9/12/2019

1

Advanced Computation:

Computational Electromagnetics

Preliminary Topics

Outline

• Review of Linear Algebra

• Complex Wave Vector

• TE & TM Polarization

• Index Ellipsoids

• Electromagnetic Behavior at an Interface• Phase matching at an interface

• The Fresnel equations• Visualization

• Image Theory

Slide 2

1

2

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2

Slide 3

Review of Linear Algebra

Matrices Represent Sets of Equations

Slide 4

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44 4

a w a x a y a z b

a w a x a y a z b

a w a x a y a z b

a w a x a y a z b

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44 4

a a a a bw

a a a a bx

a a a a by

a a a a bz

A set of linear algebraic equations can be written in “matrix” form.

3

4

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3

Interpretation of Matrices

Slide 5

11 12 13 1a x a y a z b

21 22 23 2a x a y a z b

31 32 33 3a x a y a z b

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a a a x b

a a a y b

a a a z b

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Equation for x

Equation for y

Equation for z

EQUATION FOR… RELATION TO…

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

From a purely mathematical perspective, this interpretation does not make sense.  This interpretation will be highly useful and insightful because of how we derive the equations.

Compact Matrix Notation

Slide 6

Ax b

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

A

w

x

y

z

x

1

2

3

4

b

b

b

b

b

Matrices and vectors can be represented and treated as single variables.

A x b

or

square matrixcolumnvector

columnvector

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44 4

a a a a bw

a a a a bx

a a a a by

a a a a bz

5

6

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4

Matrices Require Special Algebra

Slide 7

AB BA

A B B A

Commutative Laws

AB C A BC

A B C A B C

Associative Laws

A B A B

AB A B A B

Multiplication with a Scalar

A B C AB AC

A B C AC BC

Distributive Laws

11 1

1

?

n

m mn

a a

a a

A

I A

Addition with a Scalar

AB BA

1 11 1 1

1 1

T T TT T T T T

TT

A A AB B A

A A A B A B AB B A

A A

Matrix Inverses and Transposes

Manipulating Matrix Equations

Slide 8

1 1

1

A B C D E

A B CC D E C

A B D E C

Example #1:  Dividing both sides by a matrix on the right

Starting equation

Post‐multiply both sides by C‐1

Recall that CC‐1=I

1 1

1

C A B D E

C C A B C D E

A B C D E

Example #2:  Dividing both sides by a matrix on the left

Starting equation

Pre‐multiply both sides by C‐1

Recall that C‐1C=I

11

11

1

1 1 1

1

C A D BC D

C A BC

A C BC

A CC BCC

A B

Example #3:  Simplify an expression

Starting equation

Subtract D from both sides

Recall inverse of a product rule

Post‐multiply both sides by C‐1

Recall that C‐1C=I

7

8

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5

The Zero and the Identity Matrices

Slide 9

Zero Matrix

0 0

0 0

0

Identity Matrix

1

1

0

0

I 1 1

I A A I A

A A AA I

0 A A 0 0

0 A A 0 A

A A 0

Matrix Division

Slide 10

It is very rare to calculate the inverse of matrix because it is very computationally intensive to do this.

At first glance, matrix division appears to require calculating the inverse of a matrix, but highly efficient algorithms exist that do not need to do this.

Pre‐Division: 1A B C A = B\C;A = inv(B)*C;

Post‐Division: 1A CB A = C/B;A = C*inv(B);

Despite that both of these equations are dividing by B, pre‐ and post‐division do NOT lead to the same result.

1 1 B C CB

9

10

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Matrix Division With More than Two Terms

Slide 11

Suppose the following matrix expression is to be evaluated.

1A BC D

Would the following MATLAB code work?

A = B*C\D;No!  Remember the order of operations.MATLAB will first multiply B and C.

A BCIt will then backward divide on D.

1A BC DSo what is the correct code?

A = B/C*D;A = B*(C\D);

It might be a good idea to time these two calculations to see which is faster.

Proper Notation for Matrix Division

Slide 12

It is almost never correct to write matrix division as a fraction.A

BWhy?

Does this represent predivision or postdivision?

1 1 or ??? B A AB

It is impossible to say, thus fraction notation is incorrect for matrices.

One exception  When both A and B are diagonal matrices, both pre‐ and post‐division will give the same answer.

1 1

11 11 11 11 11 11

22 22 22 22 22 22

MM MM MM MM MM MM

b a a b a b

b a a b a b

b a a b a b

11

12

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7

Ax = b Vs. Ax = x

Slide 13

Standard Linear Problem

Ax b

• Has only one answer• Requires a source

Eigen‐Value Problem

Ax x

• Has an infinite number of answers• Modes• No source

Slide 14

Complex Wave Vector

13

14

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The Complex Wave Number 𝑘

Slide 15

A wave travelling the  𝑧 direction can be written in terms of the complex wave number kas jkzE z Pe

k k jk Substituting this into the wave solution yields

k z jk zPe e j k jk zE z Pe

attenuation oscillation

attenuation & oscillation

Waves with Complex k

Slide 16

Purely Real k Purely Imaginary k Complex k

•Uniform amplitude•Oscillations move power• Considered to be a propagating wave

•Decaying amplitude•Oscillations move power• Considered to be a propagating wave (not evanescent)

•Decaying amplitude•No oscillations, no flow of power• Considered to be evanescent

This implies that these are the only 2.5 configurations that electromagnetic fields can take on.

15

16

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2D Waves with Doubly Complex 𝑘

Slide 17

Real yk

Imaginary yk

Complex yk

Real xk Imaginary xk Complex xk

xy

xy

xy

xy

xy x

y

xy

xy

xy

Slide 18

TE & TM Polarization

17

18

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TE and TM

Slide 19

We use the labels “TE” and “TM” when we are describing the orientation of a linearly polarized wave relative to a device.

TE/perpendicular/s – the electric field is polarized perpendicular to the plane of incidence.

TM/parallel/p – the electric field is polarized parallel to the plane of incidence.

Calculating the Polarization Vectors

Slide 20

inc 0 inc

sin cos

sin sin

cos

k k n

0

ˆ 0

1

n

incTE

inc

ˆ 0

ˆˆ 0

ˆ

ya

n ka

n k

inc TETM

inc TE

ˆˆ

ˆ

k aa

k a

Incident Wave Vector Surface Normal Unit Vectors of Polarization Directions

Composite Polarization Vector

TE TMTE TMˆ ˆP p p aa z

x

y

Right‐handedcoordinate system

1P

In CEM, we usually make

ˆ ˆ ˆx y za a a

19

20

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11

Slide 21

Phase Matching at an Interface

Illustration of the Dispersion Relation

Slide 22

y

x

k

xk

yk

2 22 2

0x yk k k k n

The dispersion relation for isotropic materials is essentially just the Pythagorean theorem.  It says a wave sees the same refractive index no matter what direction the wave is travelling.

Index ellipsoid

21

22

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12

Index Ellipsoid in Two Different Materials

Slide 23

2 22 2

,1 ,1 1 0 1x yk k k k n

Material 1 (Low n) Material 2 (High n)

2 22 2

,2 ,2 2 0 2x yk k k k n

1 2n n

Phase Matching at the Interface Between Two Materials Where n1 < n2

Slide 24

2 22 2

,1 ,1 1 0 1x yk k k k n

Material 1

Material 2

2 22 2

,2 ,2 2 0 2x yk k k k n

1 2n n

23

24

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13

Summary of the Phase Matching Trend for n1 < n2

Slide 25

2 22 2

,1 ,1 1 0 1x yk k k k n

Material 1 Material 2

2 22 2

,2 ,2 2 0 2x yk k k k n 1 2n n

1 2 3

4 5 6

Properly phased matched at the interface.

Phase Matching at the Interface Between Two Materials Where n1 > n2

Slide 26

Material 2

2 22 2

,2 ,2 2 0 2x yk k k k n

1 2n n

inc c inc c 2 22 2

,1 ,1 1 0 1x yk k k k n

Material 1

25

26

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14

Summary of the Phase Matching Trend for n1 > n2

Slide 27

2 22 2

,1 ,1 1 0 1x yk k k k n

Material 1 Material 2

2 22 2

,2 ,2 2 0 2x yk k k k n 1 2n n

3

Properly phased matched at the interface.

4

1 2

inc c

inc c

inc c

inc c

Slide 28

Reflection and Transmission:The Fresnel Equations

27

28

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15

Reflection, Transmission, and Refraction at an Interface

Slide 29

TE Polarization

2 1 1 2TE

2 1 1 2

2 1TE

2 1 1 2

TE TE

cos cos

cos cos

2 cos

cos cos

1

r

t

r t

TM Polarization

2 2 1 1TM

1 1 2 2

2 1TM

1 1 2 2

2TM TM

1

cos cos

cos cos

2 cos

cos cos

cos1

cos

r

t

r t

Angles

inc ref 1

1 1 2 2sin sinn n

Snell’s Law

1 1, n

2 2, n

Reflectance and Transmittance

Slide 30

Reflectance

The fraction of power R reflected from an interface is called reflectance.  It is related to the reflection coefficient r through

Transmittance

The fraction of power T transmitted through an interface is called transmittance.  It is related to the transmission coefficient t through

2

TE TER r 2

TM TMR r

2 1 2TE TE

2 1

cos

cosT t

2 1 2TM TM

2 1

cos

cosT t

2

TETE2

TM TM

tT

T t

2

TETE2

TM TM

rR

R r

29

30

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Amplitude Vs. Power Terms

Slide 31

Wave Amplitudes

The reflection and transmission coefficients, r and t, relate the amplitudes of the reflected and transmitted waves relative to the applied wave.  They are complex numbers because both the magnitude and phase of the wave can change at an interface.

ref incrE E trn inctE EWave Power

The reflectance and transmittance, R and T, relate the power of the reflected and transmitted waves relative to the applied wave.  They are real numbers bound between zero and one.

2 2

ref incRE E 2 2

trn incTE E

Often, these quantities are expressed on the decibel scale.

1dB 010 logR R 1dB 010 logT T

Conservation of Power

Slide 32

1A R T

When an electromagnetic wave is incident onto a device, it can be absorbed (i.e. converted to another form of energy), reflected and/or transmitted.  Without a nuclear reaction, nothing else can happen.

Reflectance, RFraction of power from the applied wave that is reflected from the device.

Transmittance, TFraction of power from the applied wave that is transmitted through the device.

Absorptance, AFraction of power from the applied wave that is absorbed by the device.

Applied Wave

Reflected Wave

Transmitted Wave

Absorbed Wave

31

32

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Notes on a Single Interface

• It is a change in impedance that causes reflections• Law of reflection says the angle of reflection is equal to the angle of incidence.

• Snell’s Law quantifies the angle of transmission as a function of angle of incidence and the material properties.

• Angle of transmission and reflection do not depend on polarization.• The Fresnel equations quantify the amount of reflection and transmission, but not the angles.

• Amount of reflection and transmission depends on the polarization and angle of incidence.

Slide 33

Slide 34

Visualization of Wave Scattering at an Interface

33

34

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Longitudinal Component of the Wave Vector

Slide 35

1. Boundary conditions require that the tangential component of the wave vector is continuous across the interface.

Assuming kx is purely real in material 1, kx will be purely real in material 2.

We have oscillations and energy flow in the x direction.

2. Knowing that the dispersion relation must be satisfied, the longitudinal component of the wave vector in material 2 is calculated from the dispersion relation in material 2.

22 2,2 ,2 0 2

2 2,2 0 2 ,2

x y

y x

k k k n

k k n k

0 2 ,2

0 2 ,

We see that will be purely real if .

We see that will be purely imaginary if .

y x

y y z

k k n k

k k n k

Field at an Interface Above and Below the Critical Angle (Ignoring Reflections)

Slide 36

1 2

No critical angle

n n 1 2

1 C

n n

1 2

1 C

n n

1. The field always penetrates material 2, but it may not propagate.2. Above the critical angle, penetration is greatest near the critical angle.3. Very high spatial frequencies are supported in material 2 despite the dispersion relation.4. In material 2, energy always flows along x, but not necessarily along y.

35

36

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Simulation of Reflection and Transmission at a Single Interface (n1<n2)

Slide 37

n1=1.0, n2=1.73  B=60°

Simulation of Reflection and Transmission at a Single Interface (n1>n2)

Slide 38

n1=1.41, n2=1.0  C=45°

37

38

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20

Field Visualization for C=45°

Slide 39

inc = 44° inc = 46°

inc = 67° inc = 89°

Electromagnetic Tunneling

Slide 40

If an evanescent field touches a medium with higher refractive index, the field may no longer be cutoff and become a propagating wave.

This is a very unusual phenomenon because the evanescent field is contributing to power flow.

This is called electromagnetic tunneling and is analogous to electron tunneling through thin insulators.

39

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Slide 41

Image Theory

Image Theory Reduces Size of Models

Slide 42

When fields are symmetric in some manner about a plane, it is only necessary to calculate one half of the field because the other half contains only redundant information.  Sometimes more than one plane of symmetry can be identified.  Image theory can dramatically reduce the numerical size of the model being solved.

G. Bellanca, S. Trillo, “Full vectorial BPM modeling of Index‐Guiding Photonic Crystal Fibers and Couplers,” Optics Express 10(1), 54‐59 (2002).

Reduced modelDevice is 75% smaller.Model is 94% smaller.

41

42

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Summary of Image Theory

Slide 43

perfect electric conductor (PEC) perfect magnetic conductor (PMC)

Duality

Electric Fields Magnetic Fields Electric Fields Magnetic Fields

image fields

Image Theory Applied to Simulation of an Airplane

Slide 44

43

44