1
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Integral merupakan kebalikan dari turunan (antiturunan). Dalam
kehidupan sehari-hari sering dijumpai permasalahan-permasalahan
yang penyelesaiannya erat kaitannya dengan proses integral. Seperti
menentukan luas daerah ataupun volume dari sebuah bangun ruang,
dengan menggunakan integral, luas daerah maupun volume suatu ruang
dari fungsi tertentu bisa diketahui. Dalam hal ini
pengaplikasiannya dalam kehidupan seperti pembuatan gerabah.
Gerabah merupakan salah satu benda putar, untuk mencari luas dan
volume dari gerabah bisa menggunkan integral.
Selain contoh di atas masih banyak lagi contoh penerapan
integral dalam kehidupan yang lainnya. Karena itulah laporan ini
disusun untuk mengetahui integral dalam matematika agar selain
mengerti dan faham tentang integral tersebut, integral juga bisa
diaplikasikan dengan tepat dalam kehidupan sehari-hari.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, didapat beberapa
permasalahan diantaranya yaitu:
1. Apakah pengertian dari integral?
2. Apa sajakah macam-macam integral?
3. Bagaimanakah rumus-rumus integral fungsi trigonometri?
4. Bagaimanakah aplikasi integral dalam maple dan dalam
kehidupan sehri-hari?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan msalah di atas, tujuan dari laporan ini
adalah:
1. Untuk mengetahui pengertian dari integral
2. Untuk mengetahui macam-macam integral
3. Untuk mengetahui rumus-rumus integral fungsi trigonometri
4. Untuk mengetahui aplikasi integral dalam maple dan dalam
kehidupan sehari-hari
1.4 Manfaat
Manfaat yang diperoleh dari laporan ini adalah:
1. Memberikan informasi tentang pengertian integral
2. Memberikan informasi tentang macam-macam integral
3. Memberikan informasi tentang rumu-rumus integral fungsi
trigonometri
4. Memberikan informasi integral dalam maple dan dalam kehidupan
sehari-hari
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Integral
Proses integrasi adalah kebalikan dari proses diferensiasi.
Dalam diferensiasi, koefisien diferensial munjukkan bahwa suatu
fungsi x didiferensiasi terhadap x, dimana dx menunjukkan bahwa
diferensiasi dilakukan terhadap x. Dalam integrasi, variabel
integrasi ditunjukkan dengan menambahkan d (variabelnya) setelah
fungsi yang akan diintegrasi. Jadi, 4x dx berarti integral dari 4x
terhadap x. Pada diferensiasi jika f(x) = maka f(x) = 4x. Jadi
integral dari 4x adalah , dengan kata lain integrasi adalah proses
mengubah f(x) menjadi f(x) (John Bird, 2004:254).
2.2 Macam-Macam Integral
Macam-macan integral dijabarkan sebagai berikut:
1. Integral Tak Tentu
Bentuk-bentuk integral tak tentu dapat diperoleh dari tabel
integral. Beberapa aturan dan bentuk integral yang sederhana dapat
dituliskan:
a) dx = +c
b) a dx = ax + c
c) dx = dx ln x + c (Sutrisno, 1996:106).
2. Integral Tentu
Jika f(x) dx = F(x) + c maka nilai integral tentunya dengan
batas-batas nilai x antara a dan b adalah : F(b) F(a)
3. Integral Subtitusi
Dalam turunan fungsi dikenal aturan rantai, yaitu:
F(x) = f(u) dengan u = g(x)
F(x) = f(u) . u
Dari rumus tersebut diperoleh:
F(x) dx = F(x) + c
f(u) . u dx = f(u) + c
f(u) du = f(u) + c
4. Integral Parsial
Dikethui u dan v fungsi dengan variabel x. Apabila y = u . v
maka:u dv = uv - v du.
Contoh penggunaan integral dalam sebuah fungsi
Menentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 3,sumbu x,
dan ordinat ordinat x = 1 dan x = 4.
Dengan menggunakan rums integral, penyelesaiannya adalah sebagai
berikut:
=
=
= [
= [ (16 + 12) (1 + 3)]
= 24 satuan luas
(John Bird, 2004:259).
2.3 Rumus Rumus Integral Fungsi Trigonometri
Cara mengintegralkan fungsi trigonometri bisa dengan menggunakan
rumus-rumus di bawah ini:
1. sin x dx = - cos x + c
sin (ax + b) dx = - cos (ax +b) + c
2. cos x dx = sin x + c
cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c
3. sec2 x dx = tan x + c
sec2 x (ax + b) dx = tan (ax+ b) + c
4. cosec2 x dx = -cotan x + c
cosec2 x (ax + b) dx = - cotan (ax + b) +c
5. tan x sec x dx = sec x + c
tan (ax + b) sec (ax + b) dx = sec (ax + b) + c
6. cotan x cosec x dx = -cosec x + c
cotan (ax + b) cosec (ax + b) dx = -cosec (ax + b) + c
Contoh penggunaan integral fungsi trigonometri dalam sebuah
fungsi
Hasil pengintegralan dari 15 cosec2 (3x + 2) dx adalah sebagai
berikut:
15 cosec2 (3x + 2) dx
= 15 cosec2 (3x + 2) dx
= 15 ( - cotan (3x + 2)) + c
= -5 cotan (3x + 2) + c
BAB 3. METODOLOGI
3.1 Alat dan Bahan
Alat dan bahan yang diperlukan dalam praktikum ini adalah:
3.1.1 Alat
Perangkat komputer yang terdiridari layar monitor, CPU,
keyboard, mouse. Juga bisa menggunakan laptop atau notebook.
3.1.2 Bahan
Windows 7 untuk program maple 13 atau Windows XP untuk program
maple 8 yang digunakan untuk praktikum matematika tantang
integral.
3.2 Cara Kerja
Cara kerja untuk mengoperasikan limit dalam maple ialah sebagai
berikut:
1. Tekan tombol power pada CPU
2. Tunggu hingga komputer siap digunakan
3. Klik aplikasi Maple yang sudah ada di layar komputer
4. Klik restart terlebih dahulu
5. Maple siap dioperasikan untuk mengerjakan soalsoal
integral
6. Beri tanda ; pada akhir pengoperasian
7. Jika telah selesai, klik tanda X pada bagian pojok kanan
atas
8. Jika ingin disimpan pilih dan klik Yes
9. Jika tidak disimpan pilih dan klik No
10. Klik start lalu pilih shutdown dan OK jika ingin mematikan
komputer.
BAB 4. PEMBAHASAN
4.1 Pengertian Integral dan Macam-Macam Integral
Integral adalah antidiferensial / antiturunan. Jika f(x) adalah
turunan dari F(x), yaitu F(x) = f(x), berlaku: f(x) dx = F(x) + c
dengan c konstanta dan f(x) disebut integran.
Misalkan f fungsi kontinu yang didefinisikan untuk a x b .
Selanjutnya interval [a,b] dibagi menjadi n subinterval yang sama
dengan lebar Dx = (b - a)/n . Dimisalkan x0 (=a), x1, x2, , xn(=b)
adalah titik-titik ujung subinterval tersebut dan dipilih
titik-titik x1*, x2*, , xn* pada setiap subinterval sehingga xi*
terletak pada setiap selang [xI-1, xi], maka definisi integral
tentu f dari a sampai b adalah
Integral tak tentu dari suatu fungsi merupakan kebalikan dari
turunan/derivatif sehingga integral tak tentu ini juga disebut anti
derivatif. Misalkan F(x) adalah suatu fungsi dan f(x) merupakan
derivatif dari F(x) tersebut, maka integral tak tentu dari f(x)
dinotasikan sebagai f (x)dx = F(x).
Misalkan diketahui fungsi dua variabel f(x, y). Fungsi ini akan
diintegralkan terhadap x (dengan menganggap y tetap). Selanjutnya
hasil integral akan diintegralkan kembali terhadap x (dengan
menganggap y tetap). Hal tersebut merupakan integral lipat dua yang
dinotasikan sebagai f (x,y)dy dx atau [f(x,y)dy]dx.
4.2 Aplikasi Integral Dalam Kehidupan Sehari-hari
Pada subbab berikut ini akan dibahas mengenai penerapan integral
dalam mencari luas daerah yang dibatasi kurva dan menentukan volume
dan luas permukaan benda putar.
4.2.1 Luasan Daerah Yang Dibatasi Kurva
Integral tentu suatu fungsi y=f(x) dari x=ab merupakan luas
daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dengan sumbu x untuk x=a sampai
x=b. Berdasarkan konsep tersebut, integral dapat digunakan untuk
mencari luasan yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Luas suatu daerah A yang dibatasi oleh kurva y=f(x), y=g(x), dan
garis x=a, x=b
dengan f dan g kontinu serta f(x) g(x) untuk semua x pada selang
[a, b] adalah A=
4.1.2 Menentukan Volume dan Luas Permukaan Benda Putar
Misalkan diketahui suatu kurva y=f(x) pada selang [a, b] yang
kontinu pada selang tersebut. Apabila daerah antara kurva dan sumbu
x diputar 360o maka akan diperoleh sebuah benda pejal bervolume.
Untuk menggambar benda putar dengan maple, dapat menggunakan
Calculus1Student Package. Dalam paket ini terdapat perintah
VolumeOfRevolution().
Adapun sintaksnya adalah:
> with(Student[Calculus1]):
> VolumeOfRevolution(f(x),x=a..b,option);
Perintah tersebut digunakan untuk menggambar benda putar yang
diperoleh dengan memutar daerah antara kurva y=f(x) yang dibatasi
oleh x=a sampai x=b. Adapun option yang dapat diberikan antara
lain:
- axis=horizontal ,vertical
Option ini digunakan untuk menentukan sumbu putar dari benda
pejal. Apabila diinginkan sumbu putarnya adalah sumbu x, maka
axis=horizontal. Sedangkan apabila sumbu y maka axis=vertical.
- output=value, plot, integral
Supaya perintah tersebut dapat menampilkan visualisasi benda
putar yang
diinginkan, maka option output dipilih plot. Apabila hanya
diinginkan menampilkan besarnya volume, maka output=value.
Sedangkan output=integral dipilih apabila ingin menampilkan
formulasi integral yang menyatakan perhitungan besarnya volume
benda putar tersebut.
- title=string
Title dari plot benda putar dapat diubah melalui option ini.
4.3 Operasi Integral Dalam Maple
Cara mengoperasikan integral dalam maple adalah sebagai
berikut:
> restart;
> b:=(t)->(4+0.35*sin(2*(Pi)*t/5.4));
> diff(b(t),t);
> c:=(t)->diff(b(t),t);
> eval(c(t),t=5);
> evalf(%);
> restart;
> Int(1/(2*sin(x)^2),x);
>
> Int(exp(x)+log(x^2),x=a..b);
>
> Int(sin^2*(x+y),[y,x]);
> h:=(x)->exp(x)+log(x^2);
> g:=(x)->sin(x+y)^2;
> int(h(x),x);
> int(h(x),x=a..b);
> int(g(x),[y,x]);
> G:=(x)->int(g(x),x);
> int(G(x),y);
> int(int(g(x),x),y);
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Integral merupakan kebalikan dari turunan (antiturunan).
Integral bisa digunakan untuk menentukan luas daerah ataupun volume
dari sebuah bangun ruang. Dengan menggunakan integral, luas daerah
maupun volume suatu ruang dari fungsi tertentu bisa diketahui.
5.2 Saran
Melihat manfaat integral dalam ilmu matematika terutama dalam
pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari hari, maka perlu adanya
pemahaman lebih dalam mengenai integral dalam ilmu matematika, hal
ini bisa dilakukan dengan praktikum serta mengaplikasikan langsung
dalam kehidupan nyata.
DAFTAR PUSTAKA
Bird, John. 2004. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis
Edisi ke 3. Jakarta: Erlangga
Sutrisno. 1996. Fisika Dasar. Bandung : ITB
http://tira09.wordpress.com/2010/07/04/mencari-integral-dan-grafik-suatu-fungsi/
:=
c
t
(
)
diff
,
(
)
b
t
t
0.1296296296
(
)
cos
1.851851852
p
p
0.3639260775
d
1
2
1
(
)
sin
x
2
x
d
a
b
+
e
x
(
)
ln
x
2
x
d
d
sin
2
(
)
+
x
y
y
x
:=
h
x
+
e
x
(
)
log
x
2
:=
g
x
(
)
sin
+
x
y
2
+
-
e
x
(
)
ln
x
2
x
2
x
-
-
+
+
+
-
e
a
(
)
ln
a
2
a
2
a
e
b
(
)
ln
b
2
b
2
b
+
+
1
4
(
)
cos
+
x
y
2
x
2
4
y
x
2
:=
G
x
d
(
)
g
x
x
+
+
1
4
(
)
cos
+
x
y
2
y
x
2
y
2
4
+
+
1
4
(
)
cos
+
x
y
2
y
x
2
y
2
4
:=
b
t
+
4
0.35
sin
2
p
t
5.4
0.1296296296
(
)
cos
0.3703703704
p
t
p
