t u

sr

qpa

c d

ba

e f

GRAPH & TREE

1. Perhatikan Graph berikut

(A) (B)a. [5]Apakah Graph (A) planar? Jika ya gambarkan graph

bidangnya, jika tidak cari subgraph yang sama atau homeomorphic dengan salah satu graph Kuratowski

b. [5]Apakah Graph (A) merupakan Graph Lengkap atau Graph Teratur. Jelaskan!

c. [5]Apakah Graph (A) merupakan Graph Euler, Graph Semi Euler atau bukan keduanya? Jelaskan! Tuliskan salah satu sirkuit atau lintasan Euler jika ada.

d. [5] Apakah Graph (A) merupakan Graph Hamilton, Graph Semi Hamilton atau bukan keduanya? Jelaskan! Tuliskan salah satu sirkuit atau lintasan Hamilton jika ada.

e. [5] Apakah Graph (A) merupakan graph Bipartite? Jelaskanf. [5] Cari Cut Set pada Graph(A) yang menghasilkan dua buah

graph lengkap. g. [5]Cari bilangan kromatis dari Graph (A)h. [5]Jika tiap sisi diberi bobot sbb :

SISI BOBOT SISI BOBOTa - b 6 b - f 2a - c 5 c - e 4a - d 7 c - f 5a - e 4 d - e 3b - c 4 d - f 3b - d 3 e - f 4

Cari Minimum Spanning Tree dengan Algoritma Kruskal dan berapa bobotnya.

i. [10]Apakah Graph (A) isomorfik dengan Graph (B)?Jika tidak jelaskan alasannya.

Jika ya jelaskan dan buktikan dengan matriks ketetanggaan.

2. [20] Diketahui suatu ekspresi sbb : (((A+B)*C+D)*E)-((A+B)*C-D)a. Gambarkan pohon biner ekspresi

Graph & Tree Page 1

b. Tuliskan penelusuran pohon biner secara preorder(prefix)c. Tuliskan penelusuran pohon biner secara inorder(infix)d. Tuliskan penelusuran pohon biner secara postorder(postfix)

3. Dari matrik ketetanggaan multi graph di atas tentukan nilai kromatiknya

4. Cek apakah graph tanpa loop dengan matriks bersisian sebagai berikut merupakan graph isomorfik

[1 1 0 0 01 0 1 0 10 0 0 1 10 1 1 1 0

]

[0 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 1 01 0 1 0 1

]5. Pohon biner mempunyai 11 node dengan lintasan sebagai berikut

In Order : D B F E A G C L J H KPre Order : A B D E F C G H J L Ka. Gambarkan ‘Pohon Biner’ nya.b. Cari lintasan Post order

6. Cari lintasan terpendek dari a ke semua vertex lainnya dengan algoritma dikjstra

7. Dalam rangka peringatan Hari Kemerdekaan RI, akan diadakan beberapa pertandingan olah raga, yaitu volley ball, badminton, tennis, Futsal, sepak bola dan renang. Ada sejumlah mahasiswa STT

Graph & Tree Page 2

A B C D EA 0 2 1 3 2B 2 0 0 1 1C 1 0 0 1 2D 3 1 1 0 1E 2 1 2 1 0

yang menginginkan mengikuti beberapa pertandingan sekaligus, dengan catatan sebagai berikut : Beberapa mhs ingin ikut volley, badminton dan futsal Beberapa mhs ingin ikut volley, tennis dan futsal Beberapa mhs ingin ikut badminton, renang dan volley Beberapa mhs ingin ikut renang dan tennis Beberapa mhs ingin ikut volley, sepakbola dan renang.Jika panitia meluluskan harapan mahasiswa untuk mengikuti semua pertandingan yang diinginkannya.

a. Gambarkan dalam graphb. Bagaimana menyusun jadwalnya

8. Pemerintah ingin membangun jalur kereta api yang dapat digunakan sebagai sarana transportasi antar kota. Jika data jarak antar kota adalah sebagai berikut.

A B C D E F G HA 70 100B 60 90C 100 75 80D 65 105E 90 110 120FG 100

a. Gambarkan graf yang memodelkan persoalan inib. Tentukan jalur yang harus dibangun, dengan syarat biaya

pembangunan keseluruhan paling minimum dan setiap kota dapat terhubung

c. Dari hasil pembangunan, apakah jalur dari kota A ke kota H merupakan jalur terpendeknya (bandingkan jarak sesungguhnya dengan jalur yang sudah dibangun)

9. Suatu prefix mempunyai ekspresi sbb : + - * 2 3 5 / ^ 2 3 4. Berapa nilai dari ekspresi tersebut

10. Gambarkan pohon biner dengan

Preorder : B C E G F D A J K L H

Inorder : E C F G A D B K J L H

Graph & Tree Page 3

11. Diketahui graf G1 a. Uji keplanaran graf tersebut dengan teorema Kuratowskib. Lakukan pewarnaan simpul pada graf di atas. Berapa nilai

kromatisnya?c. Apakah graf tersebut merupakan graf Euler/graf semi Euler

atau bukan keduanya?Jika graf Euler/semi Euler, tunjukkan salah satu sirkuit/lintasan Euler-nya!

12. Diketahui 2 graf G2 dan G3 a. Periksa dan tunjukkan apakah kedua graf tersebut adalah

isomorfik ! b. Periksa & tunjukkan apakah graf G2di atas adalah graf

bipartite!c. Apakah graf G3 merupakan graf Hamilton/graf semi Hamilton

atau bukan keduanya?Jika graf Hamilton/graf semi Hamilton, tunjukkan salah satu sirkuit/lintasan Hamilton-nya!

13. Diketahui graf G28 orang mahasiswa sedang mengikuti pelatihan Komunikasi Efektif . Mereka diminta untuk menyampaikan pesan (informasi) berantai. Jika dalam penyampaian ada beberapa kesalahan informasi spt table di bawah ini,

Antara Error(%) Antara Error(%) Antara Error(%)a-b 5 c-d 3 e-g 2a-d 18 c-e 8 f-h 7a-e 8 c-h 8a-h 35 d-f 11b-f 17 d-g 6

a. Carilah jalur dari a ke h sehingga informasi yang tersampaikan seefektif mungkin(kesalahan seminimal mungkin).

b. Carilah jalur sehingga semua informasi dapat diterima setiap orang dimana kesalahan yang terjadi seminimal mungkin

14. Dalam merayakan hari Kemerdekaan RI, STT Telkom mengadakan 8 buah perlombaan. Ternyata banyak orang yang ingin mengikuti lebih dari satu pertandingan. Setelah di data didapatkan sebagai berikut :

Peserta perlombaan

Ada yang mengikuti perlombaan

Peserta perlombaan

Ada yang mengikuti perlombaan

A B D F E B D B A C E F A D GC B G G C F HD A E F H H D G

Graph & Tree Page 4

a b c d e f

h

i

j

k

l

g

1 2 3 4 5 6

8

9

10

11

12

7

(b)

A B

C

D

(a)

A B

D

C

Berapa jadwal perlombaan minimal yang harus disediakan panitia agar semua dapat mengikuti semua permainan yang diinginkan ?

15. Letakkan kata berikut dalam sebuah pohon pencarian biner dengan

aturan : untuk sembarang verteks V, setiap butir data pada pohon bagian kiri dari V kurang dari butir data di V dan setiap butir data pada pohon bagian kanan lebih dari butir data di V (secara alphabetis) “Tak seorangpun dapat kembali ke masa lalu untuk memulai awal yang baru”

16. Jika A=1, B=2,C=3, D=4 , a. Carilah nilai dari ekspresi postfix : ADB*CD-+*b. Gambarkan pohon ekspresi biner c. Cari prefix d. Cari infix

17. Gambarkan Graph dengan karakteristik sbb:a. Mempunyai 8 vertex; 2 vertex berdegree 5, sisanya

berdegree 2b. Mempunyai 7 vertex; 1 vertex berdegree 6, sisanya

berdegree 3c. Mempunyai 10 vertex; 5 vertex berdegree 2, sisanya

berdegree 1(Berikan alasan jika menurut anda perlu)

18. Selidiki apakah graph berikut ini isomorphis

19. Pada gambar model jembatan (a) dan (b) dibawah ini, dapatkah seseorang melintasi semua jembatan tepat satu kali dan kembali ke tempat semula dimana ia mulai. Berikan alasan pada jawaban anda, dan tuliskan lintasanya jika berhasil melintas dengan syarat diatas.

Graph & Tree Page 5

h g

a d

cb

a

e

f

e

a b

c

d

f

1 2

34

5 6

Graph A Graph B

20. Periksa apakah graph di bawah ini :a. Mempunyai Sirkuit Euler? Gambarkan jika ada atau jika tidak

ada jelaskan mengapa?b. Mempunyai Lintasan Euler ? Gambarkan jika ada atau jika

tidak ada jelaskan mengapa?c. Mempunyai Lintasan Hamilton ? Gambarkan jika ada atau jika

tidak ada jelaskan mengapa?

21.

a. Apakah Graph A dan B merupakan graph yang isomorfik. Jelaskan ! Jika ya, tentukan simpul- simpul yang bersesuaian.

b. Apakah Graph A merupakan Graph Planar? Jika ya, gambarkan graph bidangnya.

c. Carilah dan Gambarkan Spanning Subgraph dari Graph B yang merupakan graph teratur dimana sisi (1,3) dan (5,6) termasuk didalam subgraph tersebut.

22.

Graph & Tree Page 6

e7

e4

e3e2

e1

V5

V1V2 V3

V4e5e6

Graph G1

Graph G2

G3

Graph G1 Graph G2

a. Nyatakan G1 dan G2 dalam matriks ketetanggaan (adjacency matrix)

b. Apakah G1 dan G2 isomorfik? Jelaskan ! Jika ya, tentukan vertex yang bersesuaian

c. Apakah G1 merupakan graph euler? Jika ya, tuliskan salah satu sirkuit yang dimulai dari vertex a

d. Apakah G2 merupakan graph planar? Jika ya, gambarkan graph bidangnya

23. Nyatakan graph G1 dengan a. Matriks Ketetanggaanb. Matriks Bersisian

24. Cek apakah graph G2 merupakan graph bipartit

25. Apakah graph G3 merupakan a. Graph Euler , Semi Euler atau bukan keduanya, Jelaskan!b. Graph Hamilton, Semi Hamilton atau bukan keduanya.

Jelaskan!Jika ada, tuliskan lintasan atau sirkuitnya!

Graph & Tree Page 7

p q r s

t u v

g

fe

a b c d

c b 2540

10

402030

4050

50

d

f e

a 35

26. Perhatikan Graph berikut

(A) (B)a. [5]Apakah Graph (A) planar? Jika ya gambarkan graph

bidangnya, jika tidak cari subgraph yang sama atau homeomorphic dengan salah satu graph Kuratowski

b. [5]Apakah Graph (A) merupakan Graph Lengkap atau Graph Teratur. Jelaskan!

c. [5]Tentukan satu subgraph dari Graph (A) yang termasuk graph teratur dan merupakan spanning subgraph.

d. [5] Cari Cut Set pada Graph(A) yang komponennya merupakan graph lengkap.

e. [5]Cari bilangan kromatis dari Graph (A)f. [5] Apakah Graph (A) merupakan graph Bipartite? Jelaskang. [5]Apakah Graph (A) isomorfik dengan Graph (B)?h. Jika tidak jelaskan alasannya. Jika ya jelaskan dan buktikan

dengan matriks ketetanggaan.

27. asumsi : vertex = kota; sisi = jalan; bobot[km] A. Jika seorang pedagang keliling berangkat dari kota a, ingin

mengunjungi setiap kota tepat 1 kali dan kembali ke kota ai. Tentukan rute mana saja yang mungkin ditempuh. ii.Tentukan rute dengan jarak minimum

B. Jika pemerintah daerah hendak memperbaiki jalan, sementara dana yang ada sangat terbatas, tentukan jalan mana saja yang diperbaiki sehingga setiap kota dapat saling berhubungan dan panjang jalan yang diperbaiki paling minimum! Tentukan panjang jalan yang perlu diperbaiki.

C. Jika seorang bupati ingin mensurvey kondisi semua jalan antar kota, berangkat dari kota a dan ingin kembali ke kota a, tentukan rute mana saja yang mungkin dilalui (berikan minimal 4 rute).

Graph & Tree Page 8

D. Tentukan rute dengan jarak minimum yang perlu dilewati jika seseorang berangkat dari kota a ke kota lainnnya.

28. Graf manakah yang mempunyai sirkit / lintasan hamilton? Tunjukkan sirkit atau lntasan hamiltonnya

29. Dalam jaringan seluler dikenal istilah frekuensi reuse (penggunaan frekuensi yg sama untuk sel yg berbeda). Frekuensi re-use dapat

dilakukan jika jarak minimal antar 2 sel minimal = D/R = √3N . Dimana D adalah jarak antar sel, R adalah jari-jari sel ( dalam hal ini R = 3 km) dan N adalah ukuran cluster ( dalam soal ini dipakai N = 3). Jika jaringan tersebut ada 7 sel dengan jarak (dalam km) sbb :

1 2 3 4 5 6 71 - 7 8 8 13 15 152 - - 8 9 6 15 143 - - - 12 7 9 84 - - - - 10 11 95 - - - - - 7 96 - - - - - - 67 - - - - - - -

a. Gambarkan graf yang memodelkan persoalan ini. Jelaskan pula arti setiap simpul dan sisi pada graf anda

b. Berapa banyak frekuensi berbeda yang dibutuhkan bagi ketujuh sel terdebut supaya penggunaan frekuensinya efisien?

30. Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski apakah graf A planar atau tidak planar.

31. Dalam sebuah perpustakaan diberlakukan peraturan tidak boleh meminjam buku dengan judul tertentu secara bersamaan. Jika tabel

Graph & Tree Page 9

Graph A

berikut menyatakan daftar judul buku yang tidak boleh dipinjam secara bersamaan . Tentukan berapa minimal jumlah peminjam sehingga semua buku dapat dipinjam tanpa melanggar aturan peminjaman yang berlaku.

32. Sebuah pabrik menghasilkan 8 jenis produk yang akan dijual ke beberapa kota. Pada satu kota tertentu sudah ditentukan jenis yang bisa dijual secara bersamaan, dengan konfigurasi sebagai berikut

Jenis Produk

Jenis produk yang bisa dijual di kota yang sama

Jenis Produk

Jenis produk yang bisa dijual di kota yang sama

A B D F E B D B A C E F A D GC B G G C F HD A E F H H D GBerapa jumlah minimal kota yang diperlukan agar semua jenis produk dapat dipasarkan?

33. Pemerintah menetapkan aturan bahwa dua stasiun TV yang berjarak kurang dari 150 km tidak boleh beroperasi pada saluran frekuensi yang sama. Tabel di bawah ini memperlihatkan jarak (km) antar 8 stasiun TV. Gambarkan graph yang memodelkan persoalan ini dan tentukan berapa jenis paling sedikit frekuensi yang digunakan

stasiun

jarak stasiun

jarak stasiun

jarak stasiun

jarak stasiun

jarak stasiun

jarak

a-b 85 a-g 230 b-f 100 c-f 250 d-g 180 f-g 235a-c 175 a-h 240 b-g 160 c-g 160 d-h 145 f-h 210a-d 200 b-c 125 b-h 145 c-h 145 e-f 120 g-h 50a-e 50 b-d 165 c-d 100 d-e 210 e-g 160a-f 100 b-e 100 c-e 200 d-f 220 e-h 155

34. Dalam suatu kepanitiaan dibentuk 7 kelompok , dimana Tidak ada anggota kelompok i yang menjadi anggota kelompok

v dan vii Tidak ada anggota kelompok ii yang menjadi anggota kelompok

iv dan vii

Graph & Tree Page 10

Judul buku

Judul buku yg tidak boleh dipinjam bersama dengan judul buku yg ada di tabel

A B,C,DB A,C,EC A,B,D,FD A,C,G,E B,F,HF C,E,G,H,I,JG D,FH E,I,FI F,H,JJ I,F

11

A

D L

SE

NP

11

11

0

00

00

Tidak ada anggota kelompok iii yang menjadi anggota kelompok v

Tidak ada anggota kelompok iv yang menjadi anggota kelompok ii dan vi

Tidak ada anggota kelompok v yang menjadi anggota kelompok i dan iii

Tidak ada anggota kelompok vi yang menjadi anggota kelompok iv

Tidak ada anggota kelompok vii yang menjadi anggota kelompok i dan ii

Selain ketujuh kondisi di atas, ada anggota suatu kelompok yang menjadi anggota di kelompok lain

Jika dalam satu hari seluruh kelompok ingin mengadakan rapat, berapa slot waktu minimal yang diperlukan sehingga semua anggota kelompok dapat mengikuti rapat?

35. Seorang pemimpin suatu ajaran sesat merekrut 5 orang anggota. Kepada tiap anggotanya diwajibkan merekrut 5 lima orang anggota yang belum menjadi anggota sebelumnya. Misalkan ada 10.000 anggota yang merekrut anggota sebelum ajaran tersebut dilarang dan rantai berakhir.

a. Berapa banyak orang yang menjadi pengikut ajaran tersebut termasuk pimpinannya?

b. Berapa banyak anggota yang belum melakukan rekrutasi?

36. Buka kode 1110011101001111 dengan kode Huffman yang diberikan pada gambar D

37. Buat kode kata LEADEN dengan kode Hufman pada gambar D

38. Buat pohon pengkodean Huffman untuk kalimat berikut SAYA_SUKA_SAMA_KAMU

39. Letakkan kata berikut dalam sebuah pohon pencarian biner dengan aturan : untuk sembarang verteks V, setiap butir data pada pohon bagian kiri dari V kurang dari butir data di V dan setiap butir data pada pohon bagian kanan lebih dari butir data di V (secara alphabetis)

Graph & Tree Page 11

Gambar D

f

a

b

c

d

g

2

75

2

1 1

2

34

6

4

1

e

RAJIN PANGKAL PANDAI MALAS MENJADIKAN BODOH

40. Diketahui suatu ekspresi sbb : (((A+B)*C+D)*E)-((F+G)*H-I)a. Gambarkan pohon biner ekspresi b. Tuliskan penelusuran pohon biner secara preorder(prefix)c. Tuliskan penelusuran pohon biner secara inorder(infix)d. Tuliskan penelusuran pohon biner secara postorder(postfix)

41. Perhatikan Graph berbobot di sebelah ini.

42. Tuliskan ekspresi infik dan postfik dari ekspresi prefik berikut :a. +*a/bc–de b. –p/+*qrst

43. a. Sebuah ekspresi dinyatakan dalam notasi postfix : ABC-/DEFG/-+*. Jika dilakukan assignment : A 10, B 3, C 2, D4, E5, F3,

G1. Carilah nilai yang dihasilkan dari ekspresi tersebut. b. Sebuah ekspresi dinyatakan dalam notasi prefix : /+*AB/CD*E-FG. Jika dilakukan assignment : A 2, B 3, C 6, D2, E10,

F4, G2. Carilah nilai yang dihasilkan dari ekspresi tersebut.

44. Diketahui suatu ekspresi sbb : (((A^(B+C)+D)E)-(((F+G):H)-I))a. Gambarkan pohon biner ekspresi b. Tuliskan penelusuran pohon biner secara preorder(prefix)c. Tuliskan penelusuran pohon biner secara inorder(infix)d. Tuliskan penelusuran pohon biner secara postorder(postfix)

45. Ada 8 jenis zat kimia yang perlu disimpan di dalam gudang. Beberapa zat hanya dapat disimpan dengan zat tertentu dalam ruangan yang sama karena jika tidak demikian campuran gasnya bersifat eksplosif. Berapa ruang paling sedikit yang diperlukan untuk menyimpan zat kimia tersebut jika diketahui :

ZAT DPT DISIMPAN BERSAMA ZAT ZAT DPT DISIMPAN BERSAMA ZAT

A D F G E B C G F

Graph & Tree Page 12

a. Tentukan Minimum Spanning Tree dengan algoritma Prim b. Tentukan Bilangan kromatiknya.

21 1711

22

10

10

14

19

1216

15

F

G

A

A

E

D

C

kd

a

cf

j

ib

eg

h

B C E G H F A C E

C B D E F G A B D E H

D A C G H B G

46. graph berikut adalah rute dari sebuah karnaval peringatan agustusan.

a. Jika diinginkan setiap jalan hanya dilewati satu kali ( start dan finish pada tempat yang sama)Tentukan salah satu alternatif rute yang dimaksud

b. Jika setiap tempat (simpul) diinginkan berhenti hanya satu kali . mungkinkah hal ini dilakukan. Jika mungkin tentukan tempat mulai dan berakhirnya karnaval tersebut

47. Dengan menggunakan algoritma dijkstra, tentukan jarak terpendek dari simpul A ke simpul lainnya untuk graph pada soal no 50

48. Dalam sebuah kota akan dibangun sebuah sistem transportasi busway. Terdapat 6 titik yang akan dijadikan koridor utama. Antar koridor terhubung oleh sebuah jalur (1 jalur terdiri dari 2 jalan searah yang berlawanan). Setiap koridor memiliki jalur langsung ke semua koridor lain. Jika persoalan ini direpresentasikan dalam sebuah graph dimana simpul menggambarkan koridor dan sisi menggambarkan jalur.a. Gambarkan graph yang dimaksud. b. Dilihat dari ada tidaknya lintasan/sirkuit euler dan lintasan/sirkuit

Hamilton, termasuk graph apakah graph tersebut. c. Untuk sebuah busway yang berangkat dari sembarang koridor

tertentu, ada berapa rute yang bisa melewati semua koridor lain dan kembali ke koridor semula.

Graph & Tree Page 13

B

49. Carilah tinggi pohon yang diperlihatkan pada gambar C jika k sebagai akar

50. Gambarkan pohon berakar dengan d sebagai akar

Graph & Tree Page 14

Gambar C