Lneas de Espera:Teora de ColasMs. Ing Jos Luis Soriano ColchadoLas colasLas colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:En un bancoEn un restaurante de comidas rpidasAl matricular en la universidadLos autos en un lavacarLas colasEn general, a nadie le gusta esperarCuando la paciencia llega a su lmite, la gente se va a otro lugarSin embargo, un servicio mu rpido tendra un costo mu elevadoEs necesario encontrar un balance adecuado!eora de colas"na cola es una lnea de esperaLa teora de colas es un con#unto de modelos matemticos $ue describen sistemas de lneas de espera particularesEl ob#etivo es encontrar el estado estable del sistemadeterminar una capacidad de servicio apropiada!eora de colasE%isten muc&os sistemas de colas distintosAlgunos modelos son mu especiales'tros se a#ustan a modelos ms generalesSe estudiarn a&ora algunos modelos comunes'tros se pueden tratar a trav(s de la simulaci)nSistemas de colas: modelo bsico"n sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:La colaLa instalaci)n del servicioLos clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicioSistemas de colas: modelo bsicoLos clientes o llegadas pueden ser:*ersonasAutom)viles+$uinas $ue re$uieren reparaci)n,ocumentosEntre muc&os otros tipos de artculosSistemas de colas: modelo bsicoSicuandoelclientellegano&a nadieenlacola,pasadeunave-a recibir el servicioSi no, se une a la colaEsimportantese.alar$uelacolano incluea$uienestrecibiendoel servicioSistemas de colas: modelo bsicoLasllegadasvanalainstalaci)ndel serviciodeacuerdoconladisciplina de la cola/eneralmente(staesprimeroen llegar, primero en ser servido*eropueden&aberotrasreglaso colas con prioridadesSistemas de colas: modelo bsicoLlegadasSistema de colasCola0nstalaci)n del servicio,isciplinade la colaSalidasEstructuras tpicas de sistemas de colas: una lnea, un servidorLlegadasSistema de colasCola ServidorSalidasEstructuras tpicas de sistemas de colas: una lnea, m1ltiples servidoresLlegadasSistema de colasColaServidorSalidasServidorServidorSalidasSalidasEstructuras tpicas de colas: varias lneas, m1ltiples servidoresLlegadasSistema de colasColaServidorSalidasServidorServidorSalidasSalidasColaColaEstructuras tpicas de colas: una lnea, servidores secuencialesLlegadasSistema de colasColaServidorSalidasColaServidorCostos de un sistema de colas23 Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar4epresenta el costo de oportunidad del tiempo perdido"n sistema con un ba#o costo de espera es una fuente importante de competitividadCostos de un sistema de colas53 Costo de servicio: Es el costo de operaci)n del servicio brindadoEs ms fcil de estimarEl ob#etivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mnimoSistemas de colas: Las llegadasEl tiempo $ue transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadasEl tiempo entre llegadas tiende a ser mu variableEl n1mero esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas 67Sistemas de colas: Las llegadasEl tiempo esperado entre llegadas es 28*ore#emplo,silatasamediade llegadas es 9 5: clientes por &oraEntonceseltiempoesperadoentre llegadas es 28 9 285: 9 :3:; &oras o < minutosSistemas de colas: Las llegadasAdemsesnecesarioestimarla distribuci)ndeprobabilidaddelos tiempos entre llegadas/eneralmentesesuponeuna distribuci)n e%ponencialEsto depende del comportamiento de las llegadasSistemas de colas: Las llegadas ,istribuci)n e%ponencialLa forma algebraica de la distribuci)n e%ponencial es: ====,ondetrepresentaunacantidad e%presadaenunidadesdetiempo 6&oras, minutos, etc37te t servicio de tiempo P = 1 ) (Sistemas de colas: Las llegadas ,istribuci)n e%ponencial+edia !iempo:*6t7Sistemas de colas: Las llegadas ,istribuci)n e%ponencialLadistribuci)ne%ponencialsupone una maor probabilidad para tiempos entre llegadas pe$ue.as3Engeneral,seconsidera$uelas llegadas son aleatoriasLa1ltimallegadanoinflueenla probabilidaddellegadadela siguienteSistemas de colas: Las llegadas > ,istribuci)nde *oissonEsunadistribuci)ndiscreta empleada con muc&a frecuencia para describirelpatr)ndelasllegadasa un sistema de colas*aratasasmediasdellegadas pe$ue.asesasim(tricase&ace mssim(tricaseapro%imaala binomial para tasas de llegadas altasSistemas de colas: Las llegadas > ,istribuci)nde *oissonSu forma algebraica es:,onde:P(k) : probabilidad de ? llegadas por unidad de tiempo : tasa media de llegadase 9 2,7182818!) (kek Pk =Sistemas de colas: Las llegadas > ,istribuci)nde *oissonLlegadas por unidad de tiempo :*Sistemas de colas: La colaEl n1mero de clientes en la cola es el n1merodeclientes$ueesperanel servicioEln1merodeclientesenelsistema es el n1mero de clientes $ue esperan enlacolamseln1merodeclientes $ue actualmente reciben el servicioSistemas de colas: La colaLa capacidad de la cola es el n1mero m%imo de clientes $ue pueden estar en la cola/eneralmentesesupone$uelacola es infinitaAun$uetambi(nlacolapuedeser finitaSistemas de colas: La colaLadisciplinadelacolaserefiereal ordenen$ueseseleccionanlos miembrosdelacolaparacomen-ar el servicioLamscom1nes*E*S:primeroen llegar, primero en servicio*uededarse:selecci)naleatoria, prioridades, "E*S, entre otras3Sistemas de colas: El servicioEl servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores m1ltiplesEltiempodeserviciovaradecliente a clienteEltiempoesperadodeservicio depende de la tasa media de servicio 67Sistemas de colas: El servicioEltiempoesperadodeservicio e$uivale a 28*ore#emplo,silatasamediade servicio es de 5; clientes por &oraEntonceseltiempoesperadode servicio es 28 9 285; 9 :3:@ &oras, o 53@ minutosSistemas de colas: El servicioEsnecesarioseleccionaruna distribuci)ndeprobabilidadparalos tiempos de servicioAadosdistribuciones$ue representaran puntos e%tremos:Ladistribuci)ne%ponencial 69media7!iemposdeservicioconstantes 69:7Sistemas de colas: El servicio"nadistribuci)nintermediaesla distribuci)n ErlangEsta distribuci)n posee un parmetro deformak$uedeterminasu desviaci)n estndar:mediak1= Sistemas de colas: El servicioSik92,entoncesladistribuci)n Erlang es igual a la e%ponencialSik9B,entoncesladistribuci)n Erlangesigualaladistribuci)n degenerada con tiempos constantesLaformadeladistribuci)nErlang vara de acuerdo con kSistemas de colas: El servicio+edia !iempo:*6t7k = k = 1k = 2k = 8Sistemas de colas:,istribuci)n Erlang,istribuci)n ,esviaci)n estndarConstante :Erlang, k 9 2 mediaErlang, k 9 5Erlang, k 9 @ 1/2 mediaErlang, k 9 CErlang, k 9 2D 1/4 mediaErlang, cual$uier kmedia 2 / 1media 8 / 1media k / 1Sistemas de colas: Eti$uetas para distintos modelosEotaci)n de Fendall: A/B/cA: ,istribuci)n de tiempos entre llegadasB: ,istribuci)n de tiempos de servicioM: distribuci)n e%ponencialD: distribuci)n degeneradaEk: distribuci)n Erlangc: E1mero de servidoresEstado del sistema de colasEnprincipioelsistemaestenun estado inicialSesupone$ueelsistemadecolas llegaaunacondici)ndeestado estable 6nivel normal de operaci)n7E%istenotrascondicionesanormales 6&oras pico, etc37Lo $ue interesa es el estado estable,esempe.o del sistema de colas*araevaluareldesempe.ose buscaconocerdosfactores principales:23 Eln1merodeclientes$ue esperan en la cola53 El tiempo $ue los clientes esperan en la colaen el sistema+edidas del desempe.o del sistema de colas23 E1mero esperado de clientes en la cola Lq53 E1mero esperado de clientes en el sistema Ls e#emploCon base en los datos del e#emplo anterior, 9 :3G;, 9 2El factor de utili-aci)n del sistema si se mantuviera un servidor es 9 8 9 :3G;82 9 :3G; 9 G;KCon dos servidores 6s 9 57: 9 8s 9 :3G;865L27 9 :3G;85 9 = >= > ===== + te t W P e t W Pn L P PW WL Ltqtsnsnnq sq s+odelo +8+82: e#emplo"n lavacar puede atender un auto cada ; minutosla tasa media de llegadas es de M autos por &ora'btenga las medidas de desempe.o de acuerdo con el modelo +8+82Adems la probabilidad de tener : clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de ms de < clientesla probabilidad de esperar ms de = = >= = > = == === ==== === = = = +tqtssqsq se W Pe W PL P Phrs Whrs Wclientes L clientes L +odelo +8+82: e#ercicioA un supermercado llegan en promedio C: clientes por &ora $ue son atendidos entre sus ; ca#as3Cada ca#a puede atender en promedio a un cliente cada < minutos'btenga las medidas de desempe.o de acuerdo con el modelo +8+82Adems la probabilidad de tener 5 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de ms de @ clientesla probabilidad de esperar ms de 2: min3 en la cola+odelo +8/82111) 1 ( 202 2 2