LECŢII DE SINTEZĂîn vederea pregătirii sesiunii iulie-august a examenului de

BACALAUREAT 2012 - M2pentru candidaţii absolvenţi ai liceelor din filiera tehnologică,

profil: servicii, resurse natura le şi protecţia mediului, tehnic; toate specializările/calificărileMATEMATICĂ

TEMA 2. A lgebră clasa a Xl-a (3h/săpt.), clasa a XlI-a (3h/săpt.)

Argument:Prezentul brev iar teoretic are ca scop orientarea activităţilor de recapitu lare a m ateriei la m atematică, în vederea asigurării atingerii nivelului minim / mediu de competenţă şi nu reprezintă o listă exhaustivă.De asemenea, la ap licarea formulelor prezentate se va ţine cont de însoţirea acestora de condiţii de existenţă în funcţie de mulţim ile de numere pe care se aplică.

TEMA 1. A lgebră - Geometrie - Trigonometrie clasa a IX-a (2h/săpt.), clasa a X-a (3h/săpt.) TEMA 2. A lgebră clasa a Xl-a (3h/săpt.), clasa a XlI-a (3h/săpt.)TEMA 3. A naliză m atem atică clasa a Xl-a (3h/săpt.), clasa a XlI-a (3h/săpt.)

TEMA 2. A lgebră clasa a Xl-a (3h/săpt.), clasa a XlI-a (3h/săpt.)2.1. A lgebră clasa a X l-a

2.1.1. M atrice - clasa a Xl-a (3h/săpt.)2.1.2. Determinanţi - clasa a Xl-a (3h/săpt.)2.1.3. Sisteme de ecuaţii lin iare - clasa a Xl-a (3h/săpt.)

2.1.1. M atrice - clasa a Xl-a (3h/săpt.)17

M atrice , mulţimi d e m a tr i c e :

matricelor

M 3(M) =

pătratice de

m, n = 1,3 ; M 2Q

ordinul 2

a11 a12 | a j e M, i = 1,2, j = 1,2^, mulţimea

a11 a12a21 a22

V a31 a32

132333

| aij e M, i = 1,3, j = 1,3

cu elemente numere reale;

mulţimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente

numere reale.E lem en te le un e i m a tr i c e A e M m n (M), A = (a iJ- j =fn, aij este elementul de pe linia i şi de pe coloana j .

Identificarea unui element dintr-o matrice când se cunoaşte poziţia acestuia (perechea de indici).Exemplificarea de matrice; obţinerea unor matrice particulare dintr-o mulţime de matrice ce verifică condiţii

i ( a 2b \ 2 2 1 ( 1 0 date, de exemplu, pentru M = \ A = \ t 11A e M 2 (Z), a - 2b = 1 f se pot identifica A =b a 0 1

sau

A =3 4 2 3

Transpusa un e i m a tr i c e (liniile devin coloane şi coloanele devin linii); de exemplu, matricea A =2 3 10 - 1 5

are transpusa A =( 2 0 3 -1

M atr i c ea nu lă este matricea cu toate elementele egale cu 0.

'1 0"M atr i c ea unitate (pentru matrice pătratice): 12 =

0 1 3 =

( 1 0 0 0 1 0 0 0 1

v a21 a22 J

1

Alte tipuri de matrice: m a tr i c e linie, m a tr i c e c o loană .Opera ţi i c u m a tr i c e din mulţimea M m n (M), m, n = 1,3

• adunarea : dacă A,B e (M) , A = (ajj) , B = (bjj) , atunci A + B = C , unde C e (M) şi

c tj = a ij + b j , oricare ar fi i = 1, m şi j = 1, n (se adună elementele de pe poziţii identice din cele două matrice,termeni ai adunării); proprietăţi ale adunării de matrice : asociativitate, comutativitate, element neutru (matricea nulă, opusa unei matrice)

• înmulţirea un e i m a tr i c e cu un s ca la r : dacă A e M mn (M), a e M , A = (a iJ-) , atunci a ■ A = C , unde

C e M mn (M), C = ( c ij ) şi c tj = a ■ a t j , oricare ar fi i = 1, m, j = 1, n (se înmulţeşte fiecare element al matricei cuscalarul a ); se poate utiliza şi pentru scoaterea unui factor comun (forţat); proprietăţi:(a + fî) ■ A = a ■ A + fî ■ A ; ( a f î ) ■ A = a ■ ( f î ■ A ) , unde a , ¡3 e M

• înmulţirea m a t r i c e l o r în cazurile bine definite: dacă A e M m n (M), B e M n p (M ), A = (a ij-) , B = ( b j ) ,n ___ ___

atunci A ■ B = C , unde C e p (M), C = ( c ij-) şi c j = ^ a ik ■ bj , oricare ar fi i = 1, m, j = 1, pk=1

Observaţii.Înmulţirea matricelor pătratice de acelaşi ordin; proprietăţi: asociativitate, element neutru, matricea unitate. Există perechi de matrice pentru care înmulţirea lor este comutativă.Efectuarea de calcule matriceale, cu utilizarea de proprietăţi; rezolvarea de ecuaţii matriceale care implică adunarea matricelor şi înmulţirea cu scalari a matricelor.

2.1.2. Determinanţi - clasa a X l-a (3h/săpt.)

D eterm inan tu l unei m a tr i c e p ă t r a t i c e de ordin cel mult 3; calculul unui determinant de ordin cel mult 3 cu regula triunghiului şi/sau cu regula lui Sarrus:

- dacă A e M 2 A =a b c d

atunci det A =a bc d

= a d - b c :

- regula de calcul a determinaţilor de ordinul 3 (Sarus), de exemplu: x y 1

= (3x + 0 + y ) - (3 + 4 x + 0) = 00 3 1 V V

1 4 1' ' A

x y 10 3 1Propr ie tă ţ i a l e d e t e rm inan ţ i lo r (selecţie):

- dacă într-un determinant două linii (coloane) sunt identice, atunci determinantul este nul;- dacă într-un determinant elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul este nul;- dacă într-un determinant se adună la elementele unei linii (coloane) elementele altei linii (coloane),

atunci valoarea determinantului nu se schimbă;- det A = det( tA ), oricare ar fi A matrice pătratică;- det(AB) = det A ■ det B , oricare ar fi A, B matrice pătratice de acelaşi ordin;

Aplicaţii a l e d e t e rm inan ţ i lo r în g e om e t r i e :

- ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte A(x1, y 1) şi B(x2, y 2) estex y 1

x1 y 1 1x2 y 2 1

= 0

- condiţia de coliniaritate a trei puncte A( x1, y 1) , B( x2, y 2) şi C (x3, y 3) estex1 y1 1x2 y2 1x3 ys 1

= 0

2

■ aria S unui triunghi ABC cu vârfurile A(x1, y l ) , B(x2,y 2) şi C (x3,y 3) S = — ■[A] , unde A =yiy2 1

x3 y3

xx2

1

2.1.3. Sisteme de ecuaţii lin iare - clasa a X l-a (3h/săpt.)

M atr i c e in v e r sa b i l e în M n (M), n e {2,3}:- definiţia matricei inversabile: A e M n (M) este inversabilă o există B e M n (M) astfel încât

A ■ B = B ■ A = I n- condiţia pentru ca o matrice A e A4n (M), n e {2,3} să fie inversabilă este det A ^ 0

- c a l cu lu l in v e r s e i un e i m a tr i c e din M n (M), n e{2 ,3} : calculul determinantului (şi impunerea condiţiei ca acesta să fie diferit de 0), scrierea transpusei, calculul complemenţilor algebrici şi determinarea matricei

adjuncte, A 1 =—1— A* det A

f a b- caz particular pentru matricele de ordin 2: dacă A e M 2(M), A = I I şi det A =

c d

■ ,<- 1 1 f d —batunci A = '

a bc d

= a d — b c ^ 0,

proprietăţi: (A 1) = A ; (AB) 1 = B 1 ■ A 1, unde A şi B sunt matrice inversabile.

det A — c- d e t e rm in a r ea in v e r s e i un e i m a tr i c e in v e r sa b i l e prin utilizarea de proprietăţi algebrice ale calculului

matriceal; de exemplu, dacă A e M 3 (M) şi din ipoteza unei probleme obţinem o relaţie de tipul A2 — 3A = I 3,

relaţia se poate rescrie A ■ (A — 3I3) = (A — 3I3) ■ A = I 3 , de unde A~1 = A — 3I3

- proprietăţi: (A~

Ecuaţii m a tr i c ea l e de tip:a) AX = B cu soluţia X = A~ 1B (în cazul în care A este o matrice pătratică şi inversabilă)b) XA = B cu soluţia X = BA~1 (în cazul în care A este o matrice pătratică şi inversabilă)c) AXB = C cu soluţia X = A~ 1CB_1 (în cazul A , B matrice pătratice şi inversabile).

Sistem e l in ia r e cu cel mult 3 necunoscute; caracterizare:• din punct de vedere al existenţei soluţiei: c om pa t ib i l (sistemul admite soluţie/soluţii); in compat ib i l

(sistemul nu admite soluţii);• din punct de vedere al unicităţii s o lu ţ i e i unui sistem compatibil: sisteme cu soluţie unică (compatibil

determinate) sau cu soluţii care depind de un parametru (simplu nedeterminate), de doi parametri (dublu nedeterminate),...

M etod e d e r ezo lva re :m e t o d a substitu ţie i ; m e to d a r e d u c e r i i (m e toda lui Gauss, cu p i v o ta r e )m e to d a ma tr i c ea lă : aducerea sistemului la forma matriceală, AX = B ^ X = A_1B , unde A este o matrice

pătratică şi inversabilă^ aplicarea m e to d e i lui C ram er pentru rezolvarea sistemelor liniare (numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor şi det A ^ 0 , unde A este matricea sistemului): calcularea determinanţilor obţinuţi din determinantul matricei A prin înlocuirea, pe rând, a câte unei coloane corespunzătoare fiecărei necunoscute cu coloana termenilor liberi; determinarea soluţiei.

TEMA 2. A lgebră - clasa a Xl-a (3h/săpt.), clasa. a XlI-a (3h/săpt.)2.2.1. Grupuri - clasa a XlI-a (3h/săpt.)2.2.2. Inele şi corpuri - clasa a XlI-a (3h/săpt.)2.2.3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( Q, M, Z p , unde p prim) - clasa a XlI-a (3h/săpt.)

3

2.2.1. Grupuri - clasa a XlI-a (3h/săpt.)

L eg e d e c om poz i ţ i e internă'. *: M x M ^ M , (x, y ) ^ x * y , unde M este o mulţime nevidă.Tabla un e i l e g i d e com poz i ţ i e in te rnă pe o mulţime MClase d e re s tu r i mod n , k = {t e Z | restul împărţirii lui t la n este egal cu k} , unde k e {0,1,2,...,n -1} ;

mulţimea claselor de resturi Z n ={&| k e {0,1, 2,...,n - 1}}, n e N *.

Opera ţia d e aduna re pe Z n : a + b = C, unde clasa C se determină calculând restul împărţirii sumei (a + b) la

n ; proprietăţi: asociativitate, comutativitate, element neutru 0 ; opusul clasei k k e{1, 2,...,n - 1} este clasa lui

n - k .Opera ţia d e înmulţire pe Z n : a • b = C , unde clasa C se determină calculând restul împărţirii produsului (a • b)

la n ; proprietăţi: asociativitate, comutativitate, element neutru 1 ; există inversul clasei k, k e{1, 2,...,n - 1}

numai în cazul în care (k , n) = 1 (numere prime între ele); exemplu, în Z 6 = {04,2,3,4,5}, clasele 1 şi 5 sunt

inversabile şi inversul clasei 1 este clasa 1, iar inversul clasei 5 este clasa 5 , iar clasele 0, 2, 3, 4 nu sunt

inversabile; dacă p e N*, p prim, atunci toate clasele, cu excepţia clasei 0 , sunt inversabile.P arte s tab i lă în raport cu o lege de compoziţie definită pe o mulţime nevidă M : oricare ar fix, y e M ^ x * y e MGrup, notaţie (G, * ), G mulţime nevidă şi *: G x G ^ G (lege de compoziţie internă); ax iom ele g rupulu i :

• a s o c ia t iv i ta t e : x * (y * z) = (x * y ) * z , oricare ar fi x, y , z e G• existenţa e l em en tu lu i neutru: există e e G astfel încât x * e = e * x = x , oricare ar fi x e G ; (dacă există,

elementul neutru este unic); determinarea elementului neutru revine la rezolvarea unui sistem de ecuaţiiîn care necunoscuta este e , soluţia obţinută fiind element neutru doar dacă nu depinde de alegerea lui x

• o r i c e e l em en t e s t e simetrizabil: oricare ar fi x e G , există x ' e G astfel încât x * x ' = x '* x = e ; (dacă există, inversul unui element este unic); determinarea inversului unui element revine la rezolvarea unui sistem de ecuaţii în care necunoscuta este x '.

Grup com u ta t iv (abe l ian ) este un grup în care legea de compoziţie internă este şi comutativă.Este utilă verificarea comutativităţii înainte de verificarea axiomelor privind elementul neutru / elementelesimetrizabile, pentru a uşurasimplifica verificarea acestor axiome.Exemple de:

- g ru pu r i n u m er i c e- g ru pu r i d e m a t r i c e ; în verificarea structurii de grup pentru submulţimi ale unei mulţimi de matrice, se

poate invoca faptul că asociativitatea este o proprietate valabilă pe toate mulţimile de matrice cu elemente numere sau clase de resturi; există grupuri de matrice, în raport cu operaţia de înmulţire, care sunt comutative; utilizarea elementelor de algebră matriceală, prin utilizarea proprietăţilor rezultate din condiţia de parte stabilă (de exemplu, dacă se evidenţiază o proprietate de tipul A(x) • A(y) = A(x + y ) , aceasta poate fi utilizată în rezolvarea unor cerinţe ulterioare, fără a apela mereu la calculul efectiv cu tablourile matriceale)

- (Zn , +) este grup comutativ, oricare ar fi n e N*; (Zp \{0},-) este grup comutativ (unde p e N*, p prim).

Acestui capitol i se pot asocia cerinţe de tip rezolvarea de ecuaţii într-un grup sau calcularea unor relaţii între elemente ale grupului, situaţii care nu necesită verificarea axiomelor grupului ci doar utilizarea lor pentru efectuarea calculelor.M orfism şi izomorfism d e g rupur i:Se consideră (G1, *) şi (G2, o) grupuri.Funcţia f : G1 ^ G2 se numeşte m or f i sm de grupuri dacă f (x * y ) = f (x) o f (y ), Vx, y e G1.Funcţia f : G1 ^ G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacă este morfism şi este bijectivă.Proprietăţi: dacă f este izomorfism, atunci:

• f (e) = e ', unde e şi e ' sunt elementele neutre ale grupurilor (G1, *) şi, respectiv, (G2, o)

4

• f (x ') = ( f (x )) ', oricare ar fi x e G1 (imaginea simetricului lui x este egală cu simetricul imaginii luix )

Pot fi formulate enunţuri în care se cere să demonstrăm că nu există izomorfism între două grupuri date; în acest caz, trebuie identificată o proprietate a izomorfismului, care nu este verificată;

2.2.2. Inele şi corpuri - clasa a XlI-a (3h/săpt.)

Definiţia ine lu lui; verificarea axiomelor inelului; exemple de inele numerice: Z, Q, M,Zn , inele de matrice, inele de funcţii reale.Divizori ai lui „ 0 ”, cu aplicaţii la rezolvarea de ecuaţii în Z n.Definiţia co rpu lu i ; verificare axiomelor corpului. Exemple de corpuri numerice: Q, M şi Z p cu p prim.

2.2.3. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( Q, M, Z p , unde p prim) - clasa a XlI-a (3h/săpt.)

F orm a a l g e b r i c ă a unui p o l in om : P = anX n + a n—1X n—1 + ... + a0 , unde a n ,an—1,...,a0 e K , an ^ 0 unde K poate fi Q, M, Zp , p prim; g r a d u l unui p o l in om , c a l c u la r e a u n o r va lo r i ale polinomului; semnficaţia unor

valori: f (0) este utilizată pentru determinarea termenului liber; f (1) este utilizată pentru determinarea sumei coeficineţilor polinomuluiOperaţi i c u p o l in o a m e (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar); proprietăţi.M etoda id en t i f i că r i i c o e f i c i e n ţ i l o rT eo rem a împărţirii c u rest: pentru orice două polinoame f , g e K [X ], g ^ 0 , există polinoamele q, r e K[X ] unice astfel încât f = g ■ q + r şi grad r < grad g .îm pă r ţ i r ea p o l in o am e lo r : utilizarea algoritimilor specifici; schema lui Horner, utilizată pentru determinarea câtului şi a restului rezultate la efectuarea împărţirii la X — a .T eo rem a împărţirii la X — a : restul împărţirii polinomului f e K [X ] la X — a este f ( a ) .Divizibilitatea p o l in o am e lo r : fie polinoamele f , g e K [X ], g ^ 0 , atunci f se divide prin g dacă există h e K [X ] astfel încât f = g h .T eo rem a lui Bezout: fie polinomul f e K [X ], f ^ 0 şi a e K , atunci a este rădăcină a polinomului f dacă şi numai dacă f se divide prin X — a ; consecinţă: în acest caz, există g e K [X ] astfel încât f = (X — a) ■ g R ădăcin i a l e p o l in o am e lo r : rădăcini simple, rădăcini multiple: a este rădăcină de ordin de multiplicitate p, p e N* a polinomului f dacă (X — a )p | f şi (X — a ) p+1 / f ; în cazul rădăcinilor reale multiple pentru un polinom cu coeficienţi reali, se poate utiliza funcţia polinomială ataşată şi proprietăţi de derivabilitate ale funcţiilor reale.D es c om p u n e r e a un o r p o l i n o a m e în f a c t o r i i r edu c t ib i l i : de exemplu, dacă f e M[ X ] admite toate rădăcinilereale şi grad f = n > 1 , atunci f se poate descompune în factori ireductibili f = an (x — x1)( x — x2) . . . ( x — xn) ,unde x1,x2 ... xn sunt rădăcinile reale ale polinomului f ; descompunere peste corpul numerelor reale: unpolinom cu coeficienţi reali admite ca factori ireductibili, peste corpul numerelor reale, cel mult factori de gradul I sau de gradul al doilea, în acest caz, discriminantul asociat factorilor de gradul al doilea fiind negativ. Numărul de rădăcini reale ale unui polinom nenul cu coeficienţi reali este cel mult egal cu gradul polinomului. Rela ţi i le lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 3:

i) dacă f e K [X ], f = aX2 + bX + c, a e K * şi x1, x2 e K sunt rădăcinile lui f , atunci au loc relaţiile:

bx1 + x2 = ----

ac

x1 ■ x2 =~ a

5

ii) dacă f e K [X ], f — aX3 + bX2 + cX + d , a e K * şi x1, x2, x3 e K sunt rădăcinile lui f , atunci au locb

relaţiile:

X1 + X2 + X3 —----a

cX1X2 + X1X3 + X2 X3 — —

ad

x1x2 x3 —----a

Rezolvarea e c u a ţ i i l o r a l g e b r i c e cu coeficienţi în Z, Q, M :- dacă o ecuaţie algebrică cu coeficienţi întregi are rădăcini întregi, atunci ele se găsesc printre divizorii

termenului liber;- dacă o ecuaţie algebrică cu coeficienţi întregi, anxn + a n-1xn-1 + ... + a0 — 0, are rădăcini raţionale,

atunci acestea sunt de forma — e Q, (p, q ) — 1, unde p este divizor al termenului a0 şi q este unq

divizor al termenului an ;

- dacă o ecuaţie cu coeficienţi raţionali are soluţia x1 — a + b 4 c , a, b, c e Q ,v c e M - Q , atunci are şi

soluţia x2 — a - b 4 c , cu acelaşi ordin de multiplicitate ca soluţia x1 — a + b 4 c ;

Ecuaţii b ipătrate : ax4 + bx2 + c — 0, a ^ 0 , se utilizează substituţia x2 — t şi se rezolvă ecuaţia a t2 + bt + c — 0.

Ecuaţii b in om e : xn — a , unde a e M, n e N*; cazuri particulare: x2 — a are soluţii reale numai în cazul a > 0 ,

soluţii egale cu ±4a ; x3 — a, a e M are unica soluţie reală ; x4 — 1 are soluţiile reale ±1.Ecuaţii le r e c i p r o c e se clasifică în:- ecuaţii reciproce de grad impar, care admit întotdeauna rădăcina -1 ; se împarte expresia algebrică asociată prin X +1 şi se continuă cu rezolvarea unei ecuaţii algebrice reciproce de grad par;

1 2 1 2- ecuaţii reciproce de grad par, care se rezolvă utilizând substituţia t — x + —, folosind relaţia x + — — t - 2 ;x ’ x2

2de exemplu, ecuaţia de gradul al patrulea se împarte la x pentru a evidenţia substituţia.

6