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USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I LINEAS DE ESPERA
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1
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
LINEAS DE ESPERA
USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I LINEAS DE ESPERA
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Contenido
Características de un sistema de líneas de espera
Características de las llegadasCaracterísticas de la línea de esperaCaracterísticas del dispositivo de servicioMedida del funcionamiento de las colasCostos de las colas
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Contenido
Tipos de modelos de colasModelo A: modelo de cola de canal únicoy tiempos exponenciales de servicioModelo B: modelo de cola muticanalModelo C: modelo de tiempo de servicioconstanteModelo D: modelo de población limitada
Otros enfoques de las colasModelos de decisión de colas
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Objetivos de aprendizaje
Cuando haya completado este capítulo, debe ser capaz de:Identificar o definir:
Supuestos de los cuatro modelos básicos de líneas de espera
Describir o explicar:Cómo aplicar los modelos de líneas de esperaCómo dirigir un análisis económico de colas
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Usted ha estado ahí antes
‘La otra línea siempre va es más rápida.’‘Si usted cambia de línea, la que dejó de utilizar comenzará a ir más rápido que la nueva’. © 1995 Corel Corp.
Gracias por esperar.Hola, ... ¿está usted ahí?
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Sistema de líneas de espera
Sistema de servicio
Línea de espera Dispositivo de servicio
Llegadas
© 1995 Corel Corp.
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Ejemplos de líneas de espera
Banco Clientes Cajero Depósito, etc.Consulta Pacientes Doctor Tratamientodel médicoCruce Coches Luz Paso controladode tráfico Cadena Piezas dede montaje Montaje Trabajadores
Situación Llegadas Servidores Proceso de servicio
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Líneas de espera
Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913:
Análisis de los servicios telefónicos.Área de conocimiento denominada teoría de colas:
Cola es otra denominación para línea de espera.
Problema de decisión:Equilibrio entre el costo de suministrar un buen servicio y el costo de tiempo de espera de los clientes.
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Costos de las líneas de espera
Nivel de servicioNivel de servicio
CostoCosto
CostoCosto porpor servicioservicio ((operación
operación))CostoCosto esperado total
esperado total
CostoCosto del tiempo en cola (del tiempo en cola (clientesclientes))
Óptimo
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Terminología de las líneas de espera
Cola: línea de espera.Llegada de clientes: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio.Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el cual las llegadas (clientes) reciben el servicio.Canal: número de líneas de espera o unidades de servicio.Fase: número de pasos a seguir en el servicio.
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Características de la llegada
Dispositivo de servicioLínea de esperaPoblación
Tamaño de la población:LimitadaIlimitada
Comportamiento de las llegadas:
Ponerse a la cola y esperar a ser servidoSe niegan a colocarse en la colaReniegan, abandonan la cola
♦ Distribución de la llegada:
♦ Poisson♦ Otras
♦ Patrón de las llegadas:♦Aleatoria♦Secuencia conocida
Características de la llegadaCaracterísticas de la llegada
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Características de las llegadas
Origen de las llegadas (población)
Tamaño
Ilimitado
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Características de las llegadas
Origen delas llegadas(población)
Tamaño
LimitadoIlimitado
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Número fijo de aviones
para revisión
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Características de las llegadas
Origen delas llegadas(población)
Tamaño Patrónde llegadas
LimitadoIlimitado Aleatorio No aleatorio
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Características de las llegadas
Origen delas llegadas(población)
Tamaño Patrónde llegadas
LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio
Poisson Otros
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Llegadas aleatorias
Los clientes llegan de forma aleatoriaDistribución discretax es el número de llegadas durante una unidad de tiempo determinada (una hora, un minuto)E{x} = número promedio de llegadas por unidad de tiempo
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Distribución de Poisson
0,00,30,6
0 1 2 3 4 5X
P(X) λλ = 0,5= 0,5Número de llegadasque ocurren en un intervalo de tiempo:
Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos.
Media = λ (por ejemplo: 5/hora) 0,0
0,30,6
0 2 4 6 8 10X
P(X) λλ = 6,0= 6,0
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Distribución Poisson
La función de probabilidad:
La media y la varianza son:
!)(
kekxP
kλλ−
==
{ } λ=xE
{ } λ=xVar
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Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x
0,00
0,05
0,10
0.15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x
Prob
abilid
ad
Prob
abilid
ad
λ=2 λ=4
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Probabilidad de llegada de clientes
En una instalación de servicio llegan los clientes de acuerdo a una distribución Poisson con una tasa de 4/minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente llegue en cualquier intervalo dado de 30 segs.?
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Probabilidad de llegada de clientes
.30/22/430 segsclientessegs ==λ
1353.0!02)0(02
===−exP
{ } { } 8647.01353.01011 =−==−=≥ xPxP
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Características de las llegadas
Origen delas llegadas (población)
Tamaño ComportamientoPatrónde llegada
LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio Paciente Impaciente
Poisson Otros
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Características de las llegadas
Origen de las llegadas (población)
Tamaño ComportamientoPatrónde llegada
LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio Paciente Impaciente
RehúsaPoisson Otros
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Rehusar
Origen de las
llegadasDispositivo de servicio
Línea deespera
Sistema de servicio
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¡La cola era demasiado
larga!
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Características de las llegadas
Origen delas llegadas(población)
Tamaño ComportamientoPatrónde llegada
LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio Paciente Impaciente
Rehúsa ReniegaPoisson Otros
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Renegar
Origen de las
llegadas Dispositivo de servicio
Línea de espera
Sistema de servicios
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¡Me voy!
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Características de la línea de espera
Dispositivo de servicioLínea de esperaPoblación
Características de la línea de espera♦Tamaño de la cola:
♦ Limitado (Ej. cola de proceso)♦ Ilimitado (Ej. pedidos de correo)
♦Prioridad del servicio: orden en el cual los clientesseleccionan una cola:
♦ FIFO (First In First Out) o FCFS (First Come First Served)♦ LIFO (Last In First Out) o LCFS (Last Come First Served)♦ SIRO (Service in Random Order) ♦ Otros (Prioridad Ej. Trabajos urgentes)
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Características de la línea de espera
Línea de espera
Duración
Ilimitada
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Características de la línea de espera
Línea de espera
Duración
LimitadaIlimitada
© 1995 Corel Corp.
© 1995 Corel Corp.
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Características de la línea de espera
Línea de espera
Duración Disciplinade cola
LimitadaIlimitada FIFO(FCFS) Aleatorio
(SIRO)Prioridad
LIFO (LCFS)
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Características del dispositivo de servicio
Dispositivo de servicioLínea de esperaPoblación
Características del dispositivo de servicio
♦ Número de canales:♦ Único (un solo servidor)♦ Múltiple (varios servidores en paralelo)
♦ Número de fases en el sistema de servicio:
♦ Único Múltiple♦ Distribución del tiempo de servicio:
♦Exponencial negativo♦ Otros
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Características del servicio
Dispositivode servicio
Configuración
MulticanalCanalúnico
Fase única
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Atención al cliente aleatoria
El tiempo de servicio es aleatorioSe modela mediante la distribución exponencial negativaLa función de distribución es
tetf µµ −=)( 0⟩t
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Distribución exponencial negativa
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 2 4 6 8 10 x
Prob
abilid
ad t>
x µ=1µ=2µ=3µ=4
Tiempo de servicio :Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos.
Tasa de servicio media = µ
Por ejemplo: clientes/hora.
Tiempo de servicio medio = 1/µ
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Distribución exponencial negativa
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Pro
babi
lity
0 30 60 90 120 150 180 Service time (minutes)
Tiempo de servicio medio = 1 horaTiempo de servicio medio = 1 hora
Tiempo de servicio medio = 20 minutosTiempo de servicio medio = 20 minutosProb
abili d
a d
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
Tiempo de servicio (minutos)
µµ=1 cliente/hora=1 cliente/hora
µµ=3 cliente/hora=3 cliente/hora
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Tiempo de servicio
Probabilidad
La media y la varianza
t)( µetxP −=>
{ }µ1
=tE { } 21µ
=tVar
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Tiempo de servicio
Una máquina de servicio presenta un promedio de una falla cada 40 minutos.Determine el número promedio de fallas en una semana, si el servicio se ofrece 24 horas, los 7 días de la semana.Determine la probabilidad de que la siguiente falla no ocurra dentro de 3 horas.
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Tiempo de servicio
horafallas /5.14060
==µ
{ } semfsemanafallasE /2527*24*5.1/ ==
( ) 0111.03 3*5.1 ==⟩ −exP
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Recuerde: λ y µ son valores
λ = número medio de llegadas por período de tiempo.
Ejemplo: 3 unidades/hora
µ = número medio de personas o artículos servidos por período de tiempo.
Ejemplo: 4 unidades/hora
© 1984-1994 T/Maker Co.
Si el tiempo de servicio medio es 15 minutos, entonces µ es 4 clientes/hora.
•1/µ = 15 minutos/unidad
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Sistema de un canal, una fase
LlegadasUnidadesservidas
Dispositivo de servicio
Cola
Sistema de servicio
Bahía
Línea de espera delos barcos
Barcos en el mar
Sistema de descarga de barcos Barcos vacíos
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Sistema de un canal, multifase
Autos y comida
LlegadasUnidades servidas
Dispositivo de servicio
Cola
Sistema de servicio
RecogidaAutos en cola
Autos en el área
Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s
Pago
Dispositivo de servicio
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Sistema multicanal, una fase
Unidadesservidas
Dispositivode servicioCola
Sistema de servicio
Dispositivode servicio
Llegadas
Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.
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Sistema multicanal, multifase
Dispositivo de servicio
Unidades servidas
Dispositivo de servicioCola
Sistema de servicio
Dispositivo de servicio
Dispositivode servicioLlegadas
Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras.
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Definiciones
Número de clientes en el sistema= n Tasa de llegada nominal de clientes = λTasa de llegada efectiva de clientes = λefectiva
λ= λefectiva + λpérdida
Tasa de salida de clientes = µρ = λefectiva / µ suponemos ρ<1 (estabilidad)Probabilidad de n clientes en el sistema = pn
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Medidas de rendimiento
Tiempo medio en la cola, Wq.Longitud media de la cola, Lq.Tiempo medio en el sistema, Ws.Número medio de clientes en el sistema, Ls.Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté desocupado, p0.
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Medidas de rendimiento
Tamaño de las colas
Fórmulas de Little
∑∞
=
=1n
ns npL ( )∑∞
+=
−=1cn
nq pcnL
qeffq WL λ=seffs WL λ=
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Medidas de rendimiento
Tiempo en el sistema y tamaño de la cola:
µ1
+= qs WW
µλefectiva
qs LL +=
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Medidas de rendimiento
Número promedio de servidores ocupados:
cµ
λefectivaqs LLc =−=
Porcentaje de utilización de los servidores:
100*⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
cc
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Notación Kendall
a = descripción de la distribución de llegadas(M = Poisson)
b = descripción de la distribución de salidas(M = Exponencial negativa, D= tiempo constante)
c = número de servidores paralelosd = disciplina de la cola (FIFO, LIFO, SIRO, GD)e = número máximo de clientes permitido en el
sistema (N)f = tamaño de la fuente generadora de clientes (N o :)
( ) ( )fedcba //://
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Características del modelo de colas básico
Las llegadas se sirven con disciplina primero quellega, primero que se sirve (FIFO).Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores.Los patrones de llegada se describen mediante una distribución de probabilidad de Poisson. Los clientes provienen de una población muy grande.Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio.Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa.El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas(ρ<1).
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Tipos de modelos de colas
Simple (M/M/1) : (GD/:/:)Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.
Multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea.
Servicio constante (M/D/1) : (GD/N/:)Ejemplo: túnel de lavado de autos.
Población limitada (M/M/c) : (GD/N/N)Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.
Auto servicio (M/M/:) : (GD/:/:)
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Características del modelo simple (M/M/1) : (GD/:/:)
Modelo: sistema de un canal, una fase.Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, una sola cola.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: servicio y llegada independientes.Ritmo de servicio > ritmo de llegada
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Ecuaciones del modelo simple (M/M/1) : (GD/:/:)
Número medio de unidades en cola: =
λ
µ - λLs
Tiempo medioen el sistema:
Número medio de unidades en cola:
W
L
s
q
=
= λ
1
2µ - λ
µ (µ - λ )Tiempo medio en cola: W q = λ
µ (µ - λ )
=ρ λµ
Utilización del sistema:
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Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1) : (GD/:/:)
Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema,es decir, que el sistema esté desocupado:
P0 1 1= - = -ρ λµ
Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema, k+1
=Pn>kλµ( )
donde n es el número de unidades en el sistema.
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Características del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)
Tipo: sistema multicanal.Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, colas múltiples.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: servicio y llegada independientes.Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada
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Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)
λcµcµ
µλ
c!1
µλ
n!1
1pc1c
0n
n0
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∑−
=
Probabilidad de que haya cero personas o unidades en el sistema:
( ) ( ) µλ
λµµ
λλµ0!1
pcc
L
c
s −−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
=Número medio de personas o unidades en el sistema:
( ) ( ) µλµµ
λµ 1!1 0 +−−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
= pcc
W
c
s
Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:
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Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)
Número medio de personas o unidades esperando en la cola para recibir el servicio:
µ1−=
µλ−=
sq
sq
WW
LL
Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:
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Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:)
Modelo: sistema de un canal, una fase.Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, una única cola.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: llegada y servicio independiente.Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada
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Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:)
Número medio de personas o unidades esperando para recibir servicio:
( )
( )λ−µµ2λ=
λ−µµ2λ=2
q
q
W
L
Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:
µ1+=
µλ+=
qs
qs
WW
LLNúmero medio de personaso unidades en el sistema:
Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:
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Características del modelo de población limitada (M/M/c) : (GD/N/N)
Modelo: sistema de un canal, una fase.Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega.Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, una única cola.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: servicio y llegada independientes.Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada
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Modelos de decisión de colas
Modelos de costosModelo de aspiración de nivel
Utilizan las medidas de rendimiento desarrolladas para conseguir un balance entre los factores en conflicto:
Nivel de servicioEspera
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Modelos de costos
Intentan balancear dos costos en conflicto
El costo de ofrecer el servicioEl costo de retraso en la oferta del servicio (tiempo de espera del cliente)
ETC (x) = EOC(x) + EWC(x)ETC (x) = EOC(x) + EWC(x)donde: donde:
x= nivel de servicio (medido por x= nivel de servicio (medido por µµ o por o por cc))ETC = Costo Total esperado por unidad de tiempoETC = Costo Total esperado por unidad de tiempoEOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempoEOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempoEWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempoEWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempo
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Costos de las líneas de espera
Nivel de Nivel de servicioservicio (x)(x)
CostoCosto porporUnidadUnidad de de tiempotiempo
CostoCosto porpor servicioservicio ((operación
operación) (EOC)) (EOC)
CostoCosto esperado total (ETC)
esperado total (ETC)
CostoCosto del tiempo en cola (del tiempo en cola (clientesclientes))(EWC)(EWC)
Óptimo
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64
Modelo siguiendo funciones lineales
Las formas más simples son:
EOC(x) = CEOC(x) = C11 xx
EWC(x) = CEWC(x) = C22 LLssdonde: donde:
CC11 = costo marginal por unidad de x por unidad de tiempo= costo marginal por unidad de x por unidad de tiempoCC22 = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en
espera)espera)x x = medido por = medido por µµ o por o por cc
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65
Modelo de nivel de aspiración
Trabaja directamente con las medidas de rendimiento arrojadas por el modelo de colas.Se determina el rango aceptable para el nivel de servicio (medido por µ o por c) especificando límites razonables sobre las medidas de rendimiento en conflicto.Estos límites son los niveles de aspiración que se desea lograr.
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66
Ilustración de nivel de aspiración
Para el modelo de servidor múltiple:Medidas de desempeño:WWss = tiempo de espera promedio en el sistema= tiempo de espera promedio en el sistemaXX = porcentaje de ociosidad de los servidores = porcentaje de ociosidad de los servidores
( ) ( )100*1100*100* ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−−=
−=
µλ
ccLLc
cccX fectivaqs
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67
Ilustración nivel de aspiración
El modelo se reduce a determinar el número de servidores c tal que
β≤Xα≤sW y
donde α y β son los niveles de aspiración especificados por el responsable de las decisiones
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Gráfico de valores de aspiración
WWss y XX se grafican en función del nivel de servicio c.Si las dos condiciones no se satisfacen simultáneamente, entonces una o ambas restricciones deben liberarse.
XXWWs
Rango aceptable para cs
ββ
αα
c