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MB0004_M1AA1L1_Funciones Versión: Septiembre de 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

Lasfuncionesysusoperaciones

Por: Sandra Elvia Pérez Márquez

Funciónreal Función es uno de los conceptos matemáticos más importantes. Se usa como sustento del Álgebra, la Trigonometría, el Cálculo Diferencial e Integral, entre otras ramas de la Matemática. Este concepto lo estudiaste en el curso Funciones y ecuaciones, ¿lo recuerdas? Haz un breve repaso.

Relacionesyfunciones Tanto el concepto de relación, como el concepto de función, implican la correspondencia entre dos conjuntos. Fuenlabrada de la Vega (2001) menciona que:

Cuando a todos o para algunos de los elementos de un conjunto A, le corresponde, vinculado por alguna condición o propiedad, uno o más elementos del conjunto B, decimos que hay una relación R entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B (p. 3).

El concepto de relación sólo requiere de:

1) Dos conjuntos (A y B). 2) Que todos o algunos de sus elementos se encuentren vinculados de alguna forma.

Analicemos ahora el concepto de función. Purcell & Varberg (2000) definen función de la siguiente manera:

Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio con un valor único f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función (p. 41).

El concepto de función requiere de:

1) Dos conjuntos (igual que una relación). 2) Que cada objeto de un conjunto (el dominio) esté asociado con un valor único del segundo

conjunto (el rango). La diferencia entre estos dos conceptos es que la relación permite cualquier tipo de asociación


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entre los dos conjuntos involucrados (llamados dominio y rango) y no pone restricciones de ningún tipo, sólo que los conjuntos estén vinculados de alguna forma. La función, en cambio, restringe el vínculo en los siguientes aspectos:

1) No puede haber elementos del conjunto A (dominio) sin relacionar. 2) No se permite que un elemento del conjunto A (dominio) se relacione con más de un

elemento del conjunto B (rango). Si dos conjuntos se encuentran relacionados y cumplen con estas dos restricciones, entonces es una función; caso contrario, será una relación. Ejemplo Determina si la forma establece una relación o una función según se encuentren vinculados los siguientes conjuntos Considera al conjunto A como el dominio, y al conjunto B como rango.

Figura 1. ¿Relación ó función?



Solución Debido a que no todos los elementos del conjunto A (dominio) se encuentran vinculados con elementos del conjunto B (rango), es una relación. (No cumple la condición 1).

Solución El elemento 2 del conjunto A se encuentra asociado con dos elementos del conjunto B, por lo tanto es una relación. (No cumple la condición 2)

Solución Todos los elementos del conjunto A se encuentran asociados con elementos del conjunto B, además como ningún elemento de A está relacionado con más de un elemento de B se trata de una función. (Cumple las dos condiciones).


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Variabledependienteeindependiente

En situaciones en donde se deben aplicar procedimientos matemáticos, por lo general, aparecen dos tipos de cantidades: constantes y variables. En una expresión matemática, una constante es cualquier cantidad conocida y que no cambia de

valor. Como ejemplo, en la fórmula para calcular el volumen de una esfera 3

34 rV π= , aparecen las

constantes π34 , cuyo valor es siempre el mismo, ¿recuerdas cuál es el valor de ?

Figura 4. Valor de r (Aceves, 2012)

¿Cuál es el valor de V?, ¿cuál es el valor de r? Estos valores son desconocidos y dependen de la esfera que se esté estudiando en particular. A este tipo de cantidades, cuyo valor cambia de acuerdo a una situación en específico, se les conoce como variables. ¿A qué se debe el cambio en el volumen de una esfera? De la fórmula anterior, a cada valor que se le asigna a r (radio) le corresponderá un valor a la variable V (volumen), por esta razón a r se le conoce como variable independiente, y a V como variable dependiente.


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Ejemplo Imagina que eres encargado de comprar las tortillas para una fiesta en la que no se sabe con certeza cuántos invitados llegarán, ¿cuántos kilos de tortilla deberás comprar para la fiesta? Después de preguntar a varias personas, tomaste la decisión de considerar que un kilo de tortillas alcanza para seis personas; con base en este dato, piensas calcular el número de kilogramos de tortilla a comprar. Esta aseveración se puede escribir en lenguaje matemático como sigue:

6Pt =

En donde t es el total de kilogramos de tortillas a comprar y P es el número de personas invitadas a la fiesta. De esta forma, si los invitados a la fiesta son 42, entonces deberás comprar siete kilogramos de tortillas.

En la expresión 6Pt = , ¿cuál es la constante?, ¿cuál es la variable independiente?, ¿cuál es la

variable dependiente? Reflexiona un poco, ¿ya lo tienes? Compara tus respuestas.

La constante es 61 .

La variable independiente es P. La variable dependiente es t.

¿Llegaste a los mismos resultados? Recuerda que el valor de la variable dependiente depende del valor de la variable independiente, en este caso, el número de kilogramos de tortilla que se compre dependerá del número de personas invitadas a la fiesta.


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¿Cómoescribirfunciones? Para ejemplificar la forma de representar una función en matemáticas, consideremos la ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen. ¿Recuerdas esta ecuación? La estudiaste en el curso de Funciones y ecuaciones.

bmxy +=

En este caso:

y es la variable dependiente. x es la variable independiente. m , b son las constantes.

Una forma alternativa de escribir una función es

( ) bmxxf += De donde se puede observar que:

( )xfy =

Es necesario que te acostumbres a las dos formas de representar una función, porque en este curso usaremos ambas de manera indistinta. ¿Cómo podemos utilizar esta notación matemática de funciones para el ejemplo de las tortillas?

La expresión 6Pt = se puede escribir de la siguiente forma:

)(Pft =

Que se lee “t es función de P”. Este tipo de expresión indica que el valor de t está en función de (depende de) P.


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Dominio,rangoygráficadeunafunción A partir de la definición, para que exista una función se necesitan tres componentes:

1. Dominio. 2. Rango. 3. Regla de correspondencia.

El dominio y el rango son conjuntos de números reales. ¿Qué significa regla de correspondencia? El dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente. La letra que usaremos en nuestro curso para representar la variable independiente será la x . El rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. La letra que usaremos en nuestro curso para representar la variable dependiente será la y . La regla de correspondencia puede ser una tabla de valores, una gráfica, o una expresión matemática. Todas indican la relación existente entre los elementos del dominio y los elementos del rango. Existen una gran variedad de funciones matemáticas, de las cuales ya estudiaste en el curso de Funciones y ecuaciones. ¿Las recuerdas?

Función Descripción Ejemplo Trigonométrica Seno, coseno, tangente. ( )xy tan=

Logarítmica Son expresiones que contienen un

logaritmo acompañando a la variable independiente.

( )xy log=

Exponencial Son expresiones que incluyen a la variable independiente en el exponente.

xy 5=

Algebraica Son todas aquellas que sólo contemplan operaciones algebraicas.

542 +−= xxy

Tabla 1. Descripción de funciones.


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La tabla 2 muestra un resumen de las características (ecuación, gráfica, dominio y rango) de las principales funciones.

Función

Ecuación

Gráfica

Características principales

Lineal

bmxxf +=)(

=m pendiente (inclinación) =b ordenada al

Origen (intersección con eje de las “y”) Dominio ( )+∞∞− , Rango ( )+∞∞− ,


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Cuadrática

cbxaxxf ++= 2)(

Vértice

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−abf

ab

2,

2

Concavidad 0>a (abre hacia arriba)

Vértice punto mínimo

Dominio ( )+∞∞− , Rango[ )∞,vértice

Concavidad 0<a (abre hacia abajo)

Vértice punto máximo

Dominio ( )+∞∞− , Rango ( ]vértice,∞−

Las intersecciones con el eje “x” son las raíces de la ecuación.

Intersecciones con el eje “y” es

el valor de la constante en la ecuación c .


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Cúbica

43

22

31)( axaxaxaxf +++=


Intersecciones con el eje “y” es el

valor de la constante en la ecuación

4a .

Dominio ( )+∞∞− , Rango ( )+∞∞− ,

Cuarto grado

542

33

24

1)( axaxaxaxaxf ++++=


Intersecciones con el eje “y” es el

valor de la constante en la ecuación

5a .

Dominio ( )+∞∞− , Rango depende de la gráfica.

Exponencial

kbxf x +=)(

Asíntota horizontal en y=k Dominio ( )+∞∞− , Rango ( )+∞,k Si 0>b la función es creciente. Si 10 << b la función es decreciente.


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Logarítmica

( ) khxxf b +−= log)(

Asíntota vertical en x=h Dominio ( )+∞,h Rango ( )+∞∞− ,

Seno

khxasenxf +−= )()(

Amplitud es el valor de la constante a. Dominio ( )+∞∞− , Rango se relaciona con amplitud .

Coseno

khxaxf +−= )cos()(

Amplitud es el valor de la constante a. Dominio ( )+∞∞− , Rango se relaciona con amplitud .


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Tangente

khxxf +−= )tan()(

Periodo Dominio periodo Rango ( )+∞∞− ,

Tabla 2. Ecuaciones, gráficas y características de las principales funciones.

Operacionesconfunciones Las funciones pueden combinarse unas con otras a través de operaciones y su resultado será otra función. Las principales operaciones que se pueden realizar con funciones son:

Operación Definición Suma de funciones

)()())(( xgxfxgf +=+

Diferencia de funciones

)()())(( xgxfxgf −=−

Multiplicación de funciones

)()())(( xgxfxgf ⋅=⋅

División de funciones

)(/)())(/( xgxfxgf =

Composición

))(())(( xgfxgf =

))(())(( xfgxfg =

Tabla 3. Operaciones con funciones.


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Las operaciones de suma, diferencia, multiplicación y división entre dos funciones, se realizan aplicando las reglas algebraicas y dependen del tipo de función.

Ejemplo: Si 34)( 2 +−= xxxf y 5)( −= xxg Realiza las siguientes operaciones con funciones: a) ))(( xgf + b) ))(( xgf − c) ))(( xgf ⋅ d) ))(/( xgf Solución a) Como la suma de dos funciones está definida por )()())(( xgxfxgf +=+ , aplicando las propiedades de las sumas algebraicas (sólo se suman términos semejantes):

( ) ( ) 23534))(( 22 −−=−++−=+ xxxxxxgf

b) De la misma forma, para la diferencia de funciones )()())(( xgxfxgf −=−

( ) ( ) 85534))(( 22 +−=−−+−=− xxxxxxgf

c) Para la multiplicación )()())(( xgxfxgf ⋅=⋅ . Recuerda que debes multiplicar cada uno de los términos de una función con los términos de la otra función.

( )( )15239))((

1532045534))((23

2232

−+−=⋅

−++−−=−+−=⋅

xxxxgf

xxxxxxxxxgf

d) Para el caso de esta división, como es un polinomio entre un binomio, se puede realizar división normal o por división sintética ( ) ( )5/34))(/( 2 −+−= xxxxgf .


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División normal División sintética

85

35

1345

2

2

+−

++−

++−−

xxxx

xxxx

811

55

5341 −

( ) ( )5815/34))(/( 2

−++=−+−=x

xxxxxgf

Tabla 4. División normal o división sintética. Como acabamos de ver en las operaciones con funciones de suma, diferencia, multiplicación y división, simplemente se realiza la operación indicada tomando en consideración las reglas algebraicas.

¿Enquéconsistelaoperacióncomposición? La operación composición es una operación que consiste en sustituir una función en otra y realizar las operaciones necesarias para crear una nueva función. En la composición es importante el orden en que aparecen las funciones, así si tenemos ( )( )xgf se lee f composición g ó f compuesta de g. En este caso, la función g se sustituye en la función f. Matemáticamente se define como: ))(())(( xgfxgf = ¿Cómo se leerá ( )( )xfg ?, ¿qué función se debe sustituir ahora?, ¿cómo se define esta operación? En el caso de ( )( )xfg se lee g composición f” ó g compuesta de f, ahora se debe sustituir la función “f” en la función “g” y se define matemáticamente como: ))(())(( xfgxfg = Ejemplo Si 32)( 2 −= xxf y 4)( += xxg . Realiza las operaciones: ( )( )xgf y ( )( )xfg .

Residuo

Residuo


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Solución

Operación ( )( )xgf Operación ( )( )xfg Para esta operación

))(())(( xgfxgf = , la función 4)( += xxg se sustituye en

32)( 2 −= xxf ; es decir, los valores de “x” de la función “f” se sustituyen por la función “g”.

( ) 342)4())(( 2 −+=+= xxfxgf Realizando operaciones:

29162

3321623)168(22

22

++=

=−++=−++

xx

xxxx

Para esta operación

))(())(( xfgxfg = , la función 32)( 2 −= xxf se sustituye en

4)( += xxg ; es decir, los valores de “x” de la función “g” se sustituyen por la función “f”.

4)32()32())(( 22 +−=−= xxgxfg Realizando operaciones: ( )

12432432

2

22

+==+−=+−

xxx

Tabla 5. Solución al ejemplo anterior. ¿Son iguales los resultados en ambas operaciones? Los resultados no son iguales pues las operaciones son diferentes. Entonces, ¿siempre van a ser diferentes los resultados de las operaciones? Existen funciones que al realizar las operaciones ))(())(( xgfxgf = y ))(())(( xfgxfg = sus resultados son iguales a “ x ”. A estas funciones se les llama funciones inversas. Las funciones inversas tienen la característica de que el dominio de una de las funciones representa el rango de la otra y viceversa.


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Ejemplo: Si 2)( −= xxf y 2)( += xxg . Realiza las operaciones: ( )( )xgf y ( )( )xfg . Solución

Operación ( )( )xgf Operación ( )( )xfg Para esta operación

))(())(( xgfxgf = , la función 2)( += xxg se sustituye en

2)( −= xxf

( ) 22)2())(( −+=+= xxfxgf Realizando operaciones:

xx =−+ 22

Para esta operación

))(())(( xfgxfg = , la función 2)( −= xxf se sustituye en

2)( += xxg )2())(( −= xgxfg

Realizando operaciones: ( ) xxx =+−=+− 2222

Tabla 6. Solución al ejemplo anterior. Por lo tanto, las funciones 2)( −= xxf y 2)( += xxg son inversas entre sí. El hecho de que se puedan hacer operaciones con funciones nos permite aplicar otros teoremas sobre ellas, como son los teoremas sobre límites que analizaremos en la siguiente lectura ó las reglas de derivación. Te invito a que continúes con tu aprendizaje.


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Referencias

Aceves, A. (2012). Centroamérica. Irapuato, Guanajuato México: Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Fuenlabrada de la Vega, S. (2001). Cálculo Integral (2a. ed.) México: McGraw Hill.

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5a. ed. en español; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

Purcell, E. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed. en español; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. & Minton, R. (2000). Cálculo. Tomo 1 (H. Castillo y G. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson S. (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed. en español; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores.

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