Upload
dlwnsghek7
View
1.551
Download
208
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
Citation preview
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
1/28
DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR
oleh
Veniola Forestryani
141810101035
LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
2014
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
2/28
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi
dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Persamaan diferensial terdiri dari persamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial parsiil. Persamaan diferensial biasa adalah jika turunan fungsi
bergantung pada satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsiil
adalah jika turunan fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel bebas.
Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak, Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi
orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat,
dan dengan menggunakan induksi matematika. Dia mengembangkan suatu
metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat
penting terhadap perkembangan kalkulus integral.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika,
turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, danturunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua
Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan
gaya yang diberikan kepada benda. Turunan juga sering digunakan untuk mencari
titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan
turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan
fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul
dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional,
geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Salah satu cabang dari matematika yaitu integral. Integral merupakan lawan
dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu
dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu
yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak
memiliki batasan-batasan.
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
3/28
Fondasi penemuan integral pertama kali diletakkan oleh Cavalieri sekitar
1635. Ia adalah seorang matematikawan dari Italia. Karya Cavalieri berpusat di
sekitar pengamatan bahwa kurva dapat dianggap sketsa oleh sebuah titik bergerak
dan daerah tersebut seharusnya membuat sketsa oleh garis bergerak.
Dalam bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4, yaitu untuk
menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi
konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi
marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.
Dalam bidang matematika penerapan integral juga digunakan untuk menentukan
luas suatu bidang, menentukan panjang busur dan menentukan volum benda putar,
sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus
AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur
pelengkung.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas pada praktikum kali ini adalah:
1.
Bagaimana membuat fungsi turunan dan diferensial dalam MATLAB
2. Bagaimana cara mengoperasikan fungsi turunan dan integral pada MATLAB
3.
Bagaimana mengoperasikan fungsi turunan dan integral dengan operasi
matematik dalam MATLAB
1.3Tujuan Praktikum
Adapun tujuan praktikum pada praktikum kali ini adalah:
1.
Membuat fungsi turunan dan diferensial dalam MATLAB
2. Dapat mengoprasikan fungsi turunan dan integral pada MATLAB
3. Dapat mengoprasikan fungsi turunan dan integral dengan operasi matematik
dalam MATLAB
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
4/28
1.4Manfaat
Manfaat yang didapatkan dari praktikum kali ini yaitu praktikan dapat
mengoperasikan fungsi turunan dan integral pada aplikasi MATLAB dan
memanfaatkannya untuk kehidupan sehari-hari.
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
5/28
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Turunan (Diferensial)
Persamaan diferensial adalah suatu bentuk persamaan yang memuat
derivatif (turunan) satu.Persamaan diferensial dapat pula dinotasikan sebagai :
(Lestari, 2013).
2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Ordernya
Persamaan diferensial biasa merupakan sebuah bentuk persamaan yang
memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas
suatu fungsi. Penentuan order suatu persamaan diferensial tergantung pada
kandungan fungsi turunan di dalam persamaan diferensial tersebut. Order atau
tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi turunan dalam
persamaan diferensial. Contohnya yaitu:
a. : persamaan diferensialbiasa order pertama
b. : persamaan diferensialbiasa order kedua
c.
: persamaan diferensial
biasa order ketiga (Lestari, 2013).
2.1.2 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial merupakan sebuah bentuk persamaan yang
memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu
variabel bebas suatu fungsi. Contohnya yaitu:
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
6/28
a.
b. (Lestari, 2013).
2.1.3 Aturan Pada Operasi Turunan
Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka :
1. 2. 3.
4. (
5. Jika , maka :
(Hertanto, 2009).
2.2 Integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan
aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral tak tentu dan integral
tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan
(integration). Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan(singkatan dari "sum"). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua
operator linear yang saling berhubungan. Integral tak tentu adalah antiturunan,
yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah
turunan dari F, sedangkan integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan
outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang
dimasukkan dengan sumbu x. Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan
lama waktu tertentu. Apabila kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa
dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
7/28
sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah
memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak
interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval
dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan
total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu
sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak.
Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara
dua titik a dan b seperti pada Gambar 2.2.1.
Gambar 2.2.1
Jika f(x) pada diagram di atas mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang
ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir. Untuk
memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b
menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan
x. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai
tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar x
dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Denganmenjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak
tempuh antara a dan b. Nilai x yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang
lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit x
mendekati nol.Integral tertentu ditulis sebagai:
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
8/28
dan dibaca "Integral dari ake bdarif(x)terhadapx."
Integral tak tentu, atau anti derivatif, yang ditulis sebagai:
.Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah
konstanta),
(Sutedjo, 2013).
2.2.1 Integral Tertentu
Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable
(terintegralkan). Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya
f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika ada.
Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a keb, dan didefinisikan:
Gambar 2.2.2
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
9/28
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva
dan sumbu x dalam selang , jika bertanda negatifmaka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x (Purnomo, 2010).
a. Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung
Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka
=
Selanjutnya ditulis (Purnomo, 2010).
2.2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci,berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk
menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar
tersebut adalah:
1. = 2. =
3. = Cxsec
= Cxcos
4. = Cxcsc = Cxsin
5.
=
Cxx tansec
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
10/28
6. = Cxx cotcsc Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral
fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. ,sin xdxm
dan xdxm
cos dengan m bilangan ganjil atau genap positip. Jika m
bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan
terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan
identitas
. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antaraintegran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan(Purnomo, 2010).
2.2.3 Integral Parsial
Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian
integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana )dan Karena , maka menurut definisi differensial dan turunanfungsi diperoleh :
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh :
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
11/28
dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih
sulit dibandingkan dengan tersebut (Purnomo, 2010).
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
12/28
BAB 3. METODOLOGI
3. 1 Alat dan Bahan
Adapun alat dan bahan yang digunakan pada praktikum pengenalan matlab
kali ini adalah:
3.1.1 Alat
a. Laptop.
Intel(R) Core(TM) i3-3110M CPU @
2,40 GHz 2,40 GHz
3.1.2 Bahan
a.
MATLAB 7.8.0 (R2009a).
3.2 Prosedur
Adapun prosedur pengaktifan pada praktikum pengenalan MATLAB kali
ini adalah:
1. Hidupkan computer atau laptop.
2. Install program MATLAB.
3.
Buka Program MATLAB dengan double klik icon MATLAB pada desktop
atau klik kanan pada icon MATLAB kemudian open.
4. Aplikasi MATLAB R2009a siap untuk digunakan.
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
13/28
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1Hasil
4.1.1 Menghitung Turunan
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
14/28
Gambar 4.4
Gambar 4.5
4.1.2 Menghitung integral
Gambar 4.6
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
15/28
Gambar 4.7
Gambar 4.8
4.2
Pembahasan
4.2.1 Perhitungan Turunan
Proses dari menurunkan disebut dengan differensiasi. Turunan
mempunyai operasi-operasi yang dapat diselesaikan menggunakan program
MATLAB. Pengoperasian turunan dimulai denganmendefinisikan variabel-
variabe yang akan digunakan. Pada awalnya, variabel dapat didefinisikan dengan
menggunakan syntax : sym( ), namun syntax tersebut hanya bisa digunakan
untuk mendefinisikan satu variabel saja. Agar pendefinisian dapat dilakukan
untuk berberapa variabel, syntax yang digunakan yaitu:
Contohnya dapat dilihat pada Gambar 4.1, yaitu dengan mengetikkannya seperti:
>> kemudian tekan tombol Enter.
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
16/28
Langkah selanjutnya yaitu dengan memasukkan suatu fungsi pada MATLAB
seperti:
>> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi turunan pada MATLAB
seperti pada Gambar 4.1:
>>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Pengoperasian turunan di atas artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x. Secara
umum, syntax turunan yaitu:
Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan langsung
memasukkan fungsinya seperti pada Gambar 4.2. Contoh pengoperasian
perhitungan turunan pada Gambar 4.2 dapat dilakukan dengan mengetikkan:
>>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
17/28
Pencarian turunan sebanyak n kali, dapat menggunakan syntax sebagai
berikut:
Artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x sebanyak n kali. Contohnya dapat
dilihat pada Gambar 4.3, yaitu dengan mengetikkannya seperti:
>>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Atau dengan mengetikkannya seperti:
>>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Pengoperasian turunan diatas memiliki arti bahwa fungsiditurunkanterhadap x sebanyak 3 kali.
Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan
memasukkan fungsi yang terdiri dari 2 variabel seperti pada Gambar 4.4. Contoh
pengoperasian perhitungan turunan pada Gambar 4.4 dapat dilakukan dengan
memasukkan suatu fungsi pada MATLAB seperti:
>>
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
18/28
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi turunan pada MATLAB
seperti pada Gambar 4.5:
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Pengoperasian turunan diatas memiliki arti bahwa fungsi diturunkanterhadap y. Pengoperasian turunan fungsi terhadap x dapat dilakukandengan mengetikkannya seperti:
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
4.2.2 Perhitungan Integral
Berdasarkan percobaan pada praktikum kali ini didapatkan hasil bahwa
dasar-dasar pengoperasian integral pada MATLAB antara lain :
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
19/28
Jenis Integral Simbol Syntax dalam Matlab
Tabel 4.1
Operasi perhitungan integral dapat dilakukan dengan mendefinisikan variabel
terlebih dahulu. Variabel telah terdefinisi pada langkah sebelumnya, oleh karena
itu, pengoperasian integral dapat langsung dilakukan dengan mengetikkansyntax turunan pada MATLAB seperti pada Gambar 4.6:
>>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Pencarian integral sebanyak n kali, dapat menggunakan syntax sebagai
berikut:
(( ) )Artinya, fungsi f(x) diintegralkan terhadap x sebanyak n kali. Contohnya
dapat dilihat pada Gambar 4.3, yaitu dengan mengetikkannya seperti:
>>
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Pengoperasian integral diatas memiliki arti bahwa fungsidiintegralkanterhadap x sebanyak 3 kali.
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
20/28
Pengoperasian integral terhadap x sebanyak kali tidak dapat dilakukanlangsung seperti pada syntax diferensial . Hal tersebut terjadikarena apabila syntax yang dimasukkan ke dalam MATLAB seperti padaGambar 4.7:
>>kemudian apabila menekan tombol Enter, hasil yang akan muncul yaitu:
Hasil yang didapatkan diatas merupakan pengoperasian integral tentu dengan batas atas dan batas bawah bukan pengoperasian integral terhadap xsebanyak kali seperti yang dimaksud. Pengoperasian samadengan pengoperasian .
Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan
memasukkan fungsi yang terdiri dari 2 variabel seperti pada Gambar 4.4, yaitu
. Fungsi sudah didefinisikan pada langkah sebelumnya, olehkarena itu, pengoperasian integral terhadap dapat langsung dilakukan denganmengetikkan syntax pada MATLAB seperti pada Gambar 4.8:
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
Pengoperasian integral terhadap dengan batas atas 1 dan batas bawah 0 dapatdilakukan dengan mengetikkannya ada MATLAB seperti pada Gambar 4.8,
yaitu:
>>
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
21/28
kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
22/28
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari praktikum turunan dan integral kali ini adalah:
1.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi
dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.
2.
Integral merupakan lawan dari proses diferensial.
3. Operasi turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan mendefinisikan
variabel-variabel yang digunakan, kemudian memasukkan syntax
.4. Integral dalam matematika yang telah terdefinisi pada MATLAB yaitu
meliputi integral tak tentu dan integral tentu.
5.2 Saran
1.
Gambar 5.1
Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.1 saat praktikum dilaksanakan.
Kesalahan terdapat pada kekurangan tanda kurung pada akhir syntax. Seharusnya
penulisan diapit oleh dua tanda kurung, sehinggapenulisan menjadi ' '.
2.
Gambar 5.2
Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.2 saat praktikum dilaksanakan.
Kesalahan terdapat pada penulisan syntax trigonometri Penulisanpada MATLAB seharusnya yaitu .
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
23/28
DAFTAR PUSTAKA
Sutedjo, Haryanto. 2013.Kalkulus Diferensial Integral. Jakarta: Gunadarma
Lestari, Dwi. 2013. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Fakultas MIPA
Universitas Negeri Yogyakarta.
Hertanto, D.B. 2009. Turunan, Integral, Persamaan Diferensial dan Transformasi
Laplace Dalam Penerapannya di Bidang Teknik Elektro. Yogyakarta:
Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta.
Purnomo, Dwi. 2010. Kalkulus Integral. Malang: Fakultas Pendidikan Ilmu
Eksakta Dan Keolahragaan Ikip Budi Utomo Malang
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
24/28
LAMPIRAN
1.
Carilah nilai turunan ke4 dari fungsi-fungsi berikut:
Mendefinisikan f(x) dan g(x):
a.
f(x) =
b. g(x) = ||terhadap x
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
25/28
2.
Carilah nilai integral dari fungsi berikut terhadap x:
Mendefinisikan f(x), g(x), dan h(x):
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
26/28
a. f(x) = ;dengan batas 0 sampai ;b. g(x) =
;dengan batas 0 sampai ; danc. h(x) = ;dengan batas 0 sampai
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
27/28
3.
Sebuah benda bergerak mengikuti lintasan tertentu dengan posisi terhadap
waktu memenuhi persamaan s(t) =
. Tentukan kecepatan dan
percepatan benda tersebut masing-masing saat 15 dan 4 detik.
Kecepatan Percepatan
5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab
28/28
4. Tentukan luas daerah diantara kurva dan .