Bolum 6
Laplace Donusumu
1
2 c2000 Faruk Gungor
Bolum 7
Laplace Donusumu
7.1 Laplace Donusumunun Tanm
Bir f(t) fonksiyonunun integral donusumu
T [f(t)] = F (s) = b
a
k(s, t)f(t) dt
biciminde bir integralle tanmlanr. Verilmis k(s, t) fonksiyonuna integral do-nusumun cekirdegi denir. F (s) fonksiyonu verildiginde f(t) ye ters integraldonusum denir ve T 1[F (s)] ile gosterilir. Laplace donusumu integral donu-sumlerin ilk orneklerinden birisidir. Cekirdek ve snrlar
k(s, t) = est, a = 0, b =
olarak tanmlanr. Diger onemli bir integral donusum de
k(s, t) = eist, a = , b =
ile verilir. Bu tur donusume Fourier donusumu denir ve diferansiyel denk-lemler kuramnda onemli bir yer tutar. Ancak biz burada yalnzca Laplacedonusumlerini inceleyecegiz.
f, t > 0 zaman degiskeninin tek-degerli bir fonksiyonu ve s bir (reel veyakompleks olabilir) parametre olsun. f(t) nin Laplace donusumu
F (s) = L{f(t)} =
0
est f(t) dt (7.1)
3
4 c2000 Faruk Gungor
integrali ile tanmlanr. Buradaki integral Riemann anlamnda oz-olmayan birintegraldir ve
limM
M
0
est f(t) dt
limiti anlaslacaktr. Eger integral yaknsak ise yani yukardaki limit sonlu birsay ise Laplace donusumu tanmldr, eger degilse donusum tanml olmaz.F (s) fonksiyonuna bazen goruntu fonksiyon da denir.
Tanm 7.1 Bir T 0 icin
|f(t)| Met veya |etf(t)| M, t T
olacak bicimde M > 0 ve sabitleri varsa f(t) fonksiyonuna ustel mertebe-dendir denir ve
f(t) = O(et)
yazlr.
Polinomlar, ustel fonksiyonlar, sin t ve cos t trigonometrik fonksiyonlar ustelmertebeden oldugu halde f(t) = et
2fonksiyonu ustel mertebeden degildir.
Cunku, ne kadar buyuk secilirse secilsin
limt
et2et
limiti suratle sonsuza gidecektir.
Tanm 7.2 Eger bir f(t) fonksiyonunun
limtt+0
f(t) = f(t+0 ) ve limtt0
f(t) = f(t0 )
sagdan ve soldan limitleri varsa fakat
f(t+0 ) 6= f(t0 )
ise f nin t0 noktasnda bir scrama sureksizligi vardr denir.
Tanm 7.3 Eger limt0+
f(t) limiti varsa ve f fonksiyonu [0,) aralgnda sonlusayda scrama sureksizligi dsnda her sonlu (0, T ) aralgnda surekli ise fonksiy-ona [0,) aralgnda parca parca surekli fonksiyondur denir.
c2000 Faruk Gungor 5
x
y
Sekil 7.1: Scrama Sureksizligi
Parca parca surekli bir fonksiyonu bir aralk uzerinde integre etmek icin sureklioldugu altaralklarda integre edip toplamak yeterli olacaktr. Parca parcasurekli bir fonksiyon integre edilebilir. Analizden bilinen bu sonucu kullnarakasagdaki teoremi ifade edebiliriz.Laplace Donusumu Icin Varlk Teoremi:
Teorem 7.4 Eger f(t) fonksiyonu [0,) aralgnda parca parca surekli ve ustel mertebeden ise, > s icin Laplace donusumu vardr ve mutlak yaknsar.
Kant: f fonksiyonu parca parca surekli oldugundan [0,M) sonlu aralg uze-rinde snrl olur ve
0
est f(t) dt =
t0
0
est f(t) dt +
t0
est f(t) dt
yazarak Laplace donusumunun yaknsaklgn yukardaki ikinci integralin yakn-saklgna indirgemis oluruz. Varsaymdan f ustel merdebeden oldugundan
|
t0
est f(t) dt|
t0
est |f(t)| dt M
t0
e(s)t dt
= lim
Ms e
(s)t
t0
yazlabilir ve integral anacak s > icin yaknsak olur.
6 c2000 Faruk Gungor
Varlk teoremi bir yeter kosuldur. Yani teoremin varsaymlar gerceklen-diginde teorem Laplace donusumunun varlgn garantiler. Ancak tersi dogrudegildir. Yani gerek kosul degildir. Varsaymlarn gerceklenmemesi durumundaLaplace donusumu var olabilir veya olmayabilir.
Ornek 7.1 t > 0 ve negatif olmayan tamsay n icin L{tn} donusumunun varoldugunu gosterin?
Herhangibir > 0 icin
et =
r=0
ntn
n! t
n
n!
esitsizligitn n!et
olarak yazlabildiginden tn ustel mertebeden bir fonksiyondur, o halde Laplacedonusumu vardr.
Ornek 7.2 L{tn cos at} ve L{tn cos at} donusumlerinin var oldugunu gosterin?| sin at| 1 ve | cos at| 1 oldugundan verilen fonksiyonlar ustel mertebedenolur. Varlk teoreminden donusumlerin tanml oldugu ckar.
7.2 Laplace Donusumunun Ozelikleri
1.) Lineerlik Ozeligi
Eger L{f(t)} = F (s) ve L{g(t)} = G(s) ise
L{f(t) + g(t)} = L{f(t)}+ L{g(t)} = F (s) + G(s) (7.2)
bagnts gecerlidir. Yani, Laplace donusumu lineer bir operatordur. Bu sonucLaplace donusumu tanmndan hemen ckar.2.) Birinci Oteleme Ozeligi
L{f(t)} = F (s) ise L{eatf(t)} = F (s + a) dir.Gercekten, tanmdan
L{eatf(t)} =
0
est eatf(t) dt =
0
e(sa)t f(t) dt = F (s a). (7.3)
Bu kurala goruntu fonksiyonun otelenmesi kural denir.
c2000 Faruk Gungor 7
3.) Ikinci Oteleme Ozeligi
t = a noktasnda scrama sureksizligi olan birim basamak fonksiyonu
u(t a) ={
1, t a0, t < a
ile tanmlanr. L{f(t)} = F (s) ise L{f(t a)u(t a)} = easF (s), a 0 dir.Yine tanmdan
L{f(t a)u(t a)} =
0
est f(t a)u(t a) dt =
a
estf(t a) dt
yazlr ve son integralde = t a donusumu yaplrsa
L{f(t a)u(t a)} = eas
0
esf() d = easL{f(t)} (7.4)
ckar. Ne yazk ki f(t+a)u(t+a), a 0 icin benzer simetrik bir bagnt yoktur.
4.) Olcek Degisim Ozeligi (Benzerlik Teoremi)
L{f(t)} = F (s) iseL{f(at)} = 1
aF (
s
a) (7.5)
yazlabilir.Tanmdan
L{f(at)} =
0
est f(at) dt
yazp integralde = at donusumu yaparsak olcek ozeligini hemen elde ederiz.5.) Goruntu Fonksiyonun Turetilmesi
Eger L{f(t)} = F (s) ise
L{tf(t)} = F (s)
dir.Bu kural gormek icin F (s) fonksiyonunu s e gore turetmek ve Laplace
donusumunun tanmn goz onune almak yeterlidir:
dF (s)ds
=
0
est tf(t) dt = L{tf(t)}.
8 c2000 Faruk Gungor
Turetme islemini n kez yineleyerek goruntu fonksiyonun n. turevi ile isaretfarkyla tnf(t) fonksiyonunun Laplace donusumu arasndaki su ilskiyi elde e-deriz:
dnF (s)dsn
= (1)nL{tnf(t)}. (7.6)
6.) Goruntu Fonksiyonun Integre Edilmesi
L{f(t)} = F (s) ise bu kez F (s) fonksiyonunun integrali icin ilginc bir kuralckaracagz. Bu kural soyle ifade edilir:
L{f(t)t} =
s
F (u) du. (7.7)
Bunu gormek icin F (u) integrand yerine tanm yazlr:
s
F (u) du =
s
( 0
eut f(t) dt)
du.
Bu bagntnn sagndaki integrasyonun sras degistirilirse
s
F (u) du =
0
f(t)(
s
eut du)
dt
=
0
est(1
t
[eut
]u=s
)dt =
0
estf(t)
tdt
elde ederiz.7.) Laplace donusumunun limit bicimi
Eger F (s) bir f(t) fonksiyonunun Laplace donusumu ise
lims
F (s) = 0
dr. Gercekten, f(t) ustel mertebeden ise
|F (s)|
0
est |f(t)| dt M
0
e(s)t dt =M
s , s >
yazlabilir. O halde
lims
|F (s)| = 0 lims
F (s) = 0
dir.
c2000 Faruk Gungor 9
7.3 Baz Elemanter FonksiyonlarnLaplace Donusumleri
Ornek 7.3 f(t) = et olsun. L{et} yi hesaplayalm.
L{et} =
0
est et dt =
0
e(s1)t dt
yazlrsa sagdaki integralin degeri s > 1 icin yaknsar ve limit islemi ile
limM
1(s 1) [e
(s1)t]M0 =1
s 1bulunur. O halde
L{et} = 1s 1 , s > 1
dir.Olcek kuraln kullanarak
L{eat} = 1a
1s 1
ss/a
=1
s a, s > a (7.8)
formulunu buluruz.
Ornek 7.4 L{t} Laplace donusumunu hesaplayn.Genel olarak reel bir icin
L{t} =
0
est t dt = ( + 1)
integralinde st = donusumu yaplrsa integral fonksiyonu ile ifade edilebilir:
L{t} = 1s+1
0
e d =( + 1)
s+1, > 1, s > 0.
Ozel olarak = n Z0 ise () = (n) = (n 1)! dir ve
L{tn} = n!sn+1
, s > 0
10 c2000 Faruk Gungor
yazabiliriz. Ornegin,
L{1} = 1s, L{t} = 1
s2, L{t2} = 2
s3.
Oteleme teoreminden
L{u(t a)} = easL{1} = eas
s
dir. = 1/2 icin ( + 1) = ( 12 ) =
degeri kullanlrsa
L{t1/2} =
s
ckar. f(t) = t1/2 fonksiyonu icin 7.4 teoreminin kosullar saglanmadg halde,Laplace donusumunun var olduguna dikkat ediniz.
Genel olarak n = 1, 2, . . . icin
L{tn 12 } = (n +12 )
s(n+12 )
=
(2n)!22nn!
sn12 , s > 0 (7.9)
donusumu gecerlidir.
Ornek 7.5 L{sinh at} Laplace donusumunu hesaplayn.Linerlik ozeligi ve (7.8) formulu ile
L{sinh at} = 12(L{eat} L{eat}) = 1
2
( 1s a +
1s + a
)=
1s2 a2 , s > |a|
ckar. Benzer olarak
L{cosh at} = ss2 a2 , s > |a|
dir.Simdi trigonometrik fonksiyonlarn Laplace donusumlerini hesaplayalm.
Ornek 7.6L{cos at} =? ve L{sin at} =?
F (s) = L{cos t} ve G(s) = L{sin t} = olsun. Tanmdan ksmi integrasyon ile
F (s) =
0
est cos t dt =[est sin t
]0
+ s
0
est sin t dt = sG(s)
c2000 Faruk Gungor 11
ve
G(s) =
0
est sin t dt =[est cos t]
0 s
0
est cos t dt = 1 sF (s)
bulunur. Bu iki esitlik F (s) ve G(s) icin cozulurse hemen
L{cos t} = ss2 + 1
, L{sin t} = 1s2 + 1
bulunur. Son olarak olcek kural ile
L{cos at} = ss2 + a2
, L{sin at} = as2 + a2
ckar. Ayrca, birinci oteleme kural ile
L{eat cos bt} = s a(s a)2 + b2 , L{e
at sin bt} = b(s a)2 + b2
donusum formullerini buluruz.
Ornek 7.7 L{t sin at} =?
L{t sin at} = ddsL{sin at} = d
ds
a
s2 + a2=
2ass2 + a2
.
Genel olarak,L{tn sin at}, L{tn cos at}
donusumlerini hesaplamak icin
h(t) = tneiat (7.1
