Lanzamiento de Proyectiles Con Fuerzas Resistivas

Fuerzas resistivas en el lanzamiento de

un proyectil

P. Estrada, C. Ortiz

Universidad Privada Boliviana

Departamento de Ingenierıa

23 de octubre de 2012

Resumen

En el presente informe se plantean los resultados obtenidos a traves

de un experimento relacionado con la segunda Ley de Newton sobre el

lanzamiento de proyectiles, en el cual se disparo una esfera de metal en

distintos angulos y tomando en cuenta el tiempo en la distancia recorrida,

en intervalos de 10◦ desde 30◦ hasta 80◦; Ademas de que se disparo 15

veces la esfera a 0◦ para poder obtener la velocidad de la esfera.

1. Introduccion

Se denomina movimiento parabolico al realizado por un objeto cuya tra-yectoria describe una parabola. Se corresponde con la trayectoria ideal de unproyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y queesta sujeto a un campo gravitatorio uniforme.Sistemas de referencia

El estado de reposo o movimiento de un cuerpo depende del sistema de referenciautilizado para su observacion. Hay dos sistemas de referencia:

Absoluto: el sistema de referencia se encuentra en reposo.

Relativo: dicho sistema de referencia se encuentra en movimiento.

En realidad no existen sistemas e referencia absolutos, ya que todo cuerpo siem-pre esta en movimiento y por tanto, todos son relativos.Trayectoria

La trayectoria de un movil es el camino que describe durante su movimien-to, Dependiendo del tipo de trayectoria, el movimiento puede ser rectilıneo ocurvilıneo:

Rectilıneo: se dice que es rectilıneo cuando la trayectoria es una lınea recta.

Curvilıneo: se dice que es curvilıneo cuando la trayectoria es una curva.

1

Posicion

La posicion sirve para determinar en cada instante, el punto sobre la trayec-toria donde se encuentra el movil. Vector posicion: La posicion de un movilsobre una trayectoria se puede definir mediante el vector posicion. Este vectores constituido por un punto p del plano, el cual se determina mediante sus dis-tancias mınimas a dos ejes de coordenadas cartesianas, llamadas coordenadasde posicion del punto.

2. Objetivos

2.1. Objetivo General

Verificar experimentalmente la ecuacion de movimiento de un proyectil de-ducida a partir de la segunda ley de newton.

2.2. Objetivos Especıficos

Comparar la parte teorica con la experimental.

Comprobar la precision de nuestro experimento a partir de los datos ob-tenidos del experimento.

Simular el movimiento del proyectil con las ecuaciones deducidas.

3. Fundamentacion Teorica

Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinacion respecto a la horizontaly bajo la accion solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantieneen el plano vertical y es parabolica. Notese que estamos solamente tratandoel caso particular en que factores como la resistencia del aire, la rotacion de laTierra, etc. No introducen afectaciones apreciables. Vamos a considerar tambienque durante todo el recorrido la aceleracion debido a la gravedad (g) permanececonstante y que el movimiento es solo de traslacion. Para facilitar el estudio delmovimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direccio-nes horizontal y vertical. En la direccion horizontal el movimiento del proyectiles rectilıneo y uniforme ya que en esa direccion la accion de la gravedad es nulay consecuente, la aceleracion tambien lo es. En la direccion vertical, sobre elproyectil actua la fuerza de gravedad que hace que el movimiento sea rectilıneouniformemente acelerado, con aceleracion constante. [1]

La cinematica es la rama de la mecanica clasica que estudia las leyes del mo-vimiento (cambios de posicion) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causasque lo producen, limitandose esencialmente, al estudia de la trayectoria en fun-cion del tiempo. La aceleracion es el ritmo con que cambia su rapidez (modulo dela velocidad). La rapidez y la aceleracion son las dos principales cantidades quedescriben como cambia su posicion en funcion del tiempo. Hacia el 1604, GalileoGalilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caıda libre y de esferas en

2

Figura 1: Movimiento Compuesto

planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en sutiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de caon. Posterior-mente, el estudio de la cicloide realizado por Evangelista Torricelli (1608-1647)fue configurando lo que se conocerıa como geometrıa del movimiento.

El nacimiento de la cinematica moderna tiene lugar con la alocucion dePierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la Academia Real de las Ciencias deParıs. Fue allı cuando definio la nocion de aceleracion y mostro como es posiblededucirla de la velocidad instantanea con la ayuda de un simple procedimientode calculo diferencia.

En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron mas contribuciones porJean Le Rond d’Alembert, Leonhard Euler y Andre-Marie Ampere y continua-ron con el enunciado de la ley fundamental del centro instantaneo de rotacionen el movimiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-1782).

El vocablo cinematica fue creado por Andre-Marie Ampare (1775-1836),quien delimito el contenido de esta disciplina y aclaro su posicion dentro delcampo de la mecanica. Desde entonces y hasta nuestros dıas la cinematica hacontinuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.

Con la teorıa de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se ini-cio una nueva etapa, la cinematica relativista, donde el tiempo y el espacio noson absolutos, y si lo es la velocidad de la luz. [2]

4. Formulas

4.1. Movimiento Compuesto

Tomando en cuenta que:

1. La gravedad es constante.

2. La tierra es plana.

3

3. Resistencia del aire (Forma de un proyectil).

Podemos deducir las siguientes formulas principales del movimiento compuestoo parabolico:

x = v0CosΘT (1)

y = v0SenΘ− 1

2gt2 (2)

y = TanΘx− gx2

2v20Cos2Θ(3)

A partir de estas dos ecuaciones principales del movimiento parabolico podemosobtener otras mas como ser:Tiempo del desplazamiento horizontal:

t =x

v0CosΘ(4)

Tiempo total de vuelo:

T =2v0SinΘ

g(5)

Altura maxima de un proyectil:

Y max =v20Sin

2Θ

2g(6)

Alcance horizontal maximo:

Xmax =v20Sin2Θ

g(7)

4.2. Promedio y Desviacion

En principio se tiene:x = x±△x (8)

Donde:

△v = |dV0

dx△ x|+ |dV0

dy△ y|+ |dV0

dz△ z| (9)

x =1

n

n∑

i=1

xi (10)

4.3. Velocidad Inicial

v0 =

√

gx2

2h(11)

4

5. Materiales

Balin de Acero

Papel Bond

Papel Carbonico

Disparador

Soporte Metalico Universal

Meson

Flexometro

Transportador

Hilo

Cinta adhesiva

6. Procedimiento

Para el primer experimento se realizo el siguiente procedimiento.

1. Se armo el disparador y se lo puso a una altura igual a la del meson conel mismo angulo de inclinacion. Ver Figura 2.

Figura 2: Papel carbonico y bond

2. Se pegaron en el meson los papeles carbonico y bond ,el papel bond sobreel carbonico, a fin de lograr calcular mediante las marcas del balın con elpapel, la distancia del disparo. Ver Figura 3.

5

Figura 3: Papel carbonico y bond

3. Se puso el balın en el iman del disparador para realizar los lanzamientosen los distintos angulos, empezando de 30◦ hasta 80◦ en intervalos de 10◦

y a 5 tiros por intervalo. Ver Figura 4

Figura 4: Iman y balin

4. Se tomo mediante un cronometro el tiempo que tardo el proyectil en hacersu recorrido y se midio con un flexometro la distancia recorrida. Claro quelos datos no fueron totalmente exactos gracias al error humano.

5. Se anotaron los datos en una computadora para ası poder despues procesarlos datos. Ver Cuadro 1

Para el segundo experimento se realizo el siguiente procedimiento:

1. Se puso el disparador a una altura h con una inclinacion de 0 grados.

6

N Angulo(◦) Tiempo Distancia(cm)

1 30 0.52 266.52 30 0.53 263.33 30 0.56 263.24 30 0.52 261.45 30 0.55 262.96 40 0.66 293.27 40 0.68 293.58 40 0.69 296.49 40 0.69 296.510 40 0.68 297.811 50 0.84 288.512 50 0.80 290.013 50 0.82 291.814 50 0.82 295.215 50 0.88 296.016 60 0.94 249.617 60 0.97 247.318 60 0.92 253.519 60 0.93 254.220 60 0.96 256.021 70 1.03 189.522 70 1.00 192.523 70 1.03 192.324 70 1.05 195.825 70 0.97 199.726 80 1.10 127.527 80 1.19 128.228 80 1.16 131.529 80 1.16 132.030 80 1.10 135.0

Cuadro 1: Recoleccion de Datos 1er Experimento

2. Se armo en el piso los papeles al igual que se hizo en el meson.

3. Se realizaron 15 tiros tomando los datos al igual que en el primer experi-mento. Ver Cuadro 2

4. Se aplico la formula (11) para hallar la velocidad del proyectil.

7

N Angulo(◦) Distancia(cm)

1 0 222.92 0 224.13 0 225.84 0 228.15 0 228.26 0 229.27 0 225.48 0 226.19 0 226.310 0 226.011 0 224.312 0 226.613 0 229.214 0 228.115 0 223.1

Cuadro 2: Recoleccion de Datos 2do Experimento

7. Analisis de Datos

Una vez tomados los datos (Ver Cuadro 1) partimos de la segunda ley denewton para hallar la ecuacion de movimiento con fuerzas resistivas del lanza-miento del proyectil.

F = FPeso + Fr (12)

FPeso = mg (13)

Fr = −Kv (14)

F = ma (15)

Reemplazando (13),(14) y (15) en (12) y sabiendo que es un vector obtenemos:

m(ax, ay) = −m(0, gy)− k(vx, vy) (16)

y a partir de esta ecuacion se obtiene para el eje x:

d2x

dt2= − k

m(dx

dt)2 (17)

y para el eje y:d2y

dt2= −g − k

m(dy

dt)2 (18)

Ahora se hace uso del programa Wolfram Mathemathica para resolver las dosecuaciones diferenciales como se muestra a continuacion:

8

DSolve[{m x’’[t] == -k*x’[t], x[0] == 0,

x’[0] == Subscript[v, 0] Cos[\Theta]}, x[t], t] // FullSimplify

{{x[t] -> ((1 - E^(-((k t)/m))) m Cos[\Theta] Subscript[v, 0])/k}}

DSolve[{m y’’[t] == -m*g - k*y’[t], y[0] == 0,

y’[0] == Subscript[v, 0] Sin[\Theta]}, y[t], t] // FullSimplify

{{y[t] -> (m (g m - g k t + k Sin[\Theta] Subscript[v, 0] -

E^(-((k t)/m)) (g m + k Sin[\Theta] Subscript[v, 0])))/k^2}}

Solve[((1 - E^(-((k t)/m))) m Cos[\Theta] Subscript[v, 0])/k == x,

t] // FullSimplify

Despejando t se obtiene:

t = −mLn[1−(kxSec[Θ])]

mv0

k(19)

Notamos que existe una variable que no tiene ningun valor en la Formula (19) lacual es K, esta en si es la resistencia que tiene el aire con el proyectil la cual masadelante mostraremos como hallarla para despues poder usarla en la graficacionreal de la trayectoria del proyectil.

Resolviendo para Y y reemplazando t en Y tenemos:

y =gm(kxSec[Θ] + Ln[1−(kxSec[Θ])]

mv0v0

k2v0) + xTan[Θ] (20)

Promedios y errores de la distancia en los distintos angulos:

30x = (263,46± 1,86)(cm, s) (21)

40x = (295,48± 2,02)(cm, s) (22)

50x = (292,30± 3,24)(cm, s) (23)

60x = (252,12± 3,56)(cm, s) (24)

70x = (193,96± 3,90)(cm, s) (25)

80x = (130,84± 3,05)(cm, s) (26)

0x = (226,22± 2,04)(cm, s) (27)

9

La altura del disparador con el suelo es:

h = 97,5(cm) (28)

Sabiendo que la gravedad en la ciudad de La Paz[3], es:

g = 978(cm/s2) (29)

Que presenta un error de:△g = 0,01 (30)

A partir de la formula 11 obtenemos que la velocidad inicial es:

V0 = 506,63 (cm/s) (31)

Para determinar el error de la velocidad Inicial usamos:

△V0 = |dV0

dx| △ x+ |dV0

dh| △ h+ |dV0

dg| △ g (32)

△V0 = |√

g

2 h| △ x+ |

√

g

8 h3x| △ h+ | x√

8 g h| △ g (33)

Entonces el error de la velocidad inicial es:

△V0 = 5,94 (cm/s) (34)

Finalmente la velocidad inicial con su respectivo error es:

V0 = (506,63± 5,94)(m/s) (35)

Ahora se muestran los graficos obtenidos en Gnuplot a partir de los datosobtenidos en laboratorio como un aproximado de lo que podrıa ser la trayectoriadel movimiento del proyectil con la teorıa de la cinematica.Ver Cuadro 3

Angulo(◦) x(Promedio)(cm) x(Error) t(Promedio)(s) t (Error)

30 263.46 1.86 0.53 0.0140 295.48 2.02 0.68 0.0150 292.30 3.24 0.83 0.0360 252.12 3.56 0.94 0.0170 193.96 3.90 1.01 0.0380 130.84 3.05 1.14 0.04

Cuadro 3: Promedios y desviaciones en distintos angulos

Como vemos en la Figura 5 el recorrido del proyectil no esta dentro del margende error, por lo tanto podemos ver que la teorıa de la cinematica no es suficientepara hacer un analisis real de estos datos.

Ahora en la Figura 6 podemos ver la grafica del tiempo versus el angulo apartir de los datos obtenidos. Ver Cuadro 3.

10

0

50

100

150

200

250

300

20 30 40 50 60 70 80 90

dist

anci

a[cm

]

angulo[grados”]

Figura 5: Distancia Vs Angulo

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

20 30 40 50 60 70 80 90

tiem

po[s

],dis

tanc

ia[c

m]

angulo[grados”]

Figura 6: Tiempo Vs Angulo

8. Simulacion

Pudimos notar en las Ecuaciones (14),(19),(20), una variable K, de la cualno se hizo mencion alguna. Ahora veremos la influencia de la variable K en elexperimento, ya que esta se refiere a la resistencia del viento por lo cual es vitalsu obtencion.

8.1. Obtencion de K

A continuacion mostraremos como se hallo el valor de K y como se lo usopara poder graficar la trayectoria del proyectil.

8.1.1. Wolfram Mathemathica

Ahora se muestra como se obtuvo el valor deK mediante el softwareWolframMathemathica. Se despeja K de la ecuacion 19:

t = -((m Log[1 - (k x Sec[[Theta]])/(m Subscript[v, 0])])/

k) /. {Subscript[v, 0] -> 506.63, m -> 0.12}

11

-((0.12 Log[1 - 0.0164486 k x Sec[[Theta]]])/k)

Ahora se halla K en distintos \’angulos para despu\’es sacar un promedio y tener nuestro $\overline{K}$:

Solve[-((0.12‘ Log[1 - 0.016448558777279937‘ k x Sec[[Theta]]])k) ==

t, k] /. {t -> 0.536, [Theta] -> 30*[Pi]/180, x -> 263.46}

{{k -> -0.0499304}}

Solve[-((0.12‘ Log[1 - 0.016448558777279937‘ k x Sec[[Theta]]])/k) ==

t, k] /. {t -> 0.68, [Theta] -> 40*[Pi]/180, x -> 295.48}

{{k -> -0.0391578}}


t, k] /. {t -> 0.832, [Theta] -> 50*[Pi]/180, x -> 292.3}

{{k -> -0.0216138}}


t, k] /. {t -> 0.944, [Theta] -> 60*[Pi]/180, x -> 252.12}

{{k -> -0.0133328}}


t, k] /. {t -> 1.016, [Theta] -> 70*[Pi]/180, x -> 193.96}

{{k -> -0.0225279}}


t, k] /. {t -> 1.142, [Theta] -> 80*[Pi]/180, x -> 130.48}

{{k -> -0.0527309}}

Mean[{-0.05273087701322557, -0.02252785357290808, -0.049930368282741854,

-0.013332758180326188, -0.039157789268098625, -0.02161383241007608}]

-0.0332156

y el valor de K:K = −0,0332156 (36)

8.1.2. Runge - Kutta

Para hallar los puntos en X con respecto del tiempo versus el angulo se usoel siguiente programa, podemos notar que la variable B en el programa contieneel valor de K obtenido mediante Wolfram Mathemathica:

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#define pi 3.1416

#define theta 80.0*pi/180.0

#define m 0.12

#define B -0.0332156

#define G 978

#define f(x,y,v) 1.0*v

#define g(x,y,v) (-(B/m)*pow(v,1))

12

int main( )

{

double x,y,v,l1,l2,l3,l4,k1,k2,k3,k4;

double x0,y0,v0,h,a,b;

FILE *fp,*fp1;

fp=fopen("datosx.txt","w");

fp1=fopen("graficadorx.txt","w");

x0=0.0;

y0=0.0;

v0=506.63*cos(theta);

h= 0.01;

a= 0.0;

b= 1.4;

for(x=a+h;x<=b;x=x+h)

{

k1=h*f(x0,y0,v0);

l1=h*g(x0,y0,v0);

k2=h*f((x0+h/2.0),(y0+k1/2.0),(v0+l1/2.0)) ;

l2=h*g((x0+h/2.0),(y0+k1/2.0),(v0+l1/2.0)) ;

k3=h*f((x0+h/2.0),(y0+k2/2.0),(v0+l2/2.0)) ;

l3=h*g((x0+h/2.0),(y0+k2/2.0),(v0+l2/2.0)) ;

k4=h*f((x0+h),(y0+k3),(v0+l3)) ;

l4=h*g((x0+h),(y0+k3),(v0+l3)) ;

v=v0+(1.0/6.0)*(l1+l2*2.0+l3*2.0+l4);

y=y0+(1.0/6.0)*(k1+k2*2.0+k3*2.0+k4);

fprintf(fp,"%0.2f\t%0.2f\n",x,y);

x0=x;

y0=y;

v0=v;

}

fprintf(fp1,"plot \"datosx.txt\" using 1:2 with lines \n");

fprintf(fp1,"pause -1\n");

fclose(fp);fclose(fp1);

system("wgnuplot.exe graficadorx.txt");

system("PAUSE");

return 0;

}

Para hallar los puntos en Y de la distancia versus el angulo se uso el siguienteprograma:

#include <stdio.h>

13

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#define pi 3.1416

#define theta 80.0*pi/180.0

#define m 0.12

#define B -0.0332156

#define G 978

#define f(x,y,v) 1.0*v

#define g(x,y,v) -(G +((B/m)*v))

int main( )

{

double x,y,v,l1,l2,l3,l4,k1,k2,k3,k4;

double x0,y0,v0,h,a,b;

FILE *fp,*fp1;

fp=fopen("datosy.txt","w");

fp1=fopen("graficadory.txt","w");

x0=0.0;

y0=0.0;

v0=506.63*sin(theta);

h= 0.01;

a= 0.0;

b= 1.08;

for(x=a+h;x<=b;x=x+h)

{

k1=h*f(x0,y0,v0);

l1=h*g(x0,y0,v0);

k2=h*f((x0+h/2.0),(y0+k1/2.0),(v0+l1/2.0)) ;

l2=h*g((x0+h/2.0),(y0+k1/2.0),(v0+l1/2.0)) ;

k3=h*f((x0+h/2.0),(y0+k2/2.0),(v0+l2/2.0)) ;

l3=h*g((x0+h/2.0),(y0+k2/2.0),(v0+l2/2.0)) ;

k4=h*f((x0+h),(y0+k3),(v0+l3)) ;

l4=h*g((x0+h),(y0+k3),(v0+l3)) ;

v=v0+(1/6.0)*(l1+l2*2+l3*2+l4);

y=y0+(1/6.0)*(k1+k2*2+k3*2+k4);

fprintf(fp,"%0.2f\t%0.2f\n",x,y);

x0=x;

y0=y;

v0=v;

};

fprintf(fp1,"plot \"datosy.txt\" using 1:2 with lines \n");


14

fclose(fp);fclose(fp1);

system("wgnuplot.exe graficadory.txt");

return 0;

}

Y por ultimo se muestra el codigo que se uso para poder juntar los puntos enX y Y, para poder despues hacer una simulacion de la trayectoria del proyectil:

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

int main( )

{

double x,y,t,cont=0.0;

FILE *fp,*fp1,*fp2,*fp3;

fp=fopen("datosx.txt","r");

fp1=fopen("datosy.txt","r");

fp2=fopen("datos.txt","wt+");

fp3=fopen("graficadort.txt","wt+");

do

{

fscanf(fp,"%lf %lf\n",&t,&x);

fscanf(fp1,"%lf %lf\n",&t,&y);

fprintf(fp2,"%lf\t%lf\n",x,y);

printf("%f\t%f\n",x,y);

cont=cont+0.01;

}while(cont<1.49);

fprintf(fp3,"plot \"datos.txt\" using 1:2 with lines \n");


fclose(fp);fclose(fp1);fclose(fp2);fclose(fp3);

system("wgnuplot.exe graficadort.txt");

system("PAUSE");

return 0;

}

A continuacion mostramos los graficos obtenidos de los datos recolectados en ellaboratorio y del valor de K obtenido mediante el software Mathemathica. VerCuadro 1, Ver Formula 36.

Para esto se aplicaron dos metodos uno simbolico para el cual se hizo uso delsoftware Mathemathica, ademas se uso el metodo numerico de Runge - Kutta

15

mediante un programa realizado en lenguaje C para hacer una comparacion delos datos por los dos caminos el simbolico y el numerico. Como ejemplo tomamoslas Figuras 7 y 8, podemos ver que las dos estan a 30 grados la Figura 7 fueobtenida por el metodo numerico de Runge - Kutta y la Figura 8 Mediante elSoftware Mathemathica, notamos que la Figura 7 y 8 son iguales ya que ambasllegan a la misma distancia (Lınea de color rojo para la Figura 8) que en estecaso seria 250 cm pero ademas en la Figura 8 notamos una lınea mas, la cualfue obtenida con el modelo matematico de la cinematica (3) y podemos notarque no concuerda con ninguna de las lıneas de las Figuras 7 y 8, ya que estellega hasta una distancia de 240 cm aproximadamente, por lo tanto nos damoscuenta que para este tipo de investigacion con fuerzas resistivas la teorıa dela cinematica no es suficiente para sustentar el experimento, es decir que senecesita otra matematica mas avanzada como se uso en este caso ecuacionesdiferenciales y calculo diferencial e integral con la cual se obtuvo la ecuacion(20) usada para simular la trayectoria del proyectil, con lo que se pudo hacerun analisis mas exacto de los datos y de la trayectoria del proyectil.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 50 100 150 200 250

Altu

ra

Distancia

Figura 7: Distancia Vs Altura a 30 Grados (Gnuplot)

9. Conclusiones

Mediante el experimento realizado llegamos a la conclusion de que la teorıade la cinematica no es suficiente para sustentar el experimento,pudimos notardesde la Figura 5 hasta la 18 que por ambos lados tanto por Mathemathica o elMetodo numerico de Runge-Kutta llegamos a determinar que la trayectoria delproyectil no es siempre exacta ya que hay un cierto error, esto se debe a muchosfactores que surgieron en el proceso del experimento como ser el error humano altomar los datos del tiempo con el cronometro, o tambien que se noto una ciertavariacion con el disparador el cual siempre lanzaba dos balines mas alejados, a

16

Figura 8: Distancia Vs Altura a 30 Grados (Mathemathica)

0

10

20

30

40

50

60

0 50 100 150 200 250 300

Altu

ra

Distancia


esto se suma el hecho de que la resistencia del viento, se decir(K), no fue dadaen condiciones reales ya que no se sabıa si v era v1 o tal vez elevado a un numeromayor o menor, pero en este caso como pudimos ver se uso v1 y por lo tantoallı tambien se genera un cierto error para K y para todo el experimento. Setuvo que usar una matematica mas avanzada como ser ecuaciones diferencialesy calculo diferencial e integral con la cual obtuvimos nuestra resistencia delviento:

k = −0,0332156 (37)

La que se uso en la ecuacion (20) para poder realizar una simulacion mas cercanaa la realidad de lo que es en verdad un lanzamiento de proyectil, por lo tantoconcluimos que ademas de todo el analisis del experimento es necesario ciertonivel de Mathemathica para realizar este tipo de experimentos.

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Referencias

[1] http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/leccion6/6.1.htm

[2] http://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica

[3] Portocarrero H. A. 2008. Fısica Experimental I. Primera Edicion. Bolivia:Inspiracion Cards. p. 73.

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Lanzamiento de Proyectiles Con Fuerzas Resistivas