Legge Gumbel

7/29/2019 Legge Gumbel

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Distribuzione di probabilit dei valori estremi ( legge di Gumbel)

1. Premesse

Indicando con x i valori assunti da una generica grandezza idrologica:

si considera Xcome una variabile casuale;

si ammette che le condizioni ambientali per cui la X in passato ha assunto determinati valori

siano restate immutate e resteranno immutate anche in futuro, almeno per i tempi che interessano in

sede applicativa;

si definisce popolazione della X l'insieme di tutti i valori che in dette condizioni ambientali

la xha assunto per il passato o potr assumere in futuro;

si considera la serie statistica costituita dagli n valorix1,x

2..... ,xi ....... ,xn assunti dallax in

una determinata stazione di misura, registrati e pubblicati dal S.I.I. nel periodo di osservazione,

come un campione di dimensione n tratto a caso dalla popolazione dellax.

Ci premesso, scopo dell'indagine sar quello di risalire dalla composizione del campione,

nota, a quella della popolazione, incognita, tenendo per bene in conto che, per difetto di

campionatura, la composizione del primo pu scostarsi, pi o meno, da quella della seconda.

Cercheremo di raggiungere tale scopo applicando la metodologia consueta nelle analisi

statistiche attraverso fasi successive:

1) formulazione di un ipotesi di lavoro in riguardo alla composizione della popolazione

della x, individuando quale fra le leggi gi studiate dal calcolo delle probabilit meglio si adatta a

descrivere detta popolazione;

2) precisazione dell'ipotesi di lavoro avanzata, calcolando le grandezze statistiche, funzione

degli n valori osservati dellaX, che costituiscano le migliori stime dei parametri che caratterizzano

quella legge di probabilit, e che, quindi, permettano di trarre dal campione la massima

informazione in riguardo alla popolazione da cui esso tratto;


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2

3) verifica dell'ipotesi di lavoro, controllando se gli scarti che si riscontrano fra

composizione della popolazione, definita al punto 2), e composizione del campione debbano o

meno ritenersi significativi, e cio se sono o non inferiori agli scarti massimi che potrebbero

verificarsi se l'ipotesi fosse valida;

4) determinazione dell'intervallo fiduciario entro cui ci si deve attendere che ricada il

valore x della x che nella popolazione corrisponde ad una assegnata probabilit comulata :

l'ampiezza dell'intervallo fiduciario costituisce una misura dell'indeterminatezza con cui

possibile conoscerex, tanto maggiore quanto pi piccola la dimensione n del campione.

Infine, una volta che avremo individuato un'ipotesi di lavoro accettabile in riguardo alla

popolazione della X, come conseguenza della stessa potremo anche trarre induzioni in riguardo a

quanto potr avvenire in futuro in un campione, di dimensione assegnata, eventualmente anche

diversa da n, tratto dalla stessa popolazione. In particolare, facendo riferimento al

proporzionamento di una data opera, si potr stabilire con quale rischio in un assegnata durata si

potranno determinare condizioni pi gravose di quelle assunte a base del progetto.

2. Legge doppio - esponenziale o di Gumbel

2.1. Si assume come variabile il massimo valore x zk= raggiunto da un'altra generica

variabile z, definita variabile originaria, fra kosservazioni tratte a caso dalla popolazione della z,

o pi brevemente in un campione di dimensione k.

Posto che dalla popolazione dellazpossono pensarsi tratti infiniti campioni di dimensione ke

posto che zkassume di volta in volta valori diversi, alla distribuzione della variabile originariaz

si pu associare quella del valore massimo in un campione di dimensionek.

La funzione di ripartizione (x) del massimo valore x zk= , raggiunto dalla variabile

originaria z in un campione di dimensione k, misura la probabilit che x risulti inferiore o al pi


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3

eguale a un assegnato valore. Se fosse nota la funzione di ripartizione (z) dellaz, (x) si potrebbe

dedurre in base al quinto assioma del calcolo delle probabilit a mezzo della relazione:

( ) ( )[ ] x z zkk

= = (1)

se le kosservazioni che costituiscono il campione sono ognuna indipendente dall'altra.

In effetti la (z) raramente nota. Quando per si considerino campioni di grande

dimensione, sicch i valori massimi zkrisultano spostati nel campo dei valori pi grandi dellax, ai

fini applicativi sufficiente conoscere l'andamento della (z) in prossimit dei valori massimi e

dedurre da questo l'andamento assunto dalla (x) per diversi valori di k, in particolare esaminando

se essa tende a una forma asintotica al crescere di kall'infinito.

Nel campo dell'idrologia la (z) risulta generalmente di tipo esponenziale, cio:

se si considera il valore dizche ci si deve attendere che venga superato una volta su k(estremo

atteso), per cui:

( )[ ]k z1 1 = = (2)

se si considera il parametro ( ) = =k z che misura la rapidit con cui varia al variare di k

(intensit di funzione);

sviluppando in serie di Taylor la funzione (z) in prossimit di , si pu dimostrare che per grandi

valori diz, quale che sia (z), risulta:

( ) ( ) zk

e x= 1 1 (3)

( ) ( ) xk

ex

k

=

1

1 (4)

che tende, perk alla funzione asintotica:

( )( )

x e ex

=

(5)


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4

che viene perci definita legge asintotica del massimo valore, o legge doppio esponenziale o

leggedi Gumbel, dallo studioso che per primo l'ha applicata all'idrologia.

2. Variabile ridotta e carta probabilistica

2.1. Se si considera la variabile:

y = (x - ) (10)

posto chey funzione lineare dix, risulta:

( ) ( ) x y e ey

= =

(11)

xy

= + =

1 1

ln ln (12)

se si indicano conxe cony i valori dix e diy che corrispondono a uno stesso valore di .

Mentre la funzione di ripartizione (x) funzione, oltre che del valore assunto dax, anche dei

valori assunti da e da , viceversa la funzione di ripartizione (y) funzione soltanto del valore

assunto day, che assume quindi il significato di variabileridotta.

Di conseguenza la legge doppio-esponenziale pu essere rappresentata a mezzo di una retta

in una speciale carta probabilistica, in cui si riportino come ascisse lex e come ordinate ley, usando

per l'una e l'altra variabile delle scale lineari, indicando, per, come ordinate, anzich ley, i valori

di (y) che corrispondono ady nella relazione (11) (Fig.1).


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5

0,999

0,998

0,995

0,99

0,98

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,01

5

10

20

50

500

100

1000

x

(x)

T

(x)

Fig. 1: Esempio di carta probabilistica di Gumbel

2.2. Come pu osservarsi dalle figure 2-a e 2-b, in cui si sono rappresentati in diagrammi

cartesiani gli andamenti assunti rispettivamente dalle funzioni:

( ) y ey e y

=

(13)

( ) y e ey

=

(11)

a differenza di quanto avviene per una variabile distribuita secondo la legge normale del caso, se la

x distribuita secondo la legge doppio-esponenziale, la funzione (y) risulta asimmetrica rispetto

all'ordinata passante per il valore modaley~ .


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6

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

-4 -2 0 2 4 6 8 10

y

(y)

Fig. 2a. Rappresentazione della funzione di probabiit elementare della variabile ridottay

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-4 -2 0 2 4 6 8 10

y

(y)

Fig. 2b. Rappresentazione della funzione di probabiit cumulata della variabile ridottay

A causa di tale asimmetria, moda ~y medianay0,5 e media = (y) dellay risultano diverse

l'una dall'altra, essendo:

~y = 0 con (0) = 0,368 (14)

y0.50= 0,36651 con (0,36651) = 0,500 (15)

= 0,57722 con (0,57722) = 0,570 (16)

A sua volta lo scarto quadratico medio dellay dato da:


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7

y = (y) =6

= 1,28255 (17)

D'altro canto dalla retta (x) riportata in Fig.1 si riconosce che i frattili y0,025

e y0,975

,

corrispondenti a valori di (y) pari rispettivamente a 0,025 e a 0,975, non risultano simmetrici

rispetto alla moda ~y = 0, cos come avverrebbe per la distribuzione normale, ma pari a:

y0,025

= -1,305 (18)

y0,975

= +3,675

Inoltre, posto che (0) = 0,368 :

a differenza di quanto avviene per la distribuzione normale, in cui il 95% dei valori della variabile

compreso fray0,025

ey0,975

si ripartisce in pari eguali al disotto e al disopra del valore modale.

Nella distribuzione doppio-esponenziale, nell'intervallo compreso fra y0,025 e~y ricade il

(36,8-2,5) = 34,3% della popolazione, mentre, nell'intervallo delimitato da ~y e day0,975ne ricade il

(97,5 - 36,8)=60,7%

2.3. Per dedurre la probabilit cumulata (x) corrispondente a un assegnato valore x di una

variabile distribuita secondo la legge doppio esponenziale, essendo nota la funzione (y) data dalla

(11), basta conoscere i valori assunti dai parametri ed . Fissato infatti un valore di x, basta

calcolare a mezzo della (10) il valore diy che corrisponde adx, assumendo poi:

( ) ( ) x y e ey

= = (11)

Se viceversa si vuol conoscere il valorexdix cui corrisponde un assegnato valore di , o,

pi brevemente, il frattile x di un assegnato valore di , basta calcolare il valore y di y che

risulta frattile dello stesso valore di , ricordando che :

x

y

= + = 1 1

ln ln (12)


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8

In Tab. I sono riportati i frattili x di assegnati valori di , espressi in funzione di ed . In

particolare, in base alle (14) (15) (16), indicando con ~x , conx0,50

e con =M(x) rispettivamente la

moda, la mediana e la media dellax, risultano:

~x = con = 0,368

x0 500 36651

,

,= +

con = 0,500

= +0 57722,

con = 0,570

x

(12)T

0,025 - 1,305/ 1,030,368 1,580,500 + 0,366/ 20,570 + 0,577/ 2,330,800 + 1,500/ 50,900 + 2,250/ 100,950 + 2,970/ 200,967 + 3,384/ 300,975 + 3,676/ 400,980 + 3,902/ 500,990 + 4,600/ 1000,998 + 6,214/ 5000,999 + 6,907/ 1000

Tab. I. Legge doppio-esponenziale:

Valori dix corrispondenti ad assegnati valori della probabilit cumulata F o del periodo di ritorno T.

D'altra parte i parametri ed sono legati alla media e allo scarto quadratico medio

( )x x= dellax dalle relazioni

1 6

1 28255

= =x

x

,(19)

= - 0,450 x (20)


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3. Interpretazione di una singola serie di dati.

Formulazione dell'ipotesi di lavoro

3.1. Disposti gli n dati che costituiscono il campione in ordine crescente indicando conx(1) il

pi piccolo di essi, e con x(2),x(3),...,x(i),...,x(n) quelli successivi, si calcola per ogni x(i) la frequenza

cumulata:

( )( )F xi

ni=

+ 1(43)

e si riportano in carta probabilistica di Gumbel i punti (x(i),F(x(i))).

Se i punti empirici si dispongono su un andamento pressocch rettilineo, propenderemo per

l'ipotesi che la (5) bene si adatti ad interpretare la distribuzione di probabilit della x. In caso

contrario, se i punti si dispongono intorno a una curva, propenderemo per unaltra ipotesi di lavoro,

quale pu essere quella rappresentata dalla (36) o unaltra ancora.

Precisazione dell'ipotesi di lavoro: stima dei parametri ed

3.2. Dalla relazione (5), per la stima dei parametri si ricorre usualmente o al metodo dei

momenti (M) di semplice applicazione o al metodo della massima verosimiglianza (MV), pi

efficiente degli altri metodi di stima, ma che presenta difficolt di risoluzione.

Con il metodo M, tenendo presente la (19) e la (20) le stime1e di ed a di si ottengono in

funzione della media x e dello scarto quadratico medio sx degli n dati disponibili dalle relazioni:

e = x - 0,450 sx (44)

1

128255a

sx=.

(45)

1Lo stesso simbolo e oltre che per la stima empirica di , stato adoperato anche per indicare la base deilogaritmi neperiani. L'uso dello stesso simbolo nei due diversi significati non pu, per, creare confusioni nella

interpetrazione del testo.


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Note le stime e ed a dei parametri ed della distribuzione si ottiene immediatamente in

base alla (12) la retta P(x), che in carta probabilistica di Gumbel meglio interpola i punti empirici

[x; F(x)]. Non pu escludersi, per, che la retta P(x), essendo stata dedotta da un campione di

dimensione limitata, si scosti, anche se di poco dalla retta che rappresenterebbe la funzione di

ripartizione (x) della popolazione dellax. AllaP(x) perci va dato il significato di stima empirica

della (x).

In particolare per ogni fissato valore di , una stima del frattile x di si ottiene in base al

valorex che nella rettaP(x) corrisponde aP= , pari secondo la (12) o la (14) rispettivamente a:

xP= e +yP/a per P= (46)

xP= x + kPsx per P= (47)

Posto che dalla popolazione dellax possono pensarsi tratti infiniti campioni di dimensione n e

posto che e ed 1/a, e quindi xP, assumono di volta in volta valori diversi la xP deve essere

considerata una variabile casuale caratterizzata dalla sua distribuzione di probabilit, definita

distribuzione di campionatura di xP. In particolare si dimostra che xP pu ammettersi distribuita

praticamente secondo la legge normale del caso, con media e varianza pari rispettivamente a:

( )M x xp = (48)

( ) ( )Varx x xn

K Kn

np p p p= = + + +

2

2

21 114 0 6 0 51

. . . (49)

Con il metodo MV le stime e ed1

asi ottengono dagli n valori x1, x2,... xn a disposizione

mediante le relazioni:

1 1

1

ax

x e

e

ii

nax

ax

i

n

i

i

= =

=

(50)


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11

en

eae ax

i

n

i

== 1

1

(51)

L'equazione (50) nell'incognita a implicita e perci presenta difficolt numeriche di

risoluzione, che peraltro possono essere facilmente superate con l'ausilio di un eleboratore

elettronico.

Verifica dell'ipotesi di lavoro

3.3. Precisata l'ipotesi di lavoro, ammettendo che la distribuzione di probabilit cumulata

della variabilex sia rappresentata dalla funzioneP(x), ottenuta ponendo nella (5) le stime e ed 1/a

dei parametri ed 1/, necessario verificare se gli scarti fra laP(x) e la distribuzione di frequenze

cumulateF(x) del campione debbano o meno ritenersi significativi in termini probabilistici (test di

adattamento). I test pi adottati sono quelli del chi-quadrato e di Kolmogorov.

3.4. Per applicare il test del chi-quadrato si suddivide il campo di variazione della x in k

classi e si mettono a confronto le frequenze fi, e le probabilit pi che corrispondono a ciascuna

classe i rispettivamente nella serie empirica di cui disponiamo e nella popolazione di cuiP(x) ci d

la composizione.

Se gli intervalli di classe si assumono equiprobabili, cio di lunghezza (xi+1-xi) diversa ma con

probabilit corrispondente costante1:

( ) ( )p P x P xi

k

i

k ki i i= =

+ =+11 1

(54)

quando si considerino n osservazioni, il numero npi di esse che ci si deve attendere che ricada in

ciascuna classe costante e pari adn

k.

1Se lax distribuita secondo la legge doppio esponenziale, si ha quindi: x ea

k

ii =

1lnln


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Indicando con ni il numero di valori effettivamente osservati dellax compresi fraxi+1 edxi, la

grandezza

( )X

n np

np

k

n n ni i

ii

k

ii

k2

1

2

2

1=

=

= = (55)

si pu ammettere che risulti distribuita come la grandezza statistica 2 con un numero di gradi

di libert f pari a k-31, purch siano sufficientemente grandi sia il numero kdi classi sia il numero

n

kdi valori che ci si deve attendere in ciascuna classe. Generalmente basta assumere k 5 e pari

al massimo fra i numeri interi per cui risulta n/k 5

In definitiva si accetta l'ipotesi di lavoro con il livello di significativit, (2) se 2 risulta

inferiore al valore critico 0

2 di 2 corrispondente ad una probabilit cumulata (1-) (Tab. II).

n k f 02

25 - 29 5 2 5,99

30 - 34 6 3 7,81

35 - 39 7 4 9,4940 - 44 8 5 11,10

45 - 49 9 6 12,60

50 - 54 10 7 14,10

Tabella II

Valori critici 0

2del chi-quadrato per un livello di significativit = 0,05.

Disposti gli n dati osservati della variabilex in ordine crescente, il test di kolmogorov mette

a confronto per ogni valore xi la frequenza cumulata ( )F xi e la probabilit cumulata P(xi)

corrispondente adxi in base all'ipotesi avanzata, e calcola la grandezza statistica:

D = maxF(xi) -P(xi) (56)

pari alla massima differenza in valore assoluto traF(xi) eP(xi).

1Un grado di libert perduto per il vincolo pit

=

=

11

altri due gradi di libert per le relazioni che permettono di

stimare i parametri della distribuzione2Il livello di significativit la probabilit di rigettare l'ipotesi quando essa vera.


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13

Si accetta l'ipotesi di lavoro con il livello di significativit se D risulta inferiore al valore

criticoD0 corrispondente alla probabilit cumulata 1 - , valore che dipende solo dalla dimensione

n del campione, mentre risulta indipendente dalla distribuzione dellax (Tab.III).

Nel caso che i parametri che definiscono la P(x) devono essere stimati dal campione, cos

come accade di norma nelle indagini idrologiche, i valori D0 riportati in Tabella III sono

leggermente inferiori dei reali valori critici di quantit che per non sono note. Il test di

Kolmogorov in questo caso perci approssimato.

Esso presenta il vantaggio che pu essere effettuato anche per via grafica, rappresentando su

carta probabilistica le curve di controllo della F(x), definite in base alle relazioni

F1(x) =P(x) -D0 eF2(x) =P(x) +D0.

Tabella III

n D0

5 0,56

10 0,4115 0,34

20 0,29

25 0,27

30 0,24

35 0,23

40 0,21

45 0,2

50 0,19

> 50 1.36/n

Tabella IIIValori criticiD0 della statistica di Kolmogorov per un livello di significativit = 0,05.

Determinazione della fascia fiduciaria della(x)

3.5. Come gi si detto al paragrafo 3.2, la retta P(x), stimata con il metodo della massima

verosimiglianza, che meglio interpola i punti empirici [x;F(x)] compendia tutta l'informazione che

il singolo campione di cui disponiamo pu fornirci nei riguardi della funzione di ripartizione (x),


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14

che caratterizza la popolazione della x. Trattandosi, per, di un campione di dimensione limitata

non pu escludersi che, per difetto di campionatura, la P(x), pur essendo la migliore stima della

(x) che pu trarsi da esso, si scosti anche se di poco dalla (x)1.

Pi precisamente, ricordando che la (x) non nota e indicando al solito per un assegnato

valore di :

conx, frattile di , il valore dix che nella popolazione corrisponde a ;

con xP, perP= , stima di x dedotta dal campione di dimensione n di cui disponiamo, il

valore dix che corrisponde a un valore diPpari a ;

si definiscono:

limiti fiduciarix1 e x2 di x i valori estremi fra cui ci si deve attendere che ricada x

tenuto conto che il campione di dimensione n ne ha dato la stimaxP, perP= ;

intervallo fiduciario dix, l'intervallo compreso trax1 e x2;

fascia fiduciaria della (x), la fascia del piano che nella carta probabilistica di Gumbel

risulta delimitata dalle curve che collegano i punti corrispondenti ai limiti fiduciari, ed entro cui ci

si deve attendere che ricada la retta che rappresenterebbe, ove mai fosse nota, l'effettivo andamento

della (x).

Tutto ci premesso, in base al calcolo delle probabilit si dimostra che per ogni valore di :

1) la xP, perP= , pu essere tratta alla stregua di una variabile casuale distribuita

approssimativamente secondo la legge normale con media M(xP) = x con varianza 2(xP) data

dalla (49) o (53) a seconda che la stima dixP sia stata dedotta dal campione di dimensione n con il

metodo dei momenti o con il metodo della massima verosimiglianza;

2) lo scarto massimo che ci si pu attendere fra xP e x a meno di una probabilit pari a

(livello fiduciario), che al solito si assume pari al 5%, pari in valore assoluto a:

1Come ovvio lo scostamento che ci si deve attendere tra la P(x) e la (x) risulta maggiore se per la stima della P(x) siadotta il metodo dei momenti, meno efficiente del metodo migliore di stima, cio del metodo della massima

verosimiglianza (par.7.2).


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15

( )x x x PP P

=

max

2 per (57)

3) noto xP, i limiti fiduciari x1 e x2 della x, come innanzi definiti, risultano pari

rispettivamente a:

( )x x xP P1

2

( )x x xP P2

2 + (58)

Come ovvio, giusta la definizione datane, x1 ex2 rappresentano rispettivamente il valore

minimo e il valore massimo che potrebbe avere x, tenuto conto che il campione di cui disponiamo

ne ha dato la stimaxP, perP= . Con grande probabilit, perxnon coincide n conx1, n con

x2, ma con un valore intermedio, contenuto cio nell'intervallo fiduciario delimitato da x1 e da

x2, e pi vicino adxP.

L'ampiezza dell'intervallo fiduciario della x, pari circa a 4(xP), costituisce una misura

dell'indeterminatezza con cui possibile conoscere x, risultando tanto maggiore, come si pu

vedere dalla (49) e dalla (53):

al diminuire della dimensione n del campione;

al diminuire dell'efficienza del metodo di stima adottato;

all'aumentare della variabilit dellax;

all'aumentare del valore assoluto assunto dalla variabile ridotta y, e cio dello scostamentodi dal valore 0,368, a cui corrisponde per la (14) il valorey=0.

4. Esempio di applicazione della metodologia al caso delle portate al colmo del fiume Sele.


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16

a) Si considera la serie storica dei massimi annuali delle portate al colmo di piena registrati nella

stazione del Sele ad Albanella nel periodo tra il 1929 e il 1970 (tab. IV), con un periodo di

osservazione n = 39 anni. Si formula lipotesi di lavoro che detta serie sia distribuita secondo la

legge di Gumbel, per cui si procede alla rappresentazione dei punti( )[ ]x F xi i; sulla carta

probabilistica.

Anno Q (m3/s) Anno Q (m

3/s) Anno Q (m

3/s)

1929 405 1943 - 1957 391

1930 470 1944 - 1958 517

1931 930 1945 - 1959 661

1932 256 1946 642 1960 362

1933 720 1947 1470 1961 7371934 376 1948 504 1962 887

1935 1540 1949 478 1963 983

1936 1040 1950 714 1964 627

1937 843 1951 2035 1965 470

1938 1240 1952 1390 1966 997

1939 856 1953 564 1967 638

1940 842 1954 455 1968 782

1941 940 1955 266 1969 869

1942 773 1956 538 1970 936

Tab. IV. Sele ad Albanella: massimi annuali delle portate al colmo di piena Qc.

Disposti gli n dati in ordine crescente, si associa a ciascun valore Q(i) la propria frequenza

cumulata (Tab. V) :

( )( )F Qi

ni=

+1 (43)

e quindi si riportano in carta probabilistica di Gumbel i punti (Q(i), F(Q(i))) (Fig. 5).

i Q (m3/s) F(Q(i)) i Q (m

3/s) F(Q(i)) i Q (m

3/s) F(Q(i))

1 256 0.025 14 564 0.350 27 869 0.675

2 266 0.050 15 627 0.375 28 887 0.700

3 362 0.075 16 638 0.400 29 930 0.725

4 376 0.100 17 642 0.425 30 936 0.750

5 391 0.125 18 661 0.450 31 940 0.775

6 405 0.150 19 714 0.475 32 983 0.800

7 455 0.175 20 720 0.500 33 997 0.825

8 470 0.200 21 737 0.525 34 1040 0.850

9 470 0.225 22 773 0.550 35 1240 0.875

10 478 0.250 23 782 0.575 36 1390 0.900

11 504 0.275 24 842 0.600 37 1470 0.925

12 517 0.300 25 843 0.625 38 1540 0.950

13 538 0.325 26 856 0.650 39 2035 0.975

Tab. V. Sele ad Albanella: frequenze cumulate per i massimiannuali delle portate al colmo di piena.


17/19

17

0,999

0,998

0,995

0,99

0,98

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,01

5

10

20

50

500

100

1000

-200 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

Q (m3/s)

(Q)

T

(x)

Fig. 5. Sele ad Albanella : rappresentazione delle frequenze cumulate dei massimi al colmo di piena

e della stima della funzione di ripartizioneP(x) di (x).

b) Precisazione dell'ipotesi di lavoro

Si applica il metodo dei momenti per ricavare le stime e di ed a di , in funzione della

media e dello scarto quadratico medio sx, ottenute dagli n dati a mezzo delle relazioni:

e =x - 0,450 sx (44)

1

128255a

sx=.

(45)

Le stime e ed a dei parametri ed (Tab. VI) della distribuzione a mezzo delle relazioni (44) e

(45) permettono di rappresentare laP(x) che in carta probabilistica di Gumbel meglio interpola i

punti empirici [x;F(x)] e rappresenta una stima della (x) (Fig. 5).


18/19

18

Per la serie in oggetto si ottengono i seguenti valori dei parametri:

x 772.9sx 375.8

0.0034 603.8Tab. VI. Media, scarto quadratico medio e valori dei parametri della distribuzione di Gumbel

per la serie dei massimi annuali di portata al colmo di piena registrati nella stazione del Sele ad Albanella.

c) verifica dell'ipotesi di lavoro

Per verificare se gli scarti fra la distribuzione di frequenze cumulateF(x) e la funzioneP(x)

siano da addebitare a scarti di campionatura e non siano significativi in termini probabilistici si

applica il test del chi-quadrato.

Si suddivide il campo di variazione della Q in kclassi equiprobabili in modo che sia verificata

la relazione :

n/k 5

I limiti degli intervalli di classe si ottengono in funzione della probabilit cumulata i/kdi

ciascuna classe i (Tab. VI) a mezzo della relazione:

Qk

ii=

1lnln

Il numero di osservazioni che ci si deve attendere che ricada in ciascuna classe costante e

pari adn

k.

Classe 1/k i/k Qi ni

1 0.143 0.143 408.9 6

2 0.143 0.286 537.8 6

3 0.143 0.429 652.4 5

4 0.143 0.571 773.9 5

5 0.143 0.714 922.9 6

6 0.143 0.857 1151.5 6

7 0.143 1.000 5Tab. VI

Indicando con ni il numero di valori effettivamente osservati nella generica classe Qi+1Qi, si

calcola la grandezzaX2 pari a :


19/19

( )

Xn np

np

k

nn n

i i

ii

k

ii

k2

1

2

2

1

=

=

= = (55)

che risulta pari a :

X27

39219 39 0 308= = .

In definitiva si accetta l'ipotesi di lavoro avendo fissato il livello di significativit pari a

0.05, confrontando il valore 2 calcolato con il valore critico 0

2 di 2 corrispondente ad una

probabilit cumulata (1-) (Tab. II), che in corrispondenza del numero di gradi di libert k -3 = 4

pari a

0

2 = 9,49. PoichX2

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