Elektrotehnički fakultet Univerzitet u Sarajevu Odsjek za automatiku i elektroniku Predmet: Modeliranje i simulacija

Laboratorijska vježba VI (Hibridni elektromehanički sistemi)

Zad 1. Sistem na slici 1.1 se sastoji od loptice mase m, sa nabojem +q i ravne pokretne ploče mase M sa nabojem –q. Električna energija sadržana u tom sistemu iznosi:

d

qWe ⋅⋅

=επ16

2

(*)

Gdje je ε dielektrična konstanta, a d udaljenost loptice od ploče. Kada je opruga nenapregnuta i klatno je u vertikalnom položaju, razmak loptice i ploče iznosi a. Naći jednačine kretanja ovog sistema.

Slika 1.1

Očigledno je da sistem sa slike 1.1 spada u klasu elektromehaničkih, tj hibridnih sistema, jer električna energija sadržana u tom sistemu zavisi od udaljenosti d izmeñu loptice i pokretne ploče, koja opet zavisi od udaljenosti ploče od ravnotežnog položaja - mehaničke koordinate x, te ugla zakretanja poluge na kojoj se nalazi loptica – mehaničke koordinate θ. Dakle sistem ima dva stepena slobode, pa ćemo za generalisane koordinate uzeti upravo udaljenost, x, ploče od ravnotežnog položaja i ugao zakretanja, θ, poluge na kojoj se nalazi loptica. U svrhu pronalaženja ovisnosti veličine d od generalisanih koordinata x i θ, posmatrajmo sliku 1.2.

Slika 1.2

Vidimo da je udaljenost d jednaka razlici razmaka ploče i loptice u ravnotežnom položaju i ortogonalne udaljenosti ploče i loptice od svojih ravnotežnih položaja. Usvajajući oznake kao na slici 1.2, slijedi:

θsinlxad −−= . (1.1) Sada je

( ) ( )em WW +−+ℜ= AL** (1.2)

gdje je *ℜ ukupna repulsivna koenergija, *

mW ukupna magnetna koenergija, A ukupna

atraktivna energija, a eW ukupna elektrostatička energija sistema. Izraz u prvoj zagradi

nazivamo ukupnom koenergijom sistema, a izraz u drugoj zagradi ukupnom energijom sistema. Repulsivna koenergija sistema je jednaka zbiru kinetičkih energija loptice i ploče, pa imamo da je:

22222

21

*

2

1

2

1

2

1

2

1xMlmMvmv && +⋅=+=ℜ θ . (1.3)

S obzirom da u sistemu nemamo zavojnica to je magnetna koenergija sistema jednaka nuli. Atraktivna energija je jednaka zbiru atraktivnih energija kuglice i opruge za koju je vezana pokretna ploča, tj:

mghkx += 22

1A . (1.4)

Sa slike 1.2 vidimo da je visina h jednaka: θcosllh −= , (1.5)

pa (1.4) sada postaje:

( )θcos122

1 −+= mglkxA . (1.6)

S druge strane, elektrostatička energija kondenzatora u kolu sa slike 1.1 data je preko izraza (*), što nakon uvrštavanja (1.1) postaje:

( )θπε sin16

2

lxa

qWe −−

= . (1.7)

Lagrangian je sada oblika:

( ) ( )θπεθθ

sin16cos12

2

1

2

1

2

1 2222

lxa

qmglkxxMlm

−−−−−−+⋅= &&L . (1.8)

Kako u sistemu nemamo disipativnih elemenata to je Rayleigh-eva disipativna funkcija jednaka nuli. Sada se Lagrangeove jednačine mogu konstruisati iz (1.8):

( )0

sin16

cossin

2

22 =

−−++⋅

θπεθθθlxa

lqmgllm && ,

(1.9)

( )0

sin16 2

2

=−−

++⋅θπε lxa

qkxxM && .

(1.9) je par povezanih nelinearnih diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamiku sistema sa slike 1.1, što je i trebalo naći.

Zad 2. Pokretna ploča kondenzatora mase 2m je mehanički spojena linearnom oprugom konstantne

krutosti k sa pokretnim jezgrom elektromagneta mase 1m . Ova dva konvertora su meñusobno

povezana električki u seriju sa idealnim izvorom konstantnog napona 0E . Promjene

induktivnosti i kapaciteta u funkciji mehaničkih koordinata su date izrazima:

( )2

0

1

01

1

+

=

x

x

LxL

( )20

002 xd

dCxC

−=

gdje su 0L , 0C , 0x i 0d konstante.

Smatrati da je 01 =x i 02 =x kada je opruga nenapregnuta. Zanemariti sve otpore u sistemu. Odrediti jednačine kretanja sistema.

Slika 2.1

Očigledno mehanički sistem ima dva stepena slobode pa ćemo za generalisane koordinate uzeti pomjeraje 1x i 2x , jezgra elektromagneta i pomične ploče kondenzatora, respektivno. Kako se električni sistem sastoji od samo jedne nezavisne konture, u kojoj se nalazi idealni izvor konstantnog napona, to ćemo za generalisanu električnu koordinatu uzeti naboj q. Iz prethodno rečenog slijedi da Lagrangian ima oblik:

( ) ( )em WW +−+ℜ= AL** (2.1)

gdje je *ℜ ukupna repulsivna koenergija, *

mW ukupna magnetna koenergija, A ukupna

atraktivna energija, a eW ukupna elektrostatička energija sistema.

Ukupna repulsivna koenergija sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija jezgra i pokretne ploče, pa imamo da je:

222

211

*

2

1

2

1xmxm && +=ℜ . (2.2)

S druge strane ukupna magnetna koenergija, zbog prisustva zavojnice u sistemu, jednaka je:

( ) 21

*

2

1qxLWm &⋅= . (2.3)

Očigledno magnetna koenergija zavisi od generalisane koordinate 1x pa će i u Lagrangeovim jednačinama figurisati izvod ove energije po mehaničkoj koordinati. Atraktivna energija sistema je jednaka atraktivnoj energiji opruge koja povezuje pokretnu ploču i jezgro elektromagneta:

( )2212

1xxk −=A . (2.4)

Elektrostatička energija kondenzatora u kolu sa slike 2.1 data je preko izraza:

( )2

2

2 xC

qWe = . (2.5)

Iz prethodnog izraza vidimo da i elektrostatička energija kondenzatora zavisi od mehaničkih koordinata, pa ćemo takoñe imati u Lagrange-ovim jednačinama član koji je izvod ove energije po mehaničkoj koordinati. Uočavamo da je Rayliegh-eva disipativna funkcija jednaka nuli, s obzirom da smo zanemarili sve otpore u kolu i da u sistemu nema prigušnica. Sada Lagrangian ima oblik:

( ) ( ) ( )2

22

212

1222

211 22

1

2

1

2

1

2

1

xC

qxxkqxLxmxm −−−⋅++= &&&L . (2.6)

Koristeći izvedeni izraz za Lagrangian sistema, te izvršavajući potrebna diferenciranja po generalisanim koordinatama i vremenu, i uvrštavajući dobijeno u Lagrange-ove jednačine, dobijamo sistem:

( ) 02122

120

200

2111 =+

+−+ qxxx

xLkxkxxm &&& ,

02 00

2

1222 =−−+dC

qkxkxxm && , (2.7)

( ) 000

201122

120

200

21

20

200 2

EqdC

xdqxx

xx

xLq

xx

xL=

−+

+−

+&&&&

(2.7) je sistem nelinearnih diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamiku sistema sa slike 2.1, što je i trebalo naći.

Zadaci za samostalan rad Zad 3. Modelirati sistem iz zadatka 1. u programskom paketu Matlab/Simulink. Mijenjati parametra sistema i posmatrati promjene izlaza. Analizirati dobijene rezultate. Zad 4. Modelirati sistem iz zadatka 2. u programskom paketu Matlab/Simulink. Umjesto konstantnog izvora napona dovoditi različite funkcije kao izvore. Mijenjati parametre sistema i posmatrati promjene izlaza. Analizirati dobijene rezultate.