 5. grid 6. legend('h(t) numerico')

c. Para una entrada escaln unitario con condiciones iniciales no nulas se

obtuvo la siguiente grfica


KENNY 3

Sabemos por lo estudiado que la respuesta con condiciones iniciales est dado

por: en cdigo de matlab, con condiciones iniciales -1 y 10; la grfica empieza en

10 considerando ganancia unitaria, como es excitada por un escalo la funcin de

transferencia ha sido multiplicada por 1/s,

Una relacin de cada desde el inicial de 8/10 del inicial, y pendiente inicial cerca

a 0.5; tomamos los datos obtenidos y graficamos:

1. clc; clear; 2. num=[1]; 3. a=0.5 4. dem=[1 a/8 0]; 5. sys=tf(num,dem); 6. s1=ss(sys) 7. initial(s1,[-a;10])

Entonces la funcin de transferencia quedara:

() =1

+ 0.0625

Sin el polinomio de condiciones iniciales, y con condiciones

iniciales y(0)=0.5, y(0)=10.

2. Analizando el sistema tenemos:

() . () = . () . () = . () + ( + ). ()


KENNY 4

= .

() = . () () = . ( () () ) () . () = . () . () = . () + ( + ). () () = . ()

= 10 = 0.3 = 1 = 2 / = 0.09 . / = 0.1 . / = 5 = 0.2 103 . . / = 105 /2 = 390.6

a. Aplicar la transformada de laplace al sistema de ecuaciones y volcar toda

esta informacin en un diagrama de bloques para la funcin de

transferencia () =()

().

Despejando el sistema de ecuaciones en funcin de Vr(t) y x(t) tenemos:

() = () + () (

+

) + () (

(+))

Aplicando la transformada de Laplace al sistema

() = [ + (

+

) + 2 (

(+))] ()

Obteniendo la funcin de transferencia:

() =()

()= + (

+

) + 2 (

(+))

Reemplazando datos

() = 2 + (0.025601638) + 2(0.000512)

b. Respuesta y parmetros ante la entrada de un escaln

() =()

=

2 + (0.025601638) + 2(0.000512)


KENNY 5

Establecimiento Y(s)*s tal que s tienda a 0, entonces tenemos que Y(s)=2

Al tener estos datos podemos aproximar Wn=0; E=0; Mp=2; ts=0; tr=0; tp=0; la

ganancia 2.

c. Simulacin en Matlab de Y(s) ante un escaln y medicin de parmetros

De donde Wn=0; E=0; Mp=2; ts=0; tr=0; tp=0; la ganancia 2.

d. Respuesta al impulso

i. Sin Laplace

() = () + () (

+

) + () (

(+))

() = = 2 ii. Con Laplace

() = [2 + (0.025601638) + 2(0.000512)].1 Tomando transformada inversa

Vr(t)=2*dirac(t) + (16*dirac(t, 1))/625 + (8*dirac(t, 2))/15625 Y por propiedades de dirac obtenemos () = 2

3. Analizando la grfica de magnitud de bode siguiente

a. Funcin de transferencia de fase mnima

Para se tiene el polo de fase mnima de la forma 0.1

+0.1

Para se adiciona el cero de fase mnima de la forma +1

1

Para se adiciona el polo de fase mnima de la forma 10

+10

Obteniendo una funcin de transferencia total de fase mnima:


KENNY 6

() = + 1

( + 0.1)( + 10)

b. Grfica asinttica de bode de fase de H(s) de forma manual

c. Grfica de bode de fase con Matlab

Observamos que a comparacin de la grfica asinttica hecho a mano,

la grfica exacta que nos entrega Matlab se aprecia los cambios debido a

todos los polos y ceros sin aproximaciones lineales como en la curva

asinttica.

d. Margen de fase y ganancia 1. %% Grfica de bode con los parmetros 2. clc; clear;


KENNY 7

3. k=1; 4. z= [-1]; 5. p=[-0.1 -10]; 6. [num den]=zp2tf(z,p,k); 7. Gs=tf(num,den) 8. bode(Gs) 9. [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(num,den)

El margen de ganancia se define como el cambio

en la ganancia a lazo abierto necesario para

inestabilizar el sistema. Los sistemas con

mrgenes de ganancia grandes pueden tolerar

mayores cambios en los parmetros del sistema

antes de hacerse inestable a lazo cerrad

El margen de fase se define como el cambio a

lazo abierto en la fase necesario para

inestabilizar el sistema a lazo cerrado. El margen

de fase mide tambin la tolerancia del sistema a

retardos

Gm = Margen de ganancia

Inf

Pm = Margen de fase

-180

Wcg = Frecuencia de cruce de ganancia

NaN

Wcp = Frecuencia de cruce de fase

0

4. Analizando el circuito en estado inicial como se muestra en el grfico

a. Obtener los valores de , , en los instantes t = 0-, t = 0+ y t =

; sin usar Laplace ni resolver la EDO. Analizando para = 0, los componentes se comportan como en el

grfico:


KENNY 8

= 0 ; =

2 ; = ; = 0

Analizando para = 0+, los componentes se comportan como en el grfico:

=

2 ; =

2 ; = ; =

2

Analizando para = , los componentes se comportan como en el

grfico:

= 0 ; = 0 ; = ; = 0

b. Grfica con la variable S de Laplace

()

+ () + () =


KENNY 9

(()

) = ()

() =[()

2 ]

1

Resolviendo el sistema de ecuaciones de 4 variables tenemos

() = (/2)(

2 + + )

() = (

2) (

2 + + )

c. Clculos analticos para obtener () () Aplicando directamente la transformada inversa de Laplace a los resultados obtenidos anteriormente tenemos: Usando matemtica simblica de matlab:

1. syms Vc VG L R C s V IS 2. Vc=(VG/2)*(L*R*C*s)/(L*R*C*s^2+L*s+R); 3. iL=(VG/2)*((R*C)/(L*R*C*s^2+L*s+R)-IS/s); 4. Vct=ilaplace(Vc) 5. iLt=ilaplace(iL)

Obteniendo como resultados:

Vct =

(VG*exp(-t/(2*C*R))*(cosh((t*(- C*R^2 +

L/4)^(1/2))/(C*L^(1/2)*R)) -

(L^(1/2)*sinh((t*(- C*R^2 +

L/4)^(1/2))/(C*L^(1/2)*R)))/(2*(L/4 -

C*R^2)^(1/2))))/2

iLt =

(C*R*VG*exp(-t/(2*C*R))*sinh((t*(- 4*C*R^2 +

L)^(1/2))/(2*C*L^(1/2)*R)))/(L^(1/2)*(L -

4*C*R^2)^(1/2)) - IS

5. El sistema de la figura representa una ducha con agua fra y caliente (lazo de

regulacin)

a. Teniendo al funcin de transferencia asumiendo = 1

=1

1+

() =

2 + 2 + 1 +


KENNY 10

Por criterio de root tenemos que 1 + > 0

1 < , no es razonable porque la funcin de transferencia no tendr coeficientes constantes con el retardo debido a sus aproximaciones que se le puede dar, adems se parte de q la ganancia es mayor q 0. Por tanto el criterio de Routh no es aplicable. Consideraremos > 0

b. Para una entrada escaln unitario, un valor de K elegido en el rango anterior y sin lazo de realimentacin, determinar de forma analtica, determinar los valores de los parmetros que cuantifican el proceso dinmico tr ts tp Mp y el valor de estacionario. Para la entrada escaln multiplicamos 1/s a la funcin de transferencia tomando un K=0.5

=0.5 + 1

2 + 3 + 2. 1/

Aproximando a sistema de segundo orden

=1

2 + 3 + 2

= 1.41; = 0.5; = 1.06 Ts=2.67 ; Estado estacionario 0.5

c. El paso b pero con realimentacin 1. %% asdasd 2. clc; clear; 3. syms k; 4. num=[0.5]; 5. den=[1 1]; 6. sys=tf(num,den); 7. sys.inputd=1 8. sys2=pade(sys,1) // sin realimentacin 9. sys3=feedback(sys2,1) // con realimentacin

=0.5 + 1

2 + 2.5 + 3. 1/

Aproximando a sistema de segundo orden

=1

2 + 2.5 + 3

= 1.73; = 0.33; = 0.72

= 3.0818; = 3.79; = 3.21; = 0.88%; Valor de estado estacionario tomando S=0 en sys.s tenemos 0.333 como valor estacionario

d. Preguntas anteriores con aproximacin de segundo grado del retardo

1. %% asdasd 2. clc; clear; 3. syms k;


KENNY 11

4. num=[0.5]; 5. den=[1 1]; 6. sys=tf(num,den); 7. sys.inputd=1 8. sys2=pade(sys,2) // sin realimentacin 9. sys3=feedback(sys2,1) // con realimentacin

Sin retroalimentacin

=0.5 2 3 + 6

3 + 72 + 18 + 12. 1/

Con retroalimentacin

=0.5 2 3 + 6

3 + 7.52 + 15 + 18. 1/

6. Considerando que el sistema LTI de la figura esta inicialmente en reposo, determine empleando la convolucin y sus propiedades, la respuesta y(t) del sistema a la seal de entrada x(t); siguiendo un procedimiento:

a. Manualmente Primero obtenemos la funcin de transferencia para el sistema LTI

() =2

2 + 4 + 3=

2

( + 3)( + 1)

() = () (4.53 0.5)()

() = () () () = (). ()

() = ( + 2).+2

2 ( 2).

2

2 2 ()

b. Matemtica simblica o solucin numrica de Matlab

1. clc; clear; 2. syms hs t s; 3. x=(heaviside(t + 2)*(t + 2))/2 - (heaviside(t - 2)*(t -

2))/2 - 2*heaviside(t);

4. xs=laplace(x) 5. h=dirac(t)-(4.5*exp(-3*t)-0.5*exp(-t))*heaviside(t) 6. hs=laplace(h) 7. ys=xs*hs


KENNY 12

8. yt=ilaplace(ys)

y =(3*exp(-t))/4 - (7*exp(-3*t))/4 - (heaviside(t - 2)*(t + exp(2 - t) - 3))/4 - (heaviside(t - 2)*(t - 2))/2 + (9*heaviside(t - 2)*(t/3 + exp(6 - 3*t)/9 - 7/9))/4

Graficando tenemos:

9. ezplot(yt)

Documents

Labo2ASS