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La fonction quadratique
Le rôle des paramètres
D’un cône que l’on coupe avec un plan; dépendant de la
façon dont le cône est coupé, on obtient...
Un cercle Une ellipse Une
hyperbole
Une
parabole
Cet objet est obtenu par une parabole en révolution.
Antenne parabolique
qui transmet et reçoit les
communications
téléphoniques depuis les
satellites en orbite
autour de la terre. Elle
est située dans une
carrière abandonnée
près d'Euslow, dans le
comté d'Oxfordshire
(Angleterre).
Odeillo est l'endroit le plus ensoleillé de France : 3000
heures de soleil par an (soit 300 jours sur 365).
L'arche est un arc de parabole. Sa flèche (hauteur de l'arc
à compter des piles) est de 57 m; la distance entre les
piles est de 165 m. Une telle structure parabolique assure
une grande résistance.
Le viaduc de Garabit construit par Gustave Effeil sur des
plans initiaux de l'ingénieur Léon Boyer.
La parabole... trajectoire d ’une balle
lancée.
Quand on donne la forme d’une parabole à une surface
réfléchissante...
Principe des phares et des lampes de poche.
Comment calculer la hauteur atteinte par un projectile
en fonction de la distance parcourue ?
y
50 m
800 m
x
A B
La parabole, c’est aussi une équation qui permet de calculer
précisément toutes ces réalités.
Voici donc la relation mathématique de la parabole :
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = a(x - h)2 + k
La fonction quadratique
Fonction polynomiale de degré 2
f(x) = x2
1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
f(x) = x2 Parabole de base
… x
f(x) …
…
…
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
En élevant au carré les
valeurs de x, on obtient une
parabole symétrique par
rapport à l’axe des y.
y
x
Forme canonique : f(x) = a(x – h)2 + k
Forme générale : f(x) = ax2 + bx + c
Rôle des paramètres
Le paramètre a f(x) = ax2
Remarque : Le paramètre a est le même dans les deux formes.
Pour observer plus facilement le rôle du paramètre a, éliminons les
paramètres h et k.
f(x) = a (x – h)2 + k
Posons h = 0 et k = 0. f(x) = a (x – 0)2 + 0
f(x) = ax2
En forme canonique :
f(x) = a (x – h)2 + k
Pour observer plus facilement le rôle du paramètre a, éliminons les
paramètres b et c.
f(x) = ax2 + bx + c
Posons b = 0 et c = 0. f(x) = ax2 + 0x + 0
f(x) = ax2
En forme générale :
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = 1x2
1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
f(x) = -1x2
Exemple: f( -3 ) = -1 X ( -3 )2 = -9
Le paramètre a f(x) = ax2
… x
f(x) …
…
…
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
… x
f(x) …
…
…
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Exemple: f( -3 ) = 1 X ( -3 )2 = 9
y
x
1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
f(x) = 1x2
f(x) = 2x2
… x
f(x) …
…
…
-3
4,5
-2
2
-1
0,5
0
0
1
0,5
2
2
3
4,5
f(x) = 0,5x2
Le paramètre a f(x) = ax2
… x
f(x) …
…
…
-3
18
-2
8
-1
2
0
0
1
2
2
8
3
18
… x
f(x) …
…
…
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
y
x
a = 1 (parabole de base)
a > 1
0 < a < 1
a = -1
a < -1
-1 < a < 0
Le paramètre a f(x) = ax2
Le paramètre a détermine l’orientation et l’ouverture de la
parabole. y
x
Le paramètre h,
avec a = 1 et k = 0.
f(x) = 1 (x – h)2 + 0
f(x) = (x – h)2
La forme canonique
f(x) = a (x – h)2 + k
1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
h = 1 f(x) = (x - +1)2
f(x) = (x - 1)2
h = -1 f(x) = (x - -1)2
f(x) = (x + 1)2
… x
f(x) …
3
4
-2 -1 0 1 2
9 4 1 0 1
-3 x
f(x) 4
…
…
-2 -1 0 1 2
1 0 1 4 9
Le paramètre h f(x) = (x – h)2
y
x
h = 0 f(x) = 1 (x – 0)2
f(x) = x2
h > 0 f(x) = 1 (x – h)2
h < 0 f(x) = 1 (x + h)2
Le paramètre h f(x) = (x – h)2
Le paramètre h crée une translation horizontale.
y
x
Le paramètre k,
avec a = 1 et h = 0.
f(x) = 1 (x – 0)2 + k
f(x) = x2 + k
La forme canonique
f(x) = a (x – h)2 + k
Le paramètre k f(x) = x2 + k
… x
f(x) …
…
…
-2 -1 0 1 2
6 3 2 3 6
… x
f(x) …
…
…
-2 -1 0 1 2
2 -1 -2 -1 2
k = 2 f(x) = x2 + 2
k = -2 f(x) = x2 - 2 1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Le paramètre k f(x) = x2 + k
k > 0
k < 0
Le paramètre k crée une translation verticale.
y
x
Les paramètres h et k f(x) = (x – h)2 + k
h > 0 et k > 0
h < 0 et k > 0
h > 0 et k < 0
h < 0 et k < 0
Remarque : a > 0 et k > 0 ou a < 0 et k < 0, aucun zéro.
h : translation horizontale
k : translation verticale
y
x
La forme générale
f(x) = ax2 +bx + c
Le paramètre b,
avec a = 1 et c = 0.
f(x) = 1x2 + bx + 0
f(x) = x2 + bx
1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Le paramètre b f(x) = x2 + bx
-3 x
f(x) 3
…
…
-2 -1 0 1 2
0 -1 0 3 8
b = 2 f(x) = x2 + 2x
b = -2 f(x) = x2 + - 2x
f(x) = x2 - 2x
… x
f(x) …
3
3
-2 -1 0 1 2
8 3 0 -1 0
Le terme en bx crée une translation oblique.
y
x
La forme générale
f(x) = ax2 +bx + c
Le paramètre c,
avec a = 1 et b = 0.
f(x) = 1x2 + 0x + c
f(x) = x2 + c
Le paramètre c f(x) = x2 + c
… x
f(x) …
…
…
-2 -1 0 1 2
6 3 2 3 6
… x
f(x) …
…
…
-2 -1 0 1 2
2 -1 -2 -1 2
c = 2 f(x) = x2 + 2
c = -2 f(x) = x2 - 2 1
1
2 3 -1 -2 -3
9
8
7 6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Le terme en c crée une translation verticale comme le terme k dans
la forme canonique.
y
x
Les termes bx et c f(x) = x2 + bx + c
bx : translation oblique
c : translation verticale
f(x) = x2 + 5x + 1
f(x) = x2 – 4x + 7
Pour comprendre le déplacement de la parabole dans le plan
cartésien, la forme canonique est plus facilitante.
y
x
