Elektrotehnički fakultet Univerzitet u Sarajevu Odsjek za automatiku i elektroniku Predmet: Modeliranje i simulacija
Laboratorijska vježba VI (Hibridni elektromehanički sistemi)
Zad 1. Sistem na slici 1.1 se sastoji od loptice mase m, sa nabojem +q i ravne pokretne ploče mase M sa nabojem –q. Električna energija sadržana u tom sistemu iznosi:
d
qWe ⋅⋅
=επ16
2
(*)
Gdje je ε dielektrična konstanta, a d udaljenost loptice od ploče. Kada je opruga nenapregnuta i klatno je u vertikalnom položaju, razmak loptice i ploče iznosi a. Naći jednačine kretanja ovog sistema.
Slika 1.1
Očigledno je da sistem sa slike 1.1 spada u klasu elektromehaničkih, tj hibridnih sistema, jer električna energija sadržana u tom sistemu zavisi od udaljenosti d izmeñu loptice i pokretne ploče, koja opet zavisi od udaljenosti ploče od ravnotežnog položaja - mehaničke koordinate x, te ugla zakretanja poluge na kojoj se nalazi loptica – mehaničke koordinate θ. Dakle sistem ima dva stepena slobode, pa ćemo za generalisane koordinate uzeti upravo udaljenost, x, ploče od ravnotežnog položaja i ugao zakretanja, θ, poluge na kojoj se nalazi loptica. U svrhu pronalaženja ovisnosti veličine d od generalisanih koordinata x i θ, posmatrajmo sliku 1.2.
Slika 1.2
Vidimo da je udaljenost d jednaka razlici razmaka ploče i loptice u ravnotežnom položaju i ortogonalne udaljenosti ploče i loptice od svojih ravnotežnih položaja. Usvajajući oznake kao na slici 1.2, slijedi:
θsinlxad −−= . (1.1) Sada je
( ) ( )em WW +−+ℜ= AL** (1.2)
gdje je *ℜ ukupna repulsivna koenergija, *
mW ukupna magnetna koenergija, A ukupna
atraktivna energija, a eW ukupna elektrostatička energija sistema. Izraz u prvoj zagradi
nazivamo ukupnom koenergijom sistema, a izraz u drugoj zagradi ukupnom energijom sistema. Repulsivna koenergija sistema je jednaka zbiru kinetičkih energija loptice i ploče, pa imamo da je:
22222
21
*
2
1
2
1
2
1
2
1xMlmMvmv && +⋅=+=ℜ θ . (1.3)
S obzirom da u sistemu nemamo zavojnica to je magnetna koenergija sistema jednaka nuli. Atraktivna energija je jednaka zbiru atraktivnih energija kuglice i opruge za koju je vezana pokretna ploča, tj:
mghkx += 22
1A . (1.4)
Sa slike 1.2 vidimo da je visina h jednaka: θcosllh −= , (1.5)
pa (1.4) sada postaje:
( )θcos122
1 −+= mglkxA . (1.6)
S druge strane, elektrostatička energija kondenzatora u kolu sa slike 1.1 data je preko izraza (*), što nakon uvrštavanja (1.1) postaje:
( )θπε sin16
2
lxa
qWe −−
= . (1.7)
Lagrangian je sada oblika:
( ) ( )θπεθθ
sin16cos12
2
1
2
1
2
1 2222
lxa
qmglkxxMlm
−−−−−−+⋅= &&L . (1.8)
Kako u sistemu nemamo disipativnih elemenata to je Rayleigh-eva disipativna funkcija jednaka nuli. Sada se Lagrangeove jednačine mogu konstruisati iz (1.8):
( )0
sin16
cossin
2
22 =
−−++⋅
θπεθθθlxa
lqmgllm && ,
(1.9)
( )0
sin16 2
2
=−−
++⋅θπε lxa
qkxxM && .
(1.9) je par povezanih nelinearnih diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamiku sistema sa slike 1.1, što je i trebalo naći.
Zad 2. Pokretna ploča kondenzatora mase 2m je mehanički spojena linearnom oprugom konstantne
krutosti k sa pokretnim jezgrom elektromagneta mase 1m . Ova dva konvertora su meñusobno
povezana električki u seriju sa idealnim izvorom konstantnog napona 0E . Promjene
induktivnosti i kapaciteta u funkciji mehaničkih koordinata su date izrazima:
( )2
0
1
01
1
+
=
x
x
LxL
( )20
002 xd
dCxC
−=
gdje su 0L , 0C , 0x i 0d konstante.
Smatrati da je 01 =x i 02 =x kada je opruga nenapregnuta. Zanemariti sve otpore u sistemu. Odrediti jednačine kretanja sistema.
Slika 2.1
Očigledno mehanički sistem ima dva stepena slobode pa ćemo za generalisane koordinate uzeti pomjeraje 1x i 2x , jezgra elektromagneta i pomične ploče kondenzatora, respektivno. Kako se električni sistem sastoji od samo jedne nezavisne konture, u kojoj se nalazi idealni izvor konstantnog napona, to ćemo za generalisanu električnu koordinatu uzeti naboj q. Iz prethodno rečenog slijedi da Lagrangian ima oblik:
( ) ( )em WW +−+ℜ= AL** (2.1)
gdje je *ℜ ukupna repulsivna koenergija, *
mW ukupna magnetna koenergija, A ukupna
atraktivna energija, a eW ukupna elektrostatička energija sistema.
Ukupna repulsivna koenergija sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija jezgra i pokretne ploče, pa imamo da je:
222
211
*
2
1
2
1xmxm && +=ℜ . (2.2)
S druge strane ukupna magnetna koenergija, zbog prisustva zavojnice u sistemu, jednaka je:
( ) 21
*
2
1qxLWm &⋅= . (2.3)
Očigledno magnetna koenergija zavisi od generalisane koordinate 1x pa će i u Lagrangeovim jednačinama figurisati izvod ove energije po mehaničkoj koordinati. Atraktivna energija sistema je jednaka atraktivnoj energiji opruge koja povezuje pokretnu ploču i jezgro elektromagneta:
( )2212
1xxk −=A . (2.4)
Elektrostatička energija kondenzatora u kolu sa slike 2.1 data je preko izraza:
( )2
2
2 xC
qWe = . (2.5)
Iz prethodnog izraza vidimo da i elektrostatička energija kondenzatora zavisi od mehaničkih koordinata, pa ćemo takoñe imati u Lagrange-ovim jednačinama član koji je izvod ove energije po mehaničkoj koordinati. Uočavamo da je Rayliegh-eva disipativna funkcija jednaka nuli, s obzirom da smo zanemarili sve otpore u kolu i da u sistemu nema prigušnica. Sada Lagrangian ima oblik:
( ) ( ) ( )2
22
212
1222
211 22
1
2
1
2
1
2
1
xC
qxxkqxLxmxm −−−⋅++= &&&L . (2.6)
Koristeći izvedeni izraz za Lagrangian sistema, te izvršavajući potrebna diferenciranja po generalisanim koordinatama i vremenu, i uvrštavajući dobijeno u Lagrange-ove jednačine, dobijamo sistem:
( ) 02122
120
200
2111 =+
+−+ qxxx
xLkxkxxm &&& ,
02 00
2
1222 =−−+dC
qkxkxxm && , (2.7)
( ) 000
201122
120
200
21
20
200 2
EqdC
xdqxx
xx
xLq
xx
xL=
−+
+−
+&&&&
(2.7) je sistem nelinearnih diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamiku sistema sa slike 2.1, što je i trebalo naći.
Zadaci za samostalan rad Zad 3. Modelirati sistem iz zadatka 1. u programskom paketu Matlab/Simulink. Mijenjati parametra sistema i posmatrati promjene izlaza. Analizirati dobijene rezultate. Zad 4. Modelirati sistem iz zadatka 2. u programskom paketu Matlab/Simulink. Umjesto konstantnog izvora napona dovoditi različite funkcije kao izvore. Mijenjati parametre sistema i posmatrati promjene izlaza. Analizirati dobijene rezultate.