L'antenna windom,

un dipolo alimentato fuori centro. in letteratura noto anche come OCFD (off center fed dipole) o dipolo asimmetrico (asymmetrical dipole)

di

Stefano Epifani (nominativo radioamatoriale IZØJIB) e-mail: iz0jib@gmail.com

ver. 1.0 (maggio 2013)

Indice

Capitolo 1

pag.

1.1 Il contesto storico......................................................................................... 1

1.2 L'invenzione e i primi studi........................................................................... 3

Capitolo 2

2.1 Approccio analitico...................................................................................... 7

2.1.1 Campi irradiati.................................................................................. 9

2.1.2 Impedenza d'ingresso...................................................................... 10

2.1.3 Diagrammi di radiazione.................................................................. 24

2.2 Il balun d'antenna........................................................................................ 27

Capitolo 3

3.1 Il software di simulazione............................................................................ 30

3.1.1 Campi irradiati.................................................................................. 31

3.1.2 Impedenza d'ingresso...................................................................... 34

3.1.3 SWR e diagrammi di radiazione...................................................... 37

Bibliografia ................................................................................................................... 43

Appendice A ................................................................................................................. 45

Appendice B ................................................................................................................. 48

L'antenna windom, un dipolo di Stefano Epifani (IZØJIB)

Capitolo 1

1.1 Il contesto storico

Nel 1901, con la trasmissione del

Gugliemo Marconi, si apre la possibilità, fino ad allora inimmaginata, di effettuare comunicazioni wireless

a grande distanza. Oltre all'interesse della

hobbisti e inventori di tutto il mondo

comunicazione a distanza attraverso l'impiego della radio

estrazione accademica ma un semplice sperimentatore

Fig. 1.1 La stazione trasmittente di Poldhu in Cornovaglia dalla quale partirono i segda Guglielmo Marconi a Terranova in Canada

In assenza di regolamentazioni precise

primi radiotelegrafisti professionali (

così frequente che i marinai addetti alle trasmissioni radio

operatori "prosciutto" (ham), un modo dispregiativo per

comunicazioni ma anche la scarsa esperienza

termine "ham radio" è spesso usato pe

decisamente più rispettosa e deferente

importanti contributi scientifici e un rigido codice etico e comportamentale

Nell'agosto del 1912 per far fronte a questi inconvenienti

d'emergenza, balzate alla cronaca qualche mese prima con

il Congresso degli Stati Uniti d'America

1912. Il provvedimento tra le altre cose

24 ore su 24 e imponeva ai radioamatori un sistema di licenze

di una banda di frequenze limitata al di

interferenze con le comunicazioni militari e marittime

1

dipolo alimentato fuori centro.

del primo segnale radio transoceanico ad opera del

si apre la possibilità, fino ad allora inimmaginata, di effettuare comunicazioni wireless

Oltre all'interesse della comunità scientifica e militare

e inventori di tutto il mondo iniziarono a sperimentare ed esplorare

traverso l'impiego della radio. D'altronde lo stesso Marconi non era di

plice sperimentatore autodidatta.

Poldhu in Cornovaglia dalla quale partirono i segnali telegrafici ricevuti nel 1901 da Guglielmo Marconi a Terranova in Canada.

In assenza di regolamentazioni precise erano inevitabili le interferenze e i disturbi fra le trasmissioni

primi radiotelegrafisti professionali (soprattutto marittimi) e gli operatori radioamatoriali. Il fenomeno era

addetti alle trasmissioni radio solitamente identificav

, un modo dispregiativo per denotare non solo l'intromissione nelle

la scarsa esperienza nella manipolazione del tasto telegrafico.

" è spesso usato per indicare l'operatore radioamatorial

e deferente che la categoria ha guadagnato negli anni seguenti

importanti contributi scientifici e un rigido codice etico e comportamentale [1].

er far fronte a questi inconvenienti e per regolamentare le

qualche mese prima con il tragico naufragio

il Congresso degli Stati Uniti d'America emanò la legge federale nr.264 nota

tra le altre cose obbligava ogni nave a dotarsi di una postazione radio presidiata

radioamatori un sistema di licenze governative con la possibilità di usufruire

al di sopra dei 1500 kHz. In tal modo si sarebbero

con le comunicazioni militari e marittime che avvenivano prevalentemente

segnale radio transoceanico ad opera del ventisettenne

si apre la possibilità, fino ad allora inimmaginata, di effettuare comunicazioni wireless

e anche semplici amatori,

iniziarono a sperimentare ed esplorare la possibilità di una

lo stesso Marconi non era di

ali telegrafici ricevuti nel 1901

itabili le interferenze e i disturbi fra le trasmissioni dei

marittimi) e gli operatori radioamatoriali. Il fenomeno era

solitamente identificavano gli amatori come

non solo l'intromissione nelle

nella manipolazione del tasto telegrafico. Ancora oggi il

iale ma con un'accezione

negli anni seguenti con

e per regolamentare le trasmissioni

del transatlantico Titanic,

a anche come Radio Act

una postazione radio presidiata

con la possibilità di usufruire

sarebbero impedite ogni tipo di

che avvenivano prevalentemente attorno ai 500 kHz.

2

Per la tecnologia dell'epoca una banda di frequenza così alta era praticamente inservibile e molti

radioamatori o cessarono la loro attività o continuarono abusivamente. Solo alcuni temerari iniziarono a

sperimentare e trasmettere a queste frequenze scoprendo l'estrema risonanza della ionosfera sopra i

1800 kHz e aprendo la strada alla banda dello onde corte (da 3 MHz a 30 MHz) che ancora oggi risulta

essere la più impiegata in campo radioamatoriale per le comunicazioni a grande distanza [2].

Nel frattempo i primi dilettanti iniziarono in tutto il mondo a consociarsi in associazioni di categoria, per

citare solo le più antiche ricordiamo il WIA - "Wireless Institute of Australia" fondato a Sidney nel 1910

(considerata la prima associazione radioamatoriale del mondo), in Inghilterra il "London Wireless Club"

fondato nel 1913 (oggi RSGB - "Radio Society of Great Britain") e negli Stati Uniti l' ARRL - "American

Radio Relay League" fondata da Hiram Percy Maxim nel 1914.

Con lo scoppio della prima guerra mondiale (1915-1918) la tecnica e le conoscenze sulle comunicazioni

radio vennero massicciamente impiegate in ambito militare con esempi anche dei primi sistemi

crittografici per evitare l'intercettazione delle trasmissioni da parte di estranei. Dopo la fine del conflitto

molti giovani, che durante la guerra avevano acquisito cognizioni e abilità operando con le

apparecchiature militari, entrarono a far parte dei radioamatori dedicandosi nell’immediato dopoguerra

alla costruzione di piccole stazioni trasmittenti e riceventi. Inizia un periodo di grande sviluppo dell'attività

amatoriale con i primi collegamenti transoceanici e i primi esperimenti di modulazione vocale. Il

telegrafista amatoriale iniziò ad essere assimilato in gergo non più come operatore "prosciutto" (ham)

ma come "vecchio uomo" (old man) [3].

In questo periodo nascono la maggior parte delle associazioni di categoria europee: nel 1921 in Austria

l'OEVSV "Österreichischer Versuchssenderverband", nello stesso anno in Fillandia lo SRAL -"Suomen

Radioamatööriliitto", nel 1925 in Francia il REF -"Réseau des Émetteurs Français" nel 1927 in Italia

l'ARI - "Associazione Radiotecnica Italiana" (oggi "Associazione Radioamatori Italiani").

Per riunire tutte queste associazioni nel 1925 nasce a Parigi l'IARU - "International Amateur Radio

Union" ovvero la confederazione internazionale di tutte le organizzazioni radioamatoriali nazionali con lo

scopo di rappresentare collettivamente le associazioni all'ITU - "International Telegraph Union" (oggi

"International Telecommunication Union"). Fino ad allora, infatti, tutte le comunicazioni internazionali, per

lo più di tipo telegrafico tradizionale (ovvero su cavo), erano regolate e coordinate dall'ITU fondata nel

1865 a Parigi. Dopo il forte sviluppo delle comunicazioni wireless l'organizzazione dovette affrontare una

regolamentazione a livello internazionale anche dello spettro elettromagnetico e successivamente

definire tutti gli standard di comunicazione radio. Non a caso nel 1932 il suo nome cambiò in

"International Telecommunication Union". Dal 1947 è un'agenzia delle Nazioni Unite.

Uno dei provvedimenti più importanti dell'ITU fu preso nell'ambito dell' International Radiotelegraph

Conference di Londra del 1912 in cui veniva standardizzata e regolata l'assegnazione dei nominativi di

chiamata o call-sign: un codice alfanumerico univoco e internazionale con cui ogni operatore

radioamatoriale è identificato e che ha l'obbligo di comunicare all'inizio di una qualsiasi comunicazione

radio [4].

Se da un lato il Radio Act del 1912 imponeva forti limitazioni ai radioamatori, dall'altro lasciava ampio

spazio ai privati che volessero utilizzare le frequenze radio per fini commerciali o per applicazioni

industriali che venivano concesse solo dietro compenso monetario. In appena quattro anni furono

accordate più di 8.500 concessioni per l

Questa forte liberalizzazione delle frequenze

broadcasting private. Nello stesso periodo in Europa un forte monopolio

spettro elettromagnetico da parte degli

prevalentemente pubbliche come la

Gesellschaft in Germania e l'Ente Italiano Audizioni Radiofoniche

Per ovviare al sovraffollamento delle stazioni

il Congresso degli Stati Uniti d'America

1927 con la quale venne dato il via

frequenze. Venne istituita una commissione federale, la FRC

potere di concedere le licenze imponeva

trasmissioni potevano essere effettuate

evitare trasmissioni oscene, indecenti

1.2 L'invenzione e i primi s tudi

In questo contesto storico a Columbus

radioamatore Loren G. Windom (*

avvocato (nominativo radioamatoriale

radianti nel campo delle onde corte.

identificano con il suo nome: l'antenna windom.

Fig. 1.2 Loren G. Windom (ideatore

L'idea iniziale di Windom non fu quella di realizzare un

questo particolare tipo di antenne è conosciuto

del classico dipolo λ/2, allora noto anche

suo trasmettitore valvolare (circa 500

di circa 73 + j42,5 Ω ma considerando

radioamatoriale dei 3,5 MHz (85m) a

3

ate più di 8.500 concessioni per l'usufrutto commerciale delle spettro elettromagnetico

delle frequenze contribuì fortemente alla nascita e

private. Nello stesso periodo in Europa un forte monopolio, più o meno persuasivo,

elettromagnetico da parte degli Stati non permise altrettanto lasciando spazio solo a emittenti

prevalentemente pubbliche come la British Broadcasting Corporation in Inghilterra

Ente Italiano Audizioni Radiofoniche in Italia.

al sovraffollamento delle stazioni broadcasting americane, che spesso interferivano fra loro

il Congresso degli Stati Uniti d'America emanò nel 1927 la legge nr.632 nota anche come

il via ad un piano organico più razionale dell'

istituita una commissione federale, la FRC - "Federal Radio Commission

e di concedere le licenze imponeva anche con quale potenza e con quale larghezza di canale le

essere effettuate. Il suo compito era anche quello di controllo dei contenuti per

oscene, indecenti, o con l'impiego di linguaggio blasfemo.

tudi

Columbus nello stato dell' Ohio (USA) compieva i suoi esperimenti

*1905 - †1988). Prima come studente in giurisprudenza

radioamatoriale W8GZ) sperimentò e realizzò da hobbista

corte. La sua invenzione più celebre fu il dipolo

: l'antenna windom.

dell'antenna) nella sua stazione radio di Columbus nello stato dell'Ohio

L'idea iniziale di Windom non fu quella di realizzare un sistema radiante multibanda (come spesso oggi

antenne è conosciuto) ma piuttosto quella di adattare

anche con il nome di antenna hertziana, con l'impedenza di

suo trasmettitore valvolare (circa 500 Ω). In spazio libero il dipolo λ/2 presenta un impedenza d'ingresso

considerando la presenza del suolo e l'impiego in orizzontale nella banda

m) ad una altezza di circa 8m (0,1λ) da terra

delle spettro elettromagnetico americano [5].

fortemente alla nascita e alla diffusione delle radio

o meno persuasivo, dello

Stati non permise altrettanto lasciando spazio solo a emittenti

nghilterra, il Reichs-Rundfunk-

che spesso interferivano fra loro,

la legge nr.632 nota anche come Radio Act

più razionale dell'assegnazione delle

Federal Radio Commission" che oltre al

otenza e con quale larghezza di canale le

controllo dei contenuti per

compieva i suoi esperimenti il giovane

tudente in giurisprudenza e poi come

hobbista numerosi sistemi

il dipolo off-center che oggi tutti

Columbus nello stato dell'Ohio - USA.

banda (come spesso oggi

adattare la resistenza d'ingresso

con l'impedenza di uscita del

un impedenza d'ingresso

l'impiego in orizzontale nella banda

da terra, l'impedenza poteva

4

tranquillamente scendere (trascurando la parte immaginaria facilmente annullabile accorciando il dipolo

di circa 0,02λ) anche sotto ai 50 Ω. Un valore quasi 100 volte inferiore rispetto a quello del trasmettitore

con una perdita in termini di trasferimento di potenza non trascurabile oltre a problemi di disadattamento

con conseguenti onde riflesse verso il trasmettitore [6].

L'idea di Windom fu allora quella di spostare il punto di alimentazione lontano dal centro per cercare di

incrementarne la resistenza d'ingresso. Questo espediente, se da un lato risolveva il problema del

massimo trasferimento di potenza, dall'altro dava origine a tutta una serie di inconvenienti legati

principalmente alla tecnica di alimentazione delle antenne filari del tempo. All'epoca infatti, sul modello

dell'antenna marconiana, la maggior parte dei dipoli erano alimentati a singolo filo (chiamato anche

feeder) poiché veniva sfruttato il piano di terra come massa. In questo modo oltre a rendere il filo di

alimentazione esso stesso un'antenna doveva essere considerata ai fini dell'adattamento anche la sua

l'impedenza caratteristica. Di seguito lo schema di principio del primo dipolo non centrato concepito da

Windom.

Fig. 1.3 Schema di principio della prima antenna windom.

Il primo documento ufficiale che parla di un dipolo off-center venne pubblicato nel 1926 sulla rivista QST

(mensile ufficiale dell' ARRL, l'associazione dei radioamatori statunitense) in cui veniva spiegato il

metodo di taratura di questa antenna messo a punto proprio da Windom tramite una lampadina a scarica

che veniva fatta scorrere lungo il dipolo per valutarne il profilo di corrente. Il suo funzionamento però non

doveva essere troppo chiaro. Si iniziò allora ad interessare di questa antenna l'amico John F. Byrne ,

studente in ingegneria elettrica presso l'università dell'Ohio e anch'esso radioamatore (nominativo

W8DKZ) che decise di scrivere una tesi di laurea sulle antenne a dipolo alimentate a singolo filo. Il suo

studio si focalizzò proprio sul cavo di alimentazione (il feeder) e sugli effetti dell'off-center. Byrne,

insieme al suo professore William Littell Everitt , realizzò numerosi esperimenti durante i quali partecipò

informalmente anche Windom. Per misurare la distribuzione di corrente lungo i fili, al posto della

rudimentale lampadina impiegata da Windom, venne adottato un' amperometro a shunt chiamato trolley

che tramite spazzole striscianti si poneva in parallelo al filo d'antenna (di rame scoperto) e ne misurava

la corrente in quel punto.

Fig. 1.4 Amperometro a shunt impiegato da Byrne per valutare i profili di corrente sull'antenna ([7], pag. 1857).

Tuttavia quando Byrne nel 1927 si laureò l'indagine era ancora incompleta.

studi sulle antenne filari nella sua tesi di

pubblicato nell'ottobre del 1929 negli

AIEE (American Institute of Electric Engineers

Engineers) la maggiore associazione internazionale

promozione e dell'innovazione tecnologica

considerato il primo studio scientifico sulle antenne a dipolo

1929, questi stessi risultati furono pubblicati dallo stesso Windom sul

nome dell'antenna è rimasto sempre legato alla figura di Windom anche se

importanti furono svolte dal prof. Everitt

il punto di alimentazione del dipolo

l'impedenza d'ingresso desiderata.

Nel corso degli anni seguenti, diversi

sulla rivista QST dell' ARRL che in altre pubblicazioni,

il radioamatore inglese Jim Macintosh

l'antenna di Windom livelli accettabili di

e 10 m ovvero le porzioni di spettro

L'alimentazione era ancora verso terra

Il primo, invece, che ne ipotizzo un'alimentazione con

(nominativo DJ2KY) che nel 1971 ins

adattare l'impedenza d'ingresso a quella

Anche in questa versione le varianti e i

L'antenna windom più usata oggi è quella

il nome commerciale di "antenna FD4"

Fig. 1.5 L'antenna FD4 del radioamatore

Una variante più elaborata è la cosiddetta

Carolina (da cui il nome dell'antenna)

Joe Wright (W4UEB) che, per incrementar

alimentazione facendo in modo che la calza di un tratto del

irradiasse. In questo modo veniva di fatto riproposto il progetto originale di W

verticale radiante accoppiato al dipolo orizzontale principale

alimentazione su coassiale.

5

nel 1927 si laureò l'indagine era ancora incompleta. Decise così di continuare

nella sua tesi di master's degree. Il risultato definitivo del

negli atti del IRE (Institute of Radio Engineers

(American Institute of Electric Engineers) nell' IEEE (Institute of E

la maggiore associazione internazionale di scienziati professionisti

promozione e dell'innovazione tecnologica [7]. L'articolo, con Everitt e Byrne indicati come autori

il primo studio scientifico sulle antenne a dipolo off-center. Un mese prima

risultati furono pubblicati dallo stesso Windom sulla rivista

sempre legato alla figura di Windom anche se le valutazioni scientifiche più

Everitt e il suo team. In questi studi veniva stabilito

in modo da rendere minima la potenza irradiata

, diversi dipoli off-center (sia orizzontali che verticali

in altre pubblicazioni, ma il primo a ipotizzarne un impiego

Jim Macintosh (nominativo VS1AA) che nel 1937 capì come

accettabili di SWR (Standing Wave Ratio) nelle bande degli

più importanti assegnate ai radioamatoriali per la trasmissione in HF.

era ancora verso terra realizzata con semplice filo elettrico.

potizzo un'alimentazione con cavo coassiale fu il tedesco

(nominativo DJ2KY) che nel 1971 inserì un balun nel punto di alimentazione del dipolo in modo da

adattare l'impedenza d'ingresso a quella tipica di 50 Ω del cavo coassiale.

uesta versione le varianti e i ritocchi per modificarne le prestazioni sono innumerevoli.

più usata oggi è quella del tedesco Kurt Fritzel (nominativo

a FD4"

del radioamatore Kurt Fritzel (DJ2XH), una delle windom più usate

a cosiddetta "antenna carolina" ideata attorno al 2000

(da cui il nome dell'antenna) da Edgar Lambert (nominativo WA4LVB

per incrementarne il guadagno, allontanarono il

che la calza di un tratto del cavo coassiale impiegato per l'

veniva di fatto riproposto il progetto originale di W

accoppiato al dipolo orizzontale principale ma adattato ai mod

Decise così di continuare gli

Il risultato definitivo del suo lavoro venne

Institute of Radio Engineers) oggi fusa assieme all'

Electrical and Electronic

ssionisti nel campo della

con Everitt e Byrne indicati come autori, viene

n mese prima, nel settembre del

la rivista QST [8]. Per questo il

le valutazioni scientifiche più

stabilito come dimensionare

in modo da rendere minima la potenza irradiata dal feeder e ottenere

rticali) furono descritti sia

ma il primo a ipotizzarne un impiego multibanda fu

capì come ottenere con

nelle bande degli 80, 40, 20, 17, 12

per la trasmissione in HF.

il tedesco Fritz Spillner

nel punto di alimentazione del dipolo in modo da

sono innumerevoli.

(nominativo DJ2XH) nota anche con

windom più usate.

attorno al 2000 nello stato del North

WA4LVB), Jim Wilkie (WY4R) e

allontanarono il balun dal punto di

coassiale impiegato per l'alimentazione

veniva di fatto riproposto il progetto originale di Windom con un dipolo

ma adattato ai moderni sistemi di

6

Riportiamo di seguito una tabella (non esauriente) che riepiloga le principali varianti dell'antenna windom

proposte sino ad oggi.

progetto di

(call sign) anno

progettato per Z in

(Ω)

L totale

(m)

L breve

(m)

offset

(L totale = 100%)

commenti

bande

(m)

W8GZ 1929 500 0,483λ 0,18λ 37,3% single-wire-fed banda singola

VS1AA 1937 500 41,00 13,60 33,2% single-wire-fed (80) 40 20 17 12 10

K4ABT 1949 200 40,5 13,4 33,1% alt. dal suolo da 6,1m a 12,2m

80 40 20 17 12 10

DJ2KY 1971 300 42 14 33,3%

DJ2XH nota come FD4 1971 300 41,5 13,8 33,3%

alt. dal suolo 8m a V rovesciata

(80) 40 20 17 12 10

K8SYH 1970 300 39,08 12,74 32,6%

I7SWX 1988 300 41,0 13,5 32,9%

JA7KPI 1994 200 41,0 13,6 33,2% alt. dal suolo 11m

a V rovesciata 80 40 20 17 10

K3MT 1997 450 42,06 12,65 30,1% alt. dal suolo 4,6m a

V rovesciata ass. a V rovesciata asim.

(80) 40 20 17 15 10

WA4LVB nota come carolina

2000 300 40,55 15,25 37,6% alt. dal suolo 10m

ON4AA 2002 300 41,00* 8,10 19,8% alt. dal suolo 13,5m (80) 40 20 15 12 10

ON4AA 2003 200 41,00* 6,25 15,2% alt. dal suolo 13,5m 80 40 20 17 10

W8JI 2006 300

o 200 41,8 8,35 20,0%

(80) 40 20 15 10

ON4AA 2007 200 40,66* 11,76 28,9% alt. dal suolo 16,7m 80 40 30 20 15 10

* SWR ≤ 3 solo all'interno di una porzione limitata nella banda dei 20 m

Tab. 1.1 Raccolta sintetica delle principali antenne windom impiegate in ambito radioamatoriale dall'anno della sua invenzione.

Recentemente l'approccio off-center di dipoli λ/2 accordati su una fondamentale risulta studiato per

applicazioni a larga banda intorno ai 60 GHz. A gennaio 2013 un gruppo di ricerca della NUS (National

University of Singapore) ha pubblicato lo studio su un antenna wideband (da 57 a 66 GHz) realizzata ad

array con una matrice 4x4 di dipoli off-center [14].

I dipoli asimmetrici sono studiati anche per realizzare le antenne da integrate nei moderni computer

portatili per ricevere i segnali WLAN tribanda (2,4 / 5,2 / 5,8 GHz) come risulta da [20].

Capitolo 2

2.1 Approccio Analitico

Per lo studio delle antenne filari risulta di particolare importanza definire la distribuzione di corrente lungo

la struttura radiante. In questo modo

sovrapposizione dei campi generati d

lungo la struttura e ciascuno "alimentato"

stato modellato graficamente il principio di

Fig. 2.1 Principio di calcolo dei campi irradiati da un'antenna a dipolo

Per valutare l'antenna windom consideriamo

Fig. 2.2 Schema di

7

filari risulta di particolare importanza definire la distribuzione di corrente lungo

modo si può risalire al campo elettromagnetico

sovrapposizione dei campi generati da una serie di dipoli elettrici di lunghezza infinitesimale

ciascuno "alimentato" dal valore di corrente in quel punto.

tato modellato graficamente il principio di calcolo del campo irradiato da un generico di

rincipio di calcolo dei campi irradiati da un'antenna a dipolo ([9],pag.188).

onsideriamo il seguente schema:

chema di riferimento per lo studio dell'antenna windom.

filari risulta di particolare importanza definire la distribuzione di corrente lungo

al campo elettromagnetico complessivo per

dipoli elettrici di lunghezza infinitesimale dz disposti

. Nella seguente figura è

calcolo del campo irradiato da un generico dipolo verticale.

([9],pag.188).

8

Una distribuzione esatta che tenga conto anche degli inevitabili fenomeni di autoinduzione soprattutto per

grandi lunghezze elettriche (l1 + l 2)/λ risulta molto complessa e onerosa da trattare per via analitica [15].

Tuttavia una distribuzione di corrente ragionevole per un dipolo off-center di lunghezza totale (l = l 1 + l 2)

può essere ottenuta da quella del dipolo generico imponendo la condizione di continuità nel punto di

alimentazione (z' = 0), da [10], pag. 151 si può ricavare:

′ = − ′0 ≤ ′ ≤ + ′ − ≤ ′ ≤ 0 (2.1)

dove:

k0 = costante di propagazione nel vuoto pari a 2π/λ

l1 = lunghezza del braccio più corto (short end)

l2 = lunghezza del braccio più lungo (long end)

= fasore di corrente che rappresenta il valore massimo (detto anche di ventre) lungo il dipolo (in

generale ≠ ovvero la corrente di ingresso imposta dal generatore nel punto di alimentazione)

Poiché normalmente è scelto fra il 30 e il 40% della lunghezza totale, che è sempre pari a multipli di

λ/2, ( = % λ/2) il termine = sin%" e per complementarietà il termine ="100 −% può essere posto per semplicità pari a 1. Con questi vincoli, infatti, = sarà sempre compreso fra 0,30" = 0,70" ≈ 0,81 e 0,40" = 0,60" ≈ 0,95.

Pertanto quando si impone l = n λ/2 con n=1,2,3... l'espressione può essere approssimata nella

seguente formula:

′ = − ′0 ≤ ′ ≤ + ′ − ≤ ′ ≤ 0 (2.2)

dove ancora:

= fasore di corrente che rappresenta il valore massimo lungo il dipolo (in generale ≠)

Si noti come, sotto queste ipotesi, la distribuzione di corrente rimane del tutto invariata rispetto a quella

di un dipolo alimentato al centro di lunghezza l = n λ/2. Infatti quando si impone che la lunghezza dei

bracci sia uguale (l1 = l2=/2), la distribuzione di corrente può essere riscritta nella sua forma canonica:

′ = /2 − ′0 ≤ ′ ≤ /2 /2 + ′ − /2 ≤ ′ ≤ 0 (2.3)

con l'unica differenza che in questo caso: = = fasore di corrente ai morsetti di ingresso

l1 + l 2 = l con 0 < l < λ

l1 + l 2 = l = n λ/2 con n=1,2,3...

l1 + l 2 = l = n λ/2 con l1 = l 2= /2

9

2.1.1 Campi irradiati

In riferimento alla figura 2.2 consideriamo i campi irradiati da un dipolo di lunghezza infinitesima dz' in un

punto P(x,y,z) posto nella zona di campo lontano, da [10], pag. 152 sappiamo:

/012 = 34 56789:4"; sin <′ /′ /01= = /01> = /?@= = /?@2 = 0 (2.4)

/?@> = 3 56789:4"; sin <′ /′ dove:

4 = AB C⁄ è l'impedenza caratteristica dello spazio libero

k0 = costante di propagazione nel vuoto pari a 2π/λ

; = AE + F + − 5 è la distanza del punto P dal dipolo di lunghezza infinitesima dz'

Usando l'approssimazione di campo lontano ( ≫ 1 ovvero r≫λ/2π) si può scrivere:

<5 ≈ <

; ≈ per le ampiezze

; ≈ − 5HI< per la fase

pertanto considerando solo l'espressione del campo elettrico si può scrivere:

/012 ≈ 34 89JKLMNOPQR9STU= sin <789LM VWX2/′ (2.5)

Sommando i contributi di tutti i dipoli di lunghezza infinitesima si ottiene:

012 = Y /02Z[6Z\ = 34 89OPQR9STU= sin< ]Y 5789LM VWX2Z[6Z\ ^ /′ (2.6)

Il termine fuori le parentesi quadre è chiamato fattore di elemento (element factor) mentre quello

contenuto nelle parentesi è chiamato fattore di spazio (space factor). Tutte le antenne filari valutate in

regione di campo lontano hanno questo stesso fattore di elemento che viene di volta in volta modificato

dal fattore di spazio attraverso le diverse distribuzioni di corrente.

Consideriamo la distribuzione descritta dall'espressione (2.2) per un dipolo alimentato fuori centro di

lunghezza complessiva l = n λ/2 con n=1,2,3...

012 = 34 J989OPQR9STU= sin< _Y sin + ′ 789LM`ab2/′6Z\ +Y sin − ′ 789LM`ab2/′Z[ c (2.7)

i due integrali dell' equazione (2.7) possono essere risolti usando questo risultato noto:

Y de fE + g /E = Ohid[jk[ l fE + g − f HIfE + g (2.8)

con

l = 3 HI<

f = ± g = ,

in questo modo si ottiene:

012 = 34 J9OPQR9STU= · 7 VWX2 Xop89Z\6VWX89Z\jOPQR9q\rstujOQR9q[rstuj67 VWX2 Xop89Z[6VWX89Z[Xop2 (2.9)

10

imponendo l1 + l 2 = n λ/2 quindi l2 = n λ/2 - l1 con n=1,2,3... si ottiene:

012 = 34 J9OPQR9STU= · 7b89Z\`ab26`ab89Z\·j6vjwj`abU`ab2j7bU`ab2x·w`ab89Z\`ab267b89Z\`ab2xXop2 (2.10)

se imponiamo anche la condizione l1 = l 2 = n λ/4 con n=1,2,3... si ottiene:

012 = 34 J9OPQR9STU= · 6`abyz[j6vjwj`abU`ab2j7bU`ab2x·_`ab]z[`ab2^67b]z[`ab2^cXop2 (2.11)

valutando l'espressione (2.11) con n=1 ovvero l1 + l 2 = λ/2 (classico dipolo centrato a mezz'onda),

otteniamo:

012 = 34 J9OPQR9SU= VWXyz[`ab2Xop2 (2.12)

ovvero l'espressione canonica.

Anche considerando l'espressione (2.11) con n=2 ovvero l1 + l 2 = λ

012 = 34 J9OPQR9SU= VWXU`ab2jXop2 (2.13)

torna l'espressione classica.

Pertanto per un dipolo off-center con il braccio più corto (short end) pari a l1 e lunghezza totale pari a n

λ/2 con n=1,2,3... avremo:

2.1.2 Impedenza d'ingresso

Dal punto di vista del generatore un qualsiasi sistema radiante può essere caratterizzato come un carico

avente una determinata impedenza equivalente. Questa quantità, generalmente complessa, prende il

nome di impedenza d'ingresso (o driving-point impedance) dell'antenna. Il suo valore può essere

facilmente misurato anche sperimentalmente e viene solitamente definito come il rapporto fra la tensione

e la corrente sui morsetti d'ingresso e in generale dipende dalla frequenza applicata all'antenna:

| = @~vJ~v (2.15)

con

| = ; + 3 (2.16)

012 = 34 J9OPQR9STU= · 7b89Z\`ab26`ab89Z\·j6vjwj`abU`ab2j7bU`ab2x·w`ab89Z\`ab267b89Z\`ab2xXop2 2

?@> = 3 J9OPQR9STU= · 7b89Z\`ab26`ab89Z\·j6vjwj`abU`ab2j7bU`ab2x·w`ab89Z\`ab267b89Z\`ab2xXop2 >

(2.14)

11

dove:

; è la resistenza d'ingresso

è la reattanza d'ingresso

L'antenna è rappresentata dal seguente bipolo elettrico a cui è applicata una tensione 1 e una corrente .

Fig. 2.3 Circuito equivalente di un'antenna valutata attraverso la sua impedenza d'ingresso.

1J = 1∗ ma poiché 1 = | allora 1J =

| = ; + 3 [VA]

;1J = 12;12 [W] (2.17)

1J = 1212 [VAR]

Si noti come la corrente in un sistema reale dovrà tener conto anche dell'impedenza del generatore,

pertanto la 1J sarà sicuramente inferiore a quella erogata dal generatore come vedremo più avanti. Quando

l'antenna è reale e vengono considerati anche altri complessi fenomeni di autoinduzione, fino adesso

ignorati, l'impedenza d'ingresso viene usualmente identificata come self-impedance.

Diversamente dall'impedenza d'ingresso è possibile definire l'impedenza d'antenna come una figura di

merito del sistema radiante ottenuta esclusivamente per via matematica e tipicamente impiegata per

valutazioni di potenza. Anche essa dipende dalla struttura fisica dell'antenna e dalla frequenza di lavoro. | = ; + 3 (2.18)

dove:

; è la resistenza d'antenna

è la reattanza d'antenna

L'impedenza d'antenna è calcolata in modo da tener conto della potenza che il sistema radiante è in

grado di irradiare (o ricevere), di quella che perde per effetto joule a causa dei conduttori non perfetti e di

quella reattiva scambiata con il generatore a causa della presenza di condensatori e induttori parassiti o

eventualmente inseriti per caricare l'antenna.

Per questo motivo la resistenza ; viene tipicamente scomposta come: ; = ;= + ;Zabb (2.19)

dove:

;Zabb è la resistenza ohmica dell'antenna dovuta ai conduttori non perfetti

;= è la resistenza di radiazione

12

La ;= e la 3 sono legate al vettore di Poynting e descrivono le potenze attive e reattive dei campi

elettromagnetici irradiati dall'antenna. Vengono ottenuti matematicamente imponendo queste

uguaglianze:

= = ∮ = ∙ / = ;= da cui ;= = S|J9|[ (2.20)

=O` = ∮ H ∙ / = 12102 da cui = Sr|J9|[ (2.21)

con

= = ; _c la potenza attiva o media del vettore di Poynting nella direzione di propagazione

=O` = _c la potenza reattiva del vettore di Poynting nella direzione di propagazione

= 01?@∗ il fasore del vettore di Poynting dei campi irradiati (o incidenti) valutati nella regione di

campo lontano (in generale r > 2D2/λ con D la dimensione massima dell'antenna ma per le antenne filari

vale anche r≫λ/2π ovvero ≫ 1)

la corrente di ventre (massima) lungo l'antenna.

;Zabb è invece valutata considerando la resistenza ohmica della struttura.

Per evidenziare che questo tipo di impedenza è calcolata rispetto al valore di corrente massima alcuni

testi si avvalgono di questa notazione ;= = ; e = dove m sta per maximum current. L'antenna

in questo caso è rappresentata dal seguente bipolo elettrico a cui è applicato una tensione 1,

attraversato appunto dalla corrente di ventre .

Fig. 2.4 Circuito equivalente di un'antenna valutata attraverso la sua impedenza d'antenna.

in questo modo la potenza dissipata su ;= è pari a quella irradiata (per definizione), quella dissipata

su ;Zabb è pari alla potenza persa per effetto joule e quella su è pari (sempre per definizione) alla

potenza reattiva scambiata con il generatore. Valutiamo più in dettaglio queste potenze:

1 = 1∗ ma poiché 1 = | allora 1 =

| = ;= + ;Zabb + 3 [VA]

;1 = 12 ;/ + ;I102 == + Zabb [W]

1 = 12102 = =O` [VAR] (2.22)

da cui 1 = = + Zabb + 3=O` [VA]

Per un dipolo di lunghezza l generico si può dimostrare che ([10], pag. 156):

= = ∮ = ∙ / = 4 |J9|[TU Y ]`abyR9q[ VWX26`abyR9q[ ^[b2 /<U (2.23)

l'integrale (2.23) è risolvibile solo per via numerica,

può scrivere [11]:

;= = 30w2 2 cos cos 30_ ]g y Z/

89[ 2dove:

E Y 6VWX

e /

E Y Xop

e /

E Y VWX

e /

g 0,5772. .. costante di Eulero

Normalmente ;Zabb è calcolata impiegando

;Zabb U¡¢ con £ 1/A

dove:

£ = profondità di penetrazione della corrente

= raggio del conduttore

¤= conduttività del materiale con cui è realizzato il conduttore

l = lunghezza del filo

Riportiamo di seguito il grafico delle

Fig. 2.5 Resistenza di radiazione

Fig. 2.6 Resistenza di perdita ;Zabb per unità di lunghezza in funzione della

13

è risolvibile solo per via numerica, tuttavia con opportune manipolazioni

cos2 2 sin sin2x 2 2^ HI 2 2

è calcolata impiegando questa formula [9]:

A"¥B¤

profondità di penetrazione della corrente dovuta all'effetto pelle

con cui è realizzato il conduttore (per il rame 5,8 x 10

le funzioni ;=, ;Zabb e 3 appena calcolate:

esistenza di radiazione ;= in funzione della lunghezza l del dipolo ([10], pag.158).

per unità di lunghezza in funzione della profondità di penetrazione

tuttavia con opportune manipolazioni matematica si

x (2.24) 2c (2.25)

(2.26)

(per il rame 5,8 x 107 S/m)

([10], pag.158).

profondità di penetrazione £ e del raggio a ([9], pag. 144).

Fig. 2.7 Reattanza d'antenna

Si noti come per valori prossimi a l = n

questo senso l'antenna può essere assimilata ad un

Le due rappresentazioni, quella con

evidentemente correlate poiché 1J;1J ;1 e 1J da cui

;

;= ;Zabb e

Dalla distribuzione di corrente del dipolo

seguente relazione:

|J~v||Xop89Z ⁄ |

dove:

l = la lunghezza del dipolo

k0 = costante di propagazione nel vuoto pari a

Se la lunghezza totale l è uguale a

proprio alla corrente d' ingresso corrente nel punto di alimentazione.

In questo caso si può facilmente ricavare

; ;= ;Zabb

pertanto | | ;= ;Zabb

valori tipici per l = λ/2 (n=1) sono ;=

14

d'antenna 3 in funzione della lunghezza l e del raggio a ([10], pag. 412)

l = n λ/2 con n=1,2,3... la reattanza d'antenna

questo senso l'antenna può essere assimilata ad un circuito risonante LC parallelo.

quella con l'impedenza d'antenna e quella con l'impedenza d'ingresso

1, pertanto:

1

e

corrente del dipolo alimentato al centro, equazione (2.3),

costante di propagazione nel vuoto pari a 2π/λ

n λ/2 con n=1,3,5,7....(valori DISPARI) allora la corrente

e infatti la distribuzione di corrente presenta sempre un ventre di

punto di alimentazione.

In questo caso si può facilmente ricavare:

3

= 73Ω, ;Zabb/ 1,25Ω/m e =42,5Ω

([10], pag. 412).

d'antenna tende ad annullarsi, in

LC parallelo.

l'impedenza d'antenna e quella con l'impedenza d'ingresso sono

(2.27)

(2.28)

alimentato al centro, equazione (2.3), per z'=0 si ricava la

(2.29)

allora la corrente corrisponde

ente presenta sempre un ventre di

(2.30)

Ω

Viceversa per dipoli di lunghezza n

n=1,3,5,7....(valori DISPARI) la corr

pertanto § e anche la |≠ |

Fig. 2.8 Un esempio di distribuzione di corrente nel caso di

sfruttando la relazione (2.29) e considerando

; :Sj:qsttXop[89Z ⁄

¨©Xop[89Z ⁄

pertanto | :Sj:qsttXop[89Z ⁄ 3 ¨©

Xop[89Z ⁄

Riportiamo graficamente le funzioni

lunghezza l alimentato al centro realizzato con filo metallico di raggio

Fig. 2.9 Resistenza d'ingresso

15

n λ/2 con n=2,4,6,8.... (valori PARI) o più in generale

rente può assume una distribuzione come

distribuzione di corrente nel caso di l ≠ λ/2 (in questo caso l > λ

considerando l'uguaglianza 1J 1 si ottiene:

funzioni di ;e a confronto con quelle di ;=realizzato con filo metallico di raggio a.

d'ingresso ª«¬ a confronto con quella d'antenna ª­ ª®¯° ([10], pag. 411).

in generale per l ≠ n λ/2 con

assume una distribuzione come nella seguente figura,

λ/2) ([10], pag. 160).

(2.31)

(2.32)

= e per un dipolo di

([10], pag. 411).

Fig 2.10 Reattanza d'ingresso a confronto con quella d'antenna

Si noti dalla figura 2.9 come per l = n

all'infinito. In questo caso, infatti, la distribuz

dell'alimentazione.

In conclusione, per le valutazioni di potenze,

d'antenna è necessario impiegare la

allora è importante impiegare la . La potenza dissipata sull'impedenza d'antenna deve essere sempre

uguale a quella dissipata sull'impedenza d'ingresso. Poiché nel caso del dipolo le correnti

risultano correlate fra loro allora risulteranno correlate anche le due impedenze in base alle equazioni

(2.31) e (2.32).

Anche il generatore normalmente è modellato secondo un circuito equivalente

Thévenin si può sempre ottenere un circuito come il seguente:

Fig. 2.11 Circuito equivalente secondo

Quando colleghiamo il circuito equivalente del generatore a q

dell'antenna si possono studiare importanti

16

nto con quella d'antenna per un determinato valore di

l = n λ/2 con n=2,4,6,8.... (valori PARI) la resistenza

all'infinito. In questo caso, infatti, la distribuzione di corrente presenta un nodo in corrispondenza

per le valutazioni di potenze, se caratterizziamo il sistema radiante

d'antenna è necessario impiegare la mentre se si caratterizza l'antenna con l'

. La potenza dissipata sull'impedenza d'antenna deve essere sempre

uguale a quella dissipata sull'impedenza d'ingresso. Poiché nel caso del dipolo le correnti

risultano correlate fra loro allora risulteranno correlate anche le due impedenze in base alle equazioni

Anche il generatore normalmente è modellato secondo un circuito equivalente. Applicando

ere un circuito come il seguente:

ircuito equivalente secondo Thévenin del generatore.

uando colleghiamo il circuito equivalente del generatore a quello dell'impedenza d'ingresso

importanti conseguenze in termini di potenza.

per un determinato valore di raggio a ([10], pag. 411).

la resistenza d'ingresso tende

ione di corrente presenta un nodo in corrispondenza

il sistema radiante in base all'impedenza

con l'impedenza d'ingresso

. La potenza dissipata sull'impedenza d'antenna deve essere sempre

uguale a quella dissipata sull'impedenza d'ingresso. Poiché nel caso del dipolo le correnti e

risultano correlate fra loro allora risulteranno correlate anche le due impedenze in base alle equazioni

. Applicando il teorema di

uello dell'impedenza d'ingresso

17

Fig. 2.12 Circuito equivalente secondo Thévenin del generatore collegato all'impedenza d'ingresso dell'antenna.

In questo caso la dovrà tener conto della presenza della |± e la 1 dipenderà dalla tensione del

generatore secondo la regola del partitore, pertanto avremo:

@²³1²j³1~v (2.33)

1 1± ³1~v³1²j³1~v (2.34)

definiamo le seguenti grandezze:

1± 1±

∗ |± | ´ @²

³1²j³1~v´ la potenza erogata dal generatore

1± |± ´

@²³1²j³1~v´

la potenza disponibile al generatore

1 1

∗ | ´

@²³1²j³1~v´

la potenza dissipata (e quindi in parte irradiata) dall'antenna

Affinché la 1 sia la più alta possibile si dovrà fare in modo che |± |∗ o equivalentemente che

| |±∗ in base alla possibilità che si ha di intervenire sull'antenna o sul generatore.

In questi casi:

;1 12;1± = ;1± 1 = 1± (2.35)

1± = 0

In altre parole la potenza attiva dissipata sull'antenna (quindi su ;) è la metà di quella attiva dissipata

dal generatore (quindi su ;± e ;) e pari alla potenza attiva disponibile al generatore (ovvero dissipata

solo su ;±). La potenza reattiva dissipata sull'antenna (quindi su ) è esattamente uguale alla potenza

reattiva dissipata sul generatore (quindi su ±) mentre la potenza reattiva erogata dal generatore è nulla.

Questa condizione è chiamata di massimo trasferimento di potenza .

Perché l'antenna dissipi una determinata potenza attiva ;1 è necessario che il generatore ne eroghi

almeno il doppio. In altri termini perché sull'antenna ci sia un determinato valore di è necessario

fornire una tensione 1± maggiore della 1. Inoltre non tutta la potenza attiva dissipata su ; è irradiata.

A tal proposito è definita l'efficienza di radiazione:

4 ≜ = ;1 = ;= ;⁄⁄ = ;Zabb = = ;1¶ (se = ) 4 = ;= ;⁄ (2.35b)

18

Normalmente l'impedenza equivalente del generatore è puramente reale |± ;±, pertanto il massimo

trasferimento di potenza sarà garantito con | puramente reale, ovvero | ; ;±.

In base a queste valutazioni è evidente come per un qualsiasi sistema radiante si cerchi sempre di

rendere la resistenza d'ingresso dell'antenna il più possibile uguale a quella del generatore e di annullare

la parte reattiva dell'antenna.

Dal grafico dell'impedenza d'antenna (figura 2.5 e 2.7) si può facilmente evidenziare che prendendo il

dipolo un po' più lungo o un po' più corto (a seconda dei casi) della sua lunghezza complessiva l = n λ/2

si tende in generale ad annullare la parte immaginaria e quindi la reattanza d'ingresso del dipolo. La

quantità da accorciare o allungare dipende da numerosi fattori come la struttura fisica dell'antenna, la

presenza di ostacoli, il materiale impiegato e lo spessore del filo. Per questo motivo il dipolo è spesso

"accordatato" sperimentalmente accorciando o allungano gli estremi dei bracci direttamente sul luogo di

installazione misurando la sua impedenza d'ingresso. Basterà ripiegare su se stesso il filo per renderlo

ininfluente ai fini della propagazione e quindi rendere di fatto il dipolo più corto oppure riaprirlo per

allungarlo. Per questi motivi lo studio delle reattanza in letteratura viene spesso omesso e si concentra

solo sulla Resistenza d'antenna e sulla Resistenza d'ingresso.

Si può facilmente ricavare che prendendo un dipolo lungo complessivamente circa 0,48λ (invece di λ/2) si

ottiene una resistenza di radiazione ;= di circa 70 Ω (praticamente invariata rispetto a λ/2 quando era

73 Ω) e una reattanza d'antenna prossima allo zero 0 (prima era di 42,5 Ω). Dal momento che

(anche se per poco) non è più rispettata la condizione l = n λ/2 con n=1,3,5,7.... allora | ≠ |. Per

valutare l'impedenza d'ingresso possiamo sfruttare la formula (2.31) imponendo:

;= = 70Ω e ;Zabb = 0Ω (conduttori ideali)

possiamo ottenere:

; = ·Xop[,T¸U = 72Ω (2.36)

Questi valori risultano particolarmente adatti per essere collegati ai moderni generatori che normalmente

presentano una resistenza equivalente secondo Thévenin ;± standardizzata di 50 o 75 Ω.

Analogamente se consideriamo un dipolo 1,05λ (invece di 2λ/2 = λ) si ottiene una resistenza di

radiazione ;= di circa 180 Ω (praticamente invariata rispetto a λ quando era 200 Ω) e una reattanza

d'antenna prossima allo zero = 0 (prima era di 100 Ω). Dal momento che non è rispettata la

condizione l = n λ/2 con n=1,3,5,7.... (in questo caso non lo sarebbe stato nemmeno per l= λ) allora

| ≠ |. Per valutare l'impedenza d'ingresso possiamo sfruttare la formula (2.31) imponendo:

;= = 180Ω e ;Zabb = 0Ω (conduttori ideali)

possiamo ottenere:

; = ¸Xop[,¹U = 7.500Ω (2.37)

Un valore di impedenza d'ingresso così elevato è praticamente impossibile da adattare al generatore.

Z1» = 70 + j0 Ω Z1 op =72 + j0 Ω per l=0,48λ

Z1» = 180 + j0 Ω Z1op =7.500 + j0 Ω per l=1,05λ

19

Questo è uno dei motivi perché viene maggiormente impiegato proprio il dipolo λ/2 rispetto ad altre

configurazioni.

Queste stesse considerazioni erano possibili anche valutando la figura 2.9 dalla quale si può facilmente

osservare come per l = n λ/2 con n=1,3,5,7.... l'impedenza d'ingresso risulta prossima a quella di

radiazione, quindi facilmente adattabile, mentre per l = n λ/2 con n=2,4,6,8.... l'impedenza d'ingresso

risulta molto alta, teoricamente infinita. Questa proprietà ha un interpretazione biunivoca: un'antenna a

dipolo, alimentato al centro, presenterà al trasmettitore un' impedenza d'ingresso molto alta (dell'ordine

di qualche kΩ) se:

- fissato λ si realizza un'antenna di lunghezza l = n λ/2 con n=2,4,6,8....

- fissato l applico all'antenna una frequenza tale che λ=2l/n con n=2,4,6,8....

viceversa un'antenna a dipolo, alimentato al centro, presenterà al trasmettitore un' impedenza d'ingresso

bassa (prossima a 73 Ω) se:

- fissato λ si realizza un'antenna di lunghezza l = n λ/2 con n=1,3,5,7....

- fissato l applico all'antenna una frequenza tale che λ=2l/n con n=1,3,5,7....

I casi in cui l è fissato ma varia la lunghezza d'onda e quindi la frequenza applicata sono studiati per la

sintesi delle antenne multibanda.

Imponiamo l = λ0/2 con λ0 definita come lunghezza d'onda fondamentale (equivalentemente definiamo

una frequenza fondamentale f0=c/λ0 dove c è la velocità della luce), il dipolo presenterà al trasmettitore

un' impedenza d'ingresso molto alta (dell'ordine di qualche kΩ) se λ=2l/n con n=2,4,6,8.... imponendo la

condizione iniziale si ottiene:

λ= λ0/n ovvero f =nf0 con n=2,4,6,8.... (2.38)

quindi il dipolo risulterà scarsamente adattato per tutte quelle frequenze pari rispetto alla fondamentale

(queste frequenze sono usualmente chiamate armoniche pari )

Viceversa il dipolo presenterà al trasmettitore un' impedenza d'ingresso bassa (prossima a 73 Ω) se

λ=2l/n con n=1,3,5,7.... imponendo la condizione iniziale si ottiene:

λ= λ0/n ovvero f =nf0 con n=1,3,5,7.... (2.39)

quindi il dipolo risulterà adattato per tutte quelle frequenze dispari rispetto alla fondamentale (queste

frequenze sono usualmente chiamate armoniche dispari )

In altre parole per le armoniche pari il dipolo risulterà lungo l = n λ/2 con n=2,4,6,8.... quindi scarsamente

adattato mentre per le armoniche dispari risulterà l = n λ/2 con n=1,3,5,7....con un impedenza d'ingesso

costante e prossima ai 73 Ω.

In realtà, come si può facilmente vedere dal grafico di figura 2.5, anche per le armoniche dispari

l'impedenza d'ingresso tenderà ad avere una certa variabilità in frequenza poiché la resistenza di

radiazione tende ad aumentare al crescere di l/λ. Questo è facilmente intuibile se si considera che la

potenza irradiata da un dipolo dipende dalla sua lunghezza: più il dipolo è lungo (rispetto alla lunghezza

d'onda applicata), più sarà alta la sua efficienza di radiazione e quindi la sua impedenza d'antenna.

Tipicamente per n > 7 (con n dispari) l'antenna perde comunque l'adattamento e diventa inutilizzabile.

Di seguito riportiamo la distribuzione del modulo delle correnti

armoniche pari (parte superiore) e con

Fig. 2.13 Distribuzione di corrente lungo

Si noti come tutte le armoniche dispari presentano un ventre di corrente nel punto di alimentazione

centrale mentre quelle pari sempre un nodo.

In conclusione se un dipolo alimentato al centro risulta

presenterà una bassa resistenza

resistenza d'ingresso per 2f0, 4f0, 8f

armoniche dispari e 180 Ω per le armoniche pari

le armoniche pari a 7,5 kΩ per quelle dispari.

Come visto all'inizio del capitolo, se è rispettata la condizione

punto di alimentazione del dipolo non pregiudica la distribu

essenzialmente quella di un dipolo alimentato al centro.

Sfruttando questa proprietà si possono ottenere due distinti effetti:

1) un dipolo λ0/2 che per la frequenza fondamentale permette di avere un

maggiore di 73 Ω e variabile con continuità fino a qualche

2) un dipolo a λ0/2 che presenta una

anche per le armoniche pari (antenna windom multibanda)

Valutiamo il caso 1)

Nel primo caso si sposta il punto di alimentazione in modo da allontanarsi dal ventre

frequenza fondamentale.

20

Di seguito riportiamo la distribuzione del modulo delle correnti per un dipolo

con armoniche dispari (parte inferiore).

Distribuzione di corrente lungo un dipolo, per armoniche pari (sopra) e armoniche dispar

iche dispari presentano un ventre di corrente nel punto di alimentazione

centrale mentre quelle pari sempre un nodo.

In conclusione se un dipolo alimentato al centro risulta avere a f0 una bassa resistenza d'ingresso allora

presenterà una bassa resistenza d'ingresso anche per 3f0, 5f0 e 7f0 mentre presenterà un elevata

f0 , ecc... la resistenza di radiazione si attesterà attorno ai 70

per le armoniche pari mentre l'impedenza d'ingresso andrà da

per quelle dispari.

se è rispettata la condizione l1 + l 2 = l = n λ/2 con

punto di alimentazione del dipolo non pregiudica la distribuzione delle correnti che rimane

essenzialmente quella di un dipolo alimentato al centro.

Sfruttando questa proprietà si possono ottenere due distinti effetti:

la frequenza fondamentale permette di avere un

e variabile con continuità fino a qualche kΩ (antenna windom originale)

che presenta una bassa impedenza d'ingresso (attorno a qualche centinaio

(antenna windom multibanda)

Nel primo caso si sposta il punto di alimentazione in modo da allontanarsi dal ventre

per un dipolo alimentato al centro con

armoniche dispari (sotto).

iche dispari presentano un ventre di corrente nel punto di alimentazione

una bassa resistenza d'ingresso allora

mentre presenterà un elevata

zione si attesterà attorno ai 70 Ω per le

mentre l'impedenza d'ingresso andrà da circa 72 Ω per

con n=1,2,3... cambiare il

zione delle correnti che rimane

la frequenza fondamentale permette di avere un'impedenza d'ingresso

(antenna windom originale)

(attorno a qualche centinaio di ohm)

Nel primo caso si sposta il punto di alimentazione in modo da allontanarsi dal ventre di corrente della

21

In questo modo si ottiene che § e quindi | § | come è rappresentato nella seguente figura:

Fig. 2.14 Impedenza d'ingresso per un dipolo alimentato al centro (a sx) e uno alimentato fuori centro (a dx).

Dalla distribuzione di corrente del dipolo off-center (2.2) si ricava per z'=0 la seguente relazione:

|J~v||Xop89Z\| (2.40)

dove:

k0 = costante di propagazione nel vuoto pari a 2π/λ

l1 = lunghezza del braccio più corto (short end)

imponendo l'uguaglianza 1J 1 si ottiene:

; :Sj:qsttXop[89Z\ (2.41)

¨©Xop[89Z\ (2.42)

pertanto | :Sj:qsttXop[89Z\ 3 ¨©

Xop[89Z\

se il dipolo è stato accorciato in modo che la parte reattiva dell'impedenza d'antenna sia nulla 0 allora:

cambiando la lunghezza del braccio è possibile cambiare la resistenza d'ingresso in modo da ottenere il

valore desiderato comunque sempre maggiore del valore di minima impedenza per = ½/4 ovvero

= con l = λ/2 quando | = ; = ;= + ;Zabb ≈ 73Ω.

Questa approccio è quello che originariamente Windom sfruttò quando costruì questa antenna per

adattare l'impedenza d'ingresso del dipolo λ/2 al suo trasmettitore.

Nel caso di alimentazione a singolo filo, come per l'antenna studiata da Everitt, si dovrà tener conto

anche dell'impedenza caratteristica del feeder, da [7] si ricava:

| ≈ ; = ³9[:~v cos yUZ[Z (2.44)

dove: | è l'impedenza caratteristica del feeder (valori tipici sono compresi fra i 500 e i 700Ω)

l2 = lunghezza del braccio più lungo (long end)

Valutiamo il caso 2)

Nel secondo caso il dipolo è impiegato come antenna multibanda in modo da presentare una bassa impedenza

d'ingresso (attorno a qualche centinaio di ohm) anche per le armoniche pari rispetto alla fondamentale.

In questo caso, invece di allontanarsi dal ventre di corrente, si dovrà far in modo che per le armoniche

pari il punto di alimentazione sia proprio in corrispondenza dei massimi di corrente così che la torni

| = ; = ;= + ;Zabbsin = ;= + ;Zabbsin"

(2.43) [Ω]

22

ad essere quella di ventre e l'impedenza d'ingresso tenda a diminuire e a tornare prossima a quella di

radiazione. Tuttavia, come si può facilmente intuire dalla figura 2.13, non esiste, come per le armoniche

dispari, un punto univoco in cui ogni frequenza presenta un ventre di corrente. Ad esempio se

consideriamo 2f0 il ventre sarà intorno a λ0/4 dagli estremi, invece per 4f0 un possibile ventre sarà a λ0/8

dagli estremi in corrispondenza del quale la corrente della seconda armonica inizia a scendere verso

zero. Sarà allora necessario trovare un compromesso cercando quel punto che risulti comune a tutte le

armoniche e sia il più possibile vicino ai rispettivi massimi. La scelta del punto di alimentazione risulta

pertanto arbitraria e questo spiega le innumerevoli versioni e aggiustamenti che negli anni i vari

radioamatori hanno apportato a questa antenna. Di seguito proponiamo lo studio relativo all'antenna

FD4 che risulta la windom più usata in ambito radioamatoriale. La frequenza fondamentale sulla quale è

dimensionato il dipolo è f0=3,6 MHz (circa 80m). Valutando la distribuzione delle correnti per le

armoniche pari si può facilmente ottenere [12]:

Fig. 2.15 Distribuzione di corrente per le varie armoniche su un tratto di dipolo ([12], pag.65 )

Uno dei punti vicini al massimo che "intercetta" gran parte di queste armoniche risulta essere posto (come

indicato in figura 2.15) a circa il 33,3% della lunghezza totale. In questo punto passano oltre alla corrente

di f0=3,6 MHz le correnti delle armoniche 2f0=7,2 MHz, 4f0=14,4 MHz, 8f0=28,8 MHz mentre risulta nulla la

corrente di 6f0=21,6MHz. Si noti come anche le correnti di 5f0=18 MHz e 7f0=25,20 MHz risultano in modulo

avere lo stesso valore delle armoniche pari. Questo ovviamente non è casuale ma è legato al fatto che

l'antenna è stata progettata per coprire esattamente le frequenze di centro banda delle varie porzioni di

spettro elettromagnetico che l'ITU ha assegnato ai radioamatori a livello internazionale. In pratica è stata

sacrificata la banda 6f0=21,6 MHz per far posto alle armoniche dispari per le quali il classico dipolo

alimentato al centro sarebbe risultato già adattato senza impiego dell'off-center. Per valutare l'impedenza

d'ingresso su ogni banda d'impiego si potrebbe pensare di adottare l'espressione (2.43) sostituendo ad

ogni frequenza il valore di ;=, ;Zabb e di λ o l corrispondente. Tuttavia l'approssimazione iniziale sulla

distribuzione di corrente, la presenza di conduttori non infinitamente sottili limita la validità di questa

relazione solo ai dipoli con l1 + l 2

lunghezza d'onda, quindi per le armoniche

fenomeni di autoinduzione, fino a questo momento

corrente e quindi la potenza irradiata

calcolo dell'impedenza d'ingresso diventa

self-impedance. La sua stima è ottenuta

di numerosi articoli scientifici. A tal proposito ricordiamo

statunitense Ronold Wyeth Percival King

proposta un'approssimazione trigonometrica delle correnti per

[15]. Questo studio è spesso citato come

metodiche di stima dell'impedenza d'ingresso di dipoli asimmetrici

Gli effetti dell'alimentazione off-center

dall'ingegnere elettrico Joseph H. Pierluissi

per un dipolo di lunghezza λ al variare

Fig. 2.16 Distribuzioni di corrente per un dipolo di lunghezza

Senza approfondire queste complesse pratiche presenterem

con buona approssimazione l'impedenza d'ingresso

conduttore è circa 10-5 λ, ponendo ;l'antenna è stata progettata. Sperimentalmente si può dimostrare che per ottenere con buona

approssimazione l'andamento reale della resistenza di radiazione

andamento ideale. Un modo molto semplice è quello di

mx + q) passante per i valori che la funzione

mostrato nella seguente figura.

Fig. 2.17 Approssimazione della ;=23

2 = λ/2 (ovvero solo per n=1). Quando il dipolo

, quindi per le armoniche superiori, la distribuzione di corrente è influenzata da

, fino a questo momento ignorati, che ne modificano in parte

potenza irradiata con importanti ripercussioni anche sulla resistenza di radiazione.

diventa improponibile analiticamente e assume il significato più ampio di

è ottenuta tipicamente per via numerica e negli anni passati

A tal proposito ricordiamo lo studio presentato

Ronold Wyeth Percival King e dall'allora suo allievo Tai Tsun W

trigonometrica delle correnti per un dipolo alimentato in un punto arbitrario

sto studio è spesso citato come King-W Theory e usualmente viene preso come riferimento per

'impedenza d'ingresso di dipoli asimmetrici (vedi ad esempio

center sono stati studiati, applicando la King

Joseph H. Pierluissi. Riportiamo di seguito le varie distribuzioni

al variare di H (distanza del punto di alimentazione da

istribuzioni di corrente per un dipolo di lunghezza λ al variare del punto di alimentazione

Senza approfondire queste complesse pratiche presenteremo di seguito un metodo empirico per ottenere

l'impedenza d'ingresso di una antenna windom

;Zabb 0 ed esclusivamente in corrispondenza delle armoniche

Sperimentalmente si può dimostrare che per ottenere con buona

della resistenza di radiazione ;= basta "appiattire"

. Un modo molto semplice è quello di approssimare il grafico di figura 2.5 con una

la funzione assume in corrispondenza delle armoniche dispari

= ideale con una retta passante per i valori assunti d

uando il dipolo è più lungo di mezza

la distribuzione di corrente è influenzata da complessi

in parte la distribuzione di

la resistenza di radiazione. Il

assume il significato più ampio di

tipicamente per via numerica e negli anni passati è stata oggetto

presentato nel 1965 dal fisico

Tai Tsun W u, con il quale veniva

imentato in un punto arbitrario

preso come riferimento per le

ad esempio [16] e [17]).

King-W Theory, nel 1971

stribuzioni di corrente ottenute

(distanza del punto di alimentazione dall'origine) [18].

al variare del punto di alimentazione ([18], pag. 549).

i seguito un metodo empirico per ottenere

di una antenna windom quando il raggio a del

in corrispondenza delle armoniche per cui

Sperimentalmente si può dimostrare che per ottenere con buona

"appiattire" verso il basso il suo

di figura 2.5 con una retta (y =

ndenza delle armoniche dispari come

dalle armoniche dispari.

24

Ponendo ;= 27 · /½ + 60, ;Zabb = 0 e l = n λ/2 la (2.43) può essere riscritta nel seguente modo:

(2.45)

dove:

n = 1,2,3,4... è l'indice dell'armonica per la quale si desidera calcolare l'impedenza d'ingresso

l1 = lunghezza del braccio più corto (short end)

l = l 1 + l 2 ovvero la lunghezza complessiva dell'antenna

Si noti come per n=1 la (2.45) assume numericamente lo stesso valore della (2.43) ponendo in quest'ultima

;Zabb = 0 e ;= = 73,5Ω, ovvero il valore della resistenza di radiazione per la frequenza fondamentale f0.

La relazione (2.45) ha un significato solo indicativo poiché oltre ad essere derivata da una grossolana

approssimazione della resistenza di radiazione è valida solo quando l'antenna è in spazio libero e ha i

bracci allineati. La maggior parte dei casi pratici prevede invece la presenza di un piano di terra e spesso

l'installazione in configurazioni speciali atte a modificarne il diagramma di radiazione come ad esempio

quella a "V rovesciata" che verrà introdotta nel prossimo paragrafo.

2.1.3 Diagrammi di radiazione

L'antenna windom è solitamente impiegata come sistema radiante in comunicazioni radioamatoriali a

grande distanza che sfruttano unicamente la riflessione della ionosfera per superare la curvatura

terrestre. In questi casi l'estrema dipendenza da fattori aleatori come ad esempio la radiazione solare, le

condizioni meteorologiche e quelle geomagnetiche, che influenzano pesantemente le proprietà riflessive

della ionosfera, non permettono di predire con precisione in che punto della superficie terrestre l'onda

verrà ritrasmessa. Pertanto il diagramma di radiazione di queste antenne non rappresenta un parametro

particolarmente stringente poiché non può rimuovere l'aleatorietà intrinseca del sistema.

In pratica avere un lobo con una certa inclinazione non permette di collegare una particolare zona di

interesse piuttosto che un'altra. Non a caso questo tipo di collegamenti è chiamato in gergo

radioamatoriale DX dove "D" stà per distance e "X" per unknown.

Vedremo tuttavia come è possibile attraverso particolari configurazioni fare in modo che la riflessione da

parte della ionosfera venga in parte favorita.

Fig. 2.18 Principio della riflessione da parte della ionosfera terrestre.

| = ; = 13,5 + 60sin y"

[Ω]

Se l'antenna windom viene impiegata solo p

trasmettitore e quindi utilizzata solo sulla frequenza fondamentale è evidente come il diagramma di

radiazione rimanga praticamente uguale a quello del classico dipolo a

caso infatti la distribuzione di corrente

Non si può dire altrettanto se la windom è

gran lunga l'impiego più comune.

determinato diagramma di radiazione.

legata al fatto che per le armoniche

lunga dei canonici λ/2. Infatti, trascurando il termine

per tutte le armoniche comprese eventualmente anche quelle dispari.

radiazione per un'antenna filare dipende dalla lunghezza

l'aumentare della frequenza vi sarà sicuramente

conseguente nascita di lobi secondari

Riportiamo di seguito la variazione del diagramma di radiazione

dipolo λ/2 posto in verticale e alimentato al centro

Fig. 2.19 Diagramma di radiazione sul piano verticale

Dalla valutazione del diagramma di radiazion

l'asse z) così come questa antenna è stata studiata

irraggiamento efficiente di potenza verso la ionosfera. Per questo l'antenna windom è impiegata

normalmente in orizzontale in modo che il lobo di radiazione

configurazione risulta di particolare importanza

25

Se l'antenna windom viene impiegata solo per adattare l'impedenza d'ingresso

solo sulla frequenza fondamentale è evidente come il diagramma di

praticamente uguale a quello del classico dipolo a λ/2 alimentato al centro.

la distribuzione di corrente è la medesima.

se la windom è utilizzata come antenna multibanda,

. In questo caso sarà necessario considerare per ogni

determinato diagramma di radiazione. La variabilità della densità angolare di potenza

per le armoniche (quindi esclusa la frequenza fondamentale)

trascurando il termine n=1, avremo l = n λ/2 con

per tutte le armoniche comprese eventualmente anche quelle dispari. Dal momento che

dipende dalla lunghezza elettrica del dipolo

vi sarà sicuramente un aumento della direttività

secondari.

la variazione del diagramma di radiazione in funzione del

posto in verticale e alimentato al centro da [10], pag. 154-155.

sul piano verticale (in spazio libero) per un dipolo alimentato al centro

Dalla valutazione del diagramma di radiazione è evidente come l'impiego in verticale (ovvero lungo

l'asse z) così come questa antenna è stata studiata fino a questo momento

irraggiamento efficiente di potenza verso la ionosfera. Per questo l'antenna windom è impiegata

orizzontale in modo che il lobo di radiazione principale sia diretto verso l'alto

configurazione risulta di particolare importanza il piano di terra che comporta una variazione

l =1,25 λ

d'ingresso del dipolo a quella del

solo sulla frequenza fondamentale è evidente come il diagramma di

alimentato al centro. In questo

come antenna multibanda, che oggi rappresenta di

considerare per ogni banda un

della densità angolare di potenza con la frequenza è

esclusa la frequenza fondamentale) l'antenna risulta più

con n=2,3,4,5.... quindi l > λ/2

al momento che il diagramma di

del dipolo è evidente che con

un aumento della direttività deteriorato tuttavia dalla

in funzione della lunghezza l di un

alimentato al centro di lunghezza l .

e è evidente come l'impiego in verticale (ovvero lungo

a questo momento, non consente un

irraggiamento efficiente di potenza verso la ionosfera. Per questo l'antenna windom è impiegata

sia diretto verso l'alto. In questa

una variazione sostanziale

l =1,25 λ

del diagramma di radiazione e quindi della

verrà, a seconda dell'altezza d'impiego, ad essere modificata.

la parte reale e la parte immaginaria dell'impedenza d'

alimentato al centro) di un dipolo λ/2

Fig. 2.20 Impedenza d'ingresso | di un dipolo posto in orizzontale

Per favorire la riflessione da parte della

elevazione (rispetto alla linea di orizzonte)

angoli di incidenza sulla ionosfera fra gli 80°

del diagramma di radiazione viene "schiacciato" verso terra

configurazione a "V rovesciata" o inverted V

Fig. 2.21 Due tipi di installazione

(a)

(b)

26

e quindi della potenza irradiata. Di conseguenza la resistenza di radiazione

a seconda dell'altezza d'impiego, ad essere modificata. Riportiamo di seguito un grafico che valuta

la parte reale e la parte immaginaria dell'impedenza d'ingresso e quindi dell'impedenza d'antenna (

posto orizzontalmente al terreno ad un'altezza

un dipolo posto in orizzontale valutata per diverse altezze e tipi di terreno

la riflessione da parte della la ionosfera è auspicabile irradiare il campo con

la linea di orizzonte) compreso fra i 10° e i 30° che corrispondo

fra gli 80° i 60° [13]. Per rispettare questa condi

viene "schiacciato" verso terra ponendo il dipolo nella

inverted V come mostrato in figura:

installazione del dipolo: (a) tradizionale, (b) a "V rovesciata" ([13], pag. 152).

. Di conseguenza la resistenza di radiazione

Riportiamo di seguito un grafico che valuta

ingresso e quindi dell'impedenza d'antenna (poichè

ad un'altezza h dal suolo:

valutata per diverse altezze e tipi di terreno ([10], pag. 181).

irradiare il campo con un angolo di

che corrispondo rispettivamente ad

[13]. Per rispettare questa condizione il lobo principale

il dipolo nella così detta

([13], pag. 152).

2.2 Il balun d'antenna

Anche se la windom non presenta una struttura simmetrica rispetto al punto di alimentazione

non è pienamente rispettato l'equilibrio delle correnti fra i ter

elettrico è comunque assimilabile ad

medesime condizioni di potenziale

hanno quindi un conduttore collegato a terra

- unbalanced) ovvero un dispositivo in grado di simmetrizzare le tensioni

single-ended in ingresso. Questa necessi

per mezzo di strutture sbilanciate come i

collegamento a massa del conduttore più esterno chiamato anche schermo o calza del co

Quando un cavo di questo tipo viene collegato, senza l'impiego del

possono nascere condizioni indesiderat

esterna della calza del cavo coassiale

irradiazione non voluti che possono influire

radiazione. Di seguito una rappresentazione

con relativo circuito elettrico equivalente.

Fig. 2.22 Schema delle correnti per un antenna a dipolo alimentata senza

Dalla figura 2.22 è facile intuire come lo schermo del coassiale for

per la corrente applicata dal generatore all'ingresso del cavo (

dell'antenna (I4) e in parte viene dispersa a massa (

In origine l'impiego del balun era scongiurato con l'alimen

trasmissione a piattina (twin-lead) dette anche a

bilanciate (se correttamente alimentate) pre

caratteristica confrontabile con quella d'ingresso di questo particolare tipo di antenna (circa 300

Infatti nel caso del cavo coassiale il

(a)

27

windom non presenta una struttura simmetrica rispetto al punto di alimentazione

non è pienamente rispettato l'equilibrio delle correnti fra i terminali di alimentazione,

assimilabile ad una struttura bilanciata. Infatti i bracci dell'antenna si trovano nelle

rispetto al piano di terra. L'alimentazione con linee sbilanciate, c

hanno quindi un conduttore collegato a terra, è possibile solo attraverso l'impiego di un

un dispositivo in grado di simmetrizzare le tensioni di uscita

in ingresso. Questa necessità nasce solo recentemente con la diffusione dell'alimentazione

di strutture sbilanciate come i cavi coassiali che necessitano per il corretto funzionamento del

collegamento a massa del conduttore più esterno chiamato anche schermo o calza del co

di questo tipo viene collegato, senza l'impiego del balun, ad una struttura bilanciata

indesiderate come ad esempio una corrente che scorre su

del cavo coassiale. Questa corrente è indesiderata poiché

non voluti che possono influire sia sull'impedenza d'antenna e che

Di seguito una rappresentazione, in assenza di balun, delle correnti sulla calza del coassiale

con relativo circuito elettrico equivalente.

per un antenna a dipolo alimentata senza balun (a) e relativo circuito equivalente

è facile intuire come lo schermo del coassiale fornisca un percorso a bassa impedenza

applicata dal generatore all'ingresso del cavo (I2) che in parte raggiunge il

dell'antenna (I4) e in parte viene dispersa a massa (I3).

era scongiurato con l'alimentazione a singolo filo o con l'impiego di linee di

) dette anche a scaletta (ladder line) che oltre ad essere già strutture

bilanciate (se correttamente alimentate) presentano l'ulteriore vantaggio di avere un'impedenza

ratteristica confrontabile con quella d'ingresso di questo particolare tipo di antenna (circa 300

cavo coassiale il balun, oltre a rendere il segnale di tipo differenziale

(b)

windom non presenta una struttura simmetrica rispetto al punto di alimentazione e quindi

minali di alimentazione, dal punto di vista

i bracci dell'antenna si trovano nelle

L'alimentazione con linee sbilanciate, che

è possibile solo attraverso l'impiego di un balun (balanced

di uscita a fronte di un segnale

tà nasce solo recentemente con la diffusione dell'alimentazione

che necessitano per il corretto funzionamento del

collegamento a massa del conduttore più esterno chiamato anche schermo o calza del coassiale.

ad una struttura bilanciata

una corrente che scorre sulla superficie più

ta corrente è indesiderata poiché genera fenomeni di

e che sul diagramma di

delle correnti sulla calza del coassiale

relativo circuito equivalente (b) ([19], pag.38).

nisca un percorso a bassa impedenza

che in parte raggiunge il braccio

tazione a singolo filo o con l'impiego di linee di

) che oltre ad essere già strutture

sentano l'ulteriore vantaggio di avere un'impedenza

ratteristica confrontabile con quella d'ingresso di questo particolare tipo di antenna (circa 300 Ω).

il segnale di tipo differenziale, deve

necessariamente adattare l'impedenza

tipicamente è di 50 Ω.

L'impiego multibanda dell'antenna windom non permette l'implementazione di

sistemi che sfruttano la lunghezza elettrica di

frequenza. Nella maggior parte dei casi si preferisce adottare

possibilità intrinseca anche di adattare

quello dei trasformatori differenziali a presa centrale

spire intorno al nucleo di ferrite.

Fig. 2.2

Come i trasformatori impiegati a bassa frequenza anche i

rapporto di trasformazione è valido in entrambi i versi. Riportiamo di seguito due tipi di

trasformatore d'impedenza integrato (4:1 o 1:4) e l'altro di tipo tradizionale (1:1):

Fig. 2.24 Due tipi di balun a ferrite: con trasformatore d'impedenza integrato

Per ridurre ulteriormente il fenomeno delle correnti

abbinamento ai toroidi di adattamento,

dispositivi, che come suggerisce 28

l'impedenza d'ingresso dell'antenna a quella caratteristica della linea che

L'impiego multibanda dell'antenna windom non permette l'implementazione di balun

za elettrica di stub di linea poiché risulterebbero

Nella maggior parte dei casi si preferisce adottare toroidi di ferrite a larga banda

anche di adattare le impedenze. Lo schema di principio di questi

li a presa centrale il cui rapporto di trasformazione

Fig. 2.23 Schema di principio di un balun a ferrite.

Come i trasformatori impiegati a bassa frequenza anche i balun sono dispositivi reversibili pertanto il

rapporto di trasformazione è valido in entrambi i versi. Riportiamo di seguito due tipi di

trasformatore d'impedenza integrato (4:1 o 1:4) e l'altro di tipo tradizionale (1:1):

con trasformatore d'impedenza integrato (a), di tipo tradizionale

il fenomeno delle correnti irradianti sulla calza del cavo coassiale

abbinamento ai toroidi di adattamento, spesso sono impiegati i cosiddetti "c

il termine stesso (choke dall’inglese strozzare)

(a)

(b)

antenna a quella caratteristica della linea che

balun a "bazooka" o altri

di linea poiché risulterebbero accordati ad una sola

a larga banda che hanno la

Lo schema di principio di questi balun è molto simile a

cui rapporto di trasformazione è legato al numero di

no dispositivi reversibili pertanto il

rapporto di trasformazione è valido in entrambi i versi. Riportiamo di seguito due tipi di balun, uno con

trasformatore d'impedenza integrato (4:1 o 1:4) e l'altro di tipo tradizionale (1:1):

di tipo tradizionale (b) ([10], pag.482).

irradianti sulla calza del cavo coassiale, in

choke balun" ovvero dei

strozzare), impediscono il

passaggio della corrente. L'idea è quella di

schermo del cavo coassiale in modo che

ottenuto attraverso l'impiego di manicotti in ferrite oppure realizzando

d'antenna, alcune spire con lo stesso cavo coassiale

Fig. 2.25 Due tipi di "choke

Normalmente il balun a toroide è racchiuso in contenitori provvisti di connettore coassiale standard

SO239 (detto anche PL) e con una struttura che ne facilita

trazione meccanica in modo che il balun

teso il dipolo. Di seguito un esempio.

Fig. 2.26 Balun di tipo commerciale racchiuso in un

(a)

29

idea è quella di inserire un elemento induttivo in serie al

in modo che eventuali correnti a RF vengano bloccate.

l'impiego di manicotti in ferrite oppure realizzando, appena sotto il connettore

con lo stesso cavo coassiale impiegato per l'alimentazione.

"choke balun": con manicotti di ferrite (a), con spire di cavo coassiale

a toroide è racchiuso in contenitori provvisti di connettore coassiale standard

anche PL) e con una struttura che ne facilita il collegamento dei bracci e ne favorisce la

balun possa agevolmente rimanere sospeso fra due pali che tengono

esempio.

commerciale racchiuso in un package provvisto di connettore e asole per il sostegno meccanico

(b)

un elemento induttivo in serie al conduttore di

vengano bloccate. L'effetto può essere

appena sotto il connettore

gato per l'alimentazione.

coassiale (b).

a toroide è racchiuso in contenitori provvisti di connettore coassiale standard

il collegamento dei bracci e ne favorisce la

rimanere sospeso fra due pali che tengono

provvisto di connettore e asole per il sostegno meccanico.

30

Capitolo 3

3.1 Il software di simulazione

Per la simulazione dell'antenna windom si è impiegato un programma basato sul NEC (Numerical

Electromagnetics Code), un software sviluppato per la marina americana (U.S. Navy) a partire dal 1970

nel Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL), un centro di ricerca del Dipartimento dell'Energia

statunitense, gestito dall'Università della California. Il programma nasce per risolvere numericamente,

con il metodo dei momenti (MoM), le equazioni integrali che descrivono il campo elettromagnetico

irradiato da segmenti di conduttore perfetto, infinitamente sottile e disposto nello spazio tridimensionale.

Nel 1981 viene sviluppata una seconda versione del programma chiamata NEC-2 che oltre alla doppia

precisione permette di considerare i conduttori reali con spessore e conducibilità assegnate offrendo la

possibilità di predire il campo anche per strutture metalliche più complesse. Nel 1985 viene rilasciato

NEC-3. Nel 1993, quando viene sviluppata la successiva evoluzione del programma chiamata NEC-4, il

codice sorgente di NEC-2 (scritto interamente in FORTRAN) viene reso di pubblico dominio. Da allora

numerosi sviluppatori software e radioamatori di tutto il mondo hanno adattato e modificato tale

programma rendendolo più funzionale, correggendo alcuni problemi di valutazione (come ad esempio il

calcolo del campo in corrispondenza di conduttori incrociati) e includendo varie interfacce grafiche.

Nascono così software commerciali come EZnec, NEC2GO, AN-SOF, SuperNEC ecc... per i quali è

necessaria una licenza a pagamento. Anche per i successivi NEC-3 e NEC-4 è necessario sottoscrivere

un contratto d'uso a pagamento in quanto i diritti sono ancora detenuti dall'Università della California. Fra

le revisioni non commerciali del NEC-2 spicca il programma 4NEC2 disponibile gratuitamente per

piattaforma Windows® sul sito internet [21]. Il programma è sviluppato a partire dal 1997 da Arie Voors

radioamatore neerlandese e ingegnere presso la ICT Automatisering N.V., azienda dei Paesi Bassi

attiva nel settore informatico e delle telecomunicazioni recentemente annessa al gruppo Motorola

Solutions, Inc.

Nel corso degli anni 4NEC2 si è notevolmente evoluto offrendo oggi la possibilità di simulazione sia in

campo vicino che in quello lontano sia in spazio libero che tenendo conto del terreno o della presenza di

ostacoli. Inoltre il programma permette la valutazione di numerosi parametri d'antenna come l'impedenza

d'ingresso, il guadagno massimo, l'efficienza, l'SWR e, con l'ausilio della grafica 3D e 2D, è in grado di

predire i diagrammi di radiazione, visualizzare i lobi d'antenna e le distribuzioni di corrente sui conduttori.

Interessante anche la possibilità di ottimizzazione delle antenne che, imponendo le caratteristiche

desiderate e lasciando liberi quei parametri di minor interesse, permette di ottenere la struttura radiante

più conveniente.

Le simulazioni del presente capitolo sono riferite esclusivamente all'antenna FD4 (mostrata in figura 1.5)

sulla quale si è basato anche parte dello studio analitico del capitolo 2. Ideata dal tedesco Kurt Fritzel

(nominativo DJ2XH) risulta essere la windom più usata in ambito radioamatoriale per coprire le bande

degli 80 - 40 - 20 - 17 - 12 e 10 m. Le frequenze di centro banda sulle quali risulta progettata l'antenna

sono 3,6 - 7,2 - 14,4 - 18 - 25,2 e 28,8 MHz ovvero f0, 2f0, 4f0, 5f0, 7f0 e 8f0. La configurazione adottata nelle

simulazioni prevede il punto di alimentazione (l1) posto a 33,3% della lunghezza totale (l) pari a 41,5 m,

31

pertanto l1=13,8 m. Il conduttore è di tipo cilindrico realizzato in rame (conduttanza elettrica ¤`¾ 5,8x10· S/m) con raggio a = 0,89 mm che corrisponde ad una sezione trasversale di circa 2,5 mm2.

Questo valore è stato scelto in base alle realizzazioni pratiche dell'antenna che prevedono nella maggior

parte dei casi l'adozione del comune filo elettrico in matasse proprio da 2,5mm2. Nelle simulazioni in cui

si è impiegato un piano di terra si sono scelti quei parametri che riproducono il più possibile un medio

terreno alcalino: costante dielettrica relativa εr = 4 e conduttanza elettrica ¤± = 3,0x106À S/m. Di seguito

faremo riferimento a questa superficie identificandola come piano di terra reale (REAL GND).

3.1.1 Campi irradiati

Per verificare la corrispondenza dalle equazioni (2.14), con i valori dei campi simulati, orientiamo

l'antenna come in figura 2.2 ponendoci in spazio libero e nella regione di campo lontano, ovvero

rispettando le medesime condizioni di quando i campi sono stati ottenuti per via analitica.

Per semplicità valuteremo il campo nella direzione < = 90° e  = 0°, ovvero lungo l'asse x di fig. 2.2.

Fig. 3.1 Antenna windom FD4 rappresentata dal simulatore 4NEC2 posta verticalmente con il punto di alimentazione nell'origine.

Il NEC non fornisce il valore di campo elettrico puntuale nello spazio ma possiamo ottenerne una stima

normalizzata (indipendente dalla distanza r) a partire da alcune considerazioni sul guadagno espresso in

dBi che il programma 4NEC2 fornisce nel file di output.

Per definizione sappiamo che:

Ã<, ÂÄ = 10IÅ yÆ2,>Æ~ts (3.1)

Ãba è il guadagno dell'antenna isotropica definito come:

Ãba = S TU¶:Ow1ÇÈx TU¶ (3.2)

poiché l'antenna è ideale = = ;1J allora:

Ãba = 1 (3.3)

pertanto:

Ã<, ÂÄ = 10IÅKÃ<, ÂN = 10IÅ y É2,>:Ow1ÇÈx TU⁄ (3.4)

dove Ê<, Â rappresenta la densità angolare di potenza nota anche come intensità di radiazione.

32

Ë01290°, 0°Ë = 30|86,664 ½⁄ | · wHI86,664 ½⁄ · 1 + −1 + 2x [V]

Se i campi 01 e ?@ formano una terna ortogonale con la direzione di propagazione si può dimostrare che,

in spazio libero:

Ê<, Â ≜ = = ËÌ1=,2,>Ë[=[Í9 (3.5)

dove

4 = AB C⁄ è l'impedenza caratteristica dello spazio libero pari a 120π

pertanto:

Ã<, ÂÄ = 10IÅ ÎËÌ1=,2,>Ë[=[

Ï:Ow1ÇÈxÐ (3.6)

da cui:

Ë01, <, ÂË = Ë01<, ÂË = Ñ10Æ2,>Ò~ ¶ 60;1J (3.7)

poiché nel caso del dipolo, orientato come in figura 2.2, vale:

Ë01<, ÂË = Ë012<, ÂË (3.8)

e poiché sappiamo dalla (2.17) che:

;1J = ; (3.9)

allora:

Ë012<, ÂË = Ñ10Æ2,>Ò~ ¶ 30; (3.10)

alimentando l'antenna sempre con = 1 A e ponendo < = 90° e  = 0° si ottiene:

ponendo nella (2.14) < = 90°, Â = 0° e 4 = 120" si ricava:

012, 90°, 0° = 33010−3 0w−HI · 1 + −1 + 2x (3.12)

dove:

n è l'armonica presa in considerazione

è il fasore di corrente che rappresenta il valore massimo (detto anche di ventre) lungo il dipolo

k0 = costante di propagazione nel vuoto pari a 2π/λ

calcolando il modulo della (3.12) si ottiene:

Ë012, 90°, 0° · Ë = Ë01290°, 0°Ë = 30 · wHI · 1 + −1 + 2x (3.13)

dalla (2.40) alimentando l'antenna sempre con = 1 A e sapendo che = 13,8 m si può scrivere:

= |J~v||Xop89Z\| = |Xop¸Ï,ÏÏT Ó⁄ | (3.14)

sostituendo la (3.14) nella (3.13) si ottiene

Ë01<90°, 0°Ë = Ñ10Ã90°,0°/Ô 10¶ 30; [V] (3.11)

(3.15)

33

Si noti come i campi ricavati nella (3.11) e (3.15) sono stati resi indipendenti dalla distanza r e pertanto la

loro unità di misura risulta essere espressa in [V] diversamente dall'unità di misura canonica che è [V/m].

armonica

n

f

[MHz]

½

[m]

Ã90°, 0°TÌÕ [dBi]

;TÌÕ [Ω]

Ë01290°, 0°ËÀ. [V]

Ë01290°, 0°ËÀ.¹ [V]

1 3,6 83,33 2,05 106,00 71,40 69,57

2 7,2 41,67 -14,83 130,70 11,36 35,23

4 14,4 20,83 -13,36 167,39 15,22 33,52

5 18,0 16,67 -0,72 165,67 64,89 67,87

7 25,2 11,90 -0,13 192,34 74,83 71,33

8 28,8 10,42 -12,84 185,00 16,99 37,10

Tab. 3.1 Campo elettrico normalizzato (indipendente dalla distanza r) per< = 90° e  = 0° ottenuto a partire dai valori forniti dal

simulatore 4NEC2 Ë01290°, 0°ËÀ. e dal calcolo teorico Ë01290°, 0°ËÀ.¹. Riportiamo di seguito il grafico dei punti valutati in tabella 3.1 sovrapponendo quelli ottenuti attraverso il

simulatore con quelli derivati teoricamente.

Fig. 3.2 Campo elettrico normalizzato (indipendente dalla distanza r) per< = 90° e  = 0° ottenuto a partire dai valori forniti dal

simulatore 4NEC2 Ë01290°, 0°ËÀ. e dal calcolo teorico Ë01290°, 0°ËÀ.¹. In corrispondenza delle armoniche pari, ovvero 2, 4 e 8 il guadagno nella direzione < = 90° e  = 0°

risulta molto basso perché il diagramma di radiazione presenta in questo punto uno zero. Pertanto il

campo elettrico in quella direzione è inferiore rispetto alla stessa direzione per le armoniche dispari.

Inoltre, come si può facilmente notare dal grafico di figura 3.2, il valore di campo per le armoniche dispari

34

è approssimato in modo molto più preciso che non nel caso delle armoniche pari. Questo riflette il

problema che abbiamo affrontato nel § 2.1.2 a proposito della resistenza di radiazione. Il calcolo

analitico che ha portato alle relazioni (2.14) è basato sull'andamento ideale della resistenza di radiazione

come quello riportato in figura 2.5. Nella realtà abbiamo visto invece che la ;= e cioè la capacità di

irradiare potenza per le armoniche pari è molto più bassa di quella teorica.

3.1.2 Impedenza d'ingresso

In questo caso l'antenna è stata posta in orizzontale ed è stata considerata anche la presenza del suolo

ad una distanza di 8 metri.

Fig. 3.3 Antenna windom FD4 rappresentata dal simulatore 4NEC2 posta in orizzontale a 8 m di altezza.

Una prima valutazione ha interessato l'impedenza d'ingresso con particolare riguardo alla sua parte

reale ovvero la resistenza d'ingresso ;. Per verificare la correttezza della relazione (2.43) l'antenna è

stata simulata con il punto di alimentazione (l1) variabile da 0 a 41,5 m ovvero per l'intera lunghezza del

dipolo. Il sistema radiante è stato alimentato con la frequenza fondamentale f0 pari a 3,6 MHz dapprima

in spazio libero e poi con un piano di terra reale. Riportiamo di seguito i risultati ottenuti:

Fig. 3.4 Resistenza d'ingresso ; calcolata e simulata al variare del punto di alimentazione l1.

35

Si noti come per l1=λ0/2 (circa 21 m) l'impedenza d'ingresso torna ad essere pari alla resistenza di

radiazione (circa 73 Ω) ovvero quella del classico dipolo alimentato al centro.

Come si può notare dalla figura 3.4 la corrispondenza delle curve è pressoché assoluta. Le discrepanze

maggiori si hanno quando l'antenna è simulata in presenza del piano di terra ma questo era prevedibile

dato che il calcolo analitico è stato formalizzato in spazio libero. Si può comunque affermare che la

formula (2.43) stima la resistenza d'ingresso in modo accettabile anche in presenza di piani

parzialmente riflettenti.

Per valutare la correttezza della (2.45) abbiamo fissato il punto di alimentazione dell'antenna FD4 come

previsto dal progetto a 13,8 m e alimentato l'antenna su tutte le armoniche. Riportiamo di seguito i

risultati ottenuti:

armonica

n

f

[MHz]

½

[m]

;TÌÕ FREE SPACE

[Ω]

;TÌÕ REAL GND

[Ω]

;.T¹ [Ω]

1 3,6 83,33 106,00 85,00 98,29

2 7,2 41,67 130,70 140,42 115,33

4 14,4 20,83 167,39 185,65 153,80

5 18,0 16,67 165,67 177,90 167,58

7 25,2 11,90 192,34 190,94 210,33

8 28,8 10,42 185,00 185,96 218,96

Tab. 3.2 Resistenza d'ingresso ;fornita dal simulatore 4NEC2 e relativo valore calcolato per via torica.

Riportiamo di seguito il grafico dei punti valutati in tabella 3.2 sovrapponendo quelli ottenuti dal

simulatore con quelli derivati teoricamente.

Fig. 3.5 Resistenza d'ingresso ; calcolata in corrispondenza delle armoniche di risonanza dell'antenna.

Il grafico di figura 3.5 è relativo solo alle armoniche per le quali l'antenna risulta progettata,

l'andamento della resistenza d'ingresso non è

variare della frequenza è stato effettuato con il simul

passi di 0,6 MHz. L'analisi ha riguardato

di reattanza. L'andamento è stato ottenuto

distanza. Di seguito il grafico fornito

Fig. 3.6 Resistenza d'ingresso

Fig. 3.7 Reattanza d'ingresso

Si noti dal grafico di figura 3.7 come in corrispondenza di tutte le armoniche (anche quelle per cui

l'antenna non è stata specificatamente

2.1.2, tende comunque ad annullarsi. Viceversa dal grafico di figura 3.6 s

36

gura 3.5 è relativo solo alle armoniche per le quali l'antenna risulta progettata,

l'andamento della resistenza d'ingresso non è valido per gli altri punti. Per avere l'evoluzione

effettuato con il simulatore 4NEC2 un frequency sweep

ha riguardato l'impedenza d'ingresso valutata sia in termini di resistenza che

. L'andamento è stato ottenuto sempre in presenza di un piano di terra reale a 8 metri

fornito dal programma.

esistenza d'ingresso ; al variare della frequenza con REAL GND

eattanza d'ingresso al variare della frequenza con REAL GND

come in corrispondenza di tutte le armoniche (anche quelle per cui

specificatamente progettata) la reattanza d'ingresso, in accordo con la teoria del §

annullarsi. Viceversa dal grafico di figura 3.6 si può notare come il valore

gura 3.5 è relativo solo alle armoniche per le quali l'antenna risulta progettata, pertanto

Per avere l'evoluzione completa al

frequency sweep da 1 a 30 MHz a

valutata sia in termini di resistenza che

za di un piano di terra reale a 8 metri di

con REAL GND.

al variare della frequenza con REAL GND.

come in corrispondenza di tutte le armoniche (anche quelle per cui

d'ingresso, in accordo con la teoria del §

i può notare come il valore

37

della resistenza d'ingresso assume il valore minimo solo in corrispondenza delle armoniche di progetto

dell'antenna. Si noti anche come il valore di ciascun minimo non si mantiene costante ma tende

leggermente ad aumentare con la frequenza in accordo con il grafico di figura 3.5 e l'andamento della

resistenza di radiazione ipotizzato in figura 2.17.

Da queste simulazioni possiamo concludere che l'impiego di un balun 6:1, come prescritto nella maggior

parte dei progetti, risulta sovrastimato. Tuttavia le simulazioni non hanno tenuto conto della

configurazione a "V rovesciata" che viene usualmente adottata per antenne di questo tipo e che

potrebbe influire sull'impedenza d'ingresso. L'impiego con i bracci allineati è comunque garantito senza

problemi da un balun 4:1. Sarebbe interessante approfondire le valutazioni nel caso di altre

configurazioni.

3.1.3 SWR e diagrammi di radiazione

Le successive simulazioni hanno interessato la variazione in frequenza di una serie di parametri come

l'SWR, i diagrammi di radiazione e le distribuzioni di corrente. Anche in questo caso l'antenna è stata

considerata con i bracci allineati a 8 metri dal piano di terra reale.

Non essendo possibile sul NEC implementare un balun con rapporto di trasformazione 4:1 il grafico

dell'SWR è stato riferito direttamente ai 200 Ω (ovvero 50 Ω del cavo coassiale x 4).

Fig. 3.8 Standing Wave Ratio Ö; (valutato su 200 Ω) al variare della frequenza con REAL GND.

L'antenna risulta adattata (SWR<2) su tutte le armoniche di progetto tranne sulla frequenza

fondamentale f0 dove il valore è prossimo a 4. In effetti l'impedenza d'ingresso per f0 è molto bassa (vedi

Tab. 3.2) soprattutto se valutata in presenza del terreno reale quando assume il valore di 85 Ω. Il balun

in questo caso disadatta l'antenna fornendo un'impedenza d'ingresso di circa 21 Ω non idonea al cavo

coassiale di alimentazione. Fortunatamente questo fenomeno dovrebbe risultare attenuato dall'impiego

38

dei balun reali che tipicamente hanno un rapporto di trasformazione che tende a diminuire alle basse

frequenze. Nei casi in cui il valore di SWR risultasse comunque elevato si rende necessario l'impiego di

un accordatore d'antenna (antenna tuner) che adatti il rapporto di trasformazione dell'impedenza

d'ingresso ai 50 Ω richiesti ed eventualmente ne annulli la componente reattiva. Tipicamente

l'accordatore d'antenna è posto fra il balun e il trasmettitore e permette la correzione fine dell' SWR

anche per le altre bande. Essendo realizzato interamente con componenti passivi è preferibile limitarne

l'impiego solo quando strettamente necessario poiché introduce inevitabilmente delle perdite di potenza.

Da una analisi puntuale del grafico di figura 3.8 si evince come il valore minimo di SWR non si ottiene

esattamente per le armoniche di progetto dell'antenna ma circa 200 kHz più in basso. In pratica

l'antenna risulta accordata sulla frequenza fondamentale di 3,4 MHz invece di 3,6 MHz originaria e di

conseguenza anche tutte le armoniche risultano spostate in frequenza di circa 200 kHz. Riportiamo nella

seguente tabella i valori di SWR per le bande di progetto e per le armoniche effettive dove è localizzato il

minimo.

armonica

n

f

[MHz]

SWR

su 200Ω

fmin

[MHz]

SWRmin

su 200Ω

1 3,6 3,80 3,4 3,39

2 7,2 2,29 7,0 1,67

4 14,4 2,02 14,2 1,62

5 18,0 1,87 17,8 1,58

7 25,2 2,00 25,0 1,67

8 28,8 1,85 28,6 1,58

Tab. 3.3 Standing Wave Ratio Ö; (valutato su 200 Ω) per le armoniche di progetto (a sx) e per le armoniche effettive (a dx).

In entrambi i casi (tranne per la fondamentale) l'antenna risulta avere un SWR accettabile per poter

essere impiegata in trasmissione senza l'utilizzo di un accordatore e senza incorrere in fenomeni di

riflessione verso il generatore troppo evidenti con il conseguente danneggiamento di quest'ultimo. Con

un SWR pari 2 si ottiene un coefficiente di riflessione di circa 0,33 tollerato dalla maggior parte degli

apparati radio trasmittenti.

Riportiamo di seguito i diagrammi di radiazione ottenuti per ogni armonica di progetto. La variabile

rappresentata è il guadagno d'antenna definito dalla (3.1) e espresso in dBi. Dapprima attraverso una

rappresentazione tridimensionale molto qualitativa e poi attraverso due sezioni trasversali e l'impiego dei

diagrammi polari. Ad ogni rappresentazione tridimensionale è comunque associata una scala di colori

che permette di risalire, anche se in maniera molto approssimativa, al guadagno relativo alla direzione di

interesse. I diagrammi polari sono ottenuti per Â=0° e per Â=90° ovvero con un piano di sezione

trasversale all'antenna (includente gli assi cartesiani x-z) e con un piano parallelo all'antenna (includente

gli assi cartesiani y-z).

39

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 3.9 Diagrammi di radiazione tridimensionali rappresentanti il guadagno d'antenna per: (a) 3,6 MHz; (b) 7,2 MHz; (c) 14,4 MHz; (d) 18 MHz; (e) 25,2 MHz; (f) 28,8 MHz.

40

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 3.10 Diagrammi polari del guadagno d'antenna riferiti al piano Â=0° per: (a) 3,6 MHz; (b) 7,2 MHz; (c) 14,4 MHz; (d) 18 MHz; (e) 25,2 MHz; (f) 28,8 MHz.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 3.11 Diagrammi polari del guadagno d'antenna riferiti al piano Â=90° per: (a) 3,6 MHz; (b) 7,2 MHz; (c) 14,4 MHz; (d) 18 MHz; (e) 25,2 MHz; (f) 28,8 MHz.

41

Dalle figure 3.9 e 3.11 è facile ravvisare come il braccio più lungo dell'antenna tende in generale ad

avere una direttività più accentuata rispetto a quello più corto, in accordo con quanto detto nel § 2.1.3

relativamente al rapporto fra la direttività e la lunghezza elettrica del sistema radiante.

Tranne per la fondamentale, che ha un lobo di radiazione praticamente omnidirezionale, tutte le

armoniche presentano sul piano Â=90° due lobi principali che in modo speculare "puntano" nella

direzione dei bracci dell'antenna. Questo rende di fatto l'antenna moderatamente direttiva (mediamente

ÃÄ×©Ø 4dBi) e in fase di installazione il suo orientamento rispetto agli assi cardinali può risultare utile

per cercare di coprire un'area geografica piuttosto che un'altra. Si noti anche come per il piano Â=90° il

numero dei lobi (principali e secondari) che possiede l'antenna rispecchia esattamente il numero

dell'armonica considerata.

Contestualmente all'analisi dei diagrammi di radiazione è stata eseguita, per ogni armonica, anche

un'analisi della distribuzione di corrente lungo il dipolo. Riportiamo di seguito la rappresentazione della

corrente valutata in modulo, dapprima attraverso l'impiego della grafica tridimensionale poi con una

descrizione più quantitativa relativa alle prime tre armoniche.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Fig. 3.12 Distribuzione di corrente lungo l'antenna per: (a) 3,6 MHz; (b) 7,2 MHz; (c) 14,4 MHz; (d) 18 MHz; (e) 25,2 MHz; (f) 28,8 MHz.

Si noti come in corrispondenza del punto di alimentazione (13,8 m) il valore della corrente rimane

sempre costante in accordo con lo studio progettuale effettuato nel § 2.1.2 e in particolare con la figura

2.15 con la quale è stato scelto il punto di inserzione. Tuttavia da una analisi più quantitativa (figura

3.13) si può notare come la corrente massima abbia una certa variabilità in base al ventre preso in

considerazione. Questo rappresenta ancora una volta la spiegazione di quanto detto a proposito della

resistenza di radiazione e dimostra come la distribuzione (2.2), sulla quale si è basato lo studio analitico,

rappresenti solo un'approssimazione che non tiene conto della struttura reale dell'antenna e dei

complessi fenomeni di autoinduzione che possono

supera la mezza lunghezza d'onda.

Fig. 3.13 Distribuzione di corrente lungo l'antenna risultati

In conclusione riportiamo alcune immagini di come l'antenna windom

viene commercializzata da alcune ditte specializzate.

Fig. 3.14 Un modello di antenna windom commerciale: paresempio di installazione con i

Fig. 3.15 Un balun tradizionale

42

complessi fenomeni di autoinduzione che possono nascere quando la lunghezza elettrica

supera la mezza lunghezza d'onda.

lungo l'antenna per la frequenza fondamentale e per le prime due armoniche secondo i risultati forniti dal programma di simulazione 4NEC2.

In conclusione riportiamo alcune immagini di come l'antenna windom si presenta nella

viene commercializzata da alcune ditte specializzate.

n modello di antenna windom commerciale: particolare del balun con i bracci e gli isolatori terminali di installazione con il dipolo teso fra due pali (a dx).

tradizionale abbinato ad un "choke balun" realizzato con spire di cavo coassiale.

quando la lunghezza elettrica dell'antenna

fondamentale e per le prime due armoniche secondo i

si presenta nella realtà e come

con i bracci e gli isolatori terminali (a sx) un tipico

" realizzato con spire di cavo coassiale.

43

Bibliografia [1] Lewis Coe (1996) «Wireless Radio: A Brief History», Jefferson, North Carolina, USA - McFarland &

Company, Inc. publishers.

[2] Clinton B. DeSoto (1936) «200 Meters & Down, The Story of Amateur Radio» West Hartford,

Connecticut, USA - American Radio Relay League.

[3] Danny Gregory and Paul Sahre (2003) «Hello World: A Life in Ham Radio», New York, New York

USA - Princeton Architectural Press.

[4] «Conférence radiotélégraphique internationale de Londres: les principales modifications apportées

aux actes signés à Berlin par la conférence de Londres», Journal Télégraphique, 1912, vol. 36, pp. 249-

253, 275-277, 300-301.

[5] Richard A. Barlett (2007) «The World of Ham Radio, 1901-1950: A Social History», Jefferson, North

Carolina, USA - McFarland & Company, Inc. publishers.

[6] John O. Kraus (1950), «Antennas», New York, New York, USA - McGraw-Hill.

[7] W. L. Everitt, and J. Byrne, "Single-Wire Transmission Lines for Short-Wave Antennas", Proceedings

of the Institute of Radio Engineers, October 1929, vol. 17 no.10, pp. 1840 - 1867.

[8] L. G. Windom, "Notes on Ethereal Adornments: Practical Design Data for the Single-Wire-Fed Hertz

Antenna", QST amateur radio magazine, September 1929, vol. XIII no.9, pp. 19 - 22.

[9] Clayton R. Paul (1995), «Compatibilità elettromagnetica - concetti fondamentali di elettromagnetismo

- Applicazioni progettuali», Milano, Italy - Hoepli editore.

[10] Constantine A. Balanis (1997), «Antenna Theory - Analysis and Design - 2nd Edition», New York,

New York, USA - John Wiley & Sons, Inc.

[11] Jordan C. E. e Balmain K. G. (1968) «Electromagnetic Waves and Radiating Systems - 2nd

Edition», Englewood Cliffs, New Jersey, USA - Prentice-Hall, pp. 535 - 548.

[12] Nerio Neri (2000), «Antenne. Progettazione e costruzione», Faenza, Ravenna, Italy - C&C.

[13] Robert E. Collin (1985) «Antennas and Radiowave Propagation», New York, New York, USA -

McGraw-Hill Book Company, Inc.

44

[14] H. Chu, Y. Guo and Z. Wang "60-GHz LTCC Wideband Vertical Off-Center Dipole Antenna and

Arrays", IEEE Transactions on Antennas and Propagation, January 2013, vol. 61 no.1, pp. 153 - 161.

[15] R. W. P. King and T. T. Wu, "The Cylindrical Antenna with Arbitrary Driving Point ", IEEE

Transactions on Antennas and Propagation, September 1965, vol. 13 no.5, pp. 710 - 718.

[16] C. Harrison jr., C. Taylor, E. Aronson and E. O'Donnell, "On the driving point impedance of an

asymmetrical dipole", IEEE Transactions on Antennas and Propagation, November 1966, vol.14 no.6,

pp. 794 - 795.

[17] B. D. Popovic and J. Surutka, "A variational solution to the problem of an asymmetrical cylindrical

dipole", IEEE Transactions on Antennas and Propagation, January 1971, vol.19 no.1, pp.17 - 22.

[18] J. Pierluissi, "Some effects of asymmetric excitations on dipole radiators", IEEE Transactions on

Antennas and Propagation, July 1971, vol.19 no.4, pp.548 - 550.

[19] M. W. Maxwell, "Some Aspects of the Balun Problem", QST amateur radio magazine, March 1983,

vol. LXVII nr.3, pp. 38 - 43.

[20] C.Y. Sim, H.Y. Chien and C.H. Lee, "Triple-band Asymmetric Dipole Antenna for WLAN Operation in

Laptop Computer", IEEE Transactions on Antennas and Propagation Antennas and Propagation, April

2013, vol. PP no.99, pp.1-7.

[21] http://www.qsl.net/4nec2/ programma di simulazione 4NEC2 sviluppato da Arie Voors.

45

Appendice A

Notazione adottata

Campo elettrico ( Er

)

Grandezza vettoriale che in ogni punto di una regione di spazio, rappresenta il rapporto fra la forza Fr

esercitata su una carica elettrica q ed il valore della carica medesima1:

),,,( tzyxEEE ==r

essendo un vettore avremo:

0),,,(),,,(),,,( rEatzyxEatzyxEatzyxEE zzyyxx

rrrrr=++=

dove zyx aaarrr

,, sono i versori di un sistema di riferimento cartesiano e 0rr

è il versore del vettore campo

elettrico.

l’unità di misura di E è il volt su metro (V/m)

Campo magnetico ( Hr

)

Grandezza vettoriale pari al prodotto tra l’induzione magnetica Br

e la permeabilità magnetica µ del

mezzo1:

µ),,,(

),,,(tzyxB

tzyxHH

rrr

==

),,,( tzyxHHH ==r

con rµµµ 0= ; l’unità di misura di H è l’ampere su metro (A/m). Si ricorda che, nel caso di campi

elettromagnetici in aria, vale la corrispondenza 1 A/m = 1,26 µT ovvero 1 µT = 0,8 A/m

1 definizione ripresa dalla guida CEI 211-7

q

tzyxFtzyxEE

),,,(),,,(

rrr

==

46

Fasore di una grandezza sinusoidale ( V )

quando

)sin()( θω += tVtV m

allora si definisce il seguente fasore:

jrmj

m jVVVeVV +=∠== θθˆ

con VVrˆRe= e VV j

ˆIm=

tjeVtVV ωˆRe)( ==

Fasore vettoriale di campo elettrico ( Erˆ )

quando

tjxx eEtzyxE ωˆRe),,,( =

tjyy eEtzyxE ωˆRe),,,( =

tjzz eEtzyxE ωˆRe),,,( =

avremo

zzyyxx azyxEazyxEazyxEzyxEErrr

rr

),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆˆ ++==

tjeEtzyxEE ωrrrˆRe),,,( ==

Valore efficace del modulo del campo elettrico in u n punto )',','( zyx dello spazio( E )

222),',','( zyx EEEtzyxEE ++==

con

[ ]∫=T

xx dttzyxET

E0

2),',','(1

[ ]∫=T

yy dttzyxET

E0

2),',','(1

47

[ ]∫=T

zz dttzyxET

E0

2),',','(1

se tjezyxEtzyxE ω)',','(ˆRe),',','( = , ovvero ha un andamento sinusoidale nel tempo, allora avremo:

2

EE =

se poi la fase del fasore E risulta uguale a 0 allora avremo:

2mE

E =

48

Appendice B

file NEC di input, impiegato per le simulazioni con il programma 4NEC2 CM WINDOM FD4 (horizontally with aligned arms)

CM off center fed dipole for amateur frequency band 80-40-20-17-12-10 m

CM model NEC by Stefano Epifani (IZØJIB)

CM

CE

SY l = 41.5 'm antenna full lenght (half wavelength @ 80m - 3.6 MHz)

SY offset = 33.3 '% offcenter of full lenght l

SY segment = l*10 'one segment every 10cm

SY

GW 1 segment 0 -l*offset/100 8 0 l*(100-offset)/100 8 .00089 'h = 8m, wire radius 0.89mm

GE 0

LD 5 1 0 0 58000000 'copper wire with conductance 5,8x10^7 S/m

GN -1

EK

EX 6 1 segment*offset/100 0 1 0 0 'current source (1+j0)ampere @ wire 1

FR 0 0 0 0 3.6 0

EN

esempio di file NEC di output @ 7.2MHz ********************************************* NUMERICAL ELECTROMAGNETICS CODE (NEC-2D) ********************************************* - - - - COMMENTS - - - -

WINDOM FD4 (horizontally with aligned arms)

off center fed dipole for amateur frequency band 80-40-20-17-12-10 m

model NEC by Stefano Epifani(IZØJIB)

- - - STRUCTURE SPECIFICATION - - - COORDINATES MUST BE INPUT IN METERS OR BE SCALED TO METERS BEFORE STRUCTURE INPUT IS ENDED WIRE NO. OF FIRST LAST TAG NO. X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 RADIUS SEG. SEG. SEG. NO. 1 0.00000 -13.81950 8.00000 0.00000 27.68050 8.00000 0.00089 415 1 415 1 2 -0.02124 0.00000 9901.00000 0.02124 0.00000 9901.00000 0.00106 1 416 416 9901 TOTAL SEGMENTS USED= 416 NO. SEG. IN A SYMMETRIC CELL= 416 SYMMETRY FLAG= 0 - MULTIPLE WIRE JUNCTIONS - JUNCTION SEGMENTS (- FOR END 1, + FOR END 2) NONE - - - - SEGMENTATION DATA - - - - COORDINATES IN METERS I+ AND I- INDICATE THE SEGMENTS BEFORE AND AFTER I SEG. COORDINATES OF SEG. CENTER SEG. ORIENTATION ANGLES WIRE CONNECTION DATA TAG NO. X Y Z LENGTH ALPHA BETA RADIUS I- I I+ NO. 1 0.00000 -13.76950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 0 1 2 1 2 0.00000 -13.66950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 1 2 3 1 3 0.00000 -13.56950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 2 3 4 1 4 0.00000 -13.46950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 3 4 5 1 5 0.00000 -13.36950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 4 5 6 1 6 0.00000 -13.26950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 5 6 7 1 7 0.00000 -13.16950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 6 7 8 1 8 0.00000 -13.06950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 7 8 9 1 9 0.00000 -12.96950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 8 9 10 1 10 0.00000 -12.86950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 9 10 11 1 11 0.00000 -12.76950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 10 11 12 1 12 0.00000 -12.66950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 11 12 13 1 13 0.00000 -12.56950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 12 13 14 1 14 0.00000 -12.46950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 13 14 15 1

49

15 0.00000 -12.36950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 14 15 16 1 16 0.00000 -12.26950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 15 16 17 1 17 0.00000 -12.16950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 16 17 18 1 18 0.00000 -12.06950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 17 18 19 1 19 0.00000 -11.96950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 18 19 20 1 20 0.00000 -11.86950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 19 20 21 1 21 0.00000 -11.76950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 20 21 22 1 22 0.00000 -11.66950 8.00000 0.10000 0.00000 90.00000 0.00089 21 22 23 1

***** DATA CARD NO. 1 LD 5 1 0 0 5.80000E+07 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ***** DATA CARD NO. 2 GN -1 0 0 0 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ***** DATA CARD NO. 3 EK 0 0 0 0 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ***** DATA CARD NO. 4 EX 0 9901 1 0 0.00000E+00 1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ***** DATA CARD NO. 5 FR 0 0 0 0 7.20000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ***** DATA CARD NO. 6 NT *** 1 1 138 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 ***** DATA CARD NO. 7 RP 0 37 73 1003 -1.80000E+02 0.00000E+00 5.00000E+00 5.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 - - - - - - FREQUENCY - - - - - - FREQUENCY= 7.2000E+00 MHZ WAVELENGTH= 4.1639E+01 METERS APPROXIMATE INTEGRATION EMPLOYED FOR SEGMENTS MORE THAN 1.000 WAVELENGTHS APART THE EXTENDED THIN WIRE KERNEL WILL BE USED - - - STRUCTURE IMPEDANCE LOADING - - - LOCATION RESISTANCE INDUCTANCE CAPACITANCE IMPEDANCE (OHMS) CONDUCTIVITY TYPE ITAG FROM THRU OHMS HENRYS FARADS REAL IMAGINARY MHOS/METER 1 5.8000E+07 WIRE - - - ANTENNA ENVIRONMENT - - - FREE SPACE - - - MATRIX TIMING - - - FILL= 0.312 SEC., FACTOR= 0.234 SEC. - - - NETWORK DATA - - - - FROM - - TO - - - ADMITTANCE MATRIX ELEMENTS (MHOS) - - TAG SEG. TAG SEG. (ONE,ONE) (ONE,TWO) (TWO,TWO) NO. NO. NO. NO. REAL IMAG. REAL IMAG. REAL IMAG. 9901 416 1 138 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 - - - STRUCTURE EXCITATION DATA AT NETWORK CONNECTION POINTS - - - TAG SEG. VOLTAGE (VOLTS) CURRENT (AMPS) IMPEDANCE (OHMS) ADMITTANCE (MHOS) POWER NO. NO. REAL IMAG. REAL IMAG. REAL IMAG. REAL IMAG. (WATTS) 1 138 1.30696E+02 5.28779E+01 1.00000E+00 2.08028E-13 1.30696E+02 5.28779E+01 6.57506E-03-2.66018E-03 6.53481E+01 9901 416 0.00000E+00 1.00000E+00-5.16265E-06 1.49335E-14 5.60294E-04-1.93699E+05 1.49335E-14 5.16265E-06 7.46674E-15 - - - ANTENNA INPUT PARAMETERS - - - TAG SEG. VOLTAGE (VOLTS) CURRENT (AMPS) IMPEDANCE (OHMS) ADMITTANCE (MHOS) POWER NO. NO. REAL IMAG. REAL IMAG. REAL IMAG. REAL IMAG. (WATTS) 9901 416 0.00000E+00 1.00000E+00-5.28779E+01 1.30696E+02 6.57506E-03-2.66018E-03 1.30696E+02 5.28779E+01 6.53481E+01 - - - CURRENTS AND LOCATION - - - DISTANCES IN WAVELENGTHS SEG. TAG COORD. OF SEG. CENTER SEG. - - - CURRENT (AMPS) - - - NO. NO. X Y Z LENGTH REAL IMAG. MAG. PHASE 1 1 0.0000 -0.3307 0.1921 0.00240 1.3603E-02 -1.5524E-03 1.3692E-02 -6.511 2 1 0.0000 -0.3283 0.1921 0.00240 3.6825E-02 -4.1868E-03 3.7062E-02 -6.486 3 1 0.0000 -0.3259 0.1921 0.00240 5.8351E-02 -6.6089E-03 5.8724E-02 -6.462 4 1 0.0000 -0.3235 0.1921 0.00240 7.9178E-02 -8.9335E-03 7.9680E-02 -6.437 5 1 0.0000 -0.3211 0.1921 0.00240 9.9545E-02 -1.1188E-02 1.0017E-01 -6.413 6 1 0.0000 -0.3187 0.1921 0.00240 1.1957E-01 -1.3387E-02 1.2032E-01 -6.388 7 1 0.0000 -0.3163 0.1921 0.00240 1.3932E-01 -1.5537E-02 1.4018E-01 -6.364 8 1 0.0000 -0.3139 0.1921 0.00240 1.5883E-01 -1.7644E-02 1.5981E-01 -6.339 9 1 0.0000 -0.3115 0.1921 0.00240 1.7813E-01 -1.9711E-02 1.7922E-01 -6.314 10 1 0.0000 -0.3091 0.1921 0.00240 1.9725E-01 -2.1741E-02 1.9845E-01 -6.290 11 1 0.0000 -0.3067 0.1921 0.00240 2.1620E-01 -2.3734E-02 2.1750E-01 -6.265 12 1 0.0000 -0.3043 0.1921 0.00240 2.3499E-01 -2.5693E-02 2.3639E-01 -6.240 13 1 0.0000 -0.3019 0.1921 0.00240 2.5362E-01 -2.7619E-02 2.5512E-01 -6.215 14 1 0.0000 -0.2995 0.1921 0.00240 2.7211E-01 -2.9512E-02 2.7371E-01 -6.190 15 1 0.0000 -0.2971 0.1921 0.00240 2.9045E-01 -3.1372E-02 2.9214E-01 -6.165 16 1 0.0000 -0.2947 0.1921 0.00240 3.0866E-01 -3.3200E-02 3.1044E-01 -6.139 17 1 0.0000 -0.2923 0.1921 0.00240 3.2672E-01 -3.4997E-02 3.2859E-01 -6.114 18 1 0.0000 -0.2899 0.1921 0.00240 3.4465E-01 -3.6763E-02 3.4660E-01 -6.089 19 1 0.0000 -0.2875 0.1921 0.00240 3.6244E-01 -3.8497E-02 3.6448E-01 -6.063 20 1 0.0000 -0.2851 0.1921 0.00240 3.8009E-01 -4.0200E-02 3.8221E-01 -6.037 21 1 0.0000 -0.2827 0.1921 0.00240 3.9761E-01 -4.1872E-02 3.9981E-01 -6.012 22 1 0.0000 -0.2803 0.1921 0.00240 4.1499E-01 -4.3513E-02 4.1726E-01 -5.986 23 1 0.0000 -0.2779 0.1921 0.00240 4.3223E-01 -4.5123E-02 4.3458E-01 -5.960 24 1 0.0000 -0.2755 0.1921 0.00240 4.4933E-01 -4.6701E-02 4.5175E-01 -5.934 25 1 0.0000 -0.2731 0.1921 0.00240 4.6629E-01 -4.8248E-02 4.6878E-01 -5.908 26 1 0.0000 -0.2706 0.1921 0.00240 4.8310E-01 -4.9764E-02 4.8566E-01 -5.881 27 1 0.0000 -0.2682 0.1921 0.00240 4.9978E-01 -5.1248E-02 5.0240E-01 -5.855 28 1 0.0000 -0.2658 0.1921 0.00240 5.1630E-01 -5.2701E-02 5.1898E-01 -5.828 29 1 0.0000 -0.2634 0.1921 0.00240 5.3268E-01 -5.4122E-02 5.3542E-01 -5.802

50

30 1 0.0000 -0.2610 0.1921 0.00240 5.4890E-01 -5.5511E-02 5.5170E-01 -5.775 31 1 0.0000 -0.2586 0.1921 0.00240 5.6497E-01 -5.6867E-02 5.6783E-01 -5.748 32 1 0.0000 -0.2562 0.1921 0.00240 5.8089E-01 -5.8192E-02 5.8380E-01 -5.721

- - - POWER BUDGET - - - INPUT POWER = 6.5348E+01 WATTS RADIATED POWER= 6.3597E+01 WATTS STRUCTURE LOSS= 1.7507E+00 WATTS NETWORK LOSS = 3.5243E-12 WATTS EFFICIENCY = 97.32 PERCENT - - - RADIATION PATTERNS - - - - - ANGLES - - - POWER GAINS - - - - POLARIZATION - - - - - - E(THETA) - - - - - - E(PHI) - - - THETA PHI VERT. HOR. TOTAL AXIAL TILT SENSE MAGNITUDE PHASE MAGNITUDE PHASE DEGREES DEGREES DB DB DB RATIO DEG. VOLTS/M DEGREES VOLTS/M DEGREES -180.00 0.00 -159.32 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 6.77018E-07 -11.71 1.13516E+01 142.69 -175.00 0.00 -159.35 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 6.74442E-07 -45.97 1.13516E+01 142.96 -170.00 0.00 -159.45 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 6.66733E-07 -151.23 1.13516E+01 143.75 -165.00 0.00 -159.62 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 6.53949E-07 25.10 1.13516E+01 145.05 -160.00 0.00 -159.86 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 6.36189E-07 110.70 1.13516E+01 146.87 -155.00 0.00 -160.17 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 6.13587E-07 88.50 1.13516E+01 149.17 -150.00 0.00 -160.57 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 5.86315E-07 -63.26 1.13516E+01 151.96 -145.00 0.00 -161.05 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 5.54581E-07 -10.82 1.13516E+01 155.20 -140.00 0.00 -161.63 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 5.18626E-07 -144.72 1.13516E+01 158.88 -135.00 0.00 -162.33 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 4.78724E-07 -139.55 1.13516E+01 162.95 -130.00 0.00 -163.16 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 4.35179E-07 -33.72 1.13516E+01 167.40 -125.00 0.00 -164.15 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 3.88321E-07 130.88 1.13516E+01 172.19 -120.00 0.00 -165.34 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 3.38509E-07 -50.86 1.13516E+01 177.28 -115.00 0.00 -166.80 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 2.86120E-07 93.15 1.13516E+01 -177.37 -110.00 0.00 -168.64 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 2.31554E-07 152.49 1.13516E+01 -171.80 -105.00 0.00 -171.06 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 1.75225E-07 74.65 1.13516E+01 -166.04 -100.00 0.00 -174.53 -14.83 -14.83 0.00000 90.00 LINEAR 1.17563E-07 165.42 1.13516E+01 -160.15 -95.00 0.00 -180.51 -14.83 -14.83 0.00000 -90.00 LINEAR 5.90060E-08 9.32 1.13516E+01 -154.17

AVERAGE POWER GAIN= 9.72908E-01 SOLID ANGLE USED IN AVERAGING=( 4.0000)*PI STERADIANS. ***** DATA CARD NO. 8 EN 0 37 73 1003 -1.80000E+02 0.00000E+00 5.00000E+00 5.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 RUN TIME = 1.669